OM2-Izvijanje

256 S. Potencijalna energija. OpCi teoremi

Uvrstimo li izraz (c) u izraz (d) i integriramo, dobit cemo:

U= 144EIS" I'

Potencijalna je energija sistema:

ri=U-Fo= 144 EIS" -Fo I' .

Primjenom principa o stacionarnosti potencijalne energije dobivamo:

odakle je:

an ilc5

288 E I c5 I' F= 0,

Fl' 0

288 E I Fl'

0,003 47 E I ,

sto je samo 3 % manje od tocne vrijednosti koja iznosi:

c5 11 F I' 3 072 E I

F /3

0,003 58 E I .

(e)

(f)

(g)

6. IZVIJANJE, GUBITAK ELASTICNE STABILNOSTI

6.1. VRSTE RAVNOTEZE I KRITICNO OPTERECENJE

Zanost o otpomosti materijala proucava probleme cvrstoce, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova tehnickih konstrukcija. Do sada smo proucavali probleme naprezanja i deformacija stapova pri razlicitim oblicima opterecenja, te definirali uvjete cvrstoce i krutosti koji moraju biti ispunjeni pri dimenzioniranju sastavnih dijelova konstrukcija i samih konstrukcija. Medutim, da bi se postigla potpuna sigumost konstrukcije, uz te uvjete moraju biti ispunjeni i uvjeti stabilnosti. U ovom cemo se poglavlju upoznati s problemima elasticne stabilnosti.i definirati uvjete stabilnosti.

Iz mehanike krutog tijela poznato je da ravnoteza tijela moze biti stabilna, labilna i indiferentna. Navedene vrste ravnoteze mogu se pogodno ilustrirati na primjeru kugle polozene na konkavnu, konveksnu i horizontalnu podlogu (sl. 6.1).

a) c)

Stika 6.1.

Kugla na konkavnoj podlozi (sl. 6.1.a) nalazi se u stabilnoj ravnotezi. Ako kuglu pomakeno iz toga ravnoteznog jlolozaja i zatim je prepustimo samoj sebi, ona ce se vratiti u )5rv01Jitni-ravno!efui polozaj. Pri bilo kakVII pomaku kugle iz ravnoteznog polozaja njezina energija raste. Iz toga izlazi da stabilnom polozaju kugle na konkavnoj podlozi odgovara minimum potencijalne energije.

Kugla na konveksnoj podlozi (sl. 6.l.b) nalazi se u labilnoj (nestabilnoj) ravnotezi. Ako kuglu neznatno pomaknemo iz ravnotefuoga polozaja, ona se nece moCi sama vratiti u prvobitni polozaj, vee ce se sve vise udaljavati od prvobitna ravnoteznog polozaja. Svako udaljavanje kugle od prvobitna ravnoteznog polozaja popraceno je smanjenjem potencijalne energije. Prema tome, labilnoj ravnotezi kugle odgovara maksimum potencijalne energije.

258 6. Izvijanje, gubitak elastiCnc stabilnosti

Kugla na horizonlalnoj podlozi (sl. 6.1.c) nalazi se u indiferentnoj ravnotezi. Ako kuglu pomakuemo iz ravnoteznoga polozaja, ona se nece vraliti u prvobitan ravnotezni polozaj, nego ce ostati u ravnotezi u nekom novom polozaju koji je blizak prvobitnome ravnotefuom polozaju. Pritom polencijalna energija kugle ostaje nepromijenjena.

Uocavamo da stabilnost kugle prikazana na sl. 6.1. ovisi samo o obliku podloge, a ne ovisi o tezini kugle. ·

Razmotrimo, dalje, pfimjer ravnoteze ravnog, apsolutno krutog slapa AB prikazanog na sl. 6.2.a. Stap je na donjemu kraju zglobno oslonjen, a na gornjem pridr.Zan elasticnom oprugom i aksij alno opterecen silom F.

Fl 6 F

I I F

T.~r/v\/'. _,.(,~ j Bvvvc labilna ravnoteZa

I\ I I I i /. · indiferentna \\I I. I I F.' •CI ravnoteia I\ I

,, D

\~ a . I I \I I stabilna ravnoteia 1\1 I I I

1\ I \\ 0

I'IA ~,

%

a) b)

Slika 6.2.

Ako stap AB nije pridrzan oprugom BC, vertikalni je polozaj stapa labilan, jer i najmanji bocni pomak o u tocki B uzrokuje rotaciju stapa oko tocke A i on se vise ne moze sam vratiti u prvobitp.i polozaj. Medutim, stabilnost vertikalnog stapa AB pridrzanog elasticnom oprug6m BC ovisi o velicini sile F. Ako neko kratkotrajno bocno opterecenje uzrokuje mali bocni pomak o, na stap ce djelovati moment Fo koji tezi udaljiti slap od vertikalna ravnoteznog polozaja i n10ment elasticne sile ojJruge col (gdje je c krulost opruge) koji nastoji stap vratili u pocetni vertikalni polozaj. Za dovoljno male vrijednosti sile F je Fo < col le se stap pod djelovanjem opruge vraca u vertikalni polozaj koji u ovom slucaju oznacuje polozaj stabilne ravnoteze.

Povecamo li silu F do odredene vrijednosti za koju je ispunjen uvjet:

Fo=col,

stap ce, nakon prestanka djelovanja bocnog opterecenja koje je uzrokovalo mali bocni pomak o, zadrzati nov polozaj odreden danim bocnim pomakom o. To je

r '

6.1. Vrste ravnotefe i kritiC:no optereCenje

polozaj indiferentne ravnoteze. Iz gornjeg izraza izlazi definicija kriticnog opterecenja (sile).

Za F > Fk, , (Fo > col) sistem je u labilnoj (nestabilnoj) ravnotezi, jer zbog djelovanja momenta Fo bocni pomak o slalno raste i slap se pon.Sa kao da nije pridrzan oprugom BC. Vrste ravnoteze prikazane su na sl. 6.2.b. Tocka D, nazvana tockom razgranjenja (bifurkacije), odreduje dvije grane rjesenja ravnoteze. Jednaje vertikalna grana (F ~ F-.., , o = 0), druga je horizontalna (F = Fh , o > 0).

PromatrajuCi potencijalnu energiju sistema, moze se istr.Ziti stabil~ost sistema. Pretpostavimo neki mali bocni pomak o u tocki B, tako da stap bude nagnut prema vertikali za mali kut a (sl. 6.2.a). Pritom je vertikalni pomak hvatista sile F:

( a

2 ) la

2

1(1-cosa)=l 1-1+2+ ... =2·

a produljenje opruge je Ia . Rad sile F na odgovarajucem pomaku jest:

AW=Fla2

2

Potencijalna energija elasticne opruge iznosi:

Ako je AU> AW, sistem je stabilan, a ako je AW >AU, sistem je labilan. Za indiferentno je stanje ravnoteze AW =AU, tj.:

Fla2 _ I . ( I)' ----c a

2 2 '

odakle dobivamo-kriticnu vrijednost sile F:

Fk, = cl.

Vidimo da kriticno opterecenje (silu) mozemo odrediti statickom iii energijskom metodom •.

Slican problem stabilnosti ravnoteze postoji i kod elasticnog odnosno deformabilnog tijela. Pod opterecenjem elasticno se tijelo deformira dok sene uspostavi ravnoteza izmedu vanjskih i unutarnjih sila. Ravnotefui deformirani oblik tijela moze biti stabilan, labilan iii indiferenlan, ovisno o velicini opterecenja koje djeluje na tijelo.

'

•

260 6. Izvijanje, gubitak elasti~ne stabilnosti

Razmotrimo elasticnu ravnotefu ravnoga stapa aksijalno opterecenog na tlak (sl. 6.3.a). Pretpostavit cemo daje stap idealno ravan, idealno centricno opterecen i daje izraden od homogenog materijala. Pod djelovanjem tlacne sile F stap ce se skratiti, ali ce zadrzati ravan oblik (sl. 6.3.a).

I X· ,I xl F F<11c, a F~Fkr I F>Fkr

i I I I I

I I I I . I I I I I I I I I I I I I I' I I I I I I i I I I I I I I I I I I I i I I

a) b) c) %

d)

Stika 6.3.

Pri relativno malim ·vrijednostima sile F (manjim od neke kriticne vrijednosti, F < F") ravan je oblik ravnoteze stapa stabilan (sl. 6.3.b). Izvedemo li stap iz njegova ravnoteznog polozaja kratkotrajnim djelovanjem maloga bocnog opterecenja,'stap se nakon prestanka djelovanja tog opterecenja vraca u prvobitni ravan oblik koji predstavlja njegov stabilni oblik ravnoteze. Medutim, pri nekoj vrijednosti sile F nazvane kriticnom (F = Fk,) stap se nakon prestanka djelovanja bocnog opterecenja· ne vraca u Prvobitni ravan oblik, vee zadrtava novi oblik izazvan kratkotrajnim djelovanjem maloga bocnog opterecenja (sl. 6.3.c). U tom slucaju govorimo o·indiferentnoj elasticnoj ravnotezi, odnosno o kriticnome stanju stapa.

Kad sila F prijede kriticnu vrijednost (F > Fk,), ravan oblik ravnoteze stapa postaje labilan (sl. 6.3.d). Vrlo malo bocno opterecenje uzrokuje velike progibe koji nakon prestanka djelovanja bocnog opterecenja na iscezavaju vee pod aksijalnim opterecenjem i dalje rastn. Zbog povecanja momenta savijanja od aksijalnog opterecenja moze nastati !om stapa. Opisana pojava gubitka stabilnosti ravnoga stapa opterecena centricnom tlacnom silom naziva se izvijanje, a granicna vrijednost centricne tlacne sile, do koje je prvobitni ravan oblik ravnoteze stapa jos stabilan, naziva se kriticnom silom i oznacava se s Fkr·

U stvarnosti izvijanje stapa pocinje cim tlacna sila F dostigne kriticnu vrijednost. To se objasnjava nehomogenoscu materijala, pocetnom zakrivljenoscu osi stvarnog stapa i najmanjom ekscentricnoscu tlacne sile F, koji uzrokuju isti ucinak kao i malo bocno opterecenje. Pojava gubitka stabilnosti sastavnih dijelova tehnickih konstruk-

6.2. Izvijanje ltapa u elasti~nOIJl podru~ju, Eulerova kriti~na sila

cija posebno je opasna jer se zbiva iznenada i pri relativno malim naprezanjima koja zadovoljavaju uvjete cvrstoce. Proces porasta deformacija pri gubitku stabilnosti zbiva se vrlo brzo. ~ sigurni da nece doci do izvijanja (gubitka stabilnosti) ravnog stapa,

opterecena centricnom tlacnom silom F, mora biti ispunjen uvjet stabilnosti koji glasi:

(6.1)

gdje je:

(62)

a k; je koeficijent sigurnosti protiv izvijanja! Pritom se uzima da je koeficijent sigumosti protiv izvijanja nesto veci od koefici

jenta sigurnosti cvrstoce, zato sto postoje jos i dodatni faktori koji utjecu na izbor koeficijenata sigurnosti protiv izvijanja, kao sto su: pocetna zakrivljenost osi stapa, ekscentricnost tlacne sile, nehomogenost materijala, naCin ucvrscivanja stapa i drugi.

Prema tome, 1'.~.9m stabi.Lilgsti tlacnih stapova svodi se na odredivru~Jg;i!jgpe sile Fkr za razliCite oblike i dimenzije stapova izradenih od raznih materijala. Pri odredivanju kriticne sile slilZimo se teorijom drugog reda, lj._jednadzbe ravnoteze postavljruno na deformiranome stapu, a u izrazu za deformacije zadrzavruno samo linearne clanove.

'6.2. IZVIJANJE STAPA U ELASTICNOM PODRUCJU, EULEROVA KRITICNA SILA

Stabilnost stapova aksijalno opterecenih na tlak prvi je is!raZio Leonhard Euler godine 1774. On je izveo izraz za kriticnu silu i pokazao da vrijednost kriticne sile ovisi o nacinu ucvrscenja krajeva stapa .. !deja Eulerove metode sastoji se u odredivanju one sile pod kojom su podjednako moguci ravan i krivocrtan oblik stapa.

Prema nacinu-ucvrscivanja krajeva stapa razlikujemo cetiri osnovna slucaja izvijanja stapa. a) Stap zglobno ucvrscen na oba kraja (sl. 6.4.a)

Dok je centricna tlacna sila F manja od kriticne sile Fkr. stap ostaje ravan (sl. 6.4.a). Kad sila F dostigne kriticnu vrijednost Fkn osim ravnog oblika, podjednako je moguc i krivocrtni oblik stapa (sl. 6.4.b). u nekom presjeku izvijenoga stapa pojavljuje se moment savijanja

'M=F·w.

Diferencijalna jednadzba elasticne linije glasi:

262

B

A

+x I F ,

F

z ·-a)

6.Izvijanje, gubitak elasti~ne stabilnosti

B

A _L~

z

b)

Stika 6.4.

M F·w (6.3)

- Elmin =- Elmin ,

Uz pretpostavku da su posrijedi mali progibi, jednadzbu (6.3) mozemo zamijeniti priblifuom linearnom diferencijalnom jednadzbom

(6.4)

Ocito je da izvija11te. stapa nast'\ie u ravnini najmanje fleksijske knitosti stapa; zato u izraz (6.3) ulazi lm;n- minimalni moment tromosti poprecnoga presjeka stapa.

