Operaciones entre vectores I: Suma y resta

El presente material contieneejercicios y explicaciones.Cuando corresponda desarrollael ejercicio que se te pide, para lo cual necesitarás tu cuaderno ypapel (así que ya, ya,….. a buscarlos).

Primero debemos dominar el cómodeterminar las coordenadas deun vector, cuando este tiene su inicioen un punto distinto al del origen delsistema de coordenadas.

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

P

Como P tienesu inicio en el origen del sistema, es fácildar sus coordenadas:

(2;1)P

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

P

En este caso no es tan simple, pero tampoco es tan, tan difícil, sólo se requiere trasladar el vector (sin cambiar su largo, ni su inclinación) al origen del sistema.

(3; 1)P

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

P

1

3

Otra alternativa es mover el sistemaal inicio del vector.Como vez obtenemos el mismo resultado

que antes: P=(3;-1)

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Hora haces algo parecido, pero siguiendo elcamino paralelo a Y ( notarás que conté con unnúmero negativo, esto se hace así porque hemos contadohacia abajo, espero que en los ejemplos que siguen, esto tequede más claro):

P

;(3P

1

Cuentas cuántas unidades numéricas hay DESDE EL ORIGEN del vector hasta su CABEZA, siguiendo NO el caminodel largo del vector, sino la dirección paralela al eje X,como lo verás ahora:

3

Cuando trabajamos en un problema, no podrás mover el sistema que aparece dibujado en la hoja, por razones obvias, no es unpower point, lo que se hace es lo siguiente:

21Entonces se trata delvector:P=(3,-1)

Luego: 3; 1( )P

P=(-3,-2)

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

123

123

321

2

1

2

1

2

1P=(3;P=(3;2)P=(-3

P=(-3,P=(-3,2)

Ejercicio:Antes de seguir, intentaencontrar las coordenadasde cada vector.

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

yA menos que se especifique otra cosa consideraremos que vectores como:P1 v/s P2

1P

2P

3P

4P

2P

4P

y P3 v/s P4

son el mismo vector, es decir 2 vectores serán iguales, si tienen el mismo largo y la misma dirección no importando en que lugaresté su inicio.

Suma y resta de vectores en el plano

Sumando 2 vectoresMétodo geométrico

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

1P

2P

1) Para sumar P1 y P2 geométricamentese debe llevar el inicio de uno de ellosa la cabeza del otro (cualquiera de ellos)

2) Luego se unemediante un nuevo vector, el punto de inicio del vector notrasladado con la cabeza del que se trasladó

punto de iniciode vectorNO trasladado

cabeza del vector trasladado

El vector que ha resultado (rojo)es el vector sumade los otros dos vectores.Fíjate que, así comosumar un númerocon otro, da por resultado un número;sumar un vector con otro da por resultadoun vector.

1 2p p

1,5

Sumando 2 vectoresMétodo Analítico (numérico)

Usemos el ejemplo anterior, paraque compruebes que ambos métodosdan el mismo resultado.

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

1P

2P

1 2p p

1,5

1 ( 3 1, )5;P

2 ( ;21 )P

1 2p p

1,5( 3 )2; ) (1;

( 3 1 5 2; )1, ( 2 ; )0,5

0,5

2

Se ve que lascoordenadasdel vector construido porel método geométricocoinciden con las coordenadasdel métodoanalítico.

1P

2P

Lo ideal es que aprendas las dosformas de encontrar la suma de dosvectores, pues hay problemas quese resolverán más fácilmente si eres hábil para graficar.Ojo: El método gráfico es una buenaayuda para resolver los problemas,pero siempre deberás usar el métodonumérico, pues habitualmente en unaprueba no hay tiempo para construirgráficos exactos y sumar gráficamenterequiere de un muy buen gráfico.

Resta entre 2 vectoresMétodo geométrico

BA

3 2

Recuerda que en una resta de números, se denomina sustraendo a la cantidad que restay minuendo a la cantidad sobre la cual se resta. Este mismo vocabulario se usa parala resta de vectores.

Minuendo Sustraendo

Antes de aprender a restar vectores,es necesario que aprendas el conceptode VECTOR OPUESTO ( vector contrario)

Dado un vector cualquiera:P

P

Llamaremos“Vector opuesto de P“ al nuevo vectorque se forma al rotar P en 180º

Es decir tiene elmismo largo, perodirección contraria

Vector opuesto de P

180º

2P

1P

1 opuesto de P

2 1P P

2 1 2 1 opuestP oP dP Pe

La resta vectorialentre P2 y P1 equivalea la SUMA de P2 con elopuesto de P1

Realizar: P2-P1

Resta entre 2 vectores:Método geométrico resumido

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

2P

1P

1 opuesto de P

2 1P P

Fíjate en el vector negro y en el vector rojo, luego has un clic. ¿ lo has visto? – Como son vectores coincidentes, significa que tienen en mismo largo y la misma dirección, luego como ya se explicó,

se trata entonces del mismo vector. Como el vector rojo es la resta entre P2 y P1, y este es equivalente al vector negro, se tendrá que el vector que representa tal resta es el que se traza desde la cabeza del vector SUSTRAENDO a la cabeza del vector MINUENDO, cuando tales vectores (que se deben restar), tiene su inicio en el mismo punto del plano, tal como ocurre con P1 y P2. Estarás de acuerdo en que esta segunda forma de visualizar el vector resta es más barata que la primera, pues aquí la resta sale en un solo paso. Por lo que es el método de resta geométrica más recomendada.

Resta entre 2 vectores:Método analítico o numérico:

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

2P

1P

2 1P P

2

1

( 2; )

(

1

21; )

P

P

3

3

( 3 ; )3

2 1

( 2; ) (1;1 2

)

P P

( 2; ) (1; )1 2 ( 2 1; 2)1

( 3 2; 1 )

2 1

2

1

Más ejemplos:

En las siguientes ejemplos geométricos,fíjate que la gran diferencia entre suma y restaes que, para la suma se elige uno de los vectores y se traslada poniendo su pie(inicio) sobre la cabeza del otro, para luego unir el pie de uno con la cabeza delotro, o sea:

Traslado: PIE - CABEZATrazado: PIE - CABEZA

Para la resta en cambio las etapas son:

Traslado: PIE - PIETrazado: CABEZA sustraendo (s) – CABEZA minuendo (m)

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Sumar y restar geométricamente los siguiente vectores.Sumando:

Suma:Traslado: PIE-CABEZA

Suma:Trazado: PIE-CABEZA

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Sumar y restar geométricamente los siguiente vectores.Restando:

Resta:Traslado: PIE - PIE

Resta:Trazado: CABEZA s - CABEZA m

A

Bsólo si se trata de:

A-B o bien …en caso de ser:B-A

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Antes de seguir intenta encontrarel vector B-A, geométricamente, esto es

sin darle importancia a los números de las coordenadas.

A

B

Solución:

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

También podría haber sido:

A

B

Resultadoanterior

¿ Lo viste ? Era el mismo vector

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Antes de continuar, realiza la operación:B+A

A

B

Solución:

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Antes de continuar intentasumar los vectores:

Solución:

1) Traslado:PIE - CABEZA

2) Trazado:PIE - CABEZA

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

x

y

Antes de continuar intentaencontrar el vector resta: B - A

Solución:

1) Traslado:PIE – PIE:El problema ya trae hecha esta parte

2) Trazado:CABEZA s – CABEZA m: