OKRUZNO TAKMICENJE IZ MATEMATIKE 2015.pdf

7/24/2019 OKRUZNO TAKMICENJE IZ MATEMATIKE 2015.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/okruzno-takmicenje-iz-matematike-2015pdf 1/5

OKPy>KHOTaKMLillIetbe Lil3MaTeMaTLilKe

YlIeHLilKa OCHOBHLilX uncona28.03.2015.

IVpa3peA

IVPA3PEAMLilHLilCTapCTBO npocaere, HaYKe LiITeXHonOWKor passoja

A PY W TB O M ATE M AT l I YA PA C P6 l 1 JE n pM 3H aB an f C Ba KM T alfa H n oc ry na x K ojM c e p a3 nM K)'je o .q K Jb ylfa .6 o .q o Ba tb e n p M na ro .q M T M K O H Kp e TH O M H a lf M HYpeurasaa-a.

1. Mn 47 IS ) n pO v 13 BO A 4 V 1 < j> a pa li e 6 V 1T V I0 C Be A O K y 0 3 Ha 4 V1 r OAV lH e n oc ro jn

4 V 1 < j> p a0 , A O K l ie 3 6V 1 P 4 V 1 < j> a paTaK Be r oAV lH e 6 V 1T V IB el iV l O AO. Ilpsa rOAV1HaKa-A a n po V1 3B oA 4 V 1< j> ap a0 3H aK e rO AV lH e H eli e 6 V1 TV 1 je 2 1 11 . rO AV lH e ( 10noeaa).

, rOAV1Ha ,'; c.: 2111. 2112. 2113. 2114~ 2115.36V1P 4V1<j>apa.,.. 5 6 7 8 9

npoaaaonuacapa 2 4 6 8 101. KonViKo lie ro nuaa npoha on 1. jasyapa 2015. ronnae npe Hero W TO

ee npBV I nyr noron« na npoaseo n lI V I< j> ap a yo sa au a ro na ae 6yge

seha on 3 6V 1 p a O BV I X lI V I< j> a pa?

3 . AVlMeH3V1je crunce o6nVlKa npaaoyraoaaxa ey 10em V I

6em. Cnaaorsyti je aanpaeno paM aa cnVlKY KOjVl jejegHaKe umpnae ea CBV lX crpa sa cnV lKe. AY~VlHa paaajegHaKa je nonoBV lHV I o6V 1Ma enV iKe. V 13pa4YHaj

n os pu ra ay p ar aa O KO c nV lK e ( oc eH 4eHV I aeo),

Y 0 4a Ba jy li V 1 3 6V 1 pO Be V Inpouseoqe roAV1Ha nocne 2 11 1. 3 aK Jb Y4 Y Je Mo A a J e n p-sa rpaxeua ro AV1 Ha 2 1 15 8 noeua , npV13HaTV1yxynuo 18 noesa sa osajp e3 YJ lTaT V 1 6 e3 n pe Tx oA H V1 X o 6ja wt-bet-ba). tJ.aKJle, npoha lie 100 rOAV1Ha 2

noeaa),

2. tJ.pyrV1 ca fin pa« V 13 6V 1P V 1M ajy V 1cry no cn en- sy 4 V1<j>PY,ia je Y = 0 (5 noeaa) ,KaKo ceAMo4V1<j>peHV16po jfbYfbAillKArpefia A a 6YA e HajB eliV l M oryli, Y3elieivlo

na je fb = 9 5 noeaa) . Tana je 90+9A =18A, na je ill = 1, K = 8 5 noeua) . a

onarne V1A = 7 (5 noeua).3. nOBpwV1 Ha C JlV 1 Ke je 60 cm2, a 0 6V 1 M C JlV 1 Ke 3 2c m 4noeaa) . 0 3H a4 V 1M o c ax w V 1 pV 1 Hy p a w a c a C Ba Ke c rp aa e

O KO C Jl V 1K e. Kaxo je AY>KV1Hapaaa jeA H aK a n Ol1 OB V1 HV 1o6V1Ma CJ lV1Ke,TOje 2x + 10cm = 16cm, OAaKJ le j ex = 3cm 8 noeaa) , Ilaxne, A Y>K V 1H ap aM a j e 1 6 cm ,yxynxa W V 1 P V 1-Ha 12cm V 1 nOBpwV 1Ha 192cm2 4 noeaa) , nOBpW V1 HY paMa OKO C JlV 1K e

