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I
(oLL
3 i-I) 3
Ministerio de Educacibn y Justicia Repuacuteblica Argentina
OrganizaeiOacuteft do 10l Estado5 A mo[(czllcs
DIRECCION NACIONAL DE EDUCACION SUPER IOR
PROYECTO DE FORMACION DEL PERSONAL DE EDUCACION
PA RA LA RENOVACION REAJUSTE Y PERFECCIONAMIENTO
DEL SISTEMA Y DEL PROCESO EDUCATIVO
Buenos Aires
Repuacuteblica Argentina
1987
I
NOMINA DE AUTORIDADES
MINISTERIO DE rugtUCACION y JUSTICIA
Ministro de Educacioacuten y Justicia
Dr Julio Rauacutel Rajneri
secretario de Educacioacuten
Dr Adolfo Stubrin
Subsecretario de GestiOacuten Educativa
Prof Nilo Fulv~
Director Nacional de Educaci~n Superior y del Proyecto
Dr Ovide J Menin
Subdirectora Nacional de Educaci~n Superior
Prof Sulma Guridi Flores
Coordinadora del Proyecto
Prof Emilce E Botte
SECRETARIA GENERAL DE LA ORGANIZACION DE LOS ESTAOOS AMERICANOS
lNV 0 1
Director ai del Departamento de Asuntos Educativos
Dr Os~aldo Kreimer
Jefe de lamiddot Divisioacuten de Mejoramiento de Sistema Educativos
Prof Luis Osvaldo Roggi
Representante de la SecJ~tarIa General de la OBA en la Argentina
Dr Benno Sander
Coordinador del Area Educacioacuten Ciencia y Cultura
Sr Guillermo Corsino
Ministerio do Educaci60 y Justicia OrganizaciOn Aep6bUca Argsntine de los Etados Amiexcleanos
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
I I
Prof Norma Sanguineti de Saggese
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
DOCUMENTO II
LOS CAMPOS DE PROBLEMAS DIDACTICOS
1 El campo de problemas multiplicativos
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
4 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
reales
5 El concepto de fraccioacuten
6 La construccioacuten de algoritmos
7 Sobre la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela pri~aria
Los campos de problemas didaacutecticos
La reflexioacuten sobre la adquisicioacuten de conocimientos en el I
aacutembito escolar no puede quedar limitada al estudio del desarrollo
del pensamiento infantil ni a la aplicacioacuten de la teacutecnica de reso
lucioacuten de problemas El campo de contenidos abordados por la Di-I
daacutectica de la Matemaacutetica es muy amplio y toma como punto de parti
da los aprendizajes espontaacuteneos de los nintildeos para desarrollar i~
tencionalmente en la escuela accicnes tendientes a profundizar y
ampliar esos aprendizajes
Por lo tanto el propoacutesito de este documento no es hacer
teoriacutea matemaacutetica sino abordar la construccioacuten espontaacutenea del cQ
nocimiento matemaacutetico en los nintildeos y la intervencioacuten intencional
que la escuela como institucioacuten social se compromete a llevar a
cabo para potenciar esa construccioacuten tanto en forma individual
como grupal
En el primer documento sobre Aprendizaje y Matemaacutetica he-I
mos presentado algunas reflexiones sobre la construccioacuten de la se
rie numeacuterica y el campo de los problemas aditivos en la escuela
primaria En esta oportunidad nos ocuparecos del campo de los prQ
blemas multiplicativos es decir de aquellas situaciones cuya soshy
lucioacuten implica el uso de las operaciones aritmeacuteticas de multiplishy
cacioacuten y divisioacuten
2
Nos proponemos designar como campgt conceptual un campo de coshy
nocimientos suficientemente homogeacuteneo para que pueda ser anallshy
zado por una red conexa de conceptos y relaciones suf lClente-
mente extenso como para no dejar de Jado ciertos aspectos que
pueddo desempentildear un papel importante en ] Os procesos de adqu t ~
slcloacuten Como la adquislCJOacuten de conceptos se redllza prlncipcd-j
mente a traveacutes de la solucioacuten de problemds un cdmpo canceptud 1
es ante toda un espacio de problemas u bull (l)
En ese sentido no puede considerarse en forma aislada lal
adquisicioacuten de nociones tales como la proporcionalidad directa-II
que subyace en la construccioacuten de la tabla de multiplicacioacuten porl
un nGmero constante - de la nocioacuten de fraccioacuten Intimamente l1gashy
da a su vez a la divisioacuten exacta Por otra parte estas mismasl
operaciones aplicadas a cantidades continuas como la longitud o I
la superficie estin impllcitas en la accioacuten de medir que se vin
cula no soacutelo con la geometriacutea sino tambieacuten con la cuantificacioacuten
de fenoacutemenos fiacutesicos naturales sociales etc
Se va tejiendo asiacute una imbricada red de conocimientos enshy
tre los que no puede establecerse un orden estrictamente lineal I
pues se van desarrollando segGn los intereses del que aprende 1
las estimulaciones del medio y por supuesto las posibilidades e
volutivas de cada uno
Desde edad muy temprana los nintildeos se interesan en la ex-
ploracioacuten del medio que los rodea Ese medio contiene objetos soacuteshy
(]) Vergnaud y Rleco - D1daacutectlca y Adqu1sicloacuten de Conceptos Matemaacutetlcos Pro- blemiS y meacutetodos Rov~sta ArgentIna de Educac~oacuten Afio TV Nordm 6 paacuteg 69
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
NOMINA DE AUTORIDADES
MINISTERIO DE rugtUCACION y JUSTICIA
Ministro de Educacioacuten y Justicia
Dr Julio Rauacutel Rajneri
secretario de Educacioacuten
Dr Adolfo Stubrin
Subsecretario de GestiOacuten Educativa
Prof Nilo Fulv~
Director Nacional de Educaci~n Superior y del Proyecto
Dr Ovide J Menin
Subdirectora Nacional de Educaci~n Superior
Prof Sulma Guridi Flores
Coordinadora del Proyecto
Prof Emilce E Botte
SECRETARIA GENERAL DE LA ORGANIZACION DE LOS ESTAOOS AMERICANOS
lNV 0 1
Director ai del Departamento de Asuntos Educativos
Dr Os~aldo Kreimer
Jefe de lamiddot Divisioacuten de Mejoramiento de Sistema Educativos
Prof Luis Osvaldo Roggi
Representante de la SecJ~tarIa General de la OBA en la Argentina
Dr Benno Sander
Coordinador del Area Educacioacuten Ciencia y Cultura
Sr Guillermo Corsino
Ministerio do Educaci60 y Justicia OrganizaciOn Aep6bUca Argsntine de los Etados Amiexcleanos
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
I I
Prof Norma Sanguineti de Saggese
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
DOCUMENTO II
LOS CAMPOS DE PROBLEMAS DIDACTICOS
1 El campo de problemas multiplicativos
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
4 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
reales
5 El concepto de fraccioacuten
6 La construccioacuten de algoritmos
7 Sobre la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela pri~aria
Los campos de problemas didaacutecticos
La reflexioacuten sobre la adquisicioacuten de conocimientos en el I
aacutembito escolar no puede quedar limitada al estudio del desarrollo
del pensamiento infantil ni a la aplicacioacuten de la teacutecnica de reso
lucioacuten de problemas El campo de contenidos abordados por la Di-I
daacutectica de la Matemaacutetica es muy amplio y toma como punto de parti
da los aprendizajes espontaacuteneos de los nintildeos para desarrollar i~
tencionalmente en la escuela accicnes tendientes a profundizar y
ampliar esos aprendizajes
Por lo tanto el propoacutesito de este documento no es hacer
teoriacutea matemaacutetica sino abordar la construccioacuten espontaacutenea del cQ
nocimiento matemaacutetico en los nintildeos y la intervencioacuten intencional
que la escuela como institucioacuten social se compromete a llevar a
cabo para potenciar esa construccioacuten tanto en forma individual
como grupal
En el primer documento sobre Aprendizaje y Matemaacutetica he-I
mos presentado algunas reflexiones sobre la construccioacuten de la se
rie numeacuterica y el campo de los problemas aditivos en la escuela
primaria En esta oportunidad nos ocuparecos del campo de los prQ
blemas multiplicativos es decir de aquellas situaciones cuya soshy
lucioacuten implica el uso de las operaciones aritmeacuteticas de multiplishy
cacioacuten y divisioacuten
2
Nos proponemos designar como campgt conceptual un campo de coshy
nocimientos suficientemente homogeacuteneo para que pueda ser anallshy
zado por una red conexa de conceptos y relaciones suf lClente-
mente extenso como para no dejar de Jado ciertos aspectos que
pueddo desempentildear un papel importante en ] Os procesos de adqu t ~
slcloacuten Como la adquislCJOacuten de conceptos se redllza prlncipcd-j
mente a traveacutes de la solucioacuten de problemds un cdmpo canceptud 1
es ante toda un espacio de problemas u bull (l)
En ese sentido no puede considerarse en forma aislada lal
adquisicioacuten de nociones tales como la proporcionalidad directa-II
que subyace en la construccioacuten de la tabla de multiplicacioacuten porl
un nGmero constante - de la nocioacuten de fraccioacuten Intimamente l1gashy
da a su vez a la divisioacuten exacta Por otra parte estas mismasl
operaciones aplicadas a cantidades continuas como la longitud o I
la superficie estin impllcitas en la accioacuten de medir que se vin
cula no soacutelo con la geometriacutea sino tambieacuten con la cuantificacioacuten
de fenoacutemenos fiacutesicos naturales sociales etc
Se va tejiendo asiacute una imbricada red de conocimientos enshy
tre los que no puede establecerse un orden estrictamente lineal I
pues se van desarrollando segGn los intereses del que aprende 1
las estimulaciones del medio y por supuesto las posibilidades e
volutivas de cada uno
Desde edad muy temprana los nintildeos se interesan en la ex-
ploracioacuten del medio que los rodea Ese medio contiene objetos soacuteshy
(]) Vergnaud y Rleco - D1daacutectlca y Adqu1sicloacuten de Conceptos Matemaacutetlcos Pro- blemiS y meacutetodos Rov~sta ArgentIna de Educac~oacuten Afio TV Nordm 6 paacuteg 69
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
Ministerio do Educaci60 y Justicia OrganizaciOn Aep6bUca Argsntine de los Etados Amiexcleanos
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
I I
Prof Norma Sanguineti de Saggese
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
DOCUMENTO II
LOS CAMPOS DE PROBLEMAS DIDACTICOS
1 El campo de problemas multiplicativos
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
4 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
reales
5 El concepto de fraccioacuten
6 La construccioacuten de algoritmos
7 Sobre la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela pri~aria
Los campos de problemas didaacutecticos
La reflexioacuten sobre la adquisicioacuten de conocimientos en el I
aacutembito escolar no puede quedar limitada al estudio del desarrollo
del pensamiento infantil ni a la aplicacioacuten de la teacutecnica de reso
lucioacuten de problemas El campo de contenidos abordados por la Di-I
daacutectica de la Matemaacutetica es muy amplio y toma como punto de parti
da los aprendizajes espontaacuteneos de los nintildeos para desarrollar i~
tencionalmente en la escuela accicnes tendientes a profundizar y
ampliar esos aprendizajes
Por lo tanto el propoacutesito de este documento no es hacer
teoriacutea matemaacutetica sino abordar la construccioacuten espontaacutenea del cQ
