Ondas Electromagnéticas

Ondas ElectromagnticasBloque II. Lneas de Transmisin

David Caete RebenaqueFernando D. Quesada Pereira1

1Grados en Ingeniera Telemtica y en Sistemas de TelecomunicacinDepartamento de Tecnologas de la Informacin y las Comunicaciones

Universidad Politcnica de Cartagena

21 de octubre de 2013

Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnticas 21 de octubre de 2013 1 / 44

ndice de Contenidos1 Introduccin2 Modelo circuital

Condiciones de ContornoCoeficientes de reflexin y de transmisin

3 Longitud necesaria para dar una vuelta completa a la fasePotencia media o activa en la lneaTensin y corriente en una lnea cortorcircuitadaOnda Estacionaria

4 Onda estacionaria producida por una impedancia genrica5 Lnea de transmisin con prdidas

IntroduccinPotencia en lneas con prdidas

6 Lnea de transmisin con generador y cargaImpedancias de entrada de lneas de transmisin tiles

7 Carta de SmithEjemplo prctico de lnea de transmisinOtros conceptos importantesEjemplo de utilizacin de la carta de Smith con elementos concentrados


Introduccin a las lneas de transmisinLnea de transmisin

Caso ms simple que podemos tratar decampos con variacin temporal es del lalnea de transmisin ideal.Suponemos que el campo elctrico y elmagntico tienen una sola componente.Se desprecia cualquier variacin con lascoordenadas transversales.Suponemos que la nica variacin queexiste es con la coordenada longitudinal Zhacia donde se dirige la lnea.

ez

Figura: Esquema de una lnea de transmisin.Se desprecian las variaciones del campo en lasdirecciones del plano transversal (lnea punteada).

Potencial escalar elctricoSe desprecia la foma concreta de la lnea (coaxial,bifilar) y suponemos que no existen variacionescon respecto a estas coordenadas.

~E = Ex ex~H = Hy ey

Adems suponemos que estamos en una versinsin fuentes, es decir lejos existen las fuentes quegeneran los campos, pero en la regin donde estoyno hay fuentes. Las ecuaciones de Maxwell en eldominio de la frecuencia quedan como:

~E = j~H ~H = j~E

Se considera que x = 0 y

y = 0. Al final del cur-

so se considerar el caso de la forma concreta dela lnea, es decir las variaciones respecto al planotransversal.


Introduccin a las lneas de transmisin. Modelocircuital

Introduccin Lneas deTransmisinEn coordenadas cartesianas losrotacionales se calculan fcilmente:

~E =

ex ey ez0 0

z

Ex 0 0

= +eyExz

eyExz

= jHy eydExdz = jHy

Modelo circuital Desaparece el caracter vectorial del

problema, tenemos un problema es-calar.

Las lneas de campo elctrico defi-nen un voltaje entre los dos conduc-tores de la lnea.

A Ex se le llama onda de voltajeV (z).

El campo magntico produce unacorriente en cada conductor de lalnea. El campo magntico rodea alos conductores.

El campo magntico se modela poruna onda de corriente Hy I(z).


Modelo circuital de lneas de transmisin

~E

Figura: Lneas de campo elctrico enla lnea de transmisin. Estas lneasse generan debido a la diferencia depotencial entre los dos conductores.

~H

I

IFigura: Lneas de campo magnticoen una lnea de transmisin. Elcampo magntico se genera debidoa la circulacin de corriente en cadaconductor de la lnea.


Modelo circuital de la lnea de transmisin

Modelo CircuitalEl problema es escalar y puede escribirsecomo:

dV (z)dz = jI(z) D. frecuencia

Haciendo lo mismo para la ecuacin derotacional:

~H =

ex ey ez0 0

z

0 Hy 0

= exHyz

ex Hyz

= jEx exdHydz = jEx

Modelo CircuitalEscribiendo la ecuacin en trminos delas variables de la lnea de transmisintenemos:

dI(z)dz = jV (z) D. frecuencia

Tenemos que encontrar las ondas detensin y corriente. Derivando:

d2V (z)dz2 = j

dI(z)dz

Sustituyendo se llega a:

d2Vdz2 = j(j)V (z) =

2V (z)


Modelo circuital de la lnea de transmisinModelo circuital. Constante de propagacin Podemos definir una constante que depende de la frecuencia y el medio 2 = 2 (constantede propagacin en el medio). Teniendo en cuenta lo anterior queda:

d2V (z)dz2 +

2V (z) = 0

La expresin anterior es una ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes que se puederesolver de forma analtica. El polinomio caracterstico de la ecuacin diferencial es:

x2 + 2 = 0

Las raices del polinomio caracterstico son:

x2 = 2x = j

Si consideramos ejz la exponencial de una transformacin entre los dominios z , el tr-mino ejz representa un desplazamiento en el espacio z. La solucin de la ecuacin diferencialse escribe como:

V (z) = Aejz + Bejz

Fsicamente el primer trmino de la expresin anterior (ejz) representa una onda que sepropaga en direccin z (onda incidente). El segundo trmino representa fsicamente una ondaque se propaga en direccin z (onda reflejada). Las constantes A y B se calculan suponiendolas condiciones de contorno del problema.


