opca_ kinematika

kinematika (grč. kinema = pokret, gibanje)

- proučava geometriju gibanja ne tražeći uzroke koji su doveli do gibanja

gibanje – vremenska promjena položaja tijela u prostoru

temeljni zadatak kinematike je određivanje osnovnih kinematičkih veličina:

• puta s(t)

• brzine v(t)

• ubrzanja a(t)

kao funkcija vremena za svaku točku tijela.

kinematika materijalne točke kinematika krutog tijela

- sve točke tijela opisuju isto gibanje

- dimenzije tijela nisu bitne pri analizi gibanja

1

Uvod

Kinematika

položaj tijela: određen koordinatama u odabranom

koordinatnom sustavu (tijelo ne može imati istodobno dva

položaja),

putanja, trajektorija, trag kretanja tijela: skup svih točaka

kroz koje prolazi tijelo, svakoj točki putanje odgovara drugo

vrijeme,

pomak tijela: razlika konačnog i početnog položaja tijela u

određenom vremenskom intervalu, vektorska veličina,

prijeđeni put: duljina puta (putanje) koje tijelo pređe u

određenom vremenskom razdoblju, skalarna, pozitivna

veličina, monotono rastuća funkcija.

2

Uvod

Jednadžba gibanja, zakon gibanja, zakon puta –

funkcija ovisnosti koordinata točaka tijela o vremenu.

Načini zadavanja jednadžbe gibanja:

vektorski: vektorom položaja,

parametarski: sustavom skalarnih jednadžbi,

prirodni: prirodnim koordinatnim sustavom.

3

Uvod

mktzjtyitxtr

mrrrtr zyx

)()()()(

)(

4

Kinematika materijalne točke

Zadavanje gibanja vektorom položaja

sin)( )(

sincos)( )(

coscos)( )(

0)(

)(

sin)( )(

cos)( )(

)(

)(

)(

rt , zrad t

rt , yrad t

rt x , m tr

k.s.u polarni prelazimo tzza

mtz

t y,m t

t, xrad t

mtz

mty

mtx

Parametarsko zadavanje gibanja

- sustav skalarnih jednadžbi u odabranom koordinatnom sustavu:

- Kartezijev koordinatni sustav:

- cilindrični koordinatni sustav:

- sferni koordinatni sustav:

5


6 Izvor: [3]

- svakoj točki putanje pripadaju

tri međusobno okomita pravca:

• tangenta,

• glavna normala i

• binormala

koji tvore prirodni koordinatni

sustav,

- pravac tangente i glavne

normale tvore oskulatornu

ravninu koja sadrži:

• vektor brzine,

• vektor ubrzanja i

• središte zakrivljenosti.

Prirodno zadavanje gibanja

7


srednja(e) brzina:

- vektorska srednja brzina

- skalarna srednja brzina

u općem slučaju:

vvvvv

smdt

ds

t

sv

smvvvv

smdt

rd

dt

rd

dt

rdv

smdt

rd

t

rv

zyx

t

zyx

zyx

t

222

0

0

/lim

/

/

/lim

srsr

sr

sr

vv

smt

sv

smt

rv

/

/

trenutna brzina:

8

kinematika materijalne točke

srednje ubrzanje: trenutno ubrzanje:

2

0

2 /lim/ smdt

vd

t

vasm

t

va

tsr

9


Kinematički dijagrami

– grafički prikaz vremenske promjene:

• puta s(t),

• brzine v(t) i

• ubrzanja a(t).

Za zadani dijagram puta s-t

dijagrami brzine v-t i ubrzanja a-t

vezani su prvom i drugom derivacijom.

10


Zadavanje gibanja

v-t ili a-t

dijagramima

1

0

t

vdts

2/

/:

smdt

dva

mCvdts

smv(t)zadano

- za određivanje konstante C

moramo poznavati put

u određenom trenutku,

najčešće je to t=0 (početni uvjet).

11


putanja: (općenito) bilo kakva prostorna krivulja

prema obliku putanje razlikujemo četiri osnovna gibanja:

pravocrtno krivocrtno

prostorno ravninsko

12


Za parametarski zadana gibanja:

odredite jednadžbe putanja.

Određivanje putanje (trajektorije) gibanja

mtymty

mtxmtx

mtymty

mtxmtx

sin2

cos2

sin10 cos21

cos10 sin23

22

32

3

3

13


Pravocrtno gibanje

putanja: pravac

os koordinatnog sustava postavljamo duž putanje gibanja, ishodište na

početak trajektorije

vektori brzine i ubrzanja poklapaju se s pravcem gibanja – nije

potreban vektorski zapis (pristup)

14


Izvor: [3]

1.Materijalna točka giba se pravocrtno prema zakonu gibanja

s(t)= t3-3t2+2 [m].