Ao6V1lieMo xana O A n OB pw V 1 He 4 V 1TaB orpawa 0 AY3 MeM o n OB pw V 1H y C JlV1Ke,naje rpaxeaa n OB pw V 1 H a 1 9 2 cm2 - 60cm2 = 132cm2 4 noeaa) .4. A KO H eK V1 A B o4 V 1< j> pe HV 1 6 po j K OM e 4 V 1< j> pa je AV 1 HV 1 4a H V 1je 0 V 1 Masenepan3 6V 1 P 4 V 1 < j>apa ,OHAa t-b er OB n pe Tx OA H V 1 K V 1 M anapas 36V1P l.\V1<j>apa 8 noeua) .t J. aK Jl e, A 0 l1 a 3e y 0 6 3V1P caao fipojesa KojV 1Ma je l.\V1<j>paeAV 1HV1l.\ a0 , n pV 1 4 eM Yl.\V1<j>paAeCeTV1l.\a Mopa 6V 1TV 1senapaa 2 noeaa). Hpoeepoa B V 1 AV 1 M OA a c y

p eu re + sa f ip ojesa 10, 30, 50, 70, 90 csaxo peuierse no 2 noeaa. npV13HaBaTV1OB e noese V16e3 nperxonaorofipaanoxeiea).5 . 3aAaTaK V1 M a4 p eu re+s a csaxo peureise, V16e3 otipaanoxe-sa, no 5 noeaa).Y npso] BpCTV16pojeBV 1 2 V13 Mory ce pacnopenaraHa 2 Ha 4V1 Ha ( 2,3 V 111V 1,2 ).Ha V1CTV1Ha4 V1 H 6pojeBe 2 V 13 MO> KeMOpacnopenura Y npao] K0110HV1.(BaKV1.

pa311 V14V1TV1Aa6V1p 6pojeBa y npso] B pC TV 1 V 1K0110HV1onpehyle no jeA Hopa311V14V1TOew et-be .

2. Csaxo cnOBO 3aMeHV I lIV I< j>P OM (pa3m 14V1 Ta cnosa pa3nV l4V 1TV lM lIV I-

< j> pa Ma, a V ie ra cn osa V leT VlM lI VI< j> pa Ma) Ta KO g a Ba ~V I je gH aK oe r

b Y + bA = W KAV Ina cegMollVl<j> peHV I 6poj bYfbAWKA6y ge H ajB eliV i M ory li.

4. O gp eg V l C Be g Bo llV l< j> pe Hetipojese 4 V 1jV l je 3 6V 1 P lI V I< j> ap aaenapau,np n 4eMY 6poj KOjV l j esa jegaH Mal-bV i o n r ax so r 6poja raxohe VlMa

aenapas 36V1P l IVI< j>apa.

5 . Ksanpar 3 x 3 nonerseu je Ha 9 norsa UegVlHVl4HV lX ~«sanpara). Y roprse neso norse ynncauje 6poj 1 .

n on YH V I o cr an nx 8 norsa 6pojeBVlMa 1, 2, 3 TaKO ga ceY csaxo] B pC TV I V Icsaxo] KonOHVI nojasrsyje CB aK V I o grarpa 6poja. OgpegV l CBapeure+sa .

(BaKVI sanara« ee 60gyje ca no 20 6ogoBa.

V13paga s an ar ax a r pa je1 50 MV lHyra.

Peure-se csaxor a an ar xa x pa rx oVI jaca o oo pa sno xar».

1 2 3

2 3 1

3 1 2

1 2 3

3 1 2

2 3 1

1 3 2

2 1 3

3 2 1

1 3 2

3 2 1

2 1 3



ML1HL1CTapCTBO npocsere, HaYKe L1TeXHOnOWKOr pasao ja

A P YW T BO M ATE MATL t1 YA PA CP 6L t1 JE

VPA3PEAnpL13HaSaTL1 CSaKL1Ta~aH nocrynax KOjL1ce pa3nL1Kyje oA Klby~a.

EioAosatbe npL1narOAL1TL1 KOHKpeTHOM Ha~L1Hy peuraaaiea.

