Omjer i proporcija (razmjer) · Zadatak 2. 9 kg šećera plaćeno je 54 kune. Koliko treba platiti za 7 kg šećera? Zadatak 3. 5 litara mlijeka platili smo 22.50 kuna. Koliko mlijeka

1

5 15 5:

2 16

1 2

16

8

15 3

1 8 88:3

1 3 3

3232 : 20

8

5 20

88:5

5

2020 :52

5

13 52

55:13

13

Omjer i proporcija (razmjer)

Koliĉnik dvaju brojeva a i b, b 0, zovemo još i omjerom tih brojeva.

a – prvi član omjera b – drugi član omjera

a : b čitaj: a naprema b ili a prema b

Primjer 1.

Pojednostavnimo omjer .

Rješenje:

Omjer rješavamo kao dijeljenje dvaju razlomaka.

Primjer 2.

Na polici u trgovini imamo 52 boce soka, od kojih su 32 boce gaziranog

soka, a ostalo je negazirani sok. Napiši omjerom:

a) gazirani sok : negazirani sok, b) negazirani sok : ukupno.

Rješenje:

Negaziranog soka je 52 – 32 = 20 boca.

a) 32 : 20 b) 20 : 52

Pojednostavljeno:

a) b)

6 : 2 : 4

2 6 4

2 24

1

/ : 2

2x

x

x

x

1 : 3 2 1 : 2

3 2 1 2 1

6 3 2 2

6 2 2 3

4 5

5

/ : 4

4

y y

y

y

y

y y

y y

y

Proporcija (razmjer) je jednakost omjera.

Ĉitaj: a naprema b odnosi se kao c naprema d

a, d – vanjski ĉlanovi razmjera

b, c – unutarnji ĉlanovi razmjera

Umnožak vanjskih članova razmjera jednak je umnošku njegovih

unutarnjih članova.

Primjer 3.

Izraĉunajmo nepoznanice x i y iz proporcija (razmjera):

a) 6 : x = 2 : 4

b) (y + 1) : 3 = (2y – 1) : 2

Rješenje:

Koristimo gore napisano.

Množimo: vanjski vanjski i unutarnji unutarnji

a) b)

Zadatak 1. Pojednostavni omjere:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Zadatak 2.

Izraĉunaj nepoznanice x i y iz proporcija (razmjera):

a) 7 : x = 3 : 6

b) x : 5 = 2 : 7

c) (x – 2) : 4 = 3 : 5

d) 4 : (2x + 3) = 2 : 3

e) (x – 1) : 2 = (2x + 3) : 3

f) (3x + 1) : 4 = (–x – 1) : 3

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Pojednostavni omjere:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Zadatak 2.

Izraĉunaj nepoznanice x i y iz proporcija (razmjera):

a) 5 : x = 3 : 6

b) x : 3 = 4 : 9

c) (x – 3) : 4 = 2 : 5

d) 3 : (2x + 1) = 2 : 5

e) (2x – 1) : 2 = (3x + 3) : 3

f) (x + 1) : 4 = (–2x – 1) : 3


Primjer 1.

Marija želi traku duljine 360 cm prerezati u omjeru 2 : 7. Na kojoj duljini

treba prerezati traku?

Rješenje:

Omjer 2 : 7 nam govori da traku moramo podijeliti na 2 + 7 = 9 jednakih

dijelova. Tako ćemo imati prva 2 dijela i još 7 dijelova. Oznaĉimo slovom

k duljinu jednog dijela i postavimo jednadžbu:

2k + 7k = 360

9k = 360 / : 9

k = 40

Jedan dio ima duljinu 40 cm.

Dakle, 2 dijela će biti duljine 2 40 = 80 cm, a 7 dijelova će biti duljine

7 40 = 280 cm.

Marija traku treba prerezati na 80. centimetru.

Primjer 2.

Izraĉunajmo veliĉine unutarnjih kutova trokuta ako se one odnose

kao 2 : 3 : 7.

Rješenje:

U trokutu imamo tri kuta koja zajedno imaju veliĉinu 180°. Kutove

dijelimo na 2 + 3 + 4 = 12 jednakih veliĉina. Tako ćemo imati prvi kut od

dvije jednake veliĉine, drugi od tri i treći od sedam jednakih veliĉina.

Oznaĉimo slovom k veliĉinu jednog istog dijela i postavimo jednadžbu:

2k + 3k + 7k = 180°

12k = 180° / : 12

k = 15°

Prvi kut:

Drugi kut:

Treći kut:

Zadatak 1.

Fran i Marko žele podijeliti 30 kuna u omjeru 3 : 7. Koliko novca će dobiti

svaki od njih?

Zadatak 2.

Ante i Luka žele podijeliti 45 kuna u omjeru 2 : 7. Koliko novca će dobiti

svaki od njih?

Zadatak 3.

Ana i Franka žele podijeliti 2 100 kuna u omjeru 3 : 4. Koliko će novca

dobiti svatko od njih?

Zadatak 4.

Izraĉunaj veliĉine unutarnjih kutova trokuta ako se one odnose

kao 3 : 4 : 8.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Iva i Marija žele podijeliti 300 kuna u omjeru 4 : 6. Koliko novca će dobiti

svaka od njih?

Zadatak 2.

Stipe i Sven žele podijeliti 750 kuna u omjeru 12 : 13. Koliko novca će

dobiti svaki od njih?

Zadatak 3.

Sanja i Paula žele podijeliti 1 320 kuna u omjeru 3 : 8. Koliko će novca

dobiti svaka od njih?

Zadatak 4.


kao 1 : 2 : 3.

Zadatak 5.


kao 5 : 6 : 7.

Proporcionalne veličine

Proporcionalne veličine su takve dvije veličine koje ovise jedna o

drugoj na način da koliko se puta poveća (smanji) jedna veličina,

toliko se puta poveća (smanji) i druga veličina.

Ako su dvije veliĉine y i x proporcionalne, onda je omjer njihovih

vrijednosti uvijek jednak. Taj omjer nazivamo koeficijentom

proporcionalnosti tih veliĉina i oznaĉavamo ga sa k.

KOEFICIJENT PROPORCIONALNOSTI je vrijednost omjera y : x.

y : x = k y = kx

Primjer 1.

Veliĉine x i y su proporcionalne. Koliki je koeficijent proporcionalnosti?

Rješenje:

Koristimo formulu y = kx.

x = 1 x = 2 x = 3 x = –2

y = 3 y = 6 y = 9 y = –6

k = ? k = ? k = ? k = ?

3 = 1 k 6 = 2 k 9 = 3 k –6 = –2 k

k = 3 k = 3 k = 3 k = 3

Koeficijent proporcionalnosti je 3.

Primjer 2.

Cijena 1 kg krumpira je 9 kuna.

a) Koliko treba platiti za 6 kilograma krumpira?

b) Koliko kilograma krumpira možemo kupiti za 108 kuna?

Rješenje:

a) 6 9 = 54 6 kg krumpira treba platiti 54 kune.

b) 108 : 9 = 12 Za 108 kn možemo kupiti 12 kg krumpira.

Zadatak 1.

Veliĉine x i y su proporcionalne. Koliki je koeficijent proporcionalnosti?

Zadatak 2.

Za 1 kg neke robe plaćeno je 13 kn. Koliko se te robe može kupiti za

52 kune?

Zadatak 3.

Za 1 kg neke robe plaćeno je 12 kuna. Koliko treba platiti za 7 kg te

robe?

Zadatak 4.

Popuni tablicu.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Cijena 1 kg jabuka je 8 kuna.

a) Koliko treba platiti za 6 kilograma jabuka?

b) Koliko kilograma jabuka možemo kupiti za 160 kuna?

Zadatak 2.

Popuni tablicu.

Zadatak 3.

Za 1 kg ĉokolade plaćeno je 33 kune. Koliko treba platiti za 7 kg

ĉokolade?

Zadatak 4.

Za 1 kg jagoda plaćeno je 23 kn. Koliko se jagoda može kupiti za

207 kuna?

Zadatak 5.

Cijena kilograma brašna iznosi 5.40 kuna. Koliko treba platiti za:

a) 8 kg, b) 12 kg, c) 15 kg?


Zadatak 1.

7 kg banana plaćeno je 63 kn. Koliko se kilograma banana može kupiti

za 36 kuna?

Zadatak 2.

9 kg šećera plaćeno je 54 kune. Koliko treba platiti za 7 kg šećera?

Zadatak 3.

