Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007

5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007

1/79

Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008

1

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

W eknmii pewne interesujce nas zjawisk traktujemy jak jen b wielwymiarw

zmienn lsw. Rzka prawpbieostwa tej zmiennej lswej na g nie jest znany,

psiaane infrmacje pzwalaj jeynie wyrnid rzin rzkaw ktrej naley rzka

tej zmiennej losowej.


2/79


2

Przykad:

Dzienny utarg sklepu jest zmienn lsw ) , , .

Celem wnioskowania statystycznego jest przedstawienie pewnych syntetycznych

infrmacji rzkazie zmiennej lswej reprezentujcej interesujce zjawisk na pstawie

pewnego zbioru informacji dotyczcych zjawiska (wynikw eksperymentu, prby).


3/79


3


4/79


4

Trjk , gdzie jest rzin rzkaw prawpbieostwa nazywamy

przestrzeni statystyczna.

W wielu interesujcych z praktyczneg punktu wizenia przypadkach rzin memy

przestawid w pstaci , gdzie jest pewnym zbiorem parametrw.

Przestrzeo statystyczna suy pisu zbiru mliwych mechanizmw rzzcych

eksperymentem losowym.


5/79


5

Przykad: Rzwaamy jenkrtny rzut mnet. Oznaczmy przez

prawpbieostw trzymania ra. Przyjmujemy, e wynikiem eksperymentu jest

wyrzucenie ra alb reszki. Oznaczajc te zarzenia pwieni przez i , mamy:

,

rzina mliwych rzkaw prawpbieostwa: ,

gdzie , , , .


6/79


6

Jeeli , t mwimy, e eksperyment lswy jest pisany k wymiarowym

melem parametrycznym. Jeeli nie a si przestawid jak pzbir la aneg

, t mwimy, e eksperyment jest pisany melem nieparametrycznym.


7/79


7

Podstawowym zadaniem statystyki jest panie met, ktre umliwiaj wskazanie

rzkau, rzzceg eksperymentem lswym, na pstawie bserwacji jeg wyniku . Na

g wyrnia si trzy typy takiej ientyfikacji:


8/79


8

1.Estymacja punktowapolega na oszacowaniu nieznanego parametru za pmcfunkcji, ktrej argumentami s bserwacje , wartciami za s pszczeglne wartci

parametru ;


9/79


9

2.Estymacja przedziaowa polega na oszacowaniu nieznanego parametru zapmc funkcji, ktrej argumentami s bserwacje , wartciami za s pzbiry

przestrzeni parametrw ;


10/79


10

3.Testowanie hipotez plega na wyrbnieniu, prze przeprwazeniemeksperymentu, takich wu rzcznych zbirw , la ktrych ,

wyknaniu eksperymentu lsweg, a nastpnie pjciu na pstawie jeg wynikw

ecyzji, w ktrym ze zbirw znajuje si nieznany parametr .


11/79


11

Na g atwiej jest wskazad waciwy rzka prawpbieostwa, jeeli wielkrtnie

pwtrzymy eksperyment.

N-krotne pwtrzenie eksperymentu lsweg krelamy mianem prby

losowejjeeli znaczaj zmienne lswe. Jeeli zmienne lswe s

niezalene i maj ten sam rzka, t mwimy, e prba losowa jest prosta.


12/79


12

Dla zdarzenia elementarnego liczby nazywamy

realizacj prbylosowej , pwiaajc zarzeniu elementarnemu .


13/79


13

Kaa funkcja wartciach rzeczywistych, ktrej argumentami s realizacje prby

losowej, generuje pewne odwzorowanie , krelne w nastpujcy spsb:

.

Jeeli wzrwanie jest zmienn lsw, t nazywamy j statystyk.


14/79


14

Przykadystatystyk:

rednia z prby

Niech bzie prb lsw. reni z prby nazywamy statystyk

.