Predznak minus na desnoj strani diferencijalne jednadzbe (6.3) uzet je zbog toga

sto velicine ~~ i w imaju suprotne predznake neovisno o izboru po.zitivnoga srnjera

. koordinatlle Osi .z: Uvedemo li oznaku:

, F a2=-

Elmin'

6.2. Izvijanje ~tapa u elastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila 263

dobivamo:

(6.6)

. ' To je homogena diferencijalna jednadzba 2. reda s konstantnim koeficijentima.

If< ;f I I

.I

1

' ..,.; --'

Opce rjesenje te jednadzbe glasi:

w =A sin ax+ B cos ax. (6.7)

Konstante integr~~ije A i B odredit cern() iz f1Jb~ih.uvj.e~a, koji su takoder homogeni i glase:

w(O) = 0 i w(l) = 0. (6.8)

Iz prvog uvjeta dobivamo da je B = 0. Izraz (6.6) prima oblik:

w =A sin ax. (6.9)

Iz drugog uvjeta dobivamo:

A sinal= 0. (6.10)

Sad su moguca dva slucaja: A = 0 iii sin a!= 0. Za A = 0 dobit cemo trivijalno rjesenje w(x) = 0, koje pokazuje da je ravan oblik stapa jedan od mogucih ravnoteznih oblika S!apa. Buduci je za izvijeni oblik stapa'}r;; 6,' mora biti:

sin a! = .0,_~

Odatle dobivamo uvjet za kriticno stanje stapa:

a!= n1t 1·1,· n1t a=-z-,

lednad~b-~. ~~~1i£ne linije glasi:

A . n1t

w= sm-x. I

{6.11).

n = 1, 2, 3, ... (6.12)

(6.13)

Na osnovi izraza (6.5) i (6.11) dobivamo vrijednost sile pri kojoj nastupa izvijanje stapa: .

(6.14)

U tab!. 6.1. navedene su vrijednosti kriticne sile i prikazani odgovarajuci oblici elasticne linije stapa zan= I, 2 i 3.


Tablica 6.1.

JednadZba n elasticne Oblik elasticne linije F

linije

w-Asin ru; F F i'Elmin

I ·i!S ---;--~ I p 1/2

4i'Elmin 2 A . 2ru: ~ - qc-;i2=-,t F w= sm-

1- p

3ru: I 1/3 I 1/3

I 1/3

I 9rt2Elmin 3 A sin F

. ~ -·-""""' F w I p = ~

Iz tab!. 6.1. izlazi da n oznacuje broj poluvalova sinu.soide rasprostranjenih na duzini izvijenoga stapa.

U praksi nas _zanima najmanja moguca vrijednost kriticne sile pri kojoj postoji mogucnost izvijanja stapa. Najmanja vrijednost kriticne sile Fkr bit ce za n = 1 i iznosi:

(6.15)

To je Eulerova kriti~ua sila za slap zglobno oslonjen na oba kraja.

Jednadzba (6.13) daje nam samo oblik elasticne linije izvijena stapa, dok velicina progiba ostaje neodredena. Razlog je u tome sto smo zakrivljenost elasticne linije

izrazili priblifuim izrazom ~; i promatrali linearnu diferencijalnu jednadzbu (6.4)

koja vrijedi samo za male pomake (teorija drugoga reda). Da bismo dobili i velicinu progiba, potrebno je za zakrivljenost uzeti tocan izraz i rijesiti nelinearnu diferencijalnu jednadzbu (6.3), (teorija treceg reda).

vel ike deformac]je B .. --.... A ',,

I -~---------\~

lndlferentna ravnoteia za \ C

,n;' E1\ min O,b--m-a-le-de-fo_r_m_ac-IJ-·e----.,.,-

W_,

Stika 6.5.

6.2. lzvijanje ~tapa u elastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila 265

Rjesenje jednadzbe (6.3) prikazano je na sl. 6.5. krivuljom AB, a crtkanom krivuljom BC za izvijanje u plasticnom podrucju. Krivulja AB u tocki A ima horizontalnu tangentu koja oznacuje rjesenje linearne diferencijalne jednadzbe (6.4). Pri malim pomacima tocno se rjesenje podudara s pribliznim rjesenjem.

Iz ovih razmatranja izlazi da se rjesenje problema izvijanja svodi na integriranje homo gene diferencijalne jednadzbe rjesenje koje ovisi o ~ekom parametru ( ovdje a 2), pri homogenim rubnim uvjetima. Takav matematicki problem naziva se problem vlastitih vrijednosti. Moze se pokazati da u odredenim uvjetima ovakvi problemi, osim trivijalnog, imaju i druga rjesenja samo za odredene vrijednosti parametra. Svakoj vlastitoj vrijednosti odgovara odredeno rjesenje dlferencijalne jednadzbe, tzv. vlastita funkc\ill· Problem izvijanja ima beskonacno mnogo vlastitih vrijednosti koje formuliraju diskretan niz. Medutim, za prakticne nas potrebe zanima najmanja vlastita vrijednost.

b) Stap na jednome kraju upet, ana drugome slobodan (sl. 6.6.a)

Oznacimo li nepoznati progib gornjega kraja stapa sf, tada se u nekom presjeku izvijenoga stapa (sl. 6.6.b) pojavljuje moment savijanja:

I / M=-F(j"w).

F

B

W(X)

X

A ·-~-

A .;--" "

F M• F

a) b)

Slilw 6.6.


266 6. Izvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

iii u obliku:

gdje je:

2 F a= El · · '

mm

(6.16)

(6.17)

(6.18)

Jednadzba (6.17) nehomogena je diferencijalna jednadzba 2 .. reda s konstantnim koeficijentima.

Opce rjesenje te jednadzbe jest:

w = A sin ax+ B cos ax +f

Za slap prikazan na sl. 6.6.b rubni uvjeti glase:

w(O) = 0 i w'(O) = 0,

a za slobodni kraj vrijedi:

w(l) =.f.

Iz uvjeta (6.19) dobivamo B = - f, A = 0, tako da je:

w = /(1- cos ax).

Iz uvjeta (6.20) slijedi:

cos a/=0.

Odatle dobivamo uvjet za kriticno stanje stapa:

1t a/=(2n-1)2, n= 1,2,3, ...

(6.19)

€~

(6.21)"

(6.22)

\ (6.23)

r' U ovom slucaju najmanja vrijednost kriticne si!e bit ce zan= I, ij. al = %:

(6.24)

,

•

'

6.2. Izvijanje ~tapa u clastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila 267

Jednadzba (6.17) nije homogena. Da bismo dokazali da se i u ovom slucaju radi

0 problemu vlastitih vrijednosti, dvostrukim deriviranjem jednadzbe (6.17) dobit Cemo:

(6.25)

s rubnim uvjetima:

w(O) = w'(O) = 0 w"(l) = w"'(l) = 0.

c) Stap na jednomekraju upet, ana drugome slobodno oslonjen (sl. 6.7.a)

F

B

A z

" ·-·-

F

a) b)

Slika 6.7.

Kad sila F dostigne kriticnu vrijednost, osim ravnog ob!ika podjednako je moguc i izvijerii obliRstapa(sl.- 6.7.b). Pri izvijanju S!apa pojavljuju se lezajne reakcije RA = ':_RJ3 i reaktivni moment MA·

Moment savijanja u nekom presjeku stapa jest:

M=Fw-Rs"(l-x)

a diferencijalna jednadzba elasticne !inije glasi:

d2w Fw Rs dx

' +~=-EJ. (l-x). mm mm

(6.26)

268 6.1zvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

Ako uvedemo oznaku:

dobit cemo:

F a2=-Elmin'

Opce rjesenje nehomogene jednadzbe (6.28) jest:

A . Ra ·

w= SID ax+B cos ax+y(l-x).

(6.27)

(6.28)

' (6.29)

Buduci da je zadatak jedanput staticki neodreden, uz konstante integracije A i B nepoznata je i reakcija R8 . ~ '

U ovom slucaju rubni su uvjeti:

w(O) = 0

w'(O) = 0

w(l) = 0.

Deriviranjem izraza (6.29) dobivamo:

dw · . R8 dx = aA. cos ax- aB SID ax-y.

Iz rubnog uvjeta (6.30.a) nalazimo:

R8 / B+-=0 F ,

odakle je:

Rubni uvjet (6.30.b) daje:

iii:

R8 / B=-

F

Ra aA-y=O

(a)

(b)

(c)

(6.30)

(6.31)

I I

,,

6.2. lzvijanje !tapa u elastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila

Ra aA=-.

F

269

(6.33)

Uvrstimo li dobivene1 vrijednosti za integracijske konstante A i B u izraz (6.29) dobit cemo jednadzbu elasticne linije u obliku:

Ra [ I . ] ;'w:=p -;;siD ax-/cos ax+(/-x). (6.34)

Iz rubnog uvjeta (6.30.c) dobivamo:

F -;; SID al- I cos a/ = 0 . Ra (' . )

Buduci da je 7- " 0, to je:

tg a/= a/. (6.35)

Rjesenje te transcendentne jednadZbe mozemo dobiti grafickim putem (sl. 6.8).

y

I I I I I I

I _I I

• I• <:!I I I 0>1 o."

I

I ol I

I "' I ..: I

I I I

I I I I I I I I I

I I I I I I I at

-~ :tn I I I I I I I I I I I I

Slika 6.8.

Korijenima jednadzbe (6.35) odgovaraju apscise sjecista pravca y =a/ i funkcije y = tg a/. Najmanji korijen te jednadzbe ima vrijednost a/= 4,493.

Kriticna sila izvijanja jest:


(6.36)

d) §_tapupet na oba kraja (sl. 6.9.a)

Uz pretpostavku da je oblik izvijenoga stapa simetrican, (sl. 6.9.b), momenti su upetosti na oba kraja stapa jednaki. U nekom presjeku izvijenoga stapa pojavljuje se moment savijanja:

M=Fw-M0 •

Diferencijalna jednadZba elasticne linije glasi:

Uvedemo li oznaku:

dobit cemo:

•

F

B

F

a)

d2w F Mo -+--w=--. dx2 E/ min EJ min

\

. ~

F a2=--, Elmin

Stika 6.9.

I x· I

b)

(6.37)

' \

l I

6.2. Izvijanje Stapa u elastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila

i:

Opce rjesenje ove jednadzbe glasi:

Rubni uvjet jesu:

Mo w=A sin ax+B cos ax+F.

w(O) = 0

w'(O) = 0

w(l) = 0

w'(l) = 0

Deriviranjem izraza (6.40) dobivamo:

d;, B . --=aAcosax-a smax. dx'

Rubni uvjeti (6.4l.a) daje:

Iz uvjeta (6.41.b) dobivamo dajeA = 0.

Sad jednadzbu (6.40) mozemo prikazati u sljedecem obliku:

Mo w=-(1- cos ax) F

dw Mo . -=-asmax . dx F

Iz rubnog uvjeta (6.4l.c) dobivamo:

Mo w(l) = F (I - cos al) = 0 .

(a)

(b)

271

(6.39)

(6.40)

(c) (6.41)

(d)

(6.42)


M. Buduci daje /;, 0, paje:

Uvjet (6.41.d) nam daje:

odnosno:

cos a!= I.

w'(l) = Mo a sinal= 0 , F

sinal= 0. .J

Jednad:i:be (6.43) i (6.44) zadovoljene su za:

al=2nn,, n= 1,2,3, ...

Najmanju vrijednost kriticne sile dobit cemo zan = 1, tj.:

(6.43)

(6.44)

(6.45)

Usporedimo li izraze (6.15), (6.24), (6.36) i (6.45), uoCit cemo da u svim navedenim slucajevima izraz za kriticnu silu mo:i:emo prikazati u opcem obliku:

gdje je:

Jl - koeficijent duljine izvijanja stapa i iznosi:

I p=-,

n

gdje je n broj poluvalova sinusoide elasticne linije izvijena stapa.

Oznacimo li:

izraz (6.46) mo:i:emo napisati u obliku:

(6.46)

(6.47)

... \

(6.48)

(6.49)

6.2. lzvijanje napl;\ u elastit!nom podrut!ju, Eulerova kriti(!na sila 273

gdje je I; duljina izvijanja. Duljina izvijanjajest dio duljine stapa na kojoj se pojavIjl.lje jedan poluval sinusoide, tj. duljina izmedu dviju susjednih tocaka infleksije elasticne linije izvijenoga stapa.

Na sl. 6.1 0. prikazana su cetiri osnovna nacina ucvrscenja stapa na krajevima s odgovarajucim duljinama izvijanja I;.

F '

F

n = I

Jl =I

F

F

I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I

I n=-2

I \ \ I \

F F

>1:~ \~ I 0,251

\ \ \

\ I I h~0.71 \

I I I I I I I I

I I I

h-0,51

I I I I -0,31 I I I 0,251

1!-21 7///- f'///- r.

F

Slika 6.10.

'3 n=-

2 n=2

Jl = 0,7 Jl = 0,5 (6.50)

Iz izraza (6.49) izlazi da kriticna sila ovisi o materijalu stapa, poprecnome presjeku stapa, duljini stapa i 0 nacinu ucvrscenja njegovih krajeva.

Na sl. 6.1 0. prikazan su cetiri osnovna nacina ucvrscenja stapa na krajevima. Medutim, u konstrukciji su malokad ostvareni ti idealni nacini ucvrscenja, vee je stap u vecini slucajeva na kraju elasticno upet iii elasticno oslonjen. Razmotrit cemo


jedan od tih tipicnih slucajeva kada je stap na jednome kraju kruto upet, ana drugom elasticno oslonjen (sl. 6.11 ).