OKPy>KHO TaKML14etbe L13MaTeMaTL1Ke

Y4eHL1Ka OCHOBHL1X uncona28.03.2015.

1. 0 3H aY I1 MO M att> 1 1 6 po j c ax. A Ko ce O BO M 6 pojy,[Iel.\ I1 M aJ lH a s an er a n OM ep l1

rpa M eC Ta y.qecHo ,[I0611jaMo 1000 nyra Belil1 6poj, na je,[ Ip yr l1 6 po j 1O O Ox (5noeaa), AaKJle, x + 1000x = 5092,9879, r]. 1001x = 5092 ,9879 8 noeaa) ,onaxne je x = 5,0879 5 noeaa) . Tpa>KeHI1 fipojes« cy 5,0879 11 5087,9 2noeaa).pa3peA

1. 36V lP A Ba 6poja je 5092 ,9879. Kana ce jeA HoM OAra A Ba 6poja

nOMeplt1 A el.\lt1Ma11Hasa ne ra s a rp uM eC Ta YAe CH O A 0 61t1 ja ce npyra OA

TIt1X6pojeBa. K ojlt1 c y T Ofipojeaa?

., 4*5* - ---2 . (M n 48/5 11I3YCJlOBasanarxaje --: * * = 2, OAHOCHO4 * 5 *= 2·45· * *,

45

r]. 4 * 5 * = 90· * * (5 noeaa) . 6poj 4 * 5 >I< rpetia na je A efblt1B ca 90,O A HO CH O c a9 It110. ,Q a KJ le , l.\lt1<ppa jeAIt1HIt1l..{a j e 0, a l..{1t1< ppaCTOTIt1 Ha0 1t1111t1

4050 49509 (5 noeaa). 3 aA aT aK I t1 Ma A Bapeuie-sa, -- : 45 = 2 I t1 --: 55 = 2 csa -

, 45 45KO peuie-se no 5 noeaa) .

2 . 3aMeHIt1 3Be3AIt1l.\e o,QroBapajynlt1M l.\lt1 < pp aM a ( He 0 6a Be 3H O je A Ha KI t1 M)

4*5*TaKO A a je K0 11 1t1 4H It1 Kpa31 10 MKa -- I t1 ABol.\ lt1 < pp eH or 6 po ja

4 5jeAHaK 2. K011It1KOpeure-sa It1Ma 3aAaTaK?

3. 5poj reneooaa je ,[ I elbl1B ca30, n a je ,[ I elbl1B 11ca10 11ca 3. AaKJle, nocnemea

l.\11<j>pareneooacxor 6poja je 0 5 noeaa) , H aj Be li l1 M or yli l1 3 611 P n pe oc ra nn xl.\11<j>apae 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35, na 361 1P l.\11<j>apa6poja reneooua M op a 6 11 TI 133 (8 noeaa) . Kaxo CBe l.\11<j>pe Mopajy' 6 11T I1 p a3 Jl I1 Y I1 Te, n oa oj e ,[IBe

M oryliH Oal1 sa T pa>K eH I1 3 611 P l.\11<j>apa:9 + 8 + 7 + 6 + 3 + 0 = 9 + 8 + 7 + 5 + 4+ 0 = 33 7 noeaa) , A a KJ le , H a O CH OB Y,[IaTI1XnonaraxaAaHl1jeJlI1Ha np yrapuuaH e M O >K e3HaTI1 t t>eH 6poj reneooaa .

3. ,QaHlt1jena je npyrapnu» pexna cnenehe: ,,6poj Mor reneooaa ce

cacrojn OA 6 pa3nlt1YIt1TIt1 X l..{1t1<papaxo]e c y Y o na A ajy ne M penocneny,AefbVlB je ca 30 , a 361 t1 p l.\Vl< papa je BenV l OA30. ,Q a 1 11 1,QaHVljenVlHa

npyrapuua MO >Ke Aa 3H a Vl3OBIt1Xnonaraxa l-b eH 6 po j reneooaa?

