4. 1

UNIDAD 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolvers ejercicios y problemas en los que

apliques las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de

polinomios.

Objetivos especficos:

1. Diferenciars monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.

2. Identificars y determinars el grado de un monomio y el de un polinomio.

3. Reducirs trminos semejantes en un polinomio.

4. Determinars cundo dos polinomios son iguales.

5. Recordars el procedimiento general para sumar y restar polinomios.

6. Recordars la multiplicacin de monomios.

7. Recordars la regla para la multiplicacin de un polinomio por un monomio.

8. Recordars el procedimiento general para la multiplicacin de polinomios.

9. Recordars la divisin entre monomios.

10. Recordars la regla para la divisin de un polinomio entre un monomio.

11. Recordars el procedimiento general para la divisin de polinomios.

12. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de ejercicios

algebraicos.

13. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de problemas de

casos reales.

4. 2

Objetivo 1. Diferenciars monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.

Un polinomio es una suma de trminos en los cuales cada uno es el producto de un coeficiente y

una o ms variables. Todas las variables tienen exponentes enteros, no negativos, y ninguna

variable aparece en el denominador. Es conveniente recordar que lo enteros no negativos son los

nmeros del conjunto 0,1, 2,3,... . En el caso de que el exponente de las variables sea cero, entonces el trmino se reduce a una constante.

Por ejemplo, las siguientes expresiones son polinomios:

1.) 2 4 2 2 33 2 4a b a b ab

2.) 2 7 2 55 4xy x y x y

3.) 23 6xy x y

4.) 2 24 3 5x y xy

5.) 3 2 2 2 2 2 3 32 4 5a b c a b c a b c

6.) 2 3 3

2

2 3y z y zx

porque, aunque la variable x aparece en el denominador, su exponente es negativo y de

acuerdo a lo establecido en la Unidad 2, al simplificar, la expresin queda como 2 2 3 2 32 3x y z x y z

Mientras que las siguientes expresiones no son polinomios:

1.) 2 3 2 2 33 2 4a b a b ab , puesto que en el primer trmino la variable b tiene exponente negativo.

2.) 2

2 57

5- 4xxy x yy

,

porque en el segundo trmino la variable y est en el denominador.

4. 3

3.) 12 5 2 2 3 434 3 + 5a b a b ab a b ,

porque en el ltimo trmino la variable a tiene un exponente fraccionario.

Un polinomio en el que todos sus trminos son de la forma nna x , donde na es alguna constante (es

decir, en los que aparece solamente una variable) se llama polinomio en x y se representa como

, , ,P x Q x f x etc.

Los siguientes son ejemplos de polinomios en x:

1.) 5P x x

2.) 2 16 42

Q x x x

3.) 4 32 1 7 53 2

f x x x x

Por el contrario, los siguientes ejemplos no son polinomios:

1.) 1/2R x x , puesto que el exponente es fraccionario.

2.) 2 13 2g x x x x , porque en el tercer trmino el exponente es negativo.

Un polinomio con un solo trmino es un monomio. Un binomio es un polinomio con dos trminos y

un trinomio es un polinomio con tres trminos. Lo polinomios con ms de tres trminos no tienen

un nombre especial. Poli es un prefijo griego que significa muchos. De acuerdo con lo anterior,

un polinomio es una suma de monomios.

4. 4

Ejemplos:

Monomios Binomios Trinomios

4 4x 2 2 1x x

6x 2 6x x 2 26 3 2x xy y

315

xyz 2 2x y y 2 21 3 6

2x y x y

Objetivo 2. Identificars y determinars el grado de un monomio y el de un

polinomio.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en l.

Ejemplos:

1.) El monomio: 2 33x y z , es de grado 6, puesto que 2 3 1 6 .

2.) El monomio: 4 3 25a b c , es de grado 9, puesto que 4 3 2 9 .

Un monomio que consiste solamente en una constante diferente de cero, es de grado cero.

Ejemplos:

1.) El monomio: 8, es de grado cero.

2.) El monomio: 15 , es de grado cero.

El grado de un polinomio es igual al del trmino (es decir del monomio incluido en l) con

coeficiente diferente de cero que posee el grado ms alto.

Ejemplos:

1.) 2 3 4P x x x es un polinomio de grado 2.

4. 5

2.) 3R x es un polinomio de grado 0.

3.) 7 4 30 9 1S x x x x es un polinomio de grado 4, puesto que el coeficiente de 7x es nulo.

