Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
75
Matematiğin en zevkli, uygulaması en çok
olan konularından biridir.
Sayı yazma problemleri, sıralama
soruları, seçme soruları gibi sorular bu
bölümde incelenecektir.
Yukarıda saydığımız tüm soruların
temelinde sayma iĢlemi bulunduğundan,
biz de sayma problemlerinin yöntemleri
ile baĢlayacağız.
HAZİNE-1
TOPLAMA YÖNTEMĠ:
Bir E olayı; A veya B olaylarından birinin
gerçekleĢmesiyle oluĢmakta iken,
A olayı için n seçenek,
B olayı için m seçenek varsa,
E olayı için n+m seçenek vardır.
IġIK-1
E=A B ve A B=Ø için:
s(E) = s(AB) = s(A)+s(B) = n+m
A B≠Ø ise;
s(E) = s(AB) = s(A)+s(B)-s(A⋂B)
DNA-1
A kentinden B ye kara veya hava
yollarından biri ile gidilebilmektedir.
Üç ayrı kara yolu, iki ayrı hava yolu
bulunmaktadır.
A dan B ye kaç farklı yolla gidilebilir?
A)3 B)5 C)6 D)8 E)9
ÇÖZÜM
A kentinden B ye, kara veya hava
yollarından biri ile gidilebileceğinden,
Toplama yöntemi gereği;
Karayolu için üç seçeneğimiz,
Hava yolu için iki seçeneğimiz olduğundan
3+2=5 farklı yol vardır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-1
Pınar, Pazar günü saat 14 ile 17 arasında
sinemaya gidip film izlemeyi veya evde
kalıp ders çalıĢmayı planlamıĢtır.
Sinema için gidebileceği iki ayrı sinema,
evde kalırsa çalıĢabileceği üç ayrı dersi
bulunmaktadır.
Pınar’ın belirtilen saatler içinde
yapabileceği kaç farklı Ģey vardır?
A)3 B)5 C)6 D)8 E)9
OLASILIK
76
DNA-2
A={(x,y): x2+y2 5 , x,y Z }
kümesi kaç elemanlıdır?
A)8 B)12 C)21 D)25 E)29
ÇÖZÜM
Kareleri toplamı 5 veya 5 ten küçük
tamsayı ikililerinin sayısı istenmektedir.
Ġki tamsayının kareleri toplamının
alabileceği değerleri incelediğimizde;
En küçük değer 0 dır.
x2+y2=0 için:
(0,0) 1 tane
x2+y2=1 için:
(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) 4 tane
x2+y2=2 için:
(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1) 4 tane
x2+y2=3 için:
__ YOK
x2+y2=4 için:
(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2) 4 tane
x2+y2=5 için:
(2,1),(-2,1),(2,-1),(-2,-1),(1,2),
(1,-2),(-1,2),(-1,-2) 8 tane
+______
21 tane
x2+y2 toplamının 5 veya 5 ten küçük
olmasını sağlayan (x,y) tamsayı ikililerinin
sayıları toplamı 21 dir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-2
A={(x,y): x+y 2 , x,y N }
kümesi kaç elemanlıdır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
HAZİNE-2
ÇARPMA YÖNTEMĠ:
Bir E olayı, ard arda A ve B olaylarının
gerçekleĢmesiyle oluĢmakta iken,
A olayı için n seçenek,
B olayı için m seçenek varsa,
E olayı için n.m seçenek vardır.
IġIK-2
s(E) = s(AxB) = s(A)xs(B) = n.m
DNA-3
A kentinde C ye, önce B kentinden
geçmek koĢuluyla gidiliyor.
A dan B ye 3 yol,
B den C ye 2 yol varsa;
A dan C ye kaç değiĢik yoldan gidilebilir?
A)3 B)5 C)6 D)8 E)9
ÇÖZÜM
A kentinden B ye ve B den de C kentine
giden yollar tek tek yazıldığında;
(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2) dir.
Bu ikililer {a,b,c} ve {1,2} kümelerinin
Kartezyen çarpımının elemanlarıdır.
Çarpma yöntemi gereği; 3.2=6 tanedir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-3
Pınar, Pazar günü saat 14 ile 17 arasında
sinemaya gidip film izlemeyi ve saat 17
den sonra eve gidip saat 19 a kadar ders
çalıĢmayı planlamıĢtır.
Sinema için gidebileceği iki ayrı sinema,
evde çalıĢabileceği üç ayrı dersi
bulunmaktadır.
Pınar’ın belirtilen saatler içinde
yapabileceği kaç farklı Ģey vardır?
A)3 B)5 C)6 D)8 E)9
77
DNA-4
En az iki basamağı aynı olan dört
basamaklı kaç doğal sayı vardır?
A)4464 B)4536 C)4500
D)5000 E)5672
ÇÖZÜM
Dört basamaklı bir doğal sayı yazılırken;
Binler basamağına sıfır dıĢında
9 rakamdan biri,
yüzler,onlar ve birler basamaklarına da
10 ar rakam yazılabileceğinden;
Çarpma yöntemi gereği;
__ __ __ __
9 . 10. 10. 10 = 9000 sayı yazılabilir.
Basamakları farklı dört basamaklı bir
doğal sayı yazmak için;
Binler basamağına sıfır dıĢında
9 rakamdan biri,
Yüzler basamağına, kullanılan rakam
dıĢında kalan 9 rakamdan biri,
Onlar basamağına, kullanılan iki rakam
dıĢında kalan 8 rakamdan biri,
Birler basamağına da, kullanılan üç rakam
dıĢında kalan yedi rakamdan biri yazılır.
__ __ __ __
9 . 9 . 8 . 7 = 4536 sayı yazılabilir.
Yazılabilecek tüm dört basamaklı doğal
sayıların adedinden, rakamları farklı
olanlar çıkarıldığında; en az iki basamağı
aynı olan dört basamaklı doğal sayıların
adedi bulunur.
9000-4536=4464 tane en az iki
basamağı aynı olan dört basamaklı doğal
sayı vardır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-4
Üç basamaklı doğal sayılardan kaç
tanesinde 0 rakamı kullanılır?
A)160 B)171 C)196
D)345 E)729
DNA-5
s(A)=3, s(B)=4 olmak üzere;
A dan B ye kaç tane fonksiyon
tanımlanabilir?
A)7 B)12 C)64 D)81 E)256
ÇÖZÜM
A daki 1. eleman, B deki 4 tane
elemandan biriyle,
2. eleman, B deki 4 tane
elemandan biriyle,
3. eleman, B deki 4 tane
elemandan biriyle eĢlenebilir.
Çarpma yöntemi gereği;
A daki her eleman, B deki dört
elemandan biri ile eĢlenebileceğinden,
tüm eĢlemelerin sayısı:
4.4.4 = 43 = 64 tanedir.
Doğru Seçenek C dir.
78
GENETĠK KOPYA-5
s(A)=3, s(B)=4 olmak üzere;
A dan B ye kaç tane bire-bir fonksiyon
tanımlanabilir?
A)7 B)12 C)24 D)40 E)64
DNA-6
600 sayısının kaç tane pozitif tamsayı
böleni vardır?
A)12 B)16 C)18 D)24 E)30
ÇÖZÜM
Tüm sayı sorularında olduğu gibi
öncelikle 600 sayısını asal çarpanlarına
ayıralım.
600=23.3.52
Bölüm özdeĢliği hatırlandığında;
600 sayısının pozitif tamsayı
bölenlerinde:
2 olmayabilir, 2 olabilir, 4 olabilir,
8 olabilir. (4 seçenek)
3 olmayabilir, 3 olabilir.
(2 seçenek)
5 olmayabilir, 5 olabilir, 25 olabilir.
(3 seçenek)
seçenek sayıları çarpımı: 4.2.3=24
Doğru Seçenek D dir.
KURAL: Farklı asal çarpanlarının
üslerinin birer fazlalarının çarpımı kadar
pozitif tamsayı böleni vardır.
