OLASILIK - ahmet elmas€¦ · OLASILIK . 76 DNA-2 A={(x,y): x 2+y 5 , x,y Z } kümesi kaç elemanlıdır? A)8 B)12 C)21 D)25 E)29 ÇÖZÜM Kareleri toplamı 5 veya 5 ten küçük

75

Matematiğin en zevkli, uygulaması en çok

olan konularından biridir.

Sayı yazma problemleri, sıralama

soruları, seçme soruları gibi sorular bu

bölümde incelenecektir.

Yukarıda saydığımız tüm soruların

temelinde sayma iĢlemi bulunduğundan,

biz de sayma problemlerinin yöntemleri

ile baĢlayacağız.

HAZİNE-1

TOPLAMA YÖNTEMĠ:

Bir E olayı; A veya B olaylarından birinin

gerçekleĢmesiyle oluĢmakta iken,

A olayı için n seçenek,

B olayı için m seçenek varsa,

E olayı için n+m seçenek vardır.

IġIK-1

E=A B ve A B=Ø için:

s(E) = s(AB) = s(A)+s(B) = n+m

A B≠Ø ise;

s(E) = s(AB) = s(A)+s(B)-s(A⋂B)

DNA-1

A kentinden B ye kara veya hava

yollarından biri ile gidilebilmektedir.

Üç ayrı kara yolu, iki ayrı hava yolu

bulunmaktadır.

A dan B ye kaç farklı yolla gidilebilir?

A)3 B)5 C)6 D)8 E)9

ÇÖZÜM

A kentinden B ye, kara veya hava

yollarından biri ile gidilebileceğinden,

Toplama yöntemi gereği;

Karayolu için üç seçeneğimiz,

Hava yolu için iki seçeneğimiz olduğundan

3+2=5 farklı yol vardır.

Doğru Seçenek B dir.

GENETĠK KOPYA-1

Pınar, Pazar günü saat 14 ile 17 arasında

sinemaya gidip film izlemeyi veya evde

kalıp ders çalıĢmayı planlamıĢtır.

Sinema için gidebileceği iki ayrı sinema,

evde kalırsa çalıĢabileceği üç ayrı dersi

bulunmaktadır.

Pınar’ın belirtilen saatler içinde

yapabileceği kaç farklı Ģey vardır?

A)3 B)5 C)6 D)8 E)9

OLASILIK

76

DNA-2

A={(x,y): x2+y2 5 , x,y Z }

kümesi kaç elemanlıdır?

A)8 B)12 C)21 D)25 E)29

ÇÖZÜM

Kareleri toplamı 5 veya 5 ten küçük

tamsayı ikililerinin sayısı istenmektedir.

Ġki tamsayının kareleri toplamının

alabileceği değerleri incelediğimizde;

En küçük değer 0 dır.

x2+y2=0 için:

(0,0) 1 tane

x2+y2=1 için:

(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) 4 tane

x2+y2=2 için:

(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1) 4 tane

x2+y2=3 için:

__ YOK

x2+y2=4 için:

(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2) 4 tane

x2+y2=5 için:

(2,1),(-2,1),(2,-1),(-2,-1),(1,2),

(1,-2),(-1,2),(-1,-2) 8 tane

+______

21 tane

x2+y2 toplamının 5 veya 5 ten küçük

olmasını sağlayan (x,y) tamsayı ikililerinin

sayıları toplamı 21 dir.

Doğru Seçenek C dir.

GENETĠK KOPYA-2

A={(x,y): x+y 2 , x,y N }


A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

HAZİNE-2

ÇARPMA YÖNTEMĠ:

Bir E olayı, ard arda A ve B olaylarının

gerçekleĢmesiyle oluĢmakta iken,

A olayı için n seçenek,

B olayı için m seçenek varsa,

E olayı için n.m seçenek vardır.

IġIK-2

s(E) = s(AxB) = s(A)xs(B) = n.m

DNA-3

A kentinde C ye, önce B kentinden

geçmek koĢuluyla gidiliyor.

A dan B ye 3 yol,

B den C ye 2 yol varsa;

A dan C ye kaç değiĢik yoldan gidilebilir?

A)3 B)5 C)6 D)8 E)9

ÇÖZÜM

A kentinden B ye ve B den de C kentine

giden yollar tek tek yazıldığında;

(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2) dir.

Bu ikililer {a,b,c} ve {1,2} kümelerinin

Kartezyen çarpımının elemanlarıdır.

Çarpma yöntemi gereği; 3.2=6 tanedir.


GENETĠK KOPYA-3

Pınar, Pazar günü saat 14 ile 17 arasında

sinemaya gidip film izlemeyi ve saat 17

den sonra eve gidip saat 19 a kadar ders

çalıĢmayı planlamıĢtır.

Sinema için gidebileceği iki ayrı sinema,

evde çalıĢabileceği üç ayrı dersi

bulunmaktadır.

Pınar’ın belirtilen saatler içinde

yapabileceği kaç farklı Ģey vardır?

A)3 B)5 C)6 D)8 E)9

77

DNA-4

En az iki basamağı aynı olan dört

basamaklı kaç doğal sayı vardır?

A)4464 B)4536 C)4500

D)5000 E)5672

ÇÖZÜM

Dört basamaklı bir doğal sayı yazılırken;

Binler basamağına sıfır dıĢında

9 rakamdan biri,

yüzler,onlar ve birler basamaklarına da

10 ar rakam yazılabileceğinden;

Çarpma yöntemi gereği;

__ __ __ __

9 . 10. 10. 10 = 9000 sayı yazılabilir.

Basamakları farklı dört basamaklı bir

doğal sayı yazmak için;

Binler basamağına sıfır dıĢında

9 rakamdan biri,

Yüzler basamağına, kullanılan rakam

dıĢında kalan 9 rakamdan biri,

Onlar basamağına, kullanılan iki rakam

dıĢında kalan 8 rakamdan biri,

Birler basamağına da, kullanılan üç rakam

dıĢında kalan yedi rakamdan biri yazılır.

__ __ __ __

9 . 9 . 8 . 7 = 4536 sayı yazılabilir.

Yazılabilecek tüm dört basamaklı doğal

sayıların adedinden, rakamları farklı

olanlar çıkarıldığında; en az iki basamağı

aynı olan dört basamaklı doğal sayıların

adedi bulunur.

9000-4536=4464 tane en az iki

basamağı aynı olan dört basamaklı doğal

sayı vardır.

Doğru Seçenek A dır.

GENETĠK KOPYA-4

Üç basamaklı doğal sayılardan kaç

tanesinde 0 rakamı kullanılır?

A)160 B)171 C)196

D)345 E)729

DNA-5

s(A)=3, s(B)=4 olmak üzere;

A dan B ye kaç tane fonksiyon

tanımlanabilir?

A)7 B)12 C)64 D)81 E)256

ÇÖZÜM

A daki 1. eleman, B deki 4 tane

elemandan biriyle,

2. eleman, B deki 4 tane

elemandan biriyle,

3. eleman, B deki 4 tane

elemandan biriyle eĢlenebilir.

Çarpma yöntemi gereği;

A daki her eleman, B deki dört

elemandan biri ile eĢlenebileceğinden,

tüm eĢlemelerin sayısı:

4.4.4 = 43 = 64 tanedir.


78

GENETĠK KOPYA-5

s(A)=3, s(B)=4 olmak üzere;

A dan B ye kaç tane bire-bir fonksiyon

tanımlanabilir?

A)7 B)12 C)24 D)40 E)64

DNA-6

600 sayısının kaç tane pozitif tamsayı

böleni vardır?

A)12 B)16 C)18 D)24 E)30

ÇÖZÜM

Tüm sayı sorularında olduğu gibi

öncelikle 600 sayısını asal çarpanlarına

ayıralım.

600=23.3.52

Bölüm özdeĢliği hatırlandığında;

600 sayısının pozitif tamsayı

bölenlerinde:

2 olmayabilir, 2 olabilir, 4 olabilir,

8 olabilir. (4 seçenek)

3 olmayabilir, 3 olabilir.

(2 seçenek)

5 olmayabilir, 5 olabilir, 25 olabilir.

(3 seçenek)

seçenek sayıları çarpımı: 4.2.3=24

Doğru Seçenek D dir.

