Olimpiadi della Matematica - Gara di Risposte corrette Indice · la gara di secondo livello delle Olimpiadi della Matematica; contiene tutti i testi delle gare svoltesi in Italia

68 Olimpiadi della Matematica - Gara di 2 livello

Risposte corrette

12345678910111213141516

1995DCBECEDDEDEEDDD1996CACADBCAEBEDBDC1997DDCEBDEBCDCBADC1998DCDCCCEDCEDEDBE1999DBDEADBCBBDB30283602000ACEBECDECD7211416171442001CBCCEECDEC931564145

2002BIBDCEBADDCE999130572002TRDCECADBDDB999911652003BIECAABBBDBD19984701002003TREBCBEBEBDC1998641002172004BIADAABCADAD10515011420042004TRADCAACADEC200415024224502005CBACDBEBCC100236170648102006EECACBEDAB4162712043742007EDDCBEBADECC421940562008BECDABDDECEC71452009DBACEBCDCADE124142010BECDCBBCACDD373272011DBCBADBABECA442012ADEDCADECDAB1007362013DCCDABEEACBE203252014DCDADBCBECDA40309922015ECADCBBDEBDC105648

Bibliografia e riferimenti AA.VV., Le Olimpiadi della Matematica – Problemi delle gare italiane, Zani-chelli 1994 AA.VV., Le Olimpiadi della Matematica - 2a edizione – Problemi delle gare

italiane dal 1995 al 2001, Zanichelli 2002

M. Gobbino, Schede olimpiche, U.M.I. 2008

http://olimpiadi.dm.unibo.it

Sito web delle Olimpiadi della Matematica Italiane.

http://users.dma.unipi.it/gobbino/Home Page/OT Index.html

“Training olimpico by Massimo Gobbino.”

http://imo-official.org

Sito web delle Olimpiadi della Matematica Internazionali.

http://olimato.org/archimede/

Indice

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Combinatoria e probabilita . . . . . 18Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Matematizzazione . . . . . . . . . . . . . . 45

Gara di secondo livello 2015 . . . . 59Finale nazionale 2015 . . . . . . . . . . . 63Team Selection Test 2012 . . . . . . . 65Finale internazionale 2015 . . . . . . 66Risposte corrette . . . . . . . . . . . . . . . 68Bibliografia e riferimenti . . . . . . . . 68

PremessaQuesto libretto e una guida per agli studenti che desiderano prepararsi per affrontarela gara di secondo livello delle Olimpiadi della Matematica; contiene tutti i testi dellegare svoltesi in Italia negli anni dal 1995 al 2015.

I testi delle gare sono reperibili, in altra veste editoriale, su internet nel sito webdel Progetto e nelle pubblicazioni indicate in bibliografia. Qua e la, per economia dispazio, abbiamo dovuto apportare al testo originale lievi modifiche editoriali (abbre-viazioni, soppressioni di unita di misura, rotazioni di figure, ecc.) che non alteranoassolutamente ne il contenuto ne la difficolta dei problemi.

Riporto solo le risposte corrette ai quesiti a scelta multipla e ai quesiti a rispostanumerica, rimandando alle fonti indicate coloro che cercano le soluzioni dettagliate ole soluzioni dei problemi dimostrativi.

Per quanto riguarda l’organizzazione del materiale, ho ritenuto opportuno suddi-videre i problemi nei sei principali settori che tradizionalmente sono argomento dellecompetizioni studentesche di matematica: Algebra, Aritmetica, Combinatoria e pro-babilita, Geometria, Logica e Matematizzazione. Penso infatti che questa distinzionesia piu funzionale a un lavoro di preparazione di quanto lo sia un elenco cronologicodei testi delle gare. Questa catalogazione dei problemi potra apparire a volte discu-tibile, in quanto accade spesso che la soluzione di un problema coinvolga piu settoridella matematica, tant’e che nelle pubblicazioni ufficiali (indicate in bibliografia) lacatalogazione di molti problemi e diversa da quella da me proposta.

Per chi volesse farsi un’idea delle fasi successive della competizione, riportiamoi testi della Finale Nazionale 2014, del Team Selection Test 2012 (il piu recentedisponibile) e della Finale Internazionale 2015.

Invito chiunque a segnalarmi errori, imprecisioni o proposte di miglioramenti.

prof. Daniele Donini, I.T.E.S. “Carlo Matteucci”, Forlıottobre 2015


Algebra1. [1995.1 ] Quanti sono i punti in comune alle curve di equazione y = ∣x2 − 4∣,

y = ∣x∣ ?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) infiniti

2. [1995.3 ] Data l’equazione yx2 + x − y = 0, quale delle seguenti affermazioni ecorretta?(A) Esiste un valore di x che e soluzione dell’equazione per ogni valore di y.(B) Per ogni valore di y vi e almeno un valore di x che risolve l’equazione.(C) Per ogni valore di y esistono due valori distinti di x che risolvono l’equa-

zione.(D) Per ogni valore di x esisite un valore di y che risolve l’equazione.(E) Esiste un valore di y che e soluzione dell’equazione per ogni valore di x.

3. [1995.10 ] Si consideri la somma S = 1

1001+ 1

1003+ 1

1005+⋯+ 1

2997+ 1

2999.

Quale delle seguenti affermazioni e vera?

(A) S < 1

10(B)

1

10≤ S < 1

12(C)

5

12≤ S < 1

2(D)

1

2≤ S < 3

4(E) S ≥ 3

4

4. [1996.8 ] Per quanti valori del parametro reale k il sistema 2x + y = 18x3 + y3 = k ha

una e una sola soluzione reale?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6 (E) non si puo determinare

5. [1997.10 ] Quale delle seguenti disequazioni ha co-me soluzione l’insieme disegnato in figura?

(A) x6 + y6 ≤ 64 (B) ∣2x∣ + ∣y∣ ≤ 4(C) ∣x+ y∣ + ∣x− y∣ ≤ 4 (D) ∣y∣ + ∣x+ 1∣ + ∣x− 1∣ ≤ 4(E) ∣x∣ + ∣∣2y∣ − ∣x∣∣ ≤ 4

x

y

6. [1998.2 ] D e il dominio del piano cartesiano costituito dai punti (x, y) tali che∣x∣ + ∣y∣ + ∣x + y∣ + ∣x − y∣ ≤ 3.La forma del dominio D e

(A)

x

y

(B)

x

y

(C)

x

y

(D)

x

y

(E) nessuna delle precedenti

7. [1998.8 ] Per quali valori di λ l’equazione ∣∣x∣ − 1∣ = λ ha esattamente tre solu-zioni?(A) per ogni λ > 0 (B) solo per λ = 0 (C) per ogni λ tale che 0 ≤ λ ≤ 1(D) solo per λ = 1 (E) per nessun valore di λ

Olimpiadi della Matematica - Gara di 2 livello 67

(i) 1 ≤ aj ≤ 2015 per ogni j ≥ 1;(ii) k + ak ≠ ℓ + aℓ per ogni 1 ≤ k < ℓ.

Dimostrare che esistono due interi positivi b ed N tali che

RRRRRRRRRRRn∑

j=m+1

(aj − b)RRRRRRRRRRR ≤ 10072

per tutti gli interi m ed n tali che n >m ≥ N .

tempo disponibile ogni giorno: 4 ore e mezzaogni problema vale 7 punti


56th International Mathematical Olympiad

Chiang Mai - Thailand

1 giorno – 10 luglio 2015

Problema 1. Diciamo che un insieme finito S di punti del piano e equilibrato

se, dati comunque due punti distinti A e B in S, esiste un punto C in S tale cheAC = BC. Diciamo che S e privo di centri se, comunque si scelgano tre puntidistinti A, B e C in S, non esiste nessun punto P in S tale che PA = PB = PC.(a) Dimostrare che per tutti gli interi n ≥ 3 esiste un insieme equilibrato costituito

da n punti.(b) Determinare tutti gli interi n ≥ 3 per i quali esiste un insieme equilibrato e

privo di centri costituito da n punti.

Problema 2. Determinare tutte le terne (a, b, c) di numeri interi positivi percui ciascuno dei numeri ab − c, bc − a, ca − b e una potenza di 2.

(Una potenza di 2 e un intero della forma 2n, dove n e un intero non negativo.)

Problema 3. Sia ABC un triangolo acutangolo con AB > AC. Siano Γ la suacirconferenza circoscritta, H il suo ortocentro, e F il piede dell’altezza condotta daA. Sia M il punto medio di BC. Sia Q il punto di Γ tale che ∠HQA = 90, e sia K

il punto di Γ tale che ∠HKQ = 90. Supponiamo che i punti A, B, C, K e Q sianotutti distinti, e giacciano su Γ in quest’ordine.

Dimostrare che le circonferenza circoscritte ai triangoli KQH e FKM sonotangenti tra di loro.

tempo disponibile: 4 ore e mezzaogni problema vale 7 punti

2 giorno – 11 luglio 2015

Problema 4. Il triangolo ABC ha come circonferenza circoscritta Ω e comecircocentro O. Una circonferenza Γ con centro in A interseca il segmento BC neipunti D ed E, in modo tale che B, D, E e C siano tutti diversi e giacciano sullaretta BC in quest’ordine. Siano F e G i punti di intersezione tra Γ e Ω, in modo taleche A, F , B, C e G giacciano su Ω in quest’ordine. Sia K la seconda intersezione trala circonferenza circoscritta al triangolo BDF ed il segmento AB. Sia L la secondaintersezione tra la circonferenza circoscritta al triangolo CGE ed il segmento CA.

Supponiamo che le rette FK e GL siano diverse e che si intersechino nel puntoX. Dimostrare che X giace sulla retta AO.

Problema 5. Sia R l’insieme dei numeri reali. Determinare tutte le funzionif ∶ R→ R che soddisfano l’equazione

f (x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)per tutti i numeri reali x e y.

Problema 6. La successione a1, a2, . . . di numeri interi soddisfa le seguenticondizioni:


8. [1999.2 ] Quante soluzioni reali ha il sistema x2y = 150x3y2 = 4500 ?

(A) nessuna (B) una (C) piu di una, ma meno di cinque(D) un numero finito, ma almeno cinque (E) infinite

9. [1999.7 ] Quale delle seguenti affermazioni e vera nell’insieme dei numeri ra-zionali?(A) Per ogni x c’e un y tale che per ogni z si ha x + y + z = x.(B) Per ogni x c’e un y tale che per ogni z si ha x + y + z = z.(C) Per ogni x c’e un y tale che per ogni z si ha xyz = x.(D) Per ogni x c’e un y tale che per ogni z si ha xyz = z.(E) Nessuna delle affermazioni precedenti e corretta.

10. [2000.5 ] Sono date le tre quantita X = a + 7b, Y = 2a + 5b, Z = 4a + 2b, dove a

e b sono numeri reali positivi. Allora:(A) X < Y < Z (B) Z < Y <X (C) Y <X < Z (D) Y < Z <X(E) l’ordine di X, Y , Z dipende dai valori di a e b

11. [2000.9 ] Quante sono le terne (a, b, c) di numeri reali che verificano il sistema

a2 + b2 + c2 = 1a3 + b3 + c3 = 1 ?

Nota: la terna (2,3,8) e differente dalla terna (3,2,8).

(A) nessuna (B) 1 (C) 3 (D) 6 (E) infinite

12. [2001.9 ] Siano x, y numeri reali positivi. Quale delle seguenti condizioni esufficiente per garantire che xy > yx?(A) 1 < x < y (B) 1 < y < x (C) x < 1 < y (D) x < y < 1 (E) y < x < 1

13. [2002.2 biennio] Se y = 2x e z = 2y, a cosa e uguale x + y + z ?

(A) 5x (B) 4y (C) 3z (D)7

2y (E)

7

3z

14. [2002.9 biennio] Sia P (X) = aX2 + bX + c un polinomio di secondo grado concoefficienti reali (cioe a, b, c sono numeri reali e a /= 0). Se P (2000) = 2000 eP (2001) = 2001, allora P (2002) non puo essere uguale a:(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (E) 2004

15. [2002.4 triennio] Sia P (X) = anXn +an−1Xn−1 +⋯+a1X +a0 un polinomio acoefficienti interi (cioe, i numeri an, an−1, . . ., a1, a0 sono interi). Se P (2000) =2000 e P (2001) = 2001, quanti fra i numeri 2000, 2001, 2002, 2003, 2004possono essere uguali a P (2002)?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

16. [2003.7 biennio] Per quante coppie (p, q) di numeri primi (positivi) il polino-mio x2+px+q ha due radici intere? (Si ricorda che 1 non e un numero primo.)(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) infinite

17. [2003.9 triennio] In un parallelepipedo rettangolo P la lunghezza della dia-gonale e

√133 e la superficie totale e 228. Sapendo che uno dei lati e medio

proporzionale tra gli altri due, il volume di P e(A) 64 (B) 125 (C) 192 (D) 216 (E) 343


18. [2004.6 biennio] Sono dati quattro numeri naturali tali che, comunque se neprendano tre distinti e si sommino, si ottiene un numero maggiore o uguale a24. Quante delle seguenti affermazioni sono sicuramente vere?

I. Ciascuno dei quattro numeri e maggiore o uguale a 8.II. Due dei numeri dati hanno somma maggiore o uguale a 16.III. Due dei numeri dati hanno prodotto maggiore o uguale a 64.IV. Il prodotto di due qualsiasi dei numeri e sempre maggiore o uguale a 32.(A) nessuna (B) una (C) due (D) tre (E) quattro

19. [2004.9 biennio] Siano dati 13 numeri reali a1, a2, . . . , a13, tutti diversi da zero,di cui almeno tre positivi, e sia n il numero di ai negativi. Sapendo che, tratutti i possibili prodotti aiaj , esattamente 22 risultano negativi, quanto valen? (aiaj e ajai contano come un solo prodotto.)(A) 2 (B) 10 (C) 7 (D) 8(E) i dati non permettono di determinare n

20. [2004.4 triennio] Quanto vale la somma1√

2 +√1 + 1√3 +√2 + 1√

4 +√3 +⋯+ 1√100 +√99 ?

(A) 9 (B)√101 − 1 (C) 2

√101

2(D) 10 (E) nessuna delle precedenti

21. [2004.10 triennio] Per quanti valori interi di a l’equazionex3 + (a − 4)x2 + (a + 4)x + 9 = 0

ha esattamente due soluzioni intere distinte?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) piu di 4

22. [2005.2 ] a, b, c sono tre numeri reali positivi tali che a+ b+ c = 1. Quale delleseguenti condizioni e equivalente a imporre che a, b, c siano le misure dei latidi un triangolo non degenere?

(A) 0 < ∣b − a∣ < 1

2, 0 < ∣c − b∣ < 1

2, 0 < ∣c − a∣ < 1

2(B) a < 1

2, b < 1

2, c < 1

2

(C) a + b < 1

2, b + c < 1

2, c + a < 1

2(D) a ≤ 1

3, b ≤ 1

3, c ≤ 1

3(E) nessuna delle precedenti

23. [2005.4 ] Quanti sono i polinomi p(x) di secondo grado, a coefficienti interi econ 2 radici intere, tali che p(8) = 1?Nota: ricordiamo che i numeri interi possono essere positivi, negativi o nulli.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) un numero finito maggiore di 3 (E) infiniti

24. [2005.7 ] Al variare del parametro reale a, qual e il numero massimo di soluzioniper l’equazione ∣∣x − 1∣ − 4∣ + x = a ?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) puo averne infinite

25. [2006.3 ] Quale fra le seguenti espressioni e equivalente a (x+y+z)3−x3−y3−z3?(A) 3x2(y+z)+3y2(x+z)+3z2(x+y) (B) 3x(y+z)2+3y(x+z)2+3z(x+y)2(C) 3(x + y)(x + z)(y + z) (D) 3x(y2 + z2) + 3y(x2 + z2) + 3z(x2 + y2)(E) 3xy(1 − z) + 3xz(1 − y) + 3yz(1 − x)


Team Selection Test 20121 giorno

A1 Sia ABC un triangolo acutangolo. Una circonferenza ω con centro in un puntoL del lato BC e tangente al lato AB in B′ ed e tangente al lato AC in C ′.Supponiamo che il circocentro O del triangolo ABC stia sul piu corto degliarchi B′C ′ di ω.Dimostrare che ω e la circonferenza circoscritta ad ABC si incontrano in duepunti distinti.

A2 Per ogni intero positivo k, indichiamo con D(k) il piu grande divisore disparidi k.Determinare tutti gli interi positivi a per cui esiste un intero positivo n taleche tutte le differenzeD(n + a) −D(n),D(n + a + 1) −D(n + 1), . . . ,D(n + 2a − 1) −D(n + a − 1)

sono divisibili per 4.

A3 Determinare tutte le coppie (f, g) di funzioni f ∶ R→ R e g ∶ R→ R tali cheg(f(x + y)) = f(x) + (2x + y)g(y)

per ogni coppia di numeri reali x e y.

tempo disponibile: 4 ore e mezza

2 giorno

B1 Determinare tutte le 2012-uple (x1, x2, . . . , x2012) di interi positivi con laseguente proprieta: per ogni intero positivo n, esiste un intero a tale che

xn1+ 2xn

2+ . . . + 2012xn

2012= an+1 + 1.

B2 Sia ABC un triangolo acutangolo scaleno, e sia Γ la sua circonferenza circo-scritta. Siano A0 il punto medio di BC, B0 il punto medio di AC, C0 il puntomedio di AB, D il piede dell’altezza uscente da A, D0 la proiezione di A0 sullaretta B0C0, G il baricentro di ABC. Sia ω la circonferenza passante per B0 eC0, e tangente a Γ in un punto P diverso da A.(a) Dimostrare che la retta B0C0 e le tangenti a Γ nei punti A e P sono

concorrenti.(b) Dimostrare che i punti D0, G, D, P sono allineati.

B3 Un gruppo di 1000 studenti e disposto lungo una circonferenza.Dimostrare che esiste un intero k, con 100 ≤ k ≤ 300, per cui esiste un gruppodi 2k studenti disposti consecutivamente lungo la circonferenza, di cui la primameta contiene lo stesso numero di ragazze della seconda meta.

tempo disponibile: 4 ore e mezza


Inizialmente ciascuno dei giocatori possiede mille punti. Quando un giocatoregioca la mossa 1, guadagna un punto; quando gioca la mossa 2, perde unpunto. Il gioco ha termine quando uno dei giocatori giunge ad avere zeropunti, e questo giocatore ha perso. Ada gioca per prima. Per quali valori din Charles ha una strategia vincente?

tempo disponibile: 4 ore e mezzaogni problema vale 7 punti


26. [2006.9 ] Quanti simboli di radice quadrata, come minimo, devono comparire

nell’espressione

√. . .√√

123.456.789 affinche il risultato sia minore di 2?(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

27. [2006.10 ] Quanto vale3

√2 +√5 + 3

√2 −√5 ?

(A)3

√9 − 4√5 (B) 1 (C)

3

2(D) 3

√4 (E) 2 3

√2

28. [2007.5 ] Sia P (x) = x3+ax2+bx+c. Sapendo che la somma di due delle radicidel polinomio vale zero, quale fra le seguenti relazioni tra i coefficienti di P (x)e sempre vera?(A) abc = 0 (B) c = ab (C) c = a + b (D) b2 = ac(E) nessuna delle precedenti

29. [2008.10 ] Indicando con x1, x2, x3 e x4 le soluzioni dell’equazionex4 − 2x3 − 7x2 − 2x + 1 = 0,

quanto vale1

x1

+ 1

x2

+ 1

x3

+ 1

x4

?

(A) 1 (B)1

2(C) 2 (D) 4 (E) 7

30. [2009.1 ] Quanti interi n sono tali che√n differisce da

√101 per meno di 1?

(A) 19 (B) 21 (C) 40 (D) 41 (E) 42

31. [2009.12 ] Francesco vuole scrivere il polinomio x16 + x come prodotto di piupolinomi a coefficienti interi, ognuno di grado almeno 1. Quanti fattori potraottenere al massimo?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

32. [2010.12 ] Sia p(x) un polinomio di grado 2010. Qual e il massimo grado chepuo avere il polinomio p(x − 1) − 3p(x) + 3p(x + 1) − p(x + 2)?(A) e sempre il polinomio nullo (B) 0 (C) 1 (D) 2007 (E) 2010

33. [2011.3 ] Giulio scrive un polinomio P1(x) e un altro polinomio P2(x), prodottodi fattori di primo grado, avente grado strettamente maggiore del precedente.Eseguendo la divisione di P2(x) per P1(x), si ottiene resto 0. Indicando conQ(x) il quoziente di tale divisione, quale delle seguenti affermazioni e semprevera?(A) Q(x) puo essere una costante.(B) Se P2(a) = 0, allora Q(a) = 0.(C) Esiste un numero reale a tale che P2(a) = Q(a) = 0.(D) Q(x) ha certamente grado minore di P1(x).(E) Se P1(a) = 0, allora Q(a) = 0.

34. [2011.7 ] Quante sono le soluzioni reali distinte dell’equazionex6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0 ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6

35. [2011.10 ] Quanto vale la somma delle seste potenze delle soluzioni dell’equa-zione


x6 − 16x4 + 16x2 − 1 = 0 ?(A) 6375 (B) 6482 (C) 6515 (D) 6660 (E) 6662

36. [2011.12 ] Sia x1, . . . , xn una sequenza finita di numeri reali tali che:i) la somma di 7 suoi termini consecutivi sia sempre strettamente positiva;ii) la somma di 13 suoi elementi consecutivi sia sempre strettamente negativa.Quale delle seguenti affermazioni e vera?(A) La sequenza ha al piu 18 termini(B) La sequenza puo avere 19 termini(C) La sequenza ha esattamente 21 termini(D) La sequenza ha almeno 18 termini(E) Esistono sequenze di lunghezza arbitraria che soddisfano i) e ii)

37. [2012.1 ] Due numeri a e b sono tali che3a + ba − b = 2. Quanto vale

a3

b3?

(A) −27 (B) −8 (C) 1 (D) 8 (E) 27

38. [2012.5 ] Si sa che p(x) e un polinomio monico di grado 5. Inoltre, si sa che lesoluzioni dell’equazione p(x) = 0 sono esattamente x = 0,1,2,4. Determinareil massimo valore che puo assumere il coefficiente del termine di primo grado.Nota: un polinomio e monico se il coefficiente del suo termine di grado piu alto (nel

nostro caso: quello di quinto grado) e 1.

