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ondas y superposicion de ondas
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Cap. 16: Superposición y ondas estacionarias
Principio de Superposición: Cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales. Este principio es consecuencia de la linearidad de la ecuación de onda:
2
2
22
2 1ty
vxy
∂∂
=∂∂
Interferencia de ondas armónicas
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
sin , sin
sin sin
y A kx t y A kx t
y y y A kx t A kx t
ω ω φ
ω ω φ
= − = − +
= + = − + − +
sin sin
sin sin 2cos sin2 2
y A kx t A kx t
Usando la siguiente identidadβ α
ω ω φ
α β α βα β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − +
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
tenemos:
2 cos sin2 2
y A kx tφ φω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
La onda resultante es otra onda armónica de igual número de onda y frecuencia. La amplitud de la onda resultante es 2Acos(φ/2) y la constante de fase es φ/2.
Si φ = 0, entonces la amplitud es 2A y la interferencia es constructiva.
Si φ = π, entonces la amplitud es cero y la interferencia es destructiva.
Ver ejemplo 16.6.
Ondas estacionariasConsidera una cuerda atada a ambos extremos (ejemplo: cuerda de guitarra).Las ondas viajando a la izquierda interfieren con las que viajan a la derecha y para ciertas frecuencias, forman el patrón de onda estacionaria ilustrado en la figura.
( ) ( )( ) ( )
1
2
, sin
, sin
y x t A kx t
y x t A kx t
ω
ω
= −
= +
( ) ( )1 2 sin siny y y A kx t A kx t= + = −ω + + ω
Usando
tenemos
( ) ( )1 1
sin sin 2 cos sin2 2
α + β = α − β α + β
[ ]2 sin cosy A kx t= ω
Vemos que la ecuación predice que existe un nodo en x = 0, lo cual es correcto.
Vemos que en x = L hay otro nodo, por lo tanto
sin 0
2 2
2
2
n
nn
n
kL kL n
LL n
nv n
f vL
n Tf
L
= ∴ = π
π= π ∴ λ =
λ
= =λ
=µ
Ejemplo:Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0.70 m entre sí y se ajustan hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es 440 Hz. Calcula la velocidad de las ondas transversales en la cuerda.
Ejemplo:
Una cuerda de 3 m de longitud, y densidad lineal 0.0025 kg/m, está sujeta por ambos extremos. Una de las frecuencias de resonancia es 252 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz. ¿Qué armónico corresponde a los 252 Hz? Calcula la frecuencia fundamental y la tensión en la cuerda.