58

Шеста, седма и осма недеља наставе

3. САВИЈАЊЕ (ФЛЕКСИЈА)

Разматрајмо проблем дејства силе која делује управно на подужну осу неког конструктивног елемента (на пример, неког вратила) приказаног на слици 1.

Слика 1. Начин свођења реалне кострукције на модел за прорачун

На овај начин, формирањем модела за прорачун цео проблем би се свео на одређивање напона и деформације штапа оптерећеног у равни управној на осу штапа, који се у општем случају назива гредни носач (доњи део слике).

Посматрајмо сада гредни носач типа конзоле, оптерећен управно на своју подужну осу (Сл.2)

Нападне величине могу се представити, као што је претходно показано, помоћу дијаграма попречних сила и момената савијања. Под дејством овако дефинисаног оптерећења доћи ће до кривљења првобитне осе носача –

савијања носача у вертикалној равни у-z, при чему ће подужна ″влакна″ да се издуже на горњој, а да се скрате на доњој страни деформисаног гредног носача.

Слика 2. Конзола изложена дејству концентрисаних сила

59

Дакле, у овом случају кажемо да се носач савија, а напрезање коме је тај носач изложен се назива напрезање на савијање. Посматрајмо сада, нападне величине у оба карактеристична пресека конзоле.

Поље AB : ( ) ( ) constaFz M ;0zT =⋅−== .

Поље BC : ( ) ( ) zFz M ;constFzT ⋅−=== .

Видимо да ће у пољу AB на носач деловати само момент савијања М = const уз

одсуство попречних сила, док ће у пољу BC деловати момент савијања М = M(z) попречна сила Т = F = const. Треба напоменути да ће у општем случају вредности нападних величина, у произвољном пресеку носача, бити облика T = T(z) и М = M(z). Када у неком пољу делује само момент савијања M = const, као што је случај са

пољем AB конзоле, онда кажемо да је носач оптерећен на чисто савијање (Сл.3-а). Када у неком пољу имамо истовремено дејство момената савијања и попречних сила, онда кажемо да је то савијање силама (Сл. 3-б).

Слика 3. Чисто савијање и савијање силама

.......................................................................................................................................

НАПОНИ

Чисто савијање (око осе х) Поставимо једначине равнотеже за произвољни попречни пресек између унутрашњих сила и нападних величина. У произвољном попречном пресеку, у случају чистог савијања, од нападних величина делује само момент савијања :

0≠== constMMx , 0MMTN ;0T tyxy ===== (Сл.4).

60

Слика 4. Стање равнотеже у попречном пресеку носача

Са идејом да се поједностави даље разматрање, уведимо претпоставку да је: А = const, и Ix = const. Посматрајмо једначине равнотеже:

1. 0TdAA

xzx ==∫τ , 4. ∫ =⋅A

xz MdAy σ ,

2. 0TdAA

yzy ==∫τ , 5. 0MdAxA

yz ==⋅− ∫ σ ,

3. 0NdAA

z ==∫σ , 6. ( ) 0MdAyxA

tzxzy ==⋅−⋅∫ ττ .

Уведимо и следеће претпоставке: 1. Претпоставка о напонима На попречни пресек делују само нормални напони у правцу осе носача,

0z ≠σ

0 ,0 zyzxy === ττσ .

2. Претпоставка о деформацијама (Бернулијева претпоставка).

0z ≠ε , 0zyzx == γγ .

Пошто се при савијању носача, као што је речено, спољашња ″влакна″ са једне стране издужују, а са друге скраћују, логично је претпоставити да између мора

61

постојати ″влакно″ које неће променити своју почетну дужину, већ само облик. Такво влакно се назива неутрално влакно, а одговарајућа површ која садржи сва таква влакна се назива неутрални слој. Траг неутралног слоја у равни савијања (у разматраном случају раван уz) се назива еластична линија, а траг неутралног слоја у равни попречног пресека (раван xy) је неутрална линија. Да би се увела трећа потребна претпоставка, продискутујмо следеће: На неком удаљењу y од неутралне линије, влакно дужине dz ће се под дејством момента савијања издужити за неко (dz). Јасно је да се у том случају специфично издужење – дилатација управцу осе штапа може представити изразом

Слика 5. Део распона гредног носача изложен дејству момената савијања

3. Веза напона и деформације

zz E εσ ⋅=

( ) ( )z,yyzKE zz σσ =⋅⋅= (1)

У случају чистог савијања кривина има константну вредност K = const, што даје

( )yzz σσ = , односно, у случају чистог савијања сва влакна у правцу осе носача,

на удаљењу y од неутралне линије, имају исту вредност нормалног напона. Дискусија једначина равнотеже

Пошто су: τzx = τzy = 0, може се рећи да су једначине равнотеже (1), (2) и (6) идентично задовољене.