A

lx I i

a)

Ra

._.z __

Slika 6.II.

l-X

X

A

b)

Nakon gubitka stabilnosti elasticno oslonjeni kraj stapa pomakne se u horizontalnome smjeru za pomakf Pritom se pojavljuje lezajna reakcija:

gdje je c krutost elasticne opruge na lezaju B.

Moment je savijanja u presjeku x:

M=- F(j- w) + cf(l-x).

Diferencijalna jednadzba elasticne linije izvijenoga Stapa glasi:

d2w . Elmi" dx' = F(j- w)- cf(l- x).

Podijelimo li jednadzbu (6.51) s Elmin i oznacimo:

dobit cemo:

(6.~)

'

(6.52)

r J

1

I

6.2. Izvijanjc ~tapa u elastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila

iii:

d2w cr - 2 = a 2 (j'- w)----"'- (/- x) dx EJmin

d2w ( d) cl' - + a 2w = a2j' I - - + a 2 "'- x dx2 · F F .

Opce rjesenje te diferencijalne jednadzbe jest:

. ( c ) c w =A Sill ax+ B cos ax+ r I --I +- j'x . F F' .

Za stap prikazan na sl. 6.ll.b rubni uvjeti glase:

w(O) = 0

w'(O) = 0

w (I)= f

Iz rubnog U\jeta (6.55.a) slijedi:

(a)

(b)

(c)

275

(6.53)

(6.54)

(6.55)

Da bismo primijenili drugi uvjet (6.55.b), moramo odrediti derivaciju 1zraza (6.54):

dw . c dx =aA cos ax- aB Sill ax+F ·f,

odakle za x = 0 dobivamo:

iii:

aA+~-f=O

A=-_<:_ f. aF'

Uvrstimo li dobivene vrijednosti za konstante integracije u izraz (6.54) dobit cemo jednadzbu elasticne linije izvijena stapa: '

w=--"-fsin ax- f(l- .£I) cos ax+ f(l- .£I) +-"-J·x ~ F F F . (6.56)

276

iii:

6. Izvijanje, gubitak elasti~ne stabilnosti

Iz treceg rubnog uvjeta (6.55.c) dobivamo:

w(/) =_..E... fsin a/-f(l -~ 1) cos al+ f(l- ~ 1) +~fl=f aF

c ( c ) - aF sin a/- I - F 1 cos a/= 0,

odakle je:

tg a/= a/ (1 - ~} (6.57)

Uzimajuci u obzir da je F = a 2Elmin• jednadzbu (6.57) mozemo napisati u ovom

obliku:

Elmin 3 tg al = al- -,-(a/) . rc

(6.58)

ovu transcendentnu jednadzbu mozemo rijesiti graficki. Korijenima jednadzbe EI ·

(6.58) odgovaraju apscise sjecista funkcije y = tg a/ i funkcije y = al- 1,:" (a/)3

•

Najmanji korijen te jednadzbe ima vrijednost koja lezi u intervalu:

Razmotrimo dva granicna slucaja. Uvrstimo li c = 0 u jednadZbu (6.58), dobit Cemo:

tg al ==co ; 1t

al=-2

n2Efmin 4z2

-Dobili smopoznato rjesenje za stap jednim krajem upet, a na drugome slobodan.

Uvrstimo li c = oo (potpuno kruti lezaj) u jednadzbu (6.58), dobit cemo:

tg a/= a/; a/= 4,493

i :

!

6.2. lzvijanje Jtapa u elastiCnom podruCju, Eulerova kritiCna sila 277

sto odgovara rjesenju (6.36) za stap na jednome kraju upet, ana drugome slobodno oslonjen. '

Iz ovih rezultata, ako se krutost c mijenja od nule do beskonacnosti, izlazi da se pripadajuci koeficijent duljine izvijanja J.1 mijenja od 2 do 0,7.

U dosada8njim smo razmatranjirna promatrali izvijanje stapa konstantnoga poprecnog presjeka, te utvrdili da u izraz za kriticnu silu dolazi Im;" Medutim u konstrukcijarna se cesto pojavljuju tlacni stapovi koji imaju lokalna oslabljenja kao sto su zasjeci kod drvenih konstrukcija, rupe za zakovice kod celicnih konstrukcija i slicno (sl. 6.12).

i I

ill oio

I oio

~ I o.o

~ I

010

olo

~ I 0.0

I

~ 010

olo

F F F

Slika 6.12.

'ko<niapava.sfol{alniin oslabljenjem presjeka; promjellaparametra a u diferencijalnoj jednadZbi (6.6) ima mali utjecaj na deformaciju stapa. Istrazivanja A. N. Dinnika i S. Timosenka pokazala su da cak i znatnije lokalno oslabljenje presjeka (do 20%) neznatno smanjuje velicinu kriticne sile. Zato se pri proracunu stabilnosti stapova opterecenih na pritisak ne uzima u obzir lokalno oslabljenje presjeka. Kriticnu silu racunarno s minimalnim momentom tromosti bruto-presjeka Stapa, tj. Iminbmto·

Prikazana metoda odredivanja kriticne sile naziva se statickom metodom (metoda ravnoteze), a sastoji se u integriranju diferencijalne jednadzbe elasticne linije izvijenoga stapa,


6.3. KRITICNO NAPREZANJE

Stap aksijalno opterecen na pritisak u kriticnome stanju jos zadrzava ravan oblik ravnoteze, paj7 kriticno naprezanje u stapu u trenutku izvijanja:

Uzimajuci u obzir da je minimalni polumjer tromosti presjeka:

mozemo napisati:

gdje je:

I .4=-.-'

lmin

bezdimenzionalna karakteristika stapa i naziva se vitkost stapa.

I I I \ \ \ \

' Eulerova hiperbola

0 ... Slilm 6.13.

(6.59)

(6.60)

(6.,61)

-

6.4. lzvijanje ~tapa u plastU!nom podruCju 279

!zraz (6.60) pokazuje da kriticno naprezanje "h ovisi o svojstvima materijala i o vitkosti stapa. Funkcionalna ovisnost (6.60) izmedu ak, i A, prikazana je Eulerovom hiperbolom u koordinatnome sustavu .4, ak, (sl. 6.13).

Pri velikoj vitkosti stapa kriticno naprezanje tezi nuli, a za male vitkosti kriticno naprezanje naglo raste, tako da ispod odredene vitkosti prelazi granicu proporcionalnosti materijala.

Eulerovi izrazi za kriticnu silu i kriticno naprezanje zasnovani su na linearnoj diferencijalnoj jednadzbi elasticne linije pa, prema tome, i na valjanosti Hookeova zakona. To znaci da izraz (6.60) vrijedi sarno za kriticno naprezanja a., koje ne prelazi grani~u proporcionalnosti "" materijala pri jednoosnome pritisku, tj. kada je:

n2E O"kr = y ::; C"p

ili:

(6.63)

gdje je .4" granicna vitkost ispod koje Eulerovijzrazi za kriticnu silu i kriticno naprezanje ne vrijede. Prema tome, stapovi velike vitkosti A, ;:: Ap izvijaju se u e!asticnom podrucju, dok se stapovi male i srednj e vitkosti:

izvijaju u plasticnom podrucju.

Pokusi pokazuju da je stvamo kriticno naprezanje za stapove male i srednje vitkosti (.4 < A.p) uvijek manje od Eulerova kriticnog naprezanja (6.60). Prema tome, primjena Eulerovih izraza za kriticnu silu i kriticno naprezanje na stapove koji se izvijaju u plasticnom podrucju ne samo sto je nacelno pogresno vee je i krajnje opasno za sigurnost konstrukcije.

6.4.IZVIJANJE STAPA U PLASTICNOM PODRUCJU

Problem izvijanja stapa u plasticnom podrucju prvi je istrazivao Engesser godine 1889. polazeCi od ovih pretpostavki:

1. Stap je idealno ravan i izraden od homogena materijala.

2. Stap je zglobno ucvrscen na krajevima i idealno centricno opterecen na tlak.

3. Progibi su zbog savijanja stapa mali.

4. Bemoullijeva hipoteza ravnih presjeka pri savijanju vrijedi i za plasticno podrucje.

5. Modul elasticnosti u nekoj tocki C dijagrama a- e (sl. 6.14) izraiava se tangentnim modulom, koji je definiran izrazom:

278 6. Izvijanje, gubitak eJastiCne stabilnosti

6.3. KRITICNO NAPREZANJE

Stap aksijalno opterecen na pritisak u kriticnome stanju jos zadrZava ravan oblik ravnoteze, pa je kriticno naprezanje u stapu u trenutku izvijanja:

Uzimajuci u obzir da je minimalni polumjer tromosti presjeka:

mozemo napisati:

'ili:

gdje je:

I; A.=-.

lmin

bezdimenzionalna karakteristika stapa i naziva se vitkost stapa.

I I I \ \ \ \

' Eulerova hiperbola

0

Slika 6.13.

(6.59)

(6.60)

(6.61)

6.4. Jzvijanje Stap,a u plastiCnom podruCju 279

Izraz (6.60) pokazuje da kriticno naprezanje "'" ovisi o svojstvima materijala i o vitkosti stapa. Funkcionalna ovisnost (6.60) izmedu "'" i A. prikazana je Eulerovom hiperbolom u koordinatnome sustavu A., "'" (sl. 6.13).

Pri velikoj vitkosti stapa kriticno naprezanje tezi nuli, a za male vitkosti kritiCno naprezanje naglo raste, tako da ispod odredene vitkosti prelazi granicu proporcionalnosti materijala.

Eulerovi izrazi za kriticnu silu i kriticno naprezanje zasnovani su na linearnoj diferencijalnoj jednadzbi elastiCne linije pa, prema tome, i na valjanosti Hookeova zakona. To znaci da izraz (6.60) vrijedi samo za kriticno naprezanja "'•' koje ne prelazi grani~u proporcionalnosti "'r materijala pri jednoosnome pritisku, lj. kada je:

ili:

rt2£ O'kr= A2 S:crp (6.62)

(6.63)

gdje je "-r granicna vitkost ispod koje Eulerovi jzrazi za kriticnu silu i kriticno naprezanje ne vrijede. Prema tome, stapovi velike vitkosti A, "' "-r izvijaju se u e!asticnom podrucju, dok se stapovi male i srednje vitkosti:

izvijaju u plasticnom podrucju.

Pokusi pokazuju da je stvarno kriticno naprezanje za stapove male i srednje vitkosti (A.< "-rl uvijek manje od Eulerova kriticnog naprezanja (6.60). Prema tome, primjena Eulerovih izraza za kriticnu silu i kriticno naprezanje na stapove koji se izvijaju u plasticnom podrucju ne samo sto je nacelno pogresno vee je i krajnje opasno za sigurnost konstrukcije.

6.4. IZVIJANJE STAPA U PLASTICNOM PODRUCJU

Problem izvijanja stapa u plasticnom podrucju prvi je istrazivao Engesser godine 1889. polazeci od ovih pretpostavki:

l. Stap je idealno ravan i izraden od homogena materijala.

2. Stap je zglobno ucvrscen na krajevima i idealno centricno opterecen na tlak.

3. Progibi su zbog savijanja stapa mali.

4. Bemoullijeva hipoteza ravnih presjeka pri savijanju vrijedi i za plasticno podrucje.

5. Modul elasticnosti u nekoj tocki C dijagrama a-s (sl. 6.14) izral:ava se tangentnim modulom, koji je definiran izrazom:


dcr E,=-=tg '1'1

ds (6.64)

te se pretpostavl)a da je tangentni modul u okolisu locke C konstantan, sto odgovara pretpostavci da se u okolisu locke C linija opterecenja poklapa s linijom rasterecenja.

Slika 6.14.

Oblik izvijenoga stapa opterecena centricnom kriticnom silom Fk< prikazan je na sl. 6.15.a.

U nekom presjeku x stapa pojavljuje se uzdl!Zna sila Fkr i moment savijanja M = F,, · w. Dijagrami deformacija i naprezanja u promatranome presjeku prikazani su na sl. 6.15.b. U tim su dijagramirna cr,, i skr naprezanja i deformacije uzrokovane centricnom silom Fkr i odgovaraju tocki C u dijagramu cr- s na sl. 6.14.

Dopunska deformacija zbog savijanja jest:

11s=:£. p

(6.65)

Dopunska naprezanja zbog savijanja u vlacnoj i tlacnoj zoni poprecnoga presjeka mozemo izraziti slicno Hookeovu zakonu:

z 11cr= E, ·11s= E,-.

p

Ukupno naprezanje u nekoj tocki promatranog presjeka jest:

Iz uvjeta ravnoteze promatranog dijela stapa I, Fx = 0, dobivamo:

I I l

I ' I T I I

6.4.1zvijanje Stapa. u plastiCnom podruCju 281

xl I

F,, '

B i i I i ;

"!(X)

i i X

i ' A z ·-w

F,, a)

b)

Slika 6.15.

J cr · dA = J ( cr,, + M) · dA = J (crkr + E, ~) · dA = J cr,, · dA + E, J z ·dA = A A A p A pA

Odatle izlazi da je:

J z. dA = 0, A

(6.68)


sto znaCi da neutralna os zbog djelovanja momenta savijanja prolazi tezistem poprecnoga presjeka.

