ÒPTICA  GEOMÈTRICA  

!

ÒPTICA  GEOMÈTRICA.      

§  LA  LLUM  ÉS  UNA  ONA  DE  TIPUS  ELECTROMAGNÈTIC.  PERÒ  QUAN  LA  LONGITUD  D’ONA  ÉS  MOLT  MÉS  PETITA  QUE  LES  DIMENSIONS  DELS  OBJECTES  AMB  ELS  QUE  INTERACCIONA,  ES  POT  PRESCINDIR  DE  LES  SEVES  PROPIETATS    ONDULATÀRIES  I  ELECTROMAGNÈTIQUES.  LLAVORS  PODEM  TRACTAR  LA  LLUM  COM  UN  RAIG  QUE  ES  PROPAGA  EN  LÍNIA  RECTA,  SI  EL  MEDI  ÉS  HOMOGENI.  

 

§  ELS  RAIGS  DE  LLUM  SEMPRE  SÓN  PERPENDICULARS  ALS  FRONTS  D'ONA.  AIXÒ  ENS  DETERMINA  EL  CAMÍ  QUE  FA  LA  LLUM    

•  EN  L’ÒPTICA  GEOMÈTRICA  S'APLIQUEN  LES  LLEIS  DE  SNELL                *    REFLEXIÓ      *    REFRACCIÓ  

REFLEXIÓ  Quan  un  raig  de  llum  incideix  sobre  un  cos    

•  Una  part  de  la  llum  és  absorbida  pel  cos.  •  Una  altra  part  és  reflec?da  per  la  super@cie  

del  cos.  En  general  aquesta  és  reflecFda  de  forma  difusa,  en  totes  direccions,  a  causa  de  que  la  super@cie  del  cos  té  irregularitats,  tal  i  com  mostra  la  primera  imatge.  Gràcies  a  aquesta  reflexió  podem  veure  els  objectes,  les  persones,  ...  ,  tot  el  que  ens  envolta.    

Reflexió  especular      Si  la  super@cie  és  llisa  i  no  té  irregularitats,  llavors  un  feix  de  raigs  paral·∙lels  es  reflec?rà  paral·∙lelament.  Complint  que  l’angle  d’incidència,  θ1,  és  igual  al  de  reflexió,  θ2.  

                       θ1 = θ2    

INDEX  DE  REFRACCIÓ  •  La velocitat de la llum en buit

és: c=300.000 km/s = 3.108 m/s •  La velocitat de la llum en

altres medis és inferior a la del buit.

•  Definim índex de refracció, n, d’un medi per

On “v” és la velocitat de llum en el medi. Sempre n >1.

n = cv

REFRACCIÓ  DE  LA  LLUM  

Llei  de  Snell                  n1  sin  θ1  =  n2  sin  θ2  

Cal  dir  que  els  camins  òp?cs  són  reversibles.  El  mateix  camí  que  fa  la  llum  per  anar  de  “P”  a  “Q”  és  el  que  faria  la  llum  per  anar  de  “Q”  a  “P”.  

La  llum  passa  d’un  medi,  n1,  a  un  altre  medi,  n2.  

ANGLE  LÍMIT.  REFLEXIÓ  TOTAL  ANGLE  LÍMIT  O  CRÍTIC.    És  aquell  angle  d’incidència,  θL,  pel  qual  l’angle  de  refracció,  θ2=  90º.  Per  angles  més  grans  la  llum  és  totalment  reflec?da  en  la  super@cie  i  ja  no  passa  al  segon  medi.  

La  condició  d’angle  límit,  θ2=  90º  ,  juntament  amb  l’equació  de  Snell  ens  imposen  per  a  l’angle  límit  d’incidència    

Per  angles  més  grans  que  l’Angle  Límit  la  reflexió  és  total.  Veure  Imatge.  

sinθL =n2n1

n2  

n1  

REFRACCIÓ  EN  UNA  LÀMINA  PLANOPARAL·∙LELA  O  EN  UN  PRISMA  

FORMACIÓ  DE  IMATGES    Sempre  ens  fixarem  en  un  punt  del  cos  del  qual  volem  trobar  la  seva  imatge.  Aquest  punt  és:      

u  L’OBJECTE    "ÈS  EL  PUNT  ORIGEN  DELS  RAIGS  DE  LLUM"      u   SISTEMA  ÒPTIC  "CONJUNT  DE  DIOPTRES  O  SUPERFÍCIES  

DE  SEPARACIÓ  DE  DIFERENTS  MEDIS  AMB  LES  QUE  ES  TROBA  EL  RAIG  DE  LLUM  EN  EL  SEU  CAMÍ"    

   u  DIOPTRE  "SUPERFÍCIE  DE  SEPARACIÓ  DE  DOS  MEDIS  AMB  

ÍNDEX  DE  REFRACCIÓ  DIFERENTS”    

u   IMATGE  "PUNT  ON  ES  TROBEN  ELS  RAIGS  DE  LLUM    O  LES  SEVES  PROLONGACIONS  QUE  SURTEN  DEL  SISTEMA  ÒPTIC"      

Ø  IMATGE  REAL      (ES  POT  PROJECTAR)      Ø   IMATGE  VIRTUAL:  Noltros  no  veiem  la  canya  on  realment  és.  Veiem  la  seva  imatge.  

