OPERACIJE NAD NEIZRAZITIM SKUPOVIMAG - gramatika tj. skup sintaktičkih pravila koji generiraju skup T iz skupa osnovnih termina; M x - semantička funkcija koja daje (kvantitativno)

Prof..dr.sc. Bojana Dalbelo Bašić 1/12

bilješke za predavanja 17.3. † ak. god. 03./04.

OPERACIJE NAD NEIZRAZITIM SKUPOVIMA

Neka su A i B neizraziti skupovi .

0 5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Unija A i B jest neizraziti skup A ∪ B,

∀x ∈ X, µ A ∪ B(x) = max (µA(x), µB(x)).

0 5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 1015202530

0.20.40.60.81

Unija oblikuje jezični izraz ili.

Presjek A i B jest neizraziti skup A ∩ B,

∀x ∈ X, µ A ∩ B(x) = min (µA(x), µB(x)).

0 5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 1015202530

0.20.40.60.81

Presjek oblikuje jezični izraz i.



SVOJSTVA OPERACIJA NA NEIZRAZITIM SKUPOVIMA

Slijedeća svojstva vrijede za operacije unije, presjeka i komplementa na klasičnim i na neizrazitim skupovima kada se te operacije interpretiraju kao max, min i 1 – x, redom.

A ∪ B = B ∪ A Komutativnost A ∩ B = B ∩ A A ∪ (B ∪ C) = B ∪ (A ∪ C) Asocijativnost (A ∩ B) ∩ C = B ∩ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Distributivnost A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ A = A Idempotencija A ∩ A = A (A ∪ B)C = B C ∩ A C De Morganovi zakoni (A ∩ B) C = B C ∪ A C (AC)C = A Involutivnost A ∪ ∅ = A A ∪ X = X Rubni uvjeti A ∩ ∅ = ∅ A ∩ X = A Ako A ⊆ B i B ⊆ C tada je A ⊆ C Tranzitivnost

Međutim, dva važna zakona koja vrijede u klasičnoj teoriji skupova,

zakon kontradikcije

A ∩ A C = ∅

i zakon isključenja trećega

A ∪ A C = X,

NE VRIJEDE u neizrazitoj teoriji skupova.



JEZIČNA VARIJABLA

Neformalno, jezična ili lingvistička varijabla je varijabla koja umjesto uobičajenih numeričkih vrijednosti poprima vrijednosti u obliku riječi ili jezičnih izraza.

Jezična varijabla osigurava vezu između prirodnog jezika i kvantificiranja neizrazitih propozicija. Stoga je njeno razumijevanje neophodno za razumijevanje zaključivanja u neizrazitoj logici.

Definicija (jezična varijabla) [Zadeh, 1975]

Jezična varijabla je petorka (x, Tx, U, G, Mx), gdje je:

x - naziv jezične varijable;

Tx - skup jezičnih vrijednosti (termina, izraza) koje može poprimiti jezična varijabla Tx → skup termina (term-set);

U - univerzalni skup (engl. universe of discourse) je stvarna fizička domena u kojoj elementi iz T poprimaju numeričke vrijednosti. (U → kontinuiran ili diskretan);

G - gramatika tj. skup sintaktičkih pravila koji generiraju skup T iz skupa osnovnih termina;

Mx - semantička funkcija koja daje (kvantitativno) značenje (interpretaciju) jezičnim izrazima. Mx je funkcija koja ∀ x ∈ T (tj. svakoj jezičnoj vrijednosti) pridružuje neki neizraziti podskup od U.

Primjer

Jezična varijabla: STAROSNA DOB

x = STAROSNA DOB

T(STAROSNA DOB) = mlad + nije mlad + vrlo mlad + ne vrlo mlad + vrlo vrlo mlad + .…

+ srednjih godina + star + nije star + vrlo star + vrlo vrlo star + ….

+ ne star i ne srednjih godina+…

U = {0, 1, 2, 3, 4, …………… 99, 100}



Značenja osnovnih izraza (npr. mlad i star) su subjektivna i kontekstno zavisna i ta su značenja određena unaprijed. Pomoću gramatike moguće je generirati sve ostale vrijednosti skupa T iz ta dva osnovna izraza. Na primjer, izvedeni izrazi su: vrlo mlad, ne vrlo mlad, vrlo vrlo star itd.

Primjeri ostalih jezičnih varijabli su: toplina, istina, vjerojatnost, jasnoća itd.

U univerzalni skup

x - naziv jezične varijable

Mx – značenje tj. neizraziti skupovi

Tx - vrijednosti jezične varijable



PRIMJER GRAMATIKE ZA JEZIČNU VARIJABLU “STAROSNA DOB”

Neka je G gramatika definirana četvorkom (VN, VT, P, S), gdje je: • VN – skup nezavršnih simbola

• VT – skup završnih simbola

• P - skup produkcijskih pravila

• S – početni simbol.

L(G) - jezik generiran gramatikom G – je skup svih nizova w izvedenih iz početnog simbola S, a w se sastoji se od završnih simbola iz VT. Neka je VN = {A, B, C, D, E, S}. Skup produkcijskih pravila P je: S → A A → A i B C → D S → S ili A B → C C → vrlo C A → B B → ne C C → E D → mlad E → star Izvedi niz završnih simbola “ ne mlad i ne vrlo star ”. S → A → A i B → A i ne C → A i ne vrlo C → A i ne vrlo E → A i ne vrlo star → B i ne vrlo star → ne C i ne vrlo star → ne D i ne vrlo star → ne mlad i ne vrlo star.

