œАТЕМАТИК-12.pdf · 3 МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ XII АНГИ үрэн

1

2

ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛИЙН XII АНГИЙН МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ

Улаанбаатар 2019

3

МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ

XII АНГИ

Бүрэн дунд боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх удирдамж нь сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэхэд багш нарт арга зүйн дэмжлэг болох бөгөөд хөтөлбөрийн агуулгыг суралцахуйн зорилтууд буюу сурагчдын эзэмших мэдлэг, чадвараар тодорхойлсон онцлогтой. Өөрөөр хэлбэл сургалтын хөтөлбөрийн агуулга нь анги дээшлэх тутам өргөсөн гүнзгийрч байгаа ялгааг суралцахуйн зорилтуудаар тодорхойлсон нь сурагчдын чадварын ахицыг илрүүлэх, үнэлэх боломжийг олгож байна. Багш нар тухайн бүлэг сэдвийн хүрээнд ямар суралцахуйн зорилтыг хэрэгжүүлж байгаагаа сайтар ойлгож, анги хоорондын ялгааг мэдсэн байх шаардлагатай. Математикийн хичээлээр эзэмшсэн байх мэдлэг, чадвар буюу суралцахуйн зорилтуудыг:

1. Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш 2. Олон гишүүнт 3. Функц ба график 4. Комплекс тоо 5. Огторгуй дахь вектор 6. Тригонометр 7. Уламжлал 8. Интеграл 9. Дараалал, цуваа 10. Математик индукц 11. Дифференциал тэгшитгэл 12. Дискрет санамсаргүй хувьсагч 13. Өгөгдлийн шинжилгээ 14. Комбинаторик 15. Магадлал

гэсэн бүлэг сэдвээр ангилж, залгамж холбоог гаргасан. Суралцахуйн зорилт бүрээр хийгдэх суралцахуйн үндсэн үйл ажиллагаа, багшийн анхаарах зүйл, хэрэглэгдэхүүнийг анги тус бүрд тайлбарлаж орууллаа. Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээг хийхдээ тухайн бүлэг сэдвийн хүрээнд суралцахуйн зорилтуудаар тодорхойлсон мэдлэг, чадварыг илрүүлэх зорилгоор гарын авлага, болон Багшийн ном, Сурах бичгийн “Бүлгийн нэмэлт даалгавар”-аас сонгон хэрэглэх боломжтой.

XII ангийн суралцахуйн зорилтуудыг хэрэгжүүлэх үлгэрчилсэн төлөвлөгөө

Бүлэг сэдэв Суралцахуйн зорилтууд Хэрэгжүүлэх цаг

12.1. Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш

12.1а. |𝑥|-ийн утгыг ойлгох, модулаараа тэнцүү хоёр тооны

чанарыг мэдэх, хэрэглэх, |𝑥 − 𝑎| = 𝑏, |𝑥 − 𝑎| < 𝑏, |𝑥 − 𝑎| > 𝑏 хэлбэрийн модултай тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш бодох

6 цаг

12.2. Олон гишүүнт

12.2а. Нэг ба олон гишүүнт, олон гишүүнтүүдийн нэмэх, үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх, адилтгал тэнцүү илэрхийллийг ойлгох, олон гишүүнтийн язгуурыг мэдэх, олох 12.2б. Дөрөв хүртэлх зэргийн олон гишүүнтийг нэг болон хоёр

зэргийн олон гишүүнтэд хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх, ногдвор ба үлдэгдлийг олох /үлдэгдэл 0 байж болно/ 12.2в. Безугийн теорем хэрэглэн олон гишүүнтийг үржигдэхүүнд задлах, 3 ба 4 зэргийн зарим тэгшитгэлийг бодох, үл мэдэгдэх коэффициентийг олох 12.2г. Рационал функцийг таних, хүртвэр олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваарь олон гишүүнтийн зэргээс хэтрэхгүй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал

16 цаг

4

функцүүдийн нийлбэрт задлах (хуваарь нь (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 +𝑑), (𝑎𝑥 + 𝑏)2 хэлбэртэй үед)

12.2д*. Хүртвэр олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваарь олон гишүүнтийн зэргээс хэтрэхгүй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн

нийлбэрт задлах (хуваарь нь (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)(𝑒𝑥 + 𝑓), (𝑎𝑥 +𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)2, (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥2 + 𝑑) хэлбэртэй үед) 12.2е*. Рационал функцийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар олон гишүүнт болон хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлах

12 цаг

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 1 1 цаг

12.3. Функц ба график

12.3а. Зэрэг ба логарифмын харилцан хамаарлыг ойлгох,

логарифмын чанаруудыг мэдэх, хэрэглэх, 𝑒 тоог мэдэх 12.3б. Илтгэгч ба логарифм функцийн харилцан хамаарлыг

ойлгох. 𝑒𝑥 ба ln 𝑥 функцийн графикийг таних тэдгээр нь харилцан урвуу функцүүд болохыг мэдэх, шинж чанаруудыг ойлгох 12.3в. 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 ≤ 𝑏, 𝑎𝑥 > 𝑏 хэлбэрийн тэгшитгэл болон хялбар илтгэгч тэнцэтгэл бишийг логарифм ашиглан бодох 12.3г. Рационал функцийг таних, хялбар тохиолдолд графикийг

нь байгуулах 12.3д. Тоон аргументтэй тригонометр функцийг мэдэх, хэрэглэх

16 цаг

12.3е*. Функцийн модул, 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн (тэгшитгэлийн)

график өгсөн үед 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) функцийн графикийг байгуулах 12.3ж*. Параметрт хялбар тэгшитгэл, түүний графикийг

байгуулах 12.3з*. Муруй, муруйн тэгшитгэлийг мэдэх, бичих, муруйг зурах

18 цаг

12.4. Комплекс тоо

12.4а. Комплекс тоо, түүний бодит ба хуурмаг хэсгийг мэдэх

12.4б. 𝑥 + 𝑖𝑦 хэлбэрээр өгсөн хоёр комплекс тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх үйлдлийг мэдэх 12.4в. Хоёр комплекс тоо тэнцүү байх нөхцөлийг мэдэх, ойлгох, комплекс тооны хуваах үйлдлийг мэдэх, хэрэглэх 12.4г. Комплекс тооны модул, хосмогийн талаар ойлголттой болох, бодит тоон коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн комплекс тоон шийдүүд нь хосмог тоонууд байна гэсэн үр дүнг гаргах, хэрэглэх 12.4д. Комплекс тооны геометр дүрслэлийг мэдэх

20 цаг

12.4е*. Комплекс тоог 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟 𝑒𝑖𝜃 хэлбэрээр илэрхийлэх, энэ үед комплекс тоог үржүүлэх, хуваах үйлдэл хялбар байдгийг мэдэх, хэрэглэх 12.4ж*. Комплекс тооны квадрат язгуурыг олох (хоёр язгууртай

гэдгийг ойлгох) 12.4з*. Комплекс тооны нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах,

хосмогоор үржих үйлдлийн геометр утгыг ойлгох 12.4и*. Комплекс тоо агуулсан хялбар тэгшитгэл, тэнцэтгэл

бишийн шийдийг дүрслэх. Жишээлбэл, |𝑧 − 𝑎| < 𝑘, |𝑧 − 𝑎| = |𝑧 − 𝑏|, arg(𝑧 − 𝑎) = 𝛼

24 цаг


12.5. Огторгуй дахь вектор

12.5а*. Огторгуйн координатын системд шулууныг 𝑟 = �� + 𝑡��

хэлбэрээр илэрхийлж бичих, шулууны тэгшитгэлийн 𝑟, 𝑎, 𝑡, 𝑏 тэмдэгтүүдийн утгыг ойлгох 12.5б*. Огторгуй дахь хоёр шулууны харилцан байршлыг

тодорхойлох (параллел, огтлолцох, солбисон)

24 цаг

5

12.5в*. Хоёр шулууны хоорондох өнцгийг олох, хэрэв

огтлолцсон бол түүний огтлолцлын цэгийг олох 12.5г*. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 эсвэл (𝑟 − ��, ��) = 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх хавтгайн тэгшитгэлийг ойлгох, бичих 12.5д*. Зай, өнцөг, байршилтай холбоотой асуудал шийдвэрлэхэд хавтгай, шулууны тэгшитгэлийг хэрэглэх , Тухайлбал, Хангалттай мэдээлэл өгсөн тохиолдолд шулуун ба хавтгайн тэгшитгэл бичих - Шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг тодорхойлох (шулуун нь хавтгай дээр орших, шулуун нь хавтгайтай параллел байх, шулуун нь хавтгайтай огтлолцох, энэ үед огтлолцлын цэгийг олох) -Параллел биш хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууныг олох, тэгшитгэл бичих - Цэгээс шулуун хүртэлх зай, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох - Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг, шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

12.6. Тригонометр

12.6а*.Секанс, косеканс, котангенс функцүүд косинус, синус, тангенс функцүүдтэй ямар хамааралтайг ойлгох, эдгээр 6 функцийн чанарыг хэрэглэн графикийг тоймлон зурах 12.6б*. Тригонометрийн адилтгал, томьёоны гаргалгааг хийх,

томьёо хэрэглэх

а) Адилтгал: sec2 𝜃 = 1 + tg2𝜃 ба cosec2𝜃 = 1 + cotg2𝜃 б) Нийлбэр, ялгаврын томьёо: sin(𝐴 ± 𝐵) , cos(𝐴 ± 𝐵) ба tg(𝐴 ±𝐵), в) Давхар өнцгийн томьёо: sin 2𝐴, cos 2𝐴 ба tg2𝐴 г) Туслах өнцгийн томьёо: 𝑎 sin 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃илэрхийллийг 𝑅 sin(𝜃 ± 𝛼) , 𝑅 cos(𝜃 ± 𝛼) хэлбэрт бичих 12.6в*. Тригонометрийн томьёо ашиглан, илэрхийллийг хялбарчлах , илэрхийллийн утгыг олох, адилтгал батлах , 12.6г*. Тригонометр тэгшитгэлийн шийдийг өгсөн завсарт олох (адилтгал, томьёо, орлуулга хэрэглэх, зэрэг бууруулах, туслах өнцгийн аргууд)

24 цаг


12.7.Уламжлал 12.7а. 𝑒𝑥 , ln 𝑥 , sin 𝑥 , cos 𝑥 , tg𝑥 функцийн уламжлалыг мэдэх, уламжлал олох дүрмүүдийг хэрэглэх (функцийг тогтмол тоогоор үржүүлж, нэмж, хассан үед уламжлалыг олох) 12.7б.Үржвэр ба ногдворын уламжлалыг олох 12.7в. Давхар функцийн уламжлалыг олох, хэрэглэх

(𝑥𝑛, 𝑒𝑥 , ln 𝑥 , sin 𝑥 , cos 𝑥 , tg𝑥 функцүүдийн хувьд)

12 цаг

12.7г*. Параметрт болон далд хэлбэрээр өгсөн функцийн I эрэмбийн уламжлалыг олох, хэрэглэх

6 цаг

12.8. Интеграл

12.8а. Интеграл нь уламжлалын урвуу үйлдэл гэсэн санааг

өргөтгөн 𝑒𝑎𝑥+𝑏,1

𝑎𝑥+𝑏, sin(𝑎𝑥 + 𝑏) , cos(𝑎𝑥 + 𝑏) ба sec2(𝑎𝑥 + 𝑏)

функцийн тодорхой ба тодорхой бус интегралыг тооцоолох 12.8б. Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан рационал

функцийн тодорхой ба тодорхой бус интегралыг олох

12.8в. 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥) хэлбэрийн интегралыг таних, түүний тодорхой ба

тодорхой бус интегралыг олох 12.8г. Орлуулгын аргаар тодорхой болон тодорхой бус интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэн бодох

16 цаг

12.8д*. Тригонометр функцийн интегралыг олох. Тухайлбал,

cos2 𝑥 – давхар өнцгийн томьёо ашиглан бодох

18 цаг

6

12.8е*. Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодогдох интегралыг таних, түүнийг интеграл бодоход хэрэглэх Жишээлбэл,

𝑥 sin 2𝑥 , 𝑥2𝑒𝑥 , ln 𝑥 12.8ж*. Трапецийн дүрэм хэрэглэн тодорхой интегралыг үнэлэх (графикийг зурж, трапецийн дүрмээр доод/дээд үнэлгээний алин болохыг тодорхойлох)


12.9.Дараалал, цуваа

12.9а*. Дараалал ба цувааны тухай ойлголттой болох

12.9б*. 𝑛-р гишүүн (𝑢𝑛) ба эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийн (𝑆𝑛) хамаарлыг мэдэх 12.9в*. 𝑛-р гишүүний томьёо өгсөн үед дараалал байгуулах 12.9г*. Төгсгөлгүй нийлбэр ба цувааны нийлэлтийн тухай

ойлголттой болох 12.9д*. Σ тэмдэглэгээ хэрэглэх 12.9е*. Ялгаврын аргаар цувааны нийлбэрийг олох

12.9ж*. 𝑝

𝑞 рационал тоо бол (1 + 𝑥)

𝑝

𝑞 функцийг биномын

томьёо хэрэглэн цуваанд задлах, урвуу үйлдлийг гүйцэтгэх (энд сөрөг илтгэгчтэй зэрэг мөн хамаарна)

42 цаг

12.10.Математик индукц

12.10а*. Математик индукцийн аргыг ойлгох, хэрэглэх 6 цаг


12.11.Дифферен-циал тэгшитгэл

12.11а*. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг хялбар бодлогууд

бодох, тэгшитгэл бичих 12.11б*. Хувьсагч нь ялгагдах, I эрэмбийн дифференциал

тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох 12.11в*. Тухайн шийдийг олоход анхны нөхцөлийг хэрэглэх 12.11г*. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг хялбар бодлогуудын шийдийн утгыг тайлбарлах

24 цаг

12.12.Дискрет санамсаргүй хувьсагч

12.12а. 𝑋-дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хүснэгтийг байгуулах, математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох 12.12б. 𝑋-дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох

8 цаг

12.12в*. Бином тархалтыг практик нөхцөлд таних, томьёо

хэрэглэх, 𝐵(𝑛, 𝑝) тэмдэглэгээг мэдэх 12.12г*. Бином тархалтын математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтын томьёог хэрэглэх

12 цаг


12.13.Өгөгдлийн шинжилгээ

12.13а*. Хэвийн тархалтын хэрэглээг ойлгох, хэвийн тархалтын

хүснэгтийг хэрэглэх, 𝑁(𝜇, 𝜎2) тэмдэглэгээг мэдэх 12.13б*. Хэвийн тархалтыг хэрэглэн магадлал олох, магадлал

өгсөн үед санамсаргүй хувьсагч, дундаж, дисперсийн хоорондын хамаарлыг тогтоох 12.13в*. Бином тархалтын ойролцоо утгыг олохдоо хэвийн тархалтыг ашиглаж болох нөхцлийг мэдэх, асуудал шийдвэрлэх

18 цаг

Бүлэг сэдвийн үнэлгээ 7 1 цаг

12.14. Комбинаторик

12.14а*. Тодорхой зааглал өгсөн үед боломж тоолох 12.14б*. Давталттай хэсэглэлийг ойлгох, тооцоолох

12 цаг

12.15. Магадлал 12.15а*. Модны схемээр бүтэн болон нөхцөлт магадлалыг

тооцоолох 12.15б*. Геометр магадлалын тухай ойлголттой болох, хялбар

асуудал шийдвэрлэх

12 цаг


Суралцахуйн зорилтын тоо

Заавал судлах-23 94

Сонгон судлах-43 196

Багш нар тухайн орон нутаг, сургуулийн орчин, нөхцөл, сурагчдын түвшинд тохируулан, дээрх агуулгын төлөвлөлтийг өөрчлөх боломжтой.

7

I БҮЛЭГ. ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ

Хүрэх үр дүн. Тооны модулийг олох, модультай тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш бодох

чадвартай болно. Суралцахуйн

зорилт Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхүүн

12.1а. |𝑥|-ийн утгыг ойлгох, модулиараа тэнцүү хоёр тооны чанарыг мэдэх,

хэрэглэх, |𝑥 −𝑎| = 𝑏, |𝑥 − 𝑎| <𝑏, |𝑥 − 𝑎| > 𝑏 хэлбэрийн модултай тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш бодох

Үйл ажиллагаа 1. |𝑥|- ийн утгыг ойлгох - Бодит тооны модулын тодорхойлолтыг сэргээн сануулна. - Бодит тооны абсолют утгыг геометрийн аргаар

тайлбарлаж болно. Тухайлбал, 𝑥 > 0 үед тооллын эхээс 𝐴(𝑥) цэг хүртэлх зай нь |𝑥 − 0| = |𝑥| ба нөгөө талаас энэ

зай нь 𝑥 -тэй тэнцүү. Харин 𝑥 < 0 үед тооллын эхээс 𝐴(𝑥) цэг хүртэлх зай нь мөн |𝑥 − 0| = |𝑥| ба нөгөө талаас

энэ зай нь −𝑥 байна. Иймд тэгээс ялгаатай бодит тооны абсолют утга буюу модуль нь 𝑥 координаттай 𝐴(𝑥) цэг

тооллын эхээс ямар зайд оршихыг илтгэнэ. 𝑥 = 0 үед 𝐴(𝑥) цэг тооллын эх дээр байх тул |𝑥| = 0 байна.

- Тодорхойлолт дээр тулгуурлаад |𝑎| ≥ |𝑏| байх зайлшгүй

бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь 𝑎2 ≥ 𝑏2 байхыг батална. Үйл ажиллагаа 2. |𝒙 − 𝒂| = 𝒃, |𝒙 − 𝒂| < 𝒃, |𝒙 − 𝒂| > 𝒃 хэлбэрийн модультай тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш бодох - Модултай тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бодохдоо модул

доторх илэрхийллийг тодорхойлолт ашиглан эсвэл дээр баталсан чанарыг хэрэглэн модулиас чөлөөлөөд гарсан тэгшитгэл тэнцэтгэл бишийн шийдийг олно.

Тухайлбал дараах тохиолдол тус бүрийг модулиас хэрхэн чөлөөлөхийг сурагчидтай ярилцан дүгнэлт гаргана. 𝑎 > 0 бодит тоо ба 𝑓(𝑥) нь 𝑥 хувьсагчаас хамаарсан

илэрхийлэл байх, мөн түүнчлэн 𝑎 < 0 ; 𝑎 = 0 үед тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг (эрс их, эрс бага биш тохиолдолд бас авч үзнэ) хэрхэн бодох болон шийдтэй эсэхийг ярилцана.

- Үүний дараа |𝑎| = |𝑏| байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй

нөхцөл 𝑎2 = 𝑏2 байдгийг ашиглан модультай тэгшитгэлийг бодох тухай ярилцаж, дүгнэлт гаргана.

Багшийн анхаарах зүйл Энд 𝑓(𝑥) нь 𝑥 хувьсагчаас хамаарсан шугаман илэрхийлэл байх тохиолдлыг л авч үзнэ.

II БҮЛЭГ. ОЛОН ГИШҮҮНТ

Хүрэх үр дүн. Олон гишүүнтийн язгуур олох, олон гишүүнтийг олон гишүүнтэд хуваах,

олон гишүүнтийг үржигдэхүүнд задлах, рационал функцийг хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлах үйлдлүүдийг хийх чадвартай болно.

Суралцахуйн зорилт

Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхүүн

12.2а. Нэг ба

олон гишүүнт, олон гишүүнтүүдийн нэмэх, үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх, адилтгал тэнцүү илэрхийллийг ойлгох, олон гишүүнтийн язгуурыг мэдэх, олох

Үйл ажиллагаа 1. Олон гишүүнт, түүний ахлах гишүүн,

зэргийг мэдэх - Олон гишүүнт ба түүний гишүүн ,зэрэг , коэффициент ,

ахлах гишүүн , адилтгал тэнцүү илэрхийллийг тайлбарлана.

Тухайлбал бодит 𝑥 бүрийн хувьд (3𝑥2 − 𝑥 + 1) ∙ (−3𝑥 + 4) ба −9𝑥3 + 15𝑥2 − 7𝑥 + 4 илэрхийллийн утга тэнцүү тул

адилтгал тэнцүү бөгөөд (3𝑥2 − 𝑥 + 1) ∙ (−3𝑥 + 4) = −9𝑥3 +15𝑥2 − 7𝑥 + 4 илэрхийлэлийг адилтгал гэнэ.

Тэгвэл 𝑥 бүрийн хувьд 𝐴𝑥 + 𝐵 = −5𝑥 + 3 бол 𝐴, 𝐵 ямар байх вэ? гэсэн бодлого авч үзье. 𝑥 бүрийн хувьд биелэх тул

𝑥 = 0 гэвэл 𝐴 ∙ 0 + 𝐵 = −5 ∙ 0 + 3 болох ба эндээс 𝐵 = 3

гэж олдоно. 𝑥 = 1 гэвэл 𝐴 ∙ 1 + 𝐵 = −5 ∙ 1 + 3 болох ба эндээс 𝐴 = −5 гэж олдоно.

8

Иймд хэрэв 𝐴𝑥 + 𝐵 = −5𝑥 + 3 бол 𝐴 = −5 , 𝐵 = 3 байна. Үүнийг олон гишүүнтүүдийн тэнцүү байх нөхцөл гэдэг.Хэрэв

бүх 𝑥-ийн хувьд хоёр олон гишүүнт тэнцүү бол ижил зэрэг агуулсан гишүүдийн коэффициентууд тэнцүү байна.

Жишээ 1. (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 − 2) = −2𝑥2 + 10𝑥 − 12 байх 𝐴, 𝐵-ийн утгыг ол. Бодолт: Үржих үйлдэл гүйцэтгэж хоёр олон гишүүнтийн тэнцэх нөцлийг бичье.

𝐴𝑥2 + (𝐵 − 2𝐴)𝑥 − 2𝐵 = −2𝑥2 + 10𝑥 − 12 болох бөгөөд

адилтгал байхын тулд {𝐴 = −2

𝐵 − 2𝐴 = 10−2𝐵 = −12

Багшийн анхаарах зүйл. Олон гишүүнтийн нэмэх, хасах, үржих үйлдэл. Өмнөх ангиудад үзсэн алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах, төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх жишээгээр эхэлж сэдэлжүүлж болно. Ижил зэрэг агуулсан гишүүдийн коэффициентуудыг нэмнэ (хасна) гэдгийг өмнөх мэдлэг дээр тулгуурлан дүгнэх нь зүйтэй. Олон гишүүнтүүдийг үржүүлэхдээ гишүүнчлэн үржүүлэх дүрэм болон олон гишүүнтийн нэмэх үйлдэл ашиглан хийдэг болохыг ойлгуулна.

12.2б. Дөрөв хүртэлх зэргийн олон гишүүнтийг нэг болон хоёр зэргийн олон гишүүнтэд хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх, ногдвор ба үлдэгдлийг олох /үлдэгдэл 0 байж болно/

Үйл ажиллагаа 1. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтэд хуваах үйлдэл

Жишээ 2. 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 олон гишүүнтийг 𝑄(𝑥) =𝑥 + 3 олон гишүүнтэд хуваа. Бодолт: Ноогдвор олон гишүүнт 𝐾(𝑥)-ийн зэрэг нь 𝑃(𝑥)-ийн зэргээс 𝑄(𝑥) -ийн зэргийг хассантай тэнцүү тул 1 байх ба

𝐾(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 хэлбэртэй байна. Харин үлдэгдэл олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагчийнхаас бага байх тул тогтмол

олон гишүүнт буюу 𝑅 (𝑥) = 𝑐 хэлбэртэй хайж болно. Эндээс 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) · 𝐾(𝑥) + 𝑅 (𝑥) адилтгалыг бичвэл 3𝑥2 + 5𝑥 −

1 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐 байна. Эндээс {𝑎 = 3

5 = 3𝑎 + 𝑏−1 = 3𝑏 + 𝑐

систем гарах ба эндээс 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, 𝑐 = 11 гэж олдоно.

Иймд 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 олон гишүүнтийг 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3

олон гишүүнтэд хуваахад ноогдвор олон гишүүнт нь 𝐾(𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏 = 3𝑥 − 4 ба үлдэгдэл нь 𝑅 (𝑥) = 11 гэж гарлаа.

Өөрөөр хэлбэл 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 = (𝑥 + 3) ∙ (3𝑥 − 4) + 11 байна. Хуваах үйлдлийг дараах байдлаар бичиж, гүйцэтгэх нь хялбар байдаг. Энэ арга нь олон оронтой тоог олон оронтой тоонд хуваадаг дөрвөлжин аргатай төстэй.

3𝑥2 + 5𝑥 − 1 𝑥 + 3

3𝑥2 + 9𝑥 3𝑥 − 4

−4𝑥 − 1 −4𝑥 − 12 11 Багшийн анхаарах зүйл. Хуваах үйлдлийг гүйцэтгэж байгаа алхмуудыг сурагчдаар гаргуулах нь зүйтэй.

12.2в. Безугийн теорем хэрэглэн олон гишүүнтийг үржигдэхүүнд задлах, 3 ба 4 зэргийн зарим тэгшитгэлийг бодох, үл мэдэгдэх

Үйл ажиллагаа 1.

Тодорхойлолт: Хэрэв 𝑥 = 𝑥0 үед 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү буюу 𝑃(𝑥0) = 0 бол 𝑥0 -ыг 𝑃(𝑥) олон гишүүнтийн язгуур гэнэ.

Теорем: 𝑃(𝑥) олон гишүүнтийг 𝑥 − 𝑎 олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдэл нь 𝑃(𝑎)-тай тэнцүү байна. Үүнийг Безугийн теорем гэж нэрлэдэг. Мөн түүнчлэн “Бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнт бүхэл язгууртай бол уг язгуур нь сул гишүүний хуваагч нь байна”

9

коэффициентийг олох

гэсэн чанар мөрдөж гарах ба үүнийг хэрэглэх бодлогууд бодно. Багшийн анхаарах зүйл. Безугийн теоремыг хэрэглэн бодогдох -Олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах -Олон гишүүнтийн хуваагч мэдэгдэж байх үед сул гишүүнийг олох

-𝑄(𝑥) = 0 (𝑄(𝑥) нь олон гишүүнт) хэлбэрийн тэгшитгэл бодох гэх мэт бодлогуудыг авч үзнэ.

12.2г. Рационал

функцийг таних, хүртвэр олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваарь олон гишүүнтийн зэргээс хэтрэхгүй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлах (хуваарь нь (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 +𝑑), (𝑎𝑥 + 𝑏)2 хэлбэртэй үед)

Үйл ажиллагаа 1. Хялбар рационал бутархайн хуваарь

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) хэлбэртэй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал бутархайн нийлбэрт задлах

Жишээ: 𝑦 =𝑥−1

(𝑥+2)(𝑥−3) бутархай рационал функцийг хялбар

бутархай рационал функцүүдийн нийлбэрт задал.

Бодолт: 𝑦 =𝑥−1

(𝑥+2)(𝑥−3)=

𝐴

𝑥+2+

𝐵

𝑥−3 байх 𝐴, 𝐵-г олох буюу

тодорхойгүй коэффициентийн аргыг хэрэглэе. Өөрөөр

хэлбэл тодорхойлогдох мужийн ямар ч 𝑥-ийн хувьд 𝑥−1

(𝑥+2)(𝑥−3)=

𝐴

𝑥+2+

𝐵

𝑥−3 биелдэг байх 𝐴, 𝐵-г олно гэсэн үг.

Адилтгалын зүүн талыг ерөнхий хуваарь олж хялбарчилбал

𝐴

𝑥+2+

𝐵

𝑥−3=

𝐴(𝑥−3)+𝐵(𝑥+2)

(𝑥+2)(𝑥−3) болох бөгөөд

𝑥−1

(𝑥+2)(𝑥−3)=

𝐴(𝑥−3)+𝐵(𝑥+2)

(𝑥+2)(𝑥−3) нь адилтгал байх 𝐴, 𝐵-г олно. Иймд 𝑥 − 1 =

𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 + 2) байх ба эндээс 𝐴 =3

5, 𝐵 =

2

5 гэж

олдоно. Үйл ажиллагаа 2. Хялбар рационал бутархайн хуваарь (𝑎𝑥 + 𝑏)2 хэлбэртэй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал бутархайн нийлбэрт задлах

3

𝑥+1−

5

(𝑥+1)2 хэлбэрийн рационал бутархайн нэмэх, хасах

үйлдлийн бодлого бодуулах замаар ажиглалт хийлгэж нийлбэр ялгаварыг ерөнхий хуваарь өгч нэг бутархай болгох үйлдэл хийлгэнэ.

Жишээ: 3x−2

(𝑥+1)2 бутархайг хялбар рационал

бутархайнуудын нийлбэрт задалъя.

Бодолт: 3x−2

(𝑥+1)2 =𝐴

(𝑥+1)2 +𝐵

(𝑥+1) нь адилтгал байх 𝐴, 𝐵 -г

тодорхойгүй коэффициентийн аргаар өмнөх жишээтэй

адилаар бодвол 𝐴 = −5, 𝐵 = 3 гэж олдоно. Иймээс 3𝑥−2

(𝑥+1)2 =

− 5

(𝑥+1)2 +3

𝑥+1 болно.

Мөн хүртвэр олон гишүүнтийг хувиргах замаар хуваарь олон гишүүнттэй ижил хэлбэрт оруулж дараах байдлаар хялбар

рационал бутархайн нийлбэрт задалж болно. 3𝑥−2

(𝑥+1)2 =

3(𝑥+1)−2−3

(𝑥+1)2 =3

𝑥+1−

5

(𝑥+1)2

Багшийн анхаарах зүйл. Рационал функцийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлахын тулд эхлээд хуваарийн олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах хэрэгтэй. Хуваарь нь үржвэр хэлбэрт бичигдээгүй ч заасан хэлбэртэй үржигдэхүүнд задарч байх дасгал бодлогууд бодуулна.

10

12.2д*. Хүртвэр

олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваарь олон гишүүнтийн зэргээс хэтрэхгүй байх тохиолдолд тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлах (хуваарь нь (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 +𝑑)(𝑒𝑥 + 𝑓), (𝑎𝑥 +𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)2, (𝑎𝑥 +𝑏)(𝑐𝑥2 + 𝑑) хэлбэртэй үед)

Үйл ажиллагаа 1. 𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)(𝑒𝑥 + 𝑓) , 𝑦 =

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)2 , 𝑦 =

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥2 + 𝑐2) хэлбэрийн бутархай

рационал функцүүдийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлах

Жишээ: 𝑦 =2𝑥2−1

(𝑥2+1)(3𝑥+2) хялбар рационал бутархайд задал.

Бодолт. 2𝑥2−1

(𝑥2+1)(3𝑥+2)=

𝐴𝑥+𝐵

(𝑥2+1)+

𝐶

(3𝑥+2) адилтгал байх 𝐴, 𝐵, 𝐶 -г

олбол 𝐴 =9

13, 𝐵 =

−6

13, 𝐶 = −

1

13 гэж олдох тул 𝑦 =

2𝑥2−1

(𝑥2+1)(3𝑥+2)=

9𝑥−6

13(𝑥2+1)−

1

13(3𝑥+2) гэж задарна.

Багшийн анхаарах зүйл. Тодорхой бус коэффициентийн аргыг хэрэглэхэд хуваарийн олон гишүүнт ямар олон гишүүнтүүдийн үржвэрт бичигдсэн байгаа нь маш чухал. Гол дүрэм нь үржигдхүүн олон гишүүнтийн зэргээс нэгээр бага зэргийн олон гишүүнт хүртвэрт байхаар хялбар рационал бутархайнуудад анхны бутархай задрах ёстой.

12.2е*. Рационал функцийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар олон гишүүнт болон хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлах

Үйл ажиллагаа 1. Зөв биш рационал функцийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт хэрхэн задлах

Жишээ : 𝑦 =𝑥2

(𝑥+1)(𝑥+2) функцийг хялбар рационал функцийн

нийлбэрт задал.

Бодолт. 𝑥2

(𝑥+1)(𝑥+2) рационал бутархайн хүртвэр олон

гишүүнтийг хуваарь олон гишүүнтэд хувааж олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн нийлбэрт шилжүүлжбэл

𝑥2

(𝑥−2)(𝑥+3)=

𝑥2

𝑥2+𝑥−6= 1 −

𝑥−6

(𝑥−2)(𝑥+3) болно.

𝑥−6

(𝑥−2)(𝑥+3) рационал

бутархайг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар хялбар

рационал бутархайн нийлбэрт задалъя. 𝑥−6

(𝑥−2)(𝑥+3) =

𝐴

(𝑥−2)+

𝐵

(𝑥+3) нь адилтгал байх 𝐴, 𝐵 -ийн утга 𝐴 =

4

5, 𝐵 = −

9

5 гэж

олдох тул 𝑥2

(𝑥+1)(𝑥−3) = 1 +

4

5(𝑥+1)−

9

5(𝑥−3) гэж задарна.

Багшийн анхаарах зүйл. Хуваарь нь өмнө авч үзсэн хэлбэртэй байх зөв биш бутархай рационал функцүүдийг хялбар функцэд задлах бодлогууд бодно.

II БҮЛЭГ. ФУНКЦ, ГРАФИК

Хүрэх үр дүн.Илтгэгч , логарифм функцуудын чанар ашиглан тэгшитгэл ,тэнцэтгэл биш бодох чадвартай болно.


Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхү

үн

12.3а. Зэрэг ба логарифмын харилцан хамаарлыг ойлгох, логарифмын чанаруудыг мэдэх,

хэрэглэх, 𝑒 тоог мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Тооны логарифм, зэрэг ба логарифмын харилцан хамаарлыг ойлгох - Логарифмын тодорхойлолтыг тайлбарлана.

Тодорхойлолт дээр тулгуурлан зарим дүгнэлт хийнэ.

Тухайлбал, 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0 бол 𝑎0 = 1 ⇔ log𝑎1 = 0; 𝑎1 = 𝑎

⇔ log𝑎 𝑎 = 1 байна. Үйл ажиллагаа 2. Зэргийн чанарууд болон логарифмын

тодорхойлолтыг ашиглан логарифмын дараах чанаруудыг гаргах

1. 𝑎, 𝑏, 𝑐 эерэг тоонууд ба 𝑎 ≠ 1 бол log𝑎 𝑏𝑐 = log𝑎 𝑏 +log𝑎 𝑐 (log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 = log𝑎 𝑏𝑐) байна.

11

2. 𝑎, 𝑏, 𝑐 эерэг тоонууд ба 𝑎 ≠ 1 бол log𝑎(𝑏

𝑐) = log𝑎 𝑏 −

log𝑎 𝑐 (log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 = log𝑎(𝑏

𝑐)) байна.

3. 𝑎, 𝑏 эерэг тоонууд ба 𝑎 ≠ 1 бол log𝑎( 𝑏𝑘) = 𝑘 log𝑎 𝑏

(𝑘 log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑏𝑘) байна.

4. 𝑏, 𝑐 эерэг тоонууд ба 𝑎 > 1 , 𝑏 < 𝑐 бол log𝑎 𝑏 < log𝑎 𝑐 (log𝑎 𝑏 < log𝑎 𝑐 бол 𝑏 < 𝑐) байна.

5. 𝑏, 𝑐 эерэг тоонууд ба 0 < 𝑎 < 1 , 𝑏 < 𝑐 бол log𝑎 𝑏 >log𝑎 𝑐 (log𝑎 𝑏 > log𝑎 𝑐 бол 𝑏 < 𝑐) байна. Жишээ болгон эхний чанарын баталгааг авч үзье. Бусад чанарын баталгааг сурагчдаар хийлгэж болно.