15/79


15

Wariancja z prby:

Wariancj z prby lswej , la ktrej , gdzie jest znane,

nazywamy statystyk

Gdy nie jest znane , wariancj z prby nazywamy statystyk


16/79


16

Dystrybuanta empiryczna:

Dla anej prby prstej , dystrybuanta empiryczna w punkcie jest

krelna nastpujcym wzrem:

gdzie dla dowolnego przez znaczamy tzw. funkcj wskanikw zbiru:

,


17/79


17

POLSKA POWIATY 2000 PRZYROST NATURALNY

-9,23-8,14

-7,06-5,97

-4,89-3,80

-2,71-1,63

-0,540,54

1,632,71

3,804,89

5,977,06

8,149,23

0

50

100

150

200

250

300

350

400

liczbaobserwacji


18/79


18

Wspczynnik korelacji z prby:

Niech ana bzie prba prsta , ktrej elementami s wuwymiarwe

wektry. Wspczynnik krelacji z prby jest krelony nastepujacym wzorem:


19/79


19

Histogram z prby:

POLSKA POWIATY 2000 r.

POW. MIESZK. NA 1 MIESZK.

0% 0% 1%

7%

20%

27%

24%

10%

7%

3%

1%0% 0%

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

POW. MIESZK. NA 1 MIESZK.

0%

5%

11%

16%

21%

27%

32%

Percentofobs

0

20

40

60

80

100

120


20/79


20

Estymacja punktowa

Niech bzie prb lsw w melu pisanym za pmc przestrzeni

statystycznej , gdzie . Na g jest tak, e rzka

prawdopodobienstwa danej statystyki zaley parametru . Obserwacje

statystyki mna wykrzystad wniskwania parametrze .

Ka statystyk , ktra przyjmuje wartci z przestrzeni parametrw ,

bziemy nazywad estymatoremparametru .


21/79


21

Nieobciono estymatora

Oznaczmy przez estymator parametru rzkau zmiennej lswej w

ppulacji bliczany w parciu prb lsw .

Jeelima miejsce: ,

t mwimy, e jest estymatorem nieobcionym.

/ Psugujc si estymatrem niebcinym reni rzecz birc trafiamy w prawziw

wartd parametru /


22/79


22

Przykady:

W przypadku gdy , to

renia arytmetyczna z prby jest niebcinym estymatrem wartci czekiwanej w

populacji.


23/79


23

Niech oraz niech , w przypadku, gdy

znamy wartd czekiwan w populacji wtedy

.

W przypadku, gy nie znamy wartci czekiwanej w ppulacji mamy:


24/79


24

Dlateg te wprwaza si nieobciony estymator wariancji:

Mamy wwczas:

Obcieniem estymatora parametru nazywamy wielkd .


25/79


25

Estymatory zgodne

Niech bzie cigiem niezalenym zmiennych lswych tym samym rzkazie

zalecym parametru rzeczywisteg . Niech bzie estymatrem

parametru , otrzymanym na podstawie obserwacji . Mwimy, e jest

zgodny,jeeli la kaeg ,

.


26/79


26

Zgnd znacza, e la statecznie uych licznci prby estymator przyjmuje z

uym prawpbieostwem wartci bliskie estymwanemu parametrwi .

Przykayestymatrw zgnych:

rednia arytmetyczna, meiana z prby


27/79


27

Mwimy, e estymatr parametru jest mocno zgodny, jeeli speniny jest warunek

Mcna zgnd znacza, e z prawpbieostwem 1 realizacje estymatra , przy

, do estymanowanego parametru.

Przykayestymatrw mcn zgnych :

rednia arytmetyczna, dystrybuanta empiryczna


28/79


28

Odporno estymatora

Oznaczmy przez estymatr, wzrwanie przyprzkwujace jeen b wicej

parametrw z ustalneg zbiru parametrw kaemu rzkawi zmiennej losowej o

wartciach w zbirze .

Rzwamy wszelkie zanieczyszczne prby n elementowe , ktre uzyskujemy przez

zastpienie obserwacji w nelementwej prbie z rzkau dowolnymi obserwacjami

(np. bserwacjami stajcymi).


