Optica integrata si materiale optice

prof. univ. dr. Niculae N. PUŞCAŞ

OPTICĂ INTEGRATĂ ŞI MATERIALE OPTICE

NOTE DE CURS

BUCUREŞTI, 2009

CUPRINS PREFAŢĂ…………………………………………………………………………3 FORWARD………………………………………………………………..............4 CUPRINS………………………………………………………………………….5 1. INTRODUCERE……………………………………………………………...11 1.1. Scurt istoric…………………………………………………………………...11 1.2. Importanţa cercetărilor în domeniul opticii integrate………………………...12 2. METODE DE PRODUCERE A FIBRELOR ŞI GHIDURILOR OPTICE DE UNDĂ………………………………………………………….......................15 2.1. Producerea fibrelor optice……………………………………………………15

2.1.1. Metoda creuzetului………………………………………………...15 2.1.2. Metoda de depunere din stare de vapori…………………………...16 2.1.3. Metodele de depunere internă şi externă din stare de vapori……...17

2.1.4. Metoda de depunere axială de vapori………………………….......18 2.1.5. Fibre optice amplificatoare………………………………………...19

2.1.6. Fibre optice cu reţele Bragg………………………………………..20 2.1.7. Fibre optice cu cristale fotonice……………………………………21 2.1.8. Fibre optice din plastic…………………………………………….22

2.2. Metode de producere a ghidurilor optice de undă……………………………23 2.2.1. Structura ghidurilor optice de undă………………………………..23 2.2.2. Producerea ghidurilor optice de undă prin difuzie………………...26 2.2.3. Fabricarea ghidurilor optice prin schimb ionic. Principii fizice…...29 2.2.4. Producerea ghidurilor optice în LiNbO 3 prin schimb protonic…...33 2.2.5. Fabricarea ghidurilor monomodale îngropate în substrat de Si……33

2.2.6. Fabricarea ghidurilor din Si………………………………………..35 2.2.7. Ghiduri de undă în materiale organice…………………………….37 2.2.8. Fabricarea ghidurilor optice cu reţele Bragg………………………42 2.2.9. Fabricarea cristalelor fotonice……………………………………..46 2.2.10. Realizarea măştilor……………………………………………….49

3. PROPAGAREA UNDELOR LUMINOASE GHIDATE…………..………51 3.1. Propagarea undelor luminoase prin fibre optice……………………………...51

3.1.1. Caracteristici generale……………………………..........................51 3.1.2. Moduri şi raze în fibre optice caracterizate de un indice de refracţie

de tip treaptă………………………………………………………………………………..54 3.1.3. Soluţii pentru constanta de propagare……………………………..56

3.2. Propagarea luminii în ghidurile optice de undă………………………………59 3.2.1. Ecuaţiile Maxwell……………………………………………………….61

3.2.2. Ecuaţia Helmholtz………………………………………………………62 3.2.3. Expresiile câmpurilor modurilor ghidate……………………………..63 3.2.4. Ecuaţia dispersiei unui mod ghidat………………………………...64 3.2.5. Metoda indicilor efectivi………………………………..................66 3.2.6. Metoda propagării fasciculului……………………………….........68

4. FENOMENE DE ATENUARE, ÎMPRĂŞTIERE ŞI DISPERSIE A UNDELOR LUMINOASE GHIDATE………………………………................71

OPTICĂ INTEGRATĂ 6

4.1. Atenuarea………………………………..........................................................71 4.1.1. Mecanisme de atenuare………………………………....................71 4.1.2. Atenuarea, durata pulsului şi banda spectrală……………………..74

4.2. Împrăştierea………………………………......................................................77 4.2.1. Împrăştierea elastică……………………………….........................77 4.2.2. Împrăştierea neelastică……………………………….....................78

4.3. Dispersia undelor luminoase în fibre optice……………………………….....82 4.3.1. Medii optice dispersive. Dispersia temporală……………………...82 4.3.2. Dispersia totală în fibre mono şi multimodale……………………..84

5. CARACTERIZAREA GHIDURILOR OPTICE DE UNDĂ………………86 5.1. Măsurarea indicelui de refracţie efectiv……………………………………...86

5.1.1. Metoda cuplajului cu prismă……………………………………....86 5.1.2. Metoda cuplajului cu reţea…………………………………….......88

5.2. Caracterizarea profilurilor modurilor...……………………………………....89 5. 3. Determinarea profilului indicelui de refracţie...……………………………..90

5.3.1. Metoda WKB...…………………………………………………….91 5.3.2. Metoda WKB inversă...……………………………………………92 5.3.3. Metoda reconstrucţiei profilului indicelui de refracţie din

măsurători de câmp apropiat...………………………………………………….....93 5.4. Măsurarea pierderilor...……………………………………………………….98

5.4.1. Metoda cuplajului cu prismă...…………………………………….99 5.4.2. Metoda tăierii ghidului optic...…………………………………...101 5.4.3. Metoda măsurării luminii împrăştiate...…………………………..102 5.4.4. Metoda detecţiei fototermice...…………………………………...103

5.5. Evaluarea coeficienţilor de atenuare pe baza metodei rezonatorului Fabry-Pérot...………………………………….....................................................104

5.5.1. Rezonatori în ghiduri optice de undă...…………………………...104 5.5.2. Matricea de difuzie...…………………………………..................105 5.5.3. Matricea de difuzie în cazul unei oglinzi parţial transparente……108 5.5.4. Cavitatea Fabry-Pérot...…………………………………..............110 5.5.5. Evaluarea pierderilor la propagare...……………………………..111

5.6. Măsurarea timpului de viaţă de fluorescenţă...……………………………...115 5.7. Măsurarea amplificării...…………………………….....................................116 5.8. Măsurarea spectrului de transmisie...…………………………….................117 5.9. Determinarea secţiunilor eficace omogene de emisie şi absorbţie ale

ghidurilor optice de undă de tip Er :Ti:LiNbO din spectrul de transmisie....118 +33

5.9.1. Formalismul matricei densitate...…………………………….......118 5.9.2. Evaluarea secţiunilor eficace omogene de emisie şi absorbţie…...120

5.10. Caracterizarea ghidurilor optice de undă cu reţea...……………………….122 5.10.1. Măsurarea perioadei reţelei...…………………………………...123 5.10.2. Analiza microscopică cu baleiaj electronic...…………………...124 5.10.3. Măsurarea eficienţei reţelei...…………………...........................124

6. CUPLoARE OPTICE INTEGRATE..………………...................................126 6.1. Ghiduri de undă cuplate...…………………...................................................126

6.1.1. Cuploare direcţionale…………………..........................................126

Cuprins 7

6.1.2. Teoria modurilor cuplate...………………….................................126 6.2. Interferometrul Mach-Zehnder integrat simetric...………………….............130 6.3. Interferometrul Mach-Zehnder integrat asimetric...…………………...........132 6.4. Dispozitive bazate pe fenomenul de interferenţă dependent de intensitatea radiaţiei...…………………................................................................134 6.4.1. Cuplorul neliniar distribuit...…………………..............................134

6.4.2. Interferometrul Mach-Zehnder integrat neliniar...………………..136 6.4.3. Mixer neliniar de moduri...………………….................................137

7. COMUTATOARE ŞI REZONATOARE OPTICE INTEGRATE.……139 7.1. Funcţionarea comutatoarelor optice în ghiduri polimerice…………………139

7.1.1. Comutatoare în ghiduri polimerice neliniare având ca substrat sticla……………………………………………………………….........139

7.1.2. Principiul de funcţionare a comutatorului optic bazat pe interferenţa a două moduri……………………………………………………….140 7.2. Rezonatoare optice neliniare integrate………………………………………144

7.2.1. Reţele cu reacţie distribuită………………………………………144 7.2.2. Rezonatoare Fabry-Pérot neliniare integrate……………………..146 7.2.3. Filtre optice integrate……………………………………………..148

8. CONVERTOARE OPTICE DE FRECVENŢĂ INTEGRATE..…………152 8.1. Procese multifotonice fundamentale………………………………………...152

8.1.1. Caracterizarea generală a proceselor multifotonice fundamentale……………………………………………………………………152 8.2. Dublorul de frecvenţă. Generalităţi…………………………………………154

8.2.1. Generarea armonicii a doua în cristalul de KDP…………………155 8.3. Dublorul optic de frecvenţă integrat………………………………………...157

8.3.1. Fenomene neliniare de ordinul doi în ghiduri optice de undă…....158 8.3.2. Generarea armonicii a doua în ghiduri optice de undă în

configuraţia de tip Cerenkov……………………………………….....................159 8.3.3. Generarea armonicii a doua în structuri care prezintă o

periodicitate a susceptibilităţii neliniare de ordinul doi………………………….163 8.3.4. Generarea armonicii a doua în filme polimerice subţiri………….171

8.4. Generarea armonicii a treia în filme polimerice subţiri……………………..174 8.5. Generarea armonicii a doua emisă de diodele laser de tip InGaAs cu gropi cuantice………………………………………........................................175 9. MODULATOARE ELECTROOPTICE INTEGRATE.…………………179 9.1. Efectul Pockels………………………………………...................................179

9.1.1. Elipsoidul indicilor de refracţie……………..................................180 9.1.2. Interpretarea fizică a elipsoidului indicilor de refracţie..................181 9.1.3. Efectul electrooptic în straturi de materiale organice subţiri..........183

9.2. Structuri moleculare organice caracterizate prin valori ridicate ale hiperpolarizabilităţii neliniare de ordinul întâi…………….............................184

9.2.1. Originea microscopică a hiperpolarizabilităţii neliniare de ordinul întâi a moleculelor organice…………….............................................185

9.2.2. Evoluţia statistică a dipolilor moleculari……………....................187 9.3. Eficacitatea modulatoarelor electrooptice integrate………….......................190

9.3.1. Caracteristicile modulatoarelor electrooptice.…………................191


9.3.2. Modulatoare electrooptice integrate…………...............................193 9.3.3. Comparaţie între modulatoarele electrooptice macroscopice şi

cele integrate..............…........................................................................................194 9.4. Modulaţia electrooptică a luminii prin excitarea rezonantă a modurilor ghidate………………………………………………………………..194

9.4.1. Metoda cuplării luminii în ghidurile optice de undă cu fibra optică........................................................................................................194

9.4.2. Metoda cuplării luminii în ghidurile optice optice de undă cu prisma optică..........................................................................................................195

9.4.3. Metoda cuplării luminii în ghiduri optice optice de undă cu reţeaua de difracţie……………………………………………………………….195

9.4.4. Modulaţia în amplitudine a undelor optice ghidate........................196 9.4.5. Modulaţia de fază şi de frecvenţă a undelor optice ghidate...........197

9. 5. Analiza teoretică a funcţionării modulatoarelor............................................198 9.5.1. Modelarea teoretică a ghidului plan compozit neliniar..................199 9.5.2. Determinarea câmpului electric creat de electrozii coplanari........200 9.5.3. Eficacitatea modulatorului..............................................................203 9.5.4. Determinarea tensiunii de comutare...............................................207

9.6. Rezultate experimentale privind caracterizarea modulatoarelor integrate.…208 10. LASERE CU SEMICONDUCTORI……………………………………...210 10.1. Funcţionarea diodelor laser...........................................................................210

10.1.1. Dioda laser homojoncţiune...........................................................210 10.1.2. Dioda laser cu dublă heterostructură............................................214 10.1.3. Diode laser cu gropi cuantice.......................................................215 10.1.4. Diode laser cu gropi cuantice multiple.........................................220 10.1.5. Lasere cu semiconductoare cu emisie verticală............................221

10.2. Mecanisme de realizare a inversiei de populaţie în laserele cu semiconductoare...............................................................................................222

10.2.1. Excitarea prin injecţie...................................................................222 10.3. Diode emiţătoare de lumină..........................................................................225 10.4. Fabricarea dispozitivelor cu heterojoncţiuni................................................225 10.5. Modularea direct prin curent a laserelor cu semiconductoare......................227

10.5.1. Lasere cu semiconductoare cu gropi cuantice multimodale şi monomodale.................................................................................227

11. LASERE ŞI AMPLIFICATOARE LASER INTEGRATE.......................230 11.1. Generalităţi asupra ionilor pământurilor rare...............................................230

11.1.1. Configuraţia electronică a ionilor pământurilor rare....................230 11.1.2. Nivelele energetice ale ionilor pământurilor rare.........................231

11.2. Fibre optice amplificatoare...........................................................................231 11.2.1. Ecuaţiile ratelor pentru radiaţiile de pompaj şi semnal................231

11.2.2. Amplificarea emisiei spontane.....................................................235 11.3. Lasere integrate.............................................................................................236

11.3.1. Dispozitive active integrate dopate cu neodim.............................236 11.3.2. Dispozitive active integrate dopate cu Er ................................250 +3

11.3.3. Lasere integrate în regim declanşat prin comutarea pierderilor...261 11.3.4. Lasere integrate în regim de cuplare a modurilor……………….271

Cuprins 9

11.3.5. Lasere integrate acordabile...........................................................279

11.4. Amplificatoare laser integrate.......................................................................281 11.4.1. Noţiuni de teoria cuantică a coerenţei optice................................281 11.4.2. Descrierea cuantică a zgomotului……………………………….288 11.4.3. Modelarea teoretică a amplificării în ghidurile optice de undă

de tip Er :Ti:LiNbO ………………………………………………………….293 3+3

11.4.4. Simularea amplificării într-un ghid optic integrat

de tip Er :Ti:LiNbO 3 …………………………………………………………301 +3

11.4.5. Caracterizarea experimentală a amplificatoarelor optice

integrate de tip Er :Ti:LiNbO .………………………………………………306 +33

11.5. Statistica fotonilor într-un amplificator optic integrat……………………307 11.5.1. Descrierea teoretică a statisticilor de fotoni…………………….307 11.5.2. Simulări asupra statisticilor de fotoni într-un amplificator

de tip Er :Ti:LiNbO cu funcţionarea în regim de câştig liniar……………...310 +33

12. APLICAŢII ALE OPTICII INTEGRATE.................................................313 12.1. Aplicaţii în telecomunicaţiile optice……………………………………….313

12.1.1. Sistemul de comunicaţii optice…………………………………313 12.1.2. Codificarea semnalelor…………………………………………313

12.1.3. Structura sistemului de comunicaţii optice……………………...315 12.1.4. Amplificatoare pentru transmisii optice terestre.……………….316 12.1.5. Reţele de transport bazate pe multiplexarea lungimii de undă….317 12.1.6. Caracterizarea amplificatoarelor bazate pe multiplexarea

lungimii de undă…………………………………………………………………320 12.1.7. Reţele metropolitane…………………………………………….322 12.1.8. Reţele transoceanice…………………………………………….323 12.1.9. Montaje experimentale utilizate pentru transmisia

informaţiei prin fibre optice……………………………………………………...324 12.2. Senzori cu fibre şi ghiduri optice de undă…………………………………328

12.2.1. Principii funcţionale şi constructive ale senzorilor cu fibră optică……………………………………………………………………….328

12.2.2. Principii funcţionale şi constructive ale senzorilor fabricaţi în ghiduri optice de undă…………………………...............................................336

12.2.3. Tipuri de senzori fabricaţi în ghiduri optice de undă....................345

ANEXA 1………………………………..............................................................351 A 1.1. Soluţiile WKB unidimensionale…………………………............351 A 1.2. Condiţiile de valabilitate a aproximaţiei WKB………….............352 A 1.3. Puncte de întoarcere şi formule de racordare…………................353

ANEXA 2………………………………..............................................................356

A 2.1. Matricea densitate…………………………..................................356 A 2.2. Ecuaţia de mişcare pentru operatorul densitate.............................357

OPTICĂ INTEGRATĂ

10

ANEXA 3………………………………..............................................................358 A 3.1. Fascicule gaussiene…………………………................................358 A 3.2. Parametrii caracteristici fasciculelor gaussiene….........................358

BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………….360 SIMBOLURI UTILIZATE…………………………………………………….372

1. INTRODUCERE

1.1. Scurt istoric În sens larg, optica este o ramură a fizicii care include toate fenomenele

asociate cu generarea luminii, transmisia şi detecţia acesteia, dar şi interacţiunea cu materia, lumina constituind baza opticii. Primele noţiuni de optică au fost introduse de Euclid în anul 280 î. +Cr., iar mai târziu de I. Newton care în lucrarea sa, Opticks (1704) a elaborat primele teorii asupra luminii. Aceste cercetări au fost continuate de-a lungul anilor şi de alţi fizicieni bine cunoscuţi: G. Galilei, T. Young, A. J. Fresnel, J. Fraunhofer etc.

În anul 1958, A. L. Schawlow, C. H. Townes şi N. G. Basov, A. M. Prohorov au descoperit maserul şi respectiv laserul optic bazat pe folosirea inversiei de populaţie, iar în 1960. T. H. Maiman a construit primul laser cu rubin. Primul laser cu gaz în care inversia de populaţie s-a obţinut printr-o descărcare electrică în neon şi heliu a fost realizat în anul 1961 (Javan, Bennett, Herriott).

Curând după descoperirea efectului laser s-a manifestat un interes tot mai mare, atât din punct de vedere teoretic cât şi experimental, în legătură cu fenomenele optice din ghidurile de undă dielectrice, punându-se astfel bazele unui nou domeniu cunoscut sub numele de optică integrată. Acest concept a fost introdus în anul 1969 de către S. E. Miller [1.1] care a definit noţiunile de bază şi scopul pe care trebuie să-l îndeplinească noile circuite laser.

Optica integrată, numită în literatura de specialitate şi fotonică integrată este o ramură a opticii în care sunt combinate tehnologia ghidurilor optice de undă (optica ghidată) cu alte domenii, cum ar fi de exemplu: optoelectronica, acustooptica, electrooptica şi optica neliniară. În acest caz, locul electronilor este luat de fotoni care joacă rolul esenţial în circuitele optice integrate. La baza dispozitivelor optice integrate stau ghidurile optice de undă care ghidează semnalele optice, dar pot îndeplini şi alte funcţii. Termenul de fotonică integrată se referă şi la fabricarea şi integrarea mai multor componente fotonice pasive şi active (de exemplu: cuplori integraţi, interferometre integrate, comutatori, filtre, modulatori, reţele de difracţie, polarizoare integrate, multiplexori, demultiplexori etc. dar şi lasere şi amplificatoare laser integrate) pe acelaşi substrat planar la fel ca în microelectronică.

Primele cercetări legate de transmisia imaginilor prin fibre optice au început în anul 1954 când A. C. S. van Heel şi apoi H. H. Hopkins şi N. S. Kapany (1955) au introdus din punct de vedere conceptual noţiunile legate de ghidarea luminii în urma reflexiei la interfaţa cu un material (cladding layer) care are indicele de refracţie mai mic, în vederea reducerii perturbaţiilor şi a micşorării pierderilor [1.2]-[1.4].

În cazul ghidării luminii în structuri planare primele cercetări au fost efectuate în joncţiuni semiconductoare de tip p-n de către A. Yariv şi colaboratorii în anul 1963 când a fost observată şi analizată radiaţia laser emisă de aceste dispozitive [1.5]. De asemenea, în aceeaşi perioadă a fost pus în evidenţă şi fenomenul de modulare a luminii ghidate în joncţiuni de tip GaP [1.6].

În ultimii treizeci de ani o parte din rezultatele cercetărilor din optică şi electronică au fost aplicate în domeniul telecomunicaţiilor optice, acest fapt


impulsionând atât investigaţiile teoretice cât şi cele experimentale asupra fibrelor şi a ghidurilor optice de undă. O largă dezvoltare au căpătat-o transmisiile optice ghidate odată cu perfecţionarea tehnologiilor fibrelor optice cu pierderi mici (~0,2 dB/km) obţinute din siliciu [1.4] şi respectiv a ghidurilor optice (fig. 1. 1).

Fig. 1. 1. Dependenţa atenuării de lungimea de undă în cazul unei fibre optice fabricate cu SiO şi evidenţierea proceselor mai 2

importante care contribuie la atenuare.

Conceptul de comunicaţii optice prin ghiduri de undă a fost introdus de K. C. Kao şi G. A. Hockham [1.7] care au studiat transmisiile de date printr-un ghid dielectric cu simetrie sferică (fibră optică). Motivaţia iniţială pentru utilizarea fibrelor optice în telecomunicaţii este legată de pierderile mici din fibrele optice fabricate din siliciu şi mai puţin de lărgimea de bandă mare care le caracterizează în comparaţie cu cablurile din cupru. În anul 2009 C. Kao a primit premiul Nobel pentru contribuţiile deosebite aduse la revoluţionarea telecomunicaţiilor optice cu ajutorul fibrelor optice.

1.2. Importanţa cercetărilor în domeniul opticii integrate Odată cu demonstrarea funcţionării laserelor cu ioni de Nd şi respectiv

Er 3 , iar mai târziu şi în regim de cuplare a modurilor (mode-locking) şi respectiv declanşat (Q-switched) în ghiduri optice având ca substrat LiNbO (la începutul anilor 1990 [1.8], [1.9], [1.10]) s-a creat posibilitatea integrării monolitice a dispozitivelor laser împreună cu alte componente optice cum ar fi de exemplu modulatoare electrooptice, convertoare de frecvenţă ş. a. Aceste componente pot fi utilizate şi pentru fabricarea unor dispozitive planare complexe care pot îndeplini mai multe funcţii şi au aplicaţii în sistemul telecomunicaţiilor optice, procesarea optică a semnalelor, senzori cu fibre şi ghiduri optice de undă etc.

3+

3

+

Introducere 13

În ultimii ani, sistemul de comunicaţii prin fibre optice joacă un rol tot mai important în telecomunicaţii. În sistemele optice de telecomunicaţii, fibrele optice se utilizează ca mediu de transmisie, înlocuind cablurile convenţionale, din cupru, faţă de care prezintă o serie de caracteristici net superioare: imunitatea la interferenţele electromagnetice, izolarea electrică a transmiţătorului faţă de receptor, absenţa problemelor legate de scurtcircuitare şi străpungere, pierderi reduse, lărgimea de bandă extrem de ridicată, reducerea volumului, a greutăţii şi a preţului de cost.

Cercetările privind dispozitivele optoelectronice integrate în domeniul infraroşu al spectrului (1-2 μm) prezintă mare importanţă, mai ales datorită aplicaţiilor acestora în telecomunicaţii, în procesarea semnalelor optice, în fabricarea senzorilor optici ş. a. [1.11]-[1.22]. Comunicaţiile prin fibre optice prezintă o serie de avantaje în comparaţie cu cele prin cablu coaxial clasic, acestea fiind prezentate în continuare. O bună parte dintre aceste avantaje se întâlnesc şi în cazul senzorilor cu fibre şi ghiduri optice de undă, procesării optice a semnalelor şi altor dispozitive.

Lărgimea benzii. În general, lărgimea benzii unui sistem de comunicaţii poate fi mărită prin lărgirea benzii de transmisie şi prin mărirea frecvenţei purtătoarei. Viteza de transmisie a datelor prin fibrele optice este mai mare decât prin cablul coaxial pentru că viteza semnalelor luminoase este mai mare decât a celor electronice. De asemenea, dispersia semnalelor luminoase în sticlă este mai mică decât cea corespunzătoare semnalelor electronice în cablu.

Pierderi scăzute ale puterii optice. În cazul sistemului de comunicaţii prin cablul coaxial atenuarea semnalului creşte odată cu mărirea distanţei pe care se efectuează transmisia, fiind necesară utilizarea unor dispozitive de amplificare a semnalului în cazul unor transmisii la distantă mare.

Din cauza pierderilor mici, în cazul comunicaţiilor prin fibre optice este posibilă realizarea unor transmisii la distanţă mare fără să fie necesară utilizarea amplificatoarelor. De exemplu, în cazul utilizării unor surse (diode laser) care emit în domeniul infraroşu apropiat al spectrului optic (≈ 1300 nm) şi al unor fibre multimodale cu pierderi mici (≈0,7 dB/km) utilizarea amplificatoarelor se impune numai pentru distanţe mai mari de 30 km.

Absenţa interferenţelor. Întrucât în cazul sistemelor de comunicaţie digitală este necesară utilizarea unor semnale cu calităţi deosebite, acestea pot fi afectate de interferenţele electromagnetice sau de cele determinate de zgomotul produs de motoare.

Securitate. În comparaţie cu cablul de cupru, fibrele optice sau din plastic, întrucât sunt izolatoare şi nu radiază energie la frecvenţe înalte, asigură o securitate totală comunicaţiilor militare, comerciale şi guvernamentale.

OPTICĂ INTEGRATĂ

14

Greutate redusă. Greutatea redusă a fibrelor optice joacă un rol deosebit de important în cazul utilizării lor, mai ales la construirea avioanelor şi a altor vehicule.

Siguranţa. Întrucât fibrele optice nu conduc electricitate, nu produc scântei şi nu ard uşor, acestea sunt foarte des utilizate în uzinele chimice sau în medii care conţin vaporii unor substanţe uşor inflamabile. Dezvoltarea puternică a tehnologiei de producere a fibrelor optice caracterizate prin pierderi scăzute a creat posibilitatea amplificării semnalelor transmise prin acestea datorită câştigului rezultat ca urmare a dopării lor cu atomi din grupa pâmânturilor rare (Nd şi Er) obţinându-se astfel suportul material pentru transmisii şi legături la distanţe mari [1.11] şi pentru transmiterea impulsurilor de tip solitonic [1.19], [1.19]. În anul 1996 a fost realizată prima reţea telefonică transatlantică cu lungimea totală de 12 239 km care conţine 140 de repetori optici care leagă două oraşe din Statele Unite ale Americii şi alte două din Europa în care amplificarea semnalului având lungimea de undă λ=1,55 μm se face cu ajutorul unor amplificatoare fabricate din fibre optice dopate cu Er [1.11], [1.19]. Prin doparea ghidurilor optice cu ionii pământurilor rare s-au fabricat dispozitive active şi de asemenea componente cu pierderi zero, care până acum erau în mod tradiţional clasificate ca pasive (în care pierderile de inserţie şi la propagare sunt compensate de câştigul rezultat într-o zonă activă unde semnalul este amplificat). În ultimii ani, în telecomunicaţii sunt utilizate tot mai mult fibrele şi ghidurile optice de undă cu cristale fotonice, fibrele şi ghidurile optice de undă cu reţele Bragg. Cu ajutorul acestor dispozitive s-au putut transmite 40 Gbit/s îmbunătăţindu-se şi caracteristicile transmisiei [1.22].

2. METODE DE PRODUCERE A FIBRELOR ŞI GHIDURILOR OPTICE DE UNDĂ

2.1. Producerea fibrelor optice În ultimii treizeci de ani s-au dezvoltat foarte mult dispozitivele

optoelectronice active şi pasive ghidate datorită posibilităţilor de miniaturizare a circuitelor şi de integrare monolitică pe acelaşi substrat a mai multor componente, acestea fiind fabricate prin diferite metode [2.1]-[2.9].

Unul dintre cele mai cunoscute ghiduri optice este fibra optică, aceasta având o secţiune circulară şi fiind formată dintr-un miez şi o cămaşă dispusă la exteriorul miezului. Indicele de refracţie al miezului este mai mare decât cel al cămăşii. Fibrele optice cel mai des utilizate sunt realizate dintr-un material refractar acid (silica) care conţine cel puţin 93% SiO , fabricat din cuarţite, cu liant de var sau cu argilă, în general şi cu adaosuri mineralizate, arse la 1460 1530 oC timp de 24 de ore, pentru a transforma o fracţiune cât mai mare din cuarţ în trimidit (varietate a SiO ).

2

÷2

Diametrul miezului este mult mai mare decât lungimea de undă a radiaţiei, fiind cuprins între 5÷200 μm. O valoare standard este de 50 μm cu cămaşă de 125 m. Pentru evitarea pierderilor luminoase parazite în cămaşă, se adaugă o cămaşă exterioară cu indice de refracţie mai mare decât al cămăşii interioare.

μ

Spre deosebire de fibra optică, ghidurile optice de undă, folosite în circuitele optice integrate au de cele mai multe ori o structură planară cum ar fi de exemplu filmele plane sau panglicile (strips). În general, realizarea ghidurilor optice de undă prin diferite metode (difuzie, schimb ionic etc.) se face pe baza unor tehnologii moderne care au în vedere aşa-numitele tehnici de fotolitografiere şi de difuzie, similare celor utilizate în industria microelectronică. Toate aceste procese tehnologice trebuie să se desfăşoare într-un mediu perfect curat pentru a evita ca eventualele impurităţi conţinute în aer să contamineze şi să altereze într-o măsură relevantă structurile realizate. Din această cauză se folosesc aşa-numitele camere curate (albe) în care cantitatea de impurităţi este menţinută sub un control strict, de exemplu într-un centimetru cub de aer nu trebuie să existe mai mult de 100 particule cu dimensiuni mai mari de 0,5μm. Tehnologiile utilizate pentru obţinerea materialelor caracterizate printr-o transparenţă ridicată din care sunt confecţionate fibrele optice se împart în două mari grupe: metoda creuzetului sau din fază lichidă şi respectiv metoda de depunere din stare de vapori.

2.1.1. Metoda creuzetului Metoda creuzetului este utilizată în general pentru obţinerea fibrelor din

sticle care au punct de topire coborât (v. fig. 2. 1). Materialele componente pure aflate în stare de pulbere sunt încălzite împreună într-un creuzet de siliciu sau de platină (v. fig. 2. 1 a)). Pentru încălzire se poate folosi radiaţia emisă de pereţii unui cuptor electric în care sunt introduşi componenţii, aceştia nefiind în contact cu


pereţii cuptorului. De asemenea, încălzirea se mai poate face prin inducţie cu un curent de radiofrecvenţă [2.3]. În cazul utilizării unui creuzet metalic pentru încălzirea componenţilor prin inducţie căldura este transferată prin conducţie. Dacă se foloseşte un creuzet de siliciu componenţii în stare de pulbere trebuie preîncălziţi şi apoi încălziţi prin inducţie. Astfel, topitura obţinută este la o temperatură mai mare decât creuzetul fiind puţin probabil să se contamineze de la acesta. De obicei creuzetele din siliciu sunt folosite o singură dată dacă acestea nu sunt prevăzute cu un stand de reciclare termică. În mod tradiţional miezul din sticlă sub formă de bară este introdus într-un tub care constituie învelişul şi apoi ansamblul celor două este tras pentru a se obţine fibra învelită. Cu ajutorul unui creuzet dublu prezentat în figura 2. 1 a) se pot obţine fibre care au un diametru mare şi de asemenea o apertură numerică mare (fig. v. 2. 1 b)).

Fig. 2. 1. a) Reprezentarea schematică a creuzetului dublu, b) fibra învelită. În cazul utilizării unui creuzet dublu se pot obţine fibre optice din sticlă cu borosilicat de sodiu sau din sticlă cu borosilicat de sodiu şi calciu, acestea fiind caracterizate de atenuări mici pe un domeniu spectral larg din vizibil până în IR (fig. 2. 2).

2.1.2. Metoda de depunere din stare de vapori Întrucât temperatura de topire a sticlelor cu conţinut mare de siliciu este

prea ridicată în cazul metodei creuzetului, pentru producerea fibrelor se utilizează metoda de depunere din stare de vapori.

Există mai multe configuraţii experimentale, şi anume: depunere internă de vapori, (Inside Vapour Deposition-IVD) în care gazele reactante generează straturi succesive în interiorul unui tub de cuarţ, depunere externă de vapori, (Outside Vapour Deposition-OVD) în care straturile sunt depuse pe suprafaţa unei bare care apoi este îndepărtată, depunere axială de vapori, (Vapour Axial Deposition-VAD) în care se generează mai întâi o formă cilindrică axială etc.

Metode de producere a fibrelor şi ghidurilor optice de undă 17

Fibrele obţinute prin aceste metode se caracterizează la lungimea de undă 1550 nm prin atenuări de 0,20÷0,22 dB/km.

Fig. 2. 2. Dependenţa atenuării unei fibre obţinute cu ajutorul unui creuzet dublu de lungimea de undă în cazul utilizării: sticlei din borosilicat de sodiu (curba continuă),

sticlei din borosilicat de sodiu şi calciu (curba punctată). 2.1.3. Metodele de depunere internă şi externă din stare de vapori În aceste cazuri, pentru sinteza particulelor fine de sticlă din cloruri se

utilizează hidroliza în flacără, rezultând o sticlă poroasă şi opacă. Reacţiile chimice tipice sunt:

2Cl + 2H + SiO = O2H + SiCl 22224 ↑↑↑↑↑ 2Cl + 2H + GeO = O2H + GeCl 22224 ↑↑↑↑↑ 3Cl + 3H + OP = O3H + 2POCl 225223 ↑↑↑↑↑

.3Br + 3H +OB = O3H + 2BBr 223223 ↑↑↑↑↑ Excesul de vapori de apă este îndepărtat chimic din sticla rezultată în urma reacţiilor:

Cl + H + SO OH + SOCl 22222 ↑↑↑→↑

↑↑↑→↑ 2Cl + H + 2SO 2OH + 2SOCl 222-

2

.2HCl + O 2OH + Cl 2-

2 ↑↑→↑ În figura 2. 3 este prezentat schematic procesul de depunere externă de

vapori. Prin hidroliză în flacără sticla se depune de-a lungul unei bare de aluminiu sub forma mai multor straturi. Apoi bara este uscată şi urmează procesul de obţinere a fibrei optice.

Variind concentraţia componenţilor se pot obţine fibre având profilul indicelui de refracţie fie de tip treaptă fie de tip gradient. În urma îndepărtării barei de aluminiu se obţine o sticlă poroasă având formă cilindrică goală în interior. Apoi, aceasta este încălzită pentru a fi uscată în atmosferă de clor şi sinterizată, pentru a se obţine o bară de sticlă solidă şi transparentă, din care în final rezultă fibra optică având lungimea cuprinsă între 40 şi 50 km.


Utilizând acest procedeu se pot obţine fibre omogene având atenuarea mică şi de asemenea se poate face un bun control asupra profilului indicelui de refracţie al fibrei.

Fig. 2. 3. Schema procesului de depunere externă de vapori: a) depunerea stratului de sticlă poroasă pe o bară de aluminiu, b) uscarea şi obţinerea barei de sticlă transparentă.

2.1.4. Metoda de depunere axială de vapori În cazul metodei de depunere axială de vapori sticlele care formează

miezul şi respectiv invelişul sunt depuse simultan la capetele unui germene sub formă de bară care mai întâi este rotit pentru a se asigura omogenitatea azimutală, iar apoi este tras în sus într-un cuptor electric cu viteza de 2,5 mm/min (fig. 2. 4).

Fig. 2. 4. Schema procesului de depunere axială de vapori şi de obţinere a preformei.

Încălzirea se face la o temperatură cuprinsă între 1100 şi 1200oC în atmosferă de oxigen şi clor pentru a îndepărta orice urme de apă precum şi ionii de hidroxil. Bara poroasă, care are un diametru de 60 mm este apoi încălzită la


temperatura de 1500oC într-un alt cuptor de carbon, în care se obţine preforma de sticlă, transparentă, cu un diametru de 20 mm. Utilizând această metodă se poate obţine prin doparea cu germaniu un control rezonabil al indiceluui de refracţie menţinând un profil corespunzător al temperaturii în jurul preformei poroase. Se pot obţine astfel fibre având atenuări mai mici de 0,5 dB/km pentru radiaţii având lungimea de undă de 1,3 μm, precum şi dispersii temporale de aproximativ 0,2 ns/km.

2.1.5. Fibre optice amplificatoare În figura 2. 5 este prezentat schematic montajul experimental utilizat

pentru realizarea dopajului cu germaniu şi ioni de Er (elementul activ). În timpul depunerii miezului, camera de dopare este încălzită la aproximativ 1000oC pentru a mări presiunea vaporilor din interiorul tubului. Vaporii sunt încorporaţi cu principalii reactanţi şi sunt depuşi pe straturile miezului în fibră. Camera de dopare conţine un burete de siliciu impregnat cu pământuri rare.

+3

Partea nedopată a miezului este depusă pe substratul interior tubului. Când se atinge această parte a miezului care urmează a fi dopată, temperatura este scăzută pentru a preveni topirea totală a sticlei. Această operaţie produce un burete alb şi poros în interiorul tubului. Soluţia de Er (sau a oricărui codopant ce urmează a fi încorporat) este introdusă în tub ceea ce duce la umezirea porilor, proces ce durează aproximativ o oră. În acest fel se asigură o reproductibilitate mai mare a vaporilor. Lichidul este ulterior refulat din tub, iar straturile poroase sunt uscate.

+3

Această operaţie este urmată de deshidratarea preformei prin încălzirea acesteia într-un gaz de injectat, timp de aproximativ o oră. Straturile poroase sunt topite cu atenţie în atmosferă de lăsând un material complet uscat şi preforma este apoi închisă.

22/ClO

22/ClO

Fig. 2. 5. Schema procesului de depunere axială a Ge şi a ionilor de Er . +3

Fibrele optice amplificatoare amplifică radiaţia luminoasă ce se propagă prin acestea. În general, aceste fibre nu modifică polarizarea şi pot fi conectate cu orice tip de fibră. Fibrele optice amplificatoare tipice sunt fibre monomod dopate cu Er pe suport de silicaţi. Dopajul cu ionii de Er din fibră determină scăderea pierderilor. În continuare, fibra este curăţată într-un cuptor. Pentru a fi acoperită primar, fibra este trecută printr-o baie care conţine soluţia unui polimer şi apoi este uscată fie cu raze ultraviolete fie cu ajutorul unui cuptor cu inducţie. Aceeaşi operaţie se repetă în vederea acoperirii secundare. Aceste operaţii se efectuează într-o atmosferă fără praf pentru a micşora defectele de suprafaţă.

+3 +3


Acoperirea fibrei cu un înveliş de plastic se face cu ajutorul unui extruder prevăzut cu un melc care împinge materialul plastic topit asupra fibrei (fig. 2. 6).

Fig. 2. 6. Schema procesului de acoperire a fibrei cu un înveliş de plastic. Utilizând procedeele prezentate anterior se pot obţine atât fibre optice cât

şi cabluri optice care conţin una sau mai multe fibre optice (fig. 2. 7).

Fig. 2. 7. Fibră şi cablu optic.

2.1.6. Fibre optice cu reţele Bragg În ultimii ani, în telecomunicaţiile optice având viteză mare de transmisie se utilizează tot mai mult pentru manipularea şi multiplicarea pulsurilor optice precum şi pentru a compensa fenomenul de dispersie fibre optice care au încorporate reţele de difracţie Bragg.

Reţelele Bragg în fibrele optice pot fi fabricate cu ajutorul unei măşti de fază cu perioadă constantă fie prin variaţia indicelui de refracţie al fibrei fie prin modulaţia perioadei figurii de interferenţă din spatele măştii [2.10].

Variaţia indicelui de refracţie al fibrei poate fi obţinută supunând fibra în mod gradat unei deformaţii sau unui gradient de temperatură. De exemplu, s-a obţinut o variaţie liniară a indicelui de refracţie al fibrei pe o anumită porţiune prin încovoierea acesteia. Prin curbarea fibrei se induce un gradient liniar de tensiune de-a lungul fibrei, perioada de variaţie a indicelui de refracţie fiind proporţională cu tensiunea mecanică aplicată fibrei pe acea porţiune. Reţeaua Bragg în fibra optică poate fi fabricată şi cu ajutorul unui laser cu Ar ionizat a cărui radiaţie din domeniul UV este focalizată cu o lentilă sferică pe masca de fază


şi apoi eşantionată cu ajutorul unui modulator acustooptic a cărui perioadă determină perioada reţelei. Fibra este menţinută în poziţie înclinată în faţa măştii. Forma dorită a profilului reţelei şi perioada acesteia pot fi obţinute prin mişcarea şi respectiv înclinarea fibrei în timp ce fasciculul laser baleiază masca de fază. Pentru a obţine reţele cu dimensiuni mari se deplasează fibra în mod continuu şi controlat în faţa măştii în zona de interferenţă. Printr-un control riguros al deplasării fibrei şi al modulatorului acustooptic se pot obţine reţele cu variaţii mici ale perioadei şi o valoare exactă a dispersiei. În figura 2. 8 este prezentată reflectivitatea normalizată a şi întârzierea temporală a pulsului în domeniul IR al spectrului în cazul unei fibre optice care are încorporată o reţea Bragg şi este obţinută prin metoda prezentată anterior.

Fig. 2. 8. Reflectivitatea normalizată şi întârzierea temporală a unei fibre optice cu reţea Bragg în domeniul IR al spectrului.

2.1.7. Fibre optice cu cristale fotonice

Fibrele cu cristale fotonice au fost fabricate pentru prima dată în anul 1998 [2.11]. Conceptul de cristal fotonic a fost introdus în anul 1995 pe baza analogiei optice dintre structura benzilor electronice interzise ale semiconductoarelor şi structurile dielectrice periodice [2.11], [2.12].

Fibrele cu cristale fotonice sunt caracterizate de o variaţie mare a indicelui de refracţie al materialul din care este fabricată fibra şi pot fi de două feluri. Există fibre care conţin un miez din Si solid, (care este izotrop) înconjurat de un cristal fotonic bidimensional cu indice de refracţie mai mic decât cel al miezului care formează cămaşa, acestea conducând lumina pe baza fenomenului de reflexie internă totală şi asemănându-se cu fibrele clasice. În ultimii ani s-au fabricat şi fibre care conţin un cristal fotonic de tip fagure care are o structură de benzi interzise şi care contribuie la ghidarea luminii în regiunea miezului (fig. 2. 9 a)). În acest caz miezul are un indice de refracţie mai mic decât al cămăşii şi determină o distrugere a periodicităţii cristalului fotonic rezultând o supercelulă care se repetă periodic în fibră (fig. 2. 9 b)).

Fig. 2. 9. Fibră optică cu cristal fotonic: a) tip fagure, b) cu supercelulă care se repetă periodic.


Se introduce astfel o regiune spaţială (defect) cu proprietăţi optice diferite decât ale cristalului fotonic şi în care sunt excitate moduri cu frecvenţele distribuite printre cele ale cristalului fotonic, aceste moduri fiind puternic confinate în defect dacă supercelula are dimensiuni mai mari decât dimensiunile modurilor ghidate în miez [2.12].

Pentru a fabrica o fibră optică cu cristal fotonic este necesară mai întâi crearea unei preforme care să conţină la nivel macroscopic structura dorită.

O primă posibilitate constă în formarea unui număr de goluri (de la câteva zeci pănă la câteva sute) dispuse periodic în preformă. Altă posibilitate, mai ieftină, rapidă şi flexibilă prezentată în figura 2. 10 este legată de realizarea unui mănunchi de tuburi capilare şi bare din sticlă (fig. 2. 10 a)) având un diametru de 20 mm care să formeze structura aer-sticlă dorită şi respectiv profilul corespunzător al indicelui de refracţie (fig. 2. 10 b)).

Fig. 2. 10. Reprezentarea schematică a procesului de fabricare a unei fibre cu cristale fotonice.

În continuare structura (fig. 2. 10 c)) este încălzită (topită) într-un cuptor

la temperaturi cuprinse între 1900 oC şi 2100 oC, iar apoi trasă până când diametrul acesteia devine 80 200 m (fig. 2. 10 d)). Pentru a controla diametrul golurilor de aer din interiorul structurii în timpul procesului de tragere în interiorul preformei se măreşte presiunea în raport cu mediul înconjurător. Procesul de fabricare poate fi controlat printr-o alegere adecvată a temperaturii preformei, a timpului de tragere a acesteia, dar şi a presiunii din interiorul ei. În final, fibra cu cristale fotonice este învelită cu un strat de protecţie standard pentru a i se asigura robusteţe.

÷ μ

Pe baza celor prezentate anterior este posibilă fabricarea fibrelor cu mai multe miezuri, mai dificil de realizat în fibrele clasice. Fibrele cu mai multe miezuri pot fi aplicate în telecomunicaţiile optice cu mai multe canale, la fabricarea senzorilor etc.

2.1.8. Fibre optice din plastic În ultimii douăzeci de ani s-au dezvoltat tot mai mult fibrele din plastic

(Plastic Optical Fiber-POF), acestea fiind foarte flexibile şi având un preţ redus de fabricare. Miezul fibrei este fabricat dintr-un polimer, de exemplu: polimetilmetacrilat (PMMA), polistiren, polimetilfenilsiloxanic etc., iar cămaşa


dintr-o răşină siliconică. Indicele de refracţie al miezului este cuprins în intervalul 1,49÷ 1,59 [2.3]. Pentru fabricarea fibrelor din plastic se pot utiliza aceleaşi metode ca şi în

cazul celor din bioxid de siliciu (cuarţ), temperatura preformei fiind de 200 C. Miezul fibrei poate fi dopat cu coloranţi organici şi cromofori, în acest caz fibra fiind utilizată pentru fabricarea unor dispositive optoelectronice. Diametrul fibrelor optice din plastic este de 0,25

o

÷1 mm, deci apertura numerică a acestora poate atinge valori ridicate. In ultimii ani au fost fabricate fibre optice microstructurate din polimeri (mPOF), având o structură asemănătoare cu cea a unei fibre cu cristale.

Din cauza atenuării mari fibrele optice din plastic nu sunt utilizate în telecomunicaţii pe distanţe mari ci numai pentru distanţe mai mici de 100 m şi, de asemenea, pentru fabricarea senzorilor optici şi pentru iluminat.

2.2. Metode de producere a ghidurilor optice de undă 2.2.1. Structura ghidurilor optice de undă

Ghidurile optice de undă, cunoscute şi sub numele de ghiduri dielectrice, sunt structuri de tip sandwich care se folosesc pentru confinarea şi ghidarea luminii într-un singur sau în mai multe moduri de oscilaţie în dispozitivele şi circuitele optice integrate. Spre deosebire de fibra optică, ghidurile folosite în circuitele optice integrate au de cele mai multe ori o structură planară, cum ar fi de exemplu filmele plane sau panglicile (strips). Cel mai simplu ghid dielectric de formă planară este prezentat în figura 2. 11 şi este dispus sub forma unui sandwich între un substrat şi respectiv un superstrat. Indicele de refracţie corespunzător ghidului este mai mare decât cel al substratului şi respectiv al superstratului. Foarte des, materialul din care este constituit superstratul este chiar aerul care are indicele de refracţie egal cu unitatea.

Fig. 2. 11. Secţiune printr-un ghid optic planar.

De obicei, ghidurile au dimensiuni de ordinul micronilor, iar diferenţele dintre indicii de refracţie corespunzători ghidului şi respectiv substratului sunt cuprinse în intervalul 0,1 0,001. Ghidurile pentru care diferenţa dintre indicii de refracţie corespunzători superstratului şi respectiv substratului este cuprinsă în intervalul 0,01

÷

÷ 0,001 sunt obţinute prin difuzie ionică sau schimb ionic, iar cele pentru care această diferenţă este aproximativ 0,1 sunt heterostructuri semiconductoare sau au fost obţinute prin schimb protonic.


Fracţiunea din puterea undelor luminoase care este confinată în regiunea de ghidare depinde atât de indicele de refracţie al acesteia cât şi de dimensiunile ei. De obicei, mai mult de 80% din putere este confinată în ghid. Efectul de confinare în cazul ghidurilor planare este obţinut numai după o direcţie, în planul filmului putând să se manifeste fenomenul de difracţie. Cu toate acestea, fenomenele cele mai interesante care pot apărea în ghid se pot manifesta numai în planul care conţine direcţia de confinare.

În funcţie de forma secţiunii transversale se pot fabrica şi alte tipuri de ghiduri (fig. 2. 12).

Fig. 2. 12. Tipuri de ghiduri canal: a) general, b) îngropat în substrat, c) panglică (situat la suprafaţa substratului), d) nervură (situat la suprafaţa substratului),

e) încastrat în substrat, f) creastă (situat la suprafaţa substratului).

Ghidurile canal sunt de mai multe feluri, în funcţie de poziţia relativă a ghidului propriu-zis faţă de substrat şi respectiv superstrat, şi anume: general (fig. 2. 12 a)), îngropat în substrat (buried) (fig. 2. 12 b)), situat la suprafaţa substratului şi având forma unei panglici (raised strip) (fig. 2. 12 c)), situat la suprafaţa substratului şi având forma unei nervuri (rib) (fig. 2. 12 d)), încastrat în substrat (embedded) (fig. 2. 12 e)), situat la suprafaţa substratului şi având forma unei creste (ridge) (fig. 2. 12 f)). În cazul ghidurilor de tip canal fasciculele luminoase se propagă fără a suferi fenomenul de difracţie pe distanţe (de ordinul centimetrilor) care sunt limitate practic numai de absorbţia şi împrăştierea acestora în ghid. Metodele cel mai des utilizate pentru fabricarea ghidurilor optice de undă sunt: difuzia (de exemplu, în cazul titaniului în niobatul de litiu (LiNbO 3 )) şi depunerea din stare de vapori (de exemplu, în cazul SiO ). 2 Pentru a fabrica un ghid optic de undă este necesar ca în substrat (sticla, niobatul de litiu etc.) să fie modificat local indicele de refracţie. Utilizând materiale anorganice, ghidurile optice de undă se pot obţine prin mai multe metode dintre care cele mai importante sunt:


a) doparea unui material, de exemplu, LiNbO , cu atomii unui element mai greu (de exemplu, Ti) prin difuzia acestuia, utilizând tehnica microlitografierii [2.1], [2.2];

3

b) metoda schimbului ionic dintre ionii unui material gazdă (de exemplu, ionii de Na din sticlă) şi alţi ioni având aproximativ aceleaşi dimensiuni care în urma procesului de difuzie produc o variaţie locală a indicelui de refracţie (de exemplu, ionii de Ag) [2.2];

c) metoda schimbului protonic, care are loc de exemplu între ionii de litiu aparţinând unui substrat de LiNbO şi acidul benzoic sau benzoatul de litiu [2.2]. 3 În general, realizarea ghidurilor optice de undă prin diferite metode (difuzie, schimb ionic etc.) se face pe baza unor tehnologii moderne care se bazează pe aşa-numitele tehnici de fotolitografiere şi de difuzie, similare cu cele utilizate in industria microelectronică. Cuvântul litografie provine din limba greacă fiin format din alte două cuvinte: lithos, care înseamnă pietre şi graphia, care înseamnă a scrie. În cazul nostru, piatra este de exemplu substratul de LiNbO , Si etc., iar formele sunt scrise cu ajutorul unui polimer sensibil la lumină numit fotorezist.

3

Litografia optică (fotolitografia) este un proces fotografic prin care fotorezistul este expus radiaţiilor ultraviolete şi apoi developat pentru a forma imagini în relief (tridimensionale) pe substrat. În general etapele unui proces tipic de fotolitografiere sunt (fig. 2. 13): pregătirea (curăţarea) substratului, (fig. 2. 13 a)), acoperirea cu fotorezist (fig. 2. 13 b)), sinterizarea preliminară (fig. 2. 13 c)), alinierea şi expunerea la radiaţii ultraviolete (fig. 2. 13 d)), developarea (fig. 2. 13 e)), gravarea şi implantul (fig. 2. 13 f)), iar în final înlăturarea fotorezistului şi sinterizarea finală.

Fig. 2. 13. Etapele unui proces tipic de fotolitografiere: a) pregătirea substratului, b) acoperirea cu fotorezist, c) sinterizarea preliminară d), alinierea şi expunerea la

radiaţii ultraviolete, e) developarea, f), gravarea şi implantul şi g) înlăturarea fotorezistului şi sinterizarea finală.

În cazul difuziei se pot utiliza măşti fotolitografice pentru a defini canalele

prin care materialul care urmează a fi difuzat să pătrundă în substrat.


Operaţia de gravare poate fi: umedă (chimică) şi uscată (ionică). În cazul gravării umede se utilizează un amestec de acizi HF şi HNO , cu care se atacă substratul, iar în cazul celei uscate se utilizează fascicule de ioni (plasmă) care sunt focalizaţi pe substrat.

3

Câteva proprietăţi mai importante ale materialelor cel mai des utilizate în fabricarea ghidurilor optice de undă sunt prezentate în tabelul 2. 1.

Tabelul 2. 1.

Material Pierderi la

propagare (dB/cm)

Pierderi la capete

(dB/chip)

Indice de refracţie

Variaţia indicelui de refracţie nΔ

Birefringenţă

TMTE nn −

LiNbO 3 0,5 2,0 2,2 0-0.5 % ghid de tip canal

12 1010 −− −

SiO 20,1 0,5 1,5 0-15 %

ghid de tip canal 24 1010 −− −

Si 0,1 1,0 3,5 70 % Si pe izolator

24 1010 −− − Sol-Gel 0,1 0,5 1,2-1,5 0-1.5 %

ghid de tip canal 24 1010 −− −

Polimeri 0,1 0,5 1,3-1,7 0-35 % ghid de tip canal

26 1010 −− − GaAs 0,5 2,0 3,4 0-14 %

14 % AlAs ghid de tip nervură

310−

2.2.2. Producerea ghidurilor optice de undă prin difuzie

În cazul fabricării ghidurilor optice prin difuzie substratul folosit cel mai des este cel de niobat de litiu. Există mai multe etape de desfăşurare a procesului. În funcţie de modul de întrebuinţare a ghidului optic (activ sau pasiv), în diferite montaje experimentale, acestea se pot dopa şi cu alţi atomi sau ioni (de obicei ionii

pământurilor rare: Nd , Er , etc.) înainte sau după procesul de difuzie a Ti [2.13], [2.14].

+3 +3

Difuzia titanului în substratul de LiNbO . În urma dopajului cu erbiu

are loc fabricarea propriu-zisă a ghidului optic, diferitele etape ale procesului fiind prezentate în figura 2. 14.

3

Prima etapă constă în depunerea pe suprafaţa LiNbO 3 a unui strat dintr-un material fotorezistiv (fig. 2. 14 a)) care este impresionat în urma trecerii luminii ultraviolete printr-o mască determină forma ghidului (fig. 2. 14 b)). În urma tratării cu un agent chimic potrivit (fig. 2. 14 c)) se gravează în fotorezist forma ghidului.

Depunerea stratului de titan pe substrat cu grosimi variind între 940 şi 950 se face prin pulverizarea uniformă a acestuia (sputtering) (fig. 2. 14 d)) într-o instalaţie de depunere sub vid (fig. 2. 15).

oA

oA

Prin înlăturarea stratului de fotorezist în urma introducerii substratului într--o baie cu acetonă se obţine un strat de Ti (fig. 2. 14 e)) având dimensiunile bine


determinate şi în poziţia dorită (lift off). În final, substratul este introdus într-un cuptor având temperatura de 1030oC, timp de 9 ore, proces în urma căruia are loc difuzia titanului în acesta (fig. 2. 14 f)).

Fig. 2. 14. Etapele procesului de fabricare a ghidurilor optice de undă de tip Ti:LiNbO : 3a) depunerea stratului de fotorezist; b) iradierea cu radiaţii UV;

c) tratarea cu agent chimic; d) depunerea stratului de Ti prin pulverizare (sputtering); e) lift off; f) difuzia Ti.

Fenomenele de difuzie sunt guvernate de legea lui Fick care leagă fluxurile

de atomi difuzaţi de gradientul de concentraţie a acestora. În cazul unidimensional legea Fick poate fi scrisă sub forma:

txCD

xC∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

(2.1)

unde este concentraţia, C x reprezintă coordonate, este timpul, iar este coeficientul de difuzie.

t D

Fig. 2. 15. Reprezentarea schematică a instalaţiei de depunere.


Coeficientul de difuzie depinde de temperatură conform legii Arrhenius:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

RTEDD aexp0 (2.2)

unde Ea este energia de activare, T este temperatura, R constanta universală a gazelor, iar D0 este factorul de frecvenţă.

Difuzia erbiului. O altă etapă (de obicei prima) constă în depunerea pe întreaga suprafaţă a substratului de niobat de litiu a elementului activ (de exemplu, erbiu metalic în cazul funcţionării ghidului ca dispozitiv laser sau amplificator laser) în urma procesului de evaporare până când grosimea stratului acestuia este uniformă. Grosimea stratului de erbiu depus este de 9 nm în cazul substratului de LiNbO3 tăiat după axa x şi de 11 nm în cazul celui tăiat după axa z . După aceea, substratul de LiNbO este întrodus într-un cuptor cu temperatura de 1100oC, timp de 100 de ore, proces în urma căruia erbiul difuzează în niobatul de litiu. Folosind tehnicile spectrometriei ionice de masă se poate determina profilul concentraţiei erbiului (fig. 2. 16).

3

Fig. 2. 16. Profilul concentraţiei de Er în funcţie de adâncime: profilul 1 este de tip gaussian (curba punctată), temperatura cuptorului: 1100oC, timp: 100 h; profilul 2 este de tip erfc (curba mai groasă), temperatura cuptorului: 1080oC, timp: 50 h; profilul 3 este de

tip erfc (curba mai subţire), temperatura cuptorului: 1100oC, timp: 100 h.

Definind prin t intervalul de timp în care erbiul depozitat pe substrat a pătruns în cristal (LiNbO ), în cazul unor intervale de timp mult mai mari decât

acesta, profilul concentraţiei de difuzie 3

( )txC , poate fi aproximat cu o funcţie de tip Gauss, de forma:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0 2exp,

DtxtCtxC (2.3)

în care: D este coeficientul de difuzie,

( )Dt

kdtCπ

=0 , (2.4)


rel

AM

Nk ρ= , (2.5)

AN reprezintă numărul lui Avogadro, ρ este densitatea, iar este masa moleculară a erbiului.

relM

Profilul concentraţiei de difuzie mai poate fi aproximat în modelările matematice şi cu funcţia complementară a erorilor (erfc).

2.2.3. Fabricarea ghidurilor optice prin schimb ionic. Principii fizice Modificarea locală a indicelui de refracţie se realizează în cazul schimbului ionic prin difuzia atomilor de argint, potasiu etc. în substrat, aceşti atomi înlocuind ionii de sodiu care ies din sticlă. Variaţia indicelui de refracţie obţinută depinde de polarizabilitatea şi dimensiunile ionilor care se schimbă. Dacă de exemplu se înlocuieşte ionul de sodiu din sticlă cu un ion exterior de dimensiuni mai mici se obţine o mărire locală a indicelui de refracţie pentru că densitatea sticlei creşte prin comprimarea reţelei sticlei în jurul ionului introdus (ca în cazul schimbului litiu/sodiu de exemplu). Procesul de difuzie al ionilor în sticlă poate fi modelat pe baza schemei prezentate în figura 2. 17 în care se consideră că schimbul ionic are loc într-o baie ce conţine sarea ionului notat cu (1) şi sticlă care conţine ionul (2).

Fig. 2. 17. Principiul schimbului ionic dintre o sare, conţinând ionul (1) şi sticlă, conţinând ionul (2).

Cinetica evoluţiei concentraţiilor depinde de mobilităţile diferite ale celor

două tipuri de ioni. Diferenţa de viteză a ionilor difuzanţi determină fluxuri diferite ale acestora. Sistemul tinzând spre echilibru termodinamic, în sticlă se creează sarcini spaţiale care frânează ionii rapizi şi îi accelerează pe cei lenţi. La fel ca în cazul difuziei Ti în LiNbO3 şi aceste fenomene de difuzie sunt guvernate tot de legea lui Fick care leagă fluxurile de ioni (1) şi (2) de gradientul de concentraţie. În cazul unidimensional, legea lui Fick poate fi scrisă sub forma:

tC

xCD

x ∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ 11 (2.6)

în care:


2211

21

2211

2121 )(DNDN

DDCDCDCCDDD

+=

++

= , (2.7)

21

22

21

11 ,

CCCN

CCCN

+=

+= (2.8)

În relaţiile (2.7) şi (2.8) Ni reprezintă fracţia molară a ionului i, Ci este concentraţia aceluiaşi ion, D este coeficientul de interdifuzie, Di este coeficientul de difuzie al ionului i, dat de relaţia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

RTEDD a

ii exp0 . (2.9)

În relaţia (2.9) este energia de activare, iar Di0 reprezintă factorul de frecvenţă.

aE

Întrucât în cazul general coeficientul de interdifuzie D depinde de concentraţia ionului (1) care migrează în sticlă, nu este posibil să se obţină o soluţie analitică a ecuaţiei (2.6). Pentru a obţine profilul concentraţiei, aceasta trebuie rezolvată prin metode numerice. Notând cu

2

11DD

−=α (2.10)

se poate scrie:

21

1

1CC

CDD

+α−

=1

(2.11)

Pentru a estima valoarea lui α trebuie comparate profilurile indicilor obţinute teoretic şi experimental. Pe baza rezultatelor numerice prezentate în figura 2. 18 se pot deduce următoarele concluzii [2.1]: a) când α tinde la zero, adică 21 DD ≈ profilul indicelui este asemănător funcţiei complementare a erorilor; b) când coeficientul 21 DD <<

1D

, profilul indicelui este abrupt şi se apropie de funcţia lui Heaviside. În acest caz, din punct de vedere fizic, tendinţa ionilor (2) este de a ieşi din sticlă mult mai repede ca ionii (1) să pătrundă în aceasta pentru a-i înlocui. Acest fapt conduce la apariţia unei sarcini spaţiale suplimentare care frânează ionii (2) şi echilibrează astfel fluxul ionic. Un astfel de profil de indice abrupt este numit şi salt de indice, iar frontul de schimb se propagă cu o viteză proporţională cu coeficientul .

În aceste cazuri simple ecuaţia Fick are o soluţie analitică şi permite regăsirea concluziilor prezentate anterior (cazul în care coeficienţii de autodifuzie sunt egali DDD == 21 ). De asemenea, dacă concentraţia unui ion este mică, de exemplu C1, se pot face următoarele aproximaţii:

121 ~~ DDNN ⇒→⇒ 10 (2.12)


În acest caz, valoarea coeficientului de autodifuzie D1 a ionilor care difuzează în sticlă nu este influenţată de prezenţa ionilor de acelaşi tip care au migrat deja în substrat şi deci acesta este independent de coordonata x, ecuaţia (2.6) putând fi scrisă sub forma:

tC

xCD

∂∂

=∂

∂2

2 (2.13)

Fig. 2. 18. Variaţia profilului concentraţiei în funcţie de distanţa normalizată, Dtx 2/ pentru diferite valori ale coeficientului α.

Ţinând seama de condiţiile iniţiale:

( )( )⎩

⎨⎧

>∀=≥∀=

000,,0,0 0

xxCtCtC

(2.14)

soluţia ecuaţiei (2.13) este:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Dt

xerfcCtxC2

, 0 (2.15)

unde erfc este funcţia complementară a erorilor, definită de relaţia:

( ) ∫∞

−=x

ttx de2 2

πerfc (2.16)

Fabricarea ghidurilor optice prin schimb ionic în sticlă. Unul dintre

materialele cel mai des utilizate în procesul de schimb ionic este sticla, de exemplu cea cu indicativul B1664 Corning.

Această varietate de sticlă conţine 9,9%Na O, 8%K O, 68% SiO 2 , 11%

B O , 2,4% BaO şi 0.3% - alte componente având indicele de refracţie

=1,5147. În procesul schimbului ionic există mai multe etape care sunt prezentate în figura 2. 19. Prima etapă constă în realizarea unei măşti din aluminiu

2 2

2

sn3


cu configuraţia şi geometria dorite pe suprafaţa sticlei (fig. 2. 19 a)). Această etapă constă din: - curăţarea plăcuţei (substratului) de sticlă, - evaporarea materialului din care este confecţionată masca, - procesul de fotolitografiere.

Fig. 2.19. Fabricarea unui ghid optic prin metoda schimbului ionic; a) realizarea măştii din

aluminiu; b) procesul de fotolitografiere; c) atacul cu agent chimic; d) depunerea electrozilor.

De obicei, dimensiunile (lărgimea) formelor geometrice (ferestrelor) care

urmează a fi gravate pe substrat sunt de câţiva μm. În continuare, plăcuţa este introdusă într-o baie care conţine sare de nitrat

de potasiu (KNO ) aflată la temperatura de 400oC, timp de 2 ore. În acest interval de timp prin fereastră are loc fenomenul de schimb ionic între ionii de sodiu conţinuţi în matricea sticlei şi ionii de potasiu din baia cu sare. În urma schimbului ionic se obţine o creştere a indicelui de refracţie a sticlei în regiunea determinată de fereastră (fig. 2. 19 b)). Profilul indicelui şi/sau concentraţiei ionilor este descris de funcţia complementară a erorilor. Ghidul astfel obţinut nu poate conduce lumina din cauza pierderilor optice ridicate introduse de metalul plasat de ambele părţi ale ghidului. Înlăturarea metalului se face prin atac cu un agent chimic, obţinându-se un ghid optic cu lărgimea limitată (fig. 2. 19 c), d)).

3

În urma procesului de polizare (sau de clivare) a plăcuţei de sticlă se pot înlătura pierderile care rezultă în urma cuplării luminii din zona de difuzie de la capătul ghidului cu alte componente optice.

Fabricarea electrozilor. De foarte multe ori este necesară obţinerea unor componente optice ghidate complexe, cum ar fi: modulatoare, comutatoare, lasere integrate care să funcţioneze în regim de cuplare a modurilor (mode-locking) sau de comutare a pierderilor (Q-switched).

În aceste cazuri, funcţionarea componentelor amintite este controlată prin intermediul unui câmp electric exterior cu ajutorul electrozilor depuşi de ambele părţi ale ghidului optic (fig. 2. 19 d)). Fabricarea electrozilor constă în realizarea unei ferestre având o anumită lărgime d (fig. 2. 19 d)) mărginită de o mască metalică ce pleacă în procesul de fabricaţie de la etapa prezentată în figura 2. 19 b)). Pentru aceasta se depune o răşină pe substrat şi se iluminează cu radiaţii ultraviolete faţa opusă ghidului


(fig. 2. 20). Stratul de răşină este iluminat un anumit interval de timp t în urma trecerii luminii prin fereastră.

Din cauza difracţiei şi a difuziei razelor ultraviolete în răşină, porţiunea iluminată este mai largă decât fereastra iniţială. În continuare se developează răşina astfel iluminată şi se atacă chimic masca metalică (v. fig. 2. 18 d)) obţinându-se astfel electrozii propriu-zişi. Variind timpul de expunere cu lumină ultravioletă, se pot obţine electrozi situaţi la diferite distanţe unul faţă de altul.

t

Fig. 2. 20. Procesul de fabricare a electrozilor.

2.2.4. Producerea ghidurilor optice în LiNbO 3 prin schimb protonic

Pentru fabricarea ghidurilor optice în LiNbO prin schimb protonic se utilizează diferite băi care conţin protoni, cum ar fi de exemplu: acidul benzoic, acidul palmitic, acidul stearic [2.6], acidul oleic [2.7] etc.

3

Într-o astfel de baie, după realizarea operaţiei de mascare, substratul de LiNbO este încălzit la temperaturi de 1503 ÷ 200oC timp de 5 min ÷10 h. Pentru a evita şocurile termice cât şi pentru a favoriza pătrunderea mai rapidă a ionilor de

H în substrat pentru a substitui atomii de Li, probele sunt deplasate vertical cu viteză redusă în baie; aceasta este introdusă într-un cuptor dispus de asemenea în poziţie verticală şi a cărui temperatură este controlată cu o precizie de 0,5oC. După terminarea operaţiei de schimb protonic substratul este spălat (de exemplu, în acetonă) pentru a îndepărta resturile de acid, iar baia este golită şi apoi reîncărcată cu acid. Adâncimea de pătrundere a ionilor de hidrogen în substratul de LiNbO este dată de relaţia:

+

±

d3

( ) ( )TDtTt,d ⋅= 2 (2.17) în care: D(T) este coeficientul de difuzie, T este temperatura, iar t este timpul în care are loc procesul de schimb. În cazul unor ghiduri având ca substrat LiNbO care au fost obţinute în urma schimbului protonic în acid oleic la temperatura de 250°C timp de 8 ore, adâncimea de pătrundere este de aproximativ 3 μm, iar diferenţa indicilor de refracţie dintre substrat şi ghid de 0,130 [2.7].

3

2.2.5. Fabricarea ghidurilor monomodale îngropate în substrat de Si

Din cauza pierderilor mici pe care le posedă atât la propagare cât şi la cuplajul cu fibrele optice, ghidurile monomodale îngropate, având ca substrat


siliciul, sunt foarte des utilizate pentru producerea interferometrelor Mach-Zehnder simetrice şi asimetrice (care sunt aplicate cu succes la procesele de multiplexare şi respectiv demultiplexare optică), comutatoarelor optice, cuplorilor optici acordabili etc. (fig. 2. 21 a)-c)).

În cadrul acestei etape particulele foarte fine de sticlă obţinute prin hidroliza în flacără a SiCl -TiCl sunt depuse pe substratul de siliciu, care apoi este încălzit pentru a se consolida.

4 4

a) b) c)

Fig. 2. 21. Schema procesului de fabricare a ghidurilor monomodale îngropate având ca substrat siliciul: a) obţinerea pe substratul de siliciu a unui ghid planar de SiO -Ti , 2 2

b) operaţia de gravare cu ioni reactivi şi mascare, c) operaţia de îngropare a ghidurilor.

Operaţia de hidroliză în flacără este prezentată schematic în figura 2. 22. În cadrul acesteia un amestec de SiCl -TiCl sau de SiCl -GeCl este introdus într-o flacără de oxigen/hidrogen. Particulele fine de sticlă sunt depuse direct pe substratul de siliciu care la rândul său este plasat pe o masă cu diametrul de 1 m care se poate roti. În timpul depunerii flacăra traversează în mod repetat masa în direcţie radială. Pentru a micşora temperatura de topire a particulelor de sticlă în mixtura de gaz se adaugă mici cantităţi de BCl 3 şi PCl 3 .