4. 0M x es un polinomio nulo. Su grado es indeterminado puesto que no tiene ningn trmino con coeficiente diferente de cero.

5.) En el polinomio: 4 2 2 2 3 2 2 5 5 3 3 33 3a b c a b c a b c a b c sus monomios son, respectivamente, de grados: 8, 7, 12 y 9, por lo cual el polinomio es de grado 12.

6.) En el polinomio: 2 3 3 3 2 2 3 23 6 4xy z x y z x y z x yz sus monomios son,

respectivamente, de grados: 6, 7, 5 y 6, por lo cual el polinomio es de grado 7.

Objetivo 3. Reducirs trminos semejantes en un polinomio.

Se llaman trminos semejantes en un polinomio a los monomios que tienen las mismas variables

elevadas a las mismas potencias. En los polinomios de una sola variable, los trminos semejantes

son los del mismo grado.

Ejemplos:

1.) En el polinomio: 3 4 2 4 32 3 5 3 4a b a b ab b a ab , los trminos: y 3 42a b y 4 33b a son trminos semejantes, y los trminos: 5ab y 4ab tambin lo son.

2.) En el polinomio: 2 5 3 2 4 33 4 2 3 4Q x x x x x x x x , los trminos: 23x y 2x son semejantes, y tambin lo son los trminos: 32x y 34x .

4. 6

Reducir trminos semejantes en un polinomio significa agrupar en un slo monomio a los que sean

semejantes, efectuando la suma algebraica de sus coeficientes de acuerdo con las reglas de los

signos para la suma.

En los ejemplos anteriores, los trminos semejantes se reducen de la siguiente manera:

1.) 3 4 2 4 32 3 5 3 4a b a b ab b a ab .

Se reducen: 3 4 4 3 3 42 3 5a b b a a b y tambin: 5 4ab ab ab .

El polinomio reducido queda: 3 4 25 3a b a b ab .

2.) 2 5 3 2 4 33 4 2 3 4Q x x x x x x x x .

Se reducen: 2 2 23 2x x x , y tambin: 3 3 32 4 2x x x .

El polinomio reducido queda: 2 5 3 42 4 2 3Q x x x x x x .

Objetivo 4. Determinars cundo dos polinomios son iguales.

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y si todos y cada uno de los trminos de uno

de ellos tienen un trmino semejante, con exactamente el mismo coeficiente, en el otro. En

particular, en los polinomios de una sola variable, dos polinomios son iguales si los coeficientes de

sus trminos de igual grado, son iguales.

Ejemplos:

1.) El polinomio: 3 5 4 23 2xy xy xz yz xyz

y el polinomio: 4 3 2 53 2z x xy xyz yz y x

son iguales.

2.) El polinomio: 5 3 2 4 3 23 6 2 7 3 3M x x x x x x x x

y el polinomio: 4 3 5 23 3 7R x x x x x x

son iguales puesto que, al reducir trminos semejantes, M x queda:

5 3 2 43 3 7 M x x x x x x .

4. 7

3.) El polinomio: 3 2 22 3 x xy xy xy

y el polinomio: 3 2 22 3 x xy xy xy

no son iguales, puesto que el coeficiente del trmino en xy es diferente (en el primero

es 1 y en el segundo es + 1).

4.) El polinomio: 5 4 4 3 3 2 26 3 2 4x y x y x y x y x

y el polinomio: 5 4 4 3 3 26 3 4x y x y x y x

no son iguales, puesto que el trmino 22x y del primero no tiene un trmino semejante

en el segundo.

Objetivo 5. Recordars el procedimiento general para sumar y restar polinomios.

Dos polinomios se suman reduciendo los trminos que sean semejantes en ambos.

Ejemplo:

1.) Para sumar el polinomio: 3 2 2 3 2 22 3 4 2 5 7xy x y x y xy x y xy

con el polinomio: 3 2 2 2 23 4 2 9xy x y xy x y xy , se procede as:

3 2 2 3 2 2

3 3 2 2

(2 1) ( 3 3) 4 (2 4) ( 5 2) (7 9)3 4 6 7 2

xy x y x y xy x y xyxy x y xy x y xy

Para realizar la suma cuando los polinomios son de una sola variable, la operacin se efecta

sumando o restando los coeficientes (segn su signo) de los trminos de igual grado.

Ejemplo:

1.) Para sumar: 4 23 5 7 P x x x x con: 3 22 11 3Q x x x x , se procede as:

4 2 3 2(3 5 7 ) ( 2 11 3) P x Q x x x x x x x

4. 8

4 3 23 ( 5 2) (7 11) 3 x x x x

4 3 23 3 4 3 x x x x .