29/79


29

Oznaczmy przez maksymalne bcienie, ktre me pwstad przez takie

zastpienie: , gdzie supremum brane jest po wszystkich

prbach .


30/79


30

W przypadku, gdy jest nieskoczne, tzn. jenstek stajcych me mied

wlnie wielki wpyw na , mwimy, e estymatr amie si. Punkt zaamania estymatra

w prbie definiowany jest jako:

.

Innymi swy jest t najmniejsza frakcja zastpienia, ktra me sprawid, e estymatr

przyjmuje wartci wlnie lege wielkci, ktr estymuje.


31/79


31

Punkt zaamania reniej arytmetycznej z prby wynosi 0% - zalewie jena stajca

bserwacja jest w stanie znieksztacid analiz prwazna za pmcreniej, punktzaamania

meiany z prby jest bliski 49%.


32/79


32

Estymacja przedziaowa

Niech ana bzie prba lswa , ktrej rzka zaley pewneg parametru

rzeczywistego . Przeziaem ufnci la parametru na pzimie ufnci

nazywamy przezia speniajcy warunki:

1) oraz s funkcjami prby lswej nie zalejednak od .

2)Dla kaeg ,.


33/79


33

Koce przeziau ufnci s zmiennymi lswymi, jenak la uej liczby realizacji

przeziau ufnci czstd pkrycia parametru przeziaem jest w przyblieniu rwna

.

Rnica nazywana jest ugci przeziau ufnci.


34/79


34

Przykad 1

Interesujca nas cecha w ppulacji jest zmienn lsw rzkazie nrmalnym ) , nie

znamy ale znamy . Pobieramy nelementw prb prst z ppulacji tzn. .

Wiemy, e statystyka


35/79


35

Ustalamy pewn liczb np.

W tablicach rzkau szukamy liczby , ktra spenia ,

y=normal(x;0;1)

-3,00 -1,96 0,00 1,96 3,000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6


36/79


36

Rzwizujemy nierwnd wzglem :

Otrzymujemy:

Przezia pstaci jest przeziaem ufnci la nieznanej wartcioczekiwanej .


37/79


37

Przykad 2

Interesujca nas cecha w ppulacji jest zmienn lsw rzkazie nrmalnym ) , nie

znamy , nie znamy take . Pobieramy n elementw prb prst z populacji tzn.

( .

Wiemy, e statystyka

ma rzka - Studenta o stopniach swobody.


38/79


38

Ustalamy pewn liczb np.

W tablicach rzkau Studenta o szukamy liczby , ktra spenia

,

np. la prby 4 elementowej

y=student(x;4)

-3,00

-2,13

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

2,13

3,000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5


39/79


39

Rzwizujemy nierwnd wzglem :

Otrzymujemy:

Przezia pstaci jest przeziaem ufnci la nieznanej wartci

oczekiwanej .


40/79


40

Interpretacja:

Realizacje przeziau ufnci na g rni si prby prby jena k dla ustalonego

wspczynnika ufnci czstd pkrycia przez realizacj przeziau ufnci nieznaneg

parametru bzie w przyblizeniu rwna . Precyzj szacwania przeziaweg mna

wiazad z ugci przeziau ufnci. Na g im wyszy przyjmiemy wspczynnik ufnci tym

nisza bzie precyzja szacwania przeziaweg.


41/79


41

Testowanie hipotez

Dana jest pewna przestrzeo statystyczna , gdzie , ,

. Stwierzenia, ktre maj pstad oraz bziemy nazywad

hiptezami statystycznymi i bziemy znaczad pwieni literami i . Hiptez

bziemy nazywad hipotez alternatywndla hipotezy zerowej .

Hiptez nazywamy prst, jeeli pwiaajcy jej zbir , zawiera tylko jeden

parametr, w przeciwnym razie mwimy hiptezie zonej.


42/79


42

Testem statystycznymnazywamy met pstpwania, ktra mliwym realizacjm

prby lswej , okrelonej na przestrzeni statystycznej przypisuje

ecyzj rzucenia (alb przyjcia) weryfikwanej hiptezy.


