POLINOMIOS INDICE: Pág....Algoritmo de Euclides (regla de la división 10 2.5.3. División exacta 11 ... • Trinomios: Con tres sumandos. Ejemplo: S x x x()= − +1 12 4 A la hora

Polinomios Matemáticas 4º E.S.O. Opción B

Departamento de Matemáticas. I.E.S. “Fuente Lucena”. Alhaurín el Grande 1

POLINOMIOS

INDICE: Pág. 1. Definiciones generales 1 2. Operaciones con polinomios con una indeterminada 2 2.1. Suma de polinomios 2 2.2. Producto de un escalar por un polinomio 3 2.3. Producto de dos polinomios 3 2.4. Productos notables 4 2.5. División de polinomios 6 2.5.1. Cálculo 6 2.5.2. Algoritmo de Euclides (regla de la división 10 2.5.3. División exacta 11 2.5.4. División entre x~a. Regla de Ruffini 11 3. Cálculo de las raíces de un polinomio 15 3.1. Número máximo de raíces 15

3.2. Cálculo práctico de las raíces enteras de un polinomio 15 4. Factorización de polinomios 16 ANEXO I RELACION DE EJERCICIOS 20 ANEXO II RELACION DE EJERCICIOS RESUELTOS 28



1. DEFINICIONES GENERALES.

Un polinomio es una expresión algebraica en la que aparecen sumando y multiplicando números y letras. Por ejemplo: 23 7 12x y+ + , 2 3a b+ y 35 2 12x x− + − son polinomios. Las letras que aparecen reciben el nombre de variables o indeterminadas. Los números los llamamos coeficientes. Nosotros vamos a estudiar polinomios con una indeterminada, es decir, sólo aparece una letra (aunque puede hacerlo con distintos grados) y normalmente emplearemos la letra x para nombrarla, aunque a veces empleemos otras .A cada polinomio se le llamará con una letra mayúscula. Ejemplo 1: ( ) 32 4 5T x x x= − +

La x entre paréntesis indica que como variable o indeterminada estamos utilizando la letra x. Según el número de sumandos que aparezcan, los polinomios se clasifican en:

• Monomios: Con un sumando. Ejemplo: ( ) 52Q x x=

• Binomios: Con dos sumandos. Ejemplo: ( ) 73 4R x x x= − +

• Trinomios: Con tres sumandos. Ejemplo: ( ) 41 12S x x x= − +

A la hora de utilizar los polinomios, para que nos sea más fácil manejarlos ordenaremos sus términos de mayor a menor grado. Esto es lo que se llama forma canónica del polinomio.

Así, el polinomio ( ) 3 4 212 4 7

2Y x x x x x= + − − lo podemos escribir de muchas formas:

( ) 3 2 414 2 7

2Y x x x x x= + − − , ( ) 2 3 41

2 4 72

Y x x x x x= − + + − , LL

pero normalmente lo escribiremos ( ) 3 4 212 4 7

2Y x x x x x= + − − (forma canónica)

Denominamos grado de un polinomio al mayor grado de los monomios que lo componen. A cada uno de sus monomios los llamaremos términos. El término independiente será el término sin indeterminada, es decir, con grado 0. Por ejemplo, en el polinomio 3( ) 7 12Q x x x= + − :

• Su grado es 3. • La variable o indeterminada es x.



• Tiene tres términos: 3x , 7x , 12− . • Su término independiente es -12.

Llamamos polinomio constante a aquel cuyo único término es el término independiente. Por ejemplo ( ) 12H x = , ( ) 7S x = son polinomios constantes. Su grado es 0, ya que

07 7x= . Si en un polinomio no aparece término de cierto grado, es porque el coeficiente correspondiente vale 0. Así, en el polinomio 3( ) 12 7 3Q x x x= − + ,el término de 2º grado es 20x . Valor numérico de un polinomio en un número es el resultado que se obtiene al sustituir la indeterminada por ese número. Ejemplo 2: Valor numérico de 2( ) 3 4 5P x x x= − + en 2x = y en 1x = − En 2x = : 2(2) 3 2 4 2 5 12 8 5 9P = ⋅ − ⋅ + = − + =

En 1x = − : ( ) ( )2( 1) 3 1 4 1 5 3 4 5 12P − = ⋅ − − ⋅ − + = + + =

2. OPERACIONES CON POLINOMIOS CON UNA INDETERMINADA.

2.1. SUMA DE POLINOMIOS.

Para sumar polinomios los escribimos en forma canónica y sumamos los términos del mismo grado. Ejemplo 3:

2 3( ) 2 3 4 1P x x x x= − + + y 3( ) 7 5 6Q x x x= − + Para hallar ( ) ( )P x Q x+ los escribimos en forma canónica, 3 2( ) 4 3 2 1P x x x x= − + +

y 3( ) 6 5 7Q x x x= − + y sumamos término a término:

( ) ( ) 3 210 3 3 8P x Q x x x x+ = − − +

La resta de polinomios se realiza de forma análoga, restando los términos del mismo grado.



Ejemplo 4: Si 2( ) 2 3 5A x x x= + − y 2( ) 7 9B x x= − , entonces en forma canónica quedan

2( ) 3 2 5A x x x= + − y 2( ) 7 9B x x= − y su diferencia es:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 7 2 5 9 4 2 4A x B x x x x x x− = − + + − + = − + +

2.2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN POLINOMIO.

Llamamos escalares a los números reales. Para multiplicar un Polinomio por un número, multiplicamos cada uno de los coeficientes por ese número. Ejemplo 5: Si 2( ) 5 4 7A x x x= − + , entonces ( )2 22 ( ) 2 5 4 7 10 8 14A x x x x x= − + = − +

2.3. PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS.

Veámoslo en tres pasos sucesivos:

� Monomio·Monomio: Vamos a empezar por el caso más sencillo, que es multiplicar un monomio por otro. Por ejemplo, si 3( ) 2A x x= y 5( ) 7B x x= , ( ) ( ) 3 52 7A x B x x x⋅ = ⋅ , y

utilizando las propiedades conmutativa y asociativa lo podemos poner como 3 52 7 x x⋅ ⋅ ⋅ , que, por las propiedades de las potencias es 814x

Regla práctica: Para multiplicar dos monomios multiplicamos lo coeficientes y sumamos los exponentes. Ejemplos:

6 73 5 15x x x⋅ = ( )3 2 52 3 6x x x⋅ − = −

( )3 7 104 5 20x x x− ⋅ = −

� Monomio·Polinomio: Multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Por ejemplo, si ( ) 32A x x= y 3 2( ) 4 7 5 1B x x x x= − + − :

( ) ( ) ( )3 3 2 3 3 3 2 3 32 4 7 5 1 2 4 2 7 2 5 2 1A x B x x x x x x x x x x x x⋅ = − + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = 6 5 4 38 14 10 2x x x x= − + −



� Polinomio·Polinomio: Tendremos que ir multiplicando cada uno de los monomios de uno de los polinomios por los monomios del otro, y después habrá que sumar los términos que hayan quedado con el mismo grado. Para que esta operación sea más sencilla de realizar llevaremos a cabo lo siguientes pasos:

a) Escribimos los polinomios en forma canónica dejando un espacio en blanco si falta algún término intermedio. b) Escribimos un polinomio debajo del otro. c) Multiplicamos el primer monomio del 2º polinomio por cada uno de los monomios del 1º, y escribimos los resultados. d) Procedemos análogamente con los demás monomios del 2 polinomio, no olvidando colocar cada resultado debajo de lo resultados anteriores del mismo grado. e) Sumamos los términos con el mismo grado.