GENETĠK KOPYA-6
144 sayısının kaç tane pozitif tamsayı
böleni vardır?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)15
DNA-7
{0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile;
Üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A)100 B)120 C)160
D)180 E)200
ÇÖZÜM
Yüzler basamağına:
0 dıĢında beĢ rakamdan biri,
Onlar basamağına:
altı rakamdan biri,
Birler basamağına:
altı rakamdan biri yazılabileceğinden ;
5.6.6=180 sayı yazılabilir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-7
{0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile;
Üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç
doğal sayı yazılabilir?
A)100 B)120 C)160
D)180 E)200
79
KONU TESTĠ
1. A kentinden B kentine 5, B kentinde
de C kentine 6 değiĢik yolla
gidilebilmektedir.
B kentine uğramak koĢuluyla, A
kentinden C kentine kaç değiĢik yolla
gidilebilir?
A)10 B)11 C)12 D)25 E)30
2. A kentinden B kentine 5, B kentinden
de C kentine 6 değiĢik yolla
gidilebilmektedir. Ayrıca A kentinden C
kentine B ye uğramadan gidilebilen 5
farklı yol daha vardır.
A kentinden C kentine kaç farklı yoldan
gidilebilir?
A)11 B)16 C)30 D)35 E)36
3. Üç kiĢinin katıldığı bir sınav baĢarı
yönünden kaç farklı Ģekilde
sonuçlanabilir?
A)3 B)6 C)8 D)9 E)12
4. 240 sayısının kaç tane pozitif
tamsayı böleni vardır?
A)10 B)16 C)20 D)24 E)32
5. Bir düzgün sekizgenin köĢelerini köĢe
kabul eden kaç tane dikdörtgen
çizilebilir?
A)3 B)6 C)12 D)16 E)24
6. Bir düzgün sekizgenin köĢelerini köĢe
kabul eden kaç tane dik üçgen
çizilebilir?
A)8 B)16 C)24 D)32 E)40
7. 0,1,2,3,4 Rakamları kullanılarak
3 basamaklı kaç tane doğal sayı
yazılabilir?
A)100 B)120 C)125
D)160 E)200
8. 10 elemanlı bir kümenin kaç tane
alt kümesi vardır?
A)10 B)20 C)100 D)210 E)200
9. 3!.5!.7! sayısının pozitif tamsayı
bölenlerinden kaç tanesi bir doğal
sayının kübüdür?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
80
10. 450 ile 700 arasında yalnız
3,4,5,6,7,8 rakamları kullanılarak
yazılabilen kaç tane tek sayı vardır?
A)32 B)37 C)45 D)48 E)96
11. BeĢ basamaklı kaç tane çift doğal
sayı vardır?
A)33333 B)45000 C)50000
D)75000 E)90000
12. Üç basamaklı kaç tane doğal sayı
yazılabilir?
A) 100 B) 450 C) 899
D) 900 E) 901
13. Üç basamaklı kaç tane çift doğal
sayı yazılabilir?
A) 100 B) 450 C) 500
D) 620 E) 750
14. abcba Ģeklindeki sayılara Yansıyan
sayılar denir.
BeĢ basamaklı doğal sayılardan kaç
tanesi yansıyandır?
A) 450 B) 500 C) 750
D) 900 E) 1200
15. BeĢ basamaklı yansıyan doğal
sayılardan kaç tanesi çifttir?
A) 225 B) 400 C) 500
D) 600 E) 900
16. 8 erkek, 9 kız arasından ; bir erkek
veya bir kız öğrenci kaç değiĢik
Ģekilde seçilebilir?
A) 8 B) 9 C) 17
D) 72 E) 216
1.E 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A
8.D 9.E 10.D 11.B 12.D 13.B
14.D 15.B 16.C
81
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
A={a1,a2,…,an} kümesinin
olmak üzere elemanlarından
r tanesinin sıralanmasına n elemanın
r-li bir permütasyonu denir.
tanedir.
Permütasyon ile ilgili çok karĢılaĢağımız
iki önemli özellik;
ve dir.
A={a,b,c,d} kümesinin
3 lü permütasyonlarını incelediğimizde;
P(4,3)= 4.3.2=24 tane olduğu görülür.
abc bac cab dab
acb bca cba dba
abd bad cad dac
adb bda cda dca
acd bcd cbd dbc
adc bdc cdb dcb
DNA-8
E={a,b,c,,,,x,y,z} 26 harfli Ġngiliz abc si.
21 sessiz, 5 sesli harf var.
Ġlk ve son harfleri farklı sesli
harflerden, diğerleri farklı sessiz
harflerden oluĢan 5 harfli kaç kelime
yazılabilir?
A)79800 B)80100 C)85400
D)125400 E)159600
ÇÖZÜM
Ġlk ve son harflerde:
5 sesli harften ikisi; P(5,2)
araya: 21 sessiz harften üçü; P(21,3)
Ģekilde sıralanabilir.
Hepsi birlikte:
P(5,2).P(21,3)=5.4.21.20.19=159 600
ġekilde sıralanabilir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-8
7 erkek, 3 kız öğrenci yan yana
3 kız bir arada olacak biçimde kaç
değiĢik biçimde sıralanabilir?
A)7! B)8! C)2!8! D)3!8! E)9!
DNA-9
20000 ile 70000 arasında rakamları
tekrarsız kaç çift sayı vardır?
A)336 B)672 C)1344
D)3360 E)7392
ÇÖZÜM
On binler basamağına; A={2,3,4,5,6}
Birler basamağına; B={0,2,4,6,8}
kümesinin elemanlarından biri
yazılacaktır. AB={2,4,6}
On binler basamağına; {2,4,6} dan biri
yazılırsa,
Birler basamağına; B de kalan dört
elemandan biri,
diğer üç basamağa da kalan sekiz
rakamdan üçü yazılır.
3.4.P(8,3) sayı yazılır. VEYA
nr 0
!
!,
rn
nrnP
1...21 rnnnn
10, nP !, nnnP
82
On binler basamağına; {3,5} ten biri
yazılırsa,
Birler basamağına; B den biri ve diğer
üç basamağa da kalan sekiz rakamdan
üçü yazılır.
2.5.P(8,3) sayı yazılır.
Hepsi birlikte:
3.4.P(8,3)+2.5.P(8,3)=7392 sayı.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-9
20000 ile 70000 arasında rakamları
tekrarsız kaç tek sayı vardır?
A)2336 B)2672 C)3344
D)3360 E)7728
DNA-10
{1,3,5,7} kümesinin elemanları ile
rakamları tekrarsız yazılabilen tüm
doğal sayıların toplamları kaçtır?
A)106656 B)106672 C)107200
D)117856 E)118974
ÇÖZÜM
Bir basamaklı: P(4,1)=4 tane
Ġki basamaklı: P(4,2)=4.3=12 tane
Üç basamaklı: P(4,3)=4.3.2=24 tane
Dört basamaklı: P(4,4)=4.3.2.1=24 tane
sayı yazılabilir.
Hepsi birlikte: 4+12+24+24=64 tane
sayı vardır.
Bir basamaklıların toplamı:
1+3+5+7=16
Ġki basamaklıların toplamı:
12 tane sayının her basamağında, her
rakam 12:4=3 er kez kullanılmıĢtır.
Toplam: 3.16.10+3.16=528
Üç basamaklıların toplamı:
24 tane sayının her basamağında, her
rakam 24:4=6 Ģar kez kullanılmıĢtır.
Toplam:6.16.100+6.16.10+6.16=10656
Dört basamaklıların toplamı:
24 tane sayının her basamağında, her
rakam 24:4=6 Ģar kez kullanılmıĢtır.
Toplam:
6.16.1000+6.16.100+6.16.10+6.16=106656
Tümünün toplamı:
106656+10656+528+16=117856 dır.
Doğru Seçenek D dir.
YADA !!!
Yazılabilecek sayıların ortalamaları, sayı
adedi ile çarpılarak toplam bulunur.
Bir basamaklıların toplamı: 1+7
2. 4 = 16
Ġki basamaklıların toplamı: 13+75
2. 12 = 528
Üç basamaklıların toplamı: 135+753
2. 24 = 10656
Dört basamaklıların toplamı: 1357+7531
2. 24 = 106656
Tümünün toplamı:
106656+10656+528+16=117856 dır.
