Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 35

1.5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ

Ανισότητες

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξισώσεων γενικά ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

• Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα και διακρίνουμε δεδομένα από ζητούμενα.

• Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το x) για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε.

• Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του x. • Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομέ-

να της εκφώνησης. • Λύνουμε την εξίσωση. • Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλή-

ματος.

Επίλυση ανισώσεων

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1. Να συμπληρώσετε τα κενά : α) Αν x<3 τότε x+3………….. β) Αν x<-3 τότε

2x …………

γ) Αν x>5 τότε x-3………….. δ) Αν x≤6 τότε 3

x−

…………

ε) Αν x≥3 τότε 2x………….. στ) Αν x<4 τότε 2x3 …………

ζ) Αν x<7 τότε -3x………….. η) Αν 21x −≤ τότε -4x………

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

63 xή 333 x τότε3 xα)

<++<+<

23

2x τότε-3 xβ) −<<

α) Προσθέτουμε και στα δύο μέλη της ανισότητας τον ίδιο αριθμό. γβγα. τότεβα +<+< οπότε προκύπτει ανισότητα ίδιας φοράς. β) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό

γ

β

γ

α τότε0 και γβα <>< οπότε προκύπτει ανι-

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 36

23- xή 3-53- x τότε5 xγ)

>>>

23-

x ή

3

63-

x τότε6 xδ)

−≤

−≤≤

4-x2 ή 2.(-2)x2 τότε2- xε)

≥≥≥

62

3x ή

2

3.42

3x τότε4 xστ)

<

<<

-213x ή -3.73x- τότε7 xζ)

>−><

24x- ή

)21.(44x- τότε

21 xη)

≥

−−≥−≤

σότητα ίδιας φοράς. γ) Αφαιρούμε (*) και από τα δύο μέλη της ανισότητας τον ίδιο αριθμό. α<β τότε α-γ<β-γ οπότε προκύπτει ανισότητα ίδιας φοράς(*ή προσθέτουμε τον αντίθετο του γ). δ) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό

γ

β

γ

α τότε0 και γβα ><< οπότε προκύπτει

ανισότητα αντίθετης φοράς. ε) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό οπότε .γβα.γ τότε0 και γβα ≥>≥

προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. στ) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό

23 γβ.α.γ τότε0 και γβα <>< οπότε

προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. ζ) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό -3 .γβα.γ τότε0 και γβα ><< οπό-τε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς. η) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό

γ

β≥<≤

γ

α τότε0 και γβα οπότε

προκύπτει ανισότητα αντίθετης φορά

2. Στις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλο το Σ (σωστό) ή το Λ (λανθα-σμένο), α) Αν α < β τότε α-16 < β-16. Σ Λ β) Αν α < β τότε - α < - β. Σ Λ γ) Αν α < Ο τότε 2α < α. Σ Λ δ) Αν α > 1 τότε 1

α

1> Σ Λ

ε) Αν α<5 τότε α<8 Σ Λ στ) Η ανίσωση 3x- 5 > 7 έχει λύση τον αριθμό x= 4. Σ Λ ζ) Η ανίσωση x + 500 > x+ 499 αληθεύει για κάθε αριθμό x. Σ Λ η) Η ανίσωση x + 500 > x + 501 αληθεύει για κάθε αριθμό x. Σ Λ θ) Η ανίσωση 2x - 3 < 3x -2 έχει λύσεις τους αριθμούς x < 1. Σ Λ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) 16-β16-α τότεβα <<

β) -βα- τότεβα ><

α) Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη της ανισότητας τον ίδιο αριθμό. α<β τότε α-γ<β-γ οπότε προκύπτει ανισότητα ίδιας φοράς άρα είναι σωστό (Σ) β) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό -1 .γβα.γ τότε0 και γβα ><< οπότε προ-κύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς άρα είναι λάθος (Λ)

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 37

γ) α2α ή0ααα τότε0α

<+<+<

δ)

1α1 ή

α11

ή α1

αα τότε1α

<>

>>

ε) 85α τότε5α <<<

στ)

4 xή 3

12x

12x357x375x3

>>

>+>>−

ζ)

1x0500499xx499x500x

−>−>−+>+

η)

1x0500501xx501x500x

>−>−+>+

θ)

-1 xή 1

1x

1x32x3x2

2x33x2

>−

>

<−+−<−

−<−

γ) Προσθέτουμε και στα δύο μέλη της ανισότητας τον ίδιο αριθμό. γβγα. τότεβα +>+< οπότε προκύπτει ανισότητα ίδιας φοράς άρα είναι σωστό (Σ) δ) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον ίδιο θετι-κό αριθμό α>1>0