4 . K sanap ca l..{ en 06p ojH It1 M AY> KV lH aM a It1BIt1l..{a I t1Ma 3anpeMI t1Hy 2015 .060 jeH je cnorea ups eso, a 3aTV lM Vlce4eH ua jeAIt1HVl4He KOl..{K e. A Ko

je npn TOM e A 061t1 je Ho Ta 4H O ocaa KOl.\KIt1l..{ a ca T a4 HO rpu 060jeHe

crpase, oA peA It1 6poj KOl.\Klt1l.\a xole HeM ajy Hlt1jeAHY o o oj eu y c rp au y.

4. Kaxo nocro]a TaYH O ocav KO l.\KI1l.\a ca TaYHO rp a 0 60 jeHe crpaue,

n ocv arp asa x san apI1Ma ,[ IY>KI1He I1B\I1 l.\a 5, 13 11 31 10 noeaa). OB O0 6ja wtt> ett> e je H eO nX O,[lHO ,[ Ia 6 \11 c e \ I1 c Kl by 4 \11Jla MoryliHoa ,[Ia xsanap \I1M a\I1B \I1l.\Y[IY>KI1He1.). Tana je 6poj KOl.\KI1l.\a xoje H eM ajy H l1 je,[lH Y 0 60 je HY c rp as y

3·11 ·29 = 957 10 noeaa).5. H au pr a] c nn xyKO l..{ Ke I t1 K O Acsaxor reveua KO l..{Ke ynlt1 wlt1 jeA aH OA

6pojeBa 1, 2 , .. ., 7, 8 TaKO A aje 36V1P 6pojeBa Hacsaxo] CTpaHV1 KOl..{K ejeAHaK. 6pojeBV1 ce He MOry nOHaBfbaTV 1. O Ape AI t1 6a p je AH o pe we tt> e.

5. C BaK I1 6p oj c enojasrsyje y 3 611 pO BI 1 Ma H arpa crpase, 6 3.,na je yK yna H 3 61 1PfipojesaH a C B\ I1 Xw e a c rp aa a 3 . (1 + 2 i • i

+ ... + 8) = 108, a aa je,[ lH oj c rp aa a 108 : 6 = 18 10noeaa). Je ,[lHO peureise ,[IaTO je Ha CJlI1 l.\1 1 10 noeaa.n pl1 3H aB aT I1 \11CBaKOnpyro peureiee 6e3 nperxonaornocrynxa.). .Ba KI-1 3aAaTaK ce 60Ayje ca no 20 fionosa.

~3paAa saaara xa rpa]e 150 MV1Hyra.

P eure+ se CBaKOr 3aA aTKa xparxo V 1acuo 06pa3nO>KIt1TV 1.

./ ~ L t_ _.58



Ml1Hl1CTapCTBO npocaere, HaYKe 11TeXHOnOWKOr paasoja

,Q P YW T B O M AT E M AT~ lJ A PA C P 6~ JEVI PA3PE~

np~3HaBaT~ CBaK~Ta laHnocrynax KOj~cepa31mKyje oAKJb) la . 6oAOBaH>enp~l1aroA~T~ KOHKpeTHOMHa l~Hy peurasajea.

1 4 21. Mn 47/3) = 3 noeaa), b = 3 noeaa) 11 C= 3 noeaa). Cana I1MaMO:

3 9 . 31 1 1 1 1 1 18 35

-0 -- -=--- --= --+-=--+- =- 11 noeaa) .b 2 3 i_~ 3 2 2 3 19 57

C 9 2 182 . H ex a c y TO 6 p oj eB I1 n- 1 , n,n + 1 n E Z). Tana Ba~11 n -1)n n+ 1) = 8· 3n = 24n (Snoeaa). JeA Ho 0 41 1rneA HO peurejse OBe jeA Ha4 11 He jen =0. Ocrana peureisaaanosorsaeajy YC110B n- 1) n+ 1) = 24 = 4 . 6 = -6 . -4), oaaxne C11eAI1n = 5 I1nl1 n =-5. T pa ~eH I1 6 po jeBM cy: { -6 , - 5, - 4}, {- 1,0, 1},{4,5, 6} caaxo p eu re -s e n o S noeaa).3. Hexa je 0 nonaoxle aopwane 113 TeMeHa C C(C11I1Karope). Tpoyrao AO Cje npasoyrna, n03HaTaje xarera 1 1 yayrpauns» yrnOBI1 , na ra Mo~ eMOKOHCTpYl1caTI1(4 noeaa). Tpoyrao BO Cje raxohenpasoyrna, n 0 3H aT I1 c y H aMxarera 11Xl1nOTeHY3a,n a 1 1 tbe ra M o~ eM O K OHC TpY l1 caT I1 4 noeaa ) .KOHCTpYKl..\ l1 j a ( C 11 I 1 Kanone) ( Hl1 je 6 111TaHpeno-C11eA KOHCTpYKl.\l1ja rpoyrnosa AO C 11 B O C ): Ha