5 litara mlijeka platili smo 22.50 kuna. Koliko mlijeka možemo kupiti za:

a) 40.50 kn, b) 54 kn, c) 76.50 kn?

Zadatak 4.

9 kg krastavaca plaćeno je 82.80 kuna. Koliko ćemo platiti:

a) 5 kg, b) 6.5 kg, c) 12.5 kg krastavaca?

Domaća zadaća


Zadatak 1.

12 kilograma luka u trgovini košta 48 kuna.

a) Koliko bi koštalo 4 kg luka?

b) Koliko kilograma luka možemo kupiti za 104 kune?

Zadatak 2.

7 litara soka platili smo 58.10 kuna. Koliko soka možemo kupiti za:

a) 33.20 kn, b) 99.60 kn , c) 132.80 kn?

Zadatak 3.

6 kg limuna plaćeno je 54 kune. Koliko ćemo platiti:

a) 4 kg, b) 8.5 kg, c) 11 kg limuna?

Zadatak 4.


102 kune?

Zadatak 5.

Ana je za 12 kn kupila 3 kg šećera za kolaĉe.

a) Koliko kilograma šećera Ana može kupiti za 20 kn?

b) Ana želi kupiti 48 kg šećera. Koliko će to platiti?

Primjena proporcionalnosti u rješavanju

praktičnih problema

Primjer 1.

6 kilograma limuna stoji 48 kuna. Koliko stoji 9 kilograma limuna?

Rješenje:

Zadatak možemo riješiti na dva naĉina.

1. način

Odredimo koliko stoji 1 kg, a onda izraĉunamo koliko stoji 9 kg.

48 : 6 = 8

Dakle, 1 kg limuna stoji 8 kuna, a 9 kg limuna stoji 9 8 = 72 kune.

2. način

Ovaj je postupak poznat pod nazivom jednostavno pravilo trojno zato

što se vrijednost ĉetvrtog ĉlana može izraĉunati ako se znaju tri ĉlana

proporcije.

Zapišemo u tablicu.

Oznaĉimo strelicom u stupcu kilograma limuna kako koliĉina raste.

8

6 : 9 48 :

6 48 9/ : 6

48

x

x

x

9

6

1

8 9

72

x

x

Što oĉekujemo? Hoćemo li za kupovinu više kilograma limuna morati i

više platiti? HOĆEMO.

Iznos kuna isto mora rasti kao i koliĉina. Stavljamo strelicu prema dolje

kao i kod kilograma limuna.

Sada ćemo, prateći strelice, napisati razmjer:

Dobili smo da ćemo 9 kg limuna platiti 72 kune.

8 : x 48 : 78

48 78 8/ : 48

78 8

x

x

1

48 6

78x

13

1 6

13x

Primjer 2.

8 litara mlijeka platili smo 48 kuna. Koliko litara mlijeka možemo kupiti za

78 kuna?

Rješenje:

Zadatak ćemo riješiti postupkom jednostavnog pravila trojnog.

Postavljamo pitanje: Hoćemo li za više novca moći kupiti i veću koliĉinu?

Hoćemo.

Imamo:

Postavljamo razmjer:

Za 78 kuna možemo kupiti 13 litara mlijeka.

Zadatak 1.

Za 7 kg jagoda plaćeno je 91 kn. Koliko se jagoda može kupiti za

52 kune?

Zadatak 2.

Za 52 kg krumpira plaćeno je 130 kn.

a) Koliko će se platiti za 4 kg krumpira?

b) Koliko će se platiti za 104 kg krumpira?

Zadatak 3.

Automobil se kreće stalnom brzinom i za 4 sata prijeĊe 280 km.

a) Koliki će put tom brzinom prijeći za 3 sata?

b) Za koje će vrijeme prijeći 560 km?

Zadatak 4.

Automobil za 120 km vožnje potroši 10 litara benzina.

a) Koliko je potrebno benzina da bi prešao 300 km?

b) Koliku duljinu puta taj automobil može prijeći s 30 litara benzina?

Domaća zadaća


praktičnih problema

Zadatak 1.

Za 12 kg nektarina plaćeno je 156 kn. Koliko se kilograma nektarina

može kupiti za 273 kune?

Zadatak 2.

48 kg šećera plaćeno je 216 kn.

a) Koliko ćemo platiti 14 kg šećera?

b) Koliko ćemo platiti 104 kg šećera?

Zadatak 3.

Automobil se kreće stalnom brzinom i za 7 sata prijeĊe 560 km.

a) Koliki će put tom brzinom prijeći za 4 sata?

b) Za koje će vrijeme prijeći 720 km?

Zadatak 4.

Automobil za 168 km vožnje potroši 12 litara benzina.

a) Koliko je potrebno benzina da bi prešao 364 km?

b) Koliku duljinu puta taj automobil može prijeći s 20 litara

benzina?


praktičnih problema (vježba)

Zadatak 1.

Neki stroj za 4 sata rada potroši 2.4 litre goriva.

a) Koliko goriva potroši taj stroj za 7 sati rada?

b) Koliko sati može raditi taj stroj s 9 litara goriva?

Zadatak 2.

Stup visok 3 m zaboden je u zemlju i baca sjenu duljine 1.5 m. Koliko je

visok stup kojemu sjena ima duljinu 9.6 m?

Zadatak 3.

Vozeći stalnom brzinom biciklist za 2 sata prijeĊe 60 km. Koliko mu treba

vremena da istom brzinom prijeĊe put dug 82 km?

Zadatak 4.

9 kg rajĉica plaćeno je 108 kuna. Koliko treba platiti za 7 kg rajĉica?

Zadatak 5.

Od 600 tona svježih jabuka dobije se 114 kg sušenih. Koliko se sušenih

jabuka dobije:

a) od 2.5 tona svježih jabuka

b) od 90 kg svježih jabuka?

Domaća zadaća

Primjena proporcionalnosti u rješavanju praktičnih

problema (vježba)

Zadatak 1.

Zrakoplov za 3.2 sata preleti 1 472 km. Koliko će kilometara preletjeti za

2.4 sata leteći jednakom brzinom?

Zadatak 2.


102 kune?

Zadatak 3.

Vozeći stalnom brzinom automobil za 2 sata prijeĊe 100 km. Koliko mu

vremena treba da istom brzinom prijeĊe 280 km?

Zadatak 4.

Tamara je za 12 kn kupila 3 kg šećera za kolaĉe.

a) Koliko šećera Ana može kupiti za 20 kn?

b) Ana želi kupiti 48 kg šećera. Koliko će to platiti?

Zadatak 5.

Neboder visok 8 m baca sjenu duljine 5 m. Koliko je visoko drvo kojemu

sjena ima duljinu 2 m?

Grafički prikaz proporcionalnosti

Primjer 1.

Filip za 1 sat prijeĊe 3 km.

a) Popunimo tablicu.

b) Grafiĉki prikažimo proporcionalnost.

Rješenje:

a)

b) Predoĉimo podatke iz tablice u koordinatnom sustavu, tako da nam

broj sati bude apscisa, a prevaljeni put ordinata.

Crtamo samo I. kvadrant jer imamo samo pozitivne veliĉine.

Kad ucrtamo toĉke spojimo ih.

Vidimo da smo spojivši toĉke dobili pravac.

Skup svih toĉaka T(x, y), kojima su koordinate proporcionalne (y = k x),

je pravac koji prolazi ishodištem koordinatnog sustava. Zovemo ga

grafiĉkim prikazom proporcionalnosti.

Primjer 2.

Cijena 1 litre mlijeka je 5 kuna.

a) Grafiĉki prikažimo proporcionalnost.

b) S grafa oĉitajmo koliko stoji 6 litara mlijeka.

Rješenje:

a)

b)

Zadatak 1.

Cijena 1 kilograma grožĊa je 20 kuna.

a) Grafiĉki prikaži proporcionalnost.

b) S grafa oĉitaj koliko stoji 5 kilograma grožĊa.

Zadatak 2.

Vlak za 1 sat prijeĊe 50 km.


b) S grafa oĉitaj koliko kilometara vlak prijeĊe za 5 sati.

Zadatak 3.

Zec u jednoj sekundi prijeĊe 5 metara.


b) S grafa oĉitaj koliko metara zec prijeĊe za 3 sekunde.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Cijena 1 kilograma mandarina je 10 kuna.


b) S grafa oĉitaj koliko stoji 6 kilograma mandarina.

Zadatak 2.