43/79


43

W celu zbudowania testu do weryfikacji postawionej hipotezy naley sknstruwad wa

peniajce si zbiry i ( , ) raz pewn statystyk ,

nazywan statystyk testow, przy czym:

Jeeli to odrzucamy na rzecz

Jeeli to przyjmujemy.

Zbir Knazywamy zbiorem krytycznym, zbir Wnazywamyzbiorem przyj.


44/79


44

W procedurze decyzyjnej, przy weryfikacji ustalonej hipotezy bdem I go rodzaju

nazywamy rzucenie na pstawie wynikw prby lswej weryfikwanej hiptezy wtey,

gdy jest ona prawdziwa, a bdem II go rodzaju nazywamy przyjcie na pstawie

wynikw prby weryfikwanej hiptezy wtey, gy jest na faszywa


45/79


45

Jeeli H0 i H1 s hiptezami prstymi tzn.: wwczas

prawpbieostwa bw pierwszeg i rugiegrodzaju obliczamy odpowiednio:


46/79


46

- prawpbieostw, e

wartd statystyki testwej wpanie zbiru krytyczneg K gy wartd parametru wynosi

;


47/79


47

- prawpbieostw, e

wartd statystyki testwej wpanie zbiru przyjd W, gy wartd parametru wynosi

.

Uwaga:zbiory Ki Wwyznaczamy zakaajc prawziwd H0


48/79


48

Moc testu nazywamy prawpbieostw pjcia prawiwej ecyzji plegajcej na

rzuceniu weryfikwanej hiptezy na pstawie wynikw z prby, gy jest na faszywa.

Moc testu

prawpbieostw, e rzucimy

hiptez gdy prawdziwa jest hipoteza alternatywna .


49/79


49

Testem najmocniejszymnazywamy test, ktry jest party na takim zbirze krytycznym

K0 (tym samym na zbirze przyjd W0), la ktreg przy ustalnym z gry

prawpbieostwie bu I- g rzaju, prawpbieostw bu II go rodzaju jest

najmniejsze.


50/79


50

Przykad:

; vs. ; w przypadku gdy wnioskujemy w oparciu o jedna

bserwacj z :

"H_1 = Normal(x;7;2)" ; "H_0 = Normal(x;5;2)"

0,00 2,00 4,00 6,00 7,56 10,00 12,00 14,000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

alfa = 0.1

beta (prawd bdu II rodzaju)


51/79


51

Natmiast w przypaku gy wniskujemy w parciu reni z czterelementwej prby z :

"H_0 = =normal(x;5;1)" ; "H_1 = Normal(x;7;1)"

0,00 4,00 6,28 10,00 14,000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

alfa = 0,1

beta (prawd. bdu II rodzaju)


52/79


52

WYBRANE TESTY STATYSTYCZNE

TEST DLA WARTOCI OCZEKIWANEJ 1

Baamy pewn ppulacj ze wzglu na cech statystyczn ktrej zakaamy, e jest

zmienna lsw rzkazie , nie znamy ale znamy odchylenie standardowe .

Zamierzamy zweryfikwad uka hiptez:

vs.

( ; ) na pzimie isttnci

/


53/79


53

Postpowanie:

Z populacji pobieramy elementw prb, bliczamy reni arytmetyczn z prby

Przy zaeniu prawziwci hiptezy zerwej statystyka testowa:

ma rzka .

W k S D K k 00 / 00


54/79


54

W tablicach rzkau szukamy liczby speniajcej warunek: .

Knstruujemy zbir krytyczny pstaci . Jeeli wartd statsystyki

testowej bliczna z naszej prby wpanie zbiru krytyczneg t odrzucamy. Jaka

bzie pstadzbioru krytycznego w przypadku hipotez oraz .

W i k i S D K i ki 2007/2008


55/79


55

TEST DLA WARTOCI OCZEKIWANEJ 2

Badamy pewn ppulacj ze wzglu na cech statystyczn ktrej zakaamy, e jest

zmienna lsw rzkazie , nie znamy wartci czekiwanej ani odchylenia

standardowego . Zamierzamy zweryfikwad uka hiptez:

vs.