La  imatge  és  virtual  i  no  es  pot  recollir  sobre  una  pantalla.    

!

El  vidre  del  got  és  un  dioptre  ja  que  separa  dos  medis  de  diferent  índex  de  refracció,  l’aire  i  l’aigua.  

IMATGE  REAL:  Es  pot  projectar  sobre  una  pantalla.    La  imatge  es  forma  amb  la  coincidència  real  dels  raigs  de  llum  que  surten  del  punt  “A”  passant  pel  sistema  òp?c  es  troben  en  el  punt  A’    

Raigs  produïts  per  reflexió  difosa  

 Imatge  VIRTUAL    

•  No  es  pot  projectar  sobre  una  pantalla.  

•  Veiem  la  imatge  prolongant  els  raigs  de  llum.  El  nostre  ull  i  cervell  són  els  responsables  d’aquesta  visió.  

•  La  imatge  no  es  forma  amb  la  coincidència  real  dels  raigs  de  llum.    

SISTEMA  ÒPTIC  ESTIGMÀTIC      ”ÉS  AQUELL  QUE  ELS  RAIGS  DE  QUALSEVOL  PUNT  OBJECTE  TENEN  EL  SEU  CORRESPONENT  PUNT  IMATGE  “      

•  "SOLAMENT  EL  MIRALL  PLÀ  ÈS  SEMPRE  UN  SISTEMA  ÒPTIC  ESTIGMÀTIC”  

 •  "ELS  ALTRES  SISTEMES  ÒPTICS  SÓN  

ESTIGMÀTICS  SOLAMENT  SI  ES  FA  UNA  ÒPTICA  PARAXIAL  O  APROXIMACIÓ  DE  GAUSS”  ÉS  A  DIR,  QUAN  S’HA  DE  COMLIR:  

Ø     RADIS  DE  CURVATURA  GRANS  EN  COMPARACIÓ  AMB  GRANDÀRIA  DE  L'OBJECTE  

Ø ELS  RAIGS  FORMEN  ANGLES  D'INCIDÈCNIA  PETITS  AMB  EL  DIÒPTRE    

 

13.2 Miralls:

Miralls plans: En la imatge un raig de llum procedent del punt P, es reflexa en un mirall pla, després el raig divergeix com si procedeixi d’un punt P’ darrera del mirall.

El punt P’ es denomina imatge del punt P. La imatge es denomina virtual, degut a que la llum no procedeix realment de la imatge.

El punt P està en línia amb P’ i perpendicular al pla del mirall.El punt P’ es troba darrera del mirall a una distància igual a la de l’objecte al pla del mirall

La imatge es podrà veure sempre que l’ull es trobi en la zona indicada pel dibuix.

7

Lent  no  es(gmà(ca  

SI  TENIM    UN  OBJECTE  DAVANT  D'UN  SISTEMA  ÒPTIC          ¿QUÈ  VOLEM  SABER  DE  LA  IMATGE?  

   ü     LA  SEVA  POSICIÓ    ü     LA  SEVA  GRANDÀRIA  (AUGMENT)  ü   SI  ESTÀ  DRETA  O  INVERTIDA  ü   SI  ÈS  REAL  O  VIRTUAL    

 

SISTEMA  DE  REFERÈNCIA  I  CONVENI  DE  SIGNES      

§     EIX  ÒPTIC    "EIX  D'ABCISES”.    

§   VÈRTEX  “  O  “      INTERSECCIÓ  DE  L'EIX  ÒPTIC      AMB  EL  DIOPTRE.    ÉS  EL  PUNT  DES  D’ON  ES  MESUREN  LES  DISTÀNCIES.  

 

§   L'OBJECTE  ES  SITUA  A  L'ESQUERRA  DEL  DIOPTRE.  

 

§   ELS  RAIGS  DE  LLUM  SURTEN  DE  L'OBJECTE  CAP  A  LA  DRETA.  

 

§   LES  DISTÀNCIES  SÒN  POSITIVES  SI  ES  MESUREN  CAP  A  LA  DRETA  DE  “O”  I  NEGATIVES  SI  ES  MESUREN  CAP  A  L'ESQUERRA.  

