Ondas Electromagneticas

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

LUIS FRANCISCO GARCÍA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE FÍSICA

BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010


LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE FÍSICA

BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010

Contenido 1

3.1 INTRODUCCION

3.2 CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES

3.3 ONDAS ELECTROMAGNETICAS VIAJERAS EN LINEAS DE

TRANSPORTE Y CABLES COAXIALES.

3.3.1 ECUACION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

3.3.2 IMPEDANCIA CARACTERISTICA

3.3.3 COEFICIENTES DE REFLEXION Y TRANSMISION DE LAS ONDAS

DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN PUNTOS DE DISCONTINUIDAD

3.3.4 EXTREMO LIBRE Y EXTREMO CORTOCIRCUITADO

3.4 ECUACIONES DE MAXWELL

3.4.1 ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO . ELECTROMAGNETICO EN EL ESPACIO LIBRE

3.4.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS

3.4.3 POLARIZACION DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

3.4.4 PERPENDICULARIDAD ENTRE LOS CAMPOS ELECTRICO Y . MAGNETICO Y LA DIRECCION DE PROPAGACION

3.5 ENERGIA POR UNIDAD DE VOLUMEN, INTENSIDAD Y POTENCIA . LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

3.6 VECTOR DE POYNTING

3.7 MOMENTUM DE UNA ONDA ELECTROMAGNETICA

3.8 RADIACION DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

3.8.1 ANTENA DE DIPOLO ELECTRICO OSCILANTE

3.8.2 POTENCIALES RETARDADOS

3.8.3 CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN DIPOLO

3.8.4 CAMPO MEGNETICO DEBIDO A UN DIPOLO

3.8.5 VECTOR DE POYNTING PROMEDIO

3.8.6 POTENCIA TOTAL RADIADA POR UNA ANTENA DE DIPOLO

1

3.9 PRESION DE RADIACION

3.10 RELEXION Y TRANSMISION DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN . DIELECTRICOS TRANSPARENTES

3.11 PROBLEMAS.

Pasos fundamentales para el estudio de las ondas electromagnéticas

A partir de :

LAS ECUACIONES DE MAXWELL

Se deduce la ecuación diferencial de una onda electromagnética

Su solución es una onda electromagnética plana progresiva o viajera

Al aplicar las ecuaciones de MAXWELL a las ondas ELECTROMAGNETICAS se demuestra la perpendicularidad entre los vectores de campo eléctrico E, de campo magnético B, y de propagación K.

LA INTENSIDAD DE LA ONDA ELECTROMAGNETICA

Se determina a partir de la definición de

VECTOR DE POYNTING

Flujo de energía por unidad de área y de tiempo, ó potencia por unidad de área

Pasos fundamentales para determinar el estado de polarización de las ondas electromagnéticas

Tomar las ondas del CAMPO ELECTRICO de dos ondas electromagnéticas

Superponer las dos ondas de CAMPO ELECTRICO teniendo en cuenta el principio de SUPERPOSICION

Tener en cuenta si las amplitudes de las dos ondas son iguales o diferentes

Determinar la diferencia de fase entre las dos ondas

Clasificar el ESTADO DE POLARIZACION DE LA ONDA con base en la diferencia de fase, en :

POLARIZACION LINEAL O ESTADO P

POLARIZACION CIRCULAR A DERECHA O ESTADO R

POLARIZACION CIRCULAR A IZQUIERDA O ESTADO L

POLARIZACION ELIPTICA A DERECHA O ESTADO ER

POLARIZACION ELIPTICA A IZQUIERDA O ESTADO EL

Pasos fundamentales para estudiar la radiación del dipolo eléctrico oscilante

Usar las definiciones de:

POTENCIAL ESCALAR V

POTENCIAL VECTORIAL

Obtener los campos ELECTRICO y MAGNETICO a partir de las siguientes expresiones

–

OBTENER EL VECTOR DE POYNTING DE ACUERDO A SU DEFINICION

Obtener la POTENCIA PROMEDIO RADIADA mediante:

CAPITULO 3


3.1 INTRODUCCION

Las ondas electromagnéticas predichas por James Clerk Maxwell (1831-1879), fueron obtenidas experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), quien comprobó la existencia de ondas electromagnéticas de longitud de onda larga, cuando creó el primer emisor y receptor de radio en 1887, ocho años después de la muerte de Maxwell.

Las ondas electromagnéticas se deducen de las ecuaciones de Maxwell y por tanto se puede decir que las ecuaciones de Maxwell se transforman en dos expresiones vectoriales extremadamente concisas que corresponden a las ecuaciones diferenciales que relacionan los campos eléctricos y magnéticos y sus derivadas respecto del espacio y del tiempo en cualquier punto, estas son:

La figura (3.1) muestra el espectro electromagnético, el cual cubre una amplia gama de frecuencias, cuya clasificación no tiene límites precisos ya que fuentes diferentes pueden producir ondas en intervalos de frecuencia superpuestos parcialmente.

Como puede observarse en la figura el espectro electromagnético abarca desde los rayos gamma hasta las ondas de radiofrecuencia, pasando por los rayos X, los rayos ultravioleta, la luz o espectro visible, el espectro infrarrojo y las microondas.

Fig. 3.1 Espectro electromagnético

Para una persona promedio, las diferentes sensaciones que la luz produce en el ojo, se denominan colores, dependen de la frecuencia (ó de la longitud de onda) de la onda electromagnética y corresponden a los siguientes intervalos:

Color (m) F (Hz)

Violeta 3,90 – 4,55 x 10-7 7,69 – 6,59 x 1014

Azul 4,55 – 4,92 6,59 – 6,10

Verde 4,92 – 5,77 6,10 – 5,20

Amarillo 5,77 – 5,97 5,20 – 5,03

Naranja 5,97 – 6,22 5,03 – 4,82

Rojo 6,22 – 7,80 4,82 – 3,84

Aunque Maxwell concluyó que la luz era una onda electromagnética, se sabe que los fotones tienen manifestaciones de partículas, por tal motiva la pregunta ¿Qué es la luz? Continúa inmutable. En este capítulo analizaremos las ondas electromagnéticas planas, la energía y el momentum de una onda electromagnética, el vector de Poynting, la intensidad, la radiación y la presión de radiación de las ondas electromagnéticas.

3.2 CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES: Las características fundamentales de las ondas electromagnéticas podemos sintetizarlas en: -Las ondas electromagnéticas son transversales.

-Los campos son perpendiculares.

-El producto cruz apunta en la dirección de propagación. -La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio libre es igual a la velocidad de la luz.

3.3 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS VIAJERAS EN LINEAS DE . TRANSPORTE Y CABLES COAXIALES Línea de transmisión: Una línea de transmisión se puede definir como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un punto a otro. El uso principal de una línea de transmisión consiste en transmitir señales (palabras, imágenes, datos, música) y potencia. Una línea de transmisión consta básicamente de dos terminales en los que se suministra potencia (o información) y dos terminales en los que se recibe la potencia o información, es decir una línea de trasmisión se puede considerar como un dispositivo de cuatro terminales permite conectar los distintos dispositivos eléctricos. Las guías de onda, las fibras ópticas y los enlaces de radio con antenas pueden considerarse líneas de transmisión. La figura (3.3-1) muestra algunos ejemplos de líneas de transmisión

Vista longitudinal sección transversal

Batería Línea Bifilar (cc)

Generador Línea Bifilar (ca)

Línea Coaxial (cc, ca, RF)

Línea de Microcinta (RF)

Guía de onda rectangular (RF)

Fibra óptica (luz)

Radio enlace

Con antenas

Figura (3.3.1) Ejemplos líneas de transmisión. Clasificación de las líneas de transmisión: Las líneas de transmisión pueden clasificarse de la siguiente manera

Tipo de modo TEM (electromagnético transversal): son enteramente transversales. La potencia fluye a lo largo de los conductores y entre ellos, como sucede con las líneas bifilares y las líneas coaxiales.

Tipo de modo superior: , o ambos, tienen componentes en la dirección de transmisión. La potencia fluye en el interior del conductor, tal como ocurre con las fibras ópticas.

Los patrones como el campo eléctrico y magnético para el modo TEM en una línea coaxial circular se muestran en la figura (3.3-2)

Figura (3.3-2) Patrón de campo electromagnético para el modo TEM (modo electromagnético transversal) en una línea de transmisión coaxial.

3.3.1 ECUACION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE: Las ecuaciones diferenciales de las ondas de voltaje y corriente en el dominio del tiempo, de una línea de transmisión uniforme se hallan considerando el circuito equivalente a una porción infinitesimal de una línea de transmisión uniforme, como se muestra en la figura (3.3.1-1)

s

Figura (3.3.1-1) Circuito equivalente, de una porción infinitesimal de una línea de transmisión uniforme, en el dominio del tiempo.

La sección infinitesimal de la línea de la longitud , localizada en la coordenada sobre la línea, tiene una serie , una capacitancia en paralelo y una conductancia en paralelo

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes, se obtiene:

(3.3.1-1)

Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes, se obtiene:

(3.3.1-2)

Dividiendo por y haciendo que tienda a cero, las ecuaciones (3.3.1-1) y (3.3.1-2) pueden escribirse mediante:

Las ecuaciones (3.3.1-3) y (3.3.1-4) forman la base del estudio de las líneas de transmisión desde el punto de vista de su representación mediante un circuito con parámetros distribuidos.

Línea sin pérdidas

Una línea de transmisión sin pérdidas, puede considerarse como una línea

ideal en la que , por tanto las ecuaciones (3.3.1-3) y (3.3.1-4) se reducen a:

Derivando la ecuación (3.3.1-5) respecto de se obtiene:

(3.3.1-7)

Derivando la ecuación (3.3.1-6) respecto de se obtiene:

(3.3.1-8)

Teniendo en cuenta que:

Reemplazando la ecuación (3.3.1-8) en la ecuación (3.3.1-7) se sigue que:

Análogamente se obtiene:

(3.3.1-11)

Las ecuaciones (3.3.1-10) y (3.3.1-11) son ecuaciones unidimensionales correspondientes a las ondas de voltaje y de corriente que se propagan en la línea de transmisión con velocidad

V =

Las soluciones para V e I en todo punto de la línea es una combinación de las ondas incidente y reflejada,

V = Vi

I = Ii

La corriente I puede expresarse en función de los voltajes de las ondas incidente y reflejada sustituyendo la ecuación (3.3.1-12) en la ecuación (3.3.1.5), así:

=

Siendo:

La impedancia característica de la línea.

Si R´ y G´ son grandes respecto a L´ y C´ respectivamente, las ecuaciones (3.3.1-3) y (3.3.1-4) se transforman en:

Derivando la ecuación (3.3.1-16) respecto a z, se obtiene:

Reemplazando (3.3.1-17) en (3.3.1-18) se sigue que:

–

La solución de (3.3.1-20) es de la forma:

–

–

Que corresponde a un decrecimiento exponencial y no a una onda armónica.

