В.С. Лубенцова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ В ЛОГИСТИКЕ

Самара 2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.С. Лубенцова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ В ЛОГИСТИКЕ

Под редакцией В.П. Радченко

Утверждено редакционно–издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Самара Самарский государственный технический университет

2008

ББК 65.50.73 УДК 65807(075.8) Л 82 Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук Л.А. С а р а е в

канд. физ.-мат. наук Л.Г. В о л к о в а Лубенцова В.С. Л 82 Математические модели и методы в логистике: учеб. пособ. /

В.С. Лубенцова. Под редакцией В.П. Радченко. – Самара. Самар. гос. техн. ун-т, 2008, –157 с.: ил.

ISBN 978-5-7964-1140-7 Изложена теоретическая концепция логистических систем, организа-

ционные структуры и методы математического анализа таких систем в об-ласти производства, транспорта, управления запасами, передачи информа-ции.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специально-сти «Прикладная математика и информатика».

ББК 65.50.73 УДК 65807(075.8)

Л 82

ISBN 978-5-7964-1140-7 Лубенцова В.С., 2008 Самарский государственный

технический университет, 2008

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ГЛАВА 1. Общая характеристика логистики и факторы её развития. Основные объекты изучения логистики . . . . . . . . 8 Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Развитие логистики как науки и ее практическая реализа-ция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Факторы, определяющие развитие логистики как экономи-ческой науки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Логистический подход к проблемам управления потоко-выми процессами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Понятие логистической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Виды логистических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Материальный поток, его измерители. Классификация ма-териальных потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Логистическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Логистическая цепь и логистическая операция . . . . . . . . . . 20 1.9. Научная база логистики и методология . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ГЛАВА 2. Многокритериальная оптимизация в логистике. 23 Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Включение всех целевых функций в ограничения . . . . . . . . 23 2.2. Метод последовательных уступок (метод главного крите-рия) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Метод экспертных оценок. Непосредственное назначение коэффициентов веса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Оценки точности параметров в баллах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5. Статистический метод экспертных оценок . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6. Метод бинарных (парных) соотношений . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7. Пример решения задач методом экспертных оценок . . . . . . 37

4

ГЛАВА 3. Производственная логистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2. Толкающие и тянущие системы управления материальны-ми потоками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ГЛАВА 4. Методы сетевого планирования и управления . . 46 Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1. Элементы сетевого графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2. Временные параметры сетевого графика . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3. Распределение ограниченных ресурсов при построении сетевого графика. Последовательный метод . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4. Параллельный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5. Учет стоимостных факторов при реализации сетевого гра-фика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6. Обоснование привлекательности проекта по выпуску про-дукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ГЛАВА 5. Логистика складирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2. Операции, выполняемые на складе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3. Определение оптимального количества складов в зоне об-служивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4. Методы определения места расположения склада на об-служиваемой территории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Лекция 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5. Складские запасы и емкость склада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.6. Определение складских запасов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.7. Решение задачи определения вместимости контейнерного терминала с использованием модели «гибели и рождения» . . . . 82

5

5.8. Выбор между организацией собственного склада и исполь-зованием услуг наемного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.9. Логистические центры. Состав типичного регионального центра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.10. Логистические центры в России . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.11. Интеграция России в мировую логистическую сеть . . . . . 91 ГЛАВА 6. Транспортная логистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1. Сущность и задачи транспортной логистики . . . . . . . . . . . . . 93 6.2. Логистический подход к организации транспортного про-цесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3. Выбор транспортного средства с учетом логистики . . . . . . . 95 6.4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном пото-ке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Лекция 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона . . . . . . . . . . . . . 101 6.6. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке . . . . . . . 103 6.7. Приложение алгоритма о максимальном потоке к решению транспортной задачи по критерию времени . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Лекция 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.8. Задача нахождения кратчайшего пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.9. Решение задачи методом Форда-Фалкерсона . . . . . . . . . . . . 113 6.10. Нахождение общей медианы графа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.11. Расчет надежности сетей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 ГЛАВА 7. Логистический подход к управлению автотранс-портным предприятием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Лекция 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.1. Статистическая вероятность безотказной работы и коэф-фициент безопасности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.2. Характеристика марковских процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3. Анализ возможных состояний автомобиля . . . . . . . . . . . . . . 125

6

7.4. Информационная база прогнозирования транспортных ус-луг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Лекция 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.5. Расчет коэффициента выпуска автомобилей и коэффици-ента технической готовности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.6. Описание процесса функционирования группы автомоби-лей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Лекция 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.7. Использование метода динамики средних для определения средних численностей состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.8. Определение годового пробега и провозных возможностей автомобиля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ГЛАВА 8. Информационная логистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Лекция 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.1. Информационный логистический поток . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.2. Информационные логистические системы (Информацион-ные технологии в логистике) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 8.3. Классификация информационных систем . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.4. Принципы построения информационных систем в логи-стике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Лекция 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.5. Использование открытых информационных технологий в логистических информационных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7

Введение Логистика как новое научное направление получила развитие в

нашей стране в последние десять лет. До последнего времени глав-ным аспектом изучения теории логистики были ее терминология и понятийный аппарат. Однако вторая и не менее важная часть теории логистики — методология в настоящее время представляет собой набор отдельных моделей (методов, алгоритмов), практически не систематизированных и недостаточно подробно изученных. Наибо-лее актуальной проблемой на современном этапе развития является формирование моделей и методов управления логистическими про-цессами.

Настоящее учебное пособие написано в форме двухчасовых лекция и имеет основную цель, во-первых, познакомить студентов с существующими подходами к классификации потоков, их система-тизации и формализации и, во-вторых, изучить наиболее интересные, с практической точки зрения, математические модели и алгоритмы, их реализацию в задачах управления экономическими процессами, которые могут быть использованы специалистами по управлению логистическими процессами в различных областях. Часть из этих моделей реализуется в лабораторном практикуме.

Для лучшего понимания и усвоения учебного материала данного курса необходимы знания в таких областях как теория принятий ре-шений, методы и модели оптимизации, системный анализ, теория массового обслуживания, теория графов.

Описанные в данном курсе математические модели и алгоритмы взяты из литературных источников [1-14], приведенных в библио-графическом списке.

8

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЛОГИСТИКИ И ФАКТОРЫ ЕЁ РАЗВИТИЯ. ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГИСТИКИ

ЛЕКЦИЯ 1

1.1. Развитие логистики как науки и ее практическая реализация Логистика как наука и как сфера практических знаний вызывает

в последнее время всё более возрастающий интерес. Менеджеры по логистике являются одной из наиболее востребованных позиций на рынке труда и являются целью для любой компании.

Логистика – это наука о планировании, организации, управлении и контроле движения материальных и информационных потоков в пространстве и во времени от их первичного источника до конечного потребителя.

Логистика хотя и имеет глубокие исторические корни, тем не менее, сравнительно молодая наука. Бурное развитие она получила в период Второй мировой войны, когда была применена для решения стратегических задач и чёткого взаимодействия оборонной промыш-ленности, тыловых снабженческих баз и транспорта с целью свое-временного обеспечения армии вооружением, горюче-смазочными материалами и продовольствием. Постепенно понятия и методы ло-гистики стали переносить из военной области в гражданскую.

Расширение сферы применения логистики, которое наблюдается в 80-е особенно в 90-е гг., объясняется в первую очередь, развитием оптимальных методов управления материальными потоками. Логи-стика позволяет существенно сократить временной интервал между приобретением сырья и полуфабрикатов и поставкой готового про-дукта потребителю, способствует резкому сокращению материаль-ных запасов, ускоряет процесс получения информации, повышает уровень сервиса.

Деятельность в области логистики многогранна. Она включает управление транспортом, складским хозяйством, запасами, кадрами, организацию информационных систем, коммерческую деятельность и многое другое.

Принципиальная новизна логистического подхода – органичная взаимная связь, интеграция выше перечисленных областей в единую материалопроводящую систему. Иными словами, цель логистическо-го подхода – сквозное управление материальными потоками.

9

Опыт промышленно развитых стран и передовых компаний по-казывает, что логистике принадлежит стратегически важная роль и в современном бизнесе. Внедрение методов логистического менедж-мента в практику бизнеса позволяли фирмам значительно сократить товарные запасы, ускорить оборачиваемость оборотного капитала, снизить себестоимость продукции, обеспечивать наиболее полное удовлетворение потребностей покупателей в отношении качества товара и сопутствующего сервиса.

Термин «логистика» происходит от греческого слова «logistike» – искусство вычислять, рассуждать. В период Римской империи су-ществовали служители, которые носили титул «логисты» или «логи-стики»; они занимались распределением продуктов питания.

По мнению ряда западных учёных, логистика выросла в науку благодаря военному делу. Создателем первых научных трудов по логистике принято считать французского военного специалиста на-чала XIX в. Джомини, который утверждал, что логистика включает такой широкий круг вопросов, как планирование, управление, снаб-жение, определение места дислокации войск, а также строительство мостов, дорог и т.д. Приоритетное значение вопросам логистики придавалось в армии Наполеона.

Существует также математическое направление в логистике. Так в 1904 г. на философской конференции в Женеве термин «логистика» был закреплен за математической логикой. Логистика развивалась и в России. Ещё в начале XX в. петербургские профессора путей сооб-щения издали труд «Транспортная логистика». На его основе были построены модели перевозки войск, их обеспечения и снабжения. Эти модели получили практическое применение при планировании и проведении ряда компаний русской армии в ходе Первой мировой войны. В 60 гг. XX века начинает развиваться экономическое на-правление логистики.

1.2. Факторы, определяющие развитие логистики как экономической науки Необходимость применения логистики в экономике определяет-

ся рядом причин, среди которых можно выделить следующие: – усложнение системы рыночных отношений и повышение тре-

бований к качественным характеристикам процесса распределения; – создание гибких производственных систем;

10

Оно связано с заменой традиционных конвейеров роботами, что привело к значительной экономии живого труда и созданию гибких производственных структур, сделавших работу по изготовлению не-больших партий рентабельной.

Появилась возможность для крупных предприятий перестраи-вать свою работу с массового производства на мелкосерийные с ми-нимальными издержками. Малые же фирмы обрели шансы повысить свою гибкость и конкурентоспособность.

В свою очередь, работа по принципу «малыми партиями» по-влекла соответствующие изменения в процессе обеспечения произ-водства материальными ресурсами и сбыта готовой продукции. Во многих случаях поставки больших объёмов сырья и конечной про-дукции стали не только не экономичными, но и не нужными. В связи с этим отпала необходимость иметь большие склады, ёмкости на предприятиях и возникла потребность в транспортировке грузов не-большими партиями, но в более жёсткие сроки. При этом возросшие расходы на перевозку покрывались за счёт сокращения складских издержек.

При этом ряд факторов способствовал созданию возможностей для развития логистики. К ним, прежде всего, относятся:

– использование теории систем и компромиссов для решения экономических задач;

– ускорение научно-технического процесса в коммуникациях, внедрение в хозяйственную практику фирм ЭВМ последних поколе-ний, используемых в сфере товародвижения;

– унификация правил и норм по поставке товаров во внешнеэко-номической деятельности, устранение различного рода импортных и экспертных ограничений, стандартизация технических параметров путей сообщения, подвижного состава и погрузочно-разгрузочных средств.

В чем заключается принципиальное отличие логистического подхода к управлению материальными потоками от традиционного подхода?

Большинство определений трактуют логистику как науку и практику управления материальными потоками. Однако это деятель-ность осуществлялась человечеством с давних времен. Принципи-альное отличие логистического подхода к управлению материаль-ными потоками от традиционного заключается в выделении единой функции управления прежде разрозненными материальными пото-

11

ками: в технической, технологической, экономической и методоло-гической интеграции отдельных звеньев материалопроводящей цепи в единую систему, обеспечивающую эффективное управление сквоз-ными материальными потоками. При этом следует иметь в виду, что в настоящее время в России за практической деятельностью по управлению материальными потоками закрепилось название «логи-стика» вне зависимости от того, насколько эта деятельность соответ-ствует логистической идее.

Основными объектами изучения логистики являются: – логистические издержки; – информационный поток; – материальный поток; – логистическая система; – логистическая функция; – логистическая цепь; – логистические операции. 1.3. Логистический подход к проблемам управления потоковыми процессами Сущность логистического подхода к управлению материальны-

ми потоками состоит в интеграции отдельных участков логистиче-ского процесса в единую систему, способную быстро и экономично доставить необходимый товар в нужное место. Сложность здесь за-ключается в том, что в рамках единой системы необходимо объеди-нить различные субъекты с различными экономическими интереса-ми.

В целом логистическая оптимизация материального потока — это комплекс математических задач, в результате решения которых может быть создана интегрированная материалопроводящая система, обеспечивающая экономический выигрыш только за счёт качествен-ного изменения управления материальным потоком. Логистический подход предполагает необходимость решение задач в области техни-ки, технологии, экономики и математики, т.е. логистика, представля-

ет единство элементов, представленных на ри-сунке.

Результатом функ-ционирования логисти-

ЭКОНОМИКА

ТЕХНИКА

ТЕХНОЛОГИЯ ЛОГИСТИКА МАТЕМАТИКА

12

ческой системы является наличие нужного изделия в нужном коли-честве в нужное время в нужном месте с минимальными затратами.

1.4. Понятие логистической системы

Понятие системы является базовым понятием логистики. Систе-ма в общенаучном понятии представляет собой такую взаимосвязан-ную организованную совокупность элементов, которая обладает ка-чествами, не свойственными отдельным составляющим её элемен-там.

При этом некоторая совокупность объектов представляет собой систему лишь при наличии следующих свойств:

– целостность и делимость: система состоит из элементов, вы-ступающих как единое целое, но в то же время её можно разделить на подсистемы и отдельные элементы;

– наличие связей между элементами; – организованность: система должна быть определёнными обра-

зом структурирована; – интегративные качества: наличие у системы таких качеств, ко-

торые не свойственны ни одному из её элементов. Примеры систем: автомобиль, университет, авторучка, мобиль-

ный телефон и т.д. Для представления объекта как системы исполь-зуют системный подход. При этом различают внутреннюю и внеш-нюю среду системы, а также вход и выход.

Схематическое представление объекта в виде системы представ-лено на рис. 1.1.

Если имеют место материальные потоки, то всегда имеется ка-кая-то товаропроводящая (логистическая) система, которой присущи

Управляющий элемент системы

вход выход

взаимодействие с внешней средой элементы системы

Р и с. 1.1

13

следующие признаки и свойства. 1. Элементами логистической системы являются: транспортные

предприятия, склады, предприятия оптовой и розничной торговли, перегрузочная и перевозочная техника и др. Причем элементы логи-стической системы можно рассматривать на макро- и микроуровне.

2. Квалифицированный персонал обеспечивает связи между от-дельными элементами. Так на макроуровне основу связи составляет договор, а на микроуровне элементы связаны внутрипроизводствен-ными отношениями.

3. Связи между элементами более или менее упорядочены. 4. Логистическая система обладает качествами, которыми не об-

ладает ни один элемент в отдельности. Это, во-первых, способность поставить нужный товар в нужное время и место, необходимого ка-чества с минимальными затратами, во-вторых, способность адапти-роваться к изменяющимся условиям внешней среды.

ЛЕКЦИЯ 2

1.5. Виды логистических систем Логистические системы делят на макро- и микрологические. Макрологистические системы формируются на уровне государ-

ства, межгосударственных, межрайонных связей. Микрологистические системы создаются на уровне предпри-

ятия, организации и являются подсистемами макрологистических систем (принцип матрёшки). Примеры, отражающие оба эти поня-тия: через склад оптовой торговой базы проходит 10 000 т. грузов в год (микрологистика); страны Европейского сообщества формируют единый внутренний рынок (макрологистика); ежегодно грузооборот транспортного комплекса России составляет до 10 млрд.т. (макроло-гистика); грузооборот склада в 15 раз превышает средний запас (микрологистика). При этом критерии оптимизации у макро- и мик-рологистических систем различны.

Для предприятия в качестве критериев оптимизации его функ-ционирования в рыночной среде используются минимум издержек, максимум объём продаж, завоевание максимальной доли рынка и др. В макрологистических системах критериями являются экологиче-ские, социальные, военные цели, хотя критерий минимума издержек также используется.

Кроме того, в зависимости от наличия посредников в системе

14

продвижения товара различают три вида логистических систем: – система с прямыми связями: материальный поток проходит

непосредственно от производителя к потребителю, минуя посредни-ков (в настоящее время встречается редко):

– эшелонированная система (в таких системах имеется хотя бы один посредник):

– гибкие логистические системы (здесь движение материально-го потока от производителя к потребителю может осуществляться как напрямую, так и через посредников):

1.6. Материальный поток, его измерители. Классификация материальных потоков

Материальный поток является основным объектом исследова-ния, управления и оптимизации в логистике.

Материальный поток – это грузы, товары, рассматриваемые в процессе приложения к нему различных операций и отнесенные к временному интервалу. Под операциями понимается разгрузка, пере-возка, сортировка, укладка на хранение и т.д. Размерность матери-ального потока представляет собой дробь, в числителе которой ука-зана единица измерения груза (штуки, тонны и т.д.), а в знаменателе – единица измерения времени (сутки, месяцы, год и т.д.).

Качественный состав потока меняется по мере продвижения по цепи. Вначале между источником сырья и первым перерабатываю-щим предприятием перемещаются, как правило, массовые однород-ные грузы: сырая нефть, железная руда, уголь, сахар-сырец, зерно и т.д. В конце цепи материальный поток представлен товарами, гото-выми к потреблению: бензин, мука, фасованный сахар и др. Между отдельными производствами, цехами перемещаются различные дета-ли, заготовки, полуфабрикаты. Для того чтобы управлять материаль-

ПРОИЗВОДИТЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬ СИСТЕМА

С ПРЯМЫМИ СВЯЗЯМИ

ПРОИЗВОДИТЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬ ПОСРЕДНИК

ПРОИЗВОДИТЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬ

ПОСРЕДНИК

15

ным потоком, необходимо знать его характеристики и размеры. Из-мерителями материального потока являются:

– масса груза или количество мест, объём, род груза; – расстояние транспортировки (км); – направление движения (место отправления, место назначения); – партионность – масса или количество мест груза, подлежащих

отправке за один раз, на одном транспортном средстве в одном на-правлении (например, материальный поток при перевозке на данном морском судне при работе между определёнными пунктами состав-ляет 60000 т/год, при этом партионность груза составляет 30 000 т);

– время движения и время стоянки в пунктах перевалки или за-пасы на производстве .

Материальные потоки образуются в результате деятельности различных предприятий и организаций. Причём ключевую роль в их управлении играют следующие предприятия и организации:

– транспортные предприятия и экспедиторские компании; – предприятия оптовой торговли; – посреднические предприятия; – предприятия – изготовители (склады сырья и готовой продук-

ции, на которых выполняются разнообразные логистические опера-ции).

Материальные потоки можно классифицировать по нескольким признакам.

По первому признаку – отношению к логистической системе ма-териальные потоки делятся на внешний, внутренний, входной и вы-ходной.

Внешний поток протекает во внешней для предприятия среде. При этом имеются в виду не все потоки, а лишь те, которые имеют к данной организации какое-либо отношение. Например, внешним бу-дет поток сырья для перерабатывающего предприятия, пока он не доставлен на его склад. При поступлении на склад и движении в рамках предприятия он будет являться внутренним для данного предприятия. При входе на предприятие он будет называться входя-щим, а после переработки и поставки со склада готовой продукции — выходящим.

Второй признак классификации — количественный. По этому признаку потоки делятся на массовые, крупные, средние и мелкие. Массовым считается поток при его транспортировке несколькими транспортными средствами, например, железнодорожный состав,

16

несколько десятков автомашин; крупные потоки — несколько ваго-нов, машин; средние — одиночные вагоны, автомобили; мелкие — количество груза, недостаточное для загрузки одного транспортного средства.

Третий признак. По удельному весу материальные потоки делят на тяжеловесные, легковесные, причём примерами первых могут служить металлы, руда, а вторых лесные грузы, табачные изделия и др.

Четвёртый признак. По консистенции грузов - материальные по-токи навалочных, наливных и генеральных грузов. Первые перево-зятся без тары: зерно, сахар-сырец, уголь и др.; вторые — нефть и нефтепродукты, сжиженные газ, вино и др.; третьи — в таре, контей-нерах, ящиках, к ним относятся также металлы и техника. Понятие потока (П) тесно связано с понятием запасов (З), которые друг без друга не могут существовать. Итак, поток представляет собой сово-купность объектов, воспринимаемую как единое целое и измеряемую в абсолютных единицах, как процесс, происходящий на некотором временном интервале. Между статическими величинами запасов и динамическими характеристиками потоков существует тесная взаи-мосвязь:

П характеризует процесс изменения З:

dЗПdt

= ,

З отражает результат накопления потока, т.е.

2

1

t

t

З Пdt= ∫ .

Для описания потоков и работы с ними необходима хотя бы са-мая простая классификация, которую целесообразно выстраивать по нижеследующим признакам.

1. По отношению к рассматриваемой системе:

ПРЕДПРИЯТИЕ (ПЕРЕРАБОТКА СЫРЬЯ

ВНУТРЕННИЕ ПОТОКИ

ВХОДНОЙ ПОТОК СЫРЬЕ, МАТЕРИАЛЫ

ВЫХОДНОЙ ПОТОК ГОТОВАЯ ПРОДУКЦИЯ

ВНЕШНИЕ ПОТОКИ

17

– внутренние потоки циркулируют внутри системы p S∈ , где p – поток; S – рассматриваемая система;

– внешние потоки – поступают в систему извне и/или покидают ее пределы, 1 1p S< , 2 2p S> .

2. По степени непрерывности: – непрерывные потоки – в каждый момент времени на траекто-

рии потока перемещается определенное количество объектов: ( )P f t dt= ∫ ; – дискретные потоки – образуются объектами, перемещаемыми

с интервалами

1

n

ii

P P=

= ∑ .

3. По степени регулярности: – детерминированные потоки – характеризуются определенно-

стью параметров в каждый момент времени: ( )P f t= ; – стохастические потоки – характеризуются случайным характе-

ром параметров, которые в каждый момент времени принимают оп-ределенную величину с известной степенью вероятности:

1if fP P= =∑ ,

где fP – вероятность состояния потока. 4. По степени стабильности: – стабильные потоки – характеризуются постоянством значений

параметров в течение определённого промежутка времени: ( ) 1 2const,P f t t t t= = < < ; – нестабильные потоки – характеризуются флуктуационным ха-

рактером изменения потока: ( ) constP f t= ≠ . 5. По степени изменчивости: – стационарные потоки – характерны для установившегося про-

цесса, их интенсивность является величиной постоянной:

constnt

λ = = ,

где λ – интенсивность потока; n – количество прошедших единиц; t – временной период;

18

– нестационарные потоки – характерны для неустановившегося процесса, их интенсивность меняется в течение определенного пе-риода времени:

( ) constf tλ = ≠ . 6. По характеру перемещения элементов потока: – равномерные потоки – характеризуются постоянной скоростью

v перемещения объектов, т.е. в одинаковые отрезки времени t объек-ты проходят одинаковый путь; интервалы начала и завершения дви-жения объектов также равны:

S vt= ; – неравномерные потоки – характеризуются изменением скоро-

сти перемещения, возможностью ускорения, замедления, остановки в пути, изменения интервалов отправления и прибытия

S vt= , constv ≠ . 7. По степени периодичности: – периодические потоки – характеризуются постоянством пара-

метров или постоянством характера их изменения через определён-ный интервал времени Т:

( )f Tρ = ; – непериодические потоки – характеризуются отсутствием зако-

номерности изменения параметров потока ( )jf tρ = , jt T≠ . 8. По степени соответствия изменения параметров потока зара-

нее заданному ритму: – ритмические потоки; – неритмические потоки. 9. По степени сложности: – простые (дифференцированные) потоки состоят из объектов

одного вида jρ ρ∈ ; – сложные (интегрированные) потоки объединяют разнородные

объекты:

1

n

ii

ρ ρ=

= ∑ .

10. По степени управляемости: – управляемые потоки – адекватно реагирующие на управляю-

щее воздействие ir со стороны, управляющей системы:

19

( )jf rρ = ;

– неуправляемые потоки – не реагирующие на управляющее воздействие:

( )jf rρ = .

Вышеизложенные принципы классификации потоков являются общепринятыми. Такая классификация в основном даёт возможность изучать потоки, рассматриваемые в логике, и применять адекватный им механизм регулирования. Однако по мере роста числа потоков и их напряжённости в сферах производства и обращения может воз-никнуть потребность подразделения потоков ещё по двум признакам.

11. По степени упорядоченности элементов потока: – ламинарные потоки – в них взаимное перемещение состав-

ляющих потока отсутствует либо носит целенаправленный характер; они имеют регулярный характер и способны меняться во времени лишь при изменении внешних условий или управляющих воздейст-вий. Для характеристики потоков с данной точки зрения необходимо ввести следующие понятия:

1) вязкость ( )η – свойство потока сопротивляться перемещению одной части его элементов относительно другой под воздействием внешней среды;

2) внутреннее трение ( )τ – характеристика изменения скорости потока относительно разных слоев его элементов (возникает при пе-ремещении элемента потока относительно друг друга):

vn

τ η∆

=∆

,

где v∆ – изменение скорости потока при перемещении в направле-нии, перпендикулярном направлению движения потока, на величину слоя элементов потока n∆ ;

3) текучесть ( )ϕ – характеристика скорости перемещения оди-накового слоя данного потока под влиянием внешней среды; эта ве-личина, обратная вязкости η :

1ϕ

η= ;

– турбулентные потоки – характеризуются хаотическими взаим-ными перемещениями элементов потока, вызывающими флуктуаци-

20

онные изменения практически всех показателей потока и существен-но затрудняющими процесс управление потоком.

12. По степени соответствия изменения параметров потока зара-нее заданному ритму:

– ритмические потоки; – неритмические потоки. 1.7. Логистическая функция

Логистическая функция – это укрупненная группа логистиче-ских операций, направленная на реализацию целей логистических систем.

Логистическая система должна устойчиво работать при допус-тимых отклонениях параметров и факторов внешней среды (напри-мер, при колебаниях рыночного спроса на конечную продукцию, из-менениях условий поставки или закупки материальных ресурсов, транспортных тарифов и т.д.).

При значительных колебаниях стохастических факторов внеш-ней среды логистическая система должна приспосабливаться к но-вым условиям, меняя программу функционирования, параметры и критерии оптимизации.

1.8. Логистическая цепь и логистическая операция

Под логистической цепью понимают последовательность этапов прохождения материального потока от источника сырья до потреб-ления готовой продукции. Логистическая цепь состоит из звеньев. Основные звенья логистической цепи включают:

– поставку сырья, материалов, полуфабрикатов; – хранение сырья и продукции; – производство товаров; – отправка товаров со складов готовой продукции потребителю

и т.д. Каждой операции по продвижению материального потока соот-

ветствуют определенные издержки, которые несут конкретные зве-нья логистической цепи, т.к. эти издержки относятся к сфере логи-стики, их называют логистическими издержками. К таковым отно-сятся:

– погрузочно-разгрузочные операции; – перевозка и экспедирование грузов;

21

– хранение груза; – сбор, хранение и передача информации о грузе; – расчёты с поставщиками и покупателями; – страхование грузов; – таможенное оформление грузов и т.д. В промышленности логистические издержки составляют

10 – 15% суммарных затрат на производство и реализацию продук-ции, в торговле – 25% и выше.

1.9. Научная база логистики и методология

Научную базу логистики составляет широкий спектр дисциплин: – математика (теория вероятностей, математическая статистика,

теория случайных процессов, теория оптимизации, теория матриц, функциональный анализ);

– исследование операций (линейное, нелинейное, динамическое программирование, теории игр, теория массового обслуживания, управление запасами, методы имитационного моделирования, сете-вого планирования и др.);

– техническая кибернетика (теории больших систем, прогнози-рование, общая теория управления, теория автоматического регули-рования, теории графов, идентификации, информации, связи, распи-саний, оптимального управления и др.);

– экономическая кибернетика и экономика (методы экономиче-ского прогнозирования, маркетинг, менеджмент, стратегическое и оперативное планирование, производственный (операционный) менеджмент, бухгалтерский учёт, управление проектами, инвести-циями, экономика и организация транспорта, складского хозяйства, торговли и др.).

Уже это простое перечисление показывает, какой огромный на-учный потенциал, накопленный человечеством за предыдущие деся-тилетия, используется в современных логистических исследованиях и разработках.