Odredite srednje brzine za prve četiri sekunde gibanja i vrijednost ubrzanja

u četvrtoj sekundi.

2. Materijalna točka giba se pravocrtno brzinom

v(t)= 0,9t2-0,63t [m/s].

Odredite zakone gibanja i ubrzanja te položaj točke u trenutku t=3 s, ako

je početni položaj točke s0=0.

15


Zadatci:

Posebni slučajevi gibanja po pravcu:

jednoliko gibanje po pravcu,

jednoliko ubrzano gibanje po pravcu,

jednoliko usporeno gibanje po pravcu,

harmonijsko gibanje.

16


Jednoliko gibanje po pravcu

mstvs

sCCvs

s, st

CtvCdtvs

Cvdts

smvCv

v, vt

Cadtv

sma

0

0

/

0

/ 0

00

02200

0

2020

2

01

0

1

2

17


Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

msattvs

sCCavs

s, st

Cattvs

CdtvatCvdts

smvatv

vCCav

v, vt

CatCadtv

smkonsta

2

1

02

10

0

2

1

/

0

0

/ .0

0

2

0

022

2

00

0

2

2

0

202

0

0110

0

11

2

18


Jednoliko usporeno gibanje po pravcu

msattvs

sCCavs

s, st

Cattvs

CdtvatCvdts

smvatv

vCCav

v, vt

CatCadtv

smkonsta

2

1

02

10

0

2

1

/

0

0

/ .0

0

2

0

022

2

00

0

2

2

0

202

0

0110

0

11

2

19


3. Izračunajte brzinu kojom treba vertikalno baciti tijelo s visine od 40 [m]

da bi palo:

a) jednu sekundu ranije,

b) jednu sekundu kasnije

u odnosu na slobodni pad.

4. Automobil koji se kreće konstantnom brzinom 40 [km/h] počinje kočiti.

Nakon 4,6 [s] pređe put jednak dvostrukom putu prevaljenom u prvih

1,5 [s] kočenja. Koliko iznosi usporenje?

20


Primjer: jednostavno harmonijsko gibanje

Elementi modela:

elastična opruga krutosti k

tijelo mase m

Idealizacija modela:

zanemarujemo otpore gibanju

Zakon gibanja: harmonijska funkcija:

Putanja gibanja - pravac

Harmonijsko gibanje

,

sin)(

iR

mtRtx

21


k [N/m]

m [kg]

x(t) [m] - konstante

2/62

1sin

4

5)(/

62

1cos

2

5)(

62

1sin5)( smttasmttvmttx , ,

22


Jednostavno harmonijsko gibanje: fizikalno pojašnjenje

k

smjer motanja papira

ω=konst

m

x(t)

23


Izvor: [8]

Analiza gibanja u prirodnom

koordinatnom sustavu:

- vektor brzine:

/

/T

dsv m s

dt

v v i m s

Krivocrtno gibanje materijalne točke u ravnini

vektori položaja, brzine i ubrzanja nisu kolinearni

24


221

/T N T N T T N N

dv ds dv va i v i i i a i a i m s

dt dt dt

TT

T

T T N N

d v idv dv dia i v

dt dt dt dt

di d i i d i

dsd

Analiza gibanja u prirodnom koordinatnom sustavu: vektor ubrzanja

↙ ↘ mijenja iznos brzine mijenja smjer brzine

25


.r konst

Gibanje po kružnici

rdt

dr

dt

dsv

trts

26


↓ ↓

obodna brzina kutna brzina

(m/s) (rad/s)

rdt

dr

dt

dva

rr

va

T

N

22

↓

kutno ubrzanje

(rad/s2)

TN aaa

rra

rv

Vektorski smisao kutne brzine i kutnog ubrzanja:

27


Posebni slučajevi gibanja po kružnici:

jednoliko gibanje po kružnici,

jednoliko ubrzano gibanje po kružnici,

jednoliko usporeno gibanje po kružnici.

Jednoliko gibanje po kružnici:

2

. 0

.

0

.

T

N

N

konst

v r konst

a r

a ava konst

r

28


Jednoliko ubrzano gibanje po kružnici:

2

. i 0

.

. 0

.

T

N

konst

v r konst

a r konst

va konst

r

>

>

2

. i 0

.

. 0

.