KURAL: Farklı asal çarpanlarının

üslerinin birer fazlalarının çarpımı kadar

pozitif tamsayı böleni vardır.

GENETĠK KOPYA-6

144 sayısının kaç tane pozitif tamsayı

böleni vardır?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)15

DNA-7

{0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile;

Üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

A)100 B)120 C)160

D)180 E)200

ÇÖZÜM

Yüzler basamağına:

0 dıĢında beĢ rakamdan biri,

Onlar basamağına:

altı rakamdan biri,

Birler basamağına:

altı rakamdan biri yazılabileceğinden ;

5.6.6=180 sayı yazılabilir.


GENETĠK KOPYA-7

{0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile;

Üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç

doğal sayı yazılabilir?

A)100 B)120 C)160

D)180 E)200

79

KONU TESTĠ

1. A kentinden B kentine 5, B kentinde

de C kentine 6 değiĢik yolla

gidilebilmektedir.

B kentine uğramak koĢuluyla, A

kentinden C kentine kaç değiĢik yolla

gidilebilir?

A)10 B)11 C)12 D)25 E)30

2. A kentinden B kentine 5, B kentinden

de C kentine 6 değiĢik yolla

gidilebilmektedir. Ayrıca A kentinden C

kentine B ye uğramadan gidilebilen 5

farklı yol daha vardır.

A kentinden C kentine kaç farklı yoldan

gidilebilir?

A)11 B)16 C)30 D)35 E)36

3. Üç kiĢinin katıldığı bir sınav baĢarı

yönünden kaç farklı Ģekilde

sonuçlanabilir?

A)3 B)6 C)8 D)9 E)12

4. 240 sayısının kaç tane pozitif

tamsayı böleni vardır?

A)10 B)16 C)20 D)24 E)32

5. Bir düzgün sekizgenin köĢelerini köĢe

kabul eden kaç tane dikdörtgen

çizilebilir?

A)3 B)6 C)12 D)16 E)24

6. Bir düzgün sekizgenin köĢelerini köĢe

kabul eden kaç tane dik üçgen

çizilebilir?

A)8 B)16 C)24 D)32 E)40

7. 0,1,2,3,4 Rakamları kullanılarak

3 basamaklı kaç tane doğal sayı

yazılabilir?

A)100 B)120 C)125

D)160 E)200

8. 10 elemanlı bir kümenin kaç tane

alt kümesi vardır?

A)10 B)20 C)100 D)210 E)200

9. 3!.5!.7! sayısının pozitif tamsayı

bölenlerinden kaç tanesi bir doğal

sayının kübüdür?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

80

10. 450 ile 700 arasında yalnız

3,4,5,6,7,8 rakamları kullanılarak

yazılabilen kaç tane tek sayı vardır?

A)32 B)37 C)45 D)48 E)96

11. BeĢ basamaklı kaç tane çift doğal

sayı vardır?

A)33333 B)45000 C)50000

D)75000 E)90000

12. Üç basamaklı kaç tane doğal sayı

yazılabilir?

A) 100 B) 450 C) 899

D) 900 E) 901

13. Üç basamaklı kaç tane çift doğal

sayı yazılabilir?

A) 100 B) 450 C) 500

D) 620 E) 750

14. abcba Ģeklindeki sayılara Yansıyan

sayılar denir.

BeĢ basamaklı doğal sayılardan kaç

tanesi yansıyandır?

A) 450 B) 500 C) 750

D) 900 E) 1200

15. BeĢ basamaklı yansıyan doğal

sayılardan kaç tanesi çifttir?

A) 225 B) 400 C) 500

D) 600 E) 900

16. 8 erkek, 9 kız arasından ; bir erkek

veya bir kız öğrenci kaç değiĢik

Ģekilde seçilebilir?

A) 8 B) 9 C) 17

D) 72 E) 216

1.E 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A

8.D 9.E 10.D 11.B 12.D 13.B

14.D 15.B 16.C

81

PERMÜTASYON (SIRALAMA)

A={a1,a2,…,an} kümesinin

olmak üzere elemanlarından

r tanesinin sıralanmasına n elemanın

r-li bir permütasyonu denir.

tanedir.

Permütasyon ile ilgili çok karĢılaĢağımız

iki önemli özellik;

ve dir.

A={a,b,c,d} kümesinin

3 lü permütasyonlarını incelediğimizde;

P(4,3)= 4.3.2=24 tane olduğu görülür.

abc bac cab dab

acb bca cba dba

abd bad cad dac

adb bda cda dca

acd bcd cbd dbc

adc bdc cdb dcb

DNA-8

E={a,b,c,,,,x,y,z} 26 harfli Ġngiliz abc si.

21 sessiz, 5 sesli harf var.

Ġlk ve son harfleri farklı sesli

harflerden, diğerleri farklı sessiz

harflerden oluĢan 5 harfli kaç kelime

yazılabilir?

A)79800 B)80100 C)85400

D)125400 E)159600

ÇÖZÜM

Ġlk ve son harflerde:

5 sesli harften ikisi; P(5,2)

araya: 21 sessiz harften üçü; P(21,3)

Ģekilde sıralanabilir.

Hepsi birlikte:

P(5,2).P(21,3)=5.4.21.20.19=159 600

ġekilde sıralanabilir.

Doğru Seçenek E dir.

GENETĠK KOPYA-8

7 erkek, 3 kız öğrenci yan yana

3 kız bir arada olacak biçimde kaç

değiĢik biçimde sıralanabilir?

A)7! B)8! C)2!8! D)3!8! E)9!

DNA-9

20000 ile 70000 arasında rakamları

tekrarsız kaç çift sayı vardır?

A)336 B)672 C)1344

D)3360 E)7392

ÇÖZÜM

On binler basamağına; A={2,3,4,5,6}

Birler basamağına; B={0,2,4,6,8}

kümesinin elemanlarından biri

yazılacaktır. AB={2,4,6}

On binler basamağına; {2,4,6} dan biri

yazılırsa,

Birler basamağına; B de kalan dört

elemandan biri,

diğer üç basamağa da kalan sekiz

rakamdan üçü yazılır.

3.4.P(8,3) sayı yazılır. VEYA

nr 0

!

!,

rn

nrnP

1...21 rnnnn

10, nP !, nnnP

82

On binler basamağına; {3,5} ten biri

yazılırsa,

Birler basamağına; B den biri ve diğer

üç basamağa da kalan sekiz rakamdan

üçü yazılır.

2.5.P(8,3) sayı yazılır.

Hepsi birlikte:

3.4.P(8,3)+2.5.P(8,3)=7392 sayı.


GENETĠK KOPYA-9

20000 ile 70000 arasında rakamları

tekrarsız kaç tek sayı vardır?

A)2336 B)2672 C)3344

D)3360 E)7728

DNA-10

{1,3,5,7} kümesinin elemanları ile

rakamları tekrarsız yazılabilen tüm

doğal sayıların toplamları kaçtır?

A)106656 B)106672 C)107200

D)117856 E)118974

ÇÖZÜM

Bir basamaklı: P(4,1)=4 tane

Ġki basamaklı: P(4,2)=4.3=12 tane

Üç basamaklı: P(4,3)=4.3.2=24 tane

Dört basamaklı: P(4,4)=4.3.2.1=24 tane

sayı yazılabilir.

Hepsi birlikte: 4+12+24+24=64 tane

sayı vardır.

Bir basamaklıların toplamı:

1+3+5+7=16

Ġki basamaklıların toplamı:

12 tane sayının her basamağında, her

rakam 12:4=3 er kez kullanılmıĢtır.

Toplam: 3.16.10+3.16=528

Üç basamaklıların toplamı:


rakam 24:4=6 Ģar kez kullanılmıĢtır.

Toplam:6.16.100+6.16.10+6.16=10656

Dört basamaklıların toplamı:


rakam 24:4=6 Ģar kez kullanılmıĢtır.

Toplam:

6.16.1000+6.16.100+6.16.10+6.16=106656

Tümünün toplamı:

106656+10656+528+16=117856 dır.


YADA !!!

Yazılabilecek sayıların ortalamaları, sayı

adedi ile çarpılarak toplam bulunur.