( )ϕρ

ϕρϕρε

d

ddy

dz

dzz

−+=

∆=

yKy

z ⋅==ρ

ε ,

при чему се полупречник

кривине ρρρρ неутралне линије може изразити као реципрочна вредност кривине криве у некој тачки (1/K).

62

• Анализирајмо једначину равнотеже (3):

( ) 0zNdAA

z ==∫σ , дакле, 0S0SKEdAyKEdAyKE xx

AA

=⇒=⋅⋅=⋅=⋅⋅ ∫∫ ,

односно оса х мора да буде тежишна оса.

• Из једначине (5):

0MdAxA

yz ==⋅− ∫ σ ⇒ 0I0IKEdAyxKEdAyKEx xyxy

AA

=⇒=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫∫ ,

односно, осе (х, у) морају бити главне тежишне осе.

Овакво савијање се назива савијање око главне тежишне осе инерције.

• Пређимо на једначину равнотеже (4):

∫ =⋅A

xz MdAy σ , ⇒ x

2

AA

MdAyKEdAyKEy =⋅=⋅⋅⋅ ∫∫ , ⇒ xx MIKE =⋅⋅ па се

одавде види да је : x

x

I

MKE =⋅ односно y

I

MyKE

x

x ⋅=⋅⋅ , а решавањем

једначине (1) добијамо израз за нормални напон:

yI

MyKE

x

xz ⋅=⋅⋅=σ . (2)

Односно,

x

xmax

x

xmax z

W

My

I

M=⋅=σ , где је

max

xx

y

IW = - отпорни момент савијања за осу x.

У неком конкретном пресеку z = z0, имамо

( ) ( ) yCyy,z zzzz0

⋅===

σσ , ( )( )

constzI

zMC

0x

0 == .

Нормални напон је линеарна функција по координати y попречног пресека:

-слика

63

Такође следи ( ) 0y0yz =

=σ . Ово значи да сва влакна која леже у равни x, z

носача остају недеформисана (неутрална раван, неутрална линија, еластична линија). Ако попречни пресек није симетричан у односу на осу x око које се савија, нормални напони у најудаљенијим влакнима од осе x имају различиту вредност.

-слика:

Савијање силама (око осе х)

Посматрајмо сада тај исти носач изложен дејству савијања силама. У том случају проблем је знатно сложенији. Појава напона смицања, изазвана дејством попречних сила, како у равнима управним на осу носача, тако и у равнима у правцу осе носача (став о коњугованости напона смицања) изазива кривљење (витоперење) попречних пресека како је то показано на слици:

Слика 6. Витоперење попречних пресека изазвано дејством попречних сила

( ) ,constzMM xx ≠= ( ) 0zTT yy ≠= , 0MMTN tyx ==== .

И овде уводимо следеће претпоставке: 1. Претпоставка о напонима слика

0, ,0 yz =≠ σσ

0 ,0 zyzx ≠≠ ττ .

2. Претпоставка о деформацијама У овом случају, претпоставка о попречним пресецима који остају равни и управни и на деформисану осу штапа више не важи, јер појава напона смицања изазвана дејством попречних сила, како у равнима управним на подужну осу носача, тако и у равнима у правцу осе носача (став о коњугованости напона смицања), изазива кривљење (витоперење) попречних пресека.

64

0z ≠ε , 0zx ≈γ , 0zy ≈γ .

Ипак, на основу експеримената, за материјале који се највише примењују у техници, витоперење попречних пресека је занемарљиво мало (са изузетком танкозидних штапова) и утицај попречних сила на подужне деформације влакана и распоред нормалних напона може се у потпуности занемарити. Због тога, утицај попречних сила на подужне деформације влакана и распоред нормалних напона, може се у потпуности занемарити. 3. Веза напона и деформација

zz E εσ ⋅=

zxzx G γτ ⋅= , али ....

zyzy G γτ ⋅= , али ....