При анализе и синтезе логистических систем основными мето-дологическими принципами являются:

1) системный подход, который заключается в рассмотрении всех элементов логистической системы как взаимосвязанных и взаимо-действующих для достижения единой цели управления; отличитель-ной особенностью системного подхода является оптимизация функ-

22

ционирования не отдельных элементов, а всей логистической систе-мы в целом;

2) принцип общих затрат, т.е. учёт всей совокупности издержек; критерий минимума общих логистических затрат является одним из основных при оптимизации логистических систем;

3) принцип глобальной оптимизации; при оптимизации проекти-руемой логистической системы необходимо согласование локальных целей звеньев (элементов) системы для достижения глобального оп-тимума;

4) принцип логистической координации и интеграции; в процес-се логистического менеджмента необходимо достижение согласо-ванного интегрального участия всех звеньев логистических систем в управлении потоками при реализации целевой функции;

5) принцип моделирования и информационно -компьютерной поддержки; при анализе, проектировании и оптимизации объектов и процессов в логистических системах широко используются различ-ные модели: математические, экономико-математические, графиче-ские, физические, имитационные и др. Реализация логистического менеджмента невозможна без соответствующей информационно –компьютерной поддержки;

6) принцип разработки необходимого комплекса подсистемы, обеспечивающих процесс логистического менеджмента: техниче-ской, экономической, правовой, кадровой, экологической подсисте-мы и др.;

7) принцип всеобщего управления качеством; обеспечение на-дежности функционирования и высокого качества работы каждого элемента логистической системы для обеспечения общего качества и услуг, поставляемых конечным потребителям.

23

ГЛАВА 2. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЛОГИСТИКЕ

ЛЕКЦИЯ 3

Критерием эффективности реализации логистических функций является степень достижения конечной цели логистической деятель-ности, выраженной шестью правилами логистики:

1) груз …… нужный товар; 2) качество …… необходимое качество; 3) количество …… в необходимом количестве; 4) время …… должен быть доставлен в нужное время; 5) место …… в нужное место; 6) затраты …… с минимальными затратами. Эти правила определяют многокритериальный характер матема-

тических моделей в логистике. Рассмотрим, каким образом решаются такие задачи средствами

математического программирования. В многокритериальных задачах математическая модель имеет несколько целевых функций, причём некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие – минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения тако-го компромиссного (субоптимального) решения задачи, в котором значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы приближены к экстремальным значениям.

Нахождение компромиссного решения относится к многокрите-риальным задачам оценки оптимальности.

В настоящее время подобные задачи математически недостаточ-но разработаны и на практике решаются разными методами.

2.1. Включение всех целевых функций в ограничения Рассмотрим целевые функции

1

1

21

max,

min

n

j jj

n

j jj

F c x

F d x

=

=

= →

= →

∑

∑

при ограничениях

1 1

, 0n n

ij j i jj i

a x b x= =

≤ ≥∑∑ .

24

Решаем задачу по каждому показателю отдельно и находим 1maxF , 2minF . Теперь формулируем ограничения в виде:

1max 1 1max1

2min 1 2min1

1

,

,

, 0, 1, , 1, ,

n

j j nj

n

j j nj

n

ij j i jj

c x F x F

d x F x F

a x b x i m j n

+=

+=

=

+ ≥

− ≥ ≤ ≥ = =

∑

∑

∑

а новая целевая функция записывается в виде 1 minnW x += → .

Математическая модель будет аналогичной в случае нахождения компромиссных решений задач, имеющих три целевые функции и более.

Пример. Фирма выпускает 2 вида изделий по цене 2 денежных единиц (д.ед.) и 3 д.ед. соответственно. По результатам маркетинго-вых исследований спрос на изделия 2 типа не менее 1 тыс. ед. в год. Для производства изделий используют материалы А и В, запасы ко-торых составляют 18 и 15 т. соответственно. Для изготовления 1 тыс. изделий норма расхода материала А для изделий I вида составляет 3 т., а для II вида – 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В расходуется: для изделия I вида 5 т., для изделия II вида – 3 т. Найти оптимальное решение по производству изделий I и II видов, чтобы прибыль и количество выпускаемых изделий были максимальными, а себестоимость минимальной.

Решение. Исходные данные задачи сведем в табл. 2.1.

Т а б л и ц а 2.1

Норма расхода т/т. ед. Материалы I II Запасы материа-

ла (т) A 3 5 18 B 5 3 15

Спрос 1≥ т. ед. Цена 2 д. ед. 3 д. ед.

Себестоимость 1 2 Обозначим:

25

1x – количество изделий 1-го вида;

2x – количество изделий 2-го вида. Математическая модель имеет вид:

1 1 2

2 1 2

3 1 2

max,2 3 max,

2 min,

F x xF x xF x x

= + → = + → = + →

при ограничениях:

1 2

1 2

2

1 2

3 5 18,5 3 15,

1,, 0.

x xx x

xx x

+ ≤ + ≤ ≥ ≥

(2.1)

Графически область, задаваемая неравенствами (2.1), представ-лена на рис. 2.1.

Используя пакет «Поиск решения» в Excel, найдем решение для каждой целевой функции:

( )1опт 1, 31, 2, 81x = ;

( )2опт 1, 31, 2, 81x = ;

( )3опт 0; 1x = ;

1max 4,125F = ; 2max 11,063F = ; 3max 2F = . Математическая модель нахождения компромиссного решения:

А(2,4; 1)

5

3,6

1

3 6 х1

х2

В(1,31; 2,81)

Р и с. 2.1. Область допустимых решений

0

26

3 minW x= → ,

при ограничениях:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2

2

1 2 3

4,125 4,125,2 3 11,063 11,063,

2 2 2,,3 5 18

5 3 15,,1

0, 0, 0.

x x xx x x

x x xx xx x

xx x x

+ + ≥ + + ≥ + − ≤

+ ≤ + ≤ ≥ ≥ ≥ ≥

Решая задачу на ЭВМ, используя пакет «Поиск решения» в Excel, получим ( )комп 1,07;1x = , 1 2,07F = ; 2 5,14F = ; 3 3,07F = .

2.2. Метод последовательных уступок (метод главного критерия)

Суть метода в том, что одну из оптимизируемых функций при-нимают в качестве целевой функции, а для других задают некоторые предельные значения граничных условий. Задачу решают в несколь-ких вариантах, которые отличаются друг от друга предельно зада-ваемыми значениями.

Пример. Пусть исходные данные представлены в табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2.2

Расход ресурсов на ед. продукции Характеристики

I II III Располагаемые ресурсы

Продукция (Стоимость) 7 12 13 —

Качество (Трудоёмкость) 9 7 10 —

Ресурсы: Трудовые 0,2 0,3 0,4 35

Материальные 0,5 0,4 0,3 42

Финансовые 0,6 0,8 1,2 100

Требуется найти планы, оптимальные по объему выпуска про-

27

дукции, прибыли и её качеству. Решение. Численно оценивать качество выпускаемой продукции

трудно и не всегда возможно. Однако часть его оценивают одним числом – трудоёмкостью, измеряемой в единицах человеко - време-ни.

Объём измеряется в рублях (можно валовой, реализованной про-дукцией).

Математическая модель имеет вид: 1x – количество продукции 1-го вида;

2x – количество продукции 2-го вида;

3x – количество продукции 3-го вида. Пусть 1 2 3Об 7 12 13 maxx x x= + + →

– объем выпускаемой продукции,

1 2 3 зад

1 2 3

1 2 3

31 2

9 7 10 ,0,2 0,3 0,4 35,0,5 0,4 0,3 42,0,6 0,8 1,2 00,1

0.j

x x x Kx x xx x x

xx xx

+ + ≥

+ + ≤ + + ≤ ++ ≤ ≥

Первая постановка задачи: ( )Об f K= , K – качество выпускае-мой продукции,

1 2 39 7 10 maxK x x x= + + → ,

1 2 3 зад

1 2 3

1 2 3

31 2

7 12 13 Об ,0,2 0,3 0,4 35,0,5 0,4 0,3 42,0,6 0,8 1,2 00,1

0.j

x x xx x xx x x

xx xx

+ + ≥

+ + ≤ + + ≤ ++ ≤ ≥

Вторая постановка задачи: ( )ОбK f= . Таким образом, рассматриваются две постановки задачи: 1) максимизация объёма при обеспечении качества не ниже за-

данного значения; 2) максимизация качества при обеспечении объёмов не меньше

заданного значения.

28

Результаты решения этой задачи при разных К приведены в табл. 2.3, где П1(X1) – количество продукции I-го вида, П2(X2) – количе-ство продукции II-го вида, П3(X3) – количество продукции III-го вида. Анализ результатов даёт возможность сделать следующий выводы.

Т а б л и ц а 2.3

Варианты Характеристики 1 2 3 Кзад Неогран. 900 970 К 830 900 970 Об 1340 1284 1198

П1(X1) 0 14 31,7 П2(X2) 90 62 29,5 П3(X3) 20 34 47,8

Резерв ресурсов: трудовых 0 0 0,7

материальных 0 0 0 финансовых 4 1,2 0

1. Повышение требований к качеству продукции приводит к

уменьшению объёма её выпуска. Действительно, в варианте 1, когда на уровень качества не накладывается никаких требований, достиг-нут максимальный объём выпуска продукции Об 13140= , при этом качество 830K = . По мере увеличения требований к качеству вели-чина Об уменьшается и при зад 970K = достигает значения 1198.

2. В зависимости от требований к качеству продукции меняется структура плана. Так, в варианте 1 продукция вообще не выпускает-ся, так как она даёт наименьший объём.

3. Дальнейший рост выпуска продукции лимитируется ресурса-ми. При этом материалы всегда используются полностью.

В вариантах 1 и 2 увеличение выпуска продукции лимитирует (кроме материалов) ещё и рабочая сила, т.к. её резервы равны нулю, в то время, как финансы используются не полностью.

В варианте 3 трудовые ресурсы используются не полностью. В этой постановке задачи максимизировался объём выпускаемой

продукции, при этом делались уступки по предельным допустимым значениям её качества.

Возможна другая постановка задачи. Максимизируется качество продукции при наложении ограничений на объём её выпуска. Ре-

29

зультаты решения задачи во второй постановке приведены в табл. 2.4:

Т а б л и ц а 2.4

Варианты Характеристики 4 5 6 Обзад не огран. 1180 1260 Об 1108 1108 1260 K 1028 981 930

П1(X1) 48,6 35 20 П2(X2) 0 23,8 50 П3(X3) 59 50 40

Резерв ресурсов: трудовых 1,7 0,9 0

материальных 0 0 0 финансовых 0 0 0

Анализ результатов дает возможность сделать выводы. 1. При реализации требований по увеличению объёма выпуска

ухудшается качество продукции. 2. В варианте 6 достигнуто полное использование всех ресурсов.

При этом качество оказывается на самом низком уровне. Следовательно, постановка задачи максимального использова-

ния ресурсов без дополнительных ограничений не всегда целесооб-разна.

Заметим, что полное использование всех видов ресурсов может быть только в задачах малой размерности, как в данном примере.

В реальных задачах распределения ресурсов всегда есть ресур-сы, которые используются не полностью. Объединив результаты, приведенные в табл. 2.3 и 2.4, можно построить зависимость объёмов выпуска продукции от её качества (табл. 2.5).

Т а б л и ц а 2.5

Вариант 1 2 6 3 5 4 K(F2) 830 900 930 970 981 1028 Об(F1) 1340 1284 1260 1198 1180 108

30

На основании этих данных построим зависимость Об=f(K) (рис. 2.2).

С помощью графика (рис. 2.2) можно решать два вида задач. 1. По заданному качеству продукции К выявить возможный объ-

ём её выпуска Об. 2. По заданному объёму определить возможное качество К. Та-

ким образом, за качество продукции надо платить уменьшением объ-ёмов её выпуска. В связи с этим задача максимизации объема Об при максимизации качества К не может быть выполнена. Возможно най-ти лишь компромиссное решение.

Эта задача в общем виде записывается следующим образом:

1

зад1

1

Об max,

,

,

, 1, , 1, ;

n

j jj

n

j jj

n

ij j ij

j j j

c x

K s x K

a x b

d x D i m j n

=

=

=

= →

= ≥

≤ ≤ ≤ = =

∑

∑

∑

0

Об

K

1300 1200 1100 1000 900

600 700 800 900 1000 Р и с. 2.2. График зависимости объема

от качества

31

1

зад1

1

max,

Об Об ,

,

, 1, , 1, .

n

j jj

n

j jj

n

ij j ij

j j j

K s x

s x

a x b

d x D i m j n

=

=

=

= →

= ≥

≤ ≤ ≤ = =

∑

∑

∑

В результате решения должны быть получены зависимости: в первом случае ( )задОб f K= , во втором – ( )ОбK f= .

Таким образом, применяя метод последовательных уступок, сложно установить зависимость объёма выпуска продукции от каче-ства и на основании этой зависимости выбирать связанные между собой оптимальные значения параметров Об и К. Следовательно, реализовать оптимальное решение можно лишь при строгом соблю-дении зависимости между этими параметрами. А такой зависимо-стью является получаемая в результате применения метода последо-вательных уступок графическая зависимость, представленная на рис. 2.2. Не вызывает сомнения, что этот метод можно обобщить на случай большого числа параметров. Если стоит задача максимизации по к параметрам, то один из них следует принять в качестве целевой функции, а в остальные ввести ограничения.

ЛЕКЦИЯ 4

2.3. Метод экспертных оценок. Непосредственное назначение коэффициентов веса

Этот метод основан на построении единого (интегрального) по-казателя эффективности посредством суммирования произведения имеющихся показателей на соответствующие весовые коэффициенты (коэффициенты важности показателей).

Одним из распространенных методов определения степени от-носительной важности является назначение коэффициентов веса, ко-торые, как правило, находят с помощью методов экспертных оценок. Назначение коэффициентов веса с помощью экспертизы представля-ет собой, по существу, обычное обсуждение, с той лишь разницей, что свое мнение эксперты выражают не словами, а цифрами. Методы

32

экспертных оценок достаточно широко распространены в спорте, например, в фигурном катании, гимнастике. Нет основания считать неприемлемым коллективное мнение специалистов при принятии оптимальных решений. Методов определения экспертных оценок достаточно много. Рассмотрим метод непосредственного назначение коэффициентов веса. Согласно этого метода каждый i-тый эксперт для каждого к-того параметра должен назначать коэффициент ikα таким образом, чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных одним экспертом для различных параметров, равнялась единице:

1

1, 1,n

ikk

i nα=

= =∑ ,

где n – число экспертов. Результаты экспертизы сводятся в табл.2.6.

Т а б л и ц а 2.6

Параметры Эксперт 1 … k … K ∑

1 a11 a1k a1K 1 … i ai1 aik aiK 1

… n an1 ank anK 1 αk a1 ak aK

В качестве коэффициента веса к-го параметра принимают сред-

нее значение по результатам экспертизы всех экспертов:

1

1 1n

k ikin

α α=

= =∑ .

Например, нас интересует сравнительная важность двух пара-метров: объёма выпуска продукции и её качества. Пусть для экспер-тизы пригласили 8 человек. Результат экспертизы приведён в табл. 2.7.

Здесь значения экспертных оценок 1 0,75α = , 2 0,25α = . Если 3k ≥ , то, как показывает опыт, удовлетворение требования

11

n

kk

α=

=∑ затруднено. Для того чтобы избежать выполнения этого

требования, можно определить коэффициенты другими методами.

33

Т а б л и ц а 2.7

Эксперт Об К 1

n

kk

α=

∑

1 0,8 0,2 1 2 0,9 0,1 1 3 0,7 0,3 1 4 0,7 0,3 1 5 0,6 0,4 1 6 0,8 0,2 1 7 0,7 0,3 1 8 0,8 0,2 1

ka 0,75 0,25 1 2.4. Оценки точности параметров в баллах

В этом случае каждый i-тый эксперт назначает каждому к-му параметру оценку по десятибалльной системе. Наиболее важный па-раметр оценивают более высоким баллом, при этом различным па-раметрам может быть назначен одинаковый балл. В результате экс-пертизы заполняется табл. 2.8.

Т а б л и ц а 2.8

Параметры Эксперт 1 … k … K ∑

1 β11 β1k β1K β1 … i βi1 βik βiK βi

… n βn1 βnk βnK βn

Для каждого эксперта определяется сумма:

1

n

ik ik

β β=

=∑

и находятся значения коэффициентов веса:

ikik

i

βα

β= .

Эти данные представляют строку для i-того эксперта; аналогично определяются значения весовых коэффициентов для остальных экс-

34

пертов. Здесь данные экспертизы оформляются в виде табл. 2.9 и 2.10.

Т а б л и ц а 2.9

Параметр Эксперт

1 2 3 4 1

n

kk

β=

∑

1 6 5 9 7 27 2 10 8 4 9 31 3 5 8 9 3 25

Т а б л и ц а 2.10

Параметр Эксперт

1 2 3 4 1

n

kk

α=

∑

1 0,22 0,19 0,33 0,26 1 2 0,32 0,25 0,13 0,3 1 3 0,2 0,32 0,36 0,12 1

kа 0,25 0,25 0,27 0,23 1

1

1 n

k ikkn

α α=

= ∑ .

2.5. Статистический метод экспертных оценок В результате опроса экспертов принимают среднее значение

экспертных оценок. Такой подход не учитывает разброса оценок, да-ваемых каждым экспертом в отдельности, а разброс является показа-телем того, что-либо вопрос поставлен недостаточно однозначно, либо признаком некомпетентности экспертов, либо следствием и то-го и другого. Вместе с тем, неучёт разброса экспертных оценок мо-жет привести к неправильным выводам.

Для исключения этого недостатка необходимо исходить из того, что оценка, данная отдельным экспертом, представляет собой реали-зацию случайной величины и поэтому обработка результатов экспер-тизы должна производиться по правилам действий со случайными величинами. Проведение экспертизы рассматривается на примере определения коэффициентов веса iα параметров ix . Определение

35

экспертных оценок ведётся следующим образом: 1) каждый эксперт должен независимо от других выразить коли-

чественно важность параметров 1 2, ,..., kx x x , придав коэффициентам веса 1 2, ,..., kα α α соответствующие положительные значения таким

образом, чтобы 1

1n

ikk

α=

=∑ , i – число экспертов, к – число параметров;

2) приведенные результаты эксперимента свести в таблицу; 3) по результатам произведённой экспертизы для каждого коэф-

фициента веса найти оценку математического ожидания:

[ ]1

1 n

k iki

M dn

α=

= ∑ ,

затем определить отклонение в оценке каждого эксперта от оценки математического ожидания:

[ ]ik ik ikMα α∆ = − и составить новую табл. 2.11;

Т а б л и ц а 2.11

Параметры Эксперт

αi1 ∆i1 αi2 ∆i2 … αik ∆ik 1 α11 ∆11 α12 ∆12 α1k ∆1k 2 α21 ∆21 α22 ∆22 α2k ∆2k … i αi1 ∆i1 αi2 ∆i2 … αik ∆ik

… n αn1 ∆n1 αn2 ∆n2 … αnk ∆nk

4) обсудить результаты проведенной экспертизы, предоставить

слово для обоснования своей оценки в первую очередь тем экспер-там, у которых отклонения наибольшие; с помощью вопросов и об-щей дискуссии добиться устранения возможного недопонимания то-го, что имеется в виду под оцениваемыми параметрами;

5) провести повторную экспертизу, результаты которой свести в таблицу экспертных оценок, но без столбцов со значением ∆ik; затем по данным таблицы определяются оценки математического ожида-ния и оценки дисперсий:

36

[ ] [ ]( )2

1

11

n

k ik iki

D Mn

α α α=

= −− ∑ ,

которые сводятся в табл. 2.12:

Т а б л и ц а 2.12

α1 … αk … αK M[α1] … M[αk] … M[αK] D[α1] … D[αk] … D[αK]

При обработке окончательных результатов экспертизы для ха-

рактеристики степени согласия мнения исследователей о ранжировке коэффициентов веса вычисляют коэффициент конкордации:

( )

( )

2

1 1

2 3

112 12

k n

ikj j

k kW

n k k

α= =

− + =

−

∑ ∑, 0 1W≤ ≤ ,

k – число рассматриваемых параметров, n – число экспертов. 2.6. Метод бинарных (парных) соотношений Если совместная оценка всех параметров вызывает затруднения,

их можно сравнивать попарно, т.е. методом попарных соотношений. Например, пусть задано 5 параметров 1x , 2x , 3x , 4x , 5x . Каждый i-тый эксперт назначает парные соотношения:

1, если тый параметр важнее того,0, в противном случаеkj

k jγ

− −=

и для i- того эксперта составляется табл. 2.13, причем

5 5

1 110kj

j kγ

= =

=∑∑ .

Определяем экспертную оценку

5

15 5

1 1

kjk

k

kjk j

γα

γ

=

= =

=∑

∑∑

для i-того эксперта. В результате получим 1 0,3α = ; 2 0,2α = ; 3 0α = ;

37

4 0,3α = ; 5 0,3α = .

Т а б л и ц а 2.13

Сравни-ваемые параметры

x1 x2 x3 x4 x5 5

1kj

jr

=∑

x1 — 0 1 1 1 3 x2 1 — 1 0 0 2 x3 0 0 — 0 0 0 x4 0 1 0 — 1 3 x5 0 1 1 0 — 2

Из последней строки нижней таблицы видно, что, несмотря на отсутствие, казалось бы, какой-либо закономерности в оценках, дан-ных экспертами, все параметры имеют примерно одинаковую отно-сительную важность.

Приведенные методы определения коэффициентов веса дают возможность получить достаточно достоверные исходные данные, позволяющие оценить важность каждого оптимизируемого парамет-ра.

2.7. Пример решения задачи методом экспертных оценок

Вернёмся к задаче многопараметрической оптимизации, которая представляет собой попытку найти некоторый компромисс между теми параметрами (целевые функции), по которым требуется опти-мизировать решение. Возможной реализацией такого компромиссно-го подхода является формирование специальной функции. При этом компромиссная целевая функция должна удовлетворять следующим требованиям: оптимизируемые параметры (целевые функции), имеющие, как правило, различную размерность, должны быть при-ведены к безразмерной форме, максимизируемые параметры входят со знаком плюс, минимизируемые – минус:

1

maxK

kk

k kn

xFx

α=

= →∑ .

В этой целевой функции оптимизацию производят по K пара-метрам. Безразмерность параметров обеспечиваем введением норми-рующей величины knx , а степень компромисса назначается с помо-щью коэффициентов kα .

38

Нормирующая величина может задаваться различными спосо-бами. В одном случае значение нормирующей величины knx прини-мается из какого-нибудь утверждающего документа, например, тех-нического задания. Если такой утвержденной величины нет, то мож-но решить задачу оптимизации при максимизации этой величины, т.е. maxF F= , и полученное в результате оптимизации значение *

kF принять за нормирующее: *

кнkF F= . Коэффициенты веса назначаются

при условии 1

1n

kk

α=

=∑ с помощью экспертных оценок.

Для рассмотренного выше примера целевая функция записыва-ется следующим образом:

1 2н н

Об maxОб

KFK

α α= + → .

В качестве нормирующих значений нОб и нK принимаем их максимальные значения, полученные в результате оптимизации от-дельно по каждому параметру: нОб 1340= , н 1028K = . Математиче-ская модель задачи имеет вид:

1 2Об max

1340 1028KF α α= + → ;

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

Об 7 12 13 ;9 7 10 ;

0,2 0,3 0,4 35;0,5 0,4 0,3 42;0,6 0,8 1,2 100;

0, 1,3.

x x xK x x x

x x xx x xx x x

x j

= + + = + + + + ≤ + + ≤ + + ≤

≥ =

Результаты решения этой задачи при различных значениях ко-эффициентов веса 1α и 2α приведены в табл. 2.14.

Анализ табличных данных даёт основание сделать нижесле-дующие выводы.

1. С точки зрения объёма выпускаемой продукции наиболее вы-годным является 1 вариант. По мере снижения коэффициента веса 1α её выпуск уменьшается. Самой невыгодной является продукция П1, которая при 1α вообще не производится.

39

2. Наиболее выгодной с позиции качества является продукция ПЗ. Наиболее невыгодной – П2, которая при 2 1α = не выпускается.

3. Для обеспечения дальнейшего роста объёма выпуска продук-ции необходимо увеличить трудовые и материальные ресурсы, а для повышения качества продукции – материальные и финансовые.

Т а б л и ц а 2.14

Варианты Характеристики 1 2 3 α1 1 0,5 0 α2 0 0,5 1 F 100 94,4 100

Об(F1) 1340 1260 1108 К(F2) 830 930 1028 П1(X1) 0 20 49 П2(X2) 90 50 0 П3(X3) 20 40 59

Резерв ресурсов: трудовых 0 0 1,7

материальных 0 0 0 финансовых 4 0 0

Данные расчёты показывают, как влияют назначенные коэффи-

циенты веса на результат. Таким образом, зная желаемый компро-мисс, следует принять коэффициенты веса, которые определяют по-лученное решение.

40

ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЛОГИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 5

3.1. Общие понятия Материальный поток на своём пути от первичного источника

сырья до конечного потребителя проходит ряд производственных звеньев. Управление материальным потоком на этом этапе имеет свою специфику и носит название производственной логистики.

Целью производственной логистики является оптимизация ма-териальных потоков внутри предприятий. Участников логистическо-го процесса в рамках производственной логистики связывают внут-рипроизводственные отношения.

К производственным логистическим системам можно отнести: – промышленное предприятие; – оптовое предприятие; – узловую грузовую станцию; – узловой морской порт. Производственные логистические системы можно рассматри-

вать на макро- и микроуровнях. В первом случае производственные логистические системы выступают в качестве элементов макрологи-стических систем. Они задают ритм работы этих систем, являются источником материальных потоков.

На микроуровне производственные логистические системы представляют собой ряд подсистем, находящихся в отношениях и связях друг с другом и образующих определенную целостность: за-купка, склады, запасы, производство, транспорт, информация, сбыт, кадры. Эти подсистемы обеспечивают вхождение материального по-тока в систему, прохождение внутри неё и выход из системы.

В производственной логистике основной задачей является упо-рядочение материальных потоков, которое позволяет сократить:

1) простои станочного оборудования; 2) время межоперационного хранения деталей; 3) затраты труда на изготовление деталей. В результате снижаются общая длительность производственного

периода и сумма замороженных на это время средств. Например, по опубликованным данным, в средней автомобильной фирме США согласно статистике запасы деталей, находящихся в изготовлении, составляет примерно 500 долл. в расчете на один выпускаемый авто-мобиль, а в аналогичной японской фирме только 77 долл. за счет ис-

41

пользования более прогрессивной системы управления «Канбан». При математическом моделировании производственного про-

цесса приходится решать большое число задач логистического ха-рактера, например:

– оптимизация состава станочного парка для каждого из произ-водственных участников;

– оптимизация графика запуска деталей в производство; – расчёт длительности производственного цикла при обработке

партии деталей и его сокращение за счет интенсивности; – оптимизация размера партии деталей; –оптимизации качества продукции; – выполнение доставки «точно в срок». 3.2. Толкающие и тянущие системы управления материальными потоками Управление материальными потоками в рамках производствен-

ных логистических систем может осуществляться двумя различными способами.

Первый вариант носит название «толкающая система» и пред-ставляет собой систему организации производства, в которой пред-меты труда, поступающие на производственный участок, непосред-ственно этим участком у предыдущего технологического звена не заказываются. Материальный поток «выталкивается» получателю по команде, поступающей на предыдущее звено из центральной систе-мы управления производством (см. рис. 3.1).

Р и с. 3.1

Система управления, формирующая задание для всех отделов и цехов

Склад сырья

Цех 1 Цех N Цех сборки

Покупатель

…

заказ товара

42

Толкающие модели управления потоками характерны для тра-диционных методов организации производства. Возможность их применения для логистической организации производства появилась в связи с массовым распространением вычислительной техники. Эти системы, первые разработки которых относятся к 1960 гг., позволили согласовывать и оперативно корректировать планы и действия всех подразделений предприятия – снабженческих, производственных и сбытовых – с учетом постоянных изменений в реальном масштабе времени. Результаты внедрения таких систем можно образно охарак-теризовать фразой: «Теперь мы можем разработать план производст-ва, на который нам требовались недели, за несколько часов».

На практике реализованы различные варианты толкающих сис-тем, известные под названием МРП (МРП-1, МРП-2). МРП – это планирование потребности в материалах. Эти системы характеризу-ются высоким уровнем оптимизации управления, позволяющим реа-лизовывать следующие основные функции:

– обеспечивать текущее регулирование и контроль производст-венных запасов;

– в реальном масштабе времени согласовывать и оперативно корректировать действия различных служб предприятия — снабжен-ческих, производственных, сбытовых.

В современных вариантах систем МРП решаются также различ-ные задачи прогнозирования. В качестве метода решения задач ши-роко применяются имитационное моделирование и другие методы исследования операций.

Второй вариант организации логистических процессов на произ-водстве носит название «тянущая система» и представляет собой систему организации производства, в которой детали и полуфабри-каты подаются на последующую технологическую операцию с пре-дыдущей по мере необходимости (см. рис. 3.2). Здесь центральная система управления не вмешивается в обмен материальными пото-ками между различными участками предприятия, не устанавливает для них текущих производственных заданий. Производственная про-грамма отдельного технологического звена определяется размером заказа последующего звена. Центральная система управления ставит задачу лишь перед конечным звеном производственной технологиче-ской цепи.