γβ

γα

τότε0 και γβα >>> οπότε προκύπτει

ανισότητα ίδιας φοράς άρα είναι λάθος (Λ) ε) Είναι προφανές ότι ο α επειδή είναι μικρότερος του 5 θα είναι μικρότερος και από κάθε αριθμό μεγαλύτερο του 5 όπως είναι το 8 άρα είναι σωστό (Σ) στ) Λύνουμε την ανίσωση: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου 3>0 οπότε δεν αλλάζει φορά η ανίσωση άρα είναι λάθος (Λ) γιατί το 4 δεν συμπεριλαμβάνεται στις λύσεις της ανίσωσης (όλοι οι αριθμοί οι μεγαλύτεροι από το 4) ζ) Λύνουμε την ανίσωση: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Η ανίσωση που προκύπτει αληθεύει για κάθε τιμή του x. Για παράδειγμα για x=1 είναι 0.1>-1 ή 0>-1(αληθής) άρα (Α) η) Λύνουμε την ανίσωση: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Η ανίσωση που προκύπτει δεν αληθεύει για κάθε τιμή του x. Για παράδειγμα για x=1 είναι 0.1>1 ή 0>1(ψευδής) άρα (Λ) θ) Λύνουμε την ανίσωση: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου -1<0 οπότε αλλά-ζει φορά η ανίσωση. άρα είναι λάθος (Λ)

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: α) 8x + 4 ≤ 16 + 5x β) x+ 3 > -2 γ) -(1 - x) > 2x- 1 δ) -7x + 3 ≤ 4 - x ΛΥΣΗ

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 38

4≤ xή 3

12≤x

12≤x3416≤x5x8

x5+16≤4+x8 α)

-5>x3--2>x

-2>3+β)x

( )

0 xή 1-0x

0x-11-x2-x1-x2x1

1-x2x-1- γ)

<<

>+>

>+>

61x

1x634xx7

x43x7 )δ

−≥

≤−−≤+−

−≤+−

α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετι-κός 3>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλάζει φορά.

β) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

γ) Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι αρ-νητικός -1<0 οπότε η ανισότητα αλλάζει φορά.

δ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι αρ-νητικός -6<0 οπότε η ανισότητα αλλάζει φορά.

6

1−

Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: α ) 3 (ω -1 )>ω -2 β) 2x + 2 - (x -2) > 4 – x γ) 3y- 1 -(y + 2) < 2(y +2)+1 δ) 4(t + 5) < t - 4

0

4

-5

ΑΣΚΗΣΗ 2

ΛΥΣΗ

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 39

( )

21ω

1ω223ωω32ω3ω3

2ω1-ω3 α)

>

>−>−−>−

−>

( )

0 xή 20x

0x2224xxx2x42x2x2

x42x2x2 )β

≥≥

≥−−≥+−−≥+−+

−≥−−+

( ) ( )

8y02114y2yy314y22y1y3

12y22y1y3 )γ

<+++<−−++<−−−

++<+−−

( )

-8 tή 324t

24t3420tt4

4t20t44t5t4 )δ

<−

<

−<−−<−−<+

−<+

α) Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετικός 2>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλάζει φορά.

21

β) Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετικός 2>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλάζει φορά.

γ) Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Παρατηρούμε ότι η ανίσωση αυτή αληθεύει για κάθε τιμή της μεταβλητής y (ταυτότητα). δ) Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετικός 3>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλάζει φορά.

Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:

( ) ( )

28t27

71t2

41t t)στ

43ω

21ω

22-ω-ω ε) , 2

67x

31x

21x.

21 δ)

03

1x2

2x3 x γ), 2x1x

231x2 β) , 1

3x2

44-3x α)

+−

>+

+

−−

−<>

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

>+

−+

++>+−+>−

−

-8

0

ΑΣΚΗΣΗ 3

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 40

( ) ( )

1332x

32x1381212x4x9

12x4812x912x244-3x3

1.123

x2.124

4-3x.12

13

x24

4-3x α)

>

>++>+>+−−>−−

>−

−

>−

−

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1x043xx3x4x3x34x4

x1x31x42x.21x

23.21x2.2

2x1x

231x2 β)

−>−>−−>−−+>+−+

>+−+

>+−+

( ) ( )

722x

22x72618x2x3x6

02x26x318x601x22x318x6

0.63

1x.62

2x.63.66.x

03

1x2

2x3 x γ)

−>

−>+−−>−+>−−+++>+−+++

>+

−+

++

>+

−+

++

α) Κάνουμε πρώτα απαλοιφή παρονομαστών πολλα-πλασιάζοντας με το ΕΚΠ των παρονομαστών που εδώ είναι το 12>0. Με τον πολλαπλασιασμό δεν επηρεάζεται η φορά της ανισότητας γιατί 12>0 Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετικός 3>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλά-ζει φορά.

1332

β) Κάνουμε πρώτα απαλοιφή παρονομαστών πολ-λαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ των παρονομαστών που εδώ είναι το 2>0. Με τον πολλαπλασιασμό δεν επηρεάζεται η φορά της ανισότητας γιατί 2>0 Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Παρατηρούμε ότι η ανίσωση αυτή αληθεύει για κάθε τιμή της μεταβλητής x (ταυτότητα). γ) Κάνουμε πρώτα απαλοιφή παρονομαστών πολ-λαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ των παρονομαστών που εδώ είναι το 2>0. Με τον πολλαπλασιασμό δεν επηρεάζεται η φορά της ανισότητας γιατί 2>0 Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετικός 7>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλά-ζει φορά.