4 4 4 4

Fig. 2. 22. Operaţia de depunere prin hidroliză în flacără.

Indicele de refracţie al particulelor de sticlă este controlat prin doparea cu TiCl sau GeCl . Ghidurile propriu-zise rezultă în urma procesării miezului de pe suprafaţa stratului tampon cu o mixtură de gaze formată din C F şi C H (gravare cu ioni reactivi) şi o mască din siliciu amorf (v. fig. 2. 21 b)). Masca de siliciu la rândul său se poate obţine prin gravarea cu ioni reactivi a unui fotorezist (folosind un gaz de CBrF 3 ). În etapa a treia (v. fig. 2. 21 c)), ghidurile sunt

4 4

2 6 2 4


îngropate în urma depunerii prin hidroliza în flacără a unui strat de sticlă protectoare. Prin procedeul descris se pot obţine ghiduri optice de undă îngropate de formă pătrată cu dimensiunea de 8μm, stratul tampon având 7 μm, iar cel protector 30 μm [2.5]. Indicele de refracţie al ghidului este cu aproximativ 24% mai mare decât cel corespunzător stratului tampon şi respectiv al celui protector (care au indici de refracţie egali). În cazul unor ghiduri având 40 mm lungime pierderile la propagare sunt de aproximativ 0,43 dB, iar pierderile la cuplajul cu o fibră sunt de 0,01 dB. Atât dimensiunile ghidurilor astfel obţinute cât şi diferenţa relativă a indicilor de refracţie sunt compatibile cu fibrele optice monomodale convenţionale.

2.2.6. Fabricarea ghidurilor din Si Multe dispozitive optice integrate complexe sunt fabricate din Si atât datorită preţului scăzut al materialului, posibilităţilor de integrare pe acelaşi substrat cu componentele electrice cât şi datorită tehnicilor de producere din industria microelectronică care s-au perfecţionat foarte mult în ultimii ani [2.5], [2.15].

Fabricarea ghidurilor de Si pe substrat izolator. Majoritatea dispozitivelor fotonice din Si au fost fabricate utilizându-se o structură de tip sandvici (fig. 2. 23) formată din Si cristalin, SiO având dimensiuni de ordinul

m şi un substrat izolator din Si cu dimensiuni de ordinul sutelor de μm (silicon-on-insulator-SOI)

2μ

Fig. 2. 23. Reprezentarea structurii de tip sandvici formată din Si cristalin, SiO 2şi un substrat izolator din Si.

Ghidurile pot fi fabricate simetric prin oxidarea termică a suprafeţei.

Stratul de SiO îngropat având un indice de refracţie de 1,46 care este mai mic decât al stratului de Si cristalin care are valoarea de 3,5 structura de tip sandvici produce ghidarea undelor luminoase.

2


Fabricarea ghidurilor de Si pe substrat izolator prin implantarea oxigenului. Cea mai răspândită metodă de fabricare a ghidurilor de Si este cea care utilizează separarea straturilor prin implantarea unui mare număr de ioni de oxigen în substratul de Si (Separation by Implanted Oxygen-SIMOX) [2.15]. Numărul total de specii de ioni implantaţi în substrat este caracterizat de doza ionică, care

este numărul total de ioni ce trece printr-o suprafaţă de 1 cm şi se măsoară în

ioni/ cm . În cazul procesului de fabricare de tip SIMOX doza ionică este de obicei mai mare decât , iar la temperatura camerei este posibilă formarea unui superstrat nedorit de Si amorf în timpul procesului de implantare a oxigenului. Pentru a preveni acest fenomen, substratul de Si trebuie menţinut la temperatura de aproximativ 600 o C în timpul implantării.

2

2

218cm10 −

Ionii de oxigen sunt implantaţi în substratul de Si cristalin la energii de 200 keV, acestea determinând adâncimea de pătrundere a SiO şi grosimea superstratului de Si. Evoluţia profilului concentraţiei normalizate de oxigen, este în funcţie de adâncimea de la suprafaţa stratului de Si,

2C

x şi este prezentată schematic în figura 2. 24.

Fig. 2. 24 a)-c). Variaţia profilului concentraţiei de oxigen în timpul unui proces de tip SIMOX în cazul unor doze: a) mici, b) mari şi c) după implantare şi

coacere timp de câteva ore la 1300 C. o

Profilurile prezentate în figura 2. 24 caracterizează evoluţia concentraţiei

de oxigen în adâncime în timpul evoluţiei procesului. În cazul unor doze mici (~ ) profilul poate fi descris de o funcţie de tip Gauss (v. fig. 2. 13 a)). Ca urmare a creşterii timpului implantării şi a dozei maximul concentraţiei ionilor de oxigen (O ) se saturează până la o valoare limită corespunzătoare stoichiometriei SiO (v. fig. 2. 13 b)). În urma implantării unui număr şi mai mare de ioni de oxigen profilul începe să se aplatizeze, ceea ce conduce la formarea unui strat intern continuu de SiO (v. fig. 2. 13 c)). După ce doza ionică devine mai

mare decât dispozitivul este călit timp de câteva ore la temperatura de

216cm10 −

10

+

18

2

−2

2cm


1300 C. În urma acestui procedeu se obţine un strat de oxid stabil şi de foarte bună calitate care este mult utilizat în microelectronică şi are numeroase aplicaţii: la fabricarea circuitelor electrice şi optice integrate, izolarea electrică, obţinerea măştilor etc.

o

În urma depunerii (creşterii) stratului de SiO 2 pe o structură de tip SOI ghidul simetric de tip lespede se transformă într-unul asimetric. Pentru a se obţine o ghidare optimă a luminii este necesar să se prevină pătrunderea câmpului electric în stratul de protecţie (cladding). În cazul utilizării SiO 2 pe un ghid de Si cu dimensiunea de câţiva microni stratul de oxid are grosimea > 0,4 μm [2.15]. O metodă foarte des utilizată pentru obţinerea stratului de SiO pe ghidurile de Si este oxidarea termică prin care se poate obţine o suprafaţă netedă de foarte bună calitate. Procesele chimice care caracterizează oxidarea sunt:

2

22 SiOOSi →+ (2.18) în cazul oxidării uscate şi

222 HSiOO2HSi +→+ (2.19) în cazul celei umede în care sunt utilizaţi vapori. Aceste procese se desfăşoară în cuptoare de cuarţ caracterizate printr-un control riguros al atmosferei şi al debitului de gaz. Temperatura la care se desfăşoară procesul este cuprinsă între 750 şi 1100 o C.

Grosimea stratului de SiO , este dată de relaţia [2.15]: 2 0d

( )[ ]{ } 1/ 41/22/12

0 −τ++= atbad (2.20) unde reprezintă timpul de oxidare, iar şi t ba , τ sunt constante care caracterizează viteza de reacţie a oxigenului pe suprafaţa de Si, difuzia moleculei de O 2 . Aceste trei constante se determină experimental pentru anumite condiţii de

creştere. În cazul oxidării uscate la temperatura de 1000 C şi o presiune de

10 valorile acestor parametri sunt:

o

25 N/m m 0,165μ=a , şi

. În cazul unui timp

/hm 012,0 2μ=b

h = 0.37τ τ>>t şi procesul este limitat de difuzia oxigenului sau moleculelor de apă în stratul de oxid existent înainte ca reacţia să aibă loc.

bt 4/a2>>

2.2.7. Ghiduri de undă în materiale organice

Materialele organice, prin proprietăţile fizico-chimice pe care le posedă, cum ar fi: procesabilitate, versatilitate şi calitate optică bună, au numeroase aplicaţii atât în domeniul opticii generale cât şi în cel al telecomunicaţiilor optice şi al opticii neliniare. Aceste proprietăţi pot fi controlate şi modelate adecvat cu ajutorul tehnologiilor ingineriei moleculare [2.8], [2.9]. Astfel, polimerii polarizaţi au coeficienţi optici neliniari de ordinul doi foarte mari şi calitate optică bună în comparaţie cu alte materiale anorganice. De asemenea, polimerii care prezintă legături reticulare se caracterizează printr-o orientare stabilă a acestora în timp îndelungat.


Polimerii conjugaţi centrosimetrici, polimerii amorfi şi cei orientaţi se caracterizează printr-o susceptibilitate de ordinul trei mare, ceea ce le conferă largi aplicaţii în studiul efectelor neliniare de ordinul trei. Există mai multe procedee de fabricare a filmelor polimerice, şi anume:

a) metoda Langmuir-Blodgett (prezentată schematic în figura 2. 25) pentru straturi de tip X, Z sau metoda de obţinere a filmelor alternative,

b) metoda epitaxială sau heteroepitaxială, c) metoda de obţinere a polimerilor polari.

Fig. 2. 25. Metoda Langmuir-Blodgett de depunere a filmelor subţiri formate din trei tipuri de straturi X, Y, Z.

Pentru fabricarea ghidurilor planare de tip nervură cu numeroase aplicaţii

în microelectronică sunt des utilizaţi fotopolimerii, ca de exemplu CICLOTENA™ foto bis-benzociclobutena-BCB 4024-40 datorită numărului redus de echipamente şi de etape în procesul de producere precum şi costului redus [2.16], [2.17]. Etapele mai importante în procesul de fabricare sunt (fig. 2. 26): a) depunerea unui strat fotosensibil de BCB pe un substrat din sticlă BK-7, b) iradierea materialului fotosensibil, peste care s-a aplicat masca cu radiaţii U. V., c) developarea şi coacerea într-un cuptor.

Fig. 2. 26. Etapele procesului de fabricare a ghidurilor polimerice de tip BCB.


După aceste etape structura este tăiată mecanic cu o lamă cu diamant până la dimensiunile dorite şi apoi polizată cu ajutorul unei paste care conţine diamant policristalin.

În ultimii ani au fost obţinute filme cu cromofori neliniari de tip policarbonat amorf dopat cu AJL8 care prezintă o bună stabilitate termică la temperaturi ridicate [2.16], [2.17]. O astfel de structură are un coeficient electrooptic ridicat, =94 pm/V la lungimea de undă 1300 nm, iar temperatura la

care se degradează este 220 C. 33r

o

Cu ajutorul metodei de depunere Langmuir-Blodgett (v. fig. 2. 25) este posibil să se obţină filme centrosimetrice de tip Y, dar şi necentrosimetrice de tip X sau Z [2.9].

Această metodă se aplică cu succes mai ales moleculelor amfifilice având extremităţi de tip hidrofob şi hidrofil, care sunt încorporate în molecula necentrosimetrică. Utilizând metoda Langmuir-Blodgett ordinea moleculară este menţinută numai pe câteva straturi moleculare, în timp ce aplicaţiile în optica ghidată ce depind de lungimea de undă la care se operează necesită grosimi de ordinul micronilor. De asemenea, filmele obţinute prin această metodă conţin microcristalite care, împrăştiind lumina, le fac mai puţin aplicabile în optica ghidată. Deşi au fost obţinute filme necentrosimetrice de tip Y care se caracterizează prin coeficienţi neliniari mari de ordinul pm/V, din cauza pierderilor relativ mari, 10÷ 40 dB/cm corespunzătoare lungimii de undă de operare 1064 nm, acestea nu pot fi aplicate în modulaţia electrooptică sau în conversia de frecvenţă. Pentru a se depăşi acest inconvenient se utilizează filme subţiri alternative formate din două straturi care conţin molecule diferite, care prezintă de obicei momente de dipol opuse [2.8]. Aplicaţiile cele mai promiţătoare în optica ghidată le au polimerii polari. În acest caz, polimerii amorfi care prezintă calităţi optice foarte bune sunt folosiţi ca matrice pentru moleculele neliniare centrosimetrice cum ar fi de exemplu cea de tip

polimetilmetacrilat (PMMA) în următoarele cazuri:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

nC2O3CHICI

3CH

2CH

a) Sisteme formate din matricea gazdă şi moleculele oaspete. În acest caz, moleculele active dizolvate în polimerul matrice se pot roti liber la temperatura de tranziţie în stare sticloasă a polimerului. b) Lanţuri (co)polimerice cu o singură bandă care conţin molecule active grefate pe lanţul polimeric. c) Lanţuri polimerice principale care conţin molecule active inserate în lanţul polimeric. d) Polimeri cu reticule. În acest caz moleculele active centrosimetrice reacţionează cu polimerul matrice dând naştere unei reţele tridimensionale stabile.


În toate cazurile polimerii dopaţi sunt încălziţi până la temperatura de tranziţie în stare sticloasă, iar moleculele active sunt orientate prin aplicarea câmpului electric pe filmele polimerice. Metodele epitaxiale bazate pe evaporarea în vid înaintat sunt aplicate cu succes mai ales pentru fabricarea filmelor subţiri necentrosimetrice, cum ar fi de exemplu cele din polidiacetilenă, caracterizate de coeficienţi neliniari de ordinul doi foarte mari [2.8]. Această metodă poate fi utilizată şi pentru fabricarea filmelor polimerice subţiri orientate (ordonate) din diacetilenă [2.8]. Unul dintre inconvenientele acestei metode este legat de nepotrivirea contactului plan dintre substratul cristalin şi straturile de molecule depuse. Deşi polarizarea prin efect corona este cel mai des folosită, există cazuri când se produc microcurenţi care deteriorează local filmul. Pentru a evita aceste cazuri nedorite se plasează site metalice între anod şi filmul polarizat, controlându-se în acest fel curentul de polarizare şi de asemenea obţinându-se o mai mare suprafaţă de film polarizat. Eficienţa polarizării depinde de raportul

, unde μ este momentul de dipol al moleculei, kTE /μ E este câmpul de polarizare, iar T este temperatura.

Întrucât câmpul de polarizare este limitat superior de valoarea corespunzătoare distrugerii filmului polimeric, pentru mărirea eficienţei de polarizare se selectează molecule cu moment dipolar mare. Stabilitatea termică şi în timp a orientării momentelor de dipol induse este mai mare pentru polimeri care au o temperatură de tranziţie în stare sticloasă mai mare. Proprietăţile microscopice care generează efectele electrooptice macroscopice sunt determinate de valorile ridicate ale momentului de dipol, μ şi respectiv hiperpolarizabilităţii, β . Valorile ridicate ale momentului de dipol joacă un rol important în procesul de aliniere a moleculelor, iar hiperpolarizabilitatea microscopică este legată de susceptibilitatea neliniară de ordinul doi, prin relaţiile [2.16]:

(2χ )

( ) ( ) θωβ=χ 32 cosfNzzz (2.21)

şi ( ) ( ) θθωβ=χ 22 coscosfNzxx (2.22)

în care: reprezintă numărul de cromofori, N ( )ωf caracterizează atenuarea câmpului local din cauza cromoforului, iar termenii care conţin θcos sunt parametri de ordine ce determină alinierea moleculelor. Susceptibilităţile neliniare de ordinul doi, ( )2

zzzχ şi ( )2zzzχ definesc coeficienţii electrooptici şi . 33r 13r

După fabricarea cromoforilor, pentru a mări efectul electrooptic trebuie fabricat un film care să conţină molecule aliniate, adică trebuie maximizat termenul

θ3cos . Iniţial cromoforii sunt amestecaţi cu polimerul într-un solvent, iar apoi

este dispusă pe un substrat, de exemplu Si amorf care nu prezintă proprietăţi electrooptice. Pentru a orienta moleculele în film şi a obţine efectul electrooptic pe


întreaga structură, aceasta este încălzită până la temperatura de tranziţie în stare sticloasă, iar apoi se polarizează cu ajutorul unui câmp electric care roteşte momentele de dipol ale moleculelor şi le aliniază paralel cu câmpul. Ulterior structura este răcită până la temperatura camerei, iar câmpul electric este suprimat.

Polarizarea poate fi făcută fie prin contact direct cu ajutorul electrozilor (polarizare prin contact cu electrozi) fie prin introducerea filmului într-o descărcare de tip corona (polarizare prin efect corona).

Metoda de polarizare prin contact. În acest caz, tensiunea se aplică direct pe două contacte metalice depuse pe suprafaţa filmului [2.16], [2.17]. Acest tip de polarizare este limitat de suprafaţa acoperită de electrozi, câmpurile obţinute fiind mai mici decât cele obţinute prin alte metode, permiţând aplicarea unor tensiuni diferite pe aceeaşi structură. În acest mod, cele două braţe ale interferometrului Mach-Zehnder pot fi polarizate în mod diferit aplicând pe un braţ o tensiune pozitivă şi una negativă pe celălalt.

Metoda de polarizare prin efect corona. Această metodă este prezentată schematic în figura 2. 27 şi constă în descărcarea electrică autoîntreţinută prin scânteie datorită străpungerii parţiale a unui gaz dielectric [2.17].

Fig. 2. 27. Prezentarea schematică a polarizării prin efect corona pentru alinierea cromoforilor în polimer.

În acest caz, tensiunea de ordinul kV este aplicată unui electrod metalic

sub forma unui ac, pe al doilea electrod situat la distanţa de ~ 1 cm de primul fiind depus substratul de Si cu polimer. Câmpul intens dintre ac şi al doilea electrod ionizează moleculele mediului înconjurător accelerând ionii spre suprafaţa substratului. În urma depunerii ionilor pe suprafaţa filmului se obţine un câmp electric puternic. Această metodă permite obţinerea unor suprafeţe de polarizare mari şi uniforme. Pentru a împiedica străpungerea totală a mediului înconjurător, curentul care produce efectul corona trebuie monitorizat şi limitat. De asemenea, trebuie evitată polarizarea în atmosferă de oxigen pentru că moleculele acestui gaz


se infiltrează în film distrugând moleculele de cromofor şi micşorând efectul electrooptic. De aceea, se preferă polarizarea într-o atmosferă cu gaze inerte fără oxigen.

2.2.8. Fabricarea ghidurilor optice cu reţele Bragg Ghidurile optice de undă cu reţele Bragg având perioade mai mici de 1 μm stau la baza fabricării filtrelor în sistemele de telecomunicaţii optice în care se utilizează demultiplexori, a laserelor integrate cu reacţie distribuită etc. Există mai multe procedee de fabricare a reţelelor Bragg, metoda interferometrică fiind printre cele mai des utilizate. De asemenea, există mai multe metode de fabricare a ghidurilor optice de undă [2.5], [2.18].

În cazul unui ghid optic de undă fabricat în sticlă prin metoda schimbului ionic etapele procesului de fabricare sunt: 1) curăţarea substratului, 2) depunerea stratului de aluminiu, 3) depunerea fotorezistului cu o grosime de 5 μm, 4) expunerea fotolitografică utilizând o mască şi radiaţii UV, 5) developarea fotorezistului, 6) litografia aluminiului, 7) eliminarea fotorezistului, 8) schimbul

ionic în sare topită care conţine +K , la 450oC, timp de 50 min., 9) eliminarea măştii de aluminiu. După producerea ghidului optic de undă substratul este tăiat, polizat la capete în vederea obţinerii unui cuplaj cât mai bun cu alte componente optice integrate şi apoi se trece la fabricarea reţelelor Bragg, care joacă rol de oglinzi. În cazul ghidurilor fabricate în sticlă există trei metode mai importante de producere a reţelelor prin: 1) gravare, 2) depunere şi 3) schimb ionic. Principalele etapele parcurse în cazul gravării reţelelor utilizând metoda interferometrică cu expunerea fotorezistului (fig. 2. 28) sunt: a) depunerea fotorezistului, b) inscripţia fotorezistului prin metode interferometrice, c) developarea fotorezistului şi d) gravarea prin metoda chimică [2.18].

Fig. 2. 28. Etapele procesului de fabricare a ghidurilor cu reţele Bragg: a) depunerea fotorezistului, b) inscripţia fotorezistului, c) developarea

fotorezistului, d) gravarea chimică. Pentru inscripţia fotorezistului prin metoda interferometrică a fost utilizat un laser cu Ar cu lungimea de undă de λ = 488 nm şi puterea de 1 mW, un telescop şi o reţea de difracţie, montajul experimental utilizat fiind prezentat în figura 2. 29.

Perioada reţelei Bragg care este inscripţionată poate fi calculată cu ajutorul relaţiei:

θλ

=Λsin2

(2.23)


în care: este unghiul de incidenţă, iar θ λ reprezintă lungimea de undă a laserului cu Ar. Ţinând seama de relaţia (2.23) rezultă că domeniul de variaţie a perioadei reţelei Bragg este: 244 nm ÷∞ . Procesul de developare a fost monitorizat în timp real cu ajutorul unui program de achiziţie a datelor, LABVIEW (fig. 2. 30). Pentru aceasta s-a utilizat un optimetru care colectează radiaţiile difractate de reţeaua de difracţie din ordinul I.

Fig. 2. 29. Montajul experimental utilizat pentru inscripţia fotorezistului prin metoda interferometrică.

Procesul de monitorizare a developării cuprinde mai multe etape şi trebuie

oprit când puterea radiaţiilor difractate de ordinul I devine constantă. Maximul ascuţit din figura 2. 29 se datorează schimbării automate a scalei optometrului.

Condiţiile experimentale de developare au fost următoarele: puterea laserului: 1 mW, timpul de expunere: 2 min., concentraţia soluţiei: 20% developator şi 80% apă neionizată.

Fig. 2. 30. Monitorizarea procesului de developare cu ajutorul unui program LABVIEW. Dacă puterea radiaţiilor din ordinul I de difracţie începe să scadă substratul a fost developat prea mult, iar dacă aceasta creşte în continuare substratul nu a fost developat suficient. În ambele cazuri calitatea reţelelor obţinute nu este bună.


După developarea fotorezistului în procesul de fabricare a fost măsurată perioada reţelei utilizând un laser cu He-Ne utilizând metoda deviaţiei minime (fig. 2. 31).

Fig. 2. 31. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea perioadei reţelei prin metoda deviaţiei minime.

Perioada reţelei este dată de relaţia:

( )4/sin2/ γλ=Λ (2.24) în care: este unghiul dintre radiaţiile din ordinul I de difracţie, iar λ reprezintă lungimea de undă a laserului cu He-Ne.

γ

Relaţia (2.24) poate fi obţinută din ecuaţia difracţiei ( ) λ=θ−θΛ kid sinsin , Zk∈ (2.25)

în care: reprezintă unghiul de incidenţă al radiaţiilor incidente pe sticlă, iar este unghiul corespunzător fascicului difractat de ordinul I cu condiţia ca să fie

minim ceea ce implică:

iθ dθ

dθ

0dθdθ

=i

d şi 1=k pentru fasciculul difractat de ordinul I.

Ţinând seama de relaţiile (2.23) şi (2.24) a fost făcută calibrarea unghiului corespunzător montajului experimental din figura 2. 28. θ

Ghidul fabricat pe baza procedeului prezentat anterior este monomod pentru radiaţia cu lungimea de undă de 1,5 μm, spectrul fiind prezentat în figura 2. 32.

Fig. 2. 32. Spectrul optic al ghidului cu reţea Bragg.


Lungimea de undă corespunzătoare primului mod este de 1,7 m, iar cea corespunzătoare modului al doilea este de 1,4

μμm> Deci, în domeniul lungimilor

de undă cuprins între 1,4 m şi 1,6 μ μm, des utilizate în telecomunicaţiile optice, propagarea este monomodală. Pentru lungimi de undă situate sub 1,4 m sunt excitate alte două moduri în ghid.

μ

Coeficientul de cuplaj al radiaţiei incidente, pe reţeaua Bragg fabricată în ghidul optic când vectorul de undă este perpendicular pe aceasta (fig. 2. 33) este dat de relaţia [2.18]:

k

( )[ ] ( )22

2222cos1i

nn

nnN

Nks

s

+

−λ

π−= (2.26)

în care: N este ordinul de difracţie, este indicele de refracţie al substratului, iar este indicele de refracţie modulat al reţelei.

snnnn s δ+=

Considerând că relaţia (2.26) poate fi aproximată sub forma: snn <<δ( )[ ] n

NNk δ

λπ−

=cos1i

(2.27)

Fig. 2. 33. Reprezentarea schematică a unui ghid optic de undă cu reţea Bragg. Dacă este satisfăcută condiţia de difracţie Bragg, reflectivitatea maximă a reţelei este dată de relaţia:

( )lkR 2max tgh= , (2.28)

în care: l reprezintă lungimea de interacţiune din reţea. În cazul primului ordin de difracţie, (N =1),

nk δλ

=2

, (2.29)

iar relaţia (2.28) devine:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λδ

= lnR 2tgh2max . (2.30)


Coeficientul de cuplaj (relaţia (2.26)) este maxim dacă este îndeplinită condiţia:

0dd

=Nk

(2.31)

În urma rezolvării ecuaţiei transcedentale (2.30) în cazul ghidului cu reţea Bragg prezentat anterior coeficientul de cuplaj devine maxim dacă N = 0,742, adică în cazul primului ordin de difracţie (N =1).

2.2.9. Fabricarea cristalelor fotonice Conceptul de cristal fotonic a fost introdus în anul 1995 [2.19], iar primele astfel de cristale au fost fabricate în jurul anului 2000, în structuri de tip sandvici Si:SiO2 [2.20]. Cristalele fotonice sunt structuri dielectrice periodice artificiale a căror constantă dielectrică este distribuită spaţial pe baza anumitor simetrii şi au dimensiuni cuprinse între 1 1000 nm. ÷ Pentru a descrie propagarea luminii într-un cristal fotonic se poate face o analogie cu mişcarea electronilor şi golurilor într-un semiconductor, cum ar fi de exemplu Si. Densitatea de stări, ( )ωD ale câmpului de radiaţie dintr-un volum V în vid este dată de relaţia:

( ) 32

2

cVD

π

ω=ω (2.32)

în care: c este viteza luminii în vid. În cazul unui material omogen, în relaţia

(2.32) se înlocuieşte cu cncv = , fiind indicele de refracţie corespunzător

materialului (fig. 2. 34 a). Prin introducerea unui defect într-un material (cristal fotonic) perfect se pot crea stări fotonice localizate caracterizate de forme şi proprietăţi determinate de natura defectului. În anumite condiţii, un defect punctiform poate acţiona ca o microcavitate, unul liniar ca un ghid de undă, iar altul planar ca o oglindă perfectă, putându-se astfel controla proprietăţile luminii. În figura 2. 34 b) este prezentată densitatea de stări în cazul unui cristal fotonic care are o bandă fotonică interzisă şi un mod localizat corespunzător defectului caracterizat de o densitate de stări de tipul funcţiei delta (Dirac).

n

Fig. 2. 34. Reprezentarea schematică a densităţilor de stări ale unui câmp de radiaţie: a) în vid şi b) în cazul unui cristal fotonic.


Proprietăţile optice ale atomilor şi moleculelor depind foarte mult de densitatea de stări, ; de exemplu, emisia unui foton dintr-o stare electronică excitată a unui atom sau molecule este proporţională cu

( )ωD( )ωωD .

Variaţia funcţiei determină modificarea proprietăţilor optice ale atomilor şi moleculelor. Pentru modificarea proprietăţilor optice ale atomilor şi moleculelor se pot utiliza fie microcavităţi optice fie cristale fotonice. Caracteristicile câmpului de radiaţie sunt modificate în cristalele fotonice, iar proprietăţile optice ale atomilor şi moleculelor introduse în cristal sunt alterate.

( )ωD

Cristalele fotonice sunt structuri regulate de materiale distribuite într-un ansamblu cu ordine determinată, având indici de refracţie diferiţi. Acestea pot fi clasificate în trei categorii: structură unidimensională, 1D (dielectrici multistratificaţi), structură bidimensională, 2D şi structură tridimensională, 3D (fig. 2. 35). Astfel, cele două materiale notate cu A şi B alternează, iar perioada spaţială a ansamblului reprezintă constanta reţelei, aceasta fiind analoagă celei corespunzătoare cristalelor ordinare caracterizate de o dispunere regulată de atomi, molecule, ioni etc.

Fig. 2. 35 a)-c). Reprezentarea schematică a cristalelor fotonice cu structură: a) unidimensională (1D), b) bidimensională (2D), şi c) tridimensională (3D).

În cazul cristalelor fotonice cu structură tridimensională (în care procesul

de ghidare are loc după toate cele trei dimensiuni) fabricarea acestora este mai complicată. Propagarea luminii în aceste structuri se bazează pe confinarea bidimensională prin reflexie Bragg distribuită pe cristalul fotonic în planul lateral de propagare al radiaţiei electromagnetice şi pe reflexia internă totală în plan vertical pentru a obţine efectul de ghidare tridimensională.

Diferenţa fundamentală dintre cristalele ordinare şi cele fotonice este

determinată de constanta reţelei, aceasta fiind de câţiva în cazul cristalelor ordinare şi respectiv de ordinul lungimii de undă a undelor electromagnetice care se propagă în cristalul fotonic (de exemplu, este de aproximativ 1 m sau mai puţin în cazul radiaţiilor vizibile şi de aproximativ 1 cm în cazul microundelor).

oA

μ

În cele mai multe cazuri, cristalul fotonic constă dintr-o dispunere periodică de goluri gravate într-un strat de siliciu care este înconjurat de aer în ambele părţi.


Forma circuitului este definită pe un substrat de polimetilmetacrilat (PMMA), iar etapele de fabricare sunt prezentate în figura 2. 36 [2.20].

La începutul procesului de fabricare a cristalului fotonic se face oxidarea stratului de siliciu (fig. 2. 36 a)), apoi are loc atacul cu acid fluorhidric (HF) pentru a defini grosimea substratului de Si (fig. 2. 36 b)). Urmează depunerea unui substrat de PMMA şi apoi litografia cu fascicul de electroni care definesc forma circuitului în PMMA (fig. 2. 36 c)-d)). În final se face gravarea cu fascicul de ioni care este controlată chimic şi apoi atacul cu HF pentru a îndepărta stratul de SiO (fig. 2. 36 e)-f)).

2

Fig. 2. 36. Etapele fabricării unui cristal fotonic: a) oxidarea, b) atacul cu HF, c) depunerea PMMA, d) litografia cu fascicul de electroni, e) gravarea cu

fascicul de ioni, f) atacul cu HF.

Pe baza tehnologiei prezentate anterior au fost obţinute ghiduri cu

lungimea de , drepte sau curbe sub unghiuri cuprinse între şi

. În cazul unei reţele pătrate constanta reţelei cristalului fotonic de mai sus (spaţiul dintre goluri) este

μm 1000 500 ÷ o60o90

nm 500≈a , raza golului, nm200 ≈r , iar grosimea substratului de Si, . nm 280=d

O altă clasă de cristale fotonice care au fost investigate mai ales în ultimii ani cu multiple aplicaţii în optoelectronică o constituie aşa-numitele cristale fotonice de tip lespede (fig. 2. 37).

Fig. 2. 37. Reprezentarea schematică a unui cristal fotonic de tip lespede.


De obicei acest tip de cristale fotonice este fabricat pe un substrat de semicon

re imeri

lizat obţinută prin sca

ungimea de undă de

ductor sau izolator utilizând metoda litografiei cu fascicule de electroni. De asemenea, straturile monomoleculare fabricate din microsfepol ce pot fi considerate cristale fotonice de tip lespede [2.21].

Imaginea unui ghid fabricat într-un cristal fotonic cu feţe po e,nare microscopică cu electroni, este prezentată în figura 2. 38. Circuitele care au la bază cristalele fotonice şi operează la l 1550 nm pot ghida lumina şi prin ghiduri de formă ascuţită având raza de

curbură de ordinul lungimii de undă a radiaţiei luminoase. Utilizarea cristalelor fotonice în fabricarea circuitelor optice integrate permite miniaturizarea acestora până la dimensiuni comparabile cu lungimea de undă a radiaţiilor luminoase şi de asemenea, implantarea pe acelaşi substrat a unui număr de componente optoelectronice care este cu patru până la cinci ordine de mărime mai mare decât cel actual, realizându-se astfel obiectivul opticii integrate.

Fig. 2. 38. Imaginea unui ghid fabricat într-un cristal fotonic cu feţe polizate, obţinută

Efectul de ghidare şi numărul de moduri suportat de ghid se bazează pe

laţia d

prin scanare microscopică cu electroni.

re e dispersie, adică pe structura benzii fotonice. Atât în reţelele pătrate cât şi în cele triunghiulare se pot propaga moduri polarizate TE a căror frecvenţă normalizată este 35,0/ =λa , (λ fiind lungimea de undă a radiaţiei) [2.21]. Introducând în cristalul fotonic o linie de defecte prin eliminarea unei linii de goluri din reţeaua bidimensională se obţine cel mai simplu ghid. Fotonii care au energia în interiorul benzii interzise se pot propaga numai de-a lungul acestei linii de defecte.

2.2.10. Realizarea măştilor

tic se face cu ajutorul măştilor. Realizarea actică

pe suport de sticlă se ilizează

(fig. 2. 39).

Definirea formei ghidului oppr a măştilor poate fi făcută prin mai multe metode. Pentru realizarea unei măşti de crom-nichel ut un dispozitiv de tip ELECTROMASK format dintr-o lampă cu radiaţii UV care iluminează o fantă cu deschidere variabilă în lăţime (W) şi lungime (L). Reglarea dimensiunilor fantei se face prin rotirea acesteia cu un anumit unghi θ

OPTICĂ INTEGRATĂ

50

Imaginea fantei este reprodusă pe stratul de răşină fotosensibilă dispus pe suprafaţa măştii care se află pe o placă de sticlă, iar poziţia acesteia este definită în plan de coordonatele (x,y). În cazul unei măşti la scara 1:10 pentru repetarea

procesului de fotografiere dimensiunile plăcii de sticlă sunt: 12,7× 12,7 cm 2 . Circuitul care urmează a fi reprodus se descompune în dreptunghiuri elementare.

Fig. 2. 39. Reprezentarea schematică a dispozitivului de tip ASK. inie

ig. 2. 40 a)) descompunerea în dreptunghiuri elementare este prezentată în

ELECTROM

În cazul unui circuit simplu format din două ploturi reunite printr-o l(ffigura 2. 40 b).

Fig. 2. 40. a) Reprezentarea schematică a unui circuit optic simplu şi b) descompunerea

acestuia în dreptunghiuri elementare.

Fiecare dreptung ordonatele (x,y)), de lăţ ea (W), lungimea (L) şi respectiv orientarea sa (θ). Datele sunt introduse într-un fişie

întregi. Circuitul este iradiat, după care este developat şi apoi est

hi este definit de poziţia sa (co

imr şi apoi cu ajutorul unor programe este comandată: deplasarea substratului

după axele (x,y), deschiderea fantei cu o anumită lăţime (W), lungime (L) şi o anumită orientare (θ).

Toate datele x, y, L, W trebuie exprimate în zecimi de micron, fiind acceptate numai valori

e gravat cromul.

3. PROPAGAREA UNDELOR LUMINOASE GHIDATE

3.1. Propagarea undelor luminoase prin fibre optice 3.1.1. Caracteristici generale Fibrele optice sunt medii realizate din sticlă sau mase plastice în care se

propagă radiaţiile luminoase, fenomenul de ghidare fiind determinat de profilul transversal al indicelui de refracţie. În general, fibrele optice sunt formate dintr-un miez dielectric transparent, caracterizat de un indice de refracţie , care ghidează radiaţia luminoasă şi un înveliş (cămaşă) ce are indicele de refracţie mai mic decât al miezului (fig. 3. 1).

1n2n

Fig. 3. 1. Propagarea luminii printr-o fibră optică. Raza AA' este rază axială (meridională),

raza BB' este raza critică corespunzătoare reflexiei totale interne, iar raza CC' este radiată în exteriorul fibrei (rază evanescentă).

Pentru şi fenomenul de refracţie la interfaţa

dintre cele două medii este guvernat de legea Snell: cΦ<Φ<0 2/0 , π<Φ<

,21 sinsin Φ=Φ nn (3.1)

unde şi reprezintă unghiurile de incidenţă şi respectiv refracţie. Dacă unghiul de incidenţă este egal cu cel critic

Φ ,Φ( )cΦ=Φ atunci şi 2/, π=Φ

21 sin nn c =Φ (3.2) Pentru valori ale unghiului de incidenţă cΦ>Φ are loc fenomenul de reflexie totală internă fără pierderi la interfaţa dintre cele două medii. Toate razele care sunt incidente la un capăt al fibrei sub un unghi mai mic decât (unghi de acceptanţă), căruia îi corespunde un unghi de refracţie

, se propagă de-a lungul miezului fibrei în urma unor reflexii totale interne repetate pe interfata miez-înveliş.

mαπ 2/ cm Φ−=θ

Pentru a calcula unghiurile mα şi mθ se aplică legea Snell sub forma: Φ=θ=α cossinsin 11 nnna (3.3)


În cazul razelor critice relaţia (3.3) devine: cmma nnn Φ=θ=α cossinsin 11 (3.4)

Întrucât se poate scrie: 12 /sin nnc =Φ

( ) 12/12

221 /cos nnnc −=Φ , (3.5)

iar

( ) am nnn /sin2/12

221 −=α (3.6)

Prin analogie cu termenii utilizaţi pentru caracterizarea concentrării luminii de către obiectivele microscopice şi în cazul fibrelor optice se introduce noţiunea de apertură numerică, (NA), definită cu ajutorul relaţiei:

( ) ( ) ( nnnnnNA ma Δ=−=α= 2sin2/12

221 ) (3.7)

în care: ( )21 nnn −=Δ , iar ( )2121 nnn += .

În cazul utilizării unei surse luminoase caracterizată printr-o difuzie mică,

situată pe axa fibrei la unul dintre capete, numai fracţiunea din radiaţiile emise poate fi colectată şi se propagă de-a lungul fibrei.

mα2sin

Considerând o sursă izotropă (lambertiană) pentru care puterea emisă pe unitatea de unghi solid în direcţia θ normală pe suprafaţă este

( ) θ=θ cos0II , (3.8) puterea totală emisă, , se calculează prin integrarea lui 0Φ ( )θI după toate direcţiile:

( )( )( ) 0

2/

00 sin2cos0 IqdqpqIF π== ∫

π

(3.9)

De la o astfel de sursă, puterea, , colectată de o fibră adiacentă al cărei diametru este mai mare decât cel al sursei este dată de relaţia:

F

( )( )( ) mIqdqpqIFm

απ== ∫α

20

00 sinsin2cos (3.10)

iar

( ) 222

21

2

0/sin am nnn

FF

−=α= (3.11)

Dacă , se obţine: 1=an

( ) ( ) ( 222

21

02 NAnnnn

FF

=Δ=−= ) (3.12)

Deci, pentru a colecta cât mai multă lumină este necesar ca şi respectiv să aibă valori cât mai mari, iar fibra să nu aibă înveliş exterior, în acest caz

manifestându-se fenomenul de reflexie totală.

nnΔ

Propagarea undelor luminoase ghidate 53

În cazul când lumina suferă fenomenul de reflexie internă totală, o perturbaţie electromagnetică (undă evanescentă) nu pătrunde prin interfaţa reflectătoare. Amplitudinea câmpurilor evanescente scade exponenţial cu distanţa de la interfaţă şi în mod normal acestea nu se pot propaga în mediul cu indice de refracţie mai mic. Ca urmare, o parte din puterea undelor se pierde determinând o atenuare mai mare. Orice puls scurt de lumină injectat în fibră este format din raze, dintre care unele se propagă de-a lungul axei fibrei, iar altele se propagă oblic, sub unghiul maxim admis mθ (fig. 3. 1). O rază axială se propagă pe distanţa în timpul

, în timp ce raza oblică străbate aceeaşi distanţă de-a lungul axei fibrei în

timpul , fiind viteza luminii în vid.

lcln /1

cnlnclncln cm 22111 /cos// =Φ=cosθ c

În cazul când două raze sunt injectate împreună în fibră, acestea sunt separate prin timpul de sosire TΔ dat de relaţia:

ncl

nnT Δ=Δ

2

1 (3.13)

în care: l este distanţa de-a lungul axei fibrei (fig 3.1). Un puls luminos care conţine raze incidente pe fibră sub toate unghiurile posibile, datorită propagării se caracterizează printr-o întindere:

cn

nn

lT Δ

=Δ

2

1 (3.14)

numită dispersie temporală multipas. Considerând o fibră caracterizată de un indice de refracţie de tip treaptă ca în figura 3.2 valorile tipice sunt: =1,46, n nΔ =0,02, ( )NA =0,24, unghiul de acceptanţă =14o, fracţiunea din puterea optică care se propagă în fibră este

=0,058, dispersia temporală

mα

( )2NAlTΔ

=68ns/km, produsul dintre lărgimea benzii

şi distanţă este 15 MHz/km, iar produsul dintre rata biţilor transmişi şi distanţă este

de aproximativ 15 Mb× s km. 1− ×

Fig. 3. 2. Fibra optică caracterizată de un indice de refracţie de tip treaptă.


3.1.2. Moduri şi raze în fibre optice caracterizate de un indice de refracţie de tip treaptă

Propagarea luminii în fibrele optice are la bază reflexia internă totală a razelor la interfaţa miez-înveliş [3.1]. Rezolvând ecuaţiile lui Maxwell:

tBE

∂∂

−=r

rrot ,

tDH

∂∂

=r

rrot , (3.15)

0div =Dr

, (3.16) 0div =Br

şi ţinând seama de condiţiile la limită dintre miez şi înveliş este posibilă determinarea intensităţii câmpurilor electric E

r şi magnetic H

r. Întrucât

permitivitatea electrică relativă ( )rrε are o variaţie radială simetrică în cazul fibrelor soluţiile celor două câmpuri pot fi exprimate în coordonate polare cilindrice ( sub forma: )ϕr,

( ) ([ ztr βωiexp,ψψ )]−−ϕ= (3.17) în care: ψ reprezintă fie intensitatea câmpului electric fie cea a câmpului magnetic. Soluţiile trebuie să satisfacă condiţiile la limită, adică să fie finite pe axa fibrei, ( ) ∞≠ϕ0ψ , , şi să se anuleze la infinit, ( ) 0=ϕ∞ψ , . Aceste condiţii determină soluţiile proprii ( )ϕψ ,r , numite şi moduri, fiecare fiind caracterizată de o anumită valoare a constantei de propagare, β corespunzătoare unei pulsaţii . ω Condiţia pentru operarea monomodală se scrie sub forma:

( ) 2122

21

40522 /nn

,a−π

λ< (3.18)

iar lungimea de undă de tăiere este:

( )4052

2212

221,

nna/

t−π

=λ (3.19)

În coordonate cilindrice soluţiile ecuaţiilor lui Maxwell (3.15), (3.16) pentru miezul fibrei şi respectiv înveliş, ţinând seama de discontinuitatea

permitivităţii electrice relative 2nr =ε în ar = pot fi exprimate cu ajutorul funcţiilor Bessel şi Hankel (urJk ) ( )wrKk sub forma:

( ) ϕψ=ψ kurJkz cos1 pentru ar < , (3.20) ( ) ϕψ=ψ kwrKkz cos2 pentru ar > , (3.21)

în care: reprezintă câmpuri electrice sau magnetice constante, este întreg, iar

21Ψ , k

22

1221

2 β−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=β−β=c

nu (3.22)


Pentru valori mari ale lui r , funcţiile Hankel modificate , (cunoscute şi sub numele de funcţii Bessel modificate de speţa a doua) scad exponenţial la zero (fig. 3. 3), astfel încât dacă

( )wrKk

ar > şi wr >>1,

( ) ( )( ) 2/1

exp~wr

wrwrKk−

, (3.23)

adică intensitatea câmpurilor scade exponenţial în înveliş.

Fig. 3. 3. Graficele funcţiilor Hankel . 3210 ,,, K K K K

În relaţia (3.23)

22β−β=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−β= 22

222c

nw , (3.24)

iar

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=βc

n22 (3.25)

reprezintă constanta de propagare pentru undele plane transversal electromagnetice (TEM, în care vectorii câmp electric şi magnetic sunt reciproc perpendiculari pe direcţia de propagare) din învelişul fibrei. Funcţiile Bessel, ( )urJk sunt funcţii oscilatorii de argument , iar amplitudinea acestora scade, aşa cum se poate vedea din figura 3. 4.

( )ur

Fig. 3. 4. Graficele funcţiilor Bessel în cazul unui argument mic. 3210 ,,, J J J J


Câteva valori ale rădăcinilor de ordin corespunzătoare funcţiilor Bessel, , sunt prezentate în tabelul 3. 1.

mkmt

Tabelul 3. 1.

01t =2,405 11t =3,832 21t =5,136

02t =5,520 12t =7,016 22t =8,417

03t =8,654 13t =10,173 23t =11,620 Din cauza condiţiilor la limită, în cazul undelor ghidate trebuie ca şi să fie reale, iar

u w

21

222 β<β<β km (3.26)

De multe ori, este convenabil ca propagarea modurilor undelor în ghiduri de undă cilindrice să fie prezentată cu ajutorul unor parametri numiţi frecvenţă normalizată, V şi respectiv constante de propagare normalizate, , definiţi de relaţiile:

kmb

( ) ( ) ( ) awua=nnc

V/

kmkm// 2122212

221

2122

21 −β−β=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

= (3.27)

( )( )2

221

22

2

2

22

2

222 1

β−β

β−β=−== kmkmkm

kmV

auV

awb (3.28)

Constanta de propagare ia valori cuprinse între 0 şi 1, iar şi

între 0 şi V . kmua ⋅

kmwa ⋅

3.1.3. Soluţii pentru constanta de propagare Egalând valorile lui ( )aEz date de ecuaţiile (3.20) şi (3.21) se obţin

ecuaţiile caracteristice care trebuie satisfăcute de constanta de propagare β :

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ 2221 hkwaguafwaguaf kkkk =Δ−++ ] (3.29) unde:

( ) ( )( ) ( )uaJua

uaJuaf

k

'k

k = (3.30)

( ) ( )( ) ( )waKwa

waKwagk

'k

k = (3.31)

( )( ) ( )44

4

2

22 21

wauaV

Vuah

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ−= (3.32)


( ) ( )21

22

21

21

22

21

22 β

β−β=

−Δ

nnn= (3.33)

Indicii primi se referă la operaţia de derivare în raport cu argumentul,

adică: ( ) ( )( )ua

uaJ=uaJ k'

k dd

, ( ) ( )( )wa

waK=waK k'

k dd

.

În cazul când k =0 ( ruJ mz 001 )ψ=ψ pentru ar < (3.34) ( rwK mz 001 )ψ=ψ pentru ar > (3.35)

Aceste soluţii reprezintă moduri în care forma câmpului are o simetrie radială. Pe baza modelului razelor se poate considera că fiecare din aceste moduri definite de valorile (0, ) corespunde unui set de raze meridionale care au o anumită înclinare faţă de axa fibrei. Există două tipuri de soluţii, cele pentru care

= 0, numite şi moduri transversal magnetice (TM ) şi respectiv moduri

transversal electrice (TE ). În figura 3. 5 a) sunt prezentate formele câmpurilor transversal electrice pentru

m

m0

zH m0

ar < (în miezul fibrei) şi =0, =1, iar în figura 3. 5 b), modul având ordinul cel mai coborât.

k m

Fig. 3. 5. Secţiunile transversale ale modurilor câmpurilor transversal electrice pentru: a) r a< şi k =0, m =1, b) modul având ordinul cel mai coborât.

Când =0, soluţia ecuaţiei (3.29) trebuie să îndeplinească condiţia: k

( ) ( )waguaf 00 −= (3.36) sau

( ) ( ) ( )waguaf 00 21 Δ−−= (3.37) Soluţia (3.36) corespunde modurilor TE, iar (3.37) celor TM. În cazul limită

aceste soluţii devin degenerate, iar funcţiile Bessel se scriu sub forma: 0→Δ


( ) ( )( ) ( )uaJua

uaJuaf

0

10 −= (3.38)

( ) ( )( ) ( )waKwa

waKwag

0

10 −= (3.39)

În figura 3. 6 sunt reprezentate grafic funcţiile ( ) (wa, guaf 00 ))

şi în cazul unei fibre care este caracterizată de un profil de tip

treaptă al indicelui de refracţie când ( ) (wag021 Δ−−

V =3. În cazul când componentele câmpurilor electric şi respectiv magnetic zE şi zH sunt diferite de zero modurile se numesc hibride. Când câmpul axial magnetic ( )z H are o contribuţie mai mare la câmpurile transversale decât câmpul electric ( )z E , modurile se numesc , iar în caz contrar .

kmHE

kmEH Dacă şi atunci şi deci

. În acest caz, condiţia pentru reflexie totală nu mai este îndeplinită şi modul corespunzător este tăiat. La cealaltă extremă

Va, utV mm →→ 00 00 →aw m 00 →mb

ma, u0 →2β→β

mtV 1∞→ şi

, iar 12/2 →⎟⎠⎞ Vam0⎜

⎝⎛− u10 =mb 1β→β .

Fig. 3. 6. Reprezentarea grafică a funcţiilor ( ) ( )waguaf 00 , şi ( ) ( )wag021 Δ−− în cazul când V=3.

Cel de-al doilea parametru care caracterizează un mod, corespunde numărului de maxime ale câmpului în miezul fibrei.

m

Constanta de propagare corespunzătoare unui mod, β ia valori discrete şi acestea sunt date de relaţia:

wu = kmkmkm22

2221

2 β+ = −ββ (3.40)


Dependenţa constantei de propagare ( )ωββ km = determină vitezele de

grup, -

g ddv

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωβ

= , respectiv de fază -

f =v tru fiecare mod valorile

lui kmβ sunt cuprinse între 2

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωβ

. Pen

β corespunzătoare tăierii (cazul undelor TEM în înveliş) şi 1β corespunzătoare frecvenţelor foarte înalte (cazul undelor TEM în miezul fibrei).

Se poate considera că modurile în apropiere de tăiere sunt echivalente razelor oblice corespunzătoare unghiului critic pentru reflexia internă totală. În figura 3. 7 este prezentată dependenţa constantei de propagare de ω în cazul unei fibre confecţionate dintr-un material dispersiv şi care este caracterizată de un profil de tip treaptă al indicelui de refracţie. Aşa cum se poate vedea din figura 3. 7 fenomenul de dispersie are ca efect asupra materialului distorsionarea caracteristicilor de propagare.

Fig. 3. 7. Dependenţa ( )ωββ km = în cazul unei fibre caracterizate de un profil de tip

treaptă al indicelui de refracţie.

3.2. Propagarea luminii în ghidurile optice de undă Dispozitivul care stă la baza opticii integrate este ghidul optic de undă, acesta îndeplinind funcţia de confinare şi ghidare a undelor luminoase.

Ghidul planar de tip lespede (slab) se obţine prin suprapunerea a trei straturi dielectrice astfel încât cel aflat la mijloc are un indice de refracţie ( mai mare decât indicii corespunzători celorlalte două straturi, denumite substrat ( şi respectiv superstrat , după cum acestea sunt situate sub şi respectiv deasupra ghidului optic propriu-zis de lăţime

)

)

2n

1n )( 3n

d ( )3,12 nn > (fig. 3. 8). În funcţie de forma secţiunii transversale se pot fabrica şi alte tipuri de

ghiduri cum ar fi de exemplu cele de tip canal prezentate în figura 3. 9. Ghidurile canal sunt de mai multe feluri, în funcţie de poziţia relativă a

ghidului propriu-zis faţă de substrat şi respectiv superstrat, şi anume: general (fig. 3. 9 a)), îngropat în substrat (buried) (fig. 3. 9 b)), situat la suprafaţa


substratului şi având forma unei panglici (raised strip) (fig. 3. 9 c)), situat la suprafaţa substratului şi având forma unei nervuri (rib) (fig. 3. 9 d)), încastrat în substrat (embedded) (fig. 3. 9 e)), situat la suprafaţa substratului şi având forma unei creste (ridge) (fig. 3. 9 f)). Lumina se propagă în astfel de structuri sub forma unor moduri (configuraţii stabile ale câmpului electromagnetic) caracterizate de constanta de propagare , unde este un număr întreg. mβ m

Fig. 3. 8. Structura unui ghid optic planar de tip lespede.

Fig. 3. 9. Tipuri de ghiduri canal: a) general, b) îngropat în substrat, c) panglică (situat la suprafaţa substratului), d) nervură (situat la suprafaţa substratului), e) încastrat în substrat,

f) creastă (situat la suprafaţa substratului). În optica geometrică un mod corespunde unui fascicul luminos care în

afara propagării prin ghidul optic suferă o serie de reflexii totale la interfeţele 1/2 şi respectiv 2/3 ale ghidului (v. fig. 3. 8). În optica electromagnetică modul ghidat corespunde unui câmp luminos sinusoidal confinat în ghidul optic şi evanescent în cele două medii vecine.


Din punct de vedere al propagării undelor luminoase un mediu infinit având indicele de refracţie este caracterizat de vectorul de undă , definit de

relaţia

ini

kr

iinkk

0

rr= , unde λπ= 2 /0k , λ fiind lungimea de undă a luminii în vid.

În cazul unui ghid planar >2

k mβ ( )31

,Sup kk> . De multe ori

superstratul este chiar aerul, astfel că . 3n1n >>2n

3.2.1. Ecuaţiile Maxwell Propagarea undelor luminoase în ghidurile optice poate fi descrisă în mod riguros cu ajutorul ecuaţiilor lui Maxwell şi aproximativ pe baza noţiunii de rază de lumină introdusă în optica geometrică. În continuare se descrie fenomenul de propagare pe baza ecuaţiilor lui Maxwell, care pentru medii liniare şi neîncărcate se scriu sub forma:

tBE

∂∂

−=r

rrot ,

tDH

∂∂

=r

rrot , 0div =D

r, 0div =B

r (3.41)

în care: Er

reprezintă intensitatea câmpului electric al undei, Hr

intensitatea

câmpului magnetic, Dr

inducţia electrică şi Br

inducţia magnetică. Pentru a elimina inducţiile magnetică şi respectiv electrică din ecuaţiile (3.41) se pot folosi relaţiile de material

HBrr

0μ= , [ ]EDrr

ε= (3.42) în care: reprezintă permeabilitatea magnetică absolută a vidului, iar

este tensorul permitivităţii electrice absolute a mediului. 0μ

]r[ ] [εε=ε 0La interfaţa dintre două medii (fig. 3. 10) câmpurile trebuie să satisfacă

condiţiile la limită: ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=×−=×−=⋅−=⋅−

0 ,0,0 ,0

1212

1212 rrrrrrrr

rrrrrr

nHHnEEnDDnBB

(3.43)

unde este vectorul normal pe interfaţă. nr

Fig. 3. 10. Interfaţa dintre două medii.


3.2.2. Ecuaţia Helmholtz Considerând o undă monocromatică de pulsaţie ω şi constantă de propagare de-a lungul axei β z , faza acesteia se poate scrie sub forma

, iar câmpurile electric zt β−ω=ϕ Er

şi magnetic Hr

devin:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]t-kzx,ytzyxHEtzyxHE ω=ω= Ψ iexptiexp,,, ,,,, ,rrrr

. (3.44) În relaţia (3.44), ( ) ( )yyx ψ=ψ , întrucât structura este invariantă de-a

lungul axei x . Din relaţiile (3.41) şi (3.42) ţinând seama de (3.44) se obţine:

HErr

0iωrot μ−= (3.45)

[ ]EHrr

ε+= iω rot (3.46) unde:

z

y

EEE

Ex

=r

,

z

y

HHH

Hx

=r

(3.47)

Ecuaţiile (3.45), (3.46) pot fi scrise sub formă matricială astfel:

0

00iω00

00iβ0iω0

iβ000iω

iω0000

0iω000iω

00iωiω0

0

0

0

20

20

20

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

μ

−μ

μ

ε−

ε−−

ε−

z

y

x

z

y

x

EEEHHH

dyd

dyd

ndyd

n

ndyd

(3.48)

Întrucât 0=∂∂x

, acest sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute se

împarte în două sisteme independente corespunzătoare celor două polarizări perpendiculare, şi anume: - soluţia TM care conţine componentele: , zyx EEH , , - soluţia TE care conţine componentele: . zyx HHE , , În cele două cazuri, după înlocuiri se obţine ecuaţia de undă Helmholtz sub forma:

02 =Ψ+ΨΔ kT (3.49) în care: este operatorul transversal Laplace, TΔ

[ ]2220

2 )( enynkk −= , (3.50)


xE=Ψ în cazul TE, în cazul TM, iar x

H=Ψ 0

βk

ne = este indicele de

refracţie efectiv al ghidului. Pe baza celor prezentate anterior se pot defini trei tipuri de moduri (fig. 3. 11), şi anume: - modurile substratului ( )13 nnn e << . În acest caz câmpul este oscilant în mediile 1 şi 2 şi evanescent în superstrat. Întrucât se obţine fenomenul de reflexie totală numai la interfaţa 2/3 lumina nu mai este confinată în acest caz (fig. 3. 11 a)) ;

Ψ

- modurile ghidate ( 21 nnn e )<< . Acest caz corespunde soluţiei când câmpul este sinusoidal în ghid şi evanescent în exterior (fig. 3. 11 b)); Ψ - modurile radiante din superstrat ( )3nne < . Câmpul Ψ este oscilant în cele trei straturi şi nu poatre fi deci confinat (nu poate avea loc fenomenul de refracţie (fig. 3. 11 c)).

Fig. 3. 11. Reprezentarea modurilor: a) substratului, b) modurile ghidate, c) modurile radiante din superstrat.

3.2.3. Expresiile câmpurilor modurilor ghidate

Pentru starea de polarizare TE, câmpurile Ψ corespunzătoare modurilor ghidate în cele trei medii se scriu sub forma: a) în ghid : ( )dy >>0

( ) ( ) ( )ykbykaEx 22 iexpiexp 222 ++−= (3.51)

unde 22

202 ennkk −= (3.52) iar

( ) ( )20

2 ωμβ

xy EH −= (3.53)

( ) ( )20

2 iω1

xz EdydH

μ= (3.54)

b) în substrat ( )0<<∞− y :

( ) )(exp 121 ykbEx = (3.55) unde


21

201 nnkk e −= , (3.56)

iar

( ) ( )10

1 ωμβ

xy EH −= (3.57)

( ) ( )10

1 dd

i1

xz Ey

Hωμ

= (3.58)

c) în superstrat ( )+∞<< yd :

( ) ([ dykaEx )]−−= 333 exp (3.59)

unde 23

203 nnkk e −= (3.60)

iar

( ) ( )30

3 ωμβ

xy EH −= (3.61)

( ) ( )30

3 iω1

xz EdydH

μ= (3.62)

În cazul particular al ghidării luminii la interfaţa dielectric ( /metal , posibilă numai în polarizarea TM se obţine:

))

dn( mε

( ) ( )ykdAH dx −= expdielectric (3.63)

unde 22

0 ded nnkk −= (3.64) şi

( ) ( )ymkmx AH expmetal = (3.65)

cu

mem nkk ε−= 20 (3.66)

În acest caz indicele de refracţie efectiv este dat de o expresie de forma:

md

mde nn

ε+εε

= (3.67)

unde mε = ε (metal) < 0. (3.68)

3.2.4. Ecuaţia dispersiei unui mod ghidat

Ecuaţia dispersiei în cazul unui ghid planar se poate obţine cu ajutorul condiţiilor la limită (3.43) scrise în cazul structurii prezentate în figura 3. 11. Astfel, se obţine următorul sistem de ecuaţii:


( ) ( )

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ

∂∂

σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Ψ∂

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ

∂∂

σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Ψ∂

σ

Ψ=ΨΨ=Ψ

==

==

==

==

dydy

yy

dydyd

yy

yy

yy

332

2

022

0

11

3

0201

(3.69)

unde 1321 =σ=σ=σ pentru cazul polarizării TE şi lε

=σ1

l , 3,2,1=l pentru

cazul polarizării TM. Înlocuind câmpul Ψ cu expresia dată în cazul polarizării TE, prezentată anterior, rezultă un sistem de ecuaţii a cărui soluţie netrivială se obţine punând condiţia ca determinantul matricei să fie nul. În final se obţine ecuaţia dispersiei sub forma:

π+⋅+⋅= mkkf

kkfdk

2

323

2

1212 arctgarctg (3.70)

unde

3

223

1

221 ,

σσ

=σσ

= ff (3.71)

Rezolvarea ecuaţiei dispersiei se poate face numai numeric sau grafic prin metodele clasice de aflare a zerourilor. Indicii efectivi corespunzători unei structuri date constituie un ansamblu discret de valori determinaţi de parametrul m . Plecând de la ecuaţia dispersiei se pot defini: a) lungimea de undă de tăiere pentru un mod de ordinul : m

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅+π

−π=λ

21

22

23

21

23

21

22

cm

arctg

2

nnnnfm

nnd (3.72)

Dacă şi rezultă că 0=m 31 nn = (cm)λ tinde la infinit, acesta fiind cazul

unui ghid simetric ; b) grosimea efectivă a ghidului, corespunzătoare adâncimii de pătrundere a câmpului în substrat şi respectiv în superstrat:

31 δ+δ+= ddc (3.73) unde

21

21nne −π

λ=δ (3.74)

şi


23

23nne −π

λ=δ (3.75)

3.2.5. Metoda indicilor efectivi

Pentru determinarea distribuţiei modale a câmpului electromagnetic trebuie cunoscut profilul indicelui de refracţie. În general rezolvarea ecuaţiei de propagare se face utilizând metode numerice. Există însă cazuri particulare când cunoaşterea profilului indicelui de refracţie permite obţinerea unor soluţii analitice ale ecuaţiei de propagare [3.1]-[3.4]. Astfel, dacă profilul indicelui de refracţie este de tip parabolic soluţia ecuaţiei de propagare este dată de un produs al polinoamelor Hermite şi o funcţie de tip Gauss, iar dacă profilul este de formă exponenţială câmpul este un produs dintre o funcţie Bessel de ordinul p şi o exponenţială de ordinul întâi. Una dintre metodele cel mai des utilizate pentru rezolvarea ecuaţiei Helmholtz (3.49) în cazul unui ghid optic de undă de tip canal de formă rectangulară cu salt de indice prezentat schematic în figura 3. 12 este metoda indicilor efectivi care permite determinarea constantelor de propagare şi a configuraţiei modurilor [3.4].

Formalismul matematic în cazul general. Pentru determinarea distribuţiei modale a câmpului electric ( )yxE , din ecuaţia Helmholtz:

[ ] 0),( 2220 =−+Δ EnyxnkE eT (3.76)

acesta se scrie ca un produs de forma: ( ) ( ) ( )yxExEyxE ,, 21= (3.77)

Fig. 3. 12. Secţiune printr-un ghid optic de undă de tip canal de formă rectangulară cu salt de indice.


În urma înlocuirii relaţiei (3.77) în ecuaţia (3.76) se obţine:

( )[ ] 0,dd

2dd

21222

022

2

22

21

1221

22 =−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+ EEnyxnkyE

xEE

xE

xE

xEE e . (3.78)

Pentru rezolvarea ecuaţiei (3.78) se consideră că variaţia câmpului în raport cu variabila x este lentă, deci variaţiile rapide ale câmpului total

în x sunt conţinute numai în expresia lui

( yxE ,2 )( )xE1 . În aceste condiţii termenii

xE∂

∂ 2 şi

22

2

xE

∂

∂ se pot neglija, iar ecuaţia (3.78) devine:

( )[ ] 0,dd

21222

022

212

12

2 =−+∂

∂+ EEnyxnk

yEE

xEE e . (3.79)

Considerând un profil al indicelui efectiv ( )xne astfel încât:

( )[ ] 0, 2222

022

2=−+

∂

∂ EnyxnkyE

e (3.80)

câmpul verifică ecuaţia: ( )xE1

( )[ ] 0d

d1

22202

12

=−+ EnxnkxE

ee . (3.81)

Definit în acest mod, ( )ie xn)y

reprezintă indicele efectiv al unui ghid ale cărui profil de indice şi respectiv ecuaţie de undă (3.80) sunt fixe în fiecare punct . Rezolvarea ecuaţiei (3.80) pentru fiecare valoare a lui

(xn i ,

ixx = x

permite determinarea profilului indicelui ( )xne şi apoi cu ajutorul acestuia se poate trece la rezolvarea ecuaţiei (3.81). Astfel, în cazul ghidurilor planare se poate înlocui ecuaţia diferenţială de propagare bidimensională, a cărui rezolvare este mai dificilă, cu două ecuaţii diferenţiale liniare care se pot rezolva mai simplu.

Ghid optic de formă dreptunghiulară cu salt de indice. În acest caz se poate neglija acţiunea zonelor 6, 7, 8 şi 9 asupra formei câmpului electromagnetic care oscilează în zona având indicele de valoare mare şi este evanescent în celelalte zone. Cu această ipoteză structura din figura 3.12 a) poate fi înlocuită cu cea din figura 3. 12 b), care, la rândul său, poate fi descompusă în două substructuri de forma celor prezentate în fig. 3. 12 c). Substructurii din partea stângă a figurii 3. 12 c) i se asociază ecuaţia (3.80) cu ( ) 1ee nxn = pentru orice x fixat, iar celei din partea dreaptă i se asociază ecuaţia (3.81) cu ( ) 1ee nxn = calculat precedent. În cazul substructurii din partea stânga (fig. 3. 12 c)) ecuaţia de dispersie se scrie sub forma:


π+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= m

kk

kkbk

1

4

1

21 arctgarctg (3.82)

pentru modurile a căror direcţie de polarizare este paralelă cu axa x şi

π+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= m

kk

nn

kk

nnbk

1

421

24

1

221

22

1 arctgarctg (3.83)

pentru modurile polarizate paralel cu axa . y Pentru substructura din dreapta fig. 3.12c ecuaţia de dispersie este:

π+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= n

kk

nn

kk

nnak

eeeee

1

521

25

1

321

23

1 arctgarctg (3.84)

pentru modurile care sunt polarizate paralel cu axa x şi ( ) ( ) πnkkkkak eee ++= 15131 /arctg/arctg (3.85)

pentru cele polarizate paralel cu axa . În relaţiile (3.84), (3.85): y

[ ]21

22101 eee nnkk −= (3.86)

În cazul câmpurilor , care se propagă într-un ghid de formă pătratică cu latura 2 curbele de dispersie sunt prezentate în figura 3. 13 [3.4].

yxyx EEEE 12121111 ,,,a

Pentru frecvenţe situate în apropierea celor de tăiere rezultatele obţinute prin metoda indicilor efectivi diferă foarte mult de cele obţinute prin metode numerice.În funcţie de forma secţiunii transversale a ghidurilor şi de poziţia acestora faţă de substrat se utilizează şi alte metode de rezolvare a ecuaţiei undelor [3.4].

Fig. 3. 13. Curbele de dispersie pentru câmpurile dintr-un ghid optic de undă având formă pătratică cu latura 2a.

E Ex y

11 11, E Ex y

12 12,

3.2.6. Metoda propagării fasciculului În cazul general metoda propagării fasciculului, Beam Propagation Method-BPM este o metodă de simulare pas cu pas a propagării luminii printr-un ghid optic de undă pe distanţe mult mai mari decât lungimea de undă. Pe baza


aceastei metode (introdusă la începutul anilor 1970) se poate obţine o soluţie numerică a ecuaţiei Helmholtz (3.49). Metoda BPM permite simularea numerică simultană a distribuţiei câmpului undelor luminoase precum şi a undelor ghidate atât în fibre optice cât şi în ghiduri optice de undă.

Există mai multe variante ale metodei BPM: metoda transformatei Fourier rapidă (fast Fourier transform-FFT-BPM), metoda diferenţelor finite (finite difference-FD-BPM) şi metoda elementului finit (finite element-FE-BPM). considerând că modurile evanescente scad foarte rapid cu distanţa de propagare,

, (planul fiind perpendicular pe direcţia de propagare, ), iar pentru intensitatea câmpului o soluţie de formă armonică [3.8], [3.9]: z xOy z

( ) ( ) ( )tzyxtzyxE ω−ψ= iexp,,,,, . (3.87)

Dependenţa spaţială a câmpului în oricare din cele două polarizări TE sau TM este dată de relaţia:

( ) ( ) ( )ynkyxAyx e0iexp,, −=ψ (3.88)

în care: amplitudinea este lent variabilă putându-se considera că ( yxA , )( ) 0,

2

2=

∂

∂

yyxA

.

Precizia metodei BPM poate fi îmbunătăţită ţinând seama de conservarea energiei. Introducând soluţia (3.88) în ecuaţia Helmholtz (3.49), rezultă:

( ) ( ) ( )z

yxAnikyxAnnkx

ee ∂∂

±=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

∂

∂ ,2, 0222

02

2. (3.89)

Ecuaţia (3.89) este în continuare discretizată utilizând diferite metode (cum ar fi de exemplu algoritmul Crank-Nicholson în care câmpul care se propagă nu este divergent pe distanţa de propagare a fasciculului [3.8]), iar în final în urma mai multor iteraţii se poate evalua evoluţia câmpului de-a lungul direcţiei de propagare atât în cazul bidimensional (2D) cât şi în cel tridimensional (3D). În cazul unui ghid optic de undă caracterizat de un indice de refracţie 3,30, cel al învelişului fiind 3,27, profilul acestuia de-a lungul direcţiei de propagare este prezentat în figura 3. 14.

Fig. 3. 14. Profilul indicelui de refracţie.

