HÉCTOR ESCOBAR Unidad 3
Álgebra Lineal
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES 1. CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea WV , dos espacios lineales,
entonces un operador lineal (transformación lineal) es una función WVT →: donde cada elemento de V le corresponde un único elemento de W y además cumple con las condiciones siguientes:
1. Aditividad: Vyx ∈∀ , se cumple que ( ) ( ) ( )yTxTyxT +=+ .
2. Homogeneidad. Sean Vx ∈ℜ∈ ,α , entonces se cumple que: ( ) ( )xTxT αα = .
NOTA: las dos propiedades anteriores se pueden resumir así: Vx,α ii ∈∀ℜ∈∀
se cumple que ( )i
n
i
i
n
i
ii xTxT ∑∑==
=
11
αα .
El primer miembro es LC. de elemento de V . El segundo miembro es LC. de elemento de W . NOTA: el operador lineal WVT →: también recibe el nombre de HOMEOMORFISMO de V en W .
2. ALGEBRIZACION DE LOS OPERADORES LINEALES: sean ( )WVL , el
conjunto de todos los operadores lineales. Entonces ( ) •⟩+⟨ ,,,WVL es un espacio
lineal teniendo en cuenta que en ( )WVL , se han definido:
a. La igualdad: 21
TT = sii ( ) ( ) VTT ∈∀= ννν21
.
b. La suma ( )+ como una IBO .. : sean ( )WVLTT ,,21
∈ , entonces
( ) ( ) ( )ννν2121
TTTT +=+ .
c. El producto de un real por un operador lineal: ( ) ( )νανα TT = .
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3. PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LINEALES:
3.1 V∈∀ν se cumple que ( ) ( )νν TT −=−
3.2 todo operador lineal WVT →: transforma a Vθ en Wθ
3.3 sean WVT →: ; { }mB ννν ,,,21…= una base de V . Entonces si conocemos las
imágenes de los elementos de B mediante T , también podemos conocer la imagen de cualquier elemento de V . 4. NUCLEO Y RANGO DE UN OPERADOR LINEAL.
4.1 Núcleo. Sea WVT →: un operador lineal. Entonces el núcleo de T son todos
los elementos de V cuya imagen es :Wθ
( ) ( ){ }WTVTN θνν ν =∈= ,/ .
NOTAS:
a. ( )TN es un subespacio de V .
b. ( ) VDimTNDim ≤
c. ( )TN recibe el nombre de nulidad de T .
4.2 rango. Sea WVT →: un operador lineal. Entonces el rango de T es el conjunto de elementos de W que son imágenes de al menos un elemento de V .
( ) ( ){ }wTVWwwTR =∈∃∈= νν ;;/ .
NOTAS:
a. ( )TR es un subespacio de W .
b. ( ) WDimTRDim ≤ .
c. Si V y W son Subespacios de dimensión finita, entonces
( ) ( ) VDimTNDimTRDim =+ .
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5. CLASIFICACION DE LOS OPERADORES LINEALES. Sea WVT →: un operador lineal. Entonces:
5.1 T es inyectivo ( )11− si ( ) ( ) VTT ∈∀=→=212121
,, νννννν .
Propiedad: T es inyectivo ( )11− si ( ) { } ( )( )0== TNDimTN vθ .
5.2 T es sobreyectivo si ( ) WTR = , es decir, VWw ∈∃∈∀ ν, tal que ( ) wT =ν .
5.3 T es biyectivo si es inyectivo y es sobreyectivo. NOTAS: 1. si T es biyectivo, recibe el nombre de operador regular. 2. si WVT →: es biyectivo (regular) entonces existe el operador inverso
VWT →−:
1 .
3. sea WVT →: con .nWDimVDim == . Entonces
a. si T es inyectivo, entonces T es sobreyectivo. b. Si T es sobuyectivo, entonces T es inyectivo.
6. isomorfismo. Sea ( )WVT ,∈ un operador biyectivo (regular), entonces decimos
que T es un isomorfismo o que V es isomorfo con ( )WVW ≅ .
NOTAS: decir que WVT →: es un isomorfismo, implica las siguientes afirmaciones: a. T es biyectivo (regular).
b. WDimVDim = .
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c. ( ) 0=TNDim .
d. Si { } VB n ⊆= ννν ,,,211… es ..IL , entonces ( ) ( ) ( ){ } WTTTB n ⊆= ννν ,,,
212…
también es ..IL .
e. Si { } VB n ⊆= ννν ,,,211… genera a V , entonces
( ) ( ) ( ){ } WTTTB n ⊆= ννν ,,,212… , también genera a W .
f. Si { } VB n ⊆= ννν ,,,211… es una base de V , entonces
( ) ( ) ( ){ } WTTTB n ⊆= ννν ,,,212… , también es base de W .
* OTRA NOTA: para establecer un isomorfismo entre dos espacios lineales, basta con establecer una correspondencia entre sus bases canónicas. 7. MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL. 7.1 INTRODUCCION. a. Recordar en que consiste el vector de coordenada. b. Operador identidad:
VVT →: , ( ) xxT = ó ( ) xxI = , recibe el nombre de operador identidad.
c. Operador compuesto. Sea UVT →′ : , WUT →: dos operaciones lineales.
Entonces WVToT →′ : con ( ) ( )( )xTTxToT ′=′ recibe el nombre de operador
compuesto.
d. Si T es un isomorfismo, entonces ( ) ( ) ( ) xxIxToTxToT === −− 11 .
7.2 sean WVT →: un operador lineal, donde nVDim = y mWDim = ;
{ }nB ννν ,,,211…= una base de V .
{ }mwwwB ,,,212…= una base de
2W .
Hallar la matriz asociada a A mediante las bases 1
B y 2
B .
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NOTAS:
a. ( ) AxxT = donde A es la matriz asociada a T mediante una base de V y otra
de W (explicarlo).
b. Si WVT →: es un isomorfismo y A es la matriz asociada a T , entonces 1−A
es la matriz asociada a 1−T .
8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE.
a. Sea V un espacio lineal con nVDim = y sean
{ }nB ννν ,,,211…= base ordenada de V ;
{ }mB µµµ ,,,212…= base ordenada de V con
21BB ≠
b. Sea Vx ∈ . Por su 1
B y 2
B bases de V , se tiene que:
nnx νανανα +++= …
2211
nnx νβνβνβ +++= …
2211
( )nB
x ααα +++= …
211 vector de coordenadas en
1B
( )nB
x βββ +++= …
212 vector de coordenadas en
2B
c. Lo que se pretende es hallar una matriz A tal que conocido ( )1B
x , halle ( )2B
x :
Sea VVI →: con ( ) xxI = por la matriz asociada tenemos que
( )[ ] ( )VW BB
xAxT = Def de matriz asociada
( )[ ] ( )12 BB
xAxT = Sustituyendo la base
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( ) ( )12 BB
xAx = . Por ( ) ( ) xxIxT == .
d. En forma análoga si se desea pasar la base 2
B a la 1
B se hace lo siguiente:
( ) ( )21 BB
xxA = caso anterior
( )[ ] ( )21
11
BBxAxAA
−− = Premultiplicando
( )( ) ( )21
11
BBxAxAA
−− = Asociatividad
( ) ( )21
1
BBxAx
−= Def de inversa e ident
es decir si A es la matriz de cambio de base de 1
B a 2
B , entonces 1−
A es la
matriz de cambio de base de 2
B a 1
B .