7

22−

ΛΥΣΗ

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 41

( ) ( ) ( )

11 xή 3

33x

33x3142324x2x2x32414x22x23x3

247x21x21x3

2.126

7x.126

1x.124

1x.12

26

7x6

1x4

1x

26

7x3

1x2

1x.21 δ)

>>

>+−−>−+>−−+++>+−+++

>+

−+

++

>+

−+

++

>+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

( ) ( ) (

3ω324ωω2ω2ω4

3ω2ω24ω2ω43ω1ω22ω2ω4

43ω.4

21ω.4

22-ω4.-ω 4.

43ω

21ω

22-ω-ω ε)

−<+−−<+−−+−−<+−

−−−<−−

−−

−<

−−

−<

)

( ) ( )

11t074t27t8t7t28

t274t87t7t28t271t241t7t28

28t27.28

71t2.28

41t.2828.t

28t27

71t2

41t t)στ

−>−−>−−+

+−>+++−>++

+−

>+

+

+−

>+

+

δ) Πρώτα κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιά-ζοντας με το ΕΚΠ των παρονομαστών που εδώ είναι το 12>0. Με τον πολλαπλασιασμό δεν επη-ρεάζεται η φορά της ανισότητας γιατί 12>0 Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου που εδώ είναι θετικός 3>0 οπότε η ανισότητα δεν αλλά-ζει φορά.

ε) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλα-σιάζοντας με το ΕΚΠ των παρονομαστών που εδώ είναι το 4>0. Με τον πολλαπλασιασμό δεν επηρεά-ζεται η φορά της ανισότητας γιατί 4>0 Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

στ) Κάνουμε πρώτα απαλοιφή παρονομαστών πολ-λαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ των παρονομαστών που εδώ είναι το 28>0. Με τον πολλαπλασιασμό δεν επηρεάζεται η φορά της ανισότητας γιατί 28>0 Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Παρατηρούμε ότι η ανίσωση αυτή αληθεύει για κάθε τιμή της μεταβλητής t (ταυτότητα).

-3

11

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 42

Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 3-x2x3 και 1-5x-2x1-3x2 και 3

12x2

1-3x στ)

2-x3 και x-61-x3 και 71-2x ε)

5-y215-y

32 και 2y

5215-3y δ)

6x-13 και 7x-121-3x γ)73x38-7x και x26x1x2 β)

3x-2 και 14- xα)

<++>++

>

≥><

<+>

≥+>++>−>++

<<

και

5x 5x

14x 14- xα)

<<

+<<

-1 x1x-

2-3x- 3x-2

><<<

( )

54x

45x2-62xx2x

2x-6x22x x26x1x2 β)

>

>>++>++

−>++

( )

6x244x

8793x-7x793x8-7x

73x38-7x

>>

++>++>++>

α) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχω-ριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

και

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρού-με ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανι-σώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκο-νται ανάμεσα στο -1 και το 5 δηλαδή οι αριθμοί για τους οποίους ισχύει: -1<x<5 β) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχω-ριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

και

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρού-με ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανι-σώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκο-νται ανάμεσα στο 4/5 και το 6 δηλαδή οι αριθμοί για τους οποίους ισχύει: 4/5<x<6

4/5

6

5 -1

-1

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΛΥΣΗ

5

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 43

( )

10x105x

1722x3x72x-21-3x

7x-121-3x γ)

>>

++>++>

+>

και

( )

-1x33x-

3-63x-63x-3

6x-13

≤≥≥≥≥

( )

( )

( )

1379y

79y13475y2y154y275y152y275-15y

2y52.55.15-5.3y

2y5215-3y δ)

>

>+>−+>−+>

+>

+>

( )

7100y

100y71055y21y14105y215y14

5-y.2121521.-y

32.21

5-y215-y

32

>

−<−−<−−<−

<

<

4x82x

172x 71-2x ε)

<<

+<<

( )

-1x-33x

6-33x-63-3x

-61-x3

>>>

>> ( )

3x6x2

6x3x6x3x2-x3 x

≤−≥−−≥−

−≥≥

γ) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχω-ριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

και

6 4/5

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρού-με ότι δεν υπάρχουν κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων. δ) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχω-ριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

και

10

-1

-1 10

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρού-με ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανι-σώσεων δεξιότερα του 100/7 δηλαδή x>100/7.

