öss matematiği Fonksiyonlar

FFOONNKKSSİİYYOONNFFOONNKKSSİİYYOONN

19971997 19981998

1999 1999

( iptal ( iptal ))

19991999 20002000 20012001 20022002 20032003 20042004

22 33 11 11 11 -- -- 11 --

FONKSİYON KONUSU SORU DAĞILIMI

Fonksiyon konusundaki soru tipleri genel olarak şu Fonksiyon konusundaki soru tipleri genel olarak şu şekilde gruplandırılabilir.şekilde gruplandırılabilir.

Fonksiyon tanımı

Fonksiyon Çeşitleri

Cinsinden - Türünden

Grafik

1997-2004 ÖSS’lerinde , fonksiyon 1997-2004 ÖSS’lerinde , fonksiyon konusundan toplam konusundan toplam 9 9 soru soru

sorulmuştursorulmuştur..Bu soruların soru tiplerine göre Bu soruların soru tiplerine göre

dağılımı dağılımı

3 tane fonksiyon3 tane fonksiyon çeşitlerindençeşitlerinden

3 tane grafik 3 tane grafik

3 tane fonksiyon3 tane fonksiyon tanımındantanımından

Fonksiyon konusu oldukça geniş ve kapsamlı bir konudur.Konunun iyi anlaşılabilmesi için soru tiplerini

gruplandırarak çalışmak ve özellikle çözümlü örnekleri tekrar tekrar çözmek

gerekmektedir.Bu sayede fonksiyon konusunun mantığı anlaşılabilecek ve

çıkacak olan soru çözülebilecektir.Konuyu çalışırken önceliği değer – tanım kümesi ilişkisi , ters - bileşke fonksiyon ve grafik sorularına vermek gerekir.Konu kapsamlı olduğu içinde daha fazla zaman ayrılması

iyi olacaktır.

ÖRNEK :1ÖRNEK :1

FABRİKA

A B

FABRİKANIN

FONKSİYONU ÜRETMESİDİR.

İPLİK KUMAŞ

İPLİKTEN KUMAŞ

ÖRNEK :2ÖRNEK :2

TOPRAK

A B

TOPRAĞIN FONKSİYONU..................................................................................DÖNÜŞTÜRMESİDİR.

BİTKİTOHUM

TOHUMU BİTKİYE

TANIM:TANIM: A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun . A’nın her elemanını B’ nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyonfonksiyon denir.

Bu durum f : A B veya A B biçiminde gösterilir.

f

A ve B boş olmayan iki küme olsun.AXB nin her alt kümesine A da B ye bir bağıntı dendiğini biliyorsunuz. Şimdi , A dan B ye tanımlanan bağıntılarından bazılarının aşağıda değineceğimiz şartları doğrulamasını isteyeceğiz ve bu bağıntılara fonksiyon diyeceğiz.

A’ dan B’ ye f fonksiyonu A’ nın bir x elemanını B ’ nin bir y elemanına eşlesin , y ’ye x ’ in f altında görüntüsü denir.

TANIM:TANIM:

Bu durum ;

f : x y , x y , f

y = f ( x ) , ( x , y ) f

İfadelerinden biri ile gösterilir.

A kümesine f fonksiyonun tanım kümesi , B kümesine bu fonksiyonun değer kümesi ve A ’ nın elemanlarının B kümesindeki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.Görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.

f

.0

.1

.2

.0

.1

.3

.6

ÖRNEK : 3ÖRNEK : 3

G F

TANIM KÜMESİ DEĞER KÜMESİ

GÖRÜNTÜKÜMESİ ( f (G) )

ff

f ( 0 ) = 0 f ( 1 ) = 3f ( 2 ) = 6

f fonksiyonunu şu şekillerde

gösterebiliriz.

f = { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 6 ) }

f : 0 → 0

2 → 6f


G Fff.0.1.2.3.5

Yanda şeması verilen f fonksiyonunun :a) Tanım kümesini yazınız.b) Değer kümesini yazınız.c) Görüntü kümesini yazınız.

.0

.1

.2

.3

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM:

Tanım Kümesi , T = { 0 , 1 , 2 ,3 }

Değer Kümesi , D = { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 }

Görüntü Kümesi , f ( G ) = { 1 , 2 , 3 , 5 }

FFONKSİYONUN ÖZELLİKLERİONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ

1-1- Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz,değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.

2-2- Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşlenemez.

Tanım kümesindeki birden fazla eleman değerkümesindeki bir elemanla eşlenebilir.

3-3-

Bu özelliklerin daha iyi aklımızda kalması için şu örneğiverebiliriz

Çocukları ile beraber bir toplantı düzenleyen anneleri düşünelim.Çocuklar tanım kümesi , bu çocukların anneleri de değer kümesi olacak şekilde bunları iki gruba ayıralım.

ÇOCUKLAR ANNELER


Tanım kümesinde bulunan her çocuğun değer

kümesinde bir annesi vardır.Dolayısıyla tanım

kümesinde açıkta eleman kalmamıştır ama çocuğu

olmayan anneler bulunabilir.Yani değer

kümesinde açıkta eleman kalabilir.

ÇOCUKLAR ANNELER


Tanım kümesindeki bir çocuğun değer kümesinde iki tane annesi olmaz .Yani

tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde

ancak bir elemanla eşlenebilir fakat bir annenin birden fazla çocuğu olabilir.

G S.1

.2

.3


ff

.a

.b

.c

f = { ( a , 2 ) , ( b , 1 ) , (c ,3 ) } bağıntısı bir bağıntısı bir fonksiyondurfonksiyondur

G S.1

.2

.3


g = { ( a , 1 ) , ( b , 2 ) , (c ,2 ) } bağıntısı bir bağıntısı bir fonksiyondurfonksiyondur

gg

.a

.b

.c

G S.1

.2

.3


h = { ( a , 2 ) , ( b , 2 ) , (c ,2 ) } bağıntısı bir bağıntısı bir fonksiyondurfonksiyondur

hh

.a

.b

.c

G S.1

.2

.3


k = { k = { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) , (c , 2) , (c , 1) } bağıntısı bağıntısı bir fonksiyon değildir. Çünkü G kümesindeki bir fonksiyon değildir. Çünkü G kümesindeki ''cc'' elemanının eşlendiği iki eleman elemanının eşlendiği iki eleman

vardırvardır..

kk

.a

.b

.c

F B.1

.2


m = { m = { ( a , 2 ) , (c , 1) } bağıntısı bir fonksiyon bağıntısı bir fonksiyon değildir.Çünkü F kümesindeki değildir.Çünkü F kümesindeki ‘‘bb'' elemanının elemanının

eşlendiği eleman yoktur.eşlendiği eleman yoktur.

mm

.a

.b

.c

UYARI:UYARI:Her fonksiyon bir bağıntıdır fakat her bağıntı bir Her fonksiyon bir bağıntıdır fakat her bağıntı bir fonksiyon değildir.Fonksiyon tanımını gerçekleyen özel fonksiyon değildir.Fonksiyon tanımını gerçekleyen özel bağıntılar fonksiyon olur.bağıntılar fonksiyon olur.

Eğer ineğinizin sesi şöyleyse:

balık yemeniz ruh sağlığınız açısından daha iyi olur...

Eğer ineğinizin sesi şöyleyse:

ızgaranızın ateşini yakın...

Bir ineğin delidana hastası olduğunu nasıl anlarsınız?

(Çift tıklayın) (Çift tıklayın)


A = { a , b , c } kümesinden B = { 5 , 6 , 7 , 8 } kümesine tanımlanan aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon belirtir?

a ) β1= { ( a , 5 ) , ( b , 5 ) , (c , 5 ) }

b ) β2= { ( a , 5 ) , ( a , 6 ) , (a , 7 ) , ( b , 5 ) , ( b , 7 ) }

c ) β3= { ( a , 8 ) , ( a , 7 ) , (b , 8 ) , ( b , 5 ) }

d ) β4= { ( a , 5 ) , ( b , 6 ) , ( b , 7 ) , ( c , 8 ) }

e ) β5= { ( c , 5 ) , ( a , 6 ) , (c , 7 ) , ( c , 8 ) }

ÇÖZÜMÇÖZÜMBir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki ( A ’da ki ) her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır. β1 bu şartı sağladığı için fonksiyondur.

ÖRNEK: 11ÖRNEK: 11

s(A) = 2 ve A’dan B’ye 144 fonksiyon tanımlanabildiğine göre s(B)=?