T

N

konst

v r konst

a r konst

va konst

r

<

<

Jednoliko usporeno gibanje po kružnici:

tangencijalno ubrzanje je u smjeru brzine,

vrijednost brzine se povećava

tangencijalno ubrzanje je u suprotnom smjeru od

brzine, vrijednost brzine se smanjuje

29


0 0

2 2

0 0 0 0

0 0

2 2

0 0 0 0

+ t

1 1s=s + = +

2 2

t

1 1s=s + = +

2 2

T

T

T

T

v v a t

v t a t t t

v v a t

v t a t t t

Formalna analogija pravocrtnog i kružnog gibanja:

-jednoliko ubrzano:

-jednoliko usporeno:

30


31


5. Materijalna točka giba se po putanji prikazanoj na slici ubrzanjem

a=0,2t m/s2. Odredite iznos ubrzanja u točki B.

6. Materijalna točka giba se po kružnici radijusa 90 m. Intenzitet brzine m.t.

raste od nule konstantnim ubrzanjem od 2,1 m/s2. Odredite vrijeme potrebno

da točka postigne ukupnu akceleraciju od 2,4 m/s2 i brzinu u tom trenutku.

Izvor: [3]

Izvor: [3]

32

7. Materijalna točka giba se po kružnici radijusa 20 m prema slici.

Ako je za prelazak iz položaja A u B točki potrebna jedna sekunda,

a iz položaja A u C tri sekunde, izračunajte prosječnu brzinu točke

pri pomaku iz položaja B u C.


Izvor: [3]

Kosi hitac: sastavljeno gibanje

- zadano: , otpor zraka zanemarujemo

2

0

0

2

1sin)(

sin)(

tgtvty

tgvtvy

tvtx

konstvvv xx

cos)(

.cos

0

,00

- jednoliko gibanje po pravcu (os x):

- jednoliko usporeno gibanje po pravcu

(os y):

,00 vv

33


- jednadžba putanje:

m

vgxtgxy

v

xg

v

xvy

tgtvty

v

xttvtx

2

0

2

2

00

0

2

0

0

0

cos

1

2

1

cos2

1

cossin

2

1sin)(

coscos)(

- parabola (ravninsko krivocrtno

gibanje)

34


- domet hica:

2sincossin2

cos2

cos

1

2

1

cos

1

2

10

cos

1

2

1

2

0

2

0

22

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2

mg

v

g

vD

g

vtgD

vgDtgD

vgDtgD

vgxtgxy

- trajanje hica:

sg

vTTv

g

vD

TvD

tvtx

sin2

cos2sin

cos

cos)(

00

2

0

0

0

35


- maksimalna visina hica:

2

sin

cos

1

2

1

22

22

2sincos

0cos

1

cos

1

2

1

22

0

2

0

2

2

0

22

0

2

0

2

0

2

mg

v

vg

Dtg

DH

D

g

v

g

vtgx

vgxtg

dx

dy

vgxtgxy

36


Što ako zadržimo isti intenzitet početne brzine

ali promijenimo kut prema horizontali na β=90-α?

37


8. Lovac nišani majmuna na visini h i udaljenosti d.

Da li će zrno pogoditi majmuna ako u trenutku okidanja majmun

ispusti granu?

Odgovor: na žalost da.

38


zrno - kosi hitac majmun – slobodni pad

2

0

0

2

1sin)(

cos)(

tgtvty

tvtx

z

z

2

2

1)(

)(

tghty

dtx

m

m

- odredimo jednadžbe gibanja zrna i majmuna,

- ishodište koordinatnog sustava stavljamo na položaj topa:

- mjesto i vrijeme susreta:

)(cos2

1

cos2

1

cossin

2

1sin)(

cos2

1

2

1)(

coscos

)(

cos)(

2

0

2

00

0

2

0

2

0

2

0

0

0

Tyv

dgh

v

dg

v

dvTgTvTy

v

dghTghTy

v

dTdTv

dtx

Tvtx

m

z

m

m

z

39


9. Igrač baca loptu početnom brzinom od 15 m/s pod kutem α prema

zidu koji se nalazi na udaljenosti od 18 metara.

Odredite vrijednost kuta α ako je strop dvorane na visini od 6 m.

Na kojoj će visini lopta udariti zid?

α

40


Izvor: [3]

Horizontalni hitac:

2

2

1)(

)(

tgty

tgtvy

tvtx

konstvvvx

0

00

)(

.0cos

- jednoliko gibanje po pravcu (os x):

- jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):

00 v

2

2

02x

v

gy

- putanja:

41


10. Kamen je bačen početnom brzinom od 3 m/s s visine od 30 m u

horizontalnom smjeru prema slici. Odredite brzinu na mjestu pada i

udaljenost d.