nocimiento matemaacutetico en los nintildeos y la intervencioacuten intencional
que la escuela como institucioacuten social se compromete a llevar a
cabo para potenciar esa construccioacuten tanto en forma individual
como grupal
En el primer documento sobre Aprendizaje y Matemaacutetica he-I
mos presentado algunas reflexiones sobre la construccioacuten de la se
rie numeacuterica y el campo de los problemas aditivos en la escuela
primaria En esta oportunidad nos ocuparecos del campo de los prQ
blemas multiplicativos es decir de aquellas situaciones cuya soshy
lucioacuten implica el uso de las operaciones aritmeacuteticas de multiplishy
cacioacuten y divisioacuten
2
Nos proponemos designar como campgt conceptual un campo de coshy
nocimientos suficientemente homogeacuteneo para que pueda ser anallshy
zado por una red conexa de conceptos y relaciones suf lClente-
mente extenso como para no dejar de Jado ciertos aspectos que
pueddo desempentildear un papel importante en ] Os procesos de adqu t ~
slcloacuten Como la adquislCJOacuten de conceptos se redllza prlncipcd-j
mente a traveacutes de la solucioacuten de problemds un cdmpo canceptud 1
es ante toda un espacio de problemas u bull (l)
En ese sentido no puede considerarse en forma aislada lal
adquisicioacuten de nociones tales como la proporcionalidad directa-II
que subyace en la construccioacuten de la tabla de multiplicacioacuten porl
un nGmero constante - de la nocioacuten de fraccioacuten Intimamente l1gashy
da a su vez a la divisioacuten exacta Por otra parte estas mismasl
operaciones aplicadas a cantidades continuas como la longitud o I
la superficie estin impllcitas en la accioacuten de medir que se vin
cula no soacutelo con la geometriacutea sino tambieacuten con la cuantificacioacuten
de fenoacutemenos fiacutesicos naturales sociales etc
Se va tejiendo asiacute una imbricada red de conocimientos enshy
tre los que no puede establecerse un orden estrictamente lineal I
pues se van desarrollando segGn los intereses del que aprende 1
las estimulaciones del medio y por supuesto las posibilidades e
volutivas de cada uno
Desde edad muy temprana los nintildeos se interesan en la ex-
ploracioacuten del medio que los rodea Ese medio contiene objetos soacuteshy
(]) Vergnaud y Rleco - D1daacutectlca y Adqu1sicloacuten de Conceptos Matemaacutetlcos Pro- blemiS y meacutetodos Rov~sta ArgentIna de Educac~oacuten Afio TV Nordm 6 paacuteg 69
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
APRENDIZAJE Y MATEMATICA
DOCUMENTO II
LOS CAMPOS DE PROBLEMAS DIDACTICOS
1 El campo de problemas multiplicativos
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
4 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
reales
5 El concepto de fraccioacuten
6 La construccioacuten de algoritmos
7 Sobre la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela pri~aria
Los campos de problemas didaacutecticos
La reflexioacuten sobre la adquisicioacuten de conocimientos en el I
aacutembito escolar no puede quedar limitada al estudio del desarrollo
del pensamiento infantil ni a la aplicacioacuten de la teacutecnica de reso
lucioacuten de problemas El campo de contenidos abordados por la Di-I
daacutectica de la Matemaacutetica es muy amplio y toma como punto de parti
da los aprendizajes espontaacuteneos de los nintildeos para desarrollar i~
tencionalmente en la escuela accicnes tendientes a profundizar y
ampliar esos aprendizajes
Por lo tanto el propoacutesito de este documento no es hacer
teoriacutea matemaacutetica sino abordar la construccioacuten espontaacutenea del cQ
nocimiento matemaacutetico en los nintildeos y la intervencioacuten intencional
que la escuela como institucioacuten social se compromete a llevar a
cabo para potenciar esa construccioacuten tanto en forma individual
como grupal
En el primer documento sobre Aprendizaje y Matemaacutetica he-I
mos presentado algunas reflexiones sobre la construccioacuten de la se
rie numeacuterica y el campo de los problemas aditivos en la escuela
primaria En esta oportunidad nos ocuparecos del campo de los prQ
blemas multiplicativos es decir de aquellas situaciones cuya soshy
lucioacuten implica el uso de las operaciones aritmeacuteticas de multiplishy
cacioacuten y divisioacuten
2
Nos proponemos designar como campgt conceptual un campo de coshy
nocimientos suficientemente homogeacuteneo para que pueda ser anallshy
zado por una red conexa de conceptos y relaciones suf lClente-
mente extenso como para no dejar de Jado ciertos aspectos que
pueddo desempentildear un papel importante en ] Os procesos de adqu t ~
slcloacuten Como la adquislCJOacuten de conceptos se redllza prlncipcd-j
mente a traveacutes de la solucioacuten de problemds un cdmpo canceptud 1
es ante toda un espacio de problemas u bull (l)
En ese sentido no puede considerarse en forma aislada lal
adquisicioacuten de nociones tales como la proporcionalidad directa-II
que subyace en la construccioacuten de la tabla de multiplicacioacuten porl
un nGmero constante - de la nocioacuten de fraccioacuten Intimamente l1gashy
da a su vez a la divisioacuten exacta Por otra parte estas mismasl
operaciones aplicadas a cantidades continuas como la longitud o I
la superficie estin impllcitas en la accioacuten de medir que se vin
cula no soacutelo con la geometriacutea sino tambieacuten con la cuantificacioacuten
de fenoacutemenos fiacutesicos naturales sociales etc
Se va tejiendo asiacute una imbricada red de conocimientos enshy
tre los que no puede establecerse un orden estrictamente lineal I
pues se van desarrollando segGn los intereses del que aprende 1
las estimulaciones del medio y por supuesto las posibilidades e
volutivas de cada uno
Desde edad muy temprana los nintildeos se interesan en la ex-
ploracioacuten del medio que los rodea Ese medio contiene objetos soacuteshy
(]) Vergnaud y Rleco - D1daacutectlca y Adqu1sicloacuten de Conceptos Matemaacutetlcos Pro- blemiS y meacutetodos Rov~sta ArgentIna de Educac~oacuten Afio TV Nordm 6 paacuteg 69
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
Los campos de problemas didaacutecticos
La reflexioacuten sobre la adquisicioacuten de conocimientos en el I
aacutembito escolar no puede quedar limitada al estudio del desarrollo
del pensamiento infantil ni a la aplicacioacuten de la teacutecnica de reso
lucioacuten de problemas El campo de contenidos abordados por la Di-I
daacutectica de la Matemaacutetica es muy amplio y toma como punto de parti
da los aprendizajes espontaacuteneos de los nintildeos para desarrollar i~
tencionalmente en la escuela accicnes tendientes a profundizar y
ampliar esos aprendizajes
Por lo tanto el propoacutesito de este documento no es hacer
teoriacutea matemaacutetica sino abordar la construccioacuten espontaacutenea del cQ
nocimiento matemaacutetico en los nintildeos y la intervencioacuten intencional
que la escuela como institucioacuten social se compromete a llevar a
cabo para potenciar esa construccioacuten tanto en forma individual
como grupal
En el primer documento sobre Aprendizaje y Matemaacutetica he-I
mos presentado algunas reflexiones sobre la construccioacuten de la se
rie numeacuterica y el campo de los problemas aditivos en la escuela
primaria En esta oportunidad nos ocuparecos del campo de los prQ
blemas multiplicativos es decir de aquellas situaciones cuya soshy
lucioacuten implica el uso de las operaciones aritmeacuteticas de multiplishy
cacioacuten y divisioacuten
2
Nos proponemos designar como campgt conceptual un campo de coshy
nocimientos suficientemente homogeacuteneo para que pueda ser anallshy
zado por una red conexa de conceptos y relaciones suf lClente-
mente extenso como para no dejar de Jado ciertos aspectos que
pueddo desempentildear un papel importante en ] Os procesos de adqu t ~
slcloacuten Como la adquislCJOacuten de conceptos se redllza prlncipcd-j
mente a traveacutes de la solucioacuten de problemds un cdmpo canceptud 1
es ante toda un espacio de problemas u bull (l)
En ese sentido no puede considerarse en forma aislada lal
adquisicioacuten de nociones tales como la proporcionalidad directa-II
que subyace en la construccioacuten de la tabla de multiplicacioacuten porl
un nGmero constante - de la nocioacuten de fraccioacuten Intimamente l1gashy
da a su vez a la divisioacuten exacta Por otra parte estas mismasl
operaciones aplicadas a cantidades continuas como la longitud o I
la superficie estin impllcitas en la accioacuten de medir que se vin
cula no soacutelo con la geometriacutea sino tambieacuten con la cuantificacioacuten
de fenoacutemenos fiacutesicos naturales sociales etc
Se va tejiendo asiacute una imbricada red de conocimientos enshy
tre los que no puede establecerse un orden estrictamente lineal I
pues se van desarrollando segGn los intereses del que aprende 1
las estimulaciones del medio y por supuesto las posibilidades e
volutivas de cada uno
Desde edad muy temprana los nintildeos se interesan en la ex-
ploracioacuten del medio que los rodea Ese medio contiene objetos soacuteshy
(]) Vergnaud y Rleco - D1daacutectlca y Adqu1sicloacuten de Conceptos Matemaacutetlcos Pro- blemiS y meacutetodos Rov~sta ArgentIna de Educac~oacuten Afio TV Nordm 6 paacuteg 69
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
2
Nos proponemos designar como campgt conceptual un campo de coshy
nocimientos suficientemente homogeacuteneo para que pueda ser anallshy
zado por una red conexa de conceptos y relaciones suf lClente-
mente extenso como para no dejar de Jado ciertos aspectos que
pueddo desempentildear un papel importante en ] Os procesos de adqu t ~
slcloacuten Como la adquislCJOacuten de conceptos se redllza prlncipcd-j
mente a traveacutes de la solucioacuten de problemds un cdmpo canceptud 1
es ante toda un espacio de problemas u bull (l)
En ese sentido no puede considerarse en forma aislada lal
adquisicioacuten de nociones tales como la proporcionalidad directa-II
que subyace en la construccioacuten de la tabla de multiplicacioacuten porl
un nGmero constante - de la nocioacuten de fraccioacuten Intimamente l1gashy
da a su vez a la divisioacuten exacta Por otra parte estas mismasl
operaciones aplicadas a cantidades continuas como la longitud o I
la superficie estin impllcitas en la accioacuten de medir que se vin
cula no soacutelo con la geometriacutea sino tambieacuten con la cuantificacioacuten
de fenoacutemenos fiacutesicos naturales sociales etc
Se va tejiendo asiacute una imbricada red de conocimientos enshy
tre los que no puede establecerse un orden estrictamente lineal I
pues se van desarrollando segGn los intereses del que aprende 1
las estimulaciones del medio y por supuesto las posibilidades e
volutivas de cada uno
Desde edad muy temprana los nintildeos se interesan en la ex-
ploracioacuten del medio que los rodea Ese medio contiene objetos soacuteshy
