OPERACIONES ARITMÉTICAS

Alfinio Flores PeñafielUniversity of Delaware

Significados de las operaciones aritméticas

Suma El sentido más básico de la suma es juntar dos colecciones.

3 + 4 = 7

La suma también se relaciona con añadir objetos a una colección, o agrandar una colección. La suma está relacionada con contar (seguir contando).

Sumar en la recta numérica.

Representación de 4 + 6. Primero un brinco de cuatro unidades y luego un brinco de seis unidades.

Sustracción Quitar. Se quita un subconjunto del conjunto original

7 - 3

OperacionesGTO 1

CompararSe comparan dos conjuntos y se encuentra la diferencia.

La diferencia es 5 - 3

El sumando perdido o completarInvolucra la relación entre la suma y la sustracción. 6 + ?? = 86 + 2 = 8Por tanto 8 - 6 = 2Si tengo seis objetos pero quiero tener 8, necesito 2 más

Lo que me falta es 8 - 6

Sustracción en la recta numérica

Representación de 10 - 6. Un brinco de diez unidades hacia adelante y luego un brinco de seis unidades hacia atrás.

Extensiones¿Puedes restar 6 de 4?

Otra representación de la sustracción

La diferencia entre dos números en la recta numérica también puede ser encontrada contando cuántos intervalos más necesitamos recorrer para llegar a 6, o encontrando la distancia (dirigida) que tenemos que recorrer para llegar de 2 a 6.

OperacionesGTO 2

5 - 1

La misma idea puede ser utilizada con números negativos. Para resolver (-1) - (-5), encuentra cuántos intervalos más necesitas contar para llegar a (-1) empezando desde (- 5)

Para encontrar 0 - (-4), cuenta cuántos espacios necesitas contar para llegar a 0 empezando desde - 4

Para resolver 4 - (-2), encuentra la distancia entre (-2) y 4. ¿Cuál es la respuesta?

Significados de la multiplicación

Suma repetida2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 = 84 + 4 = 2 4 = 8

Grupos del mismo tamañoTres grupos cada uno con cinco objetos da 15 objetos

OperacionesGTO 3

Contar salteado

5, 10, 15, 20, 25, 30Contamos de cinco en cinco seis veces 6 5 = 30

Arreglos de objetos Cuando los objetos se arreglan se puede calcular el número total si conocemos el número de filas y cuántos objetos en cada fila. La figura representa 5 3.

Modelo de áreaEl producto de dos números se puede también represetar por medio de un rectángulo cuyos lados tienen la longitud de los factores.El área de este rectángulo es 6.

Lo podemos ver como dos renglones con tres cuadrados por renglón,

o tres columnas con dos cuadrados por columna.

Modelo de área para la multiplicación y la propiedad distributiva

23 20 + 3 12 10 + 2 46 40 + 6 230 200 + 30 _ 276 200 + 70 + 6

OperacionesGTO 4

Producto cartesiano En el juego de submarino hay diez letras en un eje y diez números el otro eje. Los barcos se pueden colocar en posiciones dadas por las combinaciones de una letra y un número. El número total de posiciones está dada por el producto 10 10. Nota que en este caso no estamos sumando objetos del mismo tipo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10D D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10F F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10G G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10H H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10I I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10J J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10

Ramificaciones

Hay dos ramas, cada rama con tres ramitas. El total de ramitas es 2 3.

Significados de la división

8 ÷ 4Divide 8 en 4 partes iguales (partición)

8 dividido en 4 partes iguales

¿Cuántas veces cabe 4 en 8? (medición)

OperacionesGTO 5

Si se tienen 8 objetos, se pueden formar dos grupos de cuatro

División como resta repetida.Para resolver 40 ÷ 8 podemos restar 8 repetidamente

40 - 8 = 3232 - 8 = 2424 - 8 = 1616 - 8 = 8 8 - 8 = 0Restamos 8 cinco veces, por tanto 40 ÷ 8 = 5.