Ejemplo 6: Multiplicar 3 2( ) 2 4 5 7A x x x x= − + − y 2( ) 6 8 3B x x x= − + . Los polinomios ya están escritos en forma canónica. Los escribimos uno debajo del otro:

3 2

2

3 2

4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 4 5 7

6 8 3

Primer monomio polinomio 6 12 15 21

Segundo monomio polinomio 16 32 40 56

Tercer monomio polinomio 12 24 30 42

Sumamos 12 40 68 10 41 21

x x x

x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

− + +− +

⋅ + − + +⋅ − + − −

⋅ − + +

− + − − +

Por tanto, este polinomio es ( ) ( )A x B x⋅

Otra forma de multiplicar polinomios es escribirlos uno a continuación del otro e ir multiplicando cada monomio del primero por cada monomio del segundo y luego sumar los términos del mismo grado. Ejemplo 7:

( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 4 5 7 6 2 7 4 7 5 7 2 6 4 6 5 6x x x x x x x x x x+ − − = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − = 4 2 3 4 3 214 28 35 12 24 30 14 12 28 59 30x x x x x x x x x= + − − − + = − + − +



2.4. PRODUCTOS NOTABLES.

Existen casos especiales de productos de polinomios en los que resulta una fórmula que es muy fácil usarla y nos ahorra tiempo. Son los siguientes:

� Suma al cuadrado.

Cuando tenemos un binomio en el que los dos términos van sumando y lo multiplicamos por él mismo nos queda una suma al cuadrado y podemos utilizar el resultado conocido para calcularlo. Por ejemplo, ( ) ( )2 3 2 3x x+ ⋅ + lo

podemos escribir ( )22 3x+

Para calcularlo podríamos multiplicar los dos polinomios tal como hemos aprendido anteriormente:

2

2

2 3

2 3

6 9

4 6

4 12 9

x

x

x

x x

x x

+ ++ +

+ ++

+ +

El resultado es 24 12 9x x+ +

Nos damos cuenta que las operaciones realizadas han sido ( )2 22 4x x= ,

6 6 2 2 3 12x x x x+ = ⋅ ⋅ = y 23 9= , es decir, podemos aplicar que:

( )2 2 22a b a ab b+ = + +

� Diferencia al cuadrado.

Cuando tenemos un binomio en el que un término va sumando y otro restando y lo multiplicamos por él mismo nos queda una diferencia al cuadrado y podemos utilizar su fórmula para calcularlo.

Así, ( ) ( )2 23 5 3 5x x x x− ⋅ − lo podemos escribir como ( )223 5x x−

Para calcularlo podríamos multiplicar los dos polinomios:



2

2

3 2

4 3

4 3 2

3 5

3 5

15 25

9 15

9 30 25

x x

x x

x x

x x

x x x

+ −+ −

− +−

− +

El resultado es 4 3 29 30 25x x x− + y obtenemos lo mismo realizando:

( ) ( )2 22 2 4 3 23 2 3 5 5 9 30 25x x x x x x x− ⋅ ⋅ + = − + , que no es más que utilizar la

fórmula de una diferencia al cuadrado:

( )2 2 22a b a ab b− = − +

� Suma por diferencia.

Dos binomios de la forma ( )a b+ y ( )a b− se llaman conjugados. Cuando

tenemos multiplicando dos binomios conjugados el resultado podemos calcularlo a partir de la fórmula que ya conocemos. Por ejemplo ( ) ( )3 3x x+ ⋅ − podríamos calcularlo multiplicando los polinomios

conjugados:

2

2

3

3

3 9

3

9

x

x

x

x x

x

+−

− −+

−

El resultado es 2 9x − . Obtenemos lo mismo realizando directamente 2 23x − o, lo que es lo mismo, recordando que:

( ) ( ) 2 2a b a b a b+ ⋅ − = −

� Suma al cubo.

Estos mismos razonamientos son igualmente válidos cuando multiplicamos un binomio por sí mismo tres veces. Si los dos términos van sumando tenemos una suma al cubo. Para calcularla multiplicamos primero dos de los productos entre sí y lo que obtengamos por el tercero. Veamos cual es la fórmula que obtenemos.



( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 22a b a b a b a ab b a b+ = + ⋅ + = + + ⋅ +

Realizamos este producto:

2 2

2 2 3

3 2 2

3 2 2 3

2

2

2

3 3

a ab b

a b

a b ab b

a a b ab

a a b ab b

+ ++ +

+ + ++ +

+ + +

El resultado final es 3 2 2 33 3a a b ab b+ + + Por tanto:

�� + �� = �� + 3�� + 3�� + �� Ejemplos:

( )3 3 2 2 3 3 22 3 2 3 2 2 6 12 8x x x x x x x+ = + ⋅ + ⋅ + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 24 1 4 3 4 1 3 4 1 1 64 48 12 1x x x x x x x+ = + ⋅ + ⋅ + = + + +

� Diferencia al cubo.

Si un término va sumando y otro restando tenemos una diferencia al cubo. Para calcularla multiplicamos primero dos de los productos entre sí y lo que obtengamos por el tercero. Veamos cual es la fórmula que obtenemos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 22a b a b a b a ab b a b− = − ⋅ − = − + ⋅ −

Realizamos este producto:

2 2

2 2 3

3 2 2

3 2 2 3

2

2

2

3 3

a ab b

a b

a b ab b

a a b ab

a a b ab b

− ++ −

− + −− +

− + −

El resultado final es 3 2 2 33 3a a b ab b− + − Por tanto:

�� − �� = �� − 3�� + 3�� − ��



Ejemplos:

( )3 3 2 2 3 3 21 3 1 3 1 1 3 3 1x x x x x x x− = − ⋅ + ⋅ − = − + −

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 24 2 4 3 4 2 3 4 2 2 64 96 48 8x x x x x x x− = − ⋅ + ⋅ − = − + −

2.5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

2.5.1. CALCULO.

� Monomio entre monomio:

Vamos a empezar por el caso más sencillo, que es dividir un monomio entre otro. Para entenderlo veamos un ejemplo:

6 66 2 4

2 2

8 88 : 2 4

2 2

x xx x x

x x= = ⋅ =

Regla práctica: Para dividir un monomio entre otro dividimos los coeficientes y restamos los exponentes. Ejemplos:

75

2

122

6

xx

x=

6

42

153

5

xx

x=

284

2

xx

x= −

−

3

2

2

2

xx

x

− = −

42

2

7 7

3 3

xx

x=

50

5

123 3

4

xx

x= − = −

−

7

6

2 2

3 3

xx

x=



� Polinomio entre monomio:

Para realizar esta operación vamos a recordar antes cuáles son los elementos de cualquier división:

DIVIDENDO DIVISOR

COCIENTE

RESTO��

En este caso el dividendo es un polinomio y el divisor un monomio. Veamos con un ejemplo como llevamos a cabo la división:

5 4 2 48 4 16 10 12 : 2x x x x x− + − + Ponemos los polinomios en forma canónica dejando “un hueco” si falta algún término y escribimos la división como si fuese entre números:

5 4 2 48 4 16 10 12 2x x x x x− + − + Dividimos el primer término del dividendo entre el divisor y el resultado lo escribimos en el cociente:

5 4 2 48 4 16 10 12 2

4

x x x x x

x

− + − +

Multiplicamos este resultado por el divisor y se lo restamos al dividendo. Para ello lo cambiamos de signo y sumamos:

5 4 2 4

5

4 2

8 4 16 10 12 2

8 4

4 16 10 12

x x x x x

x x

x x x

− + − +−

− + − +

Volvemos a repetir la operación con el polinomio que nos ha quedado; dividimos 44x− entre 42x y el resultado lo escribimos en el cociente:

5 4 2 4

5

4 2

8 4 16 10 12 2

8 4 2

4 16 10 12

x x x x x

x x

x x x

− + − +

− −

− + − +

El resultado, 2− , lo multiplicamos por el divisor y se lo restamos al polinomio que nos quedaba:



5 4 2 4

5

4 2

4

2

8 4 16 10 12 2

8 4 2

4 16 10 12

4

16 10 12

x x x x x

x x

x x x

x

x x

− + − +

− −

− + − ++

+ − +

El proceso se puede continuar hasta que el grado del polinomio que aparezca sea menor que el grado de divisor. En este caso queda 216x (grado 2). Como el grado del divisor es 4 no podemos continuar. La división ha finalizado. El polinomio resultante, 216 10 12x x− + , es el RESTO de la división. Por tanto tenemos:

5 4 2 4

5

4 2

4

2

DIVIDENDO 8 4 16 10 12 2 DIVISOR

8 4 2 COCIENTE

4 16 10 12

4

16 10 12 RESTO

x x x x x

x x

x x x

x

x x

→ − + − + ←

− − ←

− + − ++

+ − + ←

Ejemplo 8:

6 4 2 5 221 3 9 15 17 : 3x x x x x+ − − +

6 5 4 2 2

6 4 3 2

5 4 2

5

4 2

4

2

2

21 15 3 9 17 3

21 7 5 3

15 3 9 17

15

3 9 17

3

9 17

9

17

x x x x x

x x x x

x x x

x

x x

x

x

x

− + − +

− − + −

− + − ++

+ − +−

− ++

+

No podemos continuar porque 17 tiene grado 0 y el divisor grado 2. Por tanto el resto es 17.



� Polinomio entre polinomio:

El razonamiento es el mismo que en el caso anterior:

� Escribimos dividendo y divisor en forma canónica. � Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor

y el resultado lo escribimos en el cociente. � Multiplicamos este resultado por cada uno de los términos del divisor y

se lo restamos al dividendo (cambiando el signo y luego sumando) � Con el polinomio que nos quede repetimos la operación hasta que su

grado sea menor que el grado del divisor. En este caso la operación ha terminado y el polinomio resultante es el resto.

Ejemplo 9:

3 2 28 6 6 8 : 2 4x x x x− + − +

3 2 2

3

2

2

8 6 6 8 2 4

8 16 4 3

6 10 8

6 12

10 4

DIVIDENDO x x x x DIVISOR

x x x COCIENTE

x x

x

x RESTO

→ − + − + ←− − − ←

− − −+ +

− + ←

Observación: El grado del polinomio cociente es la diferencia de los grados del polinomio dividendo y del polinomio divisor. Así, en el ejemplo anterior, el dividendo tiene grado 3, el divisor grado 2 y el cociente grado 1 ( )3 2 1− = . El grado del

resto es siempre menor que el grado del divisor. Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones:

a) 4 2 23 5 1 2 : 2x x x x x− − − + b) 3 2 24 6 2 1: 2 1x x x x− + − +

2.5.2. ALGORITMO DE EUCLIDES (REGLA DE LA DIVISIÓN).

Lo mismo que para divisiones entre números, se sigue cumpliendo la prueba de la división: DIVIDENDO = DIVISOR · COCIENTE + RESTO ( )D d c r= ⋅ +



A esta regla que se cumple siempre sean cuales sean los polinomios que escribamos se le denomina algoritmo de Euclides. Lo comprobamos para el ejemplo que realizamos anteriormente:

3 2 28 6 6 8 2 4

4 3

10 4

DIVIDENDO x x x x DIVISOR

x COCIENTE

x RESTO

→ − + − + ←− ←

− + ←

Divisor · Cociente: Divisor · Cociente + Resto:

2

2

3

3 2

2 4

4 3

6 12

8 16

8 6 16 12

x

x

x

x x

x x x

+ ++ −

− −+

− + −

3 2

3 2

8 6 16 12

10 4

8 6 6 8

x x x

x

x x x

− + −− +

− + −

Obtenemos el dividendo; por tanto se verifica el algoritmo de Euclides. Ejercicio: Comprueba la prueba de la división para el ejercicio de la pregunta anterior.

2.5.3. DIVISIÓN EXACTA.

Decimos que una división es exacta cuando el resto es 0. En esta caso el algoritmo de Euclides queda:

DIVIDENDO = DIVISOR · COCIENTE + RESTO = DIVISOR · COCIENTE + 0

Luego: DIVIDENDO = DIVISOR · COCIENTE cuando la división es exacta. En este caso decimos que: el dividendo es múltiplo del divisor.

el divisor es un factor del dividendo. el dividendo es divisible entre el divisor.

Veamos un ejemplo:

2 1: 1x x− −



2

2

1 1

1

1

1

0

x x

x x x

x

x

− −

− + +

+ −− +

El resto es 0 y por tanto la división es exacta. Al escribir el algoritmo de Euclides nos queda:

( ) ( )2 1 1 1x x x− = + ⋅ − y decimos que: 2 1x − es divisible entre 1x − 2 1x − es un múltiplo de 1x −

1x − es un factor de 2 1x −

2.5.4. DIVISIÓN ENTRE X - a. REGLA DE RUFFINI.

Al realizar la división de un polinomio entre un binomio del tipo x a− , tenemos:

( )( )

( )

P x x a

C x

R x

−

Como el cociente es x a− , tiene grado 1. El grado del resto es siempre menor que el del cociente, luego en este caso el resto es de grado 0,es decir, es una constante, un número. Podemos escribir ( ) ( ) ( )P x x a C x R= − ⋅ + (el resto es un número)

Si queremos hallar el valor numérico de ( )P x en x a= nos basta sustituir la x

por a en cualquiera de los dos miembros:

( ) ( ) ( ) ( )0 0P a a a C a R C a R R R= − ⋅ + = ⋅ + = + =

Como podemos observar, el valor numérico de un polinomio para x a= es el resto que resulta al dividir dicho polinomio entre x a− . Ejemplo 10:

23 5 4 : 2x x x+ − − Sin necesidad de realizar la división, podemos calcular el resto sin más que calcular el valor numérico de ( )P x en 2x = :

( ) 22 3 2 5 2 4 12 10 4 18P = ⋅ + ⋅ − = + − =



( )2 18P = , por tanto el resto va a ser 18.Lo comprobamos:

2

2

3 5 4 2

3 6 3 11

11 4

11 22

18

x x x

x x x

x

x

+ − −

− + +

+ −− +

Efectivamente, el resto es 18. Según esto podemos obtener el resto de una división de un polinomio entre x a− sin necesidad de realizarla, sin más que hallar el valor numérico del polinomio para x a= . Del mismo modo, podemos hallar el valor numérico de un polinomio para x a− sólo con dividirlo entre x a− . Observación: Cuando dividimos entre x a− calculamos el valor numérico en a. Si dividiésemos entre x a+ , como ( )x a x a+ = − − , tenemos que calcular el valor

numérico en x a= − . Ejemplo 11: Resto de la división 24 5 12 : 3x x x+ − + Como ( )3 3x x+ = − − , calculamos

( ) ( ) ( )23 4 3 5 3 12 36 15 12 9P − = − + − − = − − =

El resto es 9. Efectivamente:

2

2

4 5 12 3

4 12 4 7

7 12

7 21

9

x x x

x x x

x

x

+ − +

− + −

− −+ +

2.5.4.1.FACTOR X - A Y VALOR NUMÉRICO EN X = A.



Si al dividir un polinomio ( )P x entre x a− la división es exacta, entonces

( ) ( ) ( )P x x a C x= − ⋅ y por tanto, según lo anterior, el valor numérico para

x a= es 0, ya que coincide con el resto. Esto nos indica que si queremos saber si una división de un polinomio ( )P x

entre x a− es exacta, basta comprobar si el valor numérico ( )P a es 0.

Ejemplos:

a) 3 23 4 9 10 : 2x x x x− − + − es exacta.

( ) 3 22 3 2 4 2 9 2 10 24 16 18 10 34 34 0P = ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − − + = − =

( )2 0P =

El valor numérico es 0 luego el resto es 0 y la división es exacta.

b) 37 2 : 5x x x− + no es exacta.

( ) ( ) ( ) ( )35 7 5 2 5 7 125 10 875 10 865 0Q − = ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − + = − + = − ≠

El valor numérico no es 0 luego el resto no es 0 y la división no es exacta.

Además, cuando el valor numérico en a es 0, esto nos indica que x a− es un factor del polinomio ( )P x .

En el ejemplo anterior ( )2 0P = , luego 0R = y nos queda que

( ) ( )3 23 4 9 10 2x x x C x x− − + = ⋅ − . 2x − es un factor de 3 23 4 9 10x x x− − + .

Ejemplo 12:

1x − es un factor de ( ) 2 1P x x= − .

En efecto, ( ) 21 1 1 1 1 0P = − = − = , luego 0R = y ( ) ( )2 1 1x C x x− = ⋅ − .

El valor x a= para el cual se anula el valor numérico de un polinomio es una solución de la ecuación ( ) 0P x = .

En los ejemplos anteriores 2 es una solución o raíz de la ecuación

3 23 4 9 10 0x x x− − + = , pues ( )2 0P = y por tanto al sustituir x por 2 se

verifica la ecuación.



1 es una solución o raíz de 2 1 0x − = pues ( )1 0P = y por tanto al sustituir x

por 1 se verifica la ecuación.

2.5.4.2.REGLA DE RUFFINI.

Cuando dividimos un polinomio ( )P x entre un binomio x a− podemos

realizar la operación más rápidamente de la siguiente manera: Escribimos todos los coeficientes del polinomio en forma canónica y hacemos la siguiente operación que vemos con un ejemplo:

3 23 7 12 5 : 2x x x x− + − −

3 7 12 5

Por ser 2 2 6 2 20

3 1 10 15 Resto

Coeficientes del cociente

x

− −− → −

− ←

Por tanto: Cociente: ( ) 23 10C x x x= − +

Resto: 15R= (como el grado del divisor es 1,el de el resto es grado 0, es decir, el resto es una constante). Observación 1: Si algún coeficiente del dividendo vale 0, no olvidar escribirlo. Observación 2: Cuando dividimos por un binomio x a+ en la regla de Ruffini escribiremos

a− (pues ( )x a x a+ = − − ).

Ejemplos:

a) 4 23 7 : 5x x x x− + −

3 0 1 7 0

5 15 75 370 1885

3 15 74 377 1885

−

Por tanto, ( ) ( )4 2 3 23 7 3 15 74 377 5 1885x x x x x x x− + = + + + ⋅ − +



b) 4 3 26 2 9 : 3x x x x− + − +

1 6 2 0 9

3 3 27 87 261

3 9 29 87 252

− −− − −

− −

Por tanto ( ) ( )4 3 2 3 26 2 9 9 29 87 3 252x x x x x x x− + − = − + − ⋅ + + .

3. CALCULO DE LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO.

3.1. NUMERO MÁXIMO DE RAÍCES.

Cualquier polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

( ) 3 12P x x= − es de grado 1. Tiene una sola raíz o solución 4x =

( )4 3 4 12 12 12 0P = ⋅ − = − =

( ) 2 1Q x x= − es de grado 2. Tiene dos raíces: 1x = y 1x = −

( ) 21 1 1 1 1 0Q = − = − = y ( ) ( )21 1 1 1 1 0Q − = − − = − =

( ) 3 23 3S x x x x= − + − es de grado 3. Tiene una 3 raíz real 3x =

( ) 3 23 3 3 3 3 3 27 27 3 3 0S = − ⋅ + − = − + − =

3.2. CALCULO PRACTICO DE LAS RAÍCES ENTERAS DE UN POLINO MIO.

Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente. En los casos anteriores: 4 es divisor de -12, 1 y -l son divisores de -1 y 3 es divisor de -3 Ejemplo 13: Calcular las raíces enteras de ( ) 3 22 2P x x x x= + − −

Como su grado es 3, tendrá como máximo 3 raíces y estarán entre los divisores de -2, que son ( ) { }2 2, 1,1,2Div − = − − .

( ) 3 22 2 2 2 2 2 8 8 2 2 12 0P = + ⋅ − − = + − − = ≠ , luego 2x = no es raíz.

( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 2 2 2 2 8 8 2 2 0P − = − + ⋅ − − − − = − + + − = , luego 2x = − es raíz.



( ) 3 21 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0P = + ⋅ − − = + − − = , luego 1x = es raíz.

( ) ( ) ( ) ( )3 21 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0P − = − + ⋅ − − − − = − + + − = , luego 1x = − es raíz.

Por tanto las tres raíces del polinomio ( )P x son los números enteros -2,1 y -1.

Ejemplo 14: Calcular las raíces enteras de ( ) 4 3 23 3Q x x x x x= + − −

Como su grado es 4 tendrá como máximo 4 raíces o soluciones. El problema es que no tenemos término independiente. Para resolverlo factorizamos ( )Q x sacando factor

común x.

( ) ( )4 3 2 3 23 3 3 3Q x x x x x x x x x= + − − = + − − .

Una raíz es 0x = , pues ( ) ( )0 0 0Q = ⋅ =LLL

Las otras raíces las obtendremos cuando el otro factor, 3 23 3x x x+ − − sea 0, es decir, calculando las raíces de este nuevo polinomio. Y como ( ) 3 23 3T x x x x= + − − sí tiene término independiente, sabemos como

calcular las raíces a partir de los divisores de -3: las posibles soluciones que nos faltan pueden ser 3, 1, -1, -3. Observación: Si un polinomio es de grado 1 o 2 es muy fácil calcular sus raíces, sin más que resolver la ecuación asociada. Ejemplos:

( ) 5 20P x x= − Resolvemos 5 20 0x− = ; 20

5 20 0 5 20 45

x x x− = ⇒ = ⇒ = = ;

4x = es la raíz del polinomio.

( ) 2 3 2Q x x x= − + Resolvemos 2 3 2 0x x− + = y obtenemos las soluciones 1x = y

2x = que son las raíces de ( )Q x .

4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.

Factorizar un polinomio o descomponerlo en factores es escribir dicho polinomio como producto de polinomios irreducibles. Un polinomio es irreducible si no se puede descomponer.



Por tanto, factorizar un polinomio es expresarlo como producto de polinomios lo más sencillos posible. Es similar a la factorización de números enteros: expresar un número como producto de números primos. Los polinomios de grado 0 (las constantes) y de grado 1 son irreducibles, no se pueden descomponer más salvo constantes. Por ejemplo ( ) 12P x = , ( ) 3 4Q x x= − , ( ) 8 12R x x= − , ····· son polinomios irreducibles.