Iz uvjeta ravnoteze I, My= 0, dobivamo:

,;(

M = fa · z · dA = f ( ah + A a) · z · dA = f (a,,+ E, ~) · dA j A A A p

= a,, f z · dA + E, f z'2 · dA = F · w. A PA

Uzimajuci u obzir izraz (6.68) i cinjenicu da integral:

J z2 . dA = ly =I min

A

predstavlja moment tromosti poprecnoga presjeka s obzirom na os najmanje krutosti, dobit cemo:

ili:

l -. E,· /min =F· W p

F·w -= (6.69)

Uz pretpostavku da su progibi mali, zakrivljenost mozemo izraziti pribliznim izrazom:

1 d2w = p-dx,. (6.70)

Tako dobivamo diferencija1nu jednadzbu e1asticne linije stapa izvijena u p1asticnom podrucju

' d2w F·w --, +---=0. dx E, ·I min

(6.71)

/

Razlika izmedu diferencijalnihjednadzbi (6.71) i (6.4) samo je u tome, sto umje-sto E u jednadZbi (6.4) do1azi £ 1 u jednadzbi (6.71). To znaci da se prije dobiveni izrazi za kriticnu si1u i kriticno naprezanje u e1asticnom podrucju formalno mogu zadrzati i u p1asticnom podrucju ako se modu1 e1asticnosti E zamijeni tangentnim modulom£1•

Tako dobivamo:

6.4. Izvijanje ~tapa u plastiCnom podruCju 283

(6.72)

i:

(6.73)

Izraz ( 6. 72) mozemo prikazati u s1jedecem obliku:

(6.74)

gdje je Fe Eu1erova kriticna sila. F. S. Jasinski godine 1893. upozorio je na cinjenicu daje u dijagramu a- e linija

rasterecenja C C1 paralelna s pravcem OP (sl. 6.16).

Sli/ca 6.16.

Prihvacajuci tu primjedbu, Engesser je godine 1895. dopunio svoja istrazivanja uzimajuCi u obzir dace pri savijanju dio presjeka Stapa biti rasterecen naprezanjima zbog savijanja i da ce za taj dio presjeka vrijediti modul e1asticnosti E, dok ce u drugom dije1u presjeka vrijediti tangentni modu1 £ 1•

U nekom presjeku x stapa (sl. 6.17.a) raspodje1a naprezanja i deformacija prikazanaje na sl. 6.17.b.

Dopunska beskonacna mala naprezanja zbog savijanja u tlacnoj i v1acnoj zoni presjeka stapa u kriticnom stanju jesu:

284

F,, '

a)

z 1\. rr, = E · 1\.e = E- ,

p

Stika 6.17.

drr £ 1=-=tg '1'1

de

E = tg 'I'·

6.Izvijanje, gubitak elastiCne stabilnostl

b)

Pri beskonacno malim progibima stapa uzdiiZna je sila ii poprecnome presjeku konstantna. Zato je:

' J M·dA=O A

iii:

(a)

6.4. lzvijanje Stapa u plastiCnom podruCju 285

Iz uvjeta ravnoteze promatranog dijela stapa L My = 0 dobivamo:

J 1\.rr · z · dA = J l'.rrv · z · dA + J l'.rr1 • z · dA = §_ J z2 · dA +

A Av At p Av

+ E, J z2 · dA =M=F· w. PA

'

(b)

Moment aksijalne sile F odnosi se na tezisnu os, dok je moment unutarnjih sila uzet s obzirom na neutralnu os y.

Jednadzbu (a) mozemo napisati u obliku:

(6. 75)

gdje su S, i S, staticki momenti povrsine A1 i A, tlacne i vlacne zone presjeka (sl. 6.17) s obzirom na neutralnu os y.

Jednadzbom (6.75) mozemo odrediti polozaj neutralne osi, tj. pomak z0 neutralne osi od tezista presjeka prema rastegnutim vlaknima, a time i koordinate krajnjih vlakanaca Zt i Zv·

Iz druge jednadzbe ravnoteze (b) dobivamo:

I -(El,+E1 11)=F· w, p

(6.76)

gdje su I, i I1 momenti tromosti povrsine Av odnosno A1 s obzirom na neutralnu os y.

Oznacimo li s Im;n minimalni moment tromosti citavoga presjeka s obzirom na tezisnu os presjeka, tadajednadzbu (6.76) mozemo prikazati u obliku:

(6.77)

gdje je:

(6.78)

reducirani modul iii Engesser-Kannimov modul koji ovisi o rr" i o obliku poprecnoga presjekl..

Tako je za pravokutni presjek:

(6.79)

286 6.Izvijanje, gubitak elastiCUe stabilnosti

Uz pretpostavku malih progiba, jednadzbu (6.77) mozemo napisati u obliku:

d2w + Fw =O.

dx2 Erlmin (6.80)

Iz usporedbe jednadzbe (6.80) i (6.4) izlazi da se oni razlikuju samo u tome sto umjesto E u jednadzbi (6.4) dolazi E, u jednadzbi (6.80). Isto vrijedi i za rjesenja tih jednadzbi, tako da izrazi za kriticnu silu i kriticno naprezanje pri izvijanju u plasticnom podrucju glase:

Fk<= n2Erlmin (6.81)

/[.

1:

n2Er (6.82) O"kr="""};2 ·

Buduci da je Karman godine 1909. neovisno o Engesseru dosao do istih rezultata i pokusima ih potvrdio, ova je teorija plasticnog izvijanja dobila naziv Engesser-Jasinski-Karmanova teorija.

Da bismo konstruirali krivulju kriticnih naprezanja O'kr = f(?.) formule (6.73) i (6.82) svodimo na sljedeci oblik:

?.=~ (6.83) O'h

I :

~ (6.84) ?.= --,

O'kr

gdje je:

O:>?.:>?.r.

U dijagramu pritiska a=f(s) (sl. 6.16) na mjestu odabrana kriticnog naprezanja ak, pov1acimo tangentu na krivu1ju te odredimo tangentni modul E1 i reducirani modul E,. Zatim po forumuli (6.83) i (6.84) odredimo pripadajucu vrijednost ?.. Konstrukcija krivulje O'kr = [(?.) prema jednadzbi (6.83) nesto je jednostavnija nego prema jednadzbi (6.84).

Dijagram kriticnih naprezanja O'k< = [(?.) za celik mehanickih svojstava E = 2 · 105

MPa, O'p = 200 MPa, O'r = 240 MPa prikazan je na sl. 6.18.

6.4. Izvijanje Stapa 'u plastiCnom podruCju 287

Analogno tome, na osnovi dijagrama pritiska mozemo konstruirati dijagrame kriticnih naprezanja za bilo koji materijal (sl. 6.19) i (sl. 6.20).

u,, \ \ Engesser- Jasinski- Karman (E,)

240 Engesser (E 1) -------200

160 Euler (E)

Ur 120 u. 60

40

).. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 160 200

~ ;... .I Slika 6.18.

• (J u,,

)

I

Ur Ur I E I o. UM u. I I I I I I l}..p )..

0 0 B podru podruCje je podruCje male .v srednje V vel ike vitko I vitkosti · vitkosti v

Slika 6.19.

Na sl. 6.19. uocavamo tri podrucja vitkosti stapa. Kriticno naprezanje O'b· u podrucju velike vitkosti prikazano je Eulerovom hiperbolom, izraz (6.60). U podrucju srednje vitkosti pripadajuca je krivulja odredena izrazom (6.82). U podrucju male vitkosti kriticno je naprezanje za elastoplasticni materijal O'k< = O'r odnosno O'h = O'M

za krhki materijal.

288: __________________________________ ~6~-~lz~v~ija~n~je~,~gu~b~it=ak~e~la=s=tiC=n~e=st=a=bi=ln=o~sti

(J

(Jp (Jp

0 0

Stika 6.20.

6.5. EMPIRIJSKI IZRAZI ZA KRITICNO NAPREZANJE

Usporedo s teorijskim istra2ivanjima problema stabilnosti tlacnih stapova provedena sui eksperimentalna istra2ivanja, a najznacajnija su Tetmayerova (1850-1905), Jasinskog, Rankinova, Engesserova, Osterifeldova, Johnsonova, Karmanova, Gordanova i dr. Sva ta eksperimentalna istra2ivanja potvrdila su valjanost_Eulerova izraza za kriticno naprezanje pri izvijanju u elasticnom podrucju. Medutim, pri izvijanju u plasticnom podrucju navedeni su autori za kriticno naprezanje predlozili empirijske izraze koji se osnivaju na rezultatima eksperimentalnih istraZivanja.

Tetmayer, a zatim i Jasinski, predlozili su linearnu ovisnost izmedu kriticnog naprezanja i vitkosti stapa u plasticnom podrucju:

Cikr =a- b/l..., (6.85)

gdje su a i b koeficijenti koji ovise o svojstvima materijala, a odred11ju se eksperimentalnim putem. Za gradevni je celik : a = 310 MPa, b = 1,14 MPa. Funkcionalna ovisnost (6.85) prikazana je na sl. 6.21. Tetmayerovim pravcem. Pri vitkosti Ap kriticno napre>;anje odgovara granici proporcionalnosti "r• a pri vitkosti -<r kriticno naprezanje dostize granicu tecenja ur kod elastoplasticnih materijala1odnosno granicu CVrS!OCe O'M kod krhkih materijala.

D\jagram u,, =f(A.) sastoji se od triju dijelova: horizontalnog pravca za 0 <A.< AT, Tetrnayerova pravca za "-r <A.< "-r i Eulerove hiperbole za A.> "-r· S tim u- vezi-razlilmjemo: -stapove- male- vitkosti O<A. < Ar, .stapove srednje. vitkosti -<r < A. < A.p i stapove velike vitkosti A. > "-r· Za stapove male vitkosti kao kriticno naprezanje usvaja se naprezanje ur na granici tecenja (gnjecenja), pa se proracunavaju samo na tlacnu cvrstocu.

6.6. Dimenzioniranjc §tapova optereC:enih na izVijanje

I I I

' \

-.-----t~'::m'~~\ I \. ___ ..J __ _

289

Tetmayerov pravac

Up

I I I I I I I I I

Eulerova hiperbola cV J,.p

Stika 6.21.

6.6. DIMENZIONIRANJE STAPOVA OPTERECENIH NA IZVIJANJE

Za stap aksijalnq_ opterecen na tlak moraju biti ispunjeni ovi uvjeti: /- . " -, \ · 1. Uvjet cvrstoce .'

ili:

gdje je:

F 0' = --$ O'Jop

Ancto

F:::; O"Jop · Ancto ' , ________ _

"K je naprezanje kod kojeg materijal dolazi u nezeljeno stanje. Kod elastoplasticnih materijala uzima se da je "K jednako granici tecenja ur, a kod krhkih je materijala "K jednako tlaenoj cvrstoCi "M· """" je dopusteno tlacno naprezanje, a k je koeficijent~igurnosti cvrstoce.

r 2. Uvjet stabih1osti / '----------

F O"j = y- $ O'j dop

bruto

(6.86)

290

iii:

gdje je:

F ~ O"i dop · Abruto = Fi dop ,

O"kr O'idor=y,

'

' 6. Izvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

(6.87)

(6.88)

. _a, d?P je d~pusteno naprezanje pri izvijanju, F; dop je dopusteno opterecenje pri IZV!JanJU, a k; Je koeficijent sigumosti protiv izvijanja.

:"'<o su nam ~ad~i krivulja O"kr ~JUt) i koeficijent sigumosti protiv izvijanja k;, ~~~J. se konstrmra!i krivu!Ja dopustenih naprezanja pri izvijanju a, dop = f(A,) (sl.

\

a,, I \ \ \ \ \ \

' ----- - a,, aT u,,

a. k, a •• k,-k

0 A Ap A

Stika 6.22.

.~ao sto je ~ec istaknuto, koeficijent sigumosti protiv izvijanja k; uzima se nesto vec1. o? koefiCIJenta s1gumosti cvrstoce k, (k; > k) i u elasticnom podrucju (A, > ). ) os!aJe konstantan. Pri maloj vitkosti stapa mjerodavan je proracun cvrstoce, pa je ;a A, = 0, k; = k, t?;'<o da se koefic1jent sigurnosti protiv izvijal\ia u plasticnom podrucju (0 < A, < .A.p) m!JenJa po parabohcnom zakonu, kao sto je prikazano n\t sl. 6.22. '"J.'

. Pror~c~n stapova na izvijanje moze sadl"Zavati odredivanje dopustenog opterecenJa 1h 1zbor poprecnoga presjeka stapa.

. Ako je z~dan poprecni presjek, odredimo minimalni polumjer tromosti presjeka lmin 1 Vltkost stapa

6.6. Dimenzioniranje ~tapova optereCenih na izvijanje 291

Ako je A, > Ap , dopusteno opterecenje iztacunamo iz Eulerovog izraza, a ako je A, < ).P , Eulerov se izraz ne moze primijeniti. U tom slucaju mozemo primijeniti izraze (6.73), (6.82) iii (6.85). Ako nam je zadan dijagram dopustenih naprezanja a; dop = f(A,), onda za zadanu vitkost A, iz dijagrama ocitamo a, dop , a dopusteno opterecenje odredimo izrazom (6.87).