Bir basamaklıların toplamı: 1+7

2. 4 = 16

Ġki basamaklıların toplamı: 13+75

2. 12 = 528

Üç basamaklıların toplamı: 135+753

2. 24 = 10656

Dört basamaklıların toplamı: 1357+7531

2. 24 = 106656

Tümünün toplamı:

106656+10656+528+16=117856 dır.

GENETĠK KOPYA-10

{1,3,5,7} kümesinin elemanları ile

rakamları tekrarsız yazılabilen dört

basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru

sıralandığında, baĢtan 19. sayı kaçtır?

A)7135 B)7153 C)7315

D)7351 E)7513

83

DÖNEL SIRALAMA

s(A)=n ve 0 r n olmak üzere;

r elemanın dönel sıralama sayısı:

dir.

!

A={a,b,c,d} kümesinin 3 lü

permütasyonlarının,

P(4,3)=4.3.2=24 tane olduğunu

görmüĢtük.

Aynı kümenin 3 lü dönel sıralamalarının

sayısı;

Q(4,3)= 83

2.3.4

3

)3,4(

P

tanedir.

DNA-11

5 erkek, 3 kız öğrenci yuvarlak masa

etrafına sıralanacaktır. Erkeklerden Ali

ile kızlardan Bahar’ın yan yana olması

istendiğine göre, sıralama kaç değiĢik

Ģekilde yapılabilir?

A)720 B)900 C)1080

D)1440 E)1620

ÇÖZÜM

Ali ve Baharı bir eleman olarak

düĢündüğümüzde, diğer 6 kiĢi ile birlikte

yuvarlak masa etrafına sıralanacak 7 kiĢi

vardır.

Q(7,7)=(7-1)!=6!

Ali ve Bahar da kendi aralarında 2!

Ģekilde sıralanır.

Tümü bir arada düĢünülürse:

6!.2! sıralama vardır. 6!.2=1 440


GENETĠK KOPYA-11

5 erkek, 3 kız öğrenci yuvarlak masa

etrafına sıralanacaktır. Erkeklerden Ali

ile kızlardan Bahar’ın yan yana olması

istenmediğine göre, sıralama kaç değiĢik

Ģekilde yapılabilir?

A)720 B)900 C)1080

D)1440 E)3600

DNA-12

6 evli çift yuvarlak masa etrafına

sıralanacaktır.

Herhangi iki bayanın yan yana gelmesi

istenmediğine göre, kaç değiĢik Ģekilde

sıralama yapılabilir?

A)6! B)2.6! C)5!.6!

D)(6!)2 E)6!.7!

ÇÖZÜM

Önce 6 bayanı yuvarlak masa etrafına;

Q(6,6)=(6-1)!=5! ġekilde sıralanır.

Sonra bayanlar arasında kalan 6 yere

erkekleri 6! Ģekilde sıralayabiliriz.

Ġkisi birlikte düĢünüldüğünde;

5!.6! Ģekilde sıralama yapılabilir.


GENETĠK KOPYA-12

6 evli çift yuvarlak masa etrafına

sıralanacaktır.

EĢlerin birbirlerinden ayrılmaları

istenmediğine göre, kaç değiĢik Ģekilde

sıralama yapılabilir?

A)5! B)6! C)2.5! D)2.6! E)26.5!

r

rnPrnQ

,,

!1,

, nn

nnPnnQ

84

TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane elemandan r1,r2,…,rn tanesi aynı ve

r1+r2+…+rn=n olmak üzere n elemanın

tekrarlı permütasyonlarının sayısı:

dir.

IġIK-3

A={a1,a2,…,an} kümesinin r elemanlı

tekrarlı permütasyonlarının sayısı:

1. sıraya, n tane elemandan biri;

2. sıraya, n tane elemandan biri;

………..

r. sıraya, n tane elemandan biri

yazılabileceğinden,

r tane n in çarpımı (nr) kadar sıralama

yapılabilir.

DNA-13

A={a,b,c} kümesinin 2 li tekrarlı

permütasyonları kaç tanedir?

A)5 B)6 C)8 D)9 E)12

ÇÖZÜM

A kümesinin 2 li permütasyonlarını

yazdığımızda;

aa , ab , ba , ac , ca , bb , bc , cb , cc

olmak üzere 32=9 tanedir.


GENETĠK KOPYA-13

Yan yana 4 ev, 6 renk boya ile kaç

değiĢik Ģekilde boyanır?

A)10 B)24 C)64 D)46 E)104

DNA-14

a,a,a,b,c harfleri ile 5 harfli kaç kelime

yazılabilir?

A)3 B)8 C)15 D)16 E)20

ÇÖZÜM

5 harf sıralanacak, bunlardan 3 tanesi

aynı.

P(5; 3,1,1)= !1!.1!.3

!55.4=20


GENETĠK KOPYA-14

2 tane 0, 3 tane 1, 5 tane 2 rakamıyla;

10 basamaklı kaç Ģifre yazılabilir?

A)1250 B)1460 C)1640

D)2520 E)2680

DNA-15

A dan B ye, C den geçme koĢulu ile en

kısa yoldan kaç değiĢik Ģekilde

gidilebilir?

A)18 B)20 C)32 D)35 E)40

!!...!

!,...,,;

21

21

n

nrrr

nrrrnP

85

ÇÖZÜM

Yatay yollar : 1 sembolü ile,

Dikey yollar : 0 sembolü ile

gösterildiğinde;

A dan, B ye en kısa yol: 4 tane 1, 3 tane

0 sembolü ile yazılabilecek Ģifre sayısı

kadardır.

1101001 gibi.

P(7; 4,3)= 35!3!.4

!7

C den geçmek koĢulu ile:

A dan, C ye: P(3; 2,1)= 3!2

!3

C den, B ye: P(4; 2,2)= 6!2!.2

!4

A dan, C ye VE C den, B ye:

3.6=18 yoldan gidilebilir.

Doğru Seçenek A dır.

GENETĠK KOPYA-15

A dan B ye, C den geçmemek koĢulu ile

en kısa yoldan kaç değiĢik Ģekilde

gidilebilir?

A)17 B)18 C)19 D)20 E)21

DNA-16

6 tane özdeĢ portakal, 3 çocuğa kaç

değiĢik Ģekilde dağıtılabilir?

A)26 B)28 C)30 D)32 E)36

ÇÖZÜM

Portakallar 0 sembolü ile , ayıraçlar 1

sembolü ile gösterilirse; iki tane ayıraç,

altı portakalı üç bölüme ayırır.

Örneğin: 00100010 yazılımında;

1. çocuk 2,

2. çocuk 3,

3. çocuk 1 portakal almıĢtır.

6 tane 0, 2 tane 1 sembolü ile

yazılabilecek Ģifrelerin sayısı;

Dağılım sayısı: P(8; 6,2)= 28!2!.6

!8

dir.

IġIK-4

Dağıtılacak özdeĢ nesne sayısı: r

KiĢi sayısı: n ise ;

Her birine en az bir tane koĢuluyla;

C(r-1, n-1) dağılım vardır.

GENETĠK KOPYA-16

6 tane özdeĢ portakal, 3 çocuğa, her

çocuk en az bir portakal almak koĢuluyla

kaç değiĢik Ģekilde dağıtılabilir?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)16

86

KONU TESTĠ

1. 2 rakamı kullanılmadan yazılan ve

4 ile bölünebilen üç basamaklı kaç tane

doğal sayı yazılabilir?

A) 124 B)132 C) 136

D) 148 E) 152

2. 1,2,3,4,5,6 rakamları birer kez

kullanılarak ya 3 ile baĢlayan ya da 4

ile biten altı basamaklı kaç doğal sayı

yazılabilir?

A) 192 B) 208 C) 224

D) 240 E) 260

3. {0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları

kullanılarak , dört basamaklı ,

rakamları tekrarsız, 3 ile bölünebilen

kaç tane pozitif tamsayı yazılabilir?

A) 18 B) 36 C) 42

D) 96 E) 108

4. A={a,b,c,d} ve B={1,2,3} kümeleri için;

A dan B ye tanımlanan fonksiyonlardan

kaç tanesi örtendir?

A) 33 B) 36 C) 48

D) 64 E) 81

5.