r ipaso] p onafiepewo npoassorsay TaYKY 0 111Y

t bo j K OH CT pY ll1 w eM o H op Ma ny q aa npasy P ; xanpasy q H aH ec eM O Ay ~II1H y he 11A06111jaMo TaYKYC; 1113TeMe Ha C KOHCTpYIl1 WeMO yrao OA30°; Y

n pe ce xy x pa ka yrna 1 1npase p A 06111jaMoTaYKYA; A.4 I ~ I

1113eveaa C On ll1 We M O K p y~ H II1I..\Y nonynpexnaxa 0 I / P0; Y npecexyKpy~HlI1l..\e 111paee P A0611jaMo reweB, npa y eM Y j eA-O -B 12 noeaa) .4. nOcMaTpajMo noncxynose Meljyc06HO napanenaax n pa BI 1X ycxyny AaTII1 X n p aB II1X.5 p oj TaK BI I1 Xnoncxynoea j e H aj Bl 1w e 3, jep aKO 6111n ocr oja na 6 ap 4 , O HA a 6 111y cxynyA a TI I1 X n pa BI 1X n oc ro ja ne 4 npase Meljy Kojl1Ma HeMa napanensax, cynporson pe rno crasua 3a Aa TKa 10 noeaa) . Kaxo je 6p oj noncxyncaa HajBlI1w e 3, H eK OM O At b~ X M o pa jy npanaaara 6ap 4 npase (,[\lI1p Il1XJleOBnpnauan) 10 noexa) ,S . H e xaje 0 Ta YK a C T pa HII1l.\e BC TaKBa na jeBO = AB . Tpoyro AB O je jeA HaKoKpaK cayrnoBII1M a 20 °, 80 °, 80 ° 6 noeaa) . YrnOBII1rpoyrna AO C cy 40 °, 40 °, 100 °, O H j e je AH a-K OKp aK 1 11CO = AD (6 noeaa), YrnOBI1rpoyrna AM O cy 80 °, 80 °, 20 °, na jeje AH aK oK pa K 111AD = AM (6 noeaa) . Baro je

CD = AD = AM = 2c m, na je rpaxeaa

pasnaxa BC - AB = BC - BO= CD = 2cm (2noeaa) .

OKPy>KHO TaKMl1 · letbe 113MaTeMaTl1Ke

YlfeHl1Ka OCHOBHl1X urxona28.03.2015.

Vlpa3peA

1. v 13pa4 YH aj spennocr V 1 3pa3a-Q -- - , aK O je Q = 0 , 33 3 . ..= 0,3;

c

b=O,444 ...=O,4; =0,666 ... = 0,6.

2. np0 V 13BOA TpV 1 ysacronaa uena 6poja je jeA HaK OCMOCTP YKOjB pe AH oa V1 I-bV1XOBOr6V1pa.OApeAV1Teopojeee.

3. KOHapyV1wV1rpoyraoA B CaKOje Q = 6cm, a = 60°, he = 4 c m .

4 . Y paBHV 1je narc '0 npasax. Ilpn T OM e M eljy 6 V 1 JlO xo je 4 e TV 1 p V1O AA aTV 1x npaeux nocroje A Be napanenae. A OKa~ V1 A a M e1 )y '0 A aTV 1xn pa sa x n oa oje 4 e TV 1 p V1n ap an en ae .

5 . Y rpoyrny A B C je M = '20°, z B = 2 0 °, a cV 1 Me Tp aJla yrn aA (A Onpecexa ca HacnpaMHoM CTpaHV 14 0M) je A y~ V1 He 2 cm . OA peAV1

. pa3JlV1KyAY~V1HacTpaHV14aB C 1 1A B

o

{ffi Bo

q,c

o

C~B

A

( Ba KV 1 3 aA aTaK ce 6 0Ayje ca n o 2 0 6 0A oB a.V 1 3pa Aa s an ara xa rpa ]e '5 0 M V 1H yra.P e ure -s e c sa xo r 3 aA a TK a x pa rx o1 1j ac ao 0 6 pa 3J lO ~ V 1 T V 1 .