Баталгаа 1: log𝑎( 𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 байна гэж баталъя.

log𝑎 𝑏 = 𝑥, log𝑎 𝑐 = 𝑦 гэвэл тодорхойлолт ёсоор 𝑏 = 𝑎𝑥 ,𝑐 = 𝑎𝑦 байх тул 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 болно. Эндээс 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎𝑥+𝑦 учир логарифмын тодорхойлолтоор log𝑎( 𝑏 ∙𝑐) = 𝑥 + 𝑦 болох бөгөөд 𝑥, 𝑦 -ийг буцаан орлуулбал

log𝑎( 𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 болж батлагдана.

Чанар: Хэрэв 𝑎 ≠ 1, 𝑎, 𝑏 > 0 бол 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 байна. Багшийн анхаарах зүйл. Дараах хэлбэрийн дасгал ажилуулах нь логарифм болон зэрэгт дэвшүүлэх үйлдлийн холбоо хамаарлыг ойлгоход тустай.

4−3 =1

64 зэргүүдийг логарифм ашиглан бичиж, унш.

4−3 =1

64⇔ 𝑙𝑜𝑔4

1

64 = −3 (1

64-ийн 4 суурьтай логарифм нь

−3-тай тэнцүү)

12.3б. Илтгэгч

ба логарифм функцийн харилцан хамаарлыг

ойлгох. 𝑒𝑥 ба ln 𝑥 функцийн графикийг таних тэдгээр нь харилцан урвуу функцүүд болохыг мэдэх, шинж чанаруудыг ойлгох

Үйл ажиллагаа 1. Илтгэгч ба логарифм функцийн

харилцан хамаарлыг ойлгох

Тодорхойлолт: 𝑎 ≠ 1; 𝑎 > 0 бодит тоо гэе. Тэгээс их 𝑥

тоо бүрд 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 цор ганц тоо харгалзана. Иймд 𝑥 ⟼ log𝑎

𝑥 нь тэгээс их бодит 𝑥-ийн хувьд функц болох ба энэ функцийг

логарифм функц гээд 𝑦 = log𝑎𝑥 гэж бичнэ.

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) илтгэгч функц, 𝑔(𝑥) = log𝑎𝑥

логарифм функцийг авч үзье.

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑎log𝑎𝑥

= 𝑥 ба 𝑔(𝑓(𝑥)) = log𝑎𝑎𝑥

= 𝑥 тул 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) илтгэгч функцийн урвуу нь 𝑔(𝑥) = log𝑎𝑥

логарифм функц болно. Иймд харилцан урвуу функцийн

график 𝑦 = 𝑥 шулууны хувьд тэгш хэмтэй байдаг тухай мөн тодорхойлогдох муж ба утгын муж нь ямар байх тухай ярилцан дараах хүснэгтийг хийлгэж, графикийг нь байгуулна.

Графикийг нь дараах зурагт харуулав. Өсөх, буурах эсэх нь логарифмын сууриас хэрхэн хамаарах тухай ярилцах хэрэгтэй.

𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1

Тодорхойлогдох муж Утгын муж

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ]−∞, +∞[ ]0, +∞[ 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥 ]0, +∞[ ]−∞, +∞[

Илтгэгч ба логарифм функцийн график байгуулах ажлын хуудас. Тооны машин,

𝑒 тооны талаар нэмэлт эх сурвалж.

12

Үйл ажиллагаа 2: 𝑒 тоог мэдэх

𝑒 = 2.7182818284590452353602874. .. тоог Эйлерийн тоо буюу 𝑒 тоо гэдэг. 𝑒 тооны талаар ойлголт өгөх олон арга байдгийн нэг нь дараах дарааллын гишүүдийг олох арга юм.

(1 +1

𝑛)𝑛 дарааллын эхний 5 гишүүнийг тооны машин

ашиглан олуулна. Мөн тоон шулуун дээр тэмдэглэж болно. Харин дарааллын 10, 100, 1000, 10000, 100000 дугаар гишүүнийг компьютерээр бодож гаргасныг үзүүлж,

ажиглуулна. Энэ дарааллын гишүүд нь 𝑛 нь ихсэх тусам Е тоо руу ойртож байна гэдгийг сурагчдаар гаргуулна.

𝑒 тоо нь төгсгөлгүй, үегүй аравтын бутархай юм. Үйл ажиллагаа 3. 𝑦 = 𝑒𝑥 ба 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 функцийг мэдэх, тэдгээр нь харилцан урвуу функцүүд болохыг мэдэх, шинж чанаруудыг ойлгох, графикийг таних

- 𝑒 тоо нь нэгээс ялгаатай эерэг тоо тул илтгэгч функцийн суурь болгон сонгож болно. 𝑦 = 𝑒𝑥 нь өсөх функц байна гэдгийг ярилцаад, тооны машин ашиглаж

𝑦 = 𝑒𝑥 функцийн утгын хүснэгт зохиолгож графикийг нь байгуулуулаарай.

Хэрэв логарифмын суурь нь 𝑒 тоо байвал натурал логарифм гэдэг ба ln гэж бичдэг. Өөрөөр хэлбэл 𝑎 тооны

𝑒 суурьтай логарифмыг ln 𝑎 гэж бичих ба натурал

логарифм 𝑎 гэж уншдаг. Тооны машин ашиглан тооны натурал логарифмыг олох дасгал ажилуулах хэрэгтэй.

Мөн ln 𝑒2, ln 𝑒1

2 утгыг олуулах, илэрхийлэл хялбарчлах дасгалууд байж болно.

Хэрэв логарифм функцийн суурь нь 𝑒 тоо байвал натурал логарифм функц гэх ба 𝑦 = ln 𝑥 гэж бичнэ.

Логарифм функцийн хувьд хийсэнтэй адилаар 𝑦 = 𝑒𝑥 болон 𝑦 = ln 𝑥 нь харилцан урвуу функц болохыг харуулж, графикийг нь байгуулах хэрэгтэй. Багшийн анхаарах зүйл. Функцүүдийн графикийг эхлээд сурагчид өөрсдөө байгуулж, хийсэн ажлыг нь багш Geogebra ашиглан шалгаж, тайлбарлаж болно. Илтгэгч ба логарифм функцийн утгыг олох, график байгуулахдаа функцэн командтай тооны машин ашиглавал сурагчдад ойлгомжтой байна.

12.3в. 𝑎𝑥 = 𝑏,𝑎𝑥 ≤ 𝑏, 𝑎𝑥 > 𝑏 хэлбэрийн тэгшитгэл болон хялбар илтгэгч тэнцэтгэл бишийг логарифм ашиглан бодох

Үйл ажиллагаа 1. 𝑎𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) тэгшитгэлийг логарифм ашиглан бодох

Жишээ 1. 2𝑥 = 3 , 2𝑥 = 5 , 2𝑥 = 0.5 тэгшитгэлийн шийдийг логарифм ашиглан ол.

Бодолт: 𝑥 = log2 3 , 𝑥 = log2 5 , 𝑥 = log2 0.5 буюу логарифмын утгыг тооны машин ашиглан олж болно. Үйл ажиллагаа 2. 𝑎𝑥 < 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) тэнцэтгэл бишийг логарифм ашиглан бодох

𝑎𝑥 < 𝑏 тэнцэтгэл бишийн шийдийг логарифм ашиглан

олъё. Хэрэв 𝑏 > 0 бол логарифмын дөрөвдүгээр чанараар 𝑎 > 1 үед log𝑎 𝑎𝑥 < log𝑎 𝑏 байх ба тэнцэтгэл бишийн зүүн

гар талыг гуравдугаар чанар ашиглан хувиргавал 𝑥 <

13

log𝑎 𝑏 гэж гарна. Харин 0 < 𝑎 < 1 үед тавдугаар чанараар

log𝑎 𝑎𝑥 > log𝑎 𝑏 буюу 𝑥 > log𝑎 𝑏 гэж гарна. Хэрэв 𝑏 < 0 бол тэнцэтгэл биш шийдгүй.

Жишээ 2. 2𝑥 < 3, (1

2)

𝑥

< 3 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.

Бодолт. Тэнцэтгэл бишийн шийд нь харгалзан 𝑥 < log2 3, 𝑥 > log1

2

3 гэж олдоно.

Үйл ажиллагаа 3. 𝑎𝑥 > 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) тэнцэтгэл бишийг логарифм ашиглан бодох

𝑎𝑥 > 𝑏 тэнцэтгэл бишийн шийдийг логарифм ашиглан олъё. Хэрэв 𝑏 > 0 бол логарифмын дөрөвдүгээр чанараар

𝑎 > 1 үед log𝑎 𝑎𝑥 > log𝑎 𝑏 байх ба тэнцэтгэл бишийн зүүн

гар талыг гуравдугаар чанар ашиглан хувиргавал 𝑥 >log𝑎 𝑏 гэж гарна. Харин 0 < 𝑎 < 1 үед тавдугаар чанараар

log𝑎 𝑎𝑥 < log𝑎 𝑏 буюу 𝑥 < log𝑎 𝑏 гэж гарна. Хэрэв 𝑏 < 0 бол тэнцэтгэл бишийн шийд ]−∞, ∞[ байна.

12.3г.

Рационал функцийг таних, хялбар тохиолдолд графикийг нь байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. Рационал функцийг таних.

Жишээ 3. 𝑦 =𝑥3−𝑥+1

𝑥2−1 функцийн хувьд хүртвэр олон

гишүүнтийн зэрэг нь 3, хуваарийнх 2 тул зөв биш бутархай

рациональ функц юм. Тодорхойлогдох муж нь 𝑥 ≠ ±1 байх

бүх бодит 𝑥 буюу 𝑥 ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]−1,1[ ∪ ]1, ∞[ байна.

Харин 𝑦 =𝑥+1

𝑥2+1 нь зөв бутархай рациональ функц бөгөөд

хуваарь нь тэгтэй тэнцэх 𝑥 тоо байхгүй тул

тодорхойлогдох муж нь 𝑥 ∈ ]−∞, ∞[ байна. Хүртвэр ба хуваарь олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү ба

ахмад гишүүний коэффициент нь харгалзан 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 бол

𝑦 =𝑎𝑛

𝑏𝑛 шулуун 𝑓(𝑥) функцийн графикийн хэвтээ асимптот

байна.

Жишээ 4. 𝑦 =2𝑥+3

𝑥+1 функцийг шинжилж, график байгуул.

Босоо, хэвтээ асимптотыг олно.

𝑦 =2𝑥+3

𝑥+1= 2 +

1

𝑥+1 фунцийн графикийн хувьд 𝑥 = −1

шулуун нь босоо асимптот, 𝑦 = 2 шулуун нь хэвтээ асимптот болно.

Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олно.

𝑦 = 0 тэгшитгэл бодоход 𝑥 = −1.5 гарна. 𝑥 = 0

тэгшитгэл бодоход 𝑦 = 3 гарна. Иймд 𝑂𝑥 тэнхлэгийг огтлох цэг нь (−1.5, 0), 𝑂𝑦 тэнхлэгийг огтлох цэг нь (0, 3) байна.

Уламжлал ашиглан өсөх, буурах болон хотгор гүдгэрийн шинжилгээ хийж болно.

Дээрх нөхцөлүүдийг ашиглан графикийг тойм байдлаар зурна.

Функцийн график байгуулах ажлын хуудас Санамж: Сурагчдын хийсэн ажлыг GeoGebra программ ашиглан шалгаж, тайлбарлаж болно.

14

Багшийн анхаарах зүйл. Дараагийн түвшинд хязгаар үзсэнээр асимптот шулууныг өөрөөр тодорхойлж судална. Энд зөвхөн төсөөлөл өгөх ба хялбар рациональ функцийн хэвтээ босоо асимптотын тухай мэддэг болно.

12.3д*. Функцийн

модул, 𝑦 =𝑓(𝑥) функцийн (тэгшитгэлийн) график өгсөн

үед 𝑦 =|𝑓(𝑥)|, 𝑦 =𝑓(|𝑥|) функцийн графикийг байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. 𝑦 = 𝑓(𝑥) функц (тэгшитгэл) өгсөн үед

𝑦 = |𝑓(𝑥)| функцийн графикийг байгуулах

𝑦 = |𝑥| функцийн графикийг байгуулах жишээгээр эхэлж ажиглалт хийлгэж болно.

Жишээ 5. 𝑦 = |𝑥 − 3| функцийн графикийг байгуул. Бодолт. Модулийн тодорхойлолт ашиглан

|𝑥 − 3| = [𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 3

−𝑥 + 3, 𝑥 < 3 гэж бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл

𝑦 = |𝑥 − 3| функцийн график нь 𝑦 = [𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 3

−𝑥 + 3, 𝑥 < 3

функцийн графиктай адил байна. Үйл ажиллагаа 2. 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) функцийн графикийг байгуулах

Жишээ 6. 𝑦 = 𝑥2 − 5|𝑥| + 6 функцийн графикийг байгуул. Бодолт. Модулийн тодорхойлолт ашиглан

𝑥2 − 5|𝑥| + 6 = [𝑥2 − 5𝑥 + 6, 𝑥 ≥ 0

𝑥2 + 5𝑥 + 6, 𝑥 < 0 гэж бичиж болно.

Өөрөөр хэлбэл 𝑦 = 𝑥2 − 5|𝑥| + 5

функцийн график нь 𝑦 = [𝑥2 − 5𝑥 + 6, 𝑥 ≥ 0

𝑥2 + 5𝑥 + 6, 𝑥 < 0 функцийн

графиктай адил байна. Багшийн анхаарах зүйл. Тодорхойлолт ашиглан модулиас чөлөөлөх замаар 𝑦 = |𝑓(𝑥)| функцийн графикийг байгуулж ажиглалт хийсний дараа 𝑦 = 𝑓(𝑥)

функцийн графикийг ашиглан 𝑦 = |𝑓(𝑥)| функцийн графикийг хэрхэн байгуулах тухай дүгнэлт гаргах нь чухал. Энд шугаман функц, квадрат функц авч үзэж болно.

Тодорхойлолт ашиглан модулиас чөлөөлөх замаар 𝑦 =𝑓(|𝑥|) функцийн графикийг байгуулж ажиглалт хийсний

дараа 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикийг ашиглан 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) функцийн графикийг хэрхэн байгуулах тухай дүгнэлт гаргах нь чухал. Энд квадрат функцийг л авна.

12.3е*.Парамет

рт хялбар тэгшитгэл, түүний графикийг байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. Параметрт хялбар тэгшитгэл, түүний

графикийг байгуулах - Зурагт харуулсан

координатын эх дээр төвтэй, нэгж радиустай тойргийн

дагуу 𝑃 материал цэг тогтмол хурдтай хөдөлж байгаа гэе. (1,0) цэг дээрээс эхлэн цагийн зүүний эсрэг

хөдөлсөн ба 𝑡 секундын дараа харгалзах төв өнцөг нь

𝑡 радиан байг. Тэгвэл 𝑡 секундын дараа материал цэг хаана байх вэ? гэсэн бодлого авч үзье.

𝑃 цэгийн координат 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 байна гэж олж

чадна.Энэ тэгшитгэлүүд нь хугацааны ямар ч агшин дахь 𝑃 цэгийн байршлыг харуулах бөгөөд явах замын муруйг тодорхойлно.

15

- Дараагийн зурагт эхний нэг эргэлт дэх хэд хэдэн цэгт

харгалзах 𝑡 -ийн утгыг

харуулсан байна. 𝑡-ийн утга бүрд тойргийн нэг цэг харгалзана гэдгийг анхаарна уу.

Эхний нэг эргэлтэнд тойргийн цэг бүрийн хувьд материал цэг

уг цэг дээр байх хугацаа 𝑡-ийн утга олдоно. Гэхдээ дахин

эргэхэд цэг бүрт 𝑡-ийн өөр утга харгалзана.

Жишээ 7. Муруй 𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 2𝑡 параметрт тэгшитгэлүүдээр өгөгдсөн бол 𝑡 параметрын утга [−3, 3] байх үед муруйг тоймлон зур. Бодолт: Утгын хүснэгийг зохиоё.

𝑡 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑥 9 4 1 0 1 4 9

𝑦 -6 -4 -2 0 2 4 6

(9, −6), (4, −4), (1, −2), (0,0), (1,2), (4,4), (9,6) цэгүүд нь муруй дээр орших тул координатын системд

байгуулж холбоё. Цэгүүдийг байгуулаад параметр 𝑡 -ийн харгалзах утгыг тэмдэглэлээ. Зургийг харуулав Үйл ажиллагаа 2. Муруйн параметрт тэгшитгэл ба Декартын координатын систем дэх тэгшитгэл Муруй параметрт тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн бол параметрийг зайлуулах замаар Декартын координатын систем дэх тэгшитгэлийг олж болдог. Тухайлбал, Жишээ 7

дахь муруй 𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 2𝑡 параметрт тэгшитгэлүүдээр

өгөгдсөн ба эндээс 𝑡-г зайлуулбал 𝑥 =1

4𝑦2 буюу 𝑦2 = 4𝑥

тэгшитгэл гарна. Багшийн анхаарах зүйл. График байгуулдаг хэрэгсэл ашиглан параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруйг байгуулах дасгал хийлгэх нь зүйтэй.

12.3ж*. Муруй,

муруйн тэгшитгэлийг мэдэх, бичих, муруйг зурах

Үйл ажиллагаа 1. Тойргийн тэгшитгэл бичих, зурах

Муруйн тэгшитгэл гэдэг нь уг муруй дээр орших ямар ч цэгийн (𝑥, 𝑦) координат нь хангадаг, уг муруй дээр оршихгүй цэгийн координат нь хангадаггүй байх тэгшитгэлийг хэлдэг. Тодорхойлолт. Бэхлэгдсэн цэгээс өгөгдсөн зайд орших хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг тойрог гэнэ.

16

𝑃(𝑎, 𝑏) цэгт төвтэй, 𝑟 радиустай тойргийн тэгшитгэл

бичье. 𝑀(𝑥, 𝑦) нь 𝑃(𝑎, 𝑏) цэгт төвтэй, 𝑟 (𝑟 > 0) радиустай тойрог дээр орших дурын цэг гэе. Тэгвэл

тодорхойлолт ёсоор |𝑀𝑃| = 𝑟 байна. Хоёр цэгийн хоорондох зай олох томьёо ёсоор

|𝑀𝑃| = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 байх ба |𝑀𝑃| = 𝑟 тул

√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 болно. Сүүлийн тэнцэтгэлийн

хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл (𝑥 − 𝑎)2 +(𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 гарна. Иймд 𝑃(𝑎, 𝑏) цэгт төвтэй 𝑟

радиустай тойргийн тэгшитгэл нь (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 байна. Жишээлбэл, (3, 2) цэгт төвтэй 2 нэгж радиустай тойргийн

тэгшитгэлийг (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 гэж бичнэ. Хэрэв тойрог координатын эх дээр төвтэй бол тойргийн

тэгшитгэл нь 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 байна.

IV БҮЛЭГ. КОМПЛЕКС ТОО

Хүрэх үр дүн. Комплекс тоон дээр хийх үйлдлийг гүйцэтгэх , комплекс тооны геометр дүрслэл, аргументыг мэдэх, хэрэглэх зэрэг чадваруудыг эзэмшинэ.



12.4а. Комплекс

тоо, түүний бодит ба хуурмаг хэсгийг мэдэх


Тодорхойлолт. 𝑎, 𝑏 бодит тооны хувьд 𝑎 + 𝑏𝑖 хэлбэрийн тоог комплекс тоо гэх ба уг тооноос тогтох олонлогийг комплекс тоон олонлог гэнэ.

𝑎 + 0𝑖 хэлбэрийн комплекс тоог бодит тоо гэх ба 𝑎 гэж

тэмдэглэнэ. 0 + 𝑏𝑖 хэлбэрийн комплекс тоог хуурмаг тоо гэх ба 𝑏𝑖 гэж тэмдэглэнэ.

Ерѳнхий тохиолдолд 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тооны хувьд 𝑎 тоог түүний бодит хэсэг гээд Re(𝑎 + 𝑏𝑖) гэж тэмдэглэх

ба 𝑏 тоог түүний хуурмаг хэсэг гээд Im(𝑎 + 𝑏𝑖)гэж тус тус тэмдэглэнэ.

Багшийн анхаарах зүйл. Комплекс тооны𝑎 + 𝑏𝑖 хэлбэрт байгаа + тэмдэг нь үйлдэл биш зөвхөн тэмдэглэгээ гэж ойлгох нь чухал. Зарим үед комплекс

тоог (𝑎, 𝑏) гэсэн хос гэж үзээд явдаг тохиолдол ч бий. Хуурмаг тоо нь бодит тоо биш ба харин хуурмаг хэсэг нь бодит тоо гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

Сурах бичиг: “Математик XII”, Хуудас 183 – 185

12.4б. 𝑥 + 𝑖𝑦 хэлбэрээр өгсөн хоёр комплекс тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх үйлдлийг мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Хоёр комплекс тоо тэнцүү байх нөхцөл Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр комплекс тооны бодит ба хуурмаг хэсэг харгалзан тэнцүү байвал уул хоёр тоог

тэнцүү гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 нь бодит тоо

ба хэрэв 𝑎 = 𝑐 ба 𝑏 = 𝑑 бол 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 байна. Үйл ажиллагаа 2.


17

Хоёр комплекс тоог бодит тоотой адилаар нэмж, хасаж, үржүүлж, хувааж болдог ба эдгээр үйлдэл нь бодит тоон дээрх үйлдлийн чанартай адил чанартай байдаг. Тодорхойлолт. Хоёр комплекс тоог нэмэхдээ бодит хэсэг дээр бодит хэсгийг, хуурмаг хэсэг дээр хуурмаг хэсгийг

тус тус нэмдэг. Ѳѳрѳѳр хэлбэл (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) =(𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 байна.

Чанар 1. 𝑧, 𝑠, 𝑡 нь комплекс тоо бол 𝑧 + (𝑠 + 𝑡) = (𝑧 +𝑠) + 𝑡 бaйна.

Чанар 2. 𝑧, 𝑠 нь комплекс тоо бол 𝑧 + 𝑠 = 𝑠 + 𝑧 бaйна.

Чанар 3. Аливаа 𝑧 комплекс тооны хувьд 𝑧 + 𝟎 = 𝟎 +𝑧 = 𝑧 байх 𝟎 гэсэн комплекс тоо байна.

Хэрэв 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝟎 = 𝑥 + 𝑦𝑖 гэвэл 𝑧 + 𝟎 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑥 +𝑦𝑖 = 𝑎 + 𝑥 + (𝑏 + 𝑦)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 болох ба эндээс хоёр комплекс тоо тэнцэх нѳхцлѳѳс 𝑎 + 𝑥 = 𝑎, 𝑏 + 𝑦 = 𝑏

болно. Эдгээр тэгшитгэлээс 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 буюу 𝟎 = 0 + 0𝑖 болно. Үүнийг бид тодорхойлолт ёсоор бодит тооны тэгтэй адилхан тэмдэглэж хэрэглэнэ.

Чанар 4. Аливаа 𝑧 комплекс тооны хувьд 𝑧 + 𝑠 = 𝑠 + 𝑧 =0 байх 𝑠 гэсэн комплекс тоо байна. Үүнийг уг комплекс

тооны эсрэг комплекс тоо гээд – 𝑧 гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ба – 𝑧 = 𝑐 + 𝑑𝑖 бол

𝑧 + (−𝑧) = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 = 0= 0 + 0𝑖

болох ба хоёр комплекс тоо тэнцүү байх нѳхцлѳѳс 𝑎 +𝑐 = 0, 𝑏 + 𝑑 = 0 болно. Эндээс 𝑐 = −𝑎, 𝑑 = −𝑏 буюу – 𝑧 = −𝑎 + (−𝑏)𝑖 болно.

Тодорхойлолт. Хэрэв 𝑧, 𝑠 комплекс тоо бол 𝑧 -ээс 𝑠

комплекс тоог хасна гэдэг нь 𝑧 дээр 𝑠 комплекс тооны эсрэг тоог нэмэхийг хэлнэ. Ѳѳрѳѳр хэлбэл 𝑧 − 𝑠 = 𝑧 +(−𝑠) байна. Мѳн −𝑏𝑖 = (−𝑏)𝑖 тул – 𝑧 = −𝑎 + (−𝑏)𝑖 =−𝑎 + (−𝑏𝑖) = −𝑎 − 𝑏𝑖 болно. Чанар 5. Комплекс тоон тэнцэтгэлийн хоёр талд ижил

комплекс тоог нэмж болон хасч болно. Хэрэв 𝑠 = 𝑡 бол 𝑠 ± 𝑧 = 𝑡 ± 𝑧 байна.

Тодорхойлолт. 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑐 + 𝑑𝑖, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ хоёр комплекс тоог (𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 гэсэн дүрмээр үржүүлнэ.

Чанар 6. Хэрэв 𝑧, 𝑠 нь комплекс тоо бол 𝑧𝑠 = 𝑠𝑧 байна. Чанар 7. Хэрэв 𝑧, 𝑠, 𝑡 нь комплекс тоо бол (𝑧𝑠)𝑡 = 𝑧(𝑠𝑡) байна. Чанар 8. Комплекс тооны хувьд хаалт задлах хууль

биелнэ. Ѳѳрѳѳр хэлбэл 𝑧, 𝑠, 𝑡 ∈ ℂ бол 𝑧(𝑠 + 𝑡) = 𝑧𝑠 + 𝑧𝑡 байна.

Комплекс тооны натурал тоон зэрэг 𝑧𝑛 нь бодит тоотой ижлээр 𝑧 тоог 𝑛 удаа өөрийг нь өөрөөр нь үржүүлсэн үржвэрийг хэлнэ.

Жишээ. 𝑖2 = (0 + 𝑖)(0 + 𝑖) = (0 − 1) + (0 + 0)𝑖 = −1 буюу

𝑖2 = −1. Багшийн анхаарах зүйл. Комплекс тооны нэмэх үйлдэл нь хэдийгээр бодит тооны нэмэх үйлдлийн бүх чанарыг хангадаг ч гэсэн тэс өөр үйлдэл гэдийг анхаарах

хэрэгтэй. Өмнөх зорилтод үзсэн 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 гэсэн комплекс тооны хэлбэрт байгаа + тэмдэг нь комплекс

тооны нэмэх үйлдэлтэй ижил байгаа гэдгийг (𝑎 + 0𝑖) +(0 + 𝑏𝑖) = (𝑎 + 0) + (0 + 𝑏)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 гэж харуулах хэрэгтэй. Иймд + тэмдгийг зүгээр тэмдэглэгээ биш + үйлдлийн тэмдэг гэж үзэж явахад болно.

18

Бид нар бодит тоотой ижлээр ихэнх тохиолдолд

үржүүлэх тэмдгийг хэрэглэхгүй. Ѳѳрѳѳр хэлбэл, 𝑧 ∙ 𝑠 -ийг 𝑧𝑠 гэж тэмдэглэнэ. Мөн нэмэх үйлдэлтэй адилаар

үржүүлэх үйлдлийн тодорхойлолтоос (𝑏 + 0𝑖)(0 + 𝑖) =(𝑏 ∙ 0 − 0 ∙ 1) + (𝑏 ∙ 1 + 0 ∙ 0)𝑖 = 0 + 𝑏𝑖 = 𝑏𝑖 болно. Ерөнхий

тохиолдолд хаалт задлах чанар ашиглавал (𝑎 + 𝑏𝑖) ∙(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑑𝑖 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 +𝑎𝑑)𝑖 болж үржүүлэх үйлдлийн тодорхойлолт гарч ирж байна.

12.4в. Хоёр комплекс тоо тэнцүү байх нөхцөлийг мэдэх, ойлгох, комплекс тооны хуваах үйлдлийг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Комплекс тоо цор ганц оршин байх нѳхцѳл

Хэрэв 𝑎 + 𝑏𝑖 = 0 бол 𝑎 = −𝑏𝑖 болох ба хоёр талыг квадрат зэрэг дэвшүүлбэл 𝑎2 = (−𝑏)2𝑖2 = −𝑏2 болно.

Эндээс сѳрѳг биш тоо 𝑎2 нь эерэг биш тоо −𝑏2-тай

тэнцүү гэдгээс 𝑎 = 𝑏 = 0 болно. Иймд хэрэв комплекс тоо тэг бол бодит ба хуурмаг хэсэг нь тэг байна. Энэ чанарыг бодлого бодоход нилээд хэрэглэдэг.

Чанар 1. 𝑎 + 𝑏𝑖 = 0 байх зайлшгүй бѳгѳѳд хүрэлцээтэй

нѳхцѳл нь 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 байх явдал юм. Үйл ажиллагаа 2. Комплекс тооны хуваах үйлдлийг

мэдэх, хэрэглэх

Тодорхойлолт. Аливаа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тооны хувьд (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 байх 𝑥 + 𝑦𝑖 гэсэн комплекс тоо

олддог бол уг тоог 𝑎 + 𝑏𝑖 тооны урвуу тоо гээд 𝑧−1 гэж

тэмдэглэнэ. Эндээс 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0 комплекс тооны

урвуу тоо нь 𝑧−1 =𝑎

𝑎2+𝑏2 +−𝑏

𝑎2+𝑏2 𝑖 гэж олддог.

Аливаа комплекс 𝑎 + 𝑏𝑖 тоог 𝑐 + 𝑑𝑖 ≠ 0 (𝑐 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0) комплекс тоонд хуваана гэдэг нь бодит тооны хуваахтай

ижилээр 𝑎 + 𝑏𝑖 тоог 𝑐 + 𝑑𝑖 тооны урвуугаар үржүүлнэ гэсэн үг. Ѳѳрѳѳр хэлбэл 𝑎+𝑏𝑖

𝑐+𝑑𝑖= (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖)−1 = (𝑎 + 𝑏𝑖) (

𝑐

𝑐2+𝑑2 +−𝑑

𝑐2+𝑑2 𝑖) =𝑎𝑐+𝑏𝑑

𝑐2+𝑑2 +𝑏𝑐−𝑎𝑑

𝑐2+𝑑2 𝑖 болно.

Чанар 2. Комплекс тоон тэнцэтгэлийн хоёр талыг нэг ижил комплекс тоогоор үржүүлэхэд тэнцэтгэл хэвээрээ байна.

Мѳрдѳлгѳѳ. Хэрэв 𝑐 + 𝑑𝑖 ≠ 0 ба (𝑥 + 𝑦𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖

бол 𝑥 + 𝑦𝑖 =𝑎+𝑏𝑖

𝑐+𝑑𝑖 байна.

Багшийн анхаарах зүйл. Үржвэр ба ноогдвор олдог томьёог цээжилж, түүнийгээ бодлого бодоход ашиглах нь тохиромжгүй бөгөөд харин хаалт задлах болон хүртвэр хуваарийг комплекс тоогоор үржүүлж бодох аргыг ашиглах нь илүү амархан байдаг. Өөрөөр хэлбэл

хоёр комплекс тооны ноогдворыг олохдоо 𝑐2 + 𝑑2 =

(𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) байдгийг ашиглан 𝑎+𝑏𝑖

𝑐+𝑑𝑖 гэсэн

илэрхийллээ 𝑐−𝑑𝑖

𝑐−𝑑𝑖 тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=

(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)

(𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)=

(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖

𝑐2 + 𝑑2

=𝑎𝑐 + 𝑏𝑑

𝑐2 + 𝑑2+

𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

𝑐2 + 𝑑2𝑖


12.4г. Комплекс тооны модул, хосмогийн талаар ойлголттой болох, бодит


Тодорхойлолт. Аливаа 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂ комплекс тооны хувьд

√𝑎2 + 𝑏2 гэсэн сѳрѳг биш тоог уг тооны модул гэж

нэрлээд |𝑎 + 𝑏𝑖| гэж тэмдэглэдэг. Өөрөөр хэлбэл

|𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 байна. Тухайлбал 3 + 2𝑖 комплекс

тооны модул нь |3 + 2𝑖| = √32 + 22 = √13 болно.

Сурах бичиг:

“Математик XII”,

Хуудас 194 – 201

19

тоон коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн комплекс тоон шийдүүд нь хосмог тоонууд байна гэсэн үр дүнг гаргах, хэрэглэх

Чанар 1. 𝑧1, 𝑧2 комплекс тооны хувьд дараах чанар биелэнэ.

а) |𝑧1𝑧2|= |𝑧1||𝑧2| б) |𝑧1

𝑧2| =

|𝑧1|

|𝑧2|


Тодорхойлолт. 𝑎 − 𝑏𝑖 комплекс тоог 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тооны хосмог тоо гэнэ. Хэрэв 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тоог 𝑧-

ээр тэмдэглэвэл түүний хосмог тоог 𝑧-ээр тэмдэглэдэг.

Өөрөөр хэлбэл 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 байна. Жишээлбэл,

𝑧 = 2 + 5𝑖 үед 𝑧 = 2 − 5𝑖 байна. Чанар 2. Хэрэв 𝑧, 𝑠, 𝑡, 𝑎 нь комплекс тоо ба 𝑏 нь бодит тоо бол

а. 𝑧 + 𝑧 = 2Re 𝑧, 𝑧 − 𝑧 = 2𝑖 Im 𝑧 б. 𝑏 = 𝑏 в. 𝑧𝑧 = |𝑧|2

г. (𝑧 ± 𝑡) = 𝑧 ± 𝑡 д. 𝑠𝑡 = 𝑠 ∙ 𝑡, 𝑏𝑡 = 𝑏 ∙ 𝑡 е. (𝑠

𝑡) =

𝑠

𝑡

ё. (𝑎 ∙ 𝑧𝑛) = 𝑎 ∙ 𝑧𝑛 биелэнэ.


Теорем. Хэрэв 𝑝(𝑥) нь бодит тоон коэффиценттэй олон гишүүнт, 𝑧, 𝑧 нь комплекс тоо ба түүний хосмог бол

𝑝(𝑧) = 𝑝(𝑧) байна. Мөрдөлгөө. Бодит коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн комплекс тоон хоёр язгуур хосмог тоо

байна. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 квадрат тэгшитгэл 𝑏2 − 4𝑎𝑐 >

0 үед 𝑥1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 гэсэн хоёр бодит язгууртай ба

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 үед 𝑥1 = 𝑥2 =−𝑏

2𝑎 гэсэн давхардсан хоёр

бодит язгууртай байна. Харин 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 үед 𝑥1,2 =

−𝑏±𝑖 √4𝑎𝑐−𝑏2

2𝑎 гэсэн хоёр комплекс шийдтэй байна.

Багшийн анхаарах зүйл. Комплекс тооны модул болон хосмог тооны ойлголт нь бодлого бодоход маш хэрэглэгддэг тул сурагчдад эдгээр чанаруудыг ашигладаг бодлого аль болох олон бодуулах хэрэгтэй. Дээрх теоремыг бодит коэффициенттэй квадрат гурван гишүүнт үед хосмогийн чанарыг ашиглан баталж харуулах нь зүйтэй.

12.4д. Комплекс

тооны геометр дүрслэлийг мэдэх


Комплекс тоог тоон шулуун дээр биш хавтгай дээр тэмдэглэдэг.

Координатын 𝑂𝑥 тэнхлэгийг бодит тэнхлэг гээд Re, 𝑂𝑦 тэнхлэгийг хуурмаг тэнхлэг гээд Im гэж тэмдэглэнэ. Энэ хавтгайн аливаа 𝐴(𝑎, 𝑏) цэгээр 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тоог нэг утгатай дүрсэлж болно. Энэ хавтгайг комплекс тоон

хавтгай гэнэ. Гэхдээ 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тоог 𝑂𝐴 радиус вектороор дүрслэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Учир нь

𝑀(𝑎, 𝑏) цэг дээр төгсгөлтэй 𝑂𝑀 радиус векторын урт

нь 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 болох ба энэ нь 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тооны модултай тэнцэнэ.

.