Ako je zadano opterecenje stapa, onda se izbor poprecnoga presjeka obavlja metodom postupnog priblizavanja. Pri izboru oblika poprecnoga presjeka nastojimo da je po mogucnosti razlika izmedu glavnih sredisnjih momenata tromosti, sto manja, tj. da je 11 = ! 2• Taj uvjet ispunjavaju kruzni i kvadratni presjek. Medutim, ako je u glavnim ravninama duljina izvijanja razlicita (sto ovisi o nacinu ucvrscenja), onda treba odabrati razlicite glavne momente tromosti, tako da vitkosti stapa u glavnim ravninama budu jednake iii priblizno jednake. Ako to nije postignuto, prorac_un izvijanja treba provesti za maksimalnu vitkost stapa. Iz Eulerovog izraza odredimo minimalni moment tromosti presjeka:

i odaberemo dimenzije presjeka, koje odgovaraju nadenom momentu tromosti Im;n . Zatim izracunamo odgovarajuce vrijednosti im;n i A, i provjeravamo je li Eulerov izraz primjenjiv. Ako je A,> Ap, ispravno je primijenjen Eulerov izraz i time jc zadatak rijesen. Ako je A,< Ar , Eulerov izraz je pogresno primijenjen i nadene dimenzije presjeka su manje od potrebnih. U tom slucaju pretpostave se dimenzije presjeka vece od prethodnih i izracuna odgovarajuce vrijednosti im;n i A,, pa se iz dijagrama akr =f(A,) iii izraza (6.73), (6.82) i (6.85) odredi dopusteno naprezanje a, dop • Mnozenjem povrsine izabrana presjeka s tim naprezanjem do bit ce se dopusteno opterecenje stapa F; do~ Ako je razlika izmedu F; dop i zadang opterecenja F manja od 5 %, izabrani presjek zadovoljava, au protivnom postupak semora ponoviti.

Osim navedenog postupka pri dimenzioniranju stapova opterecenih na izvijanju · upotrebljava se jos i tzv. w-postupak, koji se svodi na proracun stapa opterecenog na

tlak uz pretpostavku da je:

F ai =-A--::;: CTj dop .

bruto

Ako pomnozimo desnu stranu gomje jednadzbe s adop , gdje je adop dopusteno tlacno n~prezanje, dobit cemo: adop

UvodeCi oznakn:

F O"dop --::;: O"idop · -- · A bruto 0' dop

O'dop a>=--,

O'idop (6.89)

292

dobit cemo:

F·m -A $adop.

bruto

6.1zvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

(6.90)

Koefieijent m naziva se koefieijent izvijanja i ovisi o vitkosti stapa. Za A> Ar izraz (6.89) mozemo prikazati i u obliku:

O'Jop·ki ~2 w= 2

·A, rtE

(6.91)

Dijagram OJ= f(A) prikazan je na sl. 6.23.

;..,

Slika 6.23.

Koefieijenti m za razlicite materijale mogu se naci u tehnickim prirucnicima. Pri izboru poprecnoga presjeka i kod m - postupka primjenjuje se metoda postup

noga priblizavanja.

Primjer 6.1. \

Stap duljine I= 10,0 m sastavljen je od dvaju kruto vezanih profila [ 200 prema sl. 6.24.a. Karakteristike su profila: A= 32,2 em2, e = 2,01 em, J,. = I 9!0 em<, fy' = 148 em4 Treba odrediti udaljenost a taka da sigurnost protiv izvijanja bude u svim smjerovimajednaka. Za taka odredenu udaljenost a treba naci kriticnu silu Fh aka je:

a) stap zglobno ucvrscen na oba kraja (sl. 6.24.b)

b) stap najednome kraju upet, ana drugom slobodno oslonjen (sl. 6.24.e). Zadano: E = 210 GPa, "T = 240 MPa, up =210 MPa, uh = 3!0- 1,14 A [MPa],

6.6. Di'menzioniranje ~tapova optereCenih na izvijanje 293

F,, F,,

~ -~ '\~ ~

\ \ I \ \~ \ E

0 I I I 0 ,.= I .. ~

I I I ,: - I I I I I

I I I I I ,

~ ~

F,, F,,

a) b) c)

Slika 6.24.

Geometrijske karakteristike poprecnoga presjeka su:

A = 2 . 32,2 = 64,4 em2

lx = 2 fx· = 2 · I 910 = 3 820 em4

fy ~ 2 [148 + 32.2· (2.01 +~n= = 16,1 · a2 + 129,4 ·a+ 556,2.

Da bi sigurnost protiv izvijanja u svim smjerovima bi1a jednaka, potrebno je da su glavni momenti tromosti presjeka medusobno jednaki, tj.:

iii:

ly = lx,

Aka uvrstimo. odgovarajuce vrijednosti, dobit cemo:

16,! a2 + 129,4 a+ 556,2 = 3 820

Odatle dobivamo:

a'+ 8,04 a -202,7 = 0,

/\/\/\;\ ra = 10,77 em] ~\/I/\/\/-


Usvojeno:

• a= 108 mm.

Za a = I 0,8 em, dobivamo:

fy=2[148+32,2 (2,01 + 1 ~8 )']=3 832 cm4

.

Minima1ni po1umjer tromosti jest:

Da bismo odredili je li izvijanje u e1asticnom iii p1asticnom podrucju, potrebno je odrediti Ap:

a) Stap zgiobno ucvrscen na oba krqja

Du1jina je izvijanja jednaka stvamoj duljini stapa, tj.:

I; = I= I 0,0 m.

Vitkost stapa jest:

I; I 000 A=-=--= 1299 >A =993

imin 7,7 ' r ' .

Buduci je A > Ap , izvijanje je u e1asticnom podrucju. Kriticnu silu izvijanja izracunat cemo pomocu Eu1erovog izraza:

1t2 . 210. J09 . 3 820. 10-" J02

791,74 kN .

b) Stap na jednom kraju upet, a na drugome siobodno osionjen

Du1jina izvijanja jest:

I;= 0,71= 0,7 · 10,0 = 7,0 m

pa je vitkost stapa:

I, 700 A=-. -. =

7 7 = 90,91 < Ap = 99,3.

lmm •

I

6.6. Di-menzioniranje §tapova optereCenih na izvijanje 295

Buduci da je A < Ap , izvijanje je u p1asticnom podrucju. Pomocu Tetrnayerova izraza dobivamo kriticno naprezanje .

a,,= 310- 1,14 ·A= 310- 1,14 · 90,91 = 206,36 MPa.

Kriticna sila izvijanja jest:

F,, =a,,· A= 206,36 · 106 · 64,4 · 10-4 = 1 328,96 kN.

Primjer 6.2.

Treba dimenzionirati celicni stap du1jine I= 6,0 m, poprecnoga presjeka prema sl. 6.25. Stap je upet na oba kraja i opterecen tlacnom silom F = 135 kN.

Zadano: E = 210 GPa, ar = 240 MPa, aP = 210 MPa i koeficijent sigumosti protiv izvijanja k, = 2,5.

"' 0 !!-

:<

I I

I I r I I I \ _\

I

F

F

Duljina izvijanja jest:

'

Granicna vitkost iznosi:

E 0 co • -

/

Slika 6.25.

z, = 0,5 · l = 0,5 · 6,0 = 3,0 m.

Pretpostavit cemo da se izvijanje dogada u elasticnom podrucju.


Iz uvjeta:

dobijemo:

Fk;ff 135 ·103 · 25 · 32 I · > -- = ' 146,55 · J0-8 m4 = 146,55 em4 • mm- n2 E n2 ·210·109

Najmanji profil ciji moment tromosti zadovo1java tu jednad:i:bu jest profil L 120 X 120 X 12 s lmin = 152 cm4, im;n= 2,35cm i A= 27,5 em2.

Odgovarajuca vitkost jest:

300 A=

2,35

= 127,7.

Buduci da je A > Ar racunamo prema Eu1eru:

a = n2 E' = n 2 210 OOO 127,1 MPa " A2 127,72

a,. 127,1 <Y; dop = T = 25 = 50,84 MPa.

' '

Stvarno naprezanje u stapu iznosi:

F 135 · 103 u=-= 49,09 MPa < cr;dop = 50,84 MPa.

A 27,5 · 10-4

Ako uvjet stabilnosti nije ispunjen, postupak je izbora presjeka potrebno ponoviti.

Primjer 6.3.

Celicni stap du1jine l = 6,0 m poprecnoga presjeka prema sl. 6.26 upet je na oba kraja. Stap je podvrgnut jednolikom zagrijavanju. Treba odrediti promjenu tempera-ture pri kojoj nastaje izvijanje stapa i odgovarajucu kriticnu silu. I

Zadano: E = 210 GPa, "r = 210 MPa, koeficijent 1inearnoga toplinskog rastezanja a= 125 · J0-7/1 K.

Geometrijske karakteristike poprecnoga presjeka:

A= 10 · 4 + 6 · 4 ='64 ell12

40. 2+24. 7 Yl= 3,88 em.

64

6.6. Dimenzioniranje ~tapova optereCenih na izvijanje

F,, :< 30 40 30

i I

I

I

I i

I E I 0

~ I <D I ' I -I

I IT . -<>-· I

I I i

I I

I

100mm

%

F,,

Slika 6.26.

10. 43 4 63

I,=~+ 40 · 1,882 +-IT-+ 24 · 3,122 = 500,3 cm4

4. 103 6 . 43 4 fy = ~ + "'\2' = 365,3 em

l,y = 0, I min= fy = 365,3 em4

. . fi::. . !365J 39 lmin ==VA= y--c;.r-=2, em.

Du1jina izvijanja:

Vitkost stapa:

Granicna vitkost:

I; =· 0,5 · I= 0,5 · 6 = 3,0 m.

I; 300 A=-.-=-= 125,5.

lmin 2,39

, _ V!:- -v210000= 993 "'r-1t -7t 210 '· "r

297

-.-

0 <D

-X 0 ...


Buduci da je A. > A.P, izvijanje je u e1asticnom podrucju, pa se moze primijeniti Eu1erov izraz za kriticnu silu.

Fkr= 1t2Efmin 1t2 · 210 · 109 · 365,3 · JO-S

841,25 kN . fl 32

Iz uvjeta:

AI,- Alk = 0

dobivamo:

Fhl a·D.T·l=-

EA

ili:

D.T= Fk, 841,25 . 103 50,1 K.

aEA 125 . J0-7 . 210. 109 . 64. J0-4

Izvijanje stapa nastaje prilikom promjene temperature D.T = 50, I K.

Primjer 6.4.

Treba odrediti kriticnu silu izvijanja stapa promjenljiva momenta tromosti prikazanog na sl. 6.27.

F

z ·-w

" CD

X

-I El WIX)

I I _.,. ®, 4El -IN

I i

F

XI a) b)

Slika 6.27.

6.6. Dimenzionirar~je ~tapova optereCenih na izvijanje

Diferencija1ne jednadzbe za prvi i dn!gi dio stapa g1ase:

d2w2 · 4El dx2 +Fw2=0.

Ako oznacimo:

dobit cemo:

Opca rjesenja diferencijalnih jednadzbi jesu:

w1 = A1 sin 2ax + B1 cos 2ax,

w2 =A2 sin ax+ B 2 cos ax.

Imamo dva rubna uvjeta i dva uvjeta kontinuiteta koji glase:

w{f)=w{f)

Wt'(f)=w/(f)

w2(1) = 0.

Iz prvog rubnog uvjeta w1 (0) = 0 dobivamo Bt = 0. Iz preostalih triju uvjeta dobivamo sljedeci sustav homogenih jednadzbi:

A2 sin a/+ B2 cos a/= 0.

299

300 6. Jzvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

Da bi sustav homogenih jednadzbi imao rjesenje razlicito od trivijalnog, determinanta sustava mora biti jednaka nuli, tj.:

sinal at a/ -sin- -cos2 2

2 cos a/ a/ a/ -cos- sin-2 2

0 sin a/ cos a/

Razvojem determinante dobivamo dvije jednadzbe:

. a/ 0 sm-= 2

2 a/ tg 2=2.

Najmanji korijen razlicit od nule dobit cemo iz uvjeta:

Tadaje:

a/ . r;;· tg2=~2'

a/ 2=0,955.

14,6 EI p.

=0.

Dobiveni izraz za kriticnu silu mozemo prikazati i u sljedecem obliku:

gdje je koeficijent duljine izvijanja:

. fFo , /n2 El P. J.l = \jJi;; = V P. . 14,6 El 0•82·

Primjer 6.5.

I (6.92)

Treba odrediti kritiCnu silu · izvijanja za stap zglobno ucvrscen ua oba kraja, a u sredini opterecen uzduznom silom F (sL 6.28).

Diferencijalne jednadzbe za prvi i drugi dio stapa glase:

6.6. Dimenzioniranje ~tapova optereCenih na izvijanje

F

®

Oznacimo li:

dobit cemo:

Slika 6.28.

F -=a2 El '

Opca rjesenja diferencijalnih jednadzbi glase:

a2f x' w1 =--

1-· 6 +A 1 x+A2

w2 =A3 sin ax+A4 cos ax+f(l-f}

®

I x· I

Imamo dva rubna uvjeta i dva uvjeta kontinuiteta koji glase:

301


'(/) ' I Wt 2 = w2 (2)

w2(1) = 0.

Iz prvog uvjeta w1(0) = 0 izlazi da je A2 = 0. Iz preostalih uvjeta dobivamo:

. a/ a/ I A, sm 2 +A• cos 2 +2f=f

a 2fl a/ a/ 1· - 8 +At =A, a cos --A4 a sin--

2 2 I

A3 sin a/+ A4 cos a/= 0.

Dobiveni je sustav jednadzbi homogen s obzirom na nepoznanice A A A 1· f • J, 3, 4 .

Da bt sustav hom?g~nih jednadzbi imao rjesenje razlicito od trivijalnog, determinanta sustava mora bttl Jednaka nuli, tj.:

I 2

0

0

0

a/ sin-2

a/ -a cos-2

sin a/

0

a/ cos-2 a/

asin2

cos a/

Razvojem determinante dobivamo:

3 a/ a/ 2

tg2= (~7 -9

Najmanji korijente jednadzbeiznosi:

a2z2 -1--

48 I 2

a 21 =0.