GENETĠK KOPYA-10
{1,3,5,7} kümesinin elemanları ile
rakamları tekrarsız yazılabilen dört
basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru
sıralandığında, baĢtan 19. sayı kaçtır?
A)7135 B)7153 C)7315
D)7351 E)7513
83
DÖNEL SIRALAMA
s(A)=n ve 0 r n olmak üzere;
r elemanın dönel sıralama sayısı:
dir.
!
A={a,b,c,d} kümesinin 3 lü
permütasyonlarının,
P(4,3)=4.3.2=24 tane olduğunu
görmüĢtük.
Aynı kümenin 3 lü dönel sıralamalarının
sayısı;
Q(4,3)= 83
2.3.4
3
)3,4(
P
tanedir.
DNA-11
5 erkek, 3 kız öğrenci yuvarlak masa
etrafına sıralanacaktır. Erkeklerden Ali
ile kızlardan Bahar’ın yan yana olması
istendiğine göre, sıralama kaç değiĢik
Ģekilde yapılabilir?
A)720 B)900 C)1080
D)1440 E)1620
ÇÖZÜM
Ali ve Baharı bir eleman olarak
düĢündüğümüzde, diğer 6 kiĢi ile birlikte
yuvarlak masa etrafına sıralanacak 7 kiĢi
vardır.
Q(7,7)=(7-1)!=6!
Ali ve Bahar da kendi aralarında 2!
Ģekilde sıralanır.
Tümü bir arada düĢünülürse:
6!.2! sıralama vardır. 6!.2=1 440
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11
5 erkek, 3 kız öğrenci yuvarlak masa
etrafına sıralanacaktır. Erkeklerden Ali
ile kızlardan Bahar’ın yan yana olması
istenmediğine göre, sıralama kaç değiĢik
Ģekilde yapılabilir?
A)720 B)900 C)1080
D)1440 E)3600
DNA-12
6 evli çift yuvarlak masa etrafına
sıralanacaktır.
Herhangi iki bayanın yan yana gelmesi
istenmediğine göre, kaç değiĢik Ģekilde
sıralama yapılabilir?
A)6! B)2.6! C)5!.6!
D)(6!)2 E)6!.7!
ÇÖZÜM
Önce 6 bayanı yuvarlak masa etrafına;
Q(6,6)=(6-1)!=5! ġekilde sıralanır.
Sonra bayanlar arasında kalan 6 yere
erkekleri 6! Ģekilde sıralayabiliriz.
Ġkisi birlikte düĢünüldüğünde;
5!.6! Ģekilde sıralama yapılabilir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-12
6 evli çift yuvarlak masa etrafına
sıralanacaktır.
EĢlerin birbirlerinden ayrılmaları
istenmediğine göre, kaç değiĢik Ģekilde
sıralama yapılabilir?
A)5! B)6! C)2.5! D)2.6! E)26.5!
r
rnPrnQ
,,
!1,
, nn
nnPnnQ
84
TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane elemandan r1,r2,…,rn tanesi aynı ve
r1+r2+…+rn=n olmak üzere n elemanın
tekrarlı permütasyonlarının sayısı:
dir.
IġIK-3
A={a1,a2,…,an} kümesinin r elemanlı
tekrarlı permütasyonlarının sayısı:
1. sıraya, n tane elemandan biri;
2. sıraya, n tane elemandan biri;
………..
r. sıraya, n tane elemandan biri
yazılabileceğinden,
r tane n in çarpımı (nr) kadar sıralama
yapılabilir.
DNA-13
A={a,b,c} kümesinin 2 li tekrarlı
permütasyonları kaç tanedir?
A)5 B)6 C)8 D)9 E)12
ÇÖZÜM
A kümesinin 2 li permütasyonlarını
yazdığımızda;
aa , ab , ba , ac , ca , bb , bc , cb , cc
olmak üzere 32=9 tanedir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-13
Yan yana 4 ev, 6 renk boya ile kaç
değiĢik Ģekilde boyanır?
A)10 B)24 C)64 D)46 E)104
DNA-14
a,a,a,b,c harfleri ile 5 harfli kaç kelime
yazılabilir?
A)3 B)8 C)15 D)16 E)20
ÇÖZÜM
5 harf sıralanacak, bunlardan 3 tanesi
aynı.
P(5; 3,1,1)= !1!.1!.3
!55.4=20
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-14
2 tane 0, 3 tane 1, 5 tane 2 rakamıyla;
10 basamaklı kaç Ģifre yazılabilir?
A)1250 B)1460 C)1640
D)2520 E)2680
DNA-15
A dan B ye, C den geçme koĢulu ile en
kısa yoldan kaç değiĢik Ģekilde
gidilebilir?
A)18 B)20 C)32 D)35 E)40
!!...!
!,...,,;
21
21
n
nrrr
nrrrnP
85
ÇÖZÜM
Yatay yollar : 1 sembolü ile,
Dikey yollar : 0 sembolü ile
gösterildiğinde;
A dan, B ye en kısa yol: 4 tane 1, 3 tane
0 sembolü ile yazılabilecek Ģifre sayısı
kadardır.
1101001 gibi.
P(7; 4,3)= 35!3!.4
!7
C den geçmek koĢulu ile:
A dan, C ye: P(3; 2,1)= 3!2
!3
C den, B ye: P(4; 2,2)= 6!2!.2
!4
A dan, C ye VE C den, B ye:
3.6=18 yoldan gidilebilir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-15
A dan B ye, C den geçmemek koĢulu ile
en kısa yoldan kaç değiĢik Ģekilde
gidilebilir?
A)17 B)18 C)19 D)20 E)21
DNA-16
6 tane özdeĢ portakal, 3 çocuğa kaç
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir?
A)26 B)28 C)30 D)32 E)36
ÇÖZÜM
Portakallar 0 sembolü ile , ayıraçlar 1
sembolü ile gösterilirse; iki tane ayıraç,
altı portakalı üç bölüme ayırır.
Örneğin: 00100010 yazılımında;
1. çocuk 2,
2. çocuk 3,
3. çocuk 1 portakal almıĢtır.
6 tane 0, 2 tane 1 sembolü ile
yazılabilecek Ģifrelerin sayısı;
Dağılım sayısı: P(8; 6,2)= 28!2!.6
!8
dir.
IġIK-4
Dağıtılacak özdeĢ nesne sayısı: r
KiĢi sayısı: n ise ;
Her birine en az bir tane koĢuluyla;
C(r-1, n-1) dağılım vardır.
GENETĠK KOPYA-16
6 tane özdeĢ portakal, 3 çocuğa, her
çocuk en az bir portakal almak koĢuluyla
kaç değiĢik Ģekilde dağıtılabilir?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)16
86
KONU TESTĠ
1. 2 rakamı kullanılmadan yazılan ve
4 ile bölünebilen üç basamaklı kaç tane
doğal sayı yazılabilir?
A) 124 B)132 C) 136
D) 148 E) 152
2. 1,2,3,4,5,6 rakamları birer kez
kullanılarak ya 3 ile baĢlayan ya da 4
ile biten altı basamaklı kaç doğal sayı
yazılabilir?
A) 192 B) 208 C) 224
D) 240 E) 260
3. {0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları
kullanılarak , dört basamaklı ,
rakamları tekrarsız, 3 ile bölünebilen
kaç tane pozitif tamsayı yazılabilir?
A) 18 B) 36 C) 42
D) 96 E) 108
4. A={a,b,c,d} ve B={1,2,3} kümeleri için;
A dan B ye tanımlanan fonksiyonlardan
kaç tanesi örtendir?
A) 33 B) 36 C) 48
D) 64 E) 81
5.
A dan B ye, O dan geçmek koĢulu ile en
kısa yoldan kaç değiĢik Ģekilde
gidilebilir?
A) 20 B) 40 C) 60
D) 80 E) 84
6. x+y+z=5 denkleminin
pozitif tamsayılarda kaç değiĢik çözümü
vardır?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
7. Soru 6. daki denklemin doğal
sayılarda kaç değiĢik çözümü vardır?
A) 6 B) 15 C) 21
D) 30 E) 42
8. BeĢ tane madeni 1 YTL. , 8 farklı
kumbaraya kaç değiĢik Ģekilde
atılabilir?