ÇÖZÜM:

A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı n2 dir.

Buna göre m2 = 144

s( A ) =2 s( B )= m olsun

m = 12 = s( B )

UYARI:UYARI:

s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye

tanımlanabilen fonksiyon sayısı dir.tanımlanabilen fonksiyon sayısı dir.mn

ÖRNEK: 12ÖRNEK: 12s( A ) = 2 ve s( B ) = 3 ise A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı kaçtır?

ÇÖZÜM:

A’ dan B’ ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı ;

22.3 - 32 = 26 - 9 = 64 - 9 = 55

UYARI:UYARI:


fonksiyon olmayan bağıntı sayısı ; dir.fonksiyon olmayan bağıntı sayısı ; dir.2n.m - mn


A = { - 2 ,- 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { - 6 ,- 4 , - 3 , 0 ,1 , 3 , 6 } kümeleri için f : A → B , f ( x ) = 3x bağıntısı verilsin:a) f bağıntısını şema ile gösterelim.Fonksiyon olup olamadığını belirtelim.b) f : A →B ye bir fonksiyon ise f(A) kümesini bulunuz.c) f fonksiyonunu ikililer halinde yazınız.

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM:

x = - 2 için f ( - 2 ) = 3.( -2 ) = - 6

x = - 1 için f ( - 1 ) = 3.( -1 ) = - 3

( -2 ' nin görüntüsü -6 dır )

( -1 ' in görüntüsü -3 dür )

x = 0 için f ( 0 ) = 3.( 0 ) = 0 ( 0 ' ın görüntüsü 0 dır )

x = 1 için f ( 1 ) = 3.( 1 ) = 3 ( 1 ' in görüntüsü 3 dür )x = 2 için f ( 2 ) = 3.( 2 ) = 6 ( 2 ' nin görüntüsü 6 dır )

a ) Tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşlendiği için f bağıntısı bir fonksiyondur.

x = - 2 için f ( - 2 ) = 3.( -2 ) = - 6

x = - 1 için f ( - 1 ) = 3.( -1 ) = - 3

( -2 ' nin görüntüsü -6 dır )

( -1 ' in görüntüsü -3 dür )

x = 0 için f ( 0 ) = 3.( 0 ) = 0 ( 0 ' ın görüntüsü 0 dır )

x = 1 için f ( 1 ) = 3.( 1 ) = 3 ( 1 ' in görüntüsü 3 dür )x = 2 için f ( 2 ) = 3.( 2 ) = 6 ( 2 ' nin görüntüsü 6 dır )

-6-4-30136

-2-1012

BA

b ) A kümesinin görüntü kümesi f ( A ) = { – 6 , – 3 , 0 , 3 , 6 }

c ) f = { ( - 2 , - 6 ) , ( - 1 , - 3 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 6 ) }

ÖRNEK : 14f : A → R , f ( x ) = x2 +1 ve A = { -2 ,0 ,1 , 2 , 3 } ise f ( A ) kaç elemanlıdır?

ÇÖZÜM:A = { -2 ,0 ,1 , 2 , 3 } kümesinin elemanlarının görüntülerini bulalım.

x = - 2 için f ( -2 ) = ( -2 )2 +1 = 5

x = 0 için f ( 0 ) = ( 0 )2 + 1 = 1

x = 1 için f ( 1 ) = ( 1 )2 + 1 = 2

x = 2 için f ( 2 ) = ( 2 )2 + 1 = 5

f ( A ) = { 1 , 2 , 5 , 10 } olup s ( f ( A ) ) = 4 tür.

x = 3 için f ( 3 ) = ( 3 )2 + 1 = 10

ÖRNEK :15ÖRNEK :15

f = { ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 6 ,3 ) , ( 8 , 1 ) } bağıntısı bir fonksiyon ise f fonksiyonunun şemasını çizelim , tanım ve görüntü kümelerini yazalım.

ÇÖZÜM:Verilen f fonksiyonunun tanım kümesi A , değer kümesi de B olsun . f fonksiyonunun elemanları olan ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin ( A ) , ikinci bileşenleri de değer kümesinin ( B ) elemanıdır. Buna göre ;

Tanım kümesi : A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

Görüntü kümesi : f( A ) = { 3 , 5 , 1 }

Değer kümesi : B = { 3 , 5 , 1 }

22

44

66

88

11

33

55

A Bf

ÖRNEK : 16ÖRNEK : 16f : R R f ( x ) = 3x – 1 için

a) f ( 2 ) = ?

b) f ( a ) =8 ise a = ?

ÇÖZÜM:

a) f ( 2 ) = 3 ( 2 ) – 1

= 6 – 1

= 5

b) f ( a ) = 3 ( a ) – 1 = 8

3 ( a ) = 8 + 1

3 a = 9

a = 3

ÖRNEK: 17

f ( x +2 ) = 3x2 - 2 f ( 0 ) + f ( 3 ) = ?

ÇÖZÜM:

x +2 = 0 x = - 2

x = - 2 için f ( 0 ) = 3( -2 )2 - 2 f ( 0 ) = 10

x +2 = 3 x = 1

x = 1 için f ( 3 ) = 3( 1 )2 - 2 f ( 3 ) = 1

f ( 0 ) + f ( 3 ) = 10 + 1 = 11


f ( x – 1 ) = 5x2 – 4 olduğuna göre f ( 4 ) = ? 5

ÇÖZÜM : ÇÖZÜM :

5x -1 = 4

5x = 5

5

5=x

5

55=x

5=x

5=x için f ( 4 ) = 5 ( )2 – 4 5

f ( 4 ) = 25 – 4

f ( 4 ) = 21

ÖRNEK: 19

ÇÖZÜM:

f ( x + 3 ) + f ( x – 2 ) = 2x – 1 ise f ( 5 ) – f (– 5 ) = ?

x = 2 için , f ( 5 ) + f ( 0 ) = 3

x = – 3 için , f ( 0 ) + f (– 5 ) = – 7 +–

–+

f ( 5 ) - f ( - 5 ) = 10

ÖRNEK: 20

ÇÖZÜM:

2a+2 – 8 = 4.2a – 8 = 4.( 2a – 2 )

f fonksiyonu ,

4 ( 2a – 2 ) ( 2a – 2 ) eşlediğine göre f ( 4x ) = x dir

edilir. elde 4

x ) x ( f

f ( 2a+2 – 8 ) = 2a - 2 ise f ( x ) fonksiyonunu bulunuz.


x2 + 1 x + 1

x + 1 x2 + 1

f ( ) = + + 1 ise f ( x ) = ? x2 + 1 x + 1


x2 + 1 x + 1

a İse x + 1 x2 + 1

1 a

Buna göre

f ( x ) = + x + 1 dir. 1 x

ÖRNEK: 22

ÇÖZÜM:

f (x) = 4x – 7 fonksiyonu veriliyor. f (2x+3) fonksiyonunun f (x) cinsinden değeri nedir ?

f (2x+3) = 4( 2x + 3 ) - 7

= 8x + 12 - 7

= 8x + 5

f (x) = 4x – 7

f (x) + 7 = 4x

x =f (x) + 7

4 f (x) + 7

4 = 8 ( ) + 5

= 2f( x ) +14 + 5

= 2f( x ) + 19


1+x

x=)x(f


f(x)2

1+f(x)

)x(f2

2+)x(f

)x(f2

1+)x(f2

)x(f

1+)x(f2

)x(f

1)x(f2 -

olduğuna göre f ( x – 1 )’ in f ( x ) türünden

değeri aşağıdakilerden hangisidir ?

1+x

x=)x(f

=x

1x -

O halde x ‘ i f ( x ) ’ e bağlı yazarsam sonuca varılır.

1+1x

1x=)1x(f

-

--

19919922

1+x

x=)x(f x = f ( x ).x + f ( x )

x - x f ( x ) = f ( x )

x ( 1 - f ( x ) ) = f ( x )

)x(f1

)x(f=x

-

Buradan;

x

1x -=)1x(f - =

)x(f1)x(f

1)x(f1

)x(f

-

- -

)x(f

1)x(f2=

-

ÖRNEK : 24

ÇÖZÜM:

x =4 için

x =3 için

=f ( 4 ) 43

. f ( 5 )

f ( 3 ) =33

f ( 4 ).

x =2 için f ( 2 ) =23

f ( 3 ).

