Ondas Eletromagnéticas Física Geral F-428

Ondas Eletromagnéticas

Física Geral F-428

• Alguns Teoremas:

Usando mais :

podemos mostrar que :

• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do campo magnético (elétrico)

A equação de onda

Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra vetorial (com os teoremas de Gauss e Stokes), podemos obter as seguintes equações de onda com fontes [ ]:0),(e0),( trJtr

A equação de onda

A equação de onda

A equação de onda

• Em geral, qualquer função periódica pode ser solução de uma equação de onda pois poderá ser expressa por uma Série de Fourier

Ex.: Onda quadrada

Ex.: Equação de onda unidimensional progressiva numa corda

´

´

( , ) ( , 0) ( ) ( )

x x vt

y y

y x t y x f x f x vt

0

( ,0) ( , 0)

t

y x y x

O perfil da onda não muda com o tempo.

x

vt

y(x,t)

x'

y'(x',t)

v : velocidade de translação de um pulso

2 22

2 2

2 2

2 2 2

´

´ ´

´

10

´

f f x fv

t x t x

f fv

t x

f f

x v t

´x x vt

2 2

2 2 2

´

´ ´

10

f f x f

x x x x

f f

x v t

Equação de onda

Ex.: Equação de onda unidimensional progressiva numa corda

ou

Ondas eletromagnéticas

(3ª Eq. de Maxwell)

• Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy

cB

Ec

kB

E

z

y

m

m

Bz transverso à direção

de propagação da onda:

cktkxEctxkEtxEy ;)sin()(sin),( 00

Ondas eletromagnéticas planas

Período:

Freqüência:

Comprimento de onda:

Velocidade de uma onda:

T

1f

T

v fk

Freqüência angular: 2 f

Número de onda:

2k


L

~


Problema 1

Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?

Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?

nm)0100,08,632(

HzGHzmm

smf 5,71075,01010

)108,632(

/103 1092229

8

222

1 cf

cf

c

d

dfc

cf

!1074,4)108,632(

103 149

8

Hzf

mas:

Note que:

f

fff


Transporte de energia

As densidades de energia elétrica e magnética

20

02

2

21

2),(como E

cE

trucE

B B

0

22

0 2),(e

21

),(

BtruEtru BE

A densidade total de energia armazenada no campo de radiação

20),(),(),( Etrutrutru BE



Como )(sin),( 220

2 trkEtrE

A média temporal da densidade de energia é dada por

200

2

1

0

2200

20 2

1)(sin

1Edttrk

TEEu

T

Intensidade da radiação

2002

1Eccu

ts

U

ts

UI



x

z

y

k

0E

0B

sd

tc

U

Por outro lado

ktrkc

EBE ˆ)(sin 2

20

2000

20

21

2|| Ec

cE

BE



x

z

y

k

0E

0B

dansd ˆ

tc

U

Definindo

BES

0

1

0E

0B S

|| SI

S

é o vetor de Poynting e

A

danSdt

dUˆ


Transporte de energiaSe a potência fornecida pela fonte é Pf temos

A

f danSP ˆ

Emissão isotrópica

SrSnS ˆˆ

24 R

PSI f

Ondas eletromagnéticas esféricas

Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma

potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção

de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor.

Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as

extremidades da antena receptora.


Problema 2

Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as extremidades da antena receptora.

kWP

d

PItkxEE

f

fm

4

4;)(sen 2

f

d = 4 km

E

B

x

y

L = 0,65 m

2/1

002

)()(...

c

P

d

LLdEdydEmef f

m

L

mL

mVVmFsm

W

m

mL 80080,0

)/1085,8()/103(2

104

104

65,02/1

128

3

3

;2

)(2

12/1

20

20

dc

PdEEcI f

mm mF /1085,8 12

0


Transporte de momento linear: pressão de radiação

x

z

y

k

0E

0B

dansd ˆ

tc

U

0E

0B S

O mesmo elemento que transporta a energia também transporta o momento linear

U

kcU

p ˆ

Densidade de momento linear

Momento linear do campo EM ?

Sim !

Aguardem as aulas de relatividade!

Momento linear transferido para um objeto onde incide a radiação

kcU

paˆ


Transporte de momento linear : pressão de radiação

kcU

prˆ2

no caso de absorçãototal da radiação

no caso de reflexãototal da radiação

p

p

p


Transporte de momento linear : pressão de radiação

tIAU

cI

AF

PcIA

tp

F aa

aa

cI

AF

PcIA

tp

F rr

rr

22

Pressão de radiação na absorção total

Pressão de radiação na reflexão total

A

danSdt

dUˆ

p

p

p


Problema 3

Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?

Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?

m

xvv ˆ

luzn pp

dt

dpF

dt

pdF luz

nn

n

mc

Pama

c

PFn x

c

Upluz ˆ

c

P

dt

dU

dt

dpluz c

1attvvatvtv )(0se;)( 00

skgmkWP 86400606024dia1;1500;10

!/109,1/1031500

8640010 38

4

smsmkg

sWt

mc

Pv


Polarização da radiação

Polarização linear: Direção do campo elétrico ),( trE

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/index.html

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/index.html



)sin(),( 0 trkEtrE

ytkzE

xtkzEtrE

ˆ)cos(

ˆ)sin(),(

0

0

Polarização linear Polarização circular

1),(),( 22 trEtrE yx



Um pulso eletromagnético geral corresponde a uma superposição de vários pulsos que oscilam em diferentes direções, com diferentes fases radiação não-polarizada

Polarização elíptica

ytkzExtkzEtrE yx ˆ)cos(ˆ)sin(),( 00

1),(),(

20

2

20

2

y

y

x

x

E

trE

EtrE

xE

yE

Fios metálicos


Polarizadores

A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada.

Exemplo:

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/


Polarizadores

Intensidade incidente da radiação polarizada:

)(21

21 2

02||00

2000 EEcEcI

sin

cos

00

0||0

EE

EE

Intensidade da radiação polarizada ao longo de :

20 cosII

y


Polarizadores

Intensidade da radiação incidentenão-polarizada:

2000 2

1EcI

Intensidade da radiação polarizada ao longo de y

2

0

02020 2

cos2

cosI

dI

II

Visualização através de um polarizador:


Polarizadores


Problema 4

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ?

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ?

900I2

I0

I1

E

1,00

2 I

I

dado:

1,0sencossen90sencos90coscos 2222

0

2 I

I

)90(coscos)90(cos;cos 220

212

201 IIIII

2224 cos;01,001,0coscos xxx

2

775,01

2

4,011x

4,703354,0cos1125,0

6,199421,0cos8875,0

22

11

Ondas eletromagnéticas Reflexão e refração

xkktkx ˆ seconst.

A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde

const. trk

Frente de onda plana


Reflexão e refração

00

1

c

1v

)()(1

)(rr

rv

No vácuo

Em meios materiais

Em geral

t

tt

tt 2

tt 3

raiosfrentes de onda


Reflexão e refração: Princípio de Huygens

Todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais para ondas secundárias.

Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição da frente onda é dada por uma superfície tangente a estas ondas secundárias.


Reflexão e refração: Princípio de Huygens



1v

2v

Índice de refraçãovc

n

http://ww

w.phy.ntnu.edu.tw

/ntnujava/viewtopic.php?t=

32

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=32



ri

reflexão especularAD

tvADBD

i1sin

ADtv

ADAC

r1sin



ir


Reflexão e refração: reflexão especular x reflexão difusa


Reflexão e refração: Lei de Snell

AD

tv

AD

BD ii sen

AD

tv

AD

AE tt sen

1v

2v

ii v

cn

2211 sinsin nn

i 1

t 2

onde

i

t



21 nn 21 nn

12

12 sensen

n

n



21 nn 21 nn

12

12 sensen

n

n

Ondas eletromagnéticas Reflexão interna total

Se a incidência se dá de um meio mais refringente para outro menos refringente, ou seja, , há um ângulo crítico acima do qual só há reflexão.

21 nn

221 2sinsin nnn c

1

21sinn

nc

n1

n2

n1 > n2

c

1

2

2211 sinsin nn


Reflexão interna total: fibras ópticas


Dispersão cromática )(nn )sin()(),( trkkEtrEk

Luz branca)()(se 2121 nn Em geral,


Dispersão cromática )(nn

Luz branca)()(se 2121 nn Em geral,

)sin()(),( trkkEtrEk


Dispersão cromática:Formação do arco-íris

~ 42º


Polarização por reflexão

A luz refletida por uma superfícieé totalmente polarizada na direção perpendicular ao plano de incidência quando

2 ri

Então

2sinsin 21

ii nn

1

2tannn

i 1

21tannn

Bi

B : ângulo de Brewster

B

n2

n1


Problema 5

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.

d

R

h

2/122 Rdh

m0,8d

ararcOH nnn 90sensen2

1/222 )R(d

R

h

R752,0

33,1

1sen

2

OH

arc n

n

)565,01(R),80(565,0R)R(d565,0 22222

cm182D

m1,8242RD;m0,912R832,0R 2

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