OPTICĂ INTEGRATĂ

70

În figura 3. 15 este prezentată o secţiune prin profilul intensităţii amplitudinii câmpului electric, ( )yxA , calculat pe baza metodei FFT-BPM la distanţa de 0, 5 cm faţă de intrarea în ghid în cazul unei radiaţii având lungimea de undă 1,53 m (cazul bidimensional). μ

Fig. 3. 15. Secţiune prin profilul intensităţii amplitudinii câmpului electric. Simularea propagării câmpului electric în ghidul descris anterior pe baza metodei FFT-BPM este prezentată în figura 3. 16.

Fig. 3. 16. Evoluţia intensităţii amplitudinii câmpului electric.

Metodele amintite pot fi utilizate la proiectarea mai multor circuite optoelectronice integrate.

4. FENOMENE DE ATENUARE, ÎMPRĂŞTIERE ŞI DISPERSIE A UNDELOR LUMINOASE GHIDATE

4.1. Atenuarea 4.1.1. Mecanisme de atenuare Viteza de transmitere a undelor electromagnetice prin materiale

transparente este influenţată de interacţiunea acestor unde cu atomii materialului. Componenta electrică a câmpului undelor luminoase produce polarizarea atomilor materialului prin care se propagă astfel încât aceştia sau configuraţiile electronice corespunzătoare oscilează cu frecvenţa undei. Proprietăţile optice ale mediului prin care se propagă undele sunt determinate de indicele de refracţie care este o mărime complexă. Partea imaginară a indicelui de refracţie a unui mediu dispersiv variază cu frecvenţa şi determină atenuarea undelor electromagnetice.

Pe baza modelului clasic sarcina care oscilează radiază noi unde având aceeaşi frecvenţă cu cele originale astfel că în urma interacţiunii dintre acestea rezultă o deplasare netă a fazei care creşte cu distanţa de propagare. Ca urmare, unda călătoreşte cu o viteză de fază mai mică. Interacţiunea dintre unde şi atomi poate fi caracterizată printr-o serie de rezonanţe armonice (atomice, electronice etc.) care prezintă pierderi [4.1]-[4.7]. În cazul frecvenţelor situate deasupra celor de rezonanţă mişcarea sarcinilor electrice sau atomilor nu mai poate urmări oscilaţiile câmpului electric, rezultând o reducere a polarizării şi respectiv a indicelui de refracţie sub valorile corespunzătoare frecvenţelor situate sub cea de rezonanţă. O consecinţă a acestui fapt este lărgirea pulsurilor scurte de lumină pe măsură ce se propagă în mediu. Lărgirea este proporţională cu domeniul frecvenţelor optice pe care se întinde pulsul şi reprezintă unul dintre factorii importanţi care limitează lărgimea benzii semnalului transmis. Mecanismele de atenuare se pot clasifica în două mari grupe: a) atenuarea (absorbţia) este o proprietate de bază a unui material şi constă în apariţia unor procese de relaxare neradiativă care au loc în urma unor tranziţii electronice rezonante, acestea determinând creşterea energiei termice a materialului; b) împrăştierea poate fi considerată parţial, ca o proprietate a materialului şi este determinată de imperfecţiunile acestuia. Acest fenomen constă în emisia unei părţi din energia luminoasă în exteriorul fibrei şi determină schimbări în propagarea modurilor luminoase. În acest caz nu există conversia energiei radiante în alte forme de energie.

În ambele cazuri, puterea pierdută de un puls optic având energia E , care se propagă de-a lungul axei a fibrei pe distanţa z zδ este proporţională atât cu E cât şi cu . Astfel, zδ

( ) zEδzzE/ δα=− dd (4.1) unde reprezintă coeficientul de atenuare. Când α α nu depinde de , energia scade exponenţial cu distanţa:

z

( ) ( ) ( )zEzE α−= exp0 , (4.2) ( )0E fiind energia la intrarea în fibră.


Rezonanţele electronice şi atomice care determină proprietăţile dispersive ale materialului dielectric pot genera şi fenomenul de absorbţie în vecinătatea frecvenţelor de rezonanţă. În cazul fibrelor optice rezonanţele din domeniul ultraviolet al spectrului sunt asociate configuraţiilor electronice, iar cele din domeniul infraroşu vibraţiilor reţelei. Deşi aceste frecvenţe de rezonanţă sunt situate destul de departe faţă de frecvenţele din domeniul optic care sunt utilizate în comunicaţii, absorbţia pe care o produc este foarte puternică; extensii ale acestor benzi de absorbţie pot apărea chiar în domeniul utilizat. În general, absorbţia corespunzătoare marginii benzii variază exponenţial cu energia fotonului. Astfel, în domeniul ultraviolet al spectrului coeficientul de absorbţie,

, asociat marginii benzii de absorbţie poate fi exprimat sub forma legii

Urbach: uvα

( ) ( )uv/expuvuvexpuvuv λλ==α AE/EA (4.3)

unde şi sunt constante. uv ,uv EA uvλ

Analog, în domeniul infraroşu coeficientul de absorbţie, irα , asociat

marginii benzii de absorbţie poate fi exprimat sub forma: ( ) ( )ir/expirirexpirir λλ==α AE/EA (4.4)

în care: ,irA ,irE şi irλ sunt de asemenea constante. În domeniul infraroşu,

peste marginea benzii de absorbţie se suprapun maximele asociate armonicilor frecvenţelor fundamentalei. În cazul fibrelor fabricate din silice atenuarea produsă de absorbţia la marginea benzii este semnificativă în infraroşu la lungimi de undă mai mari de 1,5 m. Această margine de bandă este asociată cu vibraţiile de întindere ale legăturilor de oxigen. Astfel, pentru Si-O frecvenţa de rezonanţă este situată la 0,9 m, pentru Ge-O la 11 μm, pentru P-O la 8 μm, pentru B-O la 7,3 m etc [4.1]. Luând în considerare fenomenul de absorbţie, în cazul utilizării pentru comunicaţii a radiaţiilor cu lungimea de undă de 1,5 μm impurificarea fibrei cu germaniu este cea mai favorabilă datorită lungimii de undă mari asociată vibraţiilor de întindere ale compusului Ge-O.

μ

μ μ

Absorbţia la marginea benzii este un fenomen inerent în materialele din care sunt fabricate fibrele optice. În figura 4. 1 este prezentată dependenţa atenuării de lungimea de undă în cazul câtorva compuşi mai importanţi, cum ar fi SiO , GeO , B O 3 , P ,O . Absorbţia mai poate fi datorată şi ionilor hidroxil [4.1].

2

2 2 2 5

Sticlele care au la bază silicaţi prezintă o serie de proprietăţi fizice şi chimice care le conferă numeroase avantaje în comparaţie cu alte medii dielectrice care ar putea fi utilizate în ghidarea undelor luminoase, mai ales în domeniul infraroşu al spectrului. Astfel, acestea sunt solide, tehnologia lor de fabricaţie se îmbunătăţeşte de mai bine de 2000 de ani, pot fi uşor prelucrate sub formă de fibre, sunt inerte şi nu sunt toxice. Cercetările recente în domeniul fibrelor optice au ca scop obţinerea unor noi materiale care să aibă o transparenţă mai bună decât sticla. Pentru aceasta

Fenomene de atenuare, împrăştiere şi dispersie a undelor luminoase ghidate 73 trebuie ca pierderile prin împrăştiere Rayleigh să fie comparabile cu cele din sticlă la orice lungime de undă, iar absorbţia la marginea benzii să nu fie deplasată spre lungimi de undă mari. În aceste cazuri, fenomenele de rezonanţă trebuie să aibă loc la frecvenţe coborâte, acest fapt implicând materiale cu mase atomice mai mari şi legături chimice mai slabe.

Fig. 4. 1. Dependenţa atenuării de lungimea de undă în cazul fibrelor din: SiO , GeO , B ,O , P O . 2 2 2 3 2 5

Există mai multe materiale transparente care ar putea fi folosite pentru

obţinerea de fibre optice care să fie transparente din domeniul ultraviolet până în cel infraroşu mediu al spectrului, cum ar fi de exemplu: GeO , BeF 2 , ZnCl , ZrF . Pot fi utilizate şi materiale monocristaline sau policristaline care au la bază metale uşoare sau cloruri ale metalelor alcaline (KCl, AgBr, CsBr, CsI).

2 2

4

Pentru telecomunicaţii se mai utilizează sticlele care au la bază fluoruri: fluorura de zirconiu, bariu, lantan şi aluminiu (ZBLA) sau: fluorura de zirconiu, bariu, lantan, aluminiu şi sodiu (ZBLAN) [4.1]. Pentru comunicaţii pe distanţă scurtă (câteva sute de metri) caracterizate printr-o rată scăzută de transmisie (câţiva Mb/s) se pot utiliza fibre confecţionate din plastic, acestea având un preţ de fabricaţie scăzut şi proprietăţi mecanice remarcabile. În cele mai multe cazuri fibrele din plastic au miezul din polimetilmetacrilat (PMMA sau Perspex) cu indicele de refracţie de 1,49 sau polistiren (PS) care are un indice de refracţie de 1,59. Mai recent s-au confecţionat fibre şi din policarbonat (PC) care prezintă proprietăţi termice mai bune [4.1].

Dezavantajele folosirii fibrelor din plastic în comunicaţii sunt determinate de atenuarea mare a acestora precum şi de variaţia proprietăţilor materialului cu temperatura, existând în acest caz o limită superioară de lucru situată în jurul valorii de 100 C. Atenuarea ridicată a fibrelor din plastic este datorată atât absorbţiei cât şi împrăştierii.

o


Există benzi de absorbţie puternice care sunt asociate cu vibraţiile de întindere ale diferitelor tipuri de legături C-H din material. Astfel, în cazul PMMA rezonanţele armonice sunt centrate în jurul lungimilor de undă care au următoarele valori: 740 nm (cinci), 624 nm (şase), 546 nm (şapte).

Din figura 4. 2 în care este prezentată dependenţa atenuării de lungimea de undă în cazul câtorva compuşi mai importanţi, cum ar fi PMMA, PS şi PC se pot determina lungimile de undă corespunzătoare atenuării minime.

Fig. 4. 2. Dependenţa atenuării de lungimea de undă în cazul fibrelor din: PMMA, PS şi PC.

Prin substituirea hidrogenului cu deuteriu se obţine o deplasare spre lungimi de undă mari a benzilor de absorbţie precum şi o reducere a nivelului acesteia [4.1]. Astfel, în cazul fibrei din PMMA deuterate s-a obţinut o atenuare de 20 dB/km la 650-680 nm (fig. 4.3).

Fig. 4. 3. Dependenţa atenuării de lungimea de undă în cazul fibrelor din PMMA şi PMMA deuterată.

4.1.2. Atenuarea, durata pulsului şi banda spectrală Energia totală care caracterizează un puls se obţine prin integrarea

puterii optice ε

( )tΦ ce trece printr-un anumit punct P al fibrei optice (fig. 4. 4):

( )∫Φ=ε+∞

∞−tt d (4.5)

Fenomene de atenuare, împrăştiere şi dispersie a undelor luminoase ghidate 75

Considerând că emiţătorul E injectează în fibră puterea optică având energia

( )tEΦ

Eε , iar la receptorul R soseşte pulsul ( )tRΦ cu energia ,

atenuarea (exprimată în dB) este dată de relaţia:

Rε

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εεlog10=α

R

EdB .

Fig. 4. 4. Puterea pulsului optic într-un punct P.

Pentru a defini dispersia se consideră că în fibră se injectează un semnal de forma funcţiei delta, δ (impuls), iar la receptor soseşte pulsul ( )tRΦ (fig. 4. 5), răspunsul fibrei la impuls fiind:

( ) ( ) RR tth εΦ= / (4.6)

Fig. 4. 5. Răspunsul fibrei la impuls.

Răspunsul fibrei la impuls poate fi caracterizat de durata totală a pulsului, TΔ , sau de durata la jumătate din înălţime, τ (fig. 4. 6).

Timpul de sosire a impulsului la receptor este:

( )∫ Φε

=+∞

∞−tttt d1

(4.7)

Durata pulsului la jumătate din înălţime este o măsură a rădăcinii medii pătratice a duratei pulsului care este definită cu ajutorul relaţiei: σ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 d1d1 tttttttt −∫ Φε

=∫ Φ−ε

=σ+∞

∞−

+∞

∞− (4.8)


Considerând că atât sursa cât şi detectorul se caracterizează printr-o funcţionare liniară, se poate utiliza transformata Fourier pentru a converti răspunsul la impuls al sistemului din domeniul temporal ( )th într-unul echivalent în frecvenţă:

( ) ( ) ( )∫ π−=+∞

∞−tftithfH d2exp (4.9)

Fig. 4. 6. Răspunsul fibrei la impuls în domeniul temporal.

În general, funcţia ( )fH este o funcţie complexă care reprezintă variaţia cu frecvenţa atât a amplitudinii cât şi a fazei. Lărgimea benzii unui sistem liniar (banda spectrală) corespunde domeniului de frecvenţe în care ( )fH depăşeşte 2/1 din valoarea sa maximă, adică domeniul frecvenţelor unui semnal în limitele unei atenuări de cel mult 3 dB sau diferenţa dintre frecvenţele la care puterea este jumătate din valoarea maximă (de vârf). Această definiţie corespunde lărgimii benzii electrice a sistemului

. ( )elfΔÎn cazul unei fibre optice banda spectrală ( )optfΔ se defineşte ca fiind

intervalul de frecvenţe în care ( )tH depăşeşte 1/2 din valoarea sa maximă (fig. 4. 7). Între mărimile introduse anterior există următoarele relaţii:

( ) ( )T

BffΔ

≈τ

≈σ

=≈Δ≈Δ1

21

412 elopt (4.10)

Fig. 4. 7. Curba răspunsului în frecvenţă şi definiţia benzii spectrale optice şi respectiv electrice.


4.2. Împrăştierea 4.2.1. Împrăştierea elastică Prin natura sa, sticla prezintă o structură dezordonată caracterizată prin

variaţii macroscopice ale densităţii în jurul valorii medii precum şi prin variaţii locale microscopice în compoziţie. Fiecare dintre acestea dau naştere la fluctuaţii ale indicelui de refracţie, care la rândul său, determină fenomenul de împrăştiere a luminii, cunoscut şi sub numele de împrăştierea Rayleigh. Pierderile sunt cu atât mai mari cu cât numărul de componente din sticlă este mai mare din cauza variaţiei compoziţiei. Astfel, intensitatea undelor luminoase scade cu distanţa de propagare prin mediu (fibră), o parte dintre acestea pierzându-se.

Pierderile cauzate prin aceste mecanisme pot fi reduse prin răcirea controlată a topiturii din care se trage apoi fibra. În cazul fibrelor care au la bază silicaţi pierderile prin împrăştiere Rayleigh corespunzătoare lungimilor de undă de mai mici de 1,5 m sunt mai mari decât cele determinate de fenomenul de absorbţie în ultraviolet. Astfel, pentru lungimea de undă de 1

μμm atenuarea

datorită împrăştierii Rayleigh în sticle care au un conţinut mare de silicaţi este de aproximativ 1 dB/km. Prin dopare cu germaniu se constată o creştere a pierderilor în timp ce prin dopare cu pentoxid de fosfor se produce o micşorare a acestora. În general, coeficientul de pierderi prin împrăştiere Rayleigh, , variază invers proporţional cu puterea a patra a lungimii de undă, după legea:

Rα

4RR

−λ=α A (4.11) unde RA este o constantă de material. Pierderi importante se produc şi prin curbarea fibrelor din cauza împrăştierii şi transformării razelor ghidate în raze care sunt apoi radiate în exterior la interfaţa miez-înveliş. Puterea optică împrăştiată în exteriorul unei fibre datorită curburii acesteia depinde exponenţial de raza curbei, R , fiind deci proporţională

cu ( )cR/Rexp , unde reprezintă raza critică,

apertura numerică, este variaţia indicelui de refracţie, iar a este raza miezului fibrei (fig. 4. 8).

( ) ( nnaNAaRc Δ=≅ 2// 2 ) NA

nΔ

Fig. 4. 8. Reprezentarea schematică a unei fibre curbe. Dacă razele fibrelor curbate sunt comparabile cu raza critică pierderile devin considerabile.


În cazul unor fibre multimodale proprietăţile mecanice ale fibrei determină pierderi mai mari decât cele cauzate de raza de curbură. Astfel, dacă fibra este curbată în aşa fel încât tensiunea de la suprafaţa acesteia

( )δθ

δθ−δθ+=

RRbR

Rb

, (4.12)

(care este egală cu cea de pe suprafaţa interioară) creşte cu 0,2%, considerând că raza miezului este , diametrul învelişului μm 252 =a m 252 μ=b , =0,24,

raza de curbură trebuie să fie mai mare decât valoarea

NA

002,0b

=500 , adică b

>R 31 mm. Pe de altă parte, în acest caz raza critică ( )/ NAa 2Rc ≅ are valoarea =0,43 mm. Acest tip de pierderi poate fi diminuat de exemplu prin introducerea

fibrei într-un cablu rigid. cR

De asemenea, o succesiune continuă de curbe foarte mici (microcurbe) poate determina creşterea pierderilor în fibră. Printr-un bun control al procesului de fabricaţie a fibrelor precum şi printr-o bună proiectare a cablurilor care le protejează aceste tipuri de pierderi pot fi menţinute la un nivel scăzut de sub 0,1 dB/km. Pe baza celor prezentate anterior coeficientul de atenuare poate fi scris ca o sumă de cinci termeni de forma:

( ) ( ) mgcgc4

Ririruvuv /exp/exp AAAAA ++λ+λλ+λλ=α − (4.13)

în care primii doi termeni corespund absorbţiei la marginile benzilor din ultraviolet şi respectiv infraroşu, termenul al treilea este datorat împrăştierii Rayleigh, iar ultimii doi, , sunt determinaţi de curbarea şi respectiv microcurbarea fibrelor. Primii trei termeni pot fi priviţi ca fiind pierderi intrinseci de material, iar ultimii doi corespund unor pierderi extrinseci şi pot fi în principiu eliminaţi.

mgcgc , AA

În cazul fibrelor fabricate din silicaţi pierderile sunt de 0,16 dB/km la 1,6 m, 0,3 dB/km la 1,3 μm şi 2 dB/km la 0,85 μ μm.

4.2.2. Împrăştierea neelastică În fibrele optice, pe lângă procesele de împrăştiere elastică, mai au loc şi

fenomene de împrăştiere neelastică şi neliniară atunci când puterea radiaţiei excitatoare are valori ridicate, acestea din urmă putând introduce limitări serioase în procesul de operare. Cu toate acestea, în anumite condiţii pot fi exploatate benefic în procesul de amplificare optică. Fenomenele de împrăştiere neelastică implică interacţiunea fotonilor incidenţi cu vibraţiile atomilor reţelei materialului din care este confecţionată fibra (fononii acustici şi respectiv optici). Împrăştierea undelor electromagnetice care implică fononi acustici este cunoscută şi sub numele de împrăştierea Brillouin, iar cea care implică fononi optici, împrăştiere Raman. În general, energia este transferată de la undele electromagnetice undelor mecanice, dar poate avea loc şi procesul invers. În primul caz, fotonii pierd energie în procesul de împrăştiere, şi

Fenomene de atenuare, împrăştiere şi dispersie a undelor luminoase ghidate 79 lungimea lor de undă creşte, iar în cel de-al doilea lumina împrăştiată are lungimea de undă mai mică decât cea incidentă. Radiaţiile împrăştiate în cele două cazuri mai poartă şi denumirea de radiaţii Stokes şi respectiv anti-Stokes.

În figura 4. 9 este prezentat spectrul luminii împrăştiate Raman la 300 K în cazul unei sticle fabricate din silicaţi.

Fig. 4. 9. Spectrul luminii împrăştiate Raman în cazul unei sticle fabricate din silicaţi la 300 K.

Ultimul maxim din partea dreaptă a spectrului situat la 3,3 Hz (λ =9 m) corespunde unei rezonanţe determinate de vibraţia la întindere a grupului Si-O. În cazul împrăştierii Brillouin, frecvenţa luminii împrăştiate depinde de unghiul de împrăştiere. Deplasarea frecvenţei este maximă în direcţia undelor regresive şi zero în direcţia undelor progresive. În cazul radiaţiilor împrăştiate în direcţia regresivă care interesează în mod deosebit în cazul unei fibre, deplasarea maximă a frecvenţei este de aproximativ 10 GHz, şi o lărgime a liniei împrăştiate de 30 MHz la temperatura camerei.

1510×μ

Pentru puteri optice mici coeficienţii care caracterizează împrăştierea neelastică sunt relativ mici şi se adaugă pierderilor prin împrăştiere elastică sau Rayleigh, determinând atenuarea totală a fibrei. În cazul când se utilizează puteri optice mari atât împrăştierea Raman cât şi Brillouin pot fi stimulate la frecvenţe Stokes, conducând la o creştere a intensităţii luminii împrăştiate; aceste fenomene sunt cunoscute sub numele de împrăştiere Brillouin stimulată şi respectiv împrăştiere Raman stimulată. Aceasta înseamnă că lumina având frecvenţa egală cu cea deplasată prin împrăştiere îşi măreşte intensitatea determinând în acelaşi şi o creştere a intensităţii luminii incidente. Într-o fibră împrăştierea Raman stimulată determină o amplificare a luminii la frecvenţe egale cu cele deplasate atât în direcţie progresivă cât şi regresivă, în timp ce împrăştierea Brillouin stimulată determină această amplificare numai în direcţie regresivă. În figura 4. 10 sunt prezentate schematic câteva configuraţii experimentale ce pot fi utilizate în procesul de amplificare optică a unui semnal într-o fibră care este excitată cu o radiaţie de pompaj, ce stimulează procesele de împrăştiere Raman şi respectiv Brillouin.


Lărgimea benzii în care se poate obţine câştigul corespunde spectrului de împrăştiere (fig. 4. 9). În cazul împrăştierii Raman stimulată maximul curbei câştigului este situat la o trecvenţă cu 13 000 GHz mai joasă decât cea corespunzătoare radiaţiei de pompaj, lărgimea spectrală a câştigului fiind mai mare de 6 000 GHz.

Fig. 4. 10. Configuraţii experimentale utilizate în procesul de amplificare optică în care se utilizează: a) împrăştierea stimulată Raman progresivă, b) împrăştierea stimulată Raman

regresivă sau împrăştierea stimulată Brillouin, c) o fibră amplificatoare dopată cu Er , d) o fibră amplificatoare dopată +3

cu Er cu pompaj contradirecţional. +3

La 1500 nm, câştigul poate fi obţinut într-o bandă de 50 nm, maximul

apărând în cazul când lungimea de undă a radiaţiei de pompaj este mai mică cu aproximativ 100 nm faţa de cea corespunzătoare semnalului. La orice lungime de undă, creşterea puterii pe unitatea de lungime este proporţională cu intensitatea spectrală a radiaţiei incidente corespunzătoare lungimii de undă care este mai mică decât cea rezultată prin deplasarea Stokes.

În general, pentru a calcula exact câştigul trebuie făcută o convoluţie a spectrului puterii radiaţiei de pompaj şi a celui corespunzător radiaţiei împrăştiate. Considerând că puterea optică la distanţa în fibră este , iar densitatea puterii optice corespunzătoare este

z ( )zΦ( )zP , şi ţinând seama de fenomenele

de atenuare se poate scrie că: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zzPzzzP

zz

ssppsssps Φ−−γ=Φ−Φγ=

Φ ααexp0α)(d

d (4.14)

unde şi pα sα reprezintă coeficienţii de atenuare corespunzători radiaţiilor de pompaj p , respectiv semnal , iar s γ este coeficientul de câştig Raman. În silicaţi,

valoarea maximă a coeficientului este de aproximativ 10 [m (W/m 2 ) ]. γ 13− 1− 1−


Prin integrarea ecuaţiei (4.14), se obţine:

( ) ( )( ) ( ){ }

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α−α−−

α

γΦ=Φ zz

Pz spexp1

p

0pexp0ss (4.15)

La momentul iniţial când 1 p <<α z din ecuaţia (4.15) se obţine pentru

puterea optică expresia: ( ) ( ) ( )[ ]zPz s0pexp0ss α−γΦ=Φ (4.16)

Pentru a obţine câştig iniţial net trebuie ca densitatea de putere a radiaţiei de pompaj la intrare să depăşească o anumită valoare de prag , adică pragP

( ) γα=> /s 0 pragp PP . Considerând că în cazul fibrelor optice pe bază de silicaţi

cu pierderi mici, la lungimea de undă 1500 nm, pα = sα =5×10 m (0,22

dB/km) şi

5− 1−

γ =10 m/W se obţine pentru puterea de prag valoarea =5×10

W/m . Ţinând seama că aria efectivă a miezului unei fibre este de 50 μm , puterea de prag este de 25 mW.

13−

2

pragP 8

2

Cu ajutorul ecuaţiei (4.16) se poate calcula câştigul rezultat în urma pompării unei fibre la un singur capăt. Considerând că lungimea fibrei l satisface relaţia câştigul semnalului este dat de relaţia: 1 p >>α l

( )( )

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ α−γ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡α−

α

γ=

Φ

Φ= lll

PlG sef0pPexps

p

0pexp0s

ss (4.17)

în care: p/1ef α=l reprezintă lungimea efectivă a fibrei de-a lungul căreia

radiaţia de pompaj poate produce câştig. În cazul fibrelor optice pe bază de silicaţi cu pierderi mici, la lungimea de undă 1500 nm lungimea efectivă este mai mică de 20 km. Câştigul optic net este dat de relaţia:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α−γ= llPGG sef0p343,4slg10=opt (4.18)

În cazul împrăştierii regresive a undelor, câştigul optic net este:

( )( )

( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

α−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ α−−

α

γ=

Φ

Φll

P

lG spexp1

p

0p343,4s

0slg10=opt (4.19)

Amplificatorul optic în care se foloseşte împrăştierea Raman poate produce un câştig de 10 15 dB/W atât în configuraţia corespunzătoare undelor progresive cât şi pentru cele regresive într-o bandă de 50 nm (6 000 GHz). Aplicaţiile sale potenţiale sunt limitate de puterea mare de pompaj care este necesară. Câştigul Raman poate fi îmbunătăţit prin micşorarea diametrului miezului fibrei şi prin doparea cu germaniu care prezintă un coeficient de împrăştiere Raman ridicat.

÷


Câştigul în cazul împrăştierii Brillouin stimulate este de câteva sute de ori mai mare decât cel corespunzător împrăştierii Raman, însă lărgimea benzii este mică, de aproximativ 30 MHz.

Amplificatorul optic în care se foloseşte împrăştierea Brillouin poate produce un câştig de 10 ÷ 20 dB pentru puteri ale radiaţiei de pompaj de câţiva mW. Lărgimea îngustă a benzii introduce restricţii la diferite aplicaţii, dar poate prezenta şi avantaje ca în cazul amplificării selective a frecvenţei purtătoarei în procesul de demodulare.

4.3. Dispersia undelor luminoase în fibre optice 4.3.1. Medii optice dispersive. Dispersia temporală Prin dispersia undelor luminoase în sistemul de comunicaţii optice se

înţelege lărgirea pulsurilor optice în urma trecerii printr-un mediu dispersiv şi este

caracterizată de mărimea 2

2

ddλn

, fiind indicele de refracţie, iar n λ lungimea de

undă. Deci, un puls de lumină care are o anumită întindere spectrală în vid, în urma trecerii prin mediul dispersiv ajunge la ieşirea din acesta într-un anumit domeniu temporal (dispersie temporală). Lărgimea liniei spectrale a unei surse optice este definită de domeniul de frecvenţe în care spectrul puterii depăşeşte 50% din valoarea de vârf a puterii spectrale (full-width-at-half-maximum-FWHM). O altă mărime care caracterizează pulsurile optice este rădăcina pătratică medie a lărgimii unui puls σ şi este dată de relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 d1d1 tttttttt −∫ Φε

=∫ Φ−ε

=σ+∞

∞−

+∞

∞− (4.20)

Ca o măsură a lărgimii spectrale se pot defini şi rădăcinile pătratice medii ale lărgimilor spectrale în domeniul lungimilor de undă λσ şi respectiv în domeniul frecvenţelor unghiulare ωσ . Astfel,

( ) ( )( )2

0

0

2

0

0

2

λ−∫ λΦ

∫ λΦλ=

∫ λΦ

∫ λΦλ−λ=σ

∞+

λ

+∞

λ

∞+

λ

+∞

λ

λ

d

d

d

d (4.21)

unde reprezintă densitatea spectrală a puterii corespunzătoare lungimii de

undă , iar λΦ

λ λ este lungimea de undă medie şi este dată de relaţia:

( )

( )∫ λλΦ

∫ λλΦλ=λ ∞+

λ

+∞

λ

0

0

d

d (4.22)

Rădăcina pătratică medie a lărgimii spectrale în domeniul frecvenţelor unghiulare se defineşte în acelaşi mod. ωσ

Fenomene de atenuare, împrăştiere şi dispersie a undelor luminoase ghidate 83 De asemenea, câteodată este convenabil să se calculeze şi rădăcina pătratică medie fracţională a lărgimii spectrale, de forma:

ωσ=λσ=γ ωλ //a (4.23) Deci, un impuls care se propagă printr-un mediu dispersiv de-a lungul unei distanţe se lărgeşte, generând un alt puls caracterizat printr-o lărgime a rădăcinii pătratice medii dată de relaţia:

l

an

cln

clnn

clt

γλ

λ−=σλ

λ−=σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λλ−

λ=σ

λ=σ λλλ 2

22

2

22

dd

dd

dd

dd

dd

(4.24)

Dispersia într-un anumit mediu poate fi caracterizată şi de coeficientul de dispersie al materialului , definit de relaţia: mD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−= 2

2

dd n

cDm , (4.25)

acesta fiind măsurat de obicei în sistemul de comunicaţii prin fibre optice în [ps/(km nm)]). ⋅ Câteodată, dispersia mai poate fi caracterizată şi de coeficientul de dispersie adimensional al materialului:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λλ−= 2

22

dd nYm (4.26)

Între aceste mărimi există relaţia:

ma

m Yc

Dl

γ=σ=

σλ

2 (4.27)

În figura 4. 11 este prezentată dependenţa de lungimea de undă a coeficienţilor (fig. 4. 11 a)), şi (fig. 4. 11 b)) în cazul unor sticle bazate pe silicaţi şi respectiv dopate cu fluor.

mD mY

a) b)

Fig. 4. 11. Dependenţa de lungimea de undă a coeficienţilor: a) şi b) în cazul

unor sticle bazate pe silicaţi (curba subţire) şi respectiv mD mY

dopate cu fluor (curba groasă).


Lărgimea aproximativă a benzii semnalului poate fi exprimată cu ajutorul mărimilor introduse anterior sub forma:

mamopt Y

cD

lfγ

=σ

=Δλ 441

(4.28)

4.3.2. Dispersia totală în fibre mono- şi multimodale La dispersia totală a fibrelor mono- şi multimodale contribuie atât dispersia

intrinsecă cât şi dispersia determinată de trecerea multipas a semnalului prin fibră. Pentru a estima lărgimea benzii unui canal optic de comunicaţii trebuie luată în considerare forma pulsurilor recepţionate care sunt lărgite datorită dispersiei materialului; acest fapt se reflectă în distribuţia puterii după lungimea de undă în cadrul pulsului. În continuare se presupune că un impuls este lărgit ca urmare dispersiei intrinseci şi celei determinate de trecerea multiplă şi că aceste procese nu sunt corelate, fiecare în mod independent determinând rădăcinile medii pătratice ale lărgimii pulsului şi . Aceste două mecanisme combinate produc un puls a cărui formă rămâne aproximativ gaussiană, lărgimea acestuia

1σ 2σσ fiind dată de

relaţia:

22

21 σ+σ=σ (4.29)

În cazul când impulsul care urmează a fi transmis are rădăcina pătratică medie a lărgimii pulsului , atunci în urma parcurgerii distanţei aceasta devine: 0σ l

22

21

202

221

20 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ=σ+σ+σ=σ

lll (4.30)

unde l1σ corespunde dispersiei rezultate în urma trecerii multiple, iar

l2σ este cea

intrinsecă (fig. 4. 12). Câteva valori mai importante ale parametrilor precedenţi care caracterizează lărgimea pulsului în cazul fibrelor cu salt de indice sunt prezentate în tabelul 4. 1.

Fig. 4. 12. Forma pulsurilor transmise şi recepţionate într-un canal de comunicaţii optice datorită fenomenelor de dispersie intrinsecă şi respectiv

celor determinate de trecerea multipas.

Fenomene de atenuare, împrăştiere şi dispersie a undelor luminoase ghidate

85

Pe baza diferitelor efecte se pot îmbunătăţi performanţele realizate în practică. Astfel, mixarea modurilor şi pierderile modale diferenţiale determină o scădere a dispersiei rezultate în urma trecerii multiple în fibrele instalate, dar determină în acelaşi timp şi o uşoară creştere a atenuării. Lărgimile liniilor laserelor şi LED-urilor sunt funcţii de diferiţi parametri.

Tabelul 4. 1

λ Sursa

l1σ [ns/km]

l2σ [ns/km]

lσ

[ns/km]

850 nm LED Laser

12,5 12,5

2,1 0,18

12,5 12,5

1300 nm LED Laser

12,5 12,5

0,35 0,02

12,5 12,5

1550 nm LED Laser

12,5 12,5

1,1 0,04

12,5 12,5

Datele din tabele corespund unor puteri mari la ieşire şi respectiv unei

viteze de modulaţie mari, dar există şi surse caracterizate prin lărgimi mici ale liniilor spectrale care pot fi utilizate cu succes în practică.

Produsul dintre viteza de transmisie şi distanţă lB ⋅ în cazul fibrelor multimodale caracterizate prin salt de indice este de aproximativ 20 (Mb/s)/km, iar în cazul cazul fibrelor cu gradient de indice este cel mult 200 (Mb/s)/km. Performanţele care pot fi atinse depind de lungimea de undă şi lărgimea liniilor spectrale ale surselor, dar şi de indicele de refracţie al fibrei. În fibrele monomodale, din cauza condiţiilor la limită la interfaţa miez-înveliş, se manifestă şi un alt tip de dispersie numit de ghidare. Relaţia dintre acest tip de dispersie şi cea datorată materialului este destul de complicată, dispersia totală rezultată fiind numită şi dispersie cromatică. În cazul unei fibre monomodale cu un diametru al miezului de 8 μm şi o diferenţă a indicelui de refracţie de 0,005, lungimea de undă corespunzătoare dispersiei cromatice minime este deplasată spre 1310 sau 1320 nm din cauza efectelor combinate ale dopantului (germaniu) din miez şi a dispersiei ghidului.

5. CARACTERIZAREA GHIDURILOR OPTICE DE UNDĂ

Întrucât ghidurile optice de undă reprezintă elementele de bază ale

circuitelor optice integrate, cunoaşterea cât mai exactă a caracteristicilor optice ale acestora, (care sunt determinate de parametrii ce controlează procesele tehnologice de fabricaţie), joacă un rol foarte important în proiectarea dispozitivelor atât active (lasere integrate, amplificatoare laser integrate) cât şi pasive (modulatoare, filtre, comutatoare optice etc.) [5.1], [5.2]. Pentru măsurarea parametrilor de bază care caracterizează ghidurile optice de undă (cum ar fi de exemplu: pierderile apărute în procesul de propagare, secţiunile eficace de emisie şi absorbţie, indicele de refracţie efectiv, profilul indicelui de refracţie, profilul modurilor etc.) s-au dezvoltat o serie de tehnici experimentale bazate pe metode optice (metode interferometrice, măsurarea spectrelor de transmisie, măsurarea câmpului apropiat şi depărtat etc.) care sunt nedistructive. Aceste metode permit caracterizarea cu precizie foarte ridicată a ghidurilor optice de undă. Există şi alte metode precise pentru caracterizarea ghidurilor optice de undă, cum ar fi de exemplu cele bazate pe spectrometria de masă; acestea, spre deosebire de cele amintite sunt distructive.

5.1. Măsurarea indicelui de refracţie efectiv Indicele de refracţie efectiv este un parametru de bază care caracterizează modurile ghidate. În cazul unui mod ghidat de ordinul m, indicele de refracţie efectiv al acestuia este definit cu ajutorul relaţiei:

nkm =β (5.1)

în care: β reprezintă constanta de propagare a modului, iar k =2πλ

este vectorul

de undă în vid. Printre metodele cel mai des folosite pentru determinarea indicelui de refracţie efectiv se numără metoda cuplajului cu prismă şi cea a cuplajului cu reţea.

5.1.1. Metoda cuplajului cu prismă Principiul metodei cuplajului cu prismă [5.3], [5.4] este prezentat schematic în figura 5. 1. Fasciculul luminos este incident pe o prismă sub unghiul

. La baza prismei fasciculul luminos formează un unghi θ Φ cu normala, unghi care determină viteza de fază în direcţia z a fasciculului incident pe prismă în spaţiul dintre prismă şi ghid:

v cni

p=

sinΦ (5.2)

unde c este viteza luminii în vid, iar n este indicele de refracţie al prismei. p

Caracterizarea ghidurilor optice de undă 87

În urma fenomenului de refracţie o parte din radiaţia incidentă este transmisă în ghidul de undă. Cuplajul eficient al luminii în ghidul de undă are loc numai dacă unghiul are o astfel de valoare încât frecvenţa Φ νi este egală cu cea corespunzătoare vitezei de fază, νm , a unui mod ghidat (m = 0,1,2,3,...). Întrucât:

νmm

cn

= (5.3)

indicele de refracţie efectiv al modului m poate fi determinat cu ajutorul relaţiei:

nm

. (5.4) n nm p= sinΦm

Fig. 5. 1. Montajul cuplajului cu prismă.

Datorită condiţiei precedente, unghiul Φm este mai mare decât unghiul critic corespunzător reflexiei totale la interfaţa sticlă-aer. Lumina este reflectată total la baza prismei, în aceasta formându-se unde staţionare. În spaţiul dintre prismă şi ghid câmpul evanescent existent interacţionează cu cel al modului ghidat, rezultând un cuplaj al luminii incidente în mod (v. fig. 5. 1). În ecuaţia (5.4) unghiul Φm nu poate fi măsurat direct. Cu toate acestea, pe baza relaţiei dintre unghiurile Φm şi θm (fig. 5. 1), ultimul fiind direct măsurabil, indicele de refracţie efectiv poate fi calculat cu ajutorul formulei: nm

n nn

Am pm

p=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−sin sinsin1 θ

(5.5)

în care: este unghiul de la baza prismei. A Montajul experimental utilizat pentru măsurarea unghiurilor de cuplaj este prezentat schematic în figura 5. 2. Ghidul care urmează a fi măsurat este plasat pe un goniometru. Pe suprafaţa ghidului sunt dispuse prin presare cu ajutorul unor cleme două prisme. Radiaţia provenită de la un laser este cuplată în ghid cu ajutorul primei prisme şi excită modurile ghidate. Lumina acestor moduri extrasă din ghid cu ajutorul celei de-a doua prisme formează o figură compusă din mai multe linii (m-lines). Fiecare linie corespunde unui mod ghidat din ghidul optic. Unghiurile dintre aceste linii şi normala la prismă sunt măsurate cu ajutorul unui telescop montat de asemenea pe goniometru. Rotaţia goniometrului este controlată şi măsurată cu precizie foarte ridicată.

θm

θm


Folosind un astfel de montaj experimental [5.3], [5.4] a fost măsurat de exemplu indicele de refracţie efectiv al unui ghid optic obţinut pe baza schimbului ionic argint-sodiu din sticlă (variatatea Corning 0211) introdusă într-o baie de nitrat de argint la 270°C timp de 4,5 h. Utilizând o prismă care are unghiul A = 45°, indicele de refracţie =1,71653 şi o radiaţie având n p λ = 632,8 nm s-a măsurat în cazul modului TE un unghi 0 θ=37,0167°, obţinându-se pentru indicele de refracţie efectiv valoarea = 1,5624. n0

Fig. 5. 2. Montajul experimental pentru măsurarea unghiurilor de cuplaj prin metoda cuplajului cu prismă.

Metoda cuplajului cu prismă este simplă, rapidă şi exactă, permiţând obţinerea unor rezultate cu o precizie de aproximativ 10 . −4

5.1.2. Metoda cuplajului cu reţea

Cuplarea luminii în ghidurile de undă se poate face şi cu ajutorul reţelelor de difracţie. Un astfel de montaj experimental este prezentat schematic în figura 5. 3. [5.5], 5.6]. Reţeaua de difracţie caracterizată de perioada Λ , plasată la suprafaţa ghidului produce o mică perturbaţie asupra modului (ghidat sau radiat) care determină cuplajul luminii într-un alt mod care este determinat de condiţia de adaptare. În cazul când condiţia de adaptare dintre un mod ghidat şi respectiv un mod radiat este indeplinită are loc un transfer de putere eficient între aceste două moduri. Condiţia de adaptare poate fi scrisă sub forma:

β βπλm r j j= + = ± ±

2 0 1 2; , , , .... (5.6)

în care: β πλm mN=

2 şi β πλ

θr =2 sin m reprezintă constantele de propagare

corespunzătoare modurilor ghidate, respectiv radiate. Întrucât de obicei se foloseşte ordinul întâi (j = 1), în acest caz indicele de refracţie efectiv poate fi scris sub forma: nm

nm m= +sinθ λΛ

. (5.7)


Metoda cuplajului cu reţea este potrivită pentru măsurarea indicilor de refracţie efectivi atât ai substratului cât şi ai ghidului propriu-zis. Unghiurile pot fi măsurate cu ajutorul unui telescop montat pe un goniometru la fel ca în cazul cuplajului cu prismă (v. 5.1.1).

θm

Fig. 5. 3. Montajul experimental care foloseşte cuplajul cu reţea. Cunoscând unghiurile θm , valorile indicilor de refracţie efectivi pot fi calculate cu ajutorul relaţiei (5.7). În cazul unui ghid obţinut prin schimb ionic (argint) în sticlă (Corning) având lăţimea de 10 m, iar constanta reţelei de 0,4227 μ μm s-a obţinut pentru o radiaţie cu = 632,8 nm o valoare a indicelui de refracţie efectiv n = 1,5634 pentru modul TE 0 şi un unghi de incidenţă

λ 0

θ (°) = 3,8048 [5.5], [5.6]. Metoda cuplajului cu reţea este de asemenea o metodă precisă, permiţând determinarea indicilor de refracţie efectivi cu o precizie de aproximativ , aceasta fiind comparabilă cu cea obţinută în cazul montajului cu prismă.

10 4−

5.2. Caracterizarea profilurilor modurilor

Profilul modului sau mai exact distribuţia intensităţii într-un mod este o altă caracteristică importantă a ghidurilor optice. Mai multe proprietăţi ale unui ghid optic, cum ar fi de exemplu: eficienţa de cuplaj a acestuia cu o fibră optică sau cu un alt ghid, interacţiunea cu o reţea sunt determinate de profilurile modurilor. În urma caracterizării profilului unui mod se pot obţine informaţii despre numărul de moduri, dimensiunile acestora precum şi despre simetria ghidului optic. De asemenea cunoaşterea profilului modului serveşte la determinarea profilului indicelui de refracţie. Unul dintre cele mai des folosite montaje experimentale pentru caracterizarea profilului unui mod este prezentat schematic în figura 5. 4.

Lumina provenită de la un laser este cuplată la un capăt al ghidului cu ajutorul unui lentile obiectiv şi excită modurile ghidate. (În cazul unor ghiduri de tip lespede (slab) se poate folosi şi cuplajul cu ajutorul unei prisme.) Întrucât dimensiunile câmpului apropiat sunt de ordinul micronilor, pentru a fi înregistrată figura câmpului apropiat trebuie mărită cu ajutorul unei alte lentile. Imaginea este focalizată pe camera video şi apoi convertită în date numerice care sunt procesate cu ajutorul calculatorului. Profilul modului poate fi de asemenea vizualizat cu ajutorul unui monitor TV.


Pentru a obţine profiluri corecte ale modurilor trebuie ca focalizarea să fie făcută exact, pentru a reduce erorile prin operaţia de mărire şi de asemenea, camera video trebuie să fie caracterizată printr-o relaţie liniară între puterea optică incidentă şi cea la ieşire. În cazul în care camera nu are un răspuns liniar rezultatul trebuie corectat ţinând seama de caracteristicile de răspuns ale acesteia.

Fig. 5. 4. Montajul experimental folosit pentru măsurarea profilurilor modurilor. În figura 5. 5 este prezentată în medalion o fotografie a modului fundamental şi de asemenea profilurile corespunzătoare pe lăţimea şi respectiv adâncimea unui ghid obţinut în urma unui dublu schimb ionic (argint - potasiu) în sticlă, la o temperatură de 300°C, timp de 300 min [5.7].

Fig. 5. 5. Fotografia modului fundamental şi profilurile în adâncime şi lăţime corespunzătoare unui semnal având λ = 1,3 μ m în cazul unui ghid

obţinut prin dublu schimb ionic, argint - potasiu. 5. 3. Determinarea profilului indicelui de refracţie

Proprietăţile unui ghid optic sunt determinate în mod deosebit de profilul indicelui său de refracţie. De aceea, caracterizarea profilului indicelui de refracţie joacă un rol foarte important în optica integrată [5.7]-[5.12].


Pentru determinarea profilului indicelui de refracţie în ghiduri şi substraturi optice se pot utiliza mai multe metode cum ar fi de exemplu: metoda WKB, metoda WKB inversă şi metoda câmpului apropiat [5.8]-[5.13].

5.3.1. Metoda WKB Metoda Wentzel, Kramers, Brillouin-WKB este o metodă aproximativă pentru rezolvarea ecuaţiei undelor în ghiduri de undă de tip lespede (v. Anexa 1) [5.8]. Cunoscând funcţia care descrie indicele de refracţie a unui ghid, prin metoda WKB se pot determina indicele de refracţie efectiv şi distribuţia câmpului corespunzătoare tuturor modurilor. Deci cunoscând indicii de refracţie efectivi ai ghidului optic se poate determina profilul indicelui de refracţie. În cazul unei distribuţii de indici

(5.8) ( ) ( )n xn x

n x xc=

⟨⟩

⎧⎨⎩

,,

00

pentru care ( ) cnxn >> şi ( ) ( )n n x0 ≈ pe baza metodei aproximative WKB (v. Anexa 1) se obţine următoarea ecuaţie cu valori proprii:

( )[ ]n x N x m m Mm

xm 2 2

1 2

0

4 38

0 1 2 1−∫ = + =

/

d , , , .... , − (5.9)

în care: este definit de relaţia xm ( )N n xm = m , iar M reprezintă numărul de moduri. Dacă n(x) este o funcţie de m parametri, adică: (5.10) ( ) ( )n x f p p p p xm= 1 2 3, , , .... , ,pentru un ghid care suportă m sau mai multe moduri parametrii pot fi determinaţi fitând indicii de refracţie efectivi măsuraţi în ecuaţia (5.9).

p p p pm1 2 3, , , .... ,

În cazul unor ghiduri obţinute prin schimb ionic, profilul indicelui de refracţie poate fi descris cu ajutorul funcţiei complementare a erorilor:

( )n x n xd

ns= × ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+Δ erfc (5.11)

unde d D= 2 t reprezintă adâncimea ghidului, este coeficientul de difuzie, este timpul de difuzie, este indicele de refracţie al substratului,

este variaţia maximă a indicelui de refracţie, iar

DtΔ

ns

n n ns= −( )0

( )erfc( ) exp dxx

= −∫∞2 2

πα α . (5.12)

Profilul indicelui de refracţie a ghidurilor obţinute prin schimb ionic este deci caracterizat de parametrii nΔ şi . Analiza acestor ghiduri poate fi generalizată folosind frecvenţa normalizată

dν şi constanta de propagare

normalizată b care sunt definite cu ajutorul relaţiilor: (5.13) ( )ν = kd n ns2 1 2Δ /


b n nn n

m s

s=

−2 2

2 Δ (5.14)

în care: este vectorul de undă în vid. Curbele b = b(k ν ) pot fi obţinute cu ajutorul metodei WKB, iar cei doi parametri Δn şi d în cazul unui anumit ghid se pot calcula în urma fitării indicilor de refracţie efectivi măsuraţi experimental cu aceste curbe. În cazul metodei WKB s-a presupus că funcţia care caracterizează profilul indicelui de refracţie este determinată de un anumit număr de parametri. Dacă acest număr de parametri este mic, atunci calculele sunt relativ simple. Există însă ghiduri pentru care profilul indicelui de refracţie nu poate fi descris de funcţii simple. Introducând funcţii mai complicate care conţin un număr mai mare de parametri cu metoda WKB procedura de calcul este mai dificilă. În acest caz se utilizează metoda WKB inversă.

5.3.2. Metoda WKB inversă Cu ajutorul acestei metode se poate reconstrui profilul indicelui de refracţie din valorile măsurate ale indicilor efectivi [5.12]. Pentru a determina profilul indicelui de refracţie n(x) relaţia (5.9) se scrie ca o sumă de integrale de forma:

( )[ ]∑ ∫+

=−=

−

i

k

ii

k

k

x

x

mxnxn1

2/12

1

2

834d . (5.15)

În scrierea relaţiei (5.15) s-au introdus faţă de relaţia (5.9) variabilele şi în locul variabilelor n şi m. in im m

Se consideră că n(x) variază liniar având valorile măsurate corespunzătoare indicelui de refracţie şi este dată de relaţia: ni

( ) ( )n x n n nx x

x x x x xkk k

kk k≈ +

−− −

− ≤−−

11

k 1 k≤ . (5.16)

Considerând că poate fi înlocuit cu o valoare medie, adică: ( )n x ni+

( )n x nn n

n x x xik

i k+ ≈+

+ ≤−112

k - k≤ (5.17)

soluţia pentru valorile este de forma: xi

( ) ×⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= −

−

−

−2/1

1

2/1

1 231

23

iiii nnininxx

×⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

×−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

−−1

123

28

341

12/1

1i

knn

xxn

nnmkk

kki

kki (5.18)

( ) ( )[ ]}2/32/31 ikik nnnn −−−−


unde i = 2, 3, 4, ...., M, iar

( )x n n n ni1

01 2

0 11 29

163

2=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

−/

/ . (5.19)

Dacă valoarea indicelui de refracţie la suprafaţa ghidului este cunoscută, atunci pot fi calculaţi cu ajutorul formulelor (5.18) şi (5.19), iar profilul indicelui de refracţie poate fi determinat din relaţia (5.15). Întrucât de obicei se măsoară experimental numai indicii de refracţie efectivi

prin diferite metode prezentate mai înainte, valoarea indicelui de refracţie la suprafaţa ghidului este necunoscută. Deoarece în mod normal profilul indicelui de refracţie este o curbă netedă, poate fi ales astfel încât valoarea acestuia să determine curba cea mai netedă.

n0

xi

1−n n n n M0 1 2, , , .... ,n0

n0

În figura 5. 6 este prezentat profilul indicelui de refracţie (în adâncime) determinat cu ajutorul metodei WKB inverse, folosind valorile indicilor de refracţie efectivi măsurate experimental, în cazul unui ghid obţinut în urma schimbului ionic (potasiu-sodiu).

Fig. 5. 6. Profilul indicelui de refracţie (în adâncime) determinat cu ajutorul metodei WKB

inverse în cazul unui ghid obţinut în urma schimbului ionic (potasiu-sodiu).

5.3.3. Metoda reconstrucţiei profilului indicelui de refracţie din măsurători de câmp apropiat Atât metoda WKB directă cât şi cea inversă sunt aplicabile ghidurilor de

undă multimodale de tip lespede. În cazul altor tipuri de ghiduri optice de undă (de tip canal, de exemplu) una dintre cele mai des folosite metode pentru reconstruirea profilului indicelui de refracţie este cea bazată pe măsurarea câmpului apropiat. Această metodă este determinată de legătura dintre profilul indicelui de refracţie şi distribuţia câmpului unui mod ghidat [5.13]-[5.18]. Determinarea profilului unui mod ghidat se poate face prin măsurarea câmpului apropiat fie cu ajutorul unei camere video fie utilizând o fibră optică ca receptor. Câmpul se consideră apropiat dacă detectorul este plasat faţă de ghid la o distanţă mai mică decât 3 , unde λ λ este lungimea de undă a radiaţiei folosite pentru investigare. Profilul indicelui de refracţie poate fi determinat de exemplu din profilul intensităţii câmpului apropiat (sau depărtat, caz în care trebuie utilizată o transformată Fourier a acestui câmp pentru a-l obţine pe cel apropiat) înregistrat cu


o fibră optică standard, iar cu ajutorul acestuia pot fi calculaţi o serie de parametri care caracterizează un ghid optic de undă, cum ar fi: adâncimea de pătrundere a dopantului, diferenţa indicilor de refracţie etc. În aproximaţia scalară, într-un ghid optic de undă câmpul este considerat transversal şi este complet descris de modul liniar polarizat ψ care este o soluţie a ecuaţiei scalare a lui Helmholtz:

( ) ( ) ( ) 0,),(, 220 =ψβ−+ψΔ yxyxnkyxT (5.20)

în care: TΔ este operatorul transversal Laplace, ( )yx,ψ reprezintă câmpul electric sau magnetic transversal, ( )yxn ,

0

este profilul indicelui de refracţie, este constanta de propagare, iar este vectorul de undă în vid. În ecuaţia (5.20) care este de tip Sturm-Liouville, s-a considerat că pierderile prin absorbţie la propagare sunt neglijabile.

βk

Din ecuaţia (5.20) se poate determina profilul indicelui de refracţie sub forma:

),(),(1),( 2

0

2

0

2yx

yxkk

yxn TψψΔ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β= . (5.21)

Dezvoltând în serie relaţia (5.21) se obţine în primă aproximaţie:

),(

),(2

1),(00 yx

yxknk

yxn T

s ψψΔ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β= (5.22)

unde reprezintă indicele de refracţie al substratului. ns Considerând un câmp electric transversal care poate fi scris sub forma unui produs: , (5.23) ( ) ( ) (yxyx ψψ=ψ , )şi cunoscând intensitatea câmpului local într-un punct fix

profilul indicelui de refracţie devine: ( ) ( )yxyI ,0

2ψ=x x= 0

( )( )

( )2

2

000

d

d12

1,y

YIYIknk

yxns

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β= . (5.24)

În relaţia (5.24) primul termen din partea dreaptă a ecuaţiei este o constantă necunoscută însă ceilalţi reprezintă funcţii cunoscute. Deci profilul indicelui de refracţie poate fi determinat până în aproximaţia unei constante necunoscute. Pe baza modelului teoretic prezentat anterior profilul indicelui de refracţie poate fi determinat prin derivarea numerică a profilului intensităţii câmpului (relaţia (5.24)) [5.16]. În vederea efectuării acestei operaţii curbele experimentale obţinute trebuie în prealabil prelucrate pentru a deveni netede. Ca urmare, din datele experimentale trebuie extras zgomotul printr-un procedeu de filtrare. Pentru aceasta se consideră că indicele de refracţie al ghidului poate fi scris cu ajutorul relaţiei: (5.25) ( ) ( )yxnnyxn s ,, Δ+=


în care: reprezintă indicele de refracţie al substratului, iar ns ( )yxn ,Δ variaţia indicelui de refracţie. Ţinând seama de profilul concentraţiei după o singură direcţie, relaţia (5.25) poate fi scrisă sub forma: . (5.26) ( ) ( )xnfnxn s Δ+= În continuare se consideră că ( )xf este o funcţie de tip gaussian:

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

α

xdxxxf 0exp . (5.27)

Functia g(x) utilizată pentru netezirea curbelor experimentale a fost construită să minimizeze integrala:

(5.28) ( ) xxgnx

x

d0

''∫în aşa fel încât:

( )

sy

xg

i i

ii ≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δ

ψ−∑2

(5.29)

unde ψ i I= i reprezintă valorile experimentale corespunzătoare intensităţii câmpului electric transversal, s este un factor de netezire, iar δyi sunt factori care controlează procesul de netezire. Pentru o anumită valoare a factorului de netezire s, funcţia care este o soluţie a ecuaţiilor (5.28)-(5.29) a fost determinată numeric ţinând seama de relaţiile (5.26) şi (5.27) obţinându-se în final un profil numeric al indicelui de refracţie [5.16].

( )xg

Aceste date au fost filtrate cu ajutorul unei funcţii de tip gaussian printr-o procedură de tip Hook-Jevees [5.17] în aşa fel încât să minimizeze funcţia (care caracterizează eroarea) în relaţia:

χ

2

20

e)(∑⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅Δ−Δ=χ

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

i

dxx

ix

i

nxn . (5.30)

În relaţia (5.30) reprezintă adâncimea de pătrundere, este parametrul funcţiei de tip Gauss, iar determină centrul gaussianei.

xd α

0x Pentru a mări precizia determinărilor din profilul intensităţii câmpului corespunzător ghidului trebuie extras printr-un procedeu de deconvoluţie profilul câmpului fibrei [5.18]. Folosind montajul experimental prezentat în figura 5. 7 [5.18] profilul câmpului apropiat a fost înregistrat cu ajutorul unei fibre optice standard atât pe lăţime şi cât în adâncime în cazul unor ghiduri de

Er :Ti:LiNbO3 tăiate după axa +3 x , având 52 mm lungime.


S-a folosit un laser cu He - Ne (λ=0,63 μm) pentru alinierea montajului şi o diodă laser (L. D.) având λ =1,55 μm ca semnal optic, cele două radiaţii fiind cuplate împreună cu ajutorul unui cuplor de 3 dB (C) (optimizat pentru lungimea de undă λ =1,55 μm). Ghidurile (W) dispuse pe un substrat având depuse la capete oglinzi cu R =0,14, au fost produse de Laboratoarele Pirelli-Cavi (Milano-Italia), prin difuzia Ti şi Er3 în LiNbO3 . +

Fiecare substrat conţine 2×9 ghiduri de tip panglică având lăţimile cuprinse între 5μ m şi 9 m, în trepte de 0,5 μ μ m. Măsurarea câmpului apropiat (polarizarea TE în cazul de faţă), efectuată în vederea determinării profilului modului a fost făcută cu ajutorul unei fibre optice standard cuplată cu un instrument pentru măsurarea puterii radiaţiei laser utilizate (powermetru (POW.)) [5.18].

Fig. 5. 7. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea câmpului apropiat cu ajutorul unei fibre optice.

Deplasarea controlată a fibrei optice (prin intermediului calculatorului (CO)) pe baza unui program, în planul situat la ieşirea din ghid la distanţa de 1 3 , pe lăţimea ghidului-axa y din figura 5. 7 şi respectiv adâncimea acestuia-axa ÷ λ

x din figura 5. 7, montată pe un suport, după cele trei direcţii (a treia direcţie de deplasare fiind în lungul axei optice a montajului experimental), a fost facută cu ajutorul unui dispozitiv electronic (electrostrictive actuator controller-E. A. C.). Funcţionarea acestui dispozitiv se bazează pe efectul electrostrictiv şi este comandat de tensiunea aplicată cristalului. Cele două polarizări, TE şi respectiv TM, corespunzătoare câmpului au fost selectate cu ajutorul unui polarizator (P) şi a izolatorului optic (I).

În figura 5. 8 sunt prezentate profilurile măsurate ale intensităţilor câmpurilor apropiate în cazul unui ghid de tip Er3+ :Ti:LiNbO3 având lăţimea de 7,5 m, tăiat după axa μ x , măsurate cu ajutorul unei fibre optice standard în cazul polarizărilor TE (fig. 5. 8 a)), respectiv TM (fig. 5. 8 b), iar în figura 5. 9 sunt prezentate profilurile măsurate ale intensităţilor câmpurilor apropiate (curba (m)), curba (p) fiind obţinută în urma netezirii (procesării) celei măsurate în cazul aceluiaşi ghid măsurate pe lăţimea ghidului (curba a)) şi respectiv în adâncimea lui (curba b)) în cazul polarizării TE.

Utilizând modelul teoretic prezentat mai înainte se poate determina profilul indicelui de refracţie (relaţia (5.24)) din profilul intensităţii câmpului apropiat.


În figura 5. 10 sunt prezentate profilurile diferenţelor indicilor de refracţie în cazul ghidului menţionat anterior pe lăţimea ghidului (fig. 5. 10 a)) şi

respectiv în adâncime (fig. 5. 10 b)). ( )Δn

Fig. 5. 8. Profilurile măsurate ale intensităţilor câmpurilor apropiate în cazul unui ghid de

tip Er3 :Ti:LiNbO3 având lăţimea de 7,5 + μm, tăiat după axa x , în cazul polarizărilor: a) TE şi b) TM.

În cazul profilului în adâncime variaţia indicelui de refracţie este de

=1,2 10 , iar adâncimea de pătrundere =4,5 μm (parametrul funcţiei Gauss fiind α=1,55, iar factorul de netezire = 0,1) cu o eroare de 3,2 %.

nΔ 3− ds

a) b)

Fig. 5. 9. Intensităţile măsurate ale câmpurilor apropiate (curba (m)) şi procesate (curba

(p)) în cazul unui ghid de tip Er3+ :Ti:LiNbO3 : a) pe lăţimea ghidului şi b) pe adâncimea acestuia.


Tot cu ajutorul profilului câmpului măsurat în adâncime (reprezentat în scară logaritmică) mai poate fi determinată poziţia (punctul de pe grafic) unde începe ghidul optic. Aşa cum se poate vedea din figura 5. 11, ghidul optic începe în jurul valorii de 2 μm (punctul de pe grafic unde se trece de la variaţia liniară a profilului la cea parabolică).

Fig. 5. 10. Profilul indicelui de refracţie: a) pe lăţimea ghidului şi b) în adâncime.

Fig. 5. 11. Profilul intensităţilor măsurate (curba (m)) şi procesate (curba (p)) ale câmpului apropiat în cazul unui ghid de tip Er3+ :Ti:LiNbO3 în adâncime.

Tehnicile de determinare a atenuării implică măsurarea luminii transmise sau împrăştiate în funcţie de distanţa de propagare.

5.4. Măsurarea pierderilor Calitatea unui ghid de undă optic este determinată de pierderile la propagare. Acest tip de pierderi se datoreşte îndeosebi absorbţiei şi împrăştierii radiaţiei, efectelor neliniare, dar şi altor factori [5.1], [5.2], [5.13]-[3.21].


Pierderile la propagare printr-un ghid optic sunt descrise de coeficientul de atenuare , definit cu ajutorul relaţiei: α

( )α =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

10 0

1

1 0

logPP

z zdB / cm (5.31)

în care: şi reprezintă puterile optice corespunzătoare în poziţiile şi respectiv din ghid.

P0

z1

P1 z0

5.4.1. Metoda cuplajului cu prismă

Această metodă se aplică mai ales ghidurilor optice de tip lespede şi constă în măsurarea variaţiilor de putere optică în funcţie de distanţa de propagare, cu ajutorul a două prisme montate în poziţii diferite de-a lungul ghidului (fig. 5. 12).

Fig. 5. 12. Schema montajului utilizat pentru măsurarea pierderilor utilizând două prisme.

În cazul utilizării acestui montaj experimental este foarte important ca

toată lumina din ghid să fie cuplată în detector cu ajutorul prismei 2. Pentru aceasta se poate dispune pe faţa de intrare a prismei 2 o fantă, iar între prismă şi suprafaţa ghidului un lichid (ulei) pentru acordarea indicilor de refracţie. Utilizând lichide pentru acordul indicilor de refracţie nu este posibilă măsurarea pierderilor în cazul unor ghiduri al căror indice de refracţie efectiv este mai mare ca 2,0. Un alt inconvenient este legat de faptul că în cazul prezenţei mai multor moduri în radiaţia incidentă, acestea tind să se suprapună, îngreunând determinarea atenuării pentru un singur mod. Dificultăţile apărute în cazul determinării coeficientului de atenuare prin metoda cuplajului cu două prisme pot fi depăşite dacă se utilizează un montaj cu trei prisme (fig. 5. 13). În acest montaj măsurarea pierderilor este independentă de coeficienţii de cuplaj de la intrare şi respectiv ieşire.

Lumina este introdusă în ghid cu prisma 1. La ieşire, radiaţia având puterile optice şi respectiv , sunt extrase cu ajutorul prismelor 2 şi 3 plasate în poziţiile şi şi sunt detectate cu detectoarele 1 şi 2, având valorile:

P2

z0

P3

z (5.32) ( )P P2 2= γ z ( )[ ] ( )[ ]P P z P z3 3 2 0= − − −γ αexp z . (5.33)


În relaţia (5.33) reprezintă puterea luminii din ghid în poziţia ( )P z z , iar şi respectiv sunt constantele de cuplaj introduse la ieşire de prismele 2 şi 3.

Înlăturând prisma 2 de pe suprafaţa ghidului ( = 0) şi măsurând puterea la ieşire dată de prisma 3 se obţine:

γ 2 γ 3γ 2

. (5.34) ( ) ( )[ ]P P z z30

3 0= −γ αexp z−

Fig. 5. 13. Schema montajului utilizat pentru măsurarea pierderilor utilizând trei prisme.

Eliminând coeficientul de cuplaj între relaţiile (5.32), (5.33) şi (5.34) rezultă în final:

γ 3

( )P z P PP P

=−

2 30

30

3

. (5.35)

Rezultatul obţinut este independent de coeficienţii de cuplaj şi . γ 2 γ 3 În figura 5. 13 sunt prezentate câteva rezultate experimentale în cazul unui ghid monomod obţinut în urma introducerii unui substrat de sticlă într-o baie de KNO cu temperatura de 368° C un timp de 2 ore, folosind pentru măsurarea pierderilor un laser cu lungimea de undă de 514,5 nm.

3

Aşa cum se poate observa din figura 5. 14 acurateţea metodei depinde de valorile coeficientului de cuplaj . Dreapta a ( + ) din figura 5. 13 în care:

=100 % corespunde metodei cuplajului cu două prisme. γ 2

γ 2Din analiza relaţiilor (5.32), (5.33) se observă că cea mai exactă

determinare se obţine în cazul când coeficientul = 50 %. γ 2În cazul utilizării metodei cuplajului cu trei prisme ghidul supus analizei

trebuie să fie suficient de lung pentru ca cele trei prisme să poată fi montate pe suprafaţa acestuia. Dacă ghidurile sunt mai scurte, se poate renunţa la cea de-a treia prismă cu condiţia ca faţa de ieşire a ghidului să fie polizată (fig. 5. 14). În configuraţia experimentală cu două prisme dispuse pe un ghid optic având o faţă polizată puterile şi respectiv sunt măsurate la capătul ghidului în prezenţa şi respectiv absenţa prismei 2. Calculul puterii

P2 P3

( )P z se face tot cu ajutorul relaţiei (5.35) utilizate în cazul montajului cu trei prisme.


5.4.2. Metoda tăierii ghidului optic În cazul unui ghid de undă optic de tip canal este dificil să se cupleze şi respectiv să se extragă lumina din ghid cu ajutorul unei prisme în vederea măsurării pierderilor. O metodă folosită pentru a depăşi aceste neajunsuri este cea bazată pe tăierea ghidurilor la unul dintre capete pentru a se obţine astfel ghiduri de diferite lungimi. Această metodă a fost aplicată prima dată fibrelor optice, măsurându-se puterea la ieşirea din fibrele de diferite lungimi fără modificarea condiţiilor de la intrarea în fibră. În optica integrată, ghidul optic este tăiat în mai multe bucăţi de lungimi diferite şi se polizează la capete înaintea măsurării. Apoi se măsoară puterile transmise de ghiduri (fig. 5. 15).

Fig. 5. 14. Atenuarea unui ghid monomod măsurat prin metoda cuplajului cu trei prisme pentru diferite valori ale coeficientului de cuplaj ; = 100 % pentru γ 2 γ 2

dreapta a ( + ), = 50 % pentru dreapta b ( ), = 40 % pentru γ 2o γ 2

dreapta c ( * ), = 30 % pentru dreapta d (.) γ 2

Pentru a determina coeficientul de atenuare se trasează graficul logaritmului puterii transmise (măsurate) în funcţie de lungimea ghidului. Datele experimentale obţinute se fitează (aproximează) cu o dreaptă, din panta căreia se poate calcula coeficientul de atenuare.

Fig. 5. 15. Schema montajului utilizat pentru măsurarea pierderilor cu ajutorul a două prisme şi o faţă polizată.


În vederea obţinerii unor rezultate bune cu această metodă, este foarte important să se menţină aceeaşi eficienţă de cuplaj pentru toate probele. Acest fapt afectează reproductibilitatea metodei. Se poate îmbunătăţi precizia determinărilor prin repetarea măsurărilor efectuate asupra aceluiaşi ghid. Rezultatele experimentale caracterizate de aceeaşi eficienţă de cuplaj prezintă o dependenţă liniară iar cele care sunt situate departe de dreaptă trebuie excluse din calculele ulterioare.

5.4.3. Metoda măsurării luminii împrăştiate Această metodă este des folosită şi permite determinarea în mod nedistructiv a pierderilor şi de asemenea a modului de propagare a luminii în ghiduri optice, cuplori direcţionali, ghiduri în formă de Y, modulatoare, comutatoare şi deflectoare. Într-un ghid optic, un mod ghidat pierde în mod continuu o mică parte din puterea sa prin împrăştierea luminii (Rayleigh). Puterea luminii împrăştiate este proporţională cu puterea totală ghidată. Deci, scăderea puterii luminii împrăştiate este determinată de pierderile suferite la propagare de modul ghidat. Montajul experimental utilizat pentru a observa lumina împrăştiată este prezentat în figura 5. 16. Lumina împrăştiată de ghidul optic de undă este înregistrată de o cameră video sau un alt sistem de detecţie. Profilul intensităţii luminoase este vizualizat cu ajutorul monitorului TV şi înregistrat într-un plan X-Y. Calculatorul comandă deplasarea camerei TV şi pe baza unui program adecvat calculează pierderile.