Para sumar varios polinomios, en la prctica, se acostumbra colocar unos debajo de los otros de

manera que los trminos semejantes queden en la misma columna. A continuacin se reducen los

trminos semejantes separando unos de otros con sus signos correspondientes.

Ejemplos:

1.) Sumar: 3 2 24 2 3x x y xy , con: 2 2 36 2 4x y xy x , y con: 3 2 27 6x x y xy .

Para efectuar la suma se tiene: 3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

4 2 3 ,4 6 2

7 6

5

x x y xyx x y xyx x y xy

x x y xy

2.) Sumar: 4 23 3 5 7P x x x x , con: 5 4 3 22 2 3Q x x x x x x , y con:

5 4 33 2 2 4 5R x x x x x .

Para efectuar la suma se tiene: 4 2

5 4 3 2

5 4 3

5 4 3 2

3 3 5 72 2 33 2 2 4 5

4 3 8 1

x x xx x x x xx x x x

x x x x x

Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus trminos.

Ejemplo:

1.) Para el polinomio: 2 3 4P x x x

su opuesto es el polinomio: 2 3 4P x x x .

4. 9

Se llama resta o diferencia de dos polinomios, P Q , a la suma de P con el opuesto de Q. Al

polinomio P se le llama minuendo y al polinomio Q se le llama sustraendo. As, para restar dos

polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:

1.) Para restar del polinomio: 4 23 5 7P x x x x ,

el polinomio: 3 22 11 3Q x x x x , se procede as:

4 2 3 2 3 5 7 2 11 3P x Q x x x x x x x

4 2 3 23 5 7 2 11 3x x x x x x 4 3 23 5 2 7 11 3 x x x x

4 3 23 7 18 3 x x x x .

En forma parecida al caso de la suma, para restar dos polinomios puede resultar cmodo escribir el

opuesto del sustraendo debajo del minuendo de manera que los trminos semejantes queden en la

misma columna y, a continuacin, se reducen los trminos semejantes.

Ejemplo:

1.) Restar: 4 3 2 2 4 3 2 24 2 5 , de 8 5 3x x y x y x x y x y .

Solucin:

Se escribe el sustraendo con los signos cambiados (para tener su opuesto) debajo

del minuendo, ordenndolos ambos en orden descendente con respecto a la

variable x, y se suma: 4 3 2 2

4 3 2 2

4 3 2 2

8 5 34 2 5

4 3 2

x x y x yx x y x y

x x y x y

Objetivo 6. Recordars la multiplicacin de monomios.

4. 10

Para multiplicar monomios se aplican las reglas de los signos y las reglas de los exponentes que se

presentan en las Unidades 1 y 2 (Reglas de los signos y Exponentes y radicales). El grado del

monomio resultante es igual a la suma de los grados de los monomios que se multiplican.

Ejemplos:

1.) Para multiplicar 4xy por 46xy : 4xy 46xy 44 6 x x y y

1 1 1 4 2 524 24x y x y .

2.) Para multiplicar 4 7 8 32 por 3a b a b c

4 7 8 3 4 8 7 34 8 7 3 12 10

2 3 2 3

6 6

a b a b c a a b b c

a b c a b c

3.) Para multiplicar: 4 2 43x y z por 3 35x yz

4 2 4 3 3 4 3 2 4 34 3 2 1 4 3 7 3 7

3 5 3 ( 5)

15 15

x y z x yz x x y y z z

x y z x y z

Objetivo 7. Recordars la regla para la multiplicacin de polinomios por un

monomio.

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cada uno de los trminos del

polinomio por el monomio. El resultado es un polinomio con el mismo nmero de trminos que el

original y cuyo grado es igual a la suma del grado del polinomio original y el grado del monomio

por el que se multiplica.