=43

. 9=

=

x . 9f ( x ) =3

f ( x +1) ve f ( 5 ) = 16

ise f ( 2 ) kaçtır?

1634

33

. 3=

434

=23

. 3=

412

FONKSİYONUN GRAFİĞİFONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir f fonksiyonunun elemanları olan ikilileri analitik düzlemdegöstererek oluşturulan noktalar kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

ÖRNEK : 25 ÖRNEK : 25 A = {– 2 , – 1 , 1 , 2 } ve B = { 1 , 2 , 5 } kümeleri ileA dan B ye f : x x2 + 1 fonksiyonu verilsin verilsin. f ’ nin grafiğini çiziniz.


A = { – 2 , – 1 , 1 , 2 } tanım kümesinin elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntüleri ;

f ( – 2 ) = ( – 2 )2 + 1 = 5

f ( – 1 ) = ( – 1 )2 + 1 = 2 f ( 1 ) = 12 + 1 = 2f ( 2 ) = 22 + 1 = 5

f = { ( – 2 , 5 ) , ( – 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( 1 , 5 ) } elde edilir.

f fonksiyonunun liste biçiminde yazarsak

Bu noktaları analitik düzlemde gösterirsek aşağıdaki grafik elde edilir.

-1

.. . ..

1 2-2

5

2

. .

..

.

x

y

-1

.. . ..

2-2

5

2

. .

.

.

x

y


f: R R , f ( x ) = 3x + 1 olduğuna göre f ( x ) ‘ in grafiğini çiziniz.ÇÖZÜMÇÖZÜM

f ( 0 ) = 3.0 +1 = 1

f ( 1 ) = 3.1 + 1 = 4

f ( 2 ) = 3.2 + 1 = 7

-1. . ..

1 2-2

1

x

y

-1. . ..

2-2

7

4

.

.

f = {…. ( 0 , 1 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 7 ) ,…. }

Bu noktalar kümesi yandaki grafiği oluşturur.

Tanım kümesinin elemanlarından bazılarının görüntülerine bakalım.

ÖRNEK: 27

x

y

0-2 1 32

5

-1

f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göref ( 1 ) = ?

f ( 0 ) = ?

f ( 2 ) = ?

f (-2 ) = ?

ÇÖZÜMÇÖZÜM:

a) f ( 1 ) = 0 b) f ( 2 ) = -1

c) f ( 0 ) = 5 d) f ( -2 ) = 0

Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır.

ÖRNEK: 28

xA

y

B A ve B kümeleri için yandaki grafiği inceleyelim.

f : A → B tanımlı ise A R ve B R dir.

A : tanım kümesi

B: değer kümesi

[ b , a ] : tanım aralığı

[ c , d ] : görüntü kümesi olur

b ac

d

ÖRNEK: 29

x

y

ÇÖZÜM:

4

-5

30-1

A R olmak üzere f : A → R fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.

a- Tanım aralığı yazınız.

b- Görüntü kümesini yazınız.

a- Grafiğe göre -1< x 3 olduğundan tanım kümesi A = ( -1 , 3 ]

b- Grafiğe göre -5 y 4 olduğundan görüntü kümesi : f ( A ) = [ -5 , 4 ]

ÖRNEK : 30

ÇÖZÜM:

2 3

4

- 3

-2

4

f ( – 3 ) = 0 , f ( 2 ) = 0 , f ( 4 ) = 0

Buna göre f( x + 2 ) = 0 ise

x + 2 = – 3 , x + 2 = 4 x + 2 = 2 ,

Buradan x = – 5 , x = 0 , x = 2 elde edilir ve bunların toplamı – 5 + 2 = - 3

Grafiği verilen f ( x ) fonksiyonu çinf ( x + 2 ) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

UYARI :UYARI :

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için y y eksenine paralel doğrular çizilir.Bu paralel doğrular grafiği bir noktada keserse fonksiyondurfonksiyondur, grafiği birden fazla noktada kesiyor ise fonksiyonfonksiyon değildir.

ÖRNEK:31

x

y

x

y

x

y

.

Aşağıdaki f : x→y ile tanımlı kurallardan hangisi fonksiyon değildir.


AA BB CC

DD EE

FONKSİYON TÜRLERİ :FONKSİYON TÜRLERİ :

1- BİREBİR (1:1) FONKSİYON1- BİREBİR (1:1) FONKSİYON

Tanım kümesindeki her farklı elemanın , görüntüsü de farklı ise bu tip fonksiyona bire bir ( 1:1 ) fonksiyonbire bir ( 1:1 ) fonksiyon denir.

.a

.b

.c

.1

.2

.3

GG FF


a

b

c

.1

.2

.3

GG FF

f fonksiyonu birebirdir

ff

g fonksiyonu birebir değildir.

gg

.4


s(A) = 3 , s( B ) = 5 ise A’ dan B’ ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı nedir ?

ÇÖZÜM:

P( 5 ; 3 ) =5!

( 5 – 3 )!=

5.4.3.2!2!

= 60

s( A ) = 3 , s( B ) = 5 olduğuna göre

A’dan B’ye tanımlanabilecek 1:1 ve örten fonksiyon sayısı

P( m ; n ) = dir. m!

( m – n )!Buna göre ;

Grafiği verilen fonksiyonun 1:1 olduğunu anlamak için x eksenine paralel çizilir. Bu paraleller grafiği en fazla biren fazla bir noktada kesiyor ise f birebirdir.

f , 1:1 fonksiyondur f , 1:1 değildir


UYARI :UYARI :

x

yy

x

2- ÖRTEN FONKSİYON2- ÖRTEN FONKSİYON

Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksiyona örten fonksiyonörten fonksiyon denir..( f (A) = B )( f (A) = B )

f , örten fonksiyondur

BA .a

.b

.c

.1

.2

.3

.d .4

f

BA .a.b

.c

.1

.2

.3

.d .4

g

g , fonksiyonu örten değildir


3- İÇİNE FONKSİYON3- İÇİNE FONKSİYONDeğer kümesi ile görüntü kümesi birbirinden farklı olan fonksiyona içine fonksiyoniçine fonksiyon denir.( f (A) B )

ÖRNEK:37ÖRNEK:37

.1

.2

.3

.4

h

h , fonksiyonu içinedir

.a

.b

.c

.d

.1

.2

.3

.4

k

k , fonksiyonu içine değildir

.a

.b

.c

.d

GG FFGG FF

ÖRNEK:38ÖRNEK:38

s(A) = 3 , ve A’ dan A’ ya tanımlanabilecek bire bir ve örten olmayan fonksiyon sayısı nedir ?

ÇÖZÜM:

33 - 3! = 27 – 6 = 21

s( A ) = 3

A ’ dan A ’ ya tanımlanabilecek 1:1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı ( içine )

mm - m!.

Buradan

dir

f , örtendir

Grafiği verilen bir fonksiyon içine ya da örten olduğunu anlamak için xx eksenine parelel doğrular çizilir.Bu parelel doğrular grafiği daimadaima keserse örtenörten, grafiği kesmeyen paraleller varsa f f içinedir içinedir .

f :RR y

x

Grafiği kesmiyor

f , içinedir

f :RRy

x

UYARI :UYARI :


ÖRNEK: 40

BİREBİR ÖRTEN FONKSİYONBİREBİR ÖRTEN FONKSİYON

f : A B fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise bire bir örten fonksiyon denir.

BA .1.1

.2.2

.3.3

.a.a

.b.b

.c.c

f f : A → B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri

de farklı ve f ( A ) = Bf ( A ) = B olduğundan f fonksiyonu

bire bir örten fonksiyondur.

UYARI :UYARI :

f : A f : A B fonksiyonunun bire bir örten olabilmesi için B fonksiyonunun bire bir örten olabilmesi için s(A) = s(B) olmalıdır.s(A) = s(B) olmalıdır.

UYARI:UYARI:

s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen bire bir ve örten fonksiyon sayısı tanımlanabilen bire bir ve örten fonksiyon sayısı dir.dir.

n n !!

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1:1 ve örtendir?

a b c

e

o

ÖRNEK : 41

d

ÖRNEK: 42

BİREBİR İÇİNE FONKSİYONBİREBİR İÇİNE FONKSİYON

f : A B fonksiyonu hem bire bir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir içine fonksiyon denir.

g : A B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve

g ( A ) B

olduğundan f fonksiyonu bire bir içine

fonksiyondur.