(A) −32 (B) 16 (C) 32 (D) 64(E) Puo assumere valori arbitrariamente grandi

39. [2013.6 ] Siano x e y numeri reali tali che si abbia x2 + 4y2 = 1; quanto valecome minimo ∣x∣ + 2∣y∣ ?(A)

1

2(B) 1 (C)

√2 (D) 1 + √2

2(E) 2

40. [2013.9 ] Sapendo che il polinomio p e tale che, per ogni intero n, p(5n − 1) =55n − 1, quanto varra p(3) ?(A) 1023 (B) 999 (C) 874 (D) 242 (E) 0

41. [2014.8 ] Dato il sistema ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x + y + z = 7x2 + y2 + z2 = 27xyz = 5 ,

quante terne ordinate di numeri reali (x, y, z) ne sono soluzione?(A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0 (E) infinite

42. [2014.10 ] Consideriamo il polinomio

p(x) = (1 + x31)(1 + x3

2)(1 + x33)(1 + x3

4)(1 + x35)(1 + x39),

e supponiamo di svolgere il prodotto, ottenendo quindi un’espressione del tipoa0 + a1x + a2x2 + . . . + a402x402, dove ad esempio a0 = a402 = 1. Quanti deicoefficienti a0, . . . , a402 sono diversi da zero?(A) 52 (B) 56 (C) 60 (D) 64 (E) 376

43. [2015.2 ] Una sequenza a1, . . . , a100 di numeri e tale che la media aritmeticafra due termini consecutivi sia sempre uguale all’indice del secondo termine


XXXI OLIMPIADE ITALIANA DI MATEMATICACesenatico, 8 maggio 2015

1. Sia dato un parallelepipedo rettangolo ABCDA′B′C ′D′, dove ABCD e lafaccia inferiore con le lettere assegnate in senso orario, e A, B, C, e D stannosotto A′, B′, C ′, e D′ rispettivamente. Il parallelepipedo e diviso in otto pezzida tre piani ortogonali fra loro e paralleli alle facce del parallelepipedo. Perogni vertice P del parallelepipedo si indichi con VP il volume del pezzo diparallelepipedo che contiene P . Sapendo che VA = 40, VC = 300, VB′ = 360 eVC′ = 90, qual e il volume del parallelepipedo ABCDA′B′C ′D′ ?

2. Un servizio di streaming musicale propone canzoni classificate in 10 generimusicali, in modo che ogni brano appartenga ad uno e un solo genere. Lecanzoni vengono suonate una dopo l’altra: le prime 17 sono scelte dall’utente,ma a partire dalla diciottesima il servizio determina automaticamente qualecanzone suonare. Elisabetta ha notato che, se si fa la classifica di quali genericompaiano piu volte nel corso degli ultimi 17 brani suonati, la nuova canzoneappartiene sempre al genere in testa alla classifica o, in caso di pari merito, auno dei primi ex-aequo.

Dimostrare che, comunque siano scelti i primi 17 brani, da un certo punto inpoi le canzoni proposte sono tutte dello stesso genere.

3. Sia ABC un triangolo, sia K il piede della bisettrice relativa a BC e sia J ilpiede della trisettrice relativa a BC piu vicina al lato AC (ossia J e il puntosu BC tale che ∠CAJ = ∠CAB). Siano poi C ′ e B′ due punti sulla retta AJ ,dalla parte di J rispetto ad A, tali che AC ′ = AC e AB = AB′. Dimostrareche il quadrilatero ABB′C e inscrivibile in una circonferenza se e solo se lerette C ′K e B′B sono parallele.

4. Determinare tutte le coppie di numeri interi (a, b) che risolvono l’equazionea3 + b3 + 3ab = 1.

5. Siano Γ una circonferenza, AB una sua corda, C un punto interno ad AB,r una retta per C tale che, dette D ed E le intersezioni di r con Γ, esse sitrovino in parti opposte rispetto all’asse di AB. Siano poi ΓD la circonferenzatangente esternamente a Γ in D e tangente in un punto F ad AB, ΓE lacirconferenza tangente esternamente a Γ in E e tangente in un punto G adAB. Dimostrare che CA = CB se e solo se CF = CG.

6. Ada e Charles fanno un gioco. All’inizio un numero intero n > 1 e scritto sullalavagna. A turno, Ada e Charles cancellano il numero k che trovano sullalavagna e lo rimpiazzano1 – o con un divisore positivo di k diverso da 1 e da k stesso2 – oppure con k + 1.


Problemi a risposta numerica – 5 punti

13. Quanto vale4√220 + 227 + 231 + 232 + 237 + 240 ?

14. Una pulce si trova inizialmente su un vertice di un poligono regolare di 2015lati; compie una sequenza di salti in senso antiorario: al primo salto si spostadi un vertice (da quello iniziale al vicino), al secondo di tre, al terzo di cinque,e cosı via, di modo che all’n-esimo parte da un vertice e atterra 2n − 1 verticipiu in la, sempre in senso antiorario. Dopo quanti salti accadra per la primavolta che la pulce atterri su un vertice che aveva gia visitato?

15. ESERCIZIO DIMOSTRATIVOCamilla ha una scatola che contiene 2015 graffette. Ne prende un numeropositivo n e le mette sul banco di Federica, sfidandola al seguente gioco.Federica ha a disposizione due tipi di mosse: puo togliere 3 graffette dalmucchio che ha sul proprio banco (se il mucchio contiene almeno 3 graffette),oppure togliere meta delle graffette presenti (se il mucchio ne contiene unnumero pari). Federica vince se, con una sequenza di mosse dei tipi sopradescritti, riesce a togliere tutte le graffette dal proprio banco.(a) Per quanti dei 2015 possibili valori di n Federica puo vincere?(b) Le ragazze cambiano le regole del gioco e decidono di assegnare la vitto-

ria a Federica nel caso riesca a lasciare sul banco una singola graffetta.Per quanti dei 2015 valori di n Federica puo vincere con le nuove regole?

SOLUZIONE (a disposizione il resto della pagina)

16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABCD un quadrilatero convesso tale che AB = AC = AD e BC <CD. La bisettrice dell’angolo BAD interseca internamente CD in M e ilprolungamento di BC in N . Dimostrare che(a) il quadrilatero ABCM e inscrittibile in una circonferenza;(b) i triangoli ANB e ABM sono simili.SOLUZIONE (a disposizione il resto della pagina)

17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia n un intero positivo e siano 1 = d1 < d2 < d3 < . . . < dk = n i suoi divisoripositivi, ordinati per grandezza. Si sa che k ≥ 4 e che d2

3+ d2

4= 2n + 1.

(a) Trovare tutti i possibili valori di k.(b) Trovare tutti i possibili valori di n.SOLUZIONE (a disposizione il resto della pagina)


(ad esempio, si ha a4+a5

2= 5); quanto vale la somma dei 100 numeri della

sequenza?(A) 2550 (B) 5050 (C) 5100 (D) 10100(E) non si puo determinare: dipende da a1

44. [2015.5 ] Due polinomi monici (cioe con coefficiente di grado massimo uguale a1) a coefficienti interi p(x) e q(x) sono tali che il loro massimo comun divisoresia (x−1)(x−2), il loro minimo comune multiplo sia (x−1)2(x−2)3(x−3)(x+1)e il grado di p(x) sia minore o uguale al grado di q(x). In quanti modi puoessere scelto p(x) ?(A) 4 (B) 5 (C) 8 (D) 10 (E) 12

45. [2015.7 ] Per quante quaterne (a, b, c, d) di numeri interi non negativi le treespressioni a2 − c2, b2 − d2 e ab + bc + cd + da sono tutte uguali a 1024?(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 9 (E) 11

46. [2000.13 ] Per ogni numero reale x, indichiamo con [x] la “parte intera di x”,definita come il piu grande intero ≤ x. Cosı ad esempio abbiamo che [3/2] = 1,[π] = 3, [8] = 8. Determinare quante sono le soluzioni reali positive (> 0)dell’equazione 32x = 64[x].

47. [2001.15 ] Qual e la somma algebrica dei coefficienti del polinomio(x21 + 4x2 − 3)2001 − (x21 + 4x2 + 3)667 + x21 + 4x2 ?

48. [2002.13 triennio] Qual e il minimo valore dell’espressionex2 − 8xy + 19y2 − 6y + 14

al variare di x e y fra i numeri reali?

49. [2004.11 triennio] Quante sono le coppie di interi positivi (x, y) che verificanol’equazione x2 + y2 − 2004x − 2004y + 2xy − 2005 = 0 ?Nota: se x /= y, le coppie (x, y) e (y, x) sono da considerarsi distinte.

50. [2007.13 ] Sia p(x) = x20 + a19x19 + a18x18 +⋯+ a1x+ a0 un polinomio, con gliai interi. Sappiamo che, per tutti gli interi k compresi tra 1 e 20, p(k) = 2k.Quali sono le ultime 3 cifre di p(21)?

51. [2007.14 ] Se a e un intero positivo minore di 100, per quanti valori di a ilsistema

x2 = y + ay2 = x + a

ha soluzioni intere?

52. [2009.14 ] Sia x la piu piccola delle due soluzioni dell’equazione x2 −4x+2 = 0.Quali sono le prime tre cifre dopo la virgola nella scrittura (in base 10) delnumero x + x2 + x3 +⋯+ x2009 ?

53. [2011.14 ] Quante sono le coppie ordinate (x, y) di interi relativi che verificanol’equazione

y4 − 8y2 + 7 = 8x2 − 2x2y2 − x4 ?


54. [2012.14 ] Siano p(x) e q(x) due polinomi distinti di grado minore o uguale a3, a coefficienti interi e tali che

p(1) = q(1), p(2) = q(2), p(3) = q(3),p(−1) = −q(−1), p(−2) = −q(−2), p(−3) = −q(−3).

Qual e il minimo valore che puo assumere [p(0)]2 + [q(0)]2 ?

55. [2015.13 ] Quanto vale4√220 + 227 + 231 + 232 + 237 + 240 ?

56. [1996.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODimostrare che:(a) per ogni coppia di numeri a, b si ha

4ab ≤ (a + b)2(b) per ogni terna di numeri positivi a, b, c si ha

8abc ≤ (a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8

3(a3 + b3 + c3)

[Per dimostrare la seconda disuguaglianza in (b) potra essere utile provare

preliminarmente chex + y2≤ 3

√x3 + y3

2.]

57. [1998.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODato un numero intero positivo M la cui scrittura decimale e anan−1 . . . a0(cioe M e uguale a 10nan +⋯ + 10a1 + a0) con 0 ≤ a0, . . . , an ≤ 9, sia f(M) =an + 2an−1 + 22an−2 +⋯+ 2na0 (si intende che se M = a0, f(M) = a0).1) Si determini l’insieme X di tutti gli interi positivi per cui f(M) =M .2) Si dimostri che, per ogni intero positivo M , la successione M , f(M),

f(f(M)), f(f(f(M))), . . . contiene un elemento di X.

58. [2008.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Si determinino tutte le coppie (x, y) di numeri reali tali che4

x + y = 1

x+ 1

y.

59. [2011.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODimostrare che tutte le potenze di 3 hanno la cifra delle decine pari.

Aritmetica

60. [1995.5 ] Si considerino gli interi n = 8k2 + 6k − 9 al variare di k fra tutti gliinteri positivi. Trovare quale delle seguenti affermazioni e falsa.(A) Per ogni valore di k, n e dispari.(B) Vi e un solo valore di k per cui n e primo.(C) Per nessun valore di k, n e un quadrato perfetto.(D) Per ogni valore di k, n e esprimibile come differenza di due quadrati.(E) Non esiste nessun k tale che,dividendo n per 4, si ottenga resto 2.

61. [1996.5 ] Il numero n diviso per 1995 da resto 29; n da resto 29 anche se divisoper 1996. Qual e l’ultima cifra di n?(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) non si puo determinare


rispetto a A. Determinare il rapporto tra l’area di A′B′C ′ e quella dell’esago-no A′A′′C ′C ′′B′B′′.

(A)6

13(B)

7

13(C)

3

7(D)

1

2(E) dipende dal triangolo iniziale

7. Per quante quaterne (a, b, c, d) di numeri interi non negativi le tre espressionia2 − c2, b2 − d2 e ab + bc + cd + da sono tutte uguali a 1024?(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 9 (E) 11

8. Dato il triangolo ABC rettangolo in A costruiamo sull’ipotenusa il quadratoBCDE (con D, E dalla parte opposta di A rispetto a BC). Sapendo che learee dei triangoli ABE e ACD valgono rispettivamente 6m2 e 27m2, quantovale l’area del triangolo ABC ?(A) 3

√2m2 (B) 6m2 (C) 12m2 (D) 9

√2m2 (E) 18m2

9. Una pedina si trova inizialmente sulla casella centrale di una scacchiera 5× 5.Un passo della pedina consiste nello spostarsi in una casella scelta a casofra quelle che hanno esattamente un vertice in comune con la casella su cuisi trova. Qual e la probabilita che dopo 12 passi la pedina si trovi in unoqualunque degli angoli della scacchiera?

(A)1

3(B)

4

25(C)

1

6(D)

4

13(E)

1

4

10. Caboyara, famoso circense australiano, si esibisce anche quest’anno in un grantrucco. Predispone una scala spettacolare con N = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ p2015 gradini,dove p1, p2, . . . , p2015 sono numeri primi distinti; i gradini che corrispondonoa divisori di N (compresi il primo e l’N -esimo gradino) sono speciali e sonoinizialmente illuminati di verde.Durante lo spettacolo, 2015 canguri ammaestrati salgono uno dopo l’altrola scala; per i = 1,2, . . . 2015, l’i-esimo canguro salta pi gradini alla volta,partendo ai piedi della scala (salta sul gradino pi, poi sul 2pi, e cosı via finchenon raggiunge il gradino N). Ogni volta che un canguro salta su un gradinospeciale, questo cambia colore: da verde diventa rosso, da rosso verde.Quanti saranno i gradini speciali illuminati di verde alla fine dell’esibizione?(A) 22015 − 21008 (B) 22014 (C) 22014 − 21007 (D) 22013 (E) 2015 ⋅ 21008

11. Giovanni disegna a matita un 9-agono regolare e collega ciascuno dei suoivertici al centro, tracciando un totale di 18 segmenti e ottenendo in questomodo nove triangoli. Ripassa quindi a penna alcuni dei segmenti tracciati,facendo in modo che alla fine ognuno dei nove triangoli abbia esattamente unlato ripassato a penna. In quanti modi Giovanni puo scegliere l’insieme deisegmenti da ripassare? (Nota: due insiemi di segmenti che si ottengano l’unodall’altro per rotazione o per simmetria sono da considerarsi distinti.)(A) 49 (B) 65 (C) 74 (D) 76 (E) 85

12. Sia ABCD un quadrilatero tale che AB = 24, BC = 20, CD = 15, DA = 7,BD = 25. Quanto e lungo AC ?(A) 18 (B) 14

√2) (C) 20 (D) 21 (E) 24


Problemi a risposta multipla – 5 punti

1. Un numero naturale si dice palindromo e uguale al numero che si ottieneleggendo le cifre della sua scrittura in base dieci da destra verso sinistra (adesempio, 68386 e 44 sono palindromi, 220 non lo e). Sappiamo che il numeronaturale x e il numero x + 312 sono entrambi palindromi; x ha quattro cifre,mentre x + 312 ne ha cinque. Quanto vale la somma delle cifre di x ?(A) 30 (B) 31 (C) 32 (D) 33 (E) 34

2. Una sequenza a1, . . . , a100 di numeri e tale che la media aritmetica fra due ter-mini consecutivi sia sempre uguale all’indice del secondo termine (ad esempio,si ha a4+a5

2= 5); quanto vale la somma dei 100 numeri della sequenza?

(A) 2550 (B) 5050 (C) 5100 (D) 10100(E) non si puo determinare: dipende da a1

3. Sia ABCDE un pentagono regolare di lato 1 e sia P l’intersezione tra lediagonali AC e BE. Quanto misura il segmento PC ?

(A) 1 (B)

√5

2(C)

√5− 1 (D) 4(√5− 2) (E) nessuna delle precedenti

4. Una formica cammina sul tastierino numerico di un cellu-lare, composto da 10 pulsanti disposti come in figura. Laformica si sposta sempre dal tasto su cui si trova ad un ta-sto adiacente in orizzontale o in verticale; parte dal tasto1 e passeggia per un po’ sul tastierino, fermandosi infinesul tasto 0, che non aveva mai visitato prima. Conside-riamo il numero n ottenuto concatenando le cifre dei tastisu e passata la formica, nell’ordine in cui li ha visitati (adesempio, il percorso in figura corrisponderebbe al nume-ro 12580). Dire quante delle quattro affermazioni seguentisono certamente vere:

- “n non e multiplo di 3”;- “n non e multiplo di 8”;- “n e composto da un numero dispari di cifre”;- “n non e un quadrato”.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

5. Due polinomi monici (cioe con coefficiente di grado massimo uguale a 1) acoefficienti interi p(x) e q(x) sono tali che il loro massimo comun divisore sia(x−1)(x−2), il loro minimo comune multiplo sia (x−1)2(x−2)3(x−3)(x+1)e il grado di p(x) sia minore o uguale al grado di q(x). In quanti modi puoessere scelto p(x) ?(A) 4 (B) 5 (C) 8 (D) 10 (E) 12

6. Dato un triangolo ABC, sia A′ il simmetrico di A rispetto a C, A′′ il simme-trico di A rispetto a B, B′ il simmetrico di B rispetto a A, B′′ il simmetricodi B rispetto a C, C ′ il simmetrico di C rispetto a B e C ′′ il simmetrico di C


62. [1996.11 ] Quanti sono i numeri il cui quadrato termina per 44?(A) nessuno (B) 1 (C) 4 (D) 44 (E) infiniti

63. [1996.13 ] Un numero e composto da 77 cifre, tutte uguali a 7. Qual e il restodella divisione di questo numero per 101?(A) 0 (B) 7 (C) 70 (D) 77 (E) nessuno dei precedenti

64. [1997.5 ] Qual e la cifra delle unita del numero 234

?(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

65. [1997.7 ] Quale fra questi numeri non e il prodotto di un quadrato perfetto perun cubo perfetto?(A) 900 (B) 961 (C) 968 (D) 972 (E) 980

66. [1997.12 ] Qual e il massimo numero intero positivo che ha lo stesso numerodi cifre in base 10 e in base 16? (Le risposte sono espresse in base 10)(A) 1 024 (B) 99 999 (C) 999 999 (D) 1 600 000(E) nessuno dei precedenti

67. [1997.15 ] Siano a, b, c tre numeri positivi dispari distinti e minori di 100.Quanto puo essere, al massimo, il loro massimo comune divisore?(A) 7 (B) 11 (C) 19 (D) 25 (E) nessuno dei precedenti

68. [1998.6 ] Il polinomio ax2+ bx + c assume valori interi per ogni valore intero

della variabile x. Quale delle seguenti affermazioni non puo essere dedotta?(A) c e intero (B) a + b + c e intero (C) a, b, c sono interi(D) se a e intero anche b e intero (E) 2a e intero

69. [1998.11 ] Per quanti valori interi relativi di x il numero∣(x2+ x − 1)(x2

− 7x + 11)∣e primo?(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) piu di 8

70. [1998.15 ] I numeri a, b sono interi positivi. Qual e il minimo valore positivodi a + b affinche 21ab2 e 15ab siano entrambi quadrati perfetti?(A) 16 (B) 26 (C) 36 (D) 46 (E) 56

71. [1999.8 ] Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi compresi fra 1 e100. Quale dei seguenti numeri e un divisore di M?(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020

72. [1999.9 ] Quante sono le soluzioni intere positive dell’equazione

xx− 2x − x2 = 10 ?

(A) nessuna (B) una (C) due (D) piu di due, ma un numero finito(E) infinite

73. [1999.12 ] Qual e la cifra delle unita del numero

2(21)+ 2(2

2)+ 2(2

3)+ 2(2

4)+⋯+ 2(2

1999) ?(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

74. [2000.8 ] Per numerare i biglietti di una lotteria e stata usata 999 volte la cifra9 (i numeri dei biglietti vanno dal numero 1 in poi). Quanti biglietti sono stati


emessi per la lotteria?(A) meno di 2000 (B) tra 2001 e 3000 (C) tra 3001 e 4000(D) piu di 4001 (E) non puo esistere una siffatta lotteria

75. [2001.6 ] Se A, B, C, D rappresentano cifre distinte e, impiegando l’usualescrittura decimale, si ha AC×BC =DDD, quanto vale la somma A+B+C+D?(A) 9 (B) 13 (C) 18 (D) 19 (E) 21

76. [2002.1 biennio] Nella seguente moltiplicazione2 a b ×

c 8 =5 d e f

ad ogni lettera corrisponde una cifra. Sapendo che nella moltiplicazione com-paiono tutte le cifre da 1 a 9 una ed una sola volta, qual e il valore di e?(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 9

77. [2002.2 triennio] Un sottoinsieme A dei numeri naturali compresi fra 1 e 100e tale che la somma di due suoi elementi qualsiasi e divisibile per 6. Quantielementi puo avere, al massimo, il sottoinsieme A?(A) 11 (B) 16 (C) 17 (D) 25 (E) 33

78. [2002.6 triennio] Determinare qual e il massimo comun divisore tra tutti inumeri che si possono scrivere come somma di 2002 dispari consecutivi tuttipositivi e minori di 10000 (due numeri dispari si dicono consecutivi se differi-scono di 2).(A) 2 (B) 4 (C) 2002 (D) 4004 (E) 8008

79. [2002.12 triennio] Siano a < b < c interi positivi tali che a2+b2+c2 ha lo stessonumero di cifre decimali di a + b + c. Quale massimo valore puo assumere c?(A) 9 (B) 10 (C) 18 (D) 30 (E) 31

80. [2003.9 biennio] Quanti sono i numeri di due cifre AB tali che (AB)2 = CAAB,con C = B − 1 (in notazione decimale)?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 9

81. [2003.3 triennio] Sono dati tre interi positivi a, b, c. Posto x = ab, y = ac,z = bc, quale delle seguenti affermazioni e vera?(A) Se x, y, z sono dei quadrati, allora a, b, c sono dei quadrati.(B) Se x, y, z sono pari, allora a, b, c sono pari.(C) Se x, y, z sono dei cubi, allora a, b, c sono dei cubi.(D) Se x, y, z sono multipli di 10, allora a, b, c sono multipli di 10.(E) Nessuna delle precedenti affermazioni e corretta.