Ejemplos:

1.) Para multiplicar el polinomio: 4 3 2 2 22 4 3 2xy x y x y x y xy , por el monomio: 2 33x y , se multiplica cada uno de los trminos del polinomio por el monomio:

4. 11

4 3 2 2 2 2 3 4 2 3

3 2 3 2 2 2 3 2 2 3

2 3

2 4 3 2 3 2 3

3 4 3 3 3

2 3

xy x y x y x y xy x y xy x y

x y x y x y x y x y x y

xy x y

3 7 5 4 4 5 4 4 3 46 3 12 9 6x y x y x y x y x y

2.) Para multiplicar el polinomio: 5 4 3 23 2 4 4 3z z z z z por el monomio: 22z , se multiplica cada uno de los trminos del polinomio por el monomio:

5 4 3 2 2 5 2 4 2

3 2 2 2 2 2

3 2 4 4 3 2 3 2 2 2

4 2 4 2 2 3 2

z z z z z z z z z z

z z z z z z z

7 6 5 4 3 26 4 8 8 2 6z z z z z z

En muchas ocasiones, para efectuar la multiplicacin resulta conveniente escribir los dos factores

con el polinomio arriba y el monomio abajo, y anotar en un tercer rengln el resultado de la

multiplicacin del segundo por todos los trminos del primero.

Ejemplos:

1.) Multiplicar: 3 23 5 4 3a a a 3 2

4 3

3 5 43

9 15 12

a aa

a a a

2.) Multiplicar: 3 2 2 3( 3 3 ) 2x x y xy y xy 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

3 32

2 6 6 2

x x y xy yxy

x y x y x y xy

Objetivo 8. Recordars el procedimiento general para la multiplicacin de

polinomios por polinomios.

4. 12

Para multiplicar dos polinomios, es decir para obtener su producto, se multiplican, trmino a

trmino, cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los

trminos semejantes.

Ejemplos:

1.) Multiplicar: 5 11P x x , por 3 22 4Q x x x

3 2( ) ( ) 5 11 2 4P x Q x x x x 3 2 3 25 2 4 11 2 4x x x x x

3 2 3

2

5 5 2 5 4 11

11 2 11 4

x x x x x x

x

4 3 3 25 10 20 11 22 44x x x x x

4 3 25 10 11 20 22 44x x x x 4 3 25 21 22 20 44x x x x

2.) Multiplicar: 2 2 33 2 4a b ab ab ab , por 2 23ab a b

2 2 3 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 2 2

3 2 4 3 3 3

2 3 3

4 3

a b ab ab ab ab a b a b ab a b

ab ab a b ab ab a b

ab ab a b

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 2 3 2

3 3 3 2

2 3 3

4 4 3

a b ab a b a b ab ab

ab a b ab ab ab a b

ab ab ab a b

3 3 4 2 2 3

3 2 2 4 3 3 2 5 3 4

3 9 26 3 4 12

a b a b a ba b a b a b a b a b

4. 13

3 3 4 2 2 33 2 2 4 2 5 3 4

3 3 9 2

6 4 12

a b a b a b

a b a b a b a b

3 3 4 2 2 3

3 2 2 4 2 5 3 4

6 9 26 4 12

a b a b a ba b a b a b a b

Como en el caso anterior, es conveniente para efectuar la multiplicacin de dos polinomios, escribir

los dos factores uno abajo del otro, y anotar en renglones sucesivos el resultado de la multiplicacin

de cada monomio del segundo por todos los trminos del primero, para luego efectuar la reduccin

de trminos semejantes como en una suma.

Ejemplo:

1.) Multiplicar: 3 2 2 3 2 2(2 3 4 2 ) 3 4 5a a b ab b a ab b Se multiplica el primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo, tomados de

izquierda a derecha, y cada producto se escribe en un rengln:

3 2 2 3

2 2

5 4 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

2 3 4 23 4 5

6 9 12 68 12 16 8

10 15 20 10

6 10 25 28 10

a a b ab ba ab b

a a b a b a ba b a b a b ab

a b a b ab b

a a b a b a b ab b

El mismo resultado se obtiene si se multiplica el primer polinomio por cada uno de los

monomios del segundo, tomados de derecha a izquierda: 3 2 2 3

2 2

3 2 2 3 4 5

4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3

5 4 3 2 2 3 4 5

2 3 4 23 4 5

10 15 20 108 12 16 8

6 9 12 6

6 10 25 28 10

a a b ab ba ab b

a b a b ab ba b a b a b ab

a a b a b a b

a a b a b a b ab b

4. 14

Objetivo 9. Recordars la divisin entre monomios.

Al igual que sucede con los nmeros, en el caso de los monomios y de los polinomios, una fraccin

significa una divisin. A la expresin en que se presenta una divisin entre monomios o polinomios

se le llama fraccin algebraica. Al trmino correspondiente al numerador se le conoce como

dividendo, y al del denominador como divisor. El resultado de la divisin es el cociente.

En la fraccin PM

, el dividendo es P, y el divisor es M.

Al obtener PM

= Q, el cociente es Q.