A dan B ye, O dan geçmek koĢulu ile en

kısa yoldan kaç değiĢik Ģekilde

gidilebilir?

A) 20 B) 40 C) 60

D) 80 E) 84

6. x+y+z=5 denkleminin

pozitif tamsayılarda kaç değiĢik çözümü

vardır?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 8

7. Soru 6. daki denklemin doğal

sayılarda kaç değiĢik çözümü vardır?

A) 6 B) 15 C) 21

D) 30 E) 42

8. BeĢ tane madeni 1 YTL. , 8 farklı

kumbaraya kaç değiĢik Ģekilde

atılabilir?

A) 40 B) 72 C) 792

D) 58 E) 85

87

9.

A dan B ye en kısa yoldan kaç değiĢik

Ģekilde gidilebilir?

A) 16 B) 18 C) 24

D) 32 E) 34

10.

75

aa ve )2,(aPb ise

a+b toplamı kaçtır?

A) 4 B) 78 C) 144

D) 1325 E) 1500

11. 5 çeĢit dondurma satılan büfeden 3

tane dondurma almak isteyen kiĢi kaç

değiĢik seçim yapabilir?

A)20 B)35 C)42 D)56 E)64

12. 10 farklı ders kitabından, 4 ü

Matematik, 3 ü Fizik, 3 ü de Türkçe

kitabıdır. Aynı dersin kitapları bir

arada olmak üzere yan yana kaç

farklı Ģekilde sıralanabilir?

A)3!3!4!3! B)10! C)3!4!3!

D) 10!

3!4!3! E)

3!4!3!

2′

13. Oyanın aralarında bulunduğu 7 kiĢi

yan yana sıralanacaklardır.

Oya 4. Sırada olmak üzere bu sıralama

kaç değiĢik Ģekilde yapılabilir?

A)4! B)5! C)6! D)7! E)8!

14. Yalnız iki basamağı aynı, diğer

basamakları farklı, dört basamaklı

kaç doğal sayı yazılabilir?

A)2880 B)3888 C)4000

D)4320 E)4536

15. 4 kiĢi yuvarlak masa etrafına kaç

farklı Ģekilde sıralanabilir?

A)4 B)6 C)12 D)24 E)30

16. 123456 sayısının rakamlarının

yerleri değiĢtirilerek yazılabilen altı

basamaklı doğal sayılardan kaç

tanesinde, 3 rakamı 4 rakamının

solunda yer alır?

A)120 B)240 C)360

D)480 E)720

1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C

8.C 9.E 10.C 11.B 12.A 13.C

14.B 15.B 16.C

88

KOMBİNASYON:

S(A) = n ve olmak üzere;

A kümesinin r elemanlı alt kümelerine

n elemanın r-li bir kombinasyonu denir.

tanedir.

IġIK-5

DNA-17

A={a,b,c,d} kümesinin 3-lü

kombinasyonları kaç tanedir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

ÇÖZÜM

A kümesinin 3-lü kombinasyonları;

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} , {b,c,d}

olmak üzere;

tanedir.


GENETĠK KOPYA-17

5 kiĢi içinden 3 kiĢilik bir grup kaç

değiĢik Ģekilde seçilebilir?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)15

DNA-18

4 öğretmen, 7 öğrenciden oluĢan 11 kiĢi

arasından, 2 tanesi öğretmen olmak

üzere; 5 kiĢilik grup kaç değiĢik Ģekilde

seçilebilir?

A)210 B)210 C)246

D)360 E)462

ÇÖZÜM

4 öğretmen arasından, 2 öğretmen;

42 =

4.3

2.1= 6

7 öğrenci arasından, 3 öğrenci;

73 =

7.6.5

3.2.1= 35

Ģekilde seçilebilir.

Ġkisi birlikte düĢünüldüğünde;

6.35=210 Ģekilde seçim yapılabilir.


GENETĠK KOPYA-18

5 matematik, 6 türkçe kitabı arasından

2 matematik, 3 türkçe kitabı kaç farklı


A)100 B)160 C)200

D)240 E)300

nr 0

!!.

!

!

,,

rrn

n

r

rnP

r

nrnC

rn

n

r

n

10

n

1

n

n

1

1

r

n

r

n

r

n

43

4

89

DNA-19

6 köĢeli konveks çokgenin köĢegenleri en

çok kaç noktada kesiĢir?

(Çokgenin köĢeleri dıĢındakiler)

A)6 B)8 C)12 D)15 E)16

ÇÖZÜM

Farklı iki doğru en çok bir noktada

kesiĢir.

Farklı iki nokta bir ve yalnız bir doğru

belirtir.

Önermeleri gereği;

6 noktadan oluĢturulabilecek doğru

parçalarının sayısı:

C(6,2)=6.5

2.1= 15 tanedir.

Bunlardan 6 tanesi kenar olacağından;

15-6=9 tanesi köĢegendir.

Öncelikle 6 nokta kaç dörtgen belirtir

sorusunu yanıtlayalım.

C(6,4)=C(6,2)=15 dörtgen oluĢturulabilir.

Her dörtgenin iki köĢegeni bir nokta

belirteceğinden,dörtgen sayısı aynı

zamanda 6 köĢeli konveks çokgenin

köĢegenlerinin kesim noktalarının

sayısıdır.


IġIK-6

n köĢeli konveks çokgenin köĢegenlerinin

kesim noktalarının sayısı:

C( n,4)= dir.

GENETĠK KOPYA-19

Herhangi üçü doğrusal olmayan 5 nokta

kaç doğru belirtir?

A)6 B)10 C)15 D)21 E)28

Permütasyon ve Kombinasyon örneklerini

verdikten sonra, Ģimdi de bunlar

arasındaki farkı vurgulayacak ve birkaç

önemli noktaya değineceğimiz bir seri

soru çözelim birlikte.

10 kiĢilik bir sınıftan 2 kiĢi seçilecektir.

Bu seçim kaç değiĢik Ģekilde yapılabilir?

Sorusunun yanıtı:

10 elemanlı bir kümenin, 2 elemanlı alt

kümelerinden biri olacaktır diyerek;

C(10,2)=10.9

2.1 =45 olur.

10 kiĢilik bir sınıftan biri baĢkan, diğeri

baĢkan yardımcısı olacak Ģekilde 2 kiĢi

seçilecektir.

Bu seçim kaç değiĢik Ģekilde yapılabilir?

Sorusunun yanıtı:

Seçilecek iki kiĢi kendi aralarında

sıralanacağından;

P(10,2)=10.9=90 olur.

Dikkat edilirse Kombinasyonda;

{Can, Demir} ve { Demir, Can } seçimleri

farklı seçimler olarak alınmamıĢtır.

Permütasyonda ise:

(Can, Demir) ve (Demir, Can) seçimleri

farklı seçimler olarak alınmıĢtır.

Çünkü; Kombinasyonda bir gruplama,

Kombinasyonda ise sıralama

(görevlendirme) söz konusudur.

10 kiĢilik bir sınıf ikiĢer kiĢilik gruplara

ayrılacaktır.

Kaç değiĢik gruplandırma yapılabilir?

Sorusunun yanıtı:

10 kiĢi arasından iki kiĢiyi seçtikten

sonra, kalan 8 kiĢi içinden 2 kiĢi, kalan 6

kiĢi içinden iki kiĢi, kalan 4 kiĢi arasından

da 2 kiĢi seçilecektir.

!4!4

!

n

n

90

Ardı ardına bu seçimleri

1134002

2

2

4

2

6

2

8

2

10

ġekilde yapabiliriz. Fakat seçtiğimiz ikili

grupların biri birinden farkı

olmadığından, kendi aralarında bir

sıralama söz konusu değildir. Bu yüzden

bu beĢ grubun kendi aralarındaki 5!

sıralama geçerli değildir.

9451.3.5.7.9!5

2

2

2

4

2

6

2

8

2

10

Farklı gruplandırma yapılabilir.

10 kiĢilik bir sınıf ikiĢer kiĢilik gruplara

ayrılacak ve her grup farklı yerlere

gönderilecektir.

Kaç değiĢik gruplandırma yapılabilir?

Sorusunun yanıtı:

Grupların görevleri farklı olduğundan,

sıralama söz konusudur.