Modelo circuital de la lnea de transmisin

Onda de CorrientePara hallar la onda de corriente se puede utili-zar:

dV (z)dz = jI(z)

Sustituyendo se tiene:

dV (z)dz = A(j)e

jz + B(j)ejz

= j[Aejz + Bejz

]

j[Aejz + Bejz

]= jI(z)

I(z) =

[Aejz Bejz

]Se define Zc = como la impedancia carac-terstica de la lnea de transmisin. Es diferen-te a las impedancias localizadas con las quese trabaja en teora de circuitos.

Impedancia caractersticaSe trata de una impedancia porque sirve parapasar de la corriente a la tensin.

Zc =

=

De esta forma se tiene:

I(z) = 1Zc

[Aejz Bejz

]V (z) = Aejz + Bejz

Para pasar al dominio del tiempo se hace lasiguiente operacin:

i(z, t) = Re[I(z)ejt

]v(z, t) = Re

[V (z)ejt

]Las relaciones anteriores se tratan de ondasreales en el tiempo.


Aplicacin de las condiciones de contornoCondiciones de Contorno

+

Vg ,Zc

z0

Figura: Modelo de lnea de transmisin.Como no existe nada donde pueda existir reflexin la onda refle-jada es cero y por tanto B = 0, resultando:

V (z) = Aejz

La tensin total en z = 0 es Vg impuesta por el generador V (z =0) = A = Vg . Luego, resulta que A = Vg .

V (z) = Vg ejz

I(z) = VgZcejz =

V (z)Zc

El trmino Zc convierte tensin en corriente cuando slo hay ondaincidente. Por ese motivo se llama impedancia caracterstica.

Lnea terminada por impedancia

+

Vg ,Zc

z0

ZLVL

IL

l

(z = 0) = L(z = l)

Figura: Lnea cargada con una impedancia ZL.

V (z) = Aejz + Bejz ; I(z) = 1Zc

[Aejz Bejz

]Hay que tener en cuenta la onda reflejada.

V (z = 0) = VL ; V (z = 0) = A + B = VL

I(z = 0) = IL ; I(z = 0) =1Zc

(A B) = IL

En la terminacin se cumple la ley de Ohm:

IL =VLZL

; ZL =VLIL

A(

1 + BA

)= VL ;

AZc

(1 BA

)= IL

Dividiendo las ecuaciones se llega a:

Zc1 + BA1 BA

=VLIL

= ZL


Coeficientes de reflexin y de transmisinCoeficientes de reflexin

L =BA Es el coeficiente de reflexin en la carga (z = 0).B Es la amplitud de la onda reflejada en z = 0.A Es la amplitud de la onda incidente en z = 0.

Zc1 + L1 L = ZL

Zc(1 + L) = ZL(1 L)ZcL + ZLL = ZL ZcL(Zc + ZL) = ZL Zc

A partir de las relaciones anteriores, el coeficiente de refle-xin(nmero complejo) queda:

L =ZL ZcZL + Zc

Teniendo en cuenta la relacin:

V (z) = A[ejz + Lejz

]I(z) = AZc

[ejz Lejz

]

Coeficiente de TransmisinEl coeficiente de transmisin se define como = VLA . Eltrmino VL = A + B es la tensin que hay en la carga (transmitidaa la carga), mientras que A es la amplitud de la tensin incidente.

VL = V (z = 0) = A + B ;VLA = 1 +

BA

= 1 + L = 1 +BA =

VLA

ILA =

1Zc

(1 L) = 1Zc

(1 BA

)

1 BA = 1 L =2ZC

ZL + ZCSe tiene,

= 1 + L = 1 +ZL ZCZL + ZC

=2ZL

ZL + ZCresulta de la relacin anterior que,

=2ZL

ZL + Zc; 1 L = 2ZCZL + ZC =

ZcZL

El coeficiente de transmisin tiene menos utilidad que elcoeficiente de reflexin L, ya que este ltimo mantiene unarelacin con las potencias. La relacin anterior corresponde alcoeficiente de transmisin de la carga.


Impedancia de entrada en un punto de la lneaImpedancia Zin en un lugar de la lnea

+

Vg ,Zc

z0

ZL

z = l

Zin

Figura: Clculo de la impedancia de entrada Zin en un punto de la lnea

Zin(z = l) = V (z = l)I(z = l) = ZcA(ejl + Lejl

)A (ejl Lejl)

Usando la relacin L = ZLZcZL+Zc se llega a:

Zin(z = l) = Zcejl + ZLZcZL+Zc e

jl

ejl ZLZcZL+Zc ejl

Zin(z = l) = Zc (ZL + Zc)ejl + (ZL Zc)ejl

(ZL + Zc)ejl (ZL Zc)ejl = ZcZL(ejl + ejl

)+ Zc

(ejl ejl)

ZL (ejl ejl) + Zc (ejl + ejl)

Zin(z = l) = Zc ZL + jZc tan (l)Zc + jZL tan (l)


Longitud para dar una vuelta completa a la fase

Coeficiente de reflexin a distancia lEl coeficiente de reflexin para una distancia dadaser,

(z = l) = Bejl

Aejl

=BA e

j2l = (z = 0)ej2l

Luego vemos que la fase del coeficiente dereflexin se mueve como (2l) con la distancia.Qu longitud debo moverme para que la fase deuna vuelta completa (2)?.