BA.a.a

.b.b

.c.c

.1.1

.6.6

.3.3

g

.4.4

.5.5

g ( A )

DC.k

.f

.r

.1

.2

g

.3.n

BA .a

.b

.c.3

.1

f

.2

.d

Aşağıdaki şemalarla belirtilmiş fonksiyonların hangi türleri tanımladığını söyleyiniz.

ÖRNEK : 43

a)

İçine fonksiyon

b)

Örten fonksiyon

HF .k

.l

.m

.0

.1

g

.2

f

FE .p.p

.r.r

.s.s

.1.1.2.2.3.3

NM .a.b.c

.1

.2

h

.3.d.e.f

c)

Bire bir içine fonksiyond)

Bire bir örten fonksiyon

e)Örten fonksiyon

.4.4

5- BİRİM FONKSİYON5- BİRİM FONKSİYON

Tanım kümesinin her elemanını kendisi ile eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

BBAA .1.2

.3

.1

.2

.3

.4 .4

f

y

x

f : R → R , f( x ) = x fonksiyonun grafiği

ÖRNEK: 44ÖRNEK: 44 ÖRNEK: 45ÖRNEK: 45

4- SABİT FONKSİYON4- SABİT FONKSİYON

Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen f fonksiyona sabit fonksiyon denir.

FG .a.b

.c

.1

.2

.3

.d .4

f f :RR , f( x ) = 4 fonksiyonunun grafiği

y

x

4

ÖRNEK :46ÖRNEK :46 ÖRNEK: 47ÖRNEK: 47

UYARI:UYARI:


tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı dir.dir.mm

f : A B ye y = f ( x ) fonksiyonunda , 0 B ve

x A için f ( x ) = 0 ise fonksiyona , sıfır fonksiyonu denir.

SIFIR FONKSİYONUSIFIR FONKSİYONU

Sıfır fonksiyonu sabit fonksiyondur.

f : R R , f ( x ) = 0 ise f fonksiyonu , denklemi y = 0 olan doğrudur.


Bu doğru x eksenidir x

y

İKİ HANELİ 50 YE TAKIN SAYILARIN KARESİNİ

10 SANİYE İÇİNDE ALABİLECEK BİR YÖNTEM

ÖRNEK : 49

464622 = ? = ?

ÇÖZÜM:

( 50 – 46 )2 = 42 = 16

46 – 25 = 21

21 . 100 = 2100

2100 + 16 = 2116


f ( x ) = ( m – 3 )x – 3 ile tanımlı f fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için m kaç olmalıdır?

ÇÖZÜMÇÖZÜM

f ( x ) fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için f x ) = c ( c sabit )

O halde m - 3 = 0 m = 3 için f fonksiyonu sabit fonksiyon olur.

Yani;f ( x ) = ( 3 - 3)x – 3 = -3


f :N N , x f ( x ) = ( m – 2 )x + 1 - n fonksiyonunun özdeşlik( birim ) fonksiyonu olduğuna göre m + n = ?

ÇÖZÜMÇÖZÜM

f( x ) fonksiyonunun birim fonksiyon olması için f( x ) = x olmalıdır.

m - 2 = 1 1 – n = 0

vem = 3 n = 1

olmalıdır. Buna göre m + n = 3 + 1 = 4 elde edilir.

Buna göre ;

ÇÖZÜM:

EŞİT FONKSİYONLAREŞİT FONKSİYONLARf : A B ve g : A B iki fonksiyon olsun. x A için f (x) = g (x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir.

ÖRNEK: 52

A = { 0,3 } dan B = { 2, 83 } ye tanımlı f(x) = 3x3+ 2 ve g(x) = 9x2 + 2 fonksiyonlarının eşit olup olmadığını gösterelim.

f (0) = 3.03 + 2 = 2

g (0) = 9.02 + 2 = 2 f (0) = g (0) f (3) = g

(3)

olduğu için

f = g dir.

f (3) = 3.33 + 2 = 83

g (3) = 9.32 + 2 = 83

ÖRNEK : 53

DENK KÜMELERDENK KÜMELERBoş olmayan A ve B kümeleri verilsin , f : A B bire bir ve örten bir fonksiyon ise A kümesi ile B kümesi , denk kümelerdir denir ve A B ile gösterilir.

BA.1.2

.3

.a

.b

f

.c

A= {1 , 2 , 3 } kümesi ile B = { a , b , c } kümesinin denk kümeler olduğunu gösterelim.

f ( 1 ) = a , f ( 2 ) = b , f ( 3 ) = c olacak biçimde , f : A B bire bir ver örten fonksiyonu tanımlanabilir.O halde A kümesi ile B kümesi birbirine denk kümelerdir ( A B ) ve s (A ) = s ( B )s (A ) = s ( B )

ÇÖZÜM:

11 ve 7 dakikalık

zaman diliminiölçen iki kum

saatinikullanarak 15

dakikayınasıl ölçeriz.

TERS FONKSİYON

X DOSYASI

f

f-1

UYARIUYARI::Ters fonksiyonun , bir f fonksiyonunyaptığı işin tersini yaptığınıunutmayalım.

ÖRNEK: 54

A dan B ye tanımlı bir f bağıntısının tersinin f -1 = { (y , x) l ( x , y ) f } biçiminde yazıldığını biliyoruz.


a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

3

AA BB AABBf f-1

f = { ( a ,1 ),( b , 2 ),( c , 2 ) }bağıntısı içine fonksiyondur.

f-1 = { ( 1 ,a),( 2 , b ),( 2 , c) }bağıntısı fonksiyon değildir.fonksiyon değildir.

Her fonksiyon bir bağıntı olduğundan , fonksiyonların tersinden söz edebiliriz. Bir fonksiyonun tersi , genel olarak bir bağıntıdır.AncakAncak bazı fonksiyonların tersleri fonksiyon olabilir.


x

y

z

1

2

3

x

y

z

1

2

3

AA BB AABBf f-1

f = { ( x ,1 ),( y , 2 ),( z , 3 ) }bağıntısı 1:1 ve öreten

fonksiyondur.

f-1 = { ( 1 , x ),( 2 , y ),( 3 , z ) }bağıntısı fonksiyondur. fonksiyondur.

Bu örneklerden kolayca görülebileceği gibi Bu örneklerden kolayca görülebileceği gibi bire bir (1:1) ve örten bire bir (1:1) ve örten

fonksiyonların tersi vardır.fonksiyonların tersi vardır.

TANIM:TANIM:

f :A → B ye f : x → y = f( x ) fonksiyonu birebir ve

örten fonksiyon olmak üzere , f -1 : y → x = f -1( y ) fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir.

x y

AA BBf

ff-1-1

f :Af :A→→B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x)=y B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x)=y f f-1-1(y)=x dır. (y)=x dır.

UYARI:UYARI:

1-1-

2-2- ( f ( f -1 -1 ))-1 -1 = f= f

f ile ff ile f-1 -1 fonksiyonlarının grafikleri y=x doğrusuna fonksiyonlarının grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.göre simetriktir.

xx

yy

3-3-

f(x)f(x)

ff-1-1(x)(x)

x - 3 2x + 5

f ( x ) = ve f-1 ( a ) = 2 ise a = ?

ÖRNEK: 57

ÇÖZÜM:

2 a

f

f-1

f-1 ( a ) = 2 f ( 2 ) = a dır.

O halde f ( 2 ) = a = 2 - 32.2 +

5

= -19

BAZI FONKSİYONLARIN TERSLERİNİN PRATİK BAZI FONKSİYONLARIN TERSLERİNİN PRATİK OLARAK BULUNUŞUOLARAK BULUNUŞU

,1- f(x) = a x ise f-1 =

xa

( a 0 )

2- f(x) = x + a ise f-1 = x – a

3- f(x) = ax + b ise f-1 =x – b

a, ( a 0 )

f( x ) =ax + bcx + d

ise f-1( x ) =– dx + b

dx – a

4- R – { - d / c } R – {– a / c }

5- Genel olarak yukarıda ki kurallara uymayan fonksiyonların terslerini bulmak için yy yerine xx , xx yerine yy yazılarak yy değeri yalnız bırakılır.

y =

a )

f -1( x ) =b )

c )

2x -3 x + 32


y = f -1( x ) =2x x2

y = f -1( x ) = 3x + 5 x - 53

Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz.

d )

e )

f )

2-3x

5-xf ( x ) =

g )

f -1( x ) =- 5x + 2

-x + 3

-x-5

3x+2 = f -1( x ) =

-2x - 5

3x + 1f ( x )

x

3-xf ( x ) = f -1( x ) =

-3x

-x+1

3x-1

2f ( x ) = f -1( x ) =

-2x-1

-3

ÖRNEK: 59

f :R R f ( x ) =2x - 4 ise f-1( x ) = ?