Factor perdido 5 = 305 6 = 30Por tanto 30 ÷ 5 = 6

OperacionesGTO 6

Suma y resta de enteros.Adaptado de Bennet y Musser, Arithmetic Teacher, mayo 1976.

OBJETIVO: Realizar sumas y restas de números enteros empleando fichas de dos colores.

MATERIAL: 15 fichas azules, 15 fichas rojas, hojas de actividades.

INTRODUCCION: Las fichas azules serán usadas para representar enteros positivos y las fichas rojas representarán enteros negativos. Por ejemplo, un conjunto de 5 fichas azules y un conjunto de 6 fichas rojas son modelos para los enteros 5 y (- 6) respectivamente. (Ver figura 1).

Si nos ponemos de acuerdo que una ficha azul cancela a una ficha roja, cada entero puede ser representado de muchas maneras. La figura 2 muestra otra forma de representar los números 5 y -6.

Usa fichas de ambos colores para representar de dos formas distintas, los siguientes enteros. Anota el número de fichas que empleaste de cada color.6 Rojas _____ Azules _____ Rojas _____ Azules _____

OperacionesGTO 7

3 Rojas _____ Azules _____ Rojas _____ Azules _____(-2) Rojas _____ Azules _____ Rojas _____ Azules _____

Si tuvieras una cantidad ilimitada de fichas rojas y azules, ¿de cuántas maneras podrías representar un número entero?

DESARROLLO: 1) Representación de Inversos Aditivos.

Las 3 fichas azules y las 3 fichas rojas de la figura 3 pueden ser puestas en correspondencia uno a uno, por lo tanto, las fichas azules cancelan a las rojas y el conjunto representa el número 0. Por esto decimos que 3 y -3 son inversos; es decir 3 es el inverso de -3, y -3 es el inverso de 3.

Cada vez que un conjunto de fichas azules (entero positivo) y un conjunto de fichas rojas (entero negativo) pueden ponerse en correspondencia uno a uno, el entero positivo y el entero negativo que representan son inversos uno del otro y por lo tanto su suma es 0.Usa las fichas para formar dos conjuntos diferentes que representen 0. Anota en el espacio correspondiente, el número de fichas empleadas de cada color. 0: Rojas _____ Azules _____ 0: Rojas_____ Azules _____ 2) Suma de Enteros Positivos.

El modelo usual para la suma de números naturales es unir los conjuntos que los representan. El modelo es usado en la figura 4 para ilustrar la suma de dos números naturales.

OperacionesGTO 8

Con la ayuda de tus fichas, ejecuta las siguientes operaciones:

6 + 4 = _______________ 1 + 10 = _______________

3 + 9 = _______________ 3 + 5 = ________________

3) Suma de dos enteros negativos.

También es posible, realizar sumas de enteros negativos utilizando nuestras fichas. En esta ocasión, usaremos las rojas. En este caso también uniremos los conjuntos que representan a cada número.

Si queremos realizar (-4) + (-5), representaremos cada sumando con las fichas:

OperacionesGTO 9

Utiliza tus fichas para resolver las siguientes operaciones:

(-4) + (-2) = ___________ (-2) + (-5) = _____________

(-1) + (-6) = ___________ (-4) + (-3) = _____________

(-8) + (-1) = ___________ (-2) + (-10) = _____________

4) Suma de dos enteros con signo distinto.

La figura 5 muestra cómo se pueden usar las fichas para calcular -5 + 2. La unión de los dos conjuntos es el tercero, que tiene 5 fichas rojas y 2 azules. Este conjunto representa -3 ya que las fichas rojas se pueden cancelar con las fichas azules y quedan 3 fichas rojas sin cancelar.

Esta operación queda representada así: (-5) + 2 = (-3) + (-2) + 2 = -3 + [(-2) + 2] = -3 + 0 = -3.

Con ayuda de tus fichas, calcula las siguientes sumas:

8 + (-4) = ____ 11 + (-2) = ____ 3 + (-2) = ____

9 + (-1) = ____ 7 + (-5) = ____ 6 + (-6) = ____

Ejercicios.