82. [2004.7 biennio] Per quali numeri naturali n il prodotto

(1 + 1

2)(1 + 1

3)(1 + 1

4)⋯(1 + 1

n)

e un numero intero?(A) per n dispari (B) per n pari (C) per n multiplo di 3 (D) per ogni n(E) per nessun n


UNIONE MATEMATICA ITALIANASCUOLA NORMALE SUPERIORE

Progetto Olimpiadi della MatematicaGARA di FEBBRAIO

MIUR19 febbraio 2015

Da riempirsi da parte dello studente:

Nome: Cognome: Genere: F MIndirizzo: Citta:Scuola: Anno di corso: Citta:Email: Taglia per eventuale maglietta: S M L XL

1) Non sfogliare questo fascicoletto finche l’insegnante non ti dice di farlo. Non e ammesso

l’utilizzo di calcolatrici tascabili, libri di testo e tavole numeriche. E proibi-to comunicare con altri concorrenti o con l’esterno; in particolare, e vietato l’uso di

telefoni cellulari.2) La prova consiste di 17 problemi divisi in 3 gruppi.3) Nei problemi dal numero 1 al numero 12 sono proposte 5 risposte possibili, indicate con le

lettere A, B, C, D, E. Una sola delle risposte e corretta. La lettera corrispondente allarisposta corretta dovra essere risportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nellarelativa finestrella piu in basso. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata

vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Non sono ammessecorrezioni o cancellature sulla griglia.

4) I problemi 13 e 14 richiedono una risposta che e data da un numero intero. Questo numerointero va indicato in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ogni risposta giusta

vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta

vale 1 punto. Non sono ammesse correzioni o cancellature sulla griglia.5) I problemi 15, 16 e 17 richiedono invece una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare le

soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltantoi fogli di questo fascicoletto. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 15.

6) Quando l’insegnante da il via, comincia a lavorare. Hai 3 ore di tempo. Buon lavoro!7) Per correttezza nei confronti di coloro che facessero la gara in momenti diversi della giornata,

ti chiediamo di non diffondere informazioni sul testo e sulle risposte prima delle 20 di questasera. Grazie!

Risposte ai primi 14 quesiti1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Da riempirsi a cura dell’insegnante:

Valutazione esercizi dimostrativi

15 16 17

Punteggio totale

(da foglio di calcolo)


390. [1999.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOAndrea torna dalla pesca con una borsa piena di pesci. Giunto a casa, da al piugrande dei suoi due gatti i tre pesci piu grossi: cosı facendo il peso della borsasi riduce del 38%. A questo punto da all’altro gatto i tre pesci piu piccoli:cosı facendo il peso della borsa si riduce nuovamente del 38% (rispetto peroal peso successivo alla nutrizione del primo gatto). Quanti pesci ha pescatoAndrea? (Si trascuri il peso della borsa rispetto a quello dei pesci).

391. [2011.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia n un intero positivo. Un treno ferma in 2n stazioni, incluse quella inizialee finale, numerate in ordine dalla prima alla 2n-esima. Si sa che in una certacarrozza, per ogni coppia di interi i, j tali che 1 ≤ i < j ≤ 2n, e stato prenotatoesattamente un posto per il tragitto tra la stazione i-esima e quella j-esima.Ovviamente prenotazioni diverse non possono sovrapporsi. Determinare, infunzione di n, il numero minimo di posti che devono essere disponibili in quellacarrozza affinche la situazione descritta sia possibile.


83. [2004.8 biennio] Determinare il piu piccolo intero n con la seguente proprieta:dati comunque n interi a1, . . . , an, ne esistono due distinti tali che la lorosomma o la loro differenza e divisibile per 10.(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

84. [2004.8 triennio] Determinare il piu piccolo intero n con la seguente proprieta:dati comunque n interi a1, . . . , an, ne esistono due distinti tali che la lorosomma o la loro differenza e divisibile per 9.(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

85. [2005.10 ] Siano a, b interi positivi primi tra loro. Qual e il massimo valoreche puo assumere il massimo comun divisore fra (a + b)4 e a − b ?(A) 3 (B) 4 (C) 16 (D) 32 (E) puo essere grande a piacere

86. [2006.1 ] Un numero si dice “moderno” se, in base 10, puo essere espresso con-cantenando “un po’” di scritture decimali di 2006: ad esempio 200620062006e moderno, mentre 20200606 e 2006200 non lo sono. Quante cifre ha il piupiccolo quadrato perfetto moderno positivo?(A) 32 (B) 64 (C) 100 (D) 1000 (E) non esiste un tale numero

87. [2007.3 ] La rappresentazione in base 2 di un numero a e1110000100111010101110100001.

Qual e la settima cifra da sinistra della rappresentazione di a in base 8?(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

88. [2007.6 ] Dall’insieme 1,2, . . . ,100 scegliamo 50 numeri distinti, la cui sommae 3000. Come minimo, quanti numeri pari abbiamo scelto?(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

89. [2007.12 ] Consideriamo un qualsiasi insieme di 20 numeri interi consecutivi,tutti maggiori di 50. Quanti di essi al massimo possono essere numeri primi?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

90. [2008.5 ] Siano a0, a1, a2, . . . numeri interi tali che a0 = 19, a1 = 25, e per ognin ≥ 0 valga an+2 = 2an+1 − an. Qual e il piu piccolo i > 0 per cui ai e multiplodi 19?(A) 19 (B) 25 (C) 38 (D) 44 (E) 50

91. [2008.11 ] Vi sono 10000 lampadine numerate da 1 in poi, ciascuna delle qualiviene accesa e spenta con un normale interruttore. All’inizio tutte le lampadinesono spente; poi si premono una volta tutti gli interruttori delle lampadinecontrassegnate dai multipli di 1 (di conseguenza tutte le lampadine vengonoaccese), successivamente vengono premuti una volta gli interruttori di tuttequelle di posto pari (cioe multiplo di 2), poi quelle contrassegnate con i multiplidi 3, successivamente si cambiano di stato quelle relative ai multipli di 4 e cosıvia, sino ai multipli di 10000. Quale delle seguenti lampadine rimane accesaal termine delle operazioni?(A) la 9405 (B) la 9406 (C) la 9407 (D) la 9408 (E) la 9409

92. [2009.7 ] Determinare il piu grande intero n con questa proprieta: esistono n

interi positivi distinti a1, . . . , an tali che, comunque se ne scelgano fra essi due


distinti, ne la loro somma ne la loro differenza siano divisibili per 100.(A) 49 (B) 50 (C) 51 (D) 99 (E) 100

93. [2009.9 ] Quanti interi positivi n hanno la proprieta che la loro rappresenta-zione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di 2n?(A) nessuno (B) 1 (C) 2 (D) piu di 2, ma in numero finito (E) infiniti

94. [2010.5 ] Per quanti interi relativi n si ha che3n

n + 5e intero e divisibile per 4?

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) piu di 8

95. [2010.7 ] Qual e la seconda cifra (partendo da sinistra) del numero(1016 + 1)(108 + 1)(104 + 1)(102 + 1)(10 + 1) ?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

96. [2010.10 ] Quattro interi positivi a1 < a2 < a3 < a4 sono tali che, dati duequalsiasi di essi, il loro mcd e maggiore di 1, ma mcd(a1, a2, a3, a4) = 1. Quale il minimo valore che puo assumere a4?(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 30 (E) 105

97. [2011.4 ] Quanti sono i numeri primi che possono essere espressi nella formann+1

+ 1, con n intero positivo?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) piu di 2, ma in numero finito (E) infiniti

98. [2011.8 ] Quanti sono i numeri interi positivi di 10 cifre abcdefghij, con tuttele cifre diverse e tali che a + j = b + i = c + h = d + g = e + f = 9 ?Nota: un numero non puo iniziare con 0.

(A) 3456 (B) 3528 (C) 3645 (D) 3840 (E) 5040

99. [2011.11 ] x e y sono due interi positivi tali che x2− y2 e positivo, multiplo di

2011 e ha esattamente 2011 divisori positivi. Quante sono le coppie ordinate(x, y) che verificano tali condizioni?Nota: 2011 e un numero primo

(A) 2010 (B) 2011 (C) 1005 (D) 0 (E) ne esistono infinite

100. [2012.4 ] Quanti sono i numeri di 2 cifre tali che, se si sottrae la somma dellecifre dal numero di partenza, si ottiene 45?(A) 0 (B) 1 (C) 9 (D) 10 (E) 20

101. [2012.9 ] Quante sono le coppie di interi positivi (m,n) tali che la frazionem

nsia ridotta ai minimi termini e strettamente minore di 1, e che il prodotto mn

sia uguale a 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ 24 ⋅ 25 (ovvero al prodotto dei primi 25 interi positivi)?(A) 27 (B) 28 − 1 (C) 28 (D) 29 − 1 (E) 29

102. [2012.12 ] Un folletto sceglie due numeri dispari x, y tali che 0 < y < x < 2012,calcola x2

− y2 e scrive il risultato su un foglio. Ogni mattina (a partire daquella del giorno successivo) si sveglia, legge il numero scritto sul foglio e, sequesto numero e pari, lo sostituisce con la sua meta e va a fare uno scherzettoa qualcuno.Il giorno in cui per la prima volta legge un numero dispari, scompare ritor-nando nel mondo delle fate.


eventuale salto dal 27 al 32, deve saltare indietro al 30). Dopo quanti saltiLorenza avra oltrepassato per la prima volta il vertice 1?

385. [2007.16 ] Una pulce si muove saltando avanti e indietro lungo una retta. Latana della pulce e un punto della retta. Le regole di salto sono le seguenti: se la pulce si trova ad una distanza minore o uguale a un metro dallatana, dopo il salto successivo si trovera ad una distanza doppia dellaprecedente allontanandosi ancora di piu dalla tana; se la pulce si trova ad una distanza d maggiore di un metro dalla tana,dopo il salto successivo si trovera ad una distanza 1/d dalla tana ma dallaparte opposta rispetto a quella dove si trova attualmente.

Se dopo 5 salti la pulce si trova a 80 cm dalla tana in una certa direzione, conquante sequenze distinte di salti puo aver raggiunto quella posizione?

386. [2010.13 ] Per rubare un prezioso gioiello, un ladro deve scoprire il codice chepermette di aprire la porta della cassaforte. Le informazioni che e riuscito acarpire sono le seguenti:

– il codice e un numero;– qualsiasi sottosequenza di cifre consecutive del codice (dunque sia ognicifra presa singolarmente, che ogni coppia di cifre, etc. fino a tutto ilnumero) rappresenta un numero primo (ad esempio, 217 non va bene,perche 1 non e un primo e 21 non e un primo);

– il codice e il numero piu grande che abbia questa proprieta.Qual e il codice segreto per aprire la cassaforte?

387. [2010.14 ] Il monumento a Mathenkamen e a forma di piramide che poggiasulla sua base quadrata di lato 18 m. La sua altezza misura 15 m, e il piededell’altezza cade nel centro del quadrato. La piramide e orientata in modoche, quando i raggi del sole arrivano da sud inclinati di 45 rispetto al suolo,l’area della parte di terreno su cui essa spande la sua ombra sia la piu piccolapossibile. Quanto vale quest’area espressa in m2?Nota: il terreno coperto dalla base della piramide non va contato come terreno in

ombra.

388. [2013.13 ] In una variante del gioco della battaglia navale Anna posiziona unaportaerei (che possiamo pensare come rettangolino 5×1) in una griglia 10×10,indifferentemente in verticale o in orizzontale, senza farla vedere a Jacopo.Jacopo prova a colpire la portaerei, dicendole volta per volta le coordinatedi un quadretto all’interno della griglia. Se il quadretto che ha scelto e traquelli coperti dalla portaerei, questa e colpita, altrimenti e mancata. Quanticolpi deve sparare come minimo Jacopo per colpirla sicuramente almeno unavolta?

389. [2013.14 ] Anacleto ha appena finito di mangiare una tavoletta di cioccolato, einizia a giocare con la carta in cui era avvolto, un rettangolo di lati 360 mm e300 mm. Decide di far una sola piega rettilinea in modo che, una volta piegatala carta, un vertice del rettangolo si trovi esattamente a meta del lato cortodi cui non e estremo. Quanti millimetri risulta essere lunga la piegatura?


Dopo quanti minuti l’altezza della prima candela sara uguale a 3 volte l’altezzadella seconda?

378. [2004.13 triennio] Un villaggio e costituito da abitazioni isolate, collegate dastrade. Ognuna di queste strade e un sentiero che collega due abitazioni (e tradue abitazioni vi e al piu un sentiero che le collega). Le abitazioni sono di duetipi: centrali e periferiche. Ogni abitazione centrale e collegata esattamentead altre tre abitazioni; ogni abitazione periferica e collegata esattamente adaltre due abitazioni. Sapendo che il numero di abitazioni centrali e ugualeal numero di abitazioni periferiche, e che ci sono in tutto 30 sentieri, quanteabitazioni ci sono in tutto il villaggio?

379. [2004.14 triennio] Il professor Abacus ha scritto sulla lavagna due numerinaturali, risultato di parecchie ore di lavoro. Il figlio dispettoso cancella idue numeri e li sostituisce con il loro prodotto meno 1 e la loro somma. Nonsoddisfatto cancella anche questi e li sostituisce di nuovo con il loro prodottomeno 1 e la loro somma. Infine ci pensa un po’, li cancella e scrive al loro postola loro somma, cioe 1309. Quanto valeva la somma dei numeri di partenza?

380. [2004.15 triennio] Un cubetto di sughero di spigolo 10 ha un peso attaccatoad un vertice e galleggia in un secchio d’acqua in modo che una diagonaledel cubetto sia in posizione verticale. Quanto misura, in cm2, la superficiedel cubetto a contatto con l’acqua, sapendo che il volume immerso e pari a 5volte il volume emerso?

381. [2005.13 ] Su una scacchiera 75 × 75 le righe e le colonne sono numerate da 1a 75. Chiara vuole mettere una pedina in tutte e sole le caselle che abbianouna coordinata pari e l’altra multipla di 3. Quante pedine disporra in tuttosulla scacchiera?

382. [2006.11 ] I membri di una tribu hanno dieci dita alle mani e nove ai piedi equindi contano indifferentemente in base 10 o 19. Nella loro cultura matema-tica, un numero intero positivo e detto “sacro” se in entrambe le basi si scrivecon le stesse due cifre (comprese tra 1 e 9). Quanti sono i numeri sacri?

383. [2006.12 ] Sulla lavagna c’e scritto un numero di 17 cifre composto da soli 1e 2. Paolo entra e riscrive il numero in sequenza inversa, allineandolo sottoil precedente. Gianni entra e scrive sotto ogni colonna la cifra massima checompare in quella colonna. Alberto entra e scrive sotto ogni colonna la ciframinima che compare in quella colonna, poi cancella le prime due righe. Carlaentra e trova scritti i numeri 12212212221221221 e 11211111211111211 e leviene spiegato che cosa hanno fatto Paolo, Gianni e Alberto. Quanti sono idiversi numeri che potevano essere scritti sulla lavagna come primo numero?

384. [2007.15 ] Lorenza si trova su una pista avente la forma di un poligono regolarecon 2007 lati, i cui vertici sono numerati da 1 a 2007 in senso antiorario.Lorenza, partendo dal vertice 6, salta ogni volta 4 vertici e cade sul quinto piuavanti (ad esempio, dal 20 salta al 25), ma salta indietro di 2 vertici quandocade su un vertice identificato da una potenza di 2 (ad esempio, dopo un


Quanti scherzetti fa al massimo il folletto?(A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 21 (E) 22

103. [2013.3 ] Sui vertici di un poligono con n ≥ 3 lati sono scritti dei numeri interi,in modo tale che il numero scritto su ciascun vertice abbia la stessa paritadella somma dei numeri scritti sui due vertici adiacenti (cioe se il numero sulvertice e pari, anche la somma dei numeri che compaiono sui vertici adiacentie pari, mentre se il numero e dispari anche la somma e dispari). Quale delleseguenti affermazioni e sicuramente vera?(A) Ci sono piu numeri pari che dispari.(B) Ci sono piu numeri dispari che pari.(C) Il numero di vertici su cui e scritto un numero dispari e pari.(D) n e multiplo di 3. (E) Nessuna delle precedenti.

104. [2013.5 ] Sia x il numero di zeri con cui termina 2000! quando e scritto inbase 5, e y il numero di zeri con cui termina 2013! quando e scritto in base10. Calcolare x − y. (Ricordiamo che il numero n!, per n intero positivo, e ilprodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n.)(A) −2 (B) 0 (C) 2013 (D) 13! (E) nessuna delle precedenti

105. [2013.12 ] Quante sono le coppie di interi ordinate (x, y) tali che xy = 4(y2+x)?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 7 (E) 14

106. [2014.4 ] Davide fa il seguente gioco: parte da un numero intero compresotra 1 e 99 e ad ogni mossa sostituisce il numero n che ha al momento con ilnumero formato dalle ultime due cifre di 51n + 50 (o solo dall’ultima cifra, sela penultima e 0). Quanti numeri diversi puo ottenere al massimo nel corsodelle prime 100 mosse di una singola partita?(A) 2 (B) 4 (C) 51 (D) 99 (E) 100

107. [2014.5 ] Alessandro, Daniele e Manuela discutono di un numero naturale n didue cifre. Ognuno di loro fa due affermazioni, ma siccome sono tutti un po’scarsi in matematica ognuno di loro fa un’affermazione vera ed una falsa.Alessandro dice: “n e pari. Inoltre e un multiplo di 3.”;Daniele risponde: “Sı, n e un multiplo di 3. Inoltre, la cifra delle unita di n e5.”;Manuela dice, infine: “n e multiplo di 5. La somma delle sue e 12.”.Quanti valori puo assumere n?(A) non esiste tale n (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

108. [2014.6 ] Quanti interi positivi sono una potenza di 4 e si scrivono in base 3usando solo le cifre 0 e 1, lo 0 quante volte si vuole (anche nessuna) e l’1 alpiu due volte?(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (E) infiniti

109. [2015.1 ] Un numero naturale si dice palindromo e uguale al numero che siottiene leggendo le cifre della sua scrittura in base dieci da destra verso sinistra(ad esempio, 68386 e 44 sono palindromi, 220 non lo e). Sappiamo che ilnumero naturale x e il numero x+312 sono entrambi palindromi; x ha quattro


cifre, mentre x + 312 ne ha cinque. Quanto vale la somma delle cifre di x ?(A) 30 (B) 31 (C) 32 (D) 33 (E) 34

110. [2015.4 ] Una formica cammina sul tastierino numerico diun cellulare, composto da 10 pulsanti disposti come in fi-gura. La formica si sposta sempre dal tasto su cui si trovaad un tasto adiacente in orizzontale o in verticale; partedal tasto 1 e passeggia per un po’ sul tastierino, ferman-dosi infine sul tasto 0, che non aveva mai visitato prima.Consideriamo il numero n ottenuto concatenando le cifredei tasti su e passata la formica, nell’ordine in cui li havisitati (ad esempio, il percorso in figura corrisponderebbeal numero 12580). Dire quante delle quattro affermazioniseguenti sono certamente vere:

- “n non e multiplo di 3”;- “n non e multiplo di 8”;- “n e composto da un numero dispari di cifre”;- “n non e un quadrato”.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

111. [2015.10 ] Caboyara, famoso circense australiano, si esibisce anche quest’annoin un gran trucco. Predispone una scala spettacolare con N = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅

p2015 gradini, dove p1, p2, . . . , p2015 sono numeri primi distinti; i gradini checorrispondono a divisori di N (compresi il primo e l’N -esimo gradino) sonospeciali e sono inizialmente illuminati di verde.Durante lo spettacolo, 2015 canguri ammaestrati salgono uno dopo l’altrola scala; per i = 1,2, . . . 2015, l’i-esimo canguro salta pi gradini alla volta,partendo ai piedi della scala (salta sul gradino pi, poi sul 2pi, e cosı via finchenon raggiunge il gradino N). Ogni volta che un canguro salta su un gradinospeciale, questo cambia colore: da verde diventa rosso, da rosso verde.Quanti saranno i gradini speciali illuminati di verde alla fine dell’esibizione?(A) 22015 − 21008 (B) 22014 (C) 22014 − 21007 (D) 22013 (E) 2015 ⋅ 21008

112. [1999.14 ] Quanti sono i numeri naturali che in base 10 si scrivono con 3 cifree in base 2 si scrivono con 7 cifre?

113. [2000.14 ] Quante sono le progressioni aritmetiche costituite da quattro numeriinteri a, b, c, d con 1 ≤ a < b < c < d ≤ 100 ?Nota: a, b, c, d formano una progressione aritmetica se b − a = c − b = d − c.

114. [2000.15 ] Qual e il piu piccolo numero intero positivo che possiede esattamente15 divisori?Nota: per divisori di un numero intero positivo si intendono i divisori positivi,

includendo 1 e il numero stesso; per esempio, il numero 6 ha esattamente 4 divisori:

1, 2, 3, 6.

115. [2001.12 ] Sia n il piu piccolo intero positivo > 200 che si puo scrivere sia comesomma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi e di 7interi consecutivi. Quanto vale n?


372. [2002.14 triennio] Michela e Nicola stanno correndolungo il perimetro di un parco quadrato ABCD di dia-gonale 6 km. Essi corrono in senso orario alla stessavelocita. Il loro cane Pallino corre all’interno del parcoin modo da stare sempre a meta strada tra Nicola eMichela. Inizialmente Michela e nel vertice B mentreNicola e nel punto medio del lato AD. Quanti chilo-metri ha percorso Pallino quando Nicola ha fatto ungiro del parco?

B A

DC

N

b

P

373. [2003.12 biennio] Numeriamo da 1 a 28 le caselle dispo-ste sul bordo di una comune scacchiera 8 × 8 (vederefigura a lato). All’inizio un dado cubico viene postosulla casella 1 in modo che la sua faccia inferiore si so-vrapponga esattamente all’intera casella. Muoviamo ildado lungo le caselle come segue: la prima mossa con-siste nel ruotare di 90 il dado attorno al lato comunetra la casella 1 e la casella 2 in modo che al termine ildado si trovi esattamente sopra la casella 2.