A) 40 B) 72 C) 792
D) 58 E) 85
87
9.
A dan B ye en kısa yoldan kaç değiĢik
Ģekilde gidilebilir?
A) 16 B) 18 C) 24
D) 32 E) 34
10.
75
aa ve )2,(aPb ise
a+b toplamı kaçtır?
A) 4 B) 78 C) 144
D) 1325 E) 1500
11. 5 çeĢit dondurma satılan büfeden 3
tane dondurma almak isteyen kiĢi kaç
değiĢik seçim yapabilir?
A)20 B)35 C)42 D)56 E)64
12. 10 farklı ders kitabından, 4 ü
Matematik, 3 ü Fizik, 3 ü de Türkçe
kitabıdır. Aynı dersin kitapları bir
arada olmak üzere yan yana kaç
farklı Ģekilde sıralanabilir?
A)3!3!4!3! B)10! C)3!4!3!
D) 10!
3!4!3! E)
3!4!3!
2′
13. Oyanın aralarında bulunduğu 7 kiĢi
yan yana sıralanacaklardır.
Oya 4. Sırada olmak üzere bu sıralama
kaç değiĢik Ģekilde yapılabilir?
A)4! B)5! C)6! D)7! E)8!
14. Yalnız iki basamağı aynı, diğer
basamakları farklı, dört basamaklı
kaç doğal sayı yazılabilir?
A)2880 B)3888 C)4000
D)4320 E)4536
15. 4 kiĢi yuvarlak masa etrafına kaç
farklı Ģekilde sıralanabilir?
A)4 B)6 C)12 D)24 E)30
16. 123456 sayısının rakamlarının
yerleri değiĢtirilerek yazılabilen altı
basamaklı doğal sayılardan kaç
tanesinde, 3 rakamı 4 rakamının
solunda yer alır?
A)120 B)240 C)360
D)480 E)720
1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C
8.C 9.E 10.C 11.B 12.A 13.C
14.B 15.B 16.C
88
KOMBİNASYON:
S(A) = n ve olmak üzere;
A kümesinin r elemanlı alt kümelerine
n elemanın r-li bir kombinasyonu denir.
tanedir.
IġIK-5
DNA-17
A={a,b,c,d} kümesinin 3-lü
kombinasyonları kaç tanedir?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
ÇÖZÜM
A kümesinin 3-lü kombinasyonları;
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} , {b,c,d}
olmak üzere;
tanedir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17
5 kiĢi içinden 3 kiĢilik bir grup kaç
değiĢik Ģekilde seçilebilir?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)15
DNA-18
4 öğretmen, 7 öğrenciden oluĢan 11 kiĢi
arasından, 2 tanesi öğretmen olmak
üzere; 5 kiĢilik grup kaç değiĢik Ģekilde
seçilebilir?
A)210 B)210 C)246
D)360 E)462
ÇÖZÜM
4 öğretmen arasından, 2 öğretmen;
42 =
4.3
2.1= 6
7 öğrenci arasından, 3 öğrenci;
73 =
7.6.5
3.2.1= 35
Ģekilde seçilebilir.
Ġkisi birlikte düĢünüldüğünde;
6.35=210 Ģekilde seçim yapılabilir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-18
5 matematik, 6 türkçe kitabı arasından
2 matematik, 3 türkçe kitabı kaç farklı
Ģekilde seçilebilir?
A)100 B)160 C)200
D)240 E)300
nr 0
!!.
!
!
,,
rrn
n
r
rnP
r
nrnC
rn
n
r
n
10
n
1
n
n
1
1
r
n
r
n
r
n
43
4
89
DNA-19
6 köĢeli konveks çokgenin köĢegenleri en
çok kaç noktada kesiĢir?
(Çokgenin köĢeleri dıĢındakiler)
A)6 B)8 C)12 D)15 E)16
ÇÖZÜM
Farklı iki doğru en çok bir noktada
kesiĢir.
Farklı iki nokta bir ve yalnız bir doğru
belirtir.
Önermeleri gereği;
6 noktadan oluĢturulabilecek doğru
parçalarının sayısı:
C(6,2)=6.5
2.1= 15 tanedir.
Bunlardan 6 tanesi kenar olacağından;
15-6=9 tanesi köĢegendir.
Öncelikle 6 nokta kaç dörtgen belirtir
sorusunu yanıtlayalım.
C(6,4)=C(6,2)=15 dörtgen oluĢturulabilir.
Her dörtgenin iki köĢegeni bir nokta
belirteceğinden,dörtgen sayısı aynı
zamanda 6 köĢeli konveks çokgenin
köĢegenlerinin kesim noktalarının
sayısıdır.
Doğru Seçenek D dir.
IġIK-6
n köĢeli konveks çokgenin köĢegenlerinin
kesim noktalarının sayısı:
C( n,4)= dir.
GENETĠK KOPYA-19
Herhangi üçü doğrusal olmayan 5 nokta
kaç doğru belirtir?
A)6 B)10 C)15 D)21 E)28
Permütasyon ve Kombinasyon örneklerini
verdikten sonra, Ģimdi de bunlar
arasındaki farkı vurgulayacak ve birkaç
önemli noktaya değineceğimiz bir seri
soru çözelim birlikte.
10 kiĢilik bir sınıftan 2 kiĢi seçilecektir.
Bu seçim kaç değiĢik Ģekilde yapılabilir?
Sorusunun yanıtı:
10 elemanlı bir kümenin, 2 elemanlı alt
kümelerinden biri olacaktır diyerek;
C(10,2)=10.9
2.1 =45 olur.
10 kiĢilik bir sınıftan biri baĢkan, diğeri
baĢkan yardımcısı olacak Ģekilde 2 kiĢi
seçilecektir.
Bu seçim kaç değiĢik Ģekilde yapılabilir?
Sorusunun yanıtı:
Seçilecek iki kiĢi kendi aralarında
sıralanacağından;
P(10,2)=10.9=90 olur.
Dikkat edilirse Kombinasyonda;
{Can, Demir} ve { Demir, Can } seçimleri
farklı seçimler olarak alınmamıĢtır.
Permütasyonda ise:
(Can, Demir) ve (Demir, Can) seçimleri
farklı seçimler olarak alınmıĢtır.
Çünkü; Kombinasyonda bir gruplama,
Kombinasyonda ise sıralama
(görevlendirme) söz konusudur.
10 kiĢilik bir sınıf ikiĢer kiĢilik gruplara
ayrılacaktır.
Kaç değiĢik gruplandırma yapılabilir?
Sorusunun yanıtı:
10 kiĢi arasından iki kiĢiyi seçtikten
sonra, kalan 8 kiĢi içinden 2 kiĢi, kalan 6
kiĢi içinden iki kiĢi, kalan 4 kiĢi arasından
da 2 kiĢi seçilecektir.
!4!4
!
n
n
90
Ardı ardına bu seçimleri
1134002
2
2
4
2
6
2
8
2
10
ġekilde yapabiliriz. Fakat seçtiğimiz ikili
grupların biri birinden farkı
olmadığından, kendi aralarında bir
sıralama söz konusu değildir. Bu yüzden
bu beĢ grubun kendi aralarındaki 5!
sıralama geçerli değildir.
9451.3.5.7.9!5
2
2
2
4
2
6
2
8
2
10
Farklı gruplandırma yapılabilir.
10 kiĢilik bir sınıf ikiĢer kiĢilik gruplara
ayrılacak ve her grup farklı yerlere
gönderilecektir.
Kaç değiĢik gruplandırma yapılabilir?
Sorusunun yanıtı:
Grupların görevleri farklı olduğundan,
sıralama söz konusudur.
1134002
2
2
4
2
6
2
8
2
10
Farklı gruplandırma yapılabilir.
Farklı soru tiplerinden söz ederken,
birde Kombinasyonun farklı bir
uygulamasından örnek verelim.
A={1,2,3,4} kümesinin 3-lü
kombinasyonları kaç tanedir?
Sorusunun yanıtı doğal olarak,
C(4,3) olacaktır.
Bunlar; {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}
tanedir.
(Burada bir eleman birden fazla
kullanılamaz.)