MLIIHLIICTapCTBO npocsere, HaYKe LIITeXHOnOWKOr paaaoja

A PY W TB O M ATE MATW.JA PA C P6 11 1J EV II PA 3P E A

n p1 ll 3H aB an l C Ba Kl II TaL fa H n oc ry na x K Oj ll l c e p a3 nl ll Ky je OA K lb YL fa .

l iOA OB at be n p n ar OA lT l K OH Kp eT HO M H aL fl ll HY peuraeaeea .

OKPY>KHO TaKMLII • . . •tbe L113MaTeMaTLIIKe

y~eHLIIKa OCHOBHLIIXuncona

28.03.2015.

1. Mn 49/2) V13Mel)y np lo1p o,Q Hlo1 X6 po je Ba a·lo1b Hcl1la3lo1ce a b - 1 nplo1p o,Q Hlo1X6pojeBa. A Ko nooaarpaan np lo1p 0,Q Hlo16poj 06ene>Klo1MOca x rana je 2X2 - x - 1= 11174 8 noeaa), na je x (2 x - 1) = 11175 4 noeaa). KaKo je 1 11 75= 3 . 5 . 5 .1 49 , T O jex = 75 lo12x - 1 = 1 49 , n a j e T pa >K eH lo16 po j 7 5 8 noeaa) .

513.1331

.3 f 1326

1316

.1310

(169)8 (13)102. Kaxo je 13 31 = S IS 4 noeaa) = 8 8 10 = • 12

13 ·31·5 31·5 31 ·5 ·5 155 5

)169 13 . 5

13.13

31.31

5• 13 31 5

noeua - > 1 lo1 - > 1, TO je 5 13 > 1 , na je 5 . 13 . 31 >155 5 13 ·31 ·5

135.3113 . 531 4 noeaa),

V II paspen

1 . V 13M el)y jenuor npaponnor 6poja V I A BoCTpYKe s pe nu oc rnt-be rOBOr xsanpara V lM a 1 11 74 npuponna 6poja. OA peAV I rajn pn po na s 6 po j.

P iC..• ••• ••••• ••

N

3 . T p oy rn os a C N P lo1 D P Q cy nO,Q y,QapHlo1 jep cy

npaaoyrna uC N = D P, C P= D Q (C D- D P = D A - A Q ),

n a je N P = P Q lo1sasnanajy npas yrao. Cana je 1 .Q N P=45° = 1 .A Q M 8 noeaa) . 1 .C N Qlo11 .N Q Acy yrnosa aa

rpaacaepsana lo1je,QHaKlo1 8 noeaa), na je 1 .C N P=1 .C N Q- 45° = 1 .N Q A- 45 ° = 1 .N Q M 4 noeaa). A I ~• I 8

2. lllra je B ene: 513. 133' .315 ltlnltl1 35.3113 . 53'?

3. Hexa cy M, N , P, Q peAoM ra-nee aa crpasuuaaa AB, B C, C D, D Axaaapara ABCDraxse na je AM = N C = P O = Q A. ,QoKa>KVIa je

4 P N C=4 N Q M.

4. ,Q a r j e n pa Bl tln aH o C Mo yr aoA,A2 .. As 4ltljV l j e n on yn pe 4 H lt lK o nl tl-c aa or x py ra 6 cm V I np as oy ra oa a« A,MNA7 (y KOMene>KVIeveA4ocaoyrna) raxo ga ocw oyrao V Inpasoyrcua« IiIMajy jeAHaKenOBpWVlHe.V13pa4YHajnoapuntay g en a n pa so yr ao ua xa K Ojlt lje1i13BaHcaoyrna.

4. Iloapuraaa npasoyraoaaxa lo13BaHooaoyrna je,Q HaKa je 36lo1p y noapurana rp anO,Q y,QapHa oce us en a r po y rn a(360r je,Q Ha-KOCTlo1 noapuraaa) 8 noeaa) . O,Q pe,Q lo1M o

noapuraay je,QHor ocea-resor rpoyrna. Kaxoje -reteopoyrao A1A ~sA 7 KBa,Q paT lo1OA7 = As

OA6 = OA5 = 6cm, TO je AsA7 = 6.Jicm 4

noeaa) , 08 = 3.Ji cm, A68 = 3· 2 -.Ji)cm 4 noeua) na je rpaxeaa nospurasa54· .Ji - 1) cr'n2 ( 4 n oe aa ).