Los polinomios de grado 2 o superior son los que tenemos que intentar descomponer en polinomios más sencillos. Para ello lo que tenemos que recordar es que si el valor numérico de un polinomio ( )P x

en a es 0, entonces la división es exacta y x a− es un factor de ( )P x .

( ) ( ) ( )P x C x x a= ⋅ − y por tanto hemos empezado a descomponer ( )P x en factores. Para

terminar de descomponerlo, hacemos lo mismo con ( )C x hasta conseguir factores

irreducibles. Ejemplo 15: Descomponer en factores ( ) 2 12P x x x= + −

Tenemos que buscar un número cuyo valor numérico sea 0,es decir, una raíz de ( )P x .

Las raíces las buscamos a partir de los divisores de -12:

( ) { }12 12, 6, 4, 3, 2, 1,1,2,3,4,6,12Div − = − − − − − − .

( ) 23 3 3 12 9 3 12 0P = + − = + − = , luego 3x = es una raíz de ( )P x

3x− es un factor de ( )P x

Dividimos ( )P x entre 3x− y escribimos el algoritmo de Euclides:

1 1 12

3 3 12

1 4 0

− por tanto, ( )( )2 12 4 3x x x x+ − = + −



Como el polinomio 4x+ es irreducible, tenemos factorizado ( )P x .

Ejemplo 16: Descomponer en factores ( ) 3 23 6 8P x x x x= − − + .

� Buscamos una raíz de ( )P x :

( ) { }8 8, 4, 2, 1,1,2,4,8Div = − − − −

( ) 3 21 1 3 1 6 1 8 1 3 6 8 0P = − ⋅ − ⋅ + = − − + = , luego 1x = es una raíz de ( )P x y por

tanto 1x− es un factor.

� Dividimos P(x) entre 1x− :

1 3 6 8

1 1 2 8

1 2 8 0

− −− −

− −, y, entonces, ( )( )3 2 23 6 8 1 2 8x x x x x x− − + = − − −

� Continuamos descomponiendo ( ) 2 2 8Q x x x= − − :

o Buscamos una raíz de Q(x):

( ) { }8 8, 4, 2, 1,1,2,4,8Div = − − − −

( ) ( ) ( )22 2 2 2 8 4 4 8 0Q − = − − − − = + − = , luego 2x = − es una raíz de

( )Q x y por tanto 2x+ es un factor.

o Dividimos Q(x) entre x+2:

1 2 8

2 2 8

1 4 0

− −− − +

−, luego ( ) ( )2 2 8 2 4x x x x− − = + ⋅ − y por tanto la

descomposición de ( )P x es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 23 6 8 1 2 8 1 2 4P x x x x x x x x x x= − − + = − ⋅ − − = − ⋅ + ⋅ −

5. OTRAS FORMAS DE FACTORIZAR.

5.1. UTILIZANDO LOS PRODUCTOS NOTABLES.

Cuando observemos que un polinomio es el desarrollo de un producto notable, podemos aplicarlo directamente para descomponerlo. Ejemplos:



( )( )2 4 2 2x x x− = + − (diferencia de cuadrados = suma por diferencia)

( )( )2 5 5 5x x x− = + − (diferencia de cuadrados = suma por diferencia)

( )22 2 24 4 2 2 2 2x x x x x+ + = + ⋅ ⋅ + = + (desarrollo de una suma al cuadrado)

( ) ( )2 22 24 12 9 2 2 2 3 3 2 3x x x x x− + = − ⋅ ⋅ + = − (desarrollo de una diferencia al

cuadrado)

5.2. RESOLVIENDO LA ECUACION DE 2º GRADO.

Cuando un polinomio es de 2º grado podemos descomponerlo resolviendo previamente la ecuación asociada y obteniendo de ella los factores.

i. Si ( ) 2P x x bx c= + +

Resolvemos la ecuación 2 0x bx c+ + = . Si 1x y 2x , son sus soluciones

entonces 1x x− y 2x x− son los factores y la descomposición es

( ) ( )21 2x bx c x x x x+ + = − ⋅ − .

ii. Si ( ) 2P x ax bx c= + +

El razonamiento es el mismo, pero la descomposición es

( ) ( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − ⋅ − .

Ejemplo 17: Descomponer 2 6x x− − Resolvemos la ecuación de segundo grado 2 6 0x x− − = :

x = 1 ± �1 − 4 · 1 · �−6�2 · 1 = 1 ± √25

2 = 1 ± 52 = ↗

↘

62 = 3

−42 = −2

Las soluciones de la ecuación 2 6 0x x− − = son 1 2x = − y 2 3x = . Por tanto

( ) ( )2 6 3 2x x x x− − = − ⋅ + .

Ejemplo 18: Descomponer 22 4 6x x+ − Las soluciones de la ecuación 22 4 6 0x x+ − = son 1 3x = − y 2 1x = . Por tanto

( ) ( )22 4 6 2 1 3x x x x+ − = − +



RELACION DE EJERCICIOS DE POLINOMIOS

1) Dados los siguientes polinomios, indica cuál es la indeterminada, el grado, el término independiente y el coeficiente de 2º grado.

a) ( ) 2 372 3 5

3P x x x x= − + −

b) ( ) 4 66 2 5 4Q x x x x= − + +

c) ( ) 2 73 9 3T z z z x= − +

2) Dados los polinomios ( ) 2 36 2 5 7A x x x x= − + + , ( ) 4 235 9 1

2B x x x x= − − + y

( ) 2 316 7 10C x x x x= − + , realiza las siguientes operaciones con polinomios:

a) ( ) ( )3A x B x−

b) ( ) ( )2 5 3C x A x− +

c) ( ) ( )( ) ( )3 2A x B x C x− +

3) Calcula:

a) �� · ��, donde �� = 12�� y �� = 5��. b) �� · ��, donde �� = −6� y �� = 5��.

c) �� · ��, donde �� = 6� − 12�� + + 3�! y �� = −2��.

d) "�� · #��, donde "�� = 10�� − 7�� + 12� − 2 y #�� = 4� − 9. e) �� · '��, donde �� = 3�� − � + 2� − 5 y '�� = −�� + 2�. f) (�� · )��, donde (�� = 4�! + 6� − 2 y )�� = 3� − 5� + 4.

4) Calcula los siguientes productos notables:

a) �� + 5� b) �� − 7� c) �� + 4� · �� − 4� d) �2� + 3� e) �7� − 2� f) �� + 5� g) �3� − �� h) �� + 1� · �� − 1�

i) �� + 4�� j) *� + √5+ · *� − √5+ k) �−2� − 1� l) �2�� + 1� m) �� + , + 2� n) *3� − 2√2+ · *3� + 2√2+ o) �2� − 3��



5) Realiza las siguientes divisiones entre polinomios. Indica si alguna de ellas es exacta.

Haz la prueba de las tres primeras.

a) 8�!: 4� b) �10�� − 6�� + 12� + 4�: �2� + 1� c) �6�� + 12� + 8�: �2�� d) �10 − 15� + 20� + 30��: �5� + 5� e) �4�� − 14� + 14� − 1�: �2� − 4� + 1�

f) /3�� − 7� + ! � − 10 : �� + 4�

6) Comprueba que 3� + 10� − 1 es múltiplo de 3� + 1 y explica por qué.

7) Comprueba que 2� − � − 1 es un factor de 10�� − 9� − 3 + 2 y explica por qué.

8) ¿Cuándo decimos que una división es exacta? ¿Qué decimos entonces del dividendo?