ÇÖZÜM:

y = f ( x ) =2x - 4 ifadesinde x ile y’ nin yerlerini değiştirelimve y yi çekelim.

y = 2x – 4

x = 2y – 4 y = x + 42

= f-1 ( x )


f :R R f ( x ) =x7 – 48 ise f-1( x ) = ?

ÇÖZÜM:

y = f ( x ) = x7 – 48 ifadesinde x ile y ' nin yerlerini değiştirelim ve y ' yi çekelim.

y = x7 – 48

x = y7 – 48 x + 48 = y7

f-1( x) 7 48xy = =

7 7y7 48x =


f: [ 2 , ) R , f ( x ) = x2 - 4x + 7 olduğuna göre f -1 ( x ) =?

ÇÖZÜMÇÖZÜM

f ( x ) = y = x2 - 4x + 7

x = y2 – 4y + 7 ; x ile y yer değişti

x = y2 – 4y + 4 – 4 + 7 ; 4 eklenip 4 çıkarıldı

x = ( y – 2 )2 + 3

x - 3 = ( y – 2 )2 2)2+y(=3+x

2+y=3+x (x)fy23x 1

ÖRNEK :

f :R R , f ( x ) = f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a ne olmalıdır?

ax +1x - 4

ÇÖZÜM:ax +1x - 4

f ( x ) = ise f -1 ( x ) =4x +1x - a

dir.

f ( x ) = f -1 ( x ) olması için

a = 4 olmalıdır.

ax +1x - 4

4x + 1x - a

=

-3

-3-5

4

0

5

54 7 b) f( f (4) ) = ?

f( x )

-5

a ) f - 1 ( f –1 ( 4) ) = ?x

yÖRNEK: 62ÖRNEK: 62

Yandaki grafiğe göre ;

ÇÖZÜM:

a ) f - 1 ( f -1 ( 4) ) = f - 1 ( - 5 ) = 7

b ) f ( f ( 4) ) = f ( 5 ) = 0

ÖRNEK : 63

ÇÖZÜM:

f : R R fonksiyonunun grafiği veriliyor.

kaçtır ?f ( 2 ) + f-1 ( 2 )

f ( -1 ) + f-1 ( 3 )-1

1

2

y

x

f (x)

2

3

-1

1

2

y

x

f (x)

2

3

Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır.

f ( 2 ) + f-1 ( 2 )

f ( -1 ) + f-1 ( 3 )

3 + 0

1 + 2= = 1

ÖRNEK: 64

f ( 3x – 2 ) = x2 + 1 ise f ( x ) = ?

ÇÖZÜM:

3x – 2 ’ in tersini eşitliğin sağında x yerine yazılırsa

f ( x ) = 12)3

2x(

1)9

44xx(

2

9

944xx2

9

134xx2

=

=

= elde edilir.

ÖRNEK: 65

ÇÖZÜM:

19919922

f ( 2x +1 ) = olduğuna göre f (x) = ?f (x) = ?x2+3 5

f ( x ) =

g-1 ( x ) =x – 1

2

2x + 1 fonksiyonunun tersi alınıp eşitliğin sağında ve solunda x yerine yazılırsa f( x ) fonksiyonu elde edilir.

g ( x ) = 2x + 1 dersek

5

34

12xx2

5

32)2

1x(

54

132xx2

-

20

13+2xx=

2

f

gof

g

A CB

ÖRNEK : 66

UYARI:UYARI: Biz burada , hurda demirin tek fabrikada otomobile dönüşmesine ................................ diyeceğiz.bileşke fonksiyon

BİLEŞKE FONKSİYONBİLEŞKE FONKSİYON

ÖRNEK : 67

A = {– 2 , 0 , 2 , 4 } , B = { 0 , 4 , 16 } , C = { 1 , 3 , 9 } kümeleri ile

x2

f : A B , f (x ) = x2 , g ( x ) = + 1 fonksiyonlarını şema ile gösterelim.

ÇÖZÜM:

f (– 2 ) = ( – 2 )2 = 4

f ( 0 ) = 02 = 0

f ( 2 ) = 22 = 4

f ( 4 ) = 42 = 16

g ( 0 ) = ( 0 / 2 ) + 1 = 1

g ( 4 ) = ( 4 / 2 ) + 1 = 3

g ( 16 ) = ( 16 / 2 ) + 1 = 9

f ( x ) = x2 1

2

x ) x ( g

.0.0

.4.4

.16.16

.1.1

.3.3

.9.9

.-2.-2

. 0. 0

. 4. 4

. 2. 2

A B Cf g

f ve g fonksiyonları yardımı ile

A kümesinin elemanları C’ nin

elemanları ile eşlenmiştir.

.-2.-2

. 0. 0

. 4. 4

. 2. 2

A.1.1

.3.3

.9.9

Cgof

gof fonksiyonu A’ nın her elemanını C’

nin bir z elemanı ile

eşlemektedir.

f( f (4) ) = ?

TANIM:TANIM:

f : A B ye ve g : B C ye fonksiyonları verilsin.

f( x ) = y , g ( y ) = z olsun. g o f : C , ( g o f ) ( x ) = z olan fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve " g o f " yazılışı" g bileşke f " diye okunur.

xx y=f(x) y=f(x) z=g(y) z=g(y) AA BB CC

( g o f )( x ) = g ( f (x ) ) =g( y ) = z

f g

gof

UYARI:UYARI:

Bileşke fonksiyonda uygulamanın sağdan sola doğru Bileşke fonksiyonda uygulamanın sağdan sola doğru olduğuna dikkat ediniz. olduğuna dikkat ediniz.

ÖRNEK : 68f ve g , R den R ‘ ye tanımlıdır. f ( x ) = 4x – 5 ve g ( x ) = x2 +1 olduğuna göre ( f o g )( x ) ve ( g o f ) ( x ) fonksiyonlarını bulunuz. ÇÖZÜM:ÇÖZÜM:

f ( x ) = 4x – 5 , g ( x ) = x2 +1 olduğuna göre ,

( f o g ) ( x ) = f( g( x ) ) = f (x2 + 1) = 4( x2 + 1 ) – 5 = 4x2 – 1

( g o f ) ( x ) = g( f( x ) ) = g( 4x – 5 ) = ( 4x – 5 )2 + 1

= 16x2 - 40 x + 26

ÖRNEK :69

f ( x ) = x +3 , g ( x ) =x2 - 2 ( f o g )( -1 ) = ?

ÇÖZÜM:

( f o g )( -1 ) = f ( g ( –1 ) ) ;

= f ( -1 ) { g ( -1 ) = ( -1 )2 - 2 = -1

= -1 + 3

= 2

BİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİBİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

f o g g o f

2- ( f o g ) o h = f o ( g o h )

3- f o f-1 = f-1 o f = ( x ) 4- f o = o f = f

5- (f o g )-1 = g-1 o f-1

6- f o g = g o f = ( x ) ise f = g-1 veya f-1 = g

7- a) f o g = h ise g = f-1 o h

b) g o f = h ise f = g-1 o h

; Değişme özelliği yoktur.

; Birleşme özelliği vardır.

1-

; Birim fonksiyon

ÖRNEK : 70

[ ( f o g )-1 o f ] ( x ) = 4x – 7 ise g ( 5 ) = ?

ÇÖZÜM:

[ ( f o g ) -1 o f ] = g -1 o f -1 o f

= g -1 o ( f -1 o f )

;;Bileşke fonksiyon özelliği

;;Bileşme özelliği

= g -1 o ( x )

= g -1

;;Bilerim eleman tanımı

[ ( f o g ) -1 o f ]-1= ( g -1 ) -1 =x + 7

4g ( x ) =

g ( 5 )g ( 5 ) =5 + 7

4= 33



1. YOL 1. YOL

( f o g )( x ) f ( g ( x ) ) = 6x + 1 = 6x +1

2 g ( x )g ( x ) + 5 = 6x + 1

2 g ( x )g ( x ) = 6x - 4

g ( x )g ( x ) = 3x - 2

IR den IR ye f ve g fonksiyonları veriliyor.f ( x ) = 2x + 5 , ( f o g )= 6x +1 olduğuna göre g(x ) =? g(x ) =?