На практике к тянущим внутрипроизводственным логистиче-ским системам относят систему «Канбан» (в переводе с японского –

43

карточка), разработанную и реализованную фирмой «Тойота» (Япо-ния). Система «Канбан» не требует тотальной компьютеризации производства, однако она предлагает высокую дисциплину поставок, а также высокую ответственность персонала, так как централизован-ное регулирование внутрипроизводственного логистического про-цесса ограничено. Система «Канбан» позволяет существенно снизить производственные запасы, ускорить оборачиваемость оборотных средств, улучшить качество выпускаемой продукции.

Тянущая система имеет некоторые преимущества перед тол-

кающей, так как персонал отдельного цеха в состоянии учесть гораз-до больше специфических факторов, определяющих размер опти-мального заказа, чем это могла бы сделать центральная система управления.

К сильным сторонам МРП относятся: 1) уменьшение объёмов запасов, что даёт экономию денег, пло-

щадей, складских работ; 2) повышение скорости оборачиваемости запасов; 3) повышение качества обслуживания потребителей, поскольку

нет задержек, вызываемых нехваткой материала.

Система управления

Склад сырья

Цех 1 Цех N Цех сборки

Покупатель заказ товара

готовые изделия

материал

заказ на матери-ал

заготовка

заказ на заго-товку

детали

заказ на детали

материальный поток

информационный поток

Р и с. 3.2

44

Таким образом, МРП улучшает общие показатели деятельности организации:

– коэффициент использования оборудования; – производительность; – качество обслуживания; – скорость реагирования на изменившиеся рыночные условия. К недостаткам МРП можно отнести: 1) большой объём информации и необходимых вычислений, на-

личие сложных систем; 2) отсутствие резерва для покрытия ошибок, то есть не преду-

смотрено страхование запаса; 3) негибкость. 3.3. Качественная и количественная гибкость производственных процессов Производство в условиях рынка может укрепить свои позиции

лишь в том случае, если оно способно быстро реагировать на изме-нение спроса. До 70-х гг. XX века предприятия решали эту задачу за счёт наличия на складах запасов готовой продукции. В настоящее время логистика предлагает адаптироваться к изменяющимся усло-виям за счёт запаса производственных мощностей.

Запас производственной мощности возникает при наличии каче-ственной и количественной гибкости производственных систем. Ка-чественная гибкость обеспечивается за счёт наличия универсального обслуживающего персонала и гибкого производства.

Количественная гибкость может обеспечиваться за счёт резерва рабочей силы и резерва оборудования. В условиях конкуренции по-ступление заказов от потребителей является непредсказуемым и мо-жет изменяться, т.е. возрастать и уменьшаться и приобретать новые качества. Удовлетворять такие колебания потребительского спроса только за счёт наличия товарных запасов невозможно.

Основная задача логистики на производстве – это организация движения материальных потоков между производственными едини-цами с тем, чтобы минимизировать производственные издержки. Однако существуют такие виды межоперационных запасов, которые не могут быть сведены к нулю, так как они обуславливаются самой сущностью технологического процесса. В этом случае речь должна

45

идти об их наилучшем использовании. Идеальным решением в этом случае является система JIT (just in time) – «точно в срок».

JIT была внедрена как способ сокращения запасов, что позволи-ло некоторым организациям сократить запасы на 90 %. Кроме того, JIT дала ряд других выгод, таких как:

– сокращение площади, на которой выполняются работы (до 40%);

– уменьшение затрат на снабжение (до 15 %); – снижение инвестиций в запасы и т.д. Концепция «точно в срок» реализуют и система МРП, и система

«Канбан».

46

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 6

Сетевые методы планирования и управления относятся к классу процедур, которые широко используются для решения задач упоря-дочения, координации и оптимального управления сложными ком-плексами работ. Эти методы стали возможными лишь при использо-вании современной электронно-вычислительной техники с примене-нием экономико-математических методов.

Сетевые методы представляют комплекс работ, направленных на достижение намеченной цели, реализуются в виде сетевого графика, отображающего взаимосвязь между отдельными работами, парамет-ры и последовательность выполнения работ.

4.1. Элементы сетевого графика

Сетевой график представляет собой ориентированный ациклич-ный граф, в котором дуги соответствуют работам комплекса, а вер-шины событиям.

Графом ( ),G x u называется объект, представленный множест-вом вершин x и множеством связей между вершинами u . Один из способов представления графа – графический (рис. 4.1).

Вершины графа обозначаются прямоугольниками или кружками, связи между ними – стрелками. На-правленную связь называют дугой, а граф, имеющий только направленные связи, называют ориентированным.

Если направление связи не игра-ет роли, вершины соединяют нена-правленными связями – ребрами. Граф, имеющий только ненаправлен-ные связи, называют неориентированным.

Путём в ориентированном графе G называют такую последова-тельность дуг ( )1 2, ,..., kS u u u= , в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей.

Иногда каждой дуге iu приписывают некоторое число ( )il u , на-

1

2

3

4

Р и с. 4.1

47

зываемое длиной дуги (или весом дуги). Обычно длины дуги пока-зывают над дугой (рис. 4.2).

Петлей или циклом называют та-кую связь, которая начинается и за-канчивается в одной и той же вершине (рис. 4.3).

При планировании производст-венных процессов часто встречаются задачи поиска так называемого критического пути в сетевом графике. Сетевой график представляет собой ориентированный граф, в котором, как правило, одна исходная вершина (обычно подразумевающая начало производственного про-цесса) и одна конечная вершина (её используют для обозначения окончания производственного процесса).

Сетевой график обладает той особенностью, что все пу-ти в нем возможны только в одном направлении, а именно, от начальной вершины к ко-нечной. Каждая вершина соот-ветствует некоторому этапу производственного процесса. Каждая дуга такого ориенти-рованного графа показывает

порядок выполнения этапов. Вес дуги показывает время, требуемое для перехода от одного этапа работ (законченного результата) к дру-гому этапу (законченному результату). В сетевом графике также воз-можны дуги с нулевым весом. Они показывают лишь, что одну работу нельзя выполнить до окончания другой.

В сетевых графиках представляет интерес так называемый кри-тический путь.

Он показывает общее время выполнения всего проекта и наибо-лее важные работы, задержка выполнения которых приводит к срыву срока окончания проекта.

Сетевой график выполняется с соблюдением определённых пра-вил.

В частности, он должен иметь только одно исходное состояние (источник сети) и одно конечное (сток сети) – окончание работы комплекса. Прежде чем строить сети, надо составить подробный список работ комплекса, в отношении каждой работы выяснить её

А ( )il U

В

Р и с. 4.2

1

3

2

Р и с. 4.3

1U

2U 3U

4U

48

технологические связи с другими работами, место работы в комплек-се, конечные результаты (события) каждой работы.

В сетевом графике дугами изображается работа. Работа – это определенный процесс, который может иметь раз-

личное содержание. Прежде всего , это реальные хозяйственные и технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления. Но под работой подразумеваются и процессы, требующие только затрат времени. Например, сушка материалов, процесс твердения бетона требует не материальных затрат и трудо-вых ресурсов, а определенного времени.

Наконец, работами называют и процессы, не требующие затрат ни времени, ни ресурсов. Это так называемые зависимости или фик-тивные работы. Они показывают, что какое-либо событие не может совершиться раньше какого-либо другого. На сетевых графиках их изображают пунктирными линиями

Событие – это результат (промежуточный или конечный) вы-полнения одной или нескольких работ. Оно фиксирует момент вре-мени, когда выполнены все работы, входящие в это событие, и могут быть начаты все непосредственно следующие работы. На сетевых графиках события обозначаются кружками либо другими геометри-ческими фигурами.

Различаются следующие терминологические события сетевого графика:

– исходное событие – результат, в отношении которого условно предполагается, что он не имеет предшествующих работ;

– завершающее событие – результат, в отношении которого предполагают, что он является конечной целью выполнения всего комплекса работ;

– начальное событие – событие, непосредственно предшест-вующее данной конкретной работе;

– конечное событие – событие, непосредственно следующее за данной работой.

Путь сетевого графика – любая последовательность работ, свя-зывающая какие-либо два события. При этом пути, связывающие исходное и завершающее события, считаются полными, а все другие пути – неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжи-тельностью, которая равна сумме продолжительностей составляю-щих его работ.

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, назы-

49

вается критическим путем. Работы и события, лежащие на критическом пути, называются

соответственно критическими работами и критическими событиями. Критический путь – это путь, не имеющий резервов и включаю-

щий самые напряженные работы комплекса. Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ,

отображенная сетевым графиком, равна продолжительности крити-ческого пути. На графике критический путь выделяется жирной ли-нией.

4.2. Временные параметры сетевого графика

С каждым событием i сетевого графика ассоциируется два сро-ка наступления события: ранний срок наступления события ( )pt i и

поздний – ( )пt i . Если принимать 1i = , т.е. считать, что номер исходного события

равен 1, то ( )1 0pt = . Обозначим продолжительность выполнения ра-

боты ( ),i j сетевого графика ( ),t i j . Тогда ранние сроки наступления событий могут быть определе-

ны по формуле: ( ) ( ) ( )max ,p pt j t i t i j = + (4.1)

для всех работ ( ),i j . Для того, чтобы формализовать процесс вычис-лений, следует пронумеровать события сетевого графика таким обра-зом, чтобы для всех работ ( ),i j сетевого графика выполнялось усло-вие i j< . Это может быть достигнуто при использовании следующих правил нумерации:

1) исходному событию присвоить номер 1; 2) пометить все работы, выходящие из пронумерованных собы-

тий; 3) пронумеровать события, в которые входят только помеченные

работы. Пункты 2 и 3 повторять до тех пор, пока не будут пронумерова-

ны все события. Соблюдение приведенных правил при нумерации событий даёт

возможность определить по формуле (4.1) значения ранних сроков наступления событий в порядке возрастания их номеров, начиная с

50

первого. Поздний срок наступления события i определяется по формуле: ( ) ( ) ( )п пmin ,t i t j t i j= − (4.2)

для всех работ ( ),i j . Определение поздних сроков наступления со-бытий начинается с i n= , где n – номер завершающего события се-тевого графика. При этом принимаем ( ) ( )п pt n t n= , а поздние сроки определяются по формуле (4.2) в порядке убывания номеров собы-тий.

После того, как найдены ранние и поздние сроки наступления событий сетевого графика, можно определить критические работы, образующие один или несколько критических путей. Работа является критической, если временные параметры её начального и конечного события удовлетворяют следующим трем условиям:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

п

п

п п

,

,

, .

p

p

p p

t i t i

t j t j

t j t i t j t i t i j

=

=

− = − =

(4.3)

Работа сетевого графика характеризуется следующими времен-ными параметрами:

– ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения её начального события:

( ) ( )рн р,t i j t i= ; (4.4) – поздний срок окончания работы равен позднему сроку свер-

шения её конечного события: ( ) ( )пн п,t i j t j= ; (4.5) – поздний срок начала работы равен позднему сроку ее оконча-

ния минус ее продолжительность: ( ) ( ) ( )пн п, ,t i j t j t i j= − ; (4.6) – ранний срок окончания работы равен раннему сроку начала

работы плюс ее продолжительность: ( ) ( ) ( )ро р, ,t i j t i t i j= + . (4.7) Полный резерв времени – это максимально возможный запас

времени для выполнения данной работы сверх продолжительности самой работы при условии, что в результате такой задержки конеч-ное для данной работы событие наступит не позднее, чем в свой

51

поздний срок: ( ) ( ) ( ) ( )п п р, ,R i j t j t i t i j= − − . (4.8) Свободный резерв времени – это запас времени, которым можно

располагать при выполнении данной работы в предположении, что предшествующее и последующее события этой работы наступают в свои самые ранние сроки:

( ) ( ) ( ) ( )р р, ,cR i j t j t i t i j= − − . (4.9) Рассмотрим сетевую модель. Пусть какой-то комплекс работ

реализуется графом. Продолжительности выполнения каждой работы даны у стрелок. Определим временные параметры событий и найдем критический путь сетевого графика (рис. 4.4). Здесь аi – необходи-мые ресурсы.

Р и с. 4.4. Сетевой график

Все необходимые расчеты выполним непосредственно, пользу-ясь рисунком. Кружки, соответствующие событиям, разделим на 4 сегмента, в верхнем будем писать номер i события, в левом – ( )рt i ,

в правом – ( )пt i , а в нижнем – резерв времени события: ( ) ( ) ( )п рR i t i t i= − . (4.10) Решение начинаем с нумерации событий в соответствии с пра-

вилами, приведёнными выше. Далее определяем ранние сроки на-ступления события, начиная с исходного, для которого полагаем

( )р 1 0t = . Переходим к событию 2. В него входит только одна работа

52

(1, 2), поэтому: ( ) ( ) ( )р р2 1 1,2 7t t t= + = .

В событие 3 входят 2 работы, поэтому: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )р р1,23 max ,3 max 0 2 , 7 4 11

it t i t i

= = + = + + = ,

( ) ( ) ( )р р4 3 3,4 11 3 14t t t= + = + = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )р р2,3,45 max ,5 max 7 8 , 11 1 , 14 0 15

it t i t i

= = + = + + + = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )р р4,56 max ,6 max 14 2 , 15 5 20

it t i t i

= = + = + + = .

Определяем поздние сроки наступления событий, начиная с за-вершающего.

Полагаем ( ) ( )п р6 6 20t t= = ,

( ) ( ) ( )п п5 6 5,6 15t t t= + = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )п п5,64 min 4, min 15 0 , 20 2 15

it t j t j

== − = − − = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )п п4,53 min 3, min 15 3 , 15 1 12

it t j t j

== − = − − = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )п п3,52 min 2, min 12 4 , 15 8 7

it t j t j

== − = − − = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )п п2,31 min 1, min 7 7 , 15 2 0

it t j t j

== − = − − = .

Условиям (4.З) соответствуют работы (1,2), (2,5) и (5,6). Эти ра-боты являются критическими и образуют критический путь сетевого графика, соединяющий исходное событие с завершающим и опреде-ляющий продолжительность работ всего комплекса.

Сетевой график дает четкое представление о взаимосвязи работ и порядке их следования, однако он неудобен для определения со-става работ, который должен выполняться в каждый момент време-ни. Поэтому рекомендуется после расчета временных параметров сетевого графика построить линейный график выполнения работ, каждая из которых изображается параллельным оси времени отрез-ком. Длина отрезка равна продолжительности выполнения работы. Время, в пределах которого могут выполняться некритические рабо-ты, показывается пунктиром. Линейный график выполнения работ имеет вид, представленный на рис. 4.5.

53

Сетевые методы анализа и управления позволяют упорядочивать

работы комплекса таким образом, что в конечном счете комплекс будет завершен при условии соблюдения данной последовательности выполнения работ. Кроме того, для выполнения комплекса работ не-обходимы ресурсы, наличие которых гарантирует физическую ре-альность комплекса. Ресурсы, как правило, ограничены, вследствие чего на последовательность выполнения работ накладываются до-полнительные ограничения, связанные с наличием свободных ресур-сов в данный момент времени.

Определение временных параметров и работ, нахождение кри-тического пути сетевого графика – это только часть планирования, следующим этапом является проверка физической реализуемости проекта.

Отправной точкой этого этапа является определение общей по-требности в ресурсах для каждого единичного интервала времени. Для решения этой задачи лучше всего воспользоваться, линейным графиком выполнения работ с указанием потребности каждой рабо-ты в необходимых ресурсах.

Процедура распределения ресурсов заключается в планировании начала выполнения работы в соответствии с условиями предшество-вания и наличием свободных ресурсов.

(5,6) (4,6) (3,5) (3,4) (2,5) (2,3) (1,3) (1,2)

работа

t 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Р и с. 4.5

54

4.3. Распределение ограниченных ресурсов при построении сетевого графика. Последовательный метод

При построении сетевого графика необходимо учитывать нали-чие ресурсов, т.к. одновременное выполнение некоторых операций из-за ограничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и другими видами ресурсов иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы времени некритических операций. Сдвигая некритическую операцию в том или ином направлении, но в пределах её полного резерва времени, можно добиться снижения максимальной потребности в ресурсах. Однако даже при отсутствии ограничений на ресурсы полные резер-вы времени обычно используются для выравнивания потребностей в ресурсах на протяжении всего срока реализации программы работ. Это означает, что работы удастся выполнить более или менее посто-янным составом рабочей силы.

Процедура распределения ресурсов заключается в планировании начала выполнения работ, в соответствии с условиями предшество-вания и наличием свободных ресурсов. Для реализации этой проце-дуры разработано несколько методов. Одним из основных является последовательный метод.

Суть метода заключается в том, что ресурсы, выделенные для выполнения работы, закрепляются за этой работой до её окончания. Ограниченность ресурсов приводит к тому, что не все работы, нача-ло которых возможно, могут быть начаты одновременно. В подоб-ных ситуациях необходимы критерии, позволяющие отдать предпоч-тение той или иной работе. Соображения, определяющие принимае-мые решения, могут быть сформулированы как следующее правила предпочтения:

1) направить ресурсы на выполнение работы, имеющей наи-меньший полный резерв времени (при прочих равных условиях);

2) направить ресурсы на выполнение работы, имеющей наи-большее число ресурсо-дней (при прочих равных условиях);

3) направить ресурсы на выполнение работы, использующей наибольшее количество ресурсов (при прочих равных условиях);

4) направить ресурсы на выполнение работы с меньшим номе-ром.

При этом необходим контроль времени, в течение которого по-требление ресурсов соответствует их плановому распределению. Так

55

как ресурсы закрепляются за работой на весь срок её выполнения, то изменение количества свободных ресурсов будет происходить в дис-кретные моменты времени, соответствующие окончанию той или иной работы.

Для фиксации таких моментов введём понятие текущего време-ни. В начальный момент значение текущего времени принимается равным нулю. Затем текущее время становится равным времени окончания первой работы, второй и т.д.

В связи с этим может быть предложена следующая последова-тельность распределения ресурсов. Формируется список работ, кото-рые могут быть начаты по условиям предшествования. В соответст-вии с правилами предпочтение для этих работ определяются приори-теты, указывающие, в какой последовательности распределяются свободные ресурсы. Работы, для которых были выделены ресурсы, фиксируются как выполняемые, и среди них находится та, которая будет закончена раньше всех остальных. Время окончания этой ра-боты определяет новое значение текущего времени, а свободные ре-сурсы пополняются за счет высвободившихся ресурсов. При каждом измерении текущего времени производится корректировка времен-ных параметров работ, после чего множество работ, которые могут быть начаты, пополняется за счёт работ, ранние сроки которых рав-ны текущему времени, а из множества выполняемых работ исключа-ется выполненная. Описанная процедура циклически повторяется до тех пор, пока все работы не будут выполнены. Время окончания по-следней работы определяет время выполнения всего комплекса.

Рассмотрим, например, сетевой график, для которого был най-ден критический путь 1–2–5–6 (рис. 4.6).

Р и с. 4.6. Критический путь

56

Задача распределения ресурсов может быть сформулирована двояко:

1) определить время выполнения всего комплекса работ при за-данном количестве ресурсов;

2) определить необходимое количество ресурсов для выполне-ния комплекса работ в заданные сроки.

В любой постановке рассматриваемой задачи решение должно начинаться с определения разумного начального приближения.

Поступим следующим образом. Определим ресурсо-дни для ка-ждой работы и просуммируем. Найденную сумму разделим на дли-тельность выполнения комплекса, в результате чего получим среднее число единиц ресурса, необходимое ежедневно. При этом следует учитывать два момента:

– во-первых, полученное число должно быть целым, поскольку ресурсы (люди, машины) измеряются, как правило, только целыми числами;

– во-вторых, среднее число требуемых ресурсов должно быть не меньше, чем потребность в них любой работы, иначе некоторые ра-боты никогда не смогут быть выполнены.

В рассматриваемом примере минимальное число ресурсов (лю-дей), необходимых для выполнения комплекса работ, в первом при-ближении равно 111/20=5,5 ~ 6 (рис. 4.7). Этого достаточно для вы-полнения любой работы комплекса.

Полный резерв времени показывает, насколько может быть уве-личена сумма продолжительности всех работ.

Свободный резерв времени – это максимальное время, на кото-рое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность ра-боты при условии, что все события наступают в ранние сроки. Как следует из табл. 4.1 для выполнения всего комплекса работ при уров-не ресурсов, равном 6, требуется 30 дней, что в полтора раза превышает срок, определяемый только технологическими условия-ми. На диаграмме (рис. 4.7) показано ежедневное распределение ре-сурсов.

Очевидно, что оно крайне неравномерно. Если требуется сокра-тить длительность выполнения комплекса работ, необходимо увели-чивать уровень используемых ресурсов. Решение с использованием семи единиц ресурса дает длительность выполнения комплекса 25 дней (табл. 4.2, рис. 4.8). Для достижения минимально возможной длительности выполнения, равной 20 дням, потребуется 10 единиц ресурсов (табл. 4.3, рис. 4.9).

57

Т а б л и ц а 4.1

Р и с. 4.7. Диаграмма распределения ресурсов за 30 дней

Т а б л и ц а 4.2

Р и с. 4.8. Диаграмма распределения ресурсов за 25 дней

58

Рассмотренный при решении примера эвристический метод оп-тимизации по времени комплекса работ, когда ресурсы ограничены, не минимизирует время выполнения комплекса работ, но обеспечи-вает достаточно хорошее приближение к нему.

Т а б л и ц а 4.3

Р и с. 4.9. Диаграмма распределения ресурсов за 20 дней

Возможна и иная постановка задачи: какие дополнительные ре-

сурсы, и в какие работы следует вложить, чтобы общий срок выпол-нения комплекса не превышал заданный, а стоимость дополнитель-ных ресурсов минимизировалась.

4.4. Параллельный метод Исполнитель может выбрать метод ежедневного распределения

ресурсов. Каждый день он решает, какая работа наиболее важная и, соответственно, распределяет ресурсы. В расчет принимаются только те операции, которые могут выполняться в текущей день, а также имеющиеся на этот день ресурсы. Ресурсы распределяются только на

59

один день. На следующий день можно не использовать ресурсы на прежних работах даже если они не завершены. Они будут завершены в последующие дни.

Чтобы решить вопрос о важности работ, руководитель ежеднев-но распределяет приоритеты между ними, исходя из необходимости завершения всего комплекса работ в кратчайший срок. Кроме того, он отдает предпочтение уже начатым работам, а также принимает во внимание количество ресурсов, требующихся для работы. Такая си-туация анализируется параллельным методом. Правила предпочте-ния для работ (при условии завершения всех предшествующих им работ) состоят в следующем:

1) направить ресурсы на выполнение работы, имеющей наи-меньший резерв времени (при прочих равных условиях);

2) направить ресурсы на выполнение уже начатой работы (при прочих равных условиях);

3) направить ресурсы на выполнение работы, требующей наи-большего числа единиц ресурсо-дней (при прочих равных условиях);

4) направить ресурсы на выполнение работы, требующей наи-большего числа единиц ресурсов на день (при прочих равных усло-виях);

5) рассмотреть последовательность работ. В начале и в конце каждого рабочего дня все ресурсы считаются

свободными. В первый рабочий день приоритет определяется резервом вре-

мени (чем меньше резерв, тем выше приоритет). Распределение ре-сурсов производится ежедневно и вид распределения может также изменяться ежедневно. В начале каждого дня, когда происходит рас-пределение ресурсов, некоторые работы уже закончены, другие за-кончены частично, остальные ещё не начаты. Приведенные выше правила предпочтения используются для распределения ресурсов между работами, находящимися в стадии выполнения, а также теми, которые могут быть начаты.

ЛЕКЦИЯ 7

4.5. Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика Стоимостные факторы при реализации сетевого графика учиты-

ваются путем определения зависимости «затраты – продолжитель-

60

ность» для каждой операции. При этом рассматриваются прямые за-траты, а косвенные типа административных или управленческих рас-ходов не принимаются во внимание.

На рис. 4.10 показана линейная зависимость стоимости операции от её продолжительности. Точка ( ),B BB D C , где BD – продолжи-тельность операции, а BC – её стоимость, соответствует нормально-му режиму выполнения операции. Продолжительность операции можно уменьшить (сжать), увеличив интенсивность использования ресурсов, а, следовательно, увеличив её стоимость. Однако сущест-вует предел (минимальная продолжительность операции). За точкой А вдоль линии ВА, соответствующей этому пределу (точка макси-мально интенсивного режима), дальнейшее увеличение интенсивно-сти использования ресурсов ведет лишь к увеличению затрат без со-кращения продолжительности операции. Этот предел обозначается точкой ( ),A AA D C .

Линейная зависимость «затраты–продолжительность» принима-ется из соображения удобства, так как её можно определить для лю-бой операции по двум точкам нормального и максимально-интенсивного режимов, т.е. по точкам А и В. Использование нели-нейной зависимости «затраты–продолжительность» существенно усложняет вычисления. Поэтому иногда нелинейную зависимость можно аппроксимировать кусочно-линейной, когда операция разби-вается на части, каждая из которых соответствует одному линейному отрезку. Следует отметить, что наклоны этих отрезков при переходе от точек нормального режима к точке максимально интенсивного

затраты затраты

точка максимального интенсивного режима

точка максимального интенсивного режима

точка нормального режима

точка нормального режима

продолжительность продолжительность

А А СА

СВ В

0 DА DВ

СА

СВ В

DА DВ

0

Р и с. 4.10. Зависимость затраты–продолжительность

61

режима возрастают. Если это условие не выполняется, то аппрокси-мация не имеет смысла.

Определив зависимость «затраты–продолжительность» для всех операций сети, принимают нормальную продолжительность. Далее рассчитывается сумма затрат на все операции сети при этой продол-жительности работ.

Чтобы добиться сокращения продолжительности выполнения работ при возможных затратах, необходимо максимально «сжать» ту критическую операцию, у которой наклон кривой «затраты–продолжительность» наименьший.

В результате сжатия критической операции получают новый ка-лендарный график, возможно, с новым критическим путем. Стои-мость работ при новом календарном графике будет выше стоимости работ по предшествующему графику. На следующем этапе этот но-вый график вновь подвергается сжатию за счет следующей критиче-ской операции с минимальным наклоном кривой «затраты-продолжительность» при условии, что продолжительность этой опе-рации не достигла минимального значения.

Подобная процедура повторяется, пока все критические опера-ции не будут находиться в режиме максимальной интенсивности. Полученный таким образом оптимальный календарный график соот-ветствует минимуму прямых затрат.

4.6. Обоснование привлекательности проекта по выпуску продукции Для финансирования проектов по строительству и наладке изго-

товления конкурентоспособной продукции в большинстве случаев фирмам требуются инвестиции. Включение в проект материалов с оптимизацией сетевых моделей в части обоснования сроков возврата инвестиций делают проект более привлекательным и способствует принятию инвестором положительного решения.

Задача. Предприятие решило для улучшения финансового состояния на-

ладить выпуск конкурентоспособной продукции. Для преобразова-ния цеха (участка) под выпуск этой продукции необходимо выпол-нить:

1) подготовку технического задания на преобразование участка (30 дней);

62

2) заказ и поставку нового оборудования (60 дней); 3) заказ и поставку нового электрооборудования (50 дней); 4) демонтаж старого и установку нового оборудования (90 дней); 5) демонтаж; старого и установку нового электрооборудования

(80 дней); 6) переобучение персонала (30 дней); 7) испытание и сдачу в эксплуатацию оборудования для произ-

водства продукта (20 дней). Ожидается, что производительность после ввода новой линии

составит 20 т. продукции в смену. Прибыль от реализации составит 0,5 (д. ед.) в смену. Деньги на покупку и преобразование участка в размере 2000 тыс. д. ед. взяты в банке под 20% годовых (из расчета 1500 тыс. д. ед. на закупку оборудования и 500 тыс. д. ед. на работу по демонтажу старого оборудования и установку нового оборудова-ния). Затраты на проведение работ в нормальном и максимальных режимах указаны в таблице 4.4:

Т а б л и ц а 4.4

Нормальный режим Максимальный режим

Работа продолжи-тельность,

дн.

затраты, тыс. д. ед.

продолжи-тельность, дн.

затраты, тыс. д. ед.

Наклон

1(0,1) 30 20 25 30 2 2 (1,2) 60 40 45 60 1,3 3 (1,3) 50 30 40 40 1 4 (2,4) 90 70 70 100 1,5 5 (3,4) 80 60 65 70 0,7 6 (1,4) 30 25 20 35 1 7 (4,5) 20 20 17 25 1,7 Итого 360 265 282 350

Определить, через какое время может быть возвращен кредит в

банк? Решение. 1. Составим график проведения работ:

На проведение переоборудования необходимо 360 дней.

0 1 2 3 4 5 6 7 30 60 50 90 80 30 20

63

2. График можно улучшить, выполняя некоторые работы парал-лельно, как это показано на рис. 4.11.