42


Izvor: [3]

Vertikalni hitac:

2

0

0

2

1)(

)(

tgtvty

tgvtvy

- jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):

900 v

- visina:

g

v

g

vg

g

vvH

g

vttgvtvy

22

1

0)(

2

0

2

000

00

- trajanje do pada:

g

vTTgTv 02

0

2

2

10

43


Složeno gibanje materijalne točke

cpr aaaa

Gibanje materijalne točke u sustavu koji se i sam giba.

Razlikujemo:

apsolutno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na nepomični sustav,

prijenosno gibanje - gibanje pomičnog sustava u odnosu na

nepomični,

relativno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na pomični sustav.

• Brzina materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:

apsolutna brzina:

• Ubrzanje materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:

apsolutno ubrzanje:

komponenta ubrzanja koja se javlja kada prijenosno gibanje sadrži rotaciju

(Coriolisovo ubrzanje)

pra vvv

44


11. Materijalna točka giba se u cijevi konstantnom brzinom u odnosu na

cijev vr=5 [m/s]. Istovremeno cijev se rotira jednoliko ubrzano povećavajući

broj okretaja u minuti s 150 na 1000 za 0,1 [s].

Odredite vektore apsolutne brzine i ubrzanja na početku gibanja kada se

točka nalazila na udaljenosti 0,2 [m] od osi rotacije.

21,2,

1

2,2,

1

1,1,

3

850

31,0

15100

3

100

60

210001000

560

2150150

/5

min/

min/

st

sn

sn

smv

pp

p

pp

pp

r

okr

okr

45


Izvor [4]

smvvv

vvv

smrv

smv

pra

pra

pp

r

/ 905,5

/ 2,05

/ 5

2

1,

2

1,1,

- vrijednost apsolutne brzine va na početku gibanja:

46


22

,

2

,

2

2

,

222

1,,

,,

2

/718,338

/080,1575522

/024,1782,03

850

/348,492,05

/0

smaaaa

aaaa

sma , va

smra

smra

aaa

sma

CTpNp

Cpr

CrpC

ptp

pnp

TpNpp

r

- vrijednost apsolutnog ubrzanja na početku gibanja:

47


Kinematika krutog tijela

Dva osnovna gibanja krutog tijela:

translacija

rotacija oko nepomične osi

Ravninsko (komplanarno, planarno) gibanje

translacija + rotacija oko trenutne osi

Gibanje oko nepomične točke (sferno gibanje)

Opće gibanje slobodnog krutog tijela u prostoru

53

kinematika krutog tijela

Translacija krutog tijela

- gibanje pri kojem spojnica bilo koje dvije točke tijela uvijek ostaje

paralelna svom prvobitnom (početnom) položaju,

- prema obliku putanje spojnice kroz prostor razlikujemo:

pravocrtnu translaciju i krivocrtnu translaciju

49


Translacija krutog tijela

↓

sve točke tijela opisuju sukladne putanje i gibaju se

međusobno jednakim brzinama i ubrzanjima

↓

potrebno je poznavati kinematiku jedne (bilo koje)

točke tijela da opišemo njegovo gibanje

↓


AB

AB

ABAB

aa

vv

rrrdt

d

0

//

50


Rotacija krutog tijela oko nepomične osi

51


Izvor: [3]


- sve točke tijela opisuju kružne putanje

sa središtem na istom pravcu

↓

osi rotacije,

- putanje su koncentrične kružnice ili se

nalaze u međusobno paralelnim ravninama,

- nije nužno da os rotacije prolazi kroz tijelo.

52


Izvor: [3]

sradt

radtt

sraddt

d

sraddt

d

/

2

1

/

/

0

2

00

2


- za konstantnu vrijednost kutnog ubrzanja:

ra

ra

rv

N

T

2

vrijednosti se mijenjaju linearno

s udaljenošću od osi vrtnje

53


rra

rra

rrv

rr

pp

p

p

sin

54



Izvor: [3]

1. primjer: Disk rotira konstantnim kutnim ubrzanjem e=6 [rad/s2].

Početna brzina diska iznosi w0=8 [rad/s]. Odredite iznos brzine i

ubrzanja točke B nakon što se disk okrene za dva puna kruga.

55


Izvor: [3]

2. primjer: Odredite brzinu i ubrzanje tereta B dvije sekunde nakon

početka gibanja ako se kutno ubrzanje mijenja prema izrazu:

e=0,6t2+0,75

56


Izvor: [3]

3. primjer: Gibanje tereta B počine iz stanja mirovanja i za s0=0,

konstantnim kutnim ubrzanjem enajmanje koloture.

