Olimpiadas Prolog 4to Sec 2011

7/23/2019 Olimpiadas Prolog 4to Sec 2011

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PROLOGMTICA 2011III CONCURSO NAC. DE MATEMTICA

4.oAo de Secundaria

5. La potencia que desarrolla el motor de un buque vara

proporcionalmente con el cubo de la velocidad de la

embarcacin. A su vez el consumo de combustible

por hora es DP a la potencia desarrollada por el motor.

Si el capitn decide ahorrar 75% del combustible

total que gastara en cierto viaje, la velocidad que

desarrollar, respecto a la velocidad que desarrolla

normalmente disminuir en porcentaje en

A) 25 B) 37 C) 50

D) 75 E) 80

6. Para cuntos valores de a es cierto que la lnea

y=x+a pasa por el vrtice de la parbola: y=x2+a2?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 10 E) infinitos valores

7. Para qu valor de n se verifica

i+2i 2+3i 3+ ... +nin=48+49i ; donde i= 1?

A) 24 B) 40 C) 49

D) 97 E) 98

8.

El producto de las races no reales de x44x3+6x24x=2011; es k. Determine el valor de

k; donde adenota la parte entera de a.

A) 43 B) 44 C) 45

D) 46 E) 48

9. Encuentra el mnimo valor de la funcin

f (x)= 4x212x+13+ 4x228x+53

A) 5,2 B) 3 3 C) 3 2

D) 4 3 E) 4 2

1. Cuatro enteros positivos a < b < c < dson tales que

al mximo comn divisor entre cualesquiera dos de

ellos es mayor que 1; adems el MCD(a, b, c, d)=1.

Halle el menor valor que puede tomar d.

A) 10 B) 12 C) 15

D) 30 E) 105

2. Indique el nmero de permutaciones diferentes de

la palabra PROLOGMATICA tales que no contengan

vocales adyacentes (dos letras consecutivas no deben

ser ambas vocales).

A) 8 467 200

B) 9 547 200

C) 6 360 900

D) 2 822 400

E) 4 233 600

3. El profesor Willy compr una computadora para al

crdito, pagando $500 como cuota inicial y firmando

cuatro letras de $360 descontables al 10%. Si hubiera

comprado al contado le descontaban el 10%. Indique

el precio de lista del artefacto.

A) 1719 B) 1810 C) 1859,66

D) 1910 E) 2122,22

4. Halle el nmero de soluciones de la ecuacin:

(x)=16; siendo xun nmero natural.

Nota: (x) denota el indicador o funcin Euler de x.

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

CUARTOAODESECUNDARIA


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10. Dados x,y, zR+tales que 2 xy+ xz=1

encuentre el mnimo valor de:3yz

x+

4zx

y+

5xy

z

A) 2 3 B) 3 2 C) 4

D) 3 E) 2 6

11. Desde un punto P exterior a una circunferencia,

se trazan las tangentes PA y PB (A y B puntos de

tangencia), luego, se ubican los puntos medios My N

de APy BPrespectivamente, tal que BMinterseca a la

circunferencia en el punto Q. Si mSAPB=36 y (QM)

(QN)=4 u2; calcule el rea de la regin triangular MQN.

A)

2 u

2

B)

3u

2

C)

5 1

2

2+

u

D)10 2 5

2

2

u E)

5 1

2

2

u

12. Por el punto Mdel lado AB de un cuadrado ABCDse

traza MQ perpendicular al plano que contiene a dicho

cuadrado, tal que MQ=(MB) 3; en el lado ADse ubica

el punto T, tal que MTMC. Si mSAMT= mSMCT,

calcule la medida del ngulo formado por QDy BC.

A) 75 B) 45 C) 60

D) arcsen2

5 E) arctan

3

7

13. En un tringulo ABC, de incentro I, circuncentro O

y baricentro G, la mSBCA= y IG BC={T}. Si

mSBIO=90; calcule mSBTG.

A) /2 B) C) 3/2

D) /5 E) 4/3

14. Se tiene el cuadrado ABCD de lado igual a7

22u,

tomando como dimetro a ADse traza interiormente

una semicircunferencia, en la cual se ubica el punto

P; luego se traza el cuadrado DPQR. Si el punto Pse

desplaza en la semicircunferencia de A hasta D, al

trazar el cuadrado DPQR, R en su desplazamiento

describe una lnea. Calcule aproximadamente la

longitud de dicha lnea.

A) 0,5 u B) 1 u C) 0,4 u

D) 1,5 u E) 0,75 u

15. En el grfico se muestran 3 circunferencias tangentes

en el punto P. Si AB=3; BC=5 y CD=4; calcule DE.