Eğer A kümesindeki her elemanı
istediğimiz sayıda kullanma serbestisi
verilmiĢ ise;
1,1,2 ; 1,4,4 ; 2,2,2 ; gibi
kaç tane üçlü grup oluĢturabiliriz?
IġIK-7
M={ } kümesinden her
eleman istenildiği kadar kullanılmak
üzere r elemanlı kombinasyon sayısı:
dir.
Yukarıdaki sorunun yanıtını Ģimdi verelim
n=4 ve r=3 alınacaktır.
Bir baĢka deyimle:
Dört farklı elemanın her birinden
istediğimiz sayıda almak üzere, üçlü bir
grup
C(3+4-1, 3)=C(6,3)=20 değiĢik Ģekilde
oluĢturulabilir.
DNA-20
Ġçinde üç çeĢit Ģeker bulunan bir
kavanozdan, üç Ģeker kaç değiĢik Ģekilde
seçilebilir?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)15
ÇÖZÜM
A,A,A A,A,B A,A,C A,B,B
A,C,C B,B,B B,C,C C,C,C
C,B,B A,B,C
olmak üzere;
103
5
3
1331
r
nr
tanedir.
Doğru Seçenek C dir.
43
4
naaa .,...,.,. 21
r
nr 1
91
GENETĠK KOPYA-20
3 çeĢit tost satılan büfeden 6 tost kaç
değiĢik Ģekilde alınabilir?
A)6 B)9 C)12 D)18 E)28
Permütasyon ve Kombinasyon
problemlerinde en çok kullanılan Dağıtım
Problemlerini sınıflandırmamız, bu
soruların daha kolay çözülmesine
yardımcı olacaktır.
DAĞITIM PROBLEMLERĠ:
A) r farklı nesne, n farklı kutuya kaç
farklı Ģekilde dağıtılabilir?
1) Her kutuya en çok bir tane nesne
atmak koĢulu ile: (r≤n)
P(n,r)=n(n-1)(n-2)….(n-r+1)
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.
5 farklı kitap, 6 öğrenciye, her
öğrenciye en çok bir kitap vermek koĢulu
ile;
P(6,5)=6.5.4.3.2=720
farklı Ģekilde dağıtılabilir.
2) Her kutuya istenildiği kadar nesne
atmak koĢulu ile:
n.n…n=nr
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.
5 farklı oyuncak, 6 çocuğa
6.6.6.6.6=65
farklı Ģekilde dağıtılabilir.
3) Her kutuya istenildiği kadar nesne
konabilecek fakat nesnelerin kutu
içindeki sıralanmaları önemli olacak
koĢulu ile:
n(n+1)(n+2)…(n+r-1)=
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.
5 farklı kitap, üç bölmeli bir kitaplığa
yan yana ;
3.4.5.6.7=2520
değiĢik Ģekilde sıralanabilir.
B) r özdeĢ nesne, n farklı kutuya kaç
farklı Ģekilde dağıtılabilir?
1) Her kutuya en çok bir tane nesne
atmak koĢulu ile: (r≤n)
C(n,r)=
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.
5 özdeĢ portakal, 6 çocuğa, her çocuğa
en çok bir portakal vermek koĢulu ile;
C(6,5)=C(6,1)=6
farklı Ģekilde dağıtılabilir.
2) Her kutuya istenildiği kadar nesne
atmak koĢulu ile;
C(r+n-1, r)=
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.
6 tane madeni 1 liralık, 3 farklı
kumbaraya ;
C(6+3-1, 6)=C(8,6)=C(8,2)= 8.7
2.1 =28
farklı Ģekilde dağıtılabilir.
!1
!1
n
rn
r
n
r
nr 1
92
3) Her kutuya en az bir tane nesne
atmak koĢulu ile; (r≥n)
C=(r-1, n-1)=
değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.
6 özdeĢ portakal, 3 çocuğa, her çocuğa
en az bir portakal vermek koĢulu ile;
C(6-1, 3-1)=C(5,2)= 5.4
2.1 =10
farklı Ģekilde dağıtılabilir.
DNA-21
x+y+z=5
denkleminin doğal sayı çözümlerinin
kümesi kaç elemanlıdır?
A)12 B)15 C)21 D)28 E)36
ÇÖZÜM
5 = 1+1+1+1+1
5 sayısı, 5 tane 1 sayısının toplamından
oluĢmuĢtur.
Bu durumda;
5 tane 1 sayısı, x,y,z gibi üç farklı
bilinmeyene istenildiği kadar
dağıtılacaktır.
Doğal sayılardaki çözüm kümesi:
C(5+3-1, 5)=C(7,5)=C(7,2) = 7.6
2.1 = 21
elemanlıdır.
GENETĠK KOPYA-21
x+y+z=2 denkleminin doğal sayı
çözümlerinin kümesi kaç elemanlıdır?
A)4 B)6 C)8 D)12 E)15
DNA-22
x+y+z=5
denkleminin Pozitif tamsayı çözümlerinin
kümesi kaç elemanlıdır?
A)6 B)8 C)12 D)15 E)21
ÇÖZÜM
5 = 1+1+1+1+1
5 sayısı, 5 tane 1 sayısının toplamından
oluĢmuĢtur.
Bu durumda;
5 tane 1 sayısı, x,y,z gibi üç farklı
bilinmeyene her birine en az bir tane
olmak üzere dağıtılacaktır.
Pozitif tamsayılardaki çözüm kümesi:
C(5-1, 3-1)=C(4,2)= 4.3
2.1 =6
elemanlıdır.
GENETĠK KOPYA-22
x+y+z+t=7
denkleminin Pozitif tamsayı çözümlerinin
kümesi kaç elemanlıdır?
A)12 B)15 C)18 D)20 E)21
1
1
n
r
93
BĠNOM TEOREMĠ
Çarpanlara ayırma konusunda
x∓y ifadesinin karesinin, kübünün, …
açılımını görmüĢtük.
Bu bölümde de bu açılımların
Kombinasyon ve Permütasyonla olan
iliĢkilerini inceleyeceğiz.
HAZĠNE
= 𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1𝑦 +𝑛(𝑛−1)
1.2𝑥𝑛−2𝑦2 + …
+𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …(𝑛−𝑟+1)
1.2.3…𝑟𝑥𝑛−𝑟𝑦𝑟+ . .. +𝑦𝑛
IġIK-8
BaĢtan (r+1) inci terim :
rrn yxr
n
dir.
DNA-23
(a+b)5 ifadesinin açılımında baĢtan
üçüncü terim aĢağıdakilerden hangisidir?
A)5a4b B)10a3b2 C)10a2b3
D)5ab4 E)a3b3
ÇÖZÜM
(a+b)5 ifadesini Binom Teoremine göre
açtığımızda;
(a + b)5 = a5 + a4b + a3b² +
a2b3 + ab4 + b5
Ġfadeyi düzenlediğimizde (a + b)5 =a5 +5a4b +10a³b² +10a²b³ +5ab4 +b5
olduğu görülür.
BaĢtan üçüncü terim 10a³b² dir.
Doğru Seçenek B dir.
YADA !!!
IġIK-8 den;
rrn yxr
n
n=5 ve r+1=3 ⟹ r=2 alınır.
5 2 2 3 2 3 25 5.4
102 2.1
n r rn
x y a b a b a br
GENETĠK KOPYA-23
(a+b)12 ifadesinin açılımında baĢtan
beĢinci terim aĢağıdakilerden hangisidir?
A)495a8b4 B)495a9b3 C)495a4b8
D)495a5b7 E)495a3b9
IġIK-9
(x+y)n ifadesinin açılımında terimlerin
katsayılarının toplamı 2n dir.
nrrnnnny
n
nyx
r
nyx
nx
nyx
......
10
1
rrnn
r
yxr
n
0
n
r r
n
0
n
n
nnn2...
10
94
IġIK-10
(x+y)n ifadesinin açılımında çift
numaralı terimlerin katsayıları toplamı,
tek numaralı terimlerin katsayıları
toplamına eĢit ve 2n-1 dir.