1 2 3 4 5 6 7 8

9

10

11

12

13

14

1516171819202122

23

24

25

26

27

28

In modo analogo facciamo passare il dado dalla casella 2 alla 3, dalla 3 alla4 e cosı via, ruotando di volta in volta il dado attorno al lato comune trala casella su cui e appoggiato e la successiva. Dalla casella 28 si torna allacasella 1 e, terminato un giro, si ricomincia da capo. Quante mosse occorronoal minimo perche il dado torni sulla casella 1 con la stessa faccia superiore cheaveva all’inizio?

374. [2003.13 biennio] Un’azienda dolciaria produce due tipi di torrone, usando lastessa pasta bianca e le stesse nocciole, ma in proporzioni diverse. Nel torronedi tipo A le nocciole rappresentano il 30% del peso ed il 40% del volume; inquello di tipo B le nocciole rappresentano il 60% del peso. Quale percentualedel volume rappresentano le nocciole nel torrone di tipo B?

375. [2003.14 triennio] Il piccolo Marco sale e scende da un piano all’altro la scalamobile di un centro commerciale, uno scalino alla volta. Se procede nel sensodi marcia della scala a velocita costante rispetto ad essa (cioe l’intervallo ditempo fra un passo e l’altro e costante), calpesta 15 gradini, se procede in sensocontrario (con lo stesso intervallo di tempo fra un passo e l’altro) ne calpesta35. Quanti scalini calpesterebbe Marco nel passare da un piano all’altro se lascala mobile fosse ferma?

376. [2004.13 biennio] Secondo una recente statistica, in Italia una persona ogni76 e allergica alle fragole e, tra quelli che lo sono, 2 su 3 sono donne. Sullabase di queste informazioni, e supponendo che in Italia il numero di donne siauguale a quello degli uomini, si puo concludere che e allergico alle fragole unuomo ogni X uomini. Determinare X.

377. [2004.12 ] Due candele hanno la stessa lunghezza. La prima si consuma in5 ore, la seconda in 3 ore. Le candele vengono accese contemporaneamente.


Nota: nel 2012 le spese non sono nulle.

(A) 2023 (B) 2150 (C) 2151 (D) 2212 (E) mai

367. [2014.9 ] Cinque amici devono scendere da una seggiovia a cinque posti e posso-no farlo andando in tre direzioni differenti: a sinistra, dritto oppure a destra.Scendendo da una e facile scontrarsi con i propri compagni di risalita. Peresempio: se io decido di andare dritto e qualcuno alla mia sinistra di andare adestra, ci scontriamo; lo stesso accade se io decido di andare a destra e qual-cuno alla mia destra va dritto (o a sinistra); se invece qualcuno va nella miastessa direzione non ci scontriamo; e cosı via. Se ciascuno dei cinque amicisceglie a caso dove andare, con probabilita 1/3 per ciascuna direzione, qual ela probabilita che non ci siano scontri?

(A)25

27(B)

3

5(C)

40

81(D)

1

3(E)

7

81

368. [1999.13 ] Ad una gara a punti su pista partecipano nove concorrenti. Adogni traguardo intermedio vengono assegnati 9 punti al primo, 8 al secondo,7 al terzo e cosı via fino ad assegnare 1 punto all’ultimo. Prima dell’ultimosprint (in cui il punteggio assegnato vale doppio) la classifica vede al comandoAbdujaparov con 2 punti di vantaggio su Boardman e 9 su Cipollini. Glialtri concorrenti hanno un distacco in punti tale da non consentire piu lorodi aggiudicarsi la gara. Quanti sono i possibili differenti piazzamenti dei trecorridori nell’ultimo sprint che permettono a Cipollini di vincere la gara?

369. [1999.15 ] Quattro ruote a, b, c, d collegate tramite unacinghia e aventi rispettivamente raggi 14, 15, 16 e 18sono disposte come in figura in modo che il sistemasia libero di ruotare senza che la cinghia possa slittare.Dopo quanti giri della ruota a il sistema torna per laprima volta nella posizione iniziale?

ba

bb

bc

bd

370. [2000.12 ] Le dimensioni dello schermo di un televisore sono 60 cm × 45 cm.Una telecamera inquadra interamente il televisore, e rimanda l’immagine sullostesso, per cui dentro questo televisore se ne vede un altro e cosı via. Iltelevisore piu grande che si vede dentro lo schermo ha un’area uguale a metadell’area dello schermo. Supponendo che una persona osservi il televisoreseduta a una distanza tale da non distinguere immagini di area inferiore a1 cm2, quanti televisori vede all’interno dello schermo?

371. [2002.11 triennio] Un puzzle da 1000 pezzi puo essere montato incastrando ipezzi uno dopo l’altro, in modo da inserire ciascun nuovo pezzo nella porzionedi puzzle gia composta, oppure costruendo diversi gruppi di pezzi e poi unendoquesti tra di loro. Ogni unione (di due singoli pezzi, o di due gruppi, o di unpezzo a un gruppo) conta una mossa. Qual e il numero minimo di mossenecessario per completare il puzzle?


116. [2002.14 biennio] Quante sono le terne di interi (a, b, c) tutti maggiori di 1 taliche a(b

c) < 2002?117. [2003.11 biennio] Prendiamo un intero positivo n, facciamo la somma delle

sue cifre e poi addizioniamo nuovamente le cifre di tale somma ottenendo unintero S. Qual e il piu piccolo n che permette di ottenere S ≥ 10?

118. [2003.11 triennio] Per ogni intero n, sia S(n) la somma delle cifre di n (inbase decimale). Qual e il piu piccolo intero N per cui S(S(N)) ≥ 10?

119. [2005.11 ] Quanti sono gli interi compresi tra 1 e 2005 (inclusi) che hanno unnumero dispari di cifre pari?

120. [2005.15 ] Quante sono le coppie ordinate (x, y) di interi positivi x e y chesoddisfano la relazione xy + 5(x + y) = 2005 ?

121. [2006.15 ] Quanti sono i numeri di cinque cifre (cioe fra 10000 e 99999) chenon contengono zeri e sono multipli di 12?

122. [2008.13 ] Determinare il piu grande numero di due cifre tale che:a) sia un numero primo;b) scambiando di posto le due cifre resti un numero primo;c) il prodotto delle due cifre sia un numero primo.

123. [2009.13 ] Determinare il massimo intero positivo k tale che k2 dividen!(n − 6)!

per ogni n > 6.124. [2014.13 ] Qual e l’esponente del primo 2 nella fattorizzazione del numero

(5 − 1)(55 − 1)⋯(55...

5

− 1)dove in ogni fattore compare ad esponente un “5” in piu che nel precedente enell’ultimo ne compaiono, come esponenti, 2014?

125. [2015.14 ] Una pulce si trova inizialmente su un vertice di un poligono regolaredi 2015 lati; compie una sequenza di salti in senso antiorario: al primo salto sisposta di un vertice (da quello iniziale al vicino), al secondo di tre, al terzo dicinque, e cosı via, di modo che all’n-esimo parte da un vertice e atterra 2n−1vertici piu in la, sempre in senso antiorario. Dopo quanti salti accadra per laprima volta che la pulce atterri su un vertice che aveva gia visitato?

126. [1995.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia data una progressione aritmetica infinita di numeri naturali. Si dica se leseguenti affermazioni sono corrette, giustificando la risposta.(1) Se 3 divide un termine della progressione allora vi e un termine divisibile

per 9.(2) Se c’e un termine divisibile per 3, allora ce ne sono infiniti.(3) Se 2 divide un termine della progressione e 3 divide un altro termine,

allora vi e un termine divisibile per 6.


127. [1996.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia x1, x2, x3, . . . la successione di interi definita dalla formula

x1 = 3xn+1 = x2

n − 2 per n ≥ 1 .

Dimostrare che due elementi distinti della successione sono sempre primi traloro.

128. [1997.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODato un numero primo p, determinare tutte le coppie ordinate di numeri

naturali (m,n) che verificano l’equazione1

m+

1

n= 1

p.

129. [2000.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODeterminare tutte le coppie ordinate (m,n) di interi positivi che soddisfano

l’equazione1

m+

1

n−

1

mn= 2

5.

130. [2001.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODeterminare tutte le soluzioni (a, b) dell’equazione a3 + b3 = 91, con a, b interirelativi.

131. [2002.15 biennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODeterminare il numero dei parallelepipedi retti con base quadrata che hannotutti gli spigoli di lunghezza intera e volume uguale a 270 000.

132. [2002.17 triennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODeterminare tutte le terne di interi positivi (x, y, z) che soddisfano il sistema

45xy2 = 8z3xyz < 1000 .

133. [2003.15 biennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVO(i) Si determinino tutte le coppie (m,n) di interi positivi che soddisfano

l’equazione n2− 2m = 1.

(ii) Si determinino tutte le coppie (m,n) di interi positivi che soddisfanol’equazione 2m − n2 = 1.

134. [2003.16 triennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia x0, x1, x2, . . . la successione definita da x0 = 2 e xn+1 = 5 + (xn)2 per ognin ≥ 0. Dimostrare che in questa successione non compaiono numeri primidiversi da 2.

135. [2004.15 biennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODimostrare che ogni numero intero n puo essere scritto nella forma n = a2 +b2 − c2, dove a, b e c sono opportuni numeri interi.

136. [2004.16 triennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOTrovare tutte le coppie (p, q) di numeri primi (positivi) tali che l’equazione

x2− (6p − 4q)x + 3pq = 0

abbia due radici intere.

137. [2005.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODeterminare tutte le coppie (m,n) di numeri interi positivi m e n tali che


360. [2010.1 ] 16 coni stradali sono messi in linea retta a distanza di 10 metri unodall’altro. Si vuole dipingere sulla strada una linea continua che vada dal primoall’ultimo cono. Sapendo che per dipingere 100 metri di linea continua sononecessari 6 litri di vernice, quanti litri di vernice sono necessari per completarequesto lavoro?(A) 8,4 (B) 9 (C) 9,6 (D) 10 (E) nessuna delle precedenti

361. [2010.4 ] Antonio, Beppe, Carlo e Duccio si distribuiscono casualmente le 40carte di un mazzo, 10 a testa. Antonio ha l’asso, il due e il tre di denari.Beppe ha l’asso di spade e l’asso di bastoni. Carlo ha l’asso di coppe. Chi epiu probabile che abbia il 7 di denari?(A) Antonio (B) Beppe (C) Carlo (D) Duccio(E) due o piu giocatori hanno la stessa probabilita di averlo

362. [2010.6 ] La casa di Dante si trova nel punto D ai piedi di una montagnaconica con il diametro di base di 4 km e cima nel punto C. Si sa che D distada C 4 km in linea retta e che, detto P il punto diametralmente oppostoa D rispetto alla base della montagna, la porta dell’Inferno si trova a 3/4del segmento CP , piu vicino a P . Quale distanza deve percorrere Dante alminimo (camminando sulle pendici della montagna) per raggiungere la portadell’Inferno da casa sua?(A) π + 1 km (B) 5 km (C) 2π km (D) 7 km (E) 2π + 1 km

363. [2010.8 ] Nella classe di Sergio, dopo la correzione dell’ultimo compito di ma-tematica, al quale tutti gli alunni sono stati presenti, la media aritmetica delleinsufficienze e risultata 4,6, mentre la media aritmetica delle sufficienze e risul-tata 7,1. Sapendo che il professore ha dato soltanto voti interi, quanti alunnici sono al minimo nella classe di Sergio?(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 24 (E) 30

364. [2010.9 ] I rossi e i verdi stanno facendo una gara a gavettoni. La base deirossi e un’area a forma di triangolo equilatero di lato 8 metri. I verdi nonpossono entrare nella base dei rossi, ma possono lanciare i loro proiettili nellabase stando comunque fuori dal perimetro. Sapendo che i verdi riescono acolpire un bersaglio fino a una distanza di 1 metro, quanto e grande (in metriquadrati) la zona all’interno della base dei rossi al sicuro dalla portata di tirodei verdi?(A) 19

√3 − 24 (B) 4

√3 (C) 3

√3 (D) 19 − 8

√3

(E) ogni punto dell’area rossa e a portata di tito dei verdi

365. [2010.11 ] In una scatola ci sono venti palline numerate da 1 a 20. Ciascunnumero e presente in una e una sola di queste palline. Quante palline diversedobbiamo estrarre come minimo, per essere sicuri che il prodotto dei loronumeri sia un multiplo di 12?(A) 7 (B) 11 (C) 12 (D) 15 (E) 18

366. [2012.8 ] Le spese per organizzare le Olimpiadi Nazionali della Matematicaincrementano ogni anno dello 0,5% rispetto all’anno precedente. In che annole spese saranno esattamente il doppio rispetto a quelle del 2012?


355. [2007.9 ] Alberto, Barbara, Chiara e Davide mescolano un mazzo di 40 cartee poi ne distribuiscono 10 a testa. Alberto guarda le sue ed esclama: “Chestrano, non ho nessuna carta di picche”. Sapendo questa informazione, quale la probabilita che anche Barbara non abbia nessuna carta di picche?Nota: le carte di picche sono 10.

(A)30!

20! 40!(B)

20!

10! 30!(C)

30! 30!

20! 40!(D)

20! 20!

10! 30!(E)

30! 10!

40!356. [2008.2 ] Il So-poko e un nuovo gioco enigmistico che

si gioca su una tabella quadrata di lato 203 caselle.Le caselle sono colorate di bianco e di nero a corniciconcentriche alternate; la cornice piu esterna e nera,mentre la casella centrale e bianca (vedi a fianco unesempio 7× 7). Qual e la differenza tra il numero dicaselle nere e il numero di caselle bianche presentinello schema?(A) 103 (B) 203 (C) 207 (D) 303 (E) 407

357. [2008.4 ] Francesco e Andrea decidono di consultare l’oracolo matematico persapere se hanno delle coppie (x, y) di numeri (reali) fortunati. Per determinarela coppia (o le coppie) di numeri fortunati, l’oracolo chiede sia a Francesco chea Andrea il giorno (g) e mese (m) di nascita, dopodiche per ciascuno di loro

risolve il sistema 3x − y = 181gx −my = 362 . Il responso dell’oracolo e che Andrea non

ha nessuna coppia di numeri fortunati, mentre le coppie di numeri fortunatidi Francesco sono infinite. Quale delle affermazioni seguenti e corretta?(A) Francesco e Andrea sono entrambi nati in primavera(B) Francesco e Andrea sono entrambi nati in estate(C) Francesco e Andrea sono entrambi nati in autunno(D) Francesco e Andrea sono entrambi nati in inverno(E) Francesco e Andrea sono nati in stagioni diverse

358. [2008.9 ] Eleonora gioca con un dado e un orologio (fermo) che all’inizio segnale 12. Per 2008 volte tira il dado e porta le lancette avanti di tante ore quantoe il risultato. Qual e alla fine la probabilita che la lancetta delle ore siaorizzontale?

(A) 0 (B)1

2008(C)

1

1004(D)

1

12(E)

1

6

359. [2009.6 ] Un’urna contiene N palline (N > 3) numerate da 1 a N . Se dall’urnavengono tolte due palline recanti numeri non multipli di 3 e una recante unmultiplo di 3, la probabilita di ottenere un multiplo di 3 estraendo una singolapallina risulta minore di quanto era con l’urna completa. Cosa si puo dedurreriguardo a N ?(A) N e certamente multiplo di 3 (B) N non e multiplo di 3(C) N e certamente dispari (D) N e certamente pari(E) nessuna delle affermazioni precedenti puo essere dedotta


3m + 3

2n + 2n−1sia un numero intero.

138. [2006.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia k ≥ 1 un numero naturale. Determinare in funzione di k il numero di interipositivi n con le seguenti proprieta:(a) in base dieci si scrivono con k cifre, tutte dispari;(b) sono divisibili per 5, e il quoziente n/5, scritto in base dieci, ha ancora k

cifre, tutte dispari.

139. [2007.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOUn intero positivo si dice triangolare se si puo scrivere nella forma 1

2n(n+1) per

qualche intero positivo n. Quante sono le coppie (a, b) di numeri triangolaritali che b − a = 2007? (Si ricorda che 223 e un numero primo).

140. [2008.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOa) Si hanno sette numeri interi positivi a, b, c, d, e, f , g tali che i prodotti

ab, bc, cd, de, ef , fg, ga sono tutti cubi perfetti. Dimostrare che anchea, b, c, d, e, f, g sono cubi perfetti.

b) Si hanno sei numeri interi positivi a, b, c, d, e, f tali che i prodotti ab,bc, cd, de, ef , fa sono tutti cubi perfetti. E sempre vero che a, b, c, d,e, f sono tutti cubi perfetti?

Nota: si dice cubo perfetto un intero m tale che m = n3 per qualche intero n.

141. [2009.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOa) Qual e il minimo intero positivo c tale che esista almeno una coppia (a, b)

di interi positivi distinti tali che 2c2 = a2 + b2 ?b) Dimostrare che esistono infinite terne (a, b, c) di interi positivi distinti

tali che 2c2 = a2 + b2.142. [2009.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Determinare tutti gli interi positivi m per i quali sia2 ⋅ 5m + 10

3m + 1che

9m + 1

5m + 5sono interi.

143. [2010.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOTrovare tutte le terne ordinate di numeri interi positivi (p, q, n) tali che p, qsiano primi e p2 + q2 = pqn + 1.

144. [2010.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOIn quanti modi diversi si possono mettere in fila i numeri 21, 31, 41, 51, 61,71, 81 in modo che, comunque se ne scelgano quattro in posti consecutivi, laloro somma sia divisibile per 3?

145. [2012.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODato un qualsiasi intero positivo n, chiamiamo ciclostilato di n il numeroche si ottiene concatenando 2012 scritture di n (in base 10). Per esempioil ciclostilato di 314 e 314314314 . . . 314, dove le cifre “314” si ripetono 2012volte.


a) Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m siamultiplo di 9.

b) Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m siamultiplo di 11.

146. [2013.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODeterminare tutte le terne di interi strettamente positivi (a, b, c) tali che

- a ≤ b ≤ c ;- MCD(a, b, c) = 1;- a e divisore di b + c, b e divisore di c + a e c e divisore di a + b.

147. [2014.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOTrovare tutte le coppie (a, b) di numeri interi positivi tali che a + 1 sia undivisore di b − 1 e b sia un divisore di a2 + a + 2.

148. [2015.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia n un intero positivo e siano 1 = d1 < d2 < d3 < . . . < dk = n i suoi divisoripositivi, ordinati per grandezza. Si sa che k ≥ 4 e che d2

3+ d2

4= 2n + 1.

(a) Trovare tutti i possibili valori di k.(b) Trovare tutti i possibili valori di n.

Combinatoria e probabilita

149. [1995.4 ] Un tale ha in tasca 6 monete: 2 da 200 lire, 2 da 100 lire, 2 da 50lire. Egli vuole acquistare una cartolina da 300 lire, pesca a caso tre monetedalla sua tasca e le da al negoziante. Detta p la probabilita che il negoziantegli dia la cartolina (con eventuale resto), quale delle seguenti affermazioni ecorretta?

(A) p = 1

2(B)

1

2< p < 2

3(C) p = 2

3(D)

2

3< p < 4

5(E) p = 4

5

150. [1996.7 ] In un torneo di coppa UEFA, giunto ai quarti di finale, 2 delle 8squadre qualificate sono italiane. Il torneo si svolge a eliminazione, diretta (le8 squadre vengono abbinare per sorteggio in 4 incontri: le 4 vincenti vengonoabbinale, sempre per sorteggio, in 2 incontri e le vincenti di questi ultimidisputano l’incontro finale). Supponendo che per ogni squadra la probabilitadi vincere un incontro sia 1/2, qual e la probabilita che le due squadre italianesi affrontino in uno scontro diretto?

(A)1

8(B)

1

7(C)

1

4(D)

1


151. [1997.4 ] 100 delegati sono riuniti in congresso. Non tutti portano la cravatta,ma si sa che comunque se ne scelgano due, almeno uno dei due la porta.Quanti sono i congressisti con cravatta?(A) almeno 2, ma possono essere meno di 50 (B) esattamente 50(C) piu di 50, ma non si puo dire esattamente quanti(D) la situazione descritta e impossible (E) nessuna delle precedenti


(A)3

25(B)

1

6(C)

1

5(D)

6

25(E)

1

4

350. [2006.5 ] Silvia ha 2006 tessere identiche a forma di triangolo equilatero evuole disporle tutte sul tavolo senza sovrapporle e in modo che ciascuna abbiaesattamente due lati in comune con altre due tessere. Puo riuscire nel suointento? Poteva riuscirci l’anno scorso, quando aveva 2005 tessere?(A) e impossibile in entrambi i casi(B) e possibile con 2005 tessere, ma non con 2006(C) e possibile con 2006 tessere, ma non con 2005(D) in questi due casi e possibile, ma tra i numeri maggiori di 12 ce n’e almeno

uno per cui non e possibile(E) e possibile per tutti i numeri di tessere maggiori di 12

351. [2007.2 ] Un mercante ha 6 barili di capacita 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litri. Cinquedi essi sono pieni di vino e solo uno di essi e pieno di birra. Il mercante tieneper se il barile di birra e vende tutti i barili di vino a due persone diverse,senza frazionarne il contenuto. Se uno dei due acquirenti ha comprato unaquantita di vino esattamente doppia di quella acquistata dall’altro, quanti litricontiene il barile di birra?(A) 16 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 31

352. [2007.4 ] Uno studente universitario ha superato un certo numero di esami,riportando la media di 23. Dopo aver superato un altro esame, la sua mediascende a 22,25. Sapendo che il voto di ciascun esame e un numero interocompreso fra 18 e 30 inclusi, che voto ha riportato lo studente all’ultimoesame?(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) 22

353. [2007.7 ] Agli ultimi campionati del mondo di calcio, il girone A e terminatocon la classifica seguente: Austria 7, Brasile 5, Camerun 4, Danimarca 0.Austria e Camerun hanno subito una rete ciascuna. Brasile e Camerun hannosegnato una sola volta, mentre l’Austria ha fatto tre reti. Con che punteggioe terminata Austria-Danimarca?Nota: si ricorda che, in ogni partita disputata nel girone, la squadra vincitrice

guadagna 3 punti, quella perdente 0 punti; in caso di pareggio ciascuna delle due

squadre guadagna 1 punto.