(]) Vergnaud y Rleco - D1daacutectlca y Adqu1sicloacuten de Conceptos Matemaacutetlcos Pro- blemiS y meacutetodos Rov~sta ArgentIna de Educac~oacuten Afio TV Nordm 6 paacuteg 69
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
3
lidos entre los cuales estaacute el propio nintildeo Si bien cada objeto
es uno en si mismo cuando por alguna raz6n se lo asocia a otro
u otros - tan unos como eacutel - la coleccioacuten as integrada recibe
un nombre que indica el nuacutemero de objetos que la componen Por eshy
jemplo par de guantes siete enanitos millar de personas
etc
La cuantificaci6n de estas colecciones la posibilidad de
compararlas por su nuacutemero de establecer totalidades o diferen-
cias se resuelve en general a traveacutes de problemas de adicioacuten y
sustraccioacuten
En cambio cuando se trata de establecer la totalidad de ~
lementos homogeacuteneos que se ponen en correspondencia con cierto n~
mero de objetos generalmente de distinta naturaleza se hace neshy
cesariacutea la multiplicacioacuten Por ejemplo calcular el nuacutemero de hoshy
jas que contienen nueve cuadernos sabiendo que cada uno tiene 48
implica la buacutesqueda del producto de 9 x 48
1 El campo de problemas multiplicativos
Distinguiremos dos tipos de problemas multiplicativos de natushy
raleza conceDtH~ diferente
Nuacutemero de hUEvOS
6
12
18
24
30
Nuacutemero de cojos
2
3
4
5
Si se trata por ejemplo de rela-I
cionar el nuacutemero de huevos y el nuacuteshy
mero de cajas necesarias para envashy
sarlos de a mediacutea docena se hace ~
vidente una relaci6n de proporcione
lidad directa entre estas coleccioshy
nes que muestra una igualdad de com
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
4
portamiento entre ambas pues al dQ
36 6 ble de una le corresponde el doblel
de la otra asiacute como a la mitad del
una le corresponde la mitad de la Q
6n n tra etc y reciacuteprocamente tal cQ
mo se puede observar en la tabla
Este comportamiento anaacutelogo se conoce como isomorfismo 1
(de isos igual morphi forma) y estaacute impllcito en la reshy
solucioacuten de gran cantidad de problemas cotidianos
Existe otro tipo de problemas fuultiplicativos en los que 1
se consideran dos magnitudes por ejemplo longitud y superfi
cie para dar por resultado una magnitud distinta a ambas enl
nuestro ejemplo el volumen
A lo largo de este documento se iraacute mostrando que el campo
de problemas multiplicativos se vincula fundamentalmente con 1
dos tipos de relaciones
1 La relacioacuten de isomorfismo entre las medidas de dos magnishy
tudes diferentes que se ponen en correspondencia
2 La relacioacuten del producto entre medidas de dos magnitudes 1
que constituyen asiacute una nueva magnitud
2 Anaacutelisis didaacutectico de los problemas multiplicativos
Para ayudar a los futuros maestros en la buacutesqueda de crite
rios que les permitan seleccionar las actividades que propon-I
driacutean en el aula puede abordarse el anaacutelisis didaacutectico del 11
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
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piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
5
campo de los problemas multiplicativos desde distintas perspef
tivas
La primera de ellas puede contener algunas reflexiones teQ
ricassobre la operacioacuten multiplicacioacuten seguacuten los conjuntos en
los que ella se aplique En otras palabras brindar un trata-
miento forlnal en eL marco de la loacutegica interna de la disciplishy
na matemaacutetica (Ver Anexo 1)
Para los pedagogos estaacute cada diacutea maacutes claro que la propue~
ta anterior es obviamente uno de los aspectos por considerar
Otra perspectiva no menos import3nte aunque menos formal es
el estudio de los problemas concretos que implican la necesi-
dad dela multiplicacioacuten y divisioacuten en el contexto en que esos
problemas se generan
Por uacuteltimo la propuesta estrictamente didaacutectica tratariacutea
de compatibilizar ambas perspectivas con los aportes de la ps~
cogeneacutesis de esas nociones y los de las ciencias de la comunishy
cacioacuten de modo que las teoriacuteas del aprendizaje y las teoriacuteas
de la ensentildeanza direccionen la praacutectica pedagoacutegica
3 La multiplicacioacuten y la divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
naturales
Tal vez debamos recalcar una vez maacutes el valor didaacutectico
en la escuela primaria de la experiencia manipulativa y de la
resolucioacuten praacutectica de problemas que surgan con naturalidad de
l situaciones en las que se ha centrado el intereacutes de los nintildeos
I( ~
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
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piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
6
La mayoriacutea de los docentes ya estaacuten familiarizados con las
dificultades que enfrentan los nintildeos para desarrollar el con
cepto de nuacutemero En el documento anterior sentildealamos que los pe
quentildeos tienen que descubrir los principios de la conservacioacuten
de la permanencia de la correspondencia del orden natural y I
la reversibilidad ademaacutes de la interiorizacioacuten de las reglas I
que supone el sistema decimal y posicional que durante un lapshy
so bastante prolongado aplican a cantidades discretas
La adicioacuten y la sustraccioacuten impliacutecitas en la construccioacuten
del sistema de numeracioacuten les p~rmiten resolver situaciones ordf saciadas a las acciones de comparar agregar reunir II
quitar separar buscar lo que le falta a bullbullbull para llegar
a aplicadas a materiales homogineos Cuando un nintildeo junta
tres garbanzos y dos porotos y dice que hay cinco en realidad
ha operado en un universo homogineo de semillas En cambio
es imposible obtener la suma de tres perros y dos truenos
En este universo de cantidades discretas se pueden presenshy
tar situaciones como por ejemplo
Visitari a dos nintildeos quiero regalaacuter tres chocolates
a cada uno iquestcuaacutentos chocolates necesito
En general los nintildeos pequentildeos resuelven el problema sobre
la base de los esquemas aditivos que ellos poseen duplicandol
la cantidad de chocolates
Sin embargo el concepto de multiplicacioacuten implica un prQ
ceso de mayor complejidad que el de la adicioacuten De hecho la ordf
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
7
dictoacuten se aplica a cantidades homogineas en cambio en la mul
tiplicacioacuten y en la divisioacuten se distinguen claramente dos cla
ses o universos entre los que existe una relacioacuten multiacutevoca
constante
chocolates
3
chocolates nintildeosnintildeos
000
000 2
por cada nintildeo 3 chocolates
Los problemas que implican divisioacuten son aun mas frecuentes
en la vida cotidiana de los nintildeos Por ejemplo
Tengo 6 chocolates quiero dar 3 a cada nintildeo iquestcuaacutentos
nintildeos recibiraacuten chocolates
Supone la operacioacuten inversa de la anterior Se vuelve al
estado inicial pues una transformacioacuten anula el efecto de la
otra
nintildeos chocolates ---__-+----shy
DO
DO DO O O
por cada uno tres (multlplicacloacuten) tres por cada uno (dlvlsloacuten)
nintildeos chocolates chocolates nintildeos
3 3
2 6
6 l 3 2
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
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piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
8
Si reflexionamos sobre el anaacutelisis dimensional involucrado
en cada caso
2 (nintildeos) x 3 (choc~lates) = 6 chocolatesnJnos
6 chocolates 3 (ch~c) = 2 nintildeoEnJnos
se ve que existe un factor que muestra la relacioacuten numeacuterica
constante entre los dos conjuntos y es en realidad el origen
de la toma de conciencia de la proporcionalidad directa que
subyace en tantas relaciones multiplicativas cotidianas
Por ejemplo
80~ que se lee ochenta kiloacutemetros por cada horahora
24 horas que se lee veinticuatro horas por cada diacuteadla
ruedas que se lee tres ruedas por cada triciclo etc3 triciclo
Ensentildear a los nintildeos la multiplicacioacuten como una simple suma
reiterada es esconder la naturaleza diferente de los factores
en juego en este tipo de problemas
Se trata de una simplificacioacuten engantildeosa que entorpece a-
prendizajes posteriores
Es por ello que proponemos el uso didaacutectico de representashy
ciones graacuteficas y tablas como las siguientes que ponen en evi
dencia la naturaleza diferente de los dos universos y la relashy
cioacuten multiacutevoca constante entre los elementos de ambos
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
--9
floresjorrones flores jarrones
4U eacute 2iexclfiacutej
851 cmiddotmiddot~-3gtoI 2U E cflLr
3U~~middot~ por cada jarroacuten cuatro flores
Considerando la multiplicacioacuten simplemente como una suma ~
breviada se estaacute considerando une soacutelo de los conjuntos en es
te caso el de las flores Al decir 3 veces 4 flores igual a
12 flores se comparan 4 y 12 por la relacioacuten 12 es el tri-
plo de 4 (relacioacuten de tipo escalar) y se omite decir que 3 es
el nuacutemero de jarrones mencionados en el problema En la multishy
plicacioacuten en cambio intervienen cuatro nuacutemeros 1 4 3 12
los que se evidencian en la tabla y tambieacuten en la expresioacuten
3 jarrones con 4 flores en cada jarroacuten son 12 flores en total
La multiplicacioacuten entre nuacutemeros naturales es la opera-
cioacuten que vincula dos conjuntos para determinar la totalidad de
elementos de uno de ellos que se ponen en correspondencia con
cierto nuacutemero de elementos del otro a partir de la relacioacuten
constante que indica lo que corresponde a la unidad
Por ejemplo tengo 2 jarrones y deseo colocar 2 flores en cada
uno iquestcuaacutentas flores necesito
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
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Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
---10
A partir de esta situacioacuten y variando el nuacutemero de jarrones
los nintildeos podraacuten completar la tabla
jarrones flores
2 4 De esta manera se facilita que 19S
4 nintildeos trabajen sobre relaciones ta
les como 8
3 - el doble de (4 doble de 2 8
6 doble de 4 16 doble de 8 6 doshy
ble de 3 etc)
7 - la mitad (2 mitad de 4 4 mi-
9 tad de 8 8 mitad de 16 etcl
La poSibilidad de relacionar los conceptos de doble y mi-
tad a partir de situaciones concretas favorece el desarrollo
de la reversibilidad caracteriacutestica del pensamiento operato-
rio
Es interesante observar que cuando los nintildeos han trabajado
con los productos 2x2 4x2iexcl 8x2 3x2 y 6x2 utilizan distintas
estrategias para calcular 5x2 tales como
2 flores maacutes que para 4 jarrones o bien
es lo mismo que para 2 jarrones maacutes 3 jarrones etc
que muestran gran riqueza operatoria
La multiplicacioacuten por uno y por cero se abordaraacuten maacutes
adelante como casos particulares pues en la vida cotidiana de
los nintildeos no hay situaciones significativas que las requieran
en especial la multiplicacioacuten por cero pues cuando no hay