Re

Im

2

Figura: Longitud que hay que desplazarse paramoverse una vuelta completa (2). El sentido esalejndose de la carga.

Longitud para vuelta completa

2l = 2 ; l =

=

2 =

2

Cada /2 la fase de de una vuelta completa. Re-sulta que = . La velocidad de la luz esc = 1

, luego = c .

=cf

(m/seg1/seg

)m

= cT ; T = 1f =

T = 2

=2T ; T = 2

De las relaciones anteriores resulta l = 2 = 0, 5.Al moverme en una lnea de transmisin (0, 5), elcoeficiente ha dado una vuelta completa.


Potencia media o activa en la lnea

DefinicinComo estamos trabajando con sealessinusoidales, podemos definir la potencia mediao activa en un determinado punto de la siguienteforma:

Pm(z) =12Re[V (z) I

(z)]

Pv (z) =12 [V (z) I

(z)]

Usando las expresiones de tensin y corriente:

Pv (z) =A2

[ejz + Lejz

] AZ c

[ejz Lejz

]

Pv (z) =12|A|2Z c

[1 |L|2 + L ej2z Lej2z

]La potencia media quedar, teniendo en cuentaque L ej2z Lej2z = 2j Im[L ej2z ], como:

Pm =12|A|2Z c

[1 |L|2] Es independiente de z

Potencia transmitidaSegn la expresin de la potencia media se de-duce que en una lnea sin prdidas la potenciatransmitida no depende de la longitud de la lnea.La potencia incidente es Pi = 12

|A|2Zc

, mientras quela potencia reflejada ser Pr = Pi |L|2, relacinen la que tenemos el mdulo al cuadrado de lafraccin de potencia reflejada. La potencia trans-mitida en la carga es:

Pt = Pi Pr = Pi(1 |L|2)Ley de conservacin de potencia.Un error grave sera decir que Pt = | |2Pi (nuncase debe usar esta expresin), puesto que =1 + L y | |2 = |1 + L|2 6= 1 |L|2.


Tensin y corriente en una lnea cortocircuitada

Lnea acabada encortocircuito

0

,Zc

z

Figura: Lnea de transmisinacabada en cortocircuitoSabemos que:

V (z) = A[ejz + ejz

]I(z) = AZc

[ejz ejz

]

Tensin y corriente

L =ZL ZcZL + Zc

=ZcZc

= 1El valor L = 1 corresponde al coeficiente dereflexin en un cortocircuito.

V (z) = A[ejz ejz

]= A2j e

jz ejz2j

= 2jA sin (z)I(z) = AZc

[ejz + ejz

]=

2AZc

cos (z)


Onda estacionaria producida por un cortocircuitoTensinTensin y corriente tienen forma sinusoidal en fun-cin de la distancia.

/4/23/45/4

A

0

|V (z)|

z

Figura: Distribucin de tensin en una lneacortocircuitada

sin (z) ; z = n ; z = n

=n2 =

n2

En la expresin anterior se toma el valor negativoporque la lnea est en z < 0. Luego vemos queen funcin de z la tensin total pasa por mximos ymnimos. Esto es debido a la interaccin entre on-da incidente y onda reflejada y se denomina ondaestacionaria.

Corriente

/4/23/45/4

2A/Zc

0

|I(z)|

z

Figura: Distribucin de corriente en una lneacortocircuitada

cos (z) = 0z = (2n 1)/2

z = (2n 1)2 2 = 2n 1

4

En la expresin anterior se toma signo negativo alestar la lnea en z < 0. Vemos que la corriente estdesfasada (/2) con respecto a la distancia z.


Onda estacionaria producida por un cortocircuitoAnlisis temporal

v(z, t) = Re[V (z)ejt

]= Re

[2jA sin (z)(cos (t)+ j sin (t))] = 2A sin (z) sin (t)

i(z, t) = Re[I(z)ejt

]= Re

[2AZc

cos (z)

(cos (t) + j sin (t))] = 2AZc cos (z) cos (t)

Corriente y tensin tambin estn desfasados (/2) enel tiempo. Para t = 0 resulta:

v(z, t) = 0 ; i(z, t) = 2AZccos (z)

replacements

i(z)

v(z)2A

2A

2A/Zc

2A/Zc

z

Figura: Distribucin de tensin y corriente en t = 0

Evolucin temporalSegn la expresin anterior la corriente evoluciona hastahacerse cero entre t = 0 y t = T/4. Para t = T/4,tenemos que t = 2T

T4 =

2 .

v(z, t) = 2A sin (z) ; i(z, t) = 0

i(z)

v(z)

2A

2A

2A/Zc

2A/Zcz

Figura: Distribucin de tensin y corriente ent = T/4La tensin evoluciona desde cero hasta obtener lo quese ve en la ltima figura, la corriente evoluciona desde lafigura de la izquierda hasta cero.