Хуудас 201 – 206

20

Мөн 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑠 = 𝑐 + 𝑑𝑖 комплекс тооны хувьд

харгалзах векторуудыг 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 гэвэл 𝑧 + 𝑠 = (𝑎 + 𝑐) +

(𝑏 + 𝑑)𝑖 комплекс тоонд харгалзах вектор нь 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 векторуудын нийлбэр вектор байдаг. Өөрөөр хэлбэл комплекс тооны нэмэх үйлдэл нь

векторын нэмэх үйлдэлтэй ижил байдаг.𝑂𝑀 = (𝑎, 𝑏) вектор 𝑂𝑥 тэнхлэгийн нэгж вектортой үүсгэх өнцгийг 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 тооны аргумент гээд arg𝑧; arg(𝑎 + 𝑏𝑖) гэх

зэргээр тэмдэглэдэг. arg(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝜃 гэвэл 𝑡𝑔𝜃 =𝑏

𝑎

(−𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋) байна. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 тоо нь комплекс хавтгайн аль мужид байхаас хамаарч аргумент нь тодорхойлогдно. Багшийн анхаарах зүйл. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээс үндсэн хэлбэрт шилжүүлэх, үндсэн хэлбэрээс тригонометр хэлбэрт шилжүүлэх бодлого бодуулаарай.

12.4е*. Комплекс

тоог 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟 𝑒𝑖𝜃 хэлбэрээр илэрхийлэх, энэ үед комплекс тоог үржүүлэх, хуваах үйлдэл хялбар байдгийг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑎, 𝑏𝜖R комплекс тоог комплекс хавтгайд дүрслэе.

Уг комплекс тооны модулийг 𝑧 = 𝑟, аргументийг 𝜃(−𝜋 <𝜃 ≤ 𝜋) гэе. Тэгвэл тригонометрийн харьцаагаар cos 𝜃 =𝑎

𝑟, sin 𝜃 =

𝑏

𝑟 болох ба эндээс 𝑎 = 𝑟 cos 𝜃; 𝑏 = 𝑟 sin 𝜃

болно. Иймд 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 комплекс тоог 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 +𝑖𝑟 sin 𝜃 буюу 𝑧 = 𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)гэж бичиж болно. Үүнийг комплекс тооны тригонометр хэлбэр гэдэг.

Жишээлбэл, 𝑧 = 1 − 𝑖√3 тооны тригонометр хэлбэрийг

олъё.|𝑧| = √1 + 3 = 2 бөгөөд 𝑡𝑔𝜃 = −√3 буюу 𝜃 = −60°

тул 𝑧 = 2(cos(−60°) + 𝑖sin(−60°)) гэж бичнэ. 𝑧 =𝑎(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼), 𝑡 = 𝑏(cos 𝛽 + 𝑖 sin 𝛽)гэсэн хоёр комплекс

тоо авъя. Тэгвэл 𝑧𝑡 = 𝑎𝑏(cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 + 𝛽)), 𝑧

𝑡=

𝑎

𝑏(cos(𝛼 − 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 − 𝛽)) гэсэн томьёог гаргаж болно.

Мөн үржүүлэх томьёоноос 𝑧𝑛 = 𝑎𝑛(cos(𝑛𝛼) + 𝑖 sin(𝑛𝛼)) гэсэн Муаврын томьёог гаргаж болно. Үйл ажиллагаа 2. Комплекс тооны илтгэгч хэлбэр

Модуль нь 1 байх 𝑧 = cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼 комплекс тоог 𝛼-аас

хамаарсан функц гэж үзээд 𝛼-аар нь

дифференциалчилбал 𝑑𝑧

𝑑𝛼= − sin 𝛼 + 𝑖 cos 𝛼 гэж гарна.

Мөн − sin 𝛼 + 𝑖 cos 𝛼 = 𝑖(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼) = 𝑖𝑧 гэсэн

адилтгалыг ашиглавал 𝑑𝑧

𝑑𝛼= 𝑖𝑧 гэсэн дифференциал

тэгшитгэл гарах ба уг дифференциал тэгшитгэлийг 1

𝑧𝑑𝑧 = 𝑖𝑑𝛼 гэж бичээд хоёр талаас нь интегралчилбал

∫1

𝑧𝑑𝑧 = ∫ 𝑖𝑑𝛼 буюу ln 𝑧 = 𝑖𝛼 + 𝐶 болох ба ерөнхий шийд

“Багшийн ном

Математик X-XII”, Хуудас 67-69

21

нь 𝑧 = 𝑒𝑖𝛼+𝐶 гэж гарна. 𝛼 = 0 үед 𝑧 = 1 тул үүнийг

ерөнхий шийдэд орлуулан 𝐶 = 0 гэж олно. Иймд

cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼 = 𝑒𝑖𝛼 адилтгал биелэнэ. Иймд 𝑧 =𝑟 (cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼) = 𝑟𝑒𝑖𝛼 болох ба үүнийг комплекс тооны илтгэгч хэлбэр гэнэ. Комплекс тоог илтгэгч хэлбэрт шилжүүлсэнээр үржих ба хуваах үйлдлийг гүйцэтгэхэд хялбар болдог. Тухайлбал,

𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1; 𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 бол 𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 ∙ 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 = 𝑟1 ∙𝑟2 ∙ 𝑒𝑖𝜃2+𝑖𝜃1 = 𝑟1 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2) Эндээс хоёр комплекс тооны үржвэрийн модул нь тэдгээр тооны модулуудын үржвэртэй тэнцүү, харин аргумент нь тэдгээр тооны аргументуудын нийлбэртэй тэнцүү байхыг сурагчид ажиглан дүгнэлт гаргана. Мөн 𝑧1

𝑧2=

𝑟1𝑒𝑖𝜃1

𝑟2𝑒𝑖𝜃2=

𝑟1

𝑟2𝑒𝑖(𝜃1−𝜃2) гэдгээс хоёр комплекс тооны

ноогдворын модул нь тэдгээр тооны модулиудын ноогдвортой тэнцүү, харин аргумент нь тэдгээр тооны аргументуудын ялгавартай тэнцүү байхыг ярилцна.

Муаврын томьёо нь илтгэгч хэлбэрээр 𝑧1𝑛 = 𝑟1

𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃

болох ба комплекс тоог 𝑛 натурал тоон зэрэгт дэвшүүлэхэд гарах тооны модул нь уг тооны

модулийг 𝑛 зэрэгт дэвшүүлсэнтэй тэнцүү, харин аргумент нь уг тооны аргументыг 𝑛 дахин авсантай ижил байна гэдгийг ажиглах. Багшийн анхаарах зүйл. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээс үндсэн хэлбэрт шилжүүлэх, үндсэн хэлбэрээс тригонометр хэлбэрт шилжүүлэх бодлого бодуулаарай. Мөн илтгэгч хэлбэрт оруулах болон комплекс тооны үржвэр ноогдворыг тригонометр хэлбэр ба илтгэгч хэлбэр ашиглан бодох жишээнүүд бодуулах хэрэгтэй.

12.4ж*.

Комплекс тооны квадрат язгуурыг олох (хоёр язгууртай гэдгийг ойлгох)


𝑢 комплекс тоо бүрийн хувьд 𝑧2 = 𝑢 тэгшитгэл үргэлж комплекс тоон шийдтэй байх бөгөөд, энэ тохиолдолд 𝑧

комплекс тоог 𝑢 комплекс тооны квадрат язгуур гэж нэрлэдэг.

𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 нь бодит тоо) хэлбэртэй гэвэл бид 𝑧2 =𝑢, 𝑧 = 𝑝 + 𝑞𝑖 байх бодит 𝑝, 𝑞 тоонуудыг олох хэрэгтэй байна. Хоёр комплекс тоо тэнцэх нөхцөл бичвэл

{𝒑𝟐 − 𝒒𝟐 = 𝒂

𝟐𝒑 𝒒 = 𝒃

систем гарна. Уг системийг бодвол ерөнхий тохиолдолдоо үргэлж хоёр шийд гардаг. Тухайлбал, −1

тооны квадрат язгуурыг олъё. Уг язгуурыг 𝑧 = 𝑝 + 𝑞𝑖

гэсэн тоо гээд дээрх системийг бичвэл {𝑝2 − 𝑞2 = −1

2𝑝 𝑞 = 0

болох ба эндээс 𝑞 = 0 үед бодит 𝑝 тоо олдохгүй тул

𝑝 = 0 болох ба 𝑞 = ±1 гэсэн хоёр шийд гарна. Иймд −1 тооны квадрат язгуур 𝑖, −𝑖 гэсэн хоёр тоо байна. Багшийн анхаарах зүйл. Комплекс тооны тригонометр болон илтгэгч хэлбэрийг ашиглан квадрат язгуурыг олох нь зарим тохиолдолд илүү амархан байдаг. Гэхдээ энэ үед үетэй функцүүд яригдаж байгааг анхаарах хэрэгтэй.



22

12.4з*. Комплекс

тооны нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, хосмогоор үржих үйлдлийн геометр утгыг ойлгох

Үйл ажиллагаа 1. 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 хоёр комплекс

тоог нэмэхэд 𝑧3 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 комплекс тоо гардаг

болохыг өмнө үзсэн. Нийлбэр комплекс тоо нь 𝑂𝑀 3=

(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) вектороор дүрслэгдэх бөгөөд эндээс

харвал 𝑧1 ба 𝑧2 комплекс тоог нэмэх нь 𝑂𝑀 1= (𝑎, 𝑏);

𝑂𝑀 2= (𝑐, 𝑑) векторуудыг нэмэх үйлдэлтэй адил юм.

Иймээс нэмэх үйлдлийн геометр дүрслэлийг дараах зурагт харууллаа.

𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑧2 =𝑐 + 𝑑𝑖 хоёр комплекс тооны

ялгавар нь 𝑧4 =(𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖 комплекс тоо байх бөгөөд энэ нь

𝑂𝑀 1= (𝑎, 𝑏); 𝑂𝑀

2=(𝑐, 𝑑) векторуудын ялгавар вектор

буюу 𝑀2М1 =𝑂М

4=

(𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑) байна.

Харин 𝑧1 = 𝑎 +𝑏𝑖 тооны хосмог комплекс тоо нь

𝑧1 = 𝑎 − 𝑏𝑖 тул

𝑂𝑀 5= (𝑎, −𝑏)

вектороор дүрслэгдэнэ.

Комплекс тоо илтгэгч хэлбэртэй байх үед тэдгээрийн үржвэр, ноогдворыг олох тухай үзэх үед модуль ба аргумент нь хэрхэн олдохыг бид ажигласан байгаа. Үржвэр ба ноогдворын геометр дүрслэлийг зурах үед энэ мэдлэг хэрэг болно.

Жишээ: 𝑧1 = 3𝑒−𝜋

4𝑖; 𝑧2 = 2𝑒

2𝜋

3𝑖 хоёр тооны үржвэрийн

геометр дүрслэлийг зурж зүй тогтлыг ажиглая.

𝑧1𝑧2 = 3𝑒−𝜋

4𝑖 ∙ 2𝑒

2𝜋

3𝑖 = 6𝑒

5𝜋

12𝑖 гэж гарах бөгөөд геометр

дүрслэлийг дараах зурагт харуулав. Геометр дүрслэлийг зурах явцдаа үржвэр комплекс тооны модуль болон аргумент нь хэрхэн дүрслэгдэж байгаа зүй тогтлыг ажиглуулаарай. Үүнд:

Үржвэрийн аргумент нь −𝜋

4+

2𝜋

3=

5𝜋

12 буюу 𝑧2-ийг 𝜃1 = −

𝜋

4

өнцгөөр эргүүлсэнтэй адил ба

модуль нь |𝑧2|-ийг |𝑧1| дахин ихэсгэж байна. 𝑧1; 𝑧2 нь комплекс хавтгайн өөр өөр мужид байх үед болон нэг мужид байх тохиолдол тус

бүрд үржих үйлдлийн геометр дүрслэлийг зурах бодлого



23

дасгалууд ажиллуулж дээрх зүй тогтлыг ажиглуулж дүгнэлт гаргах хэрэгтэй. Одоо 2 комплекс тооны ноогдворын геометр дүрслэлийг тайлбарлая.

Жишээ: 𝑧1 = 3𝑒−𝜋

4𝑖; 𝑧2 = 2𝑒

2𝜋

3𝑖 хоёр тооны ноогдворын

геометр дүрслэлийг зурж зүй тогтлыг ажигла.

Бодолт: 𝑧1

𝑧2=

3𝑒−

𝜋4𝑖

2𝑒2𝜋3 𝑖

= 1.5𝑒−11𝜋

12𝑖 гэж гарах бөгөөд геометр

дүрслэлийг дараах зурагт харуулав. Геометр дүрслэлийг зурах явцдаа үржвэр комплекс тооны модуль болон аргумент нь хэрхэн дүрслэгдэж байгаа зүй тогтлыг ажиглуулаарай.Үүнд:

Ноогдворын аргумент

нь −𝜋

4−

2𝜋

3= −

11𝜋

12

буюу 𝑧1-ийг −𝜃2 = −2𝜋

3

өнцгөөр эргүүлсэнтэй адил ба модуль нь

|𝑧1|-ийг 1

|𝑧2| дахин авч

байна.

Багшийн анхаарах зүйл. 𝑧1, 𝑧2 нь комплекс хавтгайн өөр өөр мужид байх үед болон нэг мужид байх тохиолдол тус бүрд хуваах үйлдлийн геометр дүрслэлийг зурах бодлого дасгалууд ажиллуулж дээрх зүй тогтлыг ажиглуулж дүгнэлт гаргах хэрэгтэй.

12.4и*. Комплекс тоо агуулсан хялбар тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийн шийдийг дүрслэх. Жишээлбэл, |𝑧 − 𝑎| < 𝑘, |𝑧 −𝑎| = |𝑧 −𝑏|, arg(𝑧 − 𝑎) =𝛼

Үйл ажиллагаа 1. |𝑧| = 𝑟 (|𝑧| < 𝑟; |𝑧| > 𝑟) Хэлбэрийн тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийн шийдийг дүрслэх:

1. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 гэвэл |𝑧|2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑟2 байх бөгөөд |𝑧| =𝑟 тэгшитгэлийн шийд 𝑟 радиустай тойрог дээр орших 𝑃 цэгүүдийн олонлог байх ба эхний зурагт дүрсэлсэн

байна. Харин |𝑧| < 𝑟 тэнцэтгэл бишийн шийд нь 𝑟 радиустай дугуйн дотор орших цэгүүд байхыг дараагийн

зурагт харуулсан байна. |𝑧| > 𝑟 тэнцэтгэл бишийн шийд нь уг дугуйн гадна орших цэгүүд байна.



24

Энэ тохиолдолд болон, эрс их, эрс бага байх тохиолдол тус бүрд шийдийг дүрслээрэй. Мөн сурагчдаар тодорхой бодлогууд бодуулна.

2. |𝑧 − 𝑎| = 𝑟; (|𝑧 − 𝑎| > 𝑟; |𝑧 − 𝑎| < 𝑟) 𝑎 нь бодит тоо. Энэ нь өмнөх бодлогын өргөтгөл ба |𝑧 − 𝑎| = 𝑟

тэгшитгэлийн шийд нь (𝑎, 0) цэг дээр төвтэй 𝑟 радиустай тойрог дээр орших 𝑃 цэгүүд байна. Бусад бүх тохиолдолд шийдийг дүрслэхээс гадна тодорхой жишээ бодох хэрэгтэй.

3. |𝑧 − 𝑧1| = 𝑟; |𝑧 − 𝑧1| > 𝑟; |𝑧 − 𝑧1| < 𝑟

𝑧1 тооны геометр дүрслэлийг 𝐴 цэг гэвэл |𝑧 − 𝑧1| = 𝑟 тэгшитгэлийн шийд нь 𝐴 цэг дээр төвтэй, 𝑟 радиустай тойргийн цэгүүд байхыг дүгнэх хэрэгтэй. Мөн бусад бүх тохиолдолд шийдийг дүрсэлж тухайн тохиолдолд бодно. 4. |𝑧 − 𝑎| = |𝑧 − 𝑏| 𝐴(𝑎, 0); 𝐵(𝑏, 0) гэвэл |𝑧 − 𝑎| = |𝑧 − 𝑏| тэгшитгэлийн шийдийн олонлог нь 𝐴𝐵 -ийн дунджийг дайрсан, 𝐴𝐵-д перпендикуляр шулуун дээр орших цэгүүдийн олонлог байхыг дүгнэх. Мөн энэ хэлбэрийн тэнцэтгэл бишүүдийн шийдийг дүрслээд тухайн тохиолдолд бодлого бодно. 5. |𝑧 − 𝑧1| = |𝑧 − 𝑧2|; (|𝑧 − 𝑧1| > |𝑧 − 𝑧2|; |𝑧 − 𝑧1| <|𝑧 − 𝑧2|) . Энэ бодлого нь 4-р бодлогын өргөтгөл юм. 𝑧1

тооны геометр дүрслэлийг 𝐴 цэгээр, 𝑧2 тооны геометр

дүрслэлийг 𝐵 цэгээр дүрсэлбэл 𝑧 − 𝑧1 = 𝐴𝑃 ; 𝑧 − 𝑧2 =

𝐵𝑃 байна. Иймээс 𝑃 цэгийн геометр байр нь 𝐴𝐵-д

перпендикуляр, 𝐴𝐵 хэрчмийн дунджийг дайрсан шулуун байна. Багшийн анхаарах зүйл. Геометр дүрслэлийг хийх, мөн дүгнэлт гаргахад багш дэмжлэг үзүүлэх нь зүйтэй. Тухайн тохиолдолд бодлого бодох, бодлого зохиож бодох хэрэгтэй.

V БҮЛЭГ. ОГТОРГУЙ ДАХЬ ВЕКТОР

Хүрэх үр дүн. Огторгуй дах шулуун ба хавтгайн гэгшитгэлийг бичих, тэдгээрийн харилцан байршил, хоорондох өнцгийг тооцох чадвартай болно.



12.5а*.

Огторгуйн координатын системд шулууныг

𝑟 = �� + 𝑡�� хэлбэрээр илэрхийлж бичих, шулууны тэгшитгэлийн

𝑟, 𝑎, 𝑡, 𝑏 тэмдэгтүүдийн утгыг ойлгох

Үйл ажиллагаа 1. Шулууны вектор тэгшитгэл

Бидэнд 𝑀0 цэг болон �� вектор өгөгдсөн байг. Тэгвэл

𝑀0 цэгийг дайрсан, �� вектортой параллел 𝑙 шулууны тэгшитгэлийг олъё.

Бид 𝑙 шулуун дээр дурын 𝑀 цэг сонгон авья. О𝑀0 = ��,

О𝑀 = 𝑟 гэсэн радиус векторууд татья. Эндээс �� +

𝑀0𝑀 = 𝑟 болох ба 𝑀0𝑀 векторыг олвол 𝑀0𝑀 = 𝑟 − ��

байна. 𝑀0𝑀 ба �� векторууд коллиняр тул 𝑀0𝑀 = 𝑡��

байх 𝑡 тоо олдоно (𝑡-г параметр гэнэ). Эндээс

орлуулбал 𝑟 − �� = 𝑡�� буюу 𝑟 = �� + 𝑡�� болно. Энэ тэгшитгэлийг огторгуйн шулууны вектор тэгшитгэл гэнэ. Шулуунтай параллел тэгээс ялгаатай векторыг уг шулууны чиглүүлэгч вектор гэж нэрлэнэ. Жишээлбэл,

өмнөх бодлогод авч үзсэн �� нь 𝑟 = �� + 𝑡�� шулууны чиглүүлэгч вектор болно. Шулуунд перпендикуляр, тэгээс ялгаатай векторыг уг шулууны нормал вектор гэж нэрлэнэ. Шулууны нормал

векторыг ихэвчлэн �� –ээр тэмдэглэдэг.

Багшийн ном: “Математик X-XII”, Хуудас 112 – 113

25

Хэрэв �� = (𝑚, 𝑛, 𝑝), 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) бол 𝑟 =

�� + 𝑡�� тэгшитгэлээс

{

𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑚𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑛𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑝

хэлбэртэй тэгшитгэл гарна. Систем тэгшитгэлээс

𝑡 =𝑥 − 𝑥0

𝑚, 𝑡 =

𝑦 − 𝑦0

𝑛, 𝑡 =

𝑧 − 𝑧0

𝑝

болох ба 𝑡-ээр тэнцүүлбэл 𝑥 − 𝑥0

𝑚=

𝑦 − 𝑦0

𝑛=

𝑧 − 𝑧0

𝑝

хэлбэртэй тэгшитгэл үүснэ.

Огторгуйн аливаа 𝑙 шулууныг түүн дээр орших хоёр цэгээр бүрэн тодорхойлж болно.

Бидэнд 𝑀1 ба 𝑀2 цэг өгөгдсөн байг. Тэгвэл эдгээр

цэгийг дайрсан 𝑙 шулууны тэгшитгэлийг олъё.

𝑀1 цэгийг координатын эхтэй холбож О𝑀1 = ��, 𝑀2

цэгийг координатын эхтэй холбож О𝑀2 = с гэсэн радиус

векторууд татья. Эндээс с + 𝑀2𝑀1 = �� болох ба

𝑀2𝑀1 векторыг олвол 𝑀2𝑀1

= �� − 𝑐 байна. 𝑀2𝑀1

вектор нь 𝑙 шулуун дээр орших тул уг шулууны

чиглүүлэгч вектор болно. Эндээс 𝑟 = �� + 𝑡�� шулууны

тэгшитгэлд чиглүүлэгч векторыг орлуулбал 𝑙 шулууны тэгшитгэл 𝑟 = �� + 𝑡(�� − 𝑐) хэлбэртэй байна. Жишээ 1. (1, 3, 2), (4, −1, 5) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт. Өгөгдсөн цэгүүдийн радиус вектор нь харгалзан (1, 3, 2), (4, −1, 5) координаттай болно. Эдгээр векторын

ялгавар вектор нь 𝑙 шулууны чиглүүлэгч вектор байна.

Иймд 𝑟 = 𝑖 + 3𝑗 + 2𝑘 + 𝑡((𝑖 + 3𝑗 + 2𝑘) − (4𝑖 − 𝑗 + 5𝑘)) =

𝑖 + 3𝑗 + 2𝑘 + 𝑡(−3𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘) байна.

12.5б*. Огторгуй дахь хоёр шулууны харилцан байршлыг тодорхойлох (параллел,огтлолцох, солбисон)


Хоёр шулууны тэгшитгэл 𝑟1 = ��1 + 𝑡��1 ба 𝑟2 = ��2 + 𝑠��2 хэлбэрээр өгөгдсөн байг. Огторгуйд хоёр шулуун дараах 3 байдлаар байршина. а. Параллел

𝑟1 ба 𝑟2 шулуунууд параллел нөхцөл нь уг

шулуунуудын чиглүүлэгч ��1 , ��2 векторууд коллиняр

тул ��1 = 𝑘 ∙ ��2 нөхцөлийг хангана. б. Огтлолцсон

Хэрэв эдгээр шулуунууд огтлолцдог бол 𝑟1 = 𝑟2 буюу

��1 + 𝑡��1 = ��2 + 𝑠��2 байх 𝑡 ба 𝑠 нэг утгатай олдох

ёстой. Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл 𝑟1 = (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 ) +𝑡(𝑚1𝑖 + 𝑛1𝑗 + 𝑝1𝑘 ) ба 𝑟2 = (𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 ) +𝑠(𝑚2𝑖 + 𝑛2𝑗 + 𝑝2𝑘 ) хэлбэртэй өгөгдсөн гэвэл

{

𝑥1 + 𝑡𝑚1 = 𝑥2 + 𝑠𝑚2

𝑦1 + 𝑡𝑛1 = 𝑦2 + 𝑠𝑛2

𝑧1 + 𝑡𝑝1 = 𝑧2 + 𝑠𝑝2

гурван тэгшитгэлийн систем үүснэ. Энэ тэгшитгэлийн

систем 𝑡 ба 𝑠-ийн хувьд шийдтэй байх нь огтлолцох нөхцөл болно. в. Солбисон Хэрэв өмнөх тохиолдолтой адилаар бодвол

{

𝑥1 + 𝑡𝑚1 = 𝑥2 + 𝑠𝑚2

𝑦1 + 𝑡𝑛1 = 𝑦2 + 𝑠𝑛2

𝑧1 + 𝑡𝑝1 = 𝑧2 + 𝑠𝑝2

Багшийн ном: “Математик X-II”, Хуудас 114 – 116

26

тэгшитгэлийн систем үүснэ. Энэ тэгшитгэлийн систем 𝑡

ба 𝑠-ийн хувьд шийдгүй байх нь солбисон байх нөхцөл болно.

12.5в*. Хоёр

шулууны хоорондох өнцгийг олох, хэрэв огтлолцсон бол түүний огтлолцлын цэгийг олох

Үйл ажиллагаа 1. Огторгуйд өгөгдсөн хоёр шулууны

хоорондох өнцгийг олох асуудлыг авч үзьё. 𝑙1, 𝑙2 шулуунууд харгалзан

𝑥 − 𝑥1

𝑚1=

𝑦 − 𝑦1

𝑛1=

𝑧 − 𝑧1

𝑝1,𝑥 − 𝑥2

𝑚2=

𝑦 − 𝑦2

𝑛2=

𝑧 − 𝑧2

𝑝2

тэгшитгэлээр өгөгдсөн байг. Эдгээр шулуунуудын хоорондох өнцгийг олох нь чиглүүлэгч векторуудын

хоорондох өнцгийг олохтой ижил. Иймд 𝑙1, 𝑙2 шулууны

чиглүүлэгч векторуудыг бичвэл харгалзан 𝑎1 =(𝑚1, 𝑛1, 𝑝1), 𝑎2 = (𝑚2, 𝑛2, 𝑝2) болно. Эндээс уг векторуудын хоорондох өнцөг нь

cos 𝜑 =𝑚1𝑚2 + 𝑛1𝑛2 + 𝑝1𝑝2

√𝑚12 + 𝑛1

2 + 𝑝12 ∙ √𝑚2

2 + 𝑛22 + 𝑝2

2

болох бөгөөд энэ нь хоёр шулууны хоорондох өнцгийн хэмжээтэй тэнцүү байна.

Жишээ 2. 𝑟1 = (𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘 ) + 𝑡(𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 ) ба 𝑟2 =(2 + 2𝑠)𝑖 + (4 + 𝑠)𝑗 + (6 + 3𝑠)𝑘 шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт. Хэрэв хоёр шулууны хоорондох өнцгийн хэмжээ

𝛼 гэвэл (𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 )(2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘) = |𝑖 − 𝑗 − 2𝑘||2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘|𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼 =(𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 )(2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘)

|𝑖 − 𝑗 − 2𝑘||2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘|

=2 − 1 − 6

√12 + 12 + 22√22 + 12 + 32=

−5

2√21


12.5г*. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 эсвэл (𝑟 −��, ��) = 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх хавтгайн тэгшитгэлийг ойлгох, бичих

Үйл ажиллагаа 1. Хавтгайн тэгшитгэлийг олох Хавтгайн тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар тодорхойлж болно. Тухайлбал, а. Нэг шулуун дээр үл орших гурван цэгийг дайруулан цор ганц хавтгай байгуулж болно. Эдгээр гурван цэгээр хавтгайг тодорхойлно. б. Нэг цэгээр огтлолцсон хоёр шулууныг дайруулан цор ганц хавтгай байгуулж болно. Огтлолцсон хоёр шулуунаар хавтгайг тодорхойлно. в. Өгсөн чиглэлд перпендикуляр, координатын эхээс өгсөн зайнд цор ганц хавтгай байгуулж болно. Хавтгайн нормаль ба координатын эхээс хавтгай хүртлэх зайгаар хавтгайг тодорхойлно. г. Өгсөн цэг болон тухайн чиглэлд перпендикуляр цор ганц хавтгайг байгуулж болно. Хавтгай дээр орших цэг болон нормалаар хавтгайг тодорхойлно д. Хавтгайн вектор тэгшитгэл

Бидэнд 𝛼 хавтгай дээр орших 𝑀0 цэг болон хавтгайд перпендикуляр �� вектор өгөгдсөн байг. Тэгвэл уг хавтгайн тэгшитгэлийг олъё.

Бид 𝛼 хавтгай дээр дурын 𝑀 цэг сонгон авья.

𝑀0 цэгийг координатын эхтэй холбож О𝑀0 = ��, М

цэгийг координатын эхтэй холбож О𝑀 = 𝑟 гэсэн радиус

векторууд татья. Эндээс �� + 𝑀0𝑀 = 𝑟 болох ба 𝑀0𝑀

векторыг олвол 𝑀0𝑀 = 𝑟 − �� байна. 𝑀0𝑀 ба �� векторууд перпендикуляр тул (��, 𝑟 − ��) = 0 байх ба энэ

тэгшитгэлийг 𝛼 хавтгайн вектор тэгшитгэл гэнэ. (��, 𝑟 −��) = 0 хэлбэртэй хавтгайн вектор тэгшитгэлийг (��, 𝑟) =(��, ��) хэлбэртэй бичиж болно.


27

Хавтгайд перпендикуляр, тэгээс ялгаатай векторыг уг хавтгайн нормал вектор гэж нэрлэнэ. Хавтгайн нормал

векторыг ихэвчлэн �� –ээр тэмдэглэдэг. Хэрэв �� = (𝐴, 𝐵, 𝐶), 𝑀𝑜(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜), 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) бол тэгшитгэл дараах хэлбэртэй бичигдэнэ.

А(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0) = 0 хаалт задалж эмхэтгэж −(𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0) = 𝐷 гэж орлуулга хийвэл

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 тэгшитгэл үүсэх бөгөөд энэ тэгшитгэлийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэнэ. Жишээ 3. 𝐴(1, 1, 0), 𝐵(0,2, 2), 𝐶(−1,0, 2) цэгүүдийг агуулсан хавтгайн тэгшитгэл бич.

Бодолт. Арга1: Хавгайн ерөнхий тэгшитгэл 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +𝑐𝑧 = 𝑑 хэлбэртэй ба А, В, С цэгүүд нь уг хавтгайд агуулагдаж байгаа тул эдгээр цэгийн координат хавтгайн тэгшитгэлийг хангана. Иймд хавтгайн тэгшитгэлд цэгүүдийг орлуулбал:

𝑎 + 𝑏 = 𝑑 [1] 𝐴 цэгийг

2𝑏 + 2𝑐 = 𝑑 [2] В цэгийг −𝑎 + 2𝑐 = 𝑑 [3] С цэгийг

[1] + [3] эндээс 𝑏 + 2𝑐 = 2𝑑 тэгшитгэлээс [2] тэгшитгэлийг хасвал – 𝑏 = 𝑑 болно. Эндээс 𝑎 = 2𝑑, 𝑐 =3

2𝑑 тэгшитгэлд орлуулбал 2𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 +

3

2𝑑𝑧 = 𝑑 буюу

4𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 болно.

Арга2: Хавтгайн нормаль векторыг (𝑥𝑦𝑧

) гэж тэмдэглэе.

�� − �� = (022) − (

110) = (

−1

12

)

ба 𝑐 − �� = (−102

) − (110) = (

−2−1 2

)

векторууд нь хавтгайтай параллел тул нормаль векторт

перпендикуляр байна. Иймд (𝑥𝑦𝑧) (

−1

12

) ба (𝑥𝑦𝑧) (

−2−1 2

) нь

тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс

{−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0

−2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 болно. −3𝑥 + 4𝑧 = 0, 𝑥 =

4𝑧

3 орлуулбал −

4𝑧

3+ 𝑦 + 2𝑧 = 0 эндээс 𝑦 = −

2𝑧

3

болно. (𝑥𝑦𝑧) = (

4𝑧

3

−2𝑧

3𝑧

) = 𝑧 (

4

3

−2

3 1

)

𝑧 = 1 үед 4

3𝑥 −

2

3𝑦 + 𝑧 = 𝑘 тэгшитгэл бичигдэх бөгөөд

𝐴(1, 1, 0) цэг нь хавтгай дээр орших тул тэгшитгэлд

орлуулбал 𝑘 =2

3 болох буюу

4

3𝑥 −

2

3𝑦 + 𝑧 =

2

3хуваариас

чөлөөлвөл 4𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 болно.

12.5д*. Зай, өнцөг, байршилтай холбоотой асуудал шийдвэрлэхэд хавтгай, шулууны тэгшитгэлийг хэрэглэх , Тухайлбал, Хангалттай мэдээлэл өгсөн тохиолдолд шулуун ба

Үйл ажиллагаа 1. Шулууны тэгшитгэл Огторгуйд өгсөн шулууны тэгшитгэлийг тодорхойлоход: 1.Шулуун дээрх нэг цэг болон чиглүүлэгч вектор 2.Шулуун дээрх хоёр цэг гэсэн мэдээллүүд хэрэгтэй.

Жишээ 4. 𝐴(−2, 4, −5) цэгийг дайрах, 𝑥+2

3=

𝑦−3

5=

𝑧+5

6

тэгшитгэл бүхий шулуунтай параллел шулууны тэгшитгэлийг ол.

Бодолт: Өгсөн шулууны чиглүүлэгч вектор нь �� = (356) ба

энэ нь бас бидний олох шаардлагатай шулууны

чиглүүлэгч болно. Эндээс шулууны тэгшитгэл 𝑥+2

3=

𝑦−4

5=

𝑧+5

6 болно.

Үйл ажиллагаа 2. Хавтгайн тэгшитгэл

Багшийн ном: “Математик X-XII”,

Хуудас 120 – 125

28

хавтгайн тэгшитгэл бичих - Шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг тодорхойлох (шулуун нь хавтгай дээр орших, шулуун нь хавтгайтай параллел байх, шулуун нь хавтгайтай огтлолцох, энэ үед огтлолцлын цэгийг олох) -Параллел биш хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууныг олох, тэгшитгэл бичих - Цэгээс шулуун хүртэлх зай, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох - Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг, шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

Огторгуй дахь хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлоход: 1.Хавтгай дээр орших нэг цэг болон хавтгайн нормаль вектор 2.Хавтгай дээр орших нэг шулуун дээр үл орших биш 3 цэг гэсэн мэдээллүүд хэрэгтэй.

Жишээ 5. 𝐴0(2, −3, 1) цэгийг агуулсан, �� = (3, −2,5) нормаль вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичээрэй. Бодолт: I арга: 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) нь хавтгай дээрх дурын цэг

байг. Тэгвэл 𝐴0𝐴 = (𝑥 − 2, 𝑦 + 3, 𝑧 − 1) нь хавтгай дээрх вектор болно.

�� ∙ 𝐴0𝐴 = 0 гэдгээс (3, −2,5) ∙ (𝑥 − 2, 𝑦 + 3, 𝑧 − 1) = 0 3(𝑥 − 2) − 2(𝑦 + 3) + 5(𝑧 − 1) = 0

3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 − 17 = 0 б. Коллинеар биш (нэг шулуун дээр үл орших) 3 цэгийг дайруулж цор ганц хавтгай татаж болдог. Иймд өгсөн 3 цэгээр нэг хавтгайг тодорхойлж болно. Жишээ 6. 𝐴(−3, −1, −2), 𝐵(4,6,2), 𝐶(5, −4,1) цэгүүдийг агуулсан хавтгайн тэгшитгэлийг ол.

Бодолт: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 хавтгайн тэгшитгэлд

𝐴, 𝐵, 𝐶 цэгүүдийн координатуудыг орлуулбал дараах тэгшитгэлүүд үүснэ.

−3𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 + 𝑑 = 0 (1) 4𝑎 + 6𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = 0 (2)

5𝑎 − 4𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0 (3)

(1) дээр (2)-ыг нэмбэл 𝑎 + 5𝑏 + 2𝑑 = 0 (4) тэгшитгэл гарна. (3)-ыг 2-оор үржүүлж, (2) дээр нэмбэл −6𝑎 +14𝑏 − 𝑑 = 0 (5) тэгшитгэл гарна.

(4)-ийг 6-аар үржүүлж, (5) дээр нэмбэл 𝑏 = −1

4𝑑 болно.

Үүнийг (4)-т орлуулж, 𝑎-г олбол 𝑎 = −3

4𝑑 гарна.

Цаашилбал 𝑐 =7

4𝑑 гарна.

Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн 𝑎, 𝑏, 𝑐 коэффициентүүдийг 𝑑-ээс хамааруулж олсон.