(A) 1–0 (B) 2–1 (C) 2–0 (D) 0–0(E) non e determinabile con i dati forniti

354. [2007.8 ] Priscilla e stata incaricata di preparare la scenografia per la recitadella sua scuola. Ha bisogno di una falce di luna, e ha a disposizione un cerchiodi cartone di raggio r in cui ritagliarla; allora punta il compasso sul bordo delcerchio, disegna un arco di circonferenza di raggio r

√2 e taglia lungo la linea

tracciata. Quanto vale l’area della falce di luna che ottiene?

(A) r2 (B)

√2π

2r2 (C)

π

3r2 (D) (π

4+

1

2) r2 (E) (π

4+ 1) r2


344. [2003.4 triennio] Un tastierino numerico quadrato di lato 4 ha i tasti numeratida 1 a 16. L’agente 007 deve premere due tasti contemporaneamente perpenetrare nella base nemica, e se sbaglia fara suonare l’allarme. Tuttavia sasoltanto che i due tasti non sono contigui (cioe non hanno un lato o un verticein comune). Qual e la probabilita che riesca ad infiltrarsi?

(A)1

64(B)

1

78(C)

1

128(D)

1

156(E)

1

160

345. [2004.2 biennio] Per motivi dietetici, Piero deve mangiare ad ogni pranzo unaquantita fissa di carboidrati provenienti da pane e/o pasta. Per totalizzaretale quantita, Piero puo mangiare 80 grammi di pasta e 40 grammi di pane,oppure 100 grammi di pasta e 30 grammi di pane. Se volesse mangiare solopasta, quanti grammi ne dovrebbe mangiare?(A) 80 (B) 110 (C) 140 (D) 160 (E) 200

346. [2004.5 biennio] Una lumaca si arrampica su una colonna cilindrica alta 8metri, la cui circonferenza di base e lunga 3 metri. Sapendo che partendo dallabase raggiunge la cima facendo due giri intorno alla colonna e che, arrivata incima, si trova esattamente sopra il punto da cui era partita, quanto e lunga lastrada piu breve che la lumaca puo aver percorso?(A) 3π m (B) 10 m (C) (8 + π) m (D) 12 m (E) 4π m

347. [2004.7 triennio] Alberto e Barbara stanno salendo con una seggiovia. Albertooccupa il sedile n. 48 e Barbara il sedile n. 180. Nell’istante in cui Albertoincrocia il sedile n. 75 Barbara incrocia il sedile n. 169. Quanti sedili ci sonosulla seggiovia?Si supponga che i sedili siano ugualmente distanziati e che procedano in ordinecrescente da 1 a N , dove N e il numero complessivo dei sedili. In particolaredopo il sedile numero N si trova il sedile numero 1.(A) 226 (B) 228 (C) 236 (D) 244 (E) nessuno dei precedenti

348. [2005.1 ] Edoardo e andato in vacanza nella citta di Altanbulat. Il suo aereo,all’andata, e partito da Milano alle 13:00 ed e arrivato ad Altanbulat alle 9:00del giorno dopo (ora locale). Il volo di ritorno invece e partito da Altanbulatalle 9:00 ed e atterrato alle 15:00 dello stesso giorno a Milano (di nuovo, tuttele ore indicate sono secondo il fuso orario locale). Supponendo che i due viaggiabbiano avuto la stessa durata reale, quant’e la differenza di fuso orario tral’Italia e Altanbulat?(A) meno di tre ore (B) piu di tre ore, ma meno di sei(C) piu di sei ore, ma meno di nove (D) piu di nove ore(E) non e possibile determinarla

349. [2005.9 ] Alberto e Barbara giocano con un dado. Dopo un po’ si accorgonoche il dado e truccato, e che il numero 1 esce piu frequentemente degli altri 5numeri (che invece restano equiprobabili). Decidono quindi che, quando esce1, quel tiro e annullato e si tira di nuovo. Se si continua a lanciare il dado finoa quando non si ottengono 2 tiri validi, qual e la probabilita che la somma dei2 numeri validi usciti sia 8?


152. [1997.9 ] Tre paia di calzini, uno rosso, uno blu e uno verde, sono stesi infila. Sapendo che due calzini dello stesso colore non sono vicini uno all’altro,quante successioni di colori si possono avere?(A) 15 (B) 24 (C) 30 (D) 36 (E) nessuna delle precedenti

153. [2000.4 ] Qual e il numero minimo di carte che bisogna pescare da un ordinariomazzo di 52 per avere almeno il 50% di probabilita di estrarre una o piu cartedi cuori?(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

154. [2003.8 biennio] Nella griglia in figura si vuole andaredalla casella di partenza P alla casella di arrivo A,seguendo due regole: ci si puo spostare da una casellaad un’altra solo se hanno un lato in comune; si puopassare al piu una volta da ogni casella. In quantimodi puo essere fatto il tragitto?(A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 16 (E) 32

P

A

155. [2003.2 triennio] In Italia le targhe automobilistiche sono composte da 2 lette-re, seguite da 3 cifre e da altre 2 lettere. Nel paese di Aliati le cose vanno allarovescia e le targhe sono composte da 2 cifre, seguite da 3 lettere e da altre 2cifre. Supponendo che in entrambi i paesi si usino 10 cifre e 22 lettere (I, O,U, Q non sono utilizzate), determinare la differenza tra il numero di tutte letarghe possibili nei due paesi.(A) 0 (B) 12 ⋅ 103 ⋅ 223 (C) (222 − 102)2 − (223 − 103)2(D) 12 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 10 (E) 410 ⋅ 310 ⋅ (412 − 312)

156. [2004.3 triennio] Quante soluzioni intere non negative ha l’equazionev2 +w2

+ x2+ y2 + z2 = 5 ?

Per soluzione intera non negativa si intende una cinquina ordinata di interinon negativi (v,w, x, y, z) che soddisfano l’equazione.Nota: due cinquine ordinate che differiscono anche solo per l’ordine degli elementi

(ad esempio, le cinquine (1,2,3,4,5) e (3,1,2,4,5) sono da considerarsi distinte).

(A) 1 (B) 20 (C) 21 (D) 65 (E) 121

157. [2004.5 triennio] Da un sacchetto della tombola, contenente i numeri da 1 a90, estraiamo contemporaneamente due numeri. Qual e la probabilita che lasomma faccia 56?

(A)3

445(B)

14

2025(C)

1

150(D)

11

1620(E)

11

1602

158. [2005.6 ] Durante una festa, tre ragazze e tre ragazzi si siedono casualmentead un tavolo rotondo. Qual e la probabilita che non ci siano due persone dellostesso sesso sedute a fianco?

(A)1

6(B)

1

10(C)

3

20(D)

1

12(E)

11

36

159. [2006.6 ] Si consideri il piano tassellato con triangoli equilateri, e sia F0 unoqualsiasi di essi. Si costruisce una sequenza di figure sempre piu grandi inquesto modo: F1 e il poligono che si ottiene aggiungendo ad F0 la cornice


formata da tutti i triangoli della tassellazione che toccano F0 (per un lato o perun vertice), F2 e il poligono che si ottiene aggiungendo ad F1 la cornice formatadai triangoli che toccano F1, e analogamente si costruiscono i successivi sino adF10. Da quanti triangoli della tassellazione e composto quest’ultimo poligono?(A) 541 (B) 661 (C) 691 (D) 721 (E) 841

160. [2007.11 ] Ogni anno un gran numero di studenti partecipa alle Olimpiadi In-ternazionali di Matematica. Un dodicesimo di essi vince una medaglia d’oro,un altro sesto vince una medaglia d’argento, un ulteriore quarto vince una me-daglia di bronzo e la restante meta vince una stretta di mano. Se incontriamoun gruppo di sei partecipanti scelti a caso, qual e la probabilita che esso siacomposto da due medaglie d’oro, due medaglie d’argento e due vincitori distrette di mano?(A) circa il 40% (B) circa il 4% (C) circa lo 0,4% (D) circa lo 0,04%(E) circa lo 0,004%

161. [2008.1 ] Una banda di ladri vuole aprire la cassaforte di una banca. Un basistaha fatto ubriacare il direttore della banca ed e riuscito a sapere che:(a) la combinazione e formata da 5 cifre da 0 a 9;(b) la combinazione e un numero pari;(c) esattamente una delle 5 cifre della combinazione e dispari;(d) nella combinazione compaiono quattro cifre diverse, la cifra ripetuta e

pari e compare in due posizioni non consecutive.Quante sono le combinazioni possibili in base a tali informazioni?(A) 3150 (B) 4500 (C) 5400 (D) 7200 (E) 9000

162. [2008.7 ] In quanti modi si possono ordinare le cifre 1, 2, 4, 7 e 9 affincheformino un numero di cinque cifre divisibile per 11?(A) 0 (B) 1 (C) 10 (D) 12 (E) 24

163. [2009.3 ] Nell’ultimo capodanno, andavano molto di moda degli occhiali conla forma del numero “2009” e le lenti al posto dei due zeri. Per fabbricareocchiali simili, e necessario che nel numero che rappresenta l’anno vi sianodue o piu zeri consecutivi (per esempio 3500 va bene, 2010 no). Quanti annicompresi tra l’anno 999 e l’anno 9999 contengono due o piu zeri consecutivinella loro scrittura?(A) 171 (B) 180 (C) 190 (D) 191 (E) 200

164. [2009.10 ] Alberto, Barbara e Carlo stanno giocando a carte. Ad ogni mano,il vincitore guadagna 2 punti, mentre gli altri due giocatori perdono un puntoa testa. Inizialmente, tutti hanno 0 punti. Qual e la probabilita che, dopo 10mani, siano nuovamente tutti a zero punti?

(A) 0 (B)1

5(C)

1

3(D)

(106)

310(E) 1 − (2

3)10

165. [2011.5 ] Ad una fiera c’e un gioco molto invitante, perche si puo parteciparegratis; chi vince guadagna un premio. Il premio pattuito per le prime quattropartite e una moneta, per la quinta e di due monete. Nicola ad ogni partita


impiega a raggiungere l’amica da quando e sceso?(A) 60 (B) 70 (C) 90 (D) 110 (E) 120

339. [2002.10 biennio] Un atleta ha appena affrontato una gara di triathlon. Questacompetizione si divide in tre fasi: la prima e una gara di nuoto, la secondadi ciclismo e la terza di corsa. Sapendo che la sua velocita media nei tretratti e stata rispettivamente di 3 km/h, 30 km/h e 17 km/h, che la lunghezzatotale del tracciato e 30 km e che il tempo che ha impiegato a concludere lagara e stato di un’ora e 40 minuti, determinare per quanto tempo e andato inbicicletta.(A) 60 20 (B) 60 (C) 45 (D) 33 20 (E) non si puo determinare

340. [2002.1 triennio] Nel quartiere di S. Maria ci sono 9897 televisori. Solo trefamiglie del quartiere non possiedono televisori, mentre il 4% ne ha due, il2,5% ne ha 3 e lo 0,5% ne ha addirittura 8. Tutte le altre famiglie possiedonoun solo televisore. Quante famiglie abitano nel quartiere di S. Maria?(A) 9900 (B) 9252 (C) 9000 (D) 8800 (E) 8285

341. [2002.8 triennio] In un torneo di pallacanestro 8 squadre sono divise in duegruppi di 4 squadre ciascuno. Al termine degli incontri preliminari, si di-sputano le semifinali, in cui la prima classificata del primo gruppo incontrerala seconda classificata del secondo gruppo e la prima classificata del secondogruppo incontrera la seconda classificata del primo gruppo. Se le squadre delprimo gruppo sono A, B, C, D e quelle del secondo gruppo sono E, F , G, H,qual e la probabilita che gli incontri di semifinale siano A contro E e B con-tro G? (Si suppone che le tutte possibili graduatorie di ciascun girone sianoequiprobabili).

(A)1

256(B)

1

144(C)

1

128(D)

1


342. [2002.9 triennio] Una gara di sci e divisa in due manches; un atleta si e piazzatoal 3 posto nella prima ed al 5 nella seconda. Sapendo che la classifica finalee stilata sulla base della somma dei tempi ottenuti nelle singole manches, checi sono 70 concorrenti e supponendo che non ci siano stati ex-aequo, dire qualiposizioni puo occupare l’atleta nella classifica finale.(A) l’atleta e necessariamente quarto(B) l’atleta puo essersi piazzato in un posto qualunque tra terzo e quinto(C) l’atleta puo essersi piazzato in un posto qualunque tra secondo e sesto(D) l’atleta puo essersi piazzato in un posto qualunque tra primo e settimo(E) l’atleta puo essersi piazzato in un posto qualunque

343. [2003.10 biennio] Un gioco e costituito da 10 lanci di un normale dado cubicocon le facce numerate da 1 a 6. Alla fine si sommano i punteggi ottenuti, conla regola che se si ottiene 6 in un lancio i punti del lancio successivo vengonocontati raddoppiati e che se si fa 6 all’ultimo lancio si ha diritto ad un (solo)tiro supplementare di cui sommare il punteggio (non raddoppiato). Quale diquesti punteggi finali non si puo ottenere?(A) 64 (B) 78 (C) 92 (D) 114 (E) 120


(A) 5-5-4-2-2 (B) 5-4-4-3-2 (C) 4-4-4-4-2 (D) 4-4-4-3-3(E) sono tutte equivalenti

332. [2000.3 ] Un treno lungo 500 metri attraversa a velocita costante una gallerialunga 3 chilometri. Sapendo che sono passati 50 secondi dal momento in cuil’ultima carrozza del treno e entrata nella galleria a quando il locomotoreemerge dall’altra uscita, si puo affermare che la velocita del treno in km/h e:(A) 50 (B) 216 (C) 252 (D) 300 (E) nessuna delle precedenti

333. [2001.1 ] Un mucchio di sabbia puo essere trasportato in 4 viaggi caricando almassimo un autocarro o, in alternativa, in 12 viaggi caricandone al massimo unaltro piu piccolo. Se possiamo utilizzare a pieno carico entrambi gli autocarri,e vogliamo che entrambi compiano lo stesso numero di viaggi, quanti viaggidovra fare ciascun autocarro per il trasporto di tutta la sabbia?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) i dati sono insufficienti

334. [2001.2 ] Si vuole misurare la lunghezza di un circuito automobilistico usandoun’auto che ha il contachilometri inizialmente azzerato e che misura solo ichilometri e non le centinaia di metri. Qual e il minimo n tale che, guardandosolamente quanto segna il contachilometri alla fine dell’n-esimo giro, il pilotapossa conoscere la lunghezza del circuito con un errore inferiore a 30 metri?(A) 0 < n ≤ 10 (B) 10 < n ≤ 20 (C) 20 < n ≤ 30 (D) 30 < n ≤ 40(E) 40 < n ≤ 50

335. [2001.8 ] In un paese l’uno per cento della popolazione e affetto da una certamalattia. Il test per sapere se si e contagiati sbaglia nell’uno per cento deicasi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato. Qual e la probabilita cheegli sia sano?

(A)99

10000(B)

1

100(C)

99

5000(D)

1

2(E)

99

100

336. [2001.10 ] Una scatola contiene 3 palline bianche e 2 palline nere. Marco estraeuna pallina e la rimette nella scatola aggiungendo un’altra pallina dello stessocolore. A questo punto egli estrae una nuova pallina dalla scatola. Qual e laprobabilita che quest’ultima sia bianca?

(A)1

2(B)

7

12(C)

3

5(D)

2


337. [2002.3 biennio] In una mappa di una certa regione ci sono dieci citta ai verticidi un decagono regolare, e i dieci lati del decagono rappresentano altrettantestrade. Nella regione ci sono dei lavori, per cui ogni strada e aperta con unaprobabilita 1/2 indipendentemente dalle altre. Qual e la probabilita che daogni citta si possa raggiungere ogni altra citta?(A) fra lo 0,2% e lo 0,5% (B) fra lo 0,5% e l’1% (C) fra l’1% e il 2%(D) fra il 2% e il 5% (E) fra il 5% e il 10%

338. [2002.8 biennio] Andrea, viaggiando su un tram, incrocia Mafalda che stacamminando sulla stessa strada in direzione opposta. Dopo 10 secondi scendedal tram e la rincorre. Sapendo che la velocita con cui Andrea cammina edoppia di quella di Mafalda e un quinto di quella del tram, quanti secondi


ha probabilita 2

3di vincere il premio e decide di giocare 5 partite. Qual e la

probabilita che Nicola vinca almeno 4 monete?

(A) 5(23)5 (B) 4(2

3)5 (C) 3(2

3)5 (D) 2(2

3)5 (E) (2

3)5

166. [2012.2 ] Marco, Fabrizio e Giovanni, tre matematici, sfidano un gruppo diquattro fisici a un torneo di calcio balilla. Giocano un incontro per ognipossibile combinazione di due matematici (uno in attacco, uno in difesa) controdue fisici (uno in attacco, uno in difesa). Ciascun incontro ha la stessa durata,e in totale il torneo dura ben 24 ore (senza pause). Quanto tempo gioca Marcoin difesa?Si noti che, ad esempio, vi saranno due incontri diversi di Marco e Fabriziocontro un certo attaccante e un certo difensore fra i fisici: uno con Marcoattaccante e Fabrizio difensore, uno viceversa.(A) 2 ore e 24 minuti (B) 4 ore e 48 minuti (C) 6 ore (D) 8 ore(E) 12 ore

167. [2012.11 ] Una scacchiera 8 per 8 viene riempita con le lettere A, B, C, D inmodo che due caselle con un lato o un vertice in comune contengano letterediverse, e in modo che le lettere A e le lettere B abbiano la proprieta seguente:ogni qual volta una A o una B ha una certa lettera X adiacente in orizzontaleo verticale (X puo essere A, B, C o D), allora dal lato opposto c’e un’altraX (a meno che non ci sia il bordo). In quanti modi e possibile sistemare talilettere nella scacchiera?(A) 136 (B) 144 (C) 168 (D) 328 (E) 360

168. [2013.1 ] Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna do-manda ha una sola risposta giusta. La prima domanda ha 2 possibili risposte(A e B), la seconda domanda ha 3 possibili risposte (A, B, C), e cosı via, finoall’undicesima domanda che ha 12 possibili risposte. Qual e la probabilittache facendo a caso il test Matteo dia almeno una risposta giusta?

(A)1

12!(B)

1

144(C)

1

2(D)

11

12(E)

121

144

169. [2013.8 ] Quante sono le coppie ordinate (A,B) di sottoinsiemi di 1,2,3,4,5tali che l’intersezione tra A e B abbia esattamente un elemento?(A) 80 (B) 280 (C) 1280 (D) 751 (E) 405

170. [2013.11 ] Agnese e Bruno sfidano Viviana e Zenone a biliardino; le squadresono molto equilibrate, per cui per ogni pallina giocata entrambe le squadrehanno probabilita 1/2 di segnare un gol. Qual e la probabilita che si arrivi a5 pari?

(A)1

512(B)

252

1024(C)

252

512(D)

169

512(E)

169

1024

171. [2014.1 ] Le facce di due tetraedri regolari identici vengono colorate di rosso,bianco, verde, blu; i colori sono scelti casualmente, ma le quattro facce diciascun tetraedro debbono essere tutte di colori diversi. Qual e la probabilitache dopo la colorazione i due tetraedri siano indistinguibili?


(A)1

4!(B)

2

4!(C)

1

4(D)

1

2(E) 1

172. [2014.11 ] Un pilota di aquiloni ha disputato quest’anno un buon campionato,arrivando a podio 16 volte. In ogni gara il primo classificato conquista 10punti, il secondo 8 e il terzo 5, mentre dal quarto posto in poi non vengonoassegnati punti. Con quanti punteggi diversi puo aver concluso il campionato?(A) 153 (B) 80 (C) 78 (D) 75 (E) nessuna delle precedenti

173. [2015.9 ] Una pedina si trova inizialmente sulla casella centrale di una scac-chiera 5×5. Un passo della pedina consiste nello spostarsi in una casella sceltaa caso fra quelle che hanno esattamente un vertice in comune con la casellasu cui si trova. Qual e la probabilita che dopo 12 passi la pedina si trovi inuno qualunque degli angoli della scacchiera?

(A)1

3(B)

4

25(C)

1

6(D)

4

13(E)

1

4

174. [2015.11 ] Giovanni disegna a matita un 9-agono regolare e collega ciascuno deisuoi vertici al centro, tracciando un totale di 18 segmenti e ottenendo in questomodo nove triangoli. Ripassa quindi a penna alcuni dei segmenti tracciati,facendo in modo che alla fine ognuno dei nove triangoli abbia esattamente unlato ripassato a penna. In quanti modi Giovanni puo scegliere l’insieme deisegmenti da ripassare? (Nota: due insiemi di segmenti che si ottengano l’unodall’altro per rotazione o per simmetria sono da considerarsi distinti.)(A) 49 (B) 65 (C) 74 (D) 76 (E) 85

175. [2001.14 ] Qual e il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce che si devonoeffettuare per avere una probabilita superiore al 50% che la somma di tutti ipunteggi ottenuti sia maggiore od uguale a 48?

176. [2002.15 triennio] Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle nove caselle di unascacchiera 3 × 3, ogni intero in una casella diversa, in modo tale che ognicoppia di numeri consecutivi sia scritta in due caselle adiacenti (cioe aventi unlato in comune). Quanti sono i valori possibili del numero posto sulla casellacentrale?

177. [2003.12 triennio] Determinare il numero di quadruple di numeri interi (nonnecessariamente distinti) compresi fra 1 e 12 (estremi inclusi) che verificanotutte le seguenti condizioni:- la somma dei primi due numeri e pari- la somma dei primi tre numeri e multipla di 3- la somma dei quattro numeri e multipla di 4.(Due quadruple che differiscano anche solo per l’ordine degli addendi sono daconsiderarsi distinte).

178. [2003.13 triennio] Un dodecaedro e un solido regolare con 12 facce pentagonali.Una diagonale di un solido e un segmento che ha per estremi due vertici delsolido che non appartengono ad una stessa faccia. Quante sono le diagonalidel dodecaedro?


325. [1997.13 ] Tre amici possiedono ciascuno tre gettoni. Dopo ogni partita il vin-citore riceve un gettone da ognuno degli altri due amici. Qual e la probabilitache il gioco non si debba interrompere entro cinque partite poiche uno deigiocatori rimane senza gettoni?