OperacionesGTO 10

Con lo que has aprendido hasta aquí, resuelve las siguientes operaciones:

4 + (-7) = ____________ (-5) + 2 = ______________ (-9) + 3 = ____________ (-8) + 5 = ______________

(-3) + 2 = ____________ 4 + (-2) = ______________

SEGUNDA PARTE.

Resta de Enteros.

El modelo de "quitar" para la resta es el medio usual para introducir la resta de dos números naturales. Este modelo se usa con las fichas azules para calcular 5 - 3 en el primer ejemplo de la figura 6. La figura muestra 5 fichas azules y 3 que se quitan.

El segundo ejemplo de la figura 6 muestra el uso del modelo de quitar con fichas rojas para ilustrar la resta de dos números negativos. Para calcular -6 - (-2), cuenta 6 fichas rojas y quita 2 de ellas. Sobran 4 fichas, y así la resta es -4.

Usa las fichas para calcular las siguientes restas:

(-5) - (-3) = ___ (-6) - (-1) = ___ (-4) - (-4) = ___ 9 - 3 = ___

Para calcular 5 - 8, ¿cómo se pueden quitar 8 de 5 ? La figura 7 muestra cómo se puede hacer esto usando las fichas. El primer conjunto sólo tiene 5 fichas azules, así que usamos 3 fichas azules más junto con 3 fichas rojas para obtener el segundo conjunto. Ambos conjuntos representan el número 5, pero el segundo conjunto tiene 8 fichas azules. El tercer conjunto muestra que se quitan las 8 fichas azules y que quedan 3 fichas rojas. Por lo tanto, 5 - 8 = -3.

OperacionesGTO 11

El proceso de cambiar del primer conjunto al segundo para obtener una representación más conveniente de 5 ilustra el uso de las propiedades del idéntico aditivo y del inverso aditivo.

Las siguientes ecuaciones son una descripción matemática de este proceso.Nota que el (3 + (-3)) en la segunda ecuación corresponde a las 3 fichas azules y 3 fichas rojas extra que se usaron en el segundo conjunto. 5 - 8 = (5 + 0) - 8 = 5 + (3 + (-3)) -8 = 5 + 3 + (-3) - 8 = 8 + (-3) - 8 = 8 - 8 + (-3) = -3

Con la ayuda de las fichas encuentra el resultado de las operaciones indicadas:3 - 7 = ____________ 2 - 8 = _________________

5 - 9 = ____________ 4 -10 = ________________

1 - 3 = ____________ 3 - 4 = _________________

La figura 8 muestra otro ejemplo de sustracción. Para calcular 6 - (-2), se ha cambiado el primer conjunto por el segundo usando 2 fichas rojas y 2 fichas azules extra. Ahora es posible quitar 2 fichas rojas del segundo conjunto. El tercer conjunto muestra que se quitan 2 fichas rojas y que quedan 8 fichas azules.

OperacionesGTO 12

Calcula la resta (-3) - 2 usando las fichas. Primero cuenta 3 fichas rojas para representar -3. Luego, representa -3 poniendo 2 fichas azules y 2 fichas rojas más junto con las 3 rojas.

Usa las fichas para calcular las siguientes restas:

5 - (-2) = ____ (-3) - 2 = ____ (-3) - (-4) = ____

Suma de inversos(-8) - 2 = (-8) + (-2) a - b = a + (-b)

Sumando perdido a - b = k si y sólo si a = k + b

OperacionesGTO 13

Conclusiones.1. Has representado enteros usando fichas. Esta representación no es única. Por ejemplo: 2 = 7 + (-5) = 10 + (-8) = 4 + (-2)

2. La representación de los enteros de distintas formas es debida a que en los enteros tenemos el cero. El cero se conoce como neutro aditivo, porque sumado a cualquier número, nos da el mismo número.

Por ejemplo: 7 + 0 = 7 0 + (-2) = -2 3 - 0 = 3.