5. V13cxyna {1, 2 , ..., 2 0 14 , 20 1 5 }onafipauo je 1 0 11 6p oje Ba .

,QoKa>KltlA a M el)y 1 i1 3a6 pa HIiIM6 po je BltlM a n oc ro je A B a x oja c ep as na xy jy a a5.

N

M

5 . C xy n {1, 2, ..., 2014 , 201 5} je YHlo1janer ,Q lo1CjYHKTHlo1Xynosa O,QKOjlo1XcBaKlo1lo1 M a4 0 3 e neveara : Al = {1, 6, ...,2011}, ..., As = {5 , 1 0,...,2 01 5 } (5 noeaa). Kaxoje 1011 = 5 . 20 2 + 1, H a O CH OB YA lo1plo1 xn eo Bor n pu uu an a n oc rola cxyn AI,1 s i s 5, lo13xor cy onaopaua 6ap 203 eneveara 10 noeaa) , To 3Ha4 lo1 na y

cxyny A; nocroje 6ap ,Q Ba cycensa enew esra xoja cy onatipaaa, a OHlo1 cepa3nlo1Kyjy sa 5 (5 noeu a).

CBaKltls an ar ak c e fionyje ca no 2 0 6oA oBa.V 13p aA as an ar ak a r pa je 1 5 0 M lt lH y ra.Peuie-se csaxor saaarxa « parko ltl ja cu o o 6p a3 nO> KVlrltl.



Ml1Hl1CTapCTBO npocsere, HaYKe H TeXHOnOWKOr paaso ja

A P YW T BO M ATE M AT ~lI APA C P5~ JE

5. Ilar je npaBV1nHV1rerpaenap A B C D4V1ja V1BV1L\a1Map,y>KV1HyO. PaBaH

cap,p>KV1Ta4KYD V 1npec eua V 1 BI 1L\ eB 1 1B C raxo na je npecex rerpa-enpa V 1 paB HI 10 rpoyrao. A OK a> KV 1na je 0 6V 1Mnpece-u-or rpoyrnaBelil 1 on20 .

I r lpt BH a :B < m l m aD T iI' I i H DOU .,uaiurDjII c e ~ • • . . ..

~o,qOBaFbe opt m aro.qJ lT 1ll t~ K i UDIJ P _ • ••

1. KOOPA\.1Ha Tenpece-noix rau axa cy A -1 6 , 0 ), ~B(9, 0), C(O, 12) 5 noeaa ). A )')I<l1Hecrpa sauarpoyrna cy AB = 25cm, AC = 20cm, B C= 15cm 5 .

noeHa). Ia) K axo je 2 52 = 202 + 152, rpoyrao AB Cje n pa so-yrnv 5 noeaa , np lt1 3H an l I II a KO Y 4e HIIII.\III6e3 - - ------ - + --- --1113pa4YHaBafhaY*IIIHa CTpaHIII l.\aIIICKopIIIC Teno- .. A 1 B ..3HaTII Iycnos HopManHocTIII ABe npase y KooPAII IHaTHoMoicreay .).6) 0 = 60cm, P = 150cm2 5 noeua).2. H e. C Ba Ko M x s aa pa ry c yc en ua c y 4 x ea np ar a K Oj lllCfh lll M 0 6 pa3yjy KpC T . CB aKIIIK Ba A pa T Y KJ bY 4 eHj e Y 5 x pc ro sa . A K o j e 3 6111PpojeBa y C BaKO MKPCTY17, OHAajeneroCTpYKIII 3 6111PCB IIIXHanlllcaHlllX 6pojeBa 1 7 . 5 4, WTOje KOHTpaA IIIKl.\lIIja,ep ra]6poj Hl ll je AeJbIllB c a 5 20 noeaa).3 PABC O : PBO M = 18 : 1. K a Ko j e PAB CO : PABO = 0 C ,2 : 1, TO j e PABO : PBO M = 9 : 1 , a OA aBA e je ~OA : O M = 9 : 1 (5 noeaa), Taxohe, zWBM = 0 .40C M (nepIII¢epllljcKIII HaA IIICTOMeTIIIBoM)1< 1 ~