Fig. 5. 16. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea luminii împrăştiate.

Intensitatea luminii împrăştiate scade exponenţial de-a lungul ghidului. Coeficientul de atenuare poate fi calculat prin fitarea (aproximarea) puterii luminii împrăştiate (măsurate) cu o funcţie exponenţială. Precizia determinărilor depinde de sensibilitatea sistemului de detecţie. În figura 5. 17 sunt prezentate rezultatele experimentale (curba punctată) şi dreapta care le aproximează prin metoda celor mai mici pătrate în cazul unui ghid optic monomod din sticlă obţinut în urma schimbului ionic (potasiu-sodiu) la o temperatură de 370° C timp de 0,5 ore printr-o mască de 4 μm lăţime şi 20 mm lungime pentru modul TE.

În cazul ghidului prezentat s-a obţinut un coeficient de atenuare de 1,2 dB/cm. Limitările metodei sunt determinate de faptul că este destul de dificil să se înregistreze intensităţi mici ale luminii împrăştiate şi, de asemenea, eficienţa depinde foarte mult de neomogenităţile existente în ghid.


5.4.4. Metoda detecţiei fototermice Metoda detecţiei fototermice face parte tot din categoria metodelor nedistructive de măsură a pierderilor la propagare într-un ghid optic şi se bazează pe efectul de deflexie fototermică.

Fig. 5. 17. Distribuţia luminii împrăştiate în cazul unui ghid optic monomod din sticlă obţinut în urma schimbului ionic (potasiu-sodiu) în funcţie de distanţa de propagare.

Dacă energia unui fascicul de lumină (dat de un laser de pompaj) este absorbită rezultă un gradient termic care la rândul său produce un gradient al indicelui de refracţie în mediul absorbant şi în mediul înconjurător. Deflexia fototermică implică existenţa unui al doilea fascicul (dat de un laser de probă) care suferă fenomenul de refracţie din cauza gradientului indicelui de refracţie. În figura 5. 18 este prezentat montajul experimental utilizat pentru măsurarea pierderilor prin metoda deflexiei termice.

Fig. 5. 18. Montajul experimental utilizat pentru metoda deflexiei fototermice. Fasciculul de pompaj este modulat de un chopper şi apoi este cuplat în lungul ghidului optic cu ajutorul unei lentile. Fasciculul de probă în urma unei reflexii pe o oglindă este focalizat normal pe suprafaţa ghidului. Un detector care conţine două celule cu siliciu detectează deflexia fasciculului de probă determinată de gradientul indicelui de refracţie indus de fasciculul de pompaj. Semnalul dat de detector este apoi amplificat şi separat de zgomot cu ajutorul unui montaj electronic (lock-in amplifier).


În figura 5. 19 este prezentată dependenţa puterii semnalului rezultat în urma deflexiei fototermice (curba punctată) şi dreapta care le aproximează în cazul unui ghid optic monomod din sticlă obţinut în urma schimbului ionic (potasiu) la o temperatură de 400°C timp de 5,5 ore printr-o mască de aluminiu de 4 μm lăţime.

Fig. 5. 19. Dependenţa puterii semnalului de deflexie fototermică (curba punctată) şi dreapta care le aproximează în cazul unui ghid optic monomod din sticlă.

Puterea semnalului de deflexie fototermică prezintă o scădere exponenţială în funcţie de distanţă. În urma fitării (aproximării) liniare a logaritmului acestui semnal şi calculării pantei se obţine un coeficient de atenuare de 1,2 dB/cm. Un avantaj al acestei metode este că centrii de împrăştiere şi lumina neghidată reflectată nu afectează în mod direct măsurătorile. Deci această metodă este mai exactă decât cea care măsoară lumina împrăştiată, obţinându-se o precizie de aproximativ 0,03 dB/cm. Metoda deflexiei fototermice nu poate fi aplicată în cazul în care substratul nu este transparent la lungimea de undă de probă sau nu are o faţă polizată.

5.5. Evaluarea coeficienţilor de atenuare pe baza metodei rezonatorului Fabry-Pérot 5.5.1. Rezonatori în ghiduri optice de undă

O oglindă plană reflectă şi transmite parţial radiaţia incidentă pe suprafaţa ei. Comportarea unei oglinzi plane poate fi descrisă cu ajutorul unor relaţii liniare între amplitudinile undelor incidente, reflectate şi transmise. În cazul în care o undă poate fi incidentă şi pe cealaltă faţă a oglinzii există două amplitudini ale undelor incidente şi două amplitudini ale undelor reflectate. Relaţiile liniare dintre aceste amplitudini definesc o matrice de ordinul doi numită matricea de difuzie. Astfel, cu ajutorul formalismului matricei de difuzie se poate descrie interacţiunea dintre un sistem liniar şi o pereche de unde incidente şi respectiv reflectate. Proprietăţile matricei de difuzie sunt supuse unor restricţii determinate de caracterul ideal (nu sunt luate în considerare pierderile) şi izotrop al materialului din care sunt confecţionate oglinzile depuse la cele două capete ale ghidului.


În cazul în care două oglinzi parţial transparente sunt plasate la o anumită distanţă una de alta, transmisia maximă a undei incidente se obţine când frecvenţa acesteia este egală sau este un multiplu al inversului intervalului de timp necesar parcurgerii distanţei dintre cele două oglinzi. Deci, două oglinzi dispuse în cascadă pot fi folosite ca un filtru trece bandă, acesta prezentând maxime de transmisie pentru anumite frecvenţe caracteristice.

l

5.5.2. Matricea de difuzie Principiul de reciprocitate. În cazul unui mediu izotrop ecuaţiile lui

Maxwell sunt de forma [5.14]:

( ) (aa HE ωμ−=×∇ i ) , (5.36)

( ) (aa EH ωε−=×∇ i ) (5.37)

în care: ( )aEr

şi ( )aHr

reprezintă intensităţile câmpurilor electric respectiv magnetic.

Multiplicând relaţiile (5.36) şi (5.37) cu ( )bHr

şi respectiv ( )bEr

se obţine următoarea relaţie:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ababbaba EEHHEHHErrrrr⋅ε−⋅μω−=⋅×∇+⋅×∇ i . (5.38)

Schimbând indicii superiori din (5.38) între ei şi scăzând relaţia obţinută din (5.38) rezultă (membrul stâng se anulează):

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0=×−×⋅∇ abba HEHErrrr

. (5.39) Integrând relaţia (5.39) pe un volum V mărginit de suprafaţa S şi ţinând

seama de teorema Gauss se poate deduce teorema (principiul) de reciprocitate sub forma:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] aHEaHES

abS

ba d d ∫∫ ×=×rrrr

. (5.40)

Acest principiu impune o anumită constrângere asupra soluţiilor ecuaţiilor Maxwell într-un mediu caracterizat de permitivitatea electrică absolută şi permeabilitatea magnetică absolută

εμ .

Definiţii şi proprietăţi. Se consideră interacţiunea dintre un mediu optic

liniar şi o undă plană incidentă (liniar polarizată TE) care este parţial reflectată şi parţial transmisă, ca în figura 5. 20.

Un astfel de mediu determină o relaţie liniară între amplitudinile undelor incidente notate cu şi respectiv reflectate notate cu b . a

Amplitudinile undelor şi sunt normalizate astfel încât puterea incidentă pe unitatea de arie din partea stângă a figurii 5. 19 este dată de:

a1 b1

( ) 21

21 |||Re[2/1 bazHE −⋅× =|]* rrr

. (5.41) O normalizare analoagă este folosită şi în cazul undelor de amplitudini şi . 2a 2b


Din relaţia (5.41) se poate scrie că: ( )[ ] ( ) ( xkbaYE xy iexp/2 11

2/110 −+= ) , (5.42)

( )[ ] ( ) ( xkbaYH xx iexp/2 112/11

0 −−= )

]

]

, (5.43) unde:

( )[ ] ( ) ( )[ zkEYa z 1iexp2/ 12/1101 −≡ − , (5.44)

. (5.45) ( )[ ] ( ) ( )[ zkEYb z 1iexp/ 12/1101 +≡ −2

Fig. 5. 20. Interacţiunea dintre un mediu liniar şi o undă plană polarizată TE. În cazul undelor plane polarizate TM tratarea se face în mod analog. Amplitudinile şi pot fi alese ca variabile independente în timp ce amplitudinile şi pot fi alese ca variabile dependente. Între cele patru amplitudini se poate stabili o relaţie cu ajutorul matricei de difuzie sub forma:

a1

b1

a2

b2S

(5.46) b S a S a1 11 1 12= + 2

. (5.47) b S a S a2 21 1 22 2= + Relaţiile (5.46) şi (5.47) descriu un sistem cu două porturi de acces. Formalismul prezentat anterior fiind general valabil, acesta poate fi aplicat şi în cazul în care se folosesc ca porturi ghiduri optice de undă sau fascicule optice a căror secţiune transversală este finită, nu numai în cazul undelor plane. În acest caz a1

2 şi b12 sunt astfel normalizate încât corespund puterii undelor.

Definind două matrice coloană:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≡

1

2

1

2

,b

b

a

aba (5.48)

şi o matrice de ordinul doi, de forma :

(5.49) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211SSSS

S

între amplitudinile undelor se poate scrie următoarea relaţie compactă : (5.50) Sab ≡care înlocuieşte relaţiile (5.46) şi (5.47). În cazul în care sistemul descris de matricea de difuzie este reciproc atunci elementele matricei de difuzie se supun condiţiei de reciprocitate (relaţia

S


(5.40)). O altă constrângere impusă elementelor de matrice în cazul în care se consideră un sistem ideal este determinată de proprietatea de reversibilitate a timpului, proprietate care determină soluţiile ecuaţiilor lui Maxwell. Cu ajutorul acestor proprietăţi se pot determina anumite elemente ale matricei de difuzie cunoscând expresiile altor elemente. Pe baza principiului (teoremei) de reciprocitate, suprafaţa S din relaţia (5.40) poate fi interpretată ca o suprafaţă cilindrică care conţine sistemul mărginit de două plane de intrare şi respectiv de ieşire. Pe baza teoriei prezentate în lucrarea [5.14] se poate demonstra că integralele de suprafaţa din relaţia (5.40) se reduc la integrale pe suprafeţele plane care mărginesc sistemul. Exprimate cu ajutorul amplitudinilor undelor aceste integrale devin:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bbaa

S

bbaa(b)a babababaaHE 22221111 −+−−+−→⋅×∫ drr

(5.51)

Expresii analoage se obţin pentru integrala de suprafaţă:

(5.52) ( ) ( ) aHES

ab d⋅×∫rr

în cazul în care indicii superiori ( )a şi ( )b se schimbă între ei. Definind două matrice transpuse şi respectiv b : at t

şi [ 21,aaat = ] [ ]21,bbbt = (5.53) cu ajutorul relaţiilor (5.44)-(5.45) se poate scrie :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bbat

at

b

S

a babaaHE −+−=⋅×∫ drr

(5.54)

Tinând seama că: ttt Sab = (5.55)

unde este o matrice de ordinul doi, transpusa matricei de difuzie tS S , iar baab tt = (5.56)

rezultă: , (5.57) SSt =adică matricea de difuzie corespunzătoare unui sistem liniar şi reciproc este simetrică. În cazul a două porturi se poate scrie că: . (5.58) 2112 SS = Puterea netă care trece printr-un sistem ideal (fără pierderi) trebuie să fie zero [5.14], deci:

.021

21

22

22 =−+− baba (5.59)

Relaţia (5.59) poate fi scrisă şi sub forma matricială:

[ ] 01 =− −+ aSSa , (5.60) în care: 1 reprezintă matricea identitate, iar operaţia (-) corespunde conjugării complexe. Întrucât vectorul excitare este arbitrar, din relaţia (5.60) rezultă că: a (5.61) .1=−SS


Produsul fiind egal cu matricea identitate se poate scrie că: SS+

(5.62) 1−− = SSadică matricea de difuzie în cazul unui sistem ideal este unitară. În cazul unui sistem cu două porturi se pot scrie următoarele relaţii între elementele matricei de difuzie :

1221

211 =− SS , (5.63)

1212

222 =− SS (5.64)

. (5.65) 022*2112

*11 =− SSSS

Matricea de difuzie are patru componente complexe. Cu ajutorul teoremei de reciprocitate se poate elimina o componentă. Ecuaţiile (5.63)-(5.65) fiind reale şi independente, se poate trage concluzia că un sistem ideal cu două porturi poate fi descris cu ajutorul a trei parametri reali. Pe baza proprietăţii de inversie temporală se poate arata că [5.14]:

(5.66) 1* −= SS Întrucât cu ajutorul conservării puterii s-a demonstrat că: S S* = + (5.67) se poate trage concluzia că matricea de difuzie este o matrice simetrică, deci proprietatea de reversibilitate temporală şi conservarea puterii se implică reciproc.

5.5.3. Matricea de difuzie în cazul unei oglinzi parţial transparente Formalismul matricei de difuzie poate fi aplicat în cazul unei oglinzi parţial transparente ideale (fără pierderi). Poziţia planului de referinţă (1) poate fi aleasă astfel încât unda reflectată să fie în antifază cu unda incidentă (fig. 5. 21)

Fig. 5. 21. Schema unei oglinzi parţial transparente. Între amplitudinile undelor reflectate şi incidente există relaţia: (5.68) ( ) ( )E r E− = −1 1 + 1

1

sau (5.69) b r a1 1= −unde coeficientul de reflexie r este real şi pozitiv. 1


Aceleaşi consideraţii pot fi făcute în cazul planului de referinţă (2) obţinându-se relaţiile:

S11 1= r− (5.70)

S22 2= r− . (5.71) În cazul unui sistem ideal din relaţiile (5.63)-(5.65) se pot calcula elementele de matrice de forma:

S S212

112

121 1| | |= − = − r (5.72)

. (5.73) | | | | | |S S r S122

222

22

2121 1= − = − =

Deci elementele de matrice S r11 11= − şi S22 r= − sunt egale chiar şi în cazul în care sistemul este nesimetric. Din relaţia (5.65) se obţine:

r r r1 2= =

S S SS

12 2122

11

= − ** . (5.74)

Printr-o alegere potrivită a planelor de referinţă raportul devine egal cu unitatea, iar o cantitate pur imaginară. Se poate alege:

S S22 11/ *

S12

S t12 = i (5.75) unde t este coeficientul de transmisie

21 rt −= (5.76) care nu trebuie să fie neapărat pozitiv. În cazul unui sistem ideal matricea de difuzie poate fi scrisă sub forma:

. (5.77) Sr tt r

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ii

Matricea de difuzie conţine un singur parametru real ajustabil, şi anume coeficientul de reflectivitate

Sr .

Prin prezenta deducere a relaţiei pentru matricea de difuzie în cazul unei oglinzi, aceasta este independentă de unghi şi de polarizarea razelor incidente care pot fi TE sau TM ori combinaţia celor două. Desigur, coeficientul de reflectivitate poate fi în funcţie de polarizare şi de unghiul de incidenţă.

S

În cazul unui sistem cu pierderi, elementele matricei de difuzie devin complexe. Fazele parametrilor elementelor de matrice pot fi ajustate printr-o alegere potrivită.

S

Odată alese planele de referinţă matricea poate fi scrisă sub forma (5.77) în cazul unei frecvenţe particulare

Sω 0 , această expresie a matricei

nemaifiind valabilă în cazul altor frecvenţe pentru că: S

1) alegerea planelor de referinţă depinde de frecvenţă; 2) coeficienţii r şi t pot depinde de frecvenţă.

Deşi matricea de difuzie depinde de frecventă, în principiu printr-o alegere potrivită a planelor de referinţă aceasta poate să devină independentă de frecvenţă.

S


5.5.4. Cavitatea Fabry-Pérot Cavitatea (interferometrul) Fabry-Pérot are mai multe aplicaţii: poate fi folosit ca resonator pentru lasere, poate fi utilizat ca filtru de transmisie cu bandă îngustă sau ca analizor de spectru optic. Funcţionarea cavităţii Fabry-Pérot poate fi descrisă cu ajutorul matricei de difuzie [5.14]. O cavitate Fabry-Pérot este formată din două oglinzi parţial transparente aflate la distanta l, între care se află un mediu optic cu indicele de refracţie n (fig. 5. 22). O undă de frecvenţă ω incidentă din partea stângă pe oglinda 1 (fig. 5. 22 a)) este parţial transmisă cu amplitudinea şi parţial reflectată cu amplitudinea

i t a1 1

− r a1 1 . Unda transmisă spre oglinda a doua ajunge la suprafaţa acesteia defazată cu cantitatea ( )ω θn c l/ cos /≡ 2

a

δ . Pe oglinda a doua se reflectă

unda iar unda ( )− r t2 1iδ) (i exp1 − 2/ ( )( ) ( )/ a2i it t2 1 exp i− δ 1 este transmisă,

după care procesul se repetă în cazul oglinzii 1 ş.a.m.d.

Fig. 5. 22 a), b). Schema undelor incidente, reflectate, interne şi transmise în cazul cavităţii Fabry-Pérot.

Unda totală care părăseşte oglinda 1 şi călătoreşte spre dreapta are expresia:

( )( ) ( )a r r t a t

r ra

m

m= − =

− −

∞∑=

1 2 1 11

1 21

0 1exp i i i

exp i.δ

δ (5.78)

Cu ajutorul expresiilor amplitudinilor undelor a şi se pot calcula amplitudinile undelor reflectată şi respectiv totală internă b (fig. 5. 22 b)), care călătoreşte spre oglinda 1 sub forma:

a1

b1

btarb 1111 i+−= (5.79) brata 111i −= . (5.80)

Rezolvând ecuaţiile (5.70)-(5.74) şi (5.79)-(5.80) se obţine :

( )( )

br r

r ra1

1 2

1 211

= −− −

− −

exp iexp i

δ

δ . (5.81)


Amplitudinea undei transmise b este de forma: 2

( )

( )b

t tr r

a21 2

1 21

21

= −−

− −

exp i /exp i

δ

δ . (5.82)

Cu ajutorul ecuaţiilor (5.81) şi (5.82) se poate scrie matricea de difuzie în cazul cavităţii Fabry-Pérot sub forma:

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )Sr r i

r r t tt t r r

=− −

− − − − − −

− − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

11

221 2

1 2 1 2

1 2 2 1expexp i exp i /

exp i / exp iδ

δ

δ δ

δ. (5.83)

Puterea transmisă (pe unitatea de arie) calculată cu ajutorul elementelor matricei de difuzie este dată de relaţia:

( ) ( )

b S at t a

r r r r2

221

21

2 12

22

12

1 22

1 221 4

= =− + sin /δ 2

. (5.84)

Sub această formă expresia pentru puterea transmisă este valabilă şi în cazul oglinzilor care au pierderi, caz în care: sunt mărimi complexe. Expresia (5.84) se simplifică dacă şi

, aceasta devenind:

r r t t1 2 1 2, , ,t t1

222 1= = r r r R1

212

22− = ≡,

Rtt −== 122

21

( )

( ) ( )2/sin411

22

22

12

2δ+−

−=

RRRab (5.85)

unde R este reflectivitatea oglinzilor. Transmisia prezintă maxime când , unde m este un întreg. Frecvenţele caracteristice

corespunzătoare se calculează cu ajutorul relaţiei: ( ) π=θ=δ mlcn cos/2/ ω

νθm

mcnl

=2 cos (5.86)

iar separaţia în frecvenţă dintre maxime este:

ν νθm m

cnl+ − = =1 2

Δνcos . (5.87)

Domeniul spectral al cavităţii Fabry-Pérot

ΔλΔν

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

νλ

λ θ2

2cosnl (5.88)

este prezentat în figura 5. 23.

5.5.5. Evaluarea pierderilor la propagare Modelul teoretic prezentat anterior permite evaluarea coeficientului de

atenuare folosind metoda rezonatorului Fabry-Pérot [5.18]-[5.20]. Intensitatea transmisă în cazul unui rezonator Fabry-Pérot sub forma

unui ghid optic de undă, monomod, simetric cu pierderi la propagare se poate calcula pe baza modelului prezentat în lucrările [5.14] şi [5.18] cu ajutorul relaţiei:

IT


( )

( ) ( )I

T l

R RIT =

−

− +

2

2 20

1 4 2

exp~ ~ sin /

αη

Φ, (5.89)

în care: este intensitatea fasciculului laser incident, η este eficienţa cuplajului modului în ghid, iar

I0

( )LRR α⋅= -exp~ (5.90)

α reprezentând coeficientul de atenuare al ghidului optic.

Fig. 5. 23. Transmisia cavităţii Fabry-Pérot în cazul unui mediu ideal (fără pierderi), considerând . 2,02

22

1 === Rrr

În relaţia (5.89) RT −=1 reprezintă transmisivitatea oglinzilor (feţelor laterale), )( 0 LnkL ef=Φ , (5.91)

este drumul optic, iar este indicele de refracţie efectiv al ghidului. efn Pentru a calcula intensitatea fasciculului transmis cu ajutorul relaţiei (5.89) trebuie cunoscuţi toţi parametrii, şi η putând fi numai estimaţi. Din relaţia

(5.89) se observă că variază între două limite, valoarea superioară când Φ este un număr par de şi respectiv cea inferioară când

efnIT I M

π Im Φ este un număr impar de . Această variaţie permite măsurarea contrastului π K , a rezonanţelor definit cu ajutorul relaţiei:

.mM

mMIIIIK

+−

= (5.92)

Cu ajutorul relaţiei (5.92) coeficientul K poate fi evaluat în funcţie de ~R independent de alţi parametrii cum ar fi: η , şi . Din relaţia (5.90) şi din

definiţia lui

I 0 efnK se obţine:


~ ~.R K

KK

=− −

=1 1

2

2 (5.93)

Înlocuind valoarea lui ~R în relaţia (5.90) se obţine următoarea expresie pentru coeficientul de pierderi (de fapt o limită superioară a acestei valori) [5.19]:

α ~ , (ln ln ln ~)4 34 2L

R K+ − . (5.94)

În cazul unor valori mici ale contrastului K corespunzător rezonanţelor Fabry-Pérot ( K <<1) se poate aproxima ~K K≅ . Din relaţia (5.94) se observă că se poate determina valoarea coeficientului de atenuare α cu o eroare absolută:

ΔαΔ

=4 34,

LK

K (5.95)

care depinde de valoarea relativă corespunzătoare măsurării lui K . Montajul experimental utilizat pentru măsurarea coeficientului de atenuare prin metoda rezonatorului Fabry-Pérot este prezentat schematic în figura 5. 24 [5.18]. S-a folosit un laser cu He - Ne (λ= 0,63 μm) pentru alinierea montajului şi o diodă laser (L. D.) având =1,55 μm ca semnal optic, cele două radiaţii fiind cuplate împreună cu ajutorul unui cuplor de 3 dB (C) (optimizat pentru radiaţia având =1,55 μm).

λ

λ

Fig. 5. 24. Montajul experimental folosit pentru măsurarea pierderilor prin metoda rezonatorului Fabry-Pérot.

Ghidurile (W) dispuse pe un substrat având depuse la capete oglinzi cu R =0,14, tăiate după axa x , cu lungimea de 48 mm şi respectiv după axa , cu lungimea de 52 mm au fost produse de Laboratoarele Pirelli-Cavi (Milano, Italia) prin difuzia Ti şi Er3 în LiNbO3 . Fiecare substrat conţine 2

z

+ × 9 ghiduri de tip panglică având lăţimile cuprinse între 5 μ m şi 9 μ m, în trepte de 0,5 m. μ

Pierderile au fost evaluate pentru cele două polarizări TE şi TM ale semnalului, obţinute cu ajutorul polarizorului (P) şi izolatoarelor optice (I). Semnalul optic la ieşirea din ghid a fost înregistrat cu ajutorul unui analizor optic de spectru (O.S.A.) folosit ca fotodiodă, iar datele au fost achiziţionate cu un calculator (CO.).


Măsurând contrastul K (relaţia 5.92) al rezonanţelor Fabry-Pérot (fig. 5. 25) este posibil să se evalueze cu relaţia (5.94) valoarea maximă a coeficientului de atenuare (pierderi la propagare şi prin reflexie).

Fig. 5. 25. Rezonanţele obţinute prin încălzirea cavitătăţii Fabry-Pérot. În relaţia (5.89) intensitatea semnalului transmis variază periodic cu diferenţa de fază optică care poate fi acordată în vederea obţinerii rezonanţelor fie prin variaţia temperaturii ghidului cu ajutorul unui cuptor (element Peltier) (O) fie prin variaţia frecvenţei semnalului cu ajutorul unui laser acordabil. Coeficientul de atenuare, α poate fi măsurat şi prin variaţia lungimii de undă cu =0,001 nm a semnalului corespunzător unui laser acordabil având

=1,55 μm în cazul unui ghid tăiat după axa λΔ

λ x cu lăţimea de 5 μm. În acest caz, forma rezonanţelor este prezentată în figura 5. 26 [5.18].

Fig. 5. 26. Rezonanţele obţinute în cavitatatea Fabry-Pérot cu ajutorul unui laser acordabil.

Valorile medii ale coeficientului de atenuare α în cazul unui ghid optic de

tip Er :Ti:LiNbO3 tăiat după axa x corespunzătoare polarizărilor TE şi respectiv TM în funcţie de lăţimea ghidului sunt prezentate în figura 5. 27.

+3

De exemplu, coeficientul de atenuare al unui ghid de Er3+ :Ti:LiNbO având lăţimea de 5 μm tăiat după axa

3x , corespunzător polarizărilor TE şi

respectiv TM măsurat cu ajutorul montajului experimental prezentat în figura 5. 24 prin încălzirea cavităţii Fabry-Pérot are valorile α = 0,62 dB/cm şi respectiv

=0,36 dB/cm, precizia fiind de 2,5 % [5.18]. α


Aceste rezultate sunt în bună concordanţă cu cele măsurate în cazul folosirii unui laser acordabil pentru obţinerea rezonanţelor (fig. 5. 27).

Fig. 5. 27. Coeficientul de atenuare al unui ghid de tip Er3+ :Ti:LiNbO3 tăiat după axa x ,

corespunzător polarizărilor TE (°) şi respectiv TM (*).

5.6. Măsurarea timpului de viaţă de fluorescenţă Un parametru important care caracterizează ghidurile optice de undă este timpul de viaţă de fluorescenţă întrucât acesta determină câştigul optic. Prin măsurarea timpului de viaţă de fluorescenţă se obţin informaţii privind posibilitatea utilizării ghidurilor optice de undă ca oscilatoare laser sau ca amplificatoare. Timpul de viaţă de fluorescenţă este definit ca intervalul de timp în care intensitatea luminii emise de un sistem atomic (molecular) scade la din valoarea iniţială după ce radiaţia de pompaj a fost suprimată. Pentru a măsura corect timpul de viaţă de fluorescenţă trebuie satisfăcute două condiţii. În primul rând, puterea radiaţiei de pompaj trebuie să fie suficient de mare astfel ca toţi atomii mediului activ să fie excitaţi. În al doilea rând, intervalul de timp în care are loc suprimarea radiaţiei de pompaj trebuie să fie mult mai mic decât timpul de viaţă de fluorescenţă.

e/1

Măsurarea timpului de viaţă de fluorescenţă se poate face cu ajutorul montajului experimental prezentat în figura 5. 28.

Fig. 5. 28. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea timpului de viaţă de fluorescenţă.

În general, ca sursă de pompaj se utilizează un laser în impulsuri a căror

durată este mai mică decât timpul de viaţă de fluorescenţă. Dacă se utilizează un


laser în regim continuu radiaţia emisă de acesta trebuie modulată cu ajutorul unui chopper. La ieşirea din ghid, filtrul taie radiaţia de pompaj lăsând să treacă numai cea de fluorescenţă. Semnalul obţinut este apoi detectat, amplificat şi vizualizat cu ajutorul unui osciloscop. Timpul de viaţă de fluorescenţă corespunde intervalului de timp în care intensitatea emisă scade la din valoarea maximă. e/1

5.7. Măsurarea amplificării Ghidurile optice de undă dopate cu ionii pământurilor rare (Er3+, Nd3+,..) sunt componente active care se utilizează la fabricarea laserelor, amplificatoarelor laser şi modulatoarelor integrate. Cea mai importantă proprietate a acestor tipuri de ghiduri este că ele pot amplifica semnalele optice. În cazul unui semnal optic de frecvenţă ν care la intrarea în ghid are intensitatea , la ieşire intensitatea acestuia devine : I0

(5.96) ( )[I I g L= 0 exp ν ]unde este lungimea ghidului, iar L

( ) ( ) ( )g N N

c G

nν

ν

π ν τ= −2

2

2 21 8 (5.97)

este câştigul optic al ghidului. În relaţia (5.97) reprezintă numărul de atomi din unitatea de volum din starea fundamentală şi respectiv excitată, c este viteza luminii în vid, n este indicele de refracţie al ghidului,

N N1 , 2

τ este timpul de viaţă de fluorescenţă, iar este intensitatea normalizată corespunzătoare spectrului de emisie. Pentru a produce un câştig pozitiv trebuie ca populaţia nivelului excitat să fie mai mare ca cea a nivelului fundamental, adică trebuie realizată inversia de populaţie. Inversia de populaţie în cazul ghidurilor optice de undă dopate cu ionii pământurilor rare se realizează prin pompaj optic. Deci parametrii mai importanţi care caracterizează ghidurile optice dopate cu ionii pământurilor rare sunt spectrul de absorbţie şi de emisie, timpul de viaţă de fluorescenţă şi câştigul optic.

( )G ν

Câştigul unui ghid dopat poate fi calculat teoretic şi determinat experimental. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea amplificării este prezentat în figura 5. 29.

Fig. 5. 29. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea amplificării.

Radiaţia de pompaj şi semnalul optic care urmează a fi amplificat sunt cuplate simultan în ghidul optic. Semnalul optic este modulat cu ajutorul unui


chopper. La ieşirea din ghid un filtru taie radiaţia de pompaj şi lasă să treacă numai semnalul optic care este detectat şi separat de zgomot cu ajutorul unui montaj electronic (lock-in amplifier). În absenţa radiaţiei de pompaj se măsoară intensitatea a semnalului optic, iar în prezenţa acesteia se măsoară intensitatea

. Câştigul se calculează cu ajutorul relaţiei: I0

I1

( )gI

L

I

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟10 1

0log

dB / cm (5. 98)

în care: este lungimea ghidului. L În fig. 5. 30 este prezentat semnalul amplificat în cazul unui ghid de sticlă obţinut prin schimb ionic, dopat cu neodim, având lungimea de 6 mm. Radiaţia de pompaj este dată de un laser acordabil care operează la 580 nm, iar semnalul optic este emis de un laser cu He-Ne având lungimea de undă de 1080 nm. Cu ajutorul montajului experimental prezentat în figura 5. 28 în cazul ghidului amintit anterior s-a obţinut un câştig de 3 dB/cm.

Fig. 5. 30. Semnalul amplificat de un ghid optic dopat cu neodim. În medalion este prezentat spectrul emisiei spontane al ghidului.

5.8. Măsurarea spectrului de transmisie

Spectrul de transmisie al unui ghid caracterizează comportarea optică a acestuia în funcţie de lungimea de undă. Din spectrul de transmisie se pot determina lungimea de undă de tăiere corespunzătoare fiecărui mod, regiunea de operare monomodală, variaţia relativă a pierderilor cu lungimea de undă, secţiunile eficace omogene de absorbţie şi respectiv emisie. Folosind montajul experimental prezentat în figura 5. 31 se poate măsura spectrul de transmisie al unui ghid optic de undă într-un domeniu domeniu spectral larg. Radiaţia luminoasă provenită de la o lampă spectrală este cuplată în ghidul optic cu ajutorul unui obiectiv de microscop şi excită toate modurile. Lumina care iese din ghid este analizată cu ajutorul unui spectroscop cu înaltă putere de rezoluţie. La ieşirea din spectroscop, lumina este detectată, semnalul obţinut este amplificat, iar datele sunt achiziţionate cu ajutorul unui calculator.


În spectrul de transmisie obţinut există mai multe regiuni care corespund diferitelor moduri ghidate. Lungimea de undă de tăiere corespunde valorii din spectru pentru care transmisia se anulează.

Fig. 5. 31. Montajul experimental folosit pentru măsurarea spectrului de transmisie al unui ghid optic de undă.

Lungimea de undă caracteristică operarării monomodale corespunde valorii pentru care se propagă numai modul fundamental. Din punct de vedere teoretic, intensitatea transmisă ar trebui să descrească cu lungimera de undă de tăiere corespunzătoare fiecărui mod. Intensitatea spectrului transmis fiind mai mică în regiunea lungimilor de undă mici, se poate trage concluzia că pierderile în ghid corespunzătoare acestor lungimi de undă sunt mai mari decât în regiunea lungimilor de undă mari.

5.9. Determinarea secţiunilor eficace omogene de emisie şi absorbţie ale ghidurilor optice de undă de tip Er :Ti:LiNbO din spectrul de transmisie

+33

5.9.1. Formalismul matricei densitate În general, secţiunile eficace de absorbţie şi emisie pot fi calculate cu ajutorul relaţiei Fuchtbauer-Ladenburg (al coeficienţilor Einstein, A şi B ) dacă populaţiile nivelurilor energetice despicate prin efect Stark implicate în tranziţia laser sunt aproximativ egale (sau energia corespunzătoare despicării Stark

, unde ΔE k TB< T este temperature, iar constanta lui Boltzmann). Aceste

condiţii nefiind îndeplinite în cazul ghidurilor de Ti:LiNbO dopate cu ioni de

Er 3 pentru calcularea exactă a secţiunilor eficace se utilizează formalismul matricei densitate (v. Anexa 2) şi teoria elaborată de Mc Cumber [5.18]-[5.24].

kB

3+

Pentru a descrie interacţiuneaa dintre un sistem atomic şi câmpul laser se foloseşte formalismul semiclasic care este aplicat unui sistem laser cu trei niveluri despicate prin efect Stark (fig. 5. 32).


Ecuaţiile de mişcare Heisenberg pentru operatorul densitate, în cazul menţionat anterior sunt de forma [5.13]:

ρ

( ) ( )d ~

di , ~ ~

,,

ρμ ρ ρ ρ ρ ρ11

13 11 31 33 21 22t hE z t R R Ak j kj jk

j k= − − +∑ ~+ (5.99)

( ) ( )d ~

di

, ~,

,

ρμ ρ ρ ρ ρ22

21 22 32 33t hE z t A Ak j kj jk

j k= − −∑ ~+ (5.100)

( ) ( )dd

i~ i

h, ~ ~ ~ ~

, ,j,k

ρω ρ μ ρ ρ ρjk

kj kj k j k j jkr

jktE z t p p A= − − −∑ 2 22 1 11 (5.101)

Elementele de matrice ~ρ ρ11 = ∑ jj şi ~ρ ρ22 = ∑ kk reprezintă

probabilităţile de ocupare ale nivelurilor 1 şi respectiv 2 (fig. 5. 31), sunt elementrele de matrice ale nivelurilor individuale despicate prin efect Stark,

ρ jk

( )

( )[ ][ ]

NE E k T

E E k TN p Nnm

m n B

m B

n nm

m

=−

−∞∑

=

=

exp /

exp /11

n (5.102)

pnm definind distribuţia Boltzmann (probabilitatea de ocupare a subnivelurilor).

Fig. 5. 32. Diagrama nivelurilor energetice corespunzătoare ionului de Er 3+ despicate prin efect Stark.

În relaţiile (5.99) - (5.101), se referă la pompajul atomilor din starea R13

E E1 3>→ > , (determinând procesul invers), caracterizează fenomenele

de relaxare spontane (neradiative),

R31 Aij~Ajk ρ reprezintă termenul de pierderi,

sunt elementele de matrice ale operatorului moment atomic de dipol, iar μ kj

h

kjjk

EE −=ω .


De asemenea, în relaţia (5.102) (n = 1, 2, 3 şi m = j, k, l) reprezintă densitatea de populaţie totală corespunzătoare fiecărui nivel degenerat 1, 2 şi 3,

şi fiind gradele de degenerare respective. Subnivelurile energetice corespunzătoare nivelurilor 1, 2 şi 3 sunt notate cu indicii

Nn

g g1 2, g3

j , , (de exemplu: k lj = 1,..., , = 1,..., , l = 1, ..., ). g1 k g2 g3

În regim de stare staţionară pentru elementele de matrice diagonale se obţin expresii de forma [5.13]:

( )

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]

~

~

~

~

ρσ ω τ

τνσ ω σ ω τ

ρτ σ ω τ

τνσ ω σ ω τ

11

13

22

13

13

1

1

1

=+

+ + +

=+

+ + +

PA

RP

Ah

RPA

RP

Ah

Se

Se S a S

Sa

Se S a S

(5.103)

în care:

( ) ( )σ ω

ν

σ ω

νa kj

kjjkjh h

p~ = ∑ 1 şi ( ) ( )σ ω

ν

σ ω

νe kj

kjjkkh h

p~ = ∑ 2 (5.104)

sunt secţiunile eficace de absorbţie (a) şi respectiv de emisie (e) omogene, iar:

( )σ ωλ

π τω ω

kjkj

kj kjkj

kjn

=

+−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

2

22

2 1 4ΔωΔω

(5.105)

reprezintă secţiunile eficace corespunzătoare formei Lorentz a liniilor asociate cu

tranziţiile laser individuale (jk). În relaţiile (5.103) - (5.105) λπωkj

kj

c=

2 este

lungimea de undă corespunzătoare tranziţiei (kj), Δω kj

S

este lărgimea spectrală omogenă corespunzătoare tranziţiei (kj) (Full Width at Half Maximum-FWHM),

este frecvenţa medie, este aria efectivă, iar este puterea semnalului. ~ν A P

5.9.2. Evaluarea secţiunilor eficace omogene de emisie şi absorbţie

Secţiunile eficace omogene de absorbţie şi de emisie definite în relaţia (5.104) pot fi evaluate cu ajutorul celor măsurate experimental, neomogene

, din spectrele de transmisie printr-o transformată Fourier inversă, conform relaţiei [5.13]:

( )λσoea,

( )σ λa en

,

( ) ( )[ ]σ ω σ ω ωa en

a enF

xF x, exp

log; ;0 1

2 2

16 2=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− Δω, (5.106)


în care: reprezintă lărgimea benzii neomogene, iar Δωn Δλn este lărgimea liniei neomogene. Secţiunile măsurate experimental sunt neomogene din cauza defectelor, dislocaţiilor sau impurităţilor reţelei cristalului gazdă (LiNbO în cazul de faţă).

3

Pe baza teoriei lui Mc Cumber [5.18] relaţia dintre secţiunile eficace de absorbţie şi respectiv emisie este:

( ) ( ) ( )σ ν σ ν

ν εa e

B

hk T

=−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

exp (5.107)

unde

h k TNNBε ≈ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟log 2

1 (5.108)

Spectrele pot fi generate numeric cu ajutorul unor funcţii de tip Gauss cu ajutorul relaţiei:

( ) ( )I ai

i

iiλ

λ λ= −

−⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

∑ exp log4 22

2Δλ, (5.109)

în care: şi sunt parametri care asigură cea mai bună fitare a datelor experimentale cu cele teoretice. În relaţia (5.109) reprezintă valoarea maximă a liniei , este lărgimea spectrală a liniei , iar

ai i, Δλ

Δλ i

λ i

ai

i i λ i este lungimea de undă corespunzătoare centrului liniei i . Intensităţile spectrelor de absorbţie şi respectiv emisie sunt

proporţionale cu secţiunile eficace neomogene [5.18]. Curba care asigură cea mai bună aproximaţie a relaţiei (5.109) nu este unică pentru că poate fi folosit un număr variabil de funcţii gaussiene, însă deconvoluţia expresiei (5.106) are o soluţie unică.

eaI ,

nea,σ

Folosind montajul experimental prezentat în figura 5. 33 a fost înregistrat

spectrul de transmisie în cazul unui ghid de tip Er :Ti:LiNbO3 tăiat după axa x, având 7,5 m lătime şi 52 mm lungime utilizând atât radiaţii nepolarizate cât şi polarizate TE şi respectiv TM [5.18], [5.19].

+3

μ

Fig. 5. 33. Montajul experimental utilizat pentru înregistrarea spectrului de transmisie al

unui ghid de tip Er :Ti:LiNbO 3 .. +3


S-a folosit un laser cu He - Ne (λ = 0,63 μm) pentru alinierea montajului şi un amplificator optic care generează un semnal în domeniul 1,4÷1,6 μm (O. A.) având λ=1,55 μm ca semnal optic, cele două radiaţii fiind cuplate împreună cu ajutorul unui cuplor de 3 dB (C) (optimizat pentru lungimea de undă λ=1,55 μm). Ghidurile (W) dispuse pe un substrat au fost produse de Laboratoarele

Pirelli-Cavi (Milano, Italia) prin difuzia Ti şi Er în LiNbO 3 . Fiecare substrat conţine 2× 9 ghiduri de tip panglică având lăţimile cuprinse între 5

+3

μm şi 9 μm în trepte de 0,5 μm. Cele două polarizări TE şi respectiv TM corespunzătoare câmpului radiaţiei incidente au fost selectate cu ajutorul unui polarizator (P) şi a izolatoarelor optice (I).

Spectrul de transmisie obţinut este prezentat în figura 5. 34. Analizând acest spectru se observă o absorbţie puternică în jurul valorii 1532 nm atât în lumină nepolarizată cât şi polarizată TE şi TM, care corespunde tranziţiei dintre nivelurile energetice .2/13

42/15

4 II →

Fig. 5. 34. Spectrul de absorbţie al unui ghid de tip Er:Ti:LiNbO3 în lumină coerentă nepolarizată, polarizată TE şi TM.

În figurile 5. 35 şi 5. 36 sunt prezentate secţiunile de absorbţie şi respectiv emisie omogene în domeniul infraroşu al spectrului în funcţie de lungimea de undă [5.18]. Acestea au fost evaluate cu ajutorul formalismului matricei densitate şi teoriei lui Mc Cumber în cazul luminii nepolarizate, folosind opt funcţii de tip Gauss pentru generarea spectrelor (relaţia (5.109)).

S-au obţinut următoarele valori pentru secţiunile eficace omogene de absorbţie m şi respectiv emisie . 10 1,32 = -25 ×σo

a2 10 1,87 = -25×σo

e m2

5.10. Caracterizarea ghidurilor optice de undă cu reţea

Ghidurile de undă cu reţea sunt componente care joacă un rol important în optica integrată şi sunt folosite ca deflectoare sau reflectoare ale unui fascicul luminos [5.7], [5.21], [5.25].


5.10.1. Măsurarea perioadei reţelei Perioada reţelei unui ghid optic de undă determină dependenţa de lungimea de undă a performanţelor acestuia, cum ar fi de exemplu unghiul de deflexie pentru o lungime de undă dată şi lungimea de undă corespunzătoare maximului în cazul reflexiei. Principiul de măsură a perioadei reţelei este prezentat în figura 5. 37.

Fig. 5. 35. Secţiunile eficace de absorbţie omogene (curba punctată) şi respectiv neomogene (curba continuă).

Fig. 5. 36. Secţiunile eficace de emisie omogene (curba punctată) şi respectiv neomogene (curba continuă).

În cazul unui fascicul laser cu lungimea de undă λ care este incident sub

un unghi pe o reţea de difracţie se obţin fascicule difractate sub unghiurile faţă de normala la suprafaţa ghidului. Din teoria difracţiei se ştie că între unghiurile γ şi Φ există relaţia:

γ Φ

(5.110) ( )Λ Φsin sin , , , , , ...γ λ+ = =m m 0 1 2 3în care: Λ este perioada reţelei, iar este ordinul de difracţie. De obicei se măsoară franjele corespunzătoare ordinului întâi de difracţie, caz în care perioada reţelei este dată de relaţia:

m

( )Φ+γλ=Λ sinsin/ . (5.111)


În cazul măsurării perioadei reţelei de difracţie ghidul este montat pe un goniometru. Operaţia de măsură poate fi mult simplificată dacă se consideră unghiurile γ şi Φ egale.

Fig. 5. 37. Difracţia luminii pe o reţea. Din punct de vedere experimental pentru a obţine egalitatea celor două unghiuri, în primul rând se aşază ghidul într-o astfel de poziţie ca suprafaţa acestuia să fie perpendiculară pe direcţia fasciculului laser. Apoi se roteşte ghidul astfel ca fasciculul difractat să aibă aceeaşi direcţie cu fasciculul laser şi se măsoară unghiul. Perioada reţelei este dată în acest caz de relaţia:

γλ=Λ sin2/ . (5.112)

5.10.2. Analiza microscopică cu baleiaj electronic Ghidurile optice de undă cu reţelele de difracţie se pot obţine în urma difuziei ionice sau prin gravare cu jet de plasmă. Pentru a face o analiză microscopică cu baleiaj electronic se depune pe suprafaţa ghidului un strat de paladiu. Electronii secundari şi cei care sunt împrăştiaţi în spatele ghidului sunt utilizaţi pentru a analiza reţeaua.

Distribuţia electronilor secundari în spaţiu depinde de topografia locului (ghidului). În cazul reţelelor obţinute prin difuzie ionică se folosesc electronii împrăştiaţi în spatele ghidului pentru că distribuţia spaţială a acestora depinde de compoziţia ghidului. Cu toate acestea, rezoluţia determinărilor care implică utilizarea electronilor împrăştiaţi în spate este mai mică decât în cazul folosirii electronilor secundari.

5.10.3. Măsurarea eficienţei reţelei

Fenomenele de difracţie şi reflexie a luminii rezultate în urma interacţiunii dintre lumina ghidată şi reţea depind de perioada reţelei şi de constanta de propagare a modului.

Măsurarea eficienţei difracţiei. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea eficienţei difracţiei este prezentat în figura 5. 38.

Lumina provenind de la un laser este cuplată în ghid cu o lentilă, iar puterile fasciculelor difractate şi respectiv transmise sunt măsurate cu ajutorul a două detectoare. Raportul celor două puteri este o măsură a eficienţei difracţiei.

Caracterizarea ghidurilor optice de undă

125

Măsurarea eficienţei reflexiei. Întrucât lumina reflectată de o reţea de difracţie este destul de greu de măsurat, de obicei se măsoară lumina transmisă. Ca surse de lumină se pot utiliza lămpi spectrale albe, led-uri, lasere acordabile. Rezoluţii foarte înalte sunt dificil de obţinut în cazul folosirii unor surse de lumină albe din cauza intensităţilor luminoase scăzute care pot fi cuplate în ghid. Rezultate bune pot fi obţinute dacă se folosesc lasere acordabile sau led-uri.

Fig. 5. 38. Montajul experimental folosit pentru înregistrarea luminii difractate de un ghid optic cu reţea.

Montajul experimental utilizat pentru măsurarea eficienţei reflexiei este prezentat schematic în figura 5. 39.

Fig. 5. 39. Montajul experimental folosit pentru măsurarea eficienţei reflexiei unui ghid optic de undă prevăzut cu reţea.

Lumina provenită de la o lampă spectrală este mai întâi modulată şi apoi

cuplată în ghidul optic cu ajutorul unei lentile. Radiaţia luminoasă care iese din ghid este analizată cu ajutorul unui spectroscop cu înaltă putere de rezoluţie. La ieşirea din spectroscop, lumina este detectată, semnalul obţinut este amplificat, iar datele sunt achiziţionate cu ajutorul unui calculator.

6. CUPLOARE OPTICE INTEGRATE

6.1. Ghiduri de undă cuplate În cazul când o structură ghidată este perturbată, de exemplu datorită prezenţei unei reţele sau a unui alt ghid apropiat, soluţiile ecuaţiilor Maxwell devin adesea foarte dificil de obţinut. Două ghiduri optice de undă sunt cuplate dacă între acestea se asigură un transfer maxim de energie. În cazul perturbaţiilor slabe, câmpurile în structura perturbată pot fi descrise printr-o superpoziţie a soluţiilor câmpurilor corespunzătoare structurii originale neperturbate, care pot fi determinate relativ simplu. Această aproximaţie stă la baza formalismului modurilor cuplate. Pe baza acestui formalism amplitudinile câmpurilor sunt descrise de un set de ecuaţii diferenţiale cuplate. Dacă materialul din care este confecţionat ghidul este liniar şi ecuaţiile diferenţiale sunt liniare. Deşi există cazuri în care setul de ecuaţii diferenţiale cuplate poate prezenta o soluţie analitică, în general, pentru rezolvarea acestora trebuie utilizate tehnici numerice [6.1].

6.1.1. Cuploare direcţionale

Un cuplor optic se numeşte direcţional dacă transmite lumina în mod preferenţial într-o anumită direcţie. Pentru a pune în evidenţă cuplajul direcţional se consideră două ghiduri optice de undă a şi (fig. 6. 1). b

Fig. 6. 1. Cuplarea a două ghiduri şi b pentru a forma un ghid compus . a c

Dacă cele două ghiduri sunt suficient de apropiate câmpul din fiecare ghid este influenţat de prezenţa celui din ghidul vecin. Sistemul celor două ghiduri poate fi considerat ca un ghid compus care suportă un set de moduri . Câmpul al structurii compuse poate fi scris ca o suprapunere a acestor moduri. Această descompunere modală dă o descriere exactă a câmpului dacă toate modurile, inclusiv cele radiante, sunt luate în considerare (teoria modurilor cuplate).

c cie cEc

Ec

6.1.2. Teoria modurilor cuplate

Pe de altă parte, sistemul c poate fi considerat de asemenea ca fiind format din două ghiduri cuplate. În acest caz, ghidul este perturbat de ghidul vecin b şi invers. Aceste perturbaţii determină un schimb de energie între ghidurile şi . Câmpul corespunzător structurii compuse poate fi aproximat printr-o suprapunere a modurilor şi care caracterizează ghidurile originale

şi b :

aa b

cE c

ame bmea

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑ β−ω+β−ω∑=n

bnbnnamamm

mc ztezBztezAE iexpiexp . (6.1)

Cuploare optice integrate 127

Această aproximaţie permite calculul modurilor sistemului compus . Din cauza schimbului de energie dintre modurile ghidurilor şi coeficienţii dezvoltării variază cu distanţa de-a lungul structurii compuse.

ecia b

z Dacă ghidurile şi b sunt monomodale ecuaţia (6.1) devine: a ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ztezBztezAE bbaac β−ω+β−ω= iexpiexp . (6.2) Înlocuind relaţia (6.2) în ecuaţiile lui Maxwell

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂

∂+×∇×∇ 01

2

2

2 tE

cE

rr

, se obţine un sistem de două ecuaţii cuplate pentru

amplitudinile undelor de forma: ( )[ ]zBkAzA baaba β−β−−βΔ−= iexpiid/d (6.3) ( )[ ]zAkBzB babab β−β−βΔ−= iexpiid/d (6.4) în care:

( ) ( )[ ][ ] yxeeyxnyxnk abbaabcbaab dd,,4

*,,

2,

20, ⋅∫

∞−

∞−∫∞−

∞−−

ωε= (6.5)

( ) ( )[ ][ ] yxeeyxnyxn abbabacba dd,,4

*,,

2,

20, ⋅∫

∞−

∞−∫∞−

∞−−

ωε=β . (6.6)

Pentru deducerea ecuaţiilor (6.3), (6.4) s-a considerat că amplitudinile undelor variază puţin cu distanţa de propagare (cuplaj slab) şi s-au neglijat derivatele de ordinul doi. Funcţia din relaţiile (6.5), (6.6) reprezintă distribuţia indicelui de refracţie corespunzătoare ghidului compus , iar

( )n x yc ,c ( )yxna , şi ( )yxnb , cele ale

ghidurilor iniţiale şi . Coeficienţii de cuplaj şi determină transferul energiei între cele două ghiduri.

a b kba kab

Considerând că unitatea de putere la intrarea în ghidul a este ( ) 10 2 =A ,

iar în ghidul b, ( ) 00 2 =B , în urma integrării numerice a sistemului de ecuaţii diferenţiale (6.3), (6.4) se poate obţine dependenţa de lungime ( ) a puterilor la ieşirea din ghid (fig. 6. 2).

L

Fig. 6. 2. Puterea transferată între două ghiduri optice de undă cuplate sincron în funcţie de lungimea ghidurilor, . L


Se observă că în cazul cuplajului sincron ( ba ββ =

k2/) există un transfer total

de putere între ghiduri pe o lungime de cuplaj, Lc π= (cu = = k ). bak abkÎn cazul cuplajului asincron ( ba β≠β ) nu există transfer total de putere

între ghiduri, aşa cum se poate observa din figura 6. 3.

Fig. 6. 3. Puterea transferată între două ghiduri optice de undă cuplate asincron în funcţie de lungime ghidurilor, . L

Formalismul cuplării modurilor poate fi folosit pentru analiza cuploarelor

direcţionale, dar şi a sistemelor multighid. În cadrul dispozitivelor optoelectronice integrate cuplorii direcţionali constituie elemente fundamentale [6.2]-[6.13].

În cazul general câmpurile optice variază şi în planul perpendicular pe direcţia de propagare

xOyz . Considerând că aΨ şi bΨ descriu câmpurile optice

asociate cu modurile ghidate ale sistemului de ghiduri a şi b (fig. 6. 4) se poate scrie că [6.7]:

( ) ( ) ( ) ta

za yxFzAtzyx a ω−β− ⋅⋅⋅=Ψ ii e,e,,, (6.7)

( ) ( ) ( ) tb

zb yxFzAtzyx b ω−β− ⋅⋅⋅=Ψ ii e,e,,, (6.8)

unde reprezintă funcţiile de distribuţie ale câmpurilor care au fost normalizate la fluxul de putere pe secţiunea transversală sistemului compus.

( yxF ba ,, )

Fig. 6. 4. Profilurile modurilor şi al indicelui de refracţie în cazul a două ghiduri cuplate.


Coeficientul de cuplaj poate fi calculat cu ajutorul relaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫

∫∫ εΔβ

=κyxyxFyxF

yxyxFzyxyxFkzba

ba

aab dd,,

dd,,,,2 *

*20 (6.9)

în care: reprezintă variaţia constantei dielectrice indusă de perturbaţie în structura originală neperturbată (variaţia lui

εΔε corespunde în acest caz numai

ghidului b ). În figura 6. 5 este prezentat profilul intensităţii transversale calculate pe

baza teoriei modurilor cuplate în cazul unei structuri compuse din două ghiduri optice de undă planare având indicele de refracţie =1,4342 aflate la distanţa de 1

m pentru o radiaţie cu lungimea de undă n

μ λ=633 nm în polarizarea TE, iar în figura 6. 6 sunt prezentate variaţiile coeficientului de cuplaj şi lungimii de cuplaj în funcţie de distanţa dintre ghiduri.

Fig. 6. 5. Profilul intensităţii transversale în cazul unei structuri compuse din două ghiduri optice de undă planare în polarizarea TE.

Fig. 6. 6. Coeficientul de cuplaj şi lungimea de cuplaj în funcţie de distanţa dintre ghiduri.


În practică, cuploarele direcţionale sunt confecţionate din două ghiduri optice de lăţime , curbate în formă de , d S R fiind raza de curbură şi apropiate până la o anumită distanţă care să permită schimbul de energie pe o porţiune din lungimea lor numită şi lungime de cuplaj (interacţiune), , porturile de intrare (1, 2) şi respectiv de ieşire (1', 2') fiind separate (fig. 6. 7).

sl

Fig. 6. 7. Schema unui cuplor direcţional. În cazul unor ghiduri îngropate în substrat de siliciu având lungimea de 20 mm caracterizate printr-o diferenţă relativă a indicilor de refracţie (Δ ) mică (aproximativ 7 %) şi o rază de curbură de 50 mm pierderile totale sunt de 0,3 dB, cu 0,1 dB mai mult decât cele corespunzătoare ghidurilor perfect liniare. Pierderile datorită curbării ghidurilor cresc foarte mult odată cu micşorarea razei de curbură. Pentru a obţine cuploare direcţionale cu lungimi mici trebuie mărită diferenţa relativă a indicilor de refracţie. O mărime ce caracterizează cuploarele direcţionale este raportul puterilor cuplate , definit cu ajutorul relaţiei: η

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

+=η

Ll

III

2sin2

21

2 (6.10)

unde este lungimea corespunzătoare unui cuplaj perfect între ghiduri. Ţinând seama de dimensiunea razei de curbură a ghidurilor în formă de , relaţia (6.10) devine:

LS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+π

=ηL

ll2

sin2 (6.11)

unde reprezintă mărirea efectivă a lungimii de interacţiune datorită curbării ghidurilor. Mărimile şi

lΔL lΔ pot fi determinate din dependenţa raportului

puterilor de cuplaj în funcţie de lungimea de interacţiune cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate. Lungimea corespunzătoare unui cuplaj perfect între ghiduri creşte odată cu mărirea distanţei dintre ghiduri, ajungând la o valoare de aproximativ 2,5 mm pentru =4

l

s μm în cazul unei radiaţii având lungimea de undă de 1,55 μm. Ţinând seama de caracteristicile experimentale ale cuploarelor direcţionale se pot fabrica cuploare de 3 dB de tipul interferometrelor Mach-Zehnder simetrice.

6.2. Interferometrul Mach-Zehnder integrat simetric Interferometrul Mach-Zehnder simetric prezentat schematic în figura 6. 8 este format din două cuploare direcţionale legate prin două ghiduri ale căror lungimi sunt egale [6.2], [6.3].


În cazul interferometrelor Mach-Zehnder simetrice formate din ghiduri îngropate în substrat de siliciu pentru a obţine efectele de comutare şi modulaţia luminii se încălzeşte local filmul subţire cu ajutorul unui încălzitor, rezultând o deplasare a fazei datorită variaţiei indicelui de refracţie cu temperatura. Pentru ghiduri optice având ca substrat siliciul, variaţia indicelui de refracţie cu

temperatura este Tn

ΔΔ

= . De exemplu, în cazul unui ghid cu lungimea de

5 mm care este încălzit cu 30°C lungimea drumului optic pentru o radiaţie cu lungimea de undă 1,5 μm variază cu 1,5

1 10 5× −

μm, iar faza se deplasează cu 2 π .

Fig. 6. 8. Interferometrul Mach-Zehnder simetric. Încălzitorul este de fapt un film subţire din crom (obţinut în urma evaporării unui strat de 20 μm sub acţiunea unui fascicul de electroni) având lungimea de 5 mm, grosimea de 300 nm şi lăţimea 12 μm. Rezistenţa încălzitorului este de 240 Ω , iar între braţele interferometrului este o distanţă de 250 μm. Dacă raportul puterilor cuplate pentru fiecare cuplor direcţional din figura 6. 5 este şi deplasarea fazei datorită încălzirii filmului este k Φ , atunci puterile la ieşire sunt date de relaţiile [6.2]:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΦ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΦ−=

2sin

2cos21 222

0

1 kII

(6.12)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΦ−=

2cos14 2

0

2 kkII

. (6.13)

În cazul când =1/2, cuploarele se mai numesc şi de 3 dB, iar interferometrul acţionează ca un comutator optic a cărui extincţie este infinită.

k

În anumite condiţii interferometrul Mach-Zehnder simetric poate acţiona şi în regim de cuplor acordabil. Raportul puterilor cuplate în cazul interferometrului

Mach-Zehnder simetric ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 21

2II

I corespunde exact valorii de 3 dB dacă acelaşi

raport pentru fiecare cuplor direcţional în parte ( ) satisface următoarea ecuaţie: k (6.14) ( )tg2 28 8 1ΔΦ = − + − ≥k k 0adică

42

21

42

21

+≤≤− k . (6.15)


Perioada transmisiei interferometrului Mach-Zehnder simetric variază proporţional cu puterea aplicată încălzitorului, aşa cum se poate vedea şi în figura 6. 9. Puterea necesară schimbării transmisiei de la valoarea maximă la cea minimă (sau invers) respectiv deplasării fazei cu π radiani este de 0,78 W [6.2]. Din figura 6. 6 a) se observă că atunci când =0,55 cuplorul direcţional acţionează ca unul de tip 3 dB, extincţia fiind de 17 dB. În cazul când k =0,67 (fig. 6. 6 b)) extincţia este de 8,2, dar raportul puterilor cuplate poate fi acordat exact la valoarea de 3 dB prin aplicarea unei puteri de 0,88 W încălzitorului. Dacă =0,067 (fig. 6. 6 c)), valoare care nu satisface relaţia (6.15), raportul puterilor cuplate nu mai corespunde valorii de 3 dB.

k

k

Interferometrul Mach-Zehnder simetric fabricat din ghiduri îngropate în substrat de siliciu în anumite condiţii experimentale poate acţiona şi ca un comutator optic cu pierderi mici, prezentând avantajul că poate opera independent de polarizarea luminii. De asemenea, acesta mai poate fi folosit ca un cuplor direcţional acordabil, raportul puterilor cuplate putând fi ajustat exact la valoarea de 3 dB. Aceste funcţiuni ale interferometrului Mach-Zehnder simetric fac posibilă aplicarea lui în comunicaţiile optice.

6.3. Interferometrul Mach-Zehnder integrat asimetric Interferometrul Mach-Zehnder asimetric prezentat schematic în figura 6. 9 este format din două cuploare direcţionale legate prin două ghiduri ale căror lungimi diferă cu mărimea ΔL . Un astfel de interferometru poate acţiona ca multiplexor sau demultiplexor pentru sistemele de transmisie optică bazate pe multiplexarea prin divizarea frecvenţei, având un ecart de frecvenţă pentru un canal de ordinul GHz.

Fig. 6. 9. Dependenţa puterii relative la ieşire de puterea aplicată încălzitorului în cazul interferometrului Mach-Zehnder simetric pentru diferite valori ale raportului

puterilor cuplate : a) =0,55, b) =0,67, c) k =0,067. Curba continuă k k kcorespunde puterii la ieşirea din portul 1', iar cea discontinuă

celei la ieşirea din portul 2' (fig. 6. 8).


Pentru interferometrul Mach-Zehnder asimetric prezentat în figura 6. 10 transmisiile , de la portul 1 la portul 1', respectiv de la 2 la 2' se exprimă cu ajutorul relaţiilor [6.3]:

tT cT

(6.16) ( )ν= KtT 2sin

(6.17) ( )ν= KTc2cos

în care: c

LnK Δπ= , reprezintă diferenţa dintre lungimile braţelor celor două

ghiduri optice (I şi II), este indicele de refracţie al ghidului,

LΔ

n ν este frecvenţa luminii cuplate în ghid, iar este viteza luminii în vid. c

Fig. 6. 10. Interferometrul Mach-Zehnder asimetric. Dacă două unde luminoase având frecvenţele 1ν şi respectiv care verifică relaţiile

2ν( ) ,,1 21 π=νπ+=ν mKmK

Tt

m fiind întreg, sunt cuplate (multiplexate) în portul 1 atunci = 1

2

pentru semnalul cu frecvenţa şi

pentru semnalul cu frecvenţa

ν1 Tc = 1

ν . Ecartul de frecvenţă 2ν1 −ν=νΔ dintre

maximul şi minimul curbei de transmisie este Ln

cK Δ=

π22

. Astfel, Δ =5 GHz

pentru =1,47 şi = 2,04 cm. Deci, două unde luminoase ale căror frecvenţe diferă cu o cantitate de ordinul GHz pot fi demultiplexate. Dacă două unde luminoase sunt cuplate în porturile 1' şi respectiv 2' atunci acestea pot fi multiplexate, semnalul rezultat obţinându-se în sens invers în portul 1.

ν

n LΔ

Pentru a reduce efectul cuplajului parazit dintre circuitele de comunicaţii se poate utiliza un interferometru Mach-Zehnder modificat ca şi cel din figura 6. 11 a) în care cele două cuploare direcţionale din figura 6. 10 sunt înlocuite de două interferometre Mach-Zehnder simetrice care acţionează ca nişte cuploare acordabile, deci raportul puterilor cuplate poate fi acordat exact pe valoarea de 3 dB (v. 6.2). În acest caz, degradarea efectului de cuplaj parazit dintre circuitele de comunicaţii poate fi datorată deviaţiei mici a raportului puterilor cuplate în cuploare de la valoarea de 3 dB.

Pentru a demultiplexa patru radiaţii luminoase se poate utiliza un multiplexor/demultiplexor cu patru canale obţinut prin legarea în serie a unui interferometru Mach-Zehnder asimetric având diferenţa dintre lungimile braţelor


ghidurilor de 2 LΔ cu alt interferometru Mach-Zehnder asimetric având diferenţa dintre lungimile braţelor ghidurilor de LΔ , aşa cum este prezentat de exemplu în figura 6. 11 b) [6.3].

Fig. 6. 11. Schema multiplexorului/demultiplexorului pentru sistemele de transmisie optică: a) bazate pe multiplexarea prin divizarea frecvenţei folosit pentru a reduce efectul

cuplajului parazit dintre circuitele de comunicaţii; b) cu patru canale.

Fig. 6. 12. Schema unui multiplexor/demultiplexor cu mai multe canale. Multiplicând acest procedeu au fost obţinuţi de exemplu multiplexori/demultiplexori cu 16 canale caracterizate printr-un ecart al frecvenţei pentru un canal de 10 GHz, pierderi totale de 5 dB şi un cuplaj parazit total mai mic decât 10 dB şi în ultimii ani chiar cu mai multe canale (fig. 6. 12) [6.7].

6.4. Dispozitive bazate pe fenomenul de interferenţă dependent de intensitatea radiaţiei

Fenomenul de dependenţă a fazei unei unde de intensitatea radiaţiei poate fi folosit pentru a modifica condiţiile de interferenţă dintre două moduri sau două fascicule diferite [6.4].

6.4.1. Cuplorul neliniar distribuit Prismele şi reţelele optice sunt dispozitivele cel mai des utilizate pentru excitarea modurilor ghidate într-un ghid planar. Cuplajul eficient se produce dacă este îndeplinită condiţia (de acordare a fazelor):


(6.18) ( )k n Ksm

0 0 0 0sinθ β+ − = =Δβ

unde este unghiul urmat de fasciculul incident cu normala la ghidul optic, este indicele de refracţie al superstratului, iar

θ nS

( )K n np S= − sinθ în cazul prismei

optice având indicele sau pnΛπ

±=2K în cazul unei reţele cu perioada . În

cazul unui ghid planar cele mai potrivite dispozitive pentru realizarea cuplajului optic sunt reţelele optice.

Λ

Ţinând seama de condiţia de acordare a fazelor (6.18) care corespunde unui dezacord liniar zero se poate observa că aparent o neliniaritate poate modifica această condiţie reducând eficacitatea cuplajului sincron. Întrucât aceste efecte neliniare sunt induse de câmpurile intense ghidate, variaţiile vectorilor de undă devin tot mai pronunţate odată cu creşterea amplitudinii câmpurilor care se măresc în regiunea de cuplaj datorită naturii distribuite a transferului de energie. În cazul unui fascicul incident gaussian cu amplitudinea de-a lungul suprafeţei şi un coeficient de cuplaj determinat de geometria structurii ghid-cuplor, variaţia amplitudinii câmpului este determinată de ecuaţia:

Δβ Δθ0 0≈ k nS cosθ 0

( )a zin Γ

( ) ( ) ( ) ( )zazal

zaz in

refimp

nl Γ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ α+α+α+βΔ−βΔ+

121

0idd 2

20 (6.19)

în care: reprezintă pierderile prin împrăştiere, impα rl este distanţa caracteristică

corespunzătoare pierderilor prin radiere, iar este variaţia vectorului de undă neliniar. În ecuaţia (6.19) a fost inclusă şi absorbţia bifotonică prin termenul

nlβΔ

( ) 2z2 aefα .

Dacă cuplorul este optimizat la puteri scăzute (cu Δβ0 ) atunci o intensitate care induce efecte neliniare ( ) produce o reducere a eficienţei de cuplaj, iar dispozitivul acţionează ca un limitator optic (chiar fără absorbţie bifotonică). În anumite condiţii, dacă are un semn potrivit, creşterea intensităţii îmbunătăţeşte eficienţa cuplajului, iar dacă se îndeplineşte condiţia de rezonanţă dispozitivul funcţionează ca un cuplor.

Δβnl

0Δβ

În figura 6. 13 este prezentată dependenţa eficienţei de cuplaj în cazul unui cuplor neliniar distribuit cu reţea în funcţie de energia pulsurilor incidente considerate gaussiene (v. Anexa 3) în spaţiu (pentru a asigura cuplajul liniar optim) şi timp şi având o durată de 100 ps pentru diferite valori ale dezacordurilor unghiulare şi . n2 0>

Din figura 6. 13 se observă că transferul maxim al energiei se obţine pentru dezacorduri pozitive în timp ce pentru dezacorduri negative procesul de cuplaj este deteriorat.

Cuplorul neliniar distribuit poate fi utilizat în cazul configuraţiilor experimentale cu două fascicule pentru rezolvarea problemelor dinamice în


domeniul temporal, pentru a controla forma fasciculului şi pentru a caracteriza proprietăţile ghidurilor planare, cu ajutorul acestuia putându-se obţine informaţii despre mărimea şi semnul indicelui de refracţie neliniar . De asemenea, utilizând cuplorul neliniar distribuit se poate face distincţia dintre efectele de tip Kerr şi cele de tip absorbant şi respectiv termic.

n2

Fig. 6. 13. Eficienţa de cuplaj în funcţie de diferite valori ale dezacordurilor unghiulare 0°

(curba continuă subţire), 0,025° (curba continuă groasă) şi - 0,05° (curba discontinuă).