ZADATAK Izvedi nizove “mlad ili star”, “ne vrlo mlad i ne star”!



JEZIČNI MODIFIKATORI Jezični modifikatori (engl. linguistic hedges, linguistic modifiers) mijenjaju značenja osnovnih izraza.

FS1=FuzzyTrapezoid[3,6,8,20]

Koncentracija kvadrira vrijednosti funkcije pripadnosti, odgovara jezičnom izrazu "VRLO". FS1Con=Concentrate[FS1]; FS1Con2=Concentrate[FS1Con]; FuzzyPlot[FS1,FS1Con,FS1Con2,PlotJoined->True];

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21U

0.2

0.4

0.6

0.8

1Membership Grade

Dilatacija uzima kvadratni korijen vrijednosti funkcije pripadnosti. Odgovara jezičnom izrazu "MANJE ILI VIŠE". DilFS1=Dilate[FS1]; DilFS2=Dilate[DilFS1]; FuzzyPlot[FS1,DilFS1,DilFS2,PlotJoined->True];

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21U

0.2

0.4

0.6

0.8

1Membership Grade



Kontrastna intenzifikacija:

2*x2 za x < = 0.5,

1-2*(1-x)2 inače x = vrijednost funkcije pripadnosti

IC=IntensifyContrast[FS1] FuzzyPlot[FS1,IC,PlotJoined->True];

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21U

0.2

0.4

0.6

0.8

1Membership Grade



JEZIČNA VARIJABLA ISTINA

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Primjer: Ako je stvarna vrijednost istinitosti 0.4 onda je

µVRLO ISTINITO(0.4) = 0.16, i µPRILIČNO ISTINITO(0.4) = 0.63, tj. vrijednost istinitosti 0.4 slaže se s konceptom VRLO ISTINITO u mjeri 0.16, a s konceptom PRILIČNO ISTINITO

u mjeri 0.63.

istina@xD = x vrloistinito@x_D := istina@xD2 slaboistinito@x_D := èistina@xD

laz@x_D := 1 − x vrlolazno@x_D := laz@xD2 slabolazno@x_D := èlaz@xD

koncentracija

dilatacija

istina

prilično istinito

laž

prilično lažno

vrlo istinito vrlo lažno

Vrijednost istinitosti – realni broj iz [0, 1]

µstupanj

slaganja skonceptima

na grafu



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

visestinito@x_D := [email protected] manjeistinito@x_D := [email protected] viselazno@x_D := [email protected] manjelazno@x_D := [email protected]

istina

manje istinito

laž

više lažno

manje lažnoviše istinito



0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

>−−≤

=5.0))(1(215.0)(2

)( .int 2

2

xxxx

xkontrasnaµ

µµ

Kontrastna intenzifikacija od vrijednosti vrlo istinito

Kontrastna intenzifikacijaod vrijednosti istina



PRIMJER BOOLEOVE LINGVISTIČKE VARIJABLE

Definiramo dva osnovna izraza (engl. terms) jezične varijable STAROSNA DOB: star i mlad.

/naredba u Mathematici, i nakon naredbe Simplify[]/

mlad[x_]:=Which[x < 25, 1, x >= 25, (1+((x-25)/5)^2)^(-1)];

WhichBx < 25, 1, x ≥ 25, 1

1+ H x−255

L2 F


star[x_]:= Which[x < 50, 0, x >= 50, (1+((x-50)/5)^(-2))^(-1)]

WhichBx < 50, 0, x ≥ 50, 1

1+ 1I x−505 M2 F

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

mladstar



Sada možemo izvesti skup jezičnih vrijednosti Tx jezične varijable x = STAROSNA DOB pomoću Boolovih operatora I, ILI, NE interpretirajući ih kao min, max, 1-x funkcije, i uz interpretaciju izraza VRLO kao koncentraciju.

Star, Vrlo star, Vrlo vrlo star

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nije mlad , Nije vrlo mlad

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1−WhichBx < 25, 1, x ≥ 25, 1

1+ H x−255

L2 F2

vrlostar[x_]:= star[x]^2 WhichBx < 50, 0, x ≥ 50, 1

1+ 1I x−505 M2 F2

vrlovrlostar[x_]:= vrlostar[x]^2 WhichBx < 50, 0, x ≥ 50, 1

1+ 1I x−505 M2 F4

nijemlad[x_]:= 1-mlad[x] nijevrlomlad[x_]=1-mlad[x]^2

star[x]



Mlad ili star


mladilistar[x_]:= Max[mlad[x], star[x]]

MaxBWhichBx < 25, 1, x ≥ 25, 1

1+ H x−255

L2 F, WhichBx < 50, 0, x ≥ 50, 1

1+ 1I x−505 M2 FF

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

†

Documents

OPERACIJE NAD NEIZRAZITIM SKUPOVIMAG - gramatika tj. skup sintaktičkih pravila koji generiraju skup T iz skupa osnovnih termina; M x - semantička funkcija koja daje (kvantitativno)