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
1 1
jarrones no se necesitan flores y reciacuteprocamente si no hay I
flores los jarrones estaraacuten vaciacuteos
La operaci6n inversa de la multiplicaci6n vale decir la I
divisi6n -entre nuacutemeros naturales- estaacute asociada a las accio-I
nes de partir o repartir seguacuten se trate de calcular el nordf
mero de subconjuntos que se pueden formar o el nuacutemero de eleshy
mentos de cada subconjunto
Por ejemplo ante una docena de alfajores una sentildeora se I
puede preguntar
- iquestA cuaacutentos nintildeos le puede dar alfajores para que cada ushy
no reciba cuatro
o O O O O O O O V
o bien
8 O O
4
iquestCuaacutentos entregaraacute a cada nintildeo si los reparte entre cuashy
tro
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
12
En ambos casos la solucioacuten simboacutelica del problema es
12 4 = 3 pero las acciones y los resultados muestran dife-I
rencias
En el primer caso se habraacute partido el contenido de la caja
en grupos de cuatro alfajores
12 (alfajores)
En el segundo conocido el nuacutemero de nintildeos se habraacute entre
gado un alfajor a cada uno hasta agotar los alfajores
3 (alf~~ ores)12 (alfaj ores) 4 (nintildeos) = nlnos
En cuanto a que el resto sea nulo (cero) o no nulo (disti~
to de cero) en ambos tipos de problemas el resto no puede su
perar al divisor
4 La multiplicacioacuten y divisioacuten en el conjunto de los nuacutemeros rea
les
Ya dijimos que desde edad muy temprana los nintildeos se inteshy
resan en la exploracioacuten del medio que los rodea
La comparacioacuten de las colecciones de objetos que encuentra
en su entorno cotidiano lo conducen a relaciones numeacutericas II
que generan la nocioacuten de nuacutemero natural Pero la mayoriacutea de eshy
sos objetos son susceptibles de ser desplazados cambiar sus I
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
13
bull
posiciones relativas y las distancias que los separan A medi
da que el nintildeo crece se enriquece su exploracioacuten espacial
aunque recieacuten alrededor de los siete antildeos estaacute en general en
condiciones de aplicar la nocioacuten de nuacutemero a la de distancia
I en una suerte de iniciacioacuten a la nocioacuten de medida
La construccioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y la exploracioacuten II
del espacio hasta ese momento parecen desarrollarse con ind~
pendencia con cierto paralelismo hasta que alcanzada la con
servacioacuten de la longitud ambas convergen en la medida (Ver A
nexo 11)
Puede resultar una actividad interesante para provocar la
reflexioacuten de los futuros maestros sobre la complejidad del pro
ceso de medida proponerles que comparen la longitud del canto
de su propia mano con la longitud del contorno de la muntildeeca
En general despueacutes de algunos intentos inshy
fructuosos llegan a la conveniencia de u-
sar un intermediario tal como una cinta o
una tira de papel Auacuten aSl los resultados I suelen ser disiacutemiles pues dependen no soacutelo
de la precisioacuten con la que se haya trabajashy
do sino del esquema corporal de cada persQ
na
En un grupo numeroso es frecuente encontrar resultados del
tipo c = mi c lt mi cgt m
Pero en todas las situaciones se ha puesto de manifiesto
la conservacioacuten de la longitud con independencia de la
rectilineidad
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
14
la transitividad de las relaciones de equivalencia y del
orden puestas en juego en la comparacioacuten
(Ver Anexo 111)
Si se toma la longitud de la laacutepices como unidad para me-I
dir el alto de esta hoja es probable que la medida no sea unl
nuacutemero natural En ese caso podriacutea decirse maacutes de 2 pero me-I
nos de 3 o bien tratar de cuantificar el excedente de dos
Surge asiacute la importancia del uso de fracciones en relacioacuten con
el proceso de medir cantidades continuas como la longitud el
peso la superficie el tiempo etc
5 El concepto de fraccioacuten
El concepto de fraccioacuten estaacute iacutentimamente relacionado con I
la operacioacuten de divisioacuten fraccionar es partir una cantidad en
partes equivalentes sin dejar resto
La nocioacuten de fraccioacuten se aplica a la descripcioacuten de cier-
tas situaciones con un enfoque relacional un estado de cosas
en el que algo se ha considerado como parte o fraccioacuten de un I
todo pensado como estado entero o unitario
Este concepto es vaacutelido tanto para cantidades continuas
(por ejemplo longitudes superficies etc) como para cantidashy
des discontinuas (por ejemplo una docena de huevos un centeshy
nar de personas etc)
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
15
En la vida diaria se usan frecuentemente expresiones como
la mitad de un camino
media docena de huevos
medio huevo duro
medio centenar de hojas etc
q implican partir un estado inicial _ continuo o enue _ discontinuo
dos partes equivalentes
Puede resultar de intereacutes para los futuros maestros reco-
mendarles que
Al presentar la notacioacuten fraccionar ia 1 lean -2- 2
partir en dos y tomar 1 de las partes o bien la mi-
tad o bien un medio
Anaacutelogamente para 1 1 y todas las fracciones de d~-4- -8shy
nominador menor o igual que diez
Asociar esta notacioacuten con expresiones cotidianas tales I
como - tres cuartos metros
- cafios de tres cuartos (de pulgadas
- tres deacutecimas de segundo etc
Observar que asiacute como por ejemplo en el numeral 110 el
1 que ocupa el lugar de las decenas representa la deacuteci
ma parte del valor relativo del 1 que ocupa el lugar
de las centenas la fraccioacuten 1 puede escribirse 01 10
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
1 6
pues el numeral 1 aqui representa la dicima parte de y
na unidad
Tambiin es frecuente el uso de expresiones del tipo un 11
tro y medio de aceite tres kilos y cuarto de carne etc
1que pueden simbolizarse mediante nuacutemeros mixtos 1 3- o4
bien mediante expresiones decimales 15 3250 Si bien es I
cierto que 3 y 13 tambiin corresponden a las situaciones 2 4
anteriores conviene sentildealar que las fracciones mayores que la
unidad no son de uso diario estas expresiones tiene un valor
histoacuterico de escasa significacioacuten social
6 La construccioacuten de algoritmos
La ticnica de resolucioacuten de una operacioacuten y su expresioacuten
simboacutelica por ejemplo la multiplicacioacuten de 523 x 46 es un 11
conjunto de reglas de accioacuten que constituye un algoritmo
El aprendizaje de algoritmos es un objetivo de la escuelal
primaria pues facilita la resolucioacuten de problemas cotidianos
Pero si los algoritmos se ensentildean como si se tratara de un obshy
jeto de conocimiento social arbitrario los nintildeos aplicaraacuten un
conjunto de reglas elaboradas por otras personas sin compren-I
derlas Esta actitud implica una deformacioacuten de la utilizacioacuten
de algoritmos que pierde asi su operatividad
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
bullbull
Anaacutelogamente conviene distinguir los mecanismos tales coshyt
mo la regla de tres o la resolucioacuten por proporciones o
t por reduccioacuten a la unidad de la adquisicioacuten de la nocioacuten del
l proporcional idad que un nintildeo construye a medida que evolu
ciona No corresponde a una didaacutectica operatoria ensentildear es
iexcl tos mecanismos como un contenido formal sino presentar probl~
1 mas que promuevan la reflexioacuten para que los nintildeos establezcan
f l situaciones de proporcionalidadiexcliexcliexcl shy
~ 1 La construccioacuten de un algoritmo exige el descubrimiento de
Imiddotmiddotlas relaciones puestas en juegc y el aniexcllisis profundo de las
situaciones a las cuales se pueden aplicar (1)
A continuaciOacutenmiddottranscribiremos un fragmento extraiacutedo de 1V
Estudios de educacioacuten Matemiexcltica Volumen 3 preparado por
Robert Morris UNESCO 1986 del que es autor Gerhard Walther
CapItulo La actividad Matemaacutetlca en un contexto educatIvo Una dIrectishy
va para la formacioacuten de maestros de matemaacutetica en la escuela 1
prlmaria~ Paacuteglna 85
Ensentildeanza por escrlto de la multlpllcacloacuten en el grado 3
Los nintildeos ya estaban familiarizados con la multlplicacioacuten por una CIshy
fra El objetivo era ahora introducir el algoritmo de la multiplicacIoacuten
escrlta por multiplicadores de dos y de tres cifras Comenzamos con un pr~
blema estrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recient~
mente realizados por los nintildeos El problema era iquestCuaacutentas horas hay en un
antildeo
(1) Disentildeo Currlcu]ar para la Educacioacuten Primaria Comuacuten - M~CBA )986
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
18
Dentro del contexto de su trabajo previo este nuevo caacutelculo constl-j
tuta obviamente un problema para los nintildeos ya que no disponiacutean de nlogun
algoritmo sencgtllo a mano para emplear En cambio ellos tenian que cons-I
truir por 51 mismos y utilizando sus conocimientos previos una herramie~
ta que sirviese para realizar la tarea
En la ensentildeanza tradicional el maestro habriacutea tenido que ensentildear ell
algoritmo de la multgtplicacioacuten por medio de ejemplos hubiera exp11cado II
las reglas y poco despueacutes los n1ntildeos habriacutean imitado el procedimiento pashy
ra efectuar la misma tarea Pero hacieacutendolo asiacute iquestHabian logrado alguna I
vez captar el sentldo de este algoritmo
ObservemoS lo que sucedioacute realmente en la clase casi todos los nintildeos
lograron en definitlva la respuesta correcta 8760 horas Pero lo que I
resultoacute realmente interesante fue la vaciedad de caminos por los cuales II
llegaron a resolver el problema
Surgieron esencialmente cinco tipos dlferentes de solucioacuten
Solucioacuten 1 Utilizando ~nicamente la adic1oacuten El nuacutemero de diacuteas del antildeo
365 Se escrlbe en columna 24 veces y efectuando la suma sel
encuentra el resultado es decir 8760
Solucioacuten 2 Se descompone el n~mero de horas del dia es dec1r 24 en la
suma 10 + 10 + 4 Y se mult1plica el n~mero 365 suceslvamente
por lO por 10 y por 4 La suma de los tres productos obtenishy
dos da la m1sma respuesta correcta
Solucioacuten 3 En esta solucioacuten el nuacutemero 24 se descompone en 20 + 4 Se mul
tipl1ca despueacutes 365 por 20 y por 4 y se suman los dos pIo-1
duetos obtenidos
Solucioacuten 4 El nuacutemero de diacuteas del antildeo se descompone en 300 + 60 + 5 Y se
multiplica 24 sucesivamente por 300 por 60 y por 5 sumandol
finalmente los tres productos
Solucioacuten 5 Esta solucioacuten implica una doble descomposicioacuten Se descompone
365 en 300 + 60 + 5 Y se descompone 24 en 20 + 4 Se calculan
los se1S productos 300 x 20 60 x 20 5 x 20 300 x 4 60x4
5 x 4 La suma de los seis da f una vez maacutes la respuesta co-I rrecta 8760
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
19
Al terminar la clase l los estudiantes normalistas tuvJeron una sensa