Para dividir monomios se aplican las reglas de los signos y las reglas de los exponentes que se han

expuesto en las Unidades 1 y 2. El grado del monomio resultante es igual a la diferencia del grado

del monomio dividendo menos el grado del monomio divisor.

Ejemplos:

1.)

6 4 6 46 2 4 1 4 3

2 2

4 44 22 22

a b a b a b a bba b a

.

2.) 3 2 5 23 5

3 3 2 1 5 3 23 3 3 3

6 6 3 322

x y z yx z x y z yzyx yz x z

.

3.) 4 4

4 33 3

2 2 1 14 2 24

x x x xx x

.

Cuando el grado del divisor es mayor que el grado del dividendo, el resultado de la divisin no es

un monomio, puesto que la diferencia de grados resulta ser un nmero negativo y, como se ha

sealado, en los polinomios (y los monomios son polinomios con un solo trmino) los exponentes

deben ser nmeros enteros no negativos.

Ejemplos:

1.) 2

13

3 3 3a b aa b a

, el resultado no es un monomio.

2.) 4

37 3

6 2 23x xx x

, el resultado no es un monomio.

4. 15

Objetivo 10. Recordars la regla para la divisin de un polinomio entre un

monomio.

En general, cuando se trata de dividir un polinomio entre un monomio, se puede establecer la

siguiente regla:

Dados un polinomio P y un monomio M , siempre es posible encontrar otros dos

polinomios Q y R tales que:

P MQ R

En trminos de fracciones algebraicas, la expresin anterior dice que:

= +P RQM M

.

En ambas expresiones, P es el dividendo, M es el divisor, Q es el cociente y R es el residuo. El

grado de Q es igual a la diferencia del grado de P menos el grado de M , y el grado de R es

menor que el de Q , o bien 0R , en cuyo caso la divisin es exacta.

Si la divisin es exacta, el resultado (el cociente) es un polinomio con el mismo nmero de trminos

que el original y cuyo grado es igual a la diferencia del grado del polinomio dividendo menos el

grado del monomio divisor.

En la prctica, para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los trminos del

polinomio por el monomio.

Ejemplos:

1.) Dividir: 3 4 3 2 2 2 2 3

2

4 2 4 62

x y x y x y x yxy

.

Para efectuar la divisin, se divide cada trmino del numerador entre el denominador:

4. 16

3 4 3 2 2 2 2 3 3 4 3 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2

2 2 2

4 2 4 6 4 2 4 62 2 2 2 2

2 2 3

x y x y x y x y x y x y x y x yxy xy xy xy xy

x y x x xy

2.) Dividir: 5 4 3 2

2

8 2 8 42

y y y yy

.

5 4 3 2 5 4 3 2

2 2 2 2 2

3 2

8 2 8 4 8 2 8 42 2 2 2 2

4 4 2

y y y y y y y yy y y y y

y y y

Si al dividir cada uno de los trminos del dividendo entre el monomio divisor se encuentra que en

algn caso el resultado tendra un exponente negativo, entonces la divisin no es exacta y el

resultado se expresa dando el cociente obtenido con todos los trminos en que resulten exponentes

no negativos, y los trminos restantes del dividendo constituyen el residuo de la divisin.

Ejemplos:

1.) Dividir: 5 4 3 2

2

8 2 8 4 3 12

x x x x xx

.

5 4 3 2 5 4 3 2

2 2 2 2 2 2 2

3 2

8 2 8 4 3 1 8 2 8 4 3 12 2 2 2 2 2 2

4 4 2

x x x x x x x x x xx x x x x x x

x x x

con un residuo igual a 3x 1, puesto que en los dos ltimos trminos de la divisin el

exponente hubiera resultado negativo.

2.) Dividir: 3 4 3 2 2 2 2 3

2

4 2 4 2 62

a b a b a b ab a bab

.

3 4 3 2 2 2 2 3

2

3 4 3 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2

4 2 4 2 62

4 2 4 2 62 2 2 2 2

a b a b a b ab a bab

a b a b a b ab a bab ab ab ab ab

4. 17

2 2 22 2 3a b a a ab

con un residuo igual a 2ab , puesto que en el penltimo trmino de la divisin el exponente de b hubiera resultado negativo.

Otra manera de expresar el resultado cuando la divisin no es exacta, es en la forma que se llama de

cocientes mixtos. En este caso, el resultado se da con el cociente obtenido con todos los trminos en

que resulten exponentes no negativos, ms una fraccin en que se expresa al residuo entre el

divisor.