3.3.2 IMPEDANCIA CARACTERISTICA: Podemos excitar un extremo de una línea de transmisión conectando los conductores interior y exterior a una fuente de voltaje sinusoidal de frecuencia

Esto causa una onda electromagnética que viaja a lo largo de la línea con campos dados por

Las amplitudes son funciones de la coordenada radial r. La perturbación puede ser representada en términos de las ondas de voltaje y de corriente dadas por:

V =

I =

Donde es la velocidad de fase, de magnitud

Para el caso de una línea sin pérdidas V e I están relacionadas mediante las

siguientes dos ecuaciones diferenciales:

Sustituyendo (3.3.2-1) y (3.3.2-2) en (3.3.2-3) se sigue que:

Efectuando la derivación indicada se obtiene:

Sustituyendo (3.3.2-1) y (3.3.2-2) en (3.3.2-4) se sigue que:

Efectuando la derivación indicada se obtiene:

Dividiendo la ecuación (3.3.2-7) por la ecuación (3.3.2-10) se sigue que:

Las amplitudes de voltaje y corriente están conectadas con un parámetro importante denominado impedancia característica de la línea.

Donde:

Z = impedancia característica,

L´ = inductancia por unidad de longitud, H

C´ = capacidad por unidad de longitud, F

Por tanto, la impedancia característica se obtiene tomando la razón de la

tensión V a través de la línea a la corriente I a través de la línea para una sola onda viajera, es decir, la razón de voltaje a la corriente de una onda individual en la línea.

Para la onda incidente:

Para la onda reflejada:

Donde el signo menos denota que la corriente se dirige hacia el sentido negativo del eje z.

Las ecuaciones (3.3.2-1) y (3.3.2-2) pueden volverse a escribir mediante:

V =

I =

CALCULO DE LA IMPEDANCIA CARACTERISTICA DE UNA LINEA COAXIAL:

El modo TEM (electromagnético transversal) de una línea coaxial, tiene un campo eléctrico puramente radial y un campo magnético que es puramente acimutal como se muestra en la figura (3.3.2-1)

Fig. (3.3.2-1) Sección de una línea de transmisión coaxial, ilustrando la configuración del campo eléctrico ( ) y del campo magnético (- - -) del modo TEM principal.

De la ley de Ampere

El flujo de una línea de longitud es:

De la ley de inducción de Faraday

FEM =

El campo eléctrico a una distancia r entre los conductores se deduce de la ley de Gauss: si Q es la carga instantánea en alguna posición z a lo largo del conductor interior, entonces:

La diferencia de potencial entre los cilindros coaxiales es:

Y por definición la capacitancia es:

C

C =

Luego la capacitancia por unidad de longitud es:

C

Usando las expresiones (3.3.2-24) y (3.3.2-30) se obtiene la impedancia característica de la línea de la transmisión coaxial, la cual está dada por:

Si el medio que llena la línea es diferente de vacío, entonces:

Para el caso de una línea de dos hilos (también llamada bifilar), como se

muestra en la figura (3.3.2-2), si , se tiene:

Fig. (3.3.3-2) Línea de transmisión bifilar o de dos hilos.

POTENCIA TRANSMITIDA:

La potencia instantánea transmitida se encuentra tomando las partes reales de las ecuaciones para V e I dadas por (3.3.2-16) y (3.3.2-17), y efectuando su multiplicación así:

–

La potencia promedio viene dada por:

Bajo condiciones más generales, una onda reflejada viajará a la izquierda, así que las expresiones para el voltaje y la corriente son:

V =

I =

Deseamos encontrar cómo las condiciones de la carga gobiernan las

amplitudes e de las ondas reflejadas.

En la figura (3.3.2-3) se muestra una línea de transmisión con el generador situado a la izquierda y el receptor o “carga” situado al lado derecho.

Figura (3.3.2-3) Línea de radiofrecuencia mostrando el generador y el receptor (o carga), asumiendo que la carga es una resistencia pura.

La amplitud está dada por / donde es la impedancia característica de la línea de la transmisión. En forma similar se puede demostrar que la amplitud de la onda reflejada es

-

. Por consiguiente las ecuaciones (3.3.2-37) y (3.3.2-38) pueden

escribirse en la forma:

V =

I =

Consideremos que la carga está situada en y que en este punto el voltaje toma el valor y la corriente el valor . Con estas condiciones de frontera, las ecuaciones (3.3.2-39) y (3.3.2-40) se convierten en:

VL =

IL =

Denotando por ZL la “Impedancia de carga”, tomando la razón de VL a IL se obtiene:

ZL ≡

= z0

3.3.3 COEFICIENTES DE REFLEXION Y TRANSMISION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN PUNTOS DE DISCONTINUIDAD:

3.3.3.1 Coeficiente de reflexión de voltaje:

Se designa por rv = (ó r) y representa la fracción de la onda de voltaje incidente reflejada en la carga. Este valor es:

rv =

=

(3.3.3.1-1)

La expresión (3.3.3.1-1) se obtiene de la ecuación (3.3.2-43), dividiendo el miembro de la derecha por Vi, así:

ZL = Z0

(3.3.3.1-2)

ZL = Z0

(3.3.3.1-3)

ZL (1 - Γv) = Zo (1 + Γv) (3.3.3.1-4)

Γv (Z0 + ZL) = ZL - Z0) (3.3.3.1-5)

Γv =

(3.3.3.1-6)

3.3.3.2 Coeficiente de reflexión de corriente:

Puesto que Ii =

e Ir = -

, se deduce que el

coeficiente de reflexión de corriente es:

ΓI =

=

= -

= -

(3.3.3.2-1)

Comparando (3.3.3.1-6) con (3.3.3.2-1), podemos concluir que:

ΓI = - Γv = - Γ, (3.3.3.2-2)

Donde Γ puede tener valores comprendidos entre - 1 y 1, o sea,

-1 Γ 1, siendo Γ = -1 para una línea de transmisión cortocircuitada, es decir, cuando ZL = 0, y Γ = 1 para una línea de circuito abierto, es

decir, cuando ZL = .

3.3.3.3 Coeficiente de transmisión de voltaje:

El coeficiente de transmisión de voltaje v (ó ) se define como la

razón del voltaje en la carga al voltaje incidente, y viene dado por:

v =

=

(3.3.3.3-1)

v = 1 +

= 1 + Γv (3.3.3.3-2)

v = 1 +

=

(3.3.3.3-3)

3.3.3.4 Coeficiente de transmisión de corriente:

El coeficiente de transmisión de corriente I se define como la razón de

la corriente en la carga a la corriente incidente, así:

I =

=

= 1 +

(3.3.3.4-1)

I = 1 + ΓI = 1 -

(3.3.3.4-2)

I =

(3.3.3.4-3)

3.3.4 EXTREMO LIBRE Y EXTREMO CORTOCIRCUITADO:

3.3.4.1 Extremo libre o línea en circuito abierto:

La figura (3.3.4.1-1) muestra una línea de transmisión abierta en el extremo receptor.

Fig. (3.3.4.1-1) Línea de transmisión a la que se conecta bruscamente una batería y una

resistencia R.

En el extremo distribuidor se conecta a la línea una batería en serie con una resistencia R en el instante t = 0. Nuestro propósito consiste en hallar la variación de corriente y de voltaje.

La impedancia de entrada de la línea es la impedancia característica Z0.

Durante el intervalo de tiempo 0 t 2T el voltaje en el extremo distribuidor es:

Vs = Is Z0 =

Z0 =

(3.3.4.1-1)

La onda de voltaje Vs que se origina, se propaga hacia el extremo abierto donde se refleja con el coeficiente de reflexión.

Γ =

= 1 (3.3.4.1-2)

Y vuelve al extremo distribuidor donde se refleja con el coeficiente:

Γs =

(3.3.4.1-3)

La figura (3.3.4.1-2) muestra la onda en la línea para tres instantes.

La línea de transmisión en circuito abierto es un problema parecido al de la carga de un condensador mediante una batería a través de una resistencia. Si consideramos la línea en circuito abierto como un condensador de capacidad

C = C´ donde C´ es la capacidad por unidad de longitud de la línea, la constante de tiempo del circuito equivalente que se carga es:

RC = (3 Z0) (C´ ) = 3

(C´ ) = 3 ´ (3.3.4.1-4)

RC =

= 3T, (3.3.4.1-5)

Donde T es el tiempo empleado por la onda para recorrer una distancia .

Figura (3.3.4.1-2) Voltaje y corriente total en línea, en circuito abierto. La curva de trazos es la onda de corriente reflejada. La relación de corriente entre las ondas incidente y reflejada es

Ir = - Γ Ii.

La expresión para el voltaje del condensador es:

Vs = Vb = = Vb (3.3.4.1-6)

Que se representa en la figura (3.3.4.1-3)

Figura (3.3.4.1-3) Representación del voltaje y la corriente en el extremo distribuidor en una línea en un circuito abierto. Las curvas a trazos son el voltaje y la corriente del circuito equivalente concentrado RC.

3.3.4.1 Extremo cortocircuitado:

Consideremos una línea de transmisión de longitud cortocircuitada en

el extremo receptor, como se indica en la figura (3.3.4.2-1). En el instante t = 0

Figura (3.3.4.2-1) Línea de transmisión cortocircuitada a la que se conecta bruscamente un voltaje Vb. T es el tiempo empleado por una onda que se propaga con velocidad v para alcanzar el extremo receptor.

Se cierra el interruptor, conectado a una batería de voltaje Vb al extremo distribuidor de la línea de transmisión. Nuestro propósito consiste en: a) Determinar el voltaje y la corriente de las ondas incidentes y reflejada. b) Determinar el voltaje y la corriente en los extremos distribuidor y receptor.

( a ) Si la batería permanece conectada debe circular una corriente infinita. La forma en que se establece la corriente es la siguiente:

Para avanza una onda en la línea que es idéntica a la de una línea infinita.

En el instante , la onda incidente alcanza el cortocircuito que da por resultado la emisión de una onda reflejada, ya que el voltaje total en el cortocircuito debe ser nulo, es decir

VR = Vi + Vr = 0 (3.3.4.2-1)

Vi = -Vr Γv =

= - 1 (3.3.4.2-2)

La corriente en la onda reflejada se obtiene teniendo en cuenta que:

ΓI =

= - Γv = - (- 1) = 1 (3.3.4.2-3)

Ir = Ii (3.3.4.2-4)

Por tanto, la corriente en la onda reflejada se suma a la corriente de la onda incidente.

La corriente total en ZL es:

IL = Ii + Ir (3.3.4.2-5)

Pero de (3.3.4.2-4) Ir = Ii, entonces:

IL = 2Ii = 2

= 2

(3.3.4.2-6)

Luego para T 2T, la onda reflejada deja atrás el voltaje nulo y la

corriente

en la línea de transmisión.

En el instante 2T, la onda reflejada llega a la batería que hemos supuesto que tiene una resistencia interna nula y por esto tiene un coeficiente de reflexión Γs = -1. Por tanto, la onda se refleja en la batería como se refleja en el corto circuito y continúa oscilando adelante y atrás en la línea durante el establecimiento de la corriente, mientras que el voltaje de la línea fluctúa entre cero y el voltaje de la batería Vb.

La figura (3.3.4.2-2) muestra las ondas de voltaje y corriente para tres instantes.

(b) La figura (3.3.4.2-3) muestra el voltaje total y la corriente en función del tiempo, tanto en el extremo distribuidor como en el extremo receptor.

Onda de voltaje reflejada

Figura (3.3.4.2-2) Voltaje y corriente total en la línea cortocircuitada. La corriente en las ondas

incidente y reflejada está relacionada por Ir = Γv Ii.