1134002

2

2

4

2

6

2

8

2

10

Farklı gruplandırma yapılabilir.

Farklı soru tiplerinden söz ederken,

birde Kombinasyonun farklı bir

uygulamasından örnek verelim.

A={1,2,3,4} kümesinin 3-lü

kombinasyonları kaç tanedir?

Sorusunun yanıtı doğal olarak,

C(4,3) olacaktır.

Bunlar; {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}

tanedir.

(Burada bir eleman birden fazla

kullanılamaz.)

Eğer A kümesindeki her elemanı

istediğimiz sayıda kullanma serbestisi

verilmiĢ ise;

1,1,2 ; 1,4,4 ; 2,2,2 ; gibi

kaç tane üçlü grup oluĢturabiliriz?

IġIK-7

M={ } kümesinden her

eleman istenildiği kadar kullanılmak

üzere r elemanlı kombinasyon sayısı:

dir.

Yukarıdaki sorunun yanıtını Ģimdi verelim

n=4 ve r=3 alınacaktır.

Bir baĢka deyimle:

Dört farklı elemanın her birinden

istediğimiz sayıda almak üzere, üçlü bir

grup

C(3+4-1, 3)=C(6,3)=20 değiĢik Ģekilde

oluĢturulabilir.

DNA-20

Ġçinde üç çeĢit Ģeker bulunan bir

kavanozdan, üç Ģeker kaç değiĢik Ģekilde

seçilebilir?

A)6 B)8 C)10 D)12 E)15

ÇÖZÜM

A,A,A A,A,B A,A,C A,B,B

A,C,C B,B,B B,C,C C,C,C

C,B,B A,B,C

olmak üzere;

103

5

3

1331

r

nr

tanedir.


43

4

naaa .,...,.,. 21

r

nr 1

91

GENETĠK KOPYA-20

3 çeĢit tost satılan büfeden 6 tost kaç

değiĢik Ģekilde alınabilir?

A)6 B)9 C)12 D)18 E)28

Permütasyon ve Kombinasyon

problemlerinde en çok kullanılan Dağıtım

Problemlerini sınıflandırmamız, bu

soruların daha kolay çözülmesine

yardımcı olacaktır.

DAĞITIM PROBLEMLERĠ:

A) r farklı nesne, n farklı kutuya kaç

farklı Ģekilde dağıtılabilir?

1) Her kutuya en çok bir tane nesne

atmak koĢulu ile: (r≤n)

P(n,r)=n(n-1)(n-2)….(n-r+1)

değiĢik Ģekilde dağıtılabilir.

5 farklı kitap, 6 öğrenciye, her

öğrenciye en çok bir kitap vermek koĢulu

ile;

P(6,5)=6.5.4.3.2=720

farklı Ģekilde dağıtılabilir.

2) Her kutuya istenildiği kadar nesne

atmak koĢulu ile:

n.n…n=nr


5 farklı oyuncak, 6 çocuğa

6.6.6.6.6=65



konabilecek fakat nesnelerin kutu

içindeki sıralanmaları önemli olacak

koĢulu ile:

n(n+1)(n+2)…(n+r-1)=


5 farklı kitap, üç bölmeli bir kitaplığa

yan yana ;

3.4.5.6.7=2520

değiĢik Ģekilde sıralanabilir.

B) r özdeĢ nesne, n farklı kutuya kaç

farklı Ģekilde dağıtılabilir?

1) Her kutuya en çok bir tane nesne

atmak koĢulu ile: (r≤n)

C(n,r)=


5 özdeĢ portakal, 6 çocuğa, her çocuğa

en çok bir portakal vermek koĢulu ile;

C(6,5)=C(6,1)=6



atmak koĢulu ile;

C(r+n-1, r)=


6 tane madeni 1 liralık, 3 farklı

kumbaraya ;

C(6+3-1, 6)=C(8,6)=C(8,2)= 8.7

2.1 =28


!1

!1

n

rn

r

n

r

nr 1

92

3) Her kutuya en az bir tane nesne

atmak koĢulu ile; (r≥n)

C=(r-1, n-1)=


6 özdeĢ portakal, 3 çocuğa, her çocuğa

en az bir portakal vermek koĢulu ile;

C(6-1, 3-1)=C(5,2)= 5.4

2.1 =10


DNA-21

x+y+z=5

denkleminin doğal sayı çözümlerinin


A)12 B)15 C)21 D)28 E)36

ÇÖZÜM

5 = 1+1+1+1+1

5 sayısı, 5 tane 1 sayısının toplamından

oluĢmuĢtur.

Bu durumda;

5 tane 1 sayısı, x,y,z gibi üç farklı

bilinmeyene istenildiği kadar

dağıtılacaktır.

Doğal sayılardaki çözüm kümesi:

C(5+3-1, 5)=C(7,5)=C(7,2) = 7.6

2.1 = 21

elemanlıdır.

GENETĠK KOPYA-21

x+y+z=2 denkleminin doğal sayı

çözümlerinin kümesi kaç elemanlıdır?

A)4 B)6 C)8 D)12 E)15

DNA-22

x+y+z=5

denkleminin Pozitif tamsayı çözümlerinin


A)6 B)8 C)12 D)15 E)21

ÇÖZÜM

5 = 1+1+1+1+1

5 sayısı, 5 tane 1 sayısının toplamından

oluĢmuĢtur.

Bu durumda;

5 tane 1 sayısı, x,y,z gibi üç farklı

bilinmeyene her birine en az bir tane

olmak üzere dağıtılacaktır.

Pozitif tamsayılardaki çözüm kümesi:

C(5-1, 3-1)=C(4,2)= 4.3

2.1 =6

elemanlıdır.

GENETĠK KOPYA-22

x+y+z+t=7

denkleminin Pozitif tamsayı çözümlerinin


A)12 B)15 C)18 D)20 E)21

1

1

n

r

93

BĠNOM TEOREMĠ

Çarpanlara ayırma konusunda

x∓y ifadesinin karesinin, kübünün, …

açılımını görmüĢtük.

Bu bölümde de bu açılımların

Kombinasyon ve Permütasyonla olan

iliĢkilerini inceleyeceğiz.

HAZĠNE

= 𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1𝑦 +𝑛(𝑛−1)

1.2𝑥𝑛−2𝑦2 + …

+𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …(𝑛−𝑟+1)

1.2.3…𝑟𝑥𝑛−𝑟𝑦𝑟+ . .. +𝑦𝑛

IġIK-8

BaĢtan (r+1) inci terim :

rrn yxr

n

dir.

DNA-23

(a+b)5 ifadesinin açılımında baĢtan

üçüncü terim aĢağıdakilerden hangisidir?

A)5a4b B)10a3b2 C)10a2b3

D)5ab4 E)a3b3

ÇÖZÜM

(a+b)5 ifadesini Binom Teoremine göre

açtığımızda;

(a + b)5 = a5 + a4b + a3b² +

a2b3 + ab4 + b5

Ġfadeyi düzenlediğimizde (a + b)5 =a5 +5a4b +10a³b² +10a²b³ +5ab4 +b5

olduğu görülür.

BaĢtan üçüncü terim 10a³b² dir.


YADA !!!

IġIK-8 den;

rrn yxr

n

n=5 ve r+1=3 ⟹ r=2 alınır.

5 2 2 3 2 3 25 5.4

102 2.1

n r rn

x y a b a b a br

GENETĠK KOPYA-23

(a+b)12 ifadesinin açılımında baĢtan

beĢinci terim aĢağıdakilerden hangisidir?

A)495a8b4 B)495a9b3 C)495a4b8

D)495a5b7 E)495a3b9

IġIK-9

(x+y)n ifadesinin açılımında terimlerin

katsayılarının toplamı 2n dir.

nrrnnnny

n

nyx

r

nyx

nx

nyx

......

10

1

rrnn

r

yxr

n

0

n

r r

n

0

n

n

nnn2...

10

94

IġIK-10

(x+y)n ifadesinin açılımında çift

numaralı terimlerin katsayıları toplamı,

tek numaralı terimlerin katsayıları

toplamına eĢit ve 2n-1 dir.