Нормални напони при савијању силама

• Савијање око осе x

Сада је ( ) .constzMM xx ≠=

Уколико се усвоји претпоставка да се израз за нормални напон, за случај савијања силама, може изразити на исти начин као у случају чистог савијања,

односно ( ) ( ) yzKEzzz ⋅⋅== σσ и ако се ова вредност за нормални напон уврсти у

наведене једначине, добиће:

o Ако је constIx =

( ) ( )y

I

zMy,z

x

xzz ⋅== σσ , ( ) ( ) ( )

x

xmax

x

xmax z

W

zMy

I

zMz =⋅=σ ,

x

maxxmax

W

M=σ . (3)

o Ако је ( ) constzII xx ≠=

( ) ( )( )

yzI

zMy,z

x

xzz ⋅== σσ , ( ) ( )

( )( )( )zW

zMy

zI

zMz

x

xmax

x

xmax z =⋅=σ ,

( )( )

maxx

xmax

zW

zM

=σ

• Савијање око осе y

Сада би било: ( ) .constzMM yy ≠=

На исти начин могу се извести, по садржају, потпуно исте релације и у случају савијања у хоризонталној равни x y. На томе се нећемо задржавати.

65

Напон смицања

• При савијању око осе x Да бисмо одредили расподелу напона смицања по произвољном попречном пресеку, уочимо елемент савијене греде дужине dz, где је оса x главна оса око које се врши савијање, а оса y друга главна оса кроз коју пролази раван дејства оптерећења и која је истовремено и оса симетрије.

Слика 7. Одређивање вредности напона смицања за произвољну тачку

Пресецимо овај елемент једном равни на удаљењу y од неутралне равни. Означимо део површине попречног пресека, изнад влакана на удаљењу y од

неутралне равни, са A , а ширину попречног пресека на истом удаљењу y са ξ.

На површину A делују, у свакој тачки те површине, нормалне силе σ ⋅ dA са

леве и (σ + dσ) dA са десне стране посматраног елемента, како је то већ

претходно објашњено. У равни попречног пресека A појавиће се такође и

напони смицања τzy, изазвани дејством попречних сила. На основу става о коњугованости напона смицања, појавиће се у пресечној равни аа-бб напони

смицања једнаки по интензитету напонима смицања τzy, који делују у равни

попречног пресека A , при чему ће бити усмерени ка пресечној ивици или од ње. Напишимо једначину равнотеже за део штапа аа-бб у правцу осе штапа

( ) 0dzdAdAd :0Z yz

A

z

A

zzi

i =⋅−−+= ∫∫∑ ξτσσσ .

Одавде следи

( )( ) ∫∫ ⋅

⋅=⋅

=AxA

zzy dAyzI

1

dz

zdMdAd

dz

1

ξσ

ξτ , (4)

66

где је у горњи израз унета вредност за нормални напон ( ) ( )( )

yzI

zMz,y

x

=σ и где је

количник ( )

( )zI

zdM

x

стављен испред интеграла, пошто не зависи од координата x,y

попречног пресека. Пошто као што је речено, величина x

A

SdAy =∫ представља

статички момент дела површине попречног пресека A изнад влакана на удаљењу y од неутралне равни и где је M’ (z) = Т (z), може се коначно написати израз за напон смицања у произвољној тачки попречног пресека у облику

( ) ( )( )

( )ξ

ττyS

zI

zTz,y x

x

y,zy,z ⋅== (5)

Ову формулу први је извео Д. И. Журавски 1855. г. и она носи његово име.

• Ако је Ix = const:

( ) ( ) ( )

max

x

xmax

yS

I

zTz

⋅=

ξτ ,

max

x

x

maxmax

S

I

T

⋅=

ξτ .

• Ако је Ix = Ix (z) ≠ const:

constS

max

x ≠

ξ ( ) ( )

( )( )

( )

⋅=

z

yS

zI

zTy,z x

xzy

ξτ , ( ) ( )

( )( )

( )max

x

xmax

z

yS

zI

zTz

⋅=

ξτ ,

( )( )

( )( )

max

x

maxxmax

z

yS

zI

zT

⋅

=

ξτ .

Постојање напона смицања најбоље се може показати следећим експериментом: Посматрајмо конзолу произвољне дужине l, правоугаоног попречног пресека, висине h, оптерећене силом F на свом крају (Слика 8а) посматрајмо исту ту конзолу, али пресечену дуж неутралне равни (б). При савијању двоструке конзоле сваки њен део се савија независно сам од себе. Доња влакна горње конзоле се при томе скраћују, а горња влакна доње конзоле се издужују. Занемаримо ли при томе трење, доћи ће до померања тачака дуж додирне површине ове две конзоле. Ова појава се не дешава код хомогене конзоле па она има већу крутост, при чему су вредности нормалних напона мање него за случај пресечене конзоле. Напони смицања изазивају, значи, кривљење попречних пресека, како је већ претходно објашњено.