6.4.2. Interferometrul Mach-Zehnder integrat neliniar Diferenţa de fază rezultată la capetele unui interferometru Mach-Zehnder integrat poate fi obţinută şi prin variaţia nivelului excitaţiei utilizând fie interferometre cu braţe care nu au lungimi egale, fie diferite valori ale coeficientului neliniar , fie arii efective diferite ale celor două ghiduri care compun interferometrul.

n2

Ţinând seama de expresia deplasării fazei neliniare care se poate acumula pe distanţa de propagare a ghidului L , (6.20) z

L

nlnl d∫ βΔ=Φ

de valoarea coeficientului neliniar

( )( )nmef

nm

Ank ,

20

,2 =β (6.21)

şi considerând că puterea radiaţiei incidente se distribuie în mod egal între cele două braţe ale interferometrului, defazajul la ieşire este dat de relaţia:

inP

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=βΔ−βΔ=ΔΦ

befaefin

nlb

nla

nlAA

LnkPL,,

2011

21

. (6.22)


În cazul când diferenţa de fază este un multiplu impar de câmpul rezultant la ieşire prezintă minime de interferenţă, iar răspunsul dispozitivului (Kerr) variază cosinusoidal cu excitarea

π

. (6.23) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ΔΦ= 2/cos2 nlPP inies

Răspunsuri neliniare au fost obţinute cu ajutorul unor interferometre Mach-Zehnder integrate având ca substrat şi o tensiune aplicată pe unul dintre braţele dispozitivului [6.4].

LiNbO3

Cu ajutorul relaţiei (6.22) se poate defini şi o putere necesară comutării optice sub forma:

( baLP ,2,2c β−β )π

= . (6.24)

Considerând , pentru a obţine efectul de comutare optică

este necesar ca . Utilizând pentru descrierea interferometrului Mach-Zehnder integrat modelul unui absorbant saturabil cu două niveluri se obţine că variaţia indicelui de refracţie saturat necesar comutării optice este definită de un factor 2, care este mai mic decât în cazul altor dispozitive optoelectronice.

aefbef AA ,, 2=

π= 2Φnl

≈

6.4.3. Mixer neliniar de moduri Operaţia de mixare optică neliniară a modurilor se poate face şi cu ajutorul unui ghid optic care suportă două moduri, pe baza fenomenelor de interferenţă dintre acestea, la fel ca şi în cazul când modurile ar interfera în ghiduri diferite. În regim de operare variaţia diferenţială a fazei determină secţiuni eficace efective diferite din cauza efectului pe care distribuţia modală a câmpului o are asupra neliniarităţilor (de exemplu aefbef AA ,, 2≠ sau ba ,2,2 β≠β , indicii

şi definind cele două moduri TE sau TM). Considerând că cele două moduri sunt excitate cu aceeaşi putere într-un mediu fără pierderi, deplasarea fazei este

dată de relaţia (6.22) şi un defazaj determină comutarea stării la ieşirea din mixer. Există o compensare liniară de fază între moduri legată de lungimea de bătăi dintre acestea:

a b

bl

π=nlΦ

( )b

ba lL π=β−β=Φδ

2 ,0,0 . (6.25)

O operaţie interesantă este obţinută cu ajutorul modurilor pare şi impare având ordinele cele mai coborâte şi puteri scăzute, de exemplu modurile TE şi TE1 într-un ghid de tip lespede, care sunt în fază sau în opoziţie de fază la capătul dispozitivului cu

0

π=Φδ N2 sau ( )π1-2 N sau ( ) 1 ,2 ,0,0

≥β−βπ

== NNNlL

ba

b , (6.26)

astfel încât câmpul rezultant să aibă un maxim de o parte sau de cealaltă a maximului modului central în urma creşterii puterii, aşa cum se poate observa în

OPTICĂ INTEGRATĂ

138

figura 6. 14. Valori minime de zero absolut nu pot fi obţinute nici de o parte nici de cealaltă a ghidului optic.

Fig. 6. 14. Mixerul neliniar de moduri. Figuri spaţiale mai complexe pot fi obţinute cu ajutorul diferitelor

combinaţii de moduri, dar contrastul franjelor finale se deteriorează cu atât mai mult cu cât distribuţiile câmpurilor sunt mai structurate, reducând eficacitatea dispozitivului din punct de vedere al aplicaţiilor practice.

7. COMUTATOARE ŞI REZONATOARE OPTICE INTEGRATE

7.1. Funcţionarea comutatoarelor optice în ghiduri polimerice

Datorită neliniarităţilor de ordinul trei care au valori mari şi sunt determinate de electronii delocalizaţi de-a lungul legăturilor conjugate, polimerii organici conjugaţi sunt des utilizaţi la fabricarea diferitelor dispozitive optoelectronice integrate printre care se numără şi comutatoarele optice.

π

Funcţionarea comutatoarelor optice se bazează pe structura cuploarelor direcţionale ale căror proprietăţi optice sunt determinate, datorită neliniarităţilor de ordinul trei, de intensitatea luminii ghidate. Astfel, variind puterea optică de la intrarea în dispozitiv aceasta poate fi comutată de la un port la altul. Comutatoarele optice pot avea diferite configuraţii, una dintre cele mai des utilizate fiind de exemplu cea în formă de X, care constă din două ghiduri optice, de tip canal, separate la capete, având ca substrat sticla şi pe care este depus în regiunea centrală, comună, cu lăţimea dublă, un polimer neliniar. Funcţionarea unui astfel de dispozitiv se bazează pe dependenţa puterii de interferenţa celor două moduri care se propagă de-a lungul porţiunii centrale. Un alt tip de comutator poate avea formă asimetrică de Y, polimerul neliniar fiind depus pe ambele ghiduri optice de tip canal, (având ca substrat sticla), care constituie braţele dispozitivului [7.1]-[7.3].

7.1.1. Comutatoare în ghiduri polimerice neliniare având ca substrat sticla

Aceste tipuri de ghiduri optice prezentate schematic în figura 7. 1 sunt fabricate prin depunerea unui film subţire de polimer neliniar pe ghiduri de tip canal care au ca substrat sticla şi au fost obţinute prin schimb ionic.

Fig. 7. 1. Ghid polimeric neliniar având ca substrat sticla. Indicele de refracţie corespunzător unei astfel de structuri este de forma: n n Ep

2 2 2= +α (7.1) în care: n este indicele de refracţie liniar al polimerului care este mai mare decât cel al ghidului, α este legat de indicele de refracţie neliniar în relaţia

prin

p

n0

n2

n n I= + 2 αμ

=n n

c2 0

2

0, unde I este intensitatea luminii şi E este câmpul

electric în polimer.


Datorită neliniarităţilor polimerului ecuaţia scalară a undelor se scrie [7.1]: ( )[ ]ΔT E k n x y E k E E+ − = −2 2 2 2 2, β α . (7.2)

Când α E n p2 2<< − ng

2

=

, unde este indicele de refracţie al ghidului având ca substrat sticla, termenul din membrul drept al ecuaţiei (7.2) poate fi considerat ca o perturbaţie.

ng

În acest fel, constantele de propagare liniară şi distribuţiile câmpurilor electrice în ghidul compus pot fi obţinute prin rezolvarea ecuaţiei: . (7.3) ( )[ ]ΔT E k n x y E E0

2 202

0 0+ −, β

Considerând un ghidaj slab, se poate aproxima ( ) ( ) ( )E x y X x Y y0 , ≈ şi utilizând metoda indicelui de refracţie efectiv se pot determina proprietăţile de dispersie ale câmpului modal în ghidul de undă polimeric. Rezolvarea ecuaţiei (7.3) poate fi făcută cu ajutorul metodei perturbaţiilor [7.1], obţinându-se expresia constantei de propagare sub forma:

( )δβ β β α

β

αi i i

i

i i

iP k

E x y

E x y

C P

t

w

w

= − =

∫∫

− ∞

+∞∫

− ∞

+∞∫

=

−

02

04

0 02

02

2

2

d d

d d

(7.4)

în care: P este puterea optică ghidată, iar este o constantă care nu depinde de putere. Relaţia (7.4) pune în evidenţă dependenţa liniară a constantei de propagare a modurilor de neliniaritatea polimerului şi puterea optică ghidată.

Ci

7.1.2. Principiul de funcţionare a comutatorului optic bazat pe interferenţa a două moduri

Comutatorul optic bazat pe interferenţa a două moduri are braţele în formă de X şi constă din două ghiduri optice obţinute prin schimb ionic (de exemplu

Ag ), de tip canal, separate la capete, având ca substrat sticla (Corning 0211) şi pe care este depus în regiunea centrală de lungime , comună, cu lăţimea dublă, un film polimeric neliniar (fig. 7. 2 a)). Unghiul dintre braţele dispozitivului este mic

1° (tranziţie adiabatică).

+

L

θ < Funcţionarea unui astfel de dispozitiv se bazează pe dependenţa puterii de interferenţa celor două moduri care se propagă de-a lungul porţiunii centrale.

P

Dacă modurile pare sau impare care excită dispozitivul la intrare sunt ortogonale şi se propagă cu constante de fază diferite, la ieşire starea comutatorului depinde de interferenţa dintre acestea şi este descrisă de ecuaţiile:

PPin

II = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos2

2ΔΦ (7.5)

Comutatoare şi rezonatoare optice integrate 141

PP

X

in= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

sin2

2ΔΦ (7.6)

în care: este diferenţa de fază relativă dintre moduri şi care poate fi aproximată de expresia:

ΔΦ

[ ] ( )ΔΦ ΔΦ= − +β βe o NL P0 0 . (7.7)

Fig. 7. 2. Schema comutatorul optic bazat pe interferenţa a două moduri.

În relaţia (7.7) β şi e0 βo0 sunt constantele de propagare liniare corespunzătoare modurilor pare şi respectiv impare, P este puterea ghidată, iar

este diferenţa de fază dependentă de putere care se acumulează în regiunea centrală a dispozitivului datorită neliniarităţii polimerului.

( )ΔΦ N P

Ghidurile obţinute în urma schimbului ionic cu Ag+ produc o variaţie a indicelui de refracţie Δn n ng= s− mai mare decât în cazul ionilor de K+ de exemplu, obţinându-se astfel o mai bună confinare a câmpului optic în regiunea centrală care conţine şi polimerul neliniar. Dimensiunile ghidurilor care formează comutatorul sunt astfel alese în lăţime şi adâncime încât să permită propagarea numai pentru un singur mod de la intrare până la ieşire, inclusiv pe porţiunea centrală.

În cazul unor ghiduri care conţin ioni de Ag şi au profilul indicilor de refracţie în adâncime şi lăţime de tip gaussian (fig. 7. 2 b)), distribuţia intensităţii câmpului în adâncime corespunzătoare modului par (curba continuă) şi respectiv impar (curba discontinuă) este de forma celei prezentate în figura 7. 3 [7.1].

+

Pentru rezolvarea numerică a ecuaţiei de propagare (7.3) care permite determinarea profilului intensităţii câmpului electric al unei radiaţii având

=1,3 m în adâncime şi lăţime s-au folosit următoarele valori pentru indicii de λ μ


refracţie corespunzători ghidului, substratului şi polimerului: =1,561, =1,561, =1,6 şi respectiv dimensiunile ghidurilor: =0,8

ng ns

np t μm, p = 0,8 m, =0,9 m şi =6,8 m.

μ dμ w2 μ

Fig. 7. 3. Distribuţia intensităţii câmpului în adâncime corespunzătoare modului par, curba

continuă şi respectiv impar, curba punctată în cazul comutatorului optic bazat pe interferenţa a două moduri.

Aşa cum se poate observa din figura 7. 3 câmpul electric corespunzător modului par este foarte confinat în regiunea care conţine ghidul polimeric, deci variaţia indicelui de refracţie este determinată practic numai de acest mod.

Dependenţa de putere a constantei de propagare corespunzătoare modului par se calculează cu ajutorul relaţiei (7.4), iar cea a modului impar este dată de expresia:

)(δβ βo o

C

β α

β

αo

e o

i o

P k

E E x

C P

t

w

w

= − =

∫∫

− ∞

+∞∫

−∞

+∞∫

−

02

02

02

0 02

02

2

2

e

o

y

=

y

E x

d d

d d

(7.8)

în care: Co << pentru că E Eo e0

20

2<< (7.9) în regiunea ghidului polimeric. În acest fel, puterea optică ghidată produce o creştere semnificativă a constantei de propagare a modului par, lăsând-o practic neschimbată pe cea a modului impar.


Variaţia constantelor de propagare δβe , δβo a celor două moduri în funcţie de puterea optică incidentă în cazul comutatorului optic ale cărui caracteristici au fost enumerate anterior şi având un coeficient neliniar

= /W este prezentată în figura 7. 4.

inP

n2 1 10 11× − cm2

Fig. 7. 4. Dependenţa constantelor de propagare corespunzătoare modului par (linia continuă) şi respectiv impar (linia discontinuă) de puterea optică incidentă în cazul

comutatorului optic bazat pe interferenţa celor două moduri.

Întrucât cele două moduri se propagă împreună, de-a lungul dispozitivului se acumulează o diferenţă de fază dependentă de putere care este dată de relaţia: ( ) ( ) ( ) ( )LPLPLPP eoeN δβ≈δβ−δβ=ΔΦ . (7.10) Printr-o alegere potrivită a lungimii centrale L a comutatorului este posibilă obţinerea la ieşirea din dispozitiv a efectului de comutare optică la puteri de intrare relativ scăzute, aşa cum se poate observa şi din figura 7. 5.

Fig. 7. 5. Dependenţa raportului puterilor corespunzătoare canalului blocat P

Pin

II la ieşire în

funcţie de puterea de la intrarea în comutator pentru două valori ale lungimii comutatorului: =5 cm (curba continuă), =15 cm (curba discontinuă). L L


Rezultate asemănătoare în ceea ce priveşte efectul de comutare optică se obţin şi în cazul când dispozitivul are formă de Y, unul dintre ghidurile optice care

compun dispozitivul fiind obţinut în urma schimbului ionic cu Ag , iar celălalt cu

K [7.1].

+

+

Pentru a simula propagarea câmpului optic prin aceste dispozitive funcţie de diferite valori ale puterii la intrare se poate folosi metoda diferenţelor finite aplicată propagării fasciculului [7.4], [7.6]. Dacă pentru producerea ghidurilor se folosesc materiale caracterizate prin valori mari ale neliniarităţilor optice, comutatoarele optice integrate se comportă ca dispozitive optice integrate bistabile [7.5]-[7.10].

7.2. Rezonatoare optice neliniare integrate Dispozitivele neliniare integrate a căror funcţionare se bazează pe efectul

Kerr (în care indicele de refracţie variază cu pătratul câmpului electric aplicat) sunt componente de bază în toate sistemele care procesează semnalele optice. Optica integrată prezintă unele avantaje tehnologice majore, cum ar fi de exemplu: concentrarea luminii în ghiduri optice de undă, posibilitatea obţinerii unui control rapid şi rezonabil al puterii optice precum şi posibilitatea realizării circuitelor optice integrate cu ajutorul cărora să fie îndeplinite toate funcţiile optice. În cadrul dispozitivelor optice neliniare integrate rezonatoarele joacă un rol foarte important întrucât cu ajutorul acestora se poate obţine efectul de reacţie (feedback) necesar funcţionării dispozitivelor bistabile [7.11]-[.713]. După funcţiile pe care le pot îndeplini, dispozitivele optice neliniare integrate pot fi clasificate în două mari categorii: 1) dispozitive neliniare a căror funcţionare se bazează pe propagarea undelor, şi 2) rezonatoare neliniare integrate. În prima categorie, caracterizată prin propagarea luminii într-un singur sens, fără a genera reacţie, intră interferometrele Mach-Zehnder, cuploarele coerente, joncţiunile în formă de X şi Y, cuploarele de intrare care utilizează prisme sau reţele. Cu ajutorul acestor dispozitive se pot fabrica comutatoare optice, limitatoare optice şi respectiv porţi logice. În general, în astfel de dispozitive nu este posibilă obţinerea efectului de reacţie. Cu toate acestea, este posibil să se inducă efectul feedback şi deci să se obţină fenomenul de bistabilitate optică cu ajutorul neliniarităţilor care nu sunt localizate (de exemplu, termice) şi sunt suficient de puternice. În cea de-a doua categorie intră rezonatoarele neliniare integrate a căror funcţionare se bazează pe existenţa fasciculelor care se propagă prin acelaşi mediu atât la dus cât şi la întors.

7.2.1. Reţele cu reacţie distribuită Reţelele optice pot fi folosite şi pentru a cupla un fascicul într-un ghid optic sau pentru a-l decupla. Dacă este îndeplinită condiţia Bragg:

Λπ

=βp

g (7.11)


unde este vectorul undei ghidate care se propagă după axa gβ z , Λ este perioada

reţelei, iar p este ordinul de difracţie, (două unde care se propagă în sensuri contrare şi au vectorii de undă gβ+ şi gβ− fiind cuplate prin intermediul ordinului de difracţie p ).

În cazul unor ghiduri optice caracterizate prin moduri care sunt confinate atât după axa X cât şi după Y, cele două unde care se propagă în sens contrar (fig. 7. 6) sunt cuplate de către reţeaua de difracţie. Cazul cel mai interesant este cel în care ordinul de difracţie p =1, pentru a evita pierderile datorită cuplajului modurilor ghidate cu cele radiate.

Efectul de bistabilitate optică poate fi descris utilizând teoria modurilor cuplate [7.13] care permite determinarea amplitudinilor undelor ghidate progresive

şi respectiv regresive cu ajutorul ecuaţiilor: +a −a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zazazazazax

+−+−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+βΔ+βΔ−Γ=22

2 2iexpddi (7.12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zazazazazax

−−++−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+βΔ+βΔΓ=−22

2 2iexpddi (7.13)

în care: reprezintă coeficientul de cuplaj liniar indus de reţea, iar ΓΛπ−β=βΔ /22 pg reprezintă dezacordul vectorilor de undă. Factorul 2 din

ecuaţiile (7.12), (7.13) determină procesele de mixare a patru unde în ghidul neliniar.

Fig. 7. 6. Schema unei reţele cu reacţie distribuită în ghiduri optice. Dacă variaţia indicelui de refracţie neliniar este mică, profilul câmpului transversal nu se modifică prea mult astfel încât în cadrul teoriei modurilor cuplate este posibil ca neliniarităţile să fie tratate ca mici perturbaţii ale vectorului de undă

neliniar 2

2±βΔ+β ag unde

( ) ( ) yxyxEyxn m dd,,2 422 ∫

λπ

=βΔ (7.14)


În relaţia (7.14) reprezintă profilul amplitudinii câmpului electric transversal corespunzător modului ghidat bidimensional.

mE

Cu ajutorul rezonatoarelor optice integrate neliniare în anumite condiţii de excitare, se poate obţine efectul de bistabilitate optică, şi în general toate funcţiile logice optice [7.11]-[7.15].

7.2.2. Rezonatoare Fabry-Pérot neliniare integrate Analiza funcţionării rezonatoarelor optice Fabry-Pérot integrate neliniare (fig. 7. 7) se poate face plecând de la teoria celor macroscopice liniare în aproximaţia undelor plane.

Fig. 7. 7. Rezonator optic Fabry-Pérot neliniar integrat. Ghidul optic confinează lumina în planul xz şi are depuse la cele două

capete oglinzi. Caracteristicile rezonatorului neliniar Fabry-Pérot integrat pot fi obţinute prin rezolvarea ecuaţiei neliniare a undelor pentru unda progresivă şi respectiv regresivă care este de forma:

( ) ( )yxaaac

yxazzc

n ,2,i2223

2

2±±±±

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ζ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂ω

± (7.15)

în care: 22nn=ζ , fiind indicele de refracţie liniar, iar cel neliniar. n 2n Transmisia rezonatorului Fabry-Pérot este definită de raportul amplitudinilor câmpurilor transmise şi respectiv incidente

( ) ( )( )γγ

=γi

taaT (7.16)

unde θω

=γ sin0cn

este componenta după axa x a vectorului de undă al cărui

unghi de incidenţă este θ . Dacă fineţea rezonatorului este suficient de înaltă în apropierea rezonanţei transmisia acestuia poate fi aproximată de o funcţie de tip lorentzian de forma [7.13]:


( ) ( )( ) 22

i

mi

taaT

γ−γ

ξ−≈

γγ

=γ (7.17)

în care: este polul complex corespunzător rezonanţei de ordinul . Mărimile

şi pot fi calculate analitic pentru un rezonator Fabry-Pérot ideal.

2mγ

ξ

m2mγ

Transformata Fourier a relaţiei dintre vectorii de undă

Λπ

+β=β2

0 pp (7.18)

(unde Λπ

=β pg este vectorul de undă corespunzător modului ghidat) generează o

ecuaţie diferenţială liniară de forma:

( ) itmtt EE

xE

xE

ξ=γ−γ+γ+ id

di2

dd 2

02

02

2. (7.19)

În relaţia (7.19) şi ( )xEi ( )xEt sunt amplitudinile undelor incidente şi respectiv transmise în aproximaţia variaţiilor lente ale acestora, iar

θω

=γ sin00 c

n este valoarea centrală a lui γ . În regim neliniar trebuie

înlocuit cu o valoare care să depindă de intensitate de forma:

2mγ

( ) 2222 , txEtmm ης+γ→γ (7.20)

în care: este coeficientul efectiv neliniar al cărui semn este 2ς ±=η şi este dat de:

( )

2

22 13 nn

ctr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+

=ς . (7.21)

În relaţia (7.21) 21RRr = , reprezentând amplitudinile coeficienţilor

de reflexie ale celor două oglinzi, corespunde componentei

lR ,1

=t 2,1 ς− r γ asociată cu modul rezonatorului, iar 2βΔ este componenta neliniară a vectorului de undă, β a modului ghidat.

Notând cu şi respectiv părţile reală şi imaginară ale lui

mărimea caracterizează fenomenele de absorbţie.

2mρ

2mκ

2mγ

2mκ

În urma integrării numerice a ecuaţiei undelor în regim staţionar (7.19) se poate evalua transmisia rezonatorului Fabry-Pérot în funcţie de diferiţi parametri, cum ar fi unghiul de incidenţă, puterea radiaţiei etc. Se constată că efectul de bistabilitate optică are loc numai pentru incidenţe normale sau aproape normale şi dispare când rezonatorul este înclinat [7.13].


Pentru a studia comportarea în regim dinamic a rezonatorului se face transformata Fourier în spaţiu şi timp a ecuaţiei (7.17) rezultând tot o ecuaţie diferenţială liniară de forma:

( ) itmttt EE

xE

xE

tE

cn

ξ+γ−γ+∂∂

γ−∂

∂=

∂∂

ω 20

202

2

2

20 i2i2 (7.22)

în care: şi sunt amplitudinile undelor incidente şi respectiv transmise în aproximaţia variaţiei lente a acestora.

( txEt , ) )( txEi ,

Considerând câ fasciculele incidente sunt de formă gaussiană

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2exp

wxaxE ii (v. Anexa 3), fiind amplitudinea acestora, în urma

integrării numerice a ecuaţiei (7.22) se poate calcula transmisia rezonatorului Fabry-Pérot pentru diferite condiţii de excitare.

ia

În figura 7. 8 este prezentată amplitudinea undei transmise a rezonatorului neliniar Fabry-Pérot integrat în funcţie de amplitudinea undei incidente în cazul

unui dezacord ( ) 32220 / =κρ−γ=Δ mm

W sub incidenţă normală pentru diferite valori

ale intinderii fasciculului gaussian wmκ= cât şi în cazul undei plane.

Fig. 7. 8. Transmisia rezonatorului neliniar Fabry-Pérot integrat pentru Δ =3 sub incidenţă

normală în cazurile: undei plane (_____), undelor gaussiene cu W =8 ( ), =4 (-----),W =2 (

o o o o oW ),W =1 (* * * * ).

Se observă că răspunsul rezonatorului neliniar Fabry-Pérot integrat nu tinde la cel corespunzător undei plane odată cu mărirea intinderii fasciculului gaussian. 7.2.3. Filtre optice integrate Reţelele optice pot fi folosite şi pentru operaţia de filtrare. Acestea pot fi obţinute într-o structură în care indicele de refracţie este modulat periodic fie utilizând un modulator acustooptic fabricat cu un traductor piezoelectric (reţea dinamică), fie cu ajutorul unei măşti care este iluminată cu radiaţii ultraviolete sau folosind figurile de interferenţă (reţea statică).


Dacă variaţia indicelui de refracţie este uniformă în ghidul optic de undă şi perpendiculară pe direcţia de propagare (fig. 7. 9), aceasta poate fi exprimată sub forma [7.8]:

( ) ( ) ( )qq qKzxnzxn Φ+Δ=Δ ∑ cos, (7.23)

în care: este lungimea reţelei, este indicele de refracţie corespunzător

ghidului, , Λ fiind perioada reţelei, iar

LK

gnΛπ= /2

( )⎩⎨⎧ <<−Δ

=Δ rest.în ,0

0 , xdnxn q

q (7.24)

Fig. 7. 9. Reprezentarea schematică a modulaţiei indicelui de refracţie de tip treaptă în cazul unui ghid optic de undă planar.

În cazul când reţelele obţinute prin modulaţia indicelui de refracţie sunt utilizate ca filtre, este foarte important ca dependenţa reflectivităţii filtrului de dezacordul constantelor de propagare corespunzătoare modurilor să fie cât mai îngustă. Dacă variaţia indicelui de refracţie este mică se poate considera că variaţia permitivităţii electrice este de forma:

( ) qqgqq nnx Φ−Δε=εΔ=εΔ i

0 e , (7.25)

iar coeficienţii de cuplaj (relaţiile (2.26), (6.9)) dintre două moduri diferite , devin: ( ν≠μ )

μνδλ

Δπ≈≈

μνμν

qnkk TMTMTETE (7.26)

unde reprezintă lungimea de undă a radiaţiei utilizate, iar λ μνδ este simbolul

Kroneker. În figura 7. 10 este prezentată dependenţa de grosimea ghidului a raportului coeficienţilor de cuplaj dintre modurile TE 0 - TE corespunzători unui ghid optic planar caracterizat de un indice de refracţie având un profil de tip treaptă, în cazul când acesta este fabricat din SiO /GeO ( =1,56) pe un

substrat de SiO ( =1,50), superstratul fiind aerul ( =1,00) (ca în figura 7. 9) şi respectiv într-o probă macroscopică din acelaşi material, pentru o radiaţie cu

0

Vk

gk 2

n2 gn

2 sn c


lungimea de undă =1,3 m. Indicele de refracţie al reţelei a fost modulat utilizându-se radiaţii UV.

λ μ

În aceeaşi figură este prezentată şi dependenţa de grosimea ghidului a indicelui de refracţie efectiv.

Fig. 7. 10. Variaţia raportului (curba continuă) şi respectiv indicelui de refracţie

efectiv (curba discontinuă) în funcţie de grosimea ghidului. Vk/gk

Se observă că pe măsură ce grosimea ghidului creşte, indicele de refracţie

corespunzător modului TE 0 diferă mult de valoarea corespunzătoare fenomenului de tăiere, iar energia undelor luminoase este bine confinată în ghid, raportul

tinzând către unitate. Pentru valori mici ale grosimii ghidului indicele de

refracţie efectiv tinde către valoarea corespunzătoare substratului, iar energia undelor este tot mai mult disipată în substrat, respectiv în superstrat, ajungând să nu mai fie confinată în ghid când acestea au valori egale.

Vg kk /

Dependenţa reflectivităţii filtrului de dezacordul constantelor de propagare corespunzătoare modurilor de anterior în cazul unui ghid cu lungime mare (câţiva cm) şi coeficient de cuplaj mic (deci variaţii mici ale modulaţiei indicelui de refracţie) este prezentată în figura 7. 11.

Fig. 7. 11. Variaţia reflectivităţii în funcţie de dezacordul constantelor de propagare corespunzătoare modurilor.

Comutatoare şi rezonatoare optice integrate

151

Lobii care apar de ambele părţi ale maximului central induc reflexii nedorite. Pentru a evita acest fenomen nedorit se fabrică reţele în care indicele de refracţie este modulat de o funcţie de forma (apodised):

( )Lznn /sin20 πΔ=Δ (7.27)

în care: reprezintă adâncimea de modulaţie maximă, iar este lungimea reţelei. În acest caz, reflectivitatea prezintă un singur lob central (fig. 7. 12).

0nΔ L

Fig. 7. 12. Variaţia reflectivităţii în funcţie de dezacordul constantelor de propagare corespunzătoare modurilor în cazul unui indice de refracţie

modulat de funcţia din relaţia (7. 27).

8. CONVERTOARE OPTICE DE FRECVENŢĂ INTEGRATE

8.1. Procese multifotonice fundamentale În urma interacţiunii dintre radiaţia laser intensă (cu ajutorul căreia se pot

obţine câmpuri electrice cu intensităţi mai mari de V/cm, care încep să

devină comparabile cu intensitatea câmpurilor electrice atomice V/cm) şi substanţă, proprietăţile acesteia se schimbă ca urmare a efectelor neliniare care apar [8.1]-[8.6].

76 1010 ÷8103 ⋅≈

În cazul ghidurilor optice de undă chiar dacă puterile cu care se operează sunt relativ mici, de ordinul sutelor de mW, densităţile de putere obţinute (pe unitatea de suprafaţă) au valori considerabile din cauza dimensiunilor reduse ale ghidurilor. Astfel, în cazul unui ghid optic de undă de tip canal cu dimensiunile

1μm 1μm secţiunea transversală a acestuia este =10 m 2 , iar intensitatea locală , unde puterea radiaţiei laser incidente,

×I

A 12−

AP /= P are o valoare foarte mare.

8.1.1. Caracterizarea generală a proceselor multifotonice fundamentale Descrierea fenomenologică a efectelor neliniare poate fi făcută cu ajutorul

polarizării Pr

, indusă în mediu, care poate fi dezvoltată în serie de puteri ale câmpului intens aplicat E

r, sub forma [8.1]:

( ) ( ) ( ) ...330

220

10 +χε+χε+χε= EEEP

rrrr (8.1)

Primul termen, care conţine susceptibilitatea de ordinul întâi , caracterizează propagarea liniară a undelor electromagnetice şi descrie proprietăţile optice liniare ale mediului prin intermediul indicelui de refracţie. Ceilalţi termeni,

care conţin susceptibilităţile neliniare de diferite ordine

( )1χ

( ) ( ),...,, 32 χχ descriu propagarea undelor electromagnetice în medii în care se manifestă efecte neliniare. Astfel, termenul al doilea conţine susceptibilitatea neliniară de ordinul doi

, a cărei valoare, cu mult mai mică decât cea de ordinul întâi, a fost pusă în evidenţă odată cu generarea celei de-a doua armonici optice, într-un cristal de cuarţ care a fost excitat cu un laser cu rubin de mare putere. Efectele neliniare de ordinul doi pot fi descrise cu ajutorul polarizării neliniare corespunzătoare care este o funcţie pătratică de amplitudinea câmpurilor [8.3]

( )2χ

( ) ( )( ) ( ) ( ×ωωωωω−χ=ω 212132

3 ,;21, kjijk

nli EErP r )

( ) ( )[ ] ..iiexp 2121 cctrkk +ω+ω−+rrr

(8.2)

Convertoare optice de frecvenţă integrate 153

în care: specifică coordonatele carteziene. Polarizarea corespunzătoare sumei frecvenţelor

kji ,,213 ω+ω=ω acţionează ca o sursă în ecuaţiile Maxwell

( ) 2

202

2

21

tP

tE

cE

∂

∂μ−=

∂

∂+×∇×∇

rrr

, (8.3)

iar radiaţia emisă este proporţională cu ( )( ) .2

32 ωχ

Susceptibilitatea neliniară de ordinul doi este de fapt un tensor de ordinul trei, care caracterizează sistemele ce nu au centru de inversie. Relaţia (8.2) descrie generarea armonicii a doua dacă 21 ω=ω . Tot cu ajutorul relaţiei (8.2), dacă se înlocuieşte cu mai pot fi descrise fenomenele de generare parametrică a radiaţiilor a căror frecvenţă este egală cu diferenţa frecvenţelor

2ω 2ω−

213 ω−ω=ω , fenomenul de redresare a luminii care constă în apariţia unei tensiuni continue la capetele unui cristal piezoelectric excitat de o radiaţie intensă pentru care este îndeplinită condiţia 12 ω−=

02 =ω

ω precum şi efectul electrooptic liniar (Pockels)

obţinut în cazul în care: . Dacă frecvenţa ω 2 se află în domeniul undelor radio sau microundelor se obţine fenomenul de modulare a frecvenţei luminii. Întrucât susceptibilitatea neliniară de ordinul doi determină cuplarea a trei unde electromagnetice, cu ajutorul ei mai pot fi caracterizate şi fenomenele de oscilaţie parametrică.

Deşi în mediile optice dense un rol important îl joacă corecţiile

determinate de câmpurile locale care pot schimba valoarea susceptibilităţii , descrierea fenomenologică a fenomenelor prezentate nu este afectată de aceste corecţii.

( )2χ

Al treilea termen al dezvoltării, care conţine susceptibilitatea neliniară de

ordinul trei, ( )3χ , determină efecte neliniare ca: absorbţia a doi fotoni, generarea armonicii a treia, împrăştierea Raman stimulată, mixarea neliniară, dependenţa indicelui de refracţie de intensitate.

În mediile caracterizate prin existenţa unui centru de inversie, efectele neliniare de ordinul trei sunt descrise de polarizarea neliniară corespunzătoare care depinde de cubul amplitudinilor câmpului electric printr-o relaţie de forma:

( ) ( )( )×ωωωω−χ=ω 32143

4 ,,;21, ijk

nli rP r

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ..iiexp 4321321 cctrkkkEEE lkj +ω−++ωωωrrrr

(8.4)

şi în acest caz polarizarea neliniară de ordinul trei corespunzătoare sumei frecvenţelor acţionează ca o sursă în ecuaţia undelor generând

radiaţii a căror intensitate este proporţională cu

3214 ω+ω+ω=ω

( )( ) .,,,;2

432143 ωωωωω−χijk


8.2. Dublorul de frecvenţă. Generalităţi Una dintre metodele cel mai des aplicate în vederea extinderii spectrului radiaţiilor coerente în domeniul ultraviolet şi respectiv infraroşu indepărtat este generarea armonicilor optice de diferite ordine [8.1]-[8.5].

Pentru a calcula puterea armonicii a doua, presupunem că în mediul neliniar interacţionează trei câmpuri de frecvenţe ω ω ω1 2 3, , , descrise de unde progresive plane care se propagă după direcţia z , de forma:

( )( ) ( ) ( )[ ]{ }..exp21, 111

11

cczktizEtzE +−ω= αωα (8.5)

( )( ) ( ) ( )[ ]{ }..exp

21, 222

22


( )( ) ( ) ( )[ ]{ }..exp21, 333

33


în care prin notaţia (c. c.) se înţelege complex conjugatul primului termen din parantază. Dacă se consideră variaţii foarte mici ale amplitudinilor câmpurilor după direcţia , adică: z

2

2

z

Ek

zE

iii

∂

∂>>

∂

∂ αα (8.8)

şi introducem expresiile (8.5)-(8.7) în relaţia polarizaţiei (8.1) şi respectiv în ecuaţia undelor

( ) 2

2002

20

tP

tE

tEE NL

∂

∂μ+

∂∂

σμ+∂

∂εμ=×∇×∇

rrr

(8.9)

se obţin următoarele ecuaţii cuplate pentru amplitudinile câmpurilor care interacţionează:

[ ]∂

∂γ α ω

α

α α

E

zE KE E1

1 1 1 1 2= − − i iexp Δkz (8.10)

[ ]∂ α∂

γ α ω α αE

zE KE E

** * exp2

2 2 2 11 2= − − i Δkzi (8.11)

[ ]∂

∂γ α ω

α

α α

E

zE KE E3

1 23 3 3= − − −i iexp Δkz (8.12)

unde s-au introdus notaţiile:

γσ μ

εε μ

εχα α αi

i K k k= = = −2 2

0 0 01 2

1 2 3, , Δ k k− 3 . (8.13)

Coeficientul K reprezintă un coeficient de cuplaj între cele trei unde. Cuplarea undelor se datoreşte caracterului neliniar al mediului în care interacţionează cele trei unde, lucru evidenţiat de dependenţa acestui coeficient de componentele tensorului susceptibilitate χα α α1 2 3

.


Analiza procesului de generare a armonicii de ordinul doi se poate face cu ajutorul ecuaţiilor cuplate de amplitudine (8.10)-(8.12), deduse în cazul interacţiunii a trei unde, pentru care se consideră că: ω ω2 3= şi . Presupunând că mediul este transparent la frecvenţa

ω ω1 22=ω1 şi că pierderile prin

conversie sunt neglijabile (datorită raportului mic de conversie obţinut experimental), prin integrare pentru un parcurs în mediu de lungime se obţine amplitudinea câmpului de frecvenţa armonicii a doua la ieşire sub forma:

l

( ) ( )kikliEKEilE

Δ−Δ

ω−= αα1exp

321 . (8.14)

Puterea armonicii de ordinul doi este definită cu ajutorul relaţiei:

( )P E E2 12 0

12

1ω

εμ

α θα

= * sin (8.15)

în care: θ reprezintă unghiul dintre direcţia de propagare şi direcţia . z Cu ajutorul amplitudinii câmpului de frecvenţa armonicii a doua (8.14) se poate obţine modul de variaţie al puterii acesteia la ieşire sub forma:

( ) ( ) .

2

2sin

2 2

222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

ω≈ωkl

kl

lPP (8.16)

Din relaţia (8.16) rezultă o putere maximă a armonicii la ieşire dacă este satisfăcută condiţia de acord al vectorilor de propagare a undelor (cunoscută şi sub denumirea condiţia de adaptare a indicilor de refracţie):

Δr r r rk k k k= − − =1 2 3 0 . (8.17)

Dacă condiţia de adaptare a indicilor este satisfăcută, puterea la ieşire este proporţională cu pătratul lungimii cristalului:

. (8.18) ( ) 2~2 lP ω Dacă condiţia de adaptare a vectorilor de undă (8.13) nu este îndeplinită, puterea la ieşire trece printr-o succesiune de maxime şi minime, în funcţie de

lungimea cristalului l, separate prin distanţa lkc =πΔ

numită lungime de coerenţă

[8.1], [8.5].

8.2.1. Generarea armonicii a doua în cristalul de KDP Condiţia de adaptare a (vectorilor) indicilor nu se produce în mod normal,

deoarece mediile sunt dispersive ( )( )ω= nn , pentru o polarizare dată. Astfel, în cazul generării armonicii a doua într-un cristal de KDP (KH PO ) condiţia de adaptare a indicilor pentru cele două componente ale câmpului de frecvenţă ω care au polarizările

2 4

2α şi şi se propagă cu aceeaşi viteză de fază devine: 3α

. (8.19) ( ) ( )ω

αω

α =11

22 kk


Notând cu unghiul făcut de directia de propagare cu axa optică ,

relaţia (8.19) se mai poate scrie sub forma:

θ z( ) ( )( )θ=θ ω

αω

α 21

2 nn .

Relaţia (8.19) evidenţiază dependenţa indicelui de refracţie de direcţia de propagare, proprietate cunoscută a cristalelor anizotrope uniaxe, categorie din care face parte şi cristalul KDP (uniax negativ) la frecvenţele ω şi 2ω . Deoarece cristalul KDP este uniax negativ (fig. 8. 1):

(8.20) ( ) ( )ωω ≤ oe nn

este posibilă îndeplinirea condiţiei (8.19) pentru θ=θa , unde θa reprezintă aşa-numitul unghi de adaptare. Deci adaptarea indicilor se obţine dacă fasciculul de intrare având frecvenţa ω este polarizat ca rază ordinară, iar fasciculul de frecvenţa armonicii este polarizat ca rază extraordinară şi ambele se propagă în aceeaşi direcţie definită de unghiul

ω2θa (o → e).

Fig. 8. 1. Forma suprafeţelor indicilor de refracţie pentru undele ordinară (o) şi extraordinară (e) în cristalul de KDP la frecvenţele ω şi 2ω .

Valoarea unghiului θ poate fi calculată din condiţia: a

(8.21) ( ) ( ) )()(2aoae nn θ=θ ωω

care mai poate fi scrisă şi sub forma:

( )( ) ( )( )

22

211

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ ωωaoae nn

. (8.22)

Valoarea indicelui de refracţie ( )( )θωα21

n al undei extraordinare care se

propagă după direcţia se poate obţine scriind ecuaţia elipsei de intersecţie dintre elipsoidul indicilor pentru cristalele uniaxe:

θ

12

2

2

2

2

2=++

eoo nz

ny

nx

(8.23)


şi planul care trece prin origine şi este perpendicular pe direcţia de propagare dat de ecuaţia: (8.24) 0=⋅ kr

rrrk reprezintă direcţia de propagare. în care:

Ecuaţia elipsei de intersecţie în coordonate polare este dată de expresia:

( ) 2

2

2

2

2sincos1

eoe nnnθ

+θ

=θ

. (8.25)

Introducând valoarea lui ( )θen dată de relaţia (8.25) în condiţia de adaptare a indicilor (8.21) se obţine pentru sinusul unghiului de adaptare (fig. 8. 2) formula:

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] 2222

222

sin−ω−ω

−ω−ω

−

−=θ

oe

ooa

nn

nn. (8.26)

Fig. 8. 2. Orientarea cristalului de KDP în spaţiu faţă de un sistem de axe rectangulare Oxyz

în funcţie de unghiurile aθ şi aϕ .

În cazul particular al cristalului de KDP, indicii de refracţie ordinar (o) şi respectiv extraordinar (e) corespunzători radiaţiei fundamentale (ω) şi armonicii a

doua având valorile: ( ω2 ) ( )ωen =1,4602, ( )ne

2ω =1,4791, =1,4942,

=1,5131 pentru λ=1,064 μm se obţine un unghi de adaptare

( )neω

( )ne2ω θa =50,4°.

8.3. Dublorul optic de frecvenţă integrat

Interesul pentru studiul generării armonicilor optice de diferite ordine în optica integrată a crescut în ultimii ani datorită faptului că în ghidurile optice de undă este posibilă obţinerea unei concentrări foarte ridicate a puterii luminoase pe lungimi de interacţiune mari care asigură eficienţe semnificative acestor procese. Pe de altă parte, laserele cu semiconductoare care reprezintă dispozitivele cele mai eficiente şi mai des utilizate în ultimul timp nu permit la momentul actual extinderea spectrului lungimilor de undă în domeniul vizibil şi nici realizarea unor


surse acordabile care să acopere un domeniu larg de lungimi de undă. În aceste condiţii este necesară realizarea unor dispozitive integrate hibride, care să combine proprietăţile diodelor laser semiconductoare cu cele ale ghidurilor optice neliniare, în vederea obţinerii unor surse coerente integrate în domeniul vizibil şi respectiv a unor oscilatoare cu ajutorul cărora să se fabrice lasere acordabile, care să funcţioneze pe un domeniu larg de lungimi de undă [8.1], [8.5].

8.3.1. Fenomene neliniare de ordinul doi în ghiduri optice de undă În optica integrată fenomenele neliniare de ordinul doi prezintă câteva particularităţi în comparaţie cu cele care au loc în medii ale căror dimensiuni sunt mult mai mari decât lungimea de undă a radiaţiilor care le generează (v. 8.1). Astfel, este cunoscut faptul că în ghidurile optice de undă intensităţile câmpurilor au maximele în regiunea de ghidare, acestea scăzând foarte mult în regiunile învecinate. În figura 8. 3 este prezentată variaţia indicelui de refracţie efectiv

pentru modurile TE şi TM de ordinele zero şi respectiv unu ( )( )mefn în funcţie de

grosimea normalizată a ghidului . k h0

Fig. 8. 3. Variaţia indicelui de refracţie efectiv pentru modurile TE şi TM de ordinele zero

şi respectiv unu în funcţie de grosimea normalizată a unui ghid de tip lespede. Printre fenomenele neliniare de ordinul doi puse în evidenţă în ghiduri optice de undă se numără: generarea radiaţiilor ce au frecvenţa egală cu suma sau diferenţa frecvenţelor radiaţiilor care interacţionează, fenomene de amplificare şi oscilaţie parametrică şi generarea armonicii a doua [8.1]. Generarea armonicii a doua în diferite medii (LiNbO , KTP, polimeri polari etc.) poate avea loc în urma unor procese care implică două unde ce se propagă atât în acelaşi sens (şi sunt caracterizate de vectori de undă egali sau diferiţi), cât şi în sens contrar (numai cu unde ghidate).

3

După modul în care se obţine maximizarea eficienţei de conversie fenomenul de generare a armonicii a doua se poate produce în urma acordării vectorilor de undă în medii birefringente, dar şi în alte configuraţii experimentale, cum ar fi cel de tip Cerenkov şi cel care utilizează cvasiacordul vectorilor de undă [8.5]-[8.10].


Dacă generarea armonicii a doua rezultă în urma acordării vectorilor de undă în medii birefringente este necesar ca în cazul interacţiunii modurilor TE şi TM având ordinele cele mai coborâte integrala de suprapunere dintre acestea să aibă valori cât mai mari, ceea ce în final conduce la condiţia ca indicii de refracţie ai fundamentalei şi armonicii să fie egali. În cazul ghidurilor planare fabricate dintr-un material birefringent (fig. 8. 4) condiţia de acordare a vectorilor de undă este posibilă pentru modurile TE ( )ω0 ) şi TM ( )ω20 .

Fig. 8. 4. Curbele de dispersie ale modurilor ghidate în cazul unui film birefringent depus

pe un substrat izotrop.

Dacă generarea armonicii a doua are loc în urma interacţiunilor undelor TE ) şi TM trebuie ca elementele nediagonale ale matricei coeficienţilor electrooptici să fie diferite de zero. De asemenea, dacă integrala de suprapunere dintre moduri tinde la valoarea unu este necesar ca atât câmpul fundamentalei cât şi al armonicii să aibă ordinul cel mai coborât.

( )ω0 ( ω20 )

8.3.2. Generarea armonicii a doua în ghiduri optice de undă în configuraţia de tip Cerenkov

Pentru a realiza un dublor de frecvenţă în ghiduri optice de undă este necesar ca acest dispozitiv să fie confecţionat dintr-un material neliniar care să aibă coeficienţi neliniari cu valoare ridicată, pierderi mici şi să fie posibilă acordarea indicilor de refracţie pentru undele care interacţionează. Unul dintre materialele care satisface aceste cerinţe este Ti:LiNbO 3 obţinut prin difuzia internă a Ti. Într-un astfel de dispozitiv se realizează atât efectul de ghidare al radiaţiilor care interacţionează cât şi cel de birefringenţă care compensează dispersia şi permite obţinerea acordului indicilor de refracţie. În această configuraţie s-au obţinut eficienţe de conversie ridicate chiar şi în cazul când în procesul de generare nu a fost utilizat coeficientul neliniar care are valoarea cea mai mare şi cuplează două unde polarizate extraordinare [8.5]. Pentru a folosi acest coeficient este necesar să se obţină condiţia de adaptare a indicilor fără a utiliza fenomenul de birefringenţă. Această posibilitate există şi constă în utilizarea dispersiei modurilor pentru a compensa dispersia naturală a cristalului. În cazul cristalului de LiNbO3 acest fapt este posibil în două configuraţii.

r33


În primul caz sunt cuplate modurile de ordin coborât din domeniul infraroşu al spectrului cu modurile de ordin ridicat din domeniul vizibil [8.5]. Întrucât în cazul cristalului de LiNbO dispersia naturală este destul de ridicată ( ) este necesar ca în procesul de fabricare al ghidurilor optice de undă să se producă variaţii importante ale indicilor de refracţie pentru a obţine o dispersie a modurilor care să permită acordul indicilor între modurile ghidate. Acest fapt se poate realiza utilizând metoda schimbului protonic care permite în anumite condiţii de fabricaţie obţinerea unor variaţii ale indicilor de refracţie mari (de aproximativ 0,15 în domeniul albastru al spectrului). Totuşi, generarea armonicii a doua pe baza metodei prezentate mai înainte, deşi este relativ simplă, are un mare dezavantaj legat de cuplarea modurilor ghidate care sunt caracterizate prin distribuţii foarte diferite ale câmpurilor, în acest mod nefiind posibilă suprapunerea completă a acestora şi nici îndeplinirea exactă a condiţiei de adaptare a indicilor de refracţie.

3n n2 0 1ω ω− = ,

În cazul celei de-a doua configuraţii, numită şi Cerenkov, modurile ghidate din domeniul infraroşu al spectrului sunt cuplate cu modurile radiante, aşa cum se poate observa şi din figura 8. 5.

Fig. 8. 5. Generarea armonicii a doua în configuraţia Cerenkov.

În cazul mediilor cu dispersie normală modurile ghidate din domeniul infraroşu creează o polarizaţie neliniară care are o viteză de fază mai mare decât cea corespunzătoare undei neghidate cu frecvenţa armonicii a doua în material. Radiaţia armonicii care este caracterizată de polarizaţia neliniară de ordinul doi şi rezultă în urma procesului de generare trece în substrat sub un unghi care asigură conservarea componentei vectorului de undă paralel cu interfaţa ghid-substrat, determinând îndeplinirea condiţiei de acordare a indicilor în mod automat.

Deşi în primele experienţe de generare a armonicii a doua în ghiduri de Al O depuse pe un substrat de cuarţ eficienţa acestui proces a fost foarte mică în urma utilizării metodei de schimb protonic care determină variaţii importante ale indicelui de refracţie şi respectiv ale coeficienţilor neliniari s-au obţinut eficienţe de conversie de aproximativ 1,5 % în cazul unei radiaţii incidente emisă de o diodă laser şi având puterea de 65 mW.

2 3


Pentru a analiza din punct de vedere teoretic fenomenul de generare a armonicii a doua în configuraţia Cerenkov se consideră un ghid optic planar de LiNbO , fără pierderi, obţinut prin metoda schimbului protonic şi care este tăiat după axa

3x sau z , lumina propagându-se de-a lungul axei z. Notând cu a , c

ele cristalului în cazul ghidului tăiat după axa b şi

ax x axa optică c este paralelă cu axa y , iar în cazul când acesta este tăiat după axa axa c este paralelă cu axa z x . În aceste condiţii câmpul armonicii a doua radiază şi în substrat propagându-se sub unghiul (Cerenkov) faţa de direcţia , deci constanta de propagare a undei fundamentale

θ zβ f este determinată de următoarea inegalitate:

βπ

λf a ae aa

k n k< =12

22 , cu (8.27)

unde reprezintă indicele de refracţie extraordinar al substratului corespunzător lungimii de undă a armonicii a doua.

nae2

Radiaţia fundamentală induce o polarizaţie la frecvenţa armonicii a doua de forma

(8.28) r rPnl E Ef f= ε χ0

r

care acţionează ca o sursă în ecuaţiile Maxwell. Căutând o soluţie pentru câmpul armonicii a doua care este dată de relaţia:

, (8.29) ( ) ( )E x y E x a z, = −e iβ

în urma înlocuirii în ecuaţia de propagare a undelor se obţine pentru componenta a câmpului armonicii a doua o ecuaţie de forma: i

( ) ( ) ( )( )d

d

2

2

E x

xKE x P xi

i+ = Φ (8.30)

şi respectiv egalitatea: β βa f= 2 . (8.31)

În ecuaţia (8.30) ( )( )Φ P x este funcţie de polarizaţia neliniară, xi = sau depinzând de tipul ghidului considerat (TE sau TM), iar z K reprezintă o

constantă care conţine indicii de refracţie şi constantele de propagare la diferite frecvenţe. Ecuaţia (8.31) evidenţiază faptul că adaptarea indicilor de refracţie este satisfăcută în mod automat. Soluţia ecuaţiei (8.30) se poate scrie pe baza metodei câmpurilor totale sub forma unei sume de doi termeni . (8.32) ( ) ( ) ( )E x G x F xi = +

În relaţia (8.32) reprezintă soluţia ecuaţiei (8.30) fără termenul sursă, iar este o soluţie particulară a acesteia putând fi interpretat ca un câmp forţat. De fapt, soluţia G este un mod al substratului şi este dat de relaţia:

( )xG

( )x( )xF


. (8.33) ( )( )

G xD , d<xA B , <x<dC C' , x<

k x d

k x k x

k x k x= +

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− −

−

−

ee ee e

3

1 1

2 2

00

i i

i i

Termenul C k xei 2 descrie radiaţia de tip Cerenkov care se propagă în

substrat, iar termenul C k x− i 2' e reprezintă o undă plană care vine de la −∞ . Întrucât în cazul prezentei analize nu există astfel de surse la −∞ coeficientul

, dar polarizaţia neliniară poate fi interpretată ca fiind polarizaţia care ar exista în prezenţa unei astfel de unde.

0' =C

Pentru a determina celelalte patru constante din relaţia (8.33) precum şi pentru a afla soluţia se aplică patru condiţii de continuitate la interfeţe şi apoi soluţia se înlocuieşte în ecuaţia de propagare a undelor (8.30). Astfel, este posibil să se calculeze fluxul de energie care se propagă prin dispozitiv şi luând în considerare numai puterea armonicii a doua din substrat care este preponderentă în cazul când lungimea de interacţiune este mare în comparaţie cu adâncimea ghidului se poate evalua eficienţa conversiei cu ajutorul relaţiei:

( )xF

PaL

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

δδΓ×θ×==ηω

xFFL

lP

PP

f

a ,tg (8.34)

în care: l este lungimea ghidului uniform excitat, iar Fδ şi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

δxF

reprezintă

discontinuităţile câmpului forţat şi respectiv ale derivatei acestuia la interfeţele ghidului. De obicei, eficienţa procesului de generare a armonicii a doua este scrisă sub forma:

( ) ( )ηω

χ=P

lL f S I

2 2Δβ . (8.35)

În relaţia (8.35) termenul ( )Plω

caracterizează confinarea puterii

fundamentale , χ este coeficientul neliniar, este lungimea dispozitivului,

reprezintă termenul care determină adaptarea indicilor, iar este integrala de suprapunere dintre modurile care interacţionează.

( )P ω 2 L( )f Δβ SI

Din compararea relaţiilor (8.35) şi (8.34) se observă că eficienţa conversiei în cazul configuraţiei Cerenkov depinde liniar de lungimea dispozitivului L şi nu pătratic ca în cazul interacţiunii dintre modurile ghidate. De asemenea, tot în cazul configuraţiei Cerenkov termenul care determină adaptarea indicilor de refracţie nu prezintă rezonanţe întrucât unghiul θ făcut de direcţia radiaţiei în substrat trebuie ajustat în mod continuu pentru a îndeplini egalitatea componentelor tangenţiale ale vectorilor undelor care interacţionează. Discontinuităţile câmpului forţat şi respectiv ale derivatei acestuia la interfeţele ghidului depind foarte mult de cristal şi respectiv de caracteristicile ghidului. Procesul de generare a armonicii a doua în


configuraţia Cerenkov este mai eficient în cazul când coeficienţii neliniari ai ghidului sunt mai mici, reducerea acestora determinând o descreştere a diferenţelor la interfeţe şi respectiv o creştere a discontinuităţilor câmpului forţat. Aceste rezultate teoretice au fost confirmate experimental. Astfel, folosindu-se ghiduri optice fabricate prin schimb protonic în LiNbO 3 , într-un montaj experimental în configuraţia Cerenkov prezentat în figura 8. 6 s-a obţinut creşterea eficienţelor de conversie în procesul de generare a armonicii a doua prin reducerea coeficienţilor neliniari şi respectiv prin mărirea gradientului indicilor de refracţie [8.7].

Fig. 8. 6. Montajul experimental utilizat pentru generarea armonicii a doua în configuraţia Cerenkov.

8.3.3. Generarea armonicii a doua în structuri care prezintă o periodicitate a susceptibilităţii neliniare de ordinul doi

După cum a fost prezentat la paragraful 8.1. generarea eficientă a armonicii a doua are loc dacă este îndeplinită condiţia de acordare a vectorilor de undă , reprezentând vectorii de undă corespunzători fundamentalei şi respectiv armonicii a doua. Această condiţie fiind realizată numai în medii care au o dispersie ridicată, pentru generarea eficientă a armonicii a doua utilizează atât condiţia de acordare cât şi cea de cvasiacordare a vectorilor de undă în structuri care prezintă o variaţie periodică a semnului susceptibilităţii efective

neliniare de ordinul al doilea

Δk k k= − =2 2 0ω ω k kω , 2ω

( )χ ef2 şi care poate fi îndeplinită mai uşor [8.5].

Perioada structurii Λ este egală cu lungimea de coerenţă , schimbarea fazei undelor care interacţionează datorită dispersiei indicilor de refracţie fiind compensată de alternanţa semnului susceptibilităţii efective neliniare de ordinul al doilea care determină o deplasare adiţională a fazei cu .

Structura descrisă este de fapt o reţea care prezintă o susceptibilitate efectivă neliniară de ordinul al doilea

l kc = π / Δ

π / 2( )χef2

( )ef2χ periodică şi poate fi obţinută, de exemplu, prin

plasarea ghidurilor optice de undă în câmpuri electrice externe intense care induc în acestea propria lor periodicitate (fig. 8. 7) [8.9], [8.10].

În acest sens, rezultate bune s-au obţinut prin plasarea unui polimer (4-oxi, 4'-nitrostilben metilmetacrilat -ONS/MMA) la 110° C într-un câmp electric de 70 V/ m rezultând o susceptibilitate de ordinul doi μ ( )χ 2 =0,5 pm/V.


Folosindu-se pentru excitarea structurii descrise anterior un laser de tip Nd-YAG cu funcţionarea în regim Q-switched s-a obţinut generarea armonicii a doua cu o eficienţă de ordinul 1 , aceasta depinzând de absorbţia filmului polimeric care avea grosimea de 150

0 5−

μ m şi era format din 30 de straturi cu polarizări de sens opus.

Fig. 8. 7. Schema unei structuri periodice obţinută într-un polimer de tip ONS/MMA. Dacă radiaţia laser care interacţionează cu substanţa nu este prea intensă, pentru a descrie din punct de vedere fenomenologic generarea armonicii a doua este suficient să fie luate în considerare numai neliniarităţile induse de ordinul doi. În cazul interacţiunii dintre radiaţia laser intensă şi mediul neliniar trebuie luate în calcul şi neliniarităţile de ordinul trei (Kerr) care produc modulaţia fazei fundamentalei şi respectiv armonicii. Pentru a descrie generarea armonicii a doua în structuri care prezintă o

periodicitate a susceptibilităţii neliniare de ordinul doi ( )( )z2χ cu luarea în calcul

şi a neliniarităţilor de ordinul trei ( )χ 3 se consideră două unde monocromatice, fundamentala ( ) şi respectiv armonica a doua ( 2ω ω ) având amplitudini care variază lent cu distanţa de propagare z de forma: ( ) ( ) ( )[ ]

r rE t z e A z t k zω ω ω ωω, exp= i − (8.36)

( ) ( ) ( )[ ]r rE t z e A z t k z2 2 2 22ω ω ω ω, exp= i ω− (8.37)

în care: e eω , 2ω

)

reprezintă versorii polarizării iar vectorii de undă corespunzători fundamentalei şi respectiv armonicii a doua.

k kω ω, 2

Polarizările neliniare care descriu interacţiunea undelor având pulsaţiile şi respectiv sunt date de relaţiile ω 2ω

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ztEztEzztP ,,:, *

22

22

ωωω−ω=ωω χ=rrr

(8.38)

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ztEztEzztP ,,:, 22

22 ωωω+ω=ωω χ=

rrr. (8.39)

Fenomenul de modulaţie a fazei este descris cu ajutorul polarizărilor neliniare induse de ordinul trei (Kerr) de forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )r

Mr r r

P t z E t z E t z E t zω ω ω ω ω ω ω ωχ3 3, , *= += − + , ,


( )( ) ( ) ( ) ( )ztEztEztE ,,, *

223

22 ωωωω+ω−ω=ωχrrr

M (8.40)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

rM

r r rP t z E t z E t z E t z2

32 2 2 23

2 2 2ω ω ω ω ω ω ω ωχ, , *= += − + , ,

)

( )( ) ( ) ( ) ( ztEztEztE ,,, 2

*322 ωωωω+ω−ω=ωχ

rrrM . (8.41)

Primul termen din membrul drept al relaţiilor (8.40), (8.41) descrie automodulaţia fazei, iar termenul al doilea din membrul drept al relaţiilor (8.40), (8.41) caracterizează modulaţia încrucişată a fazei undelor care interacţionează. În medii nedispersive toate componentele tensorilor susceptibilităţilor

neliniare de ordinele doi şi respectiv trei ( )( )z2χ ( )3χ sunt reale şi verifică relaţia de permutare a simetriilor (Kleinman):

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ...2 22

22 =χ=χ ω+ω=ωω−ω=ω zz

kjljkl (8.42)

( )( )

( )( )χ χω ω ω ω ω ω ω ω= − + = − +

=2 23

2 23

jklm kjml.. .= . (8.43)

Pentru a caracteriza mediile neliniare care prezintă fenomenul de dispersie slabă se consideră relaţiile

( )( )

( )( )χ χ

ω ω ω ω ω ω ω ω= − + = − +≈ ≈

jklm jklm

32 2 2 23

( )( )

( )( )3

223

22 21

21

jklmjklm ω+ω−ω=ωω+ω−ω=ωχ≈χ≈ . (8.44)

Întroducând expresiile polarizărilor neliniare (8.40), (8.41) în ecuaţiile Maxwell şi ţinând seama de relaţiile de permutare a simetriilor (Kleinman) se obţine următorul sistem de ecuaţii diferenţiale cuplate de ordinul întâi pentru amplitudinile undelor:

( )( ){ ( +Δ−χω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εμ

−= ωωω

ω kzAAznz

Af iexp2

2i

dd *

22

e

2/1

0

0 )

( ) ( )⎭⎬⎫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ χ+χ ωωωω AAA cruce

efauto

ef2

2 32 3

(8.45)

( )( ){ ( )+Δχω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εμ

−= ωω

ω kzAznz

Aef iexpi

dd 22

2

2/1

0

02

( ) ( )⎭⎬⎫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ χ+χ ωωωω 2

2 322

3 2 AAA cruce

efautoef (8.46)

unde şi ε0 μ0 reprezintă permitivitatea electrică şi respectiv permeabilitatea magnetică a vidului în unităţi S. I., iar n şi sunt indicii de refracţie corespunzători fundamentalei (

ω n2ωω ) şi armonicii a doua ( 2ω ). În relaţiile (8.45),

(8.46), este dezacordul vectorilor de undă, iar susceptibilităţile neliniare efective sunt definite după cum urmează:

Δk k2 k= − 2ω ω


( )( ) ( )( ) ( ) =χ⋅=χ ωωω+ω=ωω eezezef

rrr :222

2( )( ) ( ) ωωω−ω=ωω χ⋅ eeze rrr

22

2 :21

(8.47)

(8.48) ( )( )( )χ χω ω ω ω ω ω ω ωef

auto e e e e3 3 = ⋅= − +

rMr r r

( )( )( )

ωωωω+ω−ω=ωωω χ⋅=χ 2223

22222 3 2 eeeeautoef

rrrM

r (8.49)

( )( )( ) =χ⋅=χ ωωωω+ω−ω=ωω eeeecruce

efrrr

Mr

223

22 3

( )( )

ωωωω+ω−ω=ωω χ⋅= 23

222 eeee rrrM

r. (8.50)

Pentru a scrie sub formă mai simplă ecuaţiile (8.45), (8.46) se introduc următoarele mărimi adimensionale:

an

RAω

ωω=

1 2/ (8.51)

an

RA2

21 2

2ωω

ω=/

(8.52)

unde

( ) ( )R n A n A= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω ω ω ω0 02

2 22 1 2/

(8.53)

( )

ζμε

ω χ

ω ω

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

0

1 202

21 2

/

/R

n nz (8.54)

( )Δ Δ=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

εμ ω χ

ω ω0

0

1 221 2

02

/ /n n

Rk . (8.55)

În relaţiile (8.53)-(8.55) ( )χ02 reprezintă susceptibilitatea de ordinul doi a

structurii periodice

(8.56) ( ) ( ) ( ) ( )χ ζ χ ζef f2 = 02

unde este o funcţie adimensională periodică de distanţa redusă ( )f ζ ζ , iar

( )

( )γχ

χωω

ωauto

efauton R

n= 2

1 2

02

3/

w

(8.57)

( )( )auto

efauto

n

Rn 3 22

02/3

22 ω

ω

ωω χ

χ=γ (8.58)

( )( )autoef

cruce

nR 3

22/12

χχ

=γ . (8.59)

Pentru amplitudinile normalizate ale câmpurilor trebuie verificată şi relaţia (Manley-Rowe):


( ) ( )a aω ωζ ζ2

22

1+ = . (8.60)

Cu notaţiile introduse anterior ecuaţiile (8.45), (8.46) se scriu sub forma:

( ) ( ) [ ]dd

i i caa a f a a aauto ruceω

ω ω ω ω ω ωζζ γ γ= − − + +⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

22

221

2* exp Δζ (8.61)

( ) ( ) [ ]{ }dd

i ia

a f a a aauto cruce2 22 2

2 22

ωω ω ω ωζ

ζ γ γ= − + +exp Δζ ω

)

. (8.62)

În cazul mediilor izotrope pentru care (( )χω ω ω ωj j j j= − +

3 are 21 de

componente care nu se anulează şi numai o componentă independentă

se pot scrie relaţiile: ( )( ) ( )χ αω ω ω ω

ααααj j j jx y z

= − +=3 , ,

( )( )

( )( ) Kerr

efjjjjjjjjχ=χ=χ

αββαααααω+ω−ω=ωω+ω−ω=ω

33 3 (8.63)

în care: α β şi . , , ,= x y z α β≠ De asemenea, în cazul undelor care interacţionează şi sunt polarizate paralel r re eω | | 2ω se verifică relaţiile:

(8.64) ( ) ( ) Kerref

autoef

autoef χ≈χ≈χ ωω

3 2

3

(8.65) ( )χ χefcruce

efKerr3 2 ≈

iar pentru cele perpendiculare r re eω ω⊥ 2 rezultă:

(8.66) ( ) ( ) Kerref

autoef

autoef χ≈χ≈χ ωω

3 2

3

( ) Kerref

cruceef χ≈χ

32 3 (8.67)

( ) νγ=χχ

≈γ≈γ ωωKerref

m

autoauto

nR

20

2/12 (8.68)

unde reprezintă o valoare medie a indicilor de refracţie, iar determină polarizările mutuale ale undelor care interacţionează având valoarea

nm1 2/ ν

ν = 2 în cazul când r re e| |ω ω2 şi =2/3 pentru ν

r re eω ω⊥ 2 . În cazul condiţiilor prezentate anterior ecuaţiile (8.61), (8.62) devin:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ν+

γ+ζΔ−ζ−=

ζ ωωω∗ωω

ω aaafaaa 22

22 2

iexpid

d (8.69)

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ν+γ+ζΔζ−=

ζ ωωωωω

222

222 iexpi

dd aaafaa

. (8.70)

Introducând amplitudinile şi fazele reale ale undelor ( ) ( )a a jj j j= =exp i , ϕ ω, 2ω ecuaţiile cuplate de amplitudine se scriu sub

forma:


( ) ( )Θζ−=ζ ωωω sin

dd

2 faaa

(8.71)

( ) ( )Θ= sind

d 2 ζζ ωω fa

a (8.72)

( 2222

2

2

)(cos)(2dd

ωωωω

ω κζζ

aafaaa

−+Θ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+Δ=

Θ ) (8.73)

unde Θ Δζ= − ϕ ω2 iar ( )γν−=κ 1 . Pentru a descrie interacţiunea undelor polarizate neparalele într-un mediu anizotropic se consideră două tipuri de coeficienţi Kerr neliniari. În afara

termenului ( )κ ω ωa a22 − 2 se mai introduce în membrul drept al ecuaţiei (8.73)

şi coeficientul Kerr neliniar ( care este independent de eficienţa

generării armonicii a doua astfel încât coeficientul dezacordului vectorilor devine: )γ γω ω2 2auto auto− /

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡χ−χ

χ+Δ

χω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛με

=Δ ωω

ωω

ω

ωωω autoef

autoef n

nnnRk

Rnn 3

2/12 3

22/32

)2(0

20

2/12

2/1

0

0

2,

(8.74) iar

( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡χ−χ+χ

χ=κ

ωω

ω

ωω

ω

ω cruceef

autoef

autoef nn

nn

nR 22/1

3 22/3

2

3

2/12

20

22

. (8.75)

Dacă neliniaritatea Kerr micşorează dezacordul fazei schimbând semnul mărimii până într-o stare pentru care procesul de conversie are loc până la jumătate

sgn( ) sgn( )Δ = κΔ

a2 aω ω≤ , apoi dacă a a2ω ω> neliniaritatea Kerr măreşte dezacordul fazei şi procesul se repetă invers pentru sgn( ) sgn( )Δ = − κ . Totuşi, procesul de generare a armonicii a doua depinde de dezacordul fazelor, de neliniarităţile Kerr şi de periodicitatea susceptibilităţii neliniare de ordinul doi, . ( )χ 2

În cazul structurilor periodice care sunt caracterizate de frecvenţe spaţiale mari generarea armonicii a doua depinde mai mult de periodicitatea acestora şi mai puţin de detaliile formelor. De aceea se poate considera că structura periodică este sinusoidală şi deci:

(8.76) ( )( ) ( ) ( ) ( ψ−ζχ=ψ−χ=χ gGzzef sinsin )2(0

20

2 )unde

( ) GRnng 2

0

2/12

2/1

0

0

χω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛με

= ωω . (8.77)


Considerând în primă aproximaţie că puterea radiaţiei de pompaj este constantă în mediul neliniar aω

2 1≈ , deci amplitudinea acesteia variază puţin, iar eficienţa de conversie este mică, adică a a2ω << ω şi făcând substituţiile:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ζγ−= ωωω

22/iexp aaa (8.78)

a a2 22

ω ω ωνγ ζ= −exp i a( ) (8.79) se obţine pentru amplitudinea complexă a câmpului armonicii a doua o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi de forma:

( ) ([ ]ζκ−Δψ−ζ−=ζ ωω iexpsini

dd 22 gaa ) . (8.80)

Ţinând seama de condiţia la limită a2 0ω ( ) 0= soluţia ecuaţiei (8.80) este dată de relaţia:

[ ] ( ) ( )[ ] ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ψβζ−−β

+ψ−αζ−α

−= ωω iexpiexp11iexp)i(exp11

2i

22

aa

(8.81) în care: α κ= + −g Δ , β κ= − +g Δ . (8.82) În cazul cvasirezonanţei ( g ≈ Δ ) şi considerând că frecvenţa structurii periodice este mare, iar neliniarităţile de tip Kerr sunt relativ mici κ << g astfel că α >> β se obţine pentru amplitudinea normalizată a câmpului armonicii a doua şi respectiv pentru fază expresia:

( ) ( )[ ] ( )ψβζ−−β

=ϕΔω iexpiexp1i21iexp2a (8.83)

în care: Δϕ = −ϕ ϕω ω2 2 . Eficienţa de conversie este dată de relaţia:

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ βζ

β==

ζ=η ω

ω

ω2

sin10

22

22

2 aII

(8.84)

în care: şi reprezintă intensităţile fundamentalei şi respectiv armonicii a doua.