2. YOL 2. YOL

( f o g ) f -1 oo[ ] ( x ) = [ ( f -1 o f ) o g ] ( x )

( o g ) ( x ) =

= ( g ) ( x ) [ ] ( x ) ( f o g ) f -11 o

=x - 5

2[ ] ( x ) ( f o g ) f -11 o o( ) ( )6x + 1

=6x + 16x + 1 - 5

26x - 46x - 4

2= = 3x - 23x - 2

ÖRNEK: 72

f ( x ) = 2x +3 , ( f o g )( x ) =2x – 5 ise g( x ) = ?

ÇÖZÜM:

( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 g( x ) + 3 = 2x - 5

2 g( x ) = 2x – 5 – 3

2 g( x ) = 2x – 8

g( x ) = x – 4

2 g( x ) = 2 ( x – 4 )

ÖRNEK : 73

g ( x ) = -x +3 , ( f o g )( x ) = - 2x -1 ise f -1( 3 ) = ?

ÇÖZÜM:

( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( -x + 3 ) = - 2x -1

f ( x ) = - 2 ( - x + 3 ) – 1

Tersini

= 2 x - 6 – 1

= 2 x - 7

f ( x ) = 2 x - 7 f-1( x ) = x + 7

2, f-1( 3 ) = 3 + 7

2= 5

ÖRNEK : 74

f (x) =3x + 5 ve g (x) = 3x -4 ise ( f-1og )-1 ( 2 ) =?

ÇÖZÜM:

( f-1og )-1 ( 2 ) = ( g-1 o ( f-1 )-1 ) ( 2 )

= ( g-1 o f ) ( 2 )

= g-1( f ( 2 ) ) ; f ( 2 ) = 3( 2 ) + 5 =11

= g-1( 11 ) ; g-1( x ) = x + 43

= 5

ÖRNEK : 75

g ( x ) = x2 – 1 ve f ( x ) = 3x - 7 ise ( g o f-1 )-1 ( x ) =?

ÇÖZÜM:

( gof-1 )-1 ( x ) = [ ( f-1 )-1 o g-1 ] (x ) ; Bileşke fonksiyon özelliği

= ( f o g-1 )(x )

= f ( g-1 ( x ) ) ; g-1( x ) = 1x

= f ( )1x

= 3 - 7 1x

ÖRNEK:76

ÇÖZÜM:

f (x) = 4x ise (fofo ...........of) (x) = ?

10 tane

( f o f ) ( x ) = 4.( 4x ) = 42 . x

( f o f o f ) ( x ) = 4.( 42. x ) = 43 . x

( f o f o f o f ) ( x ) = 4.( 43. x ) = 44 . x........................................ ( f o f o f o f o.....o f) ( x ) = 4.( 49. x ) = 4410 10 . x. x

10 tane

ÖRNEK:77

ÇÖZÜM:

f (x) =

-x+1 , x < 2

-5x+7 , x 2

olduğuna göre ( f o f o f ) ( 2 ) = ?( f o f o f ) ( 2 ) = ?

( f o f o f ) ( 2 ) = f ( f ( f ( 2 )f ( 2 ) ) )

= f (( f ( -3 ) f ( -3 ) )

; f ( 2 ) = -5.2 +7 = -10 + 7 = -3

= f ( 4 )

; f (-3 ) = - ( -3 ) +1 = 3 +1 = 4

; f ( 4 ) = - 5.4 +7 = -20 +7

= -13 = -13= -13

ÖRNEK: 78ÖRNEK: 78f ( x ) = ax + b , g ( x ) = 3x - 1 fonksiyonları veriliyor. ( f o g ) =( g o f ) ( x ) olması için a ve b arasındaki bağıntıne olmalıdır.


( f o g ) =( g o f ) ( x ) =

x olması halinde eşitlik sağlanır.

O halde f o f-1 = ( x ) = x olduğundan

g-1( x ) = f ( x ) olmalıdır.

Buradan

f ( x ) =x + 1

3= ax + b a = b =

31

PERMÜTASYON FONKSİYON

Tanım:A A tanımlanan birebir ve örten her fonksiyona permütasyon fonksiyon denir. s(A) = n ise n! kadar permütasyon fonksiyon vardır.


A={1,2 ,3 ,4 } , f : A A f = {(1,3) , ( 2 ,1) , ( 3,4 ) ,(4,2)} fonksiyonu permütasyon fonksiyondur ve

f = 12343142

şeklinde gösterilir.Tanım KümesiTanım Kümesi

Değer KümesiDeğer Kümesi

A ={1,2,3,4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları

f =1 2 3 43 4 2 1

g 1 2 3 44 3 1 2

ise =

ÖRNEK : 80

a ) f ( 2 ) = ? g ( 3 ) = ?

c ) f fonksiyonunun tersini yazınız.

d ) g fonksiyonunun tersini yazınız.

ÇÖZÜM:

a )

f ( 2 ) = 4

b )

f 1 2 3 43 4 2 1

=

f fonksiyonunda 2 , 4 ile eşlendiğinden

f =1 2 3 43 4 2 1

g 1 2 3 44 3 1 2

=

g( 3 ) = 1g fonksiyonunda 3 , 1 ile eşlendiğinden

g =1 2 3 44 3 1 2

1 2 3 4

b )

c ) f-1 =1 234

1 2 3 4d ) g-1 =

2 143

ÇÖZÜM:

A ={a, b , c , d } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları

f =a b c dc a b d

g a b c dd c a b

ise ( f o g ) = ?=

a b c dc a b d

( f o g ) = o a b c dd c a b

=a b c d

ÖRNEK : 81

d b a;

cb ad

c a c

b c b

a d d

ÇÖZÜM:

og-1

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları

f =1 2 3 42 1 4 3

g1 2 3 43 1 2 4= ise ( f -1 o g ) -1 = ?ve

( f-1 o g )-1 = = g-1 o f ( f -1 )-1


1 2 3 42 3 1 4

1 2 3 42 1 4 3o

1 2 3 43 2 4 1

=

=

ÇİFT FONKSİYON VE TEK FONKSİYON : ÇİFT FONKSİYON VE TEK FONKSİYON :

f : R R fonksiyonunda

1- x R için f ( - x ) = f ( x ) ise f ye çift fonksiyon denir.

2- x R için f ( - x ) = - f ( x ) ise f ye tek fonksiyon denir.

UYARI:UYARI:

Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre tek fonksiyonların grafikleri ise orijine göre simetriktir.

ÖRNEK : 83f( x ) = x2 + 3 , g( x ) = x3 + x , h( x ) = x3 + x2

fonksiyonlarının tek veya çift olup olmadığını araştıralım.

ÇÖZÜM:

f( -x ) = (-x)2 + 3

= x2 + 3

olduğu için f çift fonksiyondur. = f( x )

g( -x ) = ( -x )3 + ( -x )

= -x3 - ( x )

= - g(x)

= - (x3+ x)

olduğu için g tek fonksiyondur

h( -x ) = (- x )3 + ( -x )2

= -x3 + x2

h( – x ) , h( x )’ e ya da – h( x )’ e eşit olmadığından dolayı , h ne çift ne de tek fonksiyondur.

FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLERFONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER

f : A R , g : B R fonksiyonları için A ∩ B olsun.

1) f + g : A ∩ B R

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

2) f – g : A ∩ B R

( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x )

3) f . g : A ∩ B R

( f . g ) ( x ) = f ( x ) . g( x )

4) x ( A ∩ B ) için g(x) ≠ 0 olmak üzere,

g

f

( ) ( x ) =) x ( g

) x ( f

5) c R olmak üzere

c . f : A R

( c . f ) ( x ) = c . f ( x )

g

f

: A ∩ B R

ÖRNEK: 84ÖRNEK: 84f : { 1 , 3 } R , f ( x ) = x2 +2

g : { – 2 , 1 } R , g ( x ) = 2x – 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre 2f + g ) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : ÇÖZÜM :

2f + g fonksiyonu { 1, 3 } ∩ { – 2 , 1} = { 1 } kümesinden R’ ye tanımlıdır. Buna göre ;

( 2f + g ) ( 1 ) = 2 f (1 ) + g ( 1 )

= 2 (12 +2 ) + (2.1 – 1 )

= 6 + 1

= 7


g ( x ) = – x + 4 , f ( x ) = x2 + 3 , h ( x ) = x3 – 1

olduğuna göre

?=)1)(hg(

)2)(g+fh(

-

--


=)1)(hg(

)2)(g+fh(

-

-- h ( – 2 ) – f (– 2 ) + g (– 2 )

h ( – 1 ) . g (– 1 ) =

(– 2 ) . 5

– 9 – 7 + 6

=– 10

– 10 = 1


f = { ( 1 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 6 ) }

g = { ( 2 , 8 ) , ( 3 , 7 ) , ( 4 , 9 ) ,( 5 , 1 ) } fonksiyonları veriliyor.Buna göre ;a )a ) 2f b )b ) f + g neye eşittir.