Слика 8. Доказ о постојању напона смицања

67

РАСПОДЕЛА НАПОНА СМИЦАЊА ττττzy У ЗАВИСНОСТИ ОД ОБЛИКА

ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА Извршимо најпре анализу расподеле напона смицања по попречном пресеку за општи случај, приказан слици:

Слика 9.

Очигледно је да ће вредност напона смицања у тачкама најудаљенијим од неутралне равни , односно осе x, имати вредност нула, јер је у тим тачкама

( ),0A 0Sx == па ће дијаграм расподеле бити нека крива чије ће нуле бити баш

у тим тачкама. Због чињенице да је количник xI

T познат, цео проблем се своди

на одређивање величине ξ

xS.

Слика 10. Теоријска и стварна расподела напона смицања за I профил

ЧИСТО САВИЈАЊЕ

Из до сада изведених образаца констатовали смо да деформације и напони у случају савијања силама зависе од одговарајућих нападних величина: Т = Т (z) и М = М (z) . У случају када је у неком пољу носача Т = Т (z) = 0, онда како је већ речено, имамо случај чистог савијања. Из диференцијалне везе (рађено у Статици) М’ (z) = Т (z) следи: за Т (z) = 0, биће М = const.

68

Пођемо ли од израза за кривину еластичне линије, за случај М = const, добићемо

( ) .constKEI

MzK

x

== (6)

Одавде произилази закључак да у пољу у коме је вредност попречне силе нула кривина има константну вредност, односно еластична линија има облик кружнице. Нормални напон у истом пољу има вредност

( ) yI

My

x

zz ⋅== σσ . (7)

Из последње релације може се извести закључак, да нормални напони за сва влакна на удаљењу y од неутралне равни, у пољу где је задовољен услов Т = 0, имају исту вредност. ..................................................................................................................................... Пређимо сада на уобичајене кораке неопходне у инжењерским прорачунима:

• Провера чврстоће

за ( )zAA = , односно

( )( )

maxx

xmax

zW

zM

=σ ≤ σ d , (7-1)

( )( )

( )( )

max

x

maxxmax

z

yS

zI

zT

⋅

=

ξτ ≤ τ d

• Провера крутости Биће дефинисана када се буде завршила дискусија о деформацијама при савијању.

• Провера носивости (одређивање дозвољеног оптерећења)

( ) ( ) dxx zWzM σ⋅≤ - према дозвољеном напону (7-2)

• Димензионисање

( ) ( )

d

xx

zMzW

σ≥ , - према дозвољеном напону, (7-3)

........................................................................................................................................

69

ДИМЕНЗИОНИСАЊЕ НОСАЧА НА ОСНОВУ ДОЗВОЉЕНОГ НАПОНА НА САВИЈАЊЕ

У случају чистог савијања, код кога имамо одсуство напона смицања, као критеријум за димензионисање усвајамо услов да нормални напон ни у једној тачки носача не сме прећи дозвољену вредност

d)z,y( σσ ≤ (8)

У случају савијања силама, строго гледано, имамо случај сложеног напрезања. Са инжењерске тачке гледишта, може се у већини случајева занемарити утицај напона смицања и усвојити критеријум за димензионисање као у претходном случају. Од свих нормалних напона попречног пресека, највеће вредности нормалних напона имају влакна најудаљенија од неутралне равни односно, за y = ymax. Одавде, на основу (7) и (8), добијамо

( )( )

( )( ) d

x

max

xyy zW

zMy

zI

zM)z,y(

max

σσ ≤=⋅==

(9)

Где величину max

xx

y

)z(I)z(W = , која представља једну од геометријских

карактеристика попр. пресека, називамо отпорни момент савијања за осу x. У случају да оса x око које се врши савијање није оса симетрије (Слика 11.), онда нормални напони у најудаљенијим влакнима од осе x имају различиту вредност, а како су напони у горњим и доњим влакнима у односу на осу x различитог знака, морају бити задовољени услови:

( )( )

( )( ) dp1

x

de2

x

yzI

zM ;y

zI

zMσσ ≤⋅≤⋅ , (10)

где су: М > 0, y1 < 0; М > 0, y2 > 0; σde - дозвољени напон на истезање; σde - дозвољени напон на притисак. Овакав приступ димензионисању диктира чињеница да сви материјали не подносе подједнако добро напрезање на притисак и затезање (бетон, ливено гвожђе).