𝑎 = −3

4𝑑, 𝑏 = −

1

4𝑑, 𝑐 =

7

4𝑑 Эдгээрийг хавтгайн

тэгшитгэлдээ орлуулбал

−3

4𝑑𝑥 −

1

4𝑑𝑦 +

7

4𝑑𝑧 + 𝑑 = 0 буюу 3𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 − 7𝑑𝑧 − 4 = 0

болно.

Хэрэв 𝑑 = 0 бол 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 болно. Энэ нь боломжгүй.

Хэрэв 𝑑 ≠ 0 бол 3𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 − 7𝑑𝑧 − 4 = 0 тэгшитгэлийн тэнцүүгийн тэмдгийн хоёр талыг 𝑑-д хуваавал 3𝑥 + 𝑦 −7𝑧 − 4 = 0 хавтгайн тэгшитгэл гарна. в. Огтлолцсон 2 шулууныг агуулсан агуулсан цор ганц хавтгай татаж болно. Иймд огтлолцсон 2 шулуунаар нэг хавтгайг тодорхойлж болно. Жишээ 7. 𝑙1: 𝑟 = 3𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 + 𝑡(2𝑖 − 5𝑗 + 𝑘) ба 𝑙2: 𝑟 =𝑖 + 9𝑗 + 𝑡(−3𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘) шулуунуудыг агуулсан хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт: Хоёр шулууныг агуулсан хавтгай байхын тулд тэр хоёр шулуун параллел эсвэл огтлолцсон байна. Иймд эхлээд өгсөн хоёр шулуун параллел эсвэл огтлолцсон эсэхийг мэдэх хэрэгтэй. Үүний тулд чиглүүлэгч векторуудыг авч үзье. 𝑙1 шулууны чиглүүлэгч вектор 𝑚1 = (2, −5, 1) 𝑙2 шулууны чиглүүлэгч вектор 𝑚2 = (−3, 2, 4). Чиглүүлэгч векторууд параллел биш тул хоёр шулуун параллел биш байна. Тэгвэл шулуунууд огтлолцсон гэдгийг харах хэрэгтэй болж байна.

29

𝑙1 : {𝑥 = 3 + 2𝑡𝑦 = 4 − 5𝑡𝑧 = 1 + 𝑡

𝑙2 : {𝑥 = 1 − 3𝑠𝑦 = 9 + 2𝑠

𝑧 = 4𝑠

Шулуунуудын параметрт тэгшитгэлээс 𝑡 = −1, 𝑠 = 0 гарна. 𝑥: 3+2(−1)=1−3∙0

1=1 гэдгээс хоёр шулуун огтлолцоно.

Эндээс огтлолцлын цэгийн координатыг олбол

{𝑥 = 3 + 2 ∙ (−1) = 1𝑦 = 4 − 5(−1) = 9

𝑧 = 1 + (−1) = 0

болно. Өөрөөр хэлбэл хоёр шулуун (1, 9, 0) цэгээр огтлолцоно. Одоо эдгээр шулууныг агуулсан хавтгайн тэгшитгэл бичье. Шулуунуудын чиглүүлэгч вектор нь эдгээр шулуунуудыг агуулсан хавтгайн нормаль вектор болно. Иймд шулуунуудын чиглүүлэгч векторуудын вектор үржвэрийг олъё.

𝑚1 × 𝑚2 = (−22, −11, −11) буюу хавтгайн нормаль вектор �� = (2, 1, 1) болж байна.

Эцэст нь �� = (2, 1, 1) нормаль вектортой, (1, 9, 0) цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл бичвэл:

2(𝑥 − 1) + 1(𝑦 − 9) + 1(𝑧 − 0) = 0

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 11 = 0 болно. Үйл ажиллагаа 3. Шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг тодорхойлох (шулуун нь хавтгай дээр орших, шулуун нь хавтгайтай параллел байх, шулуун нь хавтгайтай огтлолцох, энэ үед огтлолцлын цэгийг олох) Огторгуй дахь шулуун нь хавтгайтай огтлолцсон, эсвэл хавтгайд агуулагдсан, эсвэл хавтгайтай параллел байж боолно. а. Шулуун хавтгай хоёр нэг цэгээр огтлолцож болно. Шулуун нь хавтгайтай параллел биш байвал шулуун хавтгай хоёр огтлолцсон байна. Шулуун хавтгай хоёр огтлолцсон байвал шулууны чиглүүлэгч вектор, хавтгайн нормаль вектор хоёрын скаляр үржвэр тэгээс

ялгаатай байна. Өөрөөр хэлбэл (��, ��) ≠ 0 байна.

б. Хэрэв шулуун нь хавтгай дээр оршиж байвал шулуун дээрх бүх цэгээрээ хавтгайтай огтлолцож байна гэнэ.

Хэрэв 𝑟 = 𝑎 + 𝑡𝑏 шулуун дээрх дурын хоёр цэг нь 𝛼

хавтгай дээр оршиж байвал уг шулуун 𝛼 хавтгайд агуулагдаж байна гэнэ. Бид шулуун дээрх дурын хоёр цэгийн радиус векторыг олохын тулд шулууны

тэгшитгэлийн 𝑡-ийн оронд дурын хоёр утга тавина. Хэрэв эдгээр хоёр радиус вектор нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангаж байвал шулуун хавтгайд агуулагдана. в. Хэрэв шулуун нь хавтгайтай параллел байж болно. Тэгвэл шулуун, хавтгай хоёр огтлолцохгүй.

𝑟 = 𝑎 + 𝑡𝑏 тэгшитгэл бүхий шулуун нь 𝑏-тэй параллел байг. Хэрэв �� нь 𝛼 хавтгайд перпендикуляр вектор бол

энэ шулуун нь хавтгайтай параллел байна. Иймд 𝑏 бас

�� вектортой перпендикуляр байна. Тэгвэл (��, ��) = 0

байна. Жишээ 8. Хавтгай шулууны огтлолцох эсэхийг тодорхойлоход вектор хэрэглэх Бодолт: а. 𝑙: 𝑟 = (2, −5,3) + 𝑡(3, 2, 1)

30

𝛼: 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −6 Шулууны чиглүүлэгч вектор �� = (3,2,1) ба хавтгайн нормаль вектор �� = (3, −1,1). Энэ хоёр векторын скаляр үржвэрийг олбол: �� ∙ �� = 3 ∙3 + 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 1 = 8. �� ∙ �� = 8 буюу скаляр үржвэр тэгээс ялгаатай гарсан тул энэ хоёр вектор перпендикуляр биш. Түүнчлэн шулуун ба хавтгай нь параллел биш, тэдгээр нь огтлолцох болж байна. Үйл ажиллагаа 4. Параллел биш хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууныг олох Огторгуйд хоёр хавтгай 3 янзаар харилцан байршиж болно. Тэдгээр нь параллел, дахцсан эсвэл огтлолцсон байна. Хавтгайнуудын хоорондын харилцан байршлыг тодорхойлоход тэдгээрийн нормал векторуудыг авч үзэх хэрэгтэй. Хэрэв хоёр хавтгайн нормал векторууд параллел байвал тэдгээр нь давхацсан эсвэл параллел байна. Хэрэв нормал векторууд параллел биш байвал тэдгээр нь хоёр хавтгайд зэрэг харьяалагдах цэгүүдийн олонлог болох огтлолцлын шулуунаар огтлолцоно. Хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууны тэгшитгэлийг бичихэд хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг зэрэг хангадаг

цэгүүдийн олонлогийг олох хэрэгтэй.Иймд 𝛼: 𝑎1𝑥 +𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0, 𝛽: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

хавтгайнуудын хувьд {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

систем

нь шулууны тэгшитгэл болно.

Огторгуйд 𝛼: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0

𝛽: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0 хавтгайнууд авч үзье. Тэдгээрийн нормал векторууд харгалзан 𝑛1 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1), ба 𝑛2 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) байг. Огторгуйд хэзээ ч огтлолцохгүй хавтгайнуудыг параллел хавтгайнууд гэдэг.

Хэрэв 𝛼, 𝛽 хавтгайнууд хоорондоо параллел бол тэдгээрийн нормаль векторууд хоорондоо параллел байна.

Өөрөөр хэлбэл 𝛼 ∥ 𝛽 гэдгээс 𝑛1 ∥ 𝑛2 байна. Эндээс 𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2=

𝑐1

𝑐2 байна.

Харин 𝑐1

𝑐2=

𝑑1

𝑑2 үед хоёр хавтгай давхацна.

Иймд хоёр хавтгай хоорондоо параллел байх нөхцөл нь 𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2=

𝑐1

𝑐2,

𝑐1

𝑐2≠

𝑑1

𝑑2 боллоо.

Хэрэв 𝛼, 𝛽 хавтгайнууд перпендикуляр бол тэдгээрийн нормаль векторууд перпендикуляр бөгөөд скаляр үржвэр нь тэг байна.

Өөрөөр хэлбэл 𝑛1 ⊥ 𝑛2 гэдгээс (𝑛1, 𝑛2) = 0 буюу 𝑎1 ∙𝑏1 + 𝑎2 ∙ 𝑏2 + 𝑐1 ∙ 𝑐2 = 0 боллоо.

Жишээ 9. 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 5 = 0, 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 тэгшитгэл бүхий хавтгайнуудын огтлолцлын шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт: Огтлолцлын шулуун дээр орших (𝑎, 𝑏, 𝑐) координаттай дурын цэг өгсөн хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг хангана гэдгээс

2𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 − 5 = 0

2𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 − 1 = 0 болох ба энэ хоёр тэгшитгэлийг

нэмбэл 4𝑎 + 5𝑐 = 6 гарна. Энд 𝑎 = 4 гэвэл 4 ∙ 2 + 5𝑐 = 6 гэдгээс 𝑐 = −2 болох ба

2 ∙ 4 − 𝑏 + 3 ∙ (−2) − 5 = 0 гэдгээс 𝑏 = −3 гарна. Өөрөөр

31

хэлбэл (4, −3, −2) координаттай цэг огтлолцлын шулуун дээр орших цэг байна. Энэ шулуун дээр орших өөр нэг цэгийн координатыг олъё. Үүний тулд

𝑎 = 9 гэвэл 4 ∙ 9 + 5𝑐 = 6 гэдгээс 𝑐 = −6 болох ба 2 ∙9 − 𝑏 + 3 ∙ (−6) − 5 = 0 гэдгээс 𝑏 = −5 гарна. (9, −5, −6) цэг хоёр хавтгайн огтлолцлын шулуун дээр орших цэг байна. (4, −3, −2), (9, −5, −6) цэгүүд нь хоёр хавтгайн огтлолцлын шулуун дээр оршино. Тэгвэл энэ шулууны тэгшитгэл бичвэл:

Шулууны радиус вектор (9−4

−5−(−3)−6−(−2)

) = (5

−2−4

) гэдгийг

ашиглавал 𝑟 = (4, −3, −2) + 𝑡(5, −2, −4) болно. Үйл ажиллагаа 5. Цэгээс шулуун хүртэлх зай, цэгээс

хавтгай хүртэлх зайг олох а. Хэрэв цэг шулуун дээр оршихгүй байвал уг шулуунаас хэр хол байна вэ? гэсэн асуулт гарч ирнэ. Цэгээс шулуун хүртэлх зай гэдэг бол цэг ба шулууны хоорондох хамгийн богино зай юм. Тэр хамгийн богино зай нь цэгээс шулуунд буулгасан перпендикулярын урт байна. Харин одоо огторгуй дахь шулуунаас өгсөн цэг хүртэлх зайг дараах байдлаар томьёолоод жишээ бодлого бодуулаарай.

𝑟 = 𝑎 + 𝑡𝑏 тэгшитгэлтэй 𝑙 шулуун, түүний гадна орших

𝑃 цэг өгсөн байг. 𝑃 цэгийн радиус вектор 𝑝. Тэгвэл 𝑃 цэгээс 𝑙 шулуун хүртэлх зай буюу 𝑃 цэгээс 𝑙 шулуунд буусан перпендикулярын уртыг олъё. Үүний

тулд эхлээд 𝑃𝑀 нь 𝑙 шулуунд перпендикуляр байх

тийм 𝑀 цэгийг шулуун дээр олох хэрэгтэй.

𝑟 нь шулуун дээрх дурын цэгийн радиус вектор. Тэгвэл дурын 𝑀 цэгийн хувьд

𝑃𝑀 = 𝑟 − 𝑝 байна. Энд 𝑟 = 𝑎 + 𝑡𝑏 гэдгийг анхаарвал

𝑃𝑀 = 𝑎 + 𝑡𝑏 − 𝑝.

𝑃𝑀 вектор нь шулуунд перпендикуляр гэдгээс

𝑃𝑀 вектор шулууны чиглүүлэгч вектор �� хоёрын скаляр үржвэр тэгтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл

(𝑃𝑀 , ��) = 0.

Эндээс (𝑎 + 𝑡𝑏 − 𝑝, 𝑏) = 0 болж, 𝑡-ийн утгыг олж болно.

𝑡-ийн утгыг ашиглан 𝑃𝑀 векторын уртыг олж болох

бөгөөд энэ нь 𝑃 цэгээс 𝑙 шулуун хүртэлх зай болно. Үүнийг дараах жишээгээр тайлбарлаж болно.

Жишээ 10. 𝑃(−6, 1, 21) цэгээс 𝑙: 𝑥+4

3=

𝑦+5

1=

𝑧+1

1 шулуун

хүртэлх зайг ол.

Бодолт: 𝑙 шулуун, түүний гадна орших 𝑃 цэгээс уг

шулуун хүртэлх зайг олъё. 𝑙 шулуунд перпендикуляр, 𝑃

цэгийг агуулах 𝛼 хавтгай авья. 𝛼 хавтгай нь 𝑙 шулуунтай 𝑀 цэгээр огтлолцдог гэвэл 𝑃-ээс 𝑀 хүртэлх зай нь бидний олох зай болно.

𝑙 шулууны чиглүүлэгч вектор �� = (311) бөгөөд энэ нь 𝛼

хавтгайн нормаль вектор болно. 𝛼 хавтгайн тэгшитгэл бичвэл:

(311) (

𝑥𝑦𝑧

) = (311) (

−61

21) буюу 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 болно. Одоо

хавтгай, шулууны огтлолцлын 𝑀 цэгийн координатыг олъё. Үүний тулд дараах тэгшитгэлийг систем бодно.

32

{3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4𝑥+4

3=

𝑦+5

1=

𝑧+1

1

Энэ нь гурван хувьсагчтай 2

тэгшитгэлийн систем байна. Шийдийг

олохын тулд 𝑡 параметр оруулъя. 𝑥+4

3=𝑡

𝑦+5

1=𝑡

𝑧+1

1=𝑡

гэдгээс 𝑥=3𝑡−4𝑦=𝑡−5𝑧=𝑡−1

болно. Үүнийг хавтгайн тэгшитгэлдээ орлуулбал

3(3𝑡 − 4) + (𝑡 − 5) +(𝑡 − 1) = 4 𝑡 = 2 болох ба улмаар хавтгай дээрх 𝑀 цэгийн

координат 𝑥=3∙2−4𝑦=2−5𝑧=2−1

буюу 𝑀(2, −3, 1) болно.

б. Хэрэв шулуун хавтгай хоёр параллел буюу огтлолцохгүй байвал тэдгээр нь бие биенээсээ хэр хол байна вэ? гэсэн асуулт гарч ирнэ. Энэ зай нь цэгээс хавтгайд буулгасан перпендикулярын урт болно.

𝑃 цэгээс 𝛼 хавтгай хүртэлх зайг тооцоолъё.

𝑒 нь хавтгайн нэгж нормал вектор. 𝑃 цэгийг хавтгай

дээр орших дурын 𝑄 цэгтэй холбоё. Нормал векторын суурийг 𝑅 гэвэл 𝑃 цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь 𝑃𝑅 болно. Энэхүү зайг дээрх өгөгдлүүдийг ашиглан олохын тулд эхлээд нэгж векторын уртыг дараах байдлаар илэрхийлье.

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 хавтгайн нормаль вектор �� =(𝐴, 𝐵, 𝐶) байна.

𝑒 =��

|��|=

(𝐴,𝐵,𝐶)

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

𝑃 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ); 𝑄 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ); гэвэл 𝑄𝑃 = (𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 −𝑦0, 𝑧1 − 𝑧0 ) болно.

𝑃 цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь нөгөө талаас нормаль

вектор дээрх 𝑄𝑃 векторын проекц болно. Иймд энэ зай нь 𝑄𝑃 вектор болон �� нэгж нормаль векторын скаляр үржвэрээр тодорхойлогдоно.

𝑑 = |𝑃𝑄 ∙ ��| = |(𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0, 𝑧1 − 𝑧0 ) ∙ ��|

=|𝐴(𝑥1 − 𝑥0) + 𝐵( 𝑦1 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧1 − 𝑧0 )|

√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

Энд хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 =0, 𝐷 = −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 –ийг дээрх томьёонд орлуулбал 𝑃(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) цэгээс 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 хавтгай хүртэлх

зайн томьёо дараах хэлбэртэй болно. 𝑑 =|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶𝑧1+𝐷|

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

Үйл ажиллагаа 6. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг,

шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олох а. Шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцөг Зураг дээрх m чиглүүлэгч вектортой шулуун болон n нормаль вектортой хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг

олъё. Хавтгайн нормал вектор нь шулуунтай 𝜃 өнцөг

үүсгэдэг гэвэл бидний олох шаардлагатай 𝜑 өнцөг нь

𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 =|𝑛∙𝑚|

|𝑛|∙|𝑚| буюу 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

|𝑛∙𝑚|

|𝑛|∙|𝑚| байна.

Жишээ:

33

𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = −1 + 3𝑡, 𝑧 = 𝑡 шулуун ба 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8 хавтгайн нормаль вектор 𝑛 = (2

−11

), 𝑥 =

𝑡 + 1, 𝑦 = −1 + 3𝑡, 𝑧 = 𝑡 шулууны чиглүүлэгч вектор 𝑚 =

(131) байна.

𝜑 = arcsin|2∙1+(−1)∙3+1∙1|

|√22+(−1)2+12|∙|√12+32+12|= arcsin

0

√66= arcsin0 =

00 б. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг Хэрэв хоёр хавтгайн нормаль

векторууд 𝑛1 ба 𝑛2 бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг болно. Хоёр хавтгайн хооронд хамар өнцөг

үүсэх учир нөгөө өнцөг нь 1800 − 𝜃

байна. Иймд 𝜃 = arccos|𝑛1∙𝑛2|

|𝑛1|∙|𝑛2|

байна.

Хэрэв хоёр хавтгай перпендикуляр бол 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

гэдгээс 𝐴1𝐴2 + 𝐵1𝐵2 + 𝐶1𝐶2 = 0, харин параллел бол

𝑛1//𝑛2 гэдгээс 𝐴1

𝐴2=

𝐵1

𝐵2=

𝐶1

𝐶2 байна. Хоёр хавтгай

давхацсан бол 𝐴1

𝐴2=

𝐵1

𝐵2=

𝐶1

𝐶2=

𝐷1

𝐷2 байна.

Жишээ: 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −11, 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 2 хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг ол.

3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −11 хавтгайн нормаль вектор 𝑛1 = (3

−11

),

2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 2 хавтгайн нормаль вектор 𝑛2 = (24

−1).

𝜑 = arccos|3 ∙ 2 + (−1) ∙ 4 + 1 ∙ (−1)|

|√32 + (−1)2 + 12| ∙ |√22 + 42 + (−1)2|

= arccos1

√231

Багшид өгөх зөвлөмж. Cурагчидтай харандаа болон цаасаар огторгуй дахь шулуун ба хавтгайг дүрсэлж буйг ярилцаад, дараах асуултанд хариулаарай. Мөн дүрслэлйиг дэвтэрт зуруулна. a. Шулуун болон хавтгай нэг цэгээр огтлолцож байхын тулд ямар байрлалтай байх вэ? б. Шулуун болон хавтгай нь төгсгөлгүй олон цэгээр огтлолцож байхын тулд ямар байрлалтай байх вэ? в. Шулуун болон хавтгай нь огтлолцохгүй байхын тулд ямар байрлалтай байх вэ? Дээрх тохиолдол бүрд шулууны чиглүүлэгч вектор болон хавтгайн нормаль векторууд хоорондоо ямар хамааралтай байх талаар ярилцаарай. Cурагчидтай хавтгайнууд хэрхэн огтлолцдог талаар ярилцаж, цаас ашиглан хавтгайнуудын харилцан байршлын загвар гаргаарай. 1. Хоёр хавтгай өгсөн байг. Тэдгээр нь хэчнээн ялгаатай байдлаар огтлолцох вэ? a. Хавтгайнууд огтлолцохгүй байхын тулд хэрхэн байрлах вэ? б. Хавтгайнууд төгсгөлгүй олон шулуунаар огтлолцохын тулд хэрхэн байрлах вэ? 2. Загвараа ашиглан огтлолцсон хоёр хавтгайг бүтээх аргуудыг төсөөлөн харуул.

34

3. Хоёр хавтгайн огтлолцлыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Энэ тохиололд хоёр нормаль векторыг хэрхэн харьцуулах вэ? Хоёр хавтгай цор ганц цэгээр огтлолцох боломжтой юу? зэрэг асуултын дагуу ярилцаарай.

VI БҮЛЭГ. ТРИГОНОМЕТР

Хүрэх үр дүн. Тригонометр функцийн чанар ашиглан илэрхийлэл, тэгшитгэл бодох чадвартай болно.



12.6а*.Секанс

, косеканс, котангенс функцүүд косинус, синус, тангенс функцүүдтэй ямар хамааралтайг ойлгох, эдгээр 6 функцийн чанарыг хэрэглэн графикийг тоймлон зурах

Үйл ажиллагаа 1. Синус функцийн урвууг косеканс,

косинус функцийн урвууг секанс, тангенс функцийн урвууг котангенс гэж нэрлэдэг болохыг хэлж, тэмдэглэгээг нь бичүүлнэ.

1

sin𝜃= cosec𝜃,

1

cos𝜃= sec𝜃,

1

tg𝜃= ctg𝜃

- 𝒇(𝜽) = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝜽 функцийн графикийг байгуулах Косеканс функц бүх тоон шулуун дээр утгатай юу? гэсэн асуудал дэвшүүлнэ.

𝑦 = cosec𝜃 функцийн графикийг дараах чанарууд дээр тулгуурлан байгуулъя. 1.Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай байх учраас синус функцийн тэгтэй тэнцэх утгууд дээр косеканс функц

утгагүй. Өөрөөр хэлбэл 𝑥 ≠ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ тодорхойлогдох мужтай.

2. Утгын муж нь ]−∞, +∞[. 3. Сондгой функц. 4. Сайн мэдэх синусийн хэдэн утгаа ашиглан утгын

хүснэгтийг байгуулж, ]−𝜋, 𝜋[ хэрчимд харгалзах хэсгийг

зуруулах бөгөөд тодорхойлогдох мужийн бусад завсарт 2 зайтайгаар параллелиар зөөж, давтан зуруулах нь зүйтэй.

- 𝒇(𝜽) = 𝐬𝐞𝐜𝜽 функцийн графикийг байгуулах Секанс функц бүх тоон шулуун дээр утгатай юу? гэсэн асуудал дэвшүүлнэ. 1. Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай байх учраас косинус функцийн тэгтэй тэнцэх утгууд дээр секанс функц утгагүй.

Өөрөөр хэлбэл 𝑥 ≠𝜋

2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ тодорхойлогдох мужтай

2. Утгын муж нь ]−∞, +∞[. 3. Тэгш функц. 4. Сайн мэдэх косинусийн хэдэн утгаа ашиглан утгын

хүснэгтийг байгуулж, ]−𝜋

2,

3𝜋

2[ хэрчимд харгалзах хэсгийг

зуруулах бөгөөд цаашид тодорхойлогдох мужийн бусад

завсарт 2 зайтайгаар параллелиар зөөж, давтан зуруулах нь зүйтэй.

- 𝒚 = 𝐜𝐭𝐠𝒙 функцийн графикийг байгуулах 𝑦 = ctg𝑥 функцийн графикийг дараах чанарууд дээр тулгуурлан байгуулья.

1. Тодорхойлогдох муж нь 𝑥 ≠ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ.

2. Утгын муж нь ]−∞, +∞[. 3. Сондгой функц. 4. Сайн мэдэх котангенсийн хэдэн утгаа ашиглан дараах

хүснэгтийг байгуулж, 𝜋 үндсэн үетэй учраас 𝑦 = ctg𝑥 функцийн графикийн ]0, 𝜋[ хэрчимд харгалзах хэсгийг зуруулна.


35

𝑓(𝑥) = 𝑘 + cosec 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑘 + sec 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑘 + ctg𝑥 хэлбэрийн функцийн график байгуулах бодлого бодуулж дүгнэлт гаргаж болно.

12.6б*.

Тригонометрийн адилтгал, томьёоны гаргалгааг хийх, томьёо хэрэглэх а) Адилтгал:

sec2 𝜃 = 1 + tg2𝜃 ба cosec2𝜃 =1 + cotg2𝜃 б) Нийлбэр, ялгаврын томьёо:

sin(𝐴 ±𝐵) , cos(𝐴 ±𝐵) ба tg(𝐴 ±𝐵), в) Давхар өнцгийн томьёо:

sin 2𝐴, cos 2𝐴 ба tg2𝐴 г) Туслах өнцгийн томьёо:

𝑎 sin 𝜃 +𝑏 cos 𝜃илэрхийллийг 𝑅 sin(𝜃 ±𝛼) , 𝑅 cos(𝜃 ±𝛼) хэлбэрт бичих

Үйл ажиллагаа 1. sec2𝜃 = 1 + tg2𝜃 ба cosec2𝜃 = 1 + ctg2𝜃 томьёоны гаргалгаа хийх.

sin2𝜃 + cos2𝜃 = 1, (1) үндсэн адилтгалын хоёр талыг cos2𝜃

–д хуваавал sin2𝜃

cos2𝜃+

cos2𝜃

cos2𝜃=

1

cos2𝜃 болох ба tg𝜃 =

sin𝜃

cos𝜃

адилтгалыг хэрэглэж tg2𝜃 + 1 = sec2𝜃 томьёог гаргана.

Мөн (1)-ийг sin2𝜃 –д хуваахад sin2𝜃

sin2𝜃+

cos2𝜃

sin𝜃=

1

sin2𝜃 болох

бөгөөд ctg2𝜃 + 1 = cosec2𝜃 томьёог гаргана. Гаргасан томьёонуудаа хэрэглэн бодлого бодно. Үйл ажиллагаа 2. Нийлбэр ялгаврын томьёо

sin(𝛼 + 𝛽), sin𝛼 + sin𝛽 нь өөр гэдгийг тодорхой жишээн дээр

хийх даалгавар өгөөрэй. Мөн cos(𝛼 + 𝛽) нь cos𝛼 + cos𝛽 , tg(𝛼 + 𝛽) нь tg𝛼 + tg𝛽 -гаас ялгаатай гэдгийг харах

шаардлагатай. sin(𝛼 + 𝛽) = sin𝛼cos𝛽 + sin𝛽cos𝛼 (1) болохыг тайлбарлаж ярилцана. sin (𝛼 + 𝛽) = sin𝛼cos𝛽 + sin𝛽cos𝛼 томьёоны 𝛽 -ийн оронд

−𝛽 орлуулаад синус функц сондгой, косинус тэгш функц гэдгийг тооцоолбол: sin(𝛼 − 𝛽) = sin𝛼cos𝛽 − sin𝛽cos𝛼 (2) томьёо гардаг. Үүнийг ялгаврын синусын томьёо гэнэ. Одоо нийлбэрийн косинусын томьёо гаргая.

sin(𝛼 − 𝛽) = sin𝛼cos𝛽 − sin𝛽cos𝛼 томьёоны 𝛼 -ийн оронд π

2− 𝛼 –г орлуулахад

sin (𝜋

2− 𝛼 − 𝛽) = sin (

𝜋

2− 𝛼) cos𝛽 − sin𝛽 cos (

𝜋

2− 𝛼)

sin (𝜋

2− (𝛼 + 𝛽)) = cos𝛼cos𝛽 − sin𝛼sin𝛽

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼cos𝛽 − sin𝛼sin𝛽 (3) болно. Үүнийг нийлбэрийн косинусын томьёо гэдэг. Нийлбэрийн

косинусын томьёоны 𝛽 -ийн оронд – 𝛽 орлуулж синус сондгой, косинус тэгш функц гэдгийг тооцоолбол cos(𝛼 − 𝛽) = cos𝛼cos𝛽 + sin𝛼sin𝛽 (4) томьёо гарна. Үүнийг ялгаврын косинусын томьёо гэдэг.

Одоо нийлбэр өнцгийн тангенсийг гаргая. Үүний тулд 𝑡𝑔(𝛼 +

𝛽) =sin(𝛼+𝛽)

cos(𝛼+𝛽)

харьцаа ба өмнө гаргасан нийлбэрийн синус, косинусын томьёог ашиглан

tg(𝛼 + 𝛽) =tg𝛼 + tg𝛽

1 − tg𝛼tg𝛽 (5)

болно. Үүнийг нийлбэрийн тангенсийн томьёо гэдэг. Энэ томьёоны 𝛽-г (– 𝛽)-гээр сольж, тангенс сондгой функц болохыг ашиглавал

tg(𝛼 − 𝛽) =tg𝛼 − tg𝛽

1 + tg𝛼tg𝛽 (6)

томьёо гарах, гаргасан томьёонуудаа ашиглан бодлого бодуулна.

Жишээ 1. sin1050-ийн утгыг олоорой.

Бодолт: sin1050 = sin(450 + 600) = sin450cos600 +

sin600cos450 =√2

2∙

1

2+

√3

2∙

√2

2=

√2+√6

4

Үйл ажиллагаа 3. Давхар өнцгийн томьёо

Нийлбэрийн синус, косинус, тангенсийн томьёог бичүүлж, тэдгээрийн аргумент нь ижил байвал томьёо ямар байх талаар ярилцаж, дүгнэлт гаргуулна.

Нийлбэрийн синус, косинус, тангенсийн томьёонуудын 𝛽 -

ийн оронд 𝛼-г орлуулж sin 2𝛼 = 2sin𝛼cos𝛼 cos 2𝛼 = cos2𝛼 − sin2𝛼


36

tg 2𝛼 =2tg𝛼

1 − tg2𝛼

томьёонуудыг гаргах бөгөөд эдгээрийг давхар өнцгийн синус, косинус, тангенсийн томьёо гэдэг. Давхар өнцгийн косинусийн томьёог хувиргавал: cos 2𝛼 = cos2𝛼 − sin2𝛼 = cos2𝛼 − (1 − cos2𝛼)

= cos2𝛼 − 1 + cos2𝛼 = 2cos2𝛼 − 1

cos2𝛼 =1 + cos 2𝛼

2

cos 2𝛼 = cos2𝛼 − sin2𝛼 = 1 − sin2𝛼 − sin2𝛼 = 1 − 2sin2𝛼

sin2𝛼 =1 − cos 2𝛼

2

болох бөгөөд эдгээрийг зэрэг бууруулах томьёо гэдэг. Эдгээрийг тригонометр илэрхийллийг тооцоолох ба хувиргахад өргөн ашигладаг болохыг хэлнэ.

Жишээ 2. sin 𝛼 = 0.6 ба 𝛼 нь II мөчийн өнцөг бол sin 2𝛼, tg2𝛼 cos 2𝛼-г олоорой.

Бодолт. 𝛼 нь II мөчийн өнцөг учир cos 𝛼 < 0

cos 𝛼 = −√1 − sin2𝛼 = −√1 − 0.36 = −√0.64 = −0.8

sin 2𝛼 = 2sin𝛼cos𝛼 = 2 ∙ 0.6 ∙ (−0.8) = −0.96

cos 2𝛼 = cos2𝛼 − sin2𝛼 = 0.64 − 0.36 = 0.28

tg 2𝛼 =sin 2𝛼

cos 2𝛼=

−0.96

0.28=

−96

28=

−24

7= −3

3

7

Үйл ажиллагаа 4. Туслах өнцгийн томьёо

𝑎 ∙ cos 𝜃 + 𝑏 ∙ sin 𝜃 илэрхийллийг 𝑟 ∙ sin(𝜃 + 𝛼) хэлбэрт бичүүлэхийн тулд r ∙ sin(𝜃 + 𝛼) илэрхийллийг нийлбэрийн

синусийн томьёогоор задлаж 𝑎 ∙ cos 𝜃 + 𝑏 ∙sin 𝜃 илэрхийлэлтэй тэнцүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл 𝑟 ∙ sin(𝜃 +𝛼) = 𝑎 ∙ cos 𝜃 + 𝑏 ∙ sin 𝜃 буюу 𝑟sin𝜃cos𝛼 + 𝑟sin𝛼cos𝜃 =𝑎cos𝜃 + 𝑏sin𝜃 болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талд байгаа синус нь синустэй, косинус нь косинустэй тэнцүү учраас 𝑟 ∙ sin𝛼 = 𝑎 (1) 𝑟 ∙ cosα = 𝑏 (2) болно. Тэнцэтгэл бүрийн хоёр талыг нь квадрат зэрэгт дэвшүүлээд харгалзуулан нэмэхэд

𝑟2(sin2𝛼 + cos2𝛼) = 𝑎2 + 𝑏2, 𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 буюу 𝑟 =

±√𝑎2 + 𝑏2 гарна. Харин дээрх (1) ба (2) тэнцэтгэлүүдийг харьцуулахад 𝑟sinα

𝑟cosα=

𝑎

𝑏 tg𝛼 =

𝑎

𝑏 болох бөгөөд 𝑎cos𝜃 + 𝑏sin𝜃 = 𝑟sin(𝜃 + 𝛼)

хэлбэрт шилжинэ. Үүнтэй төстэйгээр 𝑎cos 𝜃 + bsin 𝜃 илэрхийллийг 𝑟sin(𝜃 − 𝛼) ба 𝑟cos(𝜃 ± 𝛼) хэлбэрт оруулах даалгавар хийлгэх нь зүйтэй. Эдгээр томьёоны гаргалгааг хийлгүүлэх бөгөөд томьёогоо хэрэглэн тригонометр адилтгал батлах, тригонометр илэрхийллийг хялбарчлах, илэрхийллийн утгыг олох, тригонометр тэгшитгэл бодох чадвартай болгоно.

12.6в*.

Тригонометрийн томьёо ашиглан, илэрхийллийг хялбарчлах , илэрхийллийн утгыг олох, адилтгал батлах

1) sec2𝜃 = 1 + tg2𝜃 ба cosec2𝜃 = 1 + ctg2𝜃 2) sin(A ± B), cos(A ± B) ба tg(A ± B) 3) sin2A, cos2A ба tg2A 4) 𝑎sin 𝜃 + 𝑏cos 𝜃 = 𝑅sin(𝜃 ± 𝛼) ба 𝑎sin 𝜃 + 𝑏cos 𝜃 = 𝑅cos(𝜃 ± 𝛼) томьёонууд ашиглан тригонометр адилтгал батлах, илэрхийлэл хялбарчлах, илэрхийллийн утгыг олуулна.

Жишээ 3: cos750 илэрхийллийн утгыг ол.

Бодолт. cos750 = cos(450 + 300) = cos450cos300 −

sin300sin450 =√2

2∙

√3

2−

1

2∙

√2

2=

√6−√2

4

Жишээ 4: sin2(𝛼 − 300) + sin2(𝛼 + 300) − sin2𝛼 = 0.5 адилтгалыг батал.

37

Бодолт. sin2(𝛼 − 300) + sin2(𝛼 + 300) − sin2𝛼 =(sin𝛼cos300 − sin300cos𝛼)2 + (sin𝛼cos300 + sin300cos𝛼)2 −

sin2𝛼 = (√3

2sin𝛼 −

1

2cos𝛼)2 + (

√3

2sin𝛼 +

1

2cos𝛼)2 − sin2𝛼 =

3

4sin2𝛼 −

√3

2sin𝛼cos𝛼 +

1

4cos2𝛼 +

3

4sin2𝛼 +

√3

2sin𝛼cos𝛼 +

1

4cos2𝛼 − sin2𝛼 =

3

2sin2𝛼 +

1

2cos2𝛼 − sin2𝛼 =

1

2sin2𝛼 +

1

2cos2𝛼 =

1

2(sin2𝛼 + cos2𝛼) =

1

2= 0.5 болж батлагдав.

