HÉCTOR ESCOBAR Unidad 3

Álgebra Lineal

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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES 1. CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea WV , dos espacios lineales,

entonces un operador lineal (transformación lineal) es una función WVT →: donde cada elemento de V le corresponde un único elemento de W y además cumple con las condiciones siguientes:

1. Aditividad: Vyx ∈∀ , se cumple que ( ) ( ) ( )yTxTyxT +=+ .

2. Homogeneidad. Sean Vx ∈ℜ∈ ,α , entonces se cumple que: ( ) ( )xTxT αα = .

NOTA: las dos propiedades anteriores se pueden resumir así: Vx,α ii ∈∀ℜ∈∀

se cumple que ( )i

n

i

i

n

i

ii xTxT ∑∑==

=

11

αα .

El primer miembro es LC. de elemento de V . El segundo miembro es LC. de elemento de W . NOTA: el operador lineal WVT →: también recibe el nombre de HOMEOMORFISMO de V en W .

2. ALGEBRIZACION DE LOS OPERADORES LINEALES: sean ( )WVL , el

conjunto de todos los operadores lineales. Entonces ( ) •⟩+⟨ ,,,WVL es un espacio

lineal teniendo en cuenta que en ( )WVL , se han definido:

a. La igualdad: 21

TT = sii ( ) ( ) VTT ∈∀= ννν21

.

b. La suma ( )+ como una IBO .. : sean ( )WVLTT ,,21

∈ , entonces

( ) ( ) ( )ννν2121

TTTT +=+ .

c. El producto de un real por un operador lineal: ( ) ( )νανα TT = .

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3. PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LINEALES:

3.1 V∈∀ν se cumple que ( ) ( )νν TT −=−

3.2 todo operador lineal WVT →: transforma a Vθ en Wθ

3.3 sean WVT →: ; { }mB ννν ,,,21…= una base de V . Entonces si conocemos las

imágenes de los elementos de B mediante T , también podemos conocer la imagen de cualquier elemento de V . 4. NUCLEO Y RANGO DE UN OPERADOR LINEAL.

4.1 Núcleo. Sea WVT →: un operador lineal. Entonces el núcleo de T son todos

los elementos de V cuya imagen es :Wθ

( ) ( ){ }WTVTN θνν ν =∈= ,/ .

NOTAS:

a. ( )TN es un subespacio de V .

b. ( ) VDimTNDim ≤

c. ( )TN recibe el nombre de nulidad de T .

4.2 rango. Sea WVT →: un operador lineal. Entonces el rango de T es el conjunto de elementos de W que son imágenes de al menos un elemento de V .

( ) ( ){ }wTVWwwTR =∈∃∈= νν ;;/ .

NOTAS:

a. ( )TR es un subespacio de W .

b. ( ) WDimTRDim ≤ .

c. Si V y W son Subespacios de dimensión finita, entonces

( ) ( ) VDimTNDimTRDim =+ .

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5. CLASIFICACION DE LOS OPERADORES LINEALES. Sea WVT →: un operador lineal. Entonces:

5.1 T es inyectivo ( )11− si ( ) ( ) VTT ∈∀=→=212121

,, νννννν .

Propiedad: T es inyectivo ( )11− si ( ) { } ( )( )0== TNDimTN vθ .

5.2 T es sobreyectivo si ( ) WTR = , es decir, VWw ∈∃∈∀ ν, tal que ( ) wT =ν .

5.3 T es biyectivo si es inyectivo y es sobreyectivo. NOTAS: 1. si T es biyectivo, recibe el nombre de operador regular. 2. si WVT →: es biyectivo (regular) entonces existe el operador inverso

VWT →−:

1 .

3. sea WVT →: con .nWDimVDim == . Entonces

a. si T es inyectivo, entonces T es sobreyectivo. b. Si T es sobuyectivo, entonces T es inyectivo.

6. isomorfismo. Sea ( )WVT ,∈ un operador biyectivo (regular), entonces decimos

que T es un isomorfismo o que V es isomorfo con ( )WVW ≅ .

NOTAS: decir que WVT →: es un isomorfismo, implica las siguientes afirmaciones: a. T es biyectivo (regular).

b. WDimVDim = .

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c. ( ) 0=TNDim .

d. Si { } VB n ⊆= ννν ,,,211… es ..IL , entonces ( ) ( ) ( ){ } WTTTB n ⊆= ννν ,,,

212…

también es ..IL .

e. Si { } VB n ⊆= ννν ,,,211… genera a V , entonces

( ) ( ) ( ){ } WTTTB n ⊆= ννν ,,,212… , también genera a W .

f. Si { } VB n ⊆= ννν ,,,211… es una base de V , entonces

( ) ( ) ( ){ } WTTTB n ⊆= ννν ,,,212… , también es base de W .

* OTRA NOTA: para establecer un isomorfismo entre dos espacios lineales, basta con establecer una correspondencia entre sus bases canónicas. 7. MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL. 7.1 INTRODUCCION. a. Recordar en que consiste el vector de coordenada. b. Operador identidad:

VVT →: , ( ) xxT = ó ( ) xxI = , recibe el nombre de operador identidad.

c. Operador compuesto. Sea UVT →′ : , WUT →: dos operaciones lineales.

Entonces WVToT →′ : con ( ) ( )( )xTTxToT ′=′ recibe el nombre de operador

compuesto.

d. Si T es un isomorfismo, entonces ( ) ( ) ( ) xxIxToTxToT === −− 11 .

7.2 sean WVT →: un operador lineal, donde nVDim = y mWDim = ;

{ }nB ννν ,,,211…= una base de V .

{ }mwwwB ,,,212…= una base de

2W .

Hallar la matriz asociada a A mediante las bases 1

B y 2

B .

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NOTAS:

a. ( ) AxxT = donde A es la matriz asociada a T mediante una base de V y otra

de W (explicarlo).

b. Si WVT →: es un isomorfismo y A es la matriz asociada a T , entonces 1−A

es la matriz asociada a 1−T .

8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE.

a. Sea V un espacio lineal con nVDim = y sean

{ }nB ννν ,,,211…= base ordenada de V ;

{ }mB µµµ ,,,212…= base ordenada de V con

21BB ≠

b. Sea Vx ∈ . Por su 1

B y 2

B bases de V , se tiene que:

nnx νανανα +++= …

2211

nnx νβνβνβ +++= …

2211

( )nB

x ααα +++= …

211 vector de coordenadas en

1B

( )nB

x βββ +++= …

212 vector de coordenadas en

2B

c. Lo que se pretende es hallar una matriz A tal que conocido ( )1B

x , halle ( )2B

x :

Sea VVI →: con ( ) xxI = por la matriz asociada tenemos que

( )[ ] ( )VW BB

xAxT = Def de matriz asociada

( )[ ] ( )12 BB

xAxT = Sustituyendo la base

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( ) ( )12 BB

xAx = . Por ( ) ( ) xxIxT == .

d. En forma análoga si se desea pasar la base 2

B a la 1

B se hace lo siguiente:

( ) ( )21 BB

xxA = caso anterior

( )[ ] ( )21

11

BBxAxAA

−− = Premultiplicando

( )( ) ( )21

11

BBxAxAA

−− = Asociatividad

( ) ( )21

1

BBxAx

−= Def de inversa e ident

es decir si A es la matriz de cambio de base de 1

B a 2

B , entonces 1−

A es la

matriz de cambio de base de 2

B a 1

B .