Avion za 1 sat prijeĊe 500 km.


b) S grafa oĉitaj koliko kilometara avion prijeĊe za 5 sati.

Zadatak 3.

Konj u jednoj minuti prijeĊe 100 metara.


b) S grafa oĉitaj koliko metara konj prijeĊe za 8 minuta.


Primjer 1.

U istom koordinatnom sustavu grafiĉki prikažimo proporcionalnosti:

, i .

Rješenje:

Napravit ćemo tablice za zadane proporcionalnosti.

Uočavamo:

Najveći kut s x-osi zatvara zeleni pravac (koeficijent proporcionalnosti

je 2), a najmanji kut zatvara plavi pravac (koeficijent proporcionalnosti

je ).

Zadatak 1.

Grafiĉki prikaži proporcionalnosti:

a) c)

b) d)

Zadatak 2.

U tablici su prikazane proporcionalne veliĉine. Prikaži podatke ureĊenim

parovima u koordinatnoj ravnini te nacrtaj graf.

Zadatak 3.

Veliĉina y proporcionalna je veliĉini x. Dopuni tablicu, a potom zadane

proporcionalnosti prikaži grafiĉki.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Grafiĉki prikaži proporcionalnosti:

a) c)

b) d)

Zadatak 2.

U tablici su prikazane proporcionalne veliĉine. Prikaži podatke ureĊenim

parovima u koordinatnoj ravnini te nacrtaj graf.

Zadatak 3.

Veliĉina y proporcionalna je veliĉini x. Dopuni tablicu, a potom zadane

proporcionalnosti prikaži grafiĉki.

Obrnuto proporcionalne veličine

Ako na istom poslu radi dva puta više radnika, za obavljanje posla trebat

će dva puta manje vremena. Takve veliĉine nazivamo obrnuto

proporcionalnim veliĉinama.

Obrnuto proporcionalne veličine su takve dvije veličine koje ovise

jedna o drugoj na način da koliko se puta poveća jedna veličina,

toliko se puta smanji druga veličina.

Primjer 1.

Ako 5 radnika pokosi travnjak za 10 minuta, za koje bi vrijeme travnjak

pokosio jedan radnik?

Rješenje:

Ako 5 radnika pokose za 10 minuta, jedan radnik će kositi travnjak 5 puta

dulje, dakle 5 10 = 50.

Jedan će radnik pokositi travnjak za 50 minuta.

UPAMTI

Za dvije obrnuto proporcionalne veličine x i y umnožak njihovih

vrijednosti uvijek je isti. Taj se umnožak naziva koeficijent obrnute

proporcionalnosti i označava se sa k.

Primjer 2.

Popunimo tablicu ako znamo da je koeficijent obrnute proporcionalnosti

k = 36.

Rješenje:

Umnožak je stalan, 36.

Da bismo dobili drugu veliĉinu u obrnutoj proporcionalnosti, dijelimo je s

prvom.

Zadatak 1.

Ako 12 radnika obavi neki posao za 10 dana, za koje bi vrijeme isti

posao obavio jedan radnik?

Zadatak 2.

Popuni tablicu ako znamo da je koeficijent obrnute proporcionalnosti

k = 40.

Domaća zadaća

Obrnuto proporcionalne veličine

Zadatak 1.

Ako 7 radnika obavi neki posao za 15 dana, za koje bi vrijeme isti posao

obavio jedan radnik?

Zadatak 2.

Popuni tablicu ako znamo da je koeficijent obrnute proporcionalnosti

k = 56.

Zadatak 3.

Veliĉine x i y obrnuto su proporcionalne s koeficijentom obrnute

proporcionalnosti 32. Dopuni tablicu.

Primjena obrnute proporcionalnosti

u rješavanju praktičnih problema

Primjer 1.

Atletiĉarka Katarina trĉi brzinom od 20 km/h i stigne do cilja za 3 sata.

Kolikom brzinom treba trĉati da bi do cilja stigla za 2 sata?

Rješenje:

Zadatak ćemo riješiti tako da izraĉunamo koeficijent obrnute

proporcionalnosti.

brzina vrijeme

20 3 k = 20 3

x 2 k = 60

Traženu vrijednost ćemo izraĉunati pomoću formule:

Trebala bi trčati 30 km/h da bi do cilja stigla za 2 sata.

Primjer 2.

3 radnika sazidaju zid za 21 dan. Koliko radnika treba raditi da bi zid bio

sazidan za 9 dana?

Rješenje:

1

3: 9 : 21

9 3 21/ : 9

3

x

x

x

21

9

3

21

7

3x

x

Razmislimo, ako je manji broj dana, mora li raditi više ili manje radnika.

Odgovor je: više radnika.

Dakle, crtamo drugu strelicu prema dolje.

Prateći strelice postavljamo razmjer:

Da bi zid bio sazidan za 9 dana, treba

raditi 7 radnika.

Zadatak 1.

3 radnika obavi neki posao za 32 dana. Koliko radnika bi taj posao

obavilo za 8 dana?

Zadatak 2.

4 vatrogasca ugase požar za 3 sata. Koliko vremena treba da uz iste

uvjete rada požar ugasi 6 vatrogasaca?

Zadatak 3.

Ako 24 kamiona nosivosti 3 tone mogu prevesti neki teret, koliko

kamiona nosivosti 1.5 tone može prevesti isti teret?

Domaća zadaća



Zadatak 1.

Put izmeĊu dva mjesta vlak prijeĊe za 6 sati brzinom od 55 km/h. Kolika

bi trebala biti brzina vlaka da bi udaljenost izmeĊu ta dva mjesta prešao

za 5 sati?

Zadatak 2.

9 zidara sazida kuću za 84 dana. Koliko bi zidara obavilo taj posao za 36

dana?

Zadatak 3.

Neki posao 77 radnika može završiti za 70 dana.

a) Koliko bi radnika trebalo da se taj posao završi za 49 dana?

b) Koliko radnika treba da bi se posao završio za 154 dana?

Zadatak 4.

12 vrtlara uredi vrt za 10 sati. Za koliko bi sati isti vrt uredilo 15 vrtlara?



Zadatak 1.

U akciji ĉišćenja mora 54 ronioca su dobili zadatak da oĉiste dio

podmorja za 28 dana. Koliko bi ronioca trebalo da se oĉisti isti dio

podmorja za 18 dana?

Zadatak 2.

7 beraĉa jagoda obere plantažu za 28 dana. Koliko je beraĉa potrebno

da bi se plantaža obrala za 14 dana?

Zadatak 3.

12 zeĉeva pojede hranu za 7 dana. Koliko bi zeĉeva istu koliĉinu hrane

pojelo za 4 dana?

Zadatak 4.

16 traktora preore njivu za 6 sati. Za koliko bi sati 12 traktora preoralo

istu njivu?

Zadatak 5.

Mandarine se mogu smjestiti u 24 sanduka od kojih svaki sadrži 2

kilograma. Koliko bi sanduka bilo potrebno kada bi u svaki sanduk stavili

4 kilograma?

Domaća zadaća



Zadatak 1.

9 beraĉa jabuka obere plantažu za 28 dana. Za koliko bi dana plantažu

obrao 21 beraĉ?

Zadatak 2.

Bazen se pomoću 4 cijevi napuni za 15 sati. Za koliko bi se vremena

napunio ako bi se punio pomoću 3 cijevi?

Zadatak 3.

Ako 12 kamiona odveze nekakav teret za 5 sati, koliko kamiona treba da

se isti teret odveze za 3 sata?

Zadatak 4.

8 radnika iskopa kanal za 5 sati. Za koliko bi sati isti kanal iskopala 4

radnika?

Zadatak 5.

Put izmeĊu dva grada automobil prijeĊe za 3 sata vozeći brzinom od

50 km/h. Kolikom bi brzinom automobil trebao voziti da isti put prijeĊe za

2 sata?

Primjena proporcionalnosti i

obrnute proporcionalnosti

Zadatak 1.

5 krojaĉica sašije 12 haljina. Koliko bi krojaĉica za isto vrijeme sašilo 15

haljina?

Zadatak 2.

9 radnika obavi neki posao za 24 sata. Za koliko bi sati isti posao obavilo

12 radnika?

Zadatak 3.

8 kg grožĊa stoji 72 kune.

a) Koliko stoji kilogram grožĊa?

b) Koliko stoji 5 kg grožĊa?

c) Koliko grožĊa možemo kupiti za 135 kuna?

Zadatak 4.