(A)2

9(B)

1

6(C)

1

3(D)

1

2(E)

2

3

326. [1998.1 ] Ad una festa l’eta media e 31 anni, l’eta media degli uomini e 35 annie l’eta media delle donne e 25 anni. Qual e il rapporto fra il numero degliuomini e quello delle donne?

(A)5

7(B)

7

5(C)

4

3(D)

3

2(E) 2

327. [1998.3 ] La parte di nastro di un registratore avvolta su una bobina forma unacorona circolare. Sapendo che dopo venti minuti di funzionamento il raggiomaggiore della corona circolare e raddoppiato, quanto tempo dovra continuarea funzionare il registratore affinche il raggio maggiore raddoppi nuovamente?(Il nastro scorre con velocita costante).(A) 20 minuti (B) 40 minuti (C) un’ora (D) un’ora e 20 minuti(E) dipende dal raggio interno della corona circolare

328. [1998.5 ] Massimo sa che camminando impiega 24 minuti per andare da casasua alla stazione, mentre correndo ne impiega 12. Dovendo prendere un trenoalle 12:30, parte da casa per tempo alle 12:00 (camminando). Durante iltragitto pero si accorge di aver dimenticato il portafoglio. Immediatamentetorna a casa di corsa, e poi corre in stazione, dove arriva puntuale alle 12:30.A che ora si e reso conto di aver dimenticato il portafoglio?(A) 12:06 (B) 12:09 (C) 12:12 (D) 12:15 (E) i dati sono insufficienti

329. [1998.7 ] Tre amici partecipano a sei gare; chi vince la prima guadagna unpunto, chi vince la seconda due, e cosı via. Sapendo che ognuno dei treha vinto due gare, qual e la probabilita che tutti abbiano ottenuto lo stessopunteggio?

(A)1

3(B)

1

6(C)

1

9(D)

1

12(E)

1

15

330. [1999.1 ] Un teatro ha 960 posti, divisi nelle tre sezioni platea, palchi, galleria.In platea ci sono 370 poltrone, mentre il numero di posti in galleria e inferioredi 290 rispetto a quello dei palchi. Quanti sono i posti nei palchi?(A) 150 (B) 300 (C) 315 (D) 440 (E) nessuna delle precedenti

331. [1999.11 ] La professoressa Scappavia insegna matematica in una scuola in cuisi fanno 6 ore al giorno di lezione, dal lunedı al venerdı. Il suo orario settima-nale prevede 18 ore di insegnamento ed ella, per ragioni personali, gradirebbenon insegnare mai nell’ultima ora di lezione. La commissione che fa l’orarioconcede pero alla professoressa solo di scegliere la suddivisione giornaliera dellesue ore di lavoro, dopodiche il suo orario verra sorteggiato a caso. Quale delleseguenti disposizioni conviene scegliere alla professoressa per avere la maggiorprobabilita di non avere mai l’ultima ora di lezione?


319. [1996.4 ] Delle gabbie sono occupate da 100 piccioni, ciascuna gabbia contienealmeno un piccione e tutte ne contengono un numero diverso. Quante sono,al piu, le gabbie?(A) 13 (B) 14 (C) 10 (D) 8 (E) nessuna delle precedenti

320. [1996.12 ] Se si butta una moneta di diametro 2 cm su di una scacchiera 8× 8di lato 60 cm (in modo che il centro della moneta sia sulla scacchiera) qual ela probabilita che la moneta cada interamente in una casella della scacchiera?

(A)π

64(B)

64π

3600(C) ( 8

60)2 (D) (11

15)2 (E)

60

64

321. [1996.14 ] Ogni partito ha fatto le sue promesse: due partiti qualunque hannoalmeno una promessa in comune, due partiti diversi non hanno fatto esatta-mente le stesse promesse. Sapendo che le questioni sulle quali i partiti hannofatto le promesse sono in totale 5, qual e il numero massimo di partiti presenti?(A) 4 (B) 5 (C) 10 (D) 16 (E) 32

322. [1997.2 ] Un antiquario ha comprato una coppia di comodini per 1 milione emezzo. Ne vende uno ad Aldo e uno a Berto per un milione l’uno. VieneCarlo che li aveva visti in vetrina, ed e disposto ad acquistare la coppia per3 milioni e mezzo. L’antiquario riesce a riacquistare i comodini da Aldo eBerto, pagandoli 1 milione e mezzo l’uno e li rivende a Carlo. Alla fine deiconti l’antiquario:(A) ha perso mezzo milione (B) ha fatto pari(C) ha guadagnato mezzo milione (D) ha guadagnato un milione(E) nessuna delle precedenti

323. [1997.3 ] Una sbarra e costituita da un cilindro interno di acciaio di raggio1 cm rivestito da uno strato omogeneo di gomma leggera di spessore costan-te. Sapendo che invertendo i materiali il peso della sbarra non cambierebbe,determinare lo spessore del rivestimento.(A) 1 cm (B)

√2 cm (C) (√2 − 1) cm

(D) dipende dalla lunghezza della sbarra (E) nessuna delle precedenti

324. [1997.8 ] Fissiamo un punto O nell’interse-zione di due linee di un foglio a quadretti eindichiamo le quattro direzioni parallele allelinee come Nord, Sud, Est, Ovest (il Nordin alto). Muoviamoci, partendo da O di unquadretto verso Est, poi due verso Nord, treverso Ovest, quattro verso Sud, cinque versoEst e cosı via. Dopo 1997 passi, in che puntoci troviamo rispetto al punto iniziale O ?

O

(A) 1996 quadretti a Nord di O(B) 998 quadretti a Sud e 999 quadretti a Est di O(C) 999 quadretti a Ovest e 998 quadretti a Nord di O(D) 999 quadretti a Nord e 999 quadretti a Ovest di O(E) 998 quadretti a Est e 998 quadretti a Sud di O


179. [2003.15 triennio] Si vogliono regalare sette pacchi dono a sette bambini, unoa ciascuno. Si vuoi fare in modo che in ciascun pacco ci siano tre giochidiversi e che, comunque si scelgano due bambini, essi ricevano al piu un giocoin comune. Qual e il minimo numero di tipi di giochi distinti che e necessariousare?

180. [2014.14 ] Un cavallo e posto in una casella d’angolo di una scacchiera 3 × 3.Una mossa consiste nello spostare il cavallo in una casella raggiungibile me-diante due passi in orizzontale seguiti da un passo in verticale, o due passi inverticale seguiti da un passo in orizzontale. In quanti modi e possibile spo-starlo nella casella d’angolo opposta, con esattamente 12 mosse?

181. [2012.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVONormalmente Davide ha bisogno di dormire almeno 8 ore per notte. Se unanotte dorme k ore meno di quanto gli occorra, si ritrova ad aver bisogno dik ore in piu di sonno per le k notti successive. Ogni notte dorme comunqueun numero intero di ore minore o uguale al suo fabbisogno. Ad esempio, selunedı notte ha bisogno di 8 ore, ma ne dorme 7, martedı avra bisogno di 9ore. Se mercoledı ha bisogno di 8 ore, ma ne dorme 6, giovedı e venerdı avrabisogno di almeno 10 ore di sonno; se giovedı ne dorme solo 9, venerdı sentirala necessita di 11 ore (8, piu 2 per le ore perse mercoledı, piu 1 per quella nondormita giovedı).Un certo lunedı notte Davide avrebbe necessita di dormire 8 ore; lo stesso siverifica la notte del lunedı della settimana successiva. Nel corso della setti-mana ci sono state 7 ore in cui avrebbe avuto bisogno di dormire ma non l’hafatto: quante ore ha dormito come minimo Davide nelle sette notti che vannoda lunedı a domenica?

182. [2013.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia n un intero positivo. Una pulce si trova sulla retta reale ed effettua unasequenza di n salti di lunghezza 1,2,3, . . . , n. La pulce puo scegliere l’ordinedelle lunghezze dei salti e per ogni salto puo decidere se saltare verso destra osinistra.(a) Dimostrare che per n = 2012 la pulce puo terminare la sequenza di salti

nello stesso punto da cui era partita.(b) Dimostrare che per n = 2013 cio non e possibile.(c) In generale per quali n puo ritornare al punto di partenza?

183. [2014.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOUna griglia con m righe ed n colonne ha ogni casella colorata in bianco o innero in modo da rispettare le seguenti due condizioni:(a) ogni riga contiene tante caselle bianche quante nere;(b) se una riga incontra una colonna in una casella nera, allora quella riga e

quella colonna hanno lo stesso numero di caselle nere; allo stesso modo,se una riga interseca una colonna in una casella bianca, allora quella rigae quella colonna hanno lo stesso numero di caselle bianche.


Trovare tutte le possibili coppie (m,n) per cui puo esistere una siffatta colo-razione.

184. [2015.15 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOCamilla ha una scatola che contiene 2015 graffette. Ne prende un numeropositivo n e le mette sul banco di Federica, sfidandola al seguente gioco. Fe-derica ha a disposizione due tipi di mosse: puo togliere 3 graffette dal mucchioche ha sul proprio banco (se il mucchio contiene almeno 3 graffette), oppuretogliere meta delle graffette presenti (se il mucchio ne contiene un numeropari). Federica vince se, con una sequenza di mosse dei tipi sopra descritti,riesce a togliere tutte le graffette dal proprio banco.(a) Per quanti dei 2015 possibili valori di n Federica puo vincere?(b) Le ragazze cambiano le regole del gioco e decidono di assegnare la vittoria

a Federica nel caso riesca a lasciare sul banco una singola graffetta. Perquanti dei 2015 valori di n Federica puo vincere con le nuove regole?

Geometria

185. [1995.2 ] I tre cerchi della figura a fianco hanno raggiounitario e sono mutualmente tangenti. L’area dellaregione ombreggiata e uguale a:

(A)1

9(B)

π

6(C)

√3 −

π

2(D)

√3π

3(E)

√3

9

186. [1995.6 ] Nella figura a fianco le cifre rappresentanoil perimetro, in centimetri, del corrispondente ret-tangolo. Quanti centimetri e lungo il perimetro delquarto rettangolo?

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)3

2(E) 3 1

2

2

187. [1995.9 ] Si dica se l’insieme dei punti (x, y) del piano tali che x2−2∣x∣y+y2 ≤ 1 e:

(A) contenuto nel I e II quadrante(B) contenuto nel II e III quadrante(C) contenuto nel III e IV quadrante(D) contenuto nel I e IV quadrante(E) le risposte precedenti sono tutte errate

III

III IVx

y

188. [1995.11 ] Siano A e B due punti distinti dello spazio. Il luogo dei punti P chesono proiezioni di A su un piano passante per B e:(A) l’intero spazio (B) l’intero spazio privato del punto A (C) un piano(D) una circonferenza (E) una superficie sferica

189. [1995.13 ] In quale dei seguenti casi si puo affermare che il rapporto tra iperimetri di due poligoni P e Q e uguale al rapporto fra le aree?(A) in tutti i casi (B) solo se i due poligoni sono uguali(C) se P e Q si possono inscrivere in uno stesso cerchio


dicono sempre la verite), lupi mannari (che mentono sempre) e negroman-ti (che rispondono come vogliono). Tranne che per questi comportamenti imembri di ciascuna fazione sono completamente indistinguibili da quelli dellealtre. All’arrivo di un visitatore si dispongono in circolo e ciascuno dichiarache l’abitante alla sua destra e un lupo mannaro. Quale di queste frasi e ne-cessariamente vera?(A) C’e almeno un negromante. (B) I lupi mannari sono al piu 20.(C) I contadini sono al piu 30. (D) I negromanti non sono piu di 40.(E) Nessuna delle precedenti.

Matematizzazione313. [1995.7 ] Nel Gran Premio del Belgio del 1994 il tachimetro di Gerard Berger

al primo passaggio davanti ai box segnava la velocita di 320 chilometri all’ora.In quanti millesimi di secondo la macchina del ferrarista percorreva un metro?(A) meno di 2 (B) fra 2 e 5 (C) fra 5 e 10 (D) fra 10 e 20(E) fra 20 e 30

314. [1995.8 ] In una certa localita del Trentino, rilevazioni statistiche accurateconsentono di affermare che, mediamente, in ogni settimana vi sono 2 giorniin cui piove, 5 giorni in cui non piove. Inoltre, l’alternarsi di giorni in cui piovee di quelli in cui non piove e completamente casuale. Qual e la probabilitache, in una data settimana, non piova ne il sabato ne la domenica?

(A)2

7(B)

5

14(C)

10

21(D)

25

49(E)

3

5315. [1995.12 ] Per quanto tempo nell’arco delle 24 ore le lancette dell’orologio

formano un angolo minore o uguale a 45?(A) 1 ora (B) 2 ore (C) 3 ore (D) 4 ore (E) 6 ore

316. [1995.14 ] Un tale ha un garage nel giardino che ha la forma di un parallele-pipedo rettangolo. Decide di ampliarlo aumentando del 10% sia la lunghezza,che la larghezza, che l’altezza. Alla fine dei lavori l’aumento percentuale involume del garage e:(A) 10% (B) 30% (C) 1000% (D) 33,1% (E) nessuno dei precedenti

317. [1996.1 ] r ragazzi tirano 3 frecce ciascuno su b bersagli diversi, colpendolisempre. Alla fine ogni bersaglio risulta colpito da 2 frecce. Cosa si puoconcludere?(A) ci sono piu ragazzi che bersagli (B) questa situazione non e possibile(C) il numero dei ragazzi e pari (D) il numero dei bersagli e dispari(E) non e possibile determinare il rapporto tra il numero dei ragazzi e ilnumero dei bersagli

318. [1996.3 ] In un campione formato da tanti uomini quante donne e risultato cheil 15% delle persone soffre di emicrania e le donne colpite sono il quadruplodegli uomini. Determinare la percentuale delle donne colpite.(A) 12% (B) 18% (C) 24% (D) 60% (E) nessuna delle precedenti


308. [2010.3 ] In un’isola ci sono due tipi di abitanti: i cavalieri, che dicono sempre laverita, e i furfanti, che mentono sempre. Abbiamo incontrato su quest’isola ungruppo di quattro abitanti che, interrogati sulla loro identita, hanno risposto:A: “C’e almeno un furfante tra noi.”B: “Ci sono al massimo due cavalieri tra noi.”C: “Ci sono almeno tre furfanti tra noi.”D: “Non ci sono cavalieri tra noi.”Quanti cavalieri ci sono in questo insieme di abitanti?(A) nessuno (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) tutti

309. [2011.2 ] Nel bosco dell’albero viola ci sono tre tipi di animali in grado di par-lare: volpi, serpenti e tartarughe. Le prime mentono solo i giorni di pioggia,i secondi mentono sempre, le terze dicono sempre la verita. Un giorno l’e-sploratore Berny parla con quattro animali. Le loro affermazioni, riportatenell’ordine in cui sono state dette, sono:A: ”Oggi piove.”B: ”L’animale che ha parlato prima di me mente.”C: ”Oggi e sereno.”D: ”Quello che ha parlato prima di me mente o io sono una volpe.”Con quante tartarughe al massimo ha parlato Berny?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) non e possibile determinarlo

310. [2012.6 ] Dopo una gara fra cinque cavalli, cinque amici si incontrano e parlanodei risultati. Si sa che ognuno di loro ha puntato su un cavallo diverso, eche mentono entrambe le persone che hanno puntato sul primo e sull’ultimoclassificato; le altre dicono la verita. Le loro affermazioni sono le seguenti:Alex: ”Il cavallo su cui ha puntato Igor ha distanziato di almeno due posizioniil cavallo di Enrica.”Enrica: ”Il cavallo su cui ho puntato io ha vinto.”Igor: ”Il cavallo su cui ha puntato Osvaldo ha superato il mio.”Osvaldo: ”Il cavallo su cui ho puntato non e arrivato fra i primi tre.”Umberto: ”Il mio cavallo non ha vinto ma e arrivato subito dopo quello diAlex e subito prima di quello di Enrica.”Chi ha puntato sul cavallo classificatosi terzo?(A) Alex (B) Igor (C) Osvaldo (D) Umberto(E) non e possibile determinarlo

311. [2013.2 ] Nell’isola dei Cavalieri (che dicono sempre la verita) e dei Furfanti(che mentono sempre) viene effettuato un sondaggio fra i 2013 abitanti, in cuici sono tre domande: “Tifi per la squadra A?”, “Tifi per la squadra B?” e“Tifi per la squadra C?”. Sappiamo che ogni isolano risponde a tutte e tre ledomande e tifa per una e una sola delle tre squadre. Se le risposte “Sı” sonoin totale 3000, quanti degli isolani sono Cavalieri?(A) 987 (B) 1023 (C) 1026 (D) 2013(E) non si puo determinare con i dati forniti

312. [2014.2 ] I 60 abitanti di un villaggio possono essere di tre tipi: contadini (che


(D) se P e Q si possono circoscrivere a uno stesso cerchio(E) se P e Q sono simili

190. [1995.15 ] Sia ABC un triangolo inscritto in una data circonferenza. Se A eB sono fissati, qual e il luogo descritto dall’incentro I di ABC al variare di Csulla circonferenza?(A) un segmento (B) una circonferenza (C) un arco d circonferenza(D) due archi di due circonferenze distinte (E) nessuna delle precedenti

191. [1996.2 ] Nel triangolo ABC rettangolo inC (vedi figura), dati OA = 15 e OB = 20trovare il raggio della circonferenza, dicentro O che e tangente ad entrambi i ca-teti.(A) r = 12 (B) r = 4√5 (C) r = 5√3(D) r = 10 (E) nessuno dei precedenti A B

C

b

O

192. [1996.6 ] Calcolare l’area della figura tratteggiatasapendo che la circonferenza esterna e i 4 archiall’interno hanno raggio R.

(A) R2 (4 − π√2

2) (B) 2R2 (2 − π (2 −√2))

(C) πR2 (2 −√2) (D) R2 (4 − π)(E) 4R2 (π −√2)

193. [1996.10 ] In un triangolo ABC l’altezza AH supera la base BC. Allora:(A) il triangolo e acutangolo (B) il perimetro supera 3BC

(C) l’area supera BC2 (D) il triangolo non e acutangolo(E) nessuna delle precedenti

194. [1996.15 ] Una piramide retta ha per base un esagono regolare e l’apotema dellapiramide e 3/2 del lato di base (l’apotema e l’altezza di una faccia laterale).L’angolo diedro formato dai piani su cui giacciono 2 facce laterali non adiacentie non opposte e(A) 30 (B) 60 (C) 90 (D) 120 (E) non si puo calcolare

195. [1997.1 ] Vi sono cinque sagome di cartoncino identiche che sono bianche da unlato e nere dall’altro lato. Poste su un tavolo esse si trovano nelle posizioni infigura, quattro mostrano la faccia nera e una quella bianca. Qual e la sagomabianca?

(A) (B) (C) (D) (E)


196. [1997.6 ] Una sfera di raggior = 15 cm e appoggiata su duebinari distanti fra loro 24 cmcome in figura. Se la sferafa una rotazione completa, diquanto avanza sui binari?(A) 24 cm(B) 30 cm(C) 15π cm(D) 18π cm(E) 30π cm

24 cm

O

r=15 cm

197. [1997.11 ] Nella figura a fianco il raggio dei cerchipiccoli e 1. Quanto vale l’area della figura tratteg-giata?

(A)π

4(B)

√3

2(C)

5

6π −√3 (D)

π


198. [1997.14 ] Sia dato un quadrato ABCD di lato unitario e siano M , N duepunti rispettivamente sui lati AB e AD tali che AM = AN . Quanto puovalere, al massimo, l’area del quadrilatero CDNM?

(A)1

2(B)

9

16(C)

19

32(D)

5

8(E)

2

3

199. [1998.4 ] In un bicchiere da cocktail di forma conica c’e unaciliegina di forma sferica e del liquore che ricopre esattamentela ciliegina, come in figura. Sapendo che il raggio della cilieginae 1 cm e che l’altezza del liquore e 6 cm, calcolare la quantitadi liquore.

(A)2π

3cm3 (B) π cm3 (C)

5π

3cm3 (D) 2π cm3

(E) i dati sono insufficienti

200. [1998.9 ] Dato un cubo C, quanti sono i triangoli che hanno per vertici trevertici di C e che non giacciono su nessuna delle facce di C?(A) 12 (B) 24 (C) 32 (D) 56 (E) 112

201. [1998.10 ] Dato un triangolo ABC, siano A′ il simmetrico di A rispetto a B,B′ il simmetrico di B rispetto a C e C ′ il simmetrico di C rispetto ad A.Quanto vale l’area di A′B′C ′?(A) 3 volte l’area di ABC (B) 4 volte l’area di ABC

(C) 5 volte l’area di ABC (D) 6 volte l’area di ABC

(E) 7 volte l’area di ABC


Manuela non ha un cane, ma ha un gatto.