DNA-24

(x - 1

x )10 ifadesinin açılımında baĢtan

dördüncü terim aĢağıdakilerden

hangisidir?

A)120x4 B) -120x4 C)120x5

D) -120x5 E)120x3

ÇÖZÜM

n=10 ve r+1=4 ⇒ r=3 olduğundan;

3

10 3 7

3

4

10 1 10.9.8 1

3 3.2.1

120

n r rn

x y x xr x x

x


GENETĠK KOPYA-24

(1+ 1

x )18 ifadesinin açılımında baĢtan on

beĢinci terim aĢağıdakilerden hangisidir?

A)3060x13 B)3060x14 C)3060x-13

D)3060x-14 E)3060x-15

Ġki terimlilerden hareketle çok

terimlilerin kuvvetlerinin açılımına

geçersek;

r1+r2+ … +rm =n olmak üzere

tekrarlı kombinasyonu

n

r1 . rm

=n!

r1 . r2 … rm

ġeklinde gösterdiğimizde;

IġIK-11

Olarak verilebilir.

(x+y+z)4=x4+y4+z4

+4x3y+4x3z+4xy3+4y3z+4xz3+4yz3

+6x2y2+6x2z2+6y2z2

+12x2yz +12xy2z+12xyz2

Katsayılar toplamı: mn dir.

34=81

Farklı terim sayısı: dir

4 + 3 − 1

4 =

6.5

2.1= 15

Katsayılar içinde en büyüğü:

n=mr ise dir.

n=mr+k ise dir.

mr

m

rr

m

n

m xxxrrr

nxxx ...

..... 21

21

21

21

n

mn 1

mr

n

!

!

mkrr

n

!1

!

95

KONU TESTĠ

1. 15 farklı kitap içinden üç kitap kaç

farklı Ģekilde seçilebilir?

A)15! .B)455 C)520

D)675 E)15!3!

2. Konveks altıgenin kaç tane köĢegeni

vardır?

A)6 B)7 C)8 .D)9 E)12

3. BeĢ basamaklı, rakamları büyükten

küçüğe doğru sıralanmıĢ kaç tane

doğal sayı vardır?

A)11 B)126 .C)252

D)504 E)15120

4. Ġki veya daha fazla basamaklı doğal

sayılarda ,

ab öyle ki a >b ,

abc öyle ki; a >b >c … koĢulunu

sağlayanlara azalan sayılar denir.

Örneğin; 641 sayısı azalan, 44 veya 645

sayıları azalan değildir.

Kaç tane azalan sayı yazılabilir?

A) 45 B) 120 C) 210

.D) 1013 E) 1024

5. 13 KiĢi arasından, 10 ve 3 kiĢilik iki

gurup kaç değiĢik Ģekilde

oluĢturulabilir?

.A)C(13,3) B)C(10,3) C)C(10,7)

D)13.12.11 E)720

6. 20 kız 10 erkek öğrenci arasından, 3

kız 4 erkek olmak üzere 5 kiĢilik

gurup kaç değiĢik Ģekilde

oluĢturulabilir?

A)C(30, 5) B)C(20, 5).C(10, 5)

.C)C(20, 3).C(10,2) D)C(20,2).CC(10,3)

E)20!.10!

7. Bir çember üzerinde alınan 10 farklı

noktayı köĢe kabul eden kaç değiĢik

konveks çokgen çizilebilir?

A) 1024 .B) 968 C) 862

D) 746 E) 620

8. 5 değiĢik öykü kitabı, 6 değiĢik Ģiir

kitabı ve 8 değiĢik romandan aynı

türden olmamak koĢulu ile iki kitap

kaç değiĢik Ģekilde seçilebilir?

A) 19 B) 88 .C) 118

D) 189 E) 240

96

9. 8 kız, 9 erkek arasından ; bir kız ve

bir erkek olmak üzere iki kiĢi kaç


A) 8 B) 9 C) 17

.D) 72 E) 216

10. Dokuz kiĢilik bir öğrenci

grubundan üçer kiĢilik üç grup kaç

değiĢik Ģekilde oluĢturulabilir?

A) 1680 B) 840 C) 420

.D) 280 E) 140

11. 6 tane farklı nesne ve 6 tane de

özdeĢ nesne verilmiĢtir. Bu 12

nesneden kaç değiĢik biçimde

6 nesne seçmek mümkündür?

A) 36 .B) 64 C) 72

D) 90 E) 123

12. Dokuz farklı kitap, her kiĢiye

üçer kitap düĢmek üzere, üç kiĢiye

kaç farklı Ģekilde paylaĢtırılabilir?

.A) 1680 B) 840 C) 420

D) 280 E) 140

13. 10 farklı Ģekerlemenin bulunduğu

bir büfeden üç Ģekerleme kaç değiĢik


A)120 B)180 .C)220

D)240 E)260

14. 10 farklı yemeğin bulunduğu bir

lokantada, üç farklı yemek kaç


.A)120 B)180 C)220

D)240 E)260

15. 10 özdeĢ balonu Ali, Bora ve Can

arasında kaç farklı Ģekilde

dağıtabiliriz?

A)36 B)48 C)60 .D)66 E)78

16. 20 +

31 +

42 + …+

119

Toplamının değeri kaçtır?

.A)220 B)243 C)256

D)300 E)360

1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B

8.C 9.D 10.D 11.B 12.A 13.C

14.A 15.D 16.A

97

OLASILIK Konuda kullanılan tanım ve terimleri

vererek örneklerle pekiĢtirelim.

ÖRNEK UZAY:

Sonucu belli olmayan bir deneyde elde

edilmesi mümkün olan bütün sonuçların

kümesine örnek uzay denir.

Madeni bir parayı attığımızda;

E={Yazı, Tura}={Y, T}

Madeni iki para attığımızda;

E={YY, YT, TY, TT}

Bir zar atıldığında;

E={1,2,3,4,5,6}

Bir çift zar atıldığında;

E={(1,1),(1,2),(1,3), … ,(6,6)}

Madeni bir para atıldığında karĢımıza

2 durum, iki para atıldığında 2.2=4

durum,

Bir zar atıldığında karĢımıza 6 durum,

bir çift zar atıldığında 6.6=36 durum

çıktığına dikkat ediniz.

Örneğin; sınava giren bir öğrenci baĢarı

yönünden iki durumla karĢılaĢır.BaĢarılı

veya baĢarısızdır.Aynı sınava giren beĢ

öğrenci için 2.2.2.2.2=25=32 durum söz

konusudur.

OLAY:

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine

olay denir.

Ø :imkansız olay E:kesin olay

Örnek uzayın ayrık iki alt kümesine

ayrık olaylar denir.

OLASILIK;

Örnek uzayın bütün alt kümelerinin

kümesinden [0,1] aralığına tanımlanan ve

aĢağıdaki aksiyomları sağlayan her

P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu

ve A E olayının P(A) görüntüsüne

A nın olasılık’ı denir.

O1: A E ise 0 P(A) 1

Herhangi bir olayın gerçekleĢme olasılığı

en az sıfır, en çok birdir.

O2: P(E)=1

Kesin olayın gerçekleĢme olasılığı birdir.

O3: A B=Ø ise P(A B)=P(A)+P(B)

Ayrık olaylardan birinin veya diğerinin

gerçekleĢme olasılığı, olasılıkları

toplamına eĢittir.

IġIK-1

P(Ø)=0

A B ise P(A) P(B)

P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)

P(A’)=1-P(A)

Bir olayın gerçekleĢme olasılığı ile

gerçekleĢmeme olasılıkları toplamı bire

eĢittir.

Eġ OLUMLU ÖRNEK UZAY

Örnek uzayı oluĢturan deneylerin

olasılıkları eĢit ise;

E={a1,a2,…,an} için

P(a1)=P(a2)=…=P(an) ise

E örnek uzayına eĢ olumlu örnek uzayı

denir.

98

E eĢ olumlu örnek uzay, A E ,

s(A) olması istenenlerin sayısı,

s(E) olabileceklerin sayısı

P(A) olayın gerçekleĢme olasılığı ise;

P(A)= dir.

DNA-25

Bir çift zar atıldığında üstte okunan

sayılar toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

A)1/6 B)5/36 C)1/9 D)1/12 E)1/18

ÇÖZÜM

Deneyde örnek uzay;

E={(1,1),(1,2), … ,(6,6)}

s(E)=36

A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}

s(A)=5

P(A)=36

5

)(

)(

Es

As

dır.


GENETĠK KOPYA-25

Bir çift zar atıldığında üstte okunan

sayılar toplamının 10 olma olasılığı

kaçtır?

A)1/6 B)5/36 C)1/9 D)1/12 E)1/18

DNA-26

6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulunan

torbadan aynı anda 3 top çekiliyor.

Çekilen topların üçünün de kırmızı olma

olasılığı kaçtır?

A)1/68 B)1/51 C)5/204

D)1/34 E)7/204

ÇÖZÜM

6K+4B+8M=18 TOP

18 top içinden üç top

s(E)=1.2.3

16.17.18

3

18

farklı Ģekilde

alınabilir.

Ġstenen 6 kırmızı top arasından üç

kırmızı top almak. O da

s(A)=1.2.3

4.5.6

3

6

farklı Ģekilde alınabilir

P(A)=16.17.18

4.5.6

)(

)(

Es

As

=5/204


GENETĠK KOPYA-26


torbadan aynı anda 3 top çekiliyor.

Çekilen topların üçünün de beyaz olma


A)1/68 B)1/51 C)5/204

D)1/34 E)1/204

)(

)(

Es

As

99

DNA-27


torbadan çekilen top geriye atılmaksızın

ard arda 3 top çekiliyor.

Birinci topun kırmızı, ikincinin beyaz ve

üçüncünün de mavi olma olasılığı kaçtır?

A)4/17 B)3/17 C)3/34

D)2/51 E)5/68

ÇÖZÜM

Çekilen ilk topun kırmızı olma olasılığı:

Torbadaki 18 toptan 6 tanesi kırmızı

olduğundan 6

18=

1

3

Ġkinci topun beyaz olma olasılığı:

Torbada kalan 17 toptan 4 tanesi beyaz

olduğundan 4

17

Üçüncü topun mavi olma olasılığı:

Torbada kalan 16 toptan 8 tanesi mavi

olduğundan 8

16=

1

2 dir.

Üç olayın ard arda gerçekleĢme olasılığı: 1

3.

4

17.

1

2=

2

51 dir.


UYARI

DNA-27 de istenen, torbadan alınan üç

topun farklı renklerde olmasından

farklıdır.

Çekilen topların farklı renkte olma

olasılığı:

C(6,1).C(4,1).C(8,1)

C(18,3)=

4

17 dir.

Bu olasılıkta;

KBM, KMB, MKB, MBK, BKM, BMK

olaylarının tümü gerçekleĢmektedir.

GENETĠK KOPYA-27


torbadan çekilen top geriye atılmaksızın

ard arda 3 top çekiliyor.

Birinci ve ikinci topun kırmızı, üçüncü

topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

A)1/68 B)1/51 C)5/204

D)1/34 E)7/204

DNA-28

A nın problemi çözme olasılığı 4/5,

B nin 2/3, C nin 3/7 dir.

Üçü de uğraĢtığında problemin çözülmüĢ

olma olasılığı kaçtır?

A)4/105 B)1/35 C)101/105

D)34/35 E)67/70

ÇÖZÜM

Problemi çözememe olasılıkları;

P(A’)=1-5

1

5

4

P(B’)=1-3

1

3

2

P(C’)=1-7

4

7

3

Üçünün de problemi çözememe olasılığı:

P(A’B’C’)=105

4

7

4.

3

1.

5

1

Problemin çözülmüĢ olma olasılığı:

1-105

101

105

4

dir.

Doğru Seçenek C dir

GENETĠK KOPYA-28

Alinin problemi çözme olasılığı 2/5,

Berkin problemi çözme olasılığı 3/4 ise

problemin çözülmüĢ olma olasılığı kaçtır?

A)3/20 B)17/20 C) 4/5

D)2/3 E)19/22

100

KOġULLU OLASILIK

B olayının gerçekleĢmiĢ olması halinde, A

olayının olasılığına

A nın, B koĢullu olasılığı denir.

P(A\B) = = dir.

Benzer Ģekilde; B nin, A koĢullu olasılığı;

P(B\A) = P(A∩B)

P(A)= s(A∩B)

s(A) dır.

AĢağıda Ģema ile verilen deneyde her

sonuç bir nokta ile gösterilmektedir.

E örnek uzayı için; s(E)=16.10=160

A⊂E olayı için; s(A)=6.10=60

A⊂E olayı için; s(B)=5.5=25

s(A∩B)=1.3=3 olsun.

P(A)=s(A)

s(E)=

60

160=

3

8

P(B)=s(B)

s(E)=

25

160=

5

32

P(A⋂B)=s(A⋂B)

s(E)=

3

160

P(A\B) = = = 3

25

P(B\A) = P(A∩B)

P(A)= s(A∩B)

s(A)= 3

60=

1

20

DNA-29

Hilesiz bir madeni para üç kez atılıyor.

Üçüncü atıĢta da Tura gelmesi koĢulu ile

ikinci atıĢta Tura gelmesi olasılığı

kaçtır?

(Soru; üçüncü atıĢta Tura geldiği

bilindiğine göre, ikinci atıĢta Tura

gelmesi olasılığı nedir? ġeklinde de ifade

edilebilir.)

A)1/2 B)1/3 C)2/3 D)1/4 E)3/4

ÇÖZÜM

Bir madeni para atıldığında Yazı ve Tura

olmak üzere iki durum söz konusu

olduğundan, üç kez atıldığında 2.2.2=8

durum söz konusudur.

Örnek uzay,

E={TTT,TTY,TYT,YTT,TYY,YTY,YYT,TTT}

s(E)=8

Ġkinci atıĢta Tura gelmesi olayı,

A={TTT,TTY,YTT,YTY}

s(A)=4 P(A)=4

8=

1

2

Üçüncü atıĢta Tura gelmesi olayı,

B={TTT,YTT,TYT,YYT}

s(B)=4 P(B)=4

8=

1

2

A⋂B={TTT,YTT}

s(A⋂B)=2 P(A⋂B)=2

8=

1

4

BP

BAP Bs

BAs

BP

BAP Bs

BAs

101

P(A\B) = = =2

4=

1

2

Doğru Seçenek A dır

GENETĠK KOPYA-29

Bir çift zar atılıyor. Zarlardan en az

birinin iki olduğu bilindiğine göre, üstte

okunan sayıların toplamının 7 gelmesi


A)1/6 B)2/11 C)1/4 D)1/3 E)2/10

BAĞIMSIZ OLAYLAR

P(A\B)=P(A) ve P(B\A)=P(B)

olma durumunda;

P(A\B) =

P(B\A) = P(A∩B)

P(A) eĢitliklerinden

P(A B)=P(A).P(B) bulunur.

Bu koĢulu sağlayan A ve B olaylarına

Bağımsız olaylar denir.

DNA-30

I nolu torbada; 2 siyah, 3 beyaz top

II nolu torbada; 1 siyah, 1 beyaz top

bulunmaktadır.

Torbaların rastgele birinden bir top

çekiliyor. Çekilen topun siyah olduğu

bilindiğine göre, I nolu torbadan alınma


A)1/4 B)1/5 C)3/5 D)2/5 E)4/9

ÇÖZÜM

Deneyi ağaç çizelgesi Ģeklinde

gösterelim.

Top çekilecek iki torba bulunduğundan

torbaları seçme olasılıkları;

P(I)=1/2 ve P(II)=1/2 dir.

I nolu torbadan;

Siyah top çekme olasılığı: P(S)=2/5

Beyaz top çekme olasılığı: P(B)=3/5

II nolu torbadan;

Siyah top çekme olasılığı: P(S)=1/2

Beyaz top çekme olasılığı: P(B)=1/2

Çekilen topun, I nolu torbadan ve Siyah

top olma olasılığı;

P(I∩S) = P(I).P(S) = 12 . 2

5= 1

5

Çekilen topun, II nolu torbadan ve Siyah

top olma olasılığı;

P(II∩S) = P(II).P(S) = 1

2.