Iω I2ω

Eficienţa de conversie maximă se obţine când β κ= − +g Δ = 0. În acest caz ( ) ( ) ( )a2 2ω ζ ψexp i exp iΔϕ = / , (8.85) iar eficienţa conversiei

η ω ζ= =a2 42 2 / . (8.86)

Din expresia eficienţei de conversie (8.84) se observă că generarea armonicii a doua în cazul când nu este îndeplinită condiţia de rezonanţă în structuri periodice care prezintă neliniarităţi de ordinul doi este un proces spaţial periodic.


Se observă că intensitatea armonicii a doua creşte monoton numai pentru , procesul de generare a acesteia fiind în fază cu neliniarităţile de ordinul doi

. În comparaţie cu cazul generării armonicii a doua în medii care sunt

caracterizate de o susceptibilitate de ordinul doi uniformă procesul de

generare cvasirezonantă se desfăşoară mai lent cu un factor 1/2.

β = 0( )χ 2

χ χef( ) ( )2

02=

Pe baza consideraţiilor teoretice prezentate anterior este posibil să se determine o lungime efectivă limită a mediului neliniar datorită neliniarităţilor de tip Kerr în cazul generării armonicii a doua cu radiaţii fundamentale care nu sunt monocromatice. În cazul generării armonicii a doua la rezonanţă (Δ = g ) lungimea efectivă a mediului neliniar poate fi definită ca: distanţa pe care apare primul maxim al armonicii a doua cu lungimea de undă corespunzătoare valorii medii a intensităţii fundamentalei I

ω

( ) Kerr

ef

mmcI

nefl

χυ−μ

λε≈

ω

ω

1 4 0

2

0 . (8.87)

Pentru distanţe mai mari decât lungimea efectivă ( z l ) eficienţa

generării armonicii a doua scade foarte mult datorită fenomenelor de interferenţă distructivă.

ef>

În general, ecuaţiile diferenţiale cuplate de ordinul întâi care descriu procesul de generare a armonicii a doua (8.71) - (8.73) nu pot fi rezolvate analitic. Pentru integrarea numerică a acestor ecuaţii se consideră f g g( ) ( ), ( )ζ ζ= >sin 0 şi condiţia la limită . În aceste condiţii se pot obţine ecuaţiile cuplate pentru amplitudinea normalizată a armonicii a doua şi fază, sub forma:

a2 0ω ( ) = 0

( ) ( )d

dsin sin

aa gω

ωζζ= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 2

2 Θ (8.88)

( ) ( )dd

+ 1 sin cosΘ Δ Θζ

κ ζωω

ω= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1 2 32

2

22a

aa g (8.89)

în care: Θ Δζ= − +ϕ ϕω ω2 2 . (8.90) Ecuaţiile descrise pot fi folosite pentru efectuarea unor studii teoretice asupra generării armonicii a doua în vederea indeplinirii acelor condiţii experimentale care să asigure obţinerea unor eficienţe de conversie cât mai ridicate pentru acest proces. În figura 8. 8 este prezentată dependenţa eficienţei de conversie a armonicii a doua de distanţa normalizată în cazul unui acord perfect al vectorilor de undă ( =0) şi diferite valori ale coeficientului Kerr neliniar (Δ κ ). Se observă că eficienţa de conversie este maximă în cazul absenţei neliniarităţilor de tip Kerr ( =0). Descreşterea eficienţei cu creşterea coeficientului neliniar este o consecinţă a faptului că neliniarităţile de tip Kerr introduc un dezacord de fază suplimentar în procesul de generare.

κ


8.3.4. Generarea armonicii a doua în filme polimerice subţiri e posibilă

ât obţ

versie relativ ridicate de aproximativ 80% se obţin şi în

Cu ajutorul montajului experimental prezentat în figura 8. 9 estat inerea cu eficienţă mare a celei de-a doua armonici corespunzătoare unei radiaţii laser (Nd:YAG cu funcţionarea în regim Q-switched) din domeniul infraroşu al spectrului, cât şi determinarea exactă a susceptibilităţii neliniare de ordinul doi [8.8]-[8.10]. Eficienţe de concazul generării cvasirezonante a armonicii a doua (Δ =1) pentru valori ale coeficientului Kerr neliniar κ =3 şi κ =4 ordinul doi ( ) )χ ω ω ω2 2− ; , a unui film polimeric cu ajutorul formule intens ăţii armonicii (re ].

(i it laţia (8.91)) [8.5

Fig. 8. 8. Eficienţa de conversie a armonicii a doua în funcţie de stanţa normalizată în c

diazul Δ =0 şi diferite valori ale coeficientului Kerr neliniar κ =1, 2, 3, 4 înscrise pe curbe

.

Intensitatea armonicii a doua depinde de modul de depunere a filmului limer

po ic pe substarat. Astfel, în cazul depunerii filmului numai pe o faţă a substratului intensitatea armonicii a doua ( )I 2ω θ este dată de relaţia:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )Ic

P t A Ip232

13

2 012

122 2 2

ω ωθπ

α

χθ θ θ α= −

ΔεΔψ| | | e |i . (8.91)

2 2

Fig. 8. 9. Montajul experimental pentru generarea armonicii a doua î filme polimerice.

În relaţia (8.91) mărimea

n

( )Pp θ reprezintă factorul de proiecţie, iar în cazul filmelor polimerice subţire are expresia:


( ) (P a app p p p p pθ θ θ θ θ θ θω ω ω ω ω ω= + +sin cos cos sin cos2 2

2 22 (8.92)

în care: ) sin

( ) (a s p= χ χ2 2/ .) n cazul în care filmul polimeric este depus pe ambele feţe ale substratului,

presia intensităţii arm icii a d ua dev

(8.93) Îex on o ine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎤⎡⎟⎞

⎜⎛ ψΔ

θεΔ

χ

α

π=θω

i32 12401

22

2

3

2 Ptc

I sf ×

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

−αθ 1e12A

( ) 22

21eiω⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ψΔ+ψΔα+ IBA (8.94)

unde factorul ţie este de forma

inaţi de condiţ ă. Factorii de proiecţ mel subţ ţin

de proiec( )P (8.95) s

s s pθ θ θ θω ω ω= 2 2cos sin cos ,iar

(8.96) A A t= 12 23

3 (8.97) B A t t= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟30 12 2

2

sunt factori determ iile la limit ie în cazul fil or iri ob ute prin metoda Langmuir-Blodgett sunt daţi de relaţiile [8.10]:

( )Pp θ θ φ θ θ φ φ= +sin cos sin cos sin cos3 2 2 232

(8.98)

( )Ps θ θ φ= 12

2sin sin cos φ

este unghiul dintre axa moleculei centrosimetrice (dupmponenta tensorului hiperpolarizabilitate de ordinul întâi

(8.99)

în care: ă care co

φβ are valoarea cea mai

mare) şi normala la planul substratului. Pentru cele două polarizări ( )πp şi respectiv ( )σs factorii de transmisie Fresnel sunt:

t ni jp i

pip

=2 cosθ (8.100)

n njp

ip

ip

jp+cos cosθ θ

tn

n ni js i

sis

js

is

is

js

=+

2 coscos cos

θ

θ θ. (8.101)

ez or ze nt damentală ( f ) şi În relaţiile (8.91), (8.94) d ac dul fa lor di re funarmonica a doua ( ) este: a

( )Δψ1 2 24

= −π

λθ θω ω ω ωn n lf f a acos cos (8.102)

ω


u d pagă cele nde este grosimea filmului iar sunt unghiurile upă care se prodouă radiaţii. Fenomenul de absorbţie a armonicii a doua în filmul subţire a fost

indicelui de refracţie la frecvenţa armonicii. În cazul în care filmu p imeric de ă

l θω ω,,2

f a

luat în calcul prin coeficientul

alak ωθω=α 2cos/22e (8.103)

unde k este partea imaginară a l ol este pus pe o singur faţă a substratului

şi nu este absorbant expresia intensităţii armonicii a doua este dată de relaţia:

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) 22

2201

2252 ||2048

ωω ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛λ

θθθ+

χπ=θ IlAtP

cI f

af . (82 ωωω ⎠⎝nn

.104)

Determinând experimental intensităţile fundamentalei onicii a doua este posibilă evaluarea susceptibilităţii neliniare de ordinul doi

şi respectiv arm

( ) )χ ω ω ω2 2 ; , cu ajutorul relaţiilor (8.91), (8.94) şi (8.104) ştiind că în cazul polimerilor mediu polarizaţi (

(−μE kT/ <1) raportul a = 1 3/ (relaţia (8.103)).

polarizării poate fi evaluată din spectrul de absorbţie al polimerului polarizat. S-a ob absorbţia f iradiat sub incid Eficienţa

servat că ilmului enţă

factorul de câmp local, iar reprezintă media

normală scade în urma polarizării. Acest fapt se datoreşte schimbării orientării momentelor de dipol. Orientarea momentelor de dipol poate fi caracterizată de un parametru de ordine. Eficienţa fenomenelor neliniare care au loc în polimerii descrişi depinde de mărimea susceptibilităţii neliniare de ordinul doi

( ) χ β2 = < >N F (8.105) unde N este numărul de molecule active, F este< > hiperpolarizabilităţii de ordinul întâi pe distribuţia βmoleculelor active.

În cazul unui sistem molecular cu două niveluri energetice hiperpolarizabilitatea de ordinul întâi este dată de relaţia [8.5]:

( )

( )( )220

220

2

201

423

ω−ωω−ω

Δ=β

h

dd (8.106)

în or tranziţiei între starea care: este momentul de dipol corespunzătfundame i prima stare excitată,

( )01dntală ş Δd d d= −00 11 este diterenţa dintre

momentele ipol ale stărilor fundamentală şi respectiv excitată, iar 0ωh este energia implicată în tranziţia optică. Eficienţa polarizătii poate fi determinată din spectrul de absorbţie. În urma excitării filmului polimeric cu o radiaţie normală la suprafaţa acestuia absorbţia

de d

descreşte în urma polarizării. Această descreştere este datorată schimbării orientării momentelor de dipol. Definind un parametru de ordine

Φ =−

+⊥

⊥

A AA A

||

|| 2 (8.107)


unde ă paralelă şi respectiv perpendicular pe d ţ rminat de câmpul

A|| şi reprezintă absorbanţele măsurate în lumină polarizată irec ia de polarizare, acesta este dete

ar E e.

rmonica a treia poate fi generată cu eficienţe de conversie relativ ridicate i în filme polimerice conjugate unidimensionale centrosimetrice datorită

electron orului

A⊥

de pol izare şi poate fi evaluat dacă se cunoaşte momentul de dipol al moleculei oaspet

8.4. Generarea armonicii a treia în filme polimerice subţiri Aş

ilor π nelocalizaţi care determină o valoare ridicată a tenshiperpolarizabilitate de ordinul doi de-a lungul direcţiei lanţului polimeric γ xxxx . Susceptibilitatea neliniară de ordinul trei în cazul unui astfel de polimer se obţine cu ajutorul hiperpolarizabilităţii de ordinul doi prin medierea tuturor orientărilor posibile ale lanţului polimeric şi este dată de relaţia [8.10]: ( )< >= < >χ γ θ3 4

xxxx N F cos (8.108) în care: N este numărul de molecule (unităţi monomerice) pe unitatea de volum,

este factorul câmpului local, iar F θ unghiul dintre direcţia lanţului polimeric şi 4câmpul electric excitator. Valoarea medie a expresiei cos θ este:

1. < >cos4 θ =1 dacă toate direcţiile lanţurilor polimerice sunt paralele cu o direcţie dată;

< >cos4 θ

r sun>

internă a

n efectecţiunii a patru fotoni se pot folosi diferite

2. =3/8 dacă toate direcţiile lanţurilor polimerice sunt paralele cu un plan în ca e t distribuite haotic (dezordine bidimensională); 3. < cos4 θ =1/5 în cazul unor orientări dezordonate a direcţiilor lanţurilor polimerice după cele trei direcţii (dezordine tridimensională). Hiperpolarizabilitatea moleculară este o caracteristicămoleculelor şi depinde de lungimea de conjugare L a acestora după relaţia γα αL unde parametrul α variază între 5 şi 7. Pentru obţinerea filmelor polimerice conjugate unidimensionale centrosimetrice, de exemplu cele din polidiacetile ă, în care se manifestă neliniare de ordinul trei în urma interametode dintre care cele mai utilizate sunt: metoda Langmuir-Blodgett şi cea epitaxială. Intensitatea armonicii a treia în cazul unui film polimeric depus pe o singură faţă a substratului este dată de relaţia [8.10]:

( )( ) ( )I

cT T Iis p

s p3

4

2

3

1 2

2364 1 1ω

ψ ψωθ π χ

ρω ω=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛

⎜⎞⎟

⎡

⎣⎢

⎤⎥

+ −

ΔεΔψ Φ Δψe e e ei i i (8.109)

s

2

⎝ ⎠⎦

în care: sunt factorii de transmisie, iar T1 2,

( ) ( )

ρχ χ

=⎛

⎝⎜ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎠⎟Δε Δεp s

. ⎜⎞⎟

⎛⎜

⎞⎟

3 3

(8.110)

În relaţia (8.109) dezacordul fazelor este:


( )−θ θω ω ω ω3 3n lcos cos (8.111) Δψ = − =ψ ψπλω ω36 n

unde este lungimea mediului neliniar, l θ θω ω, 3 sunt unghiurile sub care se propagă radiaţiile având frecvenţele ω ω, 3 . in introducerea în Absorbţia în mediul neliniar poate fi luată în calcul pr

plexm .

trei

relaţia (8.109) a indicelui de refracţie com n n şi respectiv a

unghiurilor de propagare complexe θ θ

r k= + i

θ= +r ii Măsurând experimental intensităţile radiaţiei fundamentale şi respectiv armonicii a treia cu ajutorul unui montaj similar cu cel prezentat în figura 8. 9 este posibilă evaluarea susceptibilităţii neliniare de ordinul ( ) (χ 3 3− )ω ω ω ω; , , din relaţia (8.109).

8.5. Generarea armonicii a doua emisă de diodele laser de tip InGaAs cu gropi cuantice Generar

GaAs/GaAs/AlGaea armonicii a doua poate avea loc şi în diode laser, de tip

As cu gropi cuantice obţinute prin metode epitaxiale din fază ă

fost fix

Inlichid pe un substrat de GaAs cu orientarea (100) [8.11], [8.12].

Montajul experimental este prezentat în figura 8. 10. Dioda laser (D. L.) a ată pe un suport de cupru care este în contact termic cu modulul Peltier în

vederea variaţiei temperaturii. Radiaţia corespunzătoare fundamentalei ( =λ 960 nm) şi respectiv a armonicii a doua ( =λ 480 nm), colectate cu ajutorul unei fibre optice (F. O.), au fost focalizate cu lentila (L), iar spectrele au fost obţinute cu ajutorul unui spectrometru cu înaltă putere de rezoluţie produs de Acton Research (S). Pentru detecţie s-a folodit un fotomultiplicator R955 H mamatsu. S-a utilizat şi un chopper (C) pentru îmbunătăţirea raportului semnal-zgomot. Achiziţia datelor a fost făcută cu ajutorul unui calculator (CO.).

a

Fig. 8. 10. Montajul experimental utilizat pentru generarea armonicii a doua în diode laser,

de tip InGaAs/GaAs/AlGaAs cu gropi cuantice.

Spectrele înregistrate au fost corectate din punct de vedere al profilului

ariaţia relativă a pu i fundamentale cât i pe ce

spectral din cauza erorilor introduse de fotomultiplicator cât şi de reţeaua de difracţie. În urma integrării spectrelor s-au obţinut informaţii cantitative privind

terii radiante emise atât pe frecvenţa radiaţievş a corespunzătoare armonicii a doua în funcţie de intensitatea curentului de injecţie şi temperatura diodei laser.


Spectrul armonicii a doua, din domeniul verde-albastru al domeniului vizibil, emis de dioda laser de tip InGaAs/GaAs/AlGaAs cu gropi cuantice este prezentat în figura 8. 11.

Fig. 8. 11. Spectrul armonicii a doua emis de dioda laser de tip InGaAs/GaAs/AlGaAs cu gropi cuantice.

Particularitatea acestui spectru constă în apariţia mai multor perechi de

maxime later respunzător armonicii a doua, care nm.

Armonica a doua are polarizarea perpendiculară pe cea corespunzătoare radiaţie

a armonicii a

ale, înguste, dispuse perfect simetric faţă de cel central co este situat la lungimea de undă de ~480

i fundamentale, deci procesul de generare este de tipul 1. Maximul central

al armonicii a doua corespunde unui acord complet al vectorilor de undă şi deci unei propagări perfect coliniare a undei fundamentale şi respectivdoua. Perechile de maxime laterale sunt determinate de existenţa unui dezacord al vectorilor de undă corespunzători, în acest caz existând un anumit unghi θ între direcţia de propagare a undei fundamentale si respectiv a armonicii a doua.

Întrucât intensitatea armonicii a doua este mult mai mică decât a perechilor de maxime laterale, în regiunea activă în care se produce armonica a doua condiţiile corespunzătoare dezacordului vectorilor de undă prevalează faţă de cele în care se realizează acordul perfect al acestora.

Existenţa perechilor de maxime laterale poate fi explicată cu ajutorul diagramei vectoriale corespunzătoare conservării impulsului ataşat undelor care interacţionează în mediul activ (fig. 8. 12).

kr

Notând cu vectorul de undă al fundamentalei, cu ikr

vectorul de undă

corespunzător perechilor de maxime laterale ( i =1, 2), şi cu kr

Δ dezacordul corespunzător vectorilor de undă, legea conservării impulsului se scrie sub forma:

( ) 0≠Δ=+ ikkk-ikrrrr

. (8.112)


Prin anularea reciprocă a acestor două interacţiuni si ultane pentru care

21 kkr

este posibilă emisia perechilor de maxime secundare pentru care se respectă şi legea conservării energiei scrisă sub forma:

)

mrΔ−=Δ

( ( ) 0 (8.113) 21 =ω+ω−ω+ω−ω+ω în care: ω este frecvenţa unghiulară a fundamentalei, iar iω ( i =1, 2), cea

re perechilor de maxime secundare. corespunzătoa

Fig. 8. 12. Diagrama vectorială corespunzătoare conservării impulsului ataşat undelor care

interacţionează în mediul activ.

Maximele secundare cele mai intense corespund unghiului cel mai mic dintre direcţiile vectorilor de undă ai radiaţiei fundam ntale şi respectiv a armonicii doua. Semilărgimea liniilor corespunzătoare armonicii a două este de 0,7 nm.

de la 250 mA la 800 mA.

a [8.11]. Expresia puterii optice a perechilor de maxime

eaDomeniul în care poate fi acordată este de 5 nm prin variaţia curentului de injecţie

Factorul de conversie măsurat este de 10 . Deci pentru o putere optică incidentă a radiaţiei fundamentale de ~100 mW se obţine o putere a armonicii de 100 μW.

Efectele care contribuie la mărirea factorului de conversie este cel de ghidare dar şi dezacordul vectorilor de undă joacă un rol important în procesul de generare ai armonicii a dou

3−

secundare i

Pω ( i =1, 2) este:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]2

22

ω2ω

30

2

ω ω LPA

L

L/k

L/k

nn

,ω;ωiωχ

cε

ωLP

i

ii ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

Δ−=

2

2sin,

8

2 (8.114)

22

iunde este lungimea mediului neliniar, ( )LPω

ă a viduluL este puterea fundamentalei cu

pulsa este permitivitatea electric i este viteza luminii în vid, ţia ω , 0ε , c

A este aria transversală a ghidului de undă, ( )2χdicii de refracţ

este susceptie corespunz

ibilitat nordinul şi sunt in ători fundamentalei

ea eliniară de doi, iar ωn ω2n

şi respectiv armonicii a doua.

OPTICĂ INTEGRATĂ

178

Depende pu armonicii a doua măsurată experimental, 2ωP în funcţie de puterea fundamen

nţa teriitalei , pentru curenţi de injecţie mai de

600 mAω

este prezentată în figura 8. 13.

P mari

Fig. 8. 13. Dependenţa puterii armonicii a doua măsurată experimental (curba discontinuă,

cercuri negre) în funcţie de puterea fundamentalei. Curba continu

oua ăsurate late cu

jutorul

ă (cercuri albe) corespunde puterii armonicii a doua calculate teoretic cu relaţia (8.114).

A i a dşa cum se poate observa din figura 8. 13 valorile puterii armonici experimental sunt în bună concordanţă cu cele teoretice calcum

a relaţiei (8.114) în cazul unei lungimi de interacţiune de 1,15 μm.

9. MODULATOARE ELECTROOPTICE INTEGRATE În sistemele de telecomunicaţii prin modulaţia luminii se înţelege operaţia în care informaţia se suprapune semnalului de înaltă frecvenţă (purtătoarea optică) care este adaptată cel mai bine canalului de transmisie (fibra optică). Prin modulaţie (în sens mai larg) are loc (sub acţiunea semnalului exterior) variaţia unuia dintre parametrii care caracterizează semnalul de înaltă frecvenţă: amplitudine, fază, polarizare etc. Semnalul exterior poate fi de natură electrică, (în cazul modulaţiei electrooptice), acustică (în cazul celei acustooptice) etc. [9.1]-[9.3]. Modulatoarele electrooptice realizate în ghidurile optice de undă joacă un rol foarte important în telecomunicaţii. Aceste tipuri de modulatoare pot fi integrate uşor în sistem cu ajutorul fibrelor optice [9.4]-[9.10]. Funcţionarea modulatoarelor electrooptice se bazează pe efectul Pockels numit de multe ori şi liniar.

9.1. Efectul Pockels Acest efect optic neliniar este de ordinul doi întrucât variază

susceptibilitatea neliniară de ordinul doi, ( )2χ , şi constă în modificarea indicelui de refracţie a unui mediu prin aplicarea unui câmp electric exterior [9.1]-[9.3], [9.4]. Se obţine astfel o variaţie liniară a indicelui de refracţie în funcţie de amplitudinea câmpului electric aplicat. Prin aplicarea câmpului electric se induc o serie de efecte care se manifestă în mod combinat:

- efectul electrooptic care este de natură electronică, - efectul piezoelectric care modifică densitatea materialului şi deci indicele

de refracţie, - variaţia indicelui de refracţie efectiv rezultat în urma modificării

dimensiunilor ghidului optic. Deci, prin aplicarea unui câmp electric proprietăţile optice ale mediului se modifică. Întrucât frecvenţa câmpului electric aplicat este mică în comparaţie cu cea a câmpului undelor luminoase ( )ωE

r, se poate considera câmpul electric aplicat

ca fiind electrostatic, ( )0Er

. În cazul acestei interacţiuni neliniare de ordinul doi caracterizate de ω ω , componenta polarizaţiei neliniare de ordinul induse poate fi scrisă sub forma :

= + 0 i

( )( ) )0()(0)( 20 kj EEP ijk

nli ω+ω=ωχε=ω (9.1)

în care: yxkji ,,, = sau z reprezintă axele principale ale materialului în absenţa

câmpului exterior, este tensorul susceptibilităţii neliniare intrinseci care

caracterizează materialul.

( )2ijkχ

Ţinând seama de relaţia (9.1) inducţia electrică devine: ( ) ( ) ( ) ( ) =ω ω+ωεε=ω nl

ijiji PED 0


( ) ( )( ) ( ) ( )ω+ω=ωχ+ωεε= jkijkij EE ]0[ 020 . (9.2)

Relaţia (9.2) poate fi scrisă şi sub forma ( ) ( ) ( )ωωεε=ω j

Tijki ED 0 (9.3)

în care:

( ) ( ) ( )( ) ( )02 0 kijkijTijk E+ω=ωχ+ωε≡ωε . (9.4)

Din relaţia (9.4) se poate trage concluzia că aplicarea unui câmp electric determină o variaţie a tensorului permitivitate electrică relativă a materialului

( ) ( )( ) ( )02 0 kijkij E+ω=ωχ=ωεΔ . (9.5)

Ţinând seama de relaţia dintre permitivitatea electrică şi indicele de refracţie, ( )ijij n2=ε , se observă că variaţia permitivităţii de frecvenţă ω produce o variaţie a indicelui de refracţie ijnΔ .

9.1.1. Elipsoidul indicilor de refracţie În absenţa câmpului electric aplicat, elipsoidul indicilor de refracţie în sistemul axelor principale zyx ,, unde tensorul permitivitate [ ]ε este diagonal poate fi scris sub forma [9.1]:

1=⋅ ijBij (9.6) în care:

ijijij n

B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ε= 2

11 . (9.7)

este un tensor care caracterizează mediul neliniar. Forma explicită a relaţiei (9.7) este

12

2

2

2

2

2=++

zyx nz

ny

nx (9.8)

în care: reprezintă indicii de refracţie corespunzători undelor luminoase polarizate după axele

zy nnnx , ,zyx ,, .

Variaţia vectorului inducţie electrică determinată de prezenţa câmpului static produce o modificare, tensorului , iar ecuaţia (9.6) poate fi scrisă sub forma:

ijB

[ ] 1=⋅Δ+ ijBB ijij (9.9) în care:

( ) ( )( ) ( ) ijij

ijEijij EBBB ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ε

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε

=−=Δ011

0 . (9.10)

Ţinând seama de (9.10) se poate defini coeficientul electrooptic cu ajutorul relaţiei:

ijkr

Modulatoare electrooptice integrate 181

( )0211

kijkijij

ij Ern

B =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ε

Δ=Δ . (9.11)

Presupunând că variaţia indicelui de refracţie indusă este mică, din relaţia (9.5) se obţine:

( ) ( )( )0

32

22

0kijk

ij

ij

kijkij Er

nn

En −=

χ≈Δ . (9.12)

Coeficienţii electrooptici , care nu se anulează pentru ijkr ji ≠ i ≠ j,

caracterizează cantitatea şi au ca efect schimbarea axelor principale ale mediului în prezenţa câmpului aplicat. Întrucât frecvenţa câmpului optic nu se modifică prin aplicarea câmpului electric, primii doi indici ai coeficientului electrooptic pot fi permutaţi şi ca urmare a operaţiei de contractare se poate scrie:

ijBΔ

ijkr

( ) ( )02/1 kjkjj ErnB =Δ=Δ (9.13)

cu j =1, ..., 6 iar sau . yxk ,= z Relaţia (9.13) poate fi scrisă dezvoltat sub forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔΔΔΔ

z

y

x

E

E

E

rrrrrrrrrrrrrrrrrr

n

n

n

n

n

n

BBBBBB

636261

535251

434241

333231

232221

131211

62

52

42

32

22

12

6

5

4

3

2

1

1

1

1

1

1

1

. (9.14)

Tensorul electrooptic [r] se conservă în toate operaţiile de simetrie care nu modifică materialul neliniar, aceasta implicând faptul că anumite elemente ale lui

se anulează [9.3]. De exemplu, toate elementele se anulează în materialele centrosimetrice, (anumite materiale organice care nu sunt polarizate de un câmp electric la momentul iniţial), iar efectul Pockels nu se manifestă. În lucrarea [9.3] este prezentată forma tensorului electrooptic

jkr jkr

[ ]r pentru diferite grupuri cristaline.

9.1.2. Interpretarea fizică a elipsoidului indicilor de refracţie Pentru a determina noile axe principale ale mediului în prezenţa câmpului electric aplicat ecuaţia (9.9) se rescrie sub forma:


( ) ( ) ( ) +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ 2032

20222012

111 zErn

yErn

xEn

kkz

kky

kkx

r

( ) ( ) ( ) 1222 060504 =++ xyErxzEryzEr kkkkkk . (9.15)

În ecuaţia (9.15) primii trei termeni, ( ) ( )03,2,13,2,1

21

kErn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ ,

caracterizează distorsiunea elipsoidului indicilor de-a lungul vechilor axe principale zyx ,, ale mediului care nu au fost supuse câmpului exterior , iar ultimii trei termeni determină rotaţia elipsoidului.

( )0kE

În sistemul de axe zyx ,, se poate scrie o expresie liniară simetrică a cărei matrice electrooptică asociată este de forma:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

=

0100

0010

0001

,,

3245

4226

5612

kkz

kkkk

kkkky

kk

kkkkkkx

eo

Ern

ErEr

ErErn

Er

ErErErn

zyxM . (9.16)

Dacă ( ) 00 =Er

se regăseşte matricea diagonală iniţială. Pentru a determina noile axe principale trebuie diagonalizată matricea electrooptică , adică trebuie căutate valorile proprii

eoM

zyx NNN 1,1,1 şi vectorii proprii asociaţi

ai matricei. Vectorii proprii formează noile direcţii principale ale mediului electrooptic în prezenţa câmpului perturbator

ZYX ,, ZYX ,,( )0kE .

Ecuaţia noului elipsoid al indicilor devine:

12

2

2

2

2

2=++

zyx NZ

NY

NX , (9.17)

iar

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2

2

2

100

010

001

)(

z

y

x

eo

N

N

N

XYZM . (9.18)

reprezintă noua matrice electrooptică asociată. Din analiza noii matrice asociate se observă că tensorul [ este diagonal în sistemul noilor axe principale ale mediului supus câmpului aplicat.

]ε


9.1.3. Efectul electrooptic în straturi de materiale organice subţiri Printre materialele cel mai des utilizate pentru fabricarea modulatoarelor în ghidurile optice de undă se numără şi materialele organice [9.8]-[9.10]. Aceste materiale se caracterizează prin câteva proprietăţi remarcabile, ca de exemplu: elasticitate, coeficienţi electrooptici mari, cost redus etc.

Prin aplicarea unui câmp electrostatic ( )0pEr

suficient de intens unui material organic este posibil ca în acesta să se manifeste fenomenul de birefringenţă. Astfel, prin introducerea unui strat subţire de material organic centrosimetric (care la momentul iniţial nu prezintă efect electrooptic) într-un câmp electric exterior, (fig 9. 1) acesta se polarizează, stratul devenind activ.

Fig. 9. 1. Efectul electrooptic într-un strat de material organic subţire. Utilizarea straturilor de materiale organice subţiri la fabricarea modulatoarelor este determinată de faptul că aceste materiale prezintă susceptibilităţi neliniare de ordinul doi ( )[ ]2χ cu valorile cele mai ridicate în domeniul vizibil şi respectiv infraroşu al spectrului optic, care sunt de mare interes pentru telecomunicaţii. Această neliniaritate de ordinul doi fiind de natură electronică este posibilă realizarea unei modulaţii electrooptice foarte rapide, frecvenţa de modulaţie fiind foarte mare (mν 40≥ν m GHz). De asemenea, susceptibilitatea neliniară de ordinul doi fiind dependentă de temperatură, acest fapt conferă mai multă flexibilitate aplicaţiilor practice. Astfel, înainte de polarizarea materialului, care la început era izotrop, elipsoidul indicilor de refracţie este o sferă de rază , de ecuaţie: 0n

xn

yn

zn

2

02

2

02

2

02 1+ + = . (9.19)

După aplicarea câmpului electrostatic exterior ( )0pEr

după axa (v. fig. 9. 1) mediul devine birefringent uniax caracterizat de indicele de refracţie ordinar şi respectiv extraordinar iar ecuaţia (9.19) devine:

z

0n en

12

2

20

22=+

+

enz

nyx . (9.20)

Unul din neajunsurile materialelor organice în acest moment este determinat de pierderile relativ ridicate ale acestora.


Fenomenul de modulaţie poate fi optimizat în optica integrată întrucât câmpul modal al unei unde optice ghidate este intens, iar lungimile de interacţiune sunt relativ ridicate. Analiza fenomenului de modulaţie se poate face în trei etape succesive. În urma polarizării materialului acesta aparţine grupului cristalin 6 mm. După aplicarea unui câmp modulator static, ( )0mE

r, are loc distorsiunea, fără

rotaţie, a elipsoidului indicilor de refracţie. Ţinând seama de expresia tensorului electrooptic în grupul cristalografic 6 mm [9.1] se poate calcula variaţia indicilor de refracţie sub forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−=−=−

).0(2

)0(2

33

3'

13

30

0'

0'

ze

ez

zyx

Ern

nn

Ern

nnnn (9.21)

În cazul unei unde polarizate TM al cărei câmp este

componentei ( ) ( ) ( )[ ]ωω=ω zx EEE ,0,r

( )ωxE

zn a câmpului îi corespunde indicele

de refracţie , iar lui indicele xn′ xE ( )ω ′ .

În polarizarea TE a undei ( ) ( )[ ]0,,0 ω=ω yEEr

componentei a

câmpului îi corespunde indicele

( )ωyE′ny .

9.2. Structuri moleculare organice caracterizate prin valori ridicate ale hiperpolarizabilităţii neliniare de ordinul întâi

Eficacitatea modulaţiei electrooptice este determinată de susceptibilitatea neliniară de ordinul doi (relaţia (9.1)). În majoritatea polimerilor organici monomerii sunt molecule formate din mai multe cicluri care prezintă proprietatea de mezomerie [9.1]. Componentele aromatice numite şi carburi benzenice pot fi preparate de exemplu prin condensarea anumitor cetone în mediu acid sau mai general prin procesul de alcoolizare a componentelor benzenice după metoda reacţiei Friedel-Crafts. Aceste molecule trebuie să fie conjugate, adică să prezinte o alternanţă a legăturilor covalente sau duble, plane şi ciclice pentru a permite transferul optim de sarcină în vederea obţinerii fenomenului de rezonanţă. Fenomenul de rezonanţă poate fi îmbunătăţit prin introducerea unui grup donor pozitiv (OH, NHR, , ...) şi unul negativ (NO, , CC, ...) la capetele opuse ale lanţului molecular, prin aceasta stabilindu-se o direcţie a momentului de dipol indus. Deci, este posibil ca valoarea momentului de dipol indus să fie determinată de procesul de sinteză a moleculelor. După procesul de polarizare a moleculelor momentul de dipol determină caracterul electroactiv al materialului organic.

σ

3

π

2 CH,NH 2NO

În figura 9. 2 sunt prezentate câteva structuri moleculare organice care se caracterizează prin hiperpolarizabilităţi de ordinul întâi ( )β cu valori ridicate.


Moleculele de tipul a) se caracterizează printr-o hiperpolarizabilitate de ordinul întâi esu, cele de tipul b) au esu, cele de

tipul c) au esu, iar cele de tipul d) au esu [9.1]. Se observă că hiperpolarizabilitatea de ordinul întâi creşte odată cu mărirea lungimii lanţului moleculelor; de asemenea, creşte şi energia de rezonanţă. Printr-un control adecvat al efectelor inductive date de grupurile de substituenţi asupra sarcinilor electronice delocalizate este posibil să se obţină molecule caracterizate prin valori ridicate ale hiperpolarizabilităţii.

20107,5 −×=β20107,50 −×=

20101,20 −×=β

102,112 −×=ββ 20

Fig. 9. 2. Exemple de structuri moleculare organice care prezintă valori ridicate ale hiperpolarizabilităţii neliniare de ordinul întâi.

9.2.1. Originea microscopică a hiperpolarizabilităţii neliniare de ordinul întâi a moleculelor organice

Pentru a explica originea microscopică a hiperpolarizabilităţii moleculelor organice se consideră molecule care au structuri apropiate celei de tipul PMMA-DN1, prezentată în figura 9. 3 şi care sunt foarte des întrebuinţate la fabricarea straturilor (filmelor) subţiri.

Fig. 9. 3. Molecula de tip PMMA-DN1.

Aceste molecule pot fi caracterizate prin momentul de dipol indus de câmpul electromagnetic local : e

KJIJKJIJKI eeed β+α= (9.22) unde este tensorul corespunzător polarizabilităţii moleculei (efect liniar), [ reprezintă tensorul corespunzător hiperpolarizabilităţii de ordinul întâi a moleculei (efect neliniar), iar sunt axele moleculare.

[ ]α ]β

ZYXKJI ,,,, → Cei doi dopanţi, acceptor A şi respectiv donor D (fig. 9. 3) sunt captaţi de electronii delocalizaţi de-a lungul întregului lanţ A-π π -D a acestei molecule. Din


această cauză aceste molecule prezintă o hiperpolarizabilitate de ordinul întâi β re caracterizează transferul de sarcină sub acţiunea câmpului aplicat. Valoarea

lui este determinată de diferenţa de electronegativitate dintre A şi D precum şi de electronii . Aceste două efecte de natură pur electronică se manifestă simultan şi determină comportamentul neliniar al moleculei.

caβ

π

Sub acţiunea simultană a unei radiaţii şi a unui câmp electrostatic aplicate din exterior asupra moleculei momentul de dipol oscilează cu frecvenţa optică

conform relaţiei: d

ω( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω⋅⋅+ω=ωβ+ωα=+ω=ω JKIJKIJI eed ]00[0 . (9.23)

Comparând expresia momentului de dipol indus ( )0+ω=ωId

=ωnliP

dat de

relaţia (9.23) cu cea corespunzătoare polarizaţiei neliniare induse

(relaţia (9.1)) se poate exprima tensorul susceptibilităţii neliniare

( )0+ω( )[ ]2ijkχ în sistemul

noilor axe în funcţie de hiperpolarizabilitatea de ordinul întâi kj,i, [ ]β sub forma: ( )

ijkijk BffN 022ωχ = (9.24)

în care: ( ) ( ) ( )KkJjIiBB IJKijk ,cos,cos,cos⋅= , (9.25)

( )

32+ωε

=ωf (9.26)

iar

3

20

+ε= s

(

f

)

. (9.27)

În relaţiile (9.24)-(9.27) şi sunt factorii de câmp local care intervin în relaţiile Lorentz-Lorenz, este densitatea de dipoli, iar

ωf 0fN

( ) ) ( KkJj,I ,coscoscos i,

z

reprezintă media cosinusurilor directoare. În cazul unui polimer depus pe un substrat de sticlă polarizarea acestuia se face prin aplicarea unui câmp electric intens perpendicular pe film, de-a lungul axei (fig. 9. 4).

Fig. 9. 4. Orientarea dipolului molecular faţă de noile axe (de studiu).


În figura 9. 4 ( reprezintă axele moleculei, noile axe fiind .

Media

)X,Y,Z( )

( )x,y,z( ) ( )KkJj cos,

( ψϕθ ,,Ii ,cos,cos se calculează pe distribuţia orientărilor

moleculelor active G , ) ψ fiind unghiul de rotaţie a moleculei în jurul axei dipolare, este unghiul azimutal, iar ϕ θ este unghiul dintre axa , după care este aplicat câmpul electric şi respectiv axa

zZ a dipolului electric.

În cazul general, distribuţia este în funcţie de cele trei unghiuri Euler şi poate fi dezvoltată în serie de funcţii ortogonale (Wigner [9.4]). Întrucât

majoritatea materialelor organice sunt uniaxe cu axa de simetrie orientată perpendicular pe suprafaţa filmului [9.5], în acest caz unghiurile

Gψϕθ ,,

ϕ şi sunt distribuite cu aceeaşi probabilitate în intervalul (0, 2

ψπ ), iar funcţia de distribuţie a

orientării ( )ψϕθ ,,G poate fi dezvoltată în serie având ca bază polinoamele ortogonale ale lui Legendre, ( )θcosnP sub forma:

( ) ( )θ∑+

=θ∞

=cos

212

0n

nPAnG n (9.28)

în care:

(9.29) ( ) ( )∫ θθθθ=π

0dsincosnn PGA

defineşte parametrii de ordine macroscopică. Considerând un ansamblu de dipoli unidimensionali rigizi, numai componenta a tensorului ZZZβ [ ]β nu se anulează. Se poate arăta în acest caz că

singurele componente nenule ale tensorului susceptibilitate de ordinul doi ( )[ ]2χ sunt [9.5]:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .51

51

52

53

3102222222

31022

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −β=χ=χ=χ=χ=χ=χ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +β=χ

ω

ω

PPffN

PPffN

YYZXZXZYYZXXYZYXXZ

ZZZ (9.30)

9.2.2. Evoluţia statistică a dipolilor moleculari

În absenţa câmpului aplicat moleculele active se orientează în mod aleatoriu, deci unghiul este distribuit cu aceeaşi probabilitate în intervalul [0, 2 ]. Acest fapt determină anularea tuturor componentelor tensorului [ , deci

şi tensorul susceptibilităţii neliniare de ordinul doi

θπ ]β

( )[ ]2χ este identic nul. În acest caz, filmul (stratul subţire) organic este centrosimetric. La o temperatură T mai mare decât temperatura corespunzătoare tranziţiei polimerului în stare sticloasă , lanţurile moleculare capătă o energie de agitaţie termică suficient de mare pentru a se putea deplasa. Aplicarea unui câmp electric intens determină orientarea dipolilor moleculari. Pentru a îngheţa

gTkT


orientarea obţinută sub acţiunea conjugată a câmpului pEr

şi a agitaţiei termice cu energia se coboară temperatura până la o valoare mai mică decât cea corespunzătoare tranziţiei , menţinând câmpul electric aplicat.

kTgT

Pentru a calcula orientarea reziduală caracterizată de parametrii de ordine microscopici 1P şi 3P , adică fracţiunea de dipoli orientaţi în urma înlăturării câmpului exterior, se consideră că filmul polimeric este format dintr-un număr foarte mare de dipoli care se supun legilor gazului perfect, neglijând energia de interacţiune dipolară. În câmp electric exterior energia potenţială a dipolului se scrie:

( ) θθw

dr

cosd pE (9.31) −=

în care: reprezintă momentul de dipol permanent, iar θ este unghiul dintre momentul de dipol şi câmpul exterior pE

r.

Parametrii de ordine microscopici 1P şi 3P caracterizează media asupra componentelor microscopice individuale care sunt tocmai momentele de dipol [9.1]. Există o competiţie între starea de ordine caracterizată de energia

şi respectiv cea de dezordine cu energia kT . Fracţiunea de

dipoli orientaţi este proporţională cu exp (-w / kT ) şi poate fi scrisă sub forma:

( ) θ=θ cospw −d E

( )( )

( )

( )∫ θ

θ

−

∫ θ

θ−

)(

e

kTw

θ=

−

−

1

1

1

1

cosde

cosdcos kTw

PP

n

n (9.32)

unde

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

n x −=nn

nn xnxP 1

dd

!21)( 2 (9.33)

sunt polinoamele lui Legendre. Deci parametrii de ordine microscopici devin: ( ) xP x =1 (9.34)

( )x3 xxP 521)( 3

3 −= . (9.35)

Ţinând seama de relaţiile (9.32)-(9.35) se pot calcula următoarele valori medii:

( )

( ) 1

0e

0

dsin

dsinecoscos Pw =

∫ θθ−

∫ θθ

θ

θ=θ

π

π

kT

kTw

θ

−

(9.36)


( )

( ) 31

0

0

3

352

53

dsine

dsinecoscos PP

kTw

kTw

+=

∫ θθ

θ−

∫ θθ

θ−

θ=θ

π

π

. (9.37)

Elementele tensorului susceptibilitate neliniară de ordinul doi ( )[ ]2χ pot fi calculate cu ajutorul relaţiilor (9.30) şi (9.32)-(9.37). Introducând notaţia

, rezultă: ( ) kTwu /θ=

( )uLu

uP =−=θ=1cthcos1 (9.38)

şi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ θ−θ=

uu

uuu

uP 1cth

2363cth61

21cos3cos5

21

323

3 (9.39)

de unde se obţine:

βχ=θ=+ ω 023

312/cos

52

53 fNfPP zzz

( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

βχ=θθ=−

βχ=θ=+

ω

ω

./sincos21

51

/cos52

53

0222

31

0223

31

fNfPP

fNfPP

XXZ

zzz (9.40)

În relaţia (9.38) reprezintă funcţia Langevin. În cazul în care , adică se obţin relaţiile [9.5], [9.7]:

( )uL 1<<ukTE <<d

3~cos u

θ , 5

~cos3 uθ , 15/~sincos

21 2 uθθ (9.41)

şi în final expresiile corespunzătoare elementelor tensorului susceptibilitate de

ordinul doi ( )[ ]2χ sub forma:

( )kTEffNZZZ 5

d0

22 ⋅β=χ ω (9.42)

( )kTEffNXXZ 15

d0

22 ⋅β=χ ω (9.43)

Expresiile (9.42), (9.43) corespunzătoare elementelor tensorului susceptibilitate de ordinul doi obţinute anterior nu au fost deduse tocmai riguros pentru că în realitate orientarea dipolilor moleculari sub acţiunea câmpului aplicat

pEr

, căruia i se opune agitaţia termică ( )kT este însoţită de apariţia unui câmp de reacţie a cărui valoare medie nu se anulează. De aceea, în expresiile valorilor medii


trebuie introdus un factor de corecţie care să ţină seama de efectul câmpului local [9.5]. Astfel valoarea medie (9.36) se poate scrie sub forma:

fufu 1cthcos −=θ (9.44)

în care: ( )

s

sn

nfε+

+ε=

22

2

2, (9.45)

n reprezentând indicele de refracţie, iar sε permitivitatea electrică relativă a mediului (substratului). Ţinând seama de relaţiile (9.42), (9.43) se poate concluziona că polarizarea mater alului după axa z determină apariţia tensorului susceptibilitate de ordinul doi i

( )[ ]2χ ale cărui componente nenule sunt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3/1 ,1 2222222 =χ=χ=χ=χ=χ=χ=χ ZYYYZYYYZZXXXZXXXZZZZ . (9.46)

De asemenea, se pot calcula şi componentele tensorului electrooptic al materialului polarizat sub forma:

(9.47)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000000

000000

51

42

33

23

13

rr

rrr

ir j

în care:

333

2313rrr == ,

333

4251rrr == . (9.48)

Materialul astfel polarizat după axa z aparţine grupului cristalografic 6 mm care se caracterizează prin proprietăţi electrooptice. Prin aplicarea unui câmp electric modulator după axa z, în filmul polarizat apare o variaţie a tensorului permitivitate electrică dată de relaţia:

mE[ ]ε

(9.49) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εΔ+εεΔ+ε

εΔ+ε

3

2

1

000000

în care: . (9.50) aErn 13

4=εΔ

9.3. Eficacitatea modulatoarelor electrooptice integrate În general, eficacitatea unui modulator optic este determinată de următorii parametri [9.10]:


- coeficientul de extincţie sau adâncimea modulaţiei, definit ca raportul dintre intensitatea semnalului transmis şi zgomot;

m

- puterea specifică de comandă, νΔ/P , care reprezintă consumul de energie al dispozitivului;

- banda de trecere, maxν - νΔ=νmin , care caracterizează rapiditatea modulatorului;

- pierderile prin inserţie, care joacă un rol determinant în cazul sistemelor ce folosesc surse de putere mică, ca de exemplu diodele laser. Dintre aceşti parametrii, cel mai important este puterea specifică de comandă.

9.3.1. Caracteristicile modulatoarelor electrooptice Un modulator electrooptic macroscopic (de volum) este format dintr-un cristal electrooptic ale cărui feţe sunt metalizate şi permit aplicarea unui câmp electric cristalului (fig. 9. 5).

Fig. 9. 5. Schema unui modulator electrooptic macroscopic. Direcţia de polarizare dorită poate fi selectată cu ajutorul unui polarizor plasat inaintea modulatorului. Analizorul plasat la ieşire transformă modulaţia de fază în modulaţie de intensitate. În cazul unui cristal caracterizat de un coeficient electrooptic r după axa x variaţia indicelui de refracţie determinată de un câmp electric aplicat din exterior E este:

rEnn 302

1=Δ . (9.51)

Variaţia indicelui de refracţie determină o variaţie a fazei undei care traversează mediul dată de relaţia:

rEnLnL 30

2λπ

=Δλπ

=ΔΦ . (9.52)

Considerând că polarizorul şi analizorul se află în stare încrucişată, adâncimea modulaţiei se poate calcula din formula:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΦ=

2sin2m . (9.53)


De obicei, lumina incidentă provenită de la un laser este sub forma unui fascicul gaussian (v. Anexa 3). Pentru a reduce tensiunea aplicată cristalului se focalizează acest fascicul astfel încât spotul minim să fie situat în centrul cristalului în 20 Lzz == (fig. 9. 5). Pentru a evita apariţia fenomenului de difracţie trebuie

ca aria feţei de intrare a cristalului să fie mai mare decât secţiunea fasciculului în centrul cristalului. Astfel, condiţia pentru dispariţia fenomenului de

difracţie se scrie sub forma:

2a20wπ

02wa

> . (9.54)

În practică se alege un factor de securitate, ( s > 3), iar condiţia (9.54) devine:

s

02swa

= . (9.55)

Considerând că generatorul furnizează modulatorului energia, W şi neglijând pierderile prin efect electrocaloric se poate scrie că:

∫ ⋅=volum

ddd21 zyxDEW

rr. (9.56)

Puterea specifică se poate exprima în funcţie de câmpul aplicat, de dimensiunile dispozitivului şi de permitivitatea electrică a materialului sub forma [9.1]:

( ) 60

22

222

2/

nLraPπ

ΔΦλε=νΔ (9.57)

Puterea specifică necesară pentru a obţine o schimbare a fazei cu este:

π=ΔΦ

( ) 60

2

22

2/

nLraP λε

=νΔ π . (9.58)

Introducând factorul s relaţia (9.57) devine:

( )27

0

32/

2rn

sP

π

λε=πνΔ , (9.59)

iar în cazul unei schimbări de fază cu π=ΔΦ

( )Ln

arn

sP

0260

2/

πλλε

=πνΔ . (9.60)

Din relaţia (9.59) se observă că puterea care trebuie aplicată modulatorului electrooptic de volum nu depinde de geometria acestuia. Pentru fiecare material în parte există o valoare minimă bine determinată a puterii specifice consumate. Astfel, pentru λ=0,63 m şi =5 se obţine în cazul LiNbO (μ s 3 r = =30 pm/V,

=28, =2,2) o valoare 33r

rε 0n ( )πνΔ/P mW/MHz iar în cazul ZnO ( r = =2,6 pm/V, =8,2, =2,015) o valoare

33r

rε 0n ( )πνΔ/P =816 mW/MHz.


9.3.2. Modulatoare electrooptice integrate Puterea specifică consumată de modulatoarele electrooptice poate fi micşorată prin utilizarea ghidurilor optice de undă pentru care pierderile prin difracţie sunt mult diminuate. Prin analogie, formula puterii specifice corespunzătoare unui modulator electrooptic de volum (9.59) având secţiunea efectivă poate fi aplicată şi unui ghid de undă plan cu lăţimea , a doua sa dimensiune fiind fictivă şi se obţine din condiţia de dispariţie a fenomenului de difracţie. În cazul ghidului optic de undă plan (fig. 9. 6) formula puterii specifice devine:

ab a

( )Ln

arn

P026

0

2/

πλλε

=πνΔ (9.61)

unde 210 aaaa Δ+Δ+= (9.62) reprezintă lărgimea efectivă a modului ghidat,

221sef nn

a−

λ=Δ (9.63)

defineşte adâncimea de pătrundere a câmpului în substrat, iar

122

−

λ=Δ

efna (9.64)

corespunde adâncimii de pătrundere a câmpului în aer.

Fig. 9. 6. Modulator electrooptic integrat plan. În cazul modulatorului electrooptic în ghiduri optice confinate lateral (fig. 9. 9) formula puterii specifice se scrie sub forma:

( )Lab

rnP 26

0

2/

2λε

=πνΔ (9.65)

în care: a şi b reprezintă lărgimile efective ale ghidurilor după axele x şi . y


9.3.3. Comparaţie între modulatoarele electrooptice macroscopice şi cele integrate

În optica integrată dimensiunile şi ale ghidurilor fiind aproximativ egale cu lungimea de undă a radiaţiei

aa

bb≅≅λ se poate scrie că:

Ls

rnLnnr

sqP

P λ

λε

π⋅

πλ

λ⋅λε

==νΔ

νΔ~

2)/()/(

32

270

060

2

2

1volum

plan ghid , (9.66)

Lsrn

Lnrq

PP λ

λεπ

⋅λ⋅

λε==

νΔ

νΔ~

2)/()/(

32

270

2

60

2

2

2volum

confinatghid . (9.67)

De exemplu, în cazul unui ghid care are lungimea =0,1 cm şi =1 m

se obţin valorile

L λ μ3

1 10−=q şi , iar raportul 32 10−=q 3

1

2 10−qq

= .

Fig. 9. 7. Secţiune transversală într-un modulator electrooptic în ghid optic confinat lateral. Din exemplele prezentate mai înainte se poate trage concluzia că puterile specifice sunt în raportul de 100 până la 1000 în favoarea modulatoarelor integrate, valoarea raportului depinzând de aplicaţiile practice urmărite.

9.4. Modulaţia electrooptică a luminii prin excitarea rezonantă a modurilor ghidate

Pentru a obţine fenomenul de modulaţie a luminii trebuie ca aceasta să fie cuplată în ghidul optic de undă, iar ghidul să fie supus unui câmp electric exterior ( )0Er

. Cuplarea luminii în ghid se poate face prin diferite metode, cum ar fi de exemplu: cu ajutorul fibrei optice, prismei şi reţelei de difracţie [9.10].

9.4.1. Metoda cuplării luminii în ghidurile optice de undă cu fibra optică

Această metodă de cuplaj este prezentată în figura 9. 8 şi este foarte des întâlnită în practică din cauza simplităţii montajului experimental.

Fig. 9. 8. Cuplajul luminii în ghidul optic cu ajutorul unei fibre optice.


Fibra se fixează la unul dintre capetele ghidului optic (în care se doreşte injectarea luminii) prin intermediul unui suport-fibră şi amândouă tot cu ajutorul unor suporturi de bancul optic (masa holografică), iar deplasarea cu precizie a acestora se face după cele trei direcţii cu ajutorul şuruburilor micrometrice.

9.4.2. Metoda cuplării luminii în ghidurile optice de undă cu prisma optică

Cuplajul longitudinal al luminii în ghidurile optice de undă se poate face şi cu ajutorul prismei optice (fig. 9. 9).

Fig. 9. 9. Principiul de cuplaj cu prismă. Fasciculul luminos provenit de la un laser este focalizat pe baza prismei care are indicele de refracţie (mare) şi este plasată deasupra ghidului optic. Unghiurile sub care cad razele incidente pe baza prismei,

pn

pθ , sunt astfel alese încât lumina să sufere fenomenul de reflexie totală la interfaţa dintre baza prismei şi ghidul optic. În urma efectului de tunelare optică prin stratul (gap) de aer dintre prismă şi ghidul optic apar unde evanescente în acesta şi o parte din lumină este cuplată în ghid excitând anumite moduri ghidate. Întrucât componenta vectorului de undă paralel cu cele două suprafeţe se conservă în cele două medii condiţia de excitare a modului ghidat de ordinul poate fi scrisă sub forma: m

mppnk β=θsin0 . (9.68) În cazul în care condiţia (9.68) este realizată, lumina este cuplată în ghid fiind foarte puţin reflectată sau deloc. Dacă fasciculul incident este convergent atunci în fasciculul de ieşire din prismă apare o linie neagră (m-line).

9.4.3. Metoda cuplării luminii în ghidurile optice de undă cu reţeaua de difracţie

Pentru a se produce difracţia luminii incidente pe un ghid optic de undă se gravează sau se depune pe suprafaţa acestuia o reţea de difracţie. Unul dintre ordinele de difracţie produse de reţea satisface condiţia de cuplaj

mnnk β=Λπ

⋅+θ2sin20 (9.69)

unde este vectorul de undă asociat reţelei având constanta Λπ /2 Λ (fig. 9. 10).


Atunci când este îndeplinită condiţia (9.69) se excită modul ghidat de ordinul , iar în fasciculul reflectat apare o linie neagră. m

Fig. 9. 10. Principiul cuplajului cu ajutorul unei reţele de difracţie.

9.4.4. Modulaţia în amplitudine a undelor optice ghidate În urma excitării modurilor ghidate prin metodele cuplajului cu prismă sau cu reţea prezentate anterior fasciculul luminos pătrunde în interiorul ghidului optic de undă. În cazul utilizării cuplajului cu reţeaua de difracţie cu ajutorul a doi electrozi (cel superior trebuind să fie transparent sau dacă este confecţionat din metal să fie foarte fin) se aplică o tensiune la bornele ghidului (fig. 9. 11).

Fig. 9. 11. Schema unui modulator electrooptic care utilizează cuplajul cu reţeaua de difracţie.

Câmpul electric rezultant determină variaţia indicelui de refracţie al

materialului electrooptic prin efect Pockels, deci în final variaţia indicelui efectiv


corespunzător modului ghidat. Acest fapt determină deplasarea curbei de rezonanţă unghiulară ( )θR . Dacă se variază unghiul de rezonanţă rezθ între şi

prin aplicarea unei tensiuni exterioare sinusoidale se poate obţine o modulaţie în amplitudine a undei reflectate, dar şi a celei ghidate.

θΔ+θrez

θΔ−θrez

Principiul de funcţionare a modulatoarelor de amplitudine în care se foloseşte prisma optică pentru cuplajul luminii în ghid este acelaşi cu cel în care se utilizează reţeaua de difracţie. Inconvenientul principal al acestor tipuri de modulatoare este legat de dispunerea electrozilor ce constituie un condensator cu capacitate mare care nu permite modulaţia la frecvenţe ridicate. Pentru a depăşi acest inconvenient se pot utiliza electrozii coplanari.

9.4.5. Modulaţia de fază şi de frecvenţă a undelor optice ghidate În general, în optica integrată se utilizează pentru modulaţie electrozi coplanari din cauza capacităţii mici şi respectiv consumului de energie redus al acestora. Modulaţia de fază şi cea de frecvenţă nu se deosebesc practic între ele decât prin operaţiile de derivare şi respectiv de integrare a semnalului modulat. Un dispozitiv destul de des utilizat în optica integrată este cuplorul distribuit (fig. 9. 12) care permite trecerea luminii de la un ghid la altul. Ghidurile fabricate dintr-un material electrooptic sunt paralele şi foarte apropiate. De asemenea, sunt acoperite cu doi electrozi metalici E1 şi E2, aceasta constituind regiunea de cuplaj. Lumina trece de la un ghid (AA') la altul (BB') printr-un efect de tunelere optică care are loc în regiunea de cuplaj.

Fig. 9. 12. Modulator (cuplor) electrooptic distribuit acordabil.

Dacă se aplică o tensiune V între cei doi electrozi indicii de refracţie efectivi ai ghidurilor se modifică cu cantităţi de semn opus determinând perturbarea cuplajului dintre ghiduri. Eficacitatea modulaţiei poate fi controlată prin intermediul tensiunii aplicate. Acest tip de modulatoare poartă denumirea de cuploare distribuite acordabile şi pot juca şi rolul de comutatoare optice (v. cap. 6).


Modulaţia luminii poate fi făcută şi cu ajutorul interferometrului Mach-Zehnder (fig. 9. 13). Lumina este injectată în ghidul optic de undă în A. Apoi este divizată de o joncţiune Y, iar în continuare se propagă prin două ghiduri paralele separate. Cele două braţe se reunesc în B, la ieşirea din ghid tot printr-o joncţiune Y. Porţiunea în care cele două ghiduri fabricate dintr-un material electrooptic sunt paralele este acoperită cu doi electrozi E1 şi respectiv E2. În absenţa câmpului electric cele două unde care ajung la ieşire în punctul B sunt în fază, iar lumina care iese din interferometru are intensitate maximă. Dacă se aplică o diferenţă de potenţial V între cei doi electrozi indicii de refracţie efectivi corespunzători celor două braţe ale interferometrului se modifică determinând apariţia unei diferenţe de fază ΔΦ . Dacă diferenţa de fază este π=ΔΦ la ieşirea din interferometru nu există lumină transmisă. Pentru valori ale diferenţei de fază

cuprinse între 0 şi intensitatea luminii transmise variază între 0 şi valoarea maximă. ΔΦ π

Fig. 9. 13. Modulaţia luminii cu interferometrul Mach-Zehnder. Fiecare braţ al interferometrului este de fapt un modulator de fază. Cele două joncţiuni Y de la intrare şi de la ieşire care produc divizarea şi respectiv recombinarea undelor ghidate transformă modulaţia de fază în modulaţie de intensitate [9.10], [9.11]. Dacă între cei doi electrozi se aplică o diferenţă de potenţial provenind de la o sursă de informaţii fasciculul de lumină care iese în B este modulat şi transportă informaţii.

9. 5. Analiza teoretică a funcţionării modulatoarelor Cunoaşterea distribuţiei câmpurilor electrice şi optice care interacţionează în filmul polimeric electroactiv permite determinarea eficacităţii şi a transmisiei totale a modulatorului [9.10], [9.11].

De asemenea, se mai poate determina variaţia constantei de propagare corespunzătoare modurilor ghidate în structura compozită în funcţie de tensiunea de modulaţie aplicată electrozilor precum şi tensiunea de comutare a dispozitivului în funcţie de diferiţi parametri care definesc structura, cum ar fi:

βΔ

VπV

- coeficientul electrooptic mediu al filmului polimeric polarizat, r ,


- tensiunea de polarizare, pV , - diferenţa de indice dintre film şi ghid, nΔ , - distanţa dintre cei doi electrozi, , d2 - grosimea filmului, - lungimea de undă.

9.5.1. Modelarea teoretică a ghidului plan compozit neliniar Ţinând seama de modelul teoretic al ghidului plan neliniar (fig. 9. 14) este posibilă explicarea funcţionării modulatorului electrooptic în funcţie de tensiunea aplicată acestuia.

Fig. 9. 14. Ghidul plan neliniar. Pentru a determina influenţa variaţiei indicelui de refracţie al mediului organic prin efect electrooptic asupra ghidului se consideră o structură formată din trei straturi având indicii de refracţie (v. fig. 9. 14). În cazul când ghidul ( ) a fost obţinut prin schimb ionic, acesta prezintă un gradient de indice. Discretizând acest gradient în mai multe straturi având indicii de refracţie diferiţi se poate obţine distribuţia câmpului şi a indicelui de refracţie efectiv al acestei structuri în funcţie de variaţia indicelui mediului organic

0nΔ

sg nnn //0

gn

0nΔ pentru mai multe valori ale diferenţei de indice 0nnn g −=Δ prin metode numerice [9.1].

În figura 9. 15 este prezentată distribuţia câmpului unui mod ghidat în cazul structurii considerate anterior pentru diferite valori ale diferenţei de indice

. Se observă ca adâncimea de pătrundere a câmpului în mediul organic este cu atât mai mare cu cât diferenţa de indice este mai mică, valorile tipice fiind mai mici de .Rezultatele numerice prezentate anterior sunt confirmate şi de dependenţa indicelui de refracţie efectiv al structurii în funcţie de variaţia indicelui corespunzător polimerului organic (fig. 9. 16). În acest caz, diferenţa de indice dintre sticlă (care este caracterizată de un indice de refracţie cu valoare mare) şi ghid este , iar diferenţa de indice dintre ghid şi materialul organic este .

0nnn g −=Δ

2

310−

310−

0nΔ

3−10⋅Din figura 9. 16 se observă că structura considerată se comportă ca un

atenuator al efectului Pockels întrucât există un raport de 10 între variaţia indicelui materialului organic şi variaţia indicelui efectiv. Acest raport devine şi mai mic cu cât diferenţa de indice 0nnn g −=Δ este mai mică.


9.5.2. Determinarea câmpului electric creat de electrozii coplanari Pentru a evalua câmpul electric creat de doi electrozi coplanari se consideră că aceştia sunt (semi-) infinit de lungi şi foarte subţiri, grosimea de 0,2 μm a acestora fiind mult mai mică decât celelalte dimensiuni ale strucurii, cum ar fi distanţa dintre electrozi sau lărgimea ghidului.

Fig. 9. 15. Influenţa diferenţei de indici asupra adâncimii de pătrundere a

câmpului modal în stratul organic; curba (0nnn g −=Δ

) corespunde unei valori Δn = 0,005, curba ( ) corespunde unei valori Δn = 0,107, iar curba ( )

corespunde unei valori Δn = 0,165).

Fig. 9. 16. Influenţa diferenţei indicilor asupra indicelui efectiv în cazul când 0nnn g −=Δ

indicele materialului organic variază prin efect Pockels. Ţinând seama de aceste aproximaţii câmpul electric poate fi calculat cu ajutorul unei transformate Schwartz-Kristoffel [9.5]. Transformarea Schwartz-Kristoffel este o transformare biunivocă care are loc între două plane, şi anume semiplanul complex superior şi respectiv un poligon, în cazul de faţă un dreptunghi. Această transformare care are loc cu conservarea unghiurilor (transformarea conformă) permite înlocuirea unui sistem electric cu un alt sistem electric pentru care problema electrostatică poate fi rezolvată analitic (fig. 9. 17).

Într-adevăr, dispozitivul astfel transformat corespunde unui condensator plan. Transformarea Schwartz-Kristoffel este definită de relaţiile: (9.70) CCSK →τ :


( )zfvuwyxz =+=→+= ii (9.71) cu

( ) ( )∫ +−== −παz

n BqZqAzfwn

0

1 d (9.72)

în care: n defineşte numărul vârfurilor poligonului, nα este unghiul interior format de două laturi adiacente având vârful de afix . nZ

Fig. 9. 17. Transformarea Schwartz-Kristoffel. Ţinând seama de simetria structurii prezentate anterior, 0=B pentru că

, şi de faptul că variabila w este transformată de se obţine [9.5]: ( ) 00 =f z

2

;4 π=α= nn (9.73)

( ) ( )0,1;0,1;0,1;0,1 4321 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== Z

kZ

kZZ , (9.74)

iar

( )( )1,

,2 kF

zkFAw = (9.75)

unde

( ) ( )( )∫−−

=z

qkq

qzkF0 222 11

d, . (9.76)

Considerând ld

dk+

= , unde l este lăţimea electrodului, este o

integrală eliptică de ordinul întâi.

( zkF , )

Pentru a calcula pe A se ţine seama că 2a este imaginea numărului

prin transformarea considerată. Se obţine

1Z

aA = , ceea ce reprezintă distanţa fictivă


dintre electrozii condensatorului în planul complex . În planul potenţialul electric corespunde unui condensator plan şi este dat de relaţia:

w w

( ) ( )waVwv Re2

= (9.77)

în care:: . (9.78) 12= VVV − Ţinând seama de relaţia (9.75) potenţialul în planul se poate calcula cu ajutorul relaţiei:

z

( ) ( ) ( )( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∫

−−=

z

qkq

qkF

VyxV0 222 11

dRe1,

, , (9.79)

iar componentele câmpului electric calculate cu ajutorul derivatelor potenţialului devin:

( )( ) ( )( )⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∫

−−

−=

∂∂−

=z

xzz

qkFV

xyxVE

0 22 11

dRe1,

,

( )

(9.80) k 2

( )( ) ( )( )⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

∂∂−

−=∂

∂−=

222 1

iRe1,

i,

zkzkFV

zzV

yyxVEy

−1. (9.81)

În cazul electrozilor coplanari (semi-) infiniţi de lungi, aşa cum au fost aceştia consideraţi, componentele câmpului devin:

( )

( ) ( )4/1

22222 2

2/cos

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+

θπ

=

xyxyd

VEx (9.82)

( )

( ) ( )4/1

22222 2

2/sin

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+

θπ

=

xyxyd

VEy (9.83)

unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=θ 222

2arctgxyd

xy . (9.84)

Pentru configuraţia din figura 9. 17 amplitudinile componentelor şi

respectiv ale câmpurilor electrice în funcţie de variabila redusă

xE

yEdx sunt

prezentate în figura 9. 18 a), b) pentru o valoare 5,/ 0=dy . Din figura 9. 18 se observă că pe suprafaţa y = 0 componenta =0, iar

pe suprafaţa electrozilor metalici yE

( )dxy ≥= ,0 se anulează componenta . Deci xE


câmpul electric este confinat între electrozi, devenind neglijabil la distanţe mai mari decât spaţiul dintre electrozi.