Figura (3.3.4.2-3). Voltajes y corrientes en el extremo distribuidor y en el extremo receptor de una línea cortocircuitada. La figura central muestra el voltaje pulsante en el punto medio de la figura.

3.4 ECUACIONES DE MAXWELL. Las cuatro ecuaciones llamadas tradicionalmente ecuaciones de Maxwell, para un medio isotrópico, homogéneo, lineal (no ferroeléctrico ni ferromagnético), considerado en reposo, se pueden escribir mediante:

(3.3.4.1)

(3.3.4.2)

(3.3.4.3)

(3.3.4.4)

Teniendo en cuenta que la ley de Ohm puede escribirse como:

= σ (3.3.4.5)

La ecuación (3.4.4) puede volverse a escribir mediante:

(3.3.4.6)

3.4.1 ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO ELECTROMAGNETICO EN EL ESPACIO LIBRE:

Para obtener la ecuación de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell, debemos formar las segundas derivadas respecto a las variables del espacio. Para tal efecto, aplicando el rotacional de la ecuación (3.4-6) es obtiene:

x ( ) = ( ) +

) (3.4.1-1)

Sustituyendo (3.4-3) en (3.4.1-1) se sigue que:

x ( ) =

-

(3.4.1-2)

Haciendo uso de la siguiente identidad de operadores:

x ( ) = ( 2 (3.4.1-3)

Se concluye que:

x ( ) = ( 2 (3.4.1-4)

Insertando (3.4-2) en (3.4.1-4), se obtiene que:

x ( ) = 2 (3.4.1-5)

Reemplazando (3.4.1-5) en (3.4.1-2):

-

= 0 (3.4.1-6)

En forma similar, tomando el rotacional de (3.4-3):

x ( ) = -

( ) (3.4.1-7)

Insertando (3.4-4):

x ( ) = -

(3.4.1-8)

Usando (3.4.1-3):

( ) - 2 =

-

(3.4.1-9)

Insertando (3.4-1) en (3.4.1-9), se obtiene:

2 =

-

(3.4.1-10)

2

-

=

(3.4.1-11)

Para un medio sin carga (p = 0), por lo tanto:

2

-

= 0 (3.4.1-12)

Las ecuaciones (3.4.1-6) y (3.4.1-12) son conocidas como ecuaciones de la telegrafía.

En medios no conductores σ = 0 y las ecuaciones (3.4.1-6) y (3.4.1-12) se

reducen a:

2

= 0 (3.4.1-13)

2

= 0 (3.4.1-14)

En el espacio libre o medio no conductor del vacío

P = 0 , σ = 0 , = y = 0 ,

Entonces las ecuaciones (3.4.1-13) y (3.4.1-14) se convierten en:

2 = 0

(3.4.1-15)

Y

2 = 0

(3.4.1-16)

Que corresponden a las ecuaciones diferenciales de los campos que

describen una onda electromagnética en el espacio libre.

3.4.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS:

Consideremos que las tres componentes de las tres componentes de solamente una depende del tiempo y de una coordenada espacial, digamos La ecuación (3.4-1) para el espacio libre es:

= 0 (3.4.2-1)

(3.4.2-2)

Pero como hemos supuesto que no varía con e , se sigue que:

(3.4.2-3)

Lo cual significa que la componente del campo eléctrico en dirección de es una constante.

La ecuación (3.4-4) para el espacio libre, puede escribirse de la siguiente manera:

ŷ

=

0

(3.4.2-4)

Tomando la componente del rotacional de la ecuación (3.4.2-4) se tiene:

0

(3.4.2-5)

Puesto que no varía con e se sigue que:

(3.4.2-6)

Lo cual significa que es constante en el tiempo. Por tanto la componente es independiente tanto del espacio como del tiempo y decimos que el campo es constante si se tratara del campo entre las placas de un capacitor de placas paralelas conectado a una batería de corriente continua. Este campo no es de interés por cuanto en estudio de las ondas se busca campos que varían

dinámicamente. Así, que estamos en libertad de tomar . Usando los

mismos argumentos para el campo magnético podemos darnos cuenta que

también es cero. Al asumir que y varían solamente con respecto de y de

t se concluye que:

(3.4.2-7)

(3.4.2-8)

Las dos ecuaciones rotacionales pueden escribirse con nuestro postulado inicial así:

( a )

(3.4.2-9)

0

( b )

( a )

(3.4.2-10)

0

( b )

Hemos encontrado dos conjuntos de ecuaciones. El primero relaciona

solamente las variables y , y el segundo relaciona solamente las

variables y . Manipulando las dos ecuaciones de (3.4.2-9) podemos

eliminar una de las dos variables o . Para este propósito

diferenciemos ambos miembros de la ecuación (3.4.2-9) ( a ) con respecto de

(3.4.2-11)

Intercambiando el orden de diferenciación con respecto a y , y sustituyendo

de la ecuación (3.4.2-9), se sigue que:

0

(3.4.2-12)

En forma similar se obtiene que:

(3.4.2-13)

Las ecuaciones (3.4.2-12) y (3.4.2-13) son conocidas como ecuaciones de

onda unidimensionales, una para y otra para . Ellas representan ondas

planas viajando en la dirección de más o menos con una velocidad de fase

v = Esta onda electromagnética es totalmente

transversal, es decir, no tiene componentes longitudinales ó . Además, el campo eléctrico y el campo magnético se encuentran en ángulo recto uno de otro.

ONDA VIAJERA SINUSOIDAL PLANA:

Consideremos una onda sinusoidal de frecuencia que viaja a lo largo de la dirección positiva de La ecuación (3.4.2-12) demanda que la solución sea de la forma

(3.4.2-14)

Donde es la amplitud y es la fase del campo eléctrico de la onda;

las cantidades = v = . Las soluciones del campo magnético determinadas por (3.4.2-13) serán de forma similar:

(3.4.2-15)

Puesto que y están relacionadas por las ecuaciones de Maxwell; las

amplitudes y las fases de los campos pueden determinarse sustituyendo las ecuaciones (3.4.2-14) y (3.4.2-15) en (3.4.2-9) ( a ) y (3.4.2-9) ( b ) , obteniéndose como resultado las siguientes ecuaciones:

(3.4.2-16)

(3.4.2-17)

Las cuales deben cumplirse para todo tiempo y en todos los lugares . Esto puede cumplirse solamente si:

Demostrando que el campo eléctrico y el campo magnético están exactamente en fase uno con otro.

Dividiendo (3.4.2-17) en (3.4.2-16) se obtiene:

(3.4.2-18)

(3.4.2-19)

La relación (3.4.2-19) da la magnitud del campo magnético en términos de magnitud del campo eléctrico. Por tanto, el resultado obtenido para la onda viajera sinusoidal plana, que viaja a lo largo de + z, es:

(3.4.2-20)

(3.4.2-21)

En la figura (3.4.2-1) se muestra la onda electromagnética viajera sinusoidal plana.

Figura (3.4.2-1). Onda electromagnética viajera sinusoidal plana mostrando las direcciones

instantáneas de los vectores de los campos eléctrico y magnético.

Si la onda se propaga en la dirección negativa de y si en un instante apunta a lo largo de + , entonces apunta a lo largo de - . Esto es

debido a que los vectores , y el vector de propagación de una onda

electromagnética plana en el espacio libre son siempre ortogonales (perpendiculares) el uno con el otro y tienen direcciones especificadas por la regla de la mano derecha o regla del tornillo, donde el tornillo apunta a lo largo

de , como se muestra en la figura (3.4.2-2).

Las ecuaciones (3.4.2-20) y (3.4.2-21) son un caso especial de una onda plana, uniforme y transversal. Es un caso especial porque la onda se propaga

solamente a lo largo del eje , además y solo tiene componentes e respectivamente.

Figura (3.4.2-2). Los vectores de campo y y el vector de propagación de una onda

plana en espacio libre, son mutuamente ortogonales en todo instante.

Para el caso más general, se dice que la onda es transversal porque y no

tienen componentes a lo largo del vector de propagación . La onda es

uniforme porque ni ni varían sobre un plano normal a la dirección de

propagación. Sin embargo, el campo magnético siempre puede ser obtenido del campo eléctrico por medio de la relación:

B = vE

(3.4.2-22)

Donde v es la velocidad de fase de la onda.

3.4.3 POLARIZACION DE ONDASELECTROMAGNÉTICAS: Cuando se superponen los campos eléctricos de dos ondas electromagnéticas, el campo eléctrico resultante no está situado necesariamente en un plano fijo, pues es posible que este gire con el tiempo. El estado de polarización de la onda resultante depende de las amplitudes y fase relativa de las ondas interactuantes. Los siguientes son los posibles estados de polarización:

-POLARIZACION LINEAL

-POLARIZACION CIRCULAR

-POLARIZACION ELIPTICA

3.4.3.1 Polarización lineal:

Consideremos dos ondas planas sinusoidales ortogonales, dadas por:

(3.4.3.1-1)

Y

(3.4.3.1-2)

Siendo la diferencia de fase relativa entre las dos ondas que viajan en la

dirección . El movimiento ondulatorio resultante es:

(3.4.3.1-3)

Si con , , las dos ondas están en fase y la onda resultante de acuerdo a (3.4.3.1-3) está dada por:

(3.4.3.1-4)

La cual tiene una amplitud fija dada por y corresponde a una

onda linealmente polarizada, como se muestra en la figura (3.4.3-1)

Si 2 , con , , las dos ondas

están 180 fuera de fase y la onda resultante de acuerdo a (3.4.3.1-3) está dada por:

(3.4.3.1-5)

Que corresponde a una onda polarizada linealmente con un plano de vibración rotado, como se ilustra en la figura (3.4.3-2)

Figura (3.4.3-1). La superposición de las ondas x y y dan la onda resultante polarizada

linealmente cuando 2

Figura (3.4.3-2). Cuando de superponen dos ondas x y y con diferencia de fase relativa

2 se obtiene una onda polarizada linealmente.

3.4.3.2 Polarización circular:

Este caso de polarización se representa cuando las amplitudes de las ondas

constituyentes son iguales, es decir y además, su

diferencia de fase relativa

, con , ,

POLARIZACION CIRCULAR DERECHA:

Esta clase de polarización corresponde a la diferencia relativa de fase

, por tanto:

(3.4.3.2-1)

Y

(3.4.3.2-2)

(3.4.3.2-3)

Por consiguiente la onda resultante está dada por:

(3.4.3.2-4)

En la que puede apreciarse que varía con el tiempo.

Consideremos la figura (3.4.3-3),

Figura (3.4.3-3). Rotación del vector eléctrico en una onda circular derecha. barre una hélice circular.

Para , está ubicado sobre el eje de referencia, y está dada por:

(3.4.3.2-5)

Un tiempo después

, está ubicado sobre el eje , es decir:

,

Luego el campo eléctrico resultante rota en la dirección de las manecillas del

reloj con una frecuencia visto por un observador hacia quien la onda dirige (mirando hacia la fuente), como se muestra en la figura (3.4.3-4)

Figura (3.4.3-4). Sentido de rotación del vector en una onda polarizada circularmente a derecha. La amplitud de la onda rota en sentido de las agujas del reloj trazando una hélice en el espacio.