---8

0

'

6.7. Utjecaj poi!etne zakrivljenosti ~tapa na veliCinu kritiCne sile

18,7 El p.

Dobiveni izraz mozemo napisati i u oblikn:


. fF: v n2 EI p. f.l = 'Y!i;; =p. 18,7 EI = 0'73 ·

6.7. UTJECAJ POCETNE ZAKRIVLJENOSTI STAPA NA VELICINU KRITICNE SILE

303

Pri izvodu Eu!erova izraza za kriticnu silu pretpostavili smo da je stap idealno ravan, sto u stvamosti gotovo nikada nije ispunjeno.

Da bismo istra2ili utjecaj pocetne zakrivljenosti stapa na pojavu gubitka stabilnosti, promatrat cemo stap zglobno ucvrscen na oba kraja, koji u neopterecenu stanju ima malu pocetnu zakrivljenost (sl. 6.29.a). Pocetni progib u proizvoljnome presjekn x jest w0(x), a u sredini raspona je fo. Buduci da promatramo stap s vrlo malim progibima, os stapa ima oblik blage krivulje, koja se s dovoljnom tocnoscu moze prikazati poluvalom sinusoide

wo(x) = fo sin"(. (6.93)

Nakon opterecenja stapa tlacnom silom F u proizvoljnome presjekn X javlja se dodatni progib Wt(X), (sl. 6.29.b). Uknpni progib stapa u proizvoljnome presjekn X

jest:

W(X) = Wo(X) + w1(X).

Diferencijalna jednadzba elasticne linije stapa glasi:

iii:


X t

1,., lXI

z ·-·.;;-

"' a)

' Stika 6.29.

gdje je:

Ako izraz (6.93) uvrstimo u izraz (6.94), dobit cemo:

' d2w1 .• ix dx2 + a2w1 = - a2 fo sm -

1- .

Kad partikuiarno rjesenje:

C . 7tX

w 1p= smT

uvrstimo u jednadzbu (6.95), do bit cemo:

c Jo 1t2

a2fl.- I

fo

I F

z ·-·-w

F

b)

(6.94)

(~5)

6.7. Utjecaj poCetrie zakrivljenosti Stapa na veliCinu kritiCne site 305

Opce rjesenje nehomogene diferencijaine jednadzbe (6.95) giasi:

A . B fo .7tX w1 = sm ax + cos ax+ -F-- sm -1- .

~-1 F

Iz rubnih uvjeta w1(0) = w1 (l) = 0 dobivamo dajeA = B = 0, pa mozemo napisati:

fo . 7tX w1 =-F--sm 1 .

___!!.- 1 F

Ako zbrojimo izraze (6.93) i (6.96), dobit cemo ukupni progib:

j. . 7tX Jo . 7tX Jo . 1tx

w=w0 +w 1 = 0 sm-1-+-F--sm t=--F-sm -

1-.

....!':_! i--F Fk,

Progib ima najvecu vrijednost u sredini raspona:

fo Wmax =J=--F- ·

i-F"

om•x

CTy ---------t,

0.5 .E 0

0.8 1,0 F,, 0~----+-----+--+--

a) b) (

Stika 6.30.

I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I

Fr Fkr

(6.96)

(6.97)

(6.98)

F

Izraz (6.98) prikazan j~ u koordi~atnom sustavu FF , f (sl. 6.30.a). Pri F = 0, k•

progib je jednak pocetnome progibu fo. Pri porastu sile F progib f nagio raste, a za

6. Izvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

F = F, tezi u beskonacnost. To znaci da gubitak stabilnosti stapa s pocetnom zakrivljenosc~ nastupa vee prilikom priblizavanja sile F kriticnoj vrijednosti F,, a ne nakon dostizanja te vrijednosti, kao sto je slucaj kod idealno ravnog stapa. To Je jedan od razloga zbog kojegje koeficijent sigurnosti protiv izvijanja uvecan u odnosu na koeficijent sigurnosti cvrstoce.

Maksimalno naprezanje u stapu dobit cemo tako da naprezanjima zbog aksijalnog opterecenja dodamo naprezanja zbog savijanja: . "

F Mmax Umax =_A+-1-Zmax ·

y

Uzimajuci u obzir da je moment savijanja:

i moment otpora poprecnoga presjeka:

I w: __ Y_ y-

Zmax

dobivamo:

(6.99)

Na sl. 6.30.b prikazana je ovisnost maksimalnog naprezanja o opterecenju. Uocavamo da naprezanje pri povecanju opterecenja raste znatno br:le od opterecenja. Uz pretpostavku da se granica proporcionalnosti i granica tecenja materijala poklapaju, velicna naprezanja erm"' u izrazu (6.99) ogranicenaje granicom tecenja materijala err. Stavimo li erm,. =err, F = Fr, izraz (6.99) mozemo napisati u sljedecem ob~u:

er =Fr[l+foA __ l_] r A Wy

1 _ Fr '

F,,

(6.100)

gdje je Fr granicno opterecenje koje odgovara granici tecenja materijala err. Zadamo li err, fo , E i dimenzije stapa, mozemo odrediti granicno opterecenje Fr. Dopusteno opteni~eiijeFciordobit cerri() dijeljenjemFr s koeficijentom sig11mosti k, tj.:

Fr Fdop=k.

f .. I

I '

l I

" '

6.8. EksccntriCno optereCenje vitkih ~tapova 307

6.8. EKSCENTRICNO OPTERECENJE VITKIH STAPOVA

Razmatrat cemo stap ekscentricno opterecen dvjema tlacnim silama F (sl. 6.31). Pretpostavit cemo da sile F uzrokuju savijanje stapa u jednoj od glavnih ravnina tromosti. U proizvoljnome presjeku x stapa javlja se moment savijanja:

iii:

M=F(e+ w).

F Tr---- -------------\'i " \1 f e ~

I \ ;.----W(l() ~~~-.!.------~ • X ---- . "//

1/2 I 1 zfw

Slika 6.3}.

Diferencijalna jednadZba elasticne linije stapa ima oblik: •

Ako uvedemo oznaku:

d2w Ely cJx2 =-F(e+w)

-

' 2..:_ F a- EI '

y

dobit cemo:

Opce rjesenje ove diferencijajne jednadzbe glasi:

w =A sin ax+ B cos ax- e.

F

X .;.-- -·-r////

(6.101)

(6.102)

(6.103)

308 6. Izvijanje, gubitak clastiCnc stabilnosti

Iz rubnih uvjeta:

dobivamo:

paje:

w(O) = w(l) = 0

B=e, a/

A=e·tg-2

w = e [tg ~I· sin ax+ cos ax- I].

Maksimalni progib u sredini raspona 0 = ±) iznosi:

f . (I) [ a/ . a/ a/ 1] . = Wm" = w 2 = e tg 2 · sm 2 + cos 2- .

iii:

f=e(~-1). cos-

2

Uzimajuci u obzir izraz ( 6.10 I), mozemo napisati:

.f=e ~ , · [ I 1] cos(%~)

gdje je:

Eulerova kriticna sila.

(6.104)

(6.105)

(6.106)

(6.107)

Ovisnost maksimalnoga progiba o sili F prikazana je graficki na sl. 6.32.a. Za F = 0, f = 0, za F = Fkn f = oo. Kad se velicina tlacne sile priblizava vrijednosti Eulerove kriticne sile Fk, progib f raste vrlo brzo.

Maksimalno naprezanje u stapu iznosi:

F Mmax O'max =A+--w ·

y

6.8. EkscentriCno optereC~nje vitkih ~tapova 309

aT ---------

a) b)

S/ika 6.32.

Uzimajuci u obzir da je:

e Mm,. = F(j+ e)= F · (1t ff),

cos- -2 Fk<

dobit cemo:

am.x =~[I+ ;Y. co{%~)l (6.108)

Ovisnost maksimalnog naprezanja o sili F graficki je prikazana na sl. 6.32.b . . K~o i u slucaju i<tapa ~ pocetnom zakrivljenosti, ako am,. = aT i granicno opte

recenJe F = FT stavuno u !Zfaz (6.108), dobit cemo:

. aT= :T [I + ;y . (It_ e {F;).J . cos -v-R.:- __ _

2 Fk<

(6.109)

Zadamo li aT, e, E i dimenzije stapa, gomju jednadzbu mozemo rijesiti po FT metodom postupnog priblizavanja.

Dopusteno opterecenje jest:

FT Fdop=k.

310 6. Izvijanje, gubitak elastiCne stabilnostl

6.9. UTJECAJ AKSIJALNOG OPTERECENJA NA SAVIJANJE STAPA

U 3. pog1avlju razmatrali smo stap male vitkosti pod djclovanjem uzdufuih sila i momenata savijanja uz pretpostavku da vrijedi princip superpozicije, te smo uvjcte ravnoteze postavili na nedeformiranome stapu (teorija prvog reda). Da se taj proracun ne moze primijeniti na stapove velike vitkosti, lako se mozemo uvjeriti na primjeru vitkoga stapa (sl. 6.33) zglobno ucvrscenog na oba kraja koji je opterecen centricnom tlacnom silom F i proizvoljnim poprecnim opterecenjem u jednoj od glavnih ravnina tromosti.

a, F 0 F X

-- i>l Wo ~~+----:.:----;'~ ;.::.'//'f////. ..:-_- w--a w1-j X--

ft t____ ~

·-·-..

L 112 112

: 1

Slika 6.33.

Pretpostavimo da najprije djeluje samo poprecno opterecenje koje uzrokuje savijanje nosaca. U proizvoljnome presjeku x stapa javlja se moment savijanja Mo i progib w0(x). Zatim na savijeni stap nanosimo centricnu tlacnu silu F pod kojom se stap jos vise savija i u proizvoljnom se presjeku javlja dopunski progib w1(x).

Ukupni progib u nekom presjeku iznosi:

w(x) = wo(x) + w, (x). (6. 110)

U proizvoljnom presjeku stapa, se uz moment savijanja M0 zbog poprecnog opterecenja, javlja i dopunski moment savijanja od tlacne sile F s krakom w(x).

Tako da je u deformiranom stanju stapa moment savijanja u proizvoljnom presjeku:

M=M0 +F· w. (6.111)

Uocavamo.da prLodredivanju. ukupnog momenta savijanja M ne mozemo primijeniti princip superpozicije. OCito je da je ukupni progib w(x) veci od zbroja progiba izazvanih pojedinacnim djelovanjem poprecnog opterecenja i tlacne sile F, jer je pri pojedinacnom djelovanju sile F, w1(F) = 0.

Iz ovog proizlazi da, u ovom slucaju, uvjete ravnoteze moramo postaviti na deformiranom stapu (teorija drugog reda).

.. 1

I

I

6.9. Utjecaj aksijalnog optereCenja na savijanje Stapa 311

Uz pretpostavku da su progibi dovoljno mali, diferencijalna jednadzba elasticne linije stapa glasi:

iii:

Uvedemo li oznaku:

dobit cemo:

z_ F a- El '

y

Opce rjesenje diferencijalne jednadzbe (6.114) glasi:

w =A sin ax+ B cos ax+ Wp ,

(6.112)

(6.ll3)

(6.114)

(6.ll5)

gdje je wP partikulamo rjesenje ovisno o funkciji M0 , lj. o obliku poprecnog opterecenja.

U opcem slucaju opterecenja stapa poprecnim opterecenjem, funkcija Mo nije glatka i neprekinuta, vee se razlicito izrafava po pojedinim dijelovima stapa. U tom slucaju moze se primijeniti sljedeci priblizan postupak rjesavanja diferencijalne jednadzbe (6.114).

Ako je poprecno. opterecenje koje djeluje na ~.tap usmjereno na jednu stranu i simetricno s obzirom na sredinu raspona, tada se s dovoljnom tocnoscu elasticna linija stapa (sl. 6.33)moze prikazati u obliku sinusoide

w(x) =/sin"; , (6.ll6)

gdje je != w (f) progib u sredini raspona.

Elasticnu \iniju od djelovanja samo poprecnog opterecenja (F = 0) mozemo takoder priblizno prikazati u obliku sinusoide

w0(x) = fo sin "; , (6.117)


gdje je fo = wo (f) progib u sredini raspona izazvan samo poprecnim opterecenjem.

Deriviranjem 1zraza (6.116) i (6.117), dobivamo:

d2w0 1t2 • 1tX Mo dx' =-p:fosmT=- Ely.

Ako u izraz (6.114) uvrstimo odgovarajuce derivaeije, dobit cemo:

Odatle je:

iii:

gdje je:

1t2 ; 1tX . . 1tX 1t2 . . 1tX -- fsm -+ a 2 jsm -=-- fo sm-p l l p l .

f Jo fo a2P

i--

"' I- FP

1t2E! y

1=2_ F'

1--Fkr

1t2El F - y ··--p-.

(6.118)

(6.119)

U izrazu (6.119) za Eulerovu kriticnu silu figurira moment tromosti presjeka s obzirom na glavnu os tromosti koja je okomita na ravninu poprecnog opterecenja.

Moze se pokazati da izraz (6. 118) vrijedi i za druge slucajeve ucvr8cenja krajeva stapa, uz uvjet da za Eulerovu kriticnu silu treba uzeti odgovarajucu vrijednost

1t2EI F - y ,, - (Jll)' .