3. Para cada entero, podemos encontrar otro entero de modo que su suma sea cero. Estos números se conocen como inversos aditivos. Por ejemplo: El inverso aditivo de (-3) es 3, porque (-3) + 3 = 0

4. La resta se puede sustituir por una suma algebraica. Por ejemplo: 3 - 5 = 3 + (-5) 10 - 4 = 10 + (-4)

5. La suma tiene la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los sumandos no altera el total. Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5 = 8 o también, 10 - 4 = 10 + (-4) = (-4) + 10 = 6

6. La resta de enteros no es conmutativa. No es lo mismo: a - b que b - a.a - b es diferente de b - a, por ejemplo, si a = 0 y b = 4

0 - 4 = -4, pero 4 - 0 = 4.

El tiburón y el bote.

OperacionesGTO 14

Un dado tiene escrito ya sea Bote o Tiburón en cada una de sus caras. El otro tiene A1, A2, A3 (avanza 1, 2, ó 3), y R1, R2, R3 (retrocede 1, 2, ó 3) en sus caras. La persona arroja el primer dado y se pone en la dirección indicada. Luego arroja el segundo dado y camina el número indicado de pasos avanzando o retrocediendo. La persona que llega primero al bote gana. La persona que se topa con el tiburón es comida y pierde.

Tiburón Bote

Suma y resta de números enteros con una regla de cálculo

Corta las reglas numéricas para esta actividad (pega las reglas al final de la actividad en cartulina antes de recortarlas para hacer más fácil su manejo).Para esta actividad usaremos dos reglas como éstas, una llamada escala A, y la otra escala B.

Figura 1Adición1) Suma 4 + 3 con las reglasa) Mueve la escala B a la derecha hasta que el 0 en la escala B esté exactamente arriba del 4 en la escala A (ver fig. 2)b) Busca el 3 en la escala B. Directamente debajo de este número está 7 en la escala A, por tanto, 4 + 3 = 7

Figura 2

2) Usa las reglas numéricas para representar las sumas 5 + 2, 3 + 3, 10 + 5.

OperacionesGTO 15

3) a) Suma 4 + 5. b) Nota que la posición de las reglas es exactamente la misma que en 1) c) ¿Necesitas cambiar la posición de la escala B para las siguientes sumas 4 + 4, 4 + 2, 4 + 10?d) ¿Qué otras sumas puedes representar con esta posición de las reglas?

Sustracción 1) Resta 8 - 3a) Desliza la escala B a la derecha hasta que el 3 en la escala B esté exactamente encima del 8 en la escala A (ver fig. 3).b) Busca el 0 en la escala B.c) Directamente debajo del 0 está el 5, por tanto 8 - 3 = 5

Figura 3

2) Usa la regla deslizante para encontrar las siguientes sustracciones 5 - 4, 15 - 11, 4 - 43) ¿Cuáles otras sustracciones están representadas por la figura 3?4) La figura 2 representa 4 + 3 = 7. ¿Qué otra sustracción está representada por esta figura? 5) ¿Cuáles sumas están representadas en la figura 3? Compara tu respuesta con la respuesta en 3). 6) ¿Puedes usar tus reglas de manera diferente para sumar? ¿Cómo? 7) ¿Puedes usar tus reglas para mostrar que la suma es conmutativa? ¿Cómo?

Pega en cartulina y recorta

OperacionesGTO 16

Extensión a números negativos y positivos(Actividades redactadas por Francisco Mirabal)

OBJETIVO: Resolver sumas y restas de números enteros empleando una regla de cálculo.

MATERIALES: Tijeras, pegamento, 1/32 de hoja de cartulina, 2 regletas de números enteros.Se te proporciona una plantilla en la última hoja para que pegues, recortes y obtengas tus regletas de cálculo con mayor facilidad.

INTRODUCION:En esta actividad realizarás operaciones básicas de suma y resta en el conjunto de los números enteros que como recordarás se compone de enteros negativos, positivos y el cero.

DESARROLLO:Para ello emplearemos dos regletas como las que se muestran abajo, nombradas con las letras A y B. Cada una representa la recta numérica.

Estas regletas con idéntica escala, serán utilizadas para efectuar operaciones como a continuación se describe.