Bazen se pomoću 6 cijevi napuni za 20 sati. Za koliko se sati bazen

napuni ako se puni pomoću 8 cijevi?

Zadatak 5.

Ako od 24 dag brašna možemo napraviti 60 kiflica, koliko kiflica možemo

napraviti od 16 dag brašna?

Domaća zadaća

Primjena proporcionalnosti i

obrnute proporcionalnosti

Zadatak 1.

Neki posao 20 radnika obavi za 30 dana. Koliko radnika treba da se isti

posao obavi za 10 dana?

Zadatak 2.

Ako 20 mrava unese u svoju rupu 80 sjemenki, koliko mrava treba da se

za isto vrijeme u rupu unese 120 sjemenki?

Zadatak 3.

6 beraĉa obere vinograd za 14 sati. Za koliko bi sati isti vinograd obralo 7

beraĉa?

Zadatak 4.

Za 48 kilograma mandarina plaćeno je 768 kuna.

a) Koliko će stajati 13 kilograma mandarina?

b) Koliko se kilograma mandarina može kupiti za 560 kuna?

Zadatak 5.

10 radnika ozida vikendicu za 48 dana. Koliko radnika treba da se

vikendica ozida za 30 dana?

PROVJERA

1. Pojednostavni omjer .

2. Ako 7 kg malina stoji 84 kune, koliko treba platiti za 11 kg malina?

3. Izraĉunaj nepoznanice x i y iz sljedećih proporcija:

a) x : 3 = 4 : 12 b) 2 : (2y – 1) = 3 : 4

4. 15 radnika obavi neki posao za 6 sati. Koliko bi radnika taj posao

obavilo za 3 sata?

5. Izraĉunaj veliĉine unutarnjih kutova trokuta ako se one odnose kao

1 : 3 : 5.

57%

0

75

10

22

8888%

25 100

22

25

Postotci. Računanje s postotcima

Postotak je razlomak s nazivnikom 100.

Primjer 1.

Napišimo razlomke s nazivnikom 100 u obliku postotka:

a) b)

Rješenje:

a) b)

Primjer 2.

Napišimo postotak u obliku razlomka:

a) 57% b) 88%

Rješenje:

a)

b)

130. 13%

113

00

3123 312.33.123 (treba nam nazivnik 100)= 312.3%

1000 100

3030% 0.3

100

5 00500%

1005

Primjer 3.

Decimalne brojeve najprije napišimo u obliku razlomka, a potom u obliku

postotka:

a) 0.13 b) 3.123

Rješenje:

a)

b)

Primjer 4.

Postotke najprije napišimo u obliku razlomka, a potom kao decimalne

brojeve:

a) 30% b) 500%

Rješenje:

a)

b)

1 5 501: 2 0.5 (proširujemo do nazivnika 100)= 50%

2 10 100

3 6 603:5 0.6 (proširujemo do nazivnika 100)= 60%

5 10 100

Primjer 5.

Razlomke napišimo kao decimalne brojeve, a potom kao postotke:

a) b)

Rješenje:

a)

b)

Zadatak 1.

Napiši razlomke s nazivnikom 100 u obliku postotka:

a) b) c) d)

Zadatak 2.

Napiši postotak u obliku razlomka:

a) 63% b) 91% c) 353% d) 1257%

Zadatak 3.

Decimalne brojeve najprije zapiši u obliku razlomka, a potom u obliku

postotka:

a) 0.27 b) 1.13 c) 0.29 d) 0.233

Domaća zadaća


Zadatak 1.


a) b) c) d)

Zadatak 2.


a) 53% b) 81% c) 553% d) 857%

Zadatak 3.


postotka:

a) 0.49 b) 1.27 c) 0.49 d) 0.133

Zadatak 4.

Postotke najprije napiši u obliku razlomka, a potom kao decimalne

brojeve:

a) 40% b) 87% c) 144% d) 222%

Zadatak 5.

Razlomke napiši kao decimalne brojeve, a potom kao postotke:

a) b) c) d)

22% od 100 je

100100 2

22% od 300 je

100300 2 3 6


Primjer 1.

Koliko je:

a) 2% od 100, b) 2% od 300?

Rješenje:

a) Postotak napišemo u obliku razlomka. Ovako:

b)

Postotak je razlomak s nazivnikom 100.

Veličina čiji se postotak traži zove se osnovna vrijednost.

Osnovnu vrijednost označavamo slovom x.

Broj koji se dobije kad se izračuna naznačeni postotak neke

vrijednosti zove se postotni iznos.

Postotni iznos označavamo slovom y.

200

99%

100

?

%

9

100

x

p

y

y p x

y

2 00

9 2

18

y

y

700

1212%

100

?

%

12

100

x

p

y

y p x

y

7 00

12 7

84

y

y

Primjer 2.

Koliko je:

a) 9% od 200, b) 12% od 700?

Rješenje:

Sada ćemo ovo riješiti primjenjujući gore napisano.

a) 9% je postotak, broj 200 (iza rijeĉi od) je osnovna vrijednost, a

trebamo dobiti postotni iznos. Postavljamo zadatak i rješavamo ga.

b) Rješavamo na isti naĉin kao pod a).

4800 kn

1515%

100

?

%

15

100

x

p

y

y p x

y

48 00

15 4

2 kn

8

7 0 y

y

Primjer 3.

Mjeseĉni troškovi neke obitelji iznose 4 800 kuna. Od tog iznosa 15%

izdvajaju za odjeću. Koliko je to novca?

Rješenje:

Tražimo koliko je 15% od 4 800 kn. Postavljamo kao i prethodni primjer.

Za odjeću mjeseĉno izdvajaju 720 kuna.

Zadatak 1.

Koliko je:

a) 8% od 300, d) 12% od 600,

b) 15% od 1 200, e) 84% od 500,

c) 7% od 800, f) 120% od 1 300?

Zadatak 2.


izdvajaju za režije. Koliko je to novca?

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Koliko je:

a) 3% od 300, d) 32% od 600,

b) 5% od 1 200, e) 54% od 500,

c) 17% od 800, f) 130% od 1 300?

Zadatak 2.


izdvajaju za hranu. Koliko je to novca?

Zadatak 3.


izdvajaju za hranu, a 25% za režije. Koliko novca izdvajaju za hranu, a

koliko za režije? (Uputa: Raĉunaj 40% od 5 800 i 25% od 5 800.)

7500

3000

?

%

3000 % 7500

30 00%

x

y

p

y p x

p

p

75 00

30%p

2

5 75

% 2 : 5

% 0.4

4 40%

1

4

0

0

0 1

%

0

p

p

p

p


Primjer 1.

U knjižnici ima 7 500 knjiga od ĉega je 2 500 knjiga za lektiru. Koliki je

postotak knjiga za lektiru?

Rješenje:

U ovom primjeru imamo zadanu osnovnu vrijednost, a to je 7 500 i

postotni iznos, a to je 2 500. Tražimo postotak.

Postavimo zadatak i riješimo ga.

Knjiga za lektiru je 40%.

Postotak računamo tako da postotni iznos podijelimo s osnovnom

vrijednošću i dobiveni broj zapišemo u obliku postotka.

Zadatak 1.

Koliko je posto:

a) 6 od 15, b) 12 od 30, c) 32 od 40?

Zadatak 2.

Na testu iz matematike ukupno je 30 bodova. Maja je imala 18 bodova.

Koliko je to u postotcima?

Zadatak 3.

Od 500 uĉenika neke škole njih 225 uĉi dva strana jezika. Koliki postotak

uĉenika uĉi dva strana jezika?

Zadatak 4.

Pri prijevozu 600 staklenih boca razbilo se njih 18. Koliki je postotak

razbijenih boca?

Zadatak 5.

Izraĉunaj postotak:

a) 240 kg je x% od 8 000 kg, b) 140 km je x% od 7 000 km.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Koliko je posto:

a) 3 od 15, b) 24 od 30, c) 32 od 80?

Zadatak 2.

Na testu iz matematike ukupno je 30 bodova. Franka je imala 12 bodova.

Koliko je to u postotcima?

Zadatak 3.

Od 600 uĉenika neke škole njih 225 uĉi dva strana jezika. Koliki postotak

uĉenika uĉi dva strana jezika?

Zadatak 4.

Pri prijevozu 600 staklenih boca razbilo se njih 36. Koliki je postotak

razbijenih boca?

Zadatak 5.

Izraĉunaj postotak:

a) 480 kg je x% od 8 000 kg, b) 140 km je x% od 3 500 km.