Р и с. 4.11

Введем обозначения для работ: ( )0,1 – подготовка технического задания;

( )1,2 – заказ и поставка нового оборудования;

( )1,3 – заказ и поставка нового электрооборудования;

( )1,4 – переобучение персонала;

( )2,4 – установка нового оборудования;

( )3,4 – установка нового электрооборудования;

( )4,5 – сдача в эксплуатацию новой линии. Критический путь ( )0,1 , (1,2), (2,4), (4,5) составляет 200 дней.

График улучшился на 360 200 160− = ед. Через 200 дней после нача-ла работ предприятие истратит 1500 тыс. д. ед. на приобретение обо-рудования и 265 тыс. д. ед. на его установку и сдачу в эксплуатацию (табл. 4.4). В наличии у предприятия останется

2000 1500 265 235− − = тыс. д. ед. 3. Построим график изменения кредита в зависимости от време-

ни получения прибыли предприятием (рис. 4.12). Для построения графика изменения кредита в зависимости от

времени составим уравнение. Через 360 дней после выдачи банком кредита под 20% годовых долг предприятия составит 2400 тыс. д. ед. Поэтому известны две точки этой прямой ( )0, 2000A и

( )360, 2400B . Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, имеем:

64

10 9 18000 0x y− + = . (4.11) Найдем уравнение прибыли предприятия. Известно, что через

200 дней у предприятия осталось от кредита 235 тыс. д. ед. Через 100 дней после начала работ выпуска продукции предприятие получит прибыль:

0,5 20 100 1000⋅ ⋅ = тыс. д. ед., и у него будет в наличии:

235 1000 1235+ = тыс. д. ед.

Таким образом, для нахождения уравнения прибыли мы имеем две точки ( )200,235C , ( )300, 1235D . Тогда уравнение прямой, про-ходящей через две точки имеет вид

10 1765 0x y− − = . (4.12) Решая совместно уравнения (4.11) и (4.12), определим время, ко-

гда кредит может быть возвращен в банк:

10 9 18000 0 2471 д.ед.10 1765 0 424 дн.

x y yx y x

− + = = → − − = =

4. График выполнения работ можно сжать за счет выполнения некоторых операций в максимально интенсивном режиме. Вычислим наклоны кривой «затраты – продолжительность» для каждой опера-ции. Результаты расчетов сведем в таблицу 4.5:

Учитывая наклоны кривой «затраты – продолжительность», производим сжатие операций (0,1), (1,2), (2,4), (3,4), (4,5), что ото-бражено на рис. 4.13.

3000

2000

1000

0 0 100 200 300 400 Время (дни)

Стоимость

(т.д

. ед.

) кредит В(360, 2400)

А(0, 2000) прибыль

Д(300, 1235)

С(200, 235) С′(157, 160)

Д′(257, 1160)

Р и с. 4.12. Зависимость стоимость – время

65

Т а б л и ц а 4.5

Операция Наклон (0,1) 2 (1,2) 1,3 (1,3) 1 (2,4) 1,5 (3,4) 0,7 (1,4) 1 (4,5) 1,7

Новый график имеет 2 критических пути: (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) и (0,1), (1,3), (3,4), (4,5) с продолжительностью 157 дней. Таким об-разом, критический путь сокращен с 200 до 157 дней, а это значит, что предприятие начинает производить продукцию через 157 дней после начала работ. Однако за «сжатие» критического пути предпри-ятию придется заплатить, следующие суммы:

( )( )( )( )( )

0,1 :30 20 10 тыс. д. ед.;

1,2 : 60 40 20 тыс. д. ед.;

2,4 :100 70 30 тыс. д. ед.;

3,4 : 70 60 10 тыс. д. ед.;

4,5 : 25 20 5 тыс. д. ед.

− =

− =

− =

− =

− =

Таким образом, «сжатие» этих работ обойдется предприятию в 75 тыс. д. ед.

График изменения кредита в зависимости от времени остается прежним.

Найдем новое уравнение прибыли. Через 157 дней после начала работ у предприятия осталось от кредита:

0

3

4 5 1

2

25

45 70

50

30

65

17

Р и с. 4.13

66

2000 1500 265 75 160− − − = тыс. д. ед. Через 100 дней после начала выпуска продукции предприятие

получит прибыль 20 0,5 100 1000⋅ ⋅ = тыс. д. ед.,

и у него будет в наличии 1000 160 1160+ = тыс. д. ед. Таким образом, для нахождения уравнения прибыли имеем две

точки – ( )157, 160C′ и ( )257, 1160D′ . Вновь используя уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

10 1410 0x y− − = . (4.13) Решая совместно систему уравнений (4.11), (4.13), определим

время, когда кредит может быть возвращен:

10 9 18000 0 2426,25 д.ед.10 1410 0 384 дн.

x y yx y x

− + = = → − − = =

Таким образом, через 384 дня предприятие может вернуть кре-дит в банк, т.е. оно их вернет раньше на 424 384 40− = дней.

При нормальном режиме работы критический путь составляет 200 дней, стоимость работ 265 тыс. д. ед. Критический путь умень-шен до 157 дней, минимальная стоимость работ составляет 265 75 340+ = тыс. д. ед. при максимальном режиме.

67

ГЛАВА 5. ЛОГИСТИКА СКЛАДИРОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 8

5.1. Основные понятия На пути движения материального потока важной частью на пути

цепей поставок являются склады. Эффективность логистической системы зависит не только от со-

вершенствования и интенсивности промышленного и транспортного производства, но и складного хозяйства.

Современный крупный склад – это сложное техническое соору-жение, состоящее из многочисленных взаимосвязанных элементов, имеет определенную структуру и выполняет ряд функций по преоб-разованию материальных потоков, а также накоплению, переработке и распределению грузов между потребителями. Учитывая это, склад можно представить как сложную систему.

В то же время склад является элементом более высокого уровня – логистической цепи, которая и формирует основные требования к складной системе, устанавливает цели и критерии её оптимального функционирования.

Основное назначение склада – концентрация запасов, их хране-ние и обеспечение бесперебойного и ритмичного выполнения заказов потребителей. Все организации имеют запасы.

Запасы могут возникнуть в любой точке цепи поставок, где ма-териальный поток приостанавливается или нарушается. Большинство организаций стараются хранить запасы на складах. На практике эти-ми складами могут быть и открытые участки, где такое сырье как уголь, руда и овощи хранят в кучах; или современные сооружения, обеспечивающие необходимые условия для хранения, скажем, замо-роженных продуктов и деликатесов. Базы данных, содержащих запа-сы информации, также можно рассматривать как совокупность запа-сов знаний и квалификаций. Таким образом ,склады – место хране-ния любых материалов. Специалисты используют несколько разных терминов для складов, чаще их называют распределительными или логистическими центрами. Существуют и другие названия – тран-зитный центр, терминал и др.

Реальность такова, что каждая организация хранит запасы, что-бы иметь резерв в момент разбаланса спроса и предложения. И пока организациям необходимо хранить запасы материалов, им требуются склады. Склады – это важная часть большинства цепей поставок.

68

По типу больших внешних систем, взаимодействующих через склады, объекты складского назначения можно классифицировать на следующие большие классы:

– производство – склад –транспорт: П C T⇔ ⇔ ;, – транспорт – склад – производство: T C П⇔ ⇔ ; – транспорт 1 – склад – транспорт 2: 1 2T C T⇔ ⇔ ; – производство 1 – склад – производство 2: 1 2П C П⇔ ⇔ . По сочетанию различных видов транспорта прибытия и отправ-

ления продукции возможны более 200 типов складов. 5.2. Операции, выполняемые на складе

Логистические функции складов реализуются в процессе осуще-ствления отдельных логистических операций. Комплекс выполняе-мых складских операций на различных складах неодинаков.

В общем, состав складских операций представляет собой сле-дующую последовательность:

– разгрузка транспорта; – приемка товара; – размещение на хранение (укладка в стеллажи, штабели); – отборка товаров из мест хранения; – комплектование и упаковка; – погрузка; – внутрискладское перемещение грузов. Наиболее тесная связь склада с остальными участниками логи-

стического процесса имеется при осуществлении операций с выход-ными материальными потоками, т.е. при выполнении погрузочно-разгрузочных работ. Технология выполнения этих работ зависит от характера груза, типа транспортных средств, а также от вида исполь-зуемых средств механизации.

Следующей существенной операцией является приемка грузов по количеству и качеству. В процессе приемки происходит сверка фактических параметров прибывшего груза с данными товарно-сопроводительных документов.

На складе принятый по количеству и качеству груз перемещают

69

в зону хранения. Товар со склада предприятия оптовой торговли мо-жет доставляться заказчику силами этого предприятия. Тогда на складе необходимо организовывать отправочную экспедицию, кото-рая будет накапливать подготовленный к отправке товар, и обеспе-чивать его доставку покупателю.

В настоящее время организации пытаются перемещать материа-лы через цепь поставок быстро, поэтому роль складов изменилась. Сейчас они скорее рассматриваются как промежуточные пункты, через которые материалы перемещаются как можно быстрее.

Поскольку их значение в долгосрочном хранении товаров сни-зилось, они стали удобным местом для выполнения ряда других ра-бот. Они, например, считаются лучшим местом для сортировки ма-териалов, их упаковывания и объединения.

5.3. Определение оптимального количества складов в зоне обслуживания

Решение по развитию складской сети необходимо принимать на основе анализа полной стоимости, что означает учет всех экономи-ческих изменений, возникающих при изменении количества складов в логистической системе.

Проблема определения оптимального количества заключается в следующем: если количество складов на обслуживаемой территории меньше оптимального, то транспортные расходы по доставке товара потребителю будут большими. Если же количество складов будет чрезмерно велико, то при снижении транспортных расходов на дос-тавку потребителям повысятся эксплуатационные расходы на содер-жание складов, затраты на доставку товаров на склады, а также за-траты на управление всей системой распределения. Поэтому для принятия решения об использовании оптимального количества скла-дов необходимо проанализировать зависимость стоимостных факто-ров от числа складов. Стоимостные факторы включают в себя ниже-следующие расходы.

1. Транспортные расходы. При увеличении количества складов возрастают расходы, свя-

занные с доставкой товара на склады, а расходы, связанные с достав-кой со складов потребителям, снижаются. Суммарные расходы, как правило, уменьшаются.

2. Расходы на формирование запасов.

70

Суммарный запас в распределительной системе при увеличении количества складов возрастает. Это происходит из-за увеличения страхового запаса (он необходим на каждом складе).

3. Расходы, связанные с эксплуатацией складского хозяйства и управлением складской системой.

При увеличении количества складов расходы, связанные с их эксплуатацией и управлением, возрастают, но менее низкими темпа-ми, чем растет число складов. Причиной этого является эффект мас-штаба и компьютеризация системы управления.

4. Потери продаж, вызванные удалением склада от потребителей (в случае небольшого числа складов).

При сокращении количества складов среднее расстояние до об-служиваемых пунктов возрастает. Это означает, что потребителю сложнее самому приехать на склад и подобрать ассортимент. Следо-вательно, потери продаж при увеличении числа складов снижаются.

На основании вышеприведенных зависимостей минимизируются общие затраты и соответствующее им число складов .

5.4. Методы определения места расположения склада на обслуживаемой территории

Задача размещения складов может формулироваться как поиск оптимального (или близкого к оптимальному) решения. Наукой и практикой выработаны методы решения задач обоих видов. Рассмот-рим их более подробно.

1. Метод полного перебора. Этот метод относится к сетевым методам. Задача выбора опти-

мального места расположения склада решается полным перебором и оценкой всех возможных вариантов размещения распределительных центров с помощью методов математического программирования. Однако этот метод является достаточно трудоемким и количество переменных в нем растет по экспоненте по мере увеличения масшта-бов сети.

2. Эвристические методы. Эти методы менее трудоемки. Они являются субоптимальными

или близкими к оптимальным. В их основе лежит человеческий опыт и интуиция. Метод базируется на предварительном отказе от боль-шого количества очевидно неприемлемых вариантов. Опытный спе-циалист-эксперт анализирует транспортную сеть региона, и непри-

71

годные варианты исключаются из задания. Для оставшихся спорных вариантов расчеты выполняются по полной программе.

3. Метод определения центра тяжести системы распределе-ния.

Данный метод основан на вычислении центра тяготения склада к определенным потребителям, т.е. распределительный склад будет располагаться в определенной точке ближе к крупным покупателям. Для применения этого метода необходимо нанести на карту района обслуживания координатные оси и найти координаты точек, в кото-рых размещены потребители материального потока, например, мага-зины.

Координаты центра тяжести грузовых потоков, т.е. точек, в ко-торых может быть размещен склад, определяются по формулам:

1скл

1

n

i ii

n

ii

Q xX

Q

=

=

=∑

∑, (5.1)

1скл

1

n

i ii

n

ii

Q yY

Q

=

=

=∑

∑, (5.2)

где Q – грузооборот i -того потребителя, ( ),i ix y – координаты i -того потребителя, n – количество потребителей.

Точка территории, обеспечивающая минимум транспортной ра-боты по доставке, в общем случае не совпадает с найденным центром тяжести, но находится недалеко. Подобрать приемлемое место для склада позволяет последующий анализ возможных мест размещения в окрестностях найденного центра масс.

4. Метод пробной точки. Пусть на участке АС имеется четыре потребителя А, В, С, D.

Месячный объём завоза товара указан в скобках в тоннах. Вводится понятие пробной точки отрезка. Пробной точкой от-

резка называется любая точка отрезка, не принадлежащая его кон-цам.

А(20 т) B(10 т) C(30 т) D(30 т)

72

Поиск оптимального места положения распределительного цен-тра начинается с крайнего левого конца всего обслуживаемого уча-стка. Вначале анализируется отрезок АВ. На данном отрезке ставят пробную точку и подсчитывают сумму объемов заказа товаров нахо-дящихся слева и справа от точки (20, 70). Если число справа больше (>), чем слева, то переходят к следующему отрезку ВС(30, 60). Если объём заказа окажется меньше (<), то принимается решение о раз-мещении склада в начале отрезка. Отрезок CD(60, 30) слева от проб-ной точки С.

Объёмы слева и справа совпадают. В этом случае распределительный центр может быть в любой

точке отрезка MN.

Для определения указанным методом оптимального места для

размещения распределительного центра узла транспортной сети прямоугольной конфигурации, следует нанести на карту района ко-ординатные оси, ориентированные параллельно дорогам. Присваивая ординатам и абсциссам потребителей соответствующие значения, можно найти приемлемое место расположения распределительного центра.

ЛЕКЦИЯ 9

5.5. Складские запасы и емкость склада

Емкость склада – это величина постоянная и определяется его размерами, способами и параметрами складирования грузов.

Количество хранящихся грузов или запасы грузов на складе – это величина переменная и зависит от закономерностей и сочетания параметров грузопотоков прибытия грузов на склад и отправления грузов со склада. На складах готовой продукции промышленных предприятий и перевалочных складах на магистральном транспорте в системах мультимодальных перевозок (на железнодорожных станци-ях, в морских и речных портах) запасы грузов I могут колебаться от 0 до полной вместимости склада Е (рис. 5.1).

L(40) M(30) N(20) P(50)

(70, 70)

73

На складах торговых предприятий и материальных складах про-мышленных предприятий запасы грузов I могут колебаться от пол-ной емкости склада Е до некоторого минимального страхового за-паса (рис. 5.2).

Страховой запас на складах этого типа стI – это минимальное количество грузов, которое всегда должно быть на складе из условия надежного снабжения потребителей. Характер колебаний складских запасов грузов зависит от закономерностей прибытия и отправления грузов со склада, которые могут быть описаны вероятностно-статистическими методами, и в результате анализа сочетаний этих двух стохастических процессов могут быть выведены закономерно-сти изменения складских запасов грузов. На основании этих иссле-дований можно установить, какую емкость должен иметь склад, что-бы эффективно перерабатывать поступающие грузопотоки и органи-

I

E

0 1 2 3 i-1 i i+1 i+2 t (сутки) Р и с. 5.1. Изменение запасов грузов на пере-

валочных станциях

I

E

Iст

0 1 2 3 i-1 i i+1 t (сутки)

Р и с. 5.2. Изменение запасов грузов на складах торговых предприятий

74

зовывать отправляемые со склада грузопотоки. Основными параметрами емкости и грузопотоков склада явля-

ются: iQ – готовой грузопоток склада по прибытию, т./год;

E – емкость или вместимость склада, т.; хрτ – срок хранения грузов на складе, сутки;

гT – число суток работы склада в году;

сQ – средний суточный грузопоток по прибытию т./сутки; η – оборачиваемость грузов на складе, ед./год:

г

хр

Tη

τ= . (5.3)

Так как грузопотоки имеют неравномерный, стохастический ха-рактер, потребную мощность склада следует определять на основе вероятностно-статистических методов, которые учитывают вероят-ностный характер и случайные колебания грузопотоков прибытия и отправления грузов и отражают стохастический, неравномерный ха-рактер изменения складских запасов грузов под действием этих гру-зопотоков.

Рассмотрим один из методов. Грузопоток прибытия груза на склад задают в виде распределе-

ния:

( ) ( ) ( )1 2

1 2

...

...

п п пkп

п п пk

Q Q QQ

P Q P Q P Q

=

,

где пiQ – отдельные возможные значения суточного грузопотока

прибытия грузов на склад; ( )пiP Q – соответствующие вероятности появления этих значений суточного грузопотока прибытия. Анало-гично суточный грузопоток выдачи (отправления) задают в виде рас-пределения:

( ) ( ) ( )1 2

1 2

...

...

в в вkв

в в вk

Q Q QQ

P Q P Q P Q

=

.

Распределения суточных грузопотоков прибытия и отправления грузов со склада формируются на основе методов математической статистики.

Количество случайных значений грузопотоков прибытия k и

75

отправления i зависит от закономерностей этих грузопотоков. Если эти распределения подчиняются некоторым стандартным законам распределения (нормальному, показательному, Пуассона, Стьюдента, Фишера и т.д.),то они могут быть представлены в виде соответст-вующих формул.

Сумма вероятностей возможных значений суточных грузопото-ков в их распределениях должна равняться единице, т.к. эти значения грузопотоков образуют полную группу событий:

( )1

1,n

ni

iP Q

=

=∑ (5.4)

( )1

1.n

вj

jP Q

=

=∑ (5.5)

Расчетное значение складских запасов (для торгового или снаб-женческого склада, или емкости склада для перевалочного склада на магистральном транспорте) определяется как некоторое n -ое слу-чайное событие, представляющее собой сочетание случайных объе-мов прибытия n

iQ и выдачи вjQ грузов:

0n в

n j jI I Q Q= + − , (5.6) где 0I – страховой запас (для снабженческого склада) или резерв ем-кости (для перевалочного склада).

Страховой запас для торгового снабженческого или производст-венного технологического склада определяется соотношением

0 max minв пI Q Q= − . (5.7)

Резервная емкость перевалочного склада на магистральном транспорте определяется по формуле:

0 max minп вI Q Q= − (5.8)

В этих формулах maxпQ и min

пQ – максимальный и минимальный объемы суточного прибытия грузов в исходных распределениях гру-зопотоков, a max

вQ и minвQ – максимальный и минимальный объемы

выдачи грузов со склада в этих исходных распределениях. Вероятность того, что на складах будет содержаться n-ый запас

грузов, определяется по формуле: ( ) ( ) ( )n в

n i jP I I P Q P Q= = ⋅ , 1,n kl= , (5.9)

где ( )niP Q , ( )вjP Q – вероятности того, что на склад в n-ом сочета-

76

нии грузопотоков прибудет соответственно niQ и будет выдано гру-

зов njQ .

В результате всех возможных сочетаний прибытий грузов niQ на

склад и выдачи со склада вjQ из исходных распределений грузопото-

ков и определения вероятностей этих сочетаний ( )nP I формируется распределение вероятностей складских запасов (для снабженческих складов) или резерва емкости (для перевалочного склада на магист-ральном транспорте):

( ) ( ) ( )1 2

1 2

...

...kl

kl

I I II

P I P I P I

=

, 1,n kl= ,

где запасы грузов ранжированы в возрастающем порядке от 1 minI I= до maxklI I= . Кроме этого должно выполняться условие:

( )1

1kl

ni

P I=

=∑ . (5.10)

Распределение запасов представляем в виде табл. 5.1, в которой определяем накопленную вероятность (интегральную функцию рас-пределения) ( )nF I . Возможные запасы грузов на складе расположе-ны в порядке возрастания от минимального значения до максималь-ного значения.

Далее следует обработка статистических данных по складским запасам, которая представлена в табл. 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Номер запаса Запасы In Вероятность P(In) Накопленная

вероятность F(In) 1 I1=Imin P(I1) F(I1)= P(I1) 2 I2 P(I2) F(I2)= F(I1) + P(I2) … … n-1 In-1 P(In-1) F(In-1)= F(In-2) + P(In-1) n In P(In) F(In)= F(In-1) + P(In)

n+1 In+1 P(In+1) F(In+1)= F(In) + P(In+1) … … kl Ikl P(Ikl) F(Ikl)= F(Ikl-1) + P(Ikl)

∑ 1

77

Вероятностный складской запас грузов определяется с помощью доверительной вероятности (надежности оценки), которую в обыч-ных инженерных расчетах рекомендуется принимать в пределах [ ] 0,95 0,97P = ÷ .

По таблице находим n -ый интервал, в который попадает довери-тельная вероятность:

[ ] ( ) ( )1;n nP F I F I +∈ или ( ) [ ] ( )1n nF I P F I +< < . Если получилось, что доверительная вероятность равна одно-

му из значений интегральной функции распределения [ ] ( )nP F I= , то емкость склада (вероятностный складской запас) *

nI E I= = . По данным табл. 5.1 строим функцию распределения (рис. 5.3):

Вероятностный складской запас *I определяем в интервале [ ]1,n nI I + по формуле линейной интерполяции

*nI I I= + ∆ . (5.11)

Из подобия треугольников ABC и ADE следует AE DEAC BC

= ⇒ DEAE ACBC

= ,

In I* In+1 I

F(In)

[P]

F(In+1)

1

F(I)

A

D

E C

B

Р и с. 5.3. Функция распределения

78

[ ] ( )( ) ( ) ( )1

1

nn n

n n

P F II AE I I

F I F I ++

−∆ = = −

−. (5.12)

Таким образом, расчетный складской запас средств

( ) [ ] [ ] ( )( ) ( ) ( )* *

11

nn n n

n n

P F IE I P I I P I I I

F I F I ++

−= ≤ = = + −

−. (5.13)

Емкость склада Е принимается равной запасу хранения грузов *I , определенному из условия, что вероятность того, что текущий запас хранения грузов на складе *I I≤ , равна доверительной вероятности [ ]P .

После определения вероятностного складского запаса можно оп-ределить срок хранения грузов на складе и другие характеристики.

Для математического ожидания грузопотока прибытия грузов по заданному распределению этого грузопотока имеем

( )1

kп п п

i ii

M Q Q P Q=

= ∑ .

Срок хранения грузов на складе определяется по формуле:

*

[ ]хр п

IM Q

τ = . (5.14)

Годовой грузопоток прибытия грузов на склад: г г

пQ M Q T = , (5.15)

где гT – число суток работы склада в году. Коэффициент неравномерности прибытия грузов:

maxп

п

п

QKM Q

=

. (5.16)

Коэффициент неравномерности выдачи грузов со склада:

maxв

в

в

QKM Q

=

. (5.17)

Оборачиваемость грузов на складе:

г*

QI

η = . (5.18)

Приведенный здесь вероятностно-статистический метод опреде-

79

ления складских запасов и емкости складов вполне соответствует прин-ципам логистики по обоснованному сокращению запасов грузов, снижению емкости складов в логистических системах, экономии ре-сурсов и т.д.

5.6. Определение складских запасов

Пусть заданы распределения суточного прибытия грузов на складах (табл. 5.2)

Т а б л и ц а 5.2

Qп 100 150 200 P(Qп) 0,3 0,4 0,3

1iP =∑

и суточного отправления (выдачи грузов) со склада (табл. 5.3).

Т а б л и ц а 5.3

Qв 70 145 160 210 P(Qв) 0,1 0,4 0,4 0,1

1iP =∑

Доверительная вероятность определения складских запасов (емко-сти склада) [ ] 0,95P = . Математическое ожидание суточного грузо-потока прибытия грузов на склад равно: 100 0,3 150 0,4 200 0,3 150пM Q = ⋅ + ⋅ + ⋅ = т/сутки,

а математическое ожидание суточного грузопотока оптравления гру-зов со склада:

70 0,1 145 0,4 160 0,4 210 0,1 150вM Q = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = т/сутки.

Здесь средние суточные грузопотоки прибытия и отправления совпа-дают (но это не обязательно).

Определим первоначальный (страховой) запас грузов max min 200 70 130п в

nI Q Q= − = − = . (5.19) Рассчитаем возможные запасы грузов на складе и их вероятно-

сти: 1) ( )1 1130 100 70 160 т. 0,3 0,1 0,03I P I= + − = = ⋅ = ,

80

2) ( )2 2130 100 145 85 т. 0,3 0,4 0,12I P I= + − = = ⋅ = , 3) ( )3 3130 100 160 70 т. 0,3 0,4 0,12I P I= + − = = ⋅ = , 4) ( )4 4130 100 210 20 т. 0,3 0,1 0,03I P I= + − = = ⋅ = , 5) ( )5 5130 150 70 210 т. 0,4 0,1 0,04I P I= + − = = ⋅ = , 6) ( )6 6130 150 145 135 т. 0,4 0,4 0,16I P I= + − = = ⋅ = , 7) ( )7 7130 150 160 120 т. 0,4 0,4 0,16I P I= + − = = ⋅ = , 8) ( )8 7130 150 210 70 т. 0,4 0,4 0,16I P I= + − = = ⋅ = , 9) ( )9 9130 200 70 260 т. 0,3 0,1 0,03I P I= + − = = ⋅ = , 10) ( )10 10130 200 145 185 т. 0,3 0,4 0,12I P I= + − = = ⋅ = , 11) ( )11 11130 200 160 170 т. 0,3 0,4 0,12I P I= + − = = ⋅ = , 12) ( )12 12130 200 210 120 т. 0,3 0,1 0,03I P I= + − = = ⋅ = ,

min 4 20 т.,I I= =

max 9 250 т.I I= = Составляем вариационный ряд (табл. 5.4).

Т а б л и ц а 5.4

I 20 70 85 120 135 160 170 185 210 260 P(I) 0,03 0,16 0,12 0,19 0,16 0,03 0,12 0,12 0,4 0,03

1iP =∑

Формируем таблицу интегральной функции распределения

складских запасов грузов и находим в таблице значения интеграль-ной функции распределения, между которыми попадает заданная доверительная вероятность [ ] 0,95P = , [ ] [ ]0,95 0,93;0,97P = ∈ (табл. 5.5):

( ) ( )* * 0,95 0,930,95 185 210 185 198т.0,97 0,93

I P I I −= ≤ = = + − ≈

−

Для срока хранения грузов на складе имеем

* 198 1,32

150хр п

IM Q

τ = = =

суток.

81

Т а б л и ц а 5.5

запаса Случайный запас грузов

Вероятность запаса грузов

Интегральная функция рас-пределения

Примечание

1 20 0,03 0,03 2 70 0,16 0,19 3 85 0,12 0,31 4 120 0,19 0,5 5 195 0,16 0,66 6 160 0,03 0,69 7 170 0,12 0,81 8 185 0,12 0,93 9 210 0,04 0,97

искомый интервал

10 260 0,03 1

Годовой грузопоток прибытия грузов на склад при работе склада в году 260T = суток, поэтому

г 150 260 39000пQ M Q T = = ⋅ = т/год.

Оборачиваемость грузов на складе 260 12001,32 годхр

Тη

τ= = ≈ .

Коэффициент неравномерности прибытия грузов:

п200 1,33150

пmax

п

QKM Q

= = =

.

Коэффициент неравномерности выдачи грузов со склада:

в210 1,4150

вmax

в

QKM Q

= = =

.

Для определения расчетного складского запаса и обоснования установления потребной вместимости склада применяют также метод имитационного моделирования складов на ЭВМ. Он заключается в том, что многократно имитируют прибытие и отправление со склада различных транспортных партий грузов, объемы и время прибытия и отправления которых подчиняются некоторым известным вероятност-ным закономерностям. В результате в памяти ЭВМ формируется рас-пределение имеющихся складских запасов, по которому также на ос-

82

нове заданной доверительной вероятности можно определить расчет-ный складской запас или емкость склада.

ЛЕКЦИЯ 10

5.7. Решение задачи определения вместимости контейнерного терминала с использованием модели «гибели и рождения»

Во многих случаях для определения такой важной характери-стики как вместимость грузообрабатывающего предприятия (склад, терминал, логистический центр) используют математический аппа-рат систем массового обслуживания.

Контейнерный терминал рассматривается как открытая система массового обслуживания (СМО) с ожиданием рис. 5.4.