Onda estacionaria producida por una impedanciagenrica

Impedancia genrica

z

L

ZL

0

,Zc

Figura: Onda estacionaria producida poruna impedancia cualquiera ZL

V (z) = Aejz + Bejz = Aejz(

1 + BA ej2z

)

= Aejz(

1 + Lej2z)

El coeficiente de reflexin es en general uncomplejo L = |L|ejL , por lo que podemosescribir la ecuacin como:

V (z) = Aejz(

1 + |L|ej(2z+L))

= Aejz[1 + |L| cos (2z + L)

+ j|L| sin (2z + L)]

Onda EstacionariaQueremos hallar el mdulo de la tensin:

|V (z)|2 = |A|2[[

1 + |L| cos (2z + L)]2

+ |L|2 sin2 (2z + L)]

= |A|2[1 + |L|2 cos2 (2z + L)

+ 2|L| cos (2z + L) + |L|2 sin2 (2z + L)]

= |A|2[1 + |L|2 + 2|L| cos (2z + L)

]El valor mximo en funcin de z se obtiene cuando:

cos (2z + L) = 12z + L = 2n

2z = 2n Lz =

2n L2 =

2n L4 ; n = 0, 1

El valor mnimo se dar para:

cos (2z + L) = 12z + L = (2n 1)

2z = (2n 1) Lz =

(2n 1) L4 ; n = 1, 2, . . .

En las relaciones anteriores se toma el valor negativo porque la lnea esten z < 0.


Onda estacionaria producida por una impedanciagenricaOnda Estacionaria

4

4

24 z0

Vmx

Vmn

Figura: Onda de tensin estacionaria para unalnea acabada en una carga genrica Zl

V 2mx = |A|2[1 + |L|2 + 2|L|

]V 2mn = |A|2

[1 + |L|2 2|L|

]Si L = 0 entonces Vmx = Vmn y no hay onda es-tacionaria. No hay onda reflejada, se trata del mejorcaso.

V 2mx = |A|2(1 + |L|)2 Vmx = (1 + |L|)|A|V 2mn = |A|2(1 |L|)2 Vmn = (1 |L|)|A|

Coeficiente de onda estacionariaSe define el coeficiente de onda estacionaria como:

S = VmxVmn=

1 + |L|1 |L|

Slo obtenemos el mdulo, no la fase.

|L| = S 1S + 1Para hallar la fase hay que medir la distancia al pri-mer mximo o mnimo. Por ejemplo, si medimos uncero en z = Lmn entonces:

+

4 = Lmn

+ =4

Lmn

Con lo que la fase del coeficiente de reflexin ser:

=4

Lmn


Lnea de transmisin con prdidas

Punto de Partidad2V (z)

dz2 = 2V (z)

Las prdidas ahora sern por: = j.Como el trmino (2) resulta comple-jo, es mejor definir la siguiente constante2 = 2, de forma que entonces:

d2V (z)dz2 =

2V (z)

d2V (z)dz2

2V (Z ) = 0

El polinomio caracterstico:

x2 2 = 0 ; x2 = 2 ; x =

SolucionesLas soluciones sern:

V (z) = Aez + Bez

Pero, veamos ahora lo que vale laconstante .

2 = 2 ; = j

= j = (

1 j

)= (1 j tan )

= j(1 j tan )= j1 tan


Lnea de transmisin con prdidasLnea con prdidasSe asumen pequeas prdidas tan

Lneas de transmisin con prdidasImpedancia caractersticaDefinimos ahora la impedancia caracterstica Zc = j .

I(z) = 1Zc[Aez Bez]

Para bajas prdidas tenemos:

Zc =j

j (1 j tan 2 ) =

1 + j tan 21 + tan2 4

El trmino tan2 4 es despreciable para tan

Potencia en lneas de transmisin con prdidasPotencia transmitida en la lnea

Pv (z) =12V (z)I

(z)

=12A

[ezejz + L ezejz

] A

Zc

[ezejz L ezejz

]

=12|A|2Zc

[e2z |L|2e2z + L ej2z L ej2z

]La potencia media o activa ser:

Pm(z) =12|A|2Zc

[e2z |L|2e2z

]=

12|A|2Zc

e2z[1 |(z)|2

]La potencia incidente ser:

Pi(z) =12|A|2Zc

e2z

Por otra parte, la potencia reflejada es:

Pr (z) =12|A|2Zc|L|2e2z

La potencia incidente se atena debido al trmino e2z . Ahora hayque tener cuidado porque si tomo una lnea muy grande me quedo sinpotencia.

z = l zz = 0

ZL

Figura: Atenuacin en una lneacargada con ZL.