70

Слика 11. Два могућа случаја расподеле нормалног напона по попречном пресеку

Од свих вредности нормалних напона, највећу вредност ћемо добити у попречном пресеку највећег нападног момента савијања, па коначно можемо написати

d

x

max

W

Mσ≤ (11)

где је претпостављено да је носач константног попречног пресека, односно Wх = const. Одавде се добија образац за димензионисање носача оптерећених на савијање

doz

maxx

MW

σ≥ . (12)

Лоша страна оваквог начина димензионисања лежи у чињеници, да је потпуно искоришћење материјала само у зони где је М = Мmax, док је у осталим зонама недовољна искоришћеност материјала. ........................................................................................................................................

СТЕПЕН ИСКОРИШЋЕЊА ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА (прочитај) Посматрајмо распоред нормалних напона за произвољни попречни пресек коме је y оса оса симетрије (Сл.12). Видимо да се највеће вредности нормалног напона појављују у тачкама најудаљенијим од неутралне равни. Уколико пресек нема две осе симетрије онда ће се у најудаљенијим влакнима од неутралне равни, за случај савијеног носача, појавити највећи напони на притисак и затезање који у општем случају не морају бити једнаки. Ова чињеница је веома важна нарочито код носача од материјала који не подносе подједнако добро притисак и затезање (бетон, ливено гвожђе).

71

Слика 12. Зоне доброг и слабог искоришћења материјала

Са друге стране у зони око неутралне равни нормални напони имају вредности блиске нули. То значи да попречни пресек можемо поделити на зону доброг и зону лошег искоришћења материјала. У идеалном случају најбоље искоришћење материјала би се добило када би цео попречни пресек био равномерно распоређен на удаљењу y = ymax од осе x (Сл.13). Овакав идеалан случај није технички изводљив, па је на неки начин неопходно повезати овако постављен попречни пресек у једну целину. То се обично изводи спајањем појасева, постављених у најудаљенију зону од неутралне линије, помоћу ребра којим се ови појасеви повезују. Одавде логично следи да је овако дефинисан попречни пресек најближи идеалном случају и да има највећи реални степен искоришћења материјала у односу на идеални случај.

Слика 13. Случај идеално искоришћеног материјала

У том случају, сходно (12), вредност момента савијања за конкретан попречни пресек и задати дозвољени напон, који носач може да поднесе, можемо написати као

dxWM σ⋅≤ (13)

Означимо вредност отпорног момента за стандардни I профил задатог попречног пресека A, за који смо констатовали да је најближи идеалном случају, са Wxr. Означимо вредност отпорног момента било ког другог облика попречног пресека са Wx, при чему је његова површина једнака површини I профила. На овај начин утрошак материјала, због једнакости величине попречног пресека, биће исти, али не и искоришћење материјала. У том случају можемо написати:

dxdxr WM ;WM σσ ⋅≤⋅≤ . Момент савијања који неки попречни пресек може да

поднесе управо је пропорционалан отпорном моменту тог попречног пресека, док је уштеда у материјалу, уз услов једнаке носивости, управо пропорционална површини попречног пресека.

72

Из овога следи да однос W / А може бити сматран за критеријум најбољег искоришћења попречног пресека за случај савијања. Означимо меру искоришћености I профила са 100% и поставимо пропорцију: Wxr : 100 = Wx : x. У том случају процентуалну меру искоришћења било ког попречног пресека у односу на I профил, уз услов једнакости површина попречног пресека, добијамо из односа

%100W

W%

xr

xr ⋅=η

Величину ηr називамо реални степен искоришћења попречног пресека носача изложеног савијању. То значи да је показатељ искоришћења попречног пресека у ствари отпорни момент савијања површине A, за осу око које се врши савијање. Ове резултате можемо добити увођењем појма идеалног отпорног момента. Знамо да је

Ady

yyAdy

y

1

y

IW

A

2

max

max

A

2

maxmax

xx ∫∫

=== .

Отпорни момент идеалног попречног пресека дефинишемо као

AyAdy

yylimWlimW max

A

2

max

maxyy

xyy

imaxmax

⋅=

== ∫→→

.

Као меру искоришћења реалног попречног пресека, у односу на идеални случај, уводимо појам који називамо идеални степен искоришћења

%100W

W%

i

xi ⋅=η

........................................................................................................................................

ИДЕАЛНИ ОБЛИК НОСАЧА ИЗЛОЖЕНИХ САВИЈАЊУ (прочитај) Посматрајмо део неког преносника изложеног савијању.