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el t~abajo y habiacutean
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
lucioacuten Pero el maestro permanente de la clase no compiquestirtioacute este entusiasshy
mo y objetoacute iquestDOacutende se hizo la ~ntroducc1oacuten sencilla y clara del algorit-
ro iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo permitiendo a los nintildeos utilizar susl
Uviejos procedimientos iquestNo hubiera sido major utJlizar el tIempo enseshy
ntildeando el nuevo algorItmo a los nintildeosu En realIdad el fracaso ptJra lntro
dueie el nuevo algoritmo constltuyoacute una criacutetica justifl-cadaR Pero iquestcoacutemo I
podriacutea haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicIoacuten de 1
los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habian rea11zashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutex1shy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 24 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica~
se ese caacutelculo
En la primera parte de esta leccl(~)fl f los nintildeos deb~an discut 1r sus so
luclones y debian explIcar Sus propios procedimientos Ellos ten~an que 11
descubrlr coacutemo y por que sus dlferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los c~lculos en relacioacuten con el tlempo insumldo al esfuerzol
demandado a su simplicldad etc El maestro estimularla y organlzariacutea esshy
td dlscusi~n pero de forma reservada para no interferir en la naturall-j
dad del trabajo de los nintildeos Despueacutes de estas consideraciones el algoril
mo corriente se introdUCiriacutea en la segunda parte de la leccioacuten como una 11
forma abreviada de multlplicacioacuten que no seria completamente nueva sino j
que estarla muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habiacutean utllizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos hablan logrado tamblen el resul
tado correcto y sus contribuc10nes habian agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendiz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten Algushy
nos nintildeos por ejemplo criticaron las Soluclones complicadas Algunos
de sus comentarios fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se h1zo en la Solucioacuten 2) yo puedo hacerlo como (365 x 20) I que
es maacutes raacutepidou bull Esto estaacute mal tu no multiplicaste refirieacutendose a la 1
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
19
middotAl terminar la clase los estudiantes normalistas tuv~eron una sensashy
cioacuten agradable Los nintildeos se mostraron interesados en el trabajo y hab~an
trabajado matemaacuteticamente para poder encontrar su propio camino para la s~
iuci~n Pero el maestro permanente de la clase no compartioacute este entusiasshy
Il1O y objetoacute iquestDoacutende se hizo la introduccioacuten sencilla y clara del algorit-
81o iquestPor queacute se gastoacute tanto tiempo Jgteurormitiendo a los nintildeos utilizar sus
viejos procedimientos niquestNo hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseshy
i1ando el nuevo algorltmo a los nintildeosu En realldad el fracaso para intro
dueir el nuevo algoritmo const~tuyb una critica justificada Pero iquestcoacutemo
podr1a haberse conducido la leccloacuten a un buen final La proposicioacuten de JI los estudiantes normalistas fue utilizar el trabajo que ya habluumln realizashy
do los nintildeos Hubo acuerdo general sobre eacutesto y el objetivo para la proacutexlshy
roa leccioacuten de matemaacuteticas fue contestdr dos preguntas iquestDe queacute forma calcu
laron realmente los nintildeos el producto 365 x 247 iquestCoacutemo podriacutea slmpllfica
se ese caacutelculo
En la prlmera parte de esta lecci~n los nintildeos debiacutean dlscutlr sus so
luclones y debian expllcar sus propios procedimientos ElLos tenfan que 11
descubrir coacutemo y por que sus diferentes caacutelculos habian funCIonado Tenian
que comparar los caacutelculos en relacioacuten con el tlempo insuffildo al esfuerzol
demandado a su simplicidad etc El maestro estimularla y organizariacutea esshy
ta discusioacuten pero de forma reservada para no interferir en la natural 1-1
dad del trabajo de los nlntildeos Despueacutes de estas consideraciones el algorii
mo corriente se introduciriacutea en la segunda parte de la leccibn como una 11
forma abreviada de mulllplicacioacuten que no seria completamente nueva sino 1
que estaria muy cercana a los meacutetodos que algunos nintildeos habian utilizado1
Los nintildeos cuyas soluciones estuvieron mas alejadas del algoritmo no fueron
considerados en menos puesto que ellos habian logrado tambieacuten el resulshy
tado correcto y sus contribuciones habiacutean agregado intereacutes a la leccioacuten
Aunque los nintildeos no estaban acostumbrados a este estilo de aprendlz~
jes se adaptaron raacutepidamente a eacutel y tomaron parte en la discusioacuten~ Algushy
nosJ nintildeos por ejemplo criticaron las soluclones complicadas Algunos
de sus comentarlos fueron Tu no necesitabas calcular dos veces 365 x 10
(como se hlZO en la Solucioacuten 2) iexcl yo puedo hacerlo como lt365 llt 20) iexcl que I
es maacutes raacutepidO Esto estaacute mal tu no multiplicaste (refirieacutendose a la 1
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
20
SolUC1iquestm 1) En este aspecto de Id clase el papel del IUoacuteestro es logrdr
que los nintildeos conversen deerca de lds actividades que llevaron a cabo y 1
que reflexionen sobre ellas En este metanlvel deben aprender tambieacuten que
una tarea matemaacutetica puede ser realizada de varias formas diferentes y esshy
tas formas han sido determinadas por los nintildeos mismos no por los maestros
o por eltexto Otra experiencia que el maestro debe hacer explIcita es
que cada nintildeo puede contribuir a la tarea comuacuten y que los nJ ntildeos pueden a-
prender unos de otros El maestro tiene que hacer de mediador entre el coshy
nocimiento individual (las diferentes formas y los diferentes caminos pdra
llegar a una SolUCioacuten) y el conocimiento comuacuten que es necesarLO l~ra com~1
prender el proacuteximo procedimiento matemitico (algontmo de la mult1plica-
cioacuten) En este proceso y con la ayuda del maestro se establecen las rela
ciones entre las diversas formas de cdlculo (partes del conocimlento) y el
nuevo conocimiento Fue de esta manera que surgioacute el conocimiento y quel
fue compartido Volviendo al desarrollo de la leccioacuten la discusun se Clr
cunscribioacute finalmente alrededor de la Solucioacuten 3 Se conSIderoacute el meacutetodo I
empleado en ella como el maacutes simple Los nintildeos reconocieron y recordaron
ademaacutes que ellos ya habian hecho tales multiplicaciones iquestNo podriacuteamos
combinar ambas multiplicaciones en una sola El estudiante normalista
planteoacute el nuevo problema Al comienzo la segunda parte de la pregunta
causoacute mucha confusIoacuten En uacuteltImo tEacutermino eacutel hizo explicito que necesjtaba
tener solamente dos lineas ba jo la barra de multiplicac1oacuten (en vez de
tres) Varios nintildeos encontraron SIn necesidad de maacutes ayudd el algorltmo
usual Aunque lo relatado puede transmItir solamente una Impresloacuten fragme~
taria sobre todo lo que realmente sucedloacute se espera que luyan quedado en I
claro algunas caracteriacutestIcas de la ensentildeanza de la matemaacutetlca Los maes~-
tras neceSItan una imagen adecuada de la naturaleza de la matemaacutetica e~
peclalmente de la actividad matemaacutetica En el texto convencional (utIliza
do en la escuela primaria) la cuestioacuten de calcular 365 x 24 es utilizada
en el mejor de los casos para lfltroducir el algoritmo escrlto en forma dl
recta o como un ejerclcio para realizar despuiquests de su introdUCCIoacuten Perol
en la matemaacutetica Ureal u resulta un acontecinuento raro encontrar un meacutetoshy
do ya confeccionado para aplicar a la resolucioacuten de un nuevo problema Y
eacuteste es tambieacuten el caso en la vida dIaria Cuando surge un problema debeshy
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
21
~ ~ i~ iexcl1
mas tratarlo de forma mas o menos ingeniosa utilizando nuestras propias I
herramientas mentales y objetivas Nadie le habraacute mostrado antes coacutemo mani
pular exactamente aquel problema En la leccioacuten que se ha descrito el esshy
tudiante normalista estimuloacute la actlvidad matern~tica auteacutentica con cuesti2
nes corrientes de la asignatura Se les dio a los nintildeos la oportunidad del
recrearse en el pensamiento divergente de descubrlr soluciones ad-hoc de
interrumpir los procesos rutlnarios de desarrollar o de aplicar estrate-I
gias heuriacutesticas (por ejemplo la descompos~cioacuten del multiplicador redu-
ciando la realizacioacuten de una multiplicacioacuten a la realizacioacuten de una suma
etc) de comunicar de reflexionar y de argumentar respecto a sus activid~
des El maestro que se propone educar debe confiar en la productividad mashy
temaacutetica de los nintildeos debe tomar con seriedad sus contribuciones Debe II
concebir su papel como el de un medlador entre el conocimiento matemaacutetico
individual y la matemaacutetica convencional que eacutel busca que los nintildeos lleguen
eventualmente a dominar
El algoritmo de la divisioacuten es una de las adquisiciones
maacutes difiacuteciles del nivel primario
Dos son las principales dificultades que se presentan en
la construccioacuten del mismo la estimacioacuten del cociente y el caacutel
culo del resto Casi siempre estas dificultades estaacuten relacioshy
nadas con la apretada siacutentesis de varias operaciones que impll
ca un registro simboacutelico del tipo 764 12
44 63
8
Por estas razones conviene en todos los casos trabajar
primeramente con materiales estructurados y respetar el tiempo
individual con que cada alumno logra interior izar las acciones
concretas que realiza antes de formalizar la expresioacuten numeacuteri
ca
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
lr
A continuacioacuten y a modo de ejemplo proponemos una secuenshy
de actividades que se apoyan en el uso de materiales de faacute
cil confeccioacuten
Recortar cuadrados de 100 cuadradi tos pa ra representar centenas
Tornar de este material por ejemplo
pdca repartIr en dos conjuntos 8
qluvalentes
a
En este caso eS necesario canjear una decena por d~ez porotos y dSl
formar dos grupos de
bull Registrar numeacuterIcamente
para repartlr en cuatro conjuH~b
tos equivalentes~
En este caso eS necesarIO
en cada1) canjear cada cuadrado por dlez barras
para colocar
2) canjear la barra restante por diez pe en cada o orotos colocando _______________________ grupoo
Registrar numeacutericamente
para repart~r en seis conjuntosl
equivalentes
En este caso es necesar10
c
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
23
1) canjear dos cuadrados por veinte bashy