Coeficiente de reflexin al alejarme de la carga

(z = 0) = L =ZL ZcZL + Zc

(z = l) = Bel

Ael =BA e

2l =BA e

2le2jl = Le2le2jl

|(z = l)| = |L|e2l

Figura: Atenuacin del coeficiente dereflexin a lo largo de la lnea. Lasflechas indican el sentido de giro.

+

l(z = l)

Zl

Figura: La potencia que no se refleja esporque se pierde en la lnea. No hayreflexin a la entrada, ya que toda lapotencia que entra se atena antes dellegar a la carga. La energa se disipa enla lnea de transmisin.


Lnea de transmisin con generador y carga

Resolucin circuito total

+

Vg

Zg

V0

I0

(d z)

z

,Zc

0

L

VLZL

Zin

0 d

d

z z

Figura: Problema de generador y una cargaEn el punto de generador o = BA =

ZinZcZin+Zc

.

V (z) = Aez + Bez

I(z) = 1Zc[Aez Bez]

En la carga,L =

ZL ZcZL + Zc

Resolucin circuito totalSi muevo este coeficiente hacia el generador ob-tengo:

(z) = Lej2(dz)

para z = 0 obtenemos (z = 0) = 0 =Le

j2d. En el generador,

V(z=0) = V0 = A(

1 +BA

)= A(1 + 0) = A

2ZinZin + Zc

I(z=0) = I0 =AZc

(1 B

A

)=

AZc

(1 0)

En el generador tenemos:

+

0+

Vg

Zg

V0

I0

Zin

Figura: Problema equivalente

Vo = A2Zin

Zin + Zc= Vg

ZinZin + Zg

A = Vg2Zin + ZcZin + Zg


Lnea de transmisin con generador y cargaResolucin circuito total

Vg = I0Zg + V0Introduzco los valores de V0 y de I0 en la ecuacin.

Vg = ZgAZc

(1 0) + A(1 + 0) = A[1 + 0 + ZgZc (1 0)]

=AZc

(Zc + Zc0 + Zg Zg0) = AZc [Zc + Zg 0(Zg Zc)]

= AZg + ZcZc

[1 0 Zg ZcZg + Zc

]

Defino un coeficiente de reflexin que mira hacia el generador:

+

Vg

Zg

g

0

Zc

Figura: Coeficiente de reflexin hacia el generador g

Resolucin circuito totalg =

Zg ZcZg + Zc

Vg = AZg + Zc

Zc(1 0g)

A = VgZc

Zg + Zc1

1 0g1 g = 1 Zg ZcZg + Zc =

2ZcZg + Zc

A = Vg21 g

1 0gSi Zg = Zc entonces g = 0 yentonces A = Vg2 que es lo queobtuvimos antes.


Lnea de transmisin con generador y carga

AtenuacinSe define la atenuacin de un cable en neperios de lasiguiente forma:

At |nep = ln

Potencia que entrega en la lneaPotencia en un punto a una distancia Z

= ln

P(z = 0)P(z)

Suponemos una lnea sin reflexin |l | = 0.

P(z) = 12|A|2Zc

e2z

La potencia que entra en la lnea z = 0.

P(z = 0) = 12|A|2Zc

Para lneas adaptadas,

P(z) = P(z = 0)e2z

At |nep = ln

1/2|A|2/Zc1/2|A|2/Zc e

2z = ln ez = z

AtenuacinDe la expresin anterior resulta que:

=At |nep

z(nep/m)

Luego es la atenuacin en neperios de la lnea por unidadde longitud. La atenuacin tambin puede medirse en dB.

At |dB = 20 log10

P(z = 0)P(z) = 10 log10 [

P(z = 0)P(z) ]

= 10 log10 (e2z) = 20z(log10 e) = z 8, 686

At |dB = At |nep 8, 686La expresin anterior es la forma de convertir la atenua-cin en neperios en atenuacin en dBs. Es un parmetroimportante a la hora de planificar sistemas de transmisin.Llamando,

(nep/m) = At |nepz

(dB/m) = At |dBz

(dB/m) = (nep/m) 8, 686

En las ecuaciones que hemos visto hay que operar en(nep/m) para .


Lnea acabada en cortocircuitoLnea acabada en cortocircuito

= 1Zin

l

,Zc

Figura: Lnea de transmisin delongitud l acabada en cortocircuito

Zin = ZcZL + jZc tan (l)Zc + jZL tan (l)

Si ZL = 0 se tiene que:

Zin = ZcjZc tan (l)

Zc= jZc tan (l)

Si l = 4 , = 2 4 = 4 , tan (4 )

Impedancia y admitanciaEsto es lo que ocurre en un circuito LCparalelo en resonancia:

Yin = jC + 1jL = j(C 1

L

)

= j 2LC 1L

De la ecuacin resulta que:

Zin =L

(2LC 1)1j

en = 1LC tenemos que Zin . Lacondicin l = /4 slo ocurre a una fre-cuencia, alrededor de esa frecuencia lalnea se comporta como un circuito reso-nante paralelo.


