11

Oleh: Oleh:

Devi Asmirawati, S.SiDevi Asmirawati, S.Si

PROGRAM LINIER

(Pertemuan pertama)(Pertemuan pertama)

22

Setelah mempelajari materi ini anda dapat:

Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

33

MENUMENU

Pertidaksamaan Linier Dua Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (PtLDV)Variabel (PtLDV)

Sistem Pertidaksamaan Linier Sistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelDua Variabel

Apa yang akan kita pelajari Apa yang akan kita pelajari

1. Mengenal arti sistem pertidaksamaan linier dua variabel

2. Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier dua variabel

3. Latihan

PtLDV DAN SISTEM PtLDV DAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA VARIABEL?VARIABEL?

LETS GO!...LETS GO!...

55

66

REMEMBERREMEMBER !!! !!!

Manakah yang merupakan bentuk Manakah yang merupakan bentuk pertidaksamaan?pertidaksamaan?

2x = 62x = 6a.a.3p < 63p < 6b.b.

2a + 4b = 10 2a + 4b = 10 c.c.2m + 3n ≥ 12 2m + 3n ≥ 12 d.d.

G o o d . . . !

Jadi, apa itu Jadi, apa itu pertidaksamaan ?pertidaksamaan ?

G o o d . . . !

Pertidaksamaan adalah suatu bentuk Pertidaksamaan adalah suatu bentuk matematika yang menggunakan matematika yang menggunakan lambang < , > , ≤ , atau ≥lambang < , > , ≤ , atau ≥

x0 1 2-1-2-3-4

Penyelesaian untuk x < -2, dengan x Penyelesaian untuk x < -2, dengan x bilangan bulat dalam bentuk garis bilangan bulat dalam bentuk garis bilangan adalah bilangan adalah

G o o d . . . !

Apa penyelesaian untuk x < -2, dengan x Apa penyelesaian untuk x < -2, dengan x bilangan bulat?bilangan bulat?

HP

HP = {x| x < -2, x HP = {x| x < -2, x B B

= { -3, -4, -5, ...}= { -3, -4, -5, ...}

ContohContoh 11 : :

99

Apa penyelesaian dari x Apa penyelesaian dari x 3, 3, untuk x untuk x bilangan cacah? bilangan cacah?

Kerjakan di buku kalian

ContohContoh 22 : :

ContohContoh 3 3 : :

Gambarlah daerah himpunan Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari:penyelesaian dari: x x ≥ 2 ≥ 2 pada pada koordinat kartesius.koordinat kartesius.

1111

X

Y

2

• Ambil sembarang titik.

Misalkan (1,3).

Titik (1,3) berarti x = 1 dan y = 3.

Karena x = 1 bukan penyelesaian dari x ≥ 2, maka daerah yang berada di sebelah kiri garis x = 2 bukanlah daerah penyelesaian dari x ≥ 2.

Maka, arsirlah daerah di kanan garis x = 2

Jawab:

HP

1212

Jika lambJika lambaang pertidaksamaan < atau > ng pertidaksamaan < atau > , garis harus di buat putus-putus , garis harus di buat putus-putus ( ( ------ )------ )

Jika lambJika lambaang pertidaksamaan ≤ atau ≥ ng pertidaksamaan ≤ atau ≥ , garis harus di buat tanpa putus-putus , garis harus di buat tanpa putus-putus (___ ) (___ )

Gambarlah daerah himpunan Gambarlah daerah himpunan penyelesaianpenyelesaian dari :dari : Y < 8Y < 8 pada pada koordinat kartesius.koordinat kartesius.

Kerjakan di buku kalian

ContohContoh 44 : :

Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari :Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari :

-2 < x ≤ 3-2 < x ≤ 3

0

Y

-2 3X

HP

ContohContoh 55 : :

1515

Nah, sekarang kita Nah, sekarang kita membahas membahas pertidaksamaan linier dua pertidaksamaan linier dua variabelvariabelPada contoh awal, kalian menjawab Pada contoh awal, kalian menjawab bentuk pertidaksamaan adalah option b bentuk pertidaksamaan adalah option b dan d, yaitudan d, yaitu

3p < 63p < 6b.b. 2m + 3n ≥ 12 2m + 3n ≥ 12 d.d.Di antara keduanya, manakah yang Di antara keduanya, manakah yang merupakan bentuk pertidaksamaan merupakan bentuk pertidaksamaan linier dua variabel ?linier dua variabel ?

G o o d . . . !

Tentukanlah daerah himpunan Tentukanlah daerah himpunan penyelesaian daripenyelesaian dari::

xx + 3 + 3yy < 6 < 6Jawab:

Untuk mUntuk menyelesaienyelesaikkanan x x + 3 + 3yy < < 66, ubah dulu menjadi , ubah dulu menjadi persamaan, yaitu x + 3y = 6. persamaan, yaitu x + 3y = 6. Bentuk ini berupa garis lurus.Bentuk ini berupa garis lurus.