ε) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχω-ριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Εδώ έχουμε τριπλή συναλήθευση παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των τριών ανισώσεων είναι οι αριθμοί του διαστήματος -1<x≤3

3

-1

4

100/7

79/13 100/7

79/13

3 -1 4

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 44

( ) ( )( )

1x5x5

32x4x92x43x9

1x221x333

12x.62

1-3x.6

3

12x2

1-3x στ)

>>

+>−+>−

+>−

+>

+>

( )

1x99-x

-99x1-10-22xx6x1-10--2xx2-6x

1-5x-2x1-3x2

−>

>

>>++

>++>+

( )

9x-9x-

3--62x-x6-2xx3

3-x2x3

><

<<+<+

στ) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξε-χωριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

1

-1

9

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Εδώ έχουμε τριπλή συναλήθευση παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των τριών ανισώσεων είναι οι αριθμοί του διαστήματος x>9

-1 1 9

Να λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις των ανισώ-σεων: α) -7<2x+ 1 < 19 β) -1 < 1 – 2x < 3 γ) 3 < 5x + 1 < 8

ΑΣΚΗΣΗ 5

ΛΥΣΗ

9 και x4x182x και 82x-

<−>

1-192x και 712x-1912x και 1x27 )α

<<<+<

<++<−

α) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχωριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται ανάμεσα στο -4 και το 9 δηλαδή οι αριθμοί για τους οποίους ισχύει: -4<x<9 . β) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχωριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

9 -4

9 -4

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 45

1 και x1x22x- και 22x

1-32x- και 112x32x-1 και x211 β)

−><<<<+<

<−<−

57 και x

52x

75x και 25x-1-85x και 3-15x-

815x και 1x53 )γ

<>

<−<<<

<++<

1

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται ανάμεσα στο -1 και το 1 δηλαδή οι αριθμοί για τους οποίους ισχύει: -1<x<1 γ) Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχωριστά σύμφωνα με τα γνωστά.

52

Σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία. Παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανι-σώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται ανάμεσα στο 2/5 και το 7/5 δηλαδή οι αριθμοί για τους οποίους ισχύει: 2/5<x<7/5

-1

1 -1

57

57 52

Για ποιες τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού μ, ο αριθμός ΑΣΚΗΣΗ 6

Α = 2 (μ - 3) – 4 είναι αρνητικός; ΛΥΣΗ

( )

5μ10μ2

46μ2046μ2

043μ2

<<

+<<−−<−− Για να είναι αρνητικός πρέπει να είναι μικρότερος από το 0.

Αν θεωρήσουμε την παράσταση που μας δόθηκε αρνητική έχου-με μια ανίσωση ως προς μ τη οποία και λύνουμε κατά τα γνω-στά. Η λύση μ<5 μας λέει ότι είναι όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι μικρότεροι από το 5, δηλαδή οι 4,3,2,1 Επαλήθευση: Για παράδειγμα για μ=3 έχουμε: Α=2(3-3)-4=2.0-4=-4

Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός α, ώστε η ανίσωση ΑΣΚΗΣΗ 7

2x - 3α + 1 > α(x- 1 ) να έχει λύση τον αριθμό x = 2;

ΛΥΣΗ

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 46

( )

45α

5α414αα3

α1α3412α1α32.2

<

−>−−−>−−

>+−−>+−

Στη θέση του x στην ανίσωση βάζουμε 2 Κατόπιν λύνουμε την ανίσωση κατά τα γνωστά. Βρίσκουμε ότι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο α είναι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι από το 5/4.

Η Άννα είχε τριπλάσια χρήματα από τη Μαρία, αλλά δαπάνησε 14 € και τώρα έχει λιγότερα από τη Μαρία. Να αποδείξετε ότι η Μαρία έχει λιγότερα από 7 € .

ΑΣΚΗΣΗ 8

7x14x2

14xx3x14x3

<<

<−<−

Εάν υποθέσουμε ότι η Μαρία είχε x € τότε η Άννα θα είχε 3x €. Αφού η Άννα δαπάνησε 14 € τώρα θα έχει 3x-14 ενώ η Μαρία τα ίδια. Δημιουργούμε την ανίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: Τα χρήματα της Άννας 3x-14 θα είναι λιγότερα από της Μα-ρίας που είναι x. Κατόπιν λύνουμε την ανίσωση κατά τα γνωστά.

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο Γιώργος έχει γράψει δύο διαγωνίσματα με βαθμούς 12 και 14. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο επόμενο διαγώνισμα για να έχει μέσο όρο πάνω από 14;

ΛΥΣΗ

16x141242x42x1412

14.33

x1412.3

143

x1412

>−−>>++

>++

>++

Εάν υποθέσουμε ότι Γιώργος πρέπει να γράψει x μονάδες τότε οι τρεις βαθμοί 12,14,x αν προστεθούν και διαιρεθούν με το 3(μέσος όρος) θα πρέπει να δώσουν αριθμό μεγαλύτερο από το 14 Δημιουργούμε την ανίσωση πρώτου βαθμού: Κατόπιν λύνουμε την ανίσωση κατά τα γνωστά. Επομένως ο βαθμός που πρέπει να γράψει ο Γιώργος πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 16.