rras repartir las veinticinco tarras en cada colocando ___________________________ grupo
2) canjear la barra restante por diez 12
rotos repartir los catorce porotos en cada
colocando 00 grupo
Registrar numeacutericamente
l
l
para r-epdrtlc entre doce
Observar que se trata del mismo material que en el caso anterlor para
repartir en el doble de conjuntos
1) estimar cuaacutentas decenas corresponderaacuten a cada grupo
2) veriflcar la estlmacioacuten
3) calcular cuaacutentas decenas restan para ser canjeadas por porotos
4) cuaacutentos porotos corresponden a cada conjunto
5) cuaacutentos porotos restan
Registrar numeacutericamente paso a paso las acelones realIzadas
Es probable que algunos nintildeos comiencen a dividir por las unldades
1uego las decenas etc Este procedimIento ] os oh Llgd a Cdn jes cOllipl1
cados aunque correctos~ Cuando los alumnos discutan con sus compantildee-I
rOs los diversos procesos empleados adoptaraacuten las formas maacutes simples
y econoacutemicas que son en definitiva las socialmente adoptadas y re-I
sllltan de comenzar divid~endo por las unidades de orden superior (en
nuestro caso centenas
Se pueden organizar otras secuencias de este tipo repartiendo mate-II
riales por ejemplo entre ocho y luego dieciseacuteis o bien entre nueve
y luego dieciocho etc para pasar a dividir por veint1cinco (comshy I
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
25 r r
lacioacuten de dos variables largo y ancho
Dice Pilar Moreno Angulo
Al abordar el anillsis del aprendizaje de la geometrla II
nos encontramos con que habitualmente en la escuela se ha venido llevando
a cabo una disociacioacuten entre la elegancia de las figuras geomeacutetricas el I
triaacutengulo el cuadrado el ciacuterculo el rombo y la aridez de las foacutermushy
las que permItan el caacutelculo de Su aacuterea~
b hTrlingulo = 2
Las formas conocidas por- el nintildeo desde que es muy pequentildeo permane-
cen en este Olvel IntUItivo auacuten despueacutes de conocer el UtrucoU que SOlUC10shy
na los problemas escolares referentes al caacutelculo de sus aacutereas
Centcndonos en el terreno de la superficie del rectaacutengulo nos podeshy
rnos plantear que si la foacutermula para conocer su aacuterea es SImplemente base I
por altura U un nintildeo que puede multiplicar 5 x 8 (sean por ejemplo 5 car~
melos a 8 pesetas) tambieacuten podraacute resolver problemas referentes a la supe~
ficie del rectaacutengula iquestPero es igual 40 pesetas como precio de Clnco carashy2
melas que 40 cm
Si nos remltimos a la disociacloacuten entre la figura geomeacutetrlca y el caacutel
culo de su superficie podemos extraer la conclusi~m de que este [iexclltimo ha
sido conslderado por la pedagogiacutea tradicional como una ilustracioacuten maacutes ca
mo un ejemplo del mecanismo multiplicativo que los D1ntildeos conocen desde se
gundo de EGB () iquesty esto es cierto
En prlncipioiexcl tanto 40 es el numero que sale de multiplicar 5 carameshy
los por 8 pesetas como el 40 que sale de multiplicar 5 cm x 8 cm
(1) Moreno Angula Pilar liLa construccioacuten infantil de la medida de superficie~ en la Pedagogla Operatoria Hoy 111 Jornadas de Pedagogla Operatoria lMIshy
PAE publica~ioacuten del Ayuntamiento de Barcelona 1985
) En Espantildea Educacioacuten General Baacuteslca
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
26
Sin embargo pensando en que es tanto geomeacutetrica como matemaacuteticamenshy
te el aacuterea tal vez nos sea maacutes complejo decidir por ejemplo Si es igual
medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado
Para profundizar en este tipo de problemas recomendamos al
docente la lectura del Anexo l
Otro tema interesante es la relacioacuten y diferenciacioacuten en-
tre las nociones de periacutemetro y superficie Si se consideran
dos figuras equicompuestas por ejemplo un rectaacutengulo y un pashy
ralelogramo formados por dos triaacutengulos consecutivos congruenshy
tes resul ta mucho maacutes faacutecil
para los nintildeos afirmar que
tienen la misma superficie
que decidir si tienen o no
el mismo periacutemetro
Las experiencias espaciales de los nintildeos no son uacutenicamente
perceptivas un nintildeo pequentildeo es capaz de moverse y operar con
estructuras geomeacutetricas haciendo construcciones con cubos o 11
formando mosaicos con piezas de rompecabezas Pero la capaci-
dad para formar imaacutegenes de objetos y abstraer formas requieshy
re el desarrollo de cierta aptitud espacial que no se adquiere
por una simple visualizacioacuten que no esteacute acompantildeada por una tQ
ma de conciencia de los desplazamientos y las transformaciones
Resulta entonces evidente que en el nivel primario no hay
lugar para una ensentildeanza de la geometriacutea basada en conversa-
cioacuten y tiza sino que se hace necesario suministrar a los nishy
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
27
ntildeos cajas cartoacuten papeles pajitas hilos tijeras y otros
materiales por el estilo
Una geometria experimental fiacutesica manipulativa de tipol
intuitivo no estaacute rentildeida con el desarrollo de un pensamiento
que alcance alguacuten nivel de rigor cientlfico el rigor inheren
te al estadio evolutivo de cada nintildeo
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
28
ANEXO 1
(j Ve 11 gnlt1ud (j RieLu iacuteJidJdicu y Adqiltliciquestoacuten de clnc~E
togt mtemaacutetico RevjAw Algentvw de Educacioacuten Antildeo IV
NQ 6 paacuteg 72 bull
~I isomorfilmo de medida puede representarse en un cuadro de correspondencia
M M
x ) = f(x
x y- Ilx
en el cual la funcioacuten I hace pasar de un elemento de M (medida d un primer lipo) bull u imagen en M (iexcliledida d un segundo tipo)
Ejemplos
1 pastel I325 francos 1 minuto 2km 3 pasleles 975 francos 12 mIacutellutos 24 km
S pueden analizar elo cuadras desde el punlo de vi1a de J funcibn lineal 1
x ~ ax
y desde 1 punlo de visla de la propiedades del isomorfismo
fin + n = Iln + fin
IIn = fin
11 + n = I(n) + fin)
Estos dos anaacutelisis complementarios el uno al otro permiten defmir clases de promiddot blemas dUerentcs y procedimientos de solucioacuten diferentes Permiten tambieacuten me~
jarar la diacuted4ctica de csta estructura relaciona1 t como lo veremos maacutes adelante Consideremos por ejemplo algunos problemas
francosboleUa
7l
8 O Una boleUa cuola 7 franco Compro 8 boleUas iquestcuaacutenlo debo pagar
Varias soluciones SOn posibles bull mUllipuumlcar 7 por 8 8 bOleHa cuellan 8 veees muacute quo una bOleUa en este caso se utiliza un procedimiento escalar que consiste en utilizu la razoacuten 8 (sin dimen sioacuten) enlre las dos medidas l y 8 Y trasponerlo sobre las im6l1enes
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
botellas fX1lDCOS
Xs( 8 ~ )xs
bull multiplicar 7 por S se puede pasar de una medida a la otra multiplicando por el
precio unitario francos por botella
boteUas francos
7
8 xl o _mmar 78 vecesseguidos el precio de 8 boteUas es el precio de una botella maacutes el
precio de otro botella maacutes el precio de otra botellabull (8 veces en total) $Umar 8 7 veces seguidas esta suma no tiene correspondencia y ademis es un pro~
cedimiento pocas veces utilizado Este ejemplo tan sencillo permite ver que la multip)icaejbn 7x8 = represen
ta una abstraccion nada desdentildeable puesto que postula una relacioacuten ternaria parmiddot
tiendo de hecho de una relacioacuten cuaternaria Eleiacuteemplo muestra tambieacuten que Uliliacutemiddot
zar un operador escalar (8 veces m) o un operador funcioacuten (x7 porque 7 franshy
co por botella) no es en absoluto lo ntismo
7 francosJ x 8 operador escalar
O se obtienen francos
x 7 francosbotella se obtienen francos 8 botellas o El anlilisis dimensional esqueCiitico que acabamos de realJtar es indispensable
para comprender las operaciones de lo alumnos y las dificultades que pueden enmiddot
trantildear Se puede igualmente distinguir do tipos de problemas en la divisioacuten
- la buacutesqueda del valor unitario o 12 96
- ~ ~~~-O~----~rr_~ ~ ~~~i~JtiexcllM)ftijj~~f1iiiexcla~ijeacuteij~Mij~iAi~iexcl~qiexcliexclJ~t~~_middot1111 iexcl[gill JiUbullbull Doce botellas cuestan 96 fnncos ieuAJ ea eacutel p~ iexcliexclun bot -- shy
-la buacutesqueda de una cantidad
1 7
O 105
Cada botella cueta 7 francos IQueacute cantidad de botellas corresponden a un listo
de 105 francos
Tambieacuten en este caso varios procedimiacuteentos de solucioacuten son posibles corno
ocurre en el caso ma general cuando e trabaja un valor alar nummco dado
15 4
10O Se necesitan 15 kit de harina para hacer 4 pasteles iquestCuaacutenta harina se necesitaraacute
para hacer 10 pasteles
No describiremos aquIacute los diferentes procedimientos posibles
El anaacutelisis de elo problemas pone en juego no solamente las operaciones de
multiplicacioacuten y de divisioacuten sino tambiacuteeacuten la proporcionalJdadlas propiedades de la
funeiacute6n lineal d anaacutelisis dimensional) en ciertos aspectos el marco teoacuterico de los
aspectos lineales (espacio vectoriales) Tambieacuten puede verse que este anaacutelisis pone de manifiesto e] concepto de razoacuten
rat6n escalar 104 que no posee diroell$ioacuten y la razoacuten funcioacuten 1514 (que se expresa
en kilOlRmos de harina para cada pastel)
A partir de problemas de ste tipo pueden COll$truIacuteTSe cla de pares de nuacutemeros
enteros isomorfos a los nUacutemeros racionales
15 4
3 B 6 16
9 24 12 32 etc etc
lt 6 9 In - -= - = 8 l~ 24 8
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
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ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
En remmen el isomorfLm1o de medidas reuacutene en una soJa estructura relacional una rica gama de conceptos
~ el producto de medidfu representa desde el punto de vista del anaacutelisis dimensioshy
nal una operocioacuten diferente el aacuterea del rectaacutengulo es el producto dltllo por el
ancho porque la superfjcie es proporcional al lariexclo cuando el ancho se mantiene
constante Si se multiplican por n las dimensiones del rectaacutengulo su superficie
queda multiplicada por n2
El aacuterea es una funcioacuten bilineal el volumen una funcioacuten trilineal el cardinal del
producto carteaumo de n-eonjuntos es n~eal en re1acibn a los cardlnales de cada
uno de los conjuntos Las matrices permiten faacutecilinente poner en evjdencia la estnlctura del producto
cartesiano (clases de pares aacutereas)
nintildeas 10
m n o bull bull m
bull e ltf en lto
- _ shy - ~-shy
anchonintildeos
conjUnto de pares que se pueden aacuterea del rectaacutenlUlo 2x4 (la disposiciacuteoacuten
fonnar con 3 nintildeos y 5 nintildeas en cuadrados hace apareces- el producto
cartesiano)
y las propiedades de la bilinealidad~
nuacutemero de nifiacuteas
1 2 3 4 5 6
numero
de nintildeos
1 2 3
1 2 3
2
4
6
3 6 9
4
8 12
5
10
15
6 12 18
4
5
4
5 8
10
12 15 nuacutemerO de
pares posibles
porcionala la columna de la izquierda