Para los mismos ejemplos anteriores se tiene:

1.) 5 4 3 2

3 22 2

8 2 8 4 3 1 3 14 4 22 2

x x x x x xx x xx x

.

2.) 3 4 3 2 2 2 2 3

2 2 22 2

4 2 4 2 6 22 2 32 2

a b a b a b ab a b aba b a a abab ab

.

2 2 22

22 2 32

aba b a a abab

La forma de cocientes mixtos corresponde a la expresin = +P RQM M

.

Objetivo 11. Recordars el procedimiento general para la divisin de

polinomios entre polinomios.

La regla para dividir dos polinomios es similar a la de la divisin de un polinomio entre un

monomio:

Dados dos polinomios P y F , siempre es posible encontrar otros dos polinomios, Q y R ,

tales que:

P FQ R

Como antes, en trminos de fracciones algebraicas, la expresin anterior dice que:

= +P RQM M

.

4. 18

P es el dividendo, F es el divisor, Q es el cociente y R es el residuo. El grado de Q es igual a la

diferencia del grado de P menos el grado de F , y el grado de R es menor que el de Q , o bien

0R en cuyo caso la divisin es exacta.

El procedimiento prctico para dividir dos polinomios es el siguiente, que se ilustrar directamente

con un ejemplo, en el que se utiliza la siguiente notacin:

...(operaciones)..._______

cocientedivisor dividendo

residuo

Ejemplo:

Dividir el polinomio 3 2 2 24 8 6ab a b a b entre el polinomio 2b ab .

Antes que otra cosa, se ordenan los trminos tanto del polinomio dividendo como del polinomio

divisor por las potencias descendientes de una misma variable.

En el Ejemplo:

Se ordenan los dos polinomios de acuerdo con las potencias de a (tambin podran

ordenarse segn las potencias de b) y se tiene:

Dividendo: 3 2 2 28 6 4 a b a b ab

Divisor: 2ab b

A continuacin se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor. El

resultado es el primer trmino del cociente.

En el Ejemplo:

Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor.

4. 19

Como 3 2

28 42a b a bab

, se tiene:

2

3 2 2 2

42 8 6 4

a bab b a b a b ab

Ahora, este primer trmino del cociente se multiplica por todo el polinomio divisor y el producto se

resta del dividendo. Para hacer esta operacin de manera sencilla, se acostumbra cambiar el signo

del producto y escribir cada uno de sus trminos debajo de su semejante del dividendo. Si algn

trmino del producto no tiene semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le corresponde

de acuerdo con el orden que se ha establecido.

En el Ejemplo:

Se efecta el producto y se resta:

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

42 8 6 4

8 4

10 4

a bab b a b a b ab

a b a b

a b ab

Una vez hecha la resta, se divide el primer trmino de su resultado (que se llamar segundo

dividendo) entre el primer trmino del divisor. El resultado es el segundo trmino del cociente.

En el Ejemplo:

Ahora se divide el primer trmino del resultado de la resta entre el primer trmino del

divisor, para obtener el segundo trmino del cociente.

Como 2 210 5

2a b abab

, que ser el segundo trmino del cociente:

4. 20

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

4 52 8 6 4

8 4

10 4

a b abab b a b a b ab

a b a b

a b ab

Luego, este segundo trmino del cociente se multiplica por todo el polinomio divisor y el producto

se resta del segundo dividendo. Al resultado de la resta le llamar tercer dividendo.

En el Ejemplo:

Se hace el producto de este nuevo trmino del cociente por el divisor y se vuelve a

restar:

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

4 52 8 6 4

8 4

10 410 5

4 5

a b abab b a b a b ab

a b a b

a b aba b ab

ab ab

Se repite el procedimiento, dividiendo el primer trmino de este tercer dividendo entre el primer

trmino del divisor para obtener el tercer trmino del cociente y multiplicando ste por todo el

divisor, para restar el producto del tercer dividendo y obtener el cuarto, y as sucesivamente.

En el Ejemplo:

Se repite el procedimiento dividiendo de nuevo al primer trmino del resultado de la

resta entre el primer trmino del divisor.