4B AO =40C M (ca napanenHIIIM Kpal.\lIIMa)na A B

je 40B M = 4B AO 5 noeua) IIIrpoyrnosa O M B111B Acy c nlll4HIII 5 noeaa). Ca na je

O M: O B= O B: O A, na je O B2 = ~ O N, rj. O B= ~ OA. AaKlle, AC : B O= 3 : 1 (5 noeaa ),9 3

4. 201 512 + 2'0 = (20156 + 25)2 - 2 . 25 • 201 56 8 noeaa) = (20156 + 25)2 -

(23 • 20153)2 = (201 56 + 25 - 23 • 20153)(201 56 + 25 + 23 .20153). A aKlle, K a KO c y 0 6 a4111 HIIIO l.\aeha OA 1, AaTIII 6p oj je cno xea 12 noeua).5. Mll 47/4) nOcMaTpajM o n pa BlllnHIII rerpaenap A B C D. Hexa pa aas 0 np eceu aIIIB IIIl.\eAB 111B C peAoM Y Ta4KaM a M 111N (cnlllKa neso) , AKO pa3 Bl ll je M o M p e*yr er pa ea pa ( cn lllK a n ec uo ) O HA a je ja ca o A il-je 0 6111 Mnpec ex ao r r po yr na 0 = O M +M N + O N = 02M + M N + N 03 > 0203 = 20, jep je A Y* 0203 Ha jKpane · pa crola-se1113 Meljyavaxa O2 III0 3 20 noeua).

o

OKPy>KHO TaKMl1l fe tbe 113MaTeMaTl1Ke YlfeHl1Ka OCHOBHl1X uncona

28.03.2015.

V I I I paspen

1. Ta4Ka A je n pe ce xrpadmxa

q,yHKL\l 1jey

= ~ x+ 12

ca X-OCOM, a Ta4 K a4

B j e n pe ce x r pa q, V 1 Ka q ,Y HK L\ l 1 jey = ~ x + 12 ca X-OCOM. Ta4Ka C je3

npecex ra n sa r pa di nx a.a) AOKa>KV1,a je rpoyrao A B Cl-i·paBoyrnV1;6) v 1 3pa 4Y Ha j 0 6V 1 M V 1nospuraay Tor rpoyrna.

2. C Ba Ka c rp aa a K OL \K enonerse+ra je Ha 9 jep,HaKV1xxsanpara, Aa nV 1 jeM orylie y C BaKV 1 «sanpar y nV 1caTV 1 HeK V1 u eo 6poj raxop ,a a a C Ba KV 1KBap,paT Ba>KV1:3 61 1 p n er 6 po je Ba - 6poja ynncauor y ra] xeanpar V14eTI 1p l 1 6poja ynucanax Y H> eM Y c ycenue « sanpare - je p, Ha K j e 17 7(ABa xeanpara cy cycenaa axo I 1Majy 3ajep,HV14KY V1BV1L\Y,KJbY4yjylil 11 1cnyva] xana TV1KBap,paTV1 He npnnanajy V 1C TO jcTpaHV1 KOL\Ke.)

3. Y napanenorpavy ABCD·KpY>KHV1L\aonwcaua o xo r po yr na B C Dce-re, p,l 1jaroHany A C no npyrn nyr y Ta4KV1M AK~e Op,HO C n OBpw V1 Ha

rpoyrna B D M 1 1 napanenorpava 1 : 18, o npe nn O p, HO C p, y> KI 1 Ha

p,l 1jaroHana napanenorpava.

4. A O Ka > K1 1 a j e 6 po j201512 + 2 0 cnoxeu.

A

Ol

C Ba KI 1 s aa ar as c e 6 op,yje ca no 20 fionoaa.v13pap,a sanaraxa rpa je 15 0 MV1Hyra.Peuiereec aa xo r s ana rx a x pa rx o V Ija cao o 6p a3n O> KV lT VI.

of ~ ~

Documents

OKRUZNO TAKMICENJE IZ MATEMATIKE 2015.pdf