1er. Caso: Suma de dos números enteros positivos (+a) + (+b)Observa como se pueden usar las regletas para obtener la suma (+2) + (+3)

a) Coloca tus dos reegletas en la posición que muestra la figura de arriba

b) Mueve la escala B a la derecha hasta que el cero de la escala B quede exactamente arriba del primer sumando que es (+2) en la escala A. Observa la figura que aparece a continuación.

c) Localiza el segundo sumando (+3) en la escala B. Directamente abajo de 3 de la escala B, aparece 5 en la escala A, o sea el resultado de (+2) + (+3) = 5.

Como observaste en el ejemplo anterior la escala A permanece fija y la que se mueve es la escala B.

Resumiendo, en la escala A ubicas el primer sumando que en este caso fue 2 y colocas el cero de

OperacionesGTO 17

la escala B exactamente arriba del primer sumando. En la escala B localizas el segundo sumando y abajo de él en la escala A encuentras el resultado.

Ahora vas a calcular la suma de (+5) + (+4)

¿Cuál regleta permanece fija?__________________________________¿Arriba de qué número de la escala A ubicas el cero de la escala B?________________________________________________________________

¿Qué número representa el segundo sumando? ______________________

Si localizas en la escala B el segundo sumando, ¿qué número de la escala A queda exactamente abajo de él? _____________________________________¿Cuál es el resultado que encontraste? __________________________

Si tu resultado es 9, es correcto, en caso contrario revisa el manejo de tus regletas nuevamente .

Con la ayuda de tus regletas calcula el resultado de las siguientes operaciones:

(+1) + (+6) = __________ (+3) + (+3) = __________

(+4) + (+1) = __________ (+5) + (+2) = __________

(+8) + (+2) = __________ (+6) + (+3) = __________

2o. Caso: Suma de dos números enteros negativos:

Observa el manejo de las regletas para obtener la suma (-3) + (-2)a) Coloca tus regletas en posición para iniciar.b) Mueve la escala B a la izquierda hasta que el cero de la escala B quede exactamente arriba del primer sumando que es (-3) en la escala A.Observa la siguiente Figura.

c) Localiza el segundo sumando que es (-2) en la escala B. Directamente abajo del -2 de la escala B, aparece -5 en la escala A, o sea el resultado de (-3) + (-2) = -5

Ahora vas a calcular la suma (-2) + (-4)

¿Cuál es el primer sumando? _____________________________________

OperacionesGTO 18

¿Arriba de qué número de la escala A ubicas el cero de la escala B? ______________________________________________________________

Si localizas en la escala B el segundo sumando, ¿qué número de la escala A queda exactamente abajo de él? ___________¿Cuál es el resultado encontrado? ______________________________

Si el resultado que encontraste es -6, es correcto.

Empleando la regla de cálculo obtén el resultado de las operaciones que a continuación se te presentan.

(-2) + (-1) = __________ (-1) + (-3) = __________ (-3) + (-3) = __________ (-2) + (-2) = __________

(-4) + (-2) = __________ (-5) + (-1) = __________

3er. Caso: Suma de dos números enteros con diferentes signos:

Parte 1

También puedes usar tus regletas para obtener la suma (+4) + (-3)a) Coloca tus regletas en posición para iniciar.b) Mueve la escala B a la derecha hasta que el cero de la escala B quede arriba del primer sumando que es (+4) en la escala A.

c) Localiza el segundo sumando (-3) en la escala B. Directamente abajo está 1 de la escala A, o sea la suma de (+4) + (-3) = 1

Calcula la suma de (+8) + (-5) con la ayuda de tus regletas.¿Cuál es el primer sumando? ____________________________________¿Arriba de qué número de la escala A ubicas el cero de la escala B?_______________________________________________________________

Al localizar el segundo sumando en la escala B, ¿qué número de la escala A queda exactamente abajo de él?___________¿Cuál es el resultado de la operación?____________________________Si utilizaste tus regletas correctamente tu resultado debe ser 3.