Odredite brzinu tereta B kada se ono nalazi na visini s=6 m.

e=6 [rad/s2]

57


Izvor: [3]

Ravninsko (komplanarno) gibanje

- sve točke krutog tijela maju putanje jednako udaljene u odnosu na neku

nepomičnu (referentnu) ravninu,

- vektori brzina i ubrzanja svih točaka tijela paralelni su s referentnom

ravninom,

- gibanje se sastoji od translacije i rotacije oko pomične osi,

- za opis gibanja potrebno je poznavati gibanje samo jednog presjeka

tijela koji je paralelan s referentnom ravninom.

58


59


↙ ↘ translacija rotacija

60


ABv

rvv

vvv

AB

ABAB

ABAB

/

/

/

ABAB rdrdrd /

ABABAB

NABTABAB

ABAB

rraa

aaaa

aaa

//

,/ ,/

/

Vektori brzine i ubrzanja

kod ravninskog gibanja

coscos coscos

/

/

ABAB

AB

ABAB

vvvv

v

vvv

61


Odnos projekcija brzina kod ravninskog gibanja

- trenutni pol brzina

/A Pr

/B Pr

coscos

//

/

AB

ABAB

ABAB

vv

rv

vvv

PBBPAA

ABBABA

ABB

ABABA

AB

rvrv

rvrv

rv

vrv

v

//

//

////

coscos

coscos

62


Znamo da vrijedi:

Određivanje trenutnog pola brzina

4. primjer: Štap AB klizi po horizontalnoj i vertikalnoj glatkoj podlozi

prema slici. U trenutku kada se štap nalazi se pod kutom od 60° u

odnosu na horizontalu podlogu brzina točke A iznosi vA=5 cm/s .

Odredite brzinu točke B.

63


Izvor: [3]

1

/

//

2

160cos

60cos

/66,860cos

30cos

30cos60cos

sr

v

rv

v

scmvv

vv

AB

A

ABA

AB

AB

AB

Određivanje brzina

64


5. primjer: Štap AB duljine 5 m klizi po vertikalnoj i kosoj glatkoj podlozi

prema slici. U prikazanom trenutku brzina kraja A iznosi vA=6 m/s.

Odredite brzinu točke B.


65

Izvor: [3]

Kotrljanje bez klizanja

translacija + rotacija

0 / m sv r brzina translacije i rotacije:

r- radijus diska/kugle

66


/

/

C C P

D D P

v r

v r

67


0

2

T

N

a r

a r

a r

0B T Na a a a

translacija + rotacija

komponente ubrzanja:

A Na a

68



69

Što ako se podloga giba?

6. primjer: Odredite brzinu točke B na obodu cilindra koji se kotrlja bez

klizanja po pokretnoj traci prema slici.

7. primjer: Cilindar radijusa r=0,125 m kotrlja se bez klizanja između dvije

paralelne trake kako je prikazano na slici. Odredite brzinu središta

cilindra.

Izvor: [3]

Izvor: [3]

Mehanizmi

- sustavi sastavljeni od više međusobno vezanih krutih tijela,

- gibanje jednog tijela pobuđuje gibanje ostalih članova,

- dijelovi mehanizma međusobno vrše relativna gibanja.

8. primjer:

Za mehanizam prikazan na slici odredite brzinu točke B.


70


71

9. primjer:

Za mehanizam prikazan na slici odredite brzinu točke A. Kružna ploča

kotrlja se po podlozi bez klizanja.

Da li je ovo moguće?

72


73

Literatura:

[1] A.C. Chopra: Dynamics of Structures-Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, 3th

edition , 2007.

[2] N.Cindro: Fizika 1 mehanika-valovi-toplina, Školska knjiga, Zagreb, 1980.

[3] R.C.Hibbeler: Engineering Mechanics, Dynamics, Eleventh edition, Pearson Education, 2007.

[4] Inženjerski priručnik IP1 – temelji inženjerskih znanja, Školska knjiga, Zagreb 1996.

[5] S. Jecić: Kinematika krutih tijela, Udžbenici Sveučilišta u Zgb-u, Fakultet strojarstva i brodogradnje, 2002.

[6] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, II dio, Kinematika, PBI d.o.o., Zagreb , 1997.

[7] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, III dio, Dinamika, PBI d.o.o., Zagreb , 1998.

[8] C.Kittel, W.D.Knight, M.A.Ruderman: Mehanika – udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu, prvi svezak, drugo

izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1982.

Documents

opca_ kinematika