Lnea acabada en circuito abierto

Lnea en circuito abierto

= 1Zin

l

,Zc

Figura: Lnea de transmisin delongitud l acabada en circuito abierto

Zin = ZcZL + jZc tan (l)Zc + jZL tan (l)

Impedancia y admitanciaSi ZL resulta:

Zin = ZcZL

jZL tan (l) =Zc

j tan (l)De la ecuacin tenemos que:

Yin = jYc tan (l)

Para l = /4 se comporta como un circui-to resonante serie. Para l = /4, Yin , Zin = 0. Luego la lnea alrededor dela frecuencia en la que l /4 se com-porta como un resonador en serie.


Lnea adaptada

Caractersticas

L =Zc ZcZc + Zc

No hay reflexin

L =ZcZcZc+Zc = 0Zin = Zc

l

,Zc Zc

Figura: Lnea adaptada.

Zin = ZcZc + jZc tan (l)Zc + jZc tan (l) = Zc Condicin de adaptacin

Esta situacin ZL = Zc es la misma que en una lnea infinita al no existir reflexin.


Lnea transformadora en /4

Transformador en /4/4

,Zc Zc

Figura: Lnea en /4

Zin = ZcZL + jZ0 tan (l)Zc + jZL tan (l)

Adaptacin de impedanciasSe cumple que l = 2pi

4 = /2 ytan (/2).

Zin = ZcjZc tan (l)jZL tan (l) =

Z 2cZL

Zin =Z 2cZL

Transformador de impedanciasen /4. Podemos usar estetransformador para adaptarimpedancias.


Lnea transformadora en /4

Adaptacin de impedancias

+

/4Zg

Zin = Zg

Vg ,Zc ZL

Figura: Transformador deimpedancias con lnea en /4.

Zin = ZgQueremos esto para que la potencia en-tregada sea mxima. Por tanto:

Zin = ZgZc =

Zin ZL =

Zg ZL

Adaptacin de impedanciasEscogiendo una lnea de la impedanciacaracterstica anterior adaptamos el cir-cuito. Se tiene un circuito equivalente co-mo el representado en la figura.

+

Zg

Zin = ZgVg

Figura: Circuito equivalente deltransformador en /4Luego vemos la importancia del adapta-dor de impedancias para evitar reflexio-nes.


IntroduccinPara ayudarnos en este proceso de adaptacin podemos utilizar la llamada Carta deSmith. La carta de Smith es simplemente la representacin en el plano complejo delcoeficiente de reflexin , donde adems se representan la parte real e imaginaria deimpedancias, con el fin de adaptar en los problemas de adaptacin de impedancias.En el plano de es interesante ver impedancias.

= 1 = 1

Cortocircuito(mnimo de tensin) Circuito abierto(mximo de tensin)

Adaptacin

= 0

|| = 1||

Re

Im

Figura: Coeficiente de reflexin en el plano complejo


Representacin de impedancias en el plano complejoRepresentacin de impedanciasPara representar impedancias en este plano to-mo la ecuacin que liga el coeficiente de refle-xin con las impedancias.

L =ZL ZcZL + Zc

Si trabajamos con impedancias normalizadas(ZL) respecto al de la impedancia caractersticade la lnea tenemos:

=ZL 1ZL + 1

A partir de esta expresin obtenemos las si-guientes relaciones:

ZL + = ZL 1+ 1 = ZL(1 )

ZL =1 + 1

Representacin de impedanciasAhora consideramos ZL y complejos:

ZL = x + jy = + jv

x + jy = 1 + + jv1 jv =(1 + + jv)(1 + jv)

(1 )2 + v2

=(1 + )(1 ) v2 + jv [(1 ) + (1 + )]

(1 )2 + v2

=1 2 v2 + jv2(1 )2 + v2

A partir de la relacin anterior, igualando partereal e imaginaria tenemos:

x =1 (2 + v2)(1 )2 + v2

y = 2v(1 )2 + v2


Parte real

Curva parte realVamos a suponer x = cte, y vemos que curva resulta:

(1 )2x + xv2 = 1 (2 + v2)(1 + 2 2)x + xv2 = 1 2 v2

x + x2 2x + xv2 = 1 2 v2

(x + 1)2 2x + (x + 1)v2 = 1 x

2 2 x(x + 1) + v

2 =1 x1 + x

En vista de este resultados vamos a calcular:( x

x + 1

)2= 2 2 x

x + 1 +x2

(x + 1)2

( x

x + 1

)2 x

2

(x + 1)2 = 2 2 x

x + 1( x

x + 1

)2+ v2 =

1 x1 + x +

x2

(x + 1)2

1 x1 + x +

x2

x2 + 2x + 1 =(1 x)(1 + x) + x2

(x + 1)2

=1 x2 + x2(x + 1)2 =

1(x + 1)2

Parte real ( x

x + 1

)2+ v2 =

1(x + 1)2

= 1 = 1u

vx = 0 x = 1

r = 1/2

1/2

Figura: Carta de Smith, parte real.