Нападни момент савијања је у овом случају функција координате z у правцу осе носача M = M (z) , док је попречни пресек носача константан. Критеријум за димензионосање носача оптерећених на савијање је претходно дефинисан. Усвајајући овакав начин димензионисања свесно смо прихватили чињеницу да ће искоришћење материјала бити потпуно само за најудаљеније тачке попречног пресека од неутралне равни, на месту највеће вредности момента савијања M = Mmax, делимично у његовој блиској околини, док ће

73

искоришћеност материјала, нпр. у околини тачака ослањања, бити безначајно мала, јер је у овом случају у тој околини вредност момената савијања далеко испод његове максималне вредности (види горњу слику). Другачије речено, оваквим начином димензионисања предвидели смо да се цео распон носача AB може оптеретити моментом савијања M = Mmax (дијаграм момената обележен испрекиданом линијом). У идеалном случају свакој промени момента савијања одговарала би одређена величина попречног пресека, тако да за свако z буде задовољен услов

d

x )z(W

)z(Mσ≤ .

Наравно, треба скренути пажњу да се овде ради само о искоришћењу најудаљенијих влакана од неутралне равни и да поред овог критеријума треба претходно водити рачуна о степену искоришћења целог попречног пресека. Дакле,

)z(f)z(M

)z(Wd

x =≥σ

.

Лоша страна оваквог начина димензионисања лежи у чињеници да је производна цена овако урађеног комада далеко већа од цене непотребно уграђеног материјала при димензионисању носача преко Mmax. Из овог се може закључити, да би се теоретски гледано, идеални носач састојао од две ламеле на истом растојању од неутралне равни, при чему би се њихова контура мењала по неком закону добијеном на основу последњег израза. Уместо овако израчунатог идеалног облика, обрадом се може добити, на много једноставнији начин, на пример, облик приказан на слици

Идеалан облик носача изложеног савијању

........................................................................................................................................

ОЈАЧАЊЕ НОСАЧА ОПТЕРЕЋЕНИХ НА САВИЈАЊЕ ПОМОЋУ ЛАМЕЛА (прочитај)

Генерално говорећи, због великих тешкоћа при изради носача идеалног облика, овај проблем може се решити и коришћењем носача стандардних попречних пресека, као што су нпр. танкозидни стандардни лимени профили, који се могу ојачати ламелама са своје горње и доње стране применом поступка

74

заваривања, или закивања. На овај начин може се приближно остварити идеални облик носача:

Ојачање носача ламелама

Потребну вредност димензије неојачаног I профила (висине h и појаса ширине b) добијамо из услова

d

x

MW

σ≥ , при чему на основу овог резултата усвајамо прву већу вредност из

таблица за стандардне профиле. Прорачун потребне дебљине δδδδ ламеле (ширине b) којом ојачавамо греду, изводимо на следећи начин. Аксијални момент инерције за ојачани део пресека греде, а за попречну осу x је:

+⋅⋅+

⋅⋅+=

23

xx22

hb

12

b2II

pr0

δδ

δ, односно

( )2

xx hb2

1II

pr0δδ +⋅⋅⋅+≈ , где је 0

12

b 3

≈⋅ δ

.

Отпорни момент савијања у том случају износи

( )

( ) 2h

hb2

1I

y

IW

2

x

max

x

x

pr0

0 δ

δδ

+

+⋅⋅⋅+== , што уколико је h >> δ можемо написати

hb2

1WW

pr0 xx ⋅⋅⋅+≈ δ .

Са друге стране је d

2

x2

aqW

pr σ⋅

⋅≥ , односно

d

2

x2

aqhb

2

1W

pr σδ

⋅

⋅≥⋅⋅⋅+ , што коначно даје

hb

W2

aq2

prx

d

2

⋅

−

⋅

⋅⋅

=σ

δ .

.....................................................................................................................................

75

ДЕФОРМАЦИЈЕ ПРИ САВИЈАЊУ За случај савијања носача на начин како је то у претходном поглављу објашњено, доћи ће до померања тачака носача у правцу једне од главних тешишних оса инерције, кроз коју пролази траг равни дејства оптерећења, док ће се носач савијати око друге главне тежишне осе инерције. Због уведених претпоставки којима смо дефинисали савијање призматичних штапова око главне осе, није неопходно познавати померање сваке тачке савијеног носача, већ је довољно посматрати само померања тачака неутралне равни. Пресек неутралне равни и равни дејства оптерећења чини линију коју називамо еластична линија (Сл.14).