La distincioacuten que acabdmos de hacer entre isomorfismo de medidas y producto
de medidas no significa por supuesto que no exista una relacioacuten entre amoas e~shy
trucNras El producto de mediacutedas es un doble isomorfiacutesmo (bilin bullbulllidad) y el isoshy
morfismo pone en juego un producto de medidas cuando se hace intervenir el opeshyrador fundan
kg de harina kg de harina pl1slele s ----shy
panel
dutancio recorrido = fltmpo x Jelocidad
dislcncia Igtelacidad
tiempo
2 Problmiti psicoloacuteiexclica
Desde el punto de vista pSicoloacutegico distinguimos varios objetos de estudio
bull Las diferem eloses de problemas posibles y sus difitullluIes relativas
Por ejemf1o la divisioacuten en un producto de medida puede ser maacutes dificil que Jos
dos tipos de divisiones que hemos distinlNido en el isomorfISmo las cuales a su vez pueden presentar distintos niveles de dificultad
En los problemas de tipo leiexclla de tres la dificultad del problema en forma ge~
neal depende de los valores numeacutericos de la relacioacuten de proporcionalidad y de la
naturaleza fiacutesica de las magnitudes en juego
Las duumlicultades que hemos seftalado se resuelven gradualmente durante un laro
periodo de La vida escolar
En el ptoducto de medidas el caacutelculo de] volumen a partir de las dimensiones
elementales es maacutes faacutecil que la dIacuteVisioacuten pero sin embar~o existen pocos estudios so~
bre la comprensioacuten del conjunto de propiedades relacionadas con la trilinealidad
(ver experiencia que presentaremos maacutes adelante)
w Los diferentes procedimientos de salucion de problemas analiados desde el punta
de Jista de los conceptos que intenienen
La Jerarquiacutea de la dificultad de las distintas clases de problemas merece ser estu
diada Pero esto no es suficiente pues un mismo probJema puede ser tesuelto de dimiddot
ferentes maneras equivalentes desd~ el punto de vista del resultado pero quizaacutes
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
mUy distintas en tum1CI a los conceptos utilizado~ Ya hemos visto cuatro procedIshy
mientos distintos en lo que respecta a la muluumlpiJu ioacuten Se pueden realizar estudios experimentales sistematicos para medir la dificulta d
de cada uno de los procedimientos que pennJlen resoiver la misma dase de probltshyma~ y poder asiacute meda el pado de disponibilidad frente a un nu evo problema
Sin especificar en detalle ios res-tlhadcs ya publicados indicaremos como ~Jemshy
plo qu e en 105 problemas de regla de tres henos encontrado mas de veinticinco procedimientos de cAlculo diferente de Je s cuales ci-1CO condu cen a la solucioacuten
correcta y el resto al fracaso El anaacutelisis y la clasificacibn de procedimientos mues
tra que las diferentes propiedades de la funcioacuten lineal son comprendidas y utilizashy
das de una manera desigual por los alumnos de 12 a 15 antildeos y que los procedimienmiddot
tos de error merecen ser analizados en profundidad puesto que frecuentemente
esos procedimientos toman en cuenta pero en forma erronea aspectos pertinentes
de las relaciones que intervienen Para desarrollar auacuten mb nuestro punto de vista teoacuterico agregamos que los procemiddot
dimientos utilizados por los alumnos ponen de manifiesto el funcionamiento de inshy
ferencias y de teoremas no expliacutecitos Utilizaremos varias expesjones para designar
esto s razonamientos teorema en acto inferenciacuteaentilde ato caacutelculo relacional
El caacutelculo relacional se realiza sobre las relaciones por Jo tanto no es Jo mismo
que el cilculo numeacuterico auacuten si la sucesioacuten de caacutelculos numeacutericos es 10 uacutenico que
nos pennite decucir cuAl es el caacutelculo relacional subyacente
Por ejemplo un sujeto que resuelve el prOblema
415
O 10
ejecutando las operaciones 10 4 = 2S y despueacutes 1S x 25 = 375 utiliza un pro ~ cedimiento de tipo escalar y el teorema que se pone en juego (theacuteoreme en acte) es
la propiedad (xl = (x) Un sujeto que SUlta 15 + 15 + 075 = 375 estaacute utilizando la descomposici6n
de 10 en 4 + 4 + 2 b 4 + 4 + (l 2 4 La propiedad utilizada aqui ~s
[H x+ (l 2Ix] = (x) + (x) + (l 21M
Un sujeto que reali1a 10-4 = 6 Y despueacutes 15 x 6 = 9 empica un razonamienmiddot
to err6neo cuyo parentesco con el procedimiento escalar es manifiesto En lu~ar de
buscar y utilizar la razoacuten entre 10 Y 4 efectuacutea ja diferencia
Maacutes adelante veremos otros ejemplos
- lAs diferenes rtprtserrraCioneiexcl simboacutelicas de problemos ) ms relDconriexcl que conmiddot
Tienen
Estudiar los procedimientos de soluci6n utwados es el medio maacutes decisivo para
acceder a las representlciacuteones conceptuales o preconceptuales de los alumnos Lo
maacutes importante es 10 que se signiacutefica Otro medio de acceso es el estudio de los sishy
nificantes que el nifio puede utilizar para resolver un prOblema dibujos esquemas
siacutembolos de toda clase Esos Eignificantes o representaciones simboacutelicas no se en~
cuentran siempre en el razonamiento del nintildeo Existen algunas Qu e son relatiacutevamiddot
mente espontaacuteneas (el dibujo por ejemplo) y existen otros sistemas simboacutelicos dt
representaciones culturales y relativamente canoacutenicos (tablas diagramas graacuteficos ecuaciones etc)
Por ejemplo el ah1mno puede presentar un problema de tipo multiplicativo en
fonna 4e ecuacioacuten tambieacuten puede representar los datos y los operadores en un cua~
dro p odriacutea tambieacuten realizar una representacioacuten graacutefica de una funcioacuten lineal
Estas diferentes representaciones n o tienen el mismo nivel de abstraccioacuten ni de
dificultad ni tampoco pueden siempre utilizarse para resolver un problema dado
El estudio psicogeneacutetico de los aprendizajes escolares debe consagrarles un lupr imponante
w ~
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
ANEXO rr
flOUOuXly g [ 7 Concepcioacuten de ea ge omeiJda en ee nintildeo
4eglIacuten Piaget Paidoacute~ 1969 paacuteg 17
II - MEDICION ESPONTANEA
El desarrollo de ideas de medida incluye tanto la capacidad de apreciar la conservacioacuten de la longitud cama la de agrupar cambios de posicioacuten y referirlos a una estructura espacial coordinada De lo contrario no se puede alcanzar el signifishycado de aplicar una sucesioacuten de unidades a lo largo de una liacutenea vertical ni se puede apreciar que debe haber conservacioacuten de la longitud cuanshydo se mueve un objeto-unidad
Por estos motivos dedicamos este capiacutetulo al estudio de los esfuerzos espontaacuteneos para medir puesto que una vez perfeccionado el proceso su desarrollo parece sobreenteldido Por consishyguiente es importante investigar la conducta mensural cuando se halla todaviacutea en una etapa formativa y soacutelo asiacute tendremos la posibilidad de conceptuar de manera precisa las operaciones que forman parte de los procesos psicoloacutegicos que intervienen en la medicioacuten
En una primera serie de experimentos se muesshytra a los nintildeos una torre construida con 12 blcgtshyques cubos y paralelepiacutepedos de 80 cm de alshytura y elevada sobre una mesa La tarea que se es propuoe es la de construir una segunda torre
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
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ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
de la misma altura sobre otra mesa 90 ceDrlshymetros maacutes haja y ubicada a 2 metros de disshytancia Para eliminar cualquier simple reproducshyci6n del modelo los bloques de construccioacuten con que trabajan 105 nintildeos son maacutes pequentildeos aunshyque suficientes como para levantar una torre de igual altura Ademaacutes se coloca una pantalla entre ambas mesas aunque los nintildeos quedan en libertad de Mir a ver la primera torre cada vez que lo crean necesario Se ponen tambieacuten a disshyposicioacuten de los nintildeos tiras de papel y varillas si bien no se les aconseja utilizarlas hasta que agoshyten sus esfuerzos espontaacuteneos
Las respuestas del primer estadio (la y lb) tiacutepicas de nintildeos de unos 4 a 6 antildeos Implican soacutelo una primitiva comparacioacuten visual No se mueve nada salvo la linea de visi6n Una respuesta tishypica a la pregunta bull iquestTu torre eS tan alta como la miar es middotOh si basta con verlas puse a que por supuesto no hay correspondencia exacta en altura simplemente ambas torres son altas o enormes etceacutetera En el subestadio lb se consshytruye el modelo con una altura maacutes aproximnda a la correcta puro la comparaci6n sigue siendo puramenle visual y no se experimenta la neceshysidad de verificar el caacutelculo -Basta con verlas-
Durante el estadio 2 que dura desde los 46 a 5 antildeos hasta alrededor de los 7 antildeos se mueshyven objetos en el proceso de medlci6n vale deshycir hay cambio de posicioacuten A veces el objeto en cuestioacuten es uno de los elementos comparados y otras veces es un tercer teacutermino que preanUDshy
da la aparicioacuten de una medida comuacuten aUDque todaviacutea no hay transitividad operativa En el subestadio 2a la transferencia visual caractensshytica del estadio 1 se complementa con 10 que denominaremos transferencia manual Ello sigshynifica que el nintildeo trata de aproximar maacutes los objetos a comparar de tal manera que aUDque la comparacioacuten continuacutea siendo visual ya no es comparacioacuten a distancia sino la evaluacioacuten de UD todo constituido por objetos vecinos El subesshytadio 2b se caracteriza por un desarrollo intereshysante que destaca con mayor claridad auacuten la menguante supremaciacutea de la percepci6n aislada En ese momento los nintildeos utilizan un teacutermino intermedio que no es todavia un patroacuten comuacuten independiente de medlci6n puesto que en vez de utilizar un tercer elemento para comprobar que la copia es igual al modelo emplean sus propios cuerpos a veces intentan comparar las medidas con sus manos o con sus brazos otra veces utilizan como pUDtos de referencia partes del cuerpo algo peculiares (hombros etceacutetera que les sirven para transferir -una distancia de un objeto a otro Como es obvio tales meacutetodos son resabios de la etapa evolutiva de transferenshycia manual (2a) de igual modo que esta uacuteltima es UD residuo de los estadios de transferencia visual (la Y lb) En UD primer momento el sushyjeto moviacutea el objeto mismo ahora trata de asirlo o de abrazarlo con sus manos o con sus brnos porque espera que tal ademaacuten sea la medida del largo de un objeto despueacutes que lo suelta A este
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
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10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