9) Realiza las siguientes divisiones por el método de Ruffini. Indica cuáles son exactas.

a) �3�� − 7�� + 12� − 6� + 5�: �� − 2� b) �6�! − 3�� + 10� − 7� + 1�: �� + 3� c) �−5�� + 4�� − � + 1�: �� + 2� d) �13�� + 4� − 5��: �� − 3�

e) �8�1 − 6� + 8� − 3�: /� − 0

10) Comprueba el algoritmo de Euclides para el ejercicio 9.a.

11) Encuentra un polinomio que al dividirlo entre 2� + 3 dé 3� + 1 como resto y

−4� + 2 como cociente.

12) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios en los puntos que se indican:

a) �� = 2�� − 3�� + 6� − 5 en � = 2. b) �� = −�� + 2� + 5� − 1 en � = 3 y en � = −1. c) "�� = 3� − 7� + 1 en � = 0 y en � = √2. d) #�� = 5�� − 2� + √3� + 7 en � = 1 y en � = −1.

13) Sin realizar las divisiones indica cuál es el resto:

a) �3�� − 6�� + 12� − 3� + 4�: �� + 3� b) �6� − 7� + 5�: �� − 2� c) �10�� − � + 7� − 2�: �� + 5� d) �2�� − 6� + 7� − 5�: �� − 1�

e) �−�� + 7� + 2�: /� + �0

f)



14) Calcula el valor que hay que dar a m en el polinomio �� = �� − 2� + 3� − 1 para que al dividirlo entre � − 2 el resto sea 1.

15) ¿Cuánto ha de valer a para que la división �2� + 3�� + 4�: �� − 2� sea exacta?

16) Calcula las raíces de los siguientes polinomios:

a) �� = �� − 3� + 4 b) �� = 2�� − 6� − 20� c) "�� = 2� − 12 d) #�� = � − 12

17) Descompón en factores los polinomios del ejercicio anterior.

18) Halla las raíces y descompón en factores los siguientes polinomios:

a) �� = �� + 3� + � + 3 b) �� = 3�� + � − 7� − 5 c) "�� = � − 3 d) #�� = �� − 6� + 12� − 8 e) (�� = 2� + � + 1 f) )�� = 2�� + 3�� − 2� g) 3�� = �� + 3�� − 3� − 11� − 6 h) 4�� = ��

19) Escribe un polinomio de 3er grado cuyas raíces sean � = 1, � = −2 y �� = 3.

20) Escribe un polinomio cuyas raíces sean:

a) � = 1, � = −2 (doble).

b) � = 0, � = −2 y �� = .

c) � = 3, � = √5 (triple).

21) Halla el polinomio cuyas raíces sean � = 2 y � = −1, sabiendo que el valor numérico en 1 es -14.

22) Calcula el polinomio cuyas raíces son � = 1 (doble) y � = −2, sabiendo que el valor

numérico en -3 es 9.



23) Halla las raíces de los siguientes polinomios:

a) �� = � · �3� + 1� b) �� = 5� · �� + 3� · *� − √7+ · �� + 5�

c) "�� = 10 · /� + 0 · �3� + 1� · �� + 4�

d)

24) Halla, de dos 2 formas distintas, el valor de a para que el resto al dividir �� = 2� +�� + 3 entre � − 2 sea 21.

25) Calcula, mediante dos métodos, el valor de b para que la división �2�� − � + �� −

2�: �� + 1� sea exacta.

26) El resto al dividir �� = �� + � entre �-1 es 6, y al hacerlo entre � + 3 es -10.Calcula a y b.



EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN DE POLINOMIOS 1) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios en los puntos que se indican:

a) �� = 2�� − 3� + 6 en � = 1 b) �� = -� − 5�-3 en � = 2, � = -3, � = √5

2) Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

a) �2� − 3� · �2� − 3� b) �3� + 5� c) (4� − �� · �4� + ��

d) �2� − 1� · �3� − � − 3� e) �4�� − 8� − � + 3�: �2� − 3� f) �6�� − � + 5�: �3� − 1�

3) Sin hacer las divisiones, explica si son exactas:

a) *– x� − 3x + 1+: �x − 2� b� �2x − 6x + 3�: �x + 1� 4) Contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuándo es exacta una división? b) ¿Cómo se comprueba? c) ¿Cómo se sabe al dividir entre � − � si la división es exacta sin necesidad de

realizarla? d) ¿Qué es el valor numérico de un polinomio?

5) Escribe, razonando la respuesta, un polinomio múltiplo de otro. 6) Escribe, razonando la respuesta, un polinomio que sea factor de otro. 7) Contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué son las raíces de un polinomio? b) Haz un esquema donde indiques cómo calcular las raíces de un polinomio teniendo en

cuenta de qué tipo es éste. c) Calcula, teniendo en cuenta lo que has respondido en el apartado anterior, las raíces de

los siguientes polinomios:

i. 8�� = 2�-5 ii. )�� = �� − 3�� + 2�

iii. �� = 2�� + 6� − 2� − 6



8) Explica qué relación existe entre las raíces de un polinomio y sus factores. 9) Factoriza los siguientes polinomios:

a) "�� = 2� + 6� − 8 b) ;�� = �� + 2� − 5� − 6



EJERCICIOS RESUELTOS

1) Realiza los siguientes productos notables:

a) *3x2+1+2 b) /2x–x202

c) x2 −3 d) *x + 2x2+3

SOLUCIÓN: No tenemos más que apl icar las fórmulas de los productos notables.

a) Es una suma al cuadrado en la que a = 3x y b = 1, por lo tanto *3x2+1+2 =*3x2+2+2 · 3x2 · 1 + 12 = 9x4+6x2+1.

b) Es una diferencia al cuadrado en la que a = 2x y b = x, por lo tanto /2x– x202 =�2x�2−2 · 2x · x2 +*x2+2 = 4x2 − 4x3 +x4

c) Es una diferencia de cuadrados en la que a = x y b = √3 (para escribir 3 como un

cuadrado lo hacemos como 3 = *√3+. Por lo tanto x2 − 3 =/x +�30 · �x −�3�.

d) Es una suma al cubo en la que a = x y b = 2x , por lo tanto:

*x + 2x2+3 = x3+3 · x2 · 2x2+3 · x · *2x2+2+ *2x2+3 = x3 + 6x4+3x · 4x4+8x6= x3 +6x4+12x5 +8x6

2) Sin realizar las divisiones, indicar cuáles son exactas:

a) *3�2−5�+ 4+: ��− 3� b) *�3 −2�2 −�+2+ ∶ �� + 1� c) *2�3−�2 +5�+: �� − 2�

SOLUCIÓN: Las divisiones serán exactas cuando el resto valga cero. Para calcular el resto al dividir entre � − � sin hacer la división lo que tenemos que hacer es calcular el valor numérico en a, que coincide con el resto.

a) *3�2−5�+ 4+: ��− 3� Llamamos �� al dividendo: �� = 3� − 5� + 4. Calculamos ��3� = 3 · 3 − 5 · 3 + 4 = 27 − 15 + 4 = 16.



Luego " = 16 , la división NO es exacta.

b) *�3 −2�2 −�+2+ ∶ �� + 1� Llamamos �� al dividendo: �� = �� − 2� − � + 2. Calculamos

��−1� = �−1�� − 2 · �−1� − �−1� + 2 = −1 − 2 · 1 + 1 + 2 = −1 − 2 + 1 + 2 = 0 Luego " = 0. La división ES EXACTA.

c) *2�3−�2 +5�+: �� − 2�

Llamamos "�� al dividendo: "�� = 2�� − � + 5�. Calculamos "�2� = 2 · 2� − 2 + 5 · 2 = 16 − 4 + 10 = 14, Luego R = 14. La división NO es exacta.