Слика 14. Еластична линија

Величина u = u(z) назива се угиб носача у пресеку z. Значи, угибом се дефинише померање тачака еластичне линије носача оптерећеног на савијање. Пођимо од израза за кривину еластичне линије носача оптерећеног на савијање

( )yE

z,y)z(K

⋅=

σ, односно , на основу израза за нормални напон при савијању

( ) ( ))z(B

zM

)z(IE

zM)z(K

x

x

x

x =⋅

= (14)

где је B = E ⋅ I [F L2] - крутост на савијање (флексиона крутост). Кривина се, као што је познато у математици, може изразити као

{ } 232)]z(u[1

)z(u)z(K

′+

′′= , односно водећи рачуна (14)

{ }( )

)z(f)z(IE

zM

)]z(u[1

)z(u

x

x

232=

⋅=

′+

′′. (15)

Израз (15) назива се тачна диференцијална једначина еластичне линије гредног носача. У овом случају, како је претходно објашњено, занемарен је утицај смицања на деформацију носача, док ће услови при којима се то занемарење може извршити бити дефинисани касније.

76

Решењем ове диференцијалне једначине добија се величина угиба u = u(z) у пресеку z носача. Да би се нашло решење једначине u = u(z), неопходно је познавати вредност нападног момента савијања Mx = Mx(z) и одговарајуће

крутости E ⋅ Ix(z). Дејством оптерећења на гредни носач ће, као што је речено, доћи до померања тежишних тачака попречних пресека али и до њиховог обртања у равни uz (Сл.8.2).

Слика 15. Појам угиба и нагиба гредног носача

Реално посматрано, тачка K тешишта попречног пресека прећи ће у положај

K1. Вредност угиба 2KK у смеру осе u разликоваће се за неку веома малу

величину у односу на стварно померање 1KK . Водећи рачуна да су дозвољене величине угиба у техничкој пракси мале и да се крећу око 2 ‰ у односу на распон носача, може се, на сличан начин као при формирању плана померања

у случају аксијално напрегнутих штапова, усвојити u(z) ≈ KK2. Нагиб тангенте еластичне линије, који у ствари представља меру обртања

попречног пресека у равни uz, дефинише се углом ϕϕϕϕ. За мале вредности угла ϕ, што је у техничкој пракси случај, може се написати

)z(utg ′=≈ ϕϕ . (16)

Величина u’(z) назива се нагиб тангенте еластичне линије у пресеку z. Одавде се може закључити да угиби и нагиби дефинишу деформацију гредног носача изражену преко померања и обртања тачака еластичне линије

u = u (z), u’ = u’(z) (17) У даљем току рада основни задатак би био одређивање ових величина за различите случајеве гредних носача. Решења добијена помоћу тачне диференцијалне једначине еластичне линије су доста компликована и непогодна за практичну примену, па се уместо њих могу користити решења добијена помоћу приближне диференцијалне једначине еластичне линије.

77

У случају да се задржимо на претпоставци о дозвољеном угибу до 2 ‰ од распона носача, може се са довољном тачношћу усвојити

1)]z(u[1 2 ≈′+ (18)

где је величина u’(z) величина другог реда у односу на јединицу, што постављањем у тачну диференцијалну једначину (15) даје

( ))z(f

)z(IE

zM)z(u

x

x =⋅

±≈′′ (19)

Ово је, као што је познато, линеарна диференцијална једначина другог реда и назива се приближна диференцијална једначина еластичне линије гредног носача. За случај оптерећења које изазива деформацију греде (Сл.15-а), биће испуњени услови:

0)z(Mx > и 0)z(u <′′ , (20)

док ће за случај оптерећења које изазива деформацију конзоле, како је показано (Сл.15-б), бити испуњени услови:

0)z(Mx < и 0)z(u >′′ (21)

То значи да ће приближна једначина еластичне линије у оба случаја бити облика

( ))z(f

)z(IE

zM)z(u

x

x =⋅

−=′′ . (22)

Опште решење једначине овог типа добија се на много лакши начин него у случају тачне диференцијалне једначине еластичне линије, односно

11 C)z(Cdz)z(f)z(u +Φ=+=′ ∫ , (23)

2121 CzC)z(CzCdz)z()z(u ++Ψ=++Φ= ∫ (24)

Величине C1 и C2 које представљају интеграционе константе одређујемо из тзв. граничних услова, у овом случају услова ослањања носача, о чему ће касније бити говора. Метода за одређивање еластичне линије гредног носача, дефинисана на овај начин, назива се метода директне интеграције. У најпростијем случају нападни момент савијања Mx = Mx(z) дефинисан је једним аналитичким изразом

78

по целом распону носача. Уколико се нападни момент мора дефинисати у два и више поља посебним аналитичким изразима, при чему су могући и прекиди, проблем постаје знатно сложенији и захтева допунске граничне услове о којима ће касније бити речи.