Quante di esse, al massimo, possono essere false contemporaneamente?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

304. [2006.4 ] Gli abitanti di un’isola sono o furfanti o cavalieri: i cavalieri diconosempre la verita, i furfanti mentono sempre. Una sera al bar, Alberto dice:“Bruno e un cavaliere”; Bruno dice: “. . . . . . tutti e tre cavalieri” (in quelmomento passa un camion e non si capisce se Bruno ha detto “Siamo tutti

. . . ” o “Non siamo tutti . . . ”); Carlo dice: “Bruno ha detto che non siamo

tutti e tre cavalieri”. Quanti di loro sono cavalieri?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) non e possibile determinarlo

305. [2008.6 ] Sull’isola che non c’e ci sono 2008 abitanti, divisi in tre clan: i furfantiche mentono sempre, i cavalieri che non mentono mai, i paggi che mentono ungiorno sı e uno no. Lorenza, in visita per due giorni, li incontra tutti il primogiorno. Il primo dice: “c’e esattamente un furfante sull’isola”; il secondo dice:“ci sono esattamente due furfanti sull’isola” . . . il 2008-esimo dice: “ci sonoesattamente 2008 furfanti sull’isola”. Il giorno dopo Lorenza li interroga dinuovo tutti nello stesso ordine. Il primo dice: “c’e esattamente un cavalieresull’isola”; il secondo dice: “ci sono esattamente due cavalieri sull’isola” . . .

l’ultimo dice: “ci sono esattamente 2008 cavalieri sull’isola”. Quanti paggi cisono sull’isola?(A) 0 (B) 1 (C) 1004 (D) 2006(E) non e possibile determinarlo con i dati del problema

306. [2009.4 ] A un tavolo, vi sono quattro persone: Luca, Maria, Nicola e Paola.Ognuno dei quattro mente sempre, oppure non mente mai. Inoltre non amanoparlare di loro stessi, ma piuttosto dei loro amici; tant’e che quando gli vienechiesto chi di loro menta sempre,le loro risposte sono:Luca: “ogni ragazza e sempre sincera”Maria: “ogni ragazzo e sempre bugiardo”Nicola: “c’e una ragazza che mente sempre,l’altra e sempre sincera”Paola: “uno dei ragazzi e sempre sincero, l’altro mai”.Sapreste dire quanti al tavolo sono sempre sinceri?(A) nessuno (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) tutti

307. [2009.11 ] Nell’isola Chenonc’e ci sono 2009 abitanti, divisi in tre clan: i furfan-ti che mentono sempre, i cavalieri che non mentono mai, i paggi che mentonoun giorno sı e uno no, in modo indipendente l’uno dall’altro. Un giorno chiedoa ciascuno degli abitanti quanti furfanti sono sull’isola. Il primo dice: “c’ealmeno 1 furfante”; il secondo dice: “ci sono almeno 2 furfanti” . . . il 2009-esimo dice: “ci sono almeno 2009 furfanti”. Scrivo in una lista la successionedelle 2009 risposte, nell’ordine in cui sono state pronunciate. Il giorno dopointerrogo allo stesso modo tutti gli abitanti (non necessariamente nello stessoordine), ed ottengo una lista delle risposte identica a quella del giorno prece-dente. Sapendo che c’e un solo cavaliere sull’isola, quanti paggi ci sono?(A) nessuno (B) 670 (C) 1004 (D) 1338 (E) 1339


Bianchi, che e assente, e un cavaliere, ottenendo risposta affermativa sia dallasig.ra Bianchi che da entrambi i coniugi Allegri. Che cosa potete concludereriguardo al signor Bianchi?(A) il sig. Bianchi e un cavaliere(B) il sig. Bianchi e un furfante(C) il sig. Bianchi e normale(D) e impossibile che le risposte date siano quelle riportate(E) non potete concludere nulla

299. [2003.1 triennio] Nel paese di Oz, oltre alle persone normali (che possonomentire oppure dire la verita), vivono cavalieri (che dicono sempre la verita) efurfanti (che mentono sempre). Una strana legge impone che in ogni matrimo-nio i coniugi siano o entrambi normali, oppure uno cavaliere e l’altro furfante.Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi, chiedete se ilsig. Bianchi, che e assente, e un cavaliere, ottenendo risposta affermativa siadalla sig.ra Bianchi che da entrambi i coniugi Allegri. Di quanti coniugi potetedeterminare il tipo?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

300. [2004.3 biennio] Quest’anno Alberto ha provato a imparare francese, inglesee tedesco. Sapendo che(i) se sa il tedesco, allora sa anche francese e inglese;(ii) se sa il francese, allora sa anche un’altra lingua tra inglese e tedesco;(iii) se sa l’inglese, allora sa il tedesco ma non il francese;quante di tali lingue sa Alberto?(A) nessuna (B) una (C) due (D) tre (E) non si puo determinarlo

301. [2004.2 triennio] Il professor Bianchi non dice mai bugie, tranne un giornodella settimana (sempre lo stesso) in cui mente sempre. Quanti sono i giornidella settimana in cui puo aver affermato: “se non ho detto bugie ieri ne diro

certamente domani”?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

302. [2005.3 ] Cinque amici fanno, rispettivamente, le seguenti affermazioni.“Comunque si scelga uno di noi, gli altri 4 mentono”.“Comunque si scelga uno di noi, gli altri 4 dicono il vero”.“Comunque si scelga uno di noi, ce n’e un altro che dice il vero”.“C’e uno di noi tale che ogni altro dice il vero”.“C’e uno di noi tale che ogni altro mente”.Quale delle seguenti affermazioni puo essere dedotta dalle precedenti?(A) Esattamente 1 dice il vero. (B) Esattamente 2 dicono il vero.(C) Esattamente 3 dicono il vero. (D) Esattamente 4 dicono il vero.(E) Non e possibile determinare il numero di coloro che dicono il vero.

303. [2006.2 ] Consideriamo le quattro affermazioni seguenti:Manuela ha un cane e un gatto.

Manuela non ha ne un cane ne un gatto.

Se Manuela ha un cane, allora ha anche un gatto.


202. [1998.13 ] Un prisma retto di altezza l e avente per base un esagono regolaredi lato l viene tagliato con un piano passante per due spigoli paralleli appar-tenenti ciascuno ad una delle due basi, ma non appartenenti alla stessa faccialaterale. L’area della sezione risultante e:(A) l2 (B)

√3l2 (C) 2l2 (D) 3l2 (E) 2

√3l2

203. [1998.14 ] Tre circonferenze CR, Cx, Cr di raggio rispettivamente uguale a R,x, r, hanno i centri allineati. Si sa che CR e Cr sono tangenti esternamente aCx e che le tre circonferenze hanno due tangenti esterne in comune (come infigura). Noti r, R, quanto vale x?

(A)R + r

2(B)

√Rr (C)

√R2+ r2

(D)1

1/r + 1/R (E) nessuna delle precedenti

204. [1999.3 ] Determinare l’area della parte di piano definita da x2+ y2 − 4y ≤ 0

x2− 3x + 2 ≤ 0 .

(A)2π

3− 2 (B) π −

√3 (C)

π

3−

√3

2(D)

4π

3−

√3


205. [1999.4 ] Un cilindro retto X ed un cono retto Y hanno lo stesso raggio di basee la stessa altezza. Allora il rapporto fra le superfici laterali di X e Y :(A) e sempre uguale al rapporto dei loro volumi(B) puo essere uguale al rapporto dei loro volumi (dipende dalle altezze)(C) e sempre i 2/3 del rapporto dei loro volumi(D) e sempre maggiore del rapporto dei loro volumi(E) e sempre minore del rapporto dei loro volumi

206. [1999.6 ] Determinare l’area della parte ombreggiata,sapendo che la circonferenza piu grande ha raggio 1.(A) (2 + π)(1 +√2) (B) (2 + π)(2 −√2)(C) (4 − π)(1 +√2) (D) (4 − π)(3 − 2√2)(E) (√2 + π)(1 + 2√2)

207. [1999.10 ] In un trapezio isoscele, una diagonale e lunga 22 cm; si sa inoltreche tale diagonale forma con la base maggiore un angolo di 45. Quanto valel’area del trapezio?(A) 121 cm2 (B) 242 cm2 (C) 484 cm2 (D) i dati sono insufficienti(E) nessuna delle precedenti

208. [2000.1 ] Un parallelepipedo retto ha spigoli di lunghezza a, b, c, con a < b < c.Se la lunghezza di uno degli spigoli viene aumentata di una quantita q, allorail volume del parallelepipedo aumenta. In quale dei seguenti casi si ha ilmassimo incremento di volume?(A) quando viene aumentato a (B) quando viene aumentato b

(C) quando viene aumentato c (D) l’incremento e lo stesso in ogni caso(E) dipende dai particolari valori di a, b, c


209. [2000.2 ] Sia A l’area del sottoinsieme del piano costituito dai punti (x, y) cheverificano le due relazioni x2

+ y2 ≤ 100, πx +√17y ≤ 0. Allora:(A) A < 100 (B) 100 ≤ A < 150 (C) 150 ≤ A < 200 (D) 200 ≤ A < 250(E) A ≥ 250

210. [2000.6 ] Un fiume e attraversato da due ponti TS e VM ;le due rive TV e SM sono due archi di circonferenzaconcentrici; i due ponti TS e VM sono allineati con ilcentro (si veda la figura). Una persona vuole arrivare inV partendo da T scegliendo il percorso piu breve tra idue possibili:(1) seguire il fiume lungo l’arco di circonferenza TV

(2) attraversare il ponte TS, seguire il fiume lungol’altra sponda (SM) e attraversare il ponte MV O

M

V

S

T

α

Indichiamo con α l’angolo sotteso dai due archi di circonferenza, con R la lun-ghezza di OT e con r la lunghezza di OS. Su quali dati la persona devenecessariamente avere un’informazione per effettuare la scelta migliore?(A) su R, r e α (B) su α e su R − r (C) solo su α (D) solo su R − r

(E) il primo percorso e piu breve in ogni caso

211. [2000.10 ] La tela di un dipinto rettangolare e circondata da un passepartout(cioe un riquadro) largo 10 cm. Attorno a quest’ultimo vi e poi una cornice,anch’essa larga 10 cm (nella figura, il rettangolo bianco rappresenta la tela,la superficie tratteggiata il passepartout, la superficie nera la cornice). Si sache l’area dell’intero quadro (compresa la cornice) e uguale al doppio dellasomma di quelle del passepartout e della tela. Si puo allora concludere che:(A) sono determinate sia l’area della cornice che

quelle del passepartout e della tela(B) e determinata solo l’area della cornice(C) e determinata solo l’area del passepartout(D) e determinata solo l’area della tela(E) non e determinata nessuna delle grandezze

precedenti

212. [2001.3 ] Nel triangolo rettangolo isoscele disegnato afianco, ogni lato e stato diviso in cinque parti uguali.Determinare l’area in cm2 della regione evidenziata ingrigio sapendo che ciascun cateto e lungo 50 cm.(A) 9 (B) 50 (C) 90 (D) 18

√26


213. [2001.4 ] Sia P1 un esagono regolare. Sia P2 il nuovo esagono ottenuto con-giungendo i punti medi dei lati consecutivi di P1. Allo stesso modo si procedaa partire da P2 ottenendo un nuovo esagono P3. Quanto vale il rapporto tral’area di P3 e quella di P1?

(A)1

4(B)

7

16(C)

9

16(D)

3

4(E) nessuno dei precedenti


(A) Andrea e piu giovane di Bruno, che e piu forte di Carlo.(B) Andrea e piu forte di Bruno, che e piu giovane di Carlo.(C) Bruno e piu vecchio di Andrea.(D) Bruno e piu debole di Andrea.(E) Bruno e piu vecchio e piu debole di Carlo.

294. [1999.5 ] Una delle seguenti persone e “zio del fratello della figlia della nuoradel padre di Alberto”. Si tratta di:(A) Alberto stesso (B) suo padre (C) suo nonno (D) suo figlio(E) suo suocero

295. [2000.7 ] Nel registrare le dichiarazioni dei tre imputati ad un processo, ilcancelliere e stato piuttosto trascurato, e dal verbale risulta quanto segue:Carlo: il colpevole e . . . ario.Dario: il colpevole e Dario.Mario: il colpevole e . . . ario.Sapendo che il colpevole ha mentito e almeno uno degli innocenti ha detto laverita, che cosa si puo concludere?(A) il colpevole e Dario (B) non si puo determinare il colpevole(C) Carlo ha accusato Dario (D) Mario ha accusato Dario(E) Mario ha accusato Mario

296. [2001.5 ] Tre ragazzi dicono, rispettivamente: “I nostri nomi sono Andrea,

Bruno, Carlo”; “I nostri nomi sono Andrea, Carlo, Daniele”; “I nostri nomi

sono Bruno, Daniele, Enrico”. Sapendo che ciascuno di loro ha detto un nomesbagliato e due giusti, come si chiamano i tre?(A) Andrea, Carlo, Enrico (B) Andrea, Bruno, Daniele(C) Bruno, Daniele, Enrico (D) Bruno, Carlo, Daniele(E) i dati sono insufficienti per rispondere

297. [2002.3 triennio] E noto che i Marziani maschi dicono sempre la verita, mentrele Marziane mentono sempre; al contrario i Venusiani maschi mentono e leVenusiane dicono sempre il vero. Atterra un’astronave piena di Marziani eVenusiani; all’ufficio immigrazione due degli occupanti, Ark e Bark, fanno leseguenti dichiarazioni: Ark: “Bark e di Venere”. Bark: “Ark e di Marte”. Ark:“Bark e maschio”. Bark: “Ark e femmina”. Sulla base di tali dichiarazionil’impiegato puo determinare:(A) pianeta e sesso di Ark, ma non di Bark(B) pianeta e sesso di Bark, ma non di Ark(C) solo il pianeta di entrambi (ma non il sesso)(D) solo il sesso di entrambi (ma non il pianeta)(E) pianeta e sesso di entrambi

298. [2003.2 biennio] Nel paese di Oz, oltre alle persone normali (che possonomentire oppure dire la verita), vivono cavalieri (che dicono sempre la verita) efurfanti (che mentono sempre). Una strana legge impone che in ogni matrimo-nio i coniugi siano o entrambi normali, oppure uno cavaliere e l’altro furfante.Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi, chiedete se il sig.


da A, B. Siano A′ il punto medio di AD, B′ il punto medio di BE. CA′

interseca BE in X, CB′ interseca AD in Y .Dimostrare che esiste una circonferenza passante per i punti A′,B′,X,Y .

288. [2012.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABC un triangolo acutangolo; sia O il suo circocentro e siano P , Q ipunti (diversi da A) in cui rispettivamente l’altezza uscente dal vertice A e ilprolungamento di AO incontrano la circonferenza circoscritta ad ABC.a) Si dimostri che gli angoli BAP e QAC sono congruenti.b) Si dimostri che i triangoli BCP e CBQ sono congruenti.c) Si dimostri che, detti M e N i punti medi di AB e AC, l’area del

quadrilatero ABPC vale quattro volte l’area del quadrilatero AMON .

289. [2013.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABCD un trapezio che non sia un parallelogramma. Siano P il puntod’incontro delle diagonali e Q il punto di intersezione dei prolungamenti deilati obliqui.(a) Si tracci la parallela alle basi passante per il punto P e siano X e Y i

punti di incontro di essa con i lati obliqui: si dimostri che XP = Y P .(b) Si dimostri che la retta PQ interseca la base minore nel suo punto medio.

290. [2014.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABC un triangolo acutangolo. Siano AM , BN e CL le mediane, che siintersecano nel baricentro G. Siano M ′, N ′ e L′ i punti medi di AG, BG eCG, rispettivamente. Mostrare che i sei punti M , M ′, N , N ′, L, L′ giaccionosu una circonferenza se e solo se ABC e equilatero.

291. [2015.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABCD un quadrilatero convesso tale che AB = AC = AD e BC <CD. La bisettrice dell’angolo BAD interseca internamente CD in M e ilprolungamento di BC in N . Dimostrare che(a) il quadrilatero ABCM e inscrittibile in una circonferenza;(b) i triangoli ANB e ABM sono simili.

Logica

292. [1996.9 ] Un pomeriggio tre amici X, Y, Z sono incerti se andare al cinema oin discoteca. Z decide che andra al cinema se e solo se gli altri due saranno indisaccordo (cioe se e solo se uno dei due andra al cinema e l’altro in discoteca).Sapendo che ciascuno dei tre andra o al cinema o in discoteca (ma non inentrambi i posti), si puo concludere che:(A) X e Z non andranno nello stesso posto(B) i tre non passeranno il pomeriggio insieme(C) puo capitare che tutti e tre vadano al cinema(D) X andra al cinema se e solo se gli altri due andranno nello stesso posto(E) Y andra in discoteca se e solo se gli altri due andranno nello stesso posto

293. [1998.12 ] Una, ed una sola, delle seguenti affermazioni e falsa. Quale?


214. [2001.7 ] Siano A e B due punti nello spazio. L’insieme dei punti dello spaziola cui distanza da B e doppia di quella da A e(A) un piano (B) una circonferenza (C) una superficie sferica(D) la superficie laterale di un cono (E) la superficie laterale di un cilindro

215. [2002.7 biennio] Sia ABC un triangolo isoscele tale che BAC = 120 e AB =AC = 1. Quanto misura il raggio del cerchio circoscritto?

(A) 2 (B)

√3

2(C)

√2

2(D) 1 (E) nessuna delle precedenti

216. [2002.5 triennio] Una capra (indicata in figura conΠα) e legata a un punto A con una corda lunga 6metri come mostrato nella figura (vista dall’alto).Il segmento AB rappresenta una staccionata lunga4 metri oltre la quale la capra non puo saltare. Ilquadrato rappresenta un edificio di lato 2 metriall’interno del quale la capra non puo entrare (e sulquale non puo salire). Determinare la piu grandearea (in m2) che la capra puo brucare.

B A

Πα

(A) 16π (B) 16π + 4 (C) 20π − 4 (D) 18π (E) non si puo determinare

217. [2002.7 triennio] Quale dei seguenti disegni rappresenta lo sviluppo di un cuboe di una sezione piana dello stesso?

(A) (B) (C) (D) (E)

218. [2002.10 triennio] Nella figura a fianco si hannotre semicerchi concentrici. Le aree di tutti i settorisono uguali all’area del semicerchio centrale. Quale il rapporto tra raggio del semicerchio piu grandee quello del semicerchio intermedio?

(A)4

3(B)

3

2(C)

5

3(D) 2

(E) dipende dal raggio del cerchio piu piccolo

219. [2003.3 biennio] Tre circonferenze passano per l’origine. Ilcentro della prima circonferenza sta nel primo quadrante,il centro della seconda sta nel secondo quadrante, il centrodella terza sta nel terzo quadrante. Se P e un punto internoalle tre circonferenze, allora

III

III IV

(A) P sta nel secondo quadrante (B) P sta nel primo o nel terzo quadrante(C) P sta nel quarto quadrante (D) non puo esistere un punto P siffatto


(E) non si puo dire nulla

220. [2003.4 biennio] Quanto misura il raggio della cir-conferenza piccola nella figura a fianco, se il lato del

quadrato e lungo 1? (A) 3−2√2 (B)

1

4(C)

√2

4

(D)

√2 − 1

2(E) 4 − 3

√2

221. [2003.5 triennio] Un punto interno ad un triangolo equilatero dista 5, 7, 8 daitre lati. Quanto vale il lato del triangolo?(A) i dati non sono sufficienti (B) la configurazione data non puo esistere

(C) il lato vale 20 (D) il lato vale 14√3 (E) il lato vale

40

3

√3

222. [2003.6 triennio] Una stella a 6 punte viene disegnatacostruendo sui lati di un esagono regolare sei triangoliisosceli con angolo al vertice di 30 gradi. Sapendo chela circonferenza che passa per le punte della stella haraggio 1, calcolare l’area della stella stessa.

(A)√3 (B)

3(√3 − 1)2

(C)3(√3 + 1)

2

(D)3(√3 − 2)


223. [2003.7 triennio] In un quadrato ABCD di lato 2, unsegmento MN di lunghezza 1 e vincolato ad avere l’e-stremo M sul lato AB e l’estremo N sul lato BC. Talesegmento divide il quadrato in un triangolo T e un pen-tagono P . Qual e il valore massimo che puo assumereil rapporto tra l’area di T e quella di P ?

(A)1

4(B)

2

5(C)

1

7(D)

2

15(E)

1

15A

B C

D

MT

P

224. [2003.8 triennio] Sia R la regione finita del piano che e delimitata dall’asse x

e dal grafico della curva di equazione 2x2+5y = 10. Dati tre punti di R, quale

delle seguenti affermazioni e sempre vera?(A) Almeno due dei tre punti hanno distanza ≥√5/2.(B) Almeno due dei tre punti hanno distanza ≤ 3.(C) La somma delle distanze fra i punti e ≤ 9√5/2.(D) La somma dei quadrati delle distanze fra i punti e ≤ 38.(E) Il prodotto delle distanze tra i punti e ≤ 16√5.

225. [2003.10 triennio] Da un punto S esterno ad una circonferenza γ di raggio 1si tracci una retta tangente a γ e si indichi con T il punto di tangenza. Alvariare di un punto P su γ, il baricentro del triangolo PST descrive una curvaγ′. Qual e il rapporto tra la lunghezza di γ′ e quella di γ ?

(A)1

π(B)

1

2(C)

1

3(D)

4

3π (E) dipende dalla posizione di S


280. [2004.17 triennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABCD un rombo, E un punto qualunque sulla sua diagonale AC. Sia F

il punto del segmento BC tale che BF =DE. Provare che(AB +BF ) ⋅ FC = AE ⋅EC.

281. [2005.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABC un triangolo rettangolo in A, con AB > AC; sia AH l’altezza relativaall’ipotenusa. Sulla retta BC si prenda D tale che H sia punto medio di BD;sia poi E il piede della perpendicolare condotta da C ad AD. Dimostrare cheEH = AH.

282. [2006.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABCD un quadrilatero; chiamiamo E l’intersezione (distinta da A) tra lecirconferenze di diametri AB e AC ed F l’intersezione (sempre distinta da A)tra le circonferenze di diametri AC e AD. Dimostrare che:(a) se EAD = 90 allora BC e parallelo a AD;(b) se EAD = FAB = 90 allora ABCD e un parallelogramma;(c) se ABCD e un parallelogramma allora EAD = FAB = 90.

283. [2007.18 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOE data una circonferenza di diametro AB e centro O. Sia C un punto sullacirconferenza (diverso da A e da B), e si tracci la retta r parallela ad AC

per O. Sia D l’intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di Crispetto ad AB.

i) Dimostrare che DO e bisettrice di CDB.ii) Dimostrare che il triangolo CDB e simile al triangolo AOD.

284. [2008.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia AB una corda di una circonferenza e P un punto interno ad AB taleche AP = 2PB. Sia DE la corda passante per P e perpendicolare ad AB.Dimostrare che il punto medio Q di AP e l’ortocentro di ADE.

285. [2009.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOE dato un triangolo ABC, rettangolo in A e con AC cateto maggiore; sia M

il punto medio di BC, N il simmetrico di A rispetto a BC, O l’intersezionefra la perpendicolare ad MN passante per N e la retta contenente BC.a) Dimostrare che l’angolo OMN e il doppio dell’angolo ACB.b) Dimostrare che il rapporto fra le aree di MNO e ABC vale un quarto

del rapporto fra le lunghezze di BC e HM , dove H e il piede dell’altezzarelativa all’ipotenusa di ABC.