POLARIZACION CIRCULAR IZQUIERDA:

Esta clase de polarización se presenta cuando la diferencia de fase relativa

, siendo , , por tanto de

(3.4.3.1-1) y (3.4.3.1-2) se sigue que:

(3.4.3.2-7)

(3.4.3.2-8)

(3.4.3.2-9)

Por tanto:

(3.4.3.2-10)

La amplitud no cambia, pero ahora rota en sentido contrario a las

manecillas del reloj (mirando hacia la fuente), como se muestra en la figura (3.1.3-5)

Figura (3.4.3-5). La magnitud de es y tiene una magnitud constante, pero ahora gira en sentido contrario al de las agujas del reloj.

POLARIZACION ELIPTICA:

Esta clase de polarización se obtiene para cualquier valor de . Según esto, la

polarización lineal y circular son casos particulares de la polarización elíptica.

De las ecuaciones (3.4.3.1-1) y (3.4.3.1-2) se sigue que:

(3.4.3.2-11)

(3.4.3.2-12)

La curva que describe el vector resultante se obtiene eliminando la

dependencia de la posición y del tiempo, es decir, la dependencia de

, de las ecuaciones (3.4.3.2-11) y (3.4.3.2-12), así:

De (3.4.3.2-12):

(3.4.3.2-13)

De (3.4.3.2-11):

(3.4.3.2-14)

Multiplicando (3.4.3.2-14) por :

(3.4.3.2-15)

Restando (3.4.3.2-15) de (3.4.3.2-13)

(3.4.3.2-16)

Pero:

(3.4.3.2-17)

(3.4.3.2-18)

(3.4.3.2-19)

Que corresponde a la ecuación de una elipse que forma un ángulo con el sistema de coordenadas ( , ) como se muestra en la figura (3.4.3-6).

Figura (3.4.3-6). Polarización elíptica.

Donde se puede determinar a partir de la ecuación:

(3.4.3.2-20)

Si en la ecuación (3.4.3.2-19), se sigue que:

0 (3.4.3.2-22)

(3.4.3.2-23)

Que corresponde a una línea recta de pendiente

Si la ecuación (3.4.3.2-19) se transforma en:

0 (3.4.3.2-24)

(3.4.3.2-25)

Que corresponde a una línea recta de pendiente -

Sabiendo que la luz se puede tratar como una onda electromagnética transversal, diremos que la luz lineal ó luz polarizada en un plano, está en un

estado , la luz circular derecha está en un estado , la luz circular izquierda

está en un estado y la luz polarizada elípticamente está en un estado .

El sentido general de rotación del vector de campo eléctrico podemos resumirlo del modo siguiente:

0

3.4.4 PERPENDICULARIDAD ENTRE CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO . Y LA DIRECCION DE PROPAGACION:

Consideremos una onda electromagnética plana viajando en la dirección , con

un campo eléctrico especificado por un vector que no es función del tiempo

ni de coordenadas espaciales. Tomemos específicamente:

(3.4.4-1)

(3.4.4-2)

Substituyendo en la ecuación (3.4.1-15) se sigue que:

2 = 0

(3.4.4-3)

Usando (3.4.4-1), el miembro de la izquierda de (3.4.4-2) puede escribirse mediante:

2 = 2

2 =

2 =

2 =

2 =

2 = (3.4.4-4)

Tomando el miembro de la derecha de (3.4.4-3) y reemplazando por la expresión dada en (3.4.4-1) se sigue:

0

= 0

0

= 0

0

= 0 (3.4.4-5)

Substituyendo (3.4.4-4) y (3.4.4-5) en (3.4.4-3) se obtiene:

0

(3.4.4-6)

Que expresa la magnitud del vector de propagación en función de la

frecuencia angular y de la velocidad de la luz

La ecuación (3.4.1) para el espacio libre se escribe mediante:

(3.4.4-7)

Insertando (3.4.4-1) en (3.4.4-7) se sigue que:

= 0

=

0

= 0

0

0

0 (3.4.1-8)

En forma análoga, de la ecuación:

0 (3.4.4-9)

Se obtiene que:

0 (3.4.4-10)

Luego de (3.4.4-8) y de (3.4.4-10) se concluye que es perpendicular a

y . Para establecer la relación entre y usamos las otras dos

ecuaciones da Maxwell, a saber:

(3.4.4-11)

0

(3.4.4-12)

Insertando (3.4.4-1) y (3.4.4-2) en (3.4.4-11) se sigue que:

(3.4.4-13)

(3.4.4-14)

+

+

+

+

Simplificando por , se obtiene:

(3.4.4-15)

Análogamente, insertando (3.4.4-1) y (3.4.4-2) en (3.4.4-12), se obtiene que:

(3.4.4-16)

De (3.4.4-15) se sigue que es perpendicular al plano formado por ,

pero como fue demostrado que es perpendicular a , entonces se

concluye que , y son mutuamente ortogonales (ö perpendiculares).

Por tanto, teniendo en cuenta que , de la ecuación (3.4.4-16) se sigue que:

(3.4.4-17)

(3.4.4-18)

Para el caso del espacio libre , entonces:

(3.4.4-19)

3.5 ENERGIA POR UNIDAD DE VOLUMEN, INTENSIDAD Y POTENCIA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS. La densidad de energía almacenada en el campo eléctrico es:

E =

julios/m3 (3.5-1)

Donde E2 = denota el cuadrado de la magnitud del vector de campo

eléctrico , siendo el valor instantáneo del campo eléctrico de una onda

electromagnética.

La densidad de energía almacenada en el campo magnético es:

M =

julios/m3 (3.5-2)

La DENSIDAD DE ENERGIA total ó energía por unidad de volumen es:

= E + M =

+

(3.5-3)

Teniendo en cuenta que B = E/c la densidad de energía magnética puede escribirse mediante:

M =

=

(3.5-4)

Pero:

(3.5-5)

Insertando (3.5.5) en (3.5.4) se sigue que:

M =

(3.5-6)

Por tanto la densidad de energía magnética M es igual a la densidad de

energía eléctrica E, así que (3.53) puede escribirse mediante:

= 2 E = 2

=

(3.5-7)

La INTENSIDAD de una onda electromagnética se define como la energía que pasa a través de la unidad de área en la unidad de tiempo y es igual a la densidad de energía multiplicada por la velocidad de la onda,

(3.5-8)

La intensidad media viene dada por:

(3.5-9)

Para el caso de una onda electromagnética armónica,

–

(3.5-10)

Reemplazando (3.5-10) en (3.5-9) se obtiene:

(3.5-11)

Teniendo en cuenta que la intensidad de una onda electromagnética está dada por:

(3.5-12)

La POTENCIA P puede determinarse mediante:

(3.5-13)

Siendo A el área a través de la cual pasa la energía de la onda electromagnética.

La POTENCIA P también puede ser obtenida a partir del vector de

Poynting el cual está dado por:

(3.5-14)

(3.5-15)

(3.5-16)

Es decir, el módulo del vector Poynting es igual a la intensidad (densidad de flujo radiante, irradiación ó potencia por unidad de área que cruza una

superficie en el vacío cuya normal es paralela a ) por lo tanto la POTENCIA

viene dada por el flujo del vector de Poynting a través de una superficie A, así:

P =

(3.5-17)

(3.5-18)

En la expresión (3.5-17), U es la ENERGIA instantánea total de la onda electromagnética.

Si consideramos un cubo elemental de volumen = , de dimensiones menores que la longitud de onda de la radiación, que contiene radiación

electromagnética que se propaga en la dirección de , la energía instantánea total en el volumen del cubo es:

U = UE + UM =

(3.5-19)

Teniendo en cuenta que la ecuación (3.5-19) se puede volver a

escribir como:

U =

( (3.5-20)

Por tanto, la densidad de energía del campo electromagnético es:

=

( (3.5-21)

3.6 VECTOR DE POYNTING.

El vector de Poynting llamado así en honor de su descubridor John Henry Poynting (1.852 – 1.914), se expresa en forma general mediante:

(3.6-1)

Teniendo en cuenta que

(3.6-1) se puede volver a escribir mediante:

( (3.6-2)

El módulo del vector de Poynting o vector flujo de energía electromagnética, es la energía transportada por la onda por unidad de tiempo y por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación. También podemos decir que la

magnitud es, igual a la intensidad, o sea, la potencia por unidad de área que

cruza una superficie cuya normal es paralela a

Para el caso de una onda plana armónica, polarizada linealmente, que viaja a

través del espacio libre en la dirección

(3.6-3)

(3.6-4)

(3.6-5)

La expresión (3.6-5) indica que es una función dependiente del tiempo que

oscila entre máximos y mínimos. El valor promedio de la magnitud del vector

de Poynting, simbolizado por corresponde al valor promedio de la intensidad y esta cantidad es conocida como irradiancia.

(3.6-6)

(3.6-7)

La rapidez de flujo de la energía radiante es la potencia o flujo radiante, generalmente expresada en vatios.

La densidad de flujo radiante, expresado en vatios/m2, corresponde al flujo radiante que incide o sale de una superficie, dividido por el área de la superficie.

Al vector de Poynting se le conoce como vector de flujo, densidad de

flujo de energía electromagnética, flujo de energía por unidad de área por unidad de tiempo ó simplemente flujo de energía.

La dirección de de acuerdo a (3.6-1), está dada por la regla de la mano

derecha, es independiente de las coordenadas escogidas y debe ser colineal

con el vector de propagación

La expresión (3.6-1) se deduce del principio de la conservación de la energía escrito en forma similar a la relación típica que expresa la conservación de la carga, pues, como cualquier otra magnitud que se conserva, la energía debe obedecer a una ecuación de continuidad.

Denotando por la densidad de flujo de energía (ó flujo de energía por unidad

de área por unidad de tiempo) que sale del cubo elemental de volumen y por la variación con el tiempo de la densidad de energía dentro del volumen, la ecuación de continuidad se expresa mediante:

(3.6-8)

En donde se ha tenido en cuenta el teorema de Gauss:

(3.6-9)

El miembro de la izquierda de (3.6-8) se obtiene derivando (3.5-21):

(3.6-10)

De la ley de Ampere:

(3.6-11)

De la ley de Faraday-Henry:

(3.6-13)

-

=

(3.6-14)

Substituyendo (3.6-12) y (3.6-14) en (3.6-10), se obtiene:

En donde se ha hecho uso de la identidad vectorial

- (3.6-16)

Que se demuestra haciendo A + B y utilizando la identidad del

producto mixto = , así:

= ( A + B ) .

= A . + B .

= ( A ) . - ( B ) .

= ( ) - ( )

Que luego comparando (3.6-8) con (3.6-15) se concluye que:

(3.6-17)

3. 7 MOMENTUM DE UNA ONDA ELECTROMAGNETICA: Una onda electromagnética transporta, además de su energía, un cierto momentum lineal, que puede determinarse haciendo la consideración de la

teoría cuántica que dice que la luz actúa como un grupo de partículas llamadas fotones cuya energía está relacionada con el momentum por:

W2 = p2 c2 + c2 (3.7-1)

Puesto que la masa en reposo del fotón es cero, se sigue que:

P =

(3.7-2)

En donde se muestra que el momentum p es igual a la energía W, dividida por la velocidad de la luz c. Esta expresión es válida para cada fotón individual y debe ser valida para la onda completa. Como la energía de cada fotón es w = h f , el momentum del fotón es:

P =

(3.7-3)

En forma vectorial es:

(3.7-4)

Donde es el vector de propagación y = , siendo la constante de Planck. El resultado simple dado por (3.7-2) puede ser obtenido de la teoría electromagnética clásica de la luz. Consideremos una lámina de material perfectamente absorbente, situada en el camino de una onda electromagnética plana polarizada linealmente, que se

propaga a lo largo del eje , como se muestra en la figura (7.3-1).