ΑΣΚΗΣΗ 10Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας " Parlanet" προτείνει στους πελάτες της δύο "πα-κέτα" συνδρομής: 1ο: πάγιο 7,50 € το μήνα και χρέωση 0,254 € το λεπτό. 2ο: πάγιο 15 € το μήνα και χρέωση 0,204 € το λεπτό. Από πόσο χρόνο ομιλίας και πάνω συμφέρει το 2ο πακέτο;

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 47

ΛΥΣΗ

A E B

Θ

Γ Ζ

Η

20 cm

60 cm

30 cm

x

Δ

60 -x

150 xή 05,05,7x

5,7x05,0155,7x254,0x204,0x254,05,7x204,015

>−−

>

−<−−<−

+<+

Εάν υποθέσουμε ότι μιλάμε x λεπτά τότε σύμφωνα με πρώτο πακέτο θα πληρώσουμε 7,5+0,254x και σύμφωνα με το δεύ-τερο πακέτο θα πληρώσουμε 15+0,204x Δημιουργούμε την ανίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: Τα χρήματα του δεύτερου πακέτου πρέπει να είναι μικρότερα από τα χρήματα του πρώτου πακέτου. Κατόπιν λύνουμε την ανίσωση κατά τα γνωστά. Άρα θα πρέπει να μιλάμε πάνω από 150 λεπτά για να μας συμφέρει το δεύτερο πακέτο. Επαλήθευση:15+0,204.151 <7,5+0,254.151 , 45,804<45,854

Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες το ορθογώνιο ΑΕΖΔ έχει μικρότερη περίμετρο αλλά και μεγαλύτερο εμβαδόν από το ορ-θογώνιο ΗΘΓΖ.

ΑΣΚΗΣΗ 11

ΛΥΣΗ

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 48

( ) (

25x2424 και x25x

120050x και 1004x120020x30x και 6012040x2x220x-120030x και x21204060x2

x-602030x και x6024060x2ΕΕ και ΠΠ ΗΘΓΖΑΕΖΔΗΘΓΖΑΕΖΔ

<<><

><>+−+<+

>−+<+>−+<+

><)

Σύμφωνα με το σχήμα η περίμετρος του ΑΕΖΔ είναι 2x+60 και το εμ-βαδόν του 30x. H περίμετρος επί-σης του ΗΘΓΖ είναι 40+2(60-x) και το εμβαδόν του 20(60-x). Σύμ-φωνα με την εκφώνηση δημιουρ-γούμε ένα σύστημα ανισώσεων πρώτου βαθμού. Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχωριστά και συναλη-θεύουμε τις δύο λύσεις. Άρα για να ισχύουν αυτά που λέει το πρόβλημα πρέπει ο x να είναι ένας αριθμός μεταξύ του 24 και του 25.

x x

80 m

οικόπεδο

Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου έχει μήκος 80 μέτρα, περίμετρο μικρότερη από 240 μέτρα και εμβαδόν μεγαλύτερο από 3000 τετραγωνικά μέτρα. Πόσα μέτρα είναι το πλάτος του;

ΑΣΚΗΣΗ 1280 m

ΛΥΣΗ

40x5,735,73 και x40x80

3000 και x80x2

000380x και 160240x2000380x και 240160x2

3000Ε και 240Π οικοπέδουοικοπέδου

<<><

><

>−<><+

><

Σύμφωνα με το πρόβλημα η περίμετρος του οι-κοπέδου είναι 2x+160 και το εμβαδόν του 80x. Σύμφωνα με την εκφώνηση δημιουργούμε ένα σύστημα ανισώσεων πρώτου βαθμού. Λύνουμε κάθε μια ανίσωση ξεχωριστά και συναληθεύου-με τις δύο λύσεις. Άρα για να ισχύουν αυτά που λέει το πρόβλημα πρέπει ο x να είναι ένας αριθ-μός μεταξύ του 37,5 και του 40.

ΓΙΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ Έχουμε 9 νομίσματα από τα οποία το ένα είναι πλαστό και ζυγίζει λιγότερο από τα υπόλοιπα. Έχουμε, επίσης, μια ζυγαριά. Μπορείτε με δύο μόνο ζυγί-σματα να βρείτε το πλαστό νόμισμα; Απάντηση: Χωρίζουμε τα 9 νομίσματα σε τρεις τριάδες. Ζυγίζουμε δυο τυχαίες τριάδες και, αν ζυγίζουν το ίδιο τότε το πλαστό νόμισμα βρίσκεται στην τρίτη τριά-δα, αλλιώς βρίσκεται στην τριάδα που ζυγίζει λιγότερο. Έτσι προσδιορίζου-με την τριάδα στην οποία βρίσκεται το πλαστό νόμισμα. Στη συνέχεια, ζυγί-ζουμε δυο τυχαία νομίσματα αυτής της τριάδας και, αν ζυγίζουν το ίδιο, τότε το πλαστό νόμισμα είναι το τρίτο αλλιώς είναι το νόμισμα που ζυγίζει λιγό-τερο.

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 49

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1. Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι κατά 24° μικρότερη των γωνιών της βάσης. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου.

ΛΥΣΗ

0000

00

00

000

0

68682444

441323

481803

1802424

180

==→=+=

=→=

−=

=++++

=++

∧∧∧

∧∧

∧

∧∧∧

∧∧∧

ΒΓΒ

ΑΑ

Α

ΑΑΑ

ΓΒΑ

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 1800.