Жишээ 5: sin 𝛼 − cos 𝛼 = 𝑛 бол sin3𝛼 − cos3𝛼 Илэрхийллийг хялбарчил.

Бодолт. sin 𝛼 − cos 𝛼 = 𝑛 квадрат зэрэгт дэвшүүлээд, хялбарчлахад

sin2𝛼 − 2sin𝛼cos𝛼 + cos2𝛼 = 𝑛2,

1 − 2sin𝛼cos𝛼 = 𝑛2, 1 − 𝑛2 = 2sin𝛼cos𝛼, sin𝛼cos𝛼 =1−𝑛2

2

болно. sin3𝛼 − cos3𝛼 = илэрхийллийг кубуудын ялгаврын

томьёогоор задлаж sin𝛼cos𝛼-ийн оронд 1−𝑛2

2–ийг

орлуулахад

sin3𝛼 − cos3𝛼 = (sin 𝛼 − cos 𝛼)(𝑠𝑖𝑛2𝛼 + sin𝛼cos𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼) =

𝑛(1 + sinαcosα) = 𝑛(1 +1−𝑛2

2) = 𝑛(

2+1−𝑛2

2) =

𝑛(3−𝑛2)

2 болно.

Жишээ 6: sin(𝐴−𝐵)

sin𝐴sin𝐵= ctg𝐵 − ctg𝐴 адилтгалыг батал.

Бодолт: sin(𝐴−𝐵)

sin𝐴sin𝐵=

sin𝐴cos𝐵−sin𝐵cos𝐴

sin𝐴sin𝐵=

sin𝐴cos𝐵

sin𝐴sin𝐵−

sin𝐵cos𝐴

sin𝐴sin𝐵= ctg𝐵 − ctg𝐴

Жишээ 7: Илэрхийллийг хялбарчил. 1−sec2𝐴

1−cosec2𝐴=

Бодолт. 1−sec2𝐴

1−cosec2𝐴=

1−(1+tg2𝐴)

1−(1+ctg2𝐴)=

−tg2𝐴

−ctg2𝐴=

1

ctg2𝐴

ctg2𝐴=

1

ctg4𝐴

12.6г*. Тригонометр тэгшитгэлийн шийдийг өгсөн завсарт олох (адилтгал, томьёо, орлуулга хэрэглэх, зэрэг бууруулах, туслах өнцгийн аргууд)

Үйл ажиллагаа 1. 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒂 тэгшитгэлийг бодох нь 𝑦 =sin 𝑥 , 𝑦 = 𝑎 функцүүдийн графикийн огтлолцох бүх цэгийн абсцисс 𝑥-ийг олохтой ижил. Үүний тулд 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = 𝑎 функцийн графикийг байгуулна.

−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 тул а < −1 эсвэл а > 1 байхад 𝑦 =sin 𝑥 ба 𝑦 = 𝑎 функцийн графикууд огтлолцохгүй тул

sin 𝑥 = 𝑎 тэгшитгэл шийдгүй. −1 ≤ а ≤ 1 байхад 𝑦 = sin 𝑥 ба 𝑦 = 𝑎 функцийн графикууд төгсгөлгүй олон цэгээр огтлолцох тул төгсгөлгүй олон шийдтэй. Гэвч бид цаашид зарим өгөгдсөн тодорхой завсар дахь бүх шийдийг олно.


38

sin 𝑥 = 𝑎 тэгшитгэлийг бодох нь тригонометр тойрог

ашиглан sin 𝑥 = 𝑎 байх бүх 𝑥 өнцгийг олохтой ижил. Өөрөөр хэлбэл

тригонометрийн тойрог ба 𝑦 =𝑎 шулууны огтлолцол дээр орших цэгийг тодорхойлох бүх

𝑥 төв өнцгийг олно.

−1 < 𝑎 < 1 байхад 𝑦 = 𝑎 шулуун тригонометр тойрогтой хоёр цэгээр огтлолцох ба

тэдгээрийг 𝑀, 𝑁 гэж тэмдэглэе.

М цэгт харгалзах төв өнцгийн радиан хэмжээ нь arcsin𝑎, 𝑁

цэгт харгалзах төв өнцгийн радиан хэмжээ нь 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 тоотой тус тус тэнцэнэ. М цэгт харгалзах төв өнцгийн

радиан хэмжээ нь мөн 2𝜋 + arcsin𝑎, 𝑁 цэгт харгалзах төв өнцгийн радиан хэмжээ нь 2𝜋 + 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 гэсэн тоонуудтай тус тус тэнцэх учраас өгөгдсөн завсар дахь шийдээ авна.

sin 𝑥 = a тэгшитгэлийн шийдийн онцгой хэлбэрүүдийг гаргах даалгавар сурагчдад өгөх нь зүйтэй.

Жишээ 7. sin 𝑥 =1

2 тэгшитгэлийг 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 завсарт бод.

y = sin 𝑥 , 𝑦 =1

2 функцийн графикийг байгуулахад y = sin 𝑥

функц 𝑦 =1

2 шулуунтай төгсгөлгүй олон цэгээр огтлолцох

бөгөөд 0 ≤ 𝑥 ≤ π завсарт харьяалагдах огтлолцлын

цэгүүдийн х координатыг олоход 𝑥 = 300, 𝑥 = 1500 байна.

sin 𝑥 =

1

2 тэгшитгэлийг бодохдоо:

Тэгш өнцөгт координатын системд координатын эх дээр төвтэй нэгж

радиустай тойрог ба 𝑦 =1

2 шулууны

огтлолцол дээр орших 𝑀 ба P цэгийг тодорхойлох ∡AOM, ∡AOP өнцгийн хэмжээг олоход

∡𝐴𝑂𝑀 = 300, ∡𝐴𝑂𝑃 = 1500 байна.

Иймд тэгшитгэл 𝑥 = 300, 𝑥 = 1500 гэсэн хоёр шийдтэй. Зурагт үзүүлсэн тригонометр тэгшитгэл зохиож бод гэсэн даалгаврыг сурагчдаар гүйцэтгүүлээрэй. Үйл ажиллагаа 2. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝒂

тэгшитгэлийн шийдийг олох нь sin 𝑥 =𝑎 тэгшитгэлтэй адил.

cos 𝑥 = 𝑎 тэгшитгэлийг тригонометр тойрог ашиглан бодохдоо абцисс нь 𝑎

тоотой тэнцдэг цэгүүдэд харгалзах x тооны бүх утгыг утгыг олно гэсэн үг.

−1 < 𝑎 < 1 байхад 𝑥 = 𝑎 шулуун тригонометр тойрогтой хоёр цэгээр

огтлолцоно.Тэр хоёр цэгийг М, N гэж

39

тэмдэглэе. cos𝑥0 = 𝑎 байх М цэгт харгалзах 𝑥0 нь

arccos𝑎 тоотой, N цэгт харгалзах 𝑥0 нь −arccos𝑎 тоотой тус тус тэнцэнэ. Косинус функц 2𝜋 үетэй учраас өгөгдсөн завсар дах шийдээ авна.

cos 𝑥 = 𝑎 тэгшитгэлийн шийдийн онцгой хэлбэрүүдийг гаргах даалгавар сурагчдад өгөх нь зүйтэй.

Мөн зурагт дүрслэгдсэн тригонометр тэгшитгэл зохиож, бодуулах даалгавар өгч болно. Үйл ажиллагаа 3. 𝐭𝐠 𝒙 = 𝒂 тэгшитгэлийг бодохдоо:

tg 𝑥 = 𝑎 тэгшитгэлийн бодолтыг тригонометр тойрог ашиглан тайлбарлая.Тригонометр тойргийн 𝐴(1,0) цэгт

𝑥 = 1 шүргэгч шулуун татья. Энэ шулууныг тангенссийн шугам гэх ба

𝑦 = 𝑎 шулуунтай 𝑃 цэгт огтлолцоно. 𝑂𝑃 шулуун

тригонометр тойрогтой𝑀, 𝑁 хоёр

цэгээр огтлолцоно. 𝑃 цэгийн ординат нь 𝑎 = tg𝑥 байдаг.

Учир нь △ 𝑂𝑀𝐾~ △ 𝑂𝑃𝐴, 𝐾𝑀

𝑂𝐾=

𝐴𝑃

𝑂𝐴

буюу sin𝑥

cos𝑥=

𝑎

1

tg 𝑥 = 𝑎 болно. 𝑀, 𝑁 цэгт 𝑥 =arctg𝑎, 𝑥 = 𝜋 + arctg𝑎 тоонууд

харгалзана. Тангенс функц π үетэй учраас өгөгдсөн завсар дах шийдийг авна. Сурагчдаар зурагт тохирох тригонометр тэгшитгэл зохиолгож бодуулах нь зүйтэй байх. Үйл ажиллагаа 4. 𝐜𝐭𝐠 𝒙 = 𝒂 тэгшитгэлийг бодохдоо:

ctg 𝑥 = 𝑎 тэгшитгэлийн бодолтыг тригонометр тойрог ашиглан тайлбарлая.Тригонометр тойргийн 𝐷(0,1) цэгт 𝑦 = 1 шүргэгч шулуун татья. Энэ шулууныг котангенссийн шугам

гэх ба 𝑥 = 𝑎 шулуунтай 𝑃 цэгт огтлолцоно. 𝑂𝑃 шулуун

тригонометр тойрогтой 𝑀, 𝑁

хоёр цэгээр огтлолцоно. 𝑃 цэгийн абцисс нь 𝑎 = ctg𝑥 байдаг. Учир нь △ 𝑂𝑀𝐾~ △ 𝑂𝑃𝐷

гэдгээс 𝐾𝑀

𝑂𝐾=

𝐷𝑃

𝑂𝐷

буюу cos𝑥

sin𝑥=

𝑎

1 гэдгээс ctg 𝑥 = 𝑎 болно.

𝑀, 𝑁 цэгт 𝑥 = arcctg𝑎, 𝑥 = 𝜋 + arcctg𝑎 тоонууд харгалзана. Котангенс функц

𝜋 үетэй учраас өгөгдсөн завсар дах шийдийг авна. Сурагчдаар зурагт тохирох тригонометр тэгшитгэл зохиолгож бодуулах даалгавар өгөх нь зүйтэй. Бүх төрлийн тригонометр тэгшитгэл бодох нэгдмэл нэг арга байдаггүй. Тригонометр тэгшитгэлийг бүтцээс нь хамааруулан өөр өөр аргаар бодно. Ерөнхий санаа бол тэгшитгэлийг адил чанартайгаар хувирган, эцсийн дүнд хялбар тригонометр тэгшитгэл бодоход оршино. Тэгшитгэлийн шийдийг ерөнхий тохиолдолд олуулах шаардлагагүй. Тригонометр тэгшитгэл бодоход өргөн ашиглагдах аргуудыг жишээгээр тайлбарлая.

40

Санамж: Тригонометр тэгшитгэл бодоход адил чанартай тэгшитгэлд шилжүүлдэггүй хувиргалт хийвэл шийд гээгдэх буюу илүү шийд гарч болдгийг анхаарч олсон шийдээ анхны тэгшитгэлийг хангах, эсэхийг орлуулан тавьж шалгах шаардлагатай. Үйл ажиллагаа 5. Орлуулгаар рационал тэгшитгэлд шилжүүлэх арга Тригонометр тэгшитгэлд хувиргалт хийж

sin 𝜔𝑥 , cos 𝜔𝑥 , tg𝜔𝑥, ctg𝜔𝑥 тус бүрийн хувьд рационал

тэгшитгэл болгосны дараа харгалзан sin 𝜔𝑥 = 𝑎 , cos 𝜔𝑥 =𝑎 , tg𝜔𝑥 = 𝑎, ctg𝜔𝑥 = 𝑎 орлуулга хийдэг. Ингэснээр

тэгшитгэл а хувьсагчтай рационал тэгшитгэл болно.

Рационал тэгшитгэл а1, 𝑎2, 𝑎3 … гэх мэт шийдтэй бол sin 𝑥 = 𝑎1, cos 𝑥 = 𝑎1, tg𝑥 = 𝑎1, ctg𝑥 = 𝑎1 гэх мэт хялбар тэгшитгэл бодож өгөгдсөн завсар дахь шийдүүдийг олно. Үйл ажиллагаа 6. Үржигдэхүүнд задлах арга Өгөгдсөн тэгшитгэлийг адилтгалаар хувирган үржвэрүүд тэгтэй тэнцэх хэлбэрт оруулж, үржигдэхүүн бүр тэгтэй тэнцэж хялбар бодогдох тэгшитгэлд шилжүүлж бодохыг үржигдэхүүнд задлах арга гэдэг. Үйл ажиллагаа 7. Туслах өнцөг оруулах арга

𝐴, 𝐵, 𝐶 нь 𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 0 байх өгөгдсөн тоонууд байхад 𝐴cos𝑥 +𝐵sin𝑥 = 𝐶 тэгшитгэл авч үзье. 𝐴2 + 𝐵2 > 0 учраас

тэгшитгэлийн хоёр талыг √𝐴2 + 𝐵2 тоонд хуваахад тэгшитгэл

sin 𝛼 cos𝑥 + cos 𝛼 sin𝑥 = cos( 𝑥 − 𝛼) =𝐶

√𝐴2 + 𝐵2

болно. Мөн 𝐴

√𝐴2+𝐵2= sin 𝛽

𝐵

√𝐴2+𝐵2= 𝑐𝑜s 𝛽

байх туслах өнцөг 𝛽 олдоно. Иймд тэгшитгэл

sin 𝛽 cos𝑥 + sin𝑥 𝑐𝑜s 𝛽 = s𝑖𝑛( 𝑥 + 𝛽) =𝐶

√𝐴2 + 𝐵2

болно. Ийм учраас 𝐴cos𝑥 + 𝐵sin𝑥 = 𝐶 тэгшитгэл бодох нь

cos( 𝑥 − 𝛼) =𝐶

√𝐴2+𝐵2

ба s𝑖𝑛( 𝑥 + 𝛽) =𝐶

√𝐴2+𝐵2

гэсэн хялбар тэгшитгэл бодох асуудалд шилжинэ.

Тэгшитгэл |𝐶|

√𝐴2+𝐵2≤ 1 үед шийдтэй

|𝐶|

√𝐴2+𝐵2> 1 үед

шийдгүй. Үйл ажиллагаа 8. Нэгэн төрлийн тригонометр тэгшитгэл

бодох арга

Тригонометр тэгшитгэл sin 𝑥 , cos 𝑥 хоёроос хамаарсан олон гишүүнт дүрстэй ба гишүүн бүр адил зэрэгтэйгээс гадна сул гишүүнгүй бол түүнийг нэгэн төрлийн гэнэ.

𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометр тэгшитгэл гэнэ.

a sin 𝑥 + b cos 𝑥 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодохдоо 𝑎 ≠0 үед тэгшитгэлийн хоёр талыг cos 𝑥-д хувааж 𝑎tg𝑥 + 𝑏 =

0, tg𝑥 = −𝑏

𝑎 гэсэн тэгшитгэлд шилжүүлнэ.

𝑎sin2𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐cos2𝑥 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэнэ.

𝑎sin2𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐cos2𝑥 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг

бодохдоо 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 үед тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2𝑥 –д хуваахад

𝑎tg2𝑥 + 𝑏tg𝑥 + 𝑐 = 0 гэсэн тэгшитгэлд шилжинэ.

Энд tg𝑥 = 𝑡 гэсэн шинэ хувьсагч орлуулах замаар 𝑎𝑡2 +𝑏𝑡 + 𝑐 = 0 квадрат тэгшитгэлийг гаргаж авах ба квадрат

41

тэгшитгэлээ бодож хялбар тригонометр тэгшитгэл гарган авдаг.

Хэрэв 𝑎sin2𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐cos2𝑥 = 0 хэлбэрийн нэгэн

төрлийн тригонометр тэгшитгэлд 𝑎 = 0 эсвэл 𝑏 = 0 бол өгөгдсөн тэгшитгэл

𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐cos2𝑥 = 0 буюу 𝑎sin2𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 = 0 хэлбэртэй болно. Эдгээр тэгшитгэлийг үржигдэхүүн болгон задлах аргаар 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐cos2𝑥 = 0, cos 𝑥 (𝑏 sin 𝑥 + 𝑐 cos 𝑥) = 0 , cos 𝑥 =0, 𝑏 sin 𝑥 + 𝑐 cos 𝑥 = 0 бодно. Үйл ажиллагаа 9. Тригонометр функцүүдийн нийлбэр,

ялгаврыг үржвэрт, үржвэрийг нийлбэрт шилжүүлж бодох арга

sin 𝑎𝑥 ± sin 𝑏𝑥 = 0, cos 𝑎𝑥 ± cos 𝑏𝑥 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодохдоо синус, косинус функцүүдийн нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт шилжүүлэх томьёог ашиглаж бодохыг тригонометр функцүүдийн нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт шилжүүлж бодох арга гэдэг. Үйл ажиллагаа 10. Зэрэг бууруулах аргаар тригонометр

тэгшитгэл бодох Синус, косинусын квадрат зэрэг орсон тэгшитгэлийг

cos2𝐴 =1 + cos 2𝐴

2, sin2𝐴 =

1 − cos 2𝐴

2

томьёог ашиглан дан зэргийн болгож бодохыг зэрэг бууруулах аргаар тригонометр тэгшитгэлийг бодох гэдэг.

Үйл ажиллагаа 11. Тэгшитгэлийн баруун, зүүн талыг

үнэлэх арга −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 ба −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 тэнцэтгэлбишүүдэд үндэслэж зарим тэгшитгэлийг боддог аргыг тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг үнэлэх арга гэдэг.

VII БҮЛЭГ. УЛАМЖЛАЛ

Хүрэх үр дүн. Зарим функцийн уламжлалыг олж, хэрэглэх чадвартай болно. Суралцахуйн


12.7а. 𝑒𝑥 , ln 𝑥 , sin 𝑥,

cos 𝑥 , tg𝑥 функцийн уламжлалыг мэдэх, уламжлал олох дүрмүүдийг хэрэглэх (функцийг тогтмол тоогоор үржүүлж, нэмж, хассан үед уламжлалыг олох)

Үйл ажиллагаа 1. 𝑦 = 𝑒𝑥 функцийн уламжлал Уламжлал нь буцаад өөрөө гардаг функц байдгийг EXCEL

болон бусад программыг ашиглан харуулна. Уг функц нь 𝑒

гэдэг тооны илтгэгч функц 𝑦 = 𝑒𝑥 гэдийг харуулна. Өөрөөр

хэлбэл 𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥 буюу (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥.

Үйл ажиллагаа 2. 𝑦 = ln𝑥 функцийн уламжлал 𝑦 = ln𝑥 функцийн уламжлалыг түүнтэй адил чанартай

𝑥 = 𝑒𝑦 функцийн уламжлалыг олох замаар бодож болно.

Үүний тулд 𝑑

𝑑𝑥(𝑦) ба

𝑑

𝑑𝑦(𝑥) -ийн хамаарлыг тогтоох

хэрэгтэй. 𝑑𝑦

𝑑𝑥 нь ∆𝑥 → 0 үеийн

Δ𝑦

Δ𝑥-ийн утга байдаг ба ∆𝑥 → 0 үед

∆𝑦 → 0 учир ∆𝑦

∆𝑥=

1∆𝑥

∆𝑦

гэсэн адилтгалаас 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1𝑑𝑥

𝑑𝑦

гэж

гарна.Үүнийг ашиглая.

𝑦 = ln𝑥 𝑥 = 𝑒𝑦 учир 𝑑𝑥

𝑑𝑦=

𝑑(𝑒𝑦)

𝑑𝑦= 𝑒𝑦 = 𝑥 байна. Эндээс

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥 буюу

𝑑𝑦

𝑑𝑥(ln𝑥) =

1

𝑥 гэж гарна. Өөрөөр хэлбэл (ln𝑥)′ =

1

𝑥 болно.

Үйл ажиллагаа 3. 𝑦 = sin 𝑥 ба 𝑦 = cos 𝑥 функцийн уламжлал


42

𝑥 sin 𝑥 Шүргэгчийн тэгшитгэл

Налалт

cos 𝑥

0.87

0.77 𝑦 = 0.64𝑥 + 0.2 0.64 0.644826

5

0.32

0.31 𝑦 = 0.95𝑥 + 0.01 0.95 0.949235

4

1.5 0.99

𝑦 = 0.07𝑥 + 0.89 0.07 0.070737

2

2 0.91 𝑦 = −0.42𝑥 + 1.74 -0.42 -0.416146

2.48

0.61 𝑦 = −0.79𝑥 + 2.57 -0.79 -0.789014

Хүснэгт дэх 𝑥 хувьсагчийн утга бүрт харгалзах cos𝑥 –ийн утгыг бодож (тооны машин зэрэг хэрэгсэл ашиглан)

хүснэгтийн арын зайд харгалзуулан бичихэд cos𝑥 –ийн утга налалттай тэнцүү байгаа нь харагдаж байна.

Иймээс 𝑑

𝑑𝑥(sin𝑥) = cos𝑥 Өөр хэлбэрээр бичвэл: (sin𝑥)’ =

cos𝑥 болно. Дээрхтэй төсөөтэй аргаар 𝑑

𝑑𝑥(cos𝑥) = −sin𝑥 байдгийг тогтоож болно. (cos𝑥)’ = −sin𝑥

12.7б.Үржвэр ба ногдворын уламжлалыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Үржвэр функцийн уламжлал

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ∙ g(𝑥)) уламжлал нь

𝑓(𝑥+∆𝑥)∙g(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)∙g(𝑥)

∆𝑥

илэрхийллийн ∆𝑥 маш бага байх үеийн утга юм. Энэ илэрхийллийг хувиргавал

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥∙ g(𝑥 + ∆𝑥) +

g(𝑥 + ∆𝑥) − g(𝑥)

∆𝑥∙ 𝑓(𝑥)

болох учир уламжлалын тодорхойлолтоор 𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ∙ g(𝑥)) =

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥g(𝑥) + 𝑓(𝑥)

𝑑g(𝑥)

𝑑𝑥 болно. Өөр дүрсээр бичвэл (𝑓g)′ =

𝑓′g + 𝑓g′ Үйл ажиллагаа 2. Ногдвор функцийн уламжлал

Бичлэгийг хялбарчлахын тулд 𝑓(𝑥)–ийг 𝑓–ээр, g(𝑥)–ийг

g –ээр тус тус тэмдэглэе.

𝑑

𝑑𝑥(

𝑓

g) =

𝑑

𝑑𝑥(𝑓 ∙ g−1) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 ∙ g−1 + 𝑓 ∙

𝑑

𝑑𝑥g−1 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 ∙ g−1 + 𝑓 ∙

(−1) ∙ g−2 ∙𝑑

𝑑𝑥g =

𝑑

𝑑𝑥𝑓

g− 𝑓 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑓

g2 =𝑑𝑓

𝑑𝑥∙g−𝑓∙

𝑑g

𝑑𝑥

g2

Ийнхүү ногдворын уламжлалын 𝑑

𝑑𝑥(

𝑓

g) =

𝑑𝑓

𝑑𝑥∙g−𝑓∙

𝑑g

𝑑𝑥

g2 буюу

(𝑓

g) ′ =

𝑓′∙g−𝑓∙g′

g2

томьёо батлагдлаа. Томьёо олон янзын

хэлбэрээр тааралдах төдийгүй хэрэглэгддэг. Тиймээс түүнийг тэр олон хэлбэрээр нь хэрэглэж сурах хэрэгтэй. тухайлбал:

'

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) ( )

f x f x g x f x g xg x g x

,

d udx v

2

d dv u u vdx dx

v

,

'

2' 'u u v uv

v v


12.7в. Давхар функцийн уламжлалыг олох, хэрэглэх

(𝑥𝑛, 𝑒𝑥 ,ln 𝑥 , sin 𝑥, cos 𝑥 , tg𝑥

Үйл ажиллагаа 1. 𝑦 = 𝑦(𝑢), 𝑢 = 𝑢(𝑥) байх үед 𝑥 маш

бага болох үед 𝑢 мөн маш багасч байгаа тохиолдолд Δ𝑦

Δ𝑥=

Δ𝑦

Δu∙

Δ𝑢

Δ𝑥 адилтгалаас

d𝑦

d𝑥=

𝑑𝑦

du∙

𝑑𝑢

d𝑥 гэж мөрдөн гарна.

Зэрэгт функц, 2-3 гишүүнт, 𝑒𝑥 , ln𝑥, sin𝑥, cos𝑥, tg𝑥 функцүүдийн хувьд давхар функцийн уламжлалыг олох чадвартай болно.


43

функцүүдийн

хувьд)

12.7г*. Параметрт болон далд хэлбэрээр өгсөн функцийн I эрэмбийн уламжлалыг олох, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. 𝑥 –ээс хамаарсан 𝑦 функц

заримдаа 𝑥2 + 5𝑥𝑦 − 𝑦2 = 3 хэлбэрээр өгсөн байдаг. Үүнийг далд хэлбэрээр өгөгдсөн функц гэнэ. Энэ функцийн уламжлалыг хэрхэн олохыг жишээгээр харуулъя.

Жишээ1. 𝑥2 + 5𝑥𝑦 − 𝑦2 = 3 функци өгөгдсөн бол уламжлалыг ол.

Хоёр талыг дифференциалчилж бичвэл 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 5𝑥𝑦 −

𝑦2) =𝑑

𝑑𝑥(3) болох ба нийлбэр функцийн чанар ёсоор

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) +

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥𝑦) −

𝑑

𝑑𝑥(𝑦2) =

𝑑

𝑑𝑥(3) болно Эндээс 2𝑥 +

5 (1 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙𝑑𝑦

𝑑𝑥) − 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 буюу 2𝑥 + 5𝑦 + 5𝑥 ∙

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

0 болох ба улажлалыг ялгаж олбол 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥+5𝑦

2𝑦−5𝑥 болно.

http://www.oalevels.com/past-papers/a-level/as-level-mathematics-9709 http://papers.xtremepapers.com/CIE/Cambridge%20International%20A%20and%20AS%20Level/Mathematics%20(9709)/

VIII БҮЛЭГ. ИНТЕГРАЛ

Хүрэх үр дүн. Интеграл бодох аргуудад суралцаж, интегралыг хэрэглэх чадвартай болно.



12.8а. Интеграл нь уламжлалын урвуу үйлдэл гэсэн санааг өргөтгөн

𝑒𝑎𝑥+𝑏 ,1

𝑎𝑥+𝑏, sin(𝑎𝑥 +

𝑏) , cos(𝑎𝑥 +𝑏) ба

sec2(𝑎𝑥 + 𝑏) функцийн тодорхой ба тодорхой бус интегралыг тооцоолох


Жишээ 1. ∫ 4𝑒(2−3𝑥) 𝑑𝑥 тодорхой биш интегралыг бод.

Бодолт.∫ 4𝑒(2−3𝑥) 𝑑𝑥 = 4 ⋅ (−1

3) ⋅ 𝑒(2−3𝑥) + 𝐶 = −

3

4⋅ 𝑒(2−3𝑥) +

𝐶

Жишээ 2. ∫ 𝑒𝑥𝛼

−𝛼𝑑𝑥 =

3

2, 𝛼 > 0 бол 𝛼-ийн утгыг ол.

Бодолт.

Эхлээд тодорхой интегралыг бодсоны дараа 3

2 тоотой

тэнцүүлж тэгшитгэлийг бодож шийдийг олно.

∫ 𝑒𝑥𝛼

−𝛼𝑑𝑥 = 𝑒𝛼 − 𝑒−𝛼, 𝑒𝛼 − 𝑒−𝛼 =

3

2 гэсэн илтгэгч тэгшитгэл

болно. Энэ тэгшитгэлийг орлуулгын аргаар бодъё.

𝑒𝛼 − 𝑒−𝛼 =3

2 зэргийн чанарын ашиглан дараах хэлбэрт

шилжүүлнэ. 𝑒𝛼 −1

𝑒𝛼 =3

2

Энд 𝑒𝛼 = 𝑡 гэж орлуулбал 𝑡 −1

𝑡=

3

2 рационал тэгшитгэл

болно. Энэ тэгшитгэлийг ижил хуваарьтай болгон бодвол

2𝑡2 − 3𝑡 − 2 = 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжлээ. Энэ

тэгшитгэлийн шийд 𝑡 = 2, 𝑡 = −1

2

Илтгэгч функцийн утга эерэг гэдгээс 𝑒𝛼 = 2 ба 𝛼 = 𝑙𝑛2 болно.

Үйл ажиллагаа 2. 𝒚 =𝟏

𝒙 функцийг интегралчлах

1

𝑥= 𝑥−1 тул ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =

1

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶 томьёог ашиглан 𝑛 = −1

үед бодож болох уу гэж асуудал дэвшүүлнэ. Сурагчдаар энэ томьёо биелэхгүй гэдгийг харуулах хэрэгтэй.

𝑥 > 0 үед 𝑑

𝑑𝑥(ln 𝑥) =

1

𝑥 гэдгээс ∫

1

𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 болно.

𝑥 < 0 үед 𝑦 = ln 𝑥 функц тодорхойлогдохгүй.

Тэгвэл 𝑥 < 0 буюу −𝑥 > 0 үед ∫1

−𝑥𝑑𝑥 = ln(−𝑥) + 𝐶 байна

гэсэн таамаглал дэвшүүлье. Энэ функцийн уламжлалыг олбол

𝑑

𝑑𝑥(ln(−𝑥)) =

1

−𝑥∙ (−𝑥)′ =

1

−𝑥∙ (−1) =

1

𝑥


http://www.oalevels.com/past-papers/a-level/as-level-mathematics-9709






http://papers.xtremepapers.com/CIE/Cambridge%20International%20A%20and%20AS%20Level/Mathematics%20(9709)/







44

болно. Иймд 𝑥 < 0 үед ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln(−𝑥) + 𝐶 болж

таамаглал нотлогдлоо.

Эндээс 𝑥 < 0, ∫

1

𝑥𝑑𝑥 = ln(−𝑥) + 𝐶

𝑥 > 0, ∫1

𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

байна. Энэ 2 үр дүнг

нэгтгэвэл

∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 болно.

Үйл ажиллагаа 3. Тригонометрийн функцийг интегралчлах

Тригонометрийн функцийн уламжлалуудыг мэдсэнээр тэдгээрийн интегралуудыг олж болно. Тригонометрийн функцийг интегралчлахдаа интегралын чанаруудыг хэрэглэнэ.

Тухайлбал ∫ 𝑐 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 ⋅ sin 𝑥 + 𝐶

∫ cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =1

𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

Жишээ 3.а. ∫ 3 sec2𝑥𝑑𝑥, б. ∫ sin 4𝜃𝑑𝜃 функцийн интегралыг

ол. Бодолт. Томьёо ёсоор

а. ∫ 3 sec2 𝑥𝑑𝑥 = 3 tg 𝑥 + 𝐶 , 𝐶 ∈ 𝑅

б.∫ sin 4𝜃𝑑𝜃 = −1

4cos 4𝜃 + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 гэж гарна.

12.8б. Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан рационал функцийн тодорхой ба тодорхой бус интегралыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Тодорхой бус коэффициентийн аргыг

ашиглан рационал функцийн интегралыг олох

∫𝑥

(𝑥−1)(𝑥+2)𝑑𝑥 энэ рационал функцийн интегралыг яаж

бодох вэ? гэж асуудал дэвшүүлэх замаар хичээлээ эхлэх нь зүйтэй. Бид өмнө нь рационал функцийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт задлахыг үзсэн. Иймд тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан рационал функцийн интегралыг олъё.

𝑥

(𝑥−1)(𝑥+2)=

𝐴

𝑥−1+

𝐵

𝑥+2

Энд 𝐴, 𝐵 тодорхойгүй коэффициентууд. Эдгээрийг олбол

𝐴 =1

3, 𝐵 =

2

3 гэж гарна.

Иймээс өгөгдсөн интеграл хоёр рационал функцийн нийлбэрт тавигдсан ба өмнө сэдэв дээр ийм хэлбэрийн интеграл бодохыг үзсэн. Иймд өгөгдсөн интегралыг

∫𝑥

(𝑥−1)(𝑥+2)𝑑𝑥 = ∫

1

3(𝑥−1)𝑑𝑥 + ∫

2

3(𝑥+2)𝑑𝑥 =

1

3ln|𝑥 − 1| +

2

3ln|𝑥 + 2| + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 гэж олно.

Жишээ 4. ∫ (𝑥−1

𝑥2−𝑥−6) 𝑑𝑥 интегралыг бод.

Бодолт. 𝑥−1

(𝑥+2)(𝑥−3)=

3

5

𝑥+2+

2

5

𝑥−3=

3

5(𝑥+2)+

2

5(𝑥−3)

гэж хоёр хялбар рационал функцүүдийн нийлбэрт тавигдаж байна. Одоо өгөгдсөн интегралыг бодвол

∫ (𝑥−1

𝑥2−𝑥−6) 𝑑𝑥 = ∫ (

3

5

𝑥+2+

2

5

𝑥−3) 𝑑𝑥 =

3

5ln|𝑥 + 2| +

2

5ln|𝑥 − 3| +

𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 гэж гарна.


12.8в. 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

хэлбэрийн интегралыг таних, түүний тодорхой ба тодорхой бус


Жишээ бодлогууд бодуулж 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥) хэлбэрийн интегралыг

таних, түүний интегралыг олох чадварыг сурагчдад эзэмшүүлэх хэрэгтэй.

Жишээ 5. ∫𝑥

𝑥2+4𝑑𝑥 интегралыг бод.

Бодолт.


45

интегралыг олох

∫𝑥

𝑥2+4𝑑𝑥 =

1

2∫

2𝑥

𝑥2+4𝑑𝑥 =

1

2∫

(𝑥2+4)′

𝑥2+4𝑑𝑥 =

1

2 ln|𝑥2 + 4| + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅

Жишээ 6. ∫cos 𝑥

5+sin 𝑥𝑑𝑥 интегралыг бод.

Бодолт.

∫cos 𝑥

5+sin 𝑥𝑑𝑥 = ∫

(5+sin 𝑥)′

5+sin 𝑥𝑑𝑥 = ln |5 + sinx | + 𝐶

12.8г. Орлуулгын аргаар тодорхой болон тодорхой бус интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэн бодох

Үйл ажиллагаа 1. Тодорхой болон тодорхой бус

интегралыг орлуулгын аргаар тооцоолох

∫1

𝑥+√𝑥𝑑𝑥 энэ интегралыг яаж бодох вэ? гэсэн асуудал

дэвшүүлье. 𝑥-ээс хамаарсан илэрхийллийг шинэ хувьсагчаар илэрхийлснээр өгөгдсөн интегралыг бодож

болно. Интегралыг 𝐼 гэж тэмдэглэвэл 𝑑𝐼

𝑑𝑥=

1

𝑥+√𝑥 болох ба

энэ 𝐼 тэгшитгэл нь квадрат язгуур агуулж байгаа тул

бодоход хүндрэл гарч байна. Иймд 𝑥 = 𝑢2 орлуулга хийе.

Тэгвэл 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑢 болох ба 𝐼 нь давхар функц тул уламжлал

авах дүрмээр 𝑑𝐼

𝑑𝑥=

𝑑𝐼

𝑑𝑢∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

𝑢2+𝑢∙ 2𝑢 =

2

𝑢+1

гарна. Эндээс 𝐼 = ∫2

𝑢+1𝑑𝑢 = 2 ln|𝑢 + 1| + 𝐶

𝑢 хувсагчийн оронд √𝑥 ийг орлуулж анхны тэгшитгэлийн

шийдийг олно. 𝐼 = 2 ln(√𝑥 + 1) + 𝐶

(√𝑥 + 1 ямагт эерэг тоо байх тул модулийн тэмдэг шаардлагагүй) Энэ аргыг Интегралыг бодох орлуулгын арга гэнэ.