OperacionesGTO 19

¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? Emplea la regla de cálculo.(+3) + (-3) = _________ (+6) + (-5) = __________

(+5) + (-2) = _________ (+8) + (-2) = __________

(+3) + (-1) = _________ (+10) + (-6) = _________

Parte 2.Con la técnica aprendida resuelve las siguientes operaciones empleando la regla de cálculo.

(-6) + (+1) = __________ (-4) + (+2) = ___________

(-5) + (+5) = __________ (-5) + (+3) = ___________

(-3) + (+2) = __________ (-2) + (+1) = ___________

4o. Caso: Resta de dos números enteros (-a) -b Con la ayuda de tus regletas resuelve (-4) -2a) Acomoda tus reglas de cálculo en posición para iniciar.b) Mueve la escala B hasta que el 2 quede arriba del -4 de la escala A.c) Localiza el 0 en la escala B.d) Lee la respuesta en la escala A, directamente abajo del 0 de la escala B tal como se muestra en la siguente figura.

¿Es tu respuesta -6? Correcto.

Resuelve las siguientes operaciones con la regla de cálculo.(-4) -1 = __________ (-3) -2 = ___________

(-1) -2 = __________ (-5) -1 = ___________

(-2) -2 = __________ (-1) -3 = ___________

¿De qué otra manera se puede utilizar la regla de cálculo para encontrar la diferencia (-4 ) - 2?Investígalo.

Conclusiones.1. La actividad que has realizado te ha permitido asociar las regletas con la recta númerica.2.Aprendiste a obtener el resultado de una suma de dos cantidades utilizando una regla de cálculo.

OperacionesGTO 20

3. Las regletas ahora utilizadas están numéradas a partir de -6 hasta 10, pero para obtener algunos otros resultados se puede ampliar el número de divisiones de la regletas, en sentido negativo como positivo.

NOTA: En el desarrollo de la unidad hemos empleado paréntesis para que distingas los siguientes elementos:a) El signo del número. Ejemplo (+3), (-2), etc.b) El signo de operación. Ejemplo (+3) + (-2). Sin embargo es conveniente aclarar que en algunos de los casos se puede eliminar el parentesis. Por ejemplo: (+2) + (+3) = 2 + 3 (-6) + (+1) = -6 + 1Lo anterior no significa que se hayan alterado las operaciones ya que siguen representando sumas de enteros. Lo importante es distinguir cuándo el signo corresponde al número y cuándo a la operación.

PEGA LA REGLA DE CALCULO SOBRE UNA CARTULINA Y RECORTA AMBAS TIRAS (Escala A y Escala B)

Multiplicación de enteros: Buscando patrones

1. Busca un patrón en la tabla de multiplicar. Nota que el primer factor es siempre el mismo: 2. Nota que el segundo factor decrece de uno en uno. Describe el comportamiento de las respuestas en la recta numérica y extiende la tabla.

_|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|__ _|___|___|___|___|_-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 5 = 10 2 4 = 8 2 3 = 6 2 2 = 4 2 1 = 22 0 = 0 2 (- 1) = 2 (- 2) = 2 (- 3) = 2 (- 4) =

OperacionesGTO 21

2. Busca un patrón en la tabla de multiplicar. Nota que el primer factor es siempre el mismo, (-2) Nota que el segundo factor decrece de uno en uno. Describe el comportamiento de las respuestas en la recta numérica y extiende la tabla.

_|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|__ _|___|___|___|___|_-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(- 2) 4 = - 8(- 2) 3 = - 6 (- 2) 2 = - 4 (- 2) 1 = - 2(- 2) 0 = 0 (- 2) (- 1) = (- 2) (- 2) = (- 2) (- 3) =(- 2) (- 4) =

3. Procede de manera análoga, llena la tabla de multiplicar.

Otros argumentos5 (-1) = - 5. Multiplicar por (-1) es como reflejar los números con el cero como espejo. La reflexión de los números negativos debe ser positiva.