KKalian tentu tahu alian tentu tahu bagaimana bagaimana

menggambar menggambar garis lurusgaris lurus

ContohContoh 66 : :

0X

Y

6

2

x + 3y = 6

x + 3y = x + 3y = 66Tipot sb X, y = 0 Tipot sb X, y = 0 x = 6 x = 6

Tipot sb Y, x = 0 Tipot sb Y, x = 0 y = y = 22

(6,0(6,0))(0,2(0,2))• Ambil sembarang titik.

Misalkan (0,0).

Substitusi ke x + 3y, di peroleh0 + 3(0) = 0 < 6

Maka arsirlah bagian yang memuat titik (0,0)

HP

1818

Kerjakan di buku kalian

Tentukanlah daerah himpunan Tentukanlah daerah himpunan penyelesaian daripenyelesaian dari::

2x2x – – y y 22

ContohContoh 77 : :

Tentukanlah daerah himpunanan penyelesaian2x + 5y ≥ 10 x – 2y < 8

5 8

2

-4

X

Y

0

x – 2y = 8

2x + 5y = 10

• Ambil sembarang titik.

Misalkan (0,0).

Substitusi ke 2x + 5y, di peroleh

2(0) + 3(0) = 0 < 10Maka arsirlah bagian yang tidak memuat titik (0,0)

5 8

2

-4

X

Y

0

x – 2y = 8

2x + 5y = 10

• Ambil sembarang titik.

Misalkan (0,0).

Substitusi ke x – 2y, di peroleh

2(0) + 3(0) = 0 < 8Maka arsirlah bagian yang memuat titik (0,0)

5 8

2

-4

X

Y

0

x – 2y < 8

2x + 5y ≥ 10

Maka himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang mendapat dua kali arsiran, yaitu

HP

Berikut ini adalah cara lain menyelesaikan contoh di atas

5 8

2

-4

X

Y

0

x – 2y = 8

2x + 5y = 10

Kedua garis 2x + 5y = 10 dan x – 2y = 8, yang berpotongan di satu titik membagi bidang menjadi empat bagian.

I

II III

IV

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, ambil sembarang titik pada masing-masing bagian sehingga memenuhi kedua pertidaksamaan sekaligus.

5 8

2

-4

X

Y

0

x – 2y = 8

2x + 5y = 10

I

II III

IV

Untuk bagian I, ambil titik (1,-2)2x + 5y = 2(1) + 5(-2) = -8 < 10Karena tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 5y 10, maka daerah I bukan merupakan daerah HP

Silakan kalian teruskan

menyelesaikannya!

5 8

2

-4

X

Y

0

x – 2y < 8

2x + 5y ≥ 10

Maka himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah II, yaitu

HP

Tentukanlah daerah himpunan penyelesaianTentukanlah daerah himpunan penyelesaian dari dari

3,5x + 2y ≤ 70

x + 3y ≤ 45

ContohContoh 88 : :

x ≥ 0y ≥ 0

X

Y

0

3,5x + 2y = 70

20

35

15

45x + 3y = 45

cv

  

HP

x ≥ 0y ≥

0

X

Y

0 20

15

45

35

x + 3y ≤ 45

3,5x + 2y = 70

x + 3y = 45

3,5x + 2y ≤ 70

   35

.

15

0 20 45  

3,5x + 2y = 70

x + 3y = 45

HP

X

Y

Tentukanlah Model Matematika dari daerah himpunan penyelesaian berikut!Tentukanlah Model Matematika dari daerah himpunan penyelesaian berikut!

YY

66

44

XX

00 6 6 8 8    

ContohContoh 99 : :

2929

Y

0 6

6

4

8X

Persamaan garis yang melalui titik (6,0) dan (0,6) adalah

x + y = 6

Karena daerah yang diarsir,berada di atas garis x + y = 6

maka pertidaksamaan yang bersesuaian adalahx + y ≥ 6

3030

Y

0 6

6

4

8X

Persamaan garis yang melalui titik (8,0) dan (0,4) adalah

x + 2y = 8

Karena daerah yang diarsir,berada di bawah garis x + 2y = 8

maka pertidaksamaan yang bersesuaian adalahx + 2y ≤ 8

3131

Y

0 6

6

4

8X

Karena daerah yang diarsir,berada di atas sumbu X

maka pertidaksamaan yang bersesuaian adalahx ≥ 0

3232

Y

0 6

6

4

8X

Karena daerah yang diarsir,berada di kanan sumbu Y

maka pertidaksamaan yang bersesuaian adalahy ≥ 0

Jadi Jadi Model Matematika Model Matematika yang bersesuaian yang bersesuaian adalahadalah::

x + 2y ≤ 8x + 2y ≤ 8

x + y ≥ 6x + y ≥ 6

x ≥ 0 x ≥ 0

y ≥ 0y ≥ 0

   

Sekarang saatnya Sekarang saatnya bagi kalian untuk bagi kalian untuk

mengasah mengasah kemampuan kemampuan

kalian melalui kalian melalui latihanlatihan

3535

1. 1. Tentukanlah daerah himpunan Tentukanlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

x + y < 9

5x – 3y < -15

x ≥ 0

y ≥ 0

2. Tentukanlah Model Matematika dari daerah himpunan penyelesaian berikut!

Y

0

10

4

8

X8

LatihanLatihan

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR

3636