Ерөнхий тохиолдолд 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 интегралыг бодохын

тулд 𝑑𝐼

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) тэгшитгэлд 𝑥 = 𝑠(𝑢) орлуулга хийе. Тэгвэл

𝑑𝐼

𝑑𝑢= 𝑓(𝑥) ∙

𝑑𝑥

𝑑𝑢= 𝑓(𝑠(𝑢)) ∙

𝑑𝑥

𝑑𝑢= 𝑔(𝑢) ∙

𝑑𝑥

𝑑𝑢

гэж гарна. Энд 𝑓(𝑠(𝑢)) = 𝑔(𝑢) давхар функц. ∫ 𝑔(𝑢) ∙𝑑𝑥

𝑑𝑢

интегралыг бодож, 𝑢 хувсагчийн оронд 𝑠−1(𝑥) гэж орлуулж шийдийг олно..

Тухайлбал 𝑥 = 𝑠(𝑢) ба 𝑓(𝑠(𝑢)) = 𝑔(𝑢) орлуулгаар

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 интеграл нь тэнцүү чанартай ∫ 𝑔(𝑢) ∙𝑑𝑥

𝑑𝑢𝑑𝑢

интегралд шилжиж бодогдох ба дараа нь 𝑢 хувьсагчийн оронд 𝑠−1(𝑥) орлуулж анхны интегралын утгыг олно.

Жишээ 7. ∫1

𝑥ln 𝑥𝑑𝑥 интегралыг 𝑥 = 𝑒𝑢 орлуулгаар бод.

Логарифм функцийн интегралыг бодоход хүндрэлтэй тул

𝑥 = 𝑒𝑢 орлуулгыг хэрэглэе. Энд 𝑢 хувьсагчийг олбол 𝑢 =ln 𝑥 болно. Тэгвэл 𝑑𝑥

𝑑𝑢= 𝑒𝑢 болох ба интеграл нь

∫1

𝑒𝑢ln(𝑒𝑢) ∙ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑢𝑑𝑢 =

1

2𝑢2 + 𝐶

гэж гарна. 𝑢 хувсагчийн оронд 𝑢 = ln 𝑥 гэж орлуулбал өгөгдсөн интеграл

∫1

𝑥ln 𝑥𝑑𝑥 =

1

2(ln 𝑥)2 + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 болно.



Хуудас 194 – 201

12.8д*. Тригонометр функцийн интегралыг олох. Тухайлбал,

cos2 𝑥 – давхар өнцгийн томьёо

Үйл ажиллагаа 1. Тригонометр адилтгал ашиглан

функцийн интегралийг олох. 𝑑

𝑑𝑥tg 𝑥 = sec2𝑥 =

1

cos2𝑥= 1 + tg2𝑥

гэдгээс

∫ sec2𝑥 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶 буюу ∫(1 + tg2𝑥)𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶 болно.

Эдгээр томьёог шууд хэрэглэх болон тодорхойгүй

интегралын чанарууд, мөн ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =1

𝑎𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

дүрэмтэй хавсран хэрэглэх дасгалууд ажиллуулж өмнөх мэдлэгийг сэргээнэ.

46

ашиглан бодох

Жишээ 8. ∫ sin (2𝑥 −𝜋

3) 𝑑𝑥 =

𝜋

60

[−1

2cos (2𝑥 −

𝜋

3)]

0

𝜋

6=

[(−1

2cos 0) − −

1

2cos (−

𝜋

3)] = −

1

2+

1

2∙

1

2= −

1

4

Үйл ажиллагаа 2. Сурагчдад cos 2𝑥-ийн задаргааны гурван

хэлбэрийг сануулна. Эндээс cos2 𝑥 =1+cos 2𝑥

2 (1) ба sin2 𝑥 =

1−cos 2𝑥

2 (2) гэж cos2 𝑥 ба sin2 𝑥 нь cos 2𝑥-ээр харгалзан

илэрхийлэгддэгийг гаргуулна. (1) ба (2) –ийг зэрэг бууруулах томьёо гэж нэрлэдэг.

Ингээд ∫ 2 sin2 𝑥𝑑𝑥, ∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 гэх мэт хэлбэртэй

интегралыг сурагчдаар бодуулна. Даалгаврыг дараах байдлаар алхмуудыг нь заасан, санаа өгсөн байдлаар өгч болох юм.

cos 2𝑥-ийн задаргаанууд ба зэрэг бууруулах томьёо ашиглах интегралуудыг талбай олох бодлого болон нэгдүгээр эрэмбийн хялбар дифференциал тэгшитгэлтэй холбож болно. Жишээ нь,

a) Налалтын функц нь 0 ≤ 𝑥 <𝜋

2 үед

d𝑦

d𝑥= 2sec2𝑥 + 1

байх, 𝑥 =𝜋

4 абсцисстай цэгийг дайрсан муруйн

тэгшитгэлийг олоорой.

b) 0 ≤ 𝑥 <𝜋

4 завсар дахь 𝑦 = sec2𝑥 муруй ба координатын

тэнхлэгүүдээр хашигдсан дүрсийн талбайг олоорой.

Өөр аргументтай синусууд эсвэл косинусууд, эсвэл синус ба косинусын үржвэр хэлбэртэй илэрхийллийн интегралыг бодохдоо 1. Үржвэрийг нийлбэрт хувиргана 2. Нэмэгдэхүүн тус бүрийн интегралыг олно. Иймд сурагчдаар үржвэрийг нийлбэрт хувиргах:

sin 𝛼 cos 𝛽 =1

2(sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽))

cos 𝛼 cos 𝛽 =1

2(cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽))

sin 𝛼 sin 𝛽 =1

2(cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)) томьёонуудын

гаргалгааг хийлгэж сургах, улмаар чээжлүүлэх нь зүйтэй.

Жишээ 9. ∫ sin 2𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 =1

2∫(sin 5𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥 =

1

2(cos 5𝑥 −

1

5cos 5𝑥) + 𝐶 гэх мэт дасгалууд ажиллуулна.

4 эсвэл 6 зэрэгтэй синус ба косинусыг зэрэг бууруулах томьёо давтан хэрэглэж зэрэггүй болгоод интегралчилна. Өөр өөр аргаар бодсоноос интегралын хариу өөр өөр гарч болдог. Гэвч тэдгээр хариунууд адилтгал тэнцүү гэдгийг харуулах хэрэгтэй.

12.8е*.

Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодогдох интегралыг таних, түүнийг интеграл бодоход хэрэглэх Жишээлбэл,

𝑥 sin 2𝑥 , 𝑥2𝑒𝑥 , ln 𝑥

Үйл ажиллагаа 1. Хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодох

интегралыг таних, хэрэглэх

𝑢 ба 𝑣 нь 𝑥-ээс хамаарсан функц байх үед 𝑢𝑣 үржвэрийг дифференциалчлахад 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 + 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 байдаг.

Хоёр талыг 𝑥-ээр интегралчилбал ∫ 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) = ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 +

∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 буюу 𝑢𝑣 = ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 болно.

Эндээс ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 (1) гэж гарна. Үүнийг

хэсэгчлэн интегралчлах томьёо гэж нэрлэдэг. Энэ томьёог

𝑣 ба 𝑑𝑢 гэсэн хоёр функцийн үржвэрийг интегралчлахад хэрэглэнэ.

Жишээ 10. 𝑥𝑒𝑥-ийг 𝑥-ээр интегралчилъя: 𝑣 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 гэж авъя. (Энд 𝑥 ба 𝑒𝑥 нь хоёулаа

дифференциалчлагдах боловч 𝑥-ийн дифференциал илүү

хялбар байна.) Эндээс 𝑑𝑣 = 1𝑑𝑥 ба 𝑢 = 𝑒𝑥 гэж гарна.

Хэсэгчлэн интегралчлах ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 томьёо

ёсоор

47

∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = (𝑒𝑥)(𝑥) − ∫(𝑒𝑥)(1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 болно.

Харин одоо 𝑣 = 𝑒𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 гэж авъя. Эндээс 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

ба 𝑢 =𝑥2

2 болох тул

∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 =𝑥2

2∙ 𝑒𝑥 − ∫

𝑥2

2𝑒𝑥𝑑𝑥 гэсэн өмнөхөөсөө төвөгтэй

интеграл бодоход хүрч байна. Иймд эхний сонголт оновчтой юм.

Хэсэгчлэн интегралчлах томьёог хэд хэдэн удаа хэрэглэж болдгийг харуулах.

Жишээ 11. ∫ 𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥 интегралуудыг бодоорой.

Бодолт. 𝑑 cos 𝑥 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 тул

∫ 𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥2 𝑑 cos 𝑥 = −(𝑥2 cos 𝑥 − ∫ cos 𝑥 𝑑 𝑥2) =−(𝑥2 cos 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥)

= −(𝑥2 cos 𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑑 sin 𝑥) = −𝑥2 cos 𝑥 + 2(𝑥 sin 𝑥 −

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥) = −𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶

болно.

Хэсэгчлэн интегралчлах томьёог ашиглан тодорхой интеграл бодох. Энэ үед томьёо дараах байдлаар

бичигдэнэ: ∫ 𝑣 ∙𝑏

𝑎𝑑𝑢 = [𝑢𝑣]𝑎

𝑏 − ∫ 𝑢𝑏

𝑎𝑑𝑣. Энд [𝑢𝑣] нь бүрэн

интегралчлагдсан хэсэг учир харгалзах хязгааруудын хооронд утгыг нь бодно.

ln 𝑥-ийг интегралчлахдаа сурагчдад 𝑢 = ln 𝑥 , 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 гэж авахыг зөвлөөрэй.

Жишээ 11. 𝑦 = ln𝑥 муруй ба Ox тэнхлэг, 𝑥 = 1 ба 𝑥 = 3 шулуунуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.

Бодолт. Олох талбай нь 𝑆 = ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥3

1 интегралын утгатай

тэнцүү. 𝑢 = ln 𝑥 ,𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1 гэж авбал 𝑣 = 𝑥, 𝑑𝑢 =

1

𝑥𝑑𝑥 болох

тул ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 × 𝑥 − ∫1

𝑥× 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥 =

= 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 болно. Иймд 𝑆 = ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥3

1= [𝑥 ln 𝑥 − 𝑥]1

3 =

(3 ln 3 − 3) − (1 ln 1 − 1) =

= 3 ln 3 − 2 ≈ 1.3 болно. Багшийн анхаарах зүйл. Энэ аргын гол зорилго нь

∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 интегралыг бодох нь ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 интегралыг

бодохоос хялбар байхаар 𝑢 болон 𝑑𝑣 функцуудыг сонгоход оршино.

Мөн 𝑑𝑥 –ийн өмнө байгаа хоёр функцийн нэгийг 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑓(𝑥) чанар ашиглан хувиргасны дараа хэсэгчлэн интегралчлах томьёог ашиглавал хялбар байдаг.

12.8ж*. Трапецийн дүрэм хэрэглэн тодорхой интегралыг үнэлэх (графикийг зурж, трапецийн дүрмээр доод/дээд үнэлгээний алин болохыг тодорхойлох)

Үйл ажиллагаа 1. Трапецийн дүрэм ашиглан тодорхой

интегралыг үнэлэх. Трапецийн дүрмийг хялбар байдлаар томьёолъё:

Зураг1а. Зураг 1б. Зураг 1а. дээрх будагдсан хэсэг буюу 𝑦 = 𝑓(𝑥) муруй, Ох

тэнхлэг, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуунуудаар хашигдсан муруй

48

шугаман трапецийн талбайг ойролцоогоор олохын тулд зураг 1б. дээрх будагдсан трапецийн талбайг ашиглая. Зургаас харвал трапецийн талбай нь муруй шугаман трапецийн талбайн дутагдалтай ойролцоо утгыг гаргаж өгч байна. Муруй хотгор эсвэл гүдгэр байхаас хамаарч ойролцоо утга нь дутагдалтай эсвэл илүүдэлтэй байна.

Энэ трапецийн талбай 𝑆 =1

2(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏))(𝑏 − 𝑎)

томьёогоор олдоно.

Иймд ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 ≈

1

2(𝑏 − 𝑎)(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)) байна. Энэ бол

трапецийн дүрмийн хамгийн хялбар хэлбэр юм. Одоо трапецийн дүрмийг ерөнхий байдлаар томьёолъё.

Трапецийн дүрмийн хялбар хэлбэр нь нэрээд нарийвчлал

муутай байгааг анзаарсан биз дээ. Ялангуяа 𝑂𝑥 тэнхлэгийн завсар нь том байвал талбайн жинхэнэ утгаас их зөрөөтэй гарах нь илт. Иймд нарийвчлалыг

сайжруулахын тулд 𝑎 – аас 𝑏 хүртэлх том завсрыг хэд хэдэн жижиг завсарт хувааж, завсар бүрд трапецийн дүрэм хэрэглэдэг.

𝑎 – аас 𝑏 хүртэлх завсрыг тус бүр ℎ өргөнтэй 𝑛 тэнцүү

завсарт хуваавал 𝑛ℎ = 𝑏 − 𝑎 болно. Хамгийн эхний завсрын зүүн талын 𝑥 координатыг 𝑥0 гэвэл 𝑥0 = 𝑎 болох

ба дараа нь 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑥2 = 𝑥0 + 2ℎ гэх мэтчилэн 𝑥𝑛−1 =𝑥0 + (𝑛 − 1)ℎ болох ба 𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑛ℎ = 𝑏 болно. Бичлэгийг

товчлохын тулд 𝑦0 = 𝑓(𝑥0), 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) гэх мэтчилэн

тэмдэглэе. (Зураг 1. в үз). Зураг 1в.

ℎ Ингээд өргөнтэй

завсар тус бүрд

трапецийн хялбар дүрэм хэрэглэе.

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≈1

2ℎ(𝑦0 + 𝑦1) +

1

2ℎ(𝑦1 + 𝑦2) + ⋯ +

1

2ℎ(𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛) =

=1

2ℎ(𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2+. . . +𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛) =

1

2ℎ{(𝑦0 + 𝑦𝑛) +

2(𝑦1 + 𝑦2+ . . . +𝑦𝑛−1)}. Ийнхүү 𝑛 завсартай үед трапецийн дүрэм нь

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 ≈

1

2ℎ{(𝑦0 + 𝑦𝑛) + 2(𝑦1 + 𝑦2+ . . . +𝑦𝑛−1)}, энд ℎ =

𝑏−𝑎

𝑛 болно.

Жишээ 12. а. Гурван завсартай трапецын дүрэм ашиглан

∫ cosec 𝑥 𝑑𝑥2𝜋

3𝜋

6

тодорхой интегралын утгыг зууны орноор

тоймлон олоорой.

б. 𝑦 = cosec 𝑥 функцийн тойм график зурж, трапецын дүрэм нь интегралын жинхэнэ утгыг илүүдэлтэй эсвэл дутагдалтай тоймлож байгааг тайлбарлаарай. Бодолт:

49

а. Графикийн доорх талбайг зурагт үзүүлснээр ижил

𝜋

6

өргөнтэй гурван зурваст хувааж, график дээрх цэгүүдийг хэрчмээр холбовол гурван трапец үүслээ. Цэгүүд дээрх функцийн утгыг олбол

cosec (𝜋

6) = 2, cosec (

𝜋

3) =

2

√3≈ 1.1547, cosec (

𝜋

2) = 1,

cosec (2𝜋

3) =

2

√3≈ 1.1547.

Иймд трапецуудын талбай

𝑆1 =2+1.1547

2×

𝜋

6= 0.8259, 𝑆2 =

1.1547+1

2×

𝜋

6= 0.5641 = 𝑆3

байна.

Тэгэхээр графикийн доорх талбай ойролцоогоор 𝑆 ≈0.8259 + 2 × 0.5641 = 1.9541 ≈ 1.95 болно. б. 𝑦 = cosec 𝑥 функцийн график өгсөн завсарт хотгор

байгаа тул график дээрх цэгүүдийг холбосон хөвчүүд графикийн дээр оршино. Тэгэхлээр трапецуудын талбай графикийн доор орших талбайгаас их байна. Иймд трапецын дүрмээр олсон талбай жинхэнэ талбайн илүүдэлтэй ойролцоо утгыг гаргаж өгнө.

IX БҮЛЭГ. ДАРААЛАЛ, ЦУВАА

Хүрэх үр дүн. Дараалал цувааны тухай ойлголттой болох ба зарим нийлбэрийг олох

чадвартай болно. Суралцахуйн


12.9а*. Дараалал ба цувааны тухай ойлголттой болох

Үйл ажиллагаа 1. Дараалал ба цувааны тухай ойлгох - Дараалал , дараалал өгөх аргын тухай тайлбарлана

Жишээ 1: Фибоначийн дараалал. 𝐹1 = 1, 𝐹2 = 1 ба 𝐹𝑛 =𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 гэж тодорхойлогдох дарааллыг Фибоначийн дараалал гэдэг. Энэ дараалал нь рекурент томьёогоор өгөгдсөн дараалал буюу ѳмнѳх хоёр гишүүнээсээ хамаарч өгөгдсөн байна. Дарааллын эхний зарим гишүүдийг бичвэл 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... гэх мэтээр цааш үргэлжилнэ. Энэ дарааллын ерѳнхий гишүүний томьёог

𝐹𝑛 =1

√5{(

1+√5

2)

𝑛

− (1−√5

2)

𝑛

} гэж олж бас болдог.

Багшийн ном: “МатематикX-XII” Хуудас 83

12.9б*. 𝑛-р

гишүүн (𝑢𝑛) ба эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийн

(𝑆𝑛)

Үйл ажиллагаа 1. 𝒏-дүгээр гишүүн (𝒖𝒏) ба эхний 𝒏

гишүүний нийлбэрийн (𝑺𝒏) хамаарлыг мэдэх Ѳгсѳн {𝑢𝑛} дарааллийн эхний 𝑛 ширхэг гишүүний

нийлбэрийг хэсгийн нийлбэр гээд 𝑆𝑛 гэж тэмдэглэдэг. Ѳѳрѳѳр хэлбэл

𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛

байна. Эндээс 𝑆𝑛−1 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 гэдгийг санавал бид 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛 болохыг харж болно.


50

хамаарлыг мэдэх

Тухайлбал 𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 гэсэн ерѳнхий гишүүний томъёогоор ѳгѳгдсѳн арифметик прогрессын хувьд хэсгийн нийлбэрийг олбол

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑑) + (𝑎 + 2𝑑) + ⋯ +

(𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑) = 𝑛𝑎 +𝑛(𝑛−1)

2𝑑 гэсэн томьёо гарна.

Жишээ 2: Арифметик прогрессийн хэсгийн нийлбэрийн томъёо нь 𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 3) гэж ѳгѳгдсѳн дарааллын 4 дэх гишүүн болон ялгаварыг ол.

Ѳгсѳн томъёоноос 𝑆4 = 28, 𝑆3 = 18 гарах ба 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛

томъёонд 𝑛 = 4 гэж орлуулбал 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑢4 гэж гарах ба

эндээс 𝑢4 = 28 − 18 = 10 гэж гарна. Мѳн ерѳнхий гишүүнийг энэ томъёоноос олбол 𝑢𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 =𝑛(𝑛 + 3) − (𝑛 − 1)(𝑛 + 2) = 2𝑛 + 2 гэж гарна. Хэрэв

ялгаврыг олбол 𝑑 = 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 = 2𝑛 + 2 − 2𝑛 = 2 гэж гарна.

12.9в*. 𝑛-р гишүүний томьёо өгсөн үед дараалал байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. 𝒏-дүгээр гишүүн нь томьёогоор өгөгдсѳн дараалал байгуулах {𝑢𝑛} дарааллийн ерѳнхий гишүүн 𝑢𝑛 = 𝑛2 гэсэн томьёогоор ѳгсѳн бол дарааллыг хэрхэн байгуулах вэ

гэдгийг авч үзье. Үүний тулд 𝑛-ийн оронд 1, 2, 3, гэх мэтчилэн орлуулж гишүүдийг олох замаар гишүүн бүрээ

олж дарааллаа байгуулна. Ѳѳрѳѳр хэлбэл 𝑛 = 1, 𝑛 = 2, 𝑛 =3, 𝑛 = 4 үед

𝑢1 = 1, 𝑢2 = 4, 𝑢3 = 9, 𝑢4 = 16 гэх мэтээр байгуулна.

Жишээ 3: Дарааллын ерѳнхий гишүүн нь 𝑢𝑛 = 𝑛2 − 𝑛 гэж ѳгѳгдсѳн бол

𝑢1 = 0, 𝑢2 = 2, 𝑢3 = 6, 𝑢4 = 12, 𝑢5 = 20, гэх мэтээр гишүүдийг олж 0, 2, 6, 12, 20 , ... гэсэн дараалал байгуулагдана.


12.9г*. Төгсгөлгүй нийлбэр ба цувааны нийлэлтийн тухай ойлголттой болох

Үйл ажиллагаа 1. Төгсгөлгүй нийлбэр ба цувааны

нийлэлтийн тухай мэдэх Ѳгсѳн тѳгсгѳлѳг дарааллийн хэсгийн нийлбэр үргэлж тѳгсгѳлѳг тоо байх учир олж болно. Мѳн ѳмнѳ нь тѳгсгѳлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр олддог талаар 11-р

ангид үзэж байсан билээ. Ерөнхий гишүүн нь 𝑢𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 гэсэн томьёогоор өгөгдсөн тѳгсгѳлгүй буурах геометр

прогресс 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 + ⋯, −1 < 𝑟 < 1

өгөгдсөн байг. Эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг олбол

𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎(1 + 𝑟 + ⋯ + 𝑟𝑛−1) =𝑎(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟

=𝑎

1 − 𝑟+

𝑎𝑟𝑛

1 − 𝑟

болох ба −1 < 𝑟 < 1 учир 𝑛 ихсэхэд 𝑟𝑛 тоо 0 рүү ойртоно. Иймээс төгсгөлгүй геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэр

𝑆 = lim𝑛→∞

(𝑎

1 − 𝑟+

𝑎𝑟𝑛

1 − 𝑟) =

𝑎

1 − 𝑟

гэж олдоно.

Хэрэв |𝑟| > 1 бол 𝑛 ихсэхэд 𝑟𝑛 тоо улам бүр ихсэх

учраас хэсгийн нийлбэр 𝑆𝑛 ихсэж геометр прогрессийн нийлбэр нь олдохгүй.

Ѳгѳгдсѳн тоон дараалал 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … , 𝑢𝑛 , … -ийн бүх

гишүүдийн нийлбэрийг 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 + ⋯ цуваа гэдэг. Хэрэв өгсөн дараалал нь төгсгөлөг бол уг дараалалд төгсгөлгүй олон 0 гишүүн нэмэх замаар төгсгөлгүй дараалал болгож түүнээсээ цуваа үүсгэж болно. Энэ үед уг цувааны нийлбэр үргэлж олдоно. Зарим тѳгсгѳлгүй цувааны нийлбэр ч гэсэн олдож болдог жишээг бид дээр харсан. Иймд нийлбэр нь олддог буюу тодорхой тоо гардаг цувааг нийлдэг цуваа гэнэ. Харин цувааны нийлбэр нь олддоггүй


51

бол түүнийг сарнидаг цуваа гэнэ. Тоон дарааллын эхний 𝑛

гишүүний нийлбэртэй адилаар цувааны эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг 𝑆𝑛 гэж тэмдэглэнэ. Цувааны 𝑛-р гишүүн нь 𝑢𝑛

бол бидэнд 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛 гэсэн томьёо бас биелэнэ.

Хэрэв цуваа нийлдэг ба цувааны нийлбэр 𝑆 бол энэ томьёоны зүүн баруун талд байгаа хэсгийн нийлбэрүүд 𝑛

ихсэхэд 𝑆 тооруу ойртох учраас цувааны 𝑛-р гишүүн 0 рүү ойртдог байх хэрэгтэй байна. Мөн үүний эсрэгээр хэрэв

цувааны 𝑛-р гишүүн 𝑛 ихсэхэд 0 рүү ойртдоггүй бол 𝑆𝑛 =𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛 томьёоны зүүн баруун тал тэнцэхгүй болоход хүрэх учраас цуваа нийлэхгүй.

Жишээ 4: 𝑢𝑛 = (−1

2)

𝑛

гэсэн ерөнхий гишүүнтэй

дарааллаар үүсэх цувааг байгуулж цувааны нийлбэрийг ол.

Бодолт. Эхний гишүүдийг олж бичвэл −1

2,

1

4, −

1

8,

1

16, … гэх

мэтээр байгуулагдана. Харин цуваа нь

−1

2+

1

4−

1

8+

1

16− … + (−

1

2)

𝑛

+ ⋯

болох ба энэ нь 𝑢1 = −1

2 гэсэн эхний гишүүнтэй 𝑟 = −

1

2

гэсэн хуваарьтай геометр прогресс байна. Эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг нь томьёо ашиглан олбол

𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟=

−12 (1 − (−

12)

𝑛

)

1 − (−12)

=−

12

− (−12

)𝑛+1

32

= −1

3−

2

3∙ (−

1

2)

𝑛+1

болно. Эндээс цувааны нийлбэрээ олбол 𝑆 = −1

3 гэж

гарна.

12.9д*. Σ тэмдэглэгээ хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Сигма (𝜮) тэмдэглэгээ хэрэглэх Цуваа нь төгсгөлгүй дарааллын бүх гишүүдийн нийлбэр

учраас бид үүнийг хялбарчилж сигма буюу тэмдэглэгээ хэрэглэдэг.

𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 + ⋯ гэсэн цувааг бид ∑ 𝑢𝑖∞𝑖=1

гэж бичдэг. Харин цувааны эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг

𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 = ∑ 𝑢𝑖

𝑛

𝑖=1

гэж тэмдэглэнэ. Мөн энэ нийлбэрийг

∑ 𝑢𝑗

𝑛

𝑗=1

, ∑ 𝑢𝑘

𝑛

𝑘=1

, ∑ 𝑢𝑖+1

𝑛−1

𝑖=0

гэх мэтээр тэмдэглэн бичиж болох ба энэ нь 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 гэсэн нийлбэртэй тэнцүү байна. Нийлдэг цувааны хувьд дараах чанарууд биелнэ.

∑(𝑢𝑖 + 𝑣𝑖) = ∑ 𝑢𝑖

∞

𝑖=1

+ ∑ 𝑣𝑖

∞

𝑖=1

∞

𝑖=1

∑ 𝑎𝑢𝑖 = 𝑎 ∑ 𝑢𝑖

∞

𝑖=1

∞

𝑖=1

энд 𝑎 тогтмол тоо байна. Жишээ 5:

1 −1

3+

1

5−

1

7+ ⋯ + (−1)𝑛

1

2𝑛 − 1+ ⋯

Tоон цувааг ашиглан бичнэ үү.

52

Бодолт. Цувааны эхний гишүүн 1, хоёр дахь гишүүн −1

3,

гурав дахь гишүүн 1

5 гэх мэтээр явж байгаа учир ерөнхий

гишүүн нь 𝑎𝑛+1 = (−1)𝑛 1

2𝑛−1 гэсэн томьёогоор бичигдэнэ.

Иймд цуваагаа сигма тэмдэг ашиглан бичвэл

∑(−1)𝑛1

2𝑛 − 1

∞

𝑖=1

болно.

12.9е*. Ялгаврын аргаар цувааны нийлбэрийг олох

Үйл ажиллагаа 1. Ялгаврын аргаар цувааны нийлбэрийг олох

∑ 𝑖2 = 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

∞

𝑖=1

адилтгалыг цувааны нийлбэрийг боддог ялгаврын арга ашиглан баталъя. Үүний тулд дараах илэрхийллийг авч үзье. Үүний тулд

𝑘3 − (𝑘 − 1)3 = 3𝑘2 − 3𝑘 + 1 гэсэн адилтгалыг 𝑘 = 1, 2, 3, 4, … , 𝑛 − 1, 𝑛 үед бичвэл

13 = 3 ∙ 12 − 3 ∙ 1 + 1

23 − 13 = 3 ∙ 22 − 3 ∙ 2 + 1

33 − 23 = 3 ∙ 32 − 3 ∙ 3 + 1

43 − 33 = 3 ∙ 42 − 3 ∙ 4 + 1 … (𝑛 − 1)3 − (𝑛 − 2)3 = 3(𝑛 − 1)2 − 3(𝑛 − 1) + 1

𝑛3 − (𝑛 − 1)3 = 3𝑛2 − 3𝑛 + 1 болно. Эдгээр адилтгалыг тэнцэтгэлийн зүүн ба баруун тал

тус бүрээр харгалзуулан нэмбэл 𝑛3 = 3(𝑛2 + (𝑛 − 1)2 +⋯ + 32 + 22 + 12) − 3(𝑛 + (𝑛 − 1) + ⋯ + 3 + 2 + 1) + 𝑛 буюу

𝑛3 = 3(𝑛2 + (𝑛 − 1)2 + ⋯ + 32 + 22 + 12) −3𝑛(𝑛+1)

2+ 𝑛

болох ба эндээс

𝑛2 + (𝑛 − 1)2 + ⋯ + 32 + 22 + 12 =𝑛3+

3𝑛(𝑛+1)

2−𝑛

3=

2𝑛3+3𝑛2+𝑛

6=

𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6

болж батлагдав.

Жишээ 6: ∑1

𝑘(𝑘+1)

𝑛𝑘=1

гэсэн цувааны нийлбэрийг ол.

Бодолт. Өгөгдсөн төгсгөлөг цувааг 1

𝑘(𝑘+1)=

1

𝑘−

1

𝑘+1 гэсэн

томьёог ашиглан бодвол

∑1

𝑘(𝑘+1)=𝑛

𝑘=1 ∑ (1

𝑘−

1

𝑘+1) == (

1

1−

1

2) + (

1

2−

1

3) + (

1

3−

1

4) +𝑛

𝑘=1

⋯ + (1

𝑛−1−

1

𝑛) + (

1

𝑛−

1

𝑛+1) = 1 −

1

𝑛+1=

𝑛

𝑛+1

болно.

12.9ж*. 𝑝

𝑞

рационал тоо

бол (1 + 𝑥)𝑝

𝑞 функцийг биномын томьёо хэрэглэн цуваанд задлах, урвуу үйлдлийг

Үйл ажиллагаа 1. Сурагчид (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑛𝑎𝑛−1𝑏 +𝑛(𝑛−1)

2𝑎𝑛−2𝑏2 + ⋯ +

𝑛(𝑛−1)

2𝑎2𝑏𝑛−2 + 𝑛𝑎𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛 гэсэн

Ньютоны бином томьёоноос эхлээд

(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1)

2!𝑥2 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3!𝑥3 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

4!𝑥4 + ⋯ +

𝑛(𝑛−1)

1∙2𝑥𝑛−2 + 𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 +

𝑛(𝑛−1)

2!𝑥2 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3!𝑥3 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

4!𝑥4 + ⋯ +

𝑛(𝑛−1)…3

(𝑛−2)!𝑥𝑛−2 +

𝑛(𝑛−1)…3∙2

(𝑛−1)!𝑥𝑛−1 +

𝑛(𝑛−1)…3∙2∙1

𝑛!𝑥𝑛

задаргааг гаргаж авна. Энэ задаргаа нь 𝑥-ийн хувьд олон

гишүүнт хэлбэртэй, 𝑥-ийн зэргүүд нь өсөх эрэмбээр

53

гүйцэтгэх (энд сөрөг илтгэгчтэй зэрэг мөн хамаарна)

бичигдсэн байгааг мөн өмнөх коэффициентүүд нь ямар зүй тогтолтой байгааг ярилцана. Үйл ажиллагаа 2. Энэ задаргааг натурал биш 𝑛-үүдийн бас хэрэглэж болох болов уу?

Энэ асуултад хариулахын өмнө 𝑛 натурал тоо байх үед

задаргааны 𝑖 −р гишүүний коэффициент 𝑛(𝑛−1)…(𝑛−𝑖+1)

𝑖!−ийг

ажиглаж уг коэффициент 𝑛 −ээс их дугаартай гишүүний хувьд 0 гэж үзэж болохыг харуулж үнэмшүүлнэ.

Жишээлбэл 𝑛 = 5 үед 𝑥6-ийн коэффициент 5∙4∙3∙2∙1∙0

6!= 0

тул хойших бүх гишүүдийн коэффициент тэг болно. Гэвч

энэ нь 𝑛 натурал тоо байх үед л биелэж байгаа юм. Ньютоны бином томьёоны 𝑛 −ийн оронд натурал биш тоо

тухайлбал 𝑛 =1

2 гэж орлуулж эхний гишүүдийг бичвэл

1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1)

2!𝑥2 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3!𝑥3 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

4!𝑥4 + ⋯ =

1 +1

2𝑥 +

1

2(

1

2−1)

2!𝑥2 +

1

2(

1

2−1)(

1

2−2)

3!𝑥3 +

1

2(

1

2−1)(

1

2−2)(

1

2−3)

4!𝑥4 + ⋯

гэсэн дараалал үүснэ. Энэ дарааллын гишүүдийн коэффициент нь хэзээ ч тэг гарахгүй болохыг харж болно. Иймд зэрэг нь натурал биш бол задаргааг төгсгөлгүй үргэлжлүүлж болно гэсэн үг.

Жишээ 7: 𝑛 = −1 тохиолдолд задаргааг бич.

Бодолт. 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1)

2!𝑥2 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3!𝑥3 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

4!𝑥4 + ⋯ == 1 + (−1)𝑥 +

−1(−1−1)

2!𝑥2 +

−1(−1−1)(−1−2)

3!𝑥3 +

−1(−1−1)(−1−2)(−1−3)

4!𝑥4 + ⋯ = 1 − 𝑥 +

1∙2

2!𝑥2 −

1∙2∙3

3!𝑥3 +

1∙2∙3∙4

4!𝑥4 + ⋯ = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − ⋯

болно. Өөрөөр хэлбэл 1

1+𝑥= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − ⋯

гэж задардаг гэсэн үг. Эндээс үндэслээд бид аливаа бодит

тоо 𝑛 ба |𝑥| < 1 байх 𝑥 −ийн хувьд

(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1)

2!𝑥2 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3!𝑥3 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

4!𝑥4 + ⋯

гэсэн төгсгөлгүй цувааг байгуулж болно. Тухайлбал 𝑛 =𝑝

𝑞

гэсэн рациональ тоо ба |𝑥| < 1 байх 𝑥 −ийн хувьд

(1 + 𝑥)𝑝

𝑞 = 1 +𝑝

𝑞𝑥 +

𝑝

𝑞(

𝑝

𝑞−1)

2!𝑥2 +

𝑝

𝑞(

𝑝

𝑞−1)(

𝑝

𝑞−2)

3!𝑥3 +

𝑝

𝑞(

𝑝

𝑞−1)(

𝑝

𝑞−2)(

𝑝

𝑞−3)

4!𝑥4 + ⋯ гэсэн томьёо гарна.

Жишээ 8. (8 + 5𝑥)2

3 –ийн задаргааг бич. Бодолт.

(8 + 5𝑥)2

3 = 823 (1 +

5

8𝑥)

2

3= 4 (1 +

5

8𝑥)

2

3= 4 (1 +

2

3(

5

8𝑥) +

2

3(

2

3−1)

2!(

5

8𝑥)

2

+2

3(

2

3−1)(

2

3−2)

3!(

5

8𝑥)

3

+ 2

3(

2

3−1)(

2

3−2)(

2

3−3)

4!(

5

8𝑥)

4

+ ⋯ )

Үйл ажиллагаа 3. Хэрвээ 𝑥 нь |𝑥| < 1 нөхцлийг хангах ба цуваа нийлж байвал цувааны эхний хэдэн гишүүн

ойролцоо тооцоололд хангалттай. Учир нь |𝑥| < 1 үед 𝑥2,𝑥3, 𝑥4, … гэсэн илэрхийллүүд нь зэрэг ахих бүх улам бүр багасах учир функцийн утгыг ойролцоо олоход энэ аргыг хэрэглэж болдог.