Fig. 9. 18. Componentele: a) şi respectiv b) ale câmpurilor electrice dintre xE yEelectrozi funcţie de distanţa redusă . dx /

Pe baza modelului prezentat se poate calcula distribuţia câmpului electric

al undei ghidate şi cu ajutorul acestuia integrala de acoperire care determină eficacitatea modulatorului.

( yxE , )

9.5.3. Eficacitatea modulatorului

Calculul eficacităţii modulatorului se bazează pe aplicarea metodei perturbaţiilor (din mecanica cuantică) ecuaţiei care descrie propagarea modurilor ghidate [9.5]. Pentru aceasta se consideră un ghid monomod obţinut prin metoda difuziei (fig. 9. 19) peste care s-a depus un material organic electroactiv.

Fig. 9. 19. Ghid monomod obţinut prin difuzie şi acoperit de material organic. Constanta de propagare a modului ghidat în această structură este

, unde reprezintă indicele efectiv al acesteia. Materialul este polarizat de câmpul aplicat între electrozii coplanari, valoarea şi direcţia câmpului depinzând de coordonatele

enk0=β en

x şi y . Tensorul electrooptic fiind definit în raport cu un sistem de axe care depinde de coordonatele

ijrx şi y şi mărimea acestuia este

în funcţie de aceste coordonate.


Pentru a calcula eficacitatea modulatorului se presupune că distribuţia câmpului modului ghidat nu este prea mult modificată de câmpul electric dintre cei doi electrozi coplanari după aplicarea tensiunii modulatoare. Atât amplitudinea câmpului electric modulator ( )yxEc , cât şi coeficientul electrooptic sunt funcţii de coordonatele transversale x şi ale ghidului. y

În mediul superior neomogenităţile câmpului şi respectiv ale coeficientului electrooptic determină neomogenitatea variaţiei indicelui de refracţie şi deci a constantei de propagare a modului ghidat

( )vnΔenk Δ=βΔ 0 , unde enΔ reprezintă

variaţia indicelui de refracţie efectiv al structurii fără ca indicele de refracţie al superstratului să varieze sub acţiunea câmpului electric aplicat. 0n Ecuaţia de propagare a câmpului modal E este de forma:

[ ]EyxnkyE

xE ),(

dd

dd 222

02

2

2

2−β=+ (9.85)

în care:

. (9.86) ( ) ( ) ( yxnyxnyxn ,,, * Δ+= ) În relaţiile (9.85) şi (9.86) ( )yxn ,* reprezintă profilul indicelui de refracţie al structurii în absenţa câmpului electric aplicat, iar ( )yxn ,Δ este variaţia corespunzătoare a indicelui care peste tot este nulă, cu excepţia materialului organic. Ecuaţia (9.85) reprezintă de fapt ecuaţia lui Schrödinger bidimensională într-o groapă de potenţial definită de ( ) ( )V x y k n x y, = − 0

2 2

nlP

, , E reprezentând

funcţia de undă a modului ghidat de energie r

. Ţinând seama că variaţia indicelui de refracţie după cele două direcţii

este mică, se poate aplica teoria perturbaţiilor pentru rezolvarea ecuaţiei (9.85), obţinându-se:

( yxn ,Δ )

( )( )∫ ∫

∫ ∫βμω

=βΔyxyxEyxEDe yx

dd,dd

2 2,2

02

. (9.87)

În calcularea valorii βΔ se poate considera că

Tnl EPE

rr⋅=εΔ 2 (9.88)

unde TEr

reprezintă proiecţia câmpului optic pe suprafaţa transversală a ghidului optic.

Aplicarea câmpului electric de polarizare ( )yxEp ,r

după direcţia

în materialul organic (fig. 9. 20) determină apariţia unor elemente corespunzătoare

tensorului susceptibilitate neliniară de ordinul doi

( )yxa ,r

( )[ ]2χ care nu se anulează pentru grupul de simetrie 6 mm în sistemul axelor cristalografice ( )cba ,, asociat liniilor de câmp electric.


Elementele tensorului susceptibilitate care nu se anulează sunt:

( )kTE

ffN paaa 50

22 μβ=χ ω (9.89)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

2222222 aaa

acccacccabbabababbχ

=χ=χ=χ=χ=χ=χ . (9.90)

În figura 9. 20 direcţia ar este tangentă la liniile de câmp în punctul , iar câmpurile ( yxM , ) pE

r şi

rE sunt paralele cu această axă variabilă. e

Fig. 9. 20. Sistemul axelor cristalografice în cazul ghidului monomod obţinut prin difuzie şi

acoperit de material organic. Sub efectul conjugat al câmpului electric modal ( )ωE

r şi al câmpului

electric modulator în mediul organic polarizat de câmpul electric ( )0eEr

pEr

se

induce polarizarea neliniară nlPr

ale cărei componente sunt de forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅ωχ⋅ε=

⋅ωχε=⋅ωχε=

=

⋅

⋅⋅

⋅⋅

000

20

20

20

eacccanlc

eabbbanlb

eaaaaanla

nl

EEPEEPEEP

Pr

. (9.91)

Considerând o undă optică polarizată după o direcţie paralelă cu axa x componentele câmpurilor se pot scrie sub forma:

( )( )( )

00,,ω

=ωE

zyxEr

şi ( )( )( )( )

0sin

cos,, θω−

θω=ω E

EcbaE

r (9.92)

iar elementele vectorului polarizaţie neliniară în acest caz devin:


( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

sin0

cos0

,, 20

20

θ⋅ωχε−=

θ⋅ωχε=

= ⋅⋅

⋅⋅

ebbanlb

eaaanla

nl EEP

EEP

cbaPr

. (9.93)

Ţinând seama de componentele polarizaţiei neliniare nlPr

şi respectiv ale câmpurilor prezentate anterior produsul scalar din relaţia (9.88) se scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−θω+ω=ωχε=⋅ sin

31cos00 22

0 EEEP eaaaTnl rr

. (9.94)

În final se obţine pentru variaţia constantei de propagare a modului ghidat expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫

∫ ∫ χεβμω

=βΔyxyxE

yxyxsyxEyxEyx eaaadd,

dd,,,,2 2

2200

2 (9.95)

în care:

( ) θ−θ= sin31cos, yxs (9.96)

( )( )yxxE

yxyE

c

c,,arctg=θ . (9.97)

Notând cu raportul ( )Tm ( )paaa E2χ , care este un parametru intrinsec al

materialului ce nu depinde decât de temperatură, se obţine:

( )( ) ( )( ) kT

ffNyxEyxTm

p

aaa5,

, 022 βμ

=χ

= ω . (9.98)

Cu ajutorul relaţiei (9.98) se poate calcula variaţia indicelui de refracţie sub forma:

( )

α=Δc

c nTmn

2 (9.99)

în care:

( ) ( ) ( ) ( )

( )∫ ∫

∫ ∫=α

yxyxE

yxyxsyxEyxEyxE ep

dd,

dd,,,,2

2. (9.100)

În relaţia (9.100) reprezintă câmpul electric de polarizare, este câmpul electric modulator, iar

pE eEE este câmpul electric modal.

Printre cele mai utilizate modulatoare în practică se numără şi interferometrul Mach-Zehnder neliniar (v. cap. 6) care este format din două braţe, unul de referinţă şi altul în care se induce o diferenţă de fază (v. fig. 9. 13). Recombinarea celor două unde care provin din cele două braţe ale


interferometrului determină în optica integrată apariţia unui fenomen de interferenţă modală. La intrare, joncţiunea Y joacă rol de divizor al undelor ghidate. La ieşire, principiul de recombinare al celor două unde în joncţiunea Y este prezentat în fig. 9. 21.

Fig. 9. 21. Principiul de funcţionare al joncţiunii Y de la ieşirea interferometrului Mach-Zehnder. Comparaţie între joncţiunea Y şi lama divizoare.

Undele care sosesc în fază la intrare interferează dând naştere la maxime

de interferenţă, iar cele care prezintă o diferenţă de fază de π radiani dau o intensitate nulă la ieşire. În practică, se poate dubla efectul electrooptic prin aplicarea unor tensiuni de semn contrar celor două braţe ale interferometrului, aceasta determinând apariţia unor variaţii de fază de semn opus în cele două braţe ale dispozitivului.

9.5.4. Determinarea tensiunii de comutare Pentru a evalua tensiunea de comutare a modulatorului în funcţie de diferiţi parametri caracteristici (variaţia indicilor de refracţie dintre film şi ghid,

lungimea de undă, grosimea filmului, , coeficientul electrooptic mediu

πV

nΔ λ e r şi câmpul electric de polarizare, ) se poate aplica modelul prezentat mai înainte. pE Pentru a evalua variaţia indicelui de refracţie se consideră relaţia (9.99). În relaţia (9.100) integrala în variabila y de la numărător este limitată numai la domeniul ocupat de mediul organic electrooptic pentru că în sticlă variaţia indicelui prin efect electrooptic este nulă. Tensiunea de comutare , aplicată modulatorului determină un defazaj de π radiani între cele două braţe ale interferometrului, aceasta determinând o variaţie a drumului optic cu în fiecare braţ al dispozitivului. Se obţine relaţia:

πV

4/λ

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ λγπ

=π TLmn

VdV e

p 2

22 (9.101)

în care:


( ) ( )( )∫ ∫

∫∫=γyxyxE

yxyxEyxfdd,

dd,,2

22 (9.102)

( ) 4/12

2

22221

1,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

dxy

dx

dy

yxf . (9.103)

Transmisia optică a dispozitivului este:

2cos1 ΔΦ+

=T (9.104)

unde

( ) eB nL Δλπ

⋅=φΔ22 . (9.105)

Pe baza celor prezentate anterior, în vederea obţinerii unei eficacităţi ridicate a modulatorului, trebuie îndeplinite următoarele condiţii: - materialul trebuie să aibă o grosime suficientă, mai mare de 2 m; μ - lungimea de undă la care operează dispozitivul să fie astfel aleasă încât variaţia indicelui de refracţie ; 410−≈Δn - diferenţa dintre indicele de refracţie al materialului organic şi cel al ghidului să fie de aproximativ . 410−

9.6. Rezultate experimentale privind caracterizarea modulatoarelor optice integrate

Tensiunea de modulaţie poate fi aplicată pe modulator cu ajutorul a doi electrozi folosind schema electrică prezentată în figura 9. 22.

Fig. 9. 22. Schema circuitului electronic pentru alimentarea modulatorului Mach-Zehnder integrat.

Modulatoare electrooptice integrate

209

Tensiunea utilizată pentru polarizare este de 25 V/μm, iar cea pentru modulaţie are frecvenţa de ordinul kHz. Utilizarea unor tensiuni de aproximativ 40 V permite optimizarea modulaţiei, astfel ca valoarea acesteia să fie cuprinsă in intervalul 0 1. ÷

Transmisia interferometrului Mach-Zehnder este în funcţie de tensiunea de modulaţie. Montajul experimental prezentat în fig. 9. 22 permite dublarea defazajului.

Tensiunea de comutare depinde de diferenţa indicilor de refracţie dintre film şi ghid. În cazul unui ghid având ca substrat sticla cu indice de refracţie 1,7 şi diferenţa indicilor pe baza modelului prezentat anterior s-a obţinut o valoare a tensiunii de comutare

πV

10=

nΔ

4−ΔnV40=πV pentru λ =0,85 m şi o

distanţă dintre electrozi de 3 μm (fig. 9. 23). μ

Fig. 9. 23. Variaţia tensiunii de comutare în funcţie de diferenţa indicilor de refracţie dintre film şi ghid.

Transmisia modulatorului ( )T

5=n

depinde de tensiunea aplicată şi de diferenţa indicilor de refracţie. În figura 9. 24 este prezentată transmisia unui interferometru Mach-Zehnder integrat acoperit cu un film organic în funcţie de tensiunea aplicată în cazul unei diferenţe de indici . 410−×Δ

Fig. 9. 24. Transmisia interferometrului Mach-Zehnder integrat acoperit cu un film organic în funcţie de tensiunea aplicată.

Rezultatele teoretice obţinute pe baza modelului prezentat mai sus sunt în

bună concordanţă cu cele obţinute experimental. Prin doparea filmelor polimerice cu diferiţi coloranţi acestea pot fi utilizate pentru obţinerea unor modulatoare ultrarapide caracterizate de un timp de răspuns foarte scurt.

10. LASERE CU SEMICONDUCTORARE

10.1. Funcţionarea diodelor laser 10.1.1. Dioda laser homojoncţiune Radiaţia laser poate fi produsă şi în urma recombinării electronilor şi

golurilor într-o joncţiune semiconductoare p-n (diodă laser) dacă câştigul depăşeşte pierderile [10.1]. Diodele laser constituie unicul sistem laser în care emisia stimulată a radiaţiei electromagnetice poate fi modulată în amplitudine direct, prin modularea energiei de pompaj. Astfel, prin modularea temporală a densităţii de curent electric de injecţie, se realizează modularea temporală simultană a intensităţii radiante a undei laser, ceea ce permite transmiterea informaţiei pe cale optică, cu ajutorul unui fascicul laser modulat pe baza unui procedeu care nu este foarte complicat.

Într-un cristal semiconductor, nivelurile energetice posibile ale electronilor în cristal sunt distribuite în banda de valenţă şi în banda de conducţie, benzi energetice separate printr-o bandă interzisă de până la 3 eV. Pentru creşterea artificială a conductivităţii electrice la temperatura camerei, semiconductorul poate fi dopat cu impurităţi donoare de electroni, iar cristalul semiconductor are electronii ca purtători de sarcină majoritari, sau cu impurităţi acceptoare de electroni, iar semiconductorul are golurile (absenţele electronilor) ca purtători majoritari. Considerăm cazul unui dopaj peste o anumită limită a concentraţiei de impurităţi, atât donoare cât şi acceptoare, astfel încât, atât în banda de valenţă cât şi în banda de conducţie, electronii nu pot avea energii decât până la anumite valori, denumite cvasiniveluri Fermi, în banda de conducţie şi respectiv, în banda de valenţă. Acesta este cazul unui aşa-numit semiconductor extrinsec degenerat [10.1]-[10.7].

FCW FVW

Cele mai importante caracteristici ale diodelor laser sunt determinate de dimensiunile foarte mici (câţiva μm ) ale acestor dispozitive precum şi de posibilitatea modulării radiaţiei prin varierea curentului. Pentru a descrie funcţionarea unei diode laser homojoncţiune se consideră joncţiunea p-n având grosimea zonei active prezentată în fig. 10. 1. d

În zona activă de lăţime , numită şi distanţa de confinare (de aproximativ 1

dμm) se produce un număr suficient de mare de electroni şi respectiv

goluri pentru ca dispozitivul să aibă un câştig pozitiv. Dimensiunea zonei active este mai mică decăt cea corespunzătoare modului câmpului ( )dD > . În cazul unei diode laser câştigul la prag se poate exprima în funcţie de curentul prin diodă. Valoarea de prag a curentului electric pentru inversia de populaţie într-o diodă laser rezultă dintr-un sistem de două ecuaţii asociate, şi respectiv: condiţia de prag la un parcurs complet al radiaţiei în cavitate şi, relaţia dintre amplificarea optică şi densitatea curentului electric de pompaj.

Conform condiţiei de prag, intensitatea a radiaţiei electromagnetice rezultate prin emisia stimulată trebuie să rămână neschimbată după un parcurs complet al cavităţii laser:

0I

Lasere cu semiconductoare 211

( ) ( )[ ]{ } 0210 12exp2exp ILLgRRI rap =αΓ−+αΓ−Γ (10.1)

unde şi sunt reflectanţele feţelor polizate ale celor două capete ale ghidului de undă semiconductor, este factorul de restrângere spaţială a undei electromagnetice în zona activă, reprezintă amplificarea optică în unitatea de volum a zonei active (câştigul), la pragul de oscilaţie laser, este lungimea cavităţii rezonante laser, este coeficientul intern de pierderi optice în zona activă, iar

1R 2RΓ

aα

pgL

rα este coeficientul de pierderi optice în zonele de restrângere spaţială a radiaţiei.

Fig. 10. 1. Dioda laser homojoncţiune.

Ecuaţia (10.1) poate fi rescrisă sub forma:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+αΓ−+αΓ=Γ

21

1ln211

RRLg rap . (10.2)

Factorul de restrângere spaţială optică Γ are un rol determinant în proiectarea structurii oricărui laser cu mediu activ semiconductor. Acest parametru caracterizează suprapunerea spaţială dintre unda de emisie stimulată ghidată optic şi regiunea cu inversie de populaţie, conform formulei:

∫∫

∞+∞−

+−=Γ

zzE

zzEdd

d)(

d)(2

2/2/

2

(10.3)

în care: este lărgimea gropii cuantice (dimensiunea gropii pe direcţia d z de creştere a straturilor semiconductoare), iar ( )zE este modulul intensităţii câmpului electric al undei. Considerând că densitatea de goluri în regiunea activă este mare, deci densitatea de electroni pe nivelul fundamental este suficient de mică pentru ca absorbţia unui foton să poată fi neglijată, câştigul poate fi scris sub forma:


( ) ( )νπλ

≈ν SNnAg 22

2

8 (10.4)

unde reprezintă densitatea de electroni injectaţi în regiunea activă din banda de conducţie a semiconductorului de tip n , iar este rata emisiei spontane corespunzătoare recombinării radiative. În centrul liniei laser, câştigul se poate exprima sub forma:

2NA

( )0

222

2

0 8 δνπλ

≈νnANg . (10.5)

În scrierea relaţiei (10.4) s-a presupus că tranziţia laser are un profil de tip Lorentz şi lărgimea . 0δν Câştigul la prag este dat de relaţia:

21ln21 RRl

gt −α= (10.6)

în care: l este lungimea mediului activ, , sunt reflectivităţile oglinzilor, iar reprezintă pierderile pe unitatea de lungime datorită altor efecte decât reflexiile

pe oglinzile cavităţii. Din condiţia la prag

1R 2Rα

( ) tgg =ν0 se obţine valoarea la prag pentru densitatea de populaţie de pe nivelul excitat sub forma:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −α

λδνπ

= 2120

22

2 ln218 RRlA

nN t . (10.7)

În general, la construcţia diodelor laser nu se folosesc oglinzi pentru a obţine efectul de reacţie (feedback) întrucât indicele de refracţie al materialului este suficient de mare pentru a determina fenomenul de reflexie totală la interfaţa semiconductor-aer. Ţinând seama de formulele lui Fresnel în cazul incidenţei normale, se poate calcula coeficientul de reflexie sub forma:

n

( )( )2

2

11

+−

≈nnR . (10.8)

Aproximând indicele de refracţie al aerului cu unitatea şi ţinând seama că în cazul GaAs ≈3,6 din relaţia (10.12) se obţine pentru coeficientul de reflexie al oglinzilor valoarea .

n( ) 32,06,4/6,2 2 ≈≈R

Polizând două feţe opuse ale diodei şi lăsându-le pe celelalte două rugoase (astfel încât reflectivităţile acestora să fie mici) oscilaţia laser este favorizată de-a lungul axei care uneşte feţele polizate (fig. 10. 2). Densitatea de populaţie a nivelului excitat se poate exprima cu ajutorul densităţii de curent prin diodă J . Ţinând seama că pe unitatea de volum rata cu care electronii sunt injectaţi în regiunea activă este şi că aceştia sunt absorbiţi datorită proceselor radiative şi neradiative cu rata totală , în stare staţionară se poate scrie

edJ /eR

2// NedJ eR= sau 2/ NedRJ e= . Condiţia de prag (10.10) poate fi scrisă cu ajutorul densităţii de curent la

prag sub forma:


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −α

λδνπ

= 2120

22ln

218 RRlA

RednJ et . (10.9)

Fig. 10. 2. Reprezentare schematică a structurii mediului activ al diodei laser cu dublă heterostructură de tip GaAlInP/GaInP/GaAlInP; cavitatea rezonantă

laser este formată din feţele cristalului semiconductor perpendiculare pe planul joncţiunii.

Relaţia (10.13) nu ţine seama de faptul că volumul modului este mai mare decât volumul regiunii active de lăţime . Cu cât densitatea purtătorilor de sarcină în regiunea activă este mai mare cu atât indicele de refracţie este mai mare obţinându-se o mai bună confinare a radiaţiei în regiunea activă. Acest efect de ghidare a radiaţiei este destul de slab şi deci radiaţia are un volum corespunzător unui mod a cărui lăţime este . Astfel, coeficientul de câştig efectiv este mai mic decât cel dat de relaţia (10.6) cu un factor

d

dD >Dd /≈ , iar densitatea de curent

corespunzătoare pragului este mai mare decât cea dată de relaţia (10.9), devenind:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −α

λδνπ

= 2120

22ln

218 RRlA

ReDnJ et . (10.10)

În cazul diodei laser cu GaAs pentru radiaţia având λ≈8400 indicele de

refracţie este n 3.6, iar Hz. Raportul se mai numeşte şi eficienţă cuantică şi reprezintă fracţiunea din numărul de electroni injectaţi care suferă fenomenul de recombinare radiativă şi este apropiată de unitate. Considerând că în cazul diodei laser cu GaAs =2

oA

≈ 130 10≈δν eRA /

D μm, =500 m şi

=10 , se obţine:

l μ

α -1cm . (10.11) 2A/cm 500≈tJ

În cazul unei joncţiuni având aria curentul de prag este .

2m 250500 μ×=lw A1≈lwJt


Considerând eficienţa cuantică internă iη a diodei laser ca fiind probabilitatea ca un purtător de sarcină electrică injectat în zona activă să se recombine radiativ, puterea radiantă a undei electromagnetice rezultate din emisia stimulată se exprimă prin:

eP

ω⋅−

⋅η= heII

P pie (10.12)

unde I este intensitatea curentului de injecţie, este intensitatea curentului de prag pentru oscilaţia laser, este sarcina electrică elementară, iar

pIe ω este frecvenţa

unghiulară a radiaţiei emise. O parte din se disipează în cristalul semiconductor, iar restul constituie

puterea radiantă laser, eP

P efectiv emisă de dioda laser în exterior, prin feţele cristaline de reflectanţe şi, respectiv, , ce constituie rezonatorul laser. 1R 2R

Dacă se notează cu α coeficientul de absorbţie totală în cristalul semiconductor al diodei laser (ce include aα şi rα ), puterea radiantă a fasciculului laser se scrie sub forma:

( ) ( )( ) ( )RL

RLe

IIP p

i /1ln/1/1ln/1

⋅+α⋅

⋅ω⋅−

⋅η= h (10.13)

unde s-a considerat . RRR == 21

10.1.2. Dioda laser cu dublă heterostructură O îmbunătăţire a performanţelor diodelor laser s-a realizat prin fabricarea de medii active din material semiconductor cu dublă heterostructură. Heterostructura reprezintă o joncţiune între două cristale semiconductoare cu compoziţie chimică diferită şi cu dopaje de tip diferit. Dubla heterostructură este o structură formată din trei straturi de material semiconductor, cele de la extremităţi având formulă chimică şi conductivitate electrică (dopaj) diferite faţă de cel din mijloc, care conţine regiunea cu joncţiunea activă, de exemplu GaAlInP/GaInP/ GaAlInP (fig. 10. 2).

De asemenea, indicele de refracţie al materialului central este mai mare decât al straturilor laterale, ceea ce mijloceşte ghidarea radiaţiei rezultate din emisia stimulată, prin zona activă a diodei. Cele două caracteristici esenţiale ale unei duble heterostructuri semiconductoare, ca mediu activ laser, sunt:

- a) posibilitatea ghidării undelor electromagnetice prin zona activă cu indice de refracţie mai mare,

- b) posibilitatea realizării inversiei de populaţie cu un curent electric de pompaj cu intensitate redusă. Aceste proprietăţi fac ca o configuraţie cu dublă heterostructură (fig. 10. 3) să prezinte o mai mare eficienţă a generării emisiei stimulate, faţă de dioda laser cu material omogen în zona activă. Materialele semiconductoare cel mai des utilizate pentru fabricarea diodelor laser cu dublă heterostructură sunt combinaţii de tipurile sau . VIIIBA VIIVBA


O configuraţie practică pentru obţinerea inversiei de populaţie într-un mediu activ semiconductor este aceea a unei diode cu joncţiune p-n în care regiunile p şi n sunt obţinute prin doparea până la degenerare a aceluiaşi cristal semiconductor. Cvasinivelul Fermi al materialului de tip p se află în banda de valenţă, iar acela al materialului de tip n în banda de conducţie. În absenţa unei diferenţe de potenţial electric la bornele diodei, cele două cvasinivelurile Fermi coincid (condiţia de echilibru termodinamic).

Fig. 10. 3. Structura de benzi a unei duble heterostructuri; a) la echilibru, b) la prag.

La aplicarea unei diferenţe de potenţial V , acestea se separă printr-un interval energetic eV (unde e este sarcina electrică elementară). În zona de sarcină spaţială a joncţiunii se produce o inversie de populaţie între electroni şi goluri. Acest fenomen face posibilă amplificarea radiaţiei prin emisie stimulată, la recombinarea radiativă dintre un electron şi un gol.

Indicele de refracţie al majorităţii materialelor semiconductoare, pentru lungimile de undă ale emisiei acestora, este suficient de mare astfel încât, la interfaţa semiconductor/aer, coeficientul de reflexie pentru radiaţia emisă să aibă valori ridicate pentru a determina formarea unei cavităţi Fabry-Pérot pe feţele cristalului perpendiculare pe direcţia emisiei. În multe tipuri de diode laser de mică putere, nu este necesară nici şlefuirea nici depunerea de straturi reflectoare pe capetele mediului activ, întrucât clivajul cristalului după planuri atomice determină feţe cu suprafeţe foarte netede. Acestui tip de configuraţie de cavitate rezonantă laser i se aplică teoria generală a rezonatoarelor.

10.1.3. Diode laser cu gropi cuantice În figura 10. 2 regiunea activă de GaInP mărginită de fiecare parte de

GaAlInP în cazul unei duble heterojoncţiuni acţionează ca o capcană de electroni şi goluri. Dacă grosimea regiunii active este micşorată până la o valoare

, electronii şi golurile confinate manifestă efecte cuantice, energiile cuantificate şi funcţiile de undă ale acestora fiind determinate în mod special de distanţa de confinare, , laserele astfel obţinute numindu-se lasere cu gropi

oA 200<d

d


cuantice (Quantum Well-QW). Aceleaşi efecte se manifestă şi în cazul structurii de tip Al Ga As/GaAs/ Al Ga As cu x x−1 x x−1 3,0~x (fig. 10. 4).

Fig. 10. 4. Reprezentarea schematică a laserului de tip Al Ga1 As/GaAs/Al Ga As. x

~

x−

⎟⎟⎠

⎞oA

x 1

gW

emm =*

x−

Groapa cuantică într-o astfel de structură corespunde unui strat foarte

subţire de semiconductor ⎜⎜ cu o bandă interzisă situată între două

regiuni semiconductoare având banda interzisă . Regiunea cu bandă interzisă se comportă ca o groapă cuantică de potenţial atât pentru electroni cât şi pentru goluri, dacă diferenţa între benzile de conducţie şi de valenţă este convenabil împărţită între cele două materiale, iar densitatea de stări permise devine o funcţie treaptă în locul celei de tip parabolic ca în cazul materialului masiv, acesta fiind un efect cuantic de dimensiune. Dependenţa de distanţă a indicelui de refracţie şi a câmpului optic pentru structura amintită anterior este prezentată în figura 10. 5.

⎝

⎛100 1gW

1g2 W>

1gW

Mişcarea electronilor cu masa în banda de conducţie, BC (fig. 10. 4) caracterizată de funcţia de energie potenţială ( )rV v poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii de tip anvelopă ( )rvϕ , (normată pe volumul cristalului) care verifică ecuaţia Schrödinger [10.7]:

( ) (rWVrme

rrhϕϕ+ϕ∇− 2

2

2( ) ( )rr = )rr . (10.14)

Considerând că electronii se mişcă după axa , (după axele z x şi aceştia rămânând liberi) şi că

y( ) ( )zVr =rV soluţia ecuaţiei (10.14) este de forma:

( ) ([ )] ( )zkxkr xkn =ϕ iexp Zy ny+r

r , (10.15)

( xkk ,=r )ykîn care: reprezintă numărul cuantic, iar n . Pentru a calcula funcţia

se înlocuieşte soluţia (10.15) în ecuaţia (10.14) (zZn )


( ) ( ) ( ) ( )zZmkWzZzV

zzZ

m ne

nn

e⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−

2dd

2

22

2

22 hh (10.16)

în care: 22yx kkk += .

Fig. 10. 5. Profilul indicelui de refracţie şi al câmpului optic în cazul structurii de tip Al Ga As/GaAs/Al Ga As. x x−1 x x−1

Funcţia este normată pe lungimea cristalului, în direcţia .

Considerând un potenţial de forma: ( )zZn zL z

( ) ( )⎩⎨⎧

==∞∈

=,,0 pentru,

,0 pentru,0Lzz

LzzV (10.17)

(deşi în cazurile reale lărgimea benzii interzise este de ordinul eV, această aproximaţie fiind grosolană) din ecuaţia (10.26) se obţin funcţiile proprii

( )L

znLLzZ z

nπ

= sin2 (10.18)

şi valorile proprii

( )eee

en

en m

kL

nmm

kWkW222

222222 hhh+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=+= (10.19)

unde este un număr întreg pozitiv. Confinarea în interiorul gropii cuantice determină apariţia unei benzi energetice cu structura dată de relaţia (10.19), unde

ia valori discrete, acestea fiind determinate de

n

enW ( )zV . Pentru fiecare valoare a

numărului există o dependenţă parabolică a valorii proprii de ,

(curbele de dispersie), cu un minim în (fig. 10. 6). Valoarea proprie a energiei

şi funcţia proprie asociată determină o sub-bandă energetică

electronică . În figura 10. 7 sunt prezentate şi

n

n

( )kW en k

enW

(W en )k

( )z WZ1 şi . e1

Densitatea de stări permise în cazul unui semiconductor cu gropi cuantice devine o funcţie de tip treaptă în loc să fie de tip parabolic ca în materialul masiv (fig. 10. 6).


Modelul teoretic prezentat anterior în cazul electronilor poate fi aplicat şi golurilor din banda de valenţă, BV (fig. 10. 4) cu masa , energia golurilor

(măsurată de la marginea benzii de conducţie în jos) fiind de forma

(10.19) unde se înlocuieşte cu

gm

( )kW gn

enW

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=L

nm

WWg

gg

nh

, (10.20)

gW reprezentând energia interzisă a gropii cuantice. În figura 10. 4 corespunde valorii . Funcţiile de tip anvelopă pentru goluri sunt identice cu cele corespunzătoare electronilor şi determină împreună cu valorile proprii ale energiei o sub-bandă energetică a golurilor .

gW

1gW

n

Fig. 10. 6. Curbele de dispersie corespunzătoare primelor trei sub-benzi electronice în cazul gropii cuantice din figura 10. 4.

În cazul când lăţimea gropii cuantice, este foarte mare valorile LL

nπ

formează un spectru cvasicontinuu, iar relaţiile (10.18) şi (10.19) corespund mişcării unor electroni liberi.

Fig. 10. 7. Reprezentarea densităţii de stări a sub-benzii electronice în funcţie de energie în

cazul gropii cuantice din figura 10. 4, curba a) şi în cazul materialului masiv, curba b).


În cazul unui laser cu gropi cuantice condiţia de prag pentru emisia laser este dată de relaţia:

21ln21 RRl

g +α=Γ , (10.21)

în care:

2

224λ

Δπ=Γ rr nnL

(10.22)

este factorul de restrângere spaţială optică, ( fiind indicele mediu de refracţie corespunzător zonei active,

rnrnΔ diferenţa indicilor de refracţie corespunzători

regiunilor ghidului), l este lungimea mediului activ, , sunt reflectivităţile

oglinzilor cavităţii, iar reprezintă pierderile pe unitatea de lungime datorită altor efecte decât reflexiile pe oglinzile cavităţii. În figura 10. 8 este prezentată structura unei diode laser cu gropi cuantice de tip InGaAs/GaAs/AlGaAs, (regiunea activă fiind In Ga As), care emite radiaţia

fundamentală cu lungimea de undă

1R

8,0

2R-1

0,96

-1cm cm 10010 ÷≈α

2,0 mμ=λ şi armonica a doua cu

[10.7]. m 0,48μ=λ

Fig. 10. 8. Reprezentarea schematică a laserului cu gropi cuantice de tip InGaAs/GaAs/AlGaAs.

În general, lungimile de undă de emisie sunt: m 1,6m 2,1 μ÷μ=λ pentru

structura de tip InGaAsP şi m 0,9m 65,0 μ÷μ=λ pentru cea de tip AlGaAs. Pe baza efectului cuantic de dimensiune în cazul heterostructurilor cu

confinare separată (Separate Confinement Heterostructure-SCH) este posibilă selectarea lungimii de undă de emisie prin ajustarea grosimii zonei active. În ultimii ani au fost fabricate structuri de tip picătură cuantică (Quantum Dot-QD) în materiale dielectrice izolatoare care conţin materiale semiconductoare sau metalice cu dimensiunile nm 255,2 ÷ .


În cazul acestor structuri (de exemplu CdS, CdSe etc.) structura benzii energetice a materialului din picătură este relevantă în structura sa electronică, iar electronii sunt confinaţi după toate cele trei direcţii. Spectrul de absorbţie este format dintr-o serie de linii largi.

Considerând o picătură de forma unui cub cu latura mărginit de bariere de potenţial de înălţime infinită, iar picătura şi materialul izolator care o înconjoară au volumul , stările unui electron pot fi descrise cu ajutorul unei funcţii de tip anvelopă monoelectronice de forma:

L

pV

( )L

zmLyl

Lxn

LVr pnlm

πππ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ϕ sinsinsin2 3

(10.23)

cărora le corespund valorile proprii ale energiei

e

enlm m

mlnL

W2

2222 ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=h

, (10.24)

unde sunt întregi pozitivi. mln ,, În cazul golurilor funcţiile de tip anvelopă sunt cele date în relaţia (10.23), iar energiile corespunzătoare sunt:

gg

gnlm m

mlnL

WW2

2222 ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=h

. (10.25)

În picăturile cuantice metalice există numai stări electronice.

10.1.4. Diode laser cu gropi cuantice multiple În cazul unei structuri cu un număr mare de gropi cuantice (Multiple

Quantum Well-MQW) fiecare groapă contribuie la creşterea câştigului obţinându-se astfel unul maxim dorit. Dimensiunile gropilor cuantice sunt de

câţiva zeci de (fig. 10. 9). oA

Fig. 10. 9. Reprezentarea schematică a laserului cu gropi cuantice multiple de tip (Al Ga ) In P având x x−1 5,0 5,0 m 0,626μ=λ .

Raportul dintre câştigurile unui laser cu N gropi cuantice, şi

respectiv unul cu o singură groapă cuantică, estre dat de relaţia: Ng

g


( ) ( )nfnfNnf

NnfN

gg

vc

vcN

,,

,,

ω−ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ω

= (10.26)

în care: eLIn τ

= reprezintă densitatea purtătorilor în laserul cu o singură groapă

cuantică, I este intensitatea curentului, este sarcina electronului, lăţimea gropii şi este timpul de viaţă al electronilor.

e Lτ

Puterea la ieşire a diodelor laser cu gropi cuantice multiple este limitată de degradarea catastrofică a oglinzilor ca urmare a absorbţiei luminii pe feţele structurii. Un interes deosebit îl prezintă structurile care emit în domeniul lungimilor de undă m 1,6m 9,0 μ÷μ=λ întrucât acestea sunt utilizate în comunicaţiile prin fibră optică, fibrele având pierderi mici şi dispersii bune în domeniul amintit.

10.1.5. Lasere cu semiconductoare cu emisie verticală Performanţele heterostructurilor pompate electric sunt limitate de pierderile

optice şi de încălzirea dispozitivului, aceasta rezultând în urma trecerii curentului prin dispozitiv. O alternativă la obţinerea efectului laser prin injecţia de curent o reprezintă pompajul optic. Prin utilizarea pompajului optic al purtătorilor direct în regiunea activă se reduce încălzirea dispozitivului şi creşte temperatura de operare.

Pe baza celor prezentate anterior s-au fabricat lasere cu semiconductoare cu emisie verticală (Vertical-Cavity Surface-Emitting Lasers-VCSEL). Pompajul optic al unui laser cu semiconductoare cu emisie verticală poate fi realizat şi cu ajutorul unei diode cu arie de emisie mare care operează la lungimea de undă 980 nm, lungimea de undă a emisiei laser fiind de 1,55 μm (fig. 10. 10).

Fig. 10. 10. Structura unui laser cu semiconductoare cu emisie verticală.

Regiunea activă a laserului cu semiconductoare cu emisie verticală este formată din 6 diode laser cu gropi cuantice multiple de tip InGaAsP/InGaAsP. Radiaţia de pompaj provenită de la dioda laser este focalizată pe regiunea activă cu ajutorul unei lentile. Între lentilă şi zona activă există un substrat de GaAs şi 31 de


substraturi GaAs cu reflectoare Bragg distribuite. La ieşirea din zona activă sunt dispuse 22 de substraturi GaAs cu reflectoare Bragg distribuite. Zona activă şi zonele adiacente sunt fuzionate.

Laserul cu semiconductori cu emisie verticală prezentat poate fi cuplat direct cu o fibră optică. În cazul regimului de lucru monomodal la temperatura camerei puterea maximă a laserului la ieşire este de 195 mW, la ieşirea din fibra

optică de 1,95 mW, iar la temperatura de 125 C puterea maximă a laserului la ieşire este de 75 mW, aceste valori fiind de patru ori mai mari decât în cazul când laserul este pompat electric.

o

Cavitatea semiconductoare cu emisie verticală poate funcţiona şi ca amplificator utilizând o cavitate formată din două reflectoare Bragg distribuite nedopate de tip GaAs/Al Ga As fuzionate cu o zonă activă formată din trei straturi de GaAs.

99,0 01,0

10.2. Mecanisme de realizare a inversiei de populaţie în laserele cu semiconductoare Într-un cristal semiconductor, niveluri energetice posibile ale electronilor

în cristal sunt distribuite în banda de valenţă (BV) şi în banda de conducţie (BC), benzi energetice separate printr-o bandă interzisă de până la ~3 eV (fig. 10. 11).

Fig. 10. 11. Benzile energetice pentru joncţiunea p-n polarizată direct.

10.2.1. Excitarea prin injecţie Probabilităţile de ocupare a nivelurilor energetice W ale electronilor în

banda de conducţie şi banda de valenţă sunt caracterizte prin funcţiile de distribuţie Fermi-Dirac, particularizate pentru fiecare bandă energetică în parte:

, 1exp

1

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

kTWW

fFc

c (10.27)

în banda de conducţie şi


1exp

1

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

kTWW

fFv

v , (10.28)

în banda de valenţă, unde T este temperatura termodinamică a cristalului semiconductor, iar este constanta Boltzmann. k Utilizarea joncţiunilor np − pentru crearea inversiei de populaţie în urma excitării prin injecţie constituie metoda cea mai răspândită pentru fabricarea diodelor laser. Dacă joncţiunea este polarizată direct, electronii sunt injectaţi în zona de tip p a dispozitivului, iar golurile în zona de tip n, creându-se un exces de purtători peste valoarea de echilibru, care determină inversia de populaţie necesară emisiei stimulate. Absorbţia de radiaţie electromagnetică (fig. 10. 12) într-un astfel de semiconductor are loc la tranziţia unui electron de la un nivel energetic din banda de valenţă la un nivel din banda de conducţie, sub influenţa radiaţiei; probabilitatea unei astfel de tranziţii este, în virtutea principiului de excluziune Pauli, proporţională cu produsul

1W2W

( ) ( )[ ]21 1 WfW vvf − dintre probabiltatea de a avea un electron pe nivelul iniţial şi probabilitatea de a avea o lipsă de electron pe nivelul final .

1W2W

În mod analog, emisia stimulată de radiaţie electromagnetică (fig. 10. 12) poate avea loc, pentru respectarea legii conservării energiei, la o tranziţie inversă a electronului între aceleaşi două niveluri, sau, altfel spus, la recombinarea electronului cu golul, cu probabilitatea ( ) ( )[ ]21 1 WfWf vc − .

Fig. 10. 12. Procesele de absorbţie şi emisie stimulată în cazul unui semiconductor cu bandă interzisă directă.

În cazul modelului prezentat anterior împrăştierile purtătorilor în interiorul

benzilor implicate au loc mai rapid în comparaţie cu procesele de recombinare bandă-bandă, stările din interiorul benzilor putând fi considerate la echilibru.


Condiţia de obţinere a regimului de emisie stimulată într-un semiconductor degenerat, la interacţiunea cu radiaţia electromagnetică, este ca probabilitatea de producere a unei emisii la tranziţia între nivelurile energetice din banda de conducţie şi, respectiv banda de valenţă, să fie mai mare decât probabilitatea de absorbţie între aceleaşi două niveluri: [ ] [ ]cvvc ffff −≥− 11 , (10.29) adică: (10.30) vc ff ≥ceea ce înseamnă realizarea unei inversii de populaţie între electronii din banda de conducţie şi golurile din banda de valenţă.

Conform realaţiilor (10.27), (10.28) şi (10.30), inversia de populaţie între nivelurile considerate ale materialului semiconductor se realizează în cazul când:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

kTWW

kTWW FvFc 12 expexp . (10.31)

Întrucât este expresia cuantei de energie electromagnetică emisă prin această tranziţie (unde este frecvenţa radiaţiei), atunci condiţia (10.30) se poate scrie sub forma:

12 WWh −=ν

ν≥−=Δ hWWW FvFc . (10.32)

10.3. Diode emiţătoare de lumină În telecomunicaţiile optice ca surse mai sunt folosite şi diodele emiţătoare

de lumină (Light Emitting Diodes-LED). Radiaţia provenită de la o astfel de diodă este incoerentă şi este emisă

într-un domeniu larg atât al lungimilor de undă (800 nm ÷ 1550 nm) cât şi al unghiurilor.

În cazul unei diode np − homojoncţiune cea mai mare parte a radiaţiei rezultate în urma procesului de recombinare este generată în interiorul unui volum din semiconductor având dimensiunea liniară proporţională cu lungimea de difuzie în timp ce în cazul unei heterostructuri duble radiaţia este generată în interiorul stratului activ. Radiaţia este emisă în ambele cazuri în toate direcţiile. Eficienţa cuantică este determinată de raportul dintre numărul de fotoni emişi de materialul semiconductor şi numărul de purtători care trec prin joncţiune.

Cu aproximaţie destul de bună se poate considera că puterea emisă de LED este proporţională cu curentul prin diodă deşi există o tendinţă de saturaţie la puteri mari odată cu creşterea temperaturii. Rata de modulaţie este limitată la aproximativ 100 MHz. O diodă emiţătoare de lumină este astfel fabricată încât la o anumită valoare de prag a curentului mecanismul de generare a luminii se modifică. La valori mici ale curenţilor radiaţia luminoasă este produsă în urma emisiilor spontane. În apropierea pragului radiaţia luminoasă emisă este dominată de emisia stimulată. Ca urmare a acestui fapt radiaţia emisă devine mai direcţională, mai coerentă şi spectrul său se prezintă sub forma unei sau unor linii foarte înguste.

Atât valoarea de prag a curentului cât şi spectrul sunt foarte sensibile la variaţiile de temperatură şi se pot modifica în funcţie de condiţiile mediului


înconjurător sau în timpul operării în impulsuri sau la valori mari ale puterii emise. Printre avantajele pe care le prezintă aceste dispozitive se numără aria emisivă mai mică decât a diodelor laser precum şi o frecvenţă de modulaţie utilizabilă mai mare.

Pentru fabricarea diodelor LED se utilizează semiconductoare de tip GaAsP sau GaP dopate cu N sau ZnO (fig. 10. 13).

Fig. 10. 13. Schema unei diode LED.

Deşi puterea unei diode LED de tipul celor prezentate creşte cu 50% la creşterea temperaturii de la 90 C la 100 C temperatura joncţiunii se menţine la 60 C 70 o C. Cu ajutorul diodelor LED se poate cupla o radiaţie luminoasă cu puterea de câţiva W într-o fibră optică având diametrul de 50

o o

o ÷μ μm şi o apertură

numerică de 0,17. Pentru a transforma diodele emiţătoare de lumină în lasere trebuie ca inversia de populaţie să atingă valoarea de prag, iar pe feţe să fie adăugate oglinzi.

10.4. Fabricarea dispozitivelor cu heterojoncţiuni Există mai multe tehnici de fabricare a dispozitivelor cu heterojoncţiuni:

epitaxia în fază lichidă, epitaxia în fază gazoasă, epitaxia prin jet molecular, depunerea chimică a vaporilor organo-metalici etc.

Epitaxia în fază lichidă (Liquid Phase Epitaxy-LPE)) este tehnica cea mai de utilizată şi pe baza acesteia au fost realizate primele lasere cu dublă heterostructură. În cazul acestei metode materialul care urmează a fi depus este introdus într-o cuvă (de grafit) cu solvent (de exemplu Ga pentru GaAs/GaAlAs) şi apoi într-un cuptor la o temperatură corespunzătoare echilibrului lichid-solid al

soluţiei ( )C 850~ o . Scăzând lent şi controlat temperatura ( )min/C 2,0~ o prin deplasarea cuvei pe substrat se depune (cristalizează) un strat din materialul solventului a cărui grosime variază între câţiva mμ şi câţiva zeci, funcţie de variaţia temperaturii şi timpul în care se desfăşoară operaţia. Introducând succesiv substratul în mai multe soluţii se poate realiza o structură de tip sandvici a păturilor corespunzătoare heterojoncţiunii (fig. 10. 14).

Deşi această metodă este relativ simplă este destul de dificil controlul asupra reproductibilităţii în cazul când se depun mai multe straturi pe plăci

epitaxiale cu dimensiuni mai mari de câţiva cm . De asemenea, automatizarea acestor procese este destul de greu de realizat.

2


În cazul epitaxiei în fază gazoasă (Vapor Phase Epitaxy-VPE) straturile epitaxiale sunt depuse pe substrat în urma reacţiei cu vapori de halogenuri sau hidruri. Această metodă este utilizată în cazul unor structuri având suprafeţele de câţiva zeci de . Deşi este des utilizată pentru producerea structurilor de tip GaAsP, GaAs, a tranzistoarelor cu efect de câmp, această metodă nu poate fi extinsă la fabricarea GaAlAs, a heterostructurilor de tip GaAlAs/GaAs şi a celor abrupte pentru că în regiunea activă compoziţia gazelor nu poate fi schimbată brusc.

2cm

Fig. 10. 14. Reprezentarea schematică a epitaxiei în fază lichidă.

Epitaxia prin jet molecular (Molecular Beam Epitaxy-MBE) se aplică mai ales compuşilor de tipul (de exemplu, în cazul fabricării laserului cu GaAl/As/GaAs) şi constă în evaporarea separată a elementelor în ultravid în vederea obţinerii compoziţiei cerute pentru strat. Prin utilizarea acestei metode se

pot obţine straturi foarte subţiri având grosimi până la câţiva zeci de .

VIIIBA

oA

În cazul depunerii chimice a vaporilor organo-metalici (Metal-Organic Chemical Vapor Deposition-MOCVD) se utilizează vapori organometalici de tipul: trietil de galiu, , dietil de zinc ( 352HCGa ) ( )252HCZn

VIIIBA

pentru depunerea elementelor din grupa III şi a dopanţilor acestora precum şi vapori organometalici de tipul hidrurilor, , , pentru depunerea elementelor din grupa a V-a şi a dopanţilor acestora. Cu ajutorul acestei metode pot fi obţinute straturi subţiri pentru majoritatea compuşilor de tipul . În camera de reacţie la presiunea atmosferică sau mai mică cu 10% substratul plasat pe un suport de grafit

acoperit cu carbură de calciu este menţinut la temperatura de 500 C prin încălzire cu ajutorul unei bobine de inducţie de radiofrecvenţă (fig. 10. 15).

3AsH PH3 SH2

o

Pentru depunerea compuşilor amintiţi se utilizează un curent de hidrogen, rata de depunere fiind de m/h 5m/h 2 μμ ÷ . Cu ajutorul acestei metode se pot depune straturi de material foarte pur având grosimea de 20 nm sau mai mică.


10.5. Modularea direct prin curent a laserelor cu semiconductoare Una dintre cele mai importante aplicaţii ale laserelor cu semiconductori

este ca sursă optică în telecomunicaţiile optice. Modularea semnalului laser cu viteză mare în vederea obţinerii unor rate de informaţii ridicate este de mare importanţă tehnologică şi se poate realiza prin variaţia curentului de alimentare care produce variaţia puterii emise aproape instantaneu. Astfel, fasciculul de ieşire poate fi modulat în amplitudine până la frecvenţe de ordinul sutelor de MHz.

Fig. 10. 15. Reprezentarea schematică a metodei de depunere chimică a vaporilor organometalici.

10.5.1. Lasere cu semiconductoare cu gropi cuantice multimodale şi monomodale Laserele cu semiconductoare oscilează în cele mai multe cazuri

multimodal (fig. 10. 16 a) pentru că odată cu creşterea curentului de injecţie (pompajului) electronii, (care în mod natural fiind descrişi de statistica Fermi-Dirac nu pot ocupa mai mult decât o stare proprie) încep să ocupe şi stările adiţionale determinând lărgirea spectrului radiaţiei de recombinare (fig. 10. 16 b) şi posibilitatea oscilaţiei multimodale. Mecanismele care determină variaţia câştigului unui mod în prezenţa altora sunt depopularea selectivă a nivelurilor energetice şi oscilaţia populaţiilor [10.2], [10.4].

a) b)

Fig. 10. 16. Reprezentarea oscilaţiei : a) multimodale şi b) a spectrului radiaţiei de

recombinare pentru diferite valori ale curentului de injecţie, I .


În figura 10. 17 este prezentat spectrul multimodal al emisiei laser corespunzător heterostructurii cu gropi cuantice de tip InGaAs/GaAs/AlGaAs pentru opt valori ale curentului de injecţie, cel corespunzător pragului fiind ~16 mA. În cazul unei cavităţi de lungime care conţine un mediu activ cu indicele de refracţie distanţa dintre două moduri adiacente, poate fi

calculată diferenţiind relaţia

Ln λΔ

nmL

2λ

= , din care rezultă:

λλ+

λ−=

λ dd22

dd

2nLLm

, (10.33)

astfel că în cazul când este foarte mare m

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−

λ=λΔ

dd12

2

nn

nL. (10.34)

Fig. 10. 17. Spectrul de emisie al heterostructurii de tip InGaAs/InGaAsP pentru opt valori

ale curentului de injecţie, curentul corespunzător pragului ~16 mA.

În stare staţionară se poate calcula intensitatea modului sub forma:

( 1 2

2 -Q

Qg

I mmm

m

m Nm

m

βω

=β

ω−

= ) , (10.35)

Lasere cu semiconductoare

229

în care:

ω= mN

Qgmm

2 (10.36)

reprezintă excitaţia relativă. În telecomunicaţiile optice este necesar ca numărul de moduri să fie

limitat, adesea la un mod. Operarea monomodală stabilă se poate face utilizând: cavităţi cuplate, reacţia selectivă a frecvenţei, injecţia blocată şi geometria controlată a cavităţii.

Cuplajul cavităţilor se poate realiza în mai multe feluri: cavitate cuplată tăiată, cavitate cu oglindă externă, cavitate cuplată cu şanţ şi prin interferenţă în etalon integrat. Selecţia lungimii de undă într-un laser cu cavitate cuplată se poate face pe lângă controlul asupra curentului şi temperaturii prin: reţea externă, reflector Bragg distribuit şi reacţie distribuită.

11. LASERE ŞI AMPLIFICATORARE LASER INTEGRATE

11.1. Generalităţi asupra ionilor pământurilor rare

Fibrele şi ghidurile optice de undă fabricate în cristalele dopate cu ionii pământurilor rare (sau oxizii acestora) permit obţinerea unor tranziţii radiative care satisfac condiţiile necesare pentru emisia laser [11.1]-[11.5].

Prin doparea fibrelor optice cu ionii de Er +3 au fost fabricate amplificatoare laser (fibre optice amplificatoare), iar prin doparea ghidurilor optice

fabricate în Ti:LiNbO 3 , Si etc. cu ionii pământurilor rare (Nd +3 , Er +3 etc.) a fost posibilă integrarea monolitică a amplificatoarelor optice, laserelor, modulatoarelor, comutatoarelor cât şi a altor dispozitive active şi pasive prin implementarea acestora pe acelaşi substrat [11.5]-[11.21].

De asemenea, ţinând seama de proprietăţile electrooptice, acustooptice şi neliniare remarcabile ale LiNbO 3 , în combinaţie cu câştigul optic ridicat corespunzător ionilor pământurilor rare, este posibilă obţinerea unor noi dispozitive cum ar fi de exemplu: lasere care funcţionează în regim de comutare a pierderilor (Q-switched) sau de cuplare a modurilor (mode-locking), lasere acordabile, prin introducerea în cavitatea ghidului a unui filtru acustooptic sau electrooptic etc. 11.1.1. Configuraţia electronică a ionilor pământurilor rare Particularitatea acestei grupe de elemente este determinată de faptul că posedă un înveliş electronic profund, incomplet, corespunzător electronilor 4 f .

Configuraţia electronică a pământurilor rare este de forma ( ) 264Xe sf N sau

( ) 21 654Xe sdf N − ( )140÷=N , unde ( )Xe reprezintă configuraţia saturată a gazului rar, xenon. Ionizarea pământurilor rare în starea lor trivalentă (starea de oxid fiind cel mai des întâlnită în matrice cristaline) constă în a îndepărta de nucleu 2 electroni 6s slab legaţi şi 1 electron 4 f sau 5 d , rezultând în final

configuraţia fundamentală ( ) Nf4Xe . Electronii 4 f au energia mai mică decât

electronii 6255 ps de ( )Xe , care însă au întinderea spaţială a funcţiei de undă mai mică. Deci substratul electronic 4 f este protejat de influenţa câmpului cristalin de

către substraturile 6255 ps şi această ecranare reduce cuplajul fonon-ion. Acest fapt are ca rezultat apariţia unui ansamblu de tranziţii permise care

se manifestă în spectrele de absorbţie şi emisie printr-o mulţime de linii fine (cu

lărgimi de ordinul a câţiva cm 1− ) care caracterizează spectrele atomilor şi ionilor, mai ales în stare gazoasă decât în matrici cristaline, cristale metalice sau semiconductoare.

Lasere şi amplificatoare laser integrate

231

11.1.2. Nivelurile energetice ale ionilor pământurilor rare Numărul total de niveluri energetice care pot exista în cazul a N electroni

4 f este 414C , în cazul ionilor de Nd +3 acesta devenind 364 ( )3=N .

Numeroasele niveluri care corespund configuraţiei electronice Nf4 ne dau o idee despre tranziţiile posibile şi accesibile suferite de ionii pământurilor rare, care se pot afla într-un domeniu spectral ce se întinde trecând prin vizibil din domeniul ultraviolet îndepărtat până în domeniul infraroşu îndepărtat şi chiar microunde apropiat. Clasificarea nivelelor energetice poate fi făcută cu ajutorul regulilor cuplajului L-S (Russell-Saunders).

Câmpul cristalin distruge simetria sferică care caracterizează ionul liber (în fază gazoasă) şi ridică parţial degenerarea nivelurilor atomice dând naştere la

12 +j sau ( ) 212 /j + niveluri Stark, după cum numărul cuantic intern j ia valori intregi sau semiîntregi. Ţinând seama de paritate (regula lui Laporte) tranziţiile de dipol electric între diferite configuraţii sunt interzise. De fapt, acestea sunt posibile ca urmare a suprapunerii funcţiilor de undă a stărilor 4 f cu cele corespunzătoare

unei configuraţii excitate de simetrie opusă (mai ales df N 54 1− ). Cuplajul poate fi realizat atât din punct de vedere static prin intermediul

componentelor de simetrie impare ale câmpului cristalin când ionul se găseşte într-o poziţie care nu este centrosimetrică (cazul LiNbO 3 ), cât şi dinamic, de componentele de simetrie impare ale vibraţiilor cristalului pentru o poziţie centrosimetrică a ionului (cazul matricei Y 3 Al 5 O12 sau YAG). Deşi acest cuplaj este slab, tranziţiile de dipol electric au fost observate experimental şi le domină pe cele de dipol magnetic care sunt permise de regulile de selecţie.

Mediile active care sunt dopate cu ionii de Nd +3 diferă de cele dopate cu

ionii Er +3 prin proprietăţile sistemelor laser cărora le aparţin, cu patru şi respectiv cu trei niveluri energetice. 11.2. Fibre optice amplificatoare

Modelarea amplificării optice în fibrele dopate cu ioni de Er +3 se bazează pe teoria electromagnetismului, mecanica cuantică şi fizica laserelor. Fibrele optice dopate cu ioni de Er reprezintă un sistem care combină caracteristicile unui laser monomodal integrat cu cele ale unui laser având ca mediu activ sticla dopată cu

ionii de Er +3 [11.1]. 11.2.1. Ecuaţiile ratelor pentru radiaţiile de pompaj şi semnal

Fibra optică dopată cu ioni de Er +3 şi excitată cu o radiaţie având lungimea de undă λ =1480 nm, lungimea de undă a radiaţiei laser fiind λ =1530 nm, (foarte des utilizată în telecomunicaţiile optice) poate fi considerată ca fiind un mediu activ cu trei niveluri energetice (fig. 3. 1). Pe baza modelului

OPTICĂ INTEGRATĂ

232

teoretic prezentat în lucrarea [11.5] ecuaţiile ratelor corespunzătoare populaţiilor celor trei nivele energetice sunt de forma:

( ) 332313 NANNR

tN

−−=d

d, (11.1)

3322212211122 NANANWNW

tN

+−−=d

d, (11.2)

( ) 221112221131 NANWNWNNR

tN

+−+−=d

d, (11.3)

în care: ( )3 2, ,1 =iNi reprezintă populaţiile celor trei nivele, RRR == 3113 este rata de pompaj de pe nivelul 1 pe nivelul 3, 21W este rata de emisie indusă şi respectiv 12W de absorbţie (ambele fiind proporţionale cu numărul de fotoni),

ijij A

1=τ sunt constantele de timp de relaxare spontană între nivelurile i şi j

(timpul de relaxare 31τ este suficient de mare astfel încât termenul corespunzător se poate neglija, iar nivelul 2 este metastabil). În scrierea ecuaţiilor (11.1)-(11.3) nu

s-a ţinut seama de excitarea ionilor de Er +3 de pe nivelul metastabil pe un al patrulea nivel energetic în urma absorbţiei radiaţiilor de pompaj sau semnal.

Fig. 11. 1. Diagrama nivelurilor energetice corespunzătoare ionului de +3Er despicate prin efect Stark.

Întrucât

0321 NNNN =++ , (11.4)


233

0N reprezentând numărul total de ioni din mediul activ, se poate scrie că:

0d

dd

dd

d 321 =++t

Nt

Nt

N. (11.5)

Considerând că rata tranziţiilor neradiative 32A este mult mai mare decât

cea de pompaj, R ( )RA >>32 , în cazul staţionar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 0

tNid

d din ecuaţiile

(11.1)-(11.4), rezultă:

τ+τ+τ+τ+

=1221

2101 1

1WWR

WNN , (11.6)

τ+τ+τ+τ+τ

=1221

1202 1 WWR

WRNN , (11.7)

unde 21/1 A=τ este timpul de viaţă de fluorescenţă. În cazul când nivelurile energetice individuale sunt despicate prin efect

Stark, cum se întâmplă şi în cazul ionilor de Er +3 (fig. 11. 1) ( )[ ]

( )[ ]nnmng

mBm

Bnmnm NpN

TkEE

TkEENn

=

−

−=

∑=1

1 /exp

/exp, (11.8)

unde ng reprezintă degenerările nivelurilor, iar nmp defineşte distribuţia Boltzmann (probabilitatea de ocupare a subnivelurilor).

Introducând ratele totale de pompaj, RR == ∑∑

j ljlj pR 113 , RR == ∑∑

j lllj pR 331 , (11.9)

de emisie indusă,

∑∑=j k

lkj pW 221W , (11.10)

de absorbţie, ∑∑=

j kjkj pW 112W , (11.11)

şi respectiv emisie spontană ∑∑=

j kkkj pA 221A , (11.12)

ecuaţiile (11.1)-(11.3), devin:

( ) 332313 NNN

tN

AR −−=d

d, (11.13)

OPTICĂ INTEGRATĂ

234

3322212211122 NNNN

tN

AAWW +−−=d

d, (11.14)

( ) 221112221131 NNNNN

tN

AWWR +−+−=d

d, (11.15)

unde

nm

nnmm

nm NNpN == ∑∑ . (11.16)

Pentru a lua în considerare efectul de confinare al luminii se consideră că

ionii de Er +3 au o distribuţie radială, adică: ( )rNN 00 = .

Dacă un semnal coerent având intensitatea sI (puterea pe arie) şi lungimea de undă sλ parcurge un mediu activ de grosime zd cu populaţiile 1N pe nivelul fundamental şi respectiv 2N pe nivelul excitat intensitatea acestuia variază după legea [11.1], [11.4]:

( ) ( ){ } zINNI ssss dd 112221 λσ−λσ= (11.17) unde ( ) ( )sas λσ=λσ12 şi ( ) ( )ses λσ=λσ21 reprezintă secţiunile eficace de absorbţie şi respectiv emisie. Considerând că semnalul este ghidat într-o fibră monomodală, acesta este cuplat într-un mod care are o distribuţie spaţială finită în planul transversal al fibrei, iar anvelopa modului este definită de funcţia ( )ϕψ ,r , ( )ϕ,r reprezentând coordonatele cilindrice transversale, z fiind coordonata longitudinală. Distribuţia intensităţii semnalului, ( )ϕ,rI s în planul transversal al fibrei cu secţiunea, S poate fi definită cu ajutorul puterii cuplate într-un mod, sP sub forma:

( ) ( )( )∫ ϕϕψ

ϕψ=ϕ

Ss

sss rrr

rPrIdd,

,, (11.18)

în care: ( )∫ ϕϕ=S

ss rrrIP dd, .

Pe baza celor prezentate rata puterii optice corespunzătoare semnalului ghidat într-un mod devine:

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ϕϕψϕ−ϕληλσ= ∫ dddd rrrrNrNP

zP

Sssssa

s ,,, 12 (11.19)

unde

( ) ( )( )sa

ses λσ

λσ=λη , (11.20)


235

( ) ( )( )∫ ϕϕψ

ϕψ=ϕψ

Ss

ss rrr

rr

dd,,

, (11.21)

reprezintă anvelopa normalizată a modului corspunzător semnalului. Cu ajutorul relaţiei (11.21) se poate defini raza modului puterii, sω sub forma:

( ) ( )2/12/1

2,1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ψ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕϕψ

π=ω ∫∫

Ss

Sss rrrrrr ddd . (11.22)

În cazul unui mod 11HE corespunzător semnalului raza modului puterii (relaţia (11.22)) devine [11.1]:

( )( ) ( )UJWUKWVKas 0

0

1=ω , (11.23)

unde a este raza miezului fibrei, V este frecvenţa normalizată, WU , sunt parametrii valorilor proprii, iar 1,00 , KJ sunt funcţiile Bessel care descriu modul. În aproximaţia gaussiană

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω−=ψ 2

2exp

ss

rr , (11.24)

iar raza modului puterii, sω corespunde distanţei la care ( )rsψ scade la e1

.

Aplicând cele prezentate în cazul radiaţiei de pompaj cu lungimea de undă pλ rata puterii optice corespunzătoare pompajului ghidat, pP în modul

fundamental al fibrei devine:

( ) ( ) ( ) rrrrNPz

P

Spppa

p dd

d∫ ψπλσ= 12 (11.25)

unde ( )rpψ reprezintă profilul normalizat al modului pompajului.

11.2.2. Amplificarea emisiei spontane Generarea zgomotului în amplificatoarele optice este determinată de dezexcitările spontane ale atomilor, ionilor, moleculelor care formează mediul activ. Fotonii rezultaţi în urma tranziţiilor spontane pe nivelul fundamental nu prezintă proprietăţi de coerenţă la fel ca cei corespunzători semnalului incident şi respectiv cei care sunt emişi stimulat. Aceşti fotoni sunt amplificaţi în fibră (amplificarea emisiei spontane-Amplified Spontaneous Emission-ASE) generând un zgomot care se adaugă semnalului.

OPTICĂ INTEGRATĂ

236

Numărul de fotoni emişi spontan, ( )νnd în elementul de volum

zV s dd 2πω= din mediul activ în direcţia de propagare pozitivă z având frecvenţa cuprinsă în intervalul νΔ+νν, este dat de relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ϕϕψϕπ

ΔΩδνν=ν ∫ ddd rrrrNgAn s

S,,

4 221 (11.26)

în care:

( ) ( )2

28

s

engλ

ντσπ=ν (11.27)

caracterizează forma liniei spectrale, iar πΔΩ 4/ reprezintă fracţiunea din lumina emisă spontan care captată de fibră. Unghiul solid, ΔΩ poate fi definit ca şi în cazul radiaţiei corpului negru sub forma:

22

2

s

s

n ωπ

λ=ΔΩ , (11.28)

în care: n este indicele de refracţie al mediului. Pe baza celor prezentate puterea corespunzătoare emisiei spontane esP este dată de relaţia:

( )νν= nhPes d , (11.29) iar rata puterea corespunzătoare emisiei spontane devine:

( ) ( ) ( ) ϕϕψϕνσ= ∫ ddd

d rrrrNPz

Ps

Se

es ,,2 20 , (11.30)

unde νΔν= hP0 reprezintă puterea corespunzătoare unui foton emis spontan în banda δν fiind echivalentă unui zgomot la intrare. Ţinând seama de amplificarea emisiei spontanea, ecuaţia care descrie amplificarea semnalului şi a zgomotului generat în urma emisiei spontane (relaţia (11.19)) devine:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } ( ) rrrrNPPrNzP

Ssssssa

s ddd

∫ ψϕ−+λληπλσ= ,22 102 . (11.31)

Relaţiile (11.1)-(11.3) (sau (11.13)-(11.15)), (11.25) şi (11.31) stau la baza modelării amplificării optice în fibrele optice şi, în general, se rezolvă numeric pentru diferite profiluri ale indicelui de refracţie, pompajului şi semnalului.

11.3. Lasere integrate 11.3.1. Dispozitive active integrate dopate cu neodim

Printre primele dispozitive active integrate fabricate în ghiduri optice de undă având ca substrat niobatul de litiu (LiNbO 3 ) dopat cu neodim se numără laserele care operează la lungimea de undă sλ =1,08 μm şi amplificatoarele laser.


237

În cazul laserului s-a obţinut o putere de aproximativ 14 mW, iar pentru amplificator un câştig de 7,5 dB [11.2]. Funcţionarea acestor dispozitive se bazează pe proprietăţile laser foarte

bune ale ionilor de Nd +3 care determină emisia stimulată la sλ =1080 nm în cazul

considerării dispozitivului ca un sistem cu patru niveluri. Matricea de LiNbO 3

modifică prin câmpul cristalin specific niveluri energetice ale ionului de Nd +3 .

Cunoscând datele spectroscopice obţinute în urma măsurării spectrului de absorbţie şi fluorescenţă în configuraţia de ghid optic de undă şi ţinând seama de valorile celorlalţi parametri care caracterizează ghidurile este posibilă elaborarea unui model teoretic de evaluare a puterii de prag (în cazul funcţionării dispozitivului ca laser) şi respectiv câştigului (în cazul funcţionării dispozitivului ca amplificator laser) în vederea comparării acestora cu rezultatele obţinute experimental [11.2]- [11.16].

Niveluri de energie ale ionului de Nd3+ . Ionii de Nd +3 substituie cu

aceeaşi probabilitate ionii de Li+ şi respectiv de Nb +3 în reţeaua LiNbO 3 generând un spectru de fluorescenţă format din linii care au o structură de dublet în urma tranziţiilor din stările excitate (fig. 11. 2).

Fig. 11. 2. Schema nivelurilor energetice ale ionului de Nd +3 în reţeaua LiNbO 3 .

Câmpul cristalin al LiNbO 3 (care prezintă o simetrie axială) produce o

despicare a nivelurilor energetice ale celor patru electroni 4 f ai ionilor de Nd +3 prin efect Stark, termenul cu momentul cinetic total j despicându-se într-un multiplet cu ( ) 212 /j + linii dublu degenerate. Ionii de Nd +3 introduşi în reţeaua LiNbO 3 prezintă o bandă largă de absorbţie in jurul lungimii de undă

OPTICĂ INTEGRATĂ

238

≈λ p 815 nm (corespunzătoare tranziţiei 5/24

9/24 F I → ) permiţând efectuarea

pompajului cu ajutorul diodelor laser de tip AlGaAs.