ÇÖZÜM :

a ) a ) 2f = { ( 1 , 2.4 ) , ( 2 , 2.5 ) , ( 3 ,2.6 ) }

= { ( 1 , 8 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 12 ) }

b ) b ) f + g = { ( 2 , 5+8 ) , ( 3 ,6+7 ) }

= { ( 2 , 13 ) , ( 3 , 13 ) }

1 , 4 , 5 tanım kümelerinde

ortak eleman olmadığından onlar için dört

işlem tanımlı değildir.

BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİBİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ

1 –1 – f ( x ) = anxn + an-1xn-1 +.....................+ a2x2 + a1x1 + a0x0 nN , an , an-1 , ...... a2 , a1 , a0 R biçimindeki

fonksiyonlara polinom fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonların en geniş tanım kümesi ( aralığı ) Reel sayılardır ( lR )

ÖRNEK: 87

f ( x ) = x4 + 7x3 - 8x2 + 3 polinom fonksiyonunun en geniş tanım kümesi reel sayılar ( R ) dır

2–2– f ( x ) ve g ( x ) polinom fonksiyonu olmak üzere h( x )= f ( x ) / g ( x ) biçiminde ki ifadelere rasyonel ifadeler denir ve g ( x) = 0 yapan x değerleri varsa h ( x ) ’ in bir fonksiyon olması için bu değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

ÖRNEK: 88

g ( x ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

=x2 + 4x – 2

ÇÖZÜM:

g ( x )’ in paydasını sıfır yapan değer

x – 2 = 0 x = 2 dir.

O halde tanım aralığı lR – { 2 }lR – { 2 } dir.

ÖRNEK: 89 3

x - 5 f : A B tanımlanan f ( x ) fonksiyonunun tanım ve değer kümesini bulunuz.

=

ÇÖZÜM:

f ( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , paydayı sıfır yapanxx değerlerinin kümesinin reel sayılar kümesinden çıkarılmış halidir.

x-5 = 0 x = 5

olup f ( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , IR – { 5 }

f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , f ( x ) fonksiyonunu tersinin tanım kümesidir.

f ( x )’ in tersi f -1( x ) dir.

=5x + 3

x

x = 0 Yani , IR – { 0 }

O halde f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , IR – { 0 }IR – { 0 }

Bu f -1( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , paydayı sıfır yapanx değerlerinin kümesinin reel sayılardan çıkarılmış halidir.

3 x - 5

f : A B tanımlanan f ( x ) fonksiyonunun tanım ve değer kümesini bulunuz.

=

3 –3 – f ( x) = ( n Z+ ve n > 1 ) biçimindeki ifadelere köklü fonksiyonlar denir.

n )x(g

a-a- n tek ise f ( x ) in en geniş tanım aralığı RR dir.


f ( x ) = fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

9 23 2+x3+x


Kök indeksi 9 ( Tek ) olduğundan f ( x ) in en geniş tanımaralığı R dir.

b-b- n çift ve g(x) < 0 ise f(x) , R de tanımlı olamaz o halde f(x) ’ in R ’ de tanımlı olabilmesi için g(x) 0 olmalıdır.


g ( x ) = fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

12+9+x4


x +9 0 ve x - 9 Çünkü kök derecesi 4 Çift sayıdır.En geniş tanım aralığı [ - 9 , ) dur.

ALIŞTIRMA : 1ALIŞTIRMA : 1

f : N N , f (x) = x – 10g : Z Z , g (x) = (x+1) / 2 h : R R , h (x) = x2 bağıntılarının hangileri fonksiyondur?

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM:

f fonksiyon değildir.Çünkü 2N olmasına rağmen

f ( 2 ) = 2 – 10 = – 8 N dir.( yani 2 nin görüntüsü yoktur.)

g fonksiyon değildir.Çünkü tanım kümesindeki çift sayıların görüntüleri değer kümesinde yoktur. g ( 10 ) =(10+1) / 2 = ( 11 / 2 ) Z dir.

h : R R bir fonksiyondur . Çünkü her bir reel sayıya karşı bir reel sayı karşılık gelmektedir.

{ 1 , 2 , 3 } kümesinden { 10 , 11 , 12 , }kümesine aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanıyor.Bu fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu vardır?

a) { ( 1 , 11 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 12 ) }

b) { ( 1 , 12 ) , ( 2 , 11 ) , ( 3 , 11 ) }

c) { ( 1 , 10 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 10 ) }

d) { ( 1 , 10 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 11 ) }

e) { ( 1 , 12 ) , ( 2 , 11 ) , ( 3 , 12 ) }

ÇÖZÜMÇÖZÜM:Bire bir ve örten fonksiyonların tersi olacağından , doğru cevap AA şıkkıdır.


19919988

Bir fonksiyonu , " Her bir pozitif tam sayı kendi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüyor.“şeklinde tanımlanmıştır.Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir?

A)A) f ( x ) =x2 + x x - 1

B)B) f ( x ) = x

x2 - 1

C)C) f ( x ) = x

x2 + 1D)D) f ( x ) =

x2 - 1 x

E)E) f ( x ) =x2 + 1 x


f : R → R , f ( x ) = ( 4n - 2 )x + 2n + 3 fonksiyonu sabit fonksiyondur.Buna göre f ‘ nin kuralını bularak grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM:

f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre

4n – 2 = 0

4

f(x)=44n = 2 n = 1 2

Buna göre ;

f ( x ) = 4


3) 2

1 ( 2)x 2 )

2

1 4.( ( ) x f(

( x ) birim fonksiyon olmak üzere

3x – 1 5

f ( x ) = , ( g o f ) ( x ) = ( x ) dir.

2 Buna göre g( ) = ?5

ÇÖZÜM:

( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( ) 3x – 1 5

= x

g ( x ) = – 5x – 1 – 3

3x + 1 5

=

25

=g ( ) 3.2 + 1 5

=

; ( x ) = x


5

7

ÇÖZÜM:

19919999

f (x) =x2 –x+1 olduğuna göre , f (1 – x ) – f ( x ) = ?

= ( x – 1 )2 + x f (x) = x2 –x+1

f ( 1 - x ) = ( 1 – x – 1 )2 + 1 – x

( – x )2 + 1 – x

x2 + 1 – x

f ( 1 – x ) – f ( x ) = x2 + 1 – x – ( x2 –x + 1 )

x2 + 1 – x – x2 + x – 1

0

=

=

==


ÇÖZÜM:

19919988

f(x) = x3 – 3x2 + 3x -1 olduğuna göre f (x+1) değeri nedir ?

f ( x ) = x3 – 3x2 + 3x -1 ( x - 1 )3

f ( x ) = ( x - 1 )3

f ( x + 1) =

( x + 1x + 1 - 1 )3

f ( x + 1) =

xx3

=


ÇÖZÜM:

19919977

f : lR– { –1 } lR – { 3 } , olduğuna göre

f (x) = ?

x =f ( x ) + 2

3 – f ( x )

3x – x f ( x ) = f ( x ) + 2

x.( 3 – f ( x ) ) = f ( x ) + 2

3x – 2 = f ( x ) + x f ( x )

3x – 2 = f ( x )( 1 + x )

x =f ( x ) + 2 3 - f ( x )

f ( x ) = 3x – 2

x + 1f -1( x )=

x – 3 – x – 2


f ( 2x +3 ) = 3x + 2 , olduğuna göre f ( 0 ) = ?

ÇÖZÜM:

19819877

2x + 3 = 0

2x = – 3

=x – 32

=x – 32

için f ( x ) =

=– 9 2

+ 2

=– 5 2


22

33

f :R R f ( x ) = 2x + 1 – f ( x +1 ) ve f ( 4 )= 2 olduğuna göre f ( 2 )’ nin değeri nedir ?