Жишээ 9. √2 гэсэн тоог (1 − 2𝑥)1

2 илэрхийллийн задаргааг ашиглан ойролцоогоор ол.

Бодолт. Эхлээд (1 − 2𝑥)1

2 илэрхийллийн задаргааг бичье.

54

(1 − 2𝑥)1

2 = 1 +12

1(−2𝑥) +

1

2(

1

2−1)

2!(−2𝑥)2 +

1

2(

1

2−1)(

1

2−2)

3!(−2𝑥)3 +

⋯ = 1 − 𝑥 −1

2𝑥2 −

1

2𝑥3 − ⋯

болно. Одоо 1 − 2𝑥 = 2 гээд бодвол 𝑥 = −0.5 болох ба задаргаанд орлуулбал нилээн их 𝑥 −ийн зэрэг бичиж байж ойролцоо утга гаргаж болохоор байна. Гэтэл задаргааны олон гишүүн олох нь өөрөө хэцүү бодлого болох учир арай

өөр аргаар хялбар тооцоольё. Үүний тулд 1 − 2𝑥 нь 2-ийг үржих нь ямар нэг тооны квадраттай тэнцүү байхаар аль

болох бага 𝑥 −ийг сонгох хэрэгтэй. Тухайлбал 𝑥 = 0.01

гэвэл 1 − 2𝑥 = 0.98 = 2 ∙ 0.72 болох ба одоо задаргаагаа ашиглавал

0.9812 = (2 ∙ 0.72)

12 = 1 − 0.01 −

1

2∙ 0.012 −

1

2∙ 0.013 − ⋯

болно. Эндээс 0.7 ∙ √2 ≈ 1 − 0.01 − 0.00005 − 0.0000005 =

0.9899495 болно. Иймд √2 ≈10

7∙ 0.9899495 ≈ 1.4142136

болно. Энэ тоо √2 тоотой хэр ойрхон байгааг тооны машин ашиглан шалгаарай. Үйл ажиллагаа 4. Рационал илэрхийллийг зэрэгт хэлбэрт бичих

Бид нар өмнөх хэсэгт (𝑥 + 1)−1 =1

1+𝑥= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 +

𝑥4 − ⋯ гэсэн задаргааг үзсэн. Ийм төрлийн задаргааг ашиглан хялбар рационал илэрхийллийг зэрэгт хэлбэрт бичиж болно.

Жишээ 10. 3+𝑥

2−3𝑥+𝑥2 гэсэн бутархайг 𝑥3 хүртэл зэрэгт

цуваанд задал. Бодолт. Энэ бодлогыг хэд хэдэн аргаар бодож харуулъя.

1-р арга. 3+𝑥

2−3𝑥+𝑥2 =3+𝑥

2(1−3

2𝑥+

1

2𝑥2)

=1

2(3 + 𝑥) (1 −

1

2(3𝑥 − 𝑥2))

−1

болох ба (𝑥 + 1)−1 илэрхийллийн задаргааг ашиглаад

дараа нь 𝑥3-ээс их зэргүүдийг хаяж бичвэл

(1 −1

2(3𝑥 − 𝑥2))

−1

= 1 +1

2(3𝑥 − 𝑥2) + (

1

2(3𝑥 − 𝑥2))

2

+

(1

2(3𝑥 − 𝑥2))

3

+ ⋯ = 1 +1

2(3𝑥 − 𝑥2) +

1

4(9𝑥2 − 6𝑥3) +

1

8∙

(27𝑥3) + ⋯ = 1 +3

2𝑥 +

7

4𝑥2 +

15

8𝑥3 + ⋯

болно. Эндээс илэрхийлэл

1

2(3 + 𝑥) (1 −

1

2(3𝑥 − 𝑥2))

−1

=1

2(3 + 𝑥) (1 +

3

2𝑥 +

7

4𝑥2 +

15

8𝑥3 +

⋯ )

болох ба хаалт задалж үржүүлбэл 1

2(3 + 𝑥) (1 +

3

2𝑥 +

7

4𝑥2 +

15

8𝑥3 + ⋯ ) =

3

2+

11

4𝑥 +

27

8𝑥2 +

59

16𝑥3 +

⋯

болох учир хариу нь 3

2+

11

4𝑥 +

27

8𝑥2 +

59

16𝑥3 болно.

2-р арга. 3+𝑥

2−3𝑥+𝑥2 =3+𝑥

(2−𝑥)(1−𝑥)=

𝐴

2−𝑥+

𝐵

1−𝑥 гэж задрах ёстой

гэдгээс 𝐴 = −5, 𝐵 = 4 гэж олдох ба эндээс 3+𝑥

2−3𝑥+𝑥2 =−5

2−𝑥+

4

1−𝑥= −

5

2∙

1

1−𝑥 2⁄+ 4

1

1−𝑥= −

5

2(1 −

𝑥

2)

−1

+

4(1 − 𝑥)−1 =

−5

2(1 +

𝑥

2+ (

𝑥

2)

2

+ (𝑥

2)

3

+ ⋯ ) + 4(1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ ) =

(4 −5

2) + (4 −

5

4) 𝑥 + (4 −

5

8) 𝑥2 + (4 −

5

16) 𝑥3 + ⋯ =

3

2+

11

4𝑥 +

27

8𝑥2 +

59

16𝑥3 + ⋯

55

болох бѳгѳѳд эндээс хариу нь 3

2+

11

4𝑥 +

27

8𝑥2 +

59

16𝑥3 болж

байна.

X БҮЛЭГ. МАТЕМАТИК ИНДУКЦ

Хүрэх үр дүн. Математик индукцийн аргыг ойлгох, хэрэглэх чадвартай болно. Суралцахуйн


12.10а. Математик индукцийн аргыг ойлгох, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Гүйцэд биш индукц Цөөн тооны тухайн тохиолдолд мөн чанарыг ажиглаад ерөнхий дүгнэлт хийх аргыг гүйцэд биш индукцийн арга гэнэ. Индукцийн сэтгэлгээний математикийн бус жишээ авах.

Жишээ 1. Дурын бодит 𝑎 ба дурын натурал 𝑛 –ийн хувьд

1

𝑎(𝑎+1)+

1

(𝑎+1)(𝑎+2)+ ⋯ +

1

(𝑎+𝑛−1)(𝑎+𝑛)= нийлбэрийн утгыг ол.

Бодолт. 𝑛 = 1 үед 1

𝑎(𝑎+1)=

1

𝑎(𝑎+1)

𝑛 = 2 үед 1

𝑎(𝑎+1)+

1

(𝑎+1)(𝑎+2)=

2

𝑎(𝑎+2)

𝑛 = 3 үед 1

𝑎(𝑎+1)+

1

(𝑎+1)(𝑎+2)+

1

(𝑎+2)(𝑎+3)=

2

𝑎(𝑎+2)+

1

(𝑎+2)(𝑎+3)=

3

𝑎(𝑎+3)

𝑛 = 4 үед 1

𝑎(𝑎+1)+

1

(𝑎+1)(𝑎+2)+

1

(𝑎+2)(𝑎+3)+

1

(𝑎+3)(𝑎+4)=

3

𝑎(𝑎+3)+

1

(𝑎+3)(𝑎+4)=

4

𝑎(𝑎+4)

Эндээс ерөнхий дүгнэлт хийвэл 1

𝑎(𝑎+1)+

1

(𝑎+1)(𝑎+2)+ ⋯ +

1

(𝑎+𝑛−1)(𝑎+𝑛)=

𝑛

𝑎(𝑎+𝑛)

Энэ аргаар ихэнхдээ зөв дүгнэлт хийж болох боловч зарим үед алдаанд хүрч болно. Үйл ажиллагаа 2. Гүйцэд индукц

Бүх боломжийг шалгаж үзсэний дараа дүгнэлт хийх аргыг гүйцэд индукцийн арга гэнэ. Математик индукцийн зарчим ба Математик индукцийн арга: Жишээ 2. Вагон бүр дараагийнхаа вагонтой холбогдсон гэж өгөгджээ. Эндээс бүх вагон төмөр замаар явж байгаа гэсэн дүгнэлт хийж чадах уу? Эхний вагон явж байгаа гэж өгөгдөөгүй байхад энэ дүгнэлтэд хүрэхгүй.

1. Босгож тавьсан даалуунуудын эхний даалууг түлхэн унагаав.Даалуу бүр унахдаа дараагийнхаа даалууг түлхэж унагах зайд байрласан байна.

2. Дээрх хоёр өгүүлбэрээс бүх даалуу нуран унана гэсэн дүгнэлт хийж болно. Яг энэ загвараар дараах өгүүлбэрийг ойлгуулна. Натурал тоогоор дугаарлагдсан аливаа юмсын шинж чанарыг илэрхийлсэн 𝐴(𝑛) өгүүлбэр нь

1. 𝑛 = 1 үед 𝐴(1) өгүүлбэр үнэн байдаг 2. 𝑛 − 1 үед 𝐴(𝑛 − 1) өгүүлбэрийг үнэн гэж үзээд

3. 𝑛 үед 𝐴(𝑛) өгүүлбэр үнэн гэдэг нь өмнөх хоёр өгүүлбэрээс мөрдөн гарч байвал 𝐴(𝑛) өгүүлбэр 𝑛 гэсэн бүх эерэг бүхэл тооны хувьд үнэн байна. Үүнийг математик индукцийн зарчим гэх ба энэ зарчим дээр тулгуурлан батлах аргыг математик индукцийн арга гэнэ. Дээрх алхмуудыг

1. Индукцийн суурь (тайлбар: энд 𝑛 нь заавал 1 –ээс эхлэх албагүй, харин заавал ямар нэгэн тооноос эхлэх хэрэгтэй.)


56

2. Индукцийн таамаглал (тайлбар: энд 𝐴(𝑛 − 1) ийг үнэн гэж

үзэхээс гадна нь 𝐴(1), 𝐴(2), … , 𝐴(𝑛 − 1) –ийг бүгдийг үнэн гэж үзэж болдог)

3. Индукцийн шилжилт гэж тус тус нэрлэдэг. (тайлбар: Индукцийн таамаглалаа ашиглан 𝐴(𝑛) ийн үнэн болохыг батална) Жишээ 3. Тооны хуваагдлыг батлах

Дурын натурал n –ийн хувьд 7 ∙ 52𝑛−1 + 23𝑛+1 тоо 17 –д хуваагдана гэж батал. Баталгаа.

𝑛 = 1 байхад шалгая. 7 ∙ 52𝑛−1 + 23𝑛+1 = 7 ∙ 52∙1−1 +23∙1+1 =75+16=35+16=51 –ийг 17-д хуваахад 3 бүхэл ноогдож, индукцийн суурь үнэн байна.

𝑛 байхад 7 ∙ 52𝑛−1 + 23𝑛+1 тоо 17 –д хуваагдана гэж үзье.

𝑛 + 1 үед 7 ∙ 52𝑛+1 + 23𝑛+4 тоо 17 –д хуваагдана гэдгийг баталъя.

7 ∙ 52𝑛+1 + 23𝑛+4 = 7 ∙ 52 ∙ 52𝑛−1 + 23 ∙ 23𝑛+1 = 7 ∙ 25 ∙ 52𝑛−1 +8 ∙ 23𝑛+1 = 7 ∙ (17 + 8) ∙ 52𝑛−1 + 8 ∙ 23𝑛+1 = 17 ∙ 7 ∙ 52𝑛−1 + 8 ∙ 7 ∙52𝑛−1 + 8 ∙ 23𝑛+1 = 17 ∙ 7 ∙ 52𝑛−1 + 8 ∙ (7 ∙ 52𝑛−1 + 23𝑛+1) нэмэгдэхүүн тус бүр 17 –д хуваагдах тул нийлбэр 17 –д хуваагдана. Индукцийн шилжилт хийгдлээ. Жишээ 4. Индукцийн шилжилт дутуу байхад буруу дүгнэлтэд хүрэх жишээ

𝑛 –ийн ямар утгуудад 𝑛2 + 𝑛 + 41 тоо анхны тоо байж болох вэ? гэсэн бодлогыг дараах байдлаар бодож дүгнэлт хийжээ.

Бодолт. n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 тоонуудыг орлуулахад 𝑛2 + 𝑛 +41 –ийн утга харгалзан 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 анхны тоо

гарч байгаа учир “𝑛 –ийн дурын натурал утганд 𝑛2 + 𝑛 + 41 анхны тоо байна”.

Гэтэл 𝑛2 + 𝑛 + 41 үргэлж анхны тоо байдаггүй, тухайлбал

𝑛 = 41 үед 41×43 гэсэн зохиомол тоо болох ажээ. Харин гүйцэд индукцийн аргаар баталгаа хийснээр ийм алдаа гарахгүй. Жишээ 5. Индукцийн суурь дутуу байхад буруу дүгнэлтэд хүрэх жишээ

n –ийн ямар нэгэн натурал утганд 11𝑛+1 + 122𝑛+1 илэрхийлэл 133 –д хуваагдана гэж үзье.

n+1 үед 11𝑛+2 + 122𝑛+3 илэрхийллийн утга 133 –д хуваагдана гэдгийг баталъя.

11𝑛+2 + 122𝑛+3 = 11 ∙ 11𝑛+1 + 122 ∙ 122𝑛+1 = 11 ∙ 11𝑛+1 + 144 ∙122𝑛+1 = 11 ∙ 11𝑛+1 + (11 + 133) ∙ 122𝑛+1 = 11 ∙ 11𝑛+1 + 11 ∙122𝑛+1 + 133 ∙ 122𝑛+1 = 11 ∙ (11𝑛+1 + 122𝑛+1) + 133 ∙ 122𝑛+1 = нэмэгдэхүүн тус бүр 133 –д хуваагдах тул нийлбэр 133 –д хуваагдана. Батлагдлаа.

Гэтэл үнэн хэрэгтээ 𝑛 –ийн ямар ч натурал утганд 11𝑛+1 +122𝑛+1 илэрхийллийн утга 133 –т хуваагддаггүй байна. Алдаанд хүрлээ. Мэдээж индукцийн таамаглал байхгүй бол индукцийн шилжилт хийгдэх боломжгүй. Иймээс математик индукцийн аргын гурван алхмын алиныг ч орхигдуулж болдоггүй байна.

57

XI БҮЛЭГ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИТГЭЛ

Хүрэх үр дүн. Хялбар дифференциал тэгшитгэлийн шийд олох, хэрэглэх чадвартай болно.



12.11а*.

Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг хялбар бодлогууд бодох, тэгшитгэл бичих

Үйл ажиллагаа 1. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг

хялбар бодлогуудын тэгшитгэлийг бичих

Сурагчдаас 𝑑𝑦

𝑑𝑥 налалтын функцийн тухай ойлголтыг нь

асууж эхэлж болох юм. Налалтын функц нь 𝑦-ийн

өөрчлөлтийн хурдыг 𝑥-ийн өөрчлөлтөөс хамааруулан илэрхийлж байдгийг ярилцах.

𝑥 ба 𝑦 –ээс өөр хувьсагчид оролцсон байж болно. Тэдгээрийн юу илэрхийлж байгааг тайлбарлаж чаддаг

болох хэрэгтэй. Тухайлбал 𝑑𝑠

𝑑𝑡 нь 𝑠 (энд 𝑠 замыг

илэрхийлж болно) хувьсагчийн өөрчлөгдөх хурд 𝑡 ( энд 𝑡 нь хугацааг илэрхийлж болно ) хувьсагчаар илэрхийлэгдэж байгаа юм. Үүний адилаар өөр өөрчлөлтийн хурдуудыг танилцуулж болно.

Математикийн олон хэрэглээнд хоёр хувьсагч ашигладаг ба тэдний хоорондын хамаарлыг олох шаардлага тулгардаг. Ихэнхдээ энэ хамаарал нэг хувьсагчийн нөгөөгийн хувь дахь өөрчлөлтийн хурднаас хамааран илэрхийлэгдсэн байдаг. Энэ нь дифференциал тэгшитгэл гэдэг ойлголтод хүргэдэг. Дифференциал тэгшитгэлийн шийд нь хоёр хувьсагчийг холбосон тэгшитгэл хэлбэртэй байна. Тодорхойлолт: Үл мэдэгдэх функц ба уламжлал оролцсон тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Жишээлбэл, 𝑑𝑠

𝑑𝑡= 3𝑡 + 2,

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑡2 − 3 sin 𝑡,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑒3𝑦

𝑥,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2

зэрэг нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлүүд юм (1-р эрэмбийн уламжлал агуулсан тул).

Харин 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 3𝑒−2𝑦 нь 2 дугаар эрэмбийн,

3𝑑3𝑠

𝑑𝑡3 −

2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 6 нь 3 дугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

болно. Үйл ажиллагаа 2. Эхлээд хялбар дифференциал тэгшитгэлүүдээс хамгийн хялбар нь болох

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) хэлбэрийн 1 дүгээр эрэмбийн дифференциал

тэгшитгэлийг зохиож, бодож сурахад гол зорилго оршино. Энэ хэлбэрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд

∫𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦 = 𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 гэж гарна.

Зам 𝑠, хурд 𝑣, хурдатгал 𝑎, хугацаа 𝑡-ийн хамаарлыг ашиглах бодлого.

Энд 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 (1) ба 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2 (2) гэсэн хоёр томьёог

ашиглана. Үүнийг, “Хурд нь зам-хугацааны графикийн налалтыг, хурдатгал нь хурд-хугацааны графикийн налалтыг тус тус илэрхийлнэ” гэж тайлбарлаж болно. Өөрөөр хурдатгал гэдэг нь секунд тутам хурд хэдэн метр секундээр өөрчлөгдөж байгааг илэрхийлнэ. Жишээ 1: Зогсож байсан автобус алгуур хөдөлгөөнөө

эхлэв. Хэрвээ 𝑡 секундын дараа түүний хурд 𝑣 м/сек , хурдатгал нь (метр/секунд нэгжээр) 0.2𝑡 гэж өгөв. Энэ мэдээллийг тэгшитгэлээр илэрхийлээрэй.

Бодолт: 𝑑𝑣

𝑑𝑡= 0.2𝑡 , 𝑡 ≥ 0 ба 𝑡 = 0 үед 𝑣 = 0.


58

12.11б*.

Хувьсагч нь ялгагдах, I эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох

Үйл ажиллагаа 1. Хувьсагч нь ялгагдах, 1-р эрэмбийн

дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох

Тухайлбал 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 гэх мэтийн хамгийн хялбар

дифференциал тэгшитгэлээс эхэлж болох юм. Сурагчдад шийдийг нь олох даалгавар өгнө. “Ерөнхий шийд” гэдэг ойлголтыг танилцуулж, интегралын тогтмолыг олох нь чухал гэдэгт анхаарлыг нь хандуулаарай.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2 гэх мэтийг авч үзээд, бодохын тулд хувьсагчдыг

ялгах санаа руу сурагчдаа хөтөлж болно.

Сурагчдаар хувьсагчдыг ялгуулах дасгал хийлгэх нь ашигтай, та тэдэнд илүү хүнд даалгавар өгөхөөсөө өмнө дөхүүлэх асуултууд сайн асуух хэрэгтэй.

Интегралын төрөл бүрийн томьёог сэргээн сануулж, логарифмын чанарууд ашиглан илэрхийлэл хялбарчлахад

нь сурагчдад туслах хэрэгтэй. Мөн тэдэнд c тогтмол тоо үед 𝑒𝑥+𝑐 хэлбэрийн илэрхийллийг 𝐴𝑒𝑥 хэлбэртэй бичиж болохыг давтуулж , хувиргах дасгал ажиллуулж, шаардсан хэлбэрээр шийдийг нь бичүүлнэ. Ерөнхий шийдийн график нь муруйнуудын бүл байгааг харуулах хэрэгтэй.

Ерөнхийдөө 1) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥), 2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑦), 3)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг бодож сурах юм.

Үйл ажиллагаа 2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) хэлбэрийн тэгшитгэлийн хоёр

талыг шууд интегралчилж ерөнхий шийдийг олно.

Жишээ 2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (2𝑥 − 1)(𝑥 − 1) дифференциал

тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Бодолт: 𝑦 = ∫(2𝑥 − 1)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥2 − 3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =2

3𝑥3 −

3

2𝑥2 + 𝑥 + 𝐶.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑦) хэлбэрийн тэгшитгэлийг эхлээд

𝑑𝑦

𝑑𝑥×

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 1

томьёо ашиглан хувиргаж бодох боломжтой хэлбэрт

шилжүүлээд хоёр талыг 𝑦 -ээр дифференциалчилж бодно.

Тухайлбал: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑦) ⟺

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

1

𝑓(𝑦) ⇔ 𝑥 = ∫

1

𝑓(𝑦)𝑑𝑦.


𝑑𝑥= 𝑦2 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий

шийдийг ол.

Бодолт: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2 ⟺

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

1

𝑦2 ⟺ 𝑥 = ∫1

𝑦2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦−2𝑑𝑦 =

−1

𝑦+ 𝐶 ⇒

1

𝑦= 𝐶 − 𝑥 буюу 𝑦 =

1

𝐶−𝑥 гэж гарна.

Үйл ажиллагаа 3. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦) хэлбэрийн тэгшитгэлийг

бодохдоо далд хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчаар нь дифференциалчлахын урвуу дарааллаар ажилладаг юм. Ийм хэлбэрийн тэгшитгэлийг хувьсагч нь ялгагдах

тэгшитгэл гэнэ. Учир нь түүнийг хувиргаж, 𝑦 –ийг

тэнцүүгийн нэг талд, 𝑥-ийг нөгөө талд ялгаж болдог. Энэ үйлдлийг хувьсагчийг ялгах гэдэг.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝑔(𝑦)-ээр үржүүлбэл 𝑔(𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑓(𝑥) болно. (Энэ төрлийн тэгшитгэл далд тэгшитгэлийг дифференциалчлах үед тааралддаг.)

Хэрвээ бид 𝐺′(𝑦) = 𝑔(𝑦) ба 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) байх 𝐺(𝑦) ба

𝐹(𝑥) функц олж чадвал тэгшитгэлийг 𝐺′(𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐹′(𝑥) гэж

бичиж болно. Тэгшитгэлийн зүүн талын гишүүн нь 𝑑

𝑑𝑥𝐺(𝑦)

болох тул тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝑥-ээр интегралчилбал


59

𝐺(𝑦) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 далд тэгшитгэл үүснэ. Энэ сүүлчийн алхам нь орлуулгын аргаар интеграл бодох үед хэрэглэдэг

∫ 𝐺′ (𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝐺′ (𝑦)𝑑𝑦 чанарыг ашиглаж байгаа билээ.


𝑑𝑥=

𝑥2

𝑦2 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий

шийдийг олоорой.

Бодолт: тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝑦2-аар үржүүлбэл

𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2 болно. Ингээд тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝑥-ээр

интегралчилъя:

∫ 𝑦2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 буюу 1

3𝑦3 =

1

3𝑥3 + 𝐶 болно. Хоёр талыг 3-

аар үржүүлж 3𝐶 = 𝐶 гэж тэмдэглэвэл тэгшитгэлийн

шийдийг 𝑦3 = 𝑥3 + 𝐶 гэж бичиж болно. Багшийн анхаарах зүйл. Дифференциал тэгшитгэлийг

бодоход 𝑑𝑦

𝑑𝑥∙

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 1 гэсэн томьёог нилээн хэрэглэдэг.

12.11в*. Тухайн шийдийг олоход анхны нөхцөлийг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Тухайн шийдийг олоход анхны нөхцөлийг ашиглах Тухайн шийд нь бодлогын асуултад заасан тусгай нөхцөлийг хангаж байх ёстой ба тэдгээр нөхцөлүүд нь интегралын тогтмолыг олоход хүргэдэг гэсэн санааг танилцуулж, тайлбарлах. Сурагчид тухайн шийд олох даалгавар ажиллах үедээ хамтран ажиллаж ерөнхий шийдийг олж болно. Жишээ 4. Доогуураа ус нь гоождог сав руу ус юүлж байна.

Эхлээд сав хоосон байх ба 𝑡 минутын дараа сав 𝑉см3 устай болсон гэе. Сав руу ус минутанд тогтмол 100 см3 хурдтай юүлэгдэнэ. Харин савнаас ус аль ч агшинд

минутанд 𝑘𝑉м3 хурдтай гоожно. Энд 𝑘 эерэг тогтмол. 1. Энэ нөхцөл байдлыг илэрхийлэх дифференциал тэгшитгэл

бичиж, бодоод 𝑉 =1

𝑘(100 − 100𝑒−𝑘𝑡) болохыг

харуулаарай.

2. 𝑡 = 20 үед 𝑉 = 600 байсан бол 𝑘 нь 𝑘 =1−𝑒−20𝑘

6

тэгшитгэлийг хангана гэж харуулаарай. 3. Энэ тэгшитгэлд тулгуурласан рекуррент томьёо ашиглан

𝑘-ийн утгыг зууны орноор нарийвчлан олоорой. 𝑘 = 0; 1 гэсэн анхны утга ашигла. Дөхөлтийн алхам бүрийн хариугаа арван мянганы нарийвчлалтай гаргаарай.

4. Ус юүлж эхэлснээс хойш 30 минутын дараа сав ямар хэмжээний устай болсон байх вэ? Урт хугацаа өнгөрвөл саван дахь усны эзэлхүүн хэрхэн өөрчлөгдөхийг хэлээрэй.


12.11г*. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг хялбар бодлогуудын шийдийн утгыг тайлбарлах

Үйл ажиллагаа 1. Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг

хялбар бодлогуудын шийдийн утгыг тайлбарлах Бодчихсон дифференциал тэгшитгэл авч, сурагчдаар шийдийг нь нөхцөл байдалтай холбон тайлбарлах дасгал хийлгэх шаардлагатай. Заримдаа юу болсныг тайлбарлахад график тус болно.



Хуудас 194 – 201

60

Дээрх график нь 𝑑𝑃

𝑑𝑡= −(𝑃 − 20) тэгшитгэлийн тухайн

шийдийг харуулж байна. Энд 𝑃 нь эх олонлогийн хэмжээг,

1000-аар, 𝑡 нь хугацааг жилээр илэрхийлнэ. Эхлээд 𝑡 = 0 үед 𝑃 = 16 гэж өгөгдсөн. Энэ нь 𝑃 = 20 − 4𝑒−𝑡 гэсэн тухайн шийд гаргаж өгнө.

Графикаас 𝑡 ихсэхэд 𝑃 нь 20 руу дөхөж байгаа нь харагдаж байна. Иймээс хугацаа ихсэхэд эх олонлогийн хэмжээ ихэссээр байх боловч 20 000 –аас хэзээ ч хэтрэхгүй гэсэн дүгнэлт хийж болно. Үүний адилаар, энэ дүгнэлтийг

тухайн шийдээс алгебр аргаар: 𝑡 ихсэх үед 𝑒−𝑡 нь тэг рүү

дөхөх тул 𝑃-нь 20 -руу дөхнө гэж гаргаж болно.

XII БҮЛЭГ. ДИСКРЕТ САНАМСАРГҮЙ ХУВЬСАГЧ

Хүрэх үр дүн. Дискрет санамсаргүй хувьсагч ба биномт тархалтын математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох чадвартай болно.



12.12а. 𝑋-дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хүснэгтийг байгуулах, математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. 𝑿 дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хүснэгтийг байгуулах Туршилтын үр дүнд илрэх үзэгдлүүдэд тоон утгууд харгалзуулж болно. Харгалзуулсан тоон утгуудын олонлогийн дурын элементийг төлөөлж буй хувьсагчийг санамсаргүй хувьсагч гэнэ. Хэрэв хувьсагчийн утга нь санамсаргүй туршилтын үр дүнгээс гарах тоо бол түүнийг санамсаргүй хувьсагч гэнэ. Жишээлбэл: Нэг зоосыг таван удаа орхих туршилт хийж,

хэдэн удаа сүлд буусныг 𝑋 гэе. Тэгвэл 𝑋 нь 0, 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн утга авч болно. Туршилтад зоос нь сүлдээр буух,

тоогоор буух үзэгдэл санамсаргүй илрэх тул 𝑋 хувьсагч ямар утга авах нь санамсаргүй байна. Иймд 𝑋 нь санамсаргүй хувьсагч болно.

Санамсаргүй хувьсагчийн авах тоон утгууд нь бүхэл тоо байвал дискрет санамсаргүй хувьсагч гэнэ. Жишээлбэл: Хоёр зоос орхиход хэдэн ширхэг сүлд буух үзэгдлийн тоо нь санамсаргүй хувьсагч бөгөөд 0, 1, 2 гэсэн тоон утгыг авна.

𝑋 = 0 гэдэг нь сүлд буухгүй байх үзэгдэл

𝑋 = 1 гэдэг нь нэг зоос сүлд буух үзэгдэл 𝑋 = 2 гэдэг нь хоёр зоос хоёулаа сүлд буух үзэгдэл

Өмнө үзсэн жишээнүүд дискрет санамсаргүй хувьсагчийн жишээ болно. Дискрет санамсаргүй хувьсагч тодорхой утга авах нь санамсаргүй үзэгдэл тул харгалзах магадлалтай байна. 𝑋 санамсаргүй хувьсагчийн харгалзах магадлалыг 𝑃(𝑋 =𝑎) гэж тэмдэглэнэ.


61

Жишээлбэл: Шоог нэг удаа орхиход 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн

утгуудын аль нэг нь буух ба 4 буух магадлалыг 𝑃(𝑋 = 4) гэж бичнэ.

𝑋 дискрет санамсаргүй хувьсагчийн бүх боломжит утгад магадлалыг нь харгалзуулсныг 𝑋 санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль гэнэ. Тархалтын хуулийг хүснэгтээр болон диаграммаар дүрсэлж болно. Жишээлбэл: Шоог нэг удаа орхих туршилтын санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хуулийг хүснэгтээр үзүүлэв.

𝑎 1 2 3 4 5 6

𝑃(𝑋 = 𝑎) 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн магадлалын тархалтыг ихэнх тохиолдолд хүснэгтээр илэрхийлдэг.

𝑎 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ... 𝑎𝑛

𝑃(𝑋 = 𝑎) 𝑝1 𝑝2 𝑝3 ... 𝑝𝑛

Санамсаргүй хувьсагчийн бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр 1 байна.

Эндээс 𝑃(𝑋 = 𝑎1) + 𝑃(𝑋 = 𝑎2) + 𝑃(𝑋 = 𝑎3) + ⋯ + 𝑃(𝑋 =𝑎𝑛) = 1

12.12б. 𝑋-дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох

𝑋 дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль хүснэгт дараах байдлаар өгөгдвөл

𝑎 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ... 𝑎𝑛

𝑃(𝑋 = 𝑎) 𝑝1 𝑝2 𝑝3 ... 𝑝𝑛

Математик дундаж буюу 𝜇 = 𝐸(𝑋) -ийг тооцоолохдоо

𝑎𝑖 утгуудыг харгалзах 𝑝𝑖 магадлалаар үржүүлнэ.

Гарсан үржвэрүүдийг хооронд нь нэмнэ.

X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж

𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑎1 ∙ 𝑝1 + 𝑎2 ∙ 𝑝2 + 𝑎3 ∙ 𝑝3 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∙ 𝑝𝑛=∑ 𝑎𝑖 ∙ 𝑝𝑖𝑛𝑖=1

Өөрөөр хэлбэл 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑎𝑖 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑎𝑖)𝑛𝑖=1

Дисперс 𝐷(𝑋) = ∑ 𝑎𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 − 𝜇2𝑛

𝑖=1 болно.

Жишээ:

X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль хүснэгтээр өгөгджээ.

𝑎 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑎) 0.1 0.25 0.4 0.15

I. 𝐸(𝑋)-ийг ол. II. 𝐷(𝑋)-ийг ол.

III. 𝑋-ийн стандарт хазайлтыг ол. Математик дундажыг олъё.

𝜇 = 𝐸(𝑋) = 1 ∙ 0.1 + 2 ∙ 0.25 + 3 ∙ 0.4 + 4 ∙ 0.15 = 2.4 Дисперсийг олъё.

𝐷(𝑋) = ∑ 𝑎𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 − 𝜇2𝑛

𝑖=1 = (12 ∙ 0.1 + 22 ∙ 0.24 + 32 ∙ 0.4 + 42 ∙0.15) − 2.42 = 1.34 Стандарт хазайлтыг олъё

𝜎 = √𝐷(𝑋) = √1.34 = 1.16


62

12.12в*. Бином тархалтыг практик нөхцөлд таних, томьёо хэрэглэх,

𝐵(𝑛, 𝑝) тэмдэглэгээг мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Бином тархалтыг практик нөхцөлд

таних Эхлээд бином тархалтын тухай төсөөлөл олгох зорилго бүхий жишээ авч үзнэ. Жишээ 1. Зоос орхиход тоогоороо буух үзэгдлийн магадлал 0.6. Тэгвэл дараах тохиолдлуудад 2 удаа тоогоороо буусан байх магадлалыг ол. а.3 удаа орхиход б.7 удаа орхиход Бодолт. а. 3 удаа орхиход 2 удаа тоогоороо буух үзэгдлийн магадлалыг олохдоо дараах алхамуудыг хийе

Модны диаграмыг байгуулах

Модны диаграмаас зөвхөн 2 удаа тоо буусан тохиолдлуудын магадлалыг олох

Олсон магадлалуудын нийлбэрийг олох

Модны диаграмаас 𝑃(3 удаа орхиход яг 2 удаа тоо буух) = 𝑃(𝑋 = 2) =𝑃(𝑇𝑇𝐶) + 𝑃(𝑇𝐶𝑇) + 𝑃(𝐶𝑇𝑇) = 3 ∙ 0. 62 ∙ 0.4 = 0.432 б. Одоо зоосыг 7 удаа орхиход яг 2 удаа тоогоороо буух магадлалыг олъё. Энэ тохиолдолд модны диаграм ашиглахад тохиромжгүй.

Иймд дээрх (а)-д бодсон тохиолдлоос харвал

𝑃(𝑇𝑇𝐶) = 𝑃(𝑇𝐶𝑇) = 𝑃(𝐶𝑇𝑇) = 0. 62 ∙ 0.4 байсан. Учир нь үржигдэхүүний байрыг солиход үржвэр өөрчлөгдөхгүй.

Эндээс 𝑃(ТТССССС) = 𝑃(СТСТССС) = ⋯ = 0.6 ∙ 0.6 ∙ 0.4 ∙ 0.4 ∙0.4 ∙ 0.4 ∙ 0.4 бүгд 0.62 ∙ 0.45 магадлалтай. Энд хэдэн ийм сэлгэмэл байгааг ольё. 2 тоо, 5 сүлдийн сэлгэмлийг олохдоо 7–н хоосон зайнаас 2 хоосон зай сонгож аваад Т-ээр, үлдсэн хоосон зайг С –ээр дүргэнэ гэсэн үг. Иймд 7 –гоос 2 –ийг эрэмбэлэхгүй сонгон

авах буюу хэсэглэл болно. Өөрөөр хэлбэл 𝐶72 =

7!

2!∙5!=

21 сэлгэмэл байна. Эндээс 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶72 ∙ 0.62 ∙ 0.45 = 21 ∙

0.62 ∙ 0.45 = 0.0774 боллоо. Дээрх жишээнээс төгсгөлөг тооны туршилтын үр дүнд хэдэн удаа тоо буух магадлалыг олох боломжтой боллоо.

Туршилтыг 𝑛 удаа давтахад амжилттай үр дүнгийн тоогоор 𝑋 санамсаргүй хувьсагчийг тодорхойлох ба 𝑋 тархалтыг 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) гэж тэмдэглэнэ.