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω ισότητα τις γωνίες Β αι Γ με ην βοήθεια της γωνίας Α κ τδηλαδή 024ΑΓΒ +

∧=

∧=

∧έτσι όπως προκύ-

πτει από την εκφώνηση της άσκησης.

Λύνουμε την εξίσωση ως προς την γωνία Α

Βρίσκουμε και τις άλλες γωνίες Β και Γ.

2. Ένας ορειβάτης για να ανέβει στην κορυφή ενός βουνού και να επιστρέ-ψει, χρειάζεται 14 ώρες. Αν κατά την ανάβαση βαδίζει με ταχύτητα 3 km/h και κατά την κάθοδο με 4 km/h, να υπολογίσετε το μήκος της δια-δρομής.

ΛΥΣΗ

km24x168x7168x3x4

14.124x.12

3x.1214

4x

3x

st

=→=→=+

=+→=+

υ=

Χρησιμοποιούμε τον τύπο της φυσι-

κήςυ

=s

t . Υποθέτουμε πως η ζητού-

μενη διαδρομή είναι x. Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

3. Για να καλυφθούν τα έξοδα της εκδρομής ενός τμήματος της Β' Γυμνα-σίου, κάθε μαθητής έπρεπε να πληρώσει 2,5 €. Επειδή όμως 6 μαθητές δε μπορούσαν να συμμετάσχουν, οι υπόλοιποι πλήρωσαν 3,25 €. Πόσους μαθητές έχει το τμήμα αυτό;

ΛΥΣΗ

( )

μαθητές 26x5,19x75,05,19x5,2x25,3x5,25,19x25,3

x5,26x.25,3

=→==−=−=−

Υποθέτουμε πως ο αριθμός των μαθη-τών του τμήματος είναι x. Σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκη-σης το ποσό (το ίδιο)που θα πληρώ-σουν αν έρθουν και οι x θα είναι 2,5x και 3,25(x-6) αν δεν έρθουν 6 μαθητές Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 50

4. Η Σοφία αγόρασε 10 στυλό μπλε και κόκκινα και πλήρωσε συνολικά 22 €. Πόσα στυλό αγόρασε από κάθε χρώμα, αν κάθε μπλε στυλό κοστίζει 2 € και κάθε κόκκινο 2,5 €;

ΛΥΣΗ

( )

κόκκινα46-10x-10 και μπλε 6x3x5,0

2522x5,2x222x.5,225x222x105,2x.2

===→−=−

−=−=−+=−+

Υποθέτουμε πως τα μπλε στυλό είναι x οπότε τα κόκκινα θα είναι 10-x Σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκη-σης το ποσό που θα δώσει για τα μπλε θα είναι 2x € και για τα κόκκινα 2,5(10-x) € Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

5. Σε μια συγκέντρωση οι άντρες ήταν διπλάσιοι από τις γυναίκες. Όταν έφυγαν 6 άντρες με τις συζύγους τους, έμειναν τριπλάσιοι άντρες από τις γυναίκες. Πόσοι ήταν οι άντρες και πόσες οι γυναίκες στην αρχή της συ-γκέντρωσης;

ΛΥΣΗ

( )

άντρες 242.122x γυναίκες12x

618x2x36x218x36x26x3

===

−=−−=−−=−

Υποθέτουμε οι γυναίκες είναι x οπότε οι άντρες θα είναι 2x. Αν φύγουν τα 6 ζευγάρια τότε θα μεί-νουν x-6 γυναίκες και 2x-6 άντρες. Οι άντρες τότε θα είναι τριπλάσιοι από τις γυναίκες. Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

6. Ο κύριος Γιάννης θα πωλούσε στη λαϊκή αγορά όσα αυγά είχε με 12 λε-πτά το ένα. Επειδή όμως έσπασαν 26 αυγά, πούλησε τα υπόλοιπα με 14 λεπτά το ένα και εισέπραξε το ίδιο ακριβώς ποσό χωρίς να ζημιωθεί. Πόσα αυγά είχε στην αρχή;

ΛΥΣΗ

( )

αυγά 1822

364x

364x2364x12x14

x12364x14x1226x14

==

==−=−=−

Υποθέτουμε ότι είχε x αυγά οπότε όταν του έσπασαν τα 26 είχε x-26 αυγά. Το ποσό που θα εισέπραττε πουλώντας τα x αυγά με 12 λεπτά θα ήταν 12x και ήταν το ίδιο με το ποσό που εισέπραξε πουλώντας τα x-26 αυγά με 14 λεπτά Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 51

7. Πόσα χρόνια έζησε ο Διόφαντος; (δες την εισαγωγή του κεφαλαίου). ΛΥΣΗ

χρόνια 849

756x

756x9336420x42x12x7x14x84

x84336x42420x12x7x14

x.8484.42x84.84.5

7x.84

12x.84

6x.84

x42x5

7x

12x

6x

==

=+=−−−−=+++++

=+++++

=+++++Υποθέτουμε έζησε x χρόνια τα 1/6 .x χρόνια ήταν νέος, 1/12 x ήταν έφηβος, 1/7 x ήταν το μετέπειτα διάστημα για να γίνει ο γάμος, 5 χρόνια μετά το γάμο γεννήθηκε το παιδί του, το παιδί του έζησε τα μισά χρόνια από αυτόν , μετά 4 χρόνια από τον θάνα-το του παιδιού του πέθανε. Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