DNA-24
(x - 1
x )10 ifadesinin açılımında baĢtan
dördüncü terim aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)120x4 B) -120x4 C)120x5
D) -120x5 E)120x3
ÇÖZÜM
n=10 ve r+1=4 ⇒ r=3 olduğundan;
3
10 3 7
3
4
10 1 10.9.8 1
3 3.2.1
120
n r rn
x y x xr x x
x
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-24
(1+ 1
x )18 ifadesinin açılımında baĢtan on
beĢinci terim aĢağıdakilerden hangisidir?
A)3060x13 B)3060x14 C)3060x-13
D)3060x-14 E)3060x-15
Ġki terimlilerden hareketle çok
terimlilerin kuvvetlerinin açılımına
geçersek;
r1+r2+ … +rm =n olmak üzere
tekrarlı kombinasyonu
n
r1 . rm
=n!
r1 . r2 … rm
ġeklinde gösterdiğimizde;
IġIK-11
Olarak verilebilir.
(x+y+z)4=x4+y4+z4
+4x3y+4x3z+4xy3+4y3z+4xz3+4yz3
+6x2y2+6x2z2+6y2z2
+12x2yz +12xy2z+12xyz2
Katsayılar toplamı: mn dir.
34=81
Farklı terim sayısı: dir
4 + 3 − 1
4 =
6.5
2.1= 15
Katsayılar içinde en büyüğü:
n=mr ise dir.
n=mr+k ise dir.
mr
m
rr
m
n
m xxxrrr
nxxx ...
..... 21
21
21
21
n
mn 1
mr
n
!
!
mkrr
n
!1
!
95
KONU TESTĠ
1. 15 farklı kitap içinden üç kitap kaç
farklı Ģekilde seçilebilir?
A)15! .B)455 C)520
D)675 E)15!3!
2. Konveks altıgenin kaç tane köĢegeni
vardır?
A)6 B)7 C)8 .D)9 E)12
3. BeĢ basamaklı, rakamları büyükten
küçüğe doğru sıralanmıĢ kaç tane
doğal sayı vardır?
A)11 B)126 .C)252
D)504 E)15120
4. Ġki veya daha fazla basamaklı doğal
sayılarda ,
ab öyle ki a >b ,
abc öyle ki; a >b >c … koĢulunu
sağlayanlara azalan sayılar denir.
Örneğin; 641 sayısı azalan, 44 veya 645
sayıları azalan değildir.
Kaç tane azalan sayı yazılabilir?
A) 45 B) 120 C) 210
.D) 1013 E) 1024
5. 13 KiĢi arasından, 10 ve 3 kiĢilik iki
gurup kaç değiĢik Ģekilde
oluĢturulabilir?
.A)C(13,3) B)C(10,3) C)C(10,7)
D)13.12.11 E)720
6. 20 kız 10 erkek öğrenci arasından, 3
kız 4 erkek olmak üzere 5 kiĢilik
gurup kaç değiĢik Ģekilde
oluĢturulabilir?
A)C(30, 5) B)C(20, 5).C(10, 5)
.C)C(20, 3).C(10,2) D)C(20,2).CC(10,3)
E)20!.10!
7. Bir çember üzerinde alınan 10 farklı
noktayı köĢe kabul eden kaç değiĢik
konveks çokgen çizilebilir?
A) 1024 .B) 968 C) 862
D) 746 E) 620
8. 5 değiĢik öykü kitabı, 6 değiĢik Ģiir
kitabı ve 8 değiĢik romandan aynı
türden olmamak koĢulu ile iki kitap
kaç değiĢik Ģekilde seçilebilir?
A) 19 B) 88 .C) 118
D) 189 E) 240
96
9. 8 kız, 9 erkek arasından ; bir kız ve
bir erkek olmak üzere iki kiĢi kaç
değiĢik Ģekilde seçilebilir?
A) 8 B) 9 C) 17
.D) 72 E) 216
10. Dokuz kiĢilik bir öğrenci
grubundan üçer kiĢilik üç grup kaç
değiĢik Ģekilde oluĢturulabilir?
A) 1680 B) 840 C) 420
.D) 280 E) 140
11. 6 tane farklı nesne ve 6 tane de
özdeĢ nesne verilmiĢtir. Bu 12
nesneden kaç değiĢik biçimde
6 nesne seçmek mümkündür?
A) 36 .B) 64 C) 72
D) 90 E) 123
12. Dokuz farklı kitap, her kiĢiye
üçer kitap düĢmek üzere, üç kiĢiye
kaç farklı Ģekilde paylaĢtırılabilir?
.A) 1680 B) 840 C) 420
D) 280 E) 140
13. 10 farklı Ģekerlemenin bulunduğu
bir büfeden üç Ģekerleme kaç değiĢik
Ģekilde seçilebilir?
A)120 B)180 .C)220
D)240 E)260
14. 10 farklı yemeğin bulunduğu bir
lokantada, üç farklı yemek kaç
değiĢik Ģekilde seçilebilir?
.A)120 B)180 C)220
D)240 E)260
15. 10 özdeĢ balonu Ali, Bora ve Can
arasında kaç farklı Ģekilde
dağıtabiliriz?
A)36 B)48 C)60 .D)66 E)78
16. 20 +
31 +
42 + …+
119
Toplamının değeri kaçtır?
.A)220 B)243 C)256
D)300 E)360
1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B
8.C 9.D 10.D 11.B 12.A 13.C
14.A 15.D 16.A
97
OLASILIK Konuda kullanılan tanım ve terimleri
vererek örneklerle pekiĢtirelim.
ÖRNEK UZAY:
Sonucu belli olmayan bir deneyde elde
edilmesi mümkün olan bütün sonuçların
kümesine örnek uzay denir.
Madeni bir parayı attığımızda;
E={Yazı, Tura}={Y, T}
Madeni iki para attığımızda;
E={YY, YT, TY, TT}
Bir zar atıldığında;
E={1,2,3,4,5,6}
Bir çift zar atıldığında;
E={(1,1),(1,2),(1,3), … ,(6,6)}
Madeni bir para atıldığında karĢımıza
2 durum, iki para atıldığında 2.2=4
durum,
Bir zar atıldığında karĢımıza 6 durum,
bir çift zar atıldığında 6.6=36 durum
çıktığına dikkat ediniz.
Örneğin; sınava giren bir öğrenci baĢarı
yönünden iki durumla karĢılaĢır.BaĢarılı
veya baĢarısızdır.Aynı sınava giren beĢ
öğrenci için 2.2.2.2.2=25=32 durum söz
konusudur.
OLAY:
Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine
olay denir.
Ø :imkansız olay E:kesin olay
Örnek uzayın ayrık iki alt kümesine
ayrık olaylar denir.
OLASILIK;
Örnek uzayın bütün alt kümelerinin
kümesinden [0,1] aralığına tanımlanan ve
aĢağıdaki aksiyomları sağlayan her
P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu
ve A E olayının P(A) görüntüsüne
A nın olasılık’ı denir.
O1: A E ise 0 P(A) 1
Herhangi bir olayın gerçekleĢme olasılığı
en az sıfır, en çok birdir.
O2: P(E)=1
Kesin olayın gerçekleĢme olasılığı birdir.
O3: A B=Ø ise P(A B)=P(A)+P(B)
Ayrık olaylardan birinin veya diğerinin
gerçekleĢme olasılığı, olasılıkları
toplamına eĢittir.
IġIK-1
P(Ø)=0
A B ise P(A) P(B)
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)
P(A’)=1-P(A)
Bir olayın gerçekleĢme olasılığı ile
gerçekleĢmeme olasılıkları toplamı bire
eĢittir.
Eġ OLUMLU ÖRNEK UZAY
Örnek uzayı oluĢturan deneylerin
olasılıkları eĢit ise;
E={a1,a2,…,an} için
P(a1)=P(a2)=…=P(an) ise
E örnek uzayına eĢ olumlu örnek uzayı
denir.
98
E eĢ olumlu örnek uzay, A E ,
s(A) olması istenenlerin sayısı,
s(E) olabileceklerin sayısı
P(A) olayın gerçekleĢme olasılığı ise;
P(A)= dir.