En el plano complejo de = + jv esto es un crculo decentro

(x

x+1 , 0)

y radio r = 1(x+1) . Luego valores de impe-

dancia de parte real constante se transforman en estoscrculos.


Parte Imaginaria

Obtencin de la curvay(1 )2 + yv2 = 2v

Tomamos y = cte, parte imaginaria de la impe-dancia constante y vemos la curva en el plano(, v):

( 1)2 + v2 2vy = 0

En virtud de esto calculamos:(v 1y

)2= v2 2vy +

1y2(

v 1y)2 1y2 = v

2 2vy

( 1)2 +(

v 1y)2

=1y2

Obtencin de la curvaTenemos un crculo con centro (1, 1/y) y con ra-dio r = 1y2 .

1 1u

v

r = 1/2

r = 1

y = 1

Parte Positiva

Parte Negativa

Figura: Carta de Smith, parte imaginariaLa parte imaginaria de una impedancia puedeser negativa.


Ejemplo de lnea de transmisinUtlizacin de la carta de Smith

0;Zin

l = 2, 5 mm

,Zc Zl

Figura: Lnea cargada como ejemplo de utilizacinde la carta de Smith.

Utilizaremos la siguiente configuracin para la lnea:ZL = 65 + j37, 5, Zc = 50, f = 10 GHz, = 30f (GHz)(cm), = 3010 = 3 cm,l = /12 = 30/12 = 2, 5 mm.

En primer lugar normalizamos la impedancia decarga ZL = ZL50 = 1, 3 + j0, 75. Vamos a situar estaimpedancia en la carta de Smith.

El coeficiente de reflexin L lo podemos calcularmidiendo la longitud y la fase. Las longitudes seescriben en fracciones de longitud de onda .

Ejemplo de lnea

Figura: Resolucin con carta de Smith


Ejemplo de lnea de transmisin

Utilizacin de la carta de SmithAhora debo desplazarme hasta el generador y sabemos que el coeficiente dereflexin lo que hace es girar (suponiendo que no hay prdidas). El giro es en elsentido de las agujas del reloj. Vemos que distancia debo moverme. Las longitudesson = 30/10 = 3 cm y = 30 mm, hay que expresarlas en fracciones de la longitudde onda resultando l/ = 2,530 =

112 y l =

12 = 0, 0833. Luego debo girar hasta el

punto:0, 18+ 0, 0833 = 0, 2633

Luego Zin = 1, 95 j 0, 25, Zin = 97, 5 j 12, 5. El coeficiente de reflexin seobtiene midiendo el nuevo vector que da Zin. Vamos a calcular el coeficiente dereflexin en la entrada. El mdulo es el mismo y vale la longitud del vector (no hayprdidas). La fase en fracciones de es: 0, 2633 0, 25 = 0, 0133. Veamoscuanto es el ngulo: 2l = 2 2

0, 0133 = 0, 052 9, 6o, es una fase negativa.

Se ve que si l = /2, 2l = 2 2

2 = 2, se tiene un giro completo en la carta de

Smith.


Onda Estacionaria

0, 2 1 2

Figura: Impedancias reales carta de Smith

ZLZC

z

Figura: Onda estacionaria en una lnea conuna carga ZL

Cuando existe desadaptacin de impedancias se produce una onda estacionaria. Nosotroshemos calculado los puntos mximos y mnimos. Sabemos que en un mximo de tensin, latensin vale: Vmx = A(1 + ||) y adems en este punto hay un mnimo de corriente que vale:Imn =

AZc (1 ||).

La impedancia en este punto vale:

Zin =VmxImn

=1 + ||1 ||Zc Obtenemos una impedancia real

Zin =1 + ||1 || = S Precisamente, el coeficiente de onda estacionaria

La impedancia es real y mayor que uno. Luego, la impedancia es un mximo detensin.


Onda Estacionaria

1

Zin = S

Figura: Tramo donde se encuentran lospuntos mximos de tensin, adems delcoeficiente de onda estacionaria

1

Zin = 1S

Figura: Tramo en el que se encuentran lasimpedancias en los mnimos de tensin

Se encontrar en esta regin. En este tramo se encuentran las impedancias en los puntosmximos de tensin. Adems da el coeficiente de onda estacionaria. Vemos en un puntomnimo de tensin:

Vmn = |A|(1 ||) ; Imx =|A|Zc

(1 + ||)

Zin =VmnImx

= Zc1 ||1 + || ; Zin =

1 ||1 + || =

1S

Vemos que la impedancia en un mnimo es real y menor que uno, luego estar laimpedancia en (ver la figura). En este tramo se encuentran las impedancias en losmnimos de tensin.