W i k i St t t D K i ki 2007/2008


56/79


56

Postpowanie:

Z populacji pobieramy elementw prb, bliczamy reni arytmetyczn z prby i

odchylenie standardowe .

Przy zaeniu prawziwci hipotezy zerowej statystyka testowa:

ma rzka - Studenta o stopniach swobody

W i k i St t t D K i ki 2007/2008


57/79


57

W tablicach rzkau Studenta o stopniach swobody szukamy liczby speniajcej

warunek: . Knstruujemy zbir krytyczny pstaci .

Jeeli wartd statsystyki testwej bliczna z naszej prby wpanie zbiru krytyczneg

to rzucamy. Jaka bzie pstad zbiru krytyczneg w przypaku hipotez oraz .

Wnioskowanie Statystyczne D Kosiorowski 2007/2008


58/79


58

TEST RWNOCI WARTOCI OCZEKIWANYCH W DWCH POPULACJACH

Badamy dwie populacje oraz , nie znamy chyleo stanartwych

w ppulacjach ale zakaamy, e ma miejsce . Zamierzamy zweryfikwad ukla hiptez:

vs.




59/79


59

Z populacji pobieramy elementw prb

Z populacji pobieramy elementw prb

Obliczamy: , , ,

Przy zaeniu prawziwci hiptezy zerwej statystyka testowa:

ma rzka - Studenta o stopniach swobody.



60/79


60

W tablicach rzkau Studenta o stopniach swobody szukamy liczby

speniajcej warunek: . Knstruujemy zbir krytyczny pstaci

. Jeeli wartd statsystyki testwej bliczna z naszej prby

wpadnie do zbioru krytycznego to rzucamy. Jaka bzie pstad zbiru krytyczneg w

przypadku hipotez oraz .



61/79


61

Test zgodnoci

Interesujca nas cecha w ppulacji ma rzka prawpbieostwa nieznanej

dystrybuancie . Zamierzamy zweryfikwad hiptez zerw gszc, e nieznan

ystrybuant jest pewna ustalna ystrybuanta (dystrybuanta teoretyczna):

vs. ; na ustalnym pzimie isttnci



62/79

Wnioskowanie Statystyczne D. Kosiorowski 2007/2008

62

Dzielimy cay zbir liczb rzeczywistych na rzcznych przeziaw za pmc liczb

tzn.:

Niech znacza prawpbieostw, e zmienna lswa przyjmie wartd z przeziau

jeeli zmienna ma rzka wyznaczny ystrybuant (prawziw jest ), niech .



63/79


63

W takiej sytuacji liczba jest czekiwan liczb bserwacji w elementwej prbie, ktre

przyjmuj wartd (wpaaj ) przeziau .



64/79

W k w e S y y z e w k /

64

Postpowanie:

Z populacji pobieramy elementw prb lsw.

Niech znacza liczb bserwacji w prbie, ktre przyjmuj wartci z przezialu . K.

Pearsn uwni, e statystyka:

Przy zaeniu prawziwci hiptezy zerwej ma rzka o stopniach swobody, gdy

.



65/79

y y z /

65

Dzielimy zakres wartci jakie me przyjmwad zmienna lswa na rzcznych

przezialw, zliczmy ile bserwacji prby przyjmuje wartsci z teg przeziau. Obliczamy

wartd statystyki testwej .

Dla ustalneg pzimu isttnci w parciu tablice rzkau o stopniach

swby wyznaczmy zbir krytyczny pstaci , gzie wartd krytyczna wyznaczana

jest z warunku .

Jeeli wartd statystyki testwej wpanie zbiru krytyczneg hiptez zerwodrzucamy.