Уншихдаа 𝑋 бином тархалт нь 𝑛 удаа туршилт хийхэд

туршилт бүрийн амжилттай явагдах магадлал нь 𝑝 гэнэ. Бином тархалтын магадлалыг тооцоолох

𝑛 удаагийн туршилт хийхэд 𝑟 удаа амжилттай явагдах магадал нь

Багшийн ном: “МатематикX-XII” Хуудас 131 – 140

63

𝑃(𝑋 = 𝑟) = 𝐶𝑛𝑟 ∙ 𝑝𝑟 ∙ 𝑞𝑛−𝑟

байна. Энд 𝑞 = 1 − 𝑝 байна. Жишээ 2. НОМИН супермакертийн үйлчлүүлэгчдийн 70% нь номин карттай санамсаргүйгээр 15 үйлчлүүлэгч сонгон авахад

i.Яг 9 нь номин карттай байх магадлалыг ол. ii.4-өөс багагүй, 7-гоос ихгүй номин карттай байх

магадлалыг ол. Бодолт:

𝑋 дискрет санамсаргүй хувьсагчийн утгыг санамсаргүй сонгоход номин карттай байсан хүний тоогоор тодорхойлъё.

𝑋-ийг бином тархалт гэж харуулъя.

Туршилтын тоо гэдэг нь хүний тоо

Үл хамаарах хүн бүрийн карт хамааралгүй. Өөрөөр хэлбэл: эзэмшигч нь цор ганц.

Карттай байх хүн бүрийн магадлал нь 0.7

Хүн бүр эсвэл карттай, эсвэл картгүй гэсэн 2 үр дүнг өгнө. Эндээс бином тархалт болсон учраас томьёог ашиглаж болно. Иймд 𝑋~𝐵(15, 0.7) гэж бичнэ. i. Яг 9 хүн номин карттай байх магадлалыг олъё.

𝑃(𝑋 = 9) = 𝐶159 ∙ 0.79 ∙ 0.36 = 5005 ∙ 0.79 ∙ 0.36 = 0.1572

ii. Санамсаргүй сонгон авсан хүмүүсийн дотор 4-өөс багагүй, 7-гоос ихгүй нь НОМИН карттай байх магадлалыг тооцоольё.

𝑃(4 ≤ 𝑋 ≤ 7) = 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) =𝐶15

4 ∙ 0.74 ∙ 0.311 + 𝐶155 ∙ 0.75 ∙ 0.310 + 𝐶15

6 ∙ 0.76 ∙ 0.39 + 𝐶157 ∙ 0.77 ∙

0.38 = 0.0499 болно.

12.12г*. Бином тархалтын математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтын томьёог хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Бином тархалтын математик

дундаж, дисперс, стандарт хазайлтын томьёог хэрэглэх Хэрэв 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) бол Математик дундаж нь

𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝 байна.

Дундаж хазайлт нь 𝐷(𝑋) = 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 байна. Энд 𝑞 = 1 − 𝑝 байна. Жишээ 3. 𝑋~𝐵(5, 0.6) бол 1.Дараах хүснэгтийг гүйцээж бөглө.

𝑎 0 1 2 3 4 5

𝑃(𝑋 = 𝑎) 0.01024 0.2304

2.Хүснэгтэн дэх утгуудыг ашиглан математик дундаж болон дундаж хазайлтыг тооцоол.

3. 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝 болон 𝐷(𝑋) = 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 томьёог ашиглан математик дундаж болон дундаж хазайлтыг тооцоол.

4. 𝑋-ийн стандарт хазайлтыг тооцоол. Бодолт: 1. 𝑋~𝐵(5, 0.6) гэдгээс 𝑛 = 5, 𝑝 = 0.6, 𝑞 = 1 − 0.6 = 0.4 болно. Иймд

𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶51 ∙ 0.61 ∙ 0.44 = 0.0768

𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶53 ∙ 0.63 ∙ 0.42 = 0.3456

𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶54 ∙ 0.64 ∙ 0.41 = 0.2592

𝑃(𝑋 = 5) = 𝐶55 ∙ 0.65 ∙ 0.40 = 0.07776

Эндээс бином тархалтын хүснэгт

𝑎 0 1 2 3 4 5

𝑃(𝑋= 𝑎)

0.01024 0.076

8 0.230

4 0.345

6 0.259

2 0.077

76


64

2.Математик дундажийг тооцоольё.

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑎𝑖 ∙ 𝑝𝑖5𝑖=0 = 0 ∙ 0.01024 + 1 ∙ 0.0768 + 2 ∙ 0.2304 + 3 ∙

0.3456 + 4 ∙ 0.2592 + 5 ∙ 0.07776 = 3 Дундаж хазайлтыг тооцоолъё.

𝐷(𝑋) = ∑ 𝑎𝑖2 ∙ 𝑝𝑖

5𝑖=0 − 𝜇2 = 02 ∙ 0.01024 + 12 ∙ 0.0768 + 22 ∙

0.2304 + 32 ∙ 0.3456 + 42 ∙ 0.2592 + 52 ∙ 0.07776 − 32 = 1.2

3. 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝 = 5 ∙ 0.6 = 3 𝐷(𝑋) = 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 = 5 ∙ 0.6 ∙ 0.4 = 1.2

4.Стандарт хазайлт = √𝑛𝑝𝑞 = √1.2 = 1.095

XIII БҮЛЭГ. ӨГӨГДЛИЙН ШИНЖИЛГЭЭ

Хүрэх үр дүн. Хэвийн тархалтын хэрэглээг ойлгох, хэрэглэх чадвартай болно. Суралцахуйн


12.13а*. Хэвийн тархалтын хэрэглээг ойлгох, хэвийн тархалтын хүснэгтийг хэрэглэх, 𝑁(𝜇, 𝜎2) тэмдэглэгээг мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Хэвийн тархалт Бид өмнөх бүлэгт Бином тархалтын талаар судалсан. Энэ бүлэг амьдрал бол байгалийн шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгддэг тархалтын талаар судална. 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) хувьд дараах тохиолдолуудад бином тархалтын хүснэгтүүдийг байгуулъя.

𝑛 = 10, 𝑝 = 0.5 байхад

𝑎 0 1 2 3 4 5 𝑃(𝑋= 𝑎)

0.001 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461

6 7 8 9 10 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010

𝑛 = 10, 𝑝 = 0.2 байхад

𝑎 0 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑎) 0.107 0.268 0.302 0.201 0.0881

5 6 7 8 9 10

0.0264 0.00551 0.000786 0.0000737 0.0000041 0.0000001

Дээрх бином тархалтын харгалзах баганан диаграммыг байгуулъя.

Хэрвээ туршилтын тоог ихэсгээд байвал бином тархалтын баганан диаграммуудын оройн цэгүүд хонх хэлбэртэй муруй үүсгэнэ.


65

Ийм хэлбэрийн муруйг хэвийн тархалтын муруй гэнэ. Иймд бином тархалттай хувьсагчын тодорхой завсарт харьяалагдах магадлалуудыг Хэвийн тархалтын муруйн тусламжтай ойролцоогоор олж болдог. Хэвийн тархалтыг ойлгохын тулд дараах алхмаар зорилтоо дэвшүүлье. - Хэвийн тархалтын жишээ гаргах - Хэвийн тархалтын тэмдэглэгээ 𝑁(𝜇, 𝜎2) –г таних - Хэвийн тархалтын графикийг ойролцоогоор зурах

- 𝑁(𝜇, 𝜎2) − г 𝜇 болон 𝜎2 өгөгдсөн үед 3 өөр ялгаатай математик дундаж болон дисперстэй графикуудыг зурах, ялгааг таних гэсэн үйл ажиллагаа явуулах байдлаар төлөвлөлөө.

Ерөнхий шалгалтаар сурагчдын авсан онооны тархалт

Цагийн бүртгэл

Монгол улсын хэмжээнд жилийн турш гарсан хүүхдүүдийн жингийн тархалт гэх мэт жишээн дээр ярилцаж тархалтын графикийг зурах

Хэвийн тархалтыг илэрхийлдэг Математик дундаж 𝐸(𝑋) =∑ 𝑥𝑝(𝑥) Дисперс 𝐷(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸2(𝑋) нь хэвийн тархалтыг илэрхийлдэг хоёр үзүүлэлт юм.

X санамсаргүй хувьсагчийн хэвийн тархалтыг 𝑁(𝜇, 𝜎2) гэж тэмдэглэдэг талаар тайлбарлах ба сурагч бүрийн дэвтэр дээр хэвийн тархалтын графикийг өөрсдөөр нь зуруулна. Geogebra программ дээр дүрсэлж харуулах, хэвийн тархалтын тэгш хэмтэй чанар, бүх тархалтуудын математик дундаж ба түүн дээр нэг стандарт хазайлт нэмсэний хоорондох юмсын тоог нийт юмсын тоонд харьцуулсан харьцаа тогтмол байх чанарыг гаргуулах Программ ашиглан “Хэвийн тархалт”-ийн графикийн талаарх ялгаа дүрслэлийг бататгах, тухайн тохиолдлуудад графикийг зурж үзүүлнэ. Дараагийн нэгэн чухал хэсэг бол стандарт хэвийн тархалтын хүснэгт ашиглаж сурах явдал юм. Дараах алхмаар зорилтоо дэвшүүлье. - Стандарт хэвийн хувьсагч 𝑍~𝑁(0, 1)-ийн тэмдэглэгээг таних

- Стандарт хэвийн хувьсагч 𝑍-ийн математик дундаж болон дисперсийн утгыг мэдэх - Ф(𝑧)-ийг ойлгох - Хэвийн тархалтыг хүснэгтийг ашиглаж сурах Үүний тулд дараа үйл ажиллагааг сурагчид хийнэ.

𝑍~𝑁(0, 1)-ийн графикийг харуулах, энэ тохиолдолд талбайг нь тэмдэглэж ирэх даалгавар өгөх (0,1) ийн завсарын дундаас нэг утга сонгон талбайг хэрхэн олох талаар асуух, Үүнийг олохын тулд хүснэгт ашигладаг гэсэн санааг өгч энэхүү хүснэгтийг хэрхэн ашиглаж болох талаар таамаглал дэвшүүлүүлэх, N(0,1) тархалтын хувьд графикийг гурван янзаар өгч талбайг тооцуулах, магадлалыг гаргах (Магадлалыг гаргахдаа графикийг нь дандаа зурж гаргах хэрэгтэй)

66

12.13б*. Хэвийн тархалтыг хэрэглэн магадлал олох, магадлал өгсөн үед санамсаргүй хувьсагч, дундаж, дисперсийн хоорондын хамаарлыг тогтоох

Үйл ажиллагаа 1. Хэвийн тархалтыг хэрэглэн магадлал

олох Хэвийн муруйн тухай, мөн тэгш хэмийн чанарын тухай ярилцана. Янз бүрийн тохиолдолд магадлал олох бодлого бодуулах ба хэвийн муруй тэгш хэмтэй гэх чанараас

𝑃(𝑍 < −𝑎) = 𝑃(𝑍 > 𝑎) ба 𝑃(𝑍 > −𝑎) = 𝑃(𝑍 < 𝑎) томьёоллуудыг сурагчдаар гаргуулж дүгнэлт хийлгэнэ. 4 чухал үр дүн болох

1. 𝑃(𝑎 < 𝑍 < 𝑏) = Ф(𝑏) − Ф(𝑎) 2. 𝑃(−𝑏 < 𝑍 < −𝑎) = Ф(𝑏) − Ф(𝑎) 3. 𝑃(−𝑎 < 𝑍 < 𝑏) = Ф(𝑏) − (1 − Ф(𝑎)) 4. 𝑃(−𝑎 < 𝑍 < 𝑎) = 2Ф(𝑎) − 1 -ийг бодлого бодуулж өөрсдөөр нь үр дүнг гаргуулах нь зохимжтой. Үр дүн: Үр дүн 1.

( ) ( ) ( )P a Z b P Z b P Z a Ф b Ф a

Тиймээс ( ) P a Z b Ф b Ф a

Үр дүн 2.

( ) ( ) ( )

1 1

1 1

P b Z a P Z a P Z b

Ф a Ф b Ф a Ф b

Ф a Ф b Ф b Ф a

Үр дүн 3.

( ) ( ) ( )

1

P a Z b P Z b P z a

Ф b Ф a Ф b Ф a

Тиймээс ( ) 1P a Z b Ф b Ф a

Үр дүн 4.

( ) 1

1 2 1

P a Z a Ф a Ф a

Ф a Ф a Ф a

Тиймээс ( ) 2 1P a Z a Ф a


67

P a Z a байвал

( )P Z a гэж бичиж болох юм

Хэвийн тархалт ба стандарт хэвийн тархалтын бичиглэлийн ялгааг сануулах.

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2)-ийг стандартчилах алхмуудтай танилцуулж, алхам бүрт харгалзах графикуудыг зурж үзүүлнэ.

𝜇 математик дундажтай 𝜎2 дисперстэй 2~ , X N

нормаль хувьсагчийн хувьд хүснэгтийг ашиглахдаа

~ 0,1 Z N-ээр стандартчилдаг.

Алхам1. 2~ , X N

байхад Y f x

Алхам2. Математик дунджийг 0 болгохын тулд 𝜇 − г хасаж муруйг хөрвүүлнэ.

2~ 0, X N

Алхам3. Стандарт хазайлт 𝜎 -д хуваана.

~ 0,1 X

Z N

болно.

Ерөнхийдөө 𝑧 -ийн стандартчилагдсан утга нь z-ийн утга эерэг эсвэл сөрөг стандарт хазайлттай гэдгийг хэлдэг. Нормаль хувьсагч 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2)-ийг стандартчилахдаа:

𝜇- ийн утгыг хасна.

f(z) 𝑋 − 𝜇

𝜎~𝑁(0,1)

Дотогшоо хумигдсан

68

дараа нь стандарт хазайлт 𝜎 − д хуваахад

~ 0,1 X

Z N

гарна.

Хэвийн хувьсагч 𝑋 -ийг стандартчилах жишээ бодлогууд бодуулах ба харгалзах графикийг зуруулна. Стандартчилагдсан хэвийн тархалтын графикийг зурах мэдлэгээ бататгаж, түүнийг хэвийн тархалтын графиктай харьцуулуулж харуулна. Сурагчдын төсөөллийг бий болгохын тулд “Geogebra” програмыг ашиглана. Дасгал, жишээ бодлого ажиллуулж сурагчдын мэдлэгийг бататгана.

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) тархалтын хувьд магадлал мэдэгдэж байх үед x-ийн утгыг яаж олох талаар сурагчдаар таамаглуулах ба өгсөн жишээний зургийг сурагчдад сайтар ойлгуулах сурагчдын алдааг залруулах.

12.13в*. Бином тархалтын ойролцоо утгыг олохдоо хэвийн тархалтыг ашиглаж болох нөхцлийг мэдэх, асуудал шийдвэрлэх

Үйл ажиллагаа 1. Бином тархалтын ойролцоо утгыг

олохдоо хэвийн тархалтыг ашиглаж болох нөхцлийг мэдэх

( n - хангалттай их, 5np ба 5nq ), түүнийг бодлого бодоход хэрэглэх Бином тархалтын бодлого бодуулж, түүний тэмдэглэгээ графикийг сэргээн сануулах, жишээ бодлого бодуулна. Графикийг тухайн тохиолдлуудад програм дээр дүрсэлж

үзүүлнэ. Эндээс 𝑝 -ийн утга өөрчлөгдөхөд график яаж өөрчлөгдөж байгааг ажиглуулж дүгнэлт хийлгэнэ. Бином тархалтын математик дундаж болон дисперсийг таниулж, бином тархалтанд ойролцоолж болох хэвийн тархалтын нөхцлийг гаргуулна.

𝑋~𝐵(12, 0.5) –д диаграм доорх тархалтын магадлалыг харуулж байна. Тасралтгүй тархалтыг дискрет тархалтанд хэрэглэхдээ босоо шугамнуудыг тэгш өнцөгт хэлбэртэй байрлуулсан байна. Шаардагдсан бином магадлал нь тэгш өнцөгт дүрсийн талбайн нийлбэрээр дүрслэгдсэн. Нормаль ойролцоололд эхний нөхцлийг шалгая.

12 0.5 6Np тэгэхээр 𝑛𝑝 > 5

12 0.5 6, 5Nq тэгэхээрnq нөхцөл тохирсон үед нормаль тархалтыг хэрэглэхдээ

~ , 6 12 0.5 0.5 3X N np npq np баnpq

Тиймээс ~ 6, 3X N

𝜇 = 6 ба 𝜎 = √3 Давхарлаж тавьсан муруй бол ойролцоогоор N(6, 3), 4, 5, 6, ба 7 удаа сүлдээрээ буух магадлалыг олохдоо нормаль муруйн x=3.5 болон x=7.5 хоорондох талбайг авч үзнэ.

𝑃(4 ≤ 𝑋 ≤ 7) − ийг 𝑃(3.5 < 𝑋 <7.5) руу тасралтгүйн засвар ашиглан шилжүүлье.

Шилжүүлэх гэдэг үгийг → гэж тэмдэглэнэ.

Багшийн ном: “МатематикX-XII” Хуудас 131 –

140

69

4 7 3.5 7.5P X P X

3.5 6 7.5 61.443 0.866

3 3

0.866 1 1.443 0.8067 1 0.9255 0.732

P Z P Z

Ф Ф

Тасралтгүйн засвар нь заримдаа хэцүү зүйлүүдээс шалтгаалдаг, зоосыг 12 удаа шидэхэд сүлдээр буух тооны тархалтанд диаграмыг нарийн хэрэглэх шаардлагатай болдог. Хэрвээ сүлдээр буух хамгийн их магадлалыг олвол,

𝑃(𝑋 ≤ 3), дараа нь 𝑃(𝑋 < 3.5) − ийг авч үзнэ. Хэрвээ 3-аас бага удаа сүлдээр буух магадлалыг олохыг хүсвэл, 𝑃(𝑋 < 3), дараа нь 𝑃(𝑋 < 2.5) Хэрвээ чи яг 3 удаа сүлдээр буух магадлалыг олохыг хүсвэл,

𝑃(𝑋 = 3), дараа нь (2.5 3.5)P X Энд зарим нэг жишээнүүдийг бичье.

5 8 (4.5 8.5)P X P X 5,6,7,8 сүлд

(5 8) 5.5 8.5P X P X 6,7,8 сүлд

(5 8) (4.5 7.5) P X P X 5,6,7 сүлд

(5 8) (5.5 7.5)P X P X 6,7 сүлд

XIV БҮЛЭГ. КОМБИНАТОРИК

Хүрэх үр дүн. Тодорхой зааглал өгсөн үед боломж тоолох, давталттай хэсэглэлийг

тооцоолох чадвартай олно.



12.14а*. Тодорхой зааглал өгсөн үед боломж тоолох

Үйл ажиллагаа 1. Комбинаторикийн ихэнхи бодлогуудад тодорхой зааглал болон нөхцөл тогтоогдсон байдаг. Жишээлбэл, МАГАДЛАЛ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж гурван ААА үсэг зэрэгцсэн, эсвэл аль ч хоёр А үг зэрэгцээгүй хэчнээн ялгаатай үг бүтээж болох вэ? гэх мэтийн бодлого байж болно. Эхний бодлогыг бодохын тулд гурван ААА үсгийг нэг үсэг мэтээр сэтгэх хэрэгтэй. Тэгвэл М, ААА, Г, Д, Л, Л гэсэн зургаан үсэг ашиглан 6 үсэгтэй үг хэчнээнийг бүтээж болох вэ гэсэн бодлогод шилжиж байна.

Энэ нь (1, 1, 1, 1, 2) бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоотой тэнцүү байхыг бид өмнөх ангид үзсэн билээ. Иймээс МАГАДЛАЛ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж гурван

ААА үсэг зэрэгцсэн үг бүтээх боломжийн тоо нь 6!

1!1!1!1!2!=

720

2= 360 байна.

Жишээ 1: Адьяа, Сумьяа, Бямба, Наран, Саран гэсэн таван сурагч нэг цуваанд жагсжээ. Хэрэв Наран, Саран хоёр ямагт дараалж зогсдог бол тэднийг хэдэн янзаар цувруулан жагсааж болох вэ? Бодолт. Наран, Саран хоёрыг нэг хүн мэтээр сэтгэвэл 4 сурагчийг жагсаах бодлого руу шилжинэ. Иймээс 4! ширхэг ялгаатай арга байна. Гэтэл энд Нарангийн ард Саран эсвэл Сарангийн ард Наран гэсэн дарааллаар зогсож болох учраас 4! ширхэг арга тус бүр 2 удаа тоологдох ёстойг тооцвол

4! ∙ 2 = 24 ∙ 2 = 48


70

ялгаатай арга гарч байна.

Өмнөх ангиудад 𝐴, 𝐵 олонлогуудын хувьд |𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| +|𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵| байдгийг бид судалсан. Тухайн тохиолдолд,

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ бол |𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| болно. Үүнийг нийлбэрийн зарчим гэдэг.

Мөн эндээс 𝐴 ∪ 𝐵 = Ω, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ бол |𝐴| + |𝐵| = |Ω| гэсэн

томьёо мөрдөж гарч байна. Энд Ω нь бүх боломжийн олонлог буюу универсаль олонлог. Энэ томьёог ашиглан зарим бодлогыг хялбархан бодож болдог. Жишээ 2: Дээрх бодлогын нөхцөлд заасан 5 сурагчийг цуваанд жагсаахад Наран, Саран хоёр хэзээ ч дараалж зогсдоггүй гэвэл эдгээр 5 сурагчийг хэдэн янзаар цувруулан жагсааж болох вэ? Бодолт. Бүх 5 сурагчийг цувруулан жагсаах аргын тоо 5!=120 байна. Энэ нь нийлбэрийн зарчмаар Наран, Саран хоёр дараалж зогссон аргын тоо ба Наран, Саран хоёр дараалж зогсоогүй аргын тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Иймээс жишээ 1-ийн хариунаас 120-48=72 янзаар жагсааж болох ажээ. Жишээ 3: 1000-аас бага натурал тоонууд дотор 0 гэсэн цифрийг агуулсан тоонууд ба агуулаагүй тоонуудын аль нь олон бэ? Бодолт. 1000-аас бага бүх тоо 999 ширхэг байх ба эдгээрт нэг оронтой 9 тоо, хоёр оронтой 90 тоо, гурван оронтой 900 тоо багтана. 0 гэсэн цифр агуулаагүй нэг оронтой тоо 9,

хоёр оронтой тоо үржвэрийн зарчмаар 9 ∙ 9 = 81, гурван

оронтой тоо мөн үржвэрийн зарчмаар 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729 байх учраас нийт 729+81+9=819 ширхэг тоонд 0 гэсэн цифр оролцохгүй. Иймээс 999-819=190 ширхэг тоо 0 гэсэн цифр агуулна гэж гарч байна. 819>190 учраас 0 гэсэн цифрийг агуулаагүй нь олон ажээ.

12.14б*. Давталттай хэсэглэлийг ойлгох, тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Давталттай хэсэглэлийг ойлгох, тооцоолох Хэдэн төрлийн зүйл өгөгдсөн бөгөөд төрөл тус бүрээс хангалттай олныг сонгож болдог гэж үзье. Тэгвэл эдгээрээс яг k ширхэгийг сонгох боломжийн тоо ямар байх вэ гэсэн асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгтэй болдог. Жишээлбэл дэлгүүр зарагдаж буй 10 төрлийн цэцгээс 6-г сонгох, таван хошуу малаас 7-г сонгох гэх мэт бодлогууд байж болно. Жишээ 1: Улаан ба хөх өнгийн харандаанаас 3, 4, 5 ширхэгийг сонгох ялгаатай боломж хэчнээн байж тухай бодлогыг авч үзье. 3 харандаа сонгох УУУ, УУХ, УХХ, ХХХ гэсэн 4 боломж байна. 4 харандаа сонгох УУУУ, УУУХ, УУХХ, УХХХ, ХХХХ гэсэн 5 боломж, 5 харандаа авах УУУУУ, УУУУХ, УУУХХ, УУХХХ, УХХХХ гэсэн 6 боломж тус тус байна. Жишээ 2: Улаан, хөх, ногоон өнгийн харандаанаас 2 (3, 4) ширхэгийг сонгох ялгаатай боломж ямар байж тухай бодлогыг авч үзье. Хоёр ширхэг харандаа сонгох УУ, УХ, УН, ХН, ХХ, НН гэсэн 6 боломж байна. Үүнтэй адилаар гурван ширхэг харандаа сонгох боломж нь УУУ, ХХХ, ННН, УХХ, НХХ, ХУУ, НУУ, УНН, ХНН, УХН гэсэн 10 ширхэг байна. Харин 4 буюу түүнээс олон харандаа сонгох боломжийг ингэж тоолох нь хүндрэлтэй юм. Иймээс өөр аргаар тоолъё. Одоо ялгаатай хоёр төрлийг заагласан зураасууд ба харандааг төлөөлүүлсэн 0-үүдээс тогтох дарааллыг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл 0|00|0 гэсэн дараалалд УХХН гэсэн сонголтыг, 0|000| гэсэн дараалалд УХХХ сонголтыг, |0000| гэсэн дараалалд ХХХХ гэсэн


71

сонголтыг харгалзуулна. Ингээд зураас ба 0-ийн дарааллын олонлог ба харандааны сонголтын олонлогийн хооронд харилцан нэг утгатай харгалзаа тогтоож болж байна. Одоо зураасыг 1-ээр сольё. Тэгвэл улаан, хөх, ногоон өнгийн харандаануудаас 4 ширхэгийг сонгох боломжийн тоо нь хоёр ширхэг 1, дөрвөн ширхэг 0 ашиглан бичиж болох бүх боломжит дарааллын тоо буюу (2,4) бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоотой тэнцүү болох нь тодорхой боллоо. Иймээс улаан, хөх, ногоон өнгийн харандаанаас 4

ширхэгийг сонгох ялгаатай олох боломжийн тоо нь 6!

2!4!

байх ажээ. Ерөнхий тохиолдолд, n төрлийн харандаанаас k ширхэгийг сонгох боломжийн тоо нь (𝑛 − 1, 𝑘) бүтэц бүхий

давталттай сэлгэмлийн тоо буюу (𝑛+𝑘−1)!

(𝑛−1)!𝑘! -тэй тэнцүү

байна. 00....0100...00100...00100…

Энд n төрлийг зааглах n-1 ширхэг 1 ба к ширхэг харандааг төлөөлөх k ширхэг 0-ээс бүрдсэн дараалал байна. Ийм нэг дараалалд к ширхэг харандааг сонгох яг нэг сонголт харгалзана. Бодлого: n төрлийн харандаанаас k ширхэгийг сонгох боломжийн тоо нь

𝐶𝑛+𝑘−1𝑘 = 𝐶𝑛+𝑘−1

𝑛−1 -тай тэнцүү болохыг алгебрийн болон комбинаторикийн аргуудаар тайлбарла.

XV БҮЛЭГ. МАГАДЛАЛ

Хүрэх үр дүн. бүтэн болон нөхцөлт магадлал, геометр магадлалыг тооцоолох



12.15а*. Модны схемээр бүтэн болон нөхцөлт магадлалыг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Модны схемээр бүтэн магадлалыг тооцоолох, модны схем хэрэглэн нөхцөлт магадлалыг тооцоолох

Ямар нэгэн A үзэгдэл нь 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3,…,𝐻𝑘 гэсэн 𝑘 ширхэг нөхцөлийн бүрэн системд илэрдэг гэж үзье. Тэгвэл уг үзэгдлийн магадлалыг

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1)𝑃(𝐴/𝐻1) + 𝑃(𝐻2)𝑃(𝐴/𝐻2) + ⋯ + 𝑃(𝐻𝑘)𝑃(𝐴/𝐻𝑘)

гэсэн томьёогоор олно. Бүрэн систем гэдэг нь 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3,…,𝐻𝑘 -аас

өөр нөхцөл илрэх боломжгүй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, 𝐻1 ∪ 𝐻2 ∪… ∪ 𝐻𝑘 = Ω байна гэсэн үг юм. Жишээ 1: Цаг уурчид сурагчдын хөлбөмбөгийн аварга

шалгаруулах тэмцээний үеэр бороотой байх магадлал 0.3 байдгийг тогтоожээ. “Нархан” багийнхны бороо ороогүй үед хожих

магадлал 3

8, бороотой үед хожих магадлал

3

11 байдаг. Тэд ирэх

Ням гарагт тоглолттой бол a) “Нархан” багийн ирэх Ням гарагт хожих магадлалыг олоорой.


72

b) Хэдэн сарын өмнө тэд нэгэн Ням гарагийн тоглолтондоо хожсон бол тэр өдөр нь бороо ороогүй байх магадлалыг олоорой. a) “Нархан” багийн хожих үзэгдлийг W, Ням гарагт бороо орохгүй байх үзэгдлийг A гэж тэмдэглэвэл

9 21 267( )

80 77 880P W

болох ба энэ нь уг чанартаа

𝑃(𝑊) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝑊/𝐴) + 𝑃(��)𝑃(𝑊/��) гэсэн томьёог хэрэглэж байна

гэсэн үг юм. Энд 𝐴 ∪ �� = Ω буюу 𝐴, �� үзэгдлүүд бүрэн систем үүсгэж байгаа нь хамгийн чухал нөхцөл болж байна.

b) Одоо 𝑃(𝐴/𝑊) магадлалыг олох хэрэгтэй. 𝑃(𝐴/𝑊) =𝑃(𝐴𝑊)

𝑃(𝑊)=

𝑃(𝐴)𝑃(𝑊/𝐴)

𝑃(𝑊)=

9

80267

880

=99

880267

880

=99

267=

33

89 болов.

Энд бид магадлалын үржвэрийн дүрэм, нийлбэрийн дүрэм, нөхцөлт магадлалын томьёо хэрэглэв. Жишээ 2: Гаалийн хэсэг гурван шалган нэвтрүүлэх цэгтэй ба нийт ачааны 50% нь I, 30% нь II, 20% нь III цэгээр шалгагддаг. Шалган нэвтрүүлэх цэгүүдийн зөрчил илрүүлэх магадлал харгалзан 2

3,

1

2 ,

2

3 байв. Шалгалтын эцэст нэг ачаа зөрчилтэй гарсан бол II

шалган нэвтрүүлэх цэг илрүүлсэн байх магадлалыг олоорой. Туршилтын модны схемийг байгуулъя. Энэ бодлогын хувьд модны схемийг бүрэн хэмжээгээр байгуулах шаардлагагүй боловч сурагчид аль болох бүтнээр нь байгуулж бодлогын асуудлыг өргөнөөр харах боломж олгож байх хэрэгтэй.

Энэ бол 9 ба 10 дугаар

ангийнханд тохируулан байгуулсан хялбарчилсан модны схем гэж хэлж болно. Харин 11-12 дугаар ангид нөхцөлт магадлал үзсэний дараа модны схемэнд хэрэглэх тэмдэглэгээг арай өөрөөр зохион байгуулах шаардлага гардаг. Иймд модны схемээ дахин байгуулъя.

Ачаа зөрчилтэй гарах үзэгдлийг 𝐴, ачаа I шалгах цэгт ирэх

үзэгдлийг 𝐻1, ачаа II шалгах цэгт ирэх үзэгдлийг 𝐻2, III шалгах цэгт ирэх үзэгдлийг 𝐻3 гэе. Энэ модны схемд өмнөхөөс зөвхөн тэмдэглэгээ нь ялгаатай

байгааг анхааралдаа аваарай. Мөн энд �� гэсэн тэмдэглэгээ нь ачаа зөрчилгүй гарах үзэгдлийг тэмдэглэж байна.

Тэгвэл 𝑃(𝐴) =1

3+

3

20+

2

20=

37

60 болох ба энэ нь уг чанартаа

73

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1)𝑃(𝐴/𝐻1) + 𝑃(𝐻2)𝑃(𝐴 /𝐻2) + 𝑃(𝐻3)𝑃(𝐴 /𝐻3) гэсэн

томьёог хэрэглэж байна гэсэн үг юм. Энд 𝐻1 ∪ 𝐻2 ∪ 𝐻3 = Ω буюу 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 үзэгдлүүд бүрэн систем үүсгэж байгаа нь хамгийн чухал

нөхцөл болж байна. Одоо 𝑃(𝐻2/𝐴) магадлалыг олох хэрэгтэй.

𝑃(𝐻2/𝐴) =𝑃(𝐻2𝐴)

𝑃(𝐴)=

𝑃(𝐻2)𝑃(𝐴/𝐻2)

𝑃(𝐴)=

3

2037

60

=9

6037

60

=9

37 болов.

12.15б*. Геометр магадлалын тухай ойлголттой болох, хялбар асуудал шийдвэрлэх

Үйл ажиллагаа 1. Эгэл үзэгдлүүдийг тоолох боломжгүй зарим

тохиолдолд үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох тухай ойлголттой болох, геометр магадлалыг хялбар тохиолдолд тооцоолох Бид өмнө нь үзэгдлийг бүрдүүлэгч эгэл үзэгдлүүдийн илрэх боломж ижил бөгөөд бүх боломжит эгэл үзэгдлийн тоо тодорхой

үед уг үзэгдлийн магадлалыг 𝑃(𝐴) =|𝐴|

|Ω| томьёогоор тооцоолж

сурсан билээ. Энд |𝐴| нь тухайн үзэгдэлд харьяалагдаж буй эгэл

үзэгдлийн тоо, |Ω| нь бүх боломжит эгэл үзэгдлийн тоо юм. Үүнийг магадлалын сонгодог тодорхойлолт гэдэг. Энэ томьёо нь бүх эгэл үзэгдлүүд ижил боломжтой үед биелэх ба харин эгэл үзэгдлүүдийн илрэх боломж ялгаатай үед биелэхгүй. Харин одоо эгэл үзэгдлүүдийг тоолох боломжгүй боловч бүх эгэл үзэгдлүүдийн илрэх боломж ижил байх үед үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох тухай авч үзье. Өгсөн хэрчмээс цэг таамгаар сонгох туршилтад хэрчмийн бүх цэгийг тоолох боломжгүй. Ийм үед бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийн чадлаар тухайн хэрчмийн уртыг авдаг. Үүнтэй төстэйгээр хавтгайн зааглагдсан дүрсээс цэг таамгаар сонгох туршилтад бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийн чадлаар тухайн дүрсийн талбайг авна. Ингэснээр аль ч цэг сонгогдох боломж ижил бол эдгээр

тохиолдлуудад 𝑃(𝐴) =|𝐴|

|Ω| томьёо хүчинтэй хэвээр байна.

Жишээ 1: Тоон шулууны [0,10] хэрчмээс таамгаар нэг цэг сонгов. Аль ч цэгийг сонгох магадлал тэнцүү бол 7-оос бага тоо сонгогдох магадлалыг олоорой.

7-оос бага тоо сонгогдох үзэгдлийг 𝐶 гэж тэмдэглэе. Бүх эгэл

үзэгдлийн олонлогийг Ω гэвэл |Ω| = 10 болох ба |𝐶| = 7 болно. Иймээс 7-оос бага тоо сонгогдох магадлал

𝑃(𝐶) =|C|

|Ω|=

7

10= 0.7 болно.

Жишээ 2: Квадратыг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж хоёр хэсгийг нь сөөлжлүүлэн буджээ. Квадратаас санамсаргүйгээр нэг цэг сонгоход будагдсан хэсгээс сонгогдсон байх үзэгдлийн магадлалыг олоорой. Квадратын цэг бүрийн сонгогдох магадлал ижил гэж үзнэ. Квадратын талыг a гэвэл бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийн чадал

|Ω| = 𝑎2 болох ба будагдсан хэсгээс цэг сонгогдох үзэгдлийг 𝐵

гэвэл |𝐵| =𝑎2

2 болно. Иймээс 𝐵 үзэгдлийн магадлал 𝑃(𝐵) =

|𝐵|

|Ω|=

𝑎2

2𝑎2 = 0.5 болно.

Дүгнэлт: Геометр магадлал шулуун дээр хэрчмийн уртын тусламжтайгаар, хавтгайд талбайн тусламжтайгаар бодогдож байна.


www.mathgoodies.com/lessons/vol6/conditional.html www.mathsisfun.com/data/probability-events-conditional.html

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol6/conditional.html




Documents

œАТЕМАТИК-12.pdf · 3 МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ XII АНГИ үрэн