El método de Al-KhowarizmiMultiplica 7 8 como el producto de dos binomios (10 - 3) (10 - 2). ¿Cuál debe ser el signo de (-3) (-2) para que el resultado sea todavía 56?

Operaciones como mapeos.

Adición.Suma 1 a cada uno de los números de la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado correspondiente en la recta de abajo. Por ejemplo, 0 + 1 = 1, así que conectamos 0 with 1.

OperacionesGTO 22

-4 + 1 = -3 así que conectamos - 4 with - 3, etc. Describe la figura con tus propias palabras.

Suma 2 a cada uno de los números de la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado correspondiente en la recta de abajo. Compara este diagrama con el anterior.

¿Como se vería la figura si sumaras 0 a cada número?

Sustracción Resta 2 de cada uno de los números en la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado correspondiente en la escala de abajo. Contrasta esta figura con la anterior.

Adición de un número negativo.Suma (-2) a cada uno de los números en la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado correspondiente en la recta de abajo. Compara este diagrama con el anterior.

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Multiplicación Multiplica cada número en la escala de arriba por 2. Conecta cada número con el resultado correspondiente en la recta de abajo. Describe la figura resultante con tus propias palabras. Contrasta con las figuras obtenidas con la multiplicación y la sustracción.

¿Cómo se vería el dibujo si multiplicaras por 1?

Multiplica cada número par de la línea de arriba por 1/2. Conecta estos números con el resultado correspondiente en la escala de abajo. Describe la figura resultante. Contrasta con la figura anterior. Ahora haz lo mismo con los números impares de la escala de arriba.

¿Cómo se vería la figura si multipicaras por 0?

OperacionesGTO 24

Multiplica cada número en la línea de arriba por -1. Conecta cada número con el resultado correspondiente en la línea de abajo. Describe la figura y contrástala con las figuras anteriores.

¿Como se verá la figura si multiplicas por - 2?

¿Como se verá la figura si multiplicas por -1/2?

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Elevar al cuadradoEleva al cuadrado cada uno de los siguientes números en la recta de arriba: - 2, -1, 0, 1, 2. Conecta cada uno de estos números con el resultado correspondiente en la recta de abajo. ¿Qué es diferente en esta figura?

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Un cuadrado mágico para la multiplicación de enteros.

Pon una ficha en cualquier cuadrado. Pon otra ficha en otro cuadrado que no esté en el mismo renglón o en la misma columna que la primera ficha. Pon una tercera ficha en un cuadrado que no esté en el mismo renglón y la misma columna que ninguna de las dos fichas anteriores. Mira los números que han sido cubiertos. Multiplica estos números. El resultado es siempre 720.

La criba de EratóstenesLos números primos menores que 100.

1) Encierra el número 2 en un círculo. Encuentra todos los múltiplos de 2. Tacha todos los múltiplos de 2 (excepto el 2) con tres líneas verticales.

2) Encierra el número 3 en un círculo. Encuentra los múltiplos de 3. Algunos de ellos ya han sido tachados. Tacha todos los restantes múltiplos de 3 (excepto el 3) con una línea vertical.

3) Encierra el número 5 en un círculo. Encuentra los múltiplos de 5. Algunos de ellos ya han sido tachados. Tacha todos los restantes múltiplos de 5 (excepto el 5) con cuatro líneas.

4) Encierra el número 7 en un círculo. Encuentra los múltiplos de 7. Algunos de ellos ya han sido tachados. Tacha todos los restantes múltiplos de 7 (excepto el 7) con tres líneas.

5) Encierra en círculos todos los números que no han sido tachados. Estos son los números primos menores que 100.

6) Discute con tus compañeros de grupo por qué sólo es necesario tachar los múltiplos de 2, 3,

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5, y 7 para obtener los números primos menores que 100.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 3132 33 34 35 36 3738 39 40 41 42 4344 45 46 47 48 4950 51 52 53 54 5556 57 58 59 60 6162 63 64 65 66 6768 69 70 71 72 7374 75 76 77 78 7980 81 82 83 84 8586 87 88 89 90 9192 93 94 95 96 9798 99 100

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