286. [2010.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOE dato un triangolo acutangolo isoscele ABC di base AC. All’interno di taletriangolo sono dati un punto M , dalla parte di C rispetto all’asse di AC etale che CMA = 2CBA, e un punto N all’interno del segmento AM tale cheBNM = CBA. Dimostrare che CBN = BAM e che CM +MN = BN .

287. [2011.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABC un triangolo acutangolo, e siano D, E i piedi delle altezze uscenti


(1) AC2 > AB2+BC2

(2) ABC e un triangolo ottusangolo(3) l’ortocentro e esterno a ABC

(4) il circocentro e esterno a ABC

273. [1997.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOIn un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC, CD sono uguali. InoltreAC = BD = AD. Quanto misura l’angolo in D ?

274. [1998.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODato il triangolo ABC con CAB − ABC = 90, detti M il punto medio diAB e H il piede dell’altezza relativa ad AB, dimostrare che il raggio dellacirconferenza circoscritta ad ABC e uguale ad HM .

275. [1999.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVODimostrare che un pentagono inscritto in una circonferenza e tale che ogni suadiagonale sia parallela ad un lato, e necessariamente regolare.

276. [2000.17 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSi scelgano i punti H, K, M sui lati di un triangolo ABC in modo tale cheAH sia un’altezza, BK sia una bisettrice e CM sia una mediana. Si indichicon D l’intersezione tra AH e BK, e con E l’intersezione tra HM e BK.Sapendo che KD = 2, DE = 1, EB = 3:(i) si dimostri che HM e parallelo ad AC;(ii) si dimostri che AB = AC;(iii) si dimostri che AB = BC.

277. [2001.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABC un triangolo tale che l’angolo ACB = 60. Sia M il punto mediodel lato AB e siano H e K i piedi delle altezze che partono da B e da A

rispettivamente. Dimostrare che il triangolo HMK e equilatero.

278. [2002.16 triennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia dato un triangolo ABC. Si indichino con M ed N i punti medi rispetti-vamente dei lati AC e BC. Siano inoltre S e T rispettivamente punti sui lati

AC e BC tali che AS = 1

3AC, BT = 1

3BC. Dimostrare che le bisettrici degli

angoli AST e BTS si incontrano in un punto P del lato AB se e solo se ilquadrilatero AMNB e circoscrivibile ad una circonferenza.

279. [2003.17 triennio] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOa) Si dimostri che se in un triangolo vi sono due altezze di ugual altezza,

allora il triangolo e isoscele.b) Si dimostri che se in un triangolo vi sono due mediane di ugual altezza,

allora il triangolo e isoscele.c) Sui lati AB e AC di un triangolo ABC si scelgano due punti M , N

in modo che AM ∶ AB = AN ∶ AC e si suppponga che BN = CM ; sidimostri che ABC e isoscele.


226. [2004.4 biennio] Calcolare l’area dell’intersezione di tre cerchi aventi comerispettivi diametri i tre lati di un triangolo rettangolo isoscele con i cateti dilunghezza unitaria.

(A)π − 2

8(B) π − 3 (C)

2π − 5

8(D)

π − 1

16(E)

2π − 3

16

227. [2004.10 biennio] Una lampada, che si suppone puntiforme, e collocata in unpunto V . Essa proietta su un piano a situato a 2 metri da V un fascio diluce avente la forma di cono circolare con asse perpendicolare ad a, le cuigeneratrici formano un angolo di 30 con l’asse del cono. Sul piano a, alcentro della base del cono, viene posto un cubo di cartone, con lo spigolo di 1metro. Si chiede quale sia l’area complessivamente illuminata dalla lampada(sul piano a e sulla faccia superiore del cubo), espressa in m2.

(A)2√3−

π

9(B)

4π

3− 3 (C)

π

9−

1√3

(D) π −√3 (E)

4π

9−

1

2√3

228. [2004.1 triennio] Sia B un punto interno al segmento AC con AB di lun-ghezza 2 e BC di lunghezza 3. Costruiti i triangoli equilateri ABA′ e CBC ′,dalla stessa parte rispetto al segmento AC, quanto misura l’area del triangoloA′BC ′ ?

(A)3

2

√3 (B) 3 (C) 3

√3 (D) 5 (E)

25

8

√3

229. [2004.6 triennio] Tre quadrati sono disposticome in figura. Se l e L sono i lati dei primidue quadrati da sinistra, quanto vale il latodel quadrato piu grande?

(A) l+L (B)l + 2L

2(C)

L2

l(D)

√2L2

l(E) non si puo rispondere univocamentebasandosi solo sui dati forniti

lL

?

230. [2004.9 triennio] Calcolare l’area dell’intersezione di tre cerchi aventi comerispettivi diametri i tre lati di un triangolo equilatero di lato unitario.

(A)

√3 −√2

3(B)

π − 3

2(C) π − 3 (D)

π −√3

4(E)

π −√3

8

231. [2005.5 ] AB e CD sono due segmenti, entrambi lunghi 4, aventi il punto medioM in comune e tali che BMD = 60. Indichiamo con X l’insieme di tutti e solii punti che distano al piu 1 da almeno uno dei due segmenti. Quanto misurala superficie di X?

(A) 8−4√3

(B) 16−8√3

(C) 16−4√3+π (D) 16−

8√3+2π (E) 8+2π


232. [2005.8 ] Dato un cubo di lato unitario (vedi figura),consideriamo il piano cui appartengono gli spigoli ABe CD e quello cui appartengono gli spigoli AE e FD.Questi due piani tagliano il cubo in quattro parti. Quale il massimo tra i volumi di tali parti?

(A)1

4(B)

1

3(C)

√2

4(D)

3

8(E)

1

2 A B

E

F

DC

233. [2006.7 ] Due circonferenze con lo stesso raggio si intersecano in X e Y . SiaP un punto su un arco XY di una circonferenza interno all’altra. Sapendoche il segmento XY e lungo 3 e che l’angolo XPY misura 120, qual e l’areadell’intersezione tra i due cerchi?

(A) 2(π − 1

4

√3) (B) 3 (π −√3) (C)

1

2(3π −√3)

(D) 2(π − 2

3

√3) (E) 2(π − 3

4

√3)

234. [2006.8 ] Sia ABC un triangolo e sia A′ il simmetrico di A rispetto a BC; siapoi DAA′ simile ad ABC e sia D′ il simmetrico di D rispetto a AA′. Sapendoche il prodotto delle aree dei quadrilateri ABA′C e ADA′D′ e 16, si puo direche AA′ e . . .

Nota: la similitudine tra DAA′ e ABC va intesa in modo ordinato: DA/AB =

AA′/BC = A′D/CA.

(A) 1 (B) 2 4√2 (C) 2 (D) 2

√2 (E) non univocamente determinato

235. [2007.1 ] In un triangolo isoscele ABC con AC = BC /= AB, si fissi un puntoP sulla base AB. Quante posizioni puo assumere nel piano un punto Q sevogliamo che i punti A, P e Q, presi in ordine qualsiasi, siano i vertici di untriangolo simile ad ABC?(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6

236. [2007.10 ] Un triangolo equilatero ha lo stesso perimetro di un rettangolo didimensioni b ed h (con b > h). L’area del triangolo e

√3 volte l’area del

rettangolo. Quanto valeb

h?

(A)√3 (B) 2 (C)

3 +√3

2(D)

3 +√5

2(E)

7 + 3√5

2

237. [2008.3 ] In un trapezio isoscele ABCD di base mag-giore AB, le diagonali vengono divise dal loro puntodi incontro O in parti proporzionali ai numeri 1 e 3.Sapendo che l’area del triangolo BOC e 15, quantomisura l’area dell’intero trapezio?(A) 60 (B) 75 (C) 80 (D) 90 (E) 105 A B

CD

O


263. [2002.12 biennio] Il rettangolo in figura e divi-so in 9 quadrati (la figura non e in scala). Lelunghezze dei lati dei due quadrati ombreggia-ti sono rispettivamente 7 cm e 1 cm. Trovareil perimetro del rettangolo.

264. [2004.11 biennio] All’interno dell’esagono regolare ABCDEF si disegni ilquadrato ABGH. Quanto vale l’ampiezza di EHF espressa in gradi?

265. [2005.12 ] ABC e un triangolo con AC = BC e ACB < 60. Siano A′ e B′

due punti sui lati BC e AC rispettivamente tali che AA′ = BB′ = AB. Sia C ′

l’intersezione di AA′ con BB′. Sapendo che AC ′ = AB′ e BC ′ = BA′, quantovale l’ampiezza in gradi dell’angolo ACB ?

266. [2005.14 ] Due circonferenze C1 e C2 di centri A e B sono tangenti esterna-mente in T . Sia BD un segmento tangente a C1 in D e sia TC il segmentotangente ad entrambe in T con C ∈ BD. Se AT e lungo 80 e BT e lungo 90,qual e la lunghezza di CD ?

267. [2006.13 ] Sia ABCD un parallelogramma. Si sa che il lato AB misura 6,l’angolo BAD misura 60 e l’angolo ADB e retto. Sia P il baricentro deltriangolo ACD. Calcolare il valore del prodotto delle aree del triangolo ABP

e del quadrilatero ACPD.

268. [2006.14 ] Una piramide a base quadrata ha il lato di base lungo√3 e tutti gli

spigoli delle facce laterali sono lunghi√2. Quanti gradi misura l’angolo fra

due spigoli non appartenenti alla stessa faccia laterale?

269. [2008.14 ] Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con ABC = 15. Sia H

il piede dell’altezza da A e siano J , K le proiezioni di H su AB e su AC.Sapendo che l’area di AJHK e 45 cm2, quanti cm2 vale il prodotto BJ ⋅CK?

270. [2011.13 ] Sia ABC un triangolo equilatero, indichiamo con D, E, F i pun-ti medi dei lati. Quanti triangoli non degeneri e non congruenti fra loro sipossono ottenere scegliendo 3 dei punti A, B, C, D, E, F ?

271. [2012.13 ] Sia Γ0 una circonferenza di raggio 22012, e sia A0B0C0 un triangoloequilatero inscritto in Γ0. Sia Γ1 la circonferenza di raggio piu piccolo tangentead A0B0 nel suo punto medio H0, e a Γ0. Si costruiscono le circonferenze Γ2,. . . , Γn allo stesso modo, in modo che Γn sia una delle circonferenze di raggiopiu piccolo tangente a Γn−1 e ad un lato di un triangolo equilatero inscritto inΓn−1 nel suo punto medio. Qual e il piu piccolo valore di n per cui l’area delcerchio racchiuso da Γn e minore di 1?

272. [1995.16 ] ESERCIZIO DIMOSTRATIVOSia ABC un triangolo avente AC come lato maggiore. Si dimostri che leseguenti condizioni sono equivalenti fra loro.


(A)2

3(B)

√3

6(C)

1

6(D)

√2

8(E)

1

8+

√2

12

255. [2014.12 ] Sia ABC un triangolo con i lati AB, CA e BC di lunghezza ri-spettivamente 17, 25 e 26. Siano X e Y le intersezioni della parallela ad AB

passante per C con le bisettrici di CAB e di ABC rispettivamente. Quantovale l’area del trapezio ABXY ?(A) 816 (B) 388(1 +√2) (C) 784 (D) 408(E) non si puo determinare con i dati a disposizione

256. [2015.3 ] Sia ABCDE un pentagono regolare di lato 1 e sia P l’intersezionetra le diagonali AC e BE. Quanto misura il segmento PC ?

(A) 1 (B)

√5

2(C)

√5− 1 (D) 4(√5− 2) (E) nessuna delle precedenti

257. [2015.6 ] Dato un triangolo ABC, sia A′ il simmetrico di A rispetto a C, A′′

il simmetrico di A rispetto a B, B′ il simmetrico di B rispetto a A, B′′ ilsimmetrico di B rispetto a C, C ′ il simmetrico di C rispetto a B e C ′′ ilsimmetrico di C rispetto a A. Determinare il rapporto tra l’area di A′B′C ′ equella dell’esagono A′A′′C ′C ′′B′B′′.

(A)6

13(B)

7

13(C)

3

7(D)

1

2(E) dipende dal triangolo iniziale

258. [2015.8 ] Dato il triangolo ABC rettangolo in A costruiamo sull’ipotenusa ilquadrato BCDE (con D, E dalla parte opposta di A rispetto a BC). Sapendoche le aree dei triangoli ABE e ACD valgono rispettivamente 6m2 e 27m2,quanto vale l’area del triangolo ABC ?(A) 3

√2m2 (B) 6m2 (C) 12m2 (D) 9

√2m2 (E) 18m2

259. [2015.12 ] Sia ABCD un quadrilatero tale che AB = 24, BC = 20, CD = 15,DA = 7, BD = 25. Quanto e lungo AC ?(A) 18 (B) 14

√2) (C) 20 (D) 21 (E) 24

260. [2000.11 ] In un cubo di lato 12, P e Q sono i centri di due facce che hannoin comune lo spigolo AB. Qual e il volume del tetraedro che ha per vertici ipunti A, B, P , Q ?

261. [2001.11 ] In un tetraedro regolare di vertici A, B, C, D, indichiamo con P

e Q i centri delle due facce che hanno in comune lo spigolo AB. Qual e ilrapporto tra il volume del tetraedro iniziale e quello del tetraedro che ha pervertici i punti A, B, P e Q ?

262. [2001.13 ] Si consideri un quadrato ABCD di lato 16 metri. Su due lati conse-cutivi AB e BC si costruiscano, esternamente rispetto al quadrato, i due trian-goli equilateri ABE e BCF . Quanto vale l’area del triangolo BEF espressain metri quadri?


238. [2008.8 ] All’interno di un cerchio di raggio 1 si trac-ciano 3 archi di circonferenza, anch’essi di raggio 1,centrando nei vertici di un triangolo equilatero inscrit-to nella circonferenza. Quanto vale l’area della zonaombreggiata?

(A)

√3

4π (B) π −

3√3

4(C) π −

3√3

2(D)

3√3

2π

(E) 6 − π

239. [2008.12 ] In un giorno di sole una sfera e posata su un terreno orizzontale.In un certo istante l’ombra della sfera raggiunge la distanza di 10 metri dalpunto in cui la sfera tocca il terreno. Nello stesso istante un’asta di lunghezza1 metro posta verticalmente al terreno getta un’ombra lunga 2 metri. Qual eil raggio della sfera in metri?

(A)5

2(B) 9 − 4

√5 (C) 10

√5 − 20 (D) 8

√10 − 23 (E) 6 −

√15

240. [2009.2 ] Il perimetro di un rombo e 32 cm e ciascuno dei due angoli acutimisura 30. Quanto vale il volume del solido ottenuto facendo ruotare ilrombo intorno a un suo lato?(A) 128

√3π (B) 128π (C) 64 (√3 − 1)π (D) 64π (E) 32

√3π

241. [2009.5 ] Un quadrato ABCD di lato 1 e inscrit-to in una circonferenza γ. Si costruiscano i sim-

metrici degli archi di AB

, BC

, CD

, DA

di γrispetto ai lati AB, BC, CD, DA rispettiva-mente. Indichiamo con L, M , N , O i puntimedi degli archi cosı ottenuti; quanto vale l’a-rea di LMNO ?

(A)

√2

4(B)

√2 − 1 (C) 1 −

√2

2(D)

1

4(E) 3 − 2

√2

A B

CD

b

L

b M

bN

bO

242. [2009.8 ] Il minuscolo, ma preziosissimo, Diamante Dodecaedrico si trova a 2metri dalla parete sud e 3 metri dalla parete ovest di una stanza rettangolarele cui pareti nord e sud sono lunghe 4 metri e quelle est e ovest sono lunghe 3metri. Un ladro si cala dal soffitto all’interno della stanza e tocca il pavimentoa un metro dalla parete sud e a un metro dalla parete ovest. Si accorge peroche deve immediatamente disattivare il sistema di allarme, tagliando almenoin un punto un filo che corre ad altezza da terra costante lungo le quattropareti perimetrali della stanza. Quanti metri e lungo il percorso piu breve chedeve compiere per raggiungere prima un punto qualsiasi di una delle pareti, epoi il Diamante Dodecaedrico?(A) 3 +

√2 (B) 2 +

√5 (C)

√17 (D)

√13 (E) 2

√2

243. [2010.2 ] Sia ABC un triangolo equilatero di centro O e area 1. Siano D, E,F i punti simmetrici di O rispetto ai tre lati del triangolo. Quanto vale l’area


in comune ai triangoli ABC e DEF?

(A)1

3(B)

2√3

9(C)

√2

3(D)

√3

3(E)

2

3

244. [2011.1 ] Gabriele, l’amante dei cubi, ha comprato un magnifico pezzo da col-lezione: un cubo interamente composto di cioccolato, avente gli spigoli lunghi10 cm. Purtroppo, avendo perso una scommessa con due suoi amici, dovracedere due terzi del volume del blocco di cioccolato. Gabriele ha deciso diprendere come propria porzione di cioccolato un cubo piu piccolo, avente unodei suoi vertici coincidente con uno dei vertici del cubo di cioccolato compratoe le facce parallele a quelle del cubo comprato. Alla fine, cede ai due amici ilcioccolato rimasto. Indichiamo con S la superficie totale del blocco di ciocco-lato ceduto, espressa in cm2. Allora si ha. . .(A) 300 ≤ S ≤ 350 (B) 300 < S ≤ 450 (C) 400 < S ≤ 550(D) 500 < S ≤ 650 (E) 600 < S ≤ 750

245. [2011.6 ] Un fabbro sta costruendo una cancellata oriz-zontale in ferro formata da tante barre verticali, paral-lele tra loro, ciascuna delle quali e posizionata a 18 cmdi distanza dalle 2 vicine. Il fabbro collega le estremitadi ciascuna coppia di sbarre contigue con una barraincurvata ad arco di circonferenza collocata nel pianodelle sbarre, il cui punto piu alto dista 3

√3 cm dalla

retta (tratteggiata in figura) che passa per le estremitasuperiori di tutte le sbarre, e che e perpendicolare allesbarre stesse. Quanto e lunga (in cm) ciascuna dellebarrette utilizzate per costruire gli archi?(A) 8π (√3 − 1) (B) 6π

√3 (C) 12π (√3 − 1) (D) 4π

√3 (E) 8π

√3

246. [2011.9 ] Da un punto L partono due strade rettilinee che formano un angoloacuto α. Lungo una delle due strade ci sono due lampioni, posizionati in P

e Q, tali che LP = 40 m e LQ = 90 m. Eva si trova in E sull’altra strada, evede i due lampioni sotto un angolo PEQ. A che distanza da L si trova Eva,se PEQ ha la massima ampiezza possibile?(A) 40 m (B) 60 m (C) 65 m (D) 90 m (E) la distanza dipende da α

247. [2012.3 ] Alice, Berto e Carlo stanno cercando un tesoro. Sapendo che i treamici si trovano sui vertici di un triangolo equilatero e che il tesoro si trova inun punto al di fuori del triangolo, a 1 metro di distanza da Alice e da Bertoe 2 metri di distanza da Carlo, quanti metri misura il lato del triangolo?

(A)2√3

(B)3√3

4(C)

√3

2(D)

3

2(E)√3

248. [2012.7 ] Sia ABC un triangolo isoscele con base BC, sia D il punto mediodi AC. Sapendo che BCD e a sua volta isoscele con base CD e che BC = 2,quanto misura l’area di ABC ?(A) 2 (B)

√5 (C)

√6 (D)

√7 (E) 3


249. [2012.10 ] Tre persone A,B,C si trovano in prossimita di un incrocio stradaletra due strade perpendicolari. A si trova esattamente sull’incrocio, mentre B

e C si trovano su due strade distinte. Nel campo nei pressi dell’incrocio (all’in-terno dell’angolo retto CAB) c’e un cartellone pubblicitario, sostenuto da duepali piantati nel terreno nei punti D ed E, che distano tra loro esattamenteun metro. A, B e C vedono tutti il lato frontale del cartellone. Sapendo chegli angoli DAE, DBE e DCE misurano tutti 30 gradi, qual e la distanza (inlinea d’aria) tra B e C ?

(A)3

2m (B)

1 +√5

2m (C)

√3 m (D) 2 m

(E) non e possibile determinarlo

250. [2013.4 ] Ker disegna lo stemma della sua citta, Ma-thlandia, su un foglio a quadretti con quadretti di lato1 ottenendo la figura a fianco. Sapendo che i tratticurvi sono tutti formati da semicirconferenze, quantomisura l’area colorata di grigio?(A) 12π (B) 8π + 2 (C) 12 (D) 8(E) nessuna delle precedenti

251. [2013.7 ] Sia ABCD un quadrato all’interno del quale vengono tracciati duesegmenti che dividono l’angolo in A in tre angoli uguali e il quadrato in duetriangoli uguali e un quadrilatero. Qual e il rapporto tra l’area del quadrilateroe quella di uno dei due triangoli?

(A)√3 −

1√3

(B) 2√3 − 1 (C)

3

2(D) 2 (E) 2

√3 − 2

252. [2013.10 ] Abbiamo un quadrilatero i cui lati misurano, nell’ordine, 1,7,5,5.Quanto vale al massimo la sua area?(A) 12 (B) 6

√6 (C) 16 (D) 20 (E) un siffatto quadrilatero non esiste

253. [2014.3 ] Tre amici entrano nella pizzeria di Giorgio e siedono ciascuno a unlato di un tavolo rettangolare; il primo e seduto a un lato di lunghezza 70 cm,il secondo e il terzo siedono uno di fronte all’altro, su lati di lunghezza l. Lepizze hanno un diametro di 30 cm; Giorgio serve la pizza del primo avventorein modo che sia tangente al suo lato del tavolo nel punto medio e le pizze deglialtri due in modo che siano tangenti ai rispettivi lati del tavolo e alla primapizza. Qual e il minimo valore di l (in centimetri) per cui le tre pizze possanostare interamente sul tavolo?(A) 10

√5 (B) 20 + 5

√5 (C) 15 + 10

√5 (D) 30 + 10

√5 (E) 60

254. [2014.7 ] Alessandra e Luigi giocano ad ungioco da tavolo le cui pedine sono delleastronavi, come quella rappresentata ingrigio nella figura a lato. Se i quadratitratteggiati hanno i lati di lunghezza 1,qual e la superficie di una pedina?

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Olimpiadi della Matematica - Gara di Risposte corrette Indice · la gara di secondo livello delle Olimpiadi della Matematica; contiene tutti i testi delle gare svoltesi in Italia