Figura (3.7-1). Lamina perfectamente absorbente situada en el origen de coordenadas, formando un ángulo recto con una onda electromagnética incidente. Una carga q de la lámina

experimenta una fuerza q debido a y adquiere una velocidad . La fuerza magnética q dirigida a lo largo de +z es la responsable de la presión de radiación.

Analicemos un electrón de esta lámina situado en Inicialmente el electrón se encuentra en reposo pero como la onda pasa cerca de él, sucede lo

siguiente: El vector de campo eléctrico de la onda pone al electrón en

movimiento y le imparte una velocidad . Puesto que la carga está ahora

moviéndose, el campo magnético puede ejercer una fuerza magnética m sobre este, de magnitud q dirigida a lo largo de la dirección positiva de

es decir en la dirección de la velocidad de propagación de la onda.

Esta fuerza es la que se tiene en cuenta para calcular la presión de radiación de la luz. La oscilación transversal que sufre el electrón, se considera despreciable. La ecuación diferencial de movimiento del electrón, situado en

formado por la onda a moverse está dado por:

Pero = q entonces:

En donde 2 es el coeficiente de amortiguamiento y es la frecuencia angular natural de las oscilaciones armónicas simples.

La solución de (3.7-6) está dada por:

(3.7-7)

Siendo:

Derivando (3.7-7) respecto del tiempo se obtiene:

La frecuencia magnética m sobre la carga q debida al campo magnético tiene de magnitud:

Fz = q (3.7-10)

Pero:

(3-7-11)

Substituyendo (3.7-9) y (3.7-11) en (3.7-10) se obtiene:

(3.7-12)

La máxima energía absorbida por el electrón se obtiene en la resonancia, es decir, cuando por consiguiente:

(3.7-13)

La rapidez con que la onda realiza trabajo sobre la carga q es igual a ,

donde la fuerza total que actúa sobre el electrón es = E + m, por tanto:

= q ( ) ) . (3.7-14)

Puesto que ) . = 0, se sigue que:

= q (3.7-15)

Por lo tanto:

Con la condición de resonancia se obtiene:

(3.7-17)

Comparando las ecuaciones (3.7-13) y (3.7-17) se sigue que:

Pero de la segunda ley de Newton la fuerza es igual a la rapidez de cambio del momentum p, entonces:

p =

Kg-m/s

Que se interpreta como el momentum transportado por la onda.

En algunos casos la transferencia de energía de la onda al cuerpo, es acompañada por una transferencia de momentum angular. Esto sucede

cuando la onda está polarizada circularmente o elípticamente. Si una lámina absorbente se sitúa en el camino de esta onda, adquirirá un momentum angular alrededor del eje paralelo a la dirección de propagación de la onda.

Consideremos una onda polarizada circularmente a derecha, propagándose a lo largo del eje positivo, dada por:

En el origen de coordenadas, donde se asume que está localizado el electrón, el vector de campo eléctrico tiene la forma:

Esta onda produce un desplazamiento del electrón dado por:

En donde e vienen dadas por las expresiones:

Teniendo en cuenta que = q y que para el caso de resonancia

, se sigue que:

Derivando con respecto del tiempo se obtiene la velocidad inducida por la onda dada en (3.7-22) así:

Para el caso de resonancia siendo el factor de fase dado por

tan =

, por tanto:

El torque ejercido por la fuerza eléctrica está dado por:

En la resonancia = 1, entonces:

La rapidez con la que la onda electromagnética polarizada circularmente a la derecha realiza trabajo sobre la carga q es:

Efectuando el producto escalar entre (3.7-22) y (3.7-28) se obtiene:

Teniendo en cuenta que se sigue que:

Comparando (3.7-33) y (3.7-37) se concluye que:

Siendo la magnitud del momento angular impartido por la onda

electromagnética; es el trabajo realizado por la onda electromagnética sobre la carga, y es la frecuencia de la onda electromagnética, f.

Por consiguiente, de la ecuación (3.7-40) se deduce que un fotón de una onda polarizada circularmente o elípticamente transporta un momentum angular igual a:

Obsérvese que en el cálculo del torque no se tuvo en cuenta la fuerza magnética, porque el torque producido por esta es despreciable para velocidades no relativistas, además su promedio sobre un ciclo es cero.

3. 8 RADIACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS: Las ecuaciones de Maxwell nos dicen cómo los campos eléctricos y magnético son generados por cargas en movimiento, es decir por corrientes. Heinrich Hertz logró generar y detectar las ondas de naturaleza electromagnética que predijo Maxwell. Hertz determinó claramente las propiedades ondulatorias de esta radiación y descubrió que las ondas de radiofrecuencia se comportan prácticamente igual que las de luz ordinaria. El circuito usado por Hertz consistía en una sola espira conductora, en la que había un estrecho espacio de descarga entre dos electrodos esféricos pequeños. El circuito funcionaba como un circuito LC ordinario, en el que la capacitancia es debida principalmente al espacio de descarga, y la inductancia es la de la espira. Hertz obtuvo una elevada

frecuencia angular de la corriente en el circuito, debido a los

valores pequeños de la capacitancia y de la inductancia.

La radiación de energía como ondas electromagnéticas se debe a las intensas aceleraciones que experimentan las cargas libres en la espira, por la rápida oscilación de la corriente. El campo eléctrico de una carga en reposo se puede representar como en la figura (3.8-1), por una distribución radial y uniforme de las líneas de campo.

Figura (3.8-1). Campo eléctrico de un electrón estacionario.

Para una carga que se mueve con velocidad constante , son aun radiales y rectas pero ya no están uniformemente distribuidas, como puede apreciarse en la figura (3.8-2). Una carga en movimiento uniforme no radía ninguna perturbación electromagnética.

Para un electrón que se acelera uniformemente hacia la derecha, las líneas de campo son curvadas, como puede observarse en la figura (3.8-3); los puntos 01, 02, 03 y 04 son posiciones del electrón para intervalos iguales de tiempo.

Figura (3.8-2). Campo eléctrico de un electrón que se mueve con velocidad constante .

Figura (3.8-3). Campo eléctrico de un electrón uniformemente acelerado.

Si consideramos una carga positiva en reposo en el punto 0, como se muestra

en la figura (3.8-4), que se mueve repentinamente al punto 0 , en donde se

detiene durante un tiempo , se propagará alejándose una perturbación eléctrica con la forma de una onda escalón.

Figura (3.8-4). Carga positiva que se desplaza repentinamente de 0 hasta 0 , y se detiene en

0 .

Cuando la onda pasa por cada punto, las líneas de campo se van

distorsionando y su densidad local varía, por tanto , dando por resultado una corriente de desplazamiento que origina una perturbación magnética asociada que conlleva a la obtención de una perturbación electromagnética que se propaga radialmente hacia afuera.

Si la partícula regresa inmediatamente de 0 a 0 se obtiene un pulso que se propaga hacia fuera como se ve en la figura (3.8-5)

Figura (3.8-5). Si la carga regresa inmediatamente de 0 hasta 0, se forma un pulso.

La construcción geométrica mostrada en la figura (3.8-5) ilustra el hecho de que la perturbación es un máximo en el plano perpendicular al desplazamiento de la carga y cero a lo largo de dicho desplazamiento.

3.8.1 ANTENA DE DIPOLO ELECTRICO OSCILANTE

La antena es un dispositivo cuya función es radiar energía e interceptarla. Una antena transmisora puede ser empleada para recepción y viceversa. Podemos decir también que la antena es un dispositivo de transición, o transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre o viceversa. Según esta definición la antena maneja electrones en los conductores y fotones en el espacio. El ojo es uno de estos dispositivos. Entre las distintas clases de antenas se encuentran las antenas de dipolo, de espira, de hélice, de reflector, de lente, de red, y de interferómetro. El dipolo corto es la forma básica y a el nos referimos seguidamente.

Si se conecta un potencial oscilante a una simple antena (dipolo corto) como la mostrada en la figura (3.8.1-1), impulsará carga de un extremo del hilo al otro. Cuando estas cargas oscilen harán que se propaguen ondas electromagnéticas hacia fuera en todas direcciones.

Figura (3.8-1-1). (a) Dipolo eléctrico oscilante ó antena de dipolo corto alimentada por línea

de transmisión de dos conductores, de momento máximo p0 = , y

(b) su equivalente.

La figura (3.8.1-2) muestra una configuración simplificada de la distribución del campo eléctrico en la región de un dipolo eléctrico, en donde se observa una carga positiva oscilando linealmente con movimiento armónico simple alrededor de una carga negativa estacionaria y de igual magnitud.

Figura (3.8-1-2). Secuencia de patrones de líneas de campo cuando el desplazamiento, y por consiguiente el momento dipolar, disminuye, llega a cero y finalmente cambia de dirección.

Si la frecuencia angular de oscilación es , el momento dipolar dependiente del tiempo p (t) tiene la forma escalar:

p = p0 cos ,

Donde p podría representar el momento colectivo de la distribución de carga oscilante en la escala atómica ó aún una corriente en una antena lineal de televisión.

El momento dipolar eléctrico es, en realidad, un vector dirigido de -q a +q. La figura (3.8.1-2) (a) muestra el dipolo en el instante en el que p = p0 = q0 , siendo la separación máxima entre las dos cargas. Cuando las cargas se superponen, la figura (3.8.1-2) (c), p = 0 y las líneas de campo se deben cerrar a sí mismas.

Una ilustración esquemática de la radiación de campos de un dipolo oscilante se puede apreciar en la figura (3.8.1-3)

Figura (3.8-1-3). Ilustración esquemática de la radiación de campos de un dipolo eléctrico oscilante. Las líneas sólidas representan el flujo eléctrico, mientras que las cruces y los círculos representan las líneas de flujo magnético entrante y saliente del papel respectivamente.

Obsérvese que las líneas de campo magnético forman cilindros cerrados alrededor del dipolo.

3.8.2 POTENCIALES RETARDADOS:

Si una corriente alterna está fluyendo en el elemento corto de la figura (3.8.2-1), el efecto de la corriente no se siente de manera instantánea en el punto p, sino sólo después de un intervalo de tiempo igual al requerido por la perturbación para propagarse hasta p, situado a la distancia r.

Figura (3.8-2-1). Elemento corto por el que fluye corriente.

A cambio de escribir la corriente I como:

I = I0 cos (3.8.2-1)

Que implica la propagación instantánea del efecto de la corriente, puede hacerse lo que hizo Lorentz, introducir el tiempo de propagación (o tiempo de retardo), y escribir:

[ I ] = I0 cos

(3.8.2-2)

Donde [ ] indica en forma explícita que se trata de una corriente retardada. En forma compleja la expresión (3.8.2-2) puede escribirse mediante:

[ I ] = I0 – ( A ) (3.8.2-3)

La densidad de corriente retardada en un punto puede escribirse:

– (3.8.2-4)

El potencial escalar V en el punto p debido a una distribución de carga puede escribirse en forma retardada mediante:

Donde = potencial escalar retardado,

= P0 – = densidad de carga retardada, Cm-3

Ó también:

Siendo en elemento de volumen.