70

14% 0.

5

14100

?

%

70 0.14

70

0 4

0

.1

0x

y

p

x

y p x

x

x


Primjer 1.

Na školski izlet idu uĉenici sedmih razreda kojih ima 70. Oni ĉine 14%

ukupnog broja uĉenika u školi. Koliko je ukupno uĉenika u školi?

Rješenje:

Ovdje moramo izraĉunati osnovnu vrijednost. Postavljamo zadatak i

rješavamo.

U školi je 500 uĉenika.

Osnovnu vrijednost računamo tako da postotni iznos

podijelimo s postotkom.

36

30% 0.3

100

?

%

36 0.3

36

0.3

120

y

p

x

y p

x

x

x

x

240

80% 100% 20% 80% 0.8

100

?

%

240 0.8

240

0.

0

8

30

y

p

x

y p x

x

x

x

Primjer 2. Od kojeg broja 30% iznosi 36?

Rješenje:

Od broja 120.

Primjer 3.

Poslije sniženja od 20%, hlaĉe se prodaju po cijeni od 240 kuna. Koja je

bila cijena hlaĉa prije sniženja?

Rješenje:

Poĉetni postotak je bio 100% pa se snizio za 20%, što znaĉi da sada

imamo 100% – 20% = 80%. Dakle, tražimo od koje cijene 80% iznosi

240 kuna.

Imamo:

Cijena hlaĉa prije sniženja bila je 300 kuna.

480

120% 100% 20% 120% 1.2

100

?

%

480 1.2

480

1.2

400

y

p

x

x

y p x

x

x

Primjer 4.

Kolika je bila cijena kaputa prije povećanja od 20%, ako sada stoji

480 kuna?

Rješenje:

Prije povećanja kaput je stajao 400 kuna.

Zadatak 1.

U školskoj kuhinji užinu uzima 190 uĉenika, što je 40% ukupnog broja

uĉenika u školi. Koliko ukupno uĉenika ima škola?

Zadatak 2.

Od kojeg broja 35% iznosi 70?

Zadatak 3.

Poslije sniženja od 25%, hlaĉe se prodaju po cijeni od 300 kuna. Kolika

je bila cijena hlaĉa prije sniženja?

Domaća zadaća


Zadatak 1.

U školskoj kuhinji užinu uzima 143 uĉenika, što je 26% ukupnog broja

uĉenika u školi. Koliko ukupno uĉenika ima škola?

Zadatak 2.


Zadatak 3.

Poslije sniženja od 26%, traperice se prodaju po cijeni od 296 kuna.

Kolika je bila cijena traperica prije sniženja?

Zadatak 4.

Kolika je bila cijena haljine prije povećanja od 24%, ako sada stoji

310 kuna?

Zadatak 5.

Nakon pojeftinjenja od 15%, cijena televizora je 2 975 kuna. Kolika je bila

cijena televizora prije sniženja?


Vježba

Zadatak 1.


a) b)

Zadatak 2.


a) 47% b) 78%

Zadatak 3.


postotka:

a) 0.41 b) 2.321

Zadatak 4.

Koliko je:

a) 24% od 200, b) 51% od 400?

Zadatak 5.


izdvajaju za hranu. Koliko je to novca?

Zadatak 6.

Koliko je posto:

a) 20 od 50, b) 39 od 65?

Zadatak 7.

Na testu iz hrvatskoga jezika ukupno je 40 bodova. Patrik je imao 16

bodova. Koliko je to u postotcima?

Zadatak 8.

Poslije sniženja od 30%, košulja se prodaje po cijeni od 168 kuna. Kolika

je bila cijena košulje prije sniženja?

Zadatak 9.

Kolika je bila cijena perilice rublja prije povećanja od 15%, ako sada stoji

2 415 kuna?

Zadatak 10.


Domaća zadaća


Zadatak 1.


a) b)

Zadatak 2.


a) 77% b) 128%

Zadatak 3.

Koliko je:

a) 31% od 500, b) 8% od 1 200?

Zadatak 4.


izdvajaju za kućne potrepštine. Koliko je to novca?

Zadatak 5.

Poslije sniženja od 35%, košulja se prodaje po cijeni od 195 kuna. Kolika

je bila cijena košulje prije sniženja?

50 000 kn

10 god

88% 0.08

100

?

g

v

s

k

Jednostavni kamatni račun

U banku možemo uložiti novac i to se naziva štednja, a isto tako

možemo i posuditi novac od banke. Onda kažemo da smo digli kredit od

banke. Taj novac koji ulažemo ili posuĊujemo, naknada koju dobivamo ili

dajemo, odreĊeni postotak od glavnice koji dajemo ili dobivamo ima

svoje nazive i oznake.

UPAMTI

g - glavnica (novac koji ulažemo ili posuĊujemo)

k - kamata (dodatna novĉana naknada koju dobivamo ili plaćamo)

s – godišnja kamatna stopa (odreĊeni postotak glavnice kojeg dobivamo ili dajemo)

v - vrijeme (period na koji ulažemo ili dižemo, izražen u godinama).

- osnovna formula jednostavnog kamatnog računa

Primjer 1.

Filipu je u banci odobren kredit od 50 000 kuna za ureĊenje stana, uz

uvjet da ga vrati za 10 godina uz godišnju kamatnu stopu od 8%.

a) Koliko iznosi kamata?

b) Koliko će ukupno Filip vratiti banci?

Rješenje:

50 000 0.0

40 00

8 10

0

k g s v

k

k

57

285

3 god

6%

?

285

g kn

v

s

k

k g s v

k

6

3

3

10020 10

51.30 knk

a)

Kamata iznosi 40 000 kuna.

b) Da bi izraĉunali koliko će ukupno vratiti zbrojit ćemo glavnicu i kamatu.

g + k = 50 000 + 40 000 = 90 000

Filip će ukupno vratiti 90 000 kuna.

Primjer 2.

Uĉenik je uložio na štednu knjižicu 285 kuna po godišnjoj kamatnoj stopi

od 6%. Koliku će kamatu uĉenik dobiti nakon 3 godine?

Rješenje:

Uĉenik će dobiti 51 kunu i 30 lipa kamata.

Zadatak 1.

Maja je od banke uzela kredit od 3 500 kuna, uz uvjet da ga vrati za 5

godina uz godišnju kamatnu stopu od 7%.


b) Koliko će ukupno Maja vratiti banci?

Zadatak 2.

Ivan je na štednu knjižicu stavio 2 000 kuna uz godišnju kamatnu stopu

od 9%. Koliku će kamatu Ivan dobiti nakon godinu dana?

Zadatak 3.

Maja želi kupiti automobil i za to joj treba 65 000 kuna. Banka joj je

odluĉila dati kredit uz godišnju kamatnu stopu od 6% uz uvjet da ga vrati

za 8 godina. Koliku će kamatu Maja platiti banci?

Zadatak 4.

Koliku će kamatu poslije 3 godine dobiti Sven koji u banci uz godišnju

kamatnu stopu od 4% štedi 5 000 kuna?

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Borisu je u banci odobren kredit od 48 000 kuna za kupnju novog

automobila, uz uvjet da ga vrati za 7 godina uz godišnju kamatnu stopu

od 5%.


b) Koliko će ukupno Boris vratiti banci?

Zadatak 2.

Ivana je na štednu knjižicu stavila 7 200 kuna uz godišnju kamatnu stopu

od 10%. Koliku će kamatu Ivana dobiti nakon godinu dana?

Zadatak 3.

Petra je odluĉila svoju ušteĊevinu od 10 000 kuna staviti u banku. Uložit

će na 5 godina uz godišnju kamatnu stopu od 3%.

a) Koliku će kamatu dobiti Petra?

b) Koliko će imati ukupno novca nakon tih 5 godina?

Zadatak 4.

Zajam od 36 000 kuna posuĊen uz godišnju kamatnu stopu od 9% bit će

vraćen za 6 godina. Koliko kamata treba platiti na taj zajam?

960 3000 8

960 24000

960

s

s

s

961

25 2400 24000

1

25

0.04

s

s

4%s


UPAMTI

Primjer 1.

Prilikom upisa u prvi razred uĉenikovi roditelji uložili su na štednu knjižicu

ulog od 3 000 kuna namijenjen za maturalno putovanje nakon

osmogodišnjeg školovanja. Kad je došlo vrijeme za maturalno putovanje,

otišli su podići novac. Uz novac koji su uložili dobili su i 960 kuna

kamata. Koliko je iznosila godišnja kamatna stopa na njihov uloženi

novac?