Терминал рассматривается как многоканальная СМО, причем

под блоком обслуживания понимается место размещения некоторой транспортной партии, в частности, контейнеров. Состояние СМО с ожиданием определяется числом контейнеров, находящихся в зоне хранения (целые неотрицательные числа). Процесс перехода из со-стояния в состояние является марковским процессом.

При этом следует учитывать, что изменение состояния имеет две причины:

1) поступление новых контейнеров из входящего потока; 2) уход обслуженных контейнеров из зоны хранения. Изменение состояния по первой причине обладает Марковским

свойством, поскольку входящий поток является простейшим. Посту-

входящий поток накопитель

блок обслуживания

выходящий поток

Р и с. 5.4. Открытая система массового обслуживания

83

пление контейнеров в зону хранения на любом отрезке времени не зависит от того, сколько контейнеров поступило до начального мо-мента этого отрезка. С другой стороны, если в какой-то момент вре-мени контейнер покидает зону хранения, то вероятность окончания обслуживания не зависит от того, сколько длилось хранение. Таким образом, изменение состояния СМО по второй причине также обла-дает Марковским свойством. В связи с этим можно определить веро-ятности переходов. Переход из состояния q в состояние 1q + за вре-мя t связан с поступлением одной партии груза (одного контейнера) в систему. Эта вероятность определяется законом Пуассона

( ) ( ) ( )

!

kt

к

tP t e

kλλ −= (5.20)

и при k = 1 она равна

( ) ( )tкP t te λλ −= , (5.21)

где λ – интенсивность входящего потока.

Длительность обслуживания распределена по экспоненциально-му закону с интенсивностью обслуживания µ :

( )обсл 1 .t t

t

P t e dt eµ µµ∞

− −> = =∫ (5.22)

Если k – число занятых мест зоны хранения в q-ом состоянии, а

п – общее число мест в зоне хранения, то число занятых мест зоны хранения при q n≤ равно q и при q n≥ равно n .

Вероятность того, что за время t ни одно из занятых мест не ос-вободилось, равна

( ) ( )0 .

ktP t e µ−= (5.23) Следовательно, для q n≤ имеем

84

( ) ( ), 1

qt tq qP t te eλ µλ − −

+ = . (5.24) Учитывая известное разложение функции xe , имеем ( )1 ,te t o tλ λ− = − + (5.25)

( ) ( )1 .qt q te e q t o tµ µ µ− −= = − + (5.26)

Тогда

( ) ( )( ) ( )( ) ( ), 1 1 1 .q qP t t t o t q t o t t o tλ λ µ λ+ = − + − + = + (5.27) Аналогично, при q n≥ имеем ( ) ( )( ) ( )( ) ( ), 1 1 1 ,q qP t t t o t n t o t t o tλ λ µ λ+ = − + − + = +

( ) ( )totntP qq +=− µ1, . (5.28) Переход 1q q→ − связан с отсутствием поступлений контейне-

ров в зону хранения и уходом из зоны хранения одного контейнера. При q n≤ имеем ( ) ( ) ( )1 1

, 1

qt t tq q qP t e e C te q t o tλ µ µµ µ

−− − −− = = + , (5.29)

Аналогично, при q n≥ : ( ) ( ), 1q qP t n t o tµ− = + . Таким образом, функционирование рассматриваемой СМО опи-

сывается процессом «гибели и рождения». При этом

,kλ λ= , при ,, при .k

k k nn k nµ

µµ

≤= ≥

Граф состояний такой системы имеет вид, представленный на

(рис. 5.5). Здесь: 0q – зона хранения терминала пуста;

85

1q – в зоне хранения находится один контейнер;

2q – в зоне хранения находится два контейнера; …………………………………………………………

nq – в зоне хранения находится n контейнеров (свободных мест нет).

В соответствии с теорией массового обслуживания финальные вероятности в процессах «гибели и рождения» находятся из соотно-шений:

00 1 1

0 1 2

0 1 10

1 2

1 ,...1

......

, 1....

j

j i

jj

i

P

P P j

λ λ λµ µ µ

λ λ λ

µ µ µ

∞−

=

−

= + = ≥

∑ (5.30)

После подстановки λk и μk в (5.30) получим финальные вероят-ности при k n≤ :

( ) ( )... ,

1 !

k

k okP q Pk k kλ λ λ λµ µ µ µ

= ⋅ ⋅ ⋅ =−

(5.31)

а также при k n≥ :

( ) ( )... ...

1 !

k

k okP q Pn n n n n kλ λ λ λ λ λµ µ µ µ µ µ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

. (5.32)

Так как процесс обслуживания заявок в рассматриваемом случае представляет собой пребывание груза в зоне хранения в течение

среднего времени хрτ , то интенсивность выходного потока 1хр

µτ

= .

Вероятность того, что в зоне хранения терминала будет находиться k партий груза ( )k n< , равна:

λ

q0 q1 q2 qk qn

λ λ λ λ λ

Р и с. 5.5. Граф состояний процессов «гибели-рождения»

μ 2μ 3μ kμ nμ

86

( ) ( )0

k kхр

kP q P qk

λ τ= . (5.33)

Вероятность того, что зона хранения груза будет заполнена пол-ностью:

( ) ( )0

n nхр

nP q P qn

λ τ= . (5.34)

Вероятность того, что зона хранения грузов заполнена не полно-стью, и вновь прибывшая партия может быть обслужена, равна:

( ) ( )01!

k kхрP k n P q

kλ τ

< = − . (5.35)

Так как ( )1

1n

ki

P q=

=∑ , то

( )1

2 2 3 30 хр хр хр хр

1 1 11 ...2! 3! !!

n nP qn

λτ λ τ λ τ λ τ−

= + + + + + =

1

1 .1

!

kn

k

Ik=

=+ ∑

(5.36)

Здесь хрI λτ= – средний запас грузов в зоне терминала. Стоящее в знаменателе (5.36) выражение при достаточно боль-

шом n представляет собой ряд Маклорена для функции Ie , поэтому приближенно можно считать

( )01 ,IP qe

= (5.37)

( )01 ,IP qe

= (5.38)

Для контейнерных терминалов интенсивность входящего потока определяется достаточно большим числом – количеством поступаю-щих контейнеров 150 300λ = ÷ , и формула Пуассона (5.38) аппрок-симируется формулой нормального распределения с параметрами

k Iσ = и km I= :

( )( )2

212

k II

kP q eIπ

−−

= . (5.39)

По этой формуле были построены графики распределений коли-

87

честв фактически хранящихся контейнеров k при разной средней вместимости зоны хранения терминала (рис. 5.6). На рис. 5.7 пред-ставлены зависимости интегральной функции распределения от чис-ла хранящихся контейнеров при разной средней загрузке терминала:

( )( )2

2

1

12

k InI

kk

F q eIπ

−−

=

= ∑ . (5.40)

Р и с. 5.6. Графики распределений количеств фактически хранящихся контейнеров при разной средней вместимости площадки

Рис. 5.7. Зависимость интегральной функции распределения ( )F k от числа фактически хранящихся контейнеров при разной средней

вместимости площадки

88

Построенные графики дают возможность определить потребную вместимость терминала с заданной доверительной вероятностью. Из графиков видно, что средний запас грузов на складе соответствует наиболее вероятному запасу, однако он может быть превышен. С увеличением размера терминала абсолютная величина возможного отклонения действительного количества хранящегося груза от сред-него значения увеличивается. При доверительной вероятности

0,95p = относительное отклонение не превышает 15 20÷ %. 5.8. Выбор между организацией собственного склада и использованием услуг наемного

Логистическая цепь может быть организована с использованием собственных складов или складов общего пользования. Выбор между организацией собственного склада и использованием для размеще-ния запаса склада общего пользования относится к классу задач «сде-лать или купить».

Методика принятия решения представлена на рис. 5.8.

График функции Z строится на основании рыночных цен за хра-

нение товаров на наемном складе: Z – зависимость затрат по хранению товаров на наемном складе

от объема грузооборота;

0

затраты руб./год

грузооборот Гб

F1

F2

F3

Z

Р и с. 5.8. Зависимость затрат от грузооборота

89

1F – зависимость затрат на грузопереработку на собственном складе от объема грузооборота;

2F – зависимость условно-постоянных затрат собственного склада от объема грузооборота;

3 1 2F F F= + – зависимость суммарных затрат на хранение това-ров на собственном складе от объема грузооборота;

бГ – грузооборот «безразличия», при котором расходы на хра-нение на собственном и наемном складе равны.

График функции 2F параллелен оси абсцисс, так как принимаем, что условно-постоянные затраты не зависят от грузооборота. Они включают расходы на аренду складского помещения, амортизацию техники, оплату электроэнергии, заработную плату управленческого персонала и специалистов.

Вопрос об использовании собственного склада возникает, если объемы грузооборота выше бГ . Решение принимается на основе со-поставления разности затрат по использованию собственного и на-емного складов с капитальными вложениями, необходимыми для организации собственного склада.

5.9. Логистические центры. Состав типичного регионального центра В последнее время большинство логистических операций во

всем мире осуществляется в логистических центра. Различаются два типа логистических центров:

– региональные, – логистические центры предприятия. Региональные логистические центры имеют второе более точное

название – «мультимодальные грузовые терминалы». Как правило, это крупные, хорошо оснащенные предприятия, предназначенные для оказания услуг другим предприятиям. Спектр их услуг обычно очень широк, поэтому региональные логистические центры имеют большое число различных подразделений, предназначенных для их оказания. Региональные логистические центры обычно специализи-руются на массовой переработке грузов по заказам различных ком-паний.

Логистические центры предприятий (компаний) очень многооб-разны. И структура зависит от профиля и размеров предприятия. На

90

мелких предприятиях это может быть небольшая группа специали-стов-логистиков и 2-3 компьютера. На крупных фирмах (предпри-ятиях) это подразделения с многочисленным штатом и значительным количеством техники, объединенных в локальную сеть с выходом в Интернет. Главная трудность создания логистических центров за-ключается в остром дефиците высококвалифицированных кадров. По этой причине многие небольшие предприятия предпочитают не соз-давать собственные центры, а пользуются услугами региональных логистических центров.

Ядром логистического центра является его информационно-аналитический центр, который осуществляет управление всеми ин-формационными, финансовыми и материальными потоками, цирку-лирующими в нем. Другими основными подразделениями логисти-ческих центров являются:

– крупные складские помещения, оборудованные приспособле-ниями для погрузки, разгрузки и комплектации грузов;

– открытые контейнерные площадки; – железнодорожная станция, обеспечивающая подачу вагонов

непосредственно к различным складам и контейнерным площадкам; – морской или речной порт; – площадки для ожидания разгрузки и погрузки автомашин; – парк авто- и электропогрузчиков, обеспечивающих перевозку

контейнеров международного стандарта; – парк кранов, которые используются для судов, не приспособ-

ленных для горизонтального способа погрузки; – административные здания со вспомогательными помещения-

ми; – служба связи; – служба безопасности, обеспечивающая сохранность матери-

альных ценностей и безопасность как сотрудников логистических центров, так и их клиентов.

Региональные логистические центры не всегда имеют полный перечень перечисленных подразделений. В зависимости от конкрет-ных условий, уровня спроса часть из них может отсутствовать.

5.10. Логистические центры в России

В 1998 г. в Санкт-Петербурге образовался транспортный логи-стический центр, при содействии которого предполагалось сократить

91

время прохождения груза через пограничные переходы в 2 и более раза. Учредителями данного центра является ассоциация экспедито-ров Санкт-Петербурга, региональные таможенные структуры и ассо-циация пользователей электронной передачи данных. В России сей-час формируются два крупнейших логистических центра:

– Санкт-Петербургский логистико-терминальный центр «Шуша-ры» мощностью до 3 млн.т/год или около 2,5 млрд.долл. товарообо-рота. Площадь 100 – 110 га, предлагаемый срок окупаемости 6,5 – 8 лет. Примыкает к Московскому шоссе, находясь на пересечении же-лезнодорожных путей и автодорог в непосредственной близости порта Сантк-Петербург и аэропорта «Пулково».

– «Московский терминал». Программа логистического центра на 10 – летний период оценивается в 2,5 млрд. долл. при сроке окупае-мости в 5, 6 лет. Предполагаемая чистая прибыль 7,5 млрд.долл.

Планируется также строительство следующих логистических центров:

– В республике Татарстан. Республика Татарстан расположена на пересечении крупных транспортных путей и поэтому является удачным местом для размещения логистических центров. Судоход-ные пути по Волге и Каме связывают его со многими городами в России. В республике находится стратегически важный перекресток железнодорожных магистралей.

– В порту Находка. Через этот порт проходят значительные по объему грузопотоки. На настоящее время выполнено технико-экономическое обоснование, разработан проект и начато строитель-ство. Стоимость проекта сравнительно невелика, так как уже имеется хорошо оборудованный порт и железнодорожная станция. Основные проблемы связаны с формированием информационно-аналитического центра.

– В Ростове-на-Дону. Данный центр предназначен для обслужи-вания большей части Юга России.

5.11. Интеграция России в мировую логистическую сеть Одним из основных приоритетов внутренней и внешней полити-

ки России в современных условиях является ускоренная интеграция её торгового и транспортного комплексов в мировое логистическое пространство, создание благоприятных условий для свободного пе-ремещения товаров, услуг, капитала, рабочей силы. На решение этих

92

задач нацелен ряд президентских программ («Дороги России», «Внутренние водные пути России»), федеральные программы («Воз-рождение Волги», «Возрождение торгового флота России» и т.д.).

В 1994 г. на Второй Общеевропейской конференции по транс-порту, состоявшейся на острове Крит, определены девять трансъев-ропейских коридоров между Западом и Востоком Европы.

Достигнутые результаты в реализации девяти критических ко-ридоров были рассмотрены на Третьей Общеевропейской конферен-ции в Хельсинки в 1997 г., а также на Международной Евроазиат-ской конференции по транспорту в мае 1998 г. в Санкт-Петербурге.

Наиболее приоритетными направлениями развития комбиниро-ванных перевозок являются:

1) направление Север – Юг: Балтика (Санкт-Петербург и окру-жающие порты) – центр (Москва и прилегающие области) – Черное море (Ростов-на-Дону, Новороссийск, Туапсе);

2) направление Запад – Восток: Берлин – Варшава – Минск –Москва – Нижний Новгород с выходом в Сибирь и Юго-Восток;

3) направление Южное: Волго – Донской транспортный кори-дор, соединяющий регионы Черного, Азовского и Каспийского мо-рей.

Основная логистическая задача, реализуемая международными транспортно- логистическими системами, – согласование режимов производства и потребления с сервисным режимом подачи транс-портных средств, пограничной и таможенной разработкой, хранени-ем, переработкой и распределением продукции.

93

ГЛАВА 6. ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 11

6.1. Сущность и задачи транспортной логистики Значительная часть логистической операции на пути движения

материального потока от первичного источника сырья до конечного потребителя осуществляется с помощью различных транспортных средств. Затраты на выполнение этих операций составляют до 50 процентов общих затрат на логистику.

Транспорт представляет собой систему, состоящую из двух под-систем: транспорт общего и необщего использования.

Транспорт общего использования обслуживает сферу обращения и населения. Его часто называют магистральным. Понятие транспор-та общего пользования охватывает: железнодорожный транспорт, водный (морской и речной), автомобильный, воздушный, трубопро-водный.

Транспорт необщего пользования включает внутрипроизводст-венный транспорт, а также транспортные средства всех видов, при-надлежащие не транспортным предприятиям.

Транспорт органично вписывается в производственные и торго-вые процессы. Поэтому транспортная составляющая участвует во многих задачах логистики. Вместе с тем существует достаточно са-мостоятельная транспортная область логистики.

К задачам транспортной логистики в первую очередь относят задачи, решение которых усиливает согласованность действий непо-средственных участников транспортного процесса. К таким задачам относятся:

– обеспечение технического соответствия участников транс-портного процесса (техническое соответствие означает согласован-ность как внутри отдельных видов, так и в межвидовом разрезе, ко-торая позволяет работать с контейнерами, пакетами);

– технологическая сопряженность – подразумевает применение единой технологии транспортировки, прямые перегрузки, беспере-грузочное сообщение;

– экономическая сопряженность – это общая методология ис-следования конъюнктуры рыка и построения тарифной системы, оз-начающие согласование экономических интересов участников транспортного процесса;

– использование единых систем планирования (разработка и

94

применение различных планов графиков для различных видов транс-порта);

К задачам транспортной логистики также относят: – создание транспортных коридоров; – выбор вида транспорта; – выбор маршрута транспортировки грузов; – составление расписаний. 6.2. Логистический подход к организации транспортного процесса

Существуют два основных подхода к организации транспортно-го процесса:

– традиционный; – логистический, с участием оператора мультимодальной пере-

возки. При традиционном подходе единая функция управления сквоз-

ным материальным потоком отсутствует. Согласованность звеньев в вопросах продвижения информации и финансов низка, так как неко-му координировать их действия. Традиционный подход к смешанной перевозке представлен на рис. 6.1.

При логистическом подходе к смешанной перевозке появляется

новый участник транспортного процесса — единый оператор муль-тимодальной перевозки. Наличие единого оператора создает воз-можность планировать продвижение материального потока и доби-ваться заданных параметров на выходе. Логистический подход к смешанной перевозке приведен на рис. 6.2.

Отправитель груза

Экспедитор 1

1-ый вид транс-портировки

2-ой вид транс-портировки

Экспедитор 2

Получатель

Р и с. 6.1. Схема традиционного подхода к смешанным перевозкам: информационный и финансовый потоки;

материальный поток.

95

6.3. Выбор транспортного средства с учетом логистики Выбор вида транспорта, оптимального для конкретной перевоз-

ки, определяется информацией о характерных особенностях различ-ных видов транспорта с точки зрения логистики.

Автомобильный транспорт традиционно используется на ко-роткие расстояния (раньше 50 – 100 км, сейчас 200 – 300 км.). Одно из основных преимуществ — высокая маневренность. Этот вид транспорта обеспечивает регулярность поставки, а также возмож-ность поставки малыми партиями. Здесь, по сравнению с другими видами, предъявляются менее жесткие требования к упаковке товара.

Груз может доставляться от «дверей до дверей» с необходимой степенью срочности. Основными его недостатками являются:

– сравнительно высокая себестоимость перевозок; – возможность хищения груза и угона автотранспорта; – сравнительно малая грузоподъемность; –экологически неблагоприятен. Железнодорожный транспорт. Преимущества: – хорошая приспособленность для перевозки различных партий

грузов при любых погодных условиях; – возможность доставки груза сравнительно быстро на большие

расстояния; – невысокая себестоимость перевозки. К недостаткам железнодорожного транспорта следует отнести: – ограниченное количество перевозчиков; – низкая возможность доставки к пунктам потребления, т. е. при

отсутствии подъездных путей железнодорожный транспорт должен дополняться автомобильным.

Морской транспорт является основным (самым крупным) пере-возчиков в международных перевозках.

Его основные преимущества – низкие грузовые тарифы и высо-

Отправитель груза

Экспедитор 1

1-ый вид транс-портировки

2-ой вид транс-портировки

Экспедитор 2

Получатель

Р и с. 6.2. Схема логистического подхода к смешанным перевозкам

Единый оператор мультимодальной перевозки

96

кая провозная способность. К недостаткам относят его низкую стоимость, жесткие требова-

ния к упаковке и креплению грузов, малую частоту отправок, зави-симость от погодных и навигационных условий.

Кроме того, морской транспорт требует создания сложной пор-товой инфраструктуры.

Речной транспорт. Основное преимущество – низкие грузовые тарифы. При пере-

возках грузов весом 100 т на расстояние более 250 км этот вид транс-порта – самый дешевый.

К недостаткам относят малую скорость доставки, низкую дос-тупность в географическом плане.

Воздушный транспорт. Основное преимущество – большая скорость, возможность дос-

тижения отдельных районов, высокая сохранность грузов. К недос-таткам относят высокие грузовые тарифы и зависимость от метоу-словий.

Трубопроводный транспорт. Обеспечивает низкую себестоимость при высокой пропускной

способности. Степень сохранности на этом виде транспорта высока. Недостатком является узкая номенклатура подлежащих транс-

портировке грузов. Выделяют шесть основных факторов, влияющих на выбор вида

транспорта. В табл. 6.1 дается оценка различных видов транспорта по каждому из этих факторов.

Единице соответствует наилучшее значение. Экспертная оценка значимости различных факторов показывает, что при выборе транс-порта в первую очередь принимают во внимание:

– надежность соблюдения графика доставки; – время доставки; – стоимость доставки. Данные таблицы могут служить лишь для приближенной оценки

соответствия того или иного вида транспорта условиям конкретной перевозки.

97

Т а б л и ц а 6.1

Факторы, влияющие на выбор транспорта

Вид транс-порта

Время

дос

-тавки

Частота от

-правлений

Надежность

соблюдения

графика

Способность

перевозить

разные грузы

Способность

доставлять

грузы

в лю

-бую

геогр

. точку

Стоимость

перевозки

Железно-дорожный

3 4 3 2 2 3

Водный 4 5 4 1 1 4 Автомо-бильный

2 2 2 3 3 1

Трубопро-водный

5 1 1 5 5 5

Воздушный 1 3 5 4 4 2 6.4. Потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке

Теория потоков возникла первоначально в связи с разработкой методов решения задач, связанных с рациональной перевозкой гру-зов. Схема доставки груза представляется в виде графа, по ребрам которого проходит поток этого груза. Позднее обнаружилось, что к задаче о максимальном потоке сводятся и другие важные оптимиза-ционные практические задачи, такие как:

– задачи отыскания минимального по стоимости плана выполне-ния комплекта работ при заданной его продолжительности;

– задачи определения максимального количества информации, которая может быть передана по разветвленной сети каналов связи из одного пункта в другой;

– задачи об оптимальных назначениях; – различные задачи организации снабжения; – задачи, связанные с наиболее экономным строительством

энергетических сетей, нефте- и газопроводов, железных и шоссейных дорог (и другие прикладные задачи).

Основным в теории потоков является понятие сети. Сеть – это конечный граф без циклов и петель, ориентирован-

ный в одном общем направлении от вершины I , которая является входом (истоком) графа, к вершине S , являющейся выходом (сто-ком) графа.

98

Для наглядности будем представлять, что по ребрам ( ),i j сети из истока I в сток S направляется некоторое вещество (груз, ресурс, информация и т. д.).

Ребрам сети присваивается одна или несколько числовых харак-теристик.

Общее количество вершин будем обозначать n . Максимальное количество ijr вещества, которое может пропустить за единицу вре-

мени ребро ( ),i j , называют его пропускной способностью. В общем случае ij jir r≠ . При этом первое число – пропускная способность от вершины i к j , второе – в противоположном направлении.

Пропускные способности сети (рис. 6.3) удобно задавать квад-ратной матрицей n -го порядка. Поскольку 0iir = , на главной диаго-нали этой матрицы стоят нули (см. табл. 6.2).

Количество вещества, проходящее через ребро ( ),i j в единицу времени, называется потоком по ребру ( ),i j ijx .

Т а б л и ц а 6.2

i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 3 6 2 0 0 2 5 0 0 0 1 0 3 6 0 0 9 0 4 4 7 0 9 0 4 0 5 0 1 0 2 0 5 6 0 0 1 0 8 0

1

2 5

6 4

3

I (2,7) 2

(1,1)

(3,9)

3 (3,5) 1

S

(5,8) 2 (4,2)

0 4

(6,6) 4

(4,1)

Р и с. 6.3. Граф сети

99

Произвольно задавать 2n чисел нельзя. Они должны подчинять-ся определенным ограничениям, о которых речь впереди. А пока бу-дем считать, что если поток из вершины i в вершину j равен ijx то поток из вершины j к вершине i равен ijx− , т. е.

ij jix x= − . (6.1) Если поток по ребру ijx меньше его пропускной способности, то

есть ij ijx r< , то ребро ( ),i j называется ненасыщенным, если же

ij ijx r= – насыщенным.

Совокупность ijX x= потоков по всем ребрам ( ),i j сети назы-вают потоком по сети или просто потоком.

Из физического смысла грузопотока следует, что поток по каж-дому ребру не может превышать его пропускаю способность:

ij ijx r≤ . (6.2) Понятно, что для любой вершины, кроме источника I и стока

S , количества вещества, поступающего в эту вершину, равно коли-честву вещества, вытекающего из него, то есть

1

0, , .n

ijj

x i I S=

= ≠∑ (6.3)

Это условие называется условием сохранения потока, в проме-жуточных вершинах потоки не создают и не исчезают — отсюда следует, что общее количество вещества, вытекающего из источника I , совпадает с общим количествам вещества, поступающего в сток S , то есть

1 1

n n

Ij iSj i

f x x= =

= =∑ ∑ , (6.4)

где i – начальные вершины ребер, входящих в S ; j – конечные вер-шины ребер, исходящих из I .

Линейную функцию f называют мощностью потока на сети. Учитывая вышеизложенное, задачу о максимальном потоке

можно сформулировать следующим образом: найти совокупность * *

ijX x= потоков *ijx всем ребрам сети ( ),i j , которая удовлетворяет

условиям (6.1) – (6.3) и максимизирует линейную функцию (6.4). Это типичная задача линейного программирования.

100

Заметим, что числа ijx образуют квадратичную матрицу n -того порядка, на главной диагонали которой стоят нули, а элементы, рас-положенные симметрично главной диагонали, равны по величине и противоположны по знаку.

Отсюда следует, что задать поток ijX x= на сети – означает

задать 2n , чисел удовлетворяющих условиям (6.1) – (6.3). Рассмотрим, как организовать какой-нибудь поток на сети

(см. рис. 6.3). С этой целью рассмотрим, например путь 1 - 2 - 5 – 6 (см.

рис. 6.3) – это полный путь от источника к стоку. Ребро (2,5), лежа-щее на этом пути, не позволяет пропустить больше 1 единицы веще-ства. Следовательно, поток по указанному пути мощностью в 1 ед. будет допустимым: ( ) ( )21 25 12 25 1 1 0x x x x+ = − + = − + = .

На пути 1 - 4 - 5 - 6 можно пропустить 2 ед. вещества (лимити-рующим является ребро 1 - 4).

На пути 1 - 3 - 6 можно пропустить 4 ед. вещества. В результате потоки по ребрам равны: 12 1x = , 13 4x = , 14 2x = ,

25 1x = , 36 4x = , 56 1 2 3x = + = , а по остальным ребрам сети потоки равны нулю.

В соответствии с формулой (6.4) мощность сформированного потока

12 13 14 36 56 7f x x x x x= + + = + = ед. Чтобы ответить на вопрос, будет ли этот поток максимальным,

необходимо его исследовать, а пока запишем сформированный поток в виде матрицы (табл. 6.3).

Т а б л и ц а 6.3

i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 1 4 2 0 0 2 -1 0 0 0 1 0 3 -4 0 0 0 0 4 4 -2 0 0 0 2 0 5 0 -1 0 -2 0 3 6 0 0 -4 0 -3 0

101

ЛЕКЦИЯ 12

6.5. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона Пусть дана некоторая сеть. Разобьем множество вершин сети на

два не пересекающихся подмножества А и В так, чтобы исток I попал в подмножество А, а сток S – в подмножество В. В этом случае гово-рят, что на сети произведен разрез, отделяющий источник I от стока S. В результате произведенного разбиения вершин появятся ребра ( ),i j , конечные точки которых окажутся в разных подмножествах. Совокупность ребер ( ),i j , начальные точки которых принадлежат подмножеству А, а конечные – подмножеству В, называют разрезом сети и обозначают A B .

На схеме (рис. 6.4) в скобках указана пропускная способность в обоих направления, число потоков по ребру. Стрелкой указано на-правление положительного потока. На сети произведены два разреза I и II.

При разрезе I вершины сети оказались разбитыми на подмноже-ства А (1,2) и В (3,4,5), а ребрами, образующими разрез, стали (1,3), (1,4) и (2,4). При разрезе II – А(1,2,3,4), В(5), а образующие ребра (3,5) и (4,5).

Введем важные для дальнейшего изложения определения. Величина ( )| ij

i A j BR A B r

⊂ ⊂

= = ∑∑ , (6.5)

представляющая собой сумму пропускных способностей ijr , называ-

1

2 4

5

3

(1,4)

2 (3,3) (5,5) (2,8)

4 (6,7)

4 (4,2)

Р и с. 6.4. Разрезы на сетях

(7,9)

I II

102

ется пропускной способностью разреза. Пусть на сети задан поток ijX x= и произведен разрез ( )A B . Величина ( )| ij

i A j BX A B x

⊂ ⊂

= ∑∑ , (6.6)

представляющая собой сумму потоков ijx по всем ребрам разреза, называется потоком через разрез.

Для разреза I: ( ) 13 14 24 6 2 1 9,R I r r r= + + = + + =

( ) 13 14 24 4 2 1 7.X I x x x= + + = + + = Для разреза II:

( ) 45 35 4 5 9,R II r r= + = + =

( ) 45 35 3 4 7.X II x x= + = + =

Если на сети задан поток ijX x= и произведен разрез A B , то хотя бы одно ребро любого полного пути, ведущего из источника I в сток S, будет обязательно принадлежать разрезу A B .