66/79

y y z

66

Przykad: Przyrost naturalny w powiatach RP w roku 2000



67/79

y y z

67

Zmienna: PRZYROST NATURALNY, Rozkad: Jednostajny

Chi-Square test = 133,44, df = 16, p = 0,00000

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Category (upper limits)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

No.ofobservations



68/79

68

Test niezalenoci

Baamy pewn ppulacj ze wzglu na wuwymiarw cech statystyczn , ktrej

zakaamy, e jest wuwymiarw zmienna lsw nieznanym rzkazie. Zamierzamy

zweryfikwac hipteze zerw:

vs.



69/79

69

Postpowanie:

Niech cecha przyjmuje wartci ,

Niech cecha przyjmuje wartci .



70/79

70

Z populacji pobieramy - elementwa prb, ane zestawiamy w postaci nastepujacej tabeli:

XY



71/79

71

Gdzie symbol znacza liczb elementw prby ktre maj wartd co do cechy oraz

wartd co do cechy . Symbol oznacza tzw. liczno brzegow la wartci - ile

elementw w prbie przyj wartd bez wzglu na t jak przyje wartd c cechy .

Zachz przy tym rwnci:



72/79

72

Jeeli hipteza , e cechy i s niezalene, jest prawdziwa, to statystyka:

,

ma, gdy , rzka o stopniach swobody.



73/79

73

Ustalamy pzim isttnci , z tablic rzkau o czytujemy wartd

speniajc warunek . Knstruujemy zbir krytyczny pstaci - jeeli

wartd statsystyki z prby wpadnie do zbioru krytycznego, to odrzucamy.



74/79

74

Przykad:

Istnieje pwszechne przeknanie, e biega znajmd jzykw bcych isttnie zwiksza szanse

na znalezienie brze patnej pracy. W celu zweryfikwania przeknania w lutym 2005 rku

wylswan 1000 rsych mieszkaocw wjewztwa maplskieg i zapytano ich o

wielkd chu uzyskaneg w rku 2004 raz bieg znajmd c najmniej jeneg jzyka

bceg. Rezultaty baania zestawin w pniszej tabeli:



75/79

75

DOCHD PRZED OPODATKOWANIEM W ROKU 2004

Pniej reniej krajwej Pwyejreniej krajwej

Waa biegle c najmniej jenym

jzykiem bcym

100 50

Nie waa biegle jzykiem bcym 500 350

W parciu ane zawarte w tabeli zweryfikwad pwszechne przeknanie. Przyjd pzim

isttnci rwny 5%.



76/79

76



77/79

77

Uwagi na temat odpornoci testu statystycznego

Procedur wyboru waciwego modelu stochastycznego, w kategoriach ktrego rozpatruje si

zaobserwowane dane okrela si jako specyfikacj modelu. Na og pocztkowo wybiera si tzw.

oglny model roboczy w oparciu o obserwacje szacuje si szczegln posta modelu (kryterium

dobroci oszacowania odnosi si do oglnego modelu roboczego). Mona tu popeni tzw. bd

specyfikacji w przypadku gdy oglny model roboczy nie zawiera prawdziwego modelu

stochastycznego generujcego dane.



78/79

78

W praktyce wybr modelu stochastycznego poprzedzony jest odpowiedziami na pytania:

- w jaki sposb pozyskiwane s dane?- na ile dane obarczone s bdami pomiaru i zapisu?- co jest populacj, o ktrej informuj dane?- czy dysponujemy uyteczn informacj a priori o badanym zjawisku lub o naturze

zaobserwowanych danych?



79/79

Mwic o odpornoci procedury statystycznej bardzo czsto za punkt odniesienia przyjmuje si myl

Boxa i Andersena Uyteczne w badaniach testy statystyczne to takie, ktre: 1) s wraliwe na

zmiany tych wielkoci, ktrych dotycz weryfikowane hipotezy, 2) nieczue na zmiany tych

wielkoci, ktre w danym problemie graj rol czynnikw pobocznych. Test speniajcy pierwszy

postulat nazywa si mocnym, test speniajcy drugi postulat bdziemy nazywamy odpornym.

Okrelenie odporny (ang.: robust) stosuje si do procedur statystycznych, zwaszcza testw

statystycznych oraz do statystyk, na ktrych si te metody opieraj.

Documents

Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007