Rješenje:

g = 3 000 kn

v = 8 god

k = 960 kn

s = ?

Kamatna stopa je iznosila 4%.

3 500 kn

1 750 kn

1010% 0.1

100

?

g

k

s

v

k g s v

175 0

kv

g s

v

350 0 0.1

175

350 0.1

5

v

v

6 god

76 200 kn

2525% 0.25

100

?

v

k

s

g

k g s v

76200

6 0.25

50 800

kg

v s

g

g

Primjer 2.

Za koje će vrijeme (godina) glavnica od 3 500 kuna uložena uz godišnju

kamatnu stopu od 10% donijeti 1 750 kuna kamata?

Rješenje:

Za 5 godina.

Primjer 3.

Kolika je glavnica koja za 6 godina uz godišnju kamatnu stopu od 25%

donese 76 200 kuna kamata?

Rješenje:

Glavnica je 50 800 kuna.

Zadatak 1.

Za koje će vrijeme (godina) glavnica od 8 500 kuna uložena uz godišnju


Zadatak 2.

Kolika je glavnica koja za 5 godina uz godišnju kamatnu stopu od 10%

donese 3 600 kuna kamata?

Zadatak 3.

Uz koju je godišnju kamatnu stopu uložena na štednju glavnica od

18 000 kuna ako za 10 godina dobijemo 9 000 kuna kamata?

Zadatak 4.

Bruno je uložio u banku 28 450 kuna na 6 godina. Prilikom podizanja

novca dobio je 6 828 kuna kamata. Kolika mu je bila godišnja kamatna

stopa?

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Koliki je iznos Marko stavio na štednu knjižicu ako je za 3 godine uz

godišnju kamatnu stopu od 5% dobio 750 kuna kamata?

Zadatak 2.

Na koje je vrijeme štediša uložio u banku 12 000 kuna uz godišnju

kamatnu stopu od 7% i za to dobio od banke 5 040 kuna kamata?

Zadatak 3.

Ana je od banke uzela kredit od 15 000 kuna na 12 godina i na taj je

iznos morala platiti 7 200 kuna kamata. Kolika je bila godišnja kamatna

stopa na taj kredit?

Zadatak 4.

Za koliko će vremena glavnica od 3 600 kuna uz godišnju kamatnu stopu

od 7% donijeti 1 008 kuna kamata?

PROVJERA

1. Napiši postotak u obliku razlomka:

a) 57% b) 111%

2. Koliko je 12% od 700?

3. Neka obitelj ima mjeseĉna primanja 7 200 kuna. Koliko novca

obitelj izdvaja za hranu ako znamo da za nju izdvajaju 35% svojih

prihoda?

4. Koliku ćemo kamatu poslije 6 godina dobiti od banke uz godišnju

kamatnu stopu od 6% na iznos od 15 000 kuna?

5. Cijena cipela bila je 450 kuna pa se snizila 20%. Kolika je sada

cijena cipela?

6. Za koliko će vremena glavnica od 20 000 kuna uz godišnju


Prikazivanje i analiza podataka

U životu nas ĉesto zanima prosjeĉna ocjena, prosjeĉna starost,

prosjeĉna zarada… Takav tip prosjeĉne vrijednosti naziva se aritmetiĉka

sredina.

Aritmetička sredina jest srednja vrijednost danoga skupa brojčanih

podataka.

Oznaka za aritmetičku sredinu:

Primjer 1.

Izmjerena je visina petero uĉenika. Dobiveni su podatci (u cm):

132, 143, 129, 140 i 136. Kolika je prosjeĉna visina tih uĉenika?

Rješenje:

Prosjeĉna visina tih uĉenika je 136 cm.

PAZI: sve vrijednosti moraju biti izražene istom jedinicom.

Zadatak 1.

Izraĉunaj aritmetiĉku sredinu brojeva 8 i 16.

Zadatak 2.

Izraĉunaj aritmetiĉku sredinu brojeva 180, 200, 140, 150, 130 i 160.

Zadatak 3.

U anketi o tjednoj potrošnji namirnica sudjelovalo je 8 obitelji.

Dobiveni su sljedeći podatci (izraženi u kunama):

450, 560, 530, 320, 560, 480, 340, 640.

Kolika je prosjeĉna tjedna potrošnja tih obitelji?

Zadatak 4.

Tijekom kolovoza u jednom tjednu su izmjerene sljedeće temperature

zraka: 22 °C, 30 °C, 27 °C, 25 °C, 30 °C, 26 °C i 29 °C. Kolika je bila

prosjeĉna temperatura u tih sedam dana?

Domaća zadaća


Zadatak 1.


Zadatak 2.


Zadatak 3.

Izraĉunaj aritmetiĉku sredinu brojeva 2.8, 3.2, 2.4, 2.5, 2.3 i 2.6.

Zadatak 4.

U anketi o mjeseĉnim izdatcima sudjelovalo je 8 obitelji. Dobiveni su

sljedeći podatci (izraženi u kunama):

5 450, 5 560, 4 530, 6 320, 5 560, 5 480, 4 340, 4 640.

Kolika je prosjeĉna mjeseĉna potrošnja tih obitelji?

Zadatak 5.

Tijekom veljaĉe u jednom tjednu su izmjerene sljedeće temperature

zraka: 11 °C, 16 °C, 17 °C, 15 °C, 10 °C, 9 °C i 13 °C. Kolika je bila

prosjeĉna temperatura u tih sedam dana?


Frekvencija pojedine vrijednosti jest broj koji kazuje koliko se puta

ta vrijednost pojavila u skupu podataka.

Stupčasti dijagram je grafički prikaz sastavljen od pravokutnika

jednakih širina, a visina odgovara frekvenciji pojedinog podatka.

Relativna frekvencija jest broj koji kazuje koliki je udio promatranog

podatka u odnosu na cijelo. Relativnu frekvenciju izračunavamo

tako da frekvenciju promatrane skupine podijelimo s ukupnim

brojem podataka. Zbroj svih relativnih frekvencija nekoga skupa

uvijek mora biti 1.

Stupčasti dijagram relativnih frekvencija jest stupčasti dijagram u

kojem visina odgovara relativnim frekvencijama pojedinih

vrijednosti.

Primjer 1.

Na ispitu iz matematike uĉenici jednog razreda postigli su sljedeće

rezultate: ocjenu odliĉan dobila su 3 uĉenika, vrlo dobar 6 uĉenika, dobar

8 uĉenika, dovoljan 5 uĉenika i nedovoljan 2 uĉenika.

a) Prikaži podatke u tablici.

b) Nacrtaj stupĉasti dijagram frekvencija za te podatke.

c) Izraĉunaj relativnu frekvenciju.

d) Nacrtaj stupĉasti dijagram relativnih frekvencija.

Rješenje:

a)

b)

c) Najprije izraĉunamo koliko je uĉenika u razredu.

Broj uĉenika: 3 + 6 + 8 + 5 + 2 = 24

Zbroj relativnih frekvencija uvijek mora biti 1.

d)

Zadatak 1.

Na ispitu iz povijesti uĉenici jednog razreda postigli su sljedeće rezultate:

ocjenu odliĉan dobilo je 7 uĉenika, vrlo dobar 8 uĉenika, dobar 9

uĉenika, dovoljan 5 uĉenika i nedovoljan 1 uĉenik.


b) Koliko je uĉenika pisalo ispit?

c) Nacrtaj stupĉasti dijagram frekvencija za te podatke.

d) Izraĉunaj relativnu frekvenciju pojedinih ocjena.

e) Nacrtaj stupĉasti dijagram relativnih frekvencija.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Od 28 uĉenika nekog razreda njih 8 ima plave oĉi, 13 smeĊe i 7 zelene

oĉi. Prikaži podatke stupĉastim dijagramom.

Zadatak 2.


rezultate: ocjenu odliĉan dobilo je 5 uĉenika, vrlo dobar 6 uĉenika, dobar







10: 0.38 38%

26

4: 0.15 15%

26

2: 0.08 8%

26

4: 0.15 15%

26

6: 0.24 24%

26

nogomet

rukomet

atletika

plivanje

košarka


Kružni dijagram jest grafički prikaz u obliku kruga pri čemu su

veličine središnjih kutova proporcionalne relativnim frekvencijama.

Primjer 1.