8. Ο Γιώργος είχε σκοπό να αγοράσει 15 τετράδια. Επειδή όμως του έκα-ναν έκπτωση 10 λεπτά σε κάθε τετράδιο, αγόρασε με τα ίδια χρήματα 18 τετράδια. Πόσο πλήρωσε το κάθε τετράδιο;

ΛΥΣΗ

( )

λεπτά 603

180x

180x3180x15x18

x15180x18x1510x18

==

==−=−=−

Υποθέτουμε ότι πλήρωσε x λεπτά το κάθε τετράδιο Αν δεν της έκαναν έκπτωση θα πλήρω-νε 15.x λεπτά και είναι το ίδιο ποσό που πλήρωσε παίρνοντας 18 τετράδια με x-10 λεπτά το ένα ,δηλαδή 18.(x-10) λεπτά Λύνουμε την εξίσωση ως προς x.

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 52

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΑΞΗ Β ΤΜΗΜΑ … ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 ώρα

ΒΑΘΜΟΣ………. ΑΣΚΗΣΗ 1: Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Α Β Γ Δ α Η παράσταση

4x-3x+2x-x είναι ίση με:

8x 2x x -2x

β Οι ανισώσεις 4x>8 και 4x<12 έχουν κοινές λύσεις

x>6 2<x<3 x<4 3<x<1

γ Η εξίσωση x=x : Έχει μονα-δική λύση το 1

Είναι ταυτό-τητα

Είναι α-δύνατη

Έχει λύση μόνο τους θετικούς α-ριθμούς

δ Η ανίσωση 5x-5x<0

Έχει λύση κάθε αριθμό

Είναι αδύνα-τη

Έχει λύ-ση x<0

Έχει λύση x>0

ε Ο τύπος s=υ.t λύ-νεται ως προς υ και δίνει:

υ=s.t st

=υ ts

=υ υ=s-t

στ Ο τύπος PV=nRT λύνεται ως προς R και δίνει

R=PV+nT R=PV-nT nT

PVR = PVnTR =

ΑΣΚΗΣΗ 2: Στο παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α με τη λύση της στη στήλη Β.

Στήλη Α Εξίσωση

Στήλη Β Λύση της εξίσωσης

5x=10 x=4 2x=-4 x=0

3x+3=0 x=-2 4x+x=0 x=2 12=3x x=-1

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 53

ΑΣΚΗΣΗ 3: α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x

41

32x

−=+− .

β) Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ( )1x32x4 −>− γ) Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης είναι και λύση της ανίσωσης. ΑΣΚΗΣΗ 4: Να βρείτε ένα αριθμό που το τριπλάσιο του είναι ίσο με το τετραπλάσιο του. ΑΣΚΗΣΗ 5: Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους με άθροισμα 15.

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 2 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΑΞΗ Β ΤΜΗΜΑ … ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 ώρα

ΒΑΘΜΟΣ………. ΑΣΚΗΣΗ 1: Να χαρακτηρίσετε με το γράμμα Σ (Σωστή) ή με το γράμμα Λ (Λανθασμέ-νη) τις παρακάτω προτάσεις:

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) Αν α = β, τότε α · γ = β · γ.

β) Αν α = β και γ≠0, τότε γβ

=γα .

γ) Αν α = β, τότε γ - α = γ - β. δ) Αν 4x=0 ,τότε x=-4 ΑΣΚΗΣΗ 2: Να λύσετε την εξίσωση:

23x

3x29

45x3 −

=−

−− .

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 54

ΑΣΚΗΣΗ 3: Να βρείτε τις λύσεις της διπλής ανίσωσης:

8x137x

2x1 −

≤≤−

ΑΣΚΗΣΗ 4: Να βρείτε τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου, αν γνωρίζουμε ότι γωνία Β εί-ναι ίση με το τριπλάσιο της Α και η γωνία Γ είναι κατά 40° μεγαλύτερη της Β. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1ο: Ενότητα: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις. Στόχοι: Οι μαθητές να μπορούν να εκφράζουν με μεταβλητές διάφο-ρες καταστάσεις της πραγματικής ζωής. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας 1. Ο πατέρας του Νίκου έχει τριπλάσια ηλικία από το Νίκο. α) Αν ο Νίκος είναι 13 ετών, πόσων ετών είναι ο πατέρας του; .................. β) Αν ο Νίκος είναι 15 ετών, πόσων ετών είναι ο πατέρας του;................. γ) Αν ο Νίκος είναι x ετών, πόσων ετών είναι ο πατέρας του;.................... δ) Αν ο Νίκος είναι x ετών, πόσων ετών θα είναι ο Νίκος και πόσο ο πατέ-ρας του σε 5 έτη; .......................................... 2. Ένα CD μουσικής κοστίζει 13,5 €. α) Πόσο κοστίζουν τα 2 CD; .......................................... β) Πόσο κοστίζουν τα 12 CD; .......................................... γ) Να χρησιμοποιήσετε το γράμμα α για να συμβολίσετε το πλήθος των CD που θέλουμε να αγοράσουμε και με τη βοήθεια αυτού του γράμματος να εκφράσετε το κόστος της αγοράς αυτής.......................................... 3. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΒΓ. α) Αν ΑΒ= 6, να βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. ……………………………………………………… β) Αν ΑΒ= 8, να βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. ………………………………………………………………………