DNA-25
Bir çift zar atıldığında üstte okunan
sayılar toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
A)1/6 B)5/36 C)1/9 D)1/12 E)1/18
ÇÖZÜM
Deneyde örnek uzay;
E={(1,1),(1,2), … ,(6,6)}
s(E)=36
A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
s(A)=5
P(A)=36
5
)(
)(
Es
As
dır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-25
Bir çift zar atıldığında üstte okunan
sayılar toplamının 10 olma olasılığı
kaçtır?
A)1/6 B)5/36 C)1/9 D)1/12 E)1/18
DNA-26
6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan
torbadan aynı anda 3 top çekiliyor.
Çekilen topların üçünün de kırmızı olma
olasılığı kaçtır?
A)1/68 B)1/51 C)5/204
D)1/34 E)7/204
ÇÖZÜM
6K+4B+8M=18 TOP
18 top içinden üç top
s(E)=1.2.3
16.17.18
3
18
farklı Ģekilde
alınabilir.
Ġstenen 6 kırmızı top arasından üç
kırmızı top almak. O da
s(A)=1.2.3
4.5.6
3
6
farklı Ģekilde alınabilir
P(A)=16.17.18
4.5.6
)(
)(
Es
As
=5/204
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-26
6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan
torbadan aynı anda 3 top çekiliyor.
Çekilen topların üçünün de beyaz olma
olasılığı kaçtır?
A)1/68 B)1/51 C)5/204
D)1/34 E)1/204
)(
)(
Es
As
99
DNA-27
6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan
torbadan çekilen top geriye atılmaksızın
ard arda 3 top çekiliyor.
Birinci topun kırmızı, ikincinin beyaz ve
üçüncünün de mavi olma olasılığı kaçtır?
A)4/17 B)3/17 C)3/34
D)2/51 E)5/68
ÇÖZÜM
Çekilen ilk topun kırmızı olma olasılığı:
Torbadaki 18 toptan 6 tanesi kırmızı
olduğundan 6
18=
1
3
Ġkinci topun beyaz olma olasılığı:
Torbada kalan 17 toptan 4 tanesi beyaz
olduğundan 4
17
Üçüncü topun mavi olma olasılığı:
Torbada kalan 16 toptan 8 tanesi mavi
olduğundan 8
16=
1
2 dir.
Üç olayın ard arda gerçekleĢme olasılığı: 1
3.
4
17.
1
2=
2
51 dir.
Doğru Seçenek D dir.
UYARI
DNA-27 de istenen, torbadan alınan üç
topun farklı renklerde olmasından
farklıdır.
Çekilen topların farklı renkte olma
olasılığı:
C(6,1).C(4,1).C(8,1)
C(18,3)=
4
17 dir.
Bu olasılıkta;
KBM, KMB, MKB, MBK, BKM, BMK
olaylarının tümü gerçekleĢmektedir.
GENETĠK KOPYA-27
6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan
torbadan çekilen top geriye atılmaksızın
ard arda 3 top çekiliyor.
Birinci ve ikinci topun kırmızı, üçüncü
topun beyaz olma olasılığı kaçtır?
A)1/68 B)1/51 C)5/204
D)1/34 E)7/204
DNA-28
A nın problemi çözme olasılığı 4/5,
B nin 2/3, C nin 3/7 dir.
Üçü de uğraĢtığında problemin çözülmüĢ
olma olasılığı kaçtır?
A)4/105 B)1/35 C)101/105
D)34/35 E)67/70
ÇÖZÜM
Problemi çözememe olasılıkları;
P(A’)=1-5
1
5
4
P(B’)=1-3
1
3
2
P(C’)=1-7
4
7
3
Üçünün de problemi çözememe olasılığı:
P(A’B’C’)=105
4
7
4.
3
1.
5
1
Problemin çözülmüĢ olma olasılığı:
1-105
101
105
4
dir.
Doğru Seçenek C dir
GENETĠK KOPYA-28
Alinin problemi çözme olasılığı 2/5,
Berkin problemi çözme olasılığı 3/4 ise
problemin çözülmüĢ olma olasılığı kaçtır?
A)3/20 B)17/20 C) 4/5
D)2/3 E)19/22
100
KOġULLU OLASILIK
B olayının gerçekleĢmiĢ olması halinde, A
olayının olasılığına
A nın, B koĢullu olasılığı denir.
P(A\B) = = dir.
Benzer Ģekilde; B nin, A koĢullu olasılığı;
P(B\A) = P(A∩B)
P(A)= s(A∩B)
s(A) dır.
AĢağıda Ģema ile verilen deneyde her
sonuç bir nokta ile gösterilmektedir.
E örnek uzayı için; s(E)=16.10=160
A⊂E olayı için; s(A)=6.10=60
A⊂E olayı için; s(B)=5.5=25
s(A∩B)=1.3=3 olsun.
P(A)=s(A)
s(E)=
60
160=
3
8
P(B)=s(B)
s(E)=
25
160=
5
32
P(A⋂B)=s(A⋂B)
s(E)=
3
160
P(A\B) = = = 3
25
P(B\A) = P(A∩B)
P(A)= s(A∩B)
s(A)= 3
60=
1
20
DNA-29
Hilesiz bir madeni para üç kez atılıyor.
Üçüncü atıĢta da Tura gelmesi koĢulu ile
ikinci atıĢta Tura gelmesi olasılığı
kaçtır?
(Soru; üçüncü atıĢta Tura geldiği
bilindiğine göre, ikinci atıĢta Tura
gelmesi olasılığı nedir? ġeklinde de ifade
edilebilir.)
A)1/2 B)1/3 C)2/3 D)1/4 E)3/4
ÇÖZÜM
Bir madeni para atıldığında Yazı ve Tura
olmak üzere iki durum söz konusu
olduğundan, üç kez atıldığında 2.2.2=8
durum söz konusudur.
Örnek uzay,
E={TTT,TTY,TYT,YTT,TYY,YTY,YYT,TTT}
s(E)=8
Ġkinci atıĢta Tura gelmesi olayı,
A={TTT,TTY,YTT,YTY}
s(A)=4 P(A)=4
8=
1
2
Üçüncü atıĢta Tura gelmesi olayı,
B={TTT,YTT,TYT,YYT}
s(B)=4 P(B)=4
8=
1
2
A⋂B={TTT,YTT}
s(A⋂B)=2 P(A⋂B)=2
8=
1
4
BP
BAP Bs
BAs
BP
BAP Bs
BAs
101
P(A\B) = = =2
4=
1
2
Doğru Seçenek A dır
GENETĠK KOPYA-29
Bir çift zar atılıyor. Zarlardan en az
birinin iki olduğu bilindiğine göre, üstte
okunan sayıların toplamının 7 gelmesi
olasılığı kaçtır?
A)1/6 B)2/11 C)1/4 D)1/3 E)2/10
BAĞIMSIZ OLAYLAR
P(A\B)=P(A) ve P(B\A)=P(B)
olma durumunda;
P(A\B) =
P(B\A) = P(A∩B)
P(A) eĢitliklerinden
P(A B)=P(A).P(B) bulunur.
Bu koĢulu sağlayan A ve B olaylarına
Bağımsız olaylar denir.
DNA-30
I nolu torbada; 2 siyah, 3 beyaz top
II nolu torbada; 1 siyah, 1 beyaz top
bulunmaktadır.
Torbaların rastgele birinden bir top
çekiliyor. Çekilen topun siyah olduğu
bilindiğine göre, I nolu torbadan alınma
olasılığı kaçtır?
A)1/4 B)1/5 C)3/5 D)2/5 E)4/9
ÇÖZÜM
Deneyi ağaç çizelgesi Ģeklinde
gösterelim.
Top çekilecek iki torba bulunduğundan
torbaları seçme olasılıkları;
P(I)=1/2 ve P(II)=1/2 dir.
I nolu torbadan;
Siyah top çekme olasılığı: P(S)=2/5
Beyaz top çekme olasılığı: P(B)=3/5
II nolu torbadan;
Siyah top çekme olasılığı: P(S)=1/2
Beyaz top çekme olasılığı: P(B)=1/2
Çekilen topun, I nolu torbadan ve Siyah
top olma olasılığı;
P(I∩S) = P(I).P(S) = 12 . 2
5= 1
5
Çekilen topun, II nolu torbadan ve Siyah
top olma olasılığı;
P(II∩S) = P(II).P(S) = 1
2.