Na osnovi izraza (6.116), (6.117) i (6.118) dobivamo:

M Mo

6.9. Utjecaj aksijalnog optereCenja na savijanje Uapa

Odatle je:

Mo M=--F-.

i-F,,

Maksima1no naprezanje u stapu iznosi:

F Mmax F Momax

"m" = A+ W =A+ ( F ) ' y w 1--

y Fkr

313

(6.120)

(6.121)

Iz izraza (6.118) i (6.121) iz1azi da izmedu progiba i uzdufue sile, odnosno naprezanja i uzdu:lne si1e, postoji nelineama ovisnost. Ako se vrijednost uzduzne sile priblizava Eulerovoj kriticnoj sili, naprezanja i deformaeije stapa pocinju naglo rasti, y. nastupa gubitak stabi1nosti ravnoteze stapa.

Ako se stap savija u ravnini najvece krutosti, onda u izrazu ( 6.119) figurira ly = = Imax· U tom slucaju postoji mogucnost izvijanja u ravnini najmanje krutosti. Zato je potrebno provjeriti sigumost stapa na izvijanje u ravnini najmanje krutosti zbog djelovanja samo uzduzne si1e.

Primjer 6.6.

Ce1icni stap profila I 300 zglobno je ucvrscen na oba kraja i opterecen tlacnom silom F = 280 kN (sl. 6.34). Stap ima ma1u pocetnu zakrivljenost u ravnini najmanje krutosti sa strelieom fo = 1,5 em. Treba provjeriti stabilnost i cvrstocu Stapa. Zadano je: E = 210 GPa, "r = 210 MPa, CTuop = 160 MPa, k; = 2. Karakteristike su presjeka: A= 69 em2, ly = 451 em4, Wy = 72,2 em\ iy = 2,56 em.

lx I F

F

Stika 6.34.

I

-·-T ·-·;....

i Yj

314

Du1jina izvijanja I; =I= 4,0 m. Vitkost stapa:

6. Izvijanje, gubitak elasti~ne stabilnosti

I; 400 -<=-=-= 15625

iy 2,56 '

210 000 =993 210 '

Kriticna je sila:

n2. 210. 109. 451 . 10-'- 584 22 kN 42 - ' .

Dopusteno opterecenje iznosi:

F - F,,- 584•22 - 292 11 kN > F = 280 kN dop-k-- 2-' · '

Iz toga iz1azi da je stabilnost stapa osigurana. Najvece je naprezanje u stapu:

280. 103 280. 103 • 1,5. Jo-2 = + 69·10-4 722·10-·(~-~)

' 584,22

pa iz1azi da je zadovo1jen i uvjet cvrstoce.

Primjer 6. 7.

152,29 MPa < O"uop = 160 MPa,

Celicni stap profi1a I 400 zg1obno ucvrscen na oba kraja opterecen je ekseentriCnom t1acnom silom F = 600 kN. Ekseentricnost tlacne sile F iznosi e = I em kao sto je prikazano na sl. 6.35. Treba odrediti maksima1ni progib, ekstremna norma1na naprezanja i kriticnu silu F,,. Zadano je: E = 210 GPa, a,= 210 MPa. Karakteristike su presjeka: A = 118 em2, Iy = I 160 em4, Wy = 149 em3, iy = 3,13 em.

Du1jina izvijanja I;= I= 5 m. Vitkost stapa:

I; 500 -<=-=-= 1597

iy 3,13 '

6.9. utjccaj aksijalnog optereCenja na savijanje ~tapa

x! I F-600kN

I I I I I I E

e-11cm l()

~ I

__ T t-·-r 1cm

I I I I I

·-·~

F·600kN

Slika 6.35.

i Yj

-<,=n ~=99,3; -<>-<,. O"p

Kriticna sila iznosi:

n2 • 210. 109 · 1 160 · 10-• 52

Maksima1ni progib prema izrazu (6.106) jest:

961,69 kN.

f= Wrn"' = e [ ( I' 0 I] = I . [ ( I cos ~ v ~.) cos ~ v 9:~~9 )

Mrnox = F If+ e)= 600 · (2,09 + I) · 10-2 = 18,54 kNm.

Najvece naprezanje u stapu iznosi:

175,27 MPa.

Primjer 6.8.

Treba odrediti jednadzbu e1asticne linije nosaca prikazanog na sl. 6.36. Moment savijanja u proizvo1jnome presjeku x jest:

I

315


X

Sli/ca 6.36.

Ms M(x) =- · x+F· w.

I

RB .. MB 1


d2w Ma EI dx' =-M=-F·w--1-x.

Ako uvedemo oznaku

F -=az El '

dobit cemo:

d2w 2 __ Ms dx' + a w - Ell x.

Opce rjesenje ove jednadzbe jest:

Ms w=A sin ax+B cos ax- Fix.

Iz rubnih uvjeta w(O) = 0, w(l) = 0, dobivamo:

B=O, A Ms

F sin a!

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Uvrstimo li dobivene vrijednosti za konstante integracije u izraz (e), do bit cemo jednadzbu elasticne linije nosaca: ·

w= Ms (sin ax-~)· F sin al I

(g)

6.9. Utjecaj aksijalnog optereCenja na savijanje ~tapa 317

Deriviranjem izraza (g) dobijemo izraz za moment savijanja:

M(x) = _ El d2w = Ms sin ax .

dx2 sin al

(h)

Izraz (h) mogli smo dobiti i uvrstenjem (g) u (a).

Primjer 6. 9.

Treba dimenzionirati celicni nosac profila I opterecenog prema sl. 6.37. Radi sprecavanja bocnogizbocavanja, nosac je u sredini raspona pridrzan bocnom vezom. Zadano je: granica tecenja materijala <rr = 240 MPa, granica proporcionalnosti matc

rijala "r = 210 MPa, modul elasticnosti materijala E = 210 GPa, koeficijenti sigurno-

sti k = k; = l ,6, dopusteni progib ./dop = 7~0 I.

Stika 6.37.

Proracun stabilnosti u ravnini najmanje krutosti

Uvjet stabilnosti glasi:

F A$; O"idop

Odatle dobivamo:

iii

Fk;ff lmin ~-,-.

rc£

BuduCi da je nosac u sredini raspona pridrzan bocnom vezom, duljina izvijanja nosaCa u ravnitli naj_~(lp.je krutosti iznosi:

I; = 0,5 I= 4 m.

Uvrstimo li odgovarajuce vrijednosti, dobit cemo:


800 · 103 · I 6 · 42 Im;n =

112.210

. 109

988,12 ·10-8 m= 988,12 em4

Iz tabliee dobivamo da najblizoj vecoj vrijednosti odgovara profil 1-400 sljedecih karakteristika:

A=ll8erri2 , ly=29210em4, Wy=l460em', I,=lm;n=ll60em4,

iy = imin = 3,13 em.

Vitkost nosaca u ravnini najmanje krutosti:

I; 400 -'-=-. -=-= 127,8

lmin 3,13

. fE v210 000 -'r=1t y;;-=n 210 =99,34, O"p

Dopusteno naprezanje pri izvijanju:

n2 · 210 · 103

127,82 . 1,6

Naprezanje u nosacu iznosi:

79,3 MPa.

F a=-A

800 · 103

118 .J0-4 67,8 MPa < <r; dop = 79,3 MPa.

ProraCun CvrstoCe nosaCa Uvjet cvrstoce glasi:

gdje je:

O"T 240 <rdop = k = T,6 = !50 MPa.

Maksimalni moment savijanja u sredini raspona od poprecnog opterecenja q jest:

g£_ 10. 82

Momox = 8 =-

8-= 80 kNm.

6.9. Utjecaj aksija~nog optereCenja na savijanje ~tapa 319

Maksimalni moment savijanja u sredini raspona zbog zajednickog djelovanja aksijalnog i poprecnog opterecenja odreden je izrazom (6.120):

gdje je:

80 Mmax = 800

I -9,46 · 103

87,39 kNm.

Najvece naprezanje u nosacu iznosi:

I crl mox

800 · 103 + 87,39 · 103

118 · 10-4 I 460 · 10 6

Proracun krutosti stapa

Uvjet krutosti glasi:

f'>fdop '

gdje je dopu8teni progib:

I 800 .fdop =

750 =

750 = 1,067 em.

127,66 MPa <o-dor= !50 MPa.

Progib u sredini raspona zbog poprecnog opterecenja iznosi:

t(.!..)= -5- . .9!.. = -

5-.

10 ·

103 ·

84 = 8 69. J0-3 m = 0 869 em

· 0 2 . 384.Ely. 384 210. J09. 29 210 · J0-8 ' ' .

Maksimalni progib zbog zajednickog djelovanja aksijalnog i poprecnog opterecenja odredit cemo izrazom (6.118):

0,869 800

I- 9 460

0,949 em <fdop = 1,067 em.

Proizlazi da profil I - 400 zadovoljava uvjete cvrstoce, krutosti i stabilnosti.

\

320 6. lzvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

6.1 0. ENERGIJSKA METODA ODREDIVANJA KRlTICNE SILE IZVIJANJA

Dosad smo kriticnu silu izvijanja odredivali statickom metodom koja se sastoji u rjesavanju diferencijalne jednadzbe elasticne linije stapa. Tom se metodom u mnogim prakticnim slucajevima problem svodi na numericko rjesavanje glomaznih transcendentnih jednadzbi. Zato se pri 1jesavanju mnogih zadaca daje prednost pribliznim metodama odredivanja kriticne sile, koje su manje tocne, ali su jednostavnije u realizacij i. Tim pribliznim metodama pripada i energijska metoda koja nam omogucava izravno odrediti kriticnu silu izvijanja bez postavljanja i rjesavanja diferencijalnih jednadzbi.

z ·w-F

a)

X "0

Slika 6.3X.

b)

Ako malom bocnom silom izvedemo stap iz prvobitnog ravnog oblika ravnoteze u novi beskonacno bliski oblik odredenjednadzbom w(x) (sl. 6.38) i zatim bocnu silu uklonimo, potencija1na ce se energija stapa promijeniti za:

on =ov-ow (6.122)

gdje je oU p1irast potencija1ne energije deformacija, a oW prirast rada vanjskih sila. Prema prija8njem razmatranjima, promatrani je ravni oblik Stapa stabilan ako je:

oD=oV-oW>O (6.123)

6.10. Energijska.metoda odredivanja kritiCne silc izvijanja 321

odnosno:

oV>ow (6.124)

a postaje labilan kad je:

oD=oU-oW<O (6.125)

odnosno:

oV<ow. (6.126)

Za:

oD=oU-oW=O (6.127)

ili:

(6.128)

imamo prije1azno stanje odnosno stanje indiferentne ravnoteie.

Jednadzba (6.128) izrazava jednakost rada vanjskih sila i dopunske potencijalne energije deformacija prilikom prijelaza sistema iz prvobitnog u novi beskonacno bliski polozaj, te odreduje kriticnu vrijednost sile pri kojoj prvobitni ravan oblik ravnoteze prelazi iz stabi1ne u labilnu ravnotezu.

Prirast potencija1ne energije deformacija zbog savijanja jest:

(6.129)

BuduCi je sila F konstantna, rad sile F na pomaku A iznosi:

oW=F·A. (6.130)

Pomak A hvatista sile F na gomjem kraju stapa mozemo odrediti kao razliku izmedu duljine I i projekcije savijene elasticne linije na pravac koji spaja oslonce stapa. Na sl. 6.38.b prikazan je izdvojeni element stapa duljine dx. Pri savijanju stapa du1jina se elementa ne mijenja, vee se element zaokrece i s osi x zatvara kut a.

Pomak dA. gomjeg kraja osi elementa jest:

dA. = dx- dx · cos a= dx · (I:_ cos a)= 2 sin2 I· dx.

~ Ako pri malim progibima uzrnemo da je:

322 6.!Jzvijanje,·gUbifa~·eiastiCne stabilnosti

. a a sm-::::::-2 2

dobit cemo:

odnosno:

dw a~tga=-

dx

I 2

A~±!(~J ·dx.

Uvrstimo li izraz (6.131) u izraz (6.130), dobit cemo:

ow=f·F· N~r dx.

Ako u izraz (6.128) uvrstimo izraze (6,129) i (6.132), bit ce:

I 2 I 2

f·F·!(~J ·ctx=[~I(~) ·dx.

Odak1eje:

I

J El(w")2 · dx 0

I

J (w')2 · dx 0

(6.131)

(6.132)

(6.133)

(6.134)

. Pretp?sta~mo li e1asticnu liniju, kao lito proiz1azi iz proracuna po statickoj metodt, u obhku Jednog po1uva1a sinusoide:

dobit cemo:

' !" 1tX w = zcosT;

I . 1tX

w= sm-1

2 " j'1t . 1tX w =- -sm-

(2 I

6.10. Energijska metoda odredivanja kritiCne sile izvijanja

I . I . 2

J J 1t2 1tX 1tl (w')2dx- ! 2 - cos2 - dx =P- ·-- (2 I (2 2'

0 0

I I

J J n4 nx n4 I

(w'Ydx= ! 2 14 sin2 T dx= /214' 2 ·

0 0

Iz izraza (6.134) dobivamo:

EI j 2 1t4 21 1t2 El F"' = 2 tl f2 1t2 ---p:-

Dobiveni se rezu1tat podudara s rjelienjem po statickoj metodi.

323

Da bismo izrazom (6.134) odredili kriticnu silu, potrebno je unaprijed znati jednadzbu e1asticne linije litapa w(x). Ako funkcija w(x) nije poznata moze se pretpostaviti u obliku neke funkcije koja lito bo1je aproksimira stvami oblik izvijenog litapa i koja zadovo1java sve rubne uvjete razmatranog litapa. Na taj nacin dobijemo pribliznu vrijednost kriticne sile, koja je uvijek nesto veca od tocne vrijednosti ako se pretpostav1jena e1asticna linija razlikuje od stvame.