19919977

ÇÖZÜM:

x =2 için f ( 2 ) = 4 +1 – f ( 3 )

x =3 için f ( 3 ) = 6 +1 – f ( 4 ) = 6 + 1 – 2 = 5 f ( 3 ) = 5

= 4 +1 – 5 = 0 f ( 2 ) = 0


ÇÖZÜM:

20020000f(x)

g (x) = x3 ve f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre

( f o g-1 o f ) ( 0 ) =?0 2 4

8

g(x)

( f o g-1 o f ) ( 0 ) = f ( g-1 ( f ( 0 ) ) )

= f ( g-1 ( 8 ) )

= f ( 2 )

= 0

; g-1( 8 ) = 2 ?????


ÇÖZÜM:

19919988

Grafikteki bilgilere göre ,

?) 4 ( f

) 2 )( g o f ( ) 1 g(

-2

1 2 3

2

3

4

yy

xx

g ( x )

f ( x )

) 4 ( f

) ) 2 ( g ( f ( ) 1 g() 4 ( f

) 2 )( g o f ( ) 1 g() 4 ( f

) 3 ( f 2

20 2

-1


yy

xx-4 430

4y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. ( f o f ) ( x ) = 4 şartını sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:


( f o f ) ( x ) = 4 f ( f ( x ) ) = 4 f ( x ) = 0

f ( x ) = 0

x = – 4 x = 3 x = 4

x 1 = – 4

x 2 = 3

x 3 = 4

Σx = 3

ÇÖZÜM:

19919988

A) IR B) IR - {3} C) IR - {2} D) IR - {1} E) IR - {0}

IR - {1} de tanımlanan f (x) = fonksiyonunun değer

kümesi aşağıdakilerden hangisidir ?

2x – 1 x – 1

f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , f ( x ) fonksiyonunu tersinin tanım kümesidir.

f ( x )’ in tersi f -1( x ) =x – 1x – 2

Bu f -1( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , paydayı sıfır yapanx değerlerinin kümesidir.

x-2 = 0 x = 2 Yani , IR – { 2 } O halde f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , IR – { 2 }


y

x

( - 2 , 3 )

( 4 , 13 )Yanda grafiği verilen fonksiyonun tanım kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

Grafiğe göre -2 x 4 olduğundan tanım kümesi Tanım kümesi [ -2 , 4 ]


19919911

1x

1

x

1 ) x ( f

fonksiyonunun en geniş tanım

aralığını bulunuz.

ÇÖZÜM:

1x

1

x

1

x + 1 = 0 x = -1

Tanım aralığı IR- [ -1 , 0 ] dir.

x = 0

+ _

x

-1

) 1 x ( x

1

0

+

0 olmalıdır.) 1 x ( x

1

=

Bu eşitsizliğin kökleri

Eşitlik olmasına rağmen x = 0 ve x = -1 Eşitlik olmasına rağmen x = 0 ve x = -1 niçin tanım aralığında çıkarıldı ?niçin tanım aralığında çıkarıldı ?


ÇÖZÜM:

19919900

f ( x ) = 23x-1 olduğuna göre f (2x)’ in f( x ) cinsinden ifadesini bulunuz.A) 3f(x) B) 3[f(x)]2 C) 2f(x) D) 2[f(x)]2 E) 2[f(x)]3

f (x)= 23x-1

2f(x) = 23x

f (2x) = 23.(2x)-1 = (23x)2 . 2

1

= (2f(x))2 .2

1

=4.(f(x))2.2

12 [ f ( x ) ]2=

= 23x

2


19819899x

x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve f ( x ) = x +1

olduğuna göre g ( x ) = ?

ÇÖZÜM:

( f o g )( x ) = f ( g ( x ) )

= g ( x ) + 1x

x2 + 1

g ( x ) = x

x2 + 1 – 1

g ( x ) = x – x2 -1

x2 + 1

– x2 + x – 1

x2 + 1 =


=

f ( ) = ise en uygun koşullar altında x +1x - 2 x +1

x - 2

ÇÖZÜM:

x +1x - 2

= u dersek x +1x - 2

= 1u

dur.Yani ; f(u)= 1u

dur.

f (x) =?

O halde f ( x ) = 1x

dir.

19819899


19819888x

x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve g ( x ) = x +1

olduğuna göre f ( x ) = ?

ÇÖZÜM:

( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + 1 ) = x

x2 + 1

f ( x ) =x – 1

( x – 1 )2 + 1 =

x – 1

x2 – 2x + 1 + 1

x – 1

x2 – 2x + 2 =

Tersini



f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğuna göre , f ( x ) = ax + b şeklindedir.

x = 2 için f ( 2 ) = 2a + b

x = 3 için f ( 3 ) = 3a + b

3 = 2a + b

2 = 3a + b -

--

1 = -a a = -1

3 = 2( -1) + b 5 = b

O halde f ( x ) = -x + 5 dir

Buradan f ( 1 ) = -1 + 5 = 4 olur.

19819877

f ( x ) doğrusal fonksiyonu için f ( 2 ) =3 , f ( 3 ) = 2 olduğuna göre f ( 1 ) =?


ÇÖZÜM:

f ( ) = ise f (5 ) =? x - 5

2x - 1

-2x + 3

x + 1

x = 0 için

f ( 5 ) =

-2( 0 ) + 3

0 + 1 3=


f :R R , f ( x ) = biçiminde verilen bir fonksiyondur.

f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a ne olmalıdır?

19819811

-2xx + a

ÇÖZÜM:-2x

x + af ( x ) = ise f -1( x ) =

-axx +2

dir.

f ( x ) = f -1 ( x ) olması için ( )

a = 2 olmalıdır.

-2xx + a

-axx +2

=


f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1 olduğuna göre f( x ) fonksiyonunu bulunuz.


f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1

( f (x ) – 3 )2 = ( x + 1 )2

f (x ) – 3 = x + 1)

f (x ) = x + 4



f ( x3 – 3x2 – 5 ) = 3x3 – 9x2 + 7 ise f-1( x ) aşağıdakilerden hangisidir?


a ) x – 5 b ) 3x + 7 c ) 3x – 7

d ) ( x + 3 ) / 22 e ) ( x – 22 ) / 3

x3 – 3x2 – 5 3.( x3 – 3x2 – 5 ) + 22 = 3x3 – 9x2 – 15 + 22

= 3x3 – 9x2 + 7

O halde f ( x ) = 3x + 22 dir. Buradan

f-1( x ) = x – 22 3

Savaş sırasında Genel Kurmay Başkanlığından yüzbaşıya şöyle bir emir geldi :

" 214 214 numaralı tepenin eteğinde 120 numaralı tepenin eteğinde 120 erinizi , her sırada 11 er olacak erinizi , her sırada 11 er olacak

şekilde 12 sıra yapın ve sizin her şekilde 12 sıra yapın ve sizin her sıradan eşit uzaklıkta olmanız sıradan eşit uzaklıkta olmanız

gerekmektedirgerekmektedir. "Bu emir yapılabilir mi ?

ALIŞTIRMA 26 :ALIŞTIRMA 26 :3 kişinin katıldığı bir sınav , başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir ?

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Sınava katılan 3 kişi A tanım kümesini , sınav sonucuda B kümesini oluştursun.

. Başarılı

. Başarısız

.

.

.

fA dan B ye 23 tane fonksiyon tanımlandığına göre sınav 8 farklı biçimde sonuçlanabilir.


f ( x ) =2x + 1 x - 1 3

,

,,

x > 2 ise0 < x 2 isex 0 ise

g( x ) =1 - 2x

2 - x

,

,

x > 0 ise

x 0 ise

ÇÖZÜMÇÖZÜM

( f + g )( x ) =

( 2x + 1 ) + (1 - 2x ) , x > 2 ise

( x – 1 ) + ( 1 - 2x ) ,

3 + ( 2 – x ) ,

0 < x 2 ise

x 0 ise

( f + g ) ( x ) fonksiyonunu bulunuz.

ALIŞTIRMA:28ALIŞTIRMA:28

f ( x ) = x3 + x + m şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun ters ( f-1 ) fonksiyonuna ait grafik ( 4 , -1 ) noktasından geçtiğine göre m kaçtır ?

ÇÖZÜMÇÖZÜM

( 4 , – 1 ) f-1 ( – 1 , 4 ) f

f( – 1 ) = 4

f( – 1 ) = (– 1 )3 – 1 + m = 4 – 1 – 1 + m = 4

– 2 + m = 4 m = 4 + 2 =

6

Documents

öss matematiği Fonksiyonlar