Similarmente el potencial vectorial retardado puede escribirse mediante:

O también:

El cual se aplica a situaciones que cambian con el tiempo, en donde las distancias incluídas son significativas en términos de la longitud de onda.

Las ecuaciones (3.8.2-6) y (3.8.2-8) son soluciones de las ecuaciones diferenciales generales para los potenciales escalar y vectorial, dadas respectivamente por:

Para un dibujo oscilante como el mostrado en la figura (3.8.2-2), consistente en dos esferas metálicas cuyos centros están separados una distancia y unidos por un alambre conductor, se pueden calcular los potenciales en

Figura (3.8.2-2) Dipolo eléctrico oscilante, donde +q = q0 cos

El punto p determinado por las coordenadas esféricas r y , escogiendo r

mayor que y asumiendo que entre las dos esferas existe una corriente sinusoidal, que las está cargando y descargando. La carga sobre la esfera

superior puede escribirse como la parte real de + q = q0 y la carga

sobre la esfera inferior como la parte real de - q = - q0 La corriente es

por lo tanto la parte real de:

El potencial escalar en el punto p debido a las dos esferas pequeñas es:

–

–

Puesto que r , = r - cos , por tanto:

–

–

Factorizando:

–

Tomando el desarrollo en serie de potencias:

El término puede expresarse por los dos primeros términos de la serie de potencias (3.8.2-15), así:

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie de potencias del binomio de Newton:

El término -1 puede escribirse usando los dos primeros términos de la expansión binomial, como:

De (3.8.2-16) y (3.8.2-18) se sigue que:

Teniendo en cuenta que

se puede despreciar el último término de

(3.8.2-19), obteniendo de (3.8.2-14)

–

Simplificando, Factorizando y teniendo en cuenta que p0 = qo se sigue que:

–

En la determinación del potencial vectorial, la ecuación (3.8.2-8) se reduce a una integral sobre la longitud del alambre entre las dos esferas, puesto que la densidad de corriente es cero en las demás partes. La expresión:

(3.8.2-22)

Se convierte en :

Donde es el vector unitario paralelo al eje . El vector potencial está dado por:

Aunque en realidad r varía entre r y r1 puede tomarse como constante y sacarlo del signo de la integral, resultando expresión:

Pero:

–

Donde (3.8.2-26) se obtiene derivando:

–

Con respecto del tiempo.

Substituyendo (3.8.2-26) en (3.8.2-25) se obtiene:

–

ó:

–

Donde .

3.8.3 CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN DIPOLO:

El campo eléctrico de un dipolo oscilante puede calcularse directamente de los potenciales escalar y vectorial a partir de la relación:

El gradiente del potencial escalar en coordenadas esféricas es:

Como V no depende de ( = 0 entonces:

Calculando cada componente por separado se sigue que:

–

–

–

–

–

–

Simplificando:

–

Evaluando la segunda componente de (3.8.3-3) se sigue que:

–

–

Substituyendo (3.8.3-4) y (3.8.3-5) en (3.8.3-3) se obtiene:

–

–

Evaluando el segundo término de (3.8.3-1) se sigue que:

–

–

Teniendo en cuenta que = 1/ , se obtiene que:

–

Substituyendo (3.8.3-6) y (3.8.3-7) en (3.8.3-1) se sigue que:

–

Para condiciones estáticas , de (3.8.3-8) se obtiene:

que corresponde al dipolo eléctrico estacionario.

3.8.4 CAMPO MAGNETICO DEBIDO A UN DIPOLO:

El campo magnético de un dipolo oscilante puede calcularse directamente del potencial vectorial, usando la relación:

(3.8.4-1)

Pero en coordenadas curvilíneas el rotor de un vector es:

Rotor de = =

En donde los factores de escala para coordenadas esféricas están dados por:

Además, los vectores unitarios corresponden a los vectores respectivamente, Entonces:

–

–

–

–

–

–

3.8.5 VECTOR POYNTING PROMEDIO:

El vector de Poynting se obtiene a partir de la expresión:

Teniendo en cuenta que los términos de que dependen de (1/r2) se pueden despreciar para grandes distancias, tomaremos solamente las

partes reales de , dadas por (3.8.3-8) y (3.8.4-3), hasta términos de orden (1/r), así:

Y

Luego para grandes distancias, el vector de Poynting está dado por:

El vector de Poynting promediado en el tiempo es:

La ecuación (3.8.5-2) puede expresarse en términos de la corriente y de la

longitud de onda, teniendo en cuenta que la corriente efectiva se define mediante:

Siendo la amplitud de corriente o corriente máxima. Además p0 = ; y ( , donde es la longitud de la onda electromagnética. Por lo tanto:

3.8.6 POTENCIA TOTAL RADIADA POR UNA ANTENA DE DIPOLO:

La potencia radiada promedio puede encontrarse integrando sobre una gran esfera alrededor del dipolo:

En donde se ha tenido en cuenta que el diferencial de área en coordenadas esféricas es:

Luego,

Pero,

Substituyendo (3.8.6-3) en (3.8.6-2), se obtiene:

La expresión (3.8.6-4) corresponde a la potencia radiada del espacio, la cual debe ser suministrada al dipolo por alguna fuente de potencia si se desean mantener las oscilaciones de corriente.

Adicionalmente a esta pérdida por radiación, la pérdida de potencia por

calentamiento de los conductores está dada por: donde debe ser mayor que la resistencia de corriente directa p /A, porque existe la tendencia para corrientes de alta frecuencia de concentrarse en la superficie o “piel” del alambre. La pérdida total de potencia en el dipolo está dado por:

3. 9 PRESIÓN DE RADIACIÓN: La presión de radiación p se define como la fuerza por unidad de área ó equivalentemente como la velocidad promedio de transferencia de momentum por unidad de área. Para el caso de incidencia normal, es decir, cuando una onda electromagnética plana incide perpendicularmente sobre una superficie perfectamente absorbente (figura 3.9-1), la presión de radiación está dada por:

Figura (3.9-1). Presión de radiación para incidencia normal.

Pero de acuerdo a (3.7-18)

En donde es la energía de la onda electromagnética. Puesto que la fuerza es igual a la rapidez de cambio del momentum p de la carga, la ecuación (3.9-2) puede escribirse como:

Que se interpreta como el momentum transportado por la onda. Como la densidad de energía es una cantidad más apropiada para asociar a una onda, dividimos ambos miembros de (3.9-4) por el volumen, así:

Pero , es la densidad de energía , entonces denotando por la densidad de momentum asociado con la onda se obtiene:

Puesto que está dirigido en dirección del vector de propagación de la onda

, de la relación entre el vector de Poynting y la densidad de energía = c,

el momentum por unidad de volumen puede escribirse como un vector:

En el análisis anterior hemos asumido que la onda es perfectamente absorbida cuando interactúa con los electrones de la lámina absorbente. En caso de reflexión, no podemos despreciar el momentum transportado por la onda reflejada. En tal caso, el momentum transferido a la lámina está dado por:

En donde y son energías de la onda absorbida y reflejada, respectivamente. De (3.9-8) nos damos cuenta que para un espejo perfecto ó superficie totalmente reflectora, el momentum transferido es dos veces la energía de la

onda dividida por la velocidad de la luz Determinemos ahora la presión, es decir, la fuerza por unidad de área ejercida por la onda incidente sobre una lámina totalmente absorbente. Tomemos una sección cilíndrica de onda de sección transversal A y longitud

como lo muestra la figura (3.9-1). La cantidad de momentum A contenido en el cilindro debe pasar a través de su superficie frontal (donde está

localizada la lámina absorbente) en un tiempo segundos. Por consiguiente la presión que iguala al cambio de momentum por unidad de área por segundo es , y está dada por:

Teniendo en cuenta que = , la expresión (3.9-10) puede escribirse

mediante:

Por consiguiente, la presión de radiación sobre un absorbente perfecto es igual ala densidad de energía. Si la superficie es perfectamente reflectora, la radiación reflejada tiene un momentum de módulo igual al de la incidente pero en dirección opuesta. Por lo

tanto la variación del momentum por unidad de volumen es , y la presión de radiación sobre la superficie totalmente reflectora es:

Para el caso de incidencia oblicua (figura 3.9-2) sobre una superficie totalmente

reflectora, el cambio de momentum por unidad de volumen es , y para este caso la presión de radiación es:

Figura (3.9-2). Presión de radiación para incidencia oblicua.

Cuando la radiación se propaga en todas las direcciones, se debe integrar sobre todas las orientaciones, obteniendo como resultado:

Si la lámina es totalmente absorbente, la variación del momentum normal a la superficie se reduce a la mitad del valor obtenido anteriormente, resultando:

La presión ejercida por la luz fue medida por primera vez por el experimentador ruso Pyotr Nikolaievich Lebedev en 1.901 e independientemente por los americanos Edward Leamington Nichols y Gordon Ferrie Hull, quienes

utilizaron una balanza de torsión en la que estaba montado el espejo, sobre el cual se reflejaba un haz muy brillante de luz.

La presión de radiación solar es despreciable en el caso de cuerpos grandes como los planetas, pero es muy importante cuando actúa sobre cuerpos pequeños. Sir William Crookes inventó el radiómetro, que es un instrumento que sirve para determinar la intensidad de la energía radiante, compuesto por cuatro paletas, plateadas por una cara y negras por la otra, montadas sobre un eje, alrededor del cual pueden girar (Figura 3.9-3), el cual permite comprobar las fórmulas de la presión de radiación y de la cantidad de movimiento.

3. 10 REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN DIELECTRICOS TRANSPARENTES: La reflexión y refracción de las ondas electromagnéticas en una superficie plana que separa dos medios de propiedades dieléctricas distintas, presenta diferentes propiedades que se dividen en cinemáticas y dinámicas. Propiedades cinemáticas:

- El ángulo de reflexión es igual al de incidencia.

- Ley de Snell:

, donde y son,

Respectivamente, los ángulos de incidencia y refracción; y son los

índices absolutos de refracción del medio de incidencia y del medio de refracción. Propiedades dinámicas:

- Intensidades de las radiaciones reflejada y refractada. - Cambios de fase y de polarización

Las propiedades cinemáticas son consecuencia de la naturaleza ondulatoria del fenómeno, mientras que las propiedades dinámicas dependen de la naturaleza específica de los campos electromagnéticos y de sus condiciones de contorno. En resumen las tres leyes básicas de la reflexión y la refracción son:

1. Los rayos incidente, reflejado y refractado están todos en el plano de incidencia.

2. . 3.

Cuando incide un rayo luminoso en la superficie de separación entre dos medios dieléctricos, parte de la energía incidente es reflejada y el resto es transmitida (refractada) al segundo medio. Las regiones a cada lado de la

superficie límite están caracterizadas por los índices de refracción y como se ilustra en la figura (3.10-1). Consideremos una onda plana de luz

monocromática de frecuencia y vector de onda que incide procedente del

medio caracterizado por las constantes dieléctricas dada por:

o simplemente:

(3.10.1)

Donde se supone constante en el tiempo.

Figura (3.10.1). Ondas planas incidentes en la superficie límite entre dos medios dieléctricos.