Ejemplo de utilizacin de la carta de SmithEjemploSe mide un coeficiente de onda estacionariaS = |Vmx||Vmn| = 2, 5. Adems se mide un mnimoque se encuentra a 0, 5833 de la carga. Paramedir el valor de la impedancia, debo despla-zarme 0, 5833 desde el mnimo hasta llegar ala carga. Como 0, 5833 es mayor que 0, 5, su-poniendo 0, 5 dar una vuelta entera, lo que ha-remos es dar una vuelta entera 0, 5 ms lo quequede hasta completar la distancia de 0, 5833hasta llegar a la carga.

|V |

0, 5833

Figura: Desplazamiento de 0,5833 hastallegar a la carga

Representacin Carta de Smith

Figura: Resolucin del problema encontrandola impedancia de entrada con la carta de Smith


Ejemplo de utilizacin de la carta de SmithAnlisis carta de Smith

0, 5+ x = 0, 5833x = (0, 5833 0, 5) = 0, 0833

ZL = 0, 51 j 0, 46 para Zc = 50ZL = (25, 5 j 23) Impedancia capacitiva

En la carta de Smith tambin podemos usaradmitancias:

=ZL ZcZL + Zc

=1/YL 1/Yc1/YL + 1/Yc

=Yc YLYc + YL

= YL YcYL + YcPodemos reemplazar impedancias poradmitancias, pero entonces hay que cambiar elsigno al coeficiente de reflexin lo quesupone aadir 180o.

RepresentacinYL

ZL

Figura: Resolucin del problema conadmitancias. Se aaden 180o al coeficiente dereflexin


Carta de Smith con elementos concentradosImpedancia de entrada

Zin ZA

l = 0, 02

,Zc ZL

XL

Figura: Lnea cargada con inductanciaconcentrada a la entrada XLEl valor de la inductancia concentrada es XL =70, que normalizada es XL = 1, 4. Por otra par-te, la impedancia de carga normalizada es ZL =0, 5 + j0, 4. Ahora me muevo una longitud 0, 02.(0, 073 + 0, 02) = 0, 093 hay que moverse haciael generador. ZA = 0, 62+ j0, 55, Zin = jXL + 0, 62+j0, 55 = 0, 62 + j(0, 55 + XL). Misma parte real y laparte imaginaria vara Zin = 0, 62+ j1, 95. La reso-lucin se obtiene manejando la carta de Smith comose muestra en la figura.

Carta de Smith

Figura: Resolucin con la carta de Smith


Carta de Smith para adaptacin de impedancias

Adaptacin de impedanciasLa carta de Smith tambin sirvepara adaptar impedancias.

Zin = 50 YA

l = 0, 02

Zc = 75 ZL = 50 + j 80XcVg

Z0 = 50

Figura: Lnea cargada con unacapacitancia concentrada a laentrada Xc

Adaptacin de impedanciasLos datos de configuracin de la lneason f = 1 GHz, Zc = 1jC = jXc ,Yc = 1jXc = jBc . Hay que normalizar con res-pecto de la impedancia caracterstica dela lnea.

ZL =50 + j80

75 = 0, 67 + j1, 07

Queremos llegar a una impedancia deentrada normalizada de Zin = 50/75 =0, 67. En primer lugar vemos que es mssencillo trabajar con admitancias ya queYin = jBc + YA. Cmo se podra hacerun condensador en RF?, con una lneaterminada en circuito abierto. TenemosYin = 1, 5 = 1Zin , luego Yin = j Bc + YA =1, 5, YA = 1, 5 j Bc .


Carta de Smith para adaptacin de impedancias

Adaptacin de impedanciasLuego YA debe tener parte real 1, 5, adems YAse obtiene moviendo YL una longituddeterminada por la lnea. Mover YL hastaencontrar el crculo de parte real 1, 5. Tengo dosposibilidades, sin embargo, vemos que YA debetener parte imaginaria negativa, luego debemostomar la segunda posibilidad. SaleYA = 1, 5 j1, 7, entonces vemos que Bc = 1, 7,Zcom = 1jc , Ycom = jC, Ycom = j Bc .Z = ZZc =

1/Y1/Yc = 1/Y , 1/Y =

YcY . Vemos que

Y = YYc tambin se normaliza con admitancia.Luego, Bc = BcYc , Bc = Bc Yc , Bc = 1, 7/75.Finalente se tiene: Ycond = jC = jBc , Bc = C,1,775 = 2fC, C =

1,7752f =

1,7752f = 3, 6 pF. Se

puede ver el movimiento reflejado en la carta deSmith.

Adaptacin de impedancias

Figura: Adaptacin de impedancias con cartade Smith


IntroduccinModelo circuitalCondiciones de ContornoCoeficientes de reflexin y de transmisin

Longitud necesaria para dar una vuelta completa a la fasePotencia media o activa en la lneaTensin y corriente en una lnea cortorcircuitadaOnda Estacionaria

Onda estacionaria producida por una impedancia genricaLnea de transmisin con prdidasIntroduccinPotencia en lneas con prdidas

Lnea de transmisin con generador y cargaImpedancias de entrada de lneas de transmisin tiles

Carta de SmithEjemplo prctico de lnea de transmisinOtros conceptos importantesEjemplo de utilizacin de la carta de Smith con elementos concentrados

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