U jednom sedmom razredu provedena je anketa o sportu koji uĉenici

najviše vole. PonuĊeni su im slijedeći sportovi: nogomet, rukomet,

atletika, plivanje i košarka. Dobiveni su sljedeći podatci: nogomet 10

uĉenika, rukomet 4 uĉenika, atletika 2 uĉenika, plivanje 4 uĉenika i

košarka 6 uĉenika. Nacrtaj kružni dijagram za navedene podatke.

Rješenje:

Najprije izraĉunamo koliko je uĉenika u razredu.

Broj učenika: 10 + 4 + 2 + 4 + 6 = 26

Sada ćemo izraĉunati koliki postotak uĉenika voli svaki od sportova.

Puni kut ima veliĉinu 360°. Raĉunamo veliĉine pripadajućih središnjih

kutova.

38 360: 38% 360 137

100

15 360:15% 360 54

100

8 360:8% 360 29

100

15 360:15% 360 54

100

24 360: 24% 360 86

100

nogomet

rukomet

atletika

plivanje

košarka

Zbroj veliĉina kutova iznosi 360°. Sad ćemo to prikazati kružnim

dijagramom.

Vrhovi svakoga kuta u kružnom dijagramu su u središtu kruga. Pomoću

kutomjera najprije nacrtamo jedan kut pa na njegov krak docrtamo

sljedeći kut i tako redom do pretposljednjeg.

Zadatak 1.

Program jedne televizijske kuće sastoji se od 15% informativnih emisija,

40% sportskog programa, 35% glazbenog programa, dok ostatak

vremena emitiraju propagandni program. Nacrtaj kružni dijagram koji

prikazuje ove podatke.

Zadatak 2.

U 7.a su 24 uĉenika. Na kraju prvoga polugodišta

ocjenom odliĉan iz matematike ocijenjena su 3 uĉenika, ocjenom vrlo

dobar ocijenjeno je 6 uĉenika, ocjenom dobar 8 uĉenika, ocjenom

dovoljan 4 uĉenika, a ostali su negativno ocijenjeni.

a) Koliki je postotak odliĉnih, vrlo dobrih, dobrih, dovoljnih i

nedovoljnih ocjena iz matematike u tom razredu?

b) Rezultate prikaži kružnim dijagramom.

Domaća zadaća


Zadatak 1.

U jednom sedmom razredu provedena je anketa o voću koje najviše

vole. PonuĊeno im je sljedeće voće: jabuke, kruške, mandarine, banane i

kivi. Dobiveni su sljedeći podatci: jabuke 8 uĉenika, kruške 4 uĉenika,

mandarine 10 uĉenika, banane 6 uĉenika i kivi 2 uĉenika. Nacrtaj kružni

dijagram za navedene podatke.

Zadatak 2.

Upitali smo šumara kolika je zastupljenost pojedinih vrsta stabala u šumi.

Dao nam je sljedeće podatke: hrast 18%, grab 12%, bukva 14%, kesten

25%, jela 21% i topola 10%. Nacrtaj kružni dijagram za navedene

podatke.

Zadatak 3.

Program jedne televizijske kuće sastoji se od 20% informativnih emisija,

50% sportskog programa, 25% glazbenog programa, dok ostatak

vremena emitiraju propagandni program. Nacrtaj kružni dijagram koji

prikazuje ove podatke.


Vježba

Zadatak 1.


Zadatak 2.

U anketi o tjednoj potrošnji namirnica sudjelovalo je 8

obitelji. Dobiveni su sljedeći podatci (izraženi u kunama):

750, 860, 630, 420, 760, 580, 540, 740.

Kolika je prosjeĉna tjedna potrošnja tih obitelji?

Zadatak 3.






c) Izraĉunaj relativnu frekvenciju pojedinih ocjena.


e) Nacrtaj kružni dijagram za navedene podatke.

Domaća zadaća


Zadatak 1.


Zadatak 2.

Od 24 uĉenika nekog razreda njih 8 voli rukomet, 12 nogomet i 4

košarku. Prikaži podatke stupĉastim dijagramom.

Zadatak 3.

Na ispitu iz geografije uĉenici jednog razreda postigli su sljedeće

rezultate: ocjenu odliĉan dobilo je 8 uĉenika, vrlo dobar 6 uĉenika, dobar







f) Nacrtaj kružni dijagram za navedene podatke.

87654321

8

Vjerojatnost slučajnog događaja

Primjer 1.

Martina je u kutiju ubacila kartice na kojima se nalaze sljedeći likovi:

Promiješala ih je i bez gledanja izvukla jednu od tih kartica.

Koji lik ima najmanje izgleda da bude izvuĉen?

Koji lik ima najviše izgleda za izvlaĉenje iz te kutije?

Rješenje:

Vidimo da su kartice s 4 kruga, 7 trokuta i 3 kvadrata.

Najmanje izgleda za izvlaĉenje ima kvadrat, jer ih ima najmanje, a

najviše trokut jer ih ima najviše.

U matematici vjerojatnost znači izglednost da se nešto dogodi.

Promatramo je na skali od „nemogućeg” do „sigurnog” dogaĊaja.

Primjer 2.

Na karticama su napisani brojevi od 1 do 8. Kartice su izmiješane, a

zatim složene u red tako da se ne vide napisani brojevi.

Okrenuta je prva kartica i na njoj piše broj 8.

a) Koliko je vjerojatno da na drugoj kartici piše broj veći od 8? b) Koliko je vjerojatno da na drugoj kartici piše broj manji od 8?

58

Okrenuta je i druga kartica. Na njoj piše broj 5.

c) Je li vjerojatnije da na sljedećoj kartici piše broj veći od 5 ili

manji od 5?

Rješenje: a) Budući da je 8 najveći od napisanih brojeva, na drugoj kartici ne

može pisati broj koji je veći od 8. Taj je dogaĊaj nemoguć. b) Budući da je 8 najveći od napisanih brojeva, na drugoj kartici mora

pisati broj koji je manji od 8. Taj je dogaĊaj siguran.

c) Na preostalim karticama su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 7. Od njih su ĉetiri

manja od broja 5, a dva su veća od 5. Vjerojatnije je da na

sljedećoj kartici piše broj koji je manji od 5.

Vjerojatnost mjerimo brojem. Kao mjeru nemogućeg događaja

uzimamo broj 0, a sigurnom događaju pridružujemo broj 1. Svim

ostalim događajima pridružena je mjera vjerojatnosti u tim

granicama. Uobičajeno je vjerojatnost događaja izražavati

razlomkom, decimalnim brojem ili postotkom.

Slučajni pokus je pokus koji pri ponavljanju, uz iste uvjete,

nepredvidivo daje različite rezultate (ishode).

Elementarni događaj jest mogući ishod slučajnog pokusa.

Slučajni događaj jest događaj koji se pri izvođenju pokusa može

dogoditi.

Kada su elementarni događaji jednako vjerojatni, tada se

vjerojatnost P(A) događaja računa prema sljedećoj formuli:

Primjer 3.

Petar je u kutiju stavio tri plave i dvije žute kuglice. Izvlaĉi jednu kuglicu.

a) Kolika je vjerojatnost da izvuĉe plavu kuglicu?

b) Kolika je vjerojatnost da izvuĉe žutu kuglicu?

Rješenje:

U kutiji se nalazi ukupno 5 kuglica.

a)

b)

Zadatak 1.

Filip je u kutiju ubacio 8 plavih, 5 žutih, 11 crvenih i 7 zelenih kuglica.

Bez gledanja je izvukao jednu od njih.

a) Imaju li sve kuglice jednake izglede za izvlaĉenje?

b) Može li Filip izvući bijelu kuglicu?

Zadatak 2.

Na svaku karticu napisano je po jedno slovo rijeĉi VJEROJATNOST.

Kartice su izmiješane, ubaĉene u kutiju, a zatim je izvuĉena jedna od

njih. Jesu li sva slova ravnopravna, tj. imaju li jednake izglede za

izvlaĉenje?

Zadatak 3.

Maja je u kutiju stavila ĉetiri plave i sedam žutih kuglica. Izvlaĉi jednu

kuglicu.

a) Kolika je vjerojatnost da izvuĉe plavu kuglicu?

b) Kolika je vjerojatnost da izvuĉe žutu kuglicu?

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Sven je u kutiju ubacio 7 plavih, 3 žute, 10 crvenih i 6 zelenih kuglica.

Bez gledanja je izvukao jednu od njih.

a) Imaju li sve kuglice jednake izglede za izvlaĉenje?

b) Može li Sven izvući crnu kuglicu?