Como 4 22

abab

, se obtiene el tercer trmino del cociente:

4. 21

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

4 5 22 8 6 4

8 4

10 410 5

4 5

a b abab b a b a b ab

a b a b

a b aba b ab

ab ab

y se vuelve a restar el producto de este ltimo trmino por el divisor:

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

4 5 22 8 6 4

8 4

10 410 5

4 54 2

5 2

a b abab b a b a b ab

a b a b

a b aba b ab

ab abab b

ab b

Se repite otra vez el procedimiento para obtener el siguiente trmino del cociente. 25 5

2 2ab bab

, y queda:

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

54 5 22

2 8 6 4

8 4

10 410 5

4 54 2

5 2

a b ab b

ab b a b a b ab

a b a b

a b aba b ab

ab abab b

ab b

4. 22

y se vuelve a restar el producto de este ltimo trmino obtenido por el divisor:

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

54 5 22

2 8 6 4

8 4

10 410 5

4 54 2

5 2552522

a b ab b

ab b a b a b ab

a b a b

a b aba b ab

ab abab b

ab b

ab b

b b

El procedimiento termina cuando sucede una de dos cosas:

a) El resultado de la resta es cero, lo que indica que la divisin es exacta; o bien

b) En el primer trmino del resultado de la resta el exponente de alguna variable es menor

que el exponente de la misma variable en el primer trmino del divisor. Como esto hara

que al obtener el siguiente trmino del cociente ste ya no fuera un polinomio (pues

aparecera un exponente negativo), ya no es posible continuar. En este caso el resultado de

la ltima resta es el residuo de la divisin.

En el Ejemplo:

Obsrvese el ltimo paso del proceso que se ha venido desarrollando, el cual se repite

aqu:

4. 23

2

3 2 2 2

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

54 5 22

2 8 6 4

8 4

10 410 5

4 54 2

5 2552522

a b ab b

ab b a b a b ab

a b a b

a b aba b ab

ab abab b

ab b

ab b

b b

Como en el primer trmino del ltimo resultado de la resta se encuentra que no aparece

la variable a (es decir que a aparece elevada a la potencia cero) y en el primer trmino

del divisor a est elevada a la primera potencia, al intentar obtener el siguiente trmino

del cociente se tendra:

12 12

b aab a

Por eso, el proceso termina aqu y la divisin no es exacta.

El cociente es: 254 5 22

a b ab b ,

El residuo es: 2522

b b .

En trminos de un cociente mixto, la operacin se expresa as:

23 2 2 22

528 6 4 5 24 5 22 2 2

b ba b a b ab a b ab bab b ab b

.

4. 24

Ejemplos:

1.) Dividir el polinomio 4 2( ) 9 3 P x x x x

entre el polinomio 3F x x . Se efectuar el procedimiento por pasos, empezando por ordenar los polinomios de acuerdo

con las potencias de su nica variable, que es la x: 4 2( ) 9 3 P x x x x , 3F x x

Se obtiene el primer trmino del cociente: 3

4 23 9 3x

x x x x

Se efecta el producto y se resta: 3

4 2

4 3

3 2

3 9 3

3

3 9 3

xx x x x

x x

x x x

Se obtiene el segundo trmino del cociente: 3 2

4 2

4 3

3 2

33 9 3

3

3 9 3

x xx x x x

x x

x x x

Se efecta el nuevo producto y se vuelve a restar: 3 2

4 2

4 3

3 2

3 2

3 13 9 3

3

3 9 33 9

3

x xx x x x

x x

x x xx x

x

4. 25

Se obtiene el tercer trmino del cociente: 3 2

4 2

4 3

3 2

3 2

3 13 9 3

3

3 9 33 9

3

x xx x x x

x x

x x xx x

x

Se efecta el nuevo producto y se vuelve a restar: 3 2

4 2

4 3

3 2

3 2

3 13 9 3

3

3 9 33 9

33

0

x xx x x x

x x

x x xx x

xx

La divisin es exacta y el cociente es: 3 2( ) 3 1Q x x x .

2.) Dividir el polinomio 4 2( ) 2 5 12 3 P x x x x

entre el polinomio 2( ) 1 3 F x x x

Se efectuar el procedimiento completo.

2

2 4 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

2 6 133 1 2 3 12 5

2 6 2

6 5 12 56 18 6

13 18 513 39 13

21 8

x xx x x x x

x x x

x x xx x x

x xx x

x

4. 26

La divisin no es exacta.

El cociente es 2( ) 2 6 13Q x x x y el residuo es ( ) 21 8R x x

Como cociente mixto la operacin se expresa as:

4 2

22 2

2 3 12 5 21 82 6 133 1 3 1

x x x xx xx x x x

.

Objetivo 12. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de

ejercicios algebraicos.