Μέρος Α΄ -1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 55

γ) Να χρησιμοποιήσετε ένα γράμμα για να συμβολίσετε το μήκος της πλευ-ράς ΑΒ και να εκφράσετε την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ με τη βοήθεια του γράμματος αυτού. ………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………. 4. Ένα παντελόνι πωλείται x €, ένα πουκάμισο πωλείται γ €, ένα ζευγάρι παπούτσια πωλείται ω € και μία μπλούζα πωλείται φ €. Να εκφράσετε με τη βοήθεια των μεταβλητών αυτών τα χρήματα που θα δώσουμε για να αγορά-σουμε: α) δύο παντελόνια, ένα πουκάμισο, δύο ζευγάρια παπούτσια και τρεις μπλούζες, β) ένα παντελόνι, δύο πουκάμισα και πέντε μπλούζες, γ) ένα από κάθε είδος. ………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2ο: Ενότητα: Προβλήματα που λύνονται με τη βοήθεια εξισώσεων α ' βαθ-μού. Στόχοι: Να εξοικειωθούν οι μαθητές με τη διαδικασία επίλυσης προβλημά-των με τη βοήθεια εξισώσεων. Να αναδειχθεί η υπεροχή ως προς τη λει-τουργικότητα της μεθόδου επίλυσης ενός προβλήματος με τη βοήθεια εξί-σωσης, από την λύση του με τη βοήθεια των μεθόδων της πρακτικής αριθ-μητικής. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας Πρόβλημα: Για να αναδασωθούν δύο περιοχές συνολικής έκτασης 10 στρεμμάτων, χρειάστηκαν 240 δεντρίλια. Στην πρώτη περιοχή φυτεύτηκαν 30 δεντρίλια ανά στρέμμα και στη δεύτερη 20 δεντρίλια ανά στρέμμα. Να υπολογίσετε την έκταση κάθε περιοχής. Λύση με εξίσωση: • Έστω x στρέμματα η έκταση της πρώτης περιοχής. • Αφού είναι συνολικά 10 στρέμματα, η έκταση της δεύτερης περιοχής ως συνάρτηση του x είναι……………………………………… • Αφού στην πρώτη περιοχή φυτεύτηκαν 30

ΜΕΡΟΣ Α΄-1.5- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ΒΑΘΜΟΥ 56

δεντρίλια ανά στρέμμα, ο αριθμός των δεντριλίων που φυτεύτηκαν στην πρώτη περιοχή ως συνάρτηση του x είναι ................................................................................................. • Αφού στην δεύτερη περιοχή φυτεύτηκαν 20 δεντρίλια ανά στρέμμα, ο αριθμός των δεντριλίων που φυτεύτηκαν στη δεύτερη περιοχή ως συνάρτη-ση του x είναι ................................................................................................ • Επομένως, ο συνολικός αριθμός δεντριλίων που φυτεύτηκαν και στις δύο περιοχές ως συνάρτηση του x είναι ..................................................... • Επειδή χρειάστηκαν 240 δεντρίλια, προκύπτει η εξίσωση ...................... Η λύση της εξίσωσης είναι ............................................................................ • Επομένως, η πρώτη περιοχή έχει έκταση ................................................. και η δεύτερη περιοχή έχει έκταση ................................................................. Λύση με πρακτική αριθμητική: Αν υποθέσουμε ότι θα φυτέψουμε 20 δεντρίλια σε καθένα από τα 10 στρέμματα, τότε ο συνολικός αριθμός των δεντριλίων που χρειάζονται για την αναδάσωση είναι .............................................................................. , ενώ σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης χρειάστηκαν στην πραγματι-κότητα ................. δεντρίλια. Η διαφορά είναι: (Αριθμός δεντριλίων που πραγματικά χρειάστηκαν) - (Α-ριθμός δεντριλίων που θα χρειαστούν, αν φυτέψουμε 20 δεντρίλια ανά στρέμμα) = .............................. Ο αριθμός των επιπλέον αυτών δεντριλίων οφείλεται στο ότι στην πρώτη περιοχή φυτέψαμε σε κάθε στρέμμα ...................... δεντρίλια, δηλαδή ...................... περισσότερα απ' όσα φυτέψαμε σε κάθε στρέμμα της δεύτερης περιοχής. Επομένως, η πρώτη περιοχή έχει έκταση 40:10 = ................. στρέμματα και η δεύτερη ................. στρέμματα.