ГРАНИЧНИ УСЛОВИ ЗА ПРОСТУ ГРЕДУ И КОНЗОЛУ

У случају просте греде (Сл.15-а), мора бити задовољен услов да су угиби греде на ослонцима једнаки нули, односно сходно (24) добијамо:

0C0C)0()z(u 210z=+⋅+Ψ=

=,

0ClC)l()z(u 21lz=+⋅+Ψ=

= (25)

Решавањем ове две једначине по C1 и C2 и њиховим постављањем у (25) добићемо једначину еластичне линије просте греде. У случају конзоле (Сл.15-б), мора бити задовољен услов да су угиб и нагиб конзоле у уклештењу једнаки нули, односно

0C)0()z(u 10z=+Φ=′

=

0C0C)0()z(u 210z=+⋅+Ψ=

= (26)

Решавањем ове две једначине по C1 и C2 и њиховим постављањем у (26) добићемо еластичну линију конзоле. Величине које се често појављују у прорачунима су нагиби на ослонцима. Они се обележавају посебним знаком :

Предзнак нагиба еластичне линије

Нагиб на левом и десном ослонцу (тачке А и B) обележавамо као

A0z)z(u α=′

=, Blz

)z(u β=′=

(27)

а договор око предзнака за нагиб је приказана на слици. ....................................................................................................................................

79

ПРОСТА ГРЕДА ОПТЕРЕЋЕНА КОНЦЕНТРИСАНОМ СИЛОМ (КЛЕПШОВ ПОСТУПАК)

(прочитај) Као што је претходно речено, уколико се закон промене нападног момента савијања мења у два или више поља дуж осе носача, добијање еластичне линије је знатно компликованије него у претходно урађеним примерима. У том случају морамо поставити допунске граничне услове, као што ће бити показано на примеру просте греде оптерећене концентрисаном силом.

Слика 16. Проста греда оптерећена концентрисаном силом

Изрази за нападне моменте савијања у два поља Мx1(z) Mx2(z), вредности нагиба u’1 (z), u’2 (z) и угиба u1 (z), u2 (z), и чињеница да су вредности интеграционих константи C1 = C3, C2 = C4, , јасно указују да се поступак интеграције диференцијалних једначина може знатно упростити, свођењем две једначине на једну, која у том случају има облик

)az(FzFl

b)z(uIE x −⋅+⋅

−=′′ (28)

Усправна црта у изразу (28) има следеће значење:

Поље 0 ≤ z < a - читај до црте ,

Поље a < z ≤ a + b - читај све . Даљи поступак је

2

)az(FCzF

l2

b)z(uIE

2

1

2

x

−⋅++⋅

−=′ (29)

6

)az(FCzCzF

l6

b)z(uIE

3

21

3

x

−⋅++⋅+⋅

−= (30)

Интеграционе константе C1 и C2 одређујемо из услова ослањања за просту греду, односно

0C ;0)z(u 20z==

=, (читај до црте, јер је тачка z = 0 у левом пољу)

80

;l

b

l

b

6

lFC ;0)z(u

32

1lz

−

⋅−==

= (читај све, јер је тачка z = l у десном пољу).

Уврстимо ли вредности за C1 и C2 у изразе (29) и (30), добијамо:

−⋅+

⋅−

−⋅

⋅=′

222

x

2

l

az3

l

z3

l

b1

l

b

IE6

lF)z(u (31)

−+

−

−⋅

⋅

⋅=

22

x

3

l

az

l

z

l

b1

l

z

l

b

IE6

lF)z(u . (32)

..................................................................................................................................

УПОТРЕБА ТАБЛИЧНИХ ПОДАТАКА ЗА ИЗРАЧУНАВАЊЕ ДЕФОРМАЦИЈА ПРИ САВИЈАЊУ

На основу свега претходно реченог, конкретније, на основу приближне диференцијалне једначине еластичне линије (22) у литератури (види Таблице из О.М.) постоје већ изведени обрасци - једначине за угибе и нагибе гредних носача, типа проста греда и конзола. Решавањем ових једначина – образаца, дошло се и до података о конкретним вредностима угиба и нагиба за интересантне попречне пресеке ових греда. Дакле, за израчунавање деформација греда при савијању већ постоје подаци, а наше је да научимо како се они користе.

Проста греда

81

Конзола

................................................................................................................................... Примери употребе табличних података за просту греду и конзолу у случају носача који се зове

Греда са препустом

(Слика)

82

• Греда са десним препустом

• Греда са левим препустом