A B

C

D E

P

A) 21/8 B) 28/13 C) 14/5

D) 12/7 E) 16/9

16. En el grfico los trapecios isscelesABCDy BPQDson

congruentes. Hallex. (BC//ADy PQ//BD)

P

B Q

A D

x

C

217

2

A) 28 B) 30 C) 45

D) 74 E) 53

17. Indique el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

I. Si el nmero de lados de un polgono es n,

entonces la suma de las medidas de sus ngulosinternos es 180 (n2).

II. Si un cuadriltero es equiltero y sus diagonales

congruentes, entonces dicho cuadriltero es

regular.

III. Para todo polgono convexo de nlados la suma de

las medidas de los ngulos externos es 360.

IV. El polgono regular cuyo ngulo central tiene

mxima medida no tiene diagonales.

A) VVVV B) VFVV C) VVFF

D) FFFF E) FVFV


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18. Si CT=TOy BP=PD; calcule el valor de x.

A B

Q

C

D

P

O

T

x

A) 4 B) 14 C) 8

D) 16 E) 15

19. En el grfico IyJson incentros de los tringulos ABC

y PBQ. SiJI=ay DI=b; calcule BJ.

A C

P

Q

I

D

J

B

A) a+b B) a2+b2 C) ab

D) ba E)a2

ba

20. Segn el grfico, A es punto de tangencia. Si

mAM=mNB y CM=1; calcule MD.

C

A

D

M

N

B

A) 1 B) 1,5 C) 1,8

D) 2 E) 3

21. En el grfico, tan=3

5 y S representa el rea de la

regin sombreada. Halle M= S

sen cos(45+ );

(P, Qy Rson puntos de tangencia).

2

A CR

Q

P

B

3

A) 20 2 B) 30 2 C) 40 2

D) 50 2 E) 60 2

22. En el grfico

BP es la bisectriz del ngulo ABC.

CP es la bisectriz del ngulo BCD.

MNes paralelo aAD

BM=a

CN=b

halleMN en funcin de ay b.

A)a

b

B) ab

C) a+b

B

C

A D

NM P

D)a+b

2

E) 2ab

23. Halle el valor de x, tal que tanxsea mnimo. Adems,

se cumple AB=BC=DE.

A

x

B C

E

D

A) 15

B) 30

C) 45

D)

60 E) 26,5


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24. Del grfico, halle el valor de9 tan

tan

X

Y

(0; 7)

(3; 0)

A) 49 B) 9 C) 1

D) 9 E) 49

25. Cuntas ternas (a, b, c), siendo a, b y c enteros

positivos, cumplen las siguientes condiciones?

adivide ab;

bdivide a 2c;

cdivide a 4a;

(a+b+c) divide a 100.

A) 15 B) 17 C) 18

D) 20 E) 21

26. En la figura de abajo se van pintando de negro, en cada

paso, tres puntos que son los vrtices de un tringulo

equiltero. Si despus de algunos pasos solo queda un

punto sin pintar, en cuntas posiciones diferentespuede estar dicho punto?

A) 6 B) 7 C) 12

D) 13 E) 25

27. En una urna hay 18 bolas, de las cuales 12 son de color

verde y el resto de color azul. Se extraen dos bolas,

una por una son reposicin. Halle la probabilidad de

que ambas sean de color azul.

A) 0,09901

B) 0,08710

C) 0,08722

D) 0,09803

E) 0,08903

28. La red ferroviaria de una ciudad tiene a la venta

boletas para viajar de una estacin a otra. Cada boletoespecifica la estacin de origen y la del destino.

Cuando se va aadiendo varias estaciones nuevas a la

red se tuvo que imprimir 76 nuevas clases de boletas.

Cuntas estaciones nuevas se sumaron a la red?

A) 4 B) 2 C) 19

D) 8 E) 6

29. Alberto tienen una retcula de 4 4 cuadrados en las

cuales est tratando de colocar tantas fichas como

le sea posible. No se puede colocar ms de una ficha

en cada cuadrado y no se pueden colocar ms de

tres fichas en cada fila, columna o diagonal. Cul

es el mximo nmero de fichas que Alberto puede

colocar?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

30. Al contar nbolas de colores, algunas rojas y el resto

negras, se encontr que 49 de las primeras 50

contadas eran rojas. De ah en adelante, 7 de cada 8

contadas eran rojas. Si en total el 90% o ms de las

bolas contadas eran rojas, el valor mximo de nes

A) 225 B) 210 C) 200

D) 180 E) 175

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