 

O

DIOPTRE  ESFÈRIC  

n   n’  

Dioptre esfèric:

13.2 Dioptre:superfície que separa dos medis transparents, homogenis i isòtrops amb diferent índex de refracció.

Formació d’una imatge per refracció en una superfície esfèrica que separa dos medis amb diferent índex de refracció

Si ens fixem només en un raig, aplicant la llei de Snell, obtenim l’equació fonamental del dioptre

esfèric:

15

El  dioptre,  de  forma  esfèrica,  separa  dos  medis  amb  índex  de  refracció  diferents  U?litzant  la  Llei  de  la  Refracció  de  Snell,  podem  trobar  l’equació  que  relaciona  la  posició  de  l’objecte,  P,  respecte  del  vèrtex  amb  la  posició  de  la  seva  imatge,  P’.  L’equació  que  trobem  rep  el  nom  de:    EQUACIÓ  FONAMENTAL  DEL  DIOPTRE  ESFÈRIC      

n 's '−ns=n '− nR

FOCUS  DEL  DIOPTRE  La  imatge  de  dalt  representa  un  dels  punts  notables  dels  dioptres,  el  focus  imatge.  La  imatge  de  baix  representa  el  focus  objecte.  

El  Focus  imatge,  F’,  es  troba  quan  un  feix  de  raigs  paral·∙lels  a  l’eix  òp?c  incideixen  sobre  la  super@cie  del  dioptre  esfèric.  El  punt  de  convergència  és  ,  F’.  Per  tant  “s’  =  f’  ”  li  direm  DISTÀNCIA  FOCAL.    A  més,  si  són  paral·∙lels,  venen  de  l’infinit  i  “s=  -­‐  ∞”  Llavors  la  equació  del  dioptre  ens  queda:  

Per  un  raonament  semblant  podem  trobar  el  focus  objecte  i  la  DISTÀNCIA  FOCAL  OBJECTE  

Dividint  les  equacions  de  les  distàncies  focals  

ff '= −

nn '

n 'f '−n−∞

=n '− nR

⇒ f ' = R n 'n '− n

n '∞−nf=n '− nR

⇒ f = −R nn '− n

CONSTRUCCIÓ  D’IMATGES  EN  UN  DIOPTRE  ESFÈRIC  

De  tots  els  raigs  de  llum  que  surten  del  punt  “B”  i  arriben  al  Dioptre,  n’hi  ha  3  que  sabem  el  camí  que  faran  i  ens  donaran  el  punt  imatge,  B’:  1.  Un  raig  paral·∙lel  a  l’eix  passarà  pel  focus  

imatge,  F’.  2.  Un  que  tengui  la  direcció  del  radi  de  la  

super@cie  no  es  desviarà.  3.  Un  raig  que  passi  pel  focus  objecte,  F,  

quan  arriba  a  la  super@cie  sor?rà  paral·∙lel  a  eix.  

Augment  lateral  o  transversal:    

AL =y 'y=n.s 'n '.s

DIOPTRE  PLA  En  aquest  cas  el  radi  de  curvatura  de  la  super@cie  és  infinit    R=  ∞    à    L’equació  general  del  dioptre  queda:  

n '

s'=ns

CaracterísFques  de  la  imatge:  •  s  i  s’  tenen  el  mateix  signe  à  estan  en  mateix  

medi.  •  L’objecte  i  la  imatge  tenen  la  mateixa  

grandària,  y=y’,  ja  que:  

n'  

n  

n'  

n  

n 's '−ns=n '− nR

•  Hi  ha  una  modificació  aparent  de  la  posició,  tal  i  com  es  veu  en  les  imatges.  

•  La  imatge  és  virtual.      

AL =y 'y=n.s 'n '.s

MIRALLS  ESFÈRICS  •  Un  mirall  CÒNCAU  la  reflexió  es  

produeix  en  la  part  interior  de  la  super@cie  esfèrica.  

•  En  el  CONVEX  seria  en  l’externa.  

La  principal  caracterís?ca  dels  miralls  és  que    

                                             n’  =  -­‐n    

EQUACIÓ  FONAMENTAL  DEL  MIRALL  ESFÈRIC  

1s '+1s=2R

EQUACIÓ  FONAMENTAL  DELS  MIRALLS  ESFÈRICS  Si  en  l’equació  fonamental  fem          s  =  ∞  ,  llavors  s’  =  f    i  de  l’equació,  trobem:  

1s '+1s=2R

La  podem  reescriure  en  funció  del  focus:    

1s+1s '=1f

f = f ' = R2

L’EQUACIÓ  FONAMENTAL  DELS  MIRALLS  ESFÈRICS  

En  els  miralls  esfèrics,  els  focus  es  superposen  i  les  distàncies  focals  coincideixen,  per  tant,  tan  sols  es  considera  una  distància  focal.  