При этом величина потока по любому пути не превышает про-пускную способность каждого его ребра, поэтому величина X сум-марного потока, устремленного из источника I в сток S, не может превысить пропускную способность любого разреза сети, то есть

ij iji A j B i A j B

x r⊂ ⊂ ⊂ ⊂

≤∑∑ ∑∑ . (6.7)

Оказывается, если удаётся построить на сети поток ijX x= , величина которого равна пропускной способности некоторого разре-за A B , то этот поток будет максимальным, а разрез A B обладает минимальной пропускной способностью.

В самом деле, пусть для потока ijX x= и разреза A B выпол-няется равенство

*ij ij

i A j B i A j Bx r

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

=∑∑ ∑∑ , (6.8)

но максимальным является не *X , а поток ijX x= ; в таком случае

поток через разрез * *A B потока X% будет больше потока через этот

103

же разрез *X , то есть *

ij iji A j B i A j B

x x⊂ ⊂ ⊂ ⊂

≤∑∑ ∑∑% (6.9)

или * *

ij iji A j B i A j B

x r⊂ ⊂ ⊂ ⊂

≤∑∑ ∑∑ , (6.10)

что противоречит неравенству (6.5). Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме. Теорема Форда-Фалкерсона. На любой сети максимальная величина потока из источника I в

сток S равна минимальной пропускной способности разреза, отде-ляющего I от S.

Эта теорема имеет важное прикладное значение. 6.6. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке

Пусть на сети задан некоторый поток ijX x= . Разобьем все вершины сети на два подмножества А и В следующим образом: к подмножеству А отнесем исток I и все вершины i, достижимые из I хотя бы по одному пути, состоящему из ненасыщенных ребер; к подмножеству В отнесем все остальные вершины, то есть такие, ко-торые нельзя достичь по ненасыщенным ребрам.

При этом возможны следующие случай: 1) сток S A∉ ; 2) сток S A∈ . Рассмотрим оба этих случая. Случай 1. Если S A∉ , то S B∈ , поэтому построенное разбиение

является разрезом A B . По условию разбиения для любой вершины i A∈ существует путь из I в i, состоящий из ненасыщенных ребер, а для любой вершины j B∈ такого пути нет. Отсюда следует, что лю-бое ребро ( ),i j разреза A B ( i A∈ , j B∈ ) будет насыщенным (иначе j принадлежало бы А), то есть

ij ijx r= . Просуммировав эти равенства

по всем i A∈ , j B∈ , получим ij ij

i A j B i A j Bx r

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

=∑∑ ∑∑ . (6.11)

В равенстве (6.11) слева X – величина потока через разрез, спра-

104

ва – пропускная способность разреза A B . По теореме Форда-

Фалкерсона следует, что поток ijX x= является максимальным.

Случай 2. Если S A∈ , то существует путь из ненасыщенных ре-бер, ведущий из I в S. По ребрам этого пути можно пропустить до-полнительный поток величиной min ij ijr x∆ = − . Потоки ijx по всем остальным ребрам сети остаются прежними. В результате мощность суммарного потока возрастает на величину ∆ . Это будет новый по-ток 1 1

ijX x= . Объединяя оба рассмотренных случая, можно предположить

следующий алгоритм построения максимального потока. 1. Построить некоторый начальный поток ijX x= . 2. Организовать процедуру составления подмножества А вер-

шин, достижимых из источника I по насыщенным ребрам. Если в этом процессе сток S не попадает в подмножество А, то построенный поток максимальный и задача решена. Если же S попал в А, по пе-рейти к пункту 3 алгоритма.

3. Выделить путь из I в S, состоящий из ненасыщенных ребер и увеличить поток ijx по каждому ребру этого пути на величину

min ij ijr x∆ = − , где минимум берется по ребрам ( ),i j упомянутого

пути. Тем самым будет построен новый поток 1 1ijX x= . После этого

надо возвратиться к пункту 2 алгоритма. При выполнении пункта 3 на каждом шаге по крайней мере одно

из ненасыщенных ребер становится насыщенным (именно то, кото-рое соответствует ∆ ), а поскольку число ребер в сети конечно, через конечное число шагов максимальный поток будет построен.

Пример. Рассмотрим сеть, представленную на рис. 6.5.

Матрица R пропускных способ-ностей данной сети задана табл. 6.4.

В соответствии с пунктом 1 ал-горитма на сети необходимо сфор-мировать какой-либо начальный по-ток. Примем в качестве такого пото-ка 0X , в котором по пути 1–3–5–6

1 2

4 6

5

3 (4,6)

(2,2)

(7,3) (1,5)

(2,5) (4,6)

(5,7) (8,3) (4,9)

2 2

1 1

2 2

3

Р и с. 6.5

I

S

105

перемещают 2 единицы (по ребру (3,5) больше пропустить нельзя).

Т а б л и ц а 6.4

i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 7 4 2 0 0 2 3 0 8 4 1 0 3 6 8 0 0 2 0 4 5 9 0 0 8 4 5 0 5 2 3 0 5 6 0 0 0 6 7 0

По пути 1–2–5–6 имеем 1 единицу: здесь лимитирующим явля-

ется ребро (2,5); по пути 1–4–6 имеем 2 единицы. При этом ребро (1,4) становится насыщенным. Матрица потока 0X приведена в табл. 6.5:

Т а б л и ц а 6.5

i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 2 0 0 2 -1 0 0 0 1 0 3 -2 0 0 0 2 0 4 -2 0 0 0 0 2 5 0 -1 -2 0 0 3 6 0 0 0 -2 -2 0

Определим мощность потока:

12 13 14 5f x x x= + + = ,

46 56 2 3 5.f x x= + = + = Приступим к пункту 2 алгоритма. Составим матрицу ( 0R X− ),

элементы которой ( )0ijijr x− позволяют судить о насыщенности ребер

сети. Насыщенным ребрам будут соответствовать нулевые элементы, а ненасыщенным – ненулевые (табл. 6.6).

Зная матрицу 0R X− , можно сформулировать подмножество А вершин, в которые можно попасть из истока I, двигаясь по ненасы-щенным путям (пункт 2 алгоритма), а также выделить (если поток

0X не оптимален) эти пути и с их помощью увеличить мощность

106

потока.

Т а б л и ц а 6.6

i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 6 2 0 0 0 2 4 0 8 4 0 0 3 8 8 0 0 0 0 4 7 9 0 0 8 2 5 0 6 4 3 0 2 6 0 0 0 8 10 0

Вершины подмножества А выделяют из всего подмножества

вершин постепенно, начиная с I. С этой целью просматривают пер-вую строку матрицы 0R X− и выписывают номера 1 2, ,..., ki i i вершин, соответствующих ненулевым элементам строки. Это и будут верши-ны, в которые можно попасть из источника I, перемещаясь по нена-сыщенным ребрам. Будем записывать полученные таким образом вершины в виде I || 1 2, ,..., ki i i и называть подобную запись списком вершины I. Далее рассматривают каждую из вершин ki полученного списка и составляют для нее аналогичным образом свой список. При этом вершины, встречающиеся в прежних списках, повторно не вы-писываются.

Если в этом процессе сток S не встретится, то поток максимален и задача решена, если же при составлении очередного списка в нем появится сток S, поток не максимален и мощность его можно увели-чить.

В рассмотренном примере I = 1, S = 6. В первой строке матрицы 0R X− в список вершины 1 войдут вершины 2, 3– 1 || 2, 3; для вер-

шины 2 – 2 || 4; для вершины 3 – 3 || •; для вершины 4 – 4 || 5, 6. Получили набор списков. Сток S = 6 попал в список одной из

вершин. Значит , поток 0X не максимален и существует путь из ис-точника I в сток S (из 1 в 6), состоящий из ненасыщенных ребер.

Построение ненасыщенного потока большей мощности начина-ем с последнего ребра этого пути ( )1 ,ni S− , где 1ni − – вершина, в спи-сок которой попал сток S. Ребром ( )2 1,n ni i− − является ребро (2,4), ребром ( )1,I i – ребро (1,2). Таким образом, путь из истока в сток по

107

ненасыщенным ребрам пройдет через вершины 1, 2, 4, 6. После выделения ненасыщенного пути из истока I в сток S оста-

ется c помощью матрицы 0R X− определить величину min ij ijr x∆ = − , на которую нужно увеличить поток по каждому

ребру ( ),i j выделенного пути, чтобы получить новый поток 1X мощности, большей на ∆ единиц.

В нашем примере по ребру (1,2) можно дополнительно пропус-тить 6 единиц; по ребру (2,4) – 4 единицы; по ребру (4,6) – 2 едини-цы. Значит, поток по всему пути 1–2–4–6, составленному из указан-ных ребер, можно увеличить на величину min 6,4,2 2∆ = = (едини-цы).

Для построения матрицы нового потока 1X к соответствующим элементам матрицы 0X прибавляют найденное значение 2∆ = и возвращаются к пункту 2 алгоритма (табл. 6.7, 6.8).

Т а б л и ц а 6.7

1X i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 3 2 2 0 0 2 –3 0 0 2 1 0 3 –2 0 0 0 2 0 4 –2 –2 0 0 0 4 5 0 –1 –2 0 0 3 6 0 0 0 –4 –3 0

Т а б л и ц а 6.8

1R X− i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 4 2 0 0 0 2 6 0 8 2 0 0 3 8 8 0 0 0 0 4 7 11 0 0 8 0 5 0 6 4 3 0 2 6 0 0 0 10 10 0

При этом величина f :

108

2 3 2 7f = + + = . Приведем списки вершин по ненасыщенным путям:

1 || 2, 3, 2 || 4, 3 || • , 4 || 5, 5 || 6.

Сток S оказался в подмножестве А, а путь, ведущий к нему, содер-жит ребра ( )1,2 , ( )2,4 , ( )4,5 , ( )5,6 ; тогда

( )min 4,2,8,2∆ = . Новый поток 2X получается путем увеличения соответствую-

щим элементом потока 1X . Соотвествующие вычисления приведены в табл. 6.9 и 6.10.

Т а б л и ц а 6.9

2X i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 5 2 2 0 0 2 -5 0 0 4 1 0 3 -2 0 0 0 2 0 4 -2 -4 0 0 2 4 5 0 -1 -2 -2 0 5 6 0 0 0 -4 -5 0

Списки вершин по ненасыщенным путям: 1||2, 3, 2||3, 3 || • .

Т а б л и ц а 6. 10

2R X− i, j 1 2 3 4 5 6 1 0 2 2 0 0 0 2 8 0 8 0 0 0 3 8 8 0 0 0 0 4 7 13 0 0 6 0 5 0 6 4 5 0 0 6 0 0 0 10 12 0

Здесь имеем 9f = .

109

Далее, списки вершин по ненасыщенным путям: 1 || 2, 3, 2 ||•, 3 || • . Сток 6 не попал в подмножество А вершин, достижимых из ис-

точника 1 по ненасыщенным путям. Значит, поток 2X максимален. Остается нанести его на сеть с указанием направления потоков по отдельным ребрам (рис. 6.6).

Используя список, выделим подмножества А и В, на которые оказалось разбитым множество всех вершин: А=1, 2, 3, В=4, 5, 6. Отсюда можно выписать ребра, образующие разрез А | В минималь-ной пропускной способности: (1, 4); (2, 4); (2, 5); (3, 5). В итоге полу-чим:

2 1 4 2 9f = + + + = .

6.7. Приложение алгоритма о максимальном потоке к решению транспортной задачи по критерию времени Приложением задачи о максимальном потоке является транс-

портная задача по критерию времени. Пусть известны запасы груза ia ( )1,i m= у поставщиков iA ,

спрос jb ( )1,j n= потребителей jB и ijt – время поставки груза (не-

зависимо от объема поставки) по маршруту iA — jB . Требуется со-ставить план перевозок, при котором спрос, реализуемый за мини-мальное время, удовлетворяется полностью.

1

3

5

2

4

6

2

5

2 4

4

2

2

5

1

Р и с. 6.6

110

Если суммарный запас груза совпадает с суммарным спросом, то есть

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑ , (6.12)

то задачу называют закрытой, в противном случае – открытой. Составим математическую модель задачи. Обозначим через ijx

количество груза, планируемое к перевозке из i-го пункта поставки в j-ый пункт потребления. Через t – время наиболее продолжительной перевозки. Оптимальным будет план ( )11 12, ,..., mnx x x , самая продол-жительная перевозка которого минимизируется. Модель закрытой задачи имеет вид

min max ijt t= , (6.13)

0ijx > , (6.14)

1

n

ij ij

x a=

=∑ , 1,i m= , (6.15)

1

m

ij ji

x b=

=∑ , 1,j n= , (6.16)

0ijx ≥ . (6.17) Как видно, целевая функция является нелинейной. Обратные пе-

ревозки не предполагаются. Решаем задачу сведением ее к задаче о максимальном потоке. Для этого строится сеть с m+n+2 вершинами, из которых m вер-

шин соответствуют поставщикам Ai, а n – потребителям Bj, две ос-тавшиеся соответствуют истоку I и стоку S.

Пропускные способности ребер полагают равными:

iIA ir a= , 0iA Ir = ,

jB S jr b= , 0jSBr = ,

i j j iA B B Ar r= = ∞ . (6.18)

У ребер ( ),i jA B проставляют времена ijt доставки груза. Время

доставки по ребрам ( ), iI A и ( ),jB S считаются равными нулю:

0i jIA B St t= = . Граф транспортной сети приведен на рис. 6.7.

111

После построения сети отыскивается поток заданной мощности: max i jf a b= =∑ ∑ , (6.19)

при котором max ijt достигает минимальной величины. В процессе этого поиска при наличии альтернативы исключаются из рассмотре-ния маршруты с более продолжительными поставками. Решение за-канчивается, когда замена более продолжительных маршрутов менее продолжительными невозможна.

Другими приложениями задачи о максимальном потоке являют-ся:

– задача определения максимальной пропускной способности трубопровода для транспортировки груза угольной пульпы от уголь-ных шахт к электростанциям;

– определение максимальной пропускной способности (макси-мального потока) сети трубопроводов для транспортировки сырой нефти от буровых скважин до нефтеперегонных заводов и целый ряд других задач.

ЛЕКЦИЯ 13

6.8. Задача нахождения кратчайшего пути

Задача состоит в нахождении связанных между собой дорог на транспортной сети, которые в совокупности имеют минимальную длину от исходного пункта до пункта назначения.

Введем обозначения: ijd – расстояние на сети между смежными

iaI∑ jbS∑

1A

iA

mA

1B

jB

nB

(a1,0)

(ai,0)

(am,0)

(b1,0)

(bj,0)

(bn,0) tmn

t11

t1j t1n

ti1 tij

tin

tm1 tmj

Р и с. 6.7. Граф транспортной сети

112

узлами i , j ; ju – кратчайшее расстояние между узлами i , j ; 1 0u = . Формула для вычисления ju :

( )кратчайшее растояниедо предыдущего узла

min minплюс расстояние между

узлом и предыдущим узлом

j i ij

iU u d

j i

= = +

.

Из этой формулы следует, что кратчайшее расстояние ju до уз-ла j можно вычислить лишь после того, как определено кратчайшее расстояние до каждого предыдущего узла, соединенного дугой с уз-лом j . Процедура завершается, когда получено ju последнего звена.

Пример. Рассмотрим граф, представленный на рис. 6.8.

Определить кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7. Решение. Найдем минимальные расстояния:

1 0u = ,

3 1 12 0 2 2u u d= + = + = ,

3 1 13 0 4 4u u d= + = + = , 4 1 14 2 24 3 34min ; ; min 0 10;2 11;4 3 7u u d u d u d= + + + = + + + = ,

5 2 25 4 45min ; min 2 5;7 8 7u u d u d= + + = + + = ,

6 3 36 4 46min ; min 4 1;7 7 5u u d u d= + + = + + = ,

7 5 56 6 67min ; min 7 6;5 9 13u u d u d= + + = + + = . Минимальное расстояние между узлами 1 и 7 равно 13, а соот-

1

2 5

4

3 6

7

2

10

11

5

6

7 9

1

4

Р и с. 6.8

113

ветствующий маршрут содержит узлы 1–2–5–7. К такой задаче сводится целый ряд задач, таких как: – задача о замене оборудования; – построение критического пути в сетевых графиках; – построение сетей максимальной надежности; – рациональное размещение пунктов обслуживания и т.д. Существует ряд алгоритмов нахождения кратчайшего пути. Из

них самыми известными являются: – алгоритм Дейкстры; – алгоритм Флойда; – алгоритм Форда-Фалкерсона. Алгоритм Дейкстры разработан для нахождения кратчайшего

пути между заданным исходным узлом и любым другим узлом сети. Алгоритм Флойда более общий, поскольку он позволяет одно-

временно найти минимальные пути между любыми двумя узлами сети.

6.9. Решение задачи методом Форда-Фалкерсона

Остановимся подробнее на алгоритме Форда-Фалкерсона. Алгоритм может быть использован для нахождения кратчайших

путей на графах, если вести поиск от некоторой вершины до всех остальных вершин. Алгоритм относится к числу итерационных.

При расчете графов на ЭВМ информацию о графе удобно хра-нить в матричном виде. Граф обычно задается с указанием длин дуг, поэтому записывается матрица весов дуг. Такая матрица квадратная с числом строк (столбцов), равным числу вершин графа. На пересе-чении i-ой строки и j-го столбца в ней ставится:

– 0, если i j= (либо это отсутствующая петля, либо длина дуги равна 0);

– l , если имеется связь ( ),u i j из вершины i в вершину j , где l – длина дуги из i в j ;

– ∞ , если нет связи из i в j . При практической реализации на ЭВМ вместо ∞ можно исполь-

зовать достаточно большое число. В качестве примера рассмотрим граф, изображенный на рис. 6.9.

114

Здесь матрица смежности вершин имеет вид

0 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 1 1 0 0

V

=

,

матрица весов дуг –

[ ]min

0 5 4 7 100 1 4 78 0 3 65 5 0 32 3 6 0

С

∞ = ∞ ∞

∞

,

а матрица кратчайших путей –

[ ]min

0 5 40 1

0 30 3

2 5 0

С

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞

.

6.10. Нахождение общей медианы графа

Обозначим через q – числовую характеристику – вес вершин графа.

1

2

5 4

3

2

5

3

1

4

Р и с. 6.9

5

3

115

Пусть граф является, например, моделью процесса транспорти-ровки деталей между станками механического участка. Тогда под весами вершин можно понимать производительность станка (число обработанных деталей в ед. времени) или пропускную способность железнодорожного узла.

Внешним передаточным числом 1W вершины с номером 1 графа называется результат выражения:

( ) ( ) ( )1 min 1 min 2 min1,1 1,2 ... 1, kW C q C q C k q= + + + , (6.20) где k – число вершин графа, ( )min 1,C j – элементы 1-ой строки мат-рицы кратчайших путей [ ]minC .

Если внешние передаточные числа всех вершин графа записать в виде вектор-столбца [ ]W , а веса вершин в виде вектор-столбца [ ]q , то

[ ] [ ] [ ]minW C q= ⋅ . (6.21) Внешней медианой графа будем называть вершину графа, для

которой внешнее передаточное число минимально. Внутренним передаточным числом 1t вершины с номером 1 гра-

фа называется результат выражения: ( ) ( ) ( )1 min 1 min 2 min1,1 2,1 ... ,1 kt C q C q C k q= + + + . (6.22) Если внутренние передаточные числа всех вершин графа запи-

саны в виде вектор-столбца [ ]t , то можно записать:

[ ] [ ] [ ]minTt C q= ⋅ , (6.23)

где [ ]minTC – транспонированная матрица [ ]minC .

Внутренней медианой графа называется вершина, для которой внутреннее передаточное число минимально.

Если сложить два вектора [ ]W и [ ]t , получим новый вектор: [ ] [ ] [ ]f W t= + . (6.24) Минимальный элемент вектора [ ]f указывает своим индексом

на номер вершины, которую называют общей медианой графа G . Таким образом, общая медиана графа характеризуется мини-

мальной суммой внутреннего и внешнего передаточных чисел. Пример. В цехе имеются 5 участков, объединенных в сеть по-

средством транспортных связей. Каждый участок производит неко-

116

торую продукцию и нуждается в обслуживании (настройке) инстру-ментом. Инструмент доставляется на участок настройки немедленно после обнаружения погрешности. Сведения об относительной произ-водительности участков [ ]q и расстояниях между ними даны на гра-фе (рис. 6.10). Где следует выбрать место для участка настройки, чтобы временные затраты на транспортировку были минимальными?

Требуется выбрать из 5 участков один, для которого транспор-тировка от него и обратно наиболее выгодна. Относительная потреб-ность в настройке будет считаться пропорциональной производи-тельности.

Матрица весов дуг графа – модели механического цеха, имеет вид:

[ ]

0 3 103 0 5

10 0 6 155 6 0 4

4 0

С

∞ ∞ ∞ ∞ = ∞ ∞

∞ ∞ ∞

.

Матрица кратчайших путей –

[ ]

0 3 10 8 123 0 11 5 9

10 11 0 6 108 5 6 0 4

12 9 10 4 0

m nС ×

=

;

матрица весов вершин –

1

2

3

4

5

3

10

6

5

4

15

Р и с. 6.10

117

[ ]

23153

q

=

;

матрица внешних передаточных чисел –

[ ] [ ] [ ]min

9 10 40 36 956 11 25 27 69

20 33 30 30 11316 15 6 12 49

24 27 10 20 81

W C q

+ + + + + + = ⋅ = =+ + +

+ + + + + +

;

матрица внутренних передаточных чисел –

[ ]

0 3 10 8 12 2 953 0 11 5 9 3 69

10 11 0 6 10 1 1138 5 6 0 4 5 49

12 9 10 4 0 3 84

t

= ⋅ =

.

Тогда вектор-столбец f задается в виде:

[ ] [ ]

19013822698

162

f w t

= + =

.

Минимальный элемент вектора f равен 98, поэтому необходимым свойством будет обладать участок 4 (рис. 6.10), которому в модели на графе соответствует общая медиана.

6.11. Расчет надежности сетей При решении этой задачи на графе каждой дуге ставится в соот-

ветствие надежность перемещения груза по дуге сети (т.е. вероят-ность безотказной работы).

Рассмотрим пример. Исследуется система перемещения груза по

118

городским улицам. Служба движения располагает статистическими данными о вероятности безаварийного проезда автотранспорта по той или иной улице в том или ином направлении.

Задача моделируется графом (рис. 6.11), вершины которого – перекрестки (или характерные объекты, с помощью которых можно описать путь перемещения грузов).

Веса дуг – вероятности безаварийного проезда. Требуется определить вероятности безаварийного проезда по

тому или иному пути, т.е.вероятность безопасного перемещения по пути (см. рис. 6.11), которая определяется произведением вероятно-стей

1 2 3sP P P P= ⋅ ⋅ . (6.25) Учитывая, что нас интересует максимально безопасный путь,

потребуем, чтобы maxsP = . Прологарифмируем выражение (6.25): ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3ln ln ln lnsP P P P= + + . (6.26) С учетом того, что вероятности безопасного проезда находятся в

интервале от 0 до 1, ( )ln 0iP < . Путь с вероятностью безопасного проезда близкой к 1 имеет от-

рицательный, близкий к 0, логарифм. Наоборот, если путь отличается малой вероятностью безаварий-

ного проезда, логарифм его отрицателен и близок к бесконечности. Если же все значения логарифмов вероятностей безаварийного про-езда умножить на (–1), тогда путь с малой вероятностью безаварий-ного проезда будет иметь очень большую положительную величину (на графе – ∞ ), а путь с высокой вероятностью безаварийности бу-дет характеризоваться малой положительной величиной.

Следовательно, для поиска пути с максимальной безаварийно-стью можно применить алгоритм поиска кратчайшего пути на задан-ном графе.

Дуги такого графа будут характеризоваться логарифмами веро-ятностей безотказного проезда, умноженными на (–1).

Проиллюстрируем вышеизложенное.

Р1 Р2 Р3

Р и с. 6.11

119

Пример. Исследуется система перемещения груза по городским

улицам. Имеются статистические данные о вероятности безаварий-ного проезда автотранспорта по той или иной улице в том или ином направлении.

Задача моделируется графом (рис. 6.12), вершины которого – перекрестки или характерные объекты, с помощью которых можно описать пути перемещения грузов. Веса дуг – вероятности безава-рийного проезда.

Требуется определить вероятности безаварийного проезда по тому или иному пути.

Решение. Составим матрицу [ ]C :

[ ]

1 0,4 0,8 0,7 00 1 0,3 0 0,50 0 1 0 0,90 0 0 1 0,50 0 0 0 1

С

=

.

Проведем нижеследующие вычисления:

1

2

3

4

5

0,4 0,5

0,8

0,7

0,3

0,5

0,9

Р и с. 6.12

120

( )

0 0,9153 0,2231 0,35670 1.204 0,6931

ln 0 0,10540 0,6931

0

C

∞ ∞ ∞ − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

.

Согласно алгоритма Форда-Фалкерсона, имеем:

( )

0 0,92(2) 0,22(3) 0,36(4) 0,33(3)0 1,2(3) 0,69(5)

ln 0 0,11(5)0 0,69(5)

0

C

∞ ∞ − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

.

Элементы полученной матрицы умножаем на (–1) и находим ан-тилогарифм. В результате получаем матрицу вероятностей безава-рийного проезда:

[ ]

1 0,4(2) 0,8(3) 0,7(4) 0,72(3)0 1 0,3(3) 0 0,5(5)0 0 1 0 0,9(5)0 0 0 1 0,5(5)0 0 0 0 1

R

=

.

Например (см. рис. 6.12), максимальная вероятность безаварий-ного проезда по пути 1–3–5 равна 0,8·0,9=0,72.

121

ГЛАВА 7. ЛОГИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К УПРАВЛЕНИЮ АВТОТРАНСПОРТНЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ

ЛЕКЦИЯ 14

7.1. Статистическая вероятность безотказной работы и коэффициент безопасности

Производственная программа автотранспортного предприятия включает производственные программы по эксплуатации и по тех-ническому обслуживанию (ТО) и ремонту подвижного состава.

Для расчета производственной программы по эксплуатации под-вижного состава используются два вида информации, характери-зующие, с одной стороны, условия и интенсивность эксплуатации автомобилей, а, с другой, – определяющие их техническое состояние. Первый вид информации включает результаты моделирования плана выполнения транспортных услуг – показателей перевозочного про-цесса: время движения на маршруте, продолжительность погрузо-разгрузочных работ, продолжительность смены и т.д.

Второй вид информации, определяющий техническое состояние автомобилей, включает периодичности проведения ремонтно-профилактических воздействий (периодичности ТО-1, ТО-2, капи-тальных ремонтов), время простоя в ТО и ремонте, сроки службы автомобилей и агрегатов, перечень стратегий проведения ремонта подвижного состава и т.д. Вопросы методического и программного обеспечения прогнозирования этих показателей рассмотрены в рабо-те [5].

Основными итоговыми показателями расчета производственной программы по эксплуатации подвижного состава являются коэффи-циент технической готовности, коэффициент выпуска, годовые про-беги автомобилей и провозные возможности автопредприятия (ATП). Величина провозных возможностей АТП в значительной сте-пени зависит от коэффициента выпуска автомобилей.

Коэффициент выпуска автомобилей, по существу, является ве-роятностью безотказной работы автомобилей. Действительно, веро-ятность безотказной работы это вероятность того, что в пределах за-данной наработки отказ объекта не возникнет. Статистически веро-ятность безотказной работы P(t) определяется отношением количест-ва оставшихся работоспособных объектов N(t) к моменту наработки t к общему числу объектов N(0):

122

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

01 1

0 0 0N t N N t r t

P tN N N

−= = − = − , (7.1)

где ( )0r – количество отказавших объектов к моменту t. Коэффициент выпуска автомобилей представляет собой отно-

шение количества эксплуатирующихся к моменту t автомобилей эA к общему количеству автомобилей в парке cnA – состав парка:

в 1 1 прэ сп э

сп сп сп

АА А АaА А А

−= = − = − , (7.2)

где прА – количество автомобилей, которые к моменту t простаивают по различным причинам (находятся в ремонте, ТО-2, без водителя, без шин, бездорожье, др.).

Простое сравнение формул (7.1) и (7.2) позволяет говорить о том, что коэффициент выпуска автомобилей и вероятность безотказ-ной работы автомобилей — понятия идентичные.

Безопасность работы общественного транспорта можно выра-зить через вероятность безотказной работы ( )Q T∆ – свойство под-вижного состава выполнять все свои рабочие функции (сохранять работоспособность) на маршруте движения в заданных пределах в течение определенного периода времени.

Используя теорию вероятности, выведем формулу определения вероятности безотказной работы.