Spectrul de absorbţie al Nd +3 :LiNbO 3 (Nd având o concentraţie de

0,2 % corespunzătoare unei valori de -319 cm 1015,4 ×≈ ) prezintă un coeficient de

absorbţie maxim de 3,7 -1cm în polarizarea π , astfel încât mai mult de 97 % din radiaţia de pompaj este absorbită într-o probă de 1 cm (fig. 11. 3) [11.2].

Fig. 11. 3. Spectrul de absorbţie în polarizarea π ( IIEr

axa z a cristalului) a unei probe de

Nd +3 :Mg:LiNbO 3 într-un cristal de 11,3 mm lungime (*) şi respectiv într-un ghid optic obţinut prin schimb protonic (°).

Prin doparea cu MgO pentru a reduce pierderile optice spectrul de

absorbţie nu se modifică prea mult. Structura fină apare din cauza tranziţiilor între diferite subniveluri ale nivelurilor despicate prin efect Stark. Din analiza spectrului de fluorescenţă ghidată în cele două regiuni (care nu diferă prea mult de cel obţinut în cristal) se observă că maximul principal se obţine în polarizarea π ( II E

r cu axa

z a cristalului) determinând o valoare ridicată a secţiunii de emisie care facilitează oscilaţia laser pentru această polarizare. În figura 11. 4 este prezentat spectrul de fluorescenţă al unui ghid optic de

tip canal obţinut prin difuzia Ti în Nd +3 :Mg: 3LiNbO în jurul valorii

sλ =1,08 μm (corespunzătoare tranziţiei 11/24

3/24 I F → (fig. 11. 4 a)) şi

respectiv sλ =1,38 μm (corespunzătoare tranziţiei 13/24

3/24 I F → (fig. 11. 4 b))

în urma excitării cu o diodă laser cu ≈λ p 815 nm.

Timpul de viaţă de fluorescenţă pentru sλ =1,08 μm (corespunzătoare

tranziţiei 11/24

3/24 I F → ) în cazul ghidurilor obţinute prin difuzia Ti în

Nd:Mg:LiNbO 3 are valoarea τ=98 μ s, iar în cazul celor obţinute prin schimb protonic τ=109 μ s, aceste valori fiind cu ceva mai mici decât în cazul celui obţinut în cristal, τ=120 μ s.


239

Modelarea funcţionării laser în ghidurile optice de tip LiNbO 3 dopate

cu Nd +3 . Pentru a modela funcţionarea laser în ghidurile oprice de tip LiNbO 3 dopate cu neodim se consideră o diagramă energetică simplificată (fig. 11. 5) în care se neglijează despicările Stark ale nivelurilor energetice. În aceste condiţii se poate considera că laserul funcţionează ca un sistem cu patru nivurile energetice, pompajul efectuându-se cu o radiaţie având ≈λ p 815 nm, iar emisia laser se

obţine pentru sλ =1,08 μm.

Fig. 11. 4. Spectrul de fluorescenţă al unui ghid de Nd +3 :Mg:Ti:LiNbO 3 excitat cu

o diodă laser ( 815≈λp

nm).

Starea fundamentală 1 corespunde nivelului energetic 9/24I , iar banda de

pompaj 4 nivelului 5/24 F . Tranziţia laser are loc între stările excitate 3 şi 2 care

corespund nivelelor 3/24 F (metastabil) şi respectiv 11/2

4 I . Ecuaţiile ratelor pentru populaţiile celor patru nivurile energetice se scriu sub forma:

( ) 44341144

dd

NANNRt

N−−= (11.32)

44333233

dd

NANANWt

Ne +−−= (11.33)

22133232

dd

NANANWt

Ne −+= (11.34)

( ) 22141141

dd

NANNRt

N+−−= (11.35)

OPTICĂ INTEGRATĂ

240

în care: iN ( )41÷=i sunt densităţile de populaţie corespunzătoare nivelurilor energetice i caracterizate de timpii de viaţă iτ , 14R este rata de pompaj, ijA sunt

ratele tranziţiilor spontane, iar eW este rata tranziţiei stimulate de pe nivelul 3 pe nivelul 2. În scrierea ecuaţiilor de rată s-a neglijat absorbţia rezultată în urma tranziţiilor de pe nivelul 2 pe nivelul 3, ţinând seama că rata de tranziţie 21A are valoare mare ca rezultat al unei densităţi mici de populaţie 2N .

Fig. 11. 5. Diagrama simplificată a nivelurilor energetice în cazul unui laser integrat de tip LiNbO 3 dopat cu neodim.

Considerând o rată de tranziţie 43A mare, în ecuaţiile (11.33) şi (11.33) se poate aproxima diferenţa de populaţie ( )21 NN − cu 1N . În regim de stare staţionară toate derivatele de ordinul întâi fiind zero, se obţine relaţia: 221443114 NANANR == . (11.36) Înlocuind termenul 114NR în relaţiile (11.32)-(11.35) se obţine pentru regimul de stare staţionară relaţia: 11433230 NRNANWe +−−= . Pe baza aproximaţiilor făcute se poate considera că densitatea de populaţie totală 0N

(corespunzătoare concentraţiei dopantului Nd +3 ) poate fi aproximată cu 310 NNN += , astfel că densităţile de populaţie ale nivelurilor fundamental (1) şi

excitat (3) devin:

1432

32

0

1RAW

AWNN

e

e++

+= (11.37)

1432

14

0

3RAW

RNN

e ++= . (11.38)

În relaţiile (11.37), (11.38)

( ) ppap hzyxIR νσ= /,,14 (11.39)

( ) ssese hzyxIW νσ= /,, (11.40)

332 /1 τ=A (11.41)


241

sunt ratele de tranziţie de pompaj, de emisie stimulată şi respectiv spontană, ( ) ( ) ( )zpyxpPI pp ,00= (11.42)

( ) ( ) ( )zsyxsPI ss ,00= (11.43)

sunt intensităţile modurilor pompajului şi semnalului [11.2], iar apσ şi e

sσ

reprezintă secţiunile eficace de absorbţie şi emisie stimulată. pν şi sν sunt

frecvenţele radiaţiei de pompaj şi semnalului, iar h constanta Planck. Distribuţiile intensităţilor sunt normalizate printr-o integrare pe suprafaţa secţiunii ghidului de undă: ( ) ( ) 1,, 00 == ∫∫ AyxsAyxp dd . (11.44)

În relaţiile (11.33) şi (11.34) ( )0pP şi ( )0sP reprezintă puterile

radiaţiilor de pompaj şi respectiv laser la intrarea în ghid, evoluţia acestora de-a lungul direcţiei de propagare fiind descrisă de termenii ( )zp şi ( )zs care verifică condiţiile la limită ( ) ( ) 100 == sp [11.2]. Pentru a simplifica scrierea ecuaţiilor se introduce parametrul de saturaţie:

sat

p

II

R =τ 143 (11.45)

unde intensitatea corespunzătoare saturaţiei este dată de relaţia:

ap

psat

hI

στ

ν=

3. (11.46)

Astfel, expresiile densităţilor de populaţie corespunzătoare celor două niveluri devin:

0143

1 11 N

RN

τ+= (11.47)

0143

1433 1

NR

RN

τ+τ

= . (11.48)

Evoluţia intensităţii radiaţiei de pompaj de-a lungul ghidului optic este descrisă de ecuaţia:

pappp

p INIz

I1

~d

dσ−α−= (11.49)

în care: pα~ reprezintă pierderile datorită fenomenului de împrăştiere.

Înlocuind expresia densităţii de populaţie 1N dată de relaţia (11.47) în ecuaţia (11.49) ca rezultat al integrării acesteia din urmă şi ţinând seama de condiţia de normare a distribuţiei de moduri (relaţia (11.44)) se obţine:

( ) ( ) ( )( ) ( )zpA

zyxRyxpyxNzp

zp a

pp ×τ+

σ−α−= ∫ d,,1

,,~dd

143

00 . (11.50)

OPTICĂ INTEGRATĂ

242

În general, ecuaţia diferenţială (11.20) nu poate fi integrată decât numeric. Cu toate acestea, se obţine o soluţie analitică în cazul când intensitatea radiaţiei de pompaj este scăzută şi se poate descrie astfel câştigul mic al amplificării şi respectiv funcţionarea laserului la pragul de oscilaţie. Considerând o intensitate de pompaj scăzută parametrul de saturaţie 143Rτ poate fi neglijat în numitorul ecuaţiei (11.50) ( )1143 <<τ R astfel că aceasta poate fi scrisă sub forma:

( )zpzp

pα−=dd

(11.51)

în care: efppp ,

~ α+α=α , (11.52)

( ) ( ) AyxpyxNN ap

pef

apefp d,, 00, ∫σ=σ=α . (11.53)

Presupunând că ( ) const.== 00 , NyxN se obţine 0, Napefp σ=α .

Cu aceste aproximaţii, şi admiţând că ( ) 10 =p , ecuaţia (11.51) are soluţia de forma: ( ) ( ) ( ) ( )zzpzp pp α−=α−= expexp0 . (11.54)

În cazul unei intensităţi scăzute a radiaţiei de pompaj scăderea exponenţială a acesteia (11.54) este determinată de suma dintre coeficientul de pierderi la împrăştiere pα~ şi coeficientul de absorbţie efectiv al modului efp,α

în timp ce în cazul unei intensităţi ridicate a radiaţiei de pompaj scăderea acesteia este influenţată de saturarea absorbţiei datorită depopulării puternice a stării fundamentale şi coeficientul 143Rτ trebuie luat în considerare în ecuaţia (11.54). În mod analog cu radiaţia de pompaj, evoluţia semnalului (pentru câştig mic) este descrisă de ecuaţia:

sesss

s INIz

I3

~dd

σ+α−= . (11.55)

Înlocuind expresia densităţii de populaţie 3N şi a distribuţiei intensităţii semnalului sI în urma integrării ecuaţiei (11.55) pe secţiunea transversală eficace a ghidului se obţine pentru funcţia de câştig ( ) ( )[ ]zszg ln= ecuaţia:

( ) ( ) ( ) ( )( ) A

zyxRzyxR

yxsyxNzs

zszg e

ss d,,1

,,,,~/dd

dd

143

14003 τ+

τσ+α−== ∫ . (11.56)

Întrucât rata de pompaj 14R depinde de ( )zp , trebuie determinată mai întâi evoluţia radiaţiei de pompaj din ecuaţia (11.50). După aceea, evoluţia semnalului poate fi determinată prin rezolvarea numerică a ecuaţiei (11.56). O soluţie analitică aproximativă poate fi găsită în cazul unei intensităţi scăzute a radiaţiei de pompaj prin neglijarea termenului 143Rτ în numitorul


243

ecuaţiei (11.56). Înlocuind soluţia corespunzătoare intensităţii scăzute a radiaţiei de pompaj (11.41) în relaţia (11.56) se obţine următoarea ecuaţie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zPAyxpyxsyxNIz

gpp

sat

es

s α−×σ

+α−= ∫ exp0d,,,~dd

000 . (11.57)

Prin integrarea ecuaţiei (11.57) se obţine soluţia:

( ) ( )[ ] ( )01 ppss PzCzzg α−−+α−= exp~ (11.58)

unde

( ) ( ) ( ) AyxpyxsyxNI

Csatp

es

s d,,, 000∫ασ

= . (11.59)

Se obţine câştig pozitiv la intrarea în ghid (de exemplu, pentru 1<<α zp ) dacă puterea ( )0pP la intrarea în acesta este mai mare decât o

valoare critică, ( )0cpP , corespunzătoare pierderilor semnalului prin împrăştiere

care sunt descrise de termenul zsα~ :

( )( ) ( ) ( ) AyxpyxsyxN

IC

P es

sats

sp

scp

d,,,

~~0

000∫σ

α=

αα

= . (11.60)

În cazul când ghidul prezintă o concentraţie omogenă a dopantului ( )( )const.00 , == NyxN puterea critică poate fi scrisă sub forma:

( )( ) ( ) AyxpyxsN

hP s

es

ap

pcp d,,

~.0

0003 ∫α

σστ

ν= . (11.61)

Primul factor al relaţiei (11.31) este determinat de proprietăţile materialului, iar cel de-al doilea de distribuţia modului şi respectiv a concentraţiei dopantului, ambele putând fi ajustate şi optimizate. Pentru ca radiaţia să fie

amplificată eficient (de exemplu, pentru a reduce ( )0cpP cât mai mult posibil)

trebuie obţinute ghiduri optice de undă cu pierderi mici, secţiune transversală eficace cât mai mică şi o suprapunere cât mai bună între distribuţia modului şi cea a dopantului (Nd în cazul de faţă). Mărimea1/ ( ) ( )( )∫ Ayxpyxs d,, 00 poate fi

interpretată ca o arie efectivă de pompaj efA pentru o anumită concentraţie

omogenă a dopantului:

efsatp

eso

s AN

IC 0.

ασ

= . (11.62)

Aşa cum se poate observa din relaţia (11.58) există o lungime optimă a ghidului optl dată de relaţia:

OPTICĂ INTEGRATĂ

244

( )( )⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

α−=

00

ln1

p

cp

popt P

Pl (11.63)

pentru care câştigul are o valoare maximă:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]0000

ln~

maxcpps

p

cp

p

sopt PPC

PP

lgg −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

αα

== . (11.64)

În cazul unui ghid optic de undă de tip canal Nd:Mg:LiNbO 3O obţinut prin schimb protonic evoluţia câştigului (pentru puteri de pompaj scăzute

( )0pP =0; 1; 5 mW) rezultat prin integrarea numerică a ecuaţiei (11.56) precum şi

pentru o soluţie analitică aproximativă este prezentată în figura 11. 6. Pentru evaluarea câştigului s-au folosit următoarele valori ale parametrilor:

, Wcm105,2 ,cm 7,3 ,cm 107,1 241,

219 −−− ×==α≈α×=σ satefppes I

,cm 0924,0~ , W215 ,m 35,cm 1015,4 1123190

−−− =α=μ=×= somsef CAN

( ) 2203 cm1098 ,s109 ,W1140 , τ P a

pcp

−×=σμ=μ= .

Aşa cum se poate observa şi din figura 11. 6 în care este prezentată dependenţa câşţigului de puterea cuplată în ghid pentru radiaţia de pompaj sunt necesare puteri mai mari de 2 mW.

Câştigul creşte rapid cu creşterea puterii radiaţiei de pompaj determinând o lungime optimă a ghidului care depinde de nivelul puterii de pompaj. Peste această lungime optimă puterea radiaţiei de pompaj este absorbită în întregime, mărirea în continuare a lungimii ghidului nemaiputând determina o nouă creştere a câştigului.

Fig. 11. 6. Evoluţia câştigului pentru diferite valori ale puterii de pompaj ( ( )0pP = 0; 1; 5

mW) într-un ghid optic de undă de tip canal Nd:Mg:LiNbO 3 obţinut prin schimb protonic; curba continuă corespunde rezultatelor obţinute prin integrarea numerică a ecuaţiei

(11.56), iar cea întreruptă soluţiei analitice aproximative a ecuaţiei (11.58).


245

Din contră, mărind în continuare lungimea ghidului câştigul se micşorează datorită pierderilor la propagare a semnalului; deci lungimea optimă poate fi definită ca lungimea minimă a ghidului pentru care se obţine amplificarea semnalului.

Evaluarea teoretică a caracteristicilor de prag ale laserelor integrate de tip Nd +3 :LiNbO 3 . Pe baza modelului teoretic prezentat la paragraful 11.3.1., s-a demonstrat posibilitatea amplificării optice într-un ghid optic de undă.

Până în prezent pentru fabricarea rezonatorului unui laser integrat cel mai des s-au folosit oglinzile dielectrice depuse în vid pe cele două feţe de ieşire polizate ale ghidului optic activ (fig. 11. 7).

Fig. 11. 7. Câştigul la semnal mic ( sλ =1,084 μm) în cazul unui ghid (canal) de 5,9 mm

lungime în funcţie de puterea cuplată în ghid ≈λ p 815 nm. Curba continuă corespunde

rezultatelor teoretice obţinute prin integrarea numerică a ecuaţiei (11.56). Radiaţia de pompaj (având λ =0,814 μm, de exemplu) este cuplată la una din extremităţile ghidului şi este în mare parte absorbită de-a lungul acestuia. Cele două oglinzi (având reflectivităţile 1R şi 2R ) sunt depuse direct la cele două capete, una dintre acestea fiind transparentă (pentru radiaţia cu λ =814 nm, iar cealaltă pentru radiaţia având λ =1,084 μm (fig. 11. 8)).

Fig. 11. 8. Schema unui laser ghidat de tip Nd +3 :LiNbO 3 .

OPTICĂ INTEGRATĂ

246

Modelul teoretic prezentat anterior în cazul unui pompaj cu intensitate

scăzută poate fi utilizat pentru evaluarea puterii de pompaj la prag ( )0ppP a unui

oscilator laser integrat precum şi pentru evaluarea eficienţei caracteristicilor laserului iη . Pentru aceasta se consideră că pierderile prin transmisie

( )21ln RR−=δ (11.65) ale unei cavităţi de lungime l având depuse la capete două oglinzi cu reflectivităţile

21, RR corespunzătoare semnalului optic sunt compensate în urma unei treceri prin cavitate de câştigul optic. Deci câştigul la prag ( )lg p este fixat de pierderi

prin intermediul relaţiei: ( ) δ=lg p2 . (11.66)

Înlocuind condiţia (11.66) în relaţia care dă câştigul (11.58) se poate obţine puterea de pompaj la prag sub forma:

( ) ( )[ ]lCl

Pps

spp α−−

α+δ=

exp1

~2/0 . (11.67)

Considerând o dopare omogenă a ghidului cu ionii de Nd +3 având concentraţia 0N în substrat şi de asemenea că pierderile prin împrăştiere ale modului de pompaj sunt mici se poate face următoarea aproximaţie:

0,,~ Na

pefpefppp σ=α≈α+α=α , (11.68)

iar relaţia (11.67) devine:

( ) ( )[ ]lAlh

Pefp

efes

ppp

,3 exp1.

20

α−−στ

ν= (11.69)

unde lst α+δ=δ ~2 (11.70)

reprezintă pierderile totale la o trecere prin cavitate. Întrucât

( ) ( )[ ]lP efpp

p ,exp10 α−− reprezintă puterea absorbită la prag pabspP , relaţia

(11.69) mai poate fi scrisă sub forma:

eft

es

ppabsp A

hP

2.

3,

δ

στ

ν= . (11.71)

În relaţia (11.71) primul factor este determinat numai de proprietăţile

materialului (Nd +3 :LiNbO 3 ) în timp ce al doilea reflectă proprietăţile ghidului şi respectiv ale cavităţii. Diferenţa cea mai importantă faţă de laserele care au ca

medii active bare de sticlă sau de YAG dopate cu ioni de Nd +3 este că în cazul laserelor integrate aria efectivă de pompaj efA poate fi făcută foarte mică.


247

În cazul real trebuie considerate şi pierderi la împrăştiere adiţionale care măresc pierderile totale la un drum dus-întors prin cavitate tδ . Cu toate acestea, laserele integrate care au o putere de prag mică pot fi pompate cu ajutorul unei diode laser. În apropierea pragului, puterea laserului la ieşire este funcţie liniară de puterea de pompaj absorbită. Pentru o singură faţă de ieşire, randamentul diferenţial intern corespunzător pompajului laser ηi este definit cu ajutorul relaţiei:

p

s

tpcp

abspabsp

si h

h

PP

Pνν

δηη=

−=η .2

,,

(11.72)

în care: sP reprezintă puterea semnalului, pη este eficienţa cuantică de pompaj

(probabilitatea ca un foton de pompaj absorbit să creeze un ion excitat), iar

( ) ( )[ ]( ) ( )∫∫

∫∫=ηAyxsyxp

Ayxsyxpc

d,,

d,,200

200

. (11.73)

Ţinând seama că la prag 1≈pabspabsp PP ,, / , relaţia (11.72) poate fi

aproximată sub forma:

s

p

t

ii

Rλ

λ

δ−

=η .1

, i =1, 2. (11.74)

În relaţia (11.44) primul termen reprezintă raportul dintre fracţiunea ii RT −=1 ( i =1, 2) corespunzătoare puterii interne cuplate la ieşire şi pierderile

totale la un drum dus-întors prin cavitate tδ , iar al doilea factor este un raport între energiile fotonului semnalului şi respectiv radiaţiei de pompaj.

În caz contrar 1>>pabspabsp PP ,, / şi se poate face aproximaţia

absabspabs PPP ≈− , , iar relaţia (11.74) devine

p

s

t

ii h

hTνν

δ=η . . (11.75)

Determinarea experimentală a caracteristicilor de putere ale laserelor

integrate de tip Nd +3 :LiNbO 3 . Funcţionarea laserelor integrate de tip

Nd +3 :LiNbO 3 a fost pusă în evidenţă pentru prima dată în anul 1989 de către Lalier şi colaboratorii [11.6]. Ghidul optic de undă de tip canal

Nd +3 :MgO:LiNbO 3 tăiat după axa X conţine 0,22 % Nd +3 şi 0,3 mol % MgO şi a fost obţinut prin schimb protonic. Doparea cu MgO produce micşorarea pierderilor în ghid şi permite funcţionarea mai bună a laserului în regim continuu într-un singur mod transversal.

OPTICĂ INTEGRATĂ

248

Montajul experimental utilizat pentru măsurarea caracteristicilor de putere

a laserului de tip Nd +3 :LiNbO 3 este prezentat în figura 11. 9.

Fig. 11. 9. Schema dispozitivului experimental utilizat pentru măsurarea caracteristicilor de putere a laserelor integrate.

Laserul ghidat de tip Nd +3 :LiNbO 3 a fost pompat cu ajutorul unui laser cu colorant, iar detecţia a fost făcută cu un detector cu germaniu sau cu o cameră CCD [11.5]. Într-un astfel de ghid de 12 mm lungime şi având celelalte caracteristici constructive prezentate în lucrarea [11.5] 91 % din puterea de pompaj cuplată a fost absorbită. Ţinând seama de valorile reflectivităţilor oglinzilor (90 %) şi a pierderilor totale din cavitate tδ =0,525 se poate calcula cu ajutorul relaţiei

(11.71) puterea de pompaj la prag obţinându-se valoarea pabspP , =1,34 mW.

Acestă valoare este foarte apropiată de cea măsurată experimental, aşa cum se poate vedea din figura 11. 9 în care este prezentată dependenţa puterii laserului la ieşire eP de puterea cuplată în ghid cP . De asemenea, eficienţa iη pentru o faţă a acestui laser calculată cu relaţia (11.75) de 14 % este în bună concordanţă cu cea obţinută experimental de 13 % (fig. 11. 10).

Fig.11. 10. Caracteristicile de putere ale laserului de tip Nd +3 :MgO:LiNbO 3 obţinut prin schimb protonic.


249

Îmbunătăţind calitatea ghidului obţinut prin schimb protonic

( 2m 11μ=efA , dB/cm 2,0~ =αs , l =1,05 cm, lăţimea ghidului 8 μm) cât şi a

rezonatorului ( 99,0 , 7,0 21 == RR ) performanţele laserului cresc, aşa cum se poate vedea şi din figura 11. 11.

Fig. 11. 11. Caracteristica de putere a laserului de tip Nd +3 :MgO:LiNbO 3 cu cavitate asimetrică.

În cazul utilizării unui laser ghidat de tip Nd +3 :MgO:LiNbO 3 (0,34 %

Nd 2 O 3 , 5 mol % MgO) de 6 μm lăţime şi 0,8 cm lungime obţinut prin difuzia Ti [11.6] caracteristicile de putere sunt prezentate în figura 11. 12.

Fig. 11. 12. Caracteristica de putere a laserului de tip Nd +3 :MgO:LiNbO 3 obţinut prin difuzia Ti. În chenar este prezentată dependenţa densităţii spectrale de putere

de lungimea de undă a emisiei laser la pPP 3= .

În acest caz s-a folosit pentru pompaj o diodă laser ( pλ =814,6 nm),

semnalul având sλ =1084 nm. Puterea de pompaj la prag măsurată experimental

OPTICĂ INTEGRATĂ

250

(v. fig. 11. 12) este pabspP , =2,1 mW, iar cea evaluată teoretic cu relaţia (11.71) are

valoarea de 1,7 mW, diferenţa fiind atribuită reflectivităţilor măsurate mai mici ale modurilor precum şi incertitudinilor în determinarea ariei efective de pompaj. Puterea absorbită în ghid poate fi calculată cu ajutorul relaţiei:

( ) ( )[ ]lCl

Pps

spp α−

α+δ=

exp1

~2/0 . (11.76)

11.3.2. Dispozitive active integrate dopate cu Er +3 Dezvoltarea ghidurilor de Ti:LiNbO 3 dopate cu Er +3 este determinată de posibiliăţile de obţinere atât a efectului laser cât şi a unei amplificări mari în bandă largă într-un domeniu important de lungimi de undă situat între 1,5 μm÷ 1,6 μm, care este utilizat în sistemul de telecomunicaţii optice.

Modelarea proceselor de amplificare optică în ghiduri optice de tip

Er +3 :Ti:LiNbO 3. Pentru a analiza procesul de amplificare optică prin emisie

stimulată în ghidurile de tip Ti:LiNbO 3 dopate cu Er +3 se utilizează diagrama energetică prezentată în figura 11. 13 în care la început nu se ţine seama de

despicarea Stark a nivelurilor energetice ale ionului de Er +3 [11.1].

Fig. 11. 13. Diagrama nivelurilor energetice ale ionului de Er +3 în cristalul de LiNbO 3 . Spectrul de absorbţie în domeniul vizibil şi infraroşu apropiat al unui

cristal de de MgO:LiNbO 3 dopat omogen cu Er +3 (0,2 mol % Er 2 O 3 ) este prezentat în figura 11. 14.


251

Absorbţia puternică se observă pentru lungimi de undă în jurul valorilor

660, 980 şi 1500 nm corespunzătoare tranziţiilor din starea fundamentală 15/24 I ,

în stările excitate 13/24

11/24

9/24 I,I,F .

Fig. 11. 14. Spectrul de transmisie al unui cristal de MgO:LiNbO 3 dopat cu Er +3 . Pentru pompajul optic cele mai des utilizate benzi de absorbţie corespund radiaţiilor având lungimi de undă situate în jurul valorilor de 0,98 μm şi 1,48 μ m, acestea fiind emise de exemplu şi de diodele laser. În afară de absorbţia din stare

fundamentală, într-un ghid de tip LiNbO 3 dopat cu Er +3 mai este posibilă şi

absorbţia din starea excitată, metastabilă 13/24 I . Acest fenomen a fost pus în

evidenţă prin înregistrarea spectrului de fluorescenţă în domeniul vizibil, 700 nm÷ 800 nm (fig. 11. 15), excitarea făcându-se cu o radiaţie cu lungimea de undă de 1480 nm.

Fig. 11. 15. Spectrul de fluorescenţă al unui ghid de tip Ti:LiNbO 3 dopat cu Er +3 obţinut

în urma absorbţiei din stare excitată cu o radiaţie având λ =1480 nm. Astfel de procese reduc populaţia nivelului metastabil şi contribuie la micşorarea câştigului laser; de aceea trebuie limitate cât mai mult. În cazul fluorescenţei ghidate a ionilor de Er +3 în jurul valorii

λ=1,53 μm corespunzătoare tranziţiilor de pe nivelul 13/24 I pe nivelul

OPTICĂ INTEGRATĂ

252

fundamental s-a observat că spectrele obţinute în urma excitării cu o radiaţie având λ =1,48 μm emisă de o diodă laser cu InGaAsP depind de polarizare (fig. 11. 16 a), b)). Aceste spectre permit evaluarea secţiunilor eficace de emisie stimulată corespunzătoare celor două tipuri de polarizări.

Fig. 11. 16. Dependenţa de polarizare (σ a) şi π b)) a spectrelor de fluorescenţă în cazul

unui ghid de tip Ti:LiNbO 3 dopat cu Er +3 având lăţimea de 6 μ m în jurul

valorii λ =1,5 μm şi excitat cu o radiaţie cu λ =1,48 μm. Neluând în considerare absorbţia radiaţiei din stare excitată, se poate considera că acest sistem are trei niveluri dacă este pompat cu o radiaţie având λ =0,98 μm (provenită de la un laser cu Ti:Sa de exemplu) şi respectiv două niveluri în cazul pompajului cu λ =1,48 μm (provenită de la o diodă laser). Starea

fundamentală corespunde nivelului 15/24 I , starea excitată 2 nivelului 13/2

4 I , iar starea excitată 3 unei benzi de pompaj. Pe baza modelului unui laser care funcţionează cu trei niveluri energetice, prezentate în figura 11. 17, ecuaţiile ratelor pentru populaţiile acestora pot fi scrise sub forma [11.2]:

( ) 33231133 NANNR

tN

−−=d

d (11.77)

332221212 NANANWNW

tN

ea +−−=d

d (11.78)

( )3113221211 NNRNANWNW

tN

ea −−++−=d

d (11.79)

unde ijN sunt densităţile de populaţie ale nivelurilor energetice i şi j care au

timpii de viaţă iτ , aW este rata de tranziţie de pe nivelul 1 pe nivelul 2, indusă


253

prin absorbţie, eW este rata tranziţiei stimulate de pe nivelul 2 pe nivelul 1,

13R este rata de pompaj, iar ijA sunt ratele tranziţiilor spontane.

Fig. 11. 17. Digrama simplificată a nivelurilor energetice corespunzătoare ionului de Er +3 . Considerând că 32A este mare ( 3τ având o valoare mică), densitatea de populaţie 3N este mică în comparaţie cu cele ale nivelurilor inferioare, şi deci se poate aproxima

311 NNN −≈ (11.80) în ecuaţiile precedente. Pe baza acestei aproximaţii se poate scrie că: 332113 NANR = . (11.81) Înlocuind (11.78) în ecuaţiile (11.77) în stare staţionară se obţine următoarea relaţie 113221210 NRNANWNW ea +−−= . (11.82) Ţinând seama că densitatea totală de populaţie 0N (corespunzătoare

concentraţiei dopantului de Er +3 ) poate fi aproximată cu 210 NNN +≈ , (11.83)

în stare stationară pentru densităţile de populaţie ale celor două niveluri 2 şi 1 (în cazul pompajului cu o diodă laser) se obţin expresii de forma:

1321

13

0

2RAWW

RWNN

ea

a+++

+= (11.84)

1321

21

0

1RAWW

AWNN

ea

e+++

+= (11.85)

în care: ratele de tranziţie sunt date de relaţiile:

( ) ppap hzyxIR νσ= /,,13 (11.86)

OPTICĂ INTEGRATĂ

254

( ) ssese hzyxIW νσ= /,, (11.87)

( ) ssasa hzyxIW νσ= /,, (11.88)

221 /1 τ=A . (11.89) În relaţiile (11.86)-(11.88) pI şi sI reprezintă intensităţile radiaţiei de

pompaj şi respectiv semnalului corespunzătoare frecvenţelor pν şi sν , iar apσ şi

apσ şi e

sσ sunt secţiunile eficace de absorbţie şi emisie.

Pentru a determina câştigul unui semnal mic (în aproximaţia unei intensităţi mici a semnalului) se poate considera că:

0=eW şi 0=aW . (11.90) În aceste condiţii expresiile densităţilor populaţiilor celor două niveluri 1 şi

respectiv 2 devin:

132

132

0

21 R

RNN

τ+τ

= (11.91)

1320

11

1RN

Nτ+

= (11.92)

unde

sat

p

II

R =τ 132 (11.93)

cu

ap

psat

hI

στ

ν=

2 (11.94)

reprezintă parametrul de saturaţie. Evoluţia pompajului este determinată de ecuaţia:

pappp

p INIzI

1~d

σ−α−=d

. (11.95)

Înlocuind în (11.95) expresia densităţii de populaţie 1N (relaţia (11.92)) şi integrând pe secţiunea eficace a ghidului se obţine următoarea ecuaţie:

( ) ( ) ( )( ) ( )zpA

zyxRyxp

yxNzpzp a

pp ×τ+

σ−α−= ∫ d,,1

,,~

dd

133

00 (11.96)

în care:

( ) ( ) ( ) ( )zpyxpPh

yxR pp

ap ,0,, 013 ν

σ= . (11.97)

În general, ecuaţia diferenţială (11.96) poate fi integrată numai numeric. Cu toate acestea, se pot obţine soluţii analitice aproximative în două cazuri limită: intensităţi scăzute şi respectiv mari ale radiaţiei de pompaj.


255

În cazul unui pompaj scăzut (<1 mW) se poate considera că 1132 <<τ R şi parametrul de saturaţie 132Rτ se poate neglija în numitorul ecuaţiei (11.96), iar evoluţia puterii pompajului este dată de ecuaţia:

( ) ( )zpzzp

pα−=d

d. (11.98)

În relaţia (11.98) ,~

,efppp α+α=α (11.99)

( ) ( ) AyxpyxNN ap

pef

apefp d,, 00, ∫σ=σ=α . (11.100)

Prin integrarea ecuaţiei (11.58) se poate obţine evoluţia puterii de pompaj sub forma:

( ) ( ) ( )zppzp α−= e0 . (11.101) În acest caz limită, scăderea exponenţială a puterii de pompaj este determinată de suma dintre coeficientul de pierderi (prin împrăştiere) pα~ şi de

coeficientul de absorbţie al modului efp,α , fiind independentă de intensitatea

radiaţiei de pompaj. În cazul unor intensităţi de pompaj ridicate (de aproximativ 100 mW sau mai mari) termenul de saturaţie 132Rτ nu mai poate fi neglijat, golirea stării fundamentale determinând o saturare a absorbţiei. Considerând că intensitatea radiaţiei de pompaj se menţine ridicată de-a lungul întregului ghid se poate obţine o soluţie analitică a ecuaţiei (11.96) ţinând seama că termenul de saturaţie este mult mai mare în comparaţie cu unitatea cu excepţia mărimilor care determină distribuţia modului de pompaj. Acestea pot să nu fie luate în considerare în

operaţia de integrare dacă distribuţia Er +3 , ( )yxN ,0 , este cuprinsă în distribuţia

modului de pompaj ( )yxp ,0 . În acest caz, ecuaţia care descrie evoluţia radiaţiei de pompaj devine:

( ) ( )0~

p

pp P

Czp

zp

−α−=dd

(11.102)

unde ( ) AyxNIC sat

app d,0∫= σ . (11.103)

Soluţia ecuaţiei (11.102) este:

( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

α−= α−α− z

pp

pz pp

PC

pzp~~

1~00 ee . (11.104)

Pentru ( ) ∞→0pP se obţine o golire completă a stării fundamentale,

aceasta determinând scăderea puterii radiaţiei de pompaj după legea ( )( )10 =p :

( ) zpzp α−=~

e . (11.105)

OPTICĂ INTEGRATĂ

256

În cele două cazuri limită (de pompaj scăzut ecuaţia (11.101)) şi respectiv intens (ecuaţia (11.104)) evoluţiile puterilor de pompaj în cazul unui ghid de tip Er:Ti: 3LiNbO sunt prezentate în figura 11. 18 prin comparaţie cu cele rezultate din integrarea corectă a ecuaţiei (11.96).

Fig. 11. 18. Evoluţia puterii de pompaj în cazul unui pompaj intens (100 mW) şi respectiv

scăzut (1 mW); curba întreruptă reprezintă soluţia corectă a ecuaţiei (11.96). Pentru simulare s-au folosit valorile parametrilor: =α p

~ 0,069 dB/cm şi

=α efp, 0,137 dB/cm.

În cazul unui pompaj scăzut evoluţia semnalului este determinată de următoarea ecuaţie diferenţială:

sass

esss

s ININIzI

12~

dd

σ−σ+α−= . (11.106)

Înlocuind expresiile densităţilor de populaţie corespunzătoare nivelului fundamental şi respectiv excitat (relaţia (11.52)) în (11.66) pe baza modelului prezentat în lucrarea [11.2], în urma integrării pe suprafaţa eficace a ghidului se obţine pentru funcţia de câştig ( ) ( )[ ]zszg ln= (11.107) următoarea ecuaţie:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) AzyxR

zyxRyxsyxN

zsdzzds

dzzdg a

ses

s d,,1

,,,,~/

132

13200

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

τ+σ−τσ

+α−== ∫ . (11.108)

Comparând ecuaţia (11.108) cu cea corespunzătoare funcţionării laserului

cu patru niveluri energetice (Nd +3 ) (11.26) se observă că pompajul în cazul

sistemului cu trei niveluri (Er +3 ) este mai dificil; termenul ( )zyxRes ,,132τσ

trebuie să depăşească cu mult valoarea asσ într-o fracţiune mare a volumului în

care se execută pompajul pentru a se obţine câştig optic (relaţia (11.108)). Întrucât rata de pompaj depinde de ( )zp trebuie determinată mai întâi evoluţia puterii radiaţiei de pompaj prin rezolvarea ecuaţiei (11.96). Apoi, se determină evoluţia


257

semnalului prin integrarea numerică a ecuaţiei diferenţiale (11.106) pentru a determina câştigul) relaţia (11.108)). Şi în acest caz se pot obţine soluţii analitice numai în limitele unui pompaj cu intensităţi fie foarte scăzute fie foarte ridicate. În cazul unui pompaj cu intensitate scăzută termenul 132Rτ este mic în comparaţie cu unitatea şi poate fi neglijat în numitorul ecuaţiei (11.108). Înlocuind soluţia aproximativă pentru puterea radiaţiei de pompaj dată de relaţia (11.101) se obţine următoarea ecuaţie pentru câştig:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zPAyxpyxsyxNIz

zgpp

sat

es

s α−×∫σ

+α−= exp0d,,,d

d000 (11.109)

unde efsss ,

~ α+α=α (11.110)

( ) ( ) AyxsyxNN as

sef

asefs d,, 00, ∫σ=σ=α . (11.111)

Prin integrarea ecuatiei (11.109) se obţine următoarea soluţie:

( ) ( )01 pz

ss PCzzg p ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+α−= α−e (11.112)

unde

( ) ( ) ( )dAyxpyxsyxNI

Csatp

es

s ,,, 000∫ασ

= . (11.113)

Întrucât natura soluţiei ecuaţiei (11.109) este aceeaşi cu cea dată de relaţia (11.27) se poate trage concluzia că există o lungime optimă a ghidului şi respectiv

o putere de pompaj critică ( )0cpP pentru care se obţine o amplificare optică la fel

ca şi în cazul laserului cu patru niveluri. Ţinând seama că sefsss α>>α+α=α ~~

, este necesară o putere de pompaj ( )0pP mai mare

care să depăşească pierderile prin împrăştiere şi prin absorbţie pentru a obţine un câştig optic (pozitiv). În acest caz, aproximaţia făcută pentru intensitatea de pompaj scăzută trebuie luată în considerare cu atenţie. În cazul unui pompaj intens de-a lungul ghidului optic termenul 132Rτ este mare în comparaţie cu unitatea în relaţiile utilizate, cu excepţia celor care determină distribuţia modului radiaţiei de pompaj. Considerând o distribuţie a

ionilor de Er +3 conţinută în cea corespunzătoare modului radiaţiei de pompaj şi neglijând unitatea în numitorul relaţiei (11.69) se obţine următoarea ecuaţie:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )zpA

yxpyxs

yxNP

Ig

zzg

p

satas

efs1

,,

,0

~d

d

0

00 ×∫

σ−+α−= d (11.114)

în care:

( ) ( ) AyxsyxNNg es

sef

esef d,, 00∫σ=σ= . (11.115)

OPTICĂ INTEGRATĂ

258

Considerând că distribuţiile modurilor radiaţiilor de pompaj şi respectiv ale semnalului sunt identice în cazul utilizării unor radiaţii cu =λ p 1,48 μm şi

sλ =1,53 μm raportul 0

0ps

poate fi aproximat cu unitatea. Înlocuind expresia

aproximativă obţinută pentru p(z) în cazul utilizării unui pompaj intens (relaţia (11.104)) se obţine următoarea ecuaţie:

( )( ) ( ) ( )zAyxN

PIg

zzg

pp

satas

efs α×σ

−+α−= ∫ ~expd,0

~d

d0 . (11.116)

Soluţia ecuaţiei (11.116) în cazul unui pompaj intens este de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ed,~0~ ~

0 −−+−= −∫ z

pp

satass

effess

pAyxNP

IzNzg α

ασ

σα . (11.117)

Câştigul la saturaţie ( )zgsat se poate defini ca limita lui g(z) pentru ( ) ∞→0pP obţinându-se o expresie de forma:

( ) ( )zgzg efssat +α−= ~ . (11.118)

În cazul celor două limite de pompaj intens şi respectiv scăzut evoluţia funcţiei de câştig în cazul unui ghid de tip Er:Ti:LiNbO 3 este prezentată în figura 11. 19 prin comparaţie cu rezultatele corecte obţinute prin integrarea numerică a ecuaţiei (11.109).

Fig. 11. 19. Evoluţia câştigului în cazul unui pompaj intens (100 mW) şi scăzut (1 mW); linia întreruptă reprezintă soluţia obţinută prin integrarea numerică a ecuaţiei (11.109).

Determinarea experimentală a caracteristicilor de putere ale laserelor integrate de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 . Dependenţa câştigului semnalului cu

sλ =1,53 μm obţinut prin integrarea numerică a ecuaţiei (11.69) de puterea cuplată în ghid ( )0pP (având pλ =1,48 μm) în cazul unui ghid de

+3Er :Ti: 3LiNbO de lungime 4,3 cm şi 6 μm lăţime este prezentată în figura 11. 20 [11.2]. Punctele din fig. 11. 19 reprezintă valorile măsurate ale câştigului.


259

Aceste rezultate teoretice şi experimentale sunt în bună concordanţă şi

confirmă faptul că ghidurile de tip Ti:LiNbO 3 dopate cu Er +3 prezintă un câştig relativ mic şi, de asemenea, că acesta se saturează la valori mari ale intensităţii de pompaj datorită fenomenului de saturaţie a absorbţiei. În comparaţie cu laserele

integrate care au patru niveluri (Nd +3 ) pompajul în cazul laserelor cu trei niveluri

(Er +3 ) se face mai greu, necesitând puteri de prag mult mai ridicate pentru obţinerea inversiei de populaţie şi a câştigului optic. Valoarea cea mai ridicată a câştigului a fost măsurată în cazul polarizării π corespunzătoare maximului spectrului de fluorescenţă (fig. 11. 16) [11.2]. De asemenea au fost măsurate experimental câştiguri (amplificări optice) relativ mari şi pentru alte lungimi de undă ale semnalului până la valoarea sλ =1,63 μm după cum se poate vedea din figura 11. 21.

Fig. 11. 20. Evoluţia câştigului în funcţie de puterea cuplată în ghid în cazul ghidurilor de tip Ti:LiNbO 3 dopate cu Er +3 ; curba continuă reprezintă câştigul calculat, iar

punctele câştigul măsurat experimental. Rezultatele prezentate scot în evidenţă faptul că se poate obţine funcţionarea laserului nu numai pentru o anumită frecvenţă fixă ci şi pentru alte frecvenţe prin introducerea unui modulator acustooptic sau filtru electrooptic în cavitatea laser.

Fig. 11. 21. Spectrul de transmisie al unui ghid de tip Ti:LiNbO 3 dopat cu Er +3 cu lăţimea de 7 μ m normalizat în raport cu transmisia unui ghid nedopat; parametrul

este puterea radiaţiei de pompaj cuplată având valorile 0 mW, 15 mW, 50 mW 87 mW şi pλ =1,48 μm.

OPTICĂ INTEGRATĂ

260

În figura 11. 22 este prezentată caracteristica de putere la ieşire a unui laser de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 cu lăţimea de 7 μm tăiat după axa z . Lărgimea liniei emise este de 0,3 nm.

Fig.11. 22. Puterea la ieşire a unui laser de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 în regim continuu în funcţie de puterea cuplată; săgeata indică valoarea puterii cuplate la prag (27 mW).

Laserul utilizat are la unul dintre capete o oglindă dicroică, dielectrică depusă în condiţii de vid înalt pe faţa polizată care asigură simultan o transmisie ridicată pentru pλ =1,48 μm şi o reflexie ridicată pentru radiaţia laser cu

sλ =1,53 μm. Oglinda de la cealaltă faţă este formată dintr-un strat de Au cu grosimea de 35 nm şi asigură o transmisie de 0,5 %; aceasta explică puterea relativ mică la ieşire şi eficienţa scăzută. O optimizare a cavităţii laserului poate conduce la o îmbunătăţire a performanţelor laserului [116]. Cele două oglinzi (având reflectivităţile 1R şi 2R ) sunt depuse direct la cele două capete, una dintre acestea fiind transparentă (pentru radiaţia cu λ=1,48 μm, iar cealalta pentru radiaţia având λ =1,53 μm) introduc pierderile totale corespunzătoare unui drum dus-întors în cavitate: ( )21ln2 RRs −α=δ (11.119) unde sα reprezinta pierderile la propagare corespunzătoare radiaţiei de pompaj având λ=1,48 μm. Profilul modurilor gaussiene utilizate pentru modelarea teoretică a dispozitivului este prezentat în figura 11. 23. În cazul unor distribuţii gaussiene asimetrice (fig. 11. 22) se poate scrie pentru ( )yxp ,0 :


261

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

≤−−

=0

;/2e

0 ;/2

e/2e1, 2

2,2

21,

223,

2

0x

wxx

wxwyS

yxpp

pp

p (11.120)

unde:

( )2,1,3,4 pwpwppS +ωπ

= (11.121)

şi analog pentru ( )yxs ,0 . Parametrii care caracterizează profilurile modurilor pot fi determinaţi experimental din măsurători de câmp apropiat [11.4].

Fig. 11. 23. Profilul modurilor gaussiene în ghidul optic de undă de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 . Puterea de pompaj absorbită necesară pragului de oscilaţie, apP , , se poate

calcula în regim staţionar din ecuaţiile ratelor (punând condiţia 0=sP ) sub forma:

efffe

p

pap S

hP

21

, τσ

δν

η= (11.122)

în care:

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= α− l

papPP e10 (11.123)

este puterea cuplată în ghid corespunzătoare unei atenuări exponenţiale a puterii de pompaj, efS reprezintă suprafaţa efectivă de pompaj, iar fτ timpul de viaţă al

nivelului excitat.

11.3.3. Lasere integrate în regim declanşat prin comutarea pierderilor Principiul de funcţionare. Timpul de viaţă lung care caracterizează

nivelul laser superior (de exemplu, în cazul ionilor de Nd +3 ) permite stocarea într-o manieră eficace a energiei de pompaj. În cazul unui laser cu funcţionare în regim continuu odată depăşit pragul de oscilaţie întreaga energie suplimentară datorită pompajului este consumată, astfel încât câştigul în mediul activ şi inversia de populaţie se stabilesc la valorile corespunzătoare pragului. Pentru a putea dispune

OPTICĂ INTEGRATĂ

262

de un câştig suplimentar se pot mări în mod artificial pierderile din cavitate astfel încât så se obţină un prag care să nu poată fi atins cu puterea de prag disponibilă. Dacă aceste pierderi suplimentare sunt eliminate la un moment dat foarte rapid sistemul nu mai este în echilibru şi tinde så-şi stabileascå condiţia de staţionaritate prin emisia unui impuls gigantic. Procesul descris mai înainte corespunde funcţionării laserului în regim declanşat prin comutarea pierderilor cavităţii (Q-switched) şi este prezentat schematic în figura 11. 24. Înainte de a obţine câştigul maxim în momentul în care se comută factorul de calitate al cavităţii trebuie pompat suficient de mult timp pentru a obţine inversia de populaţie staţionară. Constanta de timp este de ordinul timpului de viaţă pentru o putere de pompaj inferioară puterii corespunzåtoare saturării absorbţiei. De aceea trebuie ca procesul de comutare să se desfăşoare mai rapid decât intervalul de timp corespunzător răspunsului sistemului. Răspunsul sistemului corespunde intervalului de timp în care emisia spontană este amplificată suficient pentru a satura tranziţia laser. Dacă câştigul disponibil este suficient în raport cu pierderile reziduale acest interval de timp corespunde câtorva parcursuri dus-întors în cavitate.

Fig. 11. 24. Schema de funcţionare a laserului în regim declanşat. Întrucât drumul dus-intors este parcurs de impulsul laser în cavitatea optică într-un timp foarte scurt (~150 ps) se poate utiliza efectul electrooptic pentru a putea comuta rapid nivelul pierderilor. Una dintre metodele cel mai des folosite pentru comutarea pierderilor este cea care utilizează un modulator de intensitate introdus în interiorul cavităţii. În general, acest modulator este acustooptic sau electrooptic, funcţionarea sa bazându-se pe proprietăţile optoelectronice neliniare corespunzătoare foarte importante pe care le prezintă substratul de LiNbO 3 .

În cazul laserelor integrate o metodă des întrebuinţată este cea care foloseşte două ghiduri cuplate (datorită undelor evanescente care se propagă în substrat) dispuse ca în figura 11. 25 [11.7]. Folosind filtrajul modal se poate transforma modulaţia de fază în modulaţie de amplitudine. Prin excitarea unuia dintre ghiduri se produce un schimb periodic de energie între acestea, lungimea ghidului corespunzătoare transferului maxim numindu-se lungime de cuplaj. Dacă cele două ghiduri au aceeaşi constantă de propagare, acest schimb este de 100%


263

(stare încrucişată X). Într-o astfel de configuraţie, aplicarea unui câmp electric asupra unuia dintre ghiduri permite modificarea stării cuplorului la ieşire. Se poate arăta experimental [11.7] că este necesar un defazaj de 1,73 π pentru a recupera întreaga energie în ghidul de intrare (stare paralelă II).

Fig.11. 25. Funcţionarea unui laser ghidat în regim declanşat. Când cuplorul este în stare încrucişată nu se pot produce oscilaţii laser pentru că un braţ al cuplorului este întrerupt. Comutarea rapidă în starea paralelă permite generarea impulsului. Avantajul acestei configuraţii în raport cu alte tipuri de modulatoare integrate este că nu necesită utilizarea de joncţiuni sau ghiduri curbe care introduc pierderi suplimentare în cavitate în cazul stării paralele. Pentru a descrie funcţionarea unui laser ghidat, cu două niveluri energetice

( 9/24I fiind cel fundamental, iar 3/2

4 F cel excitat) (fig. 11. 26) în regim declanşat se folosesc ecuaţiile ratelor.

În cazul considerării unui sistem laser cu două niveluri energetice ecuaţiile de evoluţie ale densităţii de populaţie a nivelului excitat ( )zyxnb ,, , a intensităţii de pompaj ( )zyxI p ,, şi a semnalului ( )zyxI s ,, pot fi scrise sub forma [11.7]:

( ) ( ) ( ) fbsbse

fbsbsepgpppb

zyxnhzyxnzyxI

nhnIhnIt

n

τ−νσ−

−τ−νσ−νση=

/,,/,,,,

///

d

d (11.124)

gppp nIz

Iσ−=

dd

(11.125)

( ) sbss IlnIzIs 2/δ−σ=

dd

(11.126)

în care: ( ) ( )zyxnzyxnn bg ,,,,0 += este densitatea volumică de ioni,

sp,ν reprezintă frecvenţele radiaţiilor de pompaj şi respectiv a semnalului, pη

OPTICĂ INTEGRATĂ

264

este eficienţa cuantică a pompajului, ea,σ sunt secţiunile eficace de absorbţie (a) şi respectiv emisie (e), iar ( )21ln2 RRs −α=δ (11.127) reprezintă pierderile totale corespunzătoare unui drum dus-întors în cavitate, sα fiind pierderile corespunzătoare radiaţiei având λ =1,084 μm [11.7].

Fig.11. 26. Diagrama nivelurilor energetice ale unui laser cu două niveluri energetice. Intensităţile radiaţiei de pompaj şi respectiv a semnalului sunt date de relaţiile: ( ) ( ) ( )yxpzPzyxI pp ,,, 0= (11.128)

cu condiţia de normare ( ) 1=∫∫ yxyxp dd,0 (11.129)

şi ( ) ( ) ( )yxpzPzyxI ss ,,, 0= (11.130) cu ( ) 1=∫∫ yxyxs dd,0 (11.131)

unde spP , sunt puterile, iar ( ) ( )yxsyxp ,,, 00 reprezintă profilurile

normalizate ale modurilor radiaţiilor de pompaj şi respectiv semnalului în cadrul teoriei modale a funcţionării laserelor integrate. Din ecuaţia (11.124) se poate obţine valoarea densităţii de populaţie a stării excitate în stare staţionară sub forma:

fbsbsepgpppb nhnIhnIt

nτνσνση ///

dd

−−= . (11.132)

Dacă intensitatea semnalului este suficient de scăzută

( )fe

s zyxIτσ

<<1,, sau ( )

fe

sssatss

ShPzPτσ

ν=<< , (11.133)


265

unde satsP , reprezintă puterea de saturaţie a semnalului în centrul distribuţiei, (aceasta fiind de ordinul mW) se poate neglija termenul de saturaţie de la numitorul relaţiei (11.132) obţinându-se

( )( )

( ) pfppp

pfpppb hzyxI

hnzyxIzyxn

ντση+

ντση=

/,,1/,,

,, 0. (11.134)

şi

( ) ( ) pfpppg hzyxI

nzyxnντση+

=/,,1

,, 0 . (11.135)

Funcţionarea laserelor integrate în regim declanşat poate fi separată în două etape distincte. În timpul pompajului, laserul nu funcţionează şi dacă se neglijează emisia spontană se poate determina inversia de populaţie în stare staţionară în momentul comutării (din ecuaţia (11.125)) sub forma:

z

Ih

n p

p

fpb d

dν

τη−= . (11.136)

Inversia de populaţie totală iniţială iN la momentul t =0 este dată de relaţia:

( ) ( ) abspfp

p

cavitatebbi P

hVzyxntNN ,,,0 τ

ν

η=== ∫∫∫ d (11.137)

în care: ( ) ( ) ( )yxpznzyxn bb ,,, 0= . (11.138) cu

∫=l

bb znN0

d . (11.139)

În cazul unor distribuţii gaussiene asimetrice (fig. 11. 23) ( )yxp ,0 este dat de relaţia (11.120). Pentru 0>t , evoluţia impulsului are loc într-un interval de timp atât de scurt încât se poate neglija influenţa pompajului şi a emisiei spontane. În aceste condiţii ecuaţiile (11.124) şi (11.126), se pot scrie sub forma:

fbsbsepgpppb nhnIhnIt

nτ−νσ−νση= ///

dd

, (11.140)

( ) sbsss IlnIzI 2/δ−σ=

dd

. (11.141)

În urma integrării ecuaţiilor (11.140), (11.141) pe întregul volum al cavităţii laser şi ţinând seama de relaţia (11.136) se obţine:

OPTICĂ INTEGRATĂ

266

( ) ( ) ( )tNtP

ShttN

bsef

e

s

b σν

−= .1d

d (11.142)

( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ−

σ=

2dd tN

StP

lnc

ttP

bef

es

e

s . (11.143)

Punând condiţia ca în urma unui drum dus-întors prin cavitate câştigul să egaleze pierderile se obţine:

( ) ( ) ( ) 0d,,2

,,,, =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −∫∫∫ VzyxI

lzyxnzyxI

cavitatesbse

δσ . (11.144)

Din ecuaţiile (11.142)-(11.144) se poate calcula în regim staţionar puterea de pompaj absorbită necesară pragului de oscilaţie apP , punând condiţia sP =0,

sub forma:

effe

p

pap S

hP

21

, τσ

δν

η= . (11.145)

Cu ajutorul relaţiilor (11.135) şi (11.137) ecuaţia (11.143) se poate scrie astfel:

( ) ( ) ( )[ ]pbb

ef

es

e

s NtNS

tPln

ct

tP,

d−

σ=

d (11.146)

unde pbN , reprezintă inversia corespunzătoare pragului laser în regim continuu.

Împărţind ecuaţiile (11.146) şi (11.142) se obţine:

( )( )

( )( )tNNtN

lnch

tNtP

b

pbb

es

b

s ,

dd −

ν−= . (11.147)

Prin integrarea ecuaţiei (11.147) se obţine puterea semnalului:

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−ν=

tNN

rNtNN

lnchtP

b

iibi

ess ln (11.148)

unde

pb

iNN

r,

= . (11.149)

Ecuaţia (11.148) stabileşte dependenţa puterii din interiorul cavităţii de inversia de populaţie având ca parametri raportul dintre inversia de populaţie iniţială şi inversia corespunzătoare pragului de funcţionare în regim continuu. Toate caracteristicile impulsului laser pot fi deduse din această ecuaţie. Energia corespunzătoare impulsului laser poate fi calculată rezolvând ecuaţia (11.147) cu condiţia iniţială ( )tPs =0. Se poate obţine astfel expresia inversiei de populaţie finală fN din ecuaţia sub formă implicită


267

( ) ( ) 0ln =−−tN

Nr

NtNN

b

iibi (11.150)

şi respectiv a energiei ( )fis NNhW −ν= . (11.151)

Definind eficacitatea procesului η ca raportul dintre energia impulsului şi respectiv energia înmagazinată iniţial

i

fi

NNN −

=η (11.152)

aceasta este în funcţie numai de parametrul r şi poate fi calculată din ecuaţia implicită următoare:

( ) ( )[ ] 01ln1=η−+η r

rr . (11.153)

Rezolvând ecuaţia (11.153) se observă că eficacitatea de conversie este mai mare decât 90 % pentru valori ale parametrului r >3. Deci, prin integrarea modulatorului în cavitate fără a introduce pierderi suplimentare în starea paralelă este posibilă obţinerea unor eficienţe ridicate (>90 %) în cazul unor puteri de pompaj de ordinul mW. Puterea maximă a impulsului laser msP , poate fi obţinută cu ajutorul

ecuaţiei (11.148) punând condiţia ( ) pbtb NN ,= sub forna:

( )[ ]rrNln

chP pbe

sms ln1,, −−ν= . (11.154)

De asemenea, poate fi calculată şi puterea maximă a impulsului laser la ieşire din relaţia:

( )[ ]rrPsP pac

fmi ln1,, −−

τ

τ= (11.155)

în care: paP , este puterea absorbită la prag (relaţia (11.145)), s este randamentul

laserului cu funcţionarea în regim continuu, fτ este timpul de viaţă al nivelului

excitat, iar δ

=τc

lnec

2 este timpul de viaţă al fotonului în cavitate.

Cunoscând caracteristicile laserului în regim continuu se pot estima performanţele laserului cu funcţionarea în regim declanşat. Aceste performanţe

sunt determinate de puterea absorbită la prag şi de raportul timpilor de viaţă c

f

τ

τ.

În cazul când paa PP ,>> se poate defini un randament diferenţial de pompaj cs

cu ajutorul relaţiei:

OPTICĂ INTEGRATĂ

268

c

fcs

sτ

τ= . (11.156)

Din analiza relaţiei (11.156) se observă că mărirea puterii maxime a pulsului laser în raport cu cea corespunzătoare funcţionării în regim continuu depinde numai de capacitatea sistemului de a stoca energia de pompaj ( )fτ

precum şi de capacitatea de disipare a acesteia în urma convertirii în fotoni laser

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τc

1. Întrucât în cazul laserelor integrate dopate cu Nd, cτ <0,5 ns, iar

fτ <50 μ s este posibilă o mărire a puterii de 510 ori.

Durata impulsului laser poate fi evaluată din raportul dintre energia şi respectiv puterea maximă a impulsului laser la ieşire sub forma:

( )

( )rrrr

PWT

PW

mimi

ip ln1,

2

, −−η

=δ

==τ . (11.157)

În cazul când valoarea parametrului r creşte foarte mult se obţine cp τ≈τ . Din analiza relaţiilor prezentate se observă că în cazul laserelor

integrate este posibilă obţinerea unor impulsuri foarte scurte. În general, în cazul măsurării câştigului nesaturat al laserelor integrate nu se poate face abstracţie de depopularea stării fundamentale. Frecvenţa de repetiţie a impulsurilor este limitată de timpul necesar pentru obţinerea inversiei de populaţie în apropierea unei valori staţionare stbn , . Rezolvând ecuaţia (11.124) care dă evoluţia temporală a densităţii de populaţie în stare excitată se poate obţine expresia acesteia sub forma:

( ) ( )×= zyxntzyxn stbb ,,,,, , ( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τση+

τ−− fppp

fzyxIt ,,1exp1 (11.158)

în care: ( )zyxn stb ,,, este dat de relaţia (11.132). În cazul unui pompaj puţin

intens timpul de creştere caracteristic este fτ şi puterea maximă a impulsului

scade rapid pentru intervale de repetiţie mai mari decât fτ/1 . Dacă termenul de

saturaţie din expresia exponenţialei devine mai mare decât unitatea timpul de creştere scade, aceasta permiţând funcţionarea la frecvenţe mai ridicate. În cazul când se consideră că distribuţia transversală a pompajului este constantă prin pomparea cu o radiaţie a cărei putere este de n ori mai mare decât cea corespunzătoare saturaţiei se obţine o frecvenţă de repetiţie de ( )1+n mai mare, funcţionarea la frecvenţe ridicate permiţând utilizarea în întregime a energiei de pompaj. Problema se complică foarte mult dacă se consideră profilul real al modurilor, aceasta implicând calculul numeric pentru aflarea unei frecvenţe optime de funcţionare.


269

În practică energia care poate fi obţinută este limitată de fenomenul de saturare a absorbţiei precum şi de numărul finit de ioni de Nd +3 care determină dopajul. Concentraţia dopantului poate fi mărită până când mai este asigurată o bună calitate optică (0,3 % at.). Prin mărirea lungimii ghidului se poate obţine un surplus de energie, dar nu şi o putere maximă cu valori mai mari. Caracteristica cea mai importantă a acestor dispozitive este determinată de posibilitatea obţinerii unor puteri maxime ale impulsurilor cu puteri de pompaj mai puţin intense. Puterea maximă a impulsului laser sP în funcţie de puterea cuplată în ghid calculată teoretic ţinând seama de relaţia (11.154) în cazul a două ghiduri obţinute prin schimb ionic de exemplu [11.6], având concentraţiile atomilor pământurilor rare de 0,3% (curba continuă) şi respectiv 0,22 (curba discontinuă) sunt prezentate în figura 11. 27.

Fig.11. 27. Diagrama puterii laserului în regim declanşat în funcţie de puterea cuplată în ghid, concentraţiile atomilor pământurilor rare fiind de 0,3% (curba continuă) şi

respectiv 0,22 (curba discontinuă). Puterea cuplată în ghid se calculează cu ajutorul relaţiei:

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= α− l

papPP e10 . (11.159)

Evoluţia puterii de pompaj de-a lungul ghidului poate fi obţinută ţinând seama de ecuaţia (11.125) precum şi de expresia densităţii de populaţie în stare fundamentală (11.134) sub forma:

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫ ντση+

σ−=pfppp

pp

p

hyxpzPAyxpzP

nz

zP/,

,d

d

0

00 1

d. (11.160)

Integrala din membrul drept al ecuaţiei (11.160) poate fi calculată analitic dacă se cunoaşte funcţia de distribuţie ( )zyxp ,,0 (relaţia (11.120)). Prin integrare se obţine ecuaţia:

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+σ−=

tPzP

Pnz

zP

sap

psatpp

p

,,0 1ln

dd

(11.161)

în care:

OPTICĂ INTEGRATĂ

270

pfp

p

psatp A

hP

τσ

ν

η=

1, . (11.162)

Soluţia exponenţială se obţine în cazul când ( ) satpp PzP ,<< . Ecuaţia

diferenţială (11.161) nu are soluţie analitică, dar poate fi integrată numeric prin separarea variabilelor sub forma:

( )( )

( )

∫+

−

=σ−satpp

satpp

PzP

PzP uuzn

,

,

/1

/100 ln

d. (11.163)

În ciuda fenomenului de saturaţie se observă că este posibilă depăşirea puterii de 1 kW, ceea ce în optica integrată reprezintă intensităţi considerabile

(>1GW/cm 2 ). Lărgimea impulsurilor corespunzătoare este de aproximativ 200 ps.

Fabricarea şi caracterizarea modulatorului integrat. În figura 11. 28 este prezentat un cuplor similar celui din figura 11. 24 pentru fabricarea căruia se

pot utiliza tehnicile prezentate la capitolul 9. Concentraţia ionilor de Nd +3 este de 0,3 %.

Fig.11. 28. Schema unui laser integrat dopat cu ioni de Nd +3 cu cuplor direcţional care funcţionează în regim declanşat.

Lungimea ghidului este de 10 mm, iar lăţimea de 4 μm. Cuplorul are o lungime de 4 mm şi permite radiaţiei de pompaj să fie absorbită aproape în totalitate în vederea realizării unei inversii de populaţie maxime pentru a obţine emisia impulsului laser în starea paralelă independent de starea cuplorului la 814 nm. Electrozii au lungimea de 2 mm fiecare şi comandă modulatorul. În principiu este posibilă obţinerea stării încrucişate comandând modulatorul astfel ca cei doi electrozi să fie în opoziţie de fază. Pentru o frecvenţă de modulaţie de 10 kHz, tensiunea aplicată fiind de 30 V, în figura 11. 29 este prezentat un impuls laser (declanşat) având puterea maximă de 2,5 W şi durata de 1,5 ns. Puterea de pompaj cuplată ( )cpP , este de 10 mW [11.7].

În figura 11. 30 este prezentată dependenţa puterii maxime a impulsurilor laser şi durata lor în funcţie de tensiunea aplicată modulatorului pentru o frecvenţă de repetiţie de 10 kHz şi o putere a radiaţiei de pompaj cuplată de 10 mW,


271

provenită de la un laser cu titan-safir. Funcţionarea în regim declanşat a fost obţinută pentru impulsuri electrice cu durata de 10 până la 100 ns. Reflectivitatea oglinzii de intrare este de 99 %, iar a celei de ieşire de 70 % [11.7].

Fig. 11. 29. Impulsul laser (declanşat) în cazul dispozitivului din figura 11. 27.

Pragul de oscilaţie pentru funcţionarea în regim continuu este de 5,9 mW, iar randamentul diferenţial de 30 %.

Fig. 11. 30. Variaţia puterii maxime (pătrate) şi a duratei (cercuri) impulsurilor laserului (declanşat) în funcţie de tensiunea aplicată pe modulator.

11.3.4. Lasere integrate cu funcţionarea în regim de cuplare a modurilor Principiul de funcţionare. Banda de frecvenţă în care un dispozitiv laser

poate să oscileze este determinatå de domeniul de frecvenţă în care câştigul din mediul activ depăşeşte pierderile rezonatorului. [11.4], [11.5]. De multe ori, în această bandå de oscilaţie cad mai multe moduri longitudinale ale rezonatorului optic, iar fasciculul laser este format din mai multe componente de frecvenţe diferite.

Dacă laserul funcţioneazå pe mai multe moduri transversale numărul acestor componente este şi mai mare. În acest caz, câmpul total al fasciculului laser emis este dat de suma câmpurilor individuale ale fiecărui mod. Atât amplitudinea, cât şi faza acestor moduri variază în timp datorită fluctuaţiilor mecanice aleatorii ale lungimii rezonatorului laser (drumul optic nu este acelaşi pentru toate modurile datorită dispersiei mediului activ) şi interacţiunii neliniare a acestor moduri în

OPTICĂ INTEGRATĂ

272

mediul laser. Câmpul total variază astfel în timp într-un mod necontrolat, cu un timp caracteristic care este de ordinul inversului lărgimii de bandă a spectrului de frecvenţe ale modurilor de oscilaţie. Invers, dacă modurile de oscilaţie sunt forţate să menţină un ecart egal în frecvenţă cu o relaţie de fază fixă unul faţă de altul, atunci câmpul fasciculului laser variazå în timp într-un mod bine definit. Forma fasciculului depinde de modurile de oscilaţie ale laserului şi de faza care este impusă. În acest caz, se spune cå laserul funcţionează în regimul de cuplare a modurilor (mode-locking). Considerând cå există ( )12 +N moduri de oscilaţie longitudinale ( N variind între N− şi N+ ) dacă se fixează într-un mod oarecare ecartul de frecvenţă, fazele relative şi amplitudinile acestor moduri, atunci fasciculul laser are o evoluţie temporală bine definită.

Din cele prezentate mai înainte se poate trage concluzia că un laser care funcţionează în regimul de cuplare a modurilor prezintă o lărgime de bandă de oscilaţie mărită şi amplitudini constante ale modurilor în oscilaţie. Există mai multe metode de forţare a laserului, iar acesta să funcţioneze în regimul de cuplare a modurilor. În anumite condiţii, efectele neliniare ale mediului laser pot cauza menţinerea unei relaţii de fază fixe între modurile de oscilaţie, conducând la regimul de autocuplare a modurilor (self-locking). Întrucât regimul de autocuplare a modurilor se obţine într-o manieră oarecum aleatorie şi laserele prezintă adesea fascicule instabile, de obicei cuplarea modurilor se face prin utilizarea unei perturbaţii comandate în cavitate. Cuplarea activå a modurilor cavităţii se realizeazå cu un modulator intern, care produce fie modulaţia pierderilor, fie modulaţia constantei dielectrice. Modulatorul poate fi acustooptic sau electrooptic şi este comandat la frecvenţa de separare longitudinalå a modurilor, adică un ciclu al frecvenţei de modulaţie care corespunde timpului necesar radiaţiei så efectueze un drum dus-întors în rezonatorul laser. Astfel, toată radiaţia din rezonator prezintă pierderi, cