Olasılık Teorisi

Olasılık: Klasik Yaklaşım

Olasılık

– Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir.• Örnek

– Türkiye’nin kazanma olasılığı

– Hava durumu

– Loto

Olayların Olasılığını Belirleme

Rastsal (gelişigüzel) Deneme– Belirsizlikler karşısında elde edilmesi beklenen ve

birden fazla sonucun ortaya çıkma olasılığını belirleyen bir süreçtir.

– Olasılık teorisi rastsal deneme süreci ile başlar. Örnekler

Deney Sonuç• Yazı tura atmak Yazı yada Tura• Zarın yuvarlanması Tek veya çift sayı• Okula gidiş süresi Dakika > 0• Futbol maçı 0-1-2• X hisse senedinin performansı Yüksek,düşük,aynı

Rastsal bir denemede ortaya çıkması olası olayların her birine basit olay, bu olaylardan oluşan sete örnek uzayı denir.– Tüm olası sonuçların listesini oluştur.– Listelenmiş sonuçların birbirini dışlayan sonuçlar

olduğuna emin ol.– Birbirini dışlayan: birbiri ile hiçbir sonucu ortak

olmayan olaylardır

Örnek Uzayı

Örnek uzayı için bu iki koşulun yerine getirilmesi gerekmektedir.– Örnek

• Zarın bir kez yuvarlanması sonucu ortaya çıkabilecek olası sonuçlar: {1,2,3,4,5,6}

• Bir bebeğin doğum günü için olası örnek uzayı: {1 Ocak,…, 31 Aralık}

Örnek Uzayı

Örnek Uzayı: U = {O1, O2,…,Ok}

Örnek UzayıRastsal bir denemenin örnek uzayı tüm olası sonuçların bir listesidir. Sonuçlar birbirini dışlar nitelikte ve geniş kapsamlı olmalıdır.

Basit OlayHer bir sonuca basit olay denir. Basit olaylar bileşenlerine ayrılamaz.Olay

Olay bir yada daha fazla basit olayın derlemesidir.Amacımız P(A) (A

olayının ortaya çıkma olasılığı) nınbelirlenmesidir

O1 O2

Örnek: Örnek Uzayı

Madeni bir paranın yazı tura atıldığını, sonra da bir zarın yuvarlandığını düşünelim.– Bu deneyin örnek uzayını listeleyiniz.– ‘parada yazı ve zarda tek sayı gelmesi’ olayının

sonuçlarını listeleyiniz Çözüm:

– Örnek uzayı = {Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,T1,T2,T3,T3,T4,T5,T6}

– {Y1,Y3,Y5}

Olasılık Türleri Subjektif Olasılık

– Bir olayın gerçekleşme olasılığı hakkındaki akıllı tahminlerdir.

Ampirik Olasılık– Örnek

• Denizde balık tutma yakalanan balığın palamut olma olasılığı

– P(E)=(E olayının ortaya çıkma sayısı) / (Bir deneyin gerçekleştirilme sayısı)

– P(palamut)=(tutulan palamut sayısı) / (tutulan toplam balık sayısı)

Olasılık Türleri Ampirik Olasılık

– Gerçek olasılığın bulunması hususunda faydalıdır; fakat kesin değildir!

– Büyük sayı kuralına göre deneylerin sayısı arttıkça ampirik olasılık gerçek olasılığa yaklaşmaktadır.

Gerçek Olasılık----Klasik Yaklaşım İle Olasılık

Tanım– Tüm sonuçlar bilinmektedir.– Tüm sonuçların gerçekleşme olasılığı eşit ise

P(E), “E’nin gerçekleşme olasılığı”olarak okunur ve P(E)=n(E)/n(S) eşitliği ile ifade edilir.

• n(E)=olaydaki sonuç sayısı• n(S)=örnek uzayındaki sonuçların sayısı

Klasik Olasılık Örnekleri

Yazı tura – Tura gelme olasılığı?– Çözüm

• Olay=“tura” n(E)=1• Örnek uzayı= {yazı,tura} n(S)=2• P (tura)= n(E)/n(S)=1/2=50%

Zar atılması – Çift sayı gelme olasılığı?– Çözüm

• Olay= “2,4,6” n(E)=3• Örnek uzayı={1,2,3,4,5,6}=6• P (çift sayı) = n(E)/n(S)=3/6 = 50%

Örnek Bir ailede 3 çocuk vardır. Tüm çocukların erkek

olma olasılığı? En az 2’sinin erkek olma olasılığı?

1. Çocuk 2. Çocuk 3. çocuk

E E E

E E KE K E

E K K

K E EK E KK K EK K K

Örnek Bir ailede 3 çocuk vardır. Tüm çocukların erkek

olma olasılığı? En az 2’sinin erkek olma olasılığı?

P(tümü erkek) = P(en az ikisi erkek) =

Örnek Ali pizza siparişi vermiştir ve dolaptan bir içecek

seçmek istemektedir. Dolapta 6 kola, 4 gazoz, 2 de limonata olduğunu düşünürsek, rastsal olarak bir şişe gazoz seçme olasılığı nedir?

Olasılık İle İlgili Kurallar

Tamamlayıcılık Kuralı

Tamamlayıcılık Kuralı

Tamamlayıcının Olasılığı

P(E) + P(EC) = 1

P(EC) = 1 - P(E)

Tamamlayıcının Olasılığı

Tamamlayıcının OlasılığıÖrnek

Ekleme Kuralı Şimdiye kadar tek bir olayı ilgilendiren olasılıklar

hesaplandı. Olayların birleştirilmesi ile oluşan olasılıklar nasıl

hesaplanır? Bir olayın veya diğer bir olayın gerçekleşme olasılığı “A veya B”.

A ve B tamamen bağımsız (sonuçların hiçbiri ortak olmayan) olaylar olduğunda

P(A veya B) = P(A) + P(B)

Ekleme Kuralı – Tamamen Bağımsız Olaylar

A B

P(A ve B) = 0

P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(A ve B)

A

B

P(A) =6/13

P(B) =5/13

P(A ve B) =3/13

A veya B

+_

P(A veya B) = 8/13

Ekleme Kuralı – Bağımlı Olaylar

Çarpım Kuralı

Çarpım Kuralı

Bağımsız olay– Bir olayın gerçekleşme olasılığı diğer bir olayın gerçekleşme

olasılığını etkilememektedir.

Çarpım Kuralı

Bağımsız olay– Bir olayın gerçekleşme olasılığı diğer bir olayın gerçekleşme

olasılığını etkilememektedir.

Bağımsız 2 olay (E ve F) için,P(E ve F) = P(E) * P (F)

Çarpım Kuralı

Çarpım Kuralı

Çarpım Kuralı Koşullu Olasılık

– Bir olayın gerçekleşmesi diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı olduğu durumlarda

– P (E ve F) = P (E) * P (F|E)– P(F|E) = E olayının gerçekleşmesi koşulu ile F olayının

gerçekleşme olasılığı şeklinde okunur.

Çarpım Kuralı Koşullu Olasılık

Örnek