Если на маршруте l эксплуатируется Ni количество подвижного состава l-го вида общественного транспорта и за период времени T∆ mi из них выйдет из строя, то вероятность появления отказа подвиж-ного состава на данном маршруте будет:

( ) ilil

il

mP TN

∆ = . (7.3)

Согласно теории вероятности подвижной состав на маршруте может находиться в двух состояниях: быть работоспособным или неработоспособным. Тогда сумма их вероятностей

( ) ( ) 1ilP T Q T∆ + ∆ = . (7.4) Отсюда вероятность безотказной работы на данном маршруте l рав-на:

123

( ) ( )1 1 il il ilil il

il il

m N mQ T P TN N

−∆ = − ∆ = − = . (7.5)

Показатель безопасности i-го вида общественного транспорта на маршруте l определяется по формуле:

( )( )НОМ

ili

il

Q TS

Q T

φ ∆′ =

∆, (7.6)

где ( )НОМilQ T∆ – номинальная безотказность работы i-того вида

транспорта на маршруте l за определенный период времени T∆ . Но-минальная безотказность работы принимается на основании сущест-вующих нормативных документов или устанавливается с использо-ванием статистической отчетности работы i-того вида подвижного состава на маршруте l за предыдущие плановые периоды времени

T∆ . 7.2. Характеристика марковских процессов Для моделирования коэффициента выпуска автомобиля вос-

пользуемся аппаратом марковских дискретных случайных процессов с непрерывным временем.

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется мар-ковским процессом (или «процессом без последействия») если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зави-сит только от её состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Случайный процесс называется процессом с дискретными со-стояниями, если возможные состояния системы 1 2 3, ,S S S … можно перечислить (перенумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) перехо-дит из одного состояния в другое.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным вре-менем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой (наперёд неизвестный) случайный момент времени t.

На рис. 7.1 представлен граф состояний системы S.

124

Здесь ijλ – известные плотности вероятности перехода для всех пар

состояний ,i jS S ; n – число состояний. В общем случае ( )ij ij tλ λ= :

( )

0lim ij

ij t

P tt

λ∆ →

∆=

∆, (7.7)

где ( )ijP t∆ – вероятность того, что система, находившаяся в момент времени t в состоянии iS , за время t∆ перейдет в состояние jS , i j≠ .

Зная размеченный граф состояний (граф с известными плотно-стями вероятности перехода), можно определить вероятности со-стояний как функции времени:

( ) ( ) ( )1 2, ,..., nP t P t P t . (7.8) Эти вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям (ДУ) определённого вида, так называемым уравнениям Колмогорова:

( ) ( ) ( )iij ij ij j

j j

dP tP t P t

dtλ λ= − +∑ ∑ . (7.9)

В левой части каждого уравнения стоит производная вероятно-сти состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием.

Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «–», если в состояние – знак «+».

Каждый член равен произведению плотности перехода, соответ-

Si

Sj Sn

λji

λij

……

Р и с. 7.1. Граф состояний системы S

125

ствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состоя-ния, из которого выходит стрелка.

Решая эти уравнения, мы получим вероятности (7.8). 7.3. Анализ возможных состояний автомобиля Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретны-

ми состояниями 0 1, ,..., nS S S , которая переходит из состояния в со-стояние под влиянием случайных событий (отказов). На стадии пла-нирования работы автомобиля целесообразно рассматривать сле-дующие состояния, в которых он может находиться в процессе экс-плуатации и которые характеризуются целодневными простоями:

0S – исправен, работает;

1S – находится в капитальном ремонте (КР);

2S – проходит ТО-2;

3S – находится в текущем ремонте (ТР);

4S – исправен, не работает по организационным причинам (без водителя, без шин, без запасных частей);

5S – не работает, снятие агрегата для отправки в капитальный ремонт;

6S – не работает, списание агрегата, замена на новый;

7S – исправен, не работает (выходные и праздничные дни);

8S – списывается. Надо отметить, что в настоящее время вышеперечисленные со-

стояния автомобиля планируются при разработке годовой програм-мы работы АТП, при этом состояния 3S , 5S , 6S объединяются в од-но состояние – «находится в ТР».

Для анализа процесса эксплуатации автомобиля как случайного процесса с дискретными состояниями удобно воспользоваться гео-метрической схемой – так называемым графом состояний (рис. 7.2).

Граф состояний изображает возможные состояния автомобиля и его возможные переходы из состояния в состояние. На рис. 7.2 через

ijλ и ijµ обозначены плотности вероятностей перехода автомобиля из состояния iS в состояние jS . Например, 03λ – плотность вероят-ности перехода автомобиля из состояния «исправен, работает» в со-стояние «находится в текущем ремонте».

126

Можно считать, что события, переводящие автомобиль из со-стояния в состояние, представляют собой потоки событий (например, потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие систему (ав-томобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским, а плотности вероятности перехода ijλ в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему из состояния iS в состояние jS .

Рассматриваемые состояния автомобиля jS характеризуются средним числом дней пребывания автомобиля в каждом состоянии Дj. Показатели Дj находят отражение в статистической отчетности АТП. Отношение

ДД

jj

k

P = , (7.10)

где Дk – число календарных дней в году, можно трактовать как ве-роятность нахождения автомобиля в j-м состоянии.

Для определения расчётов необходимо знать значения интен-сивностей перехода ijλ и ijµ то есть, характер их изменения. Эти данные могут быть получены в результате статистической обработки большого информационного материала.

S8

S7

S6

S1

S2

S3

S4 S5

S0

λ08

λ07

λ06

λ05 λ04

λ03

λ02

λ01

μ70

μ60

μ50 μ40

μ30

μ20

μ10

Р и с. 7.2. Граф состояний автомобиля

127

7.4. Информационная база прогнозирования транспортных услуг

Исходная статистическая информация, необходимая для опреде-ления ( )0i Lλ – интенсивности перехода из 0-го в i состояние;

( )io Lµ – интенсивности перехода из i-го в нулевое состояние; Ni(L) – средней численности автомобилей, находящихся в состоянии i; lc – среднесуточного пробега, может быть получена следующим обра-зом. Величина среднесуточного пробега автомобилей, как правило, определяется в результате моделирования перевозочного процесса. В противном случае расчет может быть осуществлен с использованием комплекса трендовых моделей прогнозирования, тогда в качестве исходной информации используются динамические ряды среднесу-точного пробега, полученные в результате обработки статистическо-го материала конкретного АТП. Прогнозные расчеты пополнения парка могут быть выполнены по различным методикам.

Распределение автомобилей по возрастным группам, определе-ние среднего пробега с начала эксплуатации в каждой возрастной группе и начальных численностей состояний (на начало планируемо-го периода) может быть проведено в следующей последовательно-сти.

Распределение автомобилей по возрастными группам (по пробе-гу с начала эксплуатации) проводится путем определения номера возрастной группы j, в которую попадает k-й автомобиль с данным пробегом с начала эксплуатации н.э.

rL и подсчета числа автомобилей Aj, попавших в эту группу:

н.э.kLjL

= ∆

. (7.11)

Средний пробег с начала эксплуатации для автомобилей j-й воз-растной группы н.э.

kL определяется по формуле средней арифметиче-ской величины. В принятых выше обозначениях она имеет вид

н.э.

н.э. 1

jA

rk

rj

LL

A==

∑. (7.12)

Далее подсчитывается число автомобилей ijN в j-й возрастной

128

группе, находящихся в i-м состоянии ( )1 8i = ÷ . Вероятности i-го состояния автомобилей j-й возрастной группы

на начало планируемого периода определяются по формуле

ijij

j

NP

A= . (7.13)

Остановимся теперь на определении параметров λ и µ модели функционирования автопарка. Важность этого вопроса состоит в том, что заданием множества параметров обеспечивается возмож-ность получения различных альтернативных вариантов изменения характеристик состояний автопарка (в том числе, ( )0 ,BP L α=

( ) ( ) ( )0 4 7 ТГP L P L P L K+ + = ), так как совокупность временных харак-теристик состояний парка определяется уровнем параметров модели. Анализ формирования уровня каждого параметра необходимо про-водить на основе статистической информации конкретного АТП.

Интенсивность ( )01 Lλ «исправен – капитальный ремонт (КР) автомобиля» будет зависеть от числа КР, которые предполагается провести за период эксплуатации до списания:

( ) ( )011

F

jj

L Lλ ϕ=

= ∑ , (7.14)

где ( )j Lϕ – плотность распределения ресурса автомобиля до f -го капитального ремонта.

Исходной информацией для моделирования ( )f Lϕ могут слу-жить:

– нормативные данные, откорректированные с учетом возраста подвижного состава;

– статистические данные АТП о наработках до КР. Последние наиболее объективно отражают сложившуюся практику использования автомобилей.

Если полнокомплектный ремонт автомобилей не проводится, то ( )01 0Lλ = . Фактором, объясняющим уровень параметра ( )01 Lλ , является

ресурс до КР автомобиля, варьируя который, можно установить ра-циональные сроки службы автомобиля.

Интенсивность ( )02 Lλ «исправен – технической осмотр (ТО-2)»

129

определяется по формуле:

( ) ( )ТО-202

1i

iL f Lλ

∞

=

= ∑ , (7.15)

где ( )ТО-2if L – плотность распределения до i-го ТО-2. Зная закон распределения ( )ТО-2

if L пробега до i-го ТО-2 и ис-пользуя метод статистического моделирования, можно определить поток ТО-2 и его изменение в зависимости от пробега с начала экс-плуатации. Поток попадания автомобилей в ТО-2 стабилизируется, начиная с определенного пробега *L , величина которого зависит от модели автомобиля. На интервале пробега от 0 до *L поток ТО-2 может быть аппроксимирован, на интервале ( )* ,L ∞ интенсивность

( )02 Lλ определяется по формуле:

( )02 ТО-2

1 .LL

λ = (7.16)

Основным фактором, объясняющим уровень ( )02 Lλ , является периодичность проведения ТО-2.

Информационное, методическое и программное обеспечение оценки периодичности проведения ТО-2 подробно рассмотрено [5].

Интенсивность ( )03 Lλ «исправен — текущий ремонт» представ-ляет собой суммарный параметр потоков отказов деталей автомоби-ля, лимитирующих надежность (ДЛН) и приводящих к целодневным простоям при устранении их отказов:

( ) ( )031

F

fj

L Lλ ω=

= ∑ , (7.17)

где ( )f Lω – параметр потока отказов f-ой детали, F – число ДЛН, приводящих к целодневным простоям при устранении их отказов.

Параметр потока отказов деталей ( )f Lω – основная характери-стика нестационарного потока отказов – является фактором, объяс-няющим уровень ( )03 Lλ – средний возраст эксплуатации совокупно-сти автомобилей определенной модели.

Отметим, что при отсутствии данных о параметрах распределе-ний всех деталей, лимитирующих надежность автомобиля, параметр потока отказов автомобиля ( )03 Lλ для прогнозирования коэффици-

130

ента выпуска можно моделировать, используя информацию о рас-пределении наработки на отказ агрегатов автомобиля. Под отказом агрегата здесь следует понимать замену неисправной детали, входя-щей в данный агрегат, в ходе текущего ремонта, которая требует раз-борки агрегата и приводит к целодневным простоям автомобиля в текущем ремонте. Статистическая информация об отказах агрегатов может быть получена на АТП из имеющейся отчетности.

Интенсивность ( )04 Lλ «исправен – исправен, простаивает по ор-ганизационным причинам (нет водителя, нет шин, бездорожье и т. п.)» можно принять постоянной величиной, зависящей от времени простоя автомобилей по организационным причинам. Определяются дни простоя по организационным причинам на основании статисти-ческой отчетности АТП. При установлении конкретной величины

( )04 Lλ необходимо проанализировать простои автомобилей по при-чинам отсутствия работы, водителя, необеспеченности шинами, топ-ливом, запасными частями и так далее, и разработать мероприятия по снижению или устранению этих простоев.

Интенсивность ( )05 Lλ «исправен – снятие агрегата для отправки его в КР» (агрегатный метод ремонта) определяется по формуле

( ) ( )kp05

1 1

M K

kmm k

L Lλ ϕ= =

= ∑∑ , (7.18)

где ( )kpkm Lϕ – плотность распределения наработки до k-го капиталь-

ного ремонта агрегата, 1k K= ÷ ; М – число учитываемых агрегатов автомобиля. Величина ( )05 Lλ представляет собой параметр потока отказов автомобиля, связанных с капитальным ремонтом (КР) его агрегатов. Объясняющие уровень интенсивности ( )05 Lλ факторы – параметры распределений пробегов до КР агрегатов автомобиля.

Интенсивность ( )06 Lλ «исправен – замена агрегата при списа-нии» определяется по формуле

( ) ( )cp06

1 1,

M N

nm n

L Lλ ϕ= =

= ∑∑ (7.19)

где ( )cpn Lϕ – плотность распределения наработки до списания n-то

агрегата, М – число учитываемых агрегатов. Величина ( )06 Lλ пред-ставляет собой параметр потока отказов автомобиля, связанных со

131

списанием его агрегатов. Интенсивность ( )07 Lλ «исправен – исправен, не работает (вы-

ходные и праздничные дни)» можно принять постоянной величиной, зависящей от времени простоя в выходные и праздничные дни. Учи-тывая, что большинство организаций грузоотправителей и грузопо-лучателей в указанные дни, как правило, не работают, важным меро-приятием, влияющим на уровень ( )07 Lλ , является согласование с грузоотправителями режима работы подвижного состава в местах погрузочно-разгрузочных работ.

Интенсивность ( )08 Lλ «исправен – списание автомобиля» опре-деляется по формуле

( ) ( )( )08 ,

1c

c

f LL

F Lλ =

− (7.20)

где ( )cf L , ( )cF L – функция и плотность распределения пробега ав-томобиля до списания.

Объясняющими уровень ( )08 Lλ факторами являются параметры распределения пробега автомобиля до списания.

Интенсивности восстановления 10µ и 20µ не зависят от пробега и принимаются равными обратным величинам времени нахождения автомобиля в КР и ТО-2 соответственно.

Интенсивность восстановления 30µ определяется временем про-стоя автомобиля в ТР. Потребность в ТР выявляется в результате на-блюдения за работой автомобиля на линии, в процессе контрольно–диагностических работ и выполнения ТО. Поскольку возникновение неисправностей, устраняемых при ТР, относится к категории случай-ных событий, то дать исчерпывающую конкретную количественную характеристику данному виду ремонта не представляется возмож-ным. Поэтому объем работ ТР и время на его проведение определя-ются (планируются) посредством удельных норм трудоемкости и времени простоя на 1000 км пробега. Нормативы удельного времени простоя в ТР устанавливаются статистически для подвижного соста-ва одного типа при пробеге с начала эксплуатации, составляющем 50-75% пробега до первого КР.

Данные нормативы объема работ и времени их выполнения кор-ректируются в зависимости от пробега с начала эксплуатации. Время простоя автомобиля за одну постановку его в ТР можно определить,

132

разделив нормативное время простоя в ТР на параметр (интенсив-ность) потока отказов, связанных с ним, на одном и том же интерва-ле пробега с начала эксплуатации автомобиля.

Рассчитанное таким образом время простоя автомобиля за одну постановку его в ТР по интервалам пробега с начала эксплуатации используется для определения интенсивности перехода «текущий ремонт – исправен» на данных интервалах пробега 30 jµ :

301

jjd

µ = , (7.21)

где jd – время устранения одного отказа на j-м интервале. Полученные результаты могут быть аппроксимированы. Ис-

пользуемые в данных расчетах нормативы простоя автомобиля в ТР не учитывают фактическую обеспеченность АТП производственно-технической базой, уровень организации ТО и ремонта и ряда других факторов. Это снижает реальность прогноза коэффициента выпуска. Поэтому в основу определения ( )30 Lµ целесообразно положить фак-тические данные о времени простоя в ТР автомобилей исследуемого АТП. Число отказов (заявочных ремонтов) автомобилей также уста-навливается на основании статистической отчетности предприятия. Фактическое время простоя автомобилей в ТР включает в себя и время простоя в ожидании ремонта из-за отсутствия необходимых запасных частей. Варьируя время простоя в ТР из-за отсутствия за-пасных частей, а, значит, и величину ( )30 Lµ , можно количественно оценить изменение величины коэффициента выпуска автомобилей

Bα в зависимости от обеспеченности АТП запасными частями и про-анализировать влияние снабжения АТП запасными частями на ко-нечные результаты работы предприятия.

Интенсивности восстановления ( )40 Lµ , ( )50 Lµ , ( )60 Lµ , ( )70 Lµ можно приять постоянными величинами, не зависящими от пробега L и определять по фактическому времени простоя на основании ста-тистических данных конкретного АТП.

Для прогнозирования производственной программы АТП необ-ходима информация о технико-эксплуатационных показателях рабо-ты подвижного состава. Эти данные получают по результатам моде-лирования перевозочного процесса. Вся информация разделяется на постоянную, используемую для всех АТП, и переменную, включаю-

133

щую данные для каждого конкретного предприятия. Выделяются два вида информации: нормативно-справочная и статистическая. Резуль-таты обработки первичной статистической информации используют-ся для прогнозирования параметра и ведущей функции потока отка-зов, коэффициента выпуска, которые, в свою очередь, образуют ин-формационную базу для прогноза показателей производственной программы АТП и прогноза потребности в материальных ресурсах, необходимых для обеспечения прогнозируемой программы. При этом характеристики нестационарного потока отказов представляют собой постоянную информацию для АТП, имеющих близкие условия эксплуатации, а коэффициент выпуска прогнозируется для каждого конкретного парка дифференцированно по возрастным группам ав-томобилей каждой марки.

Исходная информация отличается значительным разнообразием и большим объемом. Решение задачи прогнозирования производст-венной программы и необходимого материально-технического обес-печения с последующей экономической оценкой затрат на производ-ство транспортных услуг практически можно реализовать только с использованием ЭВМ.

ЛЕКЦИЯ 15

7.5. Расчет коэффициента выпуска автомобилей и коэффициента технической готовности

Вероятности состояний автомобиля 1 2, ,..., nP P P как функции пробега в случае марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем удовлетворяют определенного вида диф-ференциальным уравнениям (уравнениям Колмогорова), записывае-мым в виде:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

10

0 0 01 1

0 0 0

0 0

;

..........................

;

..........................

1... 1,

n n

c i i ii i

ic i i i

nc n

P LL P L L P L

L

P LL P L L P L

L

P LL P L i n

L

λ µ

λ µ

λ

−

= =

∂= − + ∂

∂ = − −

∂

∂ = − = − ∂

∑ ∑l

l

l

(7.22)

134

где ( )iP L – вероятность нахождения автомобиля в i-том состоянии,

( )0i Lλ – интенсивность перехода автомобиля из нулевого в i-тое со-стояние, ( )0i Lµ – интенсивность перехода из i-того в нулевое со-стояние, cl – коэффициент, отражающий связь между наработками в километрах пробега (среднесуточный пробег).

Число уравнений в системе ДУ (7.22) зависит от числа состоя-ний автомобиля. Вероятность нахождения автомобиля в состоянии «исправен, работает» ( )0P L представляет собой коэффициент вы-пуска ( )В Lα , а сумма вероятностей ( ) ( ) ( )0 4 7P L P L P L+ + – коэффи-циент технической готовности автомобиля ТГk .

Поскольку большинство интенсивностей перехода зависят от пробега, то решение системы (7.22) производится с помощью мето-дов численного интегрирования.

Согласно расчётам, проведённым на основе статистических дан-ных эксплуатации автомобиля, все потоки, переводящие автомобиль из состояния в состояние, являются пуассоновскими или сводятся к ним путём рассмотрения процесса эксплуатации на малых интерва-лах пробега (1-2 тыс. км) и корректировки исходного потока отказов деталей для исключения последствия. Таким образом, процесс, про-текающий в системе, является марковским.

7.6. Описание процесса функционирования группы автомобилей

Необходимо учесть, что для расчета производственной про-граммы АТП необходимо зачастую определять показатели работы группы автомобилей определенной модели jj-го возраста (коэффици-ент выпуска и годовой пробег автомобиля jj-ой возрастной группы). Для описания процессов, протекающих в системе транспортного об-служивания, воспользуемся специальным математическим аппара-том – теорией непрерывных марковских цепей. Этот аппарат даёт возможность составить линейные дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, а также линейные алгебраические уравне-ния для предельных вероятностей состояний, отражающих относи-тельное время пребывания в каждом из них.

В случаях, когда число состояний велико, и требуется найти средние значения характеристик процесса, используют «метод дина-

135

мики средних». Удобство его заключается в том, что, зная возмож-ные состояния одного (условного) автомобиля, можно моделировать процесс функционирования группы из любого числа автомобилей.

Схема, изображающая процесс работы условного автомобиля определенной модели, аналогична схеме (рис. 7.2) лишь с той разни-цей, что через ijλ и ijµ обозначены средние интенсивности потоков событий, переводящих группу автомобилей из состояния iS в со-стояние jS и наоборот. При этом каждое состояние характеризуется

средней численностью автомобилей ( )jN t , находящихся в нем в момент времени t.. Очевидно, что для любого t сумма численностей всех состояний равна общей численности автомобилей исследуемой группы:

( )0

n

jj

N N t=

= ∑ . (7.23)

Величина ( )jN t для любого t представляет собой случайную вели-чину, а вообще, при меняющемся t – случайную функцию времени.

Зная граф состояний и соответствующие интенсивности пере-хода ijλ и ijµ , определим средние численности автомобилей

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2, , ,..., nN L N L N L N L как функции пробега L. Согласно графу состояний система дифференциальных уравне-

ний для средних численностей состояний запишется следующим об-разом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

10

0 0 01 1

0 0 0 0

0 0

,

..........................

,

..........................

.

n n

c i i ii i

ic i i i

nc n

N LN L L L N L

L

N LN L L P L L N L

L

N LN L L

L

λ µ

λ µ

λ

−

= =

∂= − + ∂

∂ = − −

∂

∂ = − ∂

∑ ∑l

l

l

(7.24)

Отношение ( )0N LN

равно коэффициенту выпуска автомобилей опре-

деленной модели на пробеге L с начала их эксплуатации, а отноше-

136

ние ( ) ( ) ( )0 4 7N L N L N L

N + + – коэффициенту технической готов-

ности автомобилей. Рассмотрим все потоки событий, переводящие условный авто-

мобиль из состояния в состояние. Характер потока отказов автомо-биля, переводящего условный автомобиль из состояния «исправен, работает» в состояние «находится в текущем ремонте», не изменяет-ся. При определении его величины учитывается возрастная структу-ра автомобилей данной модели.

Как указывалось, наработка до первого капитального ремонта автомобиля подчиняется нормальному закону распределения с коэф-фициентом вариации 0,1 – 0,33. Вместе с тем следует отметить зна-чительное абсолютное рассеивание пробегов до первого капитально-го ремонта автомобиля в исследуемых группах подвижного состава.

Размах между минимальным и максимальным пробегами может составить примерно пробег, равный среднему пробегу до первого капитального ремонта этих автомобилей.

Таким образом, поток событий, который переводит автомобиль в состояние «капитальный ремонт», протекает на значительном ин-тервале пробега. В этом потоке интенсивность ( )01 Lλ (среднее число событий в единицу пробега) зависит от пробега, то есть поток явля-ется нестационарным.

Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1-2 тыс. км) интенсивность ( )01 Lλ меняется сравнительно медленно. В этом слу-чае закон распределения наработки до капитального ремонта можно приближенно считать показательным, а интенсивность ( )01 Lλ при-нимать равной среднему значению ( )01 Lλ на этом интервале. Анало-гичные утверждения справедливы относительно потоков отказов, переводящих условный автомобиль в состояния «капитальный ре-монт агрегата», «списание агрегата».

Общий поток отказов, связанный с попаданием автомобилей ис-следуемой группы в ТО-2, получается путем наложения (суперпози-ции) потоков «ТО-2» этих автомобилей. Как показывают расчеты, распределение интервала пробега между событиями в этом потоке подчиняется показательному закону. Можно предположить, что по-ток «ТО-2» исследуемых автомобилей является пуассоновским, при этом вероятность попадания на участок L ровно m событий выража-

137

ется формулой

( ) , 0,1,...!

mm

m

LP e m

mλλ −

= =

, (7.25)

где λ – интенсивность потока, отк/1000 км. Проверим наличие этого свойства у потока «ТО-2» условного

автомобиля. Средний поток «ТО-2» условного автомобиля можно получить путем случайного прореживания общего потока событий; каждое событие (ТО-2 конкретного автомобиля) независимо от дру-

гих с вероятностью 1PN

= (N – число автомобилей в исследуемой

группе) сохраняется в потоке, а с вероятностью ( )1 P− – «выбрасы-вается» (Р – преобразование потока). В результате этой операции

получим пуассоновский поток с интенсивностью PNλ

λ = . Действи-

тельно, все свойства исходного потока при Р – преобразовании со-храняются, а интенсивность умножается на Р.

Для подтверждения этого и доказательства того, что общий по-ток «ТО-2» автомобилей исследуемой группы является пуассонов-ским, рассчитаем число возможных ТО-2 автомобилей Mercedes на любом интервале пробега и сравним с фактическим числом прове-денных ТО-2 в группе. Допустим, что поток ТО-2 условного автомо-биля является пуассоновским, тогда количество возможных ТО-2 автомобилей исследуемой группы на интервале можно определить по формуле

ТО-21

mm

mi

N P=

= ∑ , (7.26)

где N – число автомобилей в исследуемой группе (N=47 шт.), Рm – вероятность проведения m ТО-2 автомобиля (условного) на пробеге L, 1,2,...,m mm= . Верхняя граница m mm= устанавливается в зави-симости от величины интервала L. Средняя интенсивность потока ТО-2 условного автомобиля равна

1 1 0,12947 0,164N L

λ = = =∆ ⋅

(отк./1000км). (7.27)

Результаты расчета сведены в табл. 7.1.

138

Т а б л и ц а 7.1

Количество ТО-2 автомобилей Mersedes по интервалам пробега

Число ТО-2, шт. Величина интер-вала, тыс. км

расчетное среднее фактиче-ское

Ошибка, %

30 3,89 4 2,75 Согласно данным табл. 7.1 поток ТО-2 условного автомобиля

исследуемой группы с достаточной степенью точности согласуется с пуассоновским.

Образ потока отказов, связанного со списанием автомобиля, яв-ляется условным. Действительно, если автомобиль отказывает в тот момент, когда происходит первое событие данного потока, то совер-шенно все равно, продолжается ли после этого поток отказов или прекращается; судьба автомобиля от этого уже не зависит. В случае, когда элемент (автомобиль) не подлежит восстановлению, поток от-казов является пуассоновским.

Поток отказов автомобиля, связанный со списанием, является нестационарным, так как пробег до списания подвижного состава подчиняется закону распределения, отличному от показательного. Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1–2 тыс. км) ин-тенсивность отказов меняется сравнительно медленно, в таком слу-чае закон распределения событий можно приблизительно считать показательным и для описания процесса эксплуатации автомобиля использовать марковскую схему.

Характер остальных потоков событий, связанных с процессом работы группы автомобилей, не изменяется.

. ЛЕКЦИЯ 16

7.7. Использование метода динамики средних для определения средних численностей состояний Из вышеизложенного следует, что все средние потоки, перево-

дящие условный автомобиль из состояния в состояние, либо пуассо-новские, либо сводятся к ним путем рассмотрения процесса эксплуа-тации на малых интервалах пробега (1–2 тыс. км) и корректировки

139

исходного потока отказов деталей для исключения последействия. Это позволяет использовать метод динамики средних для описания процесса эксплуатации группы автомобилей.

В табл. 7.2 приведены формулы для расчета основных интен-сивностей перехода ijλ и ijµ . Для решения системы дифференциаль-ных уравнений (7.24) необходимо задаться начальными численно-стями состояний Ni(L), 0,...,8i = , а также знать величину среднесу-точного пробега Cl .

Значения параметров ( )03 Lλ , ( )05 Lλ , ( )06 Lλ модели (3.2) могут быть определены двумя способами. Согласно первому способу, по-лученные значения параметров потока отказов автомобиля, связан-ных с его текущим ремонтом, капитальным ремонтом и списанием его агрегатов, аппроксимируются экспоненциальными зависимостя-ми вида

( ) ( )1 ...01

nnx xL e α α αλ + + += ,

где x – пробег автомобиля с начала эксплуатации, тыс. км, i – номер состояния, в котором находится автомобиль, i = 3, 5, 6.

Т а б л и ц а 7.2

Интенсивности перехода ijλ и ijµ для расчета комплексных показателей надежности автомобилей Mersedes

Интенсивность Формула, принятая в рас-чете

Примечания

Исправен - капитальный ремонт ( ) ( )01

1=

= ∑F

ki

L Lλ ϕ

( )011

2

k m

L e σλπσ

− − =

Плотность распределения наработки до к-го капи-тального ремонта авто-мобиля –

( ) , 50, 5k L mϕ σ= =

Исправен - проходит ТО-2 ( ) ( )02 ТОi

1

F

iL f Lλ

=

= ∑

( ) ( ) 1ТО02 L Lλ

−=

ТОif – плотность распре-деления наработки до i-го ТО-2; средняя периодичность ТО-2, ТО 10L = тыс. км

140

Продолжение табл. 7.2 Исправен –

находится в ТР

( ) ( )031 инт

F

ff

FL LL

λ ω=

= =∑

( )i Lω – параметр потока отказов f-й детали по ин-тервалам пробега F=35 – число ДЛН авт. шт.; инт 100L = тыс. км.

Исправен – простаи-вает по организаци-онным причинам

(без водителя и т.п.)

( ) ( )04 ДLλ ρ= ,

( ) ( ) 1пр04 сL Tλ

−= l

Тпр – среднее время меж-ду простоями, Тпр = 7дн.;

0,164с =l тыс. км – среднесуточный пробег

Исправен капиталь-ный ремонт агрегата ( ) ( )краг

051

N

nm

L Lλ ω=

= ∑ ,

( )05инт

ALL

λ =

крагnω – параметр потока

отказов автомобиля, свя-занный с кап. ремонтом его агрегатов A=5 шт. – число агрегатов

Исправен – списание агрегата ( ) ( )краг

061

N

mm

L Lλ ω=

= ∑ крагmω – параметр потока

отказов автомобиля, свя-занный со списанием аг-регатов; N — число агрегатов

Исправен – не рабо-тает (праздничные и выходные дни)

( ) ( )07 L Lλ ρ= ,

( ) ( ) 1вых07 сL Tλ

−= l

вых 7T = дн. – среднее время между простоями;

0,164с =l тыс. км – среднесуточный пробег

Исправен – списание автомобиля

( ) ( ) ( )08 1c cL f L F Lλ = − ,

( ) 008 2

L LLλ

δ−

=

270L > тыс. км 2 1600δ = тыс. км

( )cF L , ( )cf L – функция и плотность распределе-ния наработки до списа-ния автомобиля; принято распределение Рэлея

Капитальный ре-монт – исправен ( ) ( ) 1

кр10 L Tµ−

= кр 20T = дн. – средняя

продолжительность капи-тального ремонта

141

Продолжение табл. 7.2 ТО-2 – исправен ( ) ( ) 1

ТО20 L Tµ−

=

ТО 1T = дн.

ТОT – средняя продолжи-тельность ТО-2

Находится в ТР – исправен

( ) ( )30 L Lµ η=

( ) ( ) 1

30 ТL Tµ−

=

Т 1T = дн. – средняя про-должительность ТР

Простаивает по ор-ганизационным причинам – испра-

вен

( ) ( ) 1

40 ПL Tµ−

= П 1T = дн. – средняя про-должительность простоя

Капитальный ре-монт агрегата – ис-

правен ( ) ( ) 1

50 краL Tµ

−

= кр 8аT = дн. – средняя продолжительность про-стоя при снятии агрегата

Списание агрегата – исправен ( ) ( ) 1

60срL Tµ

−

= 8срT = дн. – среднее вре-мя замены агрегата

Исправен, не рабо-тает (праздничные и выходные дни) – исправен, работает

( ) ( ) 1

70 прL Tµ−

= 3прT = дн. – средняя продолжительность про-стоя

Ошибка аппроксимации при небольших n бывает высокой и мо-

жет достигать 10–20%. Это один из главных недостатков первого способа, существенно снижающий точность последующих расчетов годового пробега. Указанный недостаток можно исключить.

Согласно второму способу, параметры ( )03 Lλ , ( )05 Lλ , ( )06 Lλ задаются дискретно для каждого интервала пробега и являются по-стоянными величинами на каждом заданном интервале пробега, со-ставляющем 10–20 тыс. км, но значения этих параметров меняются в течение пробега с начала эксплуатации автомобиля скачкообразно от одного интервала к другому.

Метод динамики средних может быть использован и для опре-деления коэффициента выпуска автопарка, состоящего из автомоби-лей разных моделей.

Указанная задача может быть решена двумя способами. Первый состоит в рассмотрении изолированного процесса эксплуатации со-вокупности автомобилей одной модели, второй – функционирования многомарочного парка в целом. В этом случае без принципиальных

142

изменений может быть использован изложенный выше способ, раз-ница будет только в том, что число дифференциальных уравнений увеличится в n раз, где n – число моделей подвижного состава, об-служиваемых на одних и тех же постах ТО и ТР. Использование ме-тода динамики средних для определения коэффициентов техниче-ской готовности и выпуска разномарочного парка позволяет учесть ограниченное количество постов для проведения ТО и ТР.

При определении коэффициентов технической готовности и вы-пуска разномарочного парка автомобилей необходимо разбить все модели подвижного состава, эксплуатирующегося в АТП, на группы, включающие автомобили тех моделей, которые обслуживаются на одних и тех же постах ТО-2 и ТР. Для каждой группы моделей под-вижного состава строится единая система дифференциальных урав-нений, описывающая функционирование соответствующей группы автомобилей.

7.8. Определение годового пробега и провозных возможностей автомобиля

На основе полученных данных о коэффициенте выпуска автомо-биля необходимо определить его годовой пробег. Решить эту задачу можно двумя способами. Первый способ состоит в следующем: по-лученные значения коэффициента выпуска автомобиля аппроксими-руются по некоторой теоретической кривой. Кривая может иметь вид прямой, экспоненты, гиперболы и т.д. Полученную зависимость

( )B Lα подставляют в рекуррентное соотношение вида

( ) ( )0

2

0 365jj

jj jj

jj

L

Г jj c BjjL

L L L L Lα= − = ∂∫l , (7.28)

где ( )Bjj Lα – теоретическая зависимость коэффициента выпуска ав-томобиля jj-го возраста данной модели от пробега с начала эксплуа-тации, cl – среднесуточный пробег автомобиля данной модели. Ре-шая это уравнение относительно jjL , находим пробег автомобиля данной модели jj-го возраста на конец года. Годовой пробег

jjГL ра-вен:

0jj jjГ jjL L L= − . (7.29) Основным недостатком данного метода определения годового

143

пробега jjГL является необходимость сглаживания полученных зна-

чений коэффициента выпуска Bα по интервалам пробега L и обра-щение к численному интегрированию при дальнейшем решении.

Чтобы избежать этой проблемы, был выбран способ определе-ния годового пробега

jjГL , позволяющий устранить указанный не-достаток. Суть его заключается в следующем.

В ходе решения системы дифференциальных уравнений опреде-ляем коэффициент выпуска Bα через интервал пробега L∆ , равный 1000 км. Таким образом, известны значения Bα на начало года и че-рез каждую тысячу километров пробега в течение года для автомо-билей каждой jj-ой возрастной группы:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , 2 , ..., ,...,jj jj jj jjB B B BL L L L L L k Lα α α α+ ∆ + ∆ + ∆

где 1,..., , 1,2jj hh k= = . Период рабочего времени ДР, за который автомобиль выполнит

пробег, равный 1000 км, равен:

ДРc

L∆=

l, (7.30)

где К интервалов пробега, равных L∆ , автомобиль выполнит за ДКкjj календарных дней, определяемых формулой:

1

ДК ДКk

kjj kjji=

= ∆∑ , (7.31)

где ДКkjj∆ – период календарного времени, в течение которого авто-мобиль jj-ой возрастной группы реализует k-тый по счёту интервал пробега, равный L∆ .

Годовой пробег автомобиль выполняет за ДК календарных дней, ДК = 365 дн. Допустим, что на 365-й день величина годового пробега автомобиля попадает в k-тый по счету интервал L∆ (рис. 7.3).

Годовой пробег автомобиля jjГL (см. рис. 7.3) складывается из

(k – 1) интервалов L∆ , и величины jj∆l , соответствующей какой-то части k-го по счету интервала L∆ :

( )1jjГ jjL k L= − ∆ + ∆l , (7.32)

144

Определим величину jj∆l . Для этого рассчитаем число кален-дарных дней ДК∆ , за которые автомобиль выполнит пробег jj∆l :

( )-1ДК ДК-ДКjj k jj∆ = , (7.33)

где ( )

1

-11

ДК ДКK

kjjk jjk

−

=

= ∆∑ .

Пробег автомобиля jj∆l -го возраста за период ДКkjj∆ определя-ется по формуле:

( )( ) ( )0 0ДК 1 / 2jj jjjj kjj c B BL K L L K Lα α ∆ = ∆ + − ∆ + + ∆ l l .

Расчёт производится для всех возрастных групп каждой модели подвижного состава. Предлагаемый способ определения годового пробега позволяет снизить ошибку, получаемую в ходе аппроксима-ции данных ( )B Lα , на 10 – 16%, и тем самым повысить достовер-ность прогнозов годового пробега.

Блок-схема расчета годового пробега была реализована в среде MathCad.

В соответствии с данной блок-схемой проводились ретроспек-тивные расчеты годового пробега автомобилей Mersedes, результаты сравнивались с фактическими значениями годового пробега и с ре-зультатами расчета, проведенного с использованием формулы (7.28). Результаты сведены в табл. 7.3.

ДК(k–1)jj

ΔДКkjj

ΔДКkjj

L0jj

Δl

1 2 ΔL K … K–1 K

Р и с. 7.3. Временная эпюра случайной ситуации, сложившейся при определении годового пробега rjjL автомобиля jj-возрастной

группы

145

Т а б л и ц а 7.3

Расчет годового пробега автомобилей различными способами

Расчетные значения годового пробега Ошибка, % Модель

автомобиля первый способ

второй способ

Фактиче-ское значе-ние годово-го пробега

первый способ

второй способ

Mersedes 54102 46497 49700 8.8 6.8

Провозные возможности автотранспортного предприятия опре-деляются по формулам:

1 1

n m

i i i iji j

P q Lγ β= =

= ∑∑ , (7.34)

1

ni

i cpi

PQ=

= ∑l

, (7.35)

где ijL – годовой пробег автомобиля j-го возраста i-ой модели, тыс. км, iq – грузоподъемность автомобиля i-той модели (т), iγ – коэффи-циент использования грузоподъемности автомобиля i-той модели, β – коэффициент использования пробега автомобиля i-той модели, cpil – среднее расстояние перевозки тонны груза, км, iP –грузооборот, выполняемый автомобилями i-той модели, тыс. км, Q – объем пере-возок АТП, тыс. т, Р – грузооборот АТП, тыс. км.

Результаты прогноза коэффициентов выпуска, годовых пробе-гов, провозных возможностей служат основанием для расчета ос-тальных показателей производственной программы по эксплуатации подвижного состава. Определение последних показателей произво-дится по общеизвестным аналитическим формулам.

Исходными данными для расчета производственной программы по ТО и ремонту подвижного состава являются производственная программа по эксплуатации и информация, определяющая техниче-ское состояние автомобилей (периодичности ремонтно-профилактических воздействий, время проведения ТО и ремонтов, стратегии проведения ремонта, показатели долговечности агрегатов

146

и автомобилей и т.д.). Используя информацию о техническом со-стоянии автомобилей, моделируются параметры модели (7.24) функ-ционирования парка подвижного состава, при этом, в частности, оп-ределяются ведущие функции потоков ТО, ТР, КР. Данная информа-ция используется для определения числа ремонтно-профилактических воздействий (РПВ) по каждой модели подвижно-го состава с учетом его возраста. Количество РПВ определяется по формулам:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

ТО-1 ТО-1 ТО-10

ТО-2 ТО-2 ТО-20

KP KP0

ТО 1: ,ТО 2 : ,KP: ,

k

kKP

k

N L LN L LN L L

− = Ω − Ω− = Ω − Ω

= Ω − Ω (7.36)

где ТО-1N , ТО-2N , КРN – количество ТО-1, ТО-2 и КР автомобильных агрегатов соответственно, ед.; 0L , kL – пробег автомобиля с начала эксплуатации на начало и конец года, тыс. км; ( )ТО-1

0LΩ , ( )ТО-1kLΩ –

значение ведущей функции потока ТО-1 на начало и конец года, ед., ( )ТО-2

0LΩ ; ( )ТО-2kLΩ – значение ведущей функции потока КР авто-

мобильных агрегатов на начало и конец года, ед.; ( )КРkLΩ , ( )КР

0LΩ – значение ведущей функции потока КР автомобильных агрегатов на начало и конец года, ед.

Расчет величины КРN производится по всем основным агрега-там автомобиля данной модели. Количество списаний и замен авто-мобильных агрегатов выполняется аналогично.

Общая программа работ по ТО и ремонту в человеко-часах оп-ределяется исходя из рассчитанных вероятностей нахождения авто-мобилей в состоянии ТО-2, ТР, КР, списания агрегата (замена на но-вый) и продолжительности работы в течение суток рабочих, выпол-няющих ТО и ремонт подвижного состава. При этом расчеты прово-дятся по каждой модели подвижного состава и с учетом их возраста.

Прогнозируемые значения трудоемкостей ТО и ремонта вычис-ляются по формулам:

147

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 0 ТО-2ТО-2 см

3 3 0 ТРТР см

5 5 0 6 6 0 ТРкр см

ТО 2 : Д ,2

ТР : Д ,2

KP: Д ,2 2

jj jjk

jj jjk

jj jj jj jjk

P L P LT T

P L P LT T

P L P L P L P LT T

+− =

+=

+ + = +

(7.37)

где ТО-2T – годовая трудоемкость ТО-2 автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч; ТРT – годовая трудоемкость ТР автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч; крT – годовая трудоемкость КР аг-

регата автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч; ( )2 jjP L ,

( )2 0 jjP L – вероятности нахождения автомобиля в состоянии ТО-2 на

начало и конец года соответственно; ( )3 jjP L , ( )3 0 jjP L – вероятности нахождения автомобиля в состоянии ТР на начало и конец года соот-ветственно; ( )5 jjP L , ( )5 0 jjP L – вероятности нахождения автомобиля в состоянии «не работает, снятие агрегата для отправки в КР» на на-чало и конец года соответственно; ( )6 jjP L , ( )6 0 jjP L – вероятности нахождения автомобиля в состоянии «не работает, списание агрега-та, замена на другой» на начало и конец года соответственно; ТО-2

смT – продолжительность работы в течение суток рабочих, выполняющих ТО-2, ч; ТР

смT – продолжительность работы в течение суток рабочих, выполняющих ТР и КР агрегатов, ч; 0 jjL , jjL – пробег с начала экс-плуатации автомобиля jj-го возраста на начало и конец года соответ-ственно, тыс. км.

Прогнозируемые величины трудоемкостей ЕО и ТО-1 вычисля-ются по формулам:

EO : 0eo eo

jj jj

c M

L LT t

k−

=l

, (7.38)

ТО 1− ТО 1 ТО-1 ТО 1Т Т t− −= , (7.39)

148

где cl – среднесуточный пробег автомобиля, тыс. км; eoT – годовая трудоемкость ЕО автомобилей jj-го возраста данной модели, чел-ч; ТО 1Т − – годовая трудоемкость ТО-1 автомобилей jj-го возраста дан-ной модели, чел-ч; Mk – коэффициент, учитывающий регулярность моечных работ; eot , ТО 1t − – нормативные трудоемкости одного об-служивания ЕО и ТО-1 соответственно, откорректированные с уче-том поправочных коэффициентов, чел-ч.

Кроме работ по ТО и ремонту подвижного состава, на АТП вы-полняются вспомогательные работы: ТО и ремонт оборудования, ре-монт и изготовление нестандартного оборудования, уборка цехов, ТО и ремонт электрооборудования и т.д. Трудоемкость вспомога-тельных работ учитывается с помощью коэффициента к общему объ-ему работ по ТО и ремонту подвижного состава (k= 1,2 ÷ 1,3).

149

ГЛАВА 8. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЛОГИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 17

8.1. Информационный логистический поток В основе управления материальными потоками лежит обработка

информации, цирукулирующией в логистической системе. В связи с этим одним из ключевых понятий логистики является понятие ин-формационного потока.

Информационный логистический поток – это совокупность со-общений, циркулирующих в логистической системе, между логисти-ческой системой и внешней средой, которые необходимы для управ-ления и контроля за выполнением логистических операций. Инфор-мационный поток может существовать в виде бумажных и электрон-ных документов.

Информационный поток может опережать материальный, следо-вать одновременно с ним или после него. При этом поток информа-ции может быть направлен как в одну сторону с материальным, так и в противоположную:

– опережающий информационный поток во встречном направ-лении содержащий, как правило, сведения о заказе;

– опережающий информационный поток в прямом направлении – это предварительные сообщения о предстоящем прибытии груза;

– одновременно с материальным потоком идет информация в прямом направлении о количественных и качественных параметрах материального потока;

– вслед за материальным потоком во встречном направлении может проходить информация о результатах приемки груза, разнооб-разные претензии и подтверждения.

Информационный поток характеризуется следующими показа-телями:

1) источником возникновения, 2) направлением движения 3) скоростью передачи и приема, 4) интенсивностью потока и др. Исходя из этого, управлять потоком можно следующим образом: – изменяя направление потока; – изменяя скорость передачи информации; – ограничивая или увеличивая поток информации. Измеряется информационный поток количеством обрабатывае-

150

мой или передаваемой информации за единицу времени – плотно-стью потока. Это может быть количество документов или количество информации, измеряемых в байтах.

По плотности информационные потоки делятся на: – малоинтенсивные (до 1 Мб/сек), – среднеинтенсивные (1-2 Мб/сек), – высокоинтенсивные (свыше 2 Мб/сек). 8.2. Информационные логистические системы (Информационные технологии в логистике)

Информационные логистические системы – это определенным образом организованная совокупность взаимосвязанных средств вы-числительной техники, различных справочников и необходимых средств программирования, обеспечивающая решение тех или иных задач по управлению движением материального потока.

Информационные системы можно подразделить на две подсис-темы:

– функциональную, – обеспечивающую. Функциональная подсистема состоит из совокупности решаемых

задач, сгруппированных по признаку общности цели. Обеспечивающая подсистема включает в себя следующие эле-

менты: – техническое обеспечение, т.е. совокупность технических

средств для обработки и передачи информационных потоков; – информационное обеспечение, которое включает определен-

ные периодически обновляемые справочники (в том числе, и норма-тивные документы), классификаторы, кодификаторы;

– программное обеспечение, позволяющее решать задачи управ-ления материальными потоками, обрабатывать тексты, получать справочные данные.

Формирование информационной системы – это сложный и мно-гоэтапный процесс, в котором используются достижения современ-ных информационных технологий, новейшие компьютерные систе-мы.

Это делает возможным успешное руководство производствен-ными процессами на основе применения адекватной информацион-ной техники, методов и форм информационного обеспечения логи-

151

стической системы в целом. 8.3. Классификация информационных систем На уровне отдельного предприятия информационные системы

можно классифицировать следующим образом: – плановые, – текущие, – оперативные. Плановые информационные системы создаются на администра-

тивном уровне управления и служат для принятия долгосрочных ре-шений стратегического характера. Среди задач, решаемых плановой системой, могут быть:

– создание и оптимизация звеньев логистической цепи; – управление условно-постоянными данными; – общее управление запасами; – управление резервами и др. задачи. Текущие информационные системы создаются на уровне управ-

ления складом или цехом и служат для обеспечения отлаженной ра-боты логистических систем.

Здесь решаются следующие задачи: – детальное управление запасами (определение мест складиро-

вания); – распоряжение внутрискладским транспортом; – отбор грузов по заказам и их комплектование и другие задачи. Оперативные информационные системы создаются на уровне

исполнителей. Это так называемый режим работы в реальном мас-штабе времени, который позволяет получить необходимую инфор-мацию о движении груза в данный момент и своевременно выдавать административные и управляющие воздействия на объект управле-ния.

8.4. Принципы построения информационных систем в логистике При построении логистических информационных систем на базе

ЭВМ необходимо соблюдать определенные принципы. 1. Принцип использования аппаратных и программных модулей. Под аппаратным модулем понимается функциональный узел ра-

диоэлектронной аппаратуры. Программный модуль — некоторой

152

программный элемент, выполняющий определенную функцию в об-щем программном обеспечении.

Соблюдение принципа использования программных и аппарат-ных модулей позволяет:

– обеспечить совместимость вычислительной техники и про-граммного обеспечения на разных уровнях управления;

– повысить эффективность функционирования логистических информационных систем;

– снизить стоимость информационных систем и ускорить их по-строение.

2. Принцип возможности поэтапного создания системы. Логистические информационные системы являются постоянно

развивающимися системами. Это значит, что при их проектировании необходимо предусмотреть возможность постоянного увеличения числа объектов автоматизации, расширения состава реализуемых системой функций и количества решаемых задач. Следует иметь в виду, что определение этапов создания системы оказывает большое влияние на ее последующее развитие и эффективное функциониро-вание.

3. Принцип четкого установления мест стыка. В местах стыка материальный и информационный потоки пере-

ходят через границы ответственности отдельных подразделений предприятия или через границы предприятия. Обеспечение плавного преодоления мест стыка является одной из важных задач логистики.

4. Принцип гибкости системы с точки зрения специфических требований конкретного применения.

5. Принцип приемлемости системы для пользователя.

ЛЕКЦИЯ 18

8.5. Использование открытых информационных технологий в логистических информационных системах

Современная система глобальных коммуникаций, поддержи-вающих функционирование сети Интернет и мобильной связи, суще-ственно влияет на всю логистическую деятельность.

Успешное функционирование информационных технологий оп-ределяется следующими условиями.

1. Распределенная компьютерная техника. Каждый участник управленческого процесса является самостоятельным рабочим ме-

153

стом и частью общей системы одновременно. 2. Программное обеспечение. 3. Развитие коммуникаций. 4. Беспроводные технологии. 5. Средства мультимедиа. Особенности информационных техно-

логий на базе мультимедийных ПК – это: – распознавание речи; – трехмерные изображения; – объемный звук. 6. Развитие Интернет (Internet). Internet обусловил появление

следующих тенденций в области информационного обеспечения ло-гистических систем:

– локальные Сети и Internet позволили создать глобальное ин-формационное пространство и расширили сферу общения;

– появилась глобальная информационная среда, резко изменив-шая взаимоотношение между бизнес-партнерами со всеми вытекаю-щими экономическими, социальными и политическими последст-виями;

– реальные деньги постепенно уступают место расчетам в элек-тронной форме.

Применительно к логистическим информационным системам Internet может играть разную роль.

1. Применение Internet в качестве средства поиска информации и заказа каких-либо товаров и услуг. Это достаточно пассивный способ существования в Internet. Он позволяет получать новую информа-цию, экономить время, но возможности Internet гораздо шире.

2. Включение Internet в цепочку продажи товара или услуги в качестве «помощи для основного бизнеса». На этом уровне структу-ра самого бизнеса сохраняется, a Internet хотя и играет вспомога-тельную роль, но позволяет значительно повысить его эффектив-ность.

3. Выделение Internet в самостоятельный бизнес. В этом случае среда Internet является товаром или услугой и предлагает операции, которые можно производить в системе электронного бизнеса:

– демонстрация товаров, – возможность заказа покупателем выбранных позиций, – оплата товара, –автоматическая передача сформированного заказа исполните-

лю,

154

– упаковка и доставка товара, – выписка счета и квитанции. Если речь идет о торговле информацией (например, доступ к

банкам данных), некоторыми видами программного обеспечения, персональной доставкой новостей, то весь цикл купли-продажи мо-жет быть приведен в «сетевом» варианте.

Встал вопрос о создании виртуальных организаций. Виртуальная организация – это доверительная временная коопе-

рация нескольких, как правило, независимых партнеров, обеспечи-вающая повышенный интерес у потребителей благодаря оптимиза-ции системы производства благ. Пространство виртуализации вклю-чает 3 категории явлений:

1) виртуальный рынок, 2) виртуальная реальность, 3) виртуальные организационные сети. Под виртуальным рынком понимают предполагаемые Internet

коммуникационные и информационные услуги коммерческого на-значения. Основными требованиями виртуального рынка являются:

– свободный доступ к рынку и равноправие партнеров, – добровольное участие и подверженность рыночных событий

влиянию участников, – виртуальные повышение прозрачности рынка с одновремен-

ным снижением различий в степени информированности партнеров. Виртуальная реальность – это имитация процессов исследования

и производства, которое одновременно является и средой и инстру-ментом. В качестве инструмента оно позволяет интуитивно выстро-ить сложные структуры, в качестве среды – дает возможность мыс-ленно представить продукт, здания, машины, рабочие места, обору-дование до того как они обретут реальное существование. Внутриор-ганизационные сети охватывают широкую гамму с использованием средств телекоммуникаций, а также работ с применением банков зданий или сетей знаний. Их общим признаком является объедине-ние в единую сеть отдельных сотрудников с помощью современных информационных и коммуникационных технологий. Пионерами в этой части виртуальной организации труда являются компании IBM, Simens, а также крупные консультационные предприятия и банки.

Примером является виртуальное транспортное предприятие. В его состав входят все участники транспортного процесса: перевозчи-ки, экспедиторы, терминалы, подрядчики и т.д. Причем каждый из

155

них сохраняет свою юридическую и финансовую самостоятельность. Каждый участник выполняет определенные функции, тем самым вкладывает свои ресурсы в выполнение общего обслуживания.

Виртуальное транспортное предприятие можно рассматривать как набор модулей, собранных из множества стандартных модулей. Каждый модуль, выполняя свои функции, обеспечивает достижение общей цели логистической системы, высокое качество обслужива-ния, а именно:

– комплексность обслуживания, – высокую гибкость для адаптации к изменениям рыночной

конъюнктуры, –экономичность за счет сокращения расходов, так как транс-

портные операции выполняются специализированными модулями. Условно схема виртуального транспортного предприятия пред-

ставлена на рис. 8.1.

Р и с. 8.1. Схема виртуального транспортного предприятия На основе анализа спроса потребителей на транспортные услуги

и различных предложений от участников транспортного рынка орга-низатор системы доставки определяет, какие участники должны вхо-дить в систему доставки и какие функции должны выполнять. Кон-кретная система доставки грузов формируется как реализация соот-

156

ветствующих спросу предложений на основе предпочтений органи-затора при преследовании конкретной его цели. В качестве цели сис-темы доставки можно принимать такие показатели, как удовлетворе-ние потребности потребителей, максимизация общей прибыли, ми-нимизация общих логистических затрат, повышение надежности системы, снижение экологических воздействий и т. д.

Итак, задачу формирования интегральной системы доставки грузов можно сформулировать как задачу подбора необходимых модулей из множеств существующих на рынке стандартных модулей для удовлетворения определенных требований конкретного потреби-теля в конкретное время и достижения поставленной цели.

157

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Аникин, Б.А. Логистика: тренинг и практикум: учеб. пособ. / Б.А.

Аникин [и др.]. М.: Проспект, 2007. 439 с. 2. Интегрированная логистика накопительно-распределительных

комплексов (склады, транспортные узлы, терминалы): учебник / Под ред. Л.Б. Миротина. М.: Экзамен, 2008. 445 с.

3. Корпоративная логистика. 300 ответов на вопросы профессионалов / Под общей и научной редакцией В.М. Сергеева. М.: ИНФРА-М, 2004. 976 с.

4. Курицкий, Б.Я. Оптимизация вокруг нас / Б.Я. Курицкий. Л.: Ма-шиностроение. Ленингр. отделение, 1989. 144 с.

5. Лукинский, В.С. Логистика автомобильного транспорта: концепция, методы, модели / В.С. Лукинский [и др.]. М.: Финансы и статистика, 2000. 280 с.

6. Маликов, О.Б. Склады и грузовые терминалы / О.Б. Маликов. СПб: Бизнес-пресса, 2005. 560 с.

7. Модели и методы теории логистики: учеб. пособ. 2-е изд. / Под ред. В.С. Лукинского. СПб.: Питер, 2007. 448 с.

8. Радионов, А.Р., Радионов, Р.А. Логистика: нормирование сбытовых запасов и оборотных средств: учеб. пособ. / А.Р. Радионов, Р.А. Радионов. М.: Проспект, 2006. 416 с.

9. Родкина, Т.А. Информационная логистика / Т.А. Родкина. М: Экза-мен, 2001. 286 с.

10. Таха Хэмеди А. Введение в исследование операций. 6-е изд. / Пере-вод с англ. М.: Вильямс, 2001. 912 с.

11. Транспортная логистика: учеб. пособ. / Под общей ред. Л.Б. Миро-шина. М.: Эказмен, 2002. 512 с.

12. Уотерс, Д. Логистика. Управление цепью поставок / Д. Уотерс. М.: ЮНИТИ-ДАИА, 2003. 503 с.

13. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации и принятий решений: учеб. пособ. / И.Г. Черноруцкий. СПб.: Лань, 2001. 384 с.

14. Чудаков, А.Д. Логистика: учебник / А.Д. Чудаков. М.: РДП, 2001. 480 с.

ЛУБЕНЦОВА Вера Степановна Под редакцией Радченко В.П.

Математические модели и методы в логистике

Печатается в авторской редакции Подп. в печать 04.08.08 Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 9,2. Уч. изд. л. 9,12. Тираж 150 экз. Рег. 362. Заказ 504 _______________________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» 443100. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус. Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус 8