Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.Penulisan matriks:\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}atau\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} Matriks di atas berordo 3x2.

Matriks Identitas (I)Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}Matriks Transpose (At)Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix}maka matriks transposenya (At) adalah A^t= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}Operasi perhitungan pada matriksKesamaan 2 matriks2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix}Tentukan nilai 2x-y+5z!Jawab:

6x=3 maka x= \frac {1}{2} 2y+2=1 maka y= -\frac {1}{2} z-y=5 maka z= \frac {9}{2}

2x-y+5z = 2\left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac {1}{2}+ 5 \left ( \frac{9}{2} \right ) = 23

Penjumlahan matriks2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3+6x & 5+z-y \\ 2y+3 & 8 & -14 \end{pmatrix}Pengurangan matriks2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3-6x & 5-z-y \\ -2y-1 & 0 & 0 \end{pmatrix}Perkalian bilangan dengan matriksContoh:3 \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18x & 3z-3y \\ 6y+6 & 12 & -21 \end{pmatrix}Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.Penghitungan perkalian matriks:Misalkan:A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} dan B= \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}maka A \times B= \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}Contoh:\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 76 \\ 35 & 64 \end{pmatrix}Determinan suatu matriksMatriks ordo 2x2Misalkan:A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}maka Determinan A (ditulis \left\vert A \right\vert ) adalah:\left\vert A \right\vert= a \times d - b \times cMatriks ordo 3x3Cara SarrusMisalkan:Jika A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert A \right\vert !\left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix}Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

\left\vert A \right\vert = a.e.i + b.f.g + c.d.h - g.e.c - h.f.a - i.d.b

Contoh:A= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert A \right\vert !\left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} -2 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix}

\left\vert A \right\vert = (-2.2.5) + (0.-1.-1) + (1.3.-3) - (1.2.1) - (-2.-1.-3) - (0.3.5) = -20+0-9-2+6-0 = -25

Cara ekspansi baris-kolomMisalkan:Jika P= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert P \right\vert dengan ekspansi baris pertama!\left\vert P \right\vert= -2 \left\vert \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right\vert -0 \left\vert \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right\vert +1 \left\vert \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right\vert\left\vert P \right\vert= -2 (10-3) -0 + 1(-9-2) = -25Matriks SingularMatriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.Contoh:P= \begin{pmatrix} -4 & 5x\\ -x & 20 \end{pmatrix}Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

-80+5x^2 = 0 5 (x^2-16)=0 x = -4 vs x=4

Invers matriksInvers matriks 2x2Misalkan:A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}maka inversnya adalah:A^{-1}= \frac {1}{\left\vert A \right\vert} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \frac {1}{a.d-b.c} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}Sifat-sifat invers matriks

A . A^{-1} = I = A^{-1}. A

(AB)^{-1} B^{-1}. A^{-1}

(A^{-1})^{-1} = A

AI = A = IA

Persamaan matriksTentukan X matriks dari persamaan:

Jika diketahui matriks A.X=B

A.X=B

A^{-1}.A.X = A^{-1}.B

I.X = A^{-1}.B

X= A^{-1}.B

Jika diketahui matriks X.A=B

X.A=B

X.A.A^{-1} = B.A^{-1}

X.I = B.A^{-1}

X= B.A^{-1}