To proiz1azi iz cinjenice da se stap izvija po krivu1ji najmanje otpornosti, koja se u pravi1u razlikuje od prib1izno izabrane krivu1je, realizacija koje zahtijeva veCi potrosak energije U.

Zato izraz (6.134) daje vrijednost Fkr vecu od stvame. Pretpostav1jeni priblizni oblik e1asticne linije prikazujemo u obliku trigonometrijskog po1inoma:

w(x) = a0 + a1 sin x + ... + a0 sin nx + b1 cos x + ... + bm cos mx

iii a1gebarskog polinoma:

cije koeficijente birarno tako da za promatrani stap budu zadovo1jeni svi rubni uvjeti.

Primjer 6.10.

Treba odredit_jJgjticnu silu Fkr za stap prikazan na sl. 6.39.

I Stika 6.39.


Pretpostavit cemo da se stap pri gubitku stabilnosti savija po sinusoidi:

w(x) =a sin":·

Ova jednadzba zadovoljava rubne uvjete w(O) = w(l) = 0. Prva i druga derivacija funkcije w(x) glase:

Racunamo integrate:

dw 1t 1tX -=a-cos-dx I I

I 2 ~ 1

J (d

2w J J 1t4 ru J a'1t• 1tx EI dx' dx = 2EI a2 /4 sin2 T · dx + 1,6£/ T sin2 T · dx =

0 0 Y.!

[

~ I J a2n4 1tx nx a2n4 =EI-- 2 Jsin2 - • dx+ 1 6 Jsin2 - · dx = 1 8£/--

14 I ' I ' 21' 0 !12

Jl (dw J' 1t2

s' 1tX a21t

2

o dx dx = a' {2 o cos' -1 . dx = T .

Uvrstimo li dobivene vrijednosti integrala u izraz (6.134), dobit cemo kriticnu silu:

F _ 1,8 1t2 EI

kc- "

Tacna vrijednost jest:

Fk, = 17,62 EI

"

17,77 EI

"

Proizlazi da je relativna pogreska pribliznog rjesenja 0,85 %.

Primjer 6.II.

Treba odrediti kriticnu silu izvijanja za stap prikazan na sl. 6.40.

Jednadzbu elasticne linije stapa pretpostavit cemo u obliku algebarskog polinoma:

6.10. Energijska metoda odredivanja kritiCne sile izvijanja 325

F

~ I I

Slika 6.40.

Koeficijcnte polinoma biramo tako da bi bili ispunjeni rubni uvjeti:

w(O) = 0, w"(O) = 0, w" ([) = 0.

Iz prvog i drugog rubnog uvjeta dobivamo:

a0 = 0, a2 = 0.

Treci uvjet daje:

Iz cetvrtoguvjetaslij<ldi:

Za odredivanje koeficijenata a~o a3 i a4 dobili smo sustav jednadZbi:

a3 + 2,.1= 0.

Rjesenje toga sustava jednadZbi daje:

326 6. Izvijanje~ gubitak elastiCne stabilnosti

Napokon, jednadzba elasticne linije stapa prima oblik:

Odatle je:

a• w(x) = 8 (31'x- 161x3 + 8x4).

w'(x) = a4 (31'- 481x2 + 32x3) 8

2 a2

[w'(x)] = 6; (9 I"+ 2 304 f2x4 +I 024 x6

- 288 14x2 + 192 I'x3- 3 072 ix5

)

2 [w"(x)] = 144 ai (x4 - 2 fx3 + f2x2).

Nakon integriranja dobivamo:

I

J [w'(x)]2 dx = t ai f'

0

I

J [w"(x)]2 dx = ;~ ai !5

•

0

Uvrstimo li dobivene vrijednosti integrala u izraz (6.134), dobit cemo:

0 I

J (w'fdx 0


6.10. Energijska metoda odredivanja kritiCne sile izvijanja 327

iii:

!lo5 J.J = 1t vm = 1,34.

Tocna vrijednost dobivena statickom metodom jest p = I ,35. Prema tome, pogreska pribliznog rjesenja iznosi 0,7 %.

Primjer 6.12.

Treba odrediti kriticno opterecenje za stap opterecen kontinuiranim aksijalnim opterecenjem prema sl. 6.41.

X

Stika 6.41.

Jednadzbu elasticne linije stapa biramo u ovom oblikn:

w(x) = o(I- cos~} Lako se mozemo uvjeriti da ta funkcija ispunjava sve rubne uvjete.

· Deriviranjem <lchlbrane funkcije dobivamo:

Potencijalna energija savijanja iznosi:

328 6.Izvijanje, gubitak clasti~ne stabilnosti

. Da bismo nasli rad sile q prilikom prijelaza stapa iz prvobitna ravnog oblika u susjedni oblik odreden fukcijom w(x), odredimo, prema izrazu (6.131), veliCinu .<,:

A = lJx (w')2 • dx= lJx (;2 (~J sin2 ~ · dx=l 0' (~J (x- _{_sin rrxJ· X 2 2 21 (21) 4 21 1t I

0 0

Rad sile q jest:

Prema izrazu (6.128), vrijedi:

l 2 (~)· _l 2 (~)' (f_ 21') 4 Ela I 21 - 4 q,,a 21 2- rr2 •

Odatle dobivamo:

Tocno rjesenje daje:

. 7,83£1 q,,=-p-·

6.11. ODREDIVANJE KRITICNE SILE IZVIJANJA METODOM KONACNIH DIFERENCIJA

Kriticnu silu izvijanja mozemo odrediti numericki metodom konacnih diferencija koja se osniva na zamjeni diferencijalne jednadzbe elasticne linije stapa sustavom diferencijskih jednadzbi. Dobiveni sustav jednadzbi bit ce homo gen. Iz uvjeta da je determinanta sustava jednaka nuli, dobit cemo jednadzbu za odredivanje kriticne sile.

Za stap prikazan na sL 6.42. diferencijalna jednadzba elasticne linije dana je izrazom (6.6) i glasi:

gdje je:

d2w -+a2w=O dx' '

F a2=

El' /=/min·

6.11. Odredivanje kritiCne sile izvijanja metodom konaCnih diferencija 329

Rubni su uvjeti w(O) = w(l) = 0.

1/4 1/4

S/ilca 6.42.

Pretpostavimo da smo slap podijelili na dijelove, tako da je korak A =f. UzimajuCi u obzir izraz (1.83), diferencijalnu jednadzbu u cvoru k zamjenjujemo

diferencijskom jednadzbom koja glasi:

wk+l + (a2 -<2 - 2) w, + w,_, = 0. (6.135)

Primijenimo li jednadzbu (6.135) na cvorove I, 2, 3, dobit cemo:

(a2 .< 2 - 2) w1 + w2 = 0

w1 + (a2.<2 - 2) w2 + w3 = 0 (a)

w2 + (a2.<2 - 2) w3 = 0.

Uzimajuci u obzir da je zbog simetrije w1 = w3, sustav (a) prima oblik:

(a2.<2 - 2) w1 + w2 = 0

2w1 + (a2.<2 - 2) w2 = 0.

Sustav homogenih jednadzbi ima rjesenje razliCito od trivijalnog, ako je determinanta sustava jednaka nuli, tj.:

·- · -----------·-----------· · a 2.< 2 - 2 I

2

Odatle dobivamo:

=0. a 2.<2 - 2

(a2.<2 -2)'-2=0.

Rjesenje ove jednadzbe glasi:

a2-<2 =2±~.

330 6. Izvijanje, gubitak elasti(!ne stabilnosti

Da bismo dobili najmanju kriticnu vrijednost, u gomjem izrazu na desnoj strani uzimamo predznak minus, pa je:

Za .<, = ± do bit cemo:

i napokon:

EJ Fkr = 9,373 7 .

Dobiveni se rezultat od tocnog rjeilenja razlikuje za 5 %.

Primjer 6. 13.

Na sl. 6.43 prikazan je stap konstantnog momenta tromosti I i duljine /, upet na lijevome kraju i na desnom slobodno oslonjen i opterecen aksijalnom tlacnom silom F. Treba odrediti kriticnu vrijednost sile F.

Uzeti korak A = f ! ~

-1 F 0 1 2 __ ..,

r· 3 ,..,.- W4l

(-:~ A -- ·---- w, W2 _.,...-ft ~B F ------ -- W//, r//"'

.i 1/3 1/3 A·l/3 113 '

X -·-+

Slika 6.43:

Prema (6.28), diferencijalna jednadzba elasticne linije izvijenog stapa glasi:

d2w Ra -+ a 2w=- (l-x)· dx2 F '

uz rubne uvjeta: w(O) = w'(O) = 0, w(l) = 0.

F a2=EI'

(a)

Jednadzba (a) je nehomogena, a dvostrukim deriviranjem svodimo je na oblik:

d4w d2w --+a2 -=0 dx2 dx2 '

(b)

6.11. Odredivanje kriti(!ne sile izvijanja metodom konaCnih diferencija 331

s rubnim uvjetima:

w(O) = w'(O) = 0; w(l) = w"(l) = 0. (c)

Prva su tri uvjeta geometrijska, a cetvrti je staticki i izra2ava da je moment savijanja iznad desnog lezaja jednak nuli.

Jednadzbe (b) i (c) definiraju problem vlastitih vrijednosti.

Uzimajuci u obzir izraze (1.83) i (1.85), jednadzbu (b) mozemo napisati kao diferencijsku jednadZbu za cvor k u sljedecem obliku:

wk+Z + (a2.<.2 - 4)wk+l + (6- 2a2.<.2)wk + (a2.<.2 - 4)wk-1 + wk-2 = 0.

Postavimo li jednadzbu (6.136) za cvor 1 i 2, dobit cemo:

w_1 + (a2.<.2 - 4) wo + (6- 2a2.<.2)w! + (a2.<.2 - 4)wz + w3 = 0

w0 + (a2.<.2 - 4)w1 + (6- 2a2.<.2)w2 + (a2.<.2 - 4)w3 + w4 = 0.

Rubni uvjeti u diferencijskom obliku glase:

Ako (e) uvrstimo u (d), dobit cemo:

w1 + (6- 2a2.<.2)w! + (a2.<.2 - 4)wz = 0

(a2.<.2 - 4)w1 + (6- 2a2.<.2) w2- w2 = 0.

(6.136)

(d)

Da bi rjesenje sustava jednadzbi bilo razlicito od nule, detenninanta sustava mora biti jednaka nuli.

iii:

1

7-2a2.<.2

a2.<.2 - 4

· a2

.<.2 41 - = 3a4.<.4 - 16a2.<.2 + 19 = 0.

5- 2a2.<.2

Uvrstimo ii.<. =f , dobi!Cemo da je najmanja kriticna vrijednost:

2- 16,063 a --p.-

EI Fkr = 16,063 7 .

r I

II I I I ,. i.] i

I I I I' I r I

332 6. lzvijanje, gubitak elastiCne stabilnosti

Tocno rjesenje jest:

'£! F" = 20,187 p.

Da bis!ho dobili tocniji rezultat, potrebno je uzeti veci broj cvorova uzdl1Z stapa, tj. uzeti manj i korak A-.

Primjer 6.14.

Treba odrediti kriticnu silu za stap promjenljiva momenta tromosti opterecen prema sl. 6.44. Promjena momenta tromosti dana je izrazom:

I(x)=Io(l + 3:),

l(x) =Io (4-3:),

F _r-Io

I i I i i I I i r~I,

I

! ><

"' ::::

"' ::::

o,;;x,;;{

{,;;x,;;I.

-

1-L.- ·-· L.- ·Jr. F

a)

Stika 6.44.

Diferencijska jednadzba dana je izrazom (6.135):

xf I

4 I I I

3 I Wa

I I I

2 lw2

I I I

1 lw,

I I I ' I

0

F

Wk+l + (__!!__ A2- 2) Wk + Wk-1 = 0.

El(x)

(a)

<...:

<...:

-lv • <...:

<...:

·-·~ w

b)

(b)

6.11. Odredivanje kritiCne sile izvijanja metodom konaCnih diferencija

Rubni su uvjeti: w(O) = wo = 0; w([) = W4 = 0.

Uzet cemo da je korak A, =f. Momenti tromosti u cvorovima I, 2 i 3 iznose:

3 I) 11 = !3 = 10 (I + T "4 = I ,75 lo

3 I) /2 = Io (I + T 2 = 2,5 lo.

Uvodimo oznaku:

2- F a - Efo.

333

(c)

(d)

Uzimajuci u obzir simetriju sistema, dovoljno je postaviti diferencijsku jednadzbu (b) za cvorove I i 2. Dobivene jednadzbe nakon primjene rubnih uvjeta glase:

(

a2A,2 ) 1,75

- 2 w1 + w2 = 0

(

a2A,2 ) 2w1 + 2,

5 - 2 w2 = 0.

Za rjesenje razlicito od trivijalnog determinanta je sustava jednaka nuli.

= a 4A,

4- 8,5a2A-2 + 8,75 = 0. a2A,2

25-2 '

2

Odatle dobivamo najmarlju kriticnu vrijednost:

Za A, = f jest:

a 2A-2 = 1,198.

E/0 F"= 19,17 (2.

Dobili smo da je kriticna sila dvostrnko veca nego za stap konstantna momenta tromosti !0 .

Documents

OM2-Izvijanje