Zadatak 2.

Na svaku karticu napisano je po jedno slovo rijeĉi MATEMATIKA.

Kartice su izmiješane, ubaĉene u kutiju, a zatim je izvuĉena jedna od

njih. Jesu li sva slova ravnopravna, tj. imaju li jednake izglede za

izvlaĉenje?

Zadatak 3.

Franka je u kutiju stavila 8 crvenih i 11 zelenih kuglica. Izvlaĉi jednu

kuglicu.

a) Kolika je vjerojatnost da izvuĉe crvenu kuglicu?

b) Kolika je vjerojatnost da izvuĉe zelenu kuglicu?


Primjer 1.

Baĉena je igraća kocka ĉije su strane oznaĉene brojevima od 1 do 6.

Odredi vjerojatnost sljedećih dogaĊaja:

a) A = pao je broj 4

b) B = pao je neparan broj

c) C = pao je paran broj

d) D = pao je broj 0

Rješenje:

Ukupan broj dogaĊaja (ishoda) je 6.

a) jer je na kocki samo jedna ĉetvorka.

b) Neparni brojevi na kocki su 1, 3 i 5. Imamo tri neparna broja.

c) Parni brojevi na kocki su 2, 4 i 6. Imamo tri parna broja.

d) Na kocki nemamo broj 0 jer su brojevi od 1 do 6.

Primjer 2.

Na svaku karticu upisano je po jedno slovo rijeĉi MATEMATIKA. Kartice

su stavljene u kutiju. Izvlaĉimo jednu karticu. Kolika je vjerojatnost da je

izvuĉena kartica na kojoj je:

a) slovo M

b) samoglasnik

c) suglasnik

d) slovo A?

Rješenje:

U kutiji imamo 10 kartica.

a) Vidimo da imamo 2 slova M.

b) Samoglasnici su: A, E i I. Ima ih ukupno 5.

c) Suglasnici su: M, T i K. Ima ih ukupno 5.

d) Vidimo da imamo 3 slova A.

Zadatak 1.

Na svaku karticu upisano je po jedno slovo rijeĉi STATISTIKA. Kartice



a) slovo S

b) samoglasnik

c) suglasnik

d) slovo A?

Zadatak 2.




b) B = pao je višekratnik broja 2

c) C = pao je broj manji od 4


DC

BA

Domaća zadaća


Zadatak 1.

Sluĉajni se pokus sastoji od gaĊanja kružne mete. Kolika je vjerojatnost

pogotka u podruĉje:

a) A

b) B

c) C

d) D

Zadatak 2.

Na svaku karticu upisano je po jedno slovo rijeĉi GIMNASTIKA. Kartice



a) slovo I

b) samoglasnik

c) suglasnik

d) slovo M?

Zadatak 3.

Špil karata ima 52 karte u ĉetiri boje: karo (), srce (), pik () i tref ().

Svaka boja ima po 13 karata. Kolika je vjerojatnost da izvuĉena karta

bude:

a) karo ili srce

b) tref

c) srce

d) petica?

Ponavljanje

1. Izraĉunaj nepoznanice x i y iz sljedećih proporcija (razmjera):

a) 7 : x = 2 : 6 c) 2 : (x – 1) = 3 : (–2x + 1)

b) (3y – 1) : 4 = 2 : 3 d) 5 : 3 = y : 6

2. Pojednostavni omjere:

a) b) c)

3. Izraĉunaj veliĉine unutarnjih kutova trokuta ako se one odnose kao

2 : 3 : 5.

4. Filip i Josip su zajedno zaradili 1 500 kn. Zaradu trebaju podijeliti u

omjeru 3 : 5. Koliko novca će dobiti svaki od njih?

5. Šipku duljine 220 cm treba podijeliti u omjeru 2 : 4 : 5. Koliko su

dugi dobiveni dijelovi šipke?

Ponavljanje

1. Cijena 1 kg jabuka je 6 kuna.

a) Koliko treba platiti za 7 kg jabuka?

b) Koliko kilograma jabuka možemo kupiti za 72 kune?

2. 12 radnika obavi neki posao za 8 sati. Koliko bi radnika taj posao

obavilo za 4 sata?

3. 15 maĉaka pojede hranu za 7 dana. Za koliko bi dana tu istu

koliĉinu hrane pojelo 5 maĉaka?

4. Automobil za 200 km potroši 15 litara benzina. Koliko litara benzina

će potrošiti za 780 km?

5. Biciklist za 1 sat prijeĊe 20 km.

a) Popuni tablicu.

b) Grafiĉki prikaži proporcionalnost.

6. Grafiĉki prikaži proporcionalnost.

a) b)

7. Ako 25 kg krumpira stoji 150 kuna, koliko treba platiti za 13 kg

krumpira?

8. 5 soboslikara oslikaju stan za 8 dana. Koliko bi soboslikara trebalo

ako želimo oslikati stan za 2 dana?

Ponavljanje

1. Napiši postotak u obliku razlomka:

a) 37% b) 12% c) 153%

2. Razlomke napiši kao decimalne brojeve, a potom kao postotke:

a) b) c)

3. Koliko je:

a) 6% od 300, b) 12% od 240, c) 85% od 2 000?

4. Neka obitelj mjeseĉno zaradi 5 200 kuna. Koliko novca obitelj

odvaja za režije ako znamo da za njih izdvajaju 15% svojih

prihoda?

5. Pri prijevozu 500 staklenih boca razbilo se njih 20. Koliki je

postotak razbijenih boca?

6. Cijena haljine bila je 350 kn pa se snizila 20%. Kolika je sada

cijena haljine?

7. Od kojeg broja 20% iznosi 6?

8. Poslije sniženja od 20%, kaput se prodaje po cijeni od 496 kuna.

Kolika je bila cijena prije sniženja?

Ponavljanje

1. Televizor stoji 3 200 kuna. Trgovina nudi mogućnost otplate na

godinu dana uz godišnju kamatnu stopu od 8%. Koliku kamatu će

kupac platiti na taj iznos?

2. Koliku ćemo kamatu poslije 3 godine dobiti od banke uz godišnju


3. Kolika je godišnja kamatna stopa ako se na glavnicu od 7 000 kuna

nakon godinu dana isplati kamata u iznosu od 630 kuna?

4. Za koliko će vremena glavnica od 12 500 kuna uz godišnju


5. Koliki je iznos Iva stavila na štednu knjižicu ako je za 6 godina uz

godišnju kamatnu stopu od 9% dobila 14 040 kuna kamata?

Ponavljanje

Zadatak 1.

Izmjerena je visina petero uĉenika. Dobiveni su podatci (u cm):

152, 133, 139, 150 i 146. Kolika je prosjeĉna visina tih uĉenika?

Zadatak 2.

Jedna trgovaĉka kuća objavila je što najviše prodaju: slatkiši 15%, hrana

40%, odjeća 35%, kozmetika 10%. Nacrtaj kružni dijagram koji prikazuje

ove podatke.

Zadatak 3.






c) Izraĉunaj relativnu frekvenciju pojedinih ocjena.


e) Nacrtaj kružni dijagram za navedene podatke.

Zadatak 4.




b) B = pao je višekratnik broja 3

c) C = pao je broj manji od 5


2. ISPIT ZNANJA

Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost

1. Pojednostavni omjer .

2. Izraĉunaj nepoznanicu x iz proporcije 5 : x = 4 : 10.

3. Cijena 1 kilograma krušaka je 8 kuna.

a) Koliko treba platiti za 5 kilograma krušaka?

b) Koliko kilograma krušaka možemo kupiti za 96 kuna?

4. 15 radnika obavi neki posao za 9 dana. Koliko bi radnika taj posao

obavilo za 5 dana?

5. Koliko je 15% od 900?

6. Koliku ćemo kamatu dobiti od banke nakon 3 godine uz godišnju


7. Baĉena je igraća kocka ĉije su strane oznaĉene brojevima od 1 do

6. Odredi vjerojatnost sljedećih dogaĊaja:


b) B = pao je jednoznamenkasti broj

c) C = pao je broj 8

d) D = pao je prost broj

8. Cijena haljine bila je 300 kn pa se snizila 25%. Kolika je sada

cijena haljine?

Documents

Omjer i proporcija (razmjer) · Zadatak 2. 9 kg šećera plaćeno je 54 kune. Koliko treba platiti za 7 kg šećera? Zadatak 3. 5 litara mlijeka platili smo 22.50 kuna. Koliko mlijeka