3) Halla el valor de m para que el resto de la división *�3−2�2+3�+ 1+: ��− 2� sea -1.

SOLUCIÓN: Vamos a resolverlo utilizando dos métodos: 1er método: Realizando la división.

Como dividimos entre � − 2, podemos aplicar el método de Ruffini. Por tanto el resto de la división es 15-4m Como en el enunciado del ejercicio nos piden que el resto sea -1, igualamos y resolvemos:

15 − 42 = −1 ⟹ −42 = −16 ⇒ 2 = −16−4 = 4

Luego para que el resto de la división sea -1, 2 = 4.

22 método: Sin realizar la división. Como dividimos entre � − 2, podemos aplicar que el resto es igual al valor numérico del polinomio en � = 2.

1 -m 3 1 2 2 4-2m 14-4m 1 2-m 7-2m 15-4m



�� = ��–2� + 3� + 1 ��2� = 2� −2 · 2 + 3 · 2 + 1 = 8 − 42 + 6 + 1 = 15 − 42Luego " = 15 − 42 Como el resto tiene que ser -1: 15 − 42 = −1 Resolviendo:

15 − 42 = −1 ⟹ −42 = −16 ⇒ 2 = −164 = 4

Por tanto, para que el resto de la división sea -1, 2 = 4. Obviamente, obtenemos el mismo resultado con los dos métodos.

4) Calcula para qué valor de a la siguiente división es exacta: 2�� + 2�� − 3: � + 1 SOLUCIÓN: Podemos utilizar los dos métodos del ejercicio anterior. 1er método: Realizando la división. Como dividimos entre � + 1 podemos aplicar la regla de Ruffini. Tenemos que el resto es −5 − 2�.Como la división ha de ser exacta, igualamos a cero y resolvemos.

−5 − 2� = 0 ⇒ −2� = 5 ⇒ � = 5−2 = −5

2

Por tanto, la división es exacta cuando � = − !.

2º método: Sin realizar la división. Como dividimos entre � + 1 podemos aplicar que el resto es igual al valor numérico del polinomio en � = −1. �� = 2�� + 2�� − 3 ��−1� = 2 · �−1�� + 2� · �−1�− 3 = −2 − 2� − 3 = −2� − 5

2 0 2a -3 -1 -2 2 -2-2a 2 -2 2+2a -5-2a



Luego el resto es −2� − 5. Para que la división sea exacta el resto ha de ser cero, con lo que, igualando, tenemos:

−5 − 2� = 0 ⇒ −2� = 5 ⇒ � = 5−2 = −5

2

Por tanto, la división será exacta cuando � = − !.

Lógicamente, el resultado es el mismo con los dos métodos empleados.

5) Calcula las raíces de los siguientes polinomios:

a) �� = �� + 2�—5�—6 b) �� = �� + ��—2� c) "�� = �� + � + � + 1

SOLUCIÓN: Para calcular las raíces de un pol inomio tenemos que ver cuando éste es igual a cero, o lo que es lo mismo, para qué números reales el valor numérico del polinomio es cero. Para encontrar las raíces que sean números enteros, las buscaremos entre los divisores del término independiente del polinomio.

a) �� = �� + 2�—5�—6 ¿Cuándo �3 +2�2—5�—6 = 0 ? Buscamos una raíz entre los divisores del término independiente. �AB�−6� = {−6, 6, −3, 3, −2, 2, −1, 1} Tenemos que encontrar cuáles son los divisores cuyo valor numérico es cero. Como el polinomio es de grado tres, como máximo habrá tres raíces. ��1� = 1� + 2 · 1 − 5 · 1 − 6 = 1 + 2 − 5 − 6 = −8 ≠ 0 ⇒ � = 1 NO es raíz.

��−1� = �−1�� + 2 · �−1� − 5 · �−1� − 6 = −1 + 2 + 5 − 6 = 0 ⇒

� = −1ES RAIZ. ��2� = 2� + 2 · 2 − 2 · 5 − 6 = 8 + 8 − 10 − 6 = 0 ⇒ � = 2 ES RAIZ.

��−2� = �−2�� + 2 · �−2� − 5 · �−2� − 6 = −8 + 8 + 10 − 6 = 4 ≠ 0 ⇒

� = −2 NO es raíz. ��3� = 3� + 2 · 3 − 5 · 3 − 6 = 27 + 18 − 15 − 6 = 24 ≠ 0 ⇒ � = 3 NO es raíz.



��−3� = �−3�� + 2 · �−3� − 5 · �−3� − 6 = −27 + 18 + 15 − 6 = 0 ⇒ � =−3 ES RAIZ. Por tanto, ya tenemos las tres raíces del polinomio: � = −1, � = 2, � = −3.

b� �� = �� + �� − 2�c)

¿Cuándo �4 +�3 −2�2 = 0? Como el polinomio no tiene término independiente, sacamos factor común:

�4+ �3−2�2 = �2 · ��2+�−2� = 0, de donde: �2 = 0⇒ � = 0ES UNA RAÍZ DOBLE (está elevada al cuadrado). �2+ �− 2 = 0. Tenemos que calcular las raíces de este polinomio. Razonamos como en el apartado anterior:

(�� = �2+ �− 2 tiene como máximo dos raíces.

�AB�−2� = {2,−2,1, −1}

(�1� = 12 +1−2 = 0 ⇒ � = 1 ES RAÍZ (�−1� = �−1�2+ �−1�−2 = 1−1−2 = −2 ≠ 0 ⇒ � = −1 NO es raíz (�2� = 22+2−2 = 4+2−2 = 4 ≠ 0 ⇒ � = 2 NO es raíz (�−2� = �−2�2+ �−2�−2 = 4−2−2 = 0 ⇒ � = −2 ES RAÍZ Luego las cuatro raíces del polinomio �� son � = 0 (doble), � = 1 y � = −2.

d) "�� = �� + � + � + 1 ¿Cuándo �� + � + � + 1?

Razonamos análogamente al primer apartado. Empezamos buscando las raíces enteras del polinomio:

�AB�1� = {1,−G} "�1� = 1� + 1 + 1 + 1 = 4 ≠ 0 ⇒ � = 1 NO es raíz. "�−1� = �−1�� + �−1� − 1 + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 ⇒ � = −1 ES RAÍZ .

Como no hay más divisores de −1, no hay más raíces enteras. Pero el polinomio es de grado tres, luego puede tener hasta tres raíces reales. Esto quiere decir que tenemos que estudiar si hay o no dos raíces más (que serían racionales o irracionales). Para saberlo procedemos como sigue:



� = −1 ES RAIZ. Por tanto, � + 1 ES FACTOR de "��: Dividimos "�� entre � + 1:

Escribiendo el algoritmo de Euclides, tenemos:

"�� = �� + � + � + 1 = �� + 1� · �� + 1� Esta expresión ¿cuándo será cero? �3+ �2+�+1 = ��+ 1� · *�2+1+ = 0, de donde � + 1 = 0 ⇒ � = −1 es raíz (ya lo sabíamos) o �2+1 = 0. Por tanto, resolviendo esta ecuación de 2º grado, calculamos las raíces que nos faltan.

�2+1 = 0 ⇒ �2 = −1⇒ � = √−1, QUE NO ES UN NÚMERO REAL⇒ LA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCIÓN Por tanto, no hay más raíces. La única raíz del polinomio "�� es � = −1. Es un polinomio cúbico con una sola raíz real.