1f=2R

FORMACIÓ  D’IMATGES  EN  MIRALLS  ESFÈRICS  MIRALL  CONCAU:  Els  tres  raigs  que  determinen  la  imatge  són:  1.  El  que  passa  pel  focus  surt  paral·∙lel.  2.  El  que  passa  pel  centre  de  curvatura,  torna  pel  

mateix  camí  òp?c.  3.  El  raig  paral·∙lel  a  l’eix  surt  passant  pel  focus.  En  els  miralls  còncaus  la  imatge  pot  ser  real  o  virtual.  Si  és  real  serà  inver?da.    

MIRALL  CONVEX  •  La  imatge  sempre  és  virtual  •  La  imatge  és  dreta.  •  Més  pe?ta.  

Augment  lateral  o  transversal:  

AL = β =y 'y=n.s 'n '.sn ' = −n AL = β =

y 'y= −

s 's

MIRALL  PLA  De  l’equació  fonamental  del  dioptre   n '

s '−ns=n '− nR

-­‐  El  mirall  pla  imposa  R=∞.  -­‐  Per  ser  una  reflexió  n’  =  -­‐  n  

L’equació  queda     s ' = −sAugment  lateral:    

AL = β =y 'y=n.s 'n '.s

=1 y ' = y

La  imatge  és:    •  VIRTUAL  •  Igual:    y’=y  •  Es  forma  al  altre  costat  del  mirall  però  a  la  mateixa  distància  

LENTS  •  Són  sistemes  òp?cs  centrats  à  els  centres  de  curvatura  estan  sobre  L’EIX  ÒPTIC.  •  Està  format  per  un  medi  transparent  limitat  per  dos  dioptres,  que  com  a  mínim,  un  

dels  quals  és  esfèric.  

Classificació:  •  Convergents:  si  les  super@cies  del  dioptre  es  

tallen  realment  o  en  la  seva  prolongació.  •  Divergents  :  que  les  super@cies  no  es  tallen  

ni  es  tallarien  les  seves  prolongacions  

La  imatge  formada  pel  primer  dioptre  és  l’objecte  del  segon  dioptre.    

Aplicant  a  cada  dioptre  l’equació  fonamental  del  dioptre  i  sumant-­‐les  ens  queda:       1

s '+1s= (n '− n). 1

R1−1R2

"

#$

%

&'

Si  la  lent  es  troba  a  l’aire,  llavors  “  n=1”.  

EQUACIÓ  FONAMENTAL  DE  LES  LENTS  PRIMES  O  DEL  CONSTRUCTOR  DE  LENTS  

TIPUS  DE  LENTS  

En  una  lent  convergent,  els  raigs  de  llum  paral·∙lels  a  l’eix  convergeixen  en  el  focus  imatge,  F’,  i  la  distància  focal  “  f’  “  és  posi?va.    

En  les  lents  divergents,  els  raigs  de  llum  paral·∙lels  surten  divergents,  però  les  seves  prolongacions  es  tallen  en,  F’  ,  i  la  distància  focal  és  nega?va.  

1s '−1s=1f '= −

1f

EQUACIÓ  FONAMENTAL  DE  LES  LENTS  PRIMES  

FORMACIÓ  D’IMATGES  AMB  LENTS  Tres  raigs  En  la  figura  tenim  en  les  dues  lents  els  tres  raigs  dels  quals  coneixem  el  seu  camí  i  que  ens  permeten  trobar  la  imatge,  y’,  de  l’objecte,  y.  

Potència  d’una  lent,  P,  diòptria:  es  defineix  com  la  inversa  de  la  distància  focal  imatge  expressada  en  metres.  La  unitat  de  la  potència  d’una  lent  rep  el  nom  de  diòptria.    La  potència  d’una  lent  divergent  és  nega?va.    

P = 1f '

Augment  lateral  d’una  lent,  AL:  es  defineix  com  en  el  dioptre:  •  Si  l’augment  és  posi?u,  la  imatge  és  dreta  i  en  el  mateix  

costat  que  l’objecte.  És  virtual.  •  Si  l’augment  és  nega?u,  la  imatge  està  inver?da  i  a  l’altre  

costat  de  la  lent.  La  imatge  és  real.  

AL =y 'y=s 's

COMBINACIONS  DE  LENTS  PRIMES  •  La  imatge  de  la  primera  lent  és  l’objecte  de  la  segona.  •  L’augment  lateral  o  transversal  total  del  conjunt  de  lents  és  el  producte  dels  

augments  individuals  de  cada  lent  AL = β =MT =MT1 ⋅MT 2

COMBINACIONS  DE  LENTS  PRIMES