1

2=

1

4

P(I\S) = P(I∩S)

P(S)=

P(I∩S)

P I∩S +P(II∩S)

=1

51

5+

1

4

=4

9

Doğru Seçenek E dir

BP

BAP Bs

BAs

BP

BAP

102

GENETĠK KOPYA-30

I nolu torbada; 2 siyah, 3 beyaz top

II nolu torbada; 1 siyah, 1 beyaz top

bulunmaktadır.

Torbaların rastgele birinden bir top

çekiliyor. Çekilen topun siyah olduğu

bilindiğine göre, II nolu torbadan alınma


A)1/4 B)1/5 C)5/9 D)2/5 E)4/9

BĠNOM DAĞILIM FONKSĠYONU

n tane bağımsız deneyin her birinden

olumlu sonuç elde edilme olasılığı p olsun.

Bu n tane deneyden r tane olumlu sonuç

elde edilme olasılığı:

rnr ppr

n

)1.(. dir.

DNA-31

BeĢer seçenekli, 25 sorulu bir testte,

soruların tümünü tahmin eden öğrencinin

24 soruyu doğru iĢaretleme olasılığı

kaçtır?

A) 4

523 B)

4

524 C) 1

523

D) 1

524 E) 3

524

ÇÖZÜM

5 seçenekli bir soruda doğru tahmin

yapma olasılığı: p=5

1 tir.

YanlıĢ tahmin yapma olasılığı:

1-p=5

4 olur.

Binom dağılım fonksiyonu gereği;

P(A)= 24

23

25 1 4 4( ) .( )

24 5 5 5

olur.

Doğru Seçenek A dır

GENETĠK KOPYA-31

Madeni bir para altı kez atılıyor. Bu

deneme sonucunda üç kez Tura gelme


A)2/3 B)5/16 C)5/32

D)4/25 E)5/64

DNA-32

Analitik düzlemde köĢeleri ;

A(1,1) , B(-1,1) , C(1,-1) ve D(-1,-1) olan

kare alınıyor.

Kare içinde alınan bir P noktasının

O(0,0) noktasına uzaklığının,

A(1,1) noktasından uzaklığından daha

küçük olma olasılığı kaçtır?

A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8

D) 5/8 E) 7/8

103

ÇÖZÜM

A ve O noktalarından eĢit uzaklıkta

bulunan noktalar, [OA] nın orta dikmesi

olan EF doğrusu üzerindedir.

EF doğrusunun altında bulunan P

noktaları için;

|PO| < |PA| dır.

EOFA Karesinde; EF, alanı eĢit iki

parçaya ayırır.

Karenin iç bölgesinde koĢulu sağlayan

noktalar (taralı bölge), diğer bölgenin

7 katıdır.

Sonuç olarak; koĢulu sağlayan noktaların,

tüm bölgeye oranı olasılığı vereceğinden

Ġstenen olasılık: 7

8 dir.

Doğru Seçenek E dir

GENETĠK KOPYA-32

Analitik düzlemde köĢeleri ;

A(1,1) , B(-1,1) , C(1,-1) ve D(-1,-1) olan

kare alınıyor.

Kare içinde alınan bir P noktasının

O(0,0) noktasına uzaklığının,

A(1,1) noktasından uzaklığından daha

büyük olma olasılığı kaçtır?

A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8

D) 5/8 E) 7/8

DNA-33

Aynı örnek uzayına ait A ve B olayları

için; P(A)=0,3 ve P(B)=0,2 iken

P(A∩B)=0,1 dir.

P(A’∩B’) kaçtır?

A)0,1 B)0,3 C)0,4 D)0,6 E)0,9

ÇÖZÜM

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Olduğundan;

P(A∪B) = 0,3 + 0,2 – 0,1 = 0,4 bulunur.

P(A∪B) + P(A∪B)’ = 1 ve

P(A∪B)’ = P(A’∩B’) olduğundan

P(A’∩B’) = 1 – 0,4 = 0,6 dır.

Doğru Seçenek D dir

GENETĠK KOPYA-33

4

1)( AP ve

4

1)( BP ise

aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 2

1)( BAP B)

2

1)( BAP

C) BA D) BA

E) 0)( BAP

104

KONU TESTĠ

1. E={a,b,c,d} örnek uzayı için;

P(a)=3.P(b) , P(b)=3.P(c) ,

P(c)=3.P(d) olduğuna göre P(d)=?

A) 1/40 B) 3/40 C) 9/40

D) 27/40 E) 1/4

2. P(A)=0,9 ve P(B)=0,6 ise

P(AB) nin en küçük değeri kaçtır?

A) 0,3 B) 0,4 C) 0,5

D) 0,6 E) 0,8

3. {1,2,3,….,25} kümesinden seçilen bir

sayının 6 ya bölündüğünde 1 kalanını

verme olasılığı kaçtır?

A) 1/4 B)1/5 C) 1/6

D) 1/8 E) 1/25

4. Bir zar üç kez atılıyor. Üstte okunan

sayıların toplamının 6 olma olasılığı

kaçtır?

A) 5/108 B) 1/36 C) 7/108

D) 2/27 E) 1/12

5. Telefon numaralarının 0,1 veya 9 ile

baĢlamadığı ve yedi basamaklı olduğu

bir ülkede numaranın 5 ile

bölünebilme olasılığı kaçtır?

A) 1/6 B) 1/5 C) 1/4

D) 1/3 E) 1/2

6. Ġçinde 1 den 20 ye kadar

numaralandırılmıĢ 20 top bulunan

torbadan 4 tane top alınıyor. Okunan

sayıların en büyüğünün 15 , en

küçüğünün 9 olma olasılığı kaçtır?

A) 2/969 B) 3/1615

C) 8/4845 D) 7/4845

E) 2/1615

7. Ġçinde aynı büyüklükte 6 siyah , 4

beyaz , 2 kırmızı top bulunan

torbadan alınan iki topun aynı renkte

olma olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4

D) 1/5 E) 1/6

8. 2,5,8,11,…..,299 dizisinden bir sayı ve

3,7,11,15,…..,399 dizisinden bir sayı

alınıyor.

Alınan iki sayının eĢit olma olasılığı

kaçtır?

A) 1/80 B) 1/100 C) 3/400

D) 1/200 E) 1/400

9. Ġçinde 1 den 10’ a kadar

numaralandırılmıĢ 10 kart bulunan

torbadan çekilen bir numaranın çift

sayı olma durumunda 3 ‘e bölünebilme


A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4

D) 1/5 E) 1/6

105

10. A ve B bağımsız olaylar ,

P(A)=0,3 , P(B)=0,2 ise P(A|B)=?

A) 0,06 B) 0,15 C) 0,2

D) 0,3 E) 0,5

11. 2

1)( AP ,

2

1)|( ABP ve

2

1)|( BACP ise

( )P A B C değeri kaçtır?

A) 1/8 B) 1/6 C) 1/4

D) 1/2 E) 1

12. Dört evli çift arasından üç kiĢi

seçilecektir. Seçilecek kiĢiler

arasında bir evli çiftin bulunma


A)1/7 B)2/7 C)3/7

D)4/7 E)5/7

13. L uzunluğundaki bir tel üç

parçaya ayrılıyor. Parçaların bir

üçgen oluĢturma olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4

D) 1/5 E) 1/6

14. Üç çocuklu bir ailenin üç

çocuğunun da erkek olma olasılığı

kaçtır?

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6

D) 1/8 E) 1/12

15. Üç çocuklu bir ailenin

çocuklarından en az ikisinin kız olma


A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6

D) 1/8 E) 1/12

16. 6 kırmızı, 4 beyaz, 8 mavi top

bulunan torbadan çekilen top geriye

atılmaksızın ard arda 3 top çekiliyor.

Çekilen toplardan en az birinin

kırmızı olma olasılığı kaçtır?

A)149/204 B)25/34 C)51/68

D)77/102 E)91/135

1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.B

8.E 9.D 10.D 11.A 12.C 13.C

14.D 15.A 16.A

Documents

OLASILIK - ahmet elmas€¦ · OLASILIK . 76 DNA-2 A={(x,y): x 2+y 5 , x,y Z } kümesi kaç elemanlıdır? A)8 B)12 C)21 D)25 E)29 ÇÖZÜM Kareleri toplamı 5 veya 5 ten küçük