Observación: Cuando tengamos que calcularle las raíces a un polinomio de 2º grado, basta con igualar a cero y resolver la ecuación.

6) Descomponer en factores los siguientes polinomios:

a) �� = �� − 7� + 6 b) �� = 3� + 6� c) "�� = 6�� + 5� − 2� − 1 d) #�� = �� + 2� + � − 4

SOLUCIÓN: Obtenemos las raíces y a partir de ellas los factores en que vamos descomponiendo los polinomios.

a) �� = �� − 7� + 6. Buscamos una raíz de �� AB�6� = {6,−6,3, −3,2, −2,1, −1}

1 1 1 1 -1 -1 0 -1 1 0 1 0



��1� = 1� − 7 · 1 + 6 = 1 − 7 + 6 = 0 ⇒ � = 1 ES RAÍZ y, por tanto, � − 1 ES UN FACTOR de ��. Dividimos �� entre � − 1

1 0 -7 6

1 1 1 -6

1 1 -6 0

Por tanto �� = �� − 7� + 6 = �� − 1� · �� + � − 6�. Ya tenemos un factor. Para calcular los restantes, tenemos que seguir descomponiendo el cociente. Como éste es un polinomio de 2º grado, para descomponerlo podemos usar la ecuación de 2º grado.

�2+ �− 6 = 0 ⇒ � = −1±H12−4 · 1 · �−6�2 · 1 = −1±�1+ 24

2 = −1± �252 =

= −1 ± 52 = ↗

↘� = −1 + 5

2 = 42 = 2

� = −1 − 52 = −6

2 = −3

Luego la descomposición de �2 +�−6 es: �2 +�−6 = �� − 2� · �� + 3� Y, por consiguiente, la de ��, �3 −7�+ 6 = ��− 1� · �� − 2� · �� + 3� Observación: Nótese que si tenemos la descomposición en factores de un polinomio sabemos cuáles son sus raíces.

b) �� = 3� + 6� Como no tenemos término independiente sacamos � factor común. �� = � · �3� + 6� Como los dos factores que resultan son de grado 1, el polinomio ha quedado descompuesto.

c) "�� = 6�� + 5� − 2� − 1 Buscamos una raíz de "�� AB�−1� = {1 − 1} "�1� = 6 · 1� + 5 · 1 − 2 · 1 − 1 = 6 + 5 − 2 − 1 = 8 ≠ 0 ⇒ � = 1 NO es raíz



"�−1� = 6 · �−1�� + 5 · �−1� − 2 · �−1�− 1 = −6 + 5 + 2 − 1 = 0 ⇒ � = −1 ES RAÍZ, por tanto � + 1 ES FACTOR de "��. Dividimos "�� entre � + 1:

Con lo que "�� = 6�� + 5� − 2� − 1 = �� + 1� · �6� − � − 1�

Tenemos que ver si podemos descomponer el 2º polinomio. Como es de 2º grado, basta resolver la ecuación asociada.

6� − � − 1 = 0 ⇒ � = 1 ± ��−1� − 4 · 6 · �−1�2 · 6 = 1 ± √1 + 24

12 = 1 ± √2512 =

= 1 ± 512 = ↗

↘� = 1 + 5

12 = 612 =

12

� = 1 − 512 = −4

12 = −13

Con lo que 6� − � − 1 = 6 · /� − 0 · /� +

�0 Y, por tanto, la descomposición de "�� es:

"�� = 6�� + 5� − 2� − 1 = 6 · �� + 1� · /� − 0 · /� +

�0

d) #�� = �� + 2� + � − 4 Buscamos una raíz de #�� AB�−4� = {4,−4,2, −2,1, −1} #�1 = 1� + 2 · 1 + 1 − 4 = 1 + 2 + 1 − 4 = 0 ⇒ � = 1 ES RAIZ; por tanto, � − 1 ES UN FACTOR de #�� Dividimos #�� entre � − 1:

6 5 -2 -1 -1 -6 1 1 6 -1 -1 0

1 2 1 -4 1 1 3 4 1 3 4 0



De donde: #�� = �� + 2� + � + 4 = �� − 1� · �� + 3� + 4� Hay que comprobar si podemos descomponer �2+3�+ 4. Como es un polinomio de 2º grado resolvemos la ecuación asociada.

�2+3�+ 4 = 0 ⇒ � = −3± ��−3�2−4 · 1 · 42 · 1 = −3± �9− 16

2 = 3± √−72

La ecuación NO TIENE SOLUCION. Por tanto el polinomio no se puede descomponer. �2+3�+ 4 es un polinomio irreducible, con lo que la descomposición en factores de

#��es #�� = �� + 2� + � + 4 = �� − 1� · �� + 3� + 4�

7) Para cada uno de los siguientes apartados, hallar un polinomio que tenga las

raíces que se indican:

a) De 2º grado cuyas raíces sean � = 3, � = 5 b) De 3er grado cuyas raíces sean � = 2, � = 0 (doble) c) De 3er grado cuya raíz sea � = −2 (triple)

SOLUCIÓN:

a) Como � = 3 es una raíz entonces � − 3 es un factor del polinomio. Como � = 5 es una raíz entonces � − 5 es un factor del polinomio. El polinomio será de la forma �� = � · �� − 3� · �� − 5� Como no nos imponen más condiciones a puede ser cualquier número, por tanto un polinomio puede ser:

�� = 4 · �� − 3� · �� − 5� = 4 · �� − 5� − 3� + 15� = 4 · �� − 8� + 15� = = 4� − 32� + 60

b) Como � = 2 es una raíz, entonces � − 2 es un factor. Como � = 0 es una raíz doble, entonces �� − 0� = � es un factor. No hay más condiciones y, por tanto, el polinomio es de la forma �� = � · �� − 2� · � y a puede ser cualquier número. Por ejemplo, un polinomio sería: �� = 5 · �� − 2� · � = 5 · �� − 2�� = 5�� − 10�

c) Como � = −2 es una raíz triple, entonces �� + 2�� es un factor. El polinomio es de la forma "�� = � · �� + 2��, siendo a cualquier número. Por ejemplo, "�� = 4 · �� + 2�� = 4 · �� + 3 · � · 2 + 3 · � · 2 + 2�� =

= 4 · �� + 6� + 12� + 8� = 4�� + 24� + 48� + 32



8) Encuentra el polinomio de 2º grado cuyas raíces sean � = 1 y � = −2 y el valor

numérico en 3 sea 50. SOLUCIÓN: Como � = 1 es raíz, entonces � − 1 es factor. Como � = −2 es raíz, entonces � + 2 es factor. Por tanto, el polinomio es de la forma �� = � · �� − 1� · �� + 2�. Pero nos piden también que ��3� = 50. Esto quiere decir que a no puede ser cualquier número, sino que tenemos que ver cuál es el valor que damos a "a" para que el valor numérico sea 50. Nos queda:

� · �3 − 1� · �3 + 2� = 50. Resolvemos: � · 2 · 5 = 50 ⇒ 10� = 50 ⇒ � = !I I ⇒ � = 5

Luego el polinomio es �� = 5 · �� − 1� · �� + 2� = 5 · �� + 2� − � − 2� = = 5 · �� + � − 2� = 5� + 5� − 10.

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POLINOMIOS INDICE: Pág....Algoritmo de Euclides (regla de la división 10 2.5.3. División exacta 11 ... • Trinomios: Con tres sumandos. Ejemplo: S x x x()= − +1 12 4 A la hora