Las ondas reflejada y transmitida se pueden escribir mediante:

ONDA REFLEJADA:

(3.10.2)

ONDA TRANSMITIDA:

(3.10.3)

Siendo y las constantes de fase con respecto a , que se introducen

debido a que la posición del origen no es única.

Las condiciones de frontera para los vectores eléctricos y magnéticos pueden escribirse como:

Las componentes normales de y son continuas, y las componentes

tangenciales de y son continuas, en una superficie que no contenga carga

ni corriente.

Teniendo en cuenta que el vector es normal a la interfase, la ecuación que expresa la condición de continuidad de la componente tangencial de la intensidad del campo eléctrico, válida para cualquier instante de tiempo y en todo punto de la interfase , puede escribirse mediante:

ó

Como , y deben tener la misma dependencia funcional de las variables , se sigue que:

Con esta expresión se anulan los cosenos de (3.10-4), obteniéndose la siguiente relación:

De donde se sigue que:

Además los coeficientes de en (3.10-5) deben ser iguales, entonces:

Que indican claramente que la frecuencia de la onda incidente es igual a la frecuencia de la onda reflejada e igual a la frecuencia de la onda transmitida.

Teniendo en cuenta (3.10-8), la ecuación (3.10-5) se reduce a:

De los dos primeros términos de (3.10-9) se obtiene que:

(3.10-10)

Que al ser comparada con la ecuación de un plano perpendicular a ,

= constante (3.10-11)

Nos indica claramente que barre un plano (la interfase) siendo

es un vector perpendicular al plano. Podemos decir entonces que es

paralelo a por tanto:

(3.10-12)

(3.10-13)

Pero como las ondas incidente y reflejada están en el mismo medio por consiguiente de (3.10-13) se obtiene la ley de reflexión:

(3.10-14)

Además los tres vectores se encuentran en el mismo plano.

Del primero y tercer término de (3.10-9) se sigue que:

(3.10-15)

(3.10-16)

Como las componentes tangenciales de deben ser iguales:

(3.10-17)

Teniendo en cuenta que el índice absoluto de refracción se escribe mediante:

Entonces:

Luego multiplicando (3.10-17) por sin olvidar que se obtiene:

Donde (3.10-19) es conocida como Ley de Snell.

Deduccion de las ecuaciones de Fresnel:

Caso 1. perpendicular al plano de incidencia y paralelo al plano de incidencia (Figura 3.10-2)

Figura (3.10.2). Onda incidente cuyo campo es perpendicular al plano de incidencia.

Para este caso se cumple que:

Y además:

Es decir y el vector de propagación forman un sistema derecho.

La relación entre las amplitudes de las ondas monocromáticas

planas , correspondientes a las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente, se obtiene de la condición de

continuidad del campo eléctrico en la frontera o superficie de separación (interfase) entre dos medios dieléctricos e isotrópicos. Esta condición para cualquier punto de la interfase y para cualquier tiempo es:

La condición de continuidad de la componente tangencial de requiere que:

Donde los miembros de la izquierda y la derecha, son las magnitudes totales

de paralelas a la interfase en los medios incidente y transmitido.

La dirección positiva es aquella en la que aumenta , por tanto las

componentes de son negativas.

De acuerdo a la ecuación (3.10-20)

Como = y la ecuación (3.10-23) se puede volver a

escribir de la siguiente manera:

Insertando (3.10-1), (3.10-2) y (3.10-3) en (3.10-27) y teniendo en cuenta que los cosenos que aparecen son iguales a 1 en multiplicando por y

recordando que se obtiene:

Multiplicando (3.10-22) por

se obtiene:

Restando (3.10-29) de (3.10-28) se sigue que:

Factorizando y se obtiene:

Multiplicando (3.10-22) por

se obtiene:

Sumando (3.10-28) y (3.10-32) se sigue que:

El subíndice ⊥, usado en (3.10-33) sirve para recordar que se trata del caso en

el que es perpendicular al plano de incidencia.

Las ecuaciones (3.10-31) y (3.10-33) se aplican a cualquier medio homogéneo, isotrópico y lineal, y son dos de las llamadas ecuaciones de Fresnel.

Para el caso en el que las ecuaciones (3.10-31) y (3.10-33) toman la forma:

Caso 2. Paralelo al plano de incidencia y perpendicular al plano de incidencia (figura 3.10-3)

La continuidad de los componentes tangenciales del campo en ambos lados de la frontera conduce a:

(3.10-36)

La continuidad de las componentes tangenciales de en la interfase a:

Figura (3.10.3). Onda incidente cuyo campo es paralelo al plano de incidencia.

Haciendo uso de (3.10-24), (3.10-25) y (3.10-26) se obtiene:

Insertando (3.10-1), (3.10-2) y (3.10-3) y recordando que los cosenos que apaarecen ahí son iguales a uno en se obtien que:

Teniendo en cuenta que la ecuación (3.10-39) se puede volver a escribir como:

Multiplicando por y recordando que se sigue que:

Multiplicando (3.10-36) por y recordendo que se obtiene:

Multiplicando (3.10-41) por se obtiene:

Sustrayendo (3.10-41) de (3.10-43) se sigue que:

Multiplicando (3.10-36) por y recordendo que se obtiene:

Multiplicando (3.10-41) por se obtiene:

Sumando (3.10-45) y (3.10-46) se sigue que:

El subíndice usado en (3.10-44) y (3.10-48), sirve para recordar que se trata

del caso en el que es paralelo al plano de incidencia. Las ecuaciones denominadas Ecuaciones de Fresnel.

Si se trata de dieléctricos para los cuales los coeficientes de amplitud vienen dados por:

Para incidencia normal, se obtiene:

Usando la ley de Snell, las ecuaciones de Fresnel dadas por (3.10-34), (3.10-35), (3.10-49) y (3.10-50), pueden escribirse en forma simplificada mediante:

Para obtener (3.10-53) de (3.10-34) se procede así:

Pero de la ley de Snell: = , entonces substituyendo en (3.10-57) se sigue que:

Para obtener (3.10-54) de (3.10-35) se procede así:

De la segunda Ley de Snell: por tanto, reemplazando este valor en (3.10-61), se obtiene:

En forma análoga se obtienen (3.10-55) y (3.10-56).

Las direcciones de los campos en las figuras (3.10-2) y (3.10-3) fueron seleccionados muy arbitrariamente. El signo menos que aparece en la

ecuación (3.10-53) significa que no se escogió correctamente la dirección de en la figura (3.10-2). Por tal motivo, para evitar confusión, las ecuaciones de Fresnel deben estar relacionadas con las direcciones específicas de los campos de las que fueron diducidas.

Demostración de las leyes de la reflexión y la refracción:

Refiriéndonos a la figura (3.10-4), consideramos las siguientes superficies de

onda: en la onda incidente; en la onda refractada; y ´ en la onda reflejada.

Figura (3.10.4). Ondas incidente, reflejada y transmitida, cuya geometría permite demostrar

las leyes de reflexión y de la refracción.

Sea el tiempo que tarda la onda incidente en propagarse de a ´ a lo largo del rayo R2. En el mismo tiempo la onda reflejada se mueve de a a lo largo del rayo R1´´ y en el mismo tiempo la onda refractada se desplaza de a a lo largo del rayo R1´. Por lo tanto:

De la geometría de la figura se deduce:

De las relaciones primera y segunda concluimos que:

que indica que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Dividiendo la primera relación por la tercera, se sigue que:

Que corresponde a la Ley de Snell.

Este fenómeno se presenta cuando toda la energía incidente se refleja al medio incidente. La reflexión total interna se aplica en las fibras ópticas que conducen la luz después de sucesivas reflexiones en su superficie. A través de estas fibras se puede transmitir la imagen de un objeto a lo largo de una trayectoria curvada, como ocurre con los endoscopios, utilizados para explorar el interior del cuerpo humano.

También podemos decir que cuando toda la luz que incide sobre una superficie

que separa un medio de otro de menor índice de refracción (por ejemplo, del agua al aire) es reflejada y devuelta al agua, se produce el fenómeno de reflexión total.

La condición para la reflexión total es:

Que sólo se puede satisfacer si .

El ángulo más pequeño, ó crítico, para que exista reflexión ocurre cuando:

La figura (3.10-5) ilustra el ángulo crítico de reflexión total interna.

Figura (3.10.5). Angulo crítico para que exista reflexión.

En la superficie de separación agua-aire, el ángulo crítico, sabiendo que el índice de refracción del agua es 1,33, se obtiene:

Téngase en cuenta que en la mayoría de los casos se ha tratado con la

reflexión externa La situación opuesta se conoce como reflexión interna. Cuando , la ley de Snell exige que .

3.11 PROBLEMAS:

1. (5.51 E H) Describir las características principales del estado de polarización de la onda:

SOLUCIÓN:

El desfasaje es cero, por tanto el estado de polarización es lineal.

La amplitud de la onda resultante se encuentra haciendo uso del teorema de Pitágoras, así:

El ángulo del plano de polarización se determina a partir de:

Es decir el plano de polarización forma un ángulo de 60 con el plano

2. (19.9 F) La radiación electromagnética del sol cae sobre la superficie terrestre a razón de 1.4 x 103 W m-2. Suponiendo que esta relación puede considerarse como una onda plana, estimar el módulo de las amplitudes de los campos eléctricos y magnéticos de la onda.

SOLUCION:

La expresión correspondiente a la intensidad promedio de una onda electromagnética es:

Despejando se obtiene:

Reemplazando numéricamente:

Haciendo operaciones:

Usando la expresión:

Se obtiene el valor numérico de la amplitud de campo magnético

Por tanto:

3. (19.11 F) Un transmisor de radar emite su energía dentro de un cono que abarca un ángulo sólido de 10-2 sterad. El campo eléctrico tiene una amplitud de 10 v m-1 a una distancia de 103 m. Encontrar la amplitud del campo magnético y la potencia del transmisor.

SOLUCIÓN:

La amplitud del campo magnético está dada por la expresión:

Por tanto:

La potencia promedio se obtiene a partir de la expresión:

Pero el área se obtiene de la expresión para un ángulo sólido:

Despejando y reemplazando numéricamente, se sigue que:

Sustituyendo los valores de y de A, se obtiene:

(0.0013 x ) (


4. (19.13 F) Las ondas de radio recibidas en un radio receptor tienen un campo eléctrico de amplitud máxima igual a 10-1 V m-1. Suponiendo que la onda se puede considerar plana, calcular:

a) La amplitud del campo magnético.

b) La intensidad media de la onda.

c) La densidad media de la energía.

d) Suponiendo que el receptor está a un kilómetro de la radio emisora y que ésta irradia energía en forma isótropa, determinar la potencia de la estación.

SOLUCION:

a) A partir de la expresión:

Se sigue que:

Efectuando operaciones:

b) La expresión correspondiente a la intensidad promedio de una onda electromagnética es:



c) La densidad de energía promedio está dada por la expresión:


Por tanto:

Julios/m3

d) La potencia promedio se obtiene a partir de:

Teniendo en cuenta el área de la esfera:

Se obtiene:

(


163,28 vatios

5. (2.26 E H) Dada una onda electromagnética plana en el vacío cuyo campo

se denota por:

;

;

Hallar la expresión para el campo . ¿Cuáles son la longitud de onda, velocidad y dirección del movimiento de la perturbación?