1
2=
1
4
P(I\S) = P(I∩S)
P(S)=
P(I∩S)
P I∩S +P(II∩S)
=1
51
5+
1
4
=4
9
Doğru Seçenek E dir
BP
BAP Bs
BAs
BP
BAP
102
GENETĠK KOPYA-30
I nolu torbada; 2 siyah, 3 beyaz top
II nolu torbada; 1 siyah, 1 beyaz top
bulunmaktadır.
Torbaların rastgele birinden bir top
çekiliyor. Çekilen topun siyah olduğu
bilindiğine göre, II nolu torbadan alınma
olasılığı kaçtır?
A)1/4 B)1/5 C)5/9 D)2/5 E)4/9
BĠNOM DAĞILIM FONKSĠYONU
n tane bağımsız deneyin her birinden
olumlu sonuç elde edilme olasılığı p olsun.
Bu n tane deneyden r tane olumlu sonuç
elde edilme olasılığı:
rnr ppr
n
)1.(. dir.
DNA-31
BeĢer seçenekli, 25 sorulu bir testte,
soruların tümünü tahmin eden öğrencinin
24 soruyu doğru iĢaretleme olasılığı
kaçtır?
A) 4
523 B)
4
524 C) 1
523
D) 1
524 E) 3
524
ÇÖZÜM
5 seçenekli bir soruda doğru tahmin
yapma olasılığı: p=5
1 tir.
YanlıĢ tahmin yapma olasılığı:
1-p=5
4 olur.
Binom dağılım fonksiyonu gereği;
P(A)= 24
23
25 1 4 4( ) .( )
24 5 5 5
olur.
Doğru Seçenek A dır
GENETĠK KOPYA-31
Madeni bir para altı kez atılıyor. Bu
deneme sonucunda üç kez Tura gelme
olasılığı kaçtır?
A)2/3 B)5/16 C)5/32
D)4/25 E)5/64
DNA-32
Analitik düzlemde köĢeleri ;
A(1,1) , B(-1,1) , C(1,-1) ve D(-1,-1) olan
kare alınıyor.
Kare içinde alınan bir P noktasının
O(0,0) noktasına uzaklığının,
A(1,1) noktasından uzaklığından daha
küçük olma olasılığı kaçtır?
A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8
D) 5/8 E) 7/8
103
ÇÖZÜM
A ve O noktalarından eĢit uzaklıkta
bulunan noktalar, [OA] nın orta dikmesi
olan EF doğrusu üzerindedir.
EF doğrusunun altında bulunan P
noktaları için;
|PO| < |PA| dır.
EOFA Karesinde; EF, alanı eĢit iki
parçaya ayırır.
Karenin iç bölgesinde koĢulu sağlayan
noktalar (taralı bölge), diğer bölgenin
7 katıdır.
Sonuç olarak; koĢulu sağlayan noktaların,
tüm bölgeye oranı olasılığı vereceğinden
Ġstenen olasılık: 7
8 dir.
Doğru Seçenek E dir
GENETĠK KOPYA-32
Analitik düzlemde köĢeleri ;
A(1,1) , B(-1,1) , C(1,-1) ve D(-1,-1) olan
kare alınıyor.
Kare içinde alınan bir P noktasının
O(0,0) noktasına uzaklığının,
A(1,1) noktasından uzaklığından daha
büyük olma olasılığı kaçtır?
A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8
D) 5/8 E) 7/8
DNA-33
Aynı örnek uzayına ait A ve B olayları
için; P(A)=0,3 ve P(B)=0,2 iken
P(A∩B)=0,1 dir.
P(A’∩B’) kaçtır?
A)0,1 B)0,3 C)0,4 D)0,6 E)0,9
ÇÖZÜM
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Olduğundan;
P(A∪B) = 0,3 + 0,2 – 0,1 = 0,4 bulunur.
P(A∪B) + P(A∪B)’ = 1 ve
P(A∪B)’ = P(A’∩B’) olduğundan
P(A’∩B’) = 1 – 0,4 = 0,6 dır.
Doğru Seçenek D dir
GENETĠK KOPYA-33
4
1)( AP ve
4
1)( BP ise
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 2
1)( BAP B)
2
1)( BAP
C) BA D) BA
E) 0)( BAP
104
KONU TESTĠ
1. E={a,b,c,d} örnek uzayı için;
P(a)=3.P(b) , P(b)=3.P(c) ,
P(c)=3.P(d) olduğuna göre P(d)=?
A) 1/40 B) 3/40 C) 9/40
D) 27/40 E) 1/4
2. P(A)=0,9 ve P(B)=0,6 ise
P(AB) nin en küçük değeri kaçtır?
A) 0,3 B) 0,4 C) 0,5
D) 0,6 E) 0,8
3. {1,2,3,….,25} kümesinden seçilen bir
sayının 6 ya bölündüğünde 1 kalanını
verme olasılığı kaçtır?
A) 1/4 B)1/5 C) 1/6
D) 1/8 E) 1/25
4. Bir zar üç kez atılıyor. Üstte okunan
sayıların toplamının 6 olma olasılığı
kaçtır?
A) 5/108 B) 1/36 C) 7/108
D) 2/27 E) 1/12
5. Telefon numaralarının 0,1 veya 9 ile
baĢlamadığı ve yedi basamaklı olduğu
bir ülkede numaranın 5 ile
bölünebilme olasılığı kaçtır?
A) 1/6 B) 1/5 C) 1/4
D) 1/3 E) 1/2
6. Ġçinde 1 den 20 ye kadar
numaralandırılmıĢ 20 top bulunan
torbadan 4 tane top alınıyor. Okunan
sayıların en büyüğünün 15 , en
küçüğünün 9 olma olasılığı kaçtır?
A) 2/969 B) 3/1615
C) 8/4845 D) 7/4845
E) 2/1615
7. Ġçinde aynı büyüklükte 6 siyah , 4
beyaz , 2 kırmızı top bulunan
torbadan alınan iki topun aynı renkte
olma olasılığı kaçtır?
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 1/5 E) 1/6
8. 2,5,8,11,…..,299 dizisinden bir sayı ve
3,7,11,15,…..,399 dizisinden bir sayı
alınıyor.
Alınan iki sayının eĢit olma olasılığı
kaçtır?
A) 1/80 B) 1/100 C) 3/400
D) 1/200 E) 1/400
9. Ġçinde 1 den 10’ a kadar
numaralandırılmıĢ 10 kart bulunan
torbadan çekilen bir numaranın çift
sayı olma durumunda 3 ‘e bölünebilme
olasılığı kaçtır?
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 1/5 E) 1/6
105
10. A ve B bağımsız olaylar ,
P(A)=0,3 , P(B)=0,2 ise P(A|B)=?
A) 0,06 B) 0,15 C) 0,2
D) 0,3 E) 0,5
11. 2
1)( AP ,
2
1)|( ABP ve
2
1)|( BACP ise
( )P A B C değeri kaçtır?
A) 1/8 B) 1/6 C) 1/4
D) 1/2 E) 1
12. Dört evli çift arasından üç kiĢi
seçilecektir. Seçilecek kiĢiler
arasında bir evli çiftin bulunma
olasılığı kaçtır?
A)1/7 B)2/7 C)3/7
D)4/7 E)5/7
13. L uzunluğundaki bir tel üç
parçaya ayrılıyor. Parçaların bir
üçgen oluĢturma olasılığı kaçtır?
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 1/5 E) 1/6
14. Üç çocuklu bir ailenin üç
çocuğunun da erkek olma olasılığı
kaçtır?
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 1/8 E) 1/12
15. Üç çocuklu bir ailenin
çocuklarından en az ikisinin kız olma
olasılığı kaçtır?
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 1/8 E) 1/12
16. 6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top
bulunan torbadan çekilen top geriye
atılmaksızın ard arda 3 top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin
kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A)149/204 B)25/34 C)51/68
D)77/102 E)91/135
1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.B
8.E 9.D 10.D 11.A 12.C 13.C
14.D 15.A 16.A