tipo de conducta caracteriacutestico del subestadio 2a 10 llamaremos transferencia corporal O imishytacioacuten del objeto Puesto que la imitacioacuten es el origen de los siacutembolos y basta de las imaacutegenes es faacutecil ver que el empleo de una medida comuacuten se origina en la transferencia visual y manual en la medida en que sus componentes iniciales tanshyto percltptuales como motores suscitan imaacutegenes representacianales que confieren un valor simshyboacutelico primero al propio cuerpo del sujeto y maacutes tarde a cualqwer objeto neutral de tal modo que eacutestos vienen a reemplazar a la transferencia orishyginaria
La caracteriacutestica distintia del estadio 3 es la comprensioacuten del principio loacutegico A =B B =C por lo tanto A = C Esto depende de que se pueda aplicar el principio de conservacioacuten de la longitud a pesar de los cambios de posicioacuten Pero esta capacidad es s6lo un aspecto del proceso de medicioacuten al que bay que agregar la posibilidad de subdivisioacuten y recieacuten cuando se domina tamshybieacuten eacutesta se estaraacute en condiciones de dar valor de unidad a una parte y repetirla tan a menudo como sea necesario Ahora bien esta fusioacuten grashydual de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten en un patroacuten comlIacuten de medicioacuten tiene lugar 11 lo largo del estadio 3 y se produce en dos subestadios sucesivos En el subestadio 3a (sobre UD promegtshydio de alrededor de 7 antildeos) los nintildeos utilizan un teacutermino independiente siempre que sea mayor que el original sobre el cual marcan la longitud requerida pero son incapaces todavfa de emplear
uno menor porque es demasiado pequentildeo no necesitariacutea muchos no sirve miacute mano se si gue moviendo etceacutetera Por uacuteltimo en el subshyestadio lb desde alrededor de los 8 antildeos en adeshylante la unidad de medida ya puede ser maacutes larga o maacutes corta que la torre por ejemplo iquestPuedes usar este ladrillito (El nintildeo lo itera hacia lo alto de la torre marcando cada posicioacuten con el pulgar) Entra 13 veces (Luego realiza la misma operacioacuten COn la segunda torre) -Es igual
De tal manera la adqWsicioacuten de la capacidad de medicioacuten es una siacutentesis de la pOSlbilidad de comprensioacuten de los principios de subdivisioacuten y cambio de posicioacuten que se logra mediante desshyplazamientos de una unidad Iterable que actuacutea tCll0 unidad de medida
w
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ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
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lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
[xtllaIiacutejeloiquest leelidoh a u eiquestIciaLidud
[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
35
ANEXO III
Rey NUCCl1il SUYJltvgte Lw1uellu MAp71endiquestiquestaje y flufellluacuteI iexcl
cu- La medida Pfll~ ILUla 2ordf Edicioacuten 1980 puacutegl2
DE LA MEDIDA DE CANTIDADES CONTINUAS
Llamamos cantidad a todo lo que se puede contar o meibull
Las perlas de un collar los laacutepices de una caja los panes de una anasta se pueden contar
Una cantidad es discontinua si se puede contar naturalmente El liacutequido contenido en un balde la cinta con que se atoacute un
paquHe el peso de una persona pueden medirse Una cantidad es continua si para cuantificarla es necesario
medirla Las cantidades discontinuas estaacuten naturalmente cuantificadas
pues llevan impliacutecita la unidad cada uno de sus elementos es en si mismo una unidad Asi una perla del collar es la unidad que nos permite expresar la cantidad de perlas andlogamente se pueden contar las manzanas de una canasta o los laacutepices de una caja
No ocurre lo mismo con las cantidades continuas para poder middotuantifiacutecarlas es necesario usar una unidad previamente convenida Por ejemplo el liacutequido contenido en un balde puede medirse en litros o bien en galones etc la longitud de una cinta puede exnresarse en metros o en p1lllladas o en varas etcetera
Si dos cantidades a y IJ pueden compararse del resultado de la comparacioacuten surgiraacute que a es mayor que b o que a es menor que b o bien que a es equivalente a b
En el conjunto de todas las cantidades se establece la siguiente relacioacuten de equivalencia una cantidad a es de la misma clase que b si y soacutelo si a puede compararse con b
En sfmbolos aEClbEC~agtbvaltbv a=b
Esta relacioacuten de equivalencia define por abstraccioacuten la magnitud La magnitud es lo que tienen de comuacuten entre siacute todas las cantidades que pueden compararse
Por ejemplo - en todo cuadrado un lado es menor que la diagonal y el
periacutemetro es mayor que la diagonal el lado la diagonal y el periacutemetro son cantidades comparables en longitud
-- el tanque de combustible de un camioacuten carga mayor cantidad de liacutequido que el tanque de un automovil am OOs tanques son comparables por su capacidad
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
l)limwua ComJn1986 wnJioiquest de La lIunlci
lidad de la Ciudad de Buenoh ilUacuteR1
[ couutola de il)lendtzaje I lIa(ItiltI
La meLidamiddot tielo PUllO ce mueliAO y PtJw
10h aLumnoiquest de lditolual Pfuiquest liliAa
Ha palliiciquestpado en Cong1lehoiquest Naciuacutena leiquest IJ
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[iquest pwehOla de lIateJllaacutetica IJ Didaacuteet Lca
en fa [iquestcuela NOlm(lL Supe1iol NQ de C~
piluL FedUtal
ilctualnumte he deheRlpentildeu CORlO SufWiAectoshy
Ia Nacional de [niquestenanza lIedia
9
Las cantidades que pertenecen a una misma magnitud son homogeacuteneas
Cuando una cantidad es multiplicada por un nllmero real se obtiene otra cantidad homogeacutenea con la primera Por ejemplo el producto del nuacutemero seis por la longitud del Indo de un exaacuteiexcliexclono regular es la longitud del periacutemetro de dicho ex~gono lado y perimetro son cantidades homogeacuteneas
En general si p es un nuacutemero real a es una cantidad y b es el producto del nuacutemero p por la cantidad a (b = p al entoncES la cantidad b es homogeacutenea con la cantidad a
Se llama razoacuten entre dos cantidades homogeacuteneas a y a al nuacutemero real r tal que a es el producto de r por a
En siacutembolos
al r ~ a2 o bien ~=r a
Por ejemplo
- el nuacutemero es la razoacuten entre la longitud de una circunferenmiddot cia y la longitud de su diaacutemetro
- el nuacutemero 4 es la razoacuten entre la longitud del periacutemetro de un cuadrado y la longitud del lado del mismo
- el nUacutemero gt es la razoacuten entre la superficie de un cuadrado y la superficie de otro cuadrado de lado igual a la diagonal del primero
El nuacutemero ~ el nuacutemero 4 y el nuacutemero 1 son nllmeros reales (pueden representarse sobre la recta numeacuterica)
ledida de una cantidad es el ndmero que expresa la razoacuten entre dicha cantidad y otra homogeacutenea adoptada como unidad
Por ejemplo - 16 es la medida de la superficie de un cuadrado de 4 cm de
lado respecto de la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado
-- si se toma como unidad de medida un aacutengulo de nbertulll equivalente a l de un giro completo la medida de un aacutengulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 4
- si se toma como unidad de medida la 0 parte de un giro completo la medida de un lIngulo llano respecto de esa unidad es el nuacutemero 180
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga sin embargo la cantidad es invariante e
Valor de una cantidad es el producto de la medida (nuacutemero) por la unidad de medida (cantidad adoptada COmo patroacuten l
Por ejemplo
- el valor de la longitud de una cinta es de 2 m el nuacutemero 2 es la medida 1 metro es la unidad con que se midioacute
- el valor de la longitud de la misma cinta del ejemplo anterior es de 80 pulgadas 80 es la medida y una pulgada (25 cm) es la unidad
- el valor de la superficie de un campo es de 12 hectaacutereas o bien 120000 m2
- el valor del peso de una caja de arroz es de 1 kg o bien de 1000 g
- el valor de la distancia entre dos rieles paralelos es de 120 m o bien de 48 pulgadas
Cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferen tes unidadb~ se evidencia la conservaciOacuten de la cantidad Las opera ciones que aseguran la conservaciOacuten de la cantidad se integran en verdaderos sistemas caracterizados por su reversibilidad
Por ejemplo si el valor del peso de una bolsa de azuacutecar es de 2 kg ese peso permanece constante aUacuten cuando se lo exprese en gramos
Ix 1000 11 2 k = 2000 g
I~- UacuteiOO]
el transformador Ix 1000 I que aplicado a la medida 2 da por resultado 2000 se compensa con la accioacuten del mismo operadorIx 1000 I que transforma a 1 g en 1 kg La equivalencia surge de la reciprocidad entre las transformaciones de la medida y de la unidad
ltJ el
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
seleccionado en a
c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
autola de ete Docamenio de tlaaajo e f
gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
en la eLaaOIwc ioacuten de la a~l ignatula lIatemd
Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
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9
Actividad de aprendizaje N9 4
a Seleccione un grado de segundo o tercer ciclo
b Analice el currlculum que considere maacutes actualizado del grado
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c A continuacioacuten diagrame una red que muestre las relaciones qu
se establecen en ese campo conceptual
d Luego en el grupo analice y discuta los diferentes diagrama
elaborados
3
Actividad de aprendizaje NR 5
a En grupo reflexione en torno al siguiente problema
En la praacutectica el maestro trabaja con material concre
too Por queacute entonces el aprendizaje deriva en una mecaniza- I
cioacuten
b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
lineamientos de los distintos Documentos de Trabajo
39
Proplesta de trabajo final
En tanto formador de formadores explicite coacutemo traba
jariacutea con sus alumnos futuros maestros para lograr la seleccioacuten
y organizacioacuten de estrategias y la implementacioacuten de acciones dishy
daacutecticas que guarden coherencia con el enfoque metodoloacutegico pro-I
puesto para el nivel primario
La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
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gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
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IUUCUla1 pala La [cuela 1Iimalia1981
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Uca del Dventildeo CUUILCulal de Ia [cuela
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b Elabore grupa~te propuestas superadoras Tenga presente losl
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La PlueMJw NO1ma Sangaineti de 5agge
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gl1eada del lnhtituto Nacionae 5p1iol
del Plofdolado en la CWlW de lIutemaacuteU
ca 9 COhmog1ula
Iulticlpoacute en La evafuac i6n dee Dtentildeo Cashy
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