SOLUCION:

De la ecuación de Maxwell:

Se sigue que:

Derivando el dado, respecto a , se tiene:

Igualando las componentes escalares:

–

Teniendo en cuenta que si tiene solamente una componente en y se

propaga en sentido del eje entonces debe ser perpendicular a y

desplazarse en sentido del eje , es decir, no tendrá componente en y por tanto:

Por tanto:

Separando variables:

Integrando se obtiene:

Luego:

Simplificando:


6. (2.27 E H) La figura anexa describe el campo eléctrico (en la dirección ) de

una onda electromagnética plana que se propaga en la dirección positiva de

en el vacío. Determinar el campo correspondiente.

SOLUCION:

La ecuación general de una onda de campo eléctrico que se mueve en dirección positiva de es:

Del gráfico se ve que:

Por tanto, teniendo en cuenta que:

Se tiene:

Usando la ecuación de Maxwell:

Se sigue que:

Como el campo eléctrico está en dirección de entonces el campo magnético

se encontrará en la dirección de , así que la expresión anterior se reduce a:

Pero:

Puesto que el campo no tiene componente en sino en , entonces:

Por tanto

Derivando:

Integrando respecto del tiempo , se obtiene:

Evaluando la integral:


Además:

7. (02.29 E H) Considere una onda luminosa armónica plana de longitud de onda 500nm que se propaga en el vacío en la dirección positiva del eje . Si el

campo se confina en el plano y la densidad del flujo radiante es 1,197

w/m2 determinar el campo .

SOLUCION:

La expresión general para la onda de campo eléctrico que se propaga en la

dirección positiva del eje es:

El vector de Poynting está dado por la siguiente expresión:

Por tanto, el valor promedio de su magnitud está dado por:

(Nota: Producto vectorial).

Teniendo en cuenta que:

Y,

Se sigue que:

Despejando :



Además, el número de onda está dado por:

Reemplazando los valores de las cantidades halladas se obtiene:

8. (2.34 E H) Un haz luminoso colinado de densidad de flujo 10 vatios/cm2 incide normalmente sobre una superficie perfectamente absorbente de área 1 cm2. Si esto ocurre durante 1.000 seg. ¿Cuánta energía se imparte a la superficie?

SOLUCION:

La densidad de flujo está dada por:

La definición de intensidad es:

Despejando el valor promedio de la energía, se obtiene:



J.

9. (2.35 E H) Un haz laser de CO2 enfocado que emite una onda continúa de 3

Kw ( 0= 10.600 m) es capaz de perforar un hueco de una lámina de acero inoxidable de un cuarto de pulgada de cerca de 10 seg. Determinar la irradiancia cuando tal haz se enfoca sobre una pequeña porción de área de 10-5 cm2. ¿Cuál es la amplitud del campo eléctrico?

SOLUCION:

De acuerdo a la definición de intensidad promedio:


Además:

Despejando :



10. (2.40 E H) La densidad de flujo electromagnético que incide normalmente sobre una superficie justamente afuera de la atmósfera terrestre es alrededor de 2 cal cm-2 min-1. Suponiendo reflexión perfecta, determinar la presión de radiación correspondiente al sol. (1 J = 0,239 cal)

SOLUCION:

La presión de radiación promedio está dada por:

rad = 2 (1)

La densidad de flujo se expresa en función de la densidad de energía mediante:

(2)

Por tanto, reemplazando la ecuación (2) en la ecuación:

rad


rad

Haciendo la conversión de unidades correspondiente, se sigue que:


11. (2.42 E H) Una linterna emite 1 mW de luz colimada. ¿Cuál es el empuje promedio que ejerce la linterna?

SOLUCION

La fuerza está dada de acuerdo a la segunda ley de Newton, por:

La presión de radiación está dada por:

Por tanto:

La densidad de flujo promedio está dado por:

Por tanto:

Luego:

Simplificando:



12. (2.46 E H) Considérese las energías radiantes de longitudes de onda

m (rayos ) (luz verde) y (micro-ondas). ¿Cuántos fotones de cada una se necesitarán para que transporten una

energía de 1 ergio? (1J = ergios).

SOLUCION:

La energía de N fotones está dada por:

Despejando el número de fotones , se sigue que:

Para los rayos:


Para la luz verde:


Para las microondas:


13. (2.27 E H) Comparar la energía de un fotón de microondas de 10cm. A la de un haz laser He – Ne (

SOLUCION:

La energía del fotón de microondas está dada por:



La energía del fotón de haz laser He – Ne, está dada por:



La razón de las dos energías es:


14. (3.1 F G) Determinar las expresiones para los coeficientes de amplitud de

reflexión r║ y de amplitud de transmisión t║ en función solamente de i y t.

SOLUCION:

Sabemos que:

r║ =

Pero de la ley de Snell:

entonces:

Reemplazando (2) en (1) se obtiene:

Haciendo común denominador y simplificando por se sigue que:

Teniendo en cuenta las siguientes identidades:

(

Y

(

El coeficiente de amplitud de reflexión se puede escribir mediante:

El coeficiente de amplitud de transmisión está dado por:

Usando la ley de Snell: se obtiene:

Pero: sen cos sen ( cos ( entonces:

15. (24.33 M) El índice de refracción de un bloque rectangular de material

transparente es . Un rayo de luz incide sobre la parte superior, formando un

ángulo y emerge por un lado formando un ángulo , como se muestra en el siguiente diagrama. (a) Demuestre que:

(b) Si el índice de refracción del bloque es 1,50, ¿se puede transmitir el rayo de luz como se ilustra?

(c) ¿Para qué el índice el rayo emergente será paralelo al lado si el ángulo de incidencia es de 30 ?

SOLUCION:

a) Aplicando la ley de Snell a la parte superior , se obtiene:

Aplicando la ley de Snell al lado, se obtiene:

Pero de (1):

Reemplazando (4) en (3):

b) De (5):

Para se obtiene:

Que no es cierto, por cuanto el máximo valor de la suma de los cuadrados del seno de dos ángulos es 2. Por tanto, no es posible transmitir el rayo de luz

como se ilustra en la figura

c) De (5):

16. (24.37 M) Las fibras ópticas de un “tubo de luz” son filamentos de vidrio cilíndricos, paralelos y delgados, incrustados en una matriz de plástico de menor refractividad. Si el índice de refracción de esas fibras es halle una

expresión para el máximo ángulo al que pueda entrar la luz a la fibra y recorrer toda su longitud sin que se transmita al plástico. El caso está ilustrado en el diagrama siguiente:

SOLUCION

17. (23.31 M) Los tableros solares de un satélite artificial absorben totalmente la luz solar. La intensidad de la luz es de 100 w/m2 y el área total de los paneles es de 16 m2. (a) Calcule la cantidad de movimiento total que se entrega a los tableros en un período de 24 horas. (b) Determine se la cantidad de movimiento o ímpetu entregado aumenta o disminuye, si los tableros reflejaran parcialmente la luz.

SOLUCION:

a)

0,4608 kg-m/s

b) La cantidad de movimiento entregada a los tableros solares si estos reflejan parcialmente la luz, está dada por:

Siendo la energía absorbida y la energía reflejada. En este caso la energía absorbida es una fracción f de la energía para el caso de l absorción

total, es decir . Además por el principio de conservación de la energía, la energía reflejada es entonces:

Por tanto la cantidad de movimiento entregada aumentará.

18. (3.2 F G) Determinar las expresiones para la reflectancia R y para la transmisión T, sabiendo que la reflectancia se define como la razón del flujo (o potencia) reflejado al incidente y que la transmitancia se define como la razón del flujo transmitido al incidente.

Demuestre además que R + T = 1.

SOLUCION

Reflexión y transmisión de un haz incidente.

De acuerdo a las definiciones dadas:

Pero en el vacío: = =

Entonces:

En donde se ha tenido en cuenta que y de la misma forma (suponiendo i = t = o)

Teniendo en cuenta que la energía total que llega al área por unidad de tiempo debe ser igual a la energía por unidad de tiempo que fluye de ella se sigue que:

Con lo cual queda demostrado.

19. (4.21 R) Sobre un espejo y formando un ángulo con la normal al plano

del mismo está incidiendo luz de intensidad S. (a) ¿Cuál es la presión de la

luz sobre el espejo? (b) ¿Cuál es la presión si el espejo absorbe una

fracción a de la energía luminosa incidente?

SOLUCION:

a)

b)

ÍNDICE ANALÍTICO

ÍANTENA DE DIPOLO ELECTRICO OSCILANTE .............................................................................. 72 CALCULO DE LA IMPEDANCIA CARACTERISTICA DE UNA LINEA COAXIAL .................................. 20 CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES ......................................................................................... 10 Coeficiente de reflexión de corriente ......................................................................................... 26 Coeficiente de transmisión de corriente .................................................................................... 27 Coeficiente de transmisión de voltaje ........................................................................................ 26 COEFICIENTES DE REFLEXION Y TRANSMISION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN

PUNTOS DE DISCONTINUIDAD ................................................................................................ 25 Deduccion de las ecuaciones de Fresnel ..................................................................................... 96 Demostración de las leyes de la reflexión y la refracción ......................................................... 105 ECUACION DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE ................................................................ 13 ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO ELECTROMAGNETICO EN EL ESPACIO LIBRE ..... 35 ecuaciones de Fresnel ............................................................................................................... 100 ECUACIONES DE MAXWELL ......................................................................................................... 34

ENERGIA POR UNIDAD DE VOLUMEN, INTENSIDAD Y POTENCIA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS. ........................................................................................................... 56

Extremo cortocircuitado ............................................................................................................. 30 EXTREMO LIBRE Y EXTREMO CORTOCIRCUITADO ...................................................................... 27 IMPEDANCIA CARACTERISTICA ................................................................................................... 17 INTRODUCCION ............................................................................................................................. 8 Línea sin pérdidas ........................................................................................................................ 14 MOMENTUM DE UNA ONDA ELECTROMAGNETICA ................................................................... 62 ONDA VIAJERA SINUSOIDAL PLANA ............................................................................................ 40 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS ...................................................................................... 37 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS VIAJERAS EN LINEAS DE . TRANSPORTE Y

CABLES COAXIALES .................................................................................................................. 10 PERPENDICULARIDAD ENTRE CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO Y LA DIRECCION DE

PROPAGACION ........................................................................................................................ 52 Polarización circular .................................................................................................................... 46 POLARIZACION CIRCULAR DERECHA ........................................................................................... 46 POLARIZACION CIRCULAR IZQUIERDA: ....................................................................................... 48 POLARIZACION DE ONDASELECTROMAGNÉTICAS ...................................................................... 43 POLARIZACION ELIPTICA ....................................................................................................... 44, 49 Polarización lineal ....................................................................................................................... 44 POTENCIA TOTAL RADIADA POR UNA ANTENA DE DIPOLO ....................................................... 86 POTENCIA TRANSMITIDA ............................................................................................................ 23 POTENCIALES RETARDADOS ....................................................................................................... 75 PRESIÓN DE RADIACIÓN .............................................................................................................. 87 PROBLEMAS .............................................................................................................................. 107 RADIACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS ......................................................................... 68

REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN DIELECTRICOS TRANSPARENTES ..................................................................................................................... 91

128

VECTOR DE POYNTING. ............................................................................................................... 59

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Ondas Electromagneticas