Para aplicar las operaciones con polinomios en la solucin de problemas, se sigue el orden

acostumbrado para evaluar expresiones matemticas, como se indic en la Unidad 1. Primero se

evalan las expresiones dentro de los signos de agrupacin (parntesis, corchetes o llaves), despus

se evalan los trminos que correspondan a potencias o races, luego las multiplicaciones y

divisiones y, finalmente, las sumas y restas, recordando que en una fraccin, la barra que separa al

numerador del denominador funciona tambin como signo de agrupacin.

Ejemplos:

1.) Para evaluar:

2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 5 3 4 4 3 5

2 2

3 6 9 2 6 6 6 23 2

a b a b ab a b ab a b a b a b a bab a b

.

Primero se evala el producto en el primer trmino: 2 3 2 2 3

2 2 3

3 6 3 5 2 6

4 5 4 4 3 5

4 5 4 4 3 6 3 5 2 6

3 6 92

6 12 183 6 9

3 6 6 3 18

a b a b aba b ab

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b a b a b

luego se efectan las dos divisiones:

4. 27

4 5 4 4 3 6 3 5 2 63 3 3 2 2 4 2 3 4

2

3 6 6 3 18 2 2 63

a b a b a b a b a b a b a b a b a b abab

y: 5 4 5 3 4 4 3 5

3 3 3 2 2 3 42

6 6 6 2 3 3 32

a b a b a b a b a b a b a b aba b

finalmente se hace la suma: 3 3 3 2 2 4 2 3 4

3 3 3 2 2 3 4

3 3 3 2 2 4 2 3 4

2 2 63 3 3

4 5 2 2 5

a b a b a b a b aba b a b a b ab

a b a b a b a b ab

De modo que:

2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 5 3 4 4 3 52 2

3 3 3 2 2 4 2 3 4

3 6 9 2 6 6 6 23 2

4 5 2 2 5 .

a b a b ab a b ab a b a b a b a bab a b

a b a b a b a b ab

2.) Para evaluar:

5 4 3 2

2 32

5 11 153 1 23

x x x xx x x xx x

.

Primero se obtienen el producto y el cociente indicados en cada trmino: 2

3

2

3 2

5 4 3

5 4 3 2

3 12

2 6 23

3

3 2 5 2

x xx x

x xx x x

x x x

x x x x x

4. 28

3 2

2 5 4 3 2

5 4

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2 53 5 11 15

3

2 11 152 6

5 155 15

0

x x xx x x x x x

x x

x x xx x

x xx x

y luego se hace la resta, sumando al resultado del producto del primer trmino el opuesto

del cociente del segundo trmino:

5 4 3 2

3 2

5 4 3 2

3 2 5 22 5

3 10 2

x x x x xx x x

x x x x x

As:

5 4 3 2

2 32

5 4 3 2

5 11 153 1 23

3 10 2.

x x x xx x x xx x

x x x x x

3.) 4 3 2 2 3 4 3 2 2

2 2 2

2 4 22

a b a b a b ab a a b ab ba b ab a b

Primero se efectan las dos divisiones:

4. 29

2 2

2 2 4 3 2 2 3 4

4 3 2

3 2 2 3 4

3 2 2 3

2 3 4

2 3 4

2

22 2

0

a ab ba b ab a b a b a b ab

a b a b

a b a b aba b a b

a b aba b ab

2 3 2 2

3

2 2

2 2

22 2 4 2

2 4

22

0

a ba b a a b ab b

a ab

a b ba b b

y luego el producto de los dos cocientes: 2 2

2 2 3

3 2 2

3 2 3

22

22 4 2

2 3

a ab ba b

a b ab ba a b ab

a a b b

De modo que: 4 3 2 2 3 4 3 2 2

3 2 32 2 2

2 4 2 2 32

a b a b a b ab a a b ab b a a b ba b ab a b

4.) 4 3 2

2 34 6 2 1 2 43

x x x x x x x xx

Primero se efectan las operaciones agrupadas en el corchete, empezando por la divisin:

4. 30

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

23 4 6

3

63

2 62 6

0

x x xx x x x x

x x

x x xx x

x xx x

luego la resta:

3 2 2 3 2 23

2 2 1 2 2 1

4 1

x x x x x x x x x x

x x

y, despus, este resultado se multiplica por el otro factor:

3

3

3

4 2

6 4 3

6 4 3 2

4 12 4

4 16 44

2 8 2

2 9 6 4 17 4

x xx x

x xx x x

x x x

x x x x x

Entonces:

4 3 2

2 3

6 4 3 2

4 6 2 1 2 43

2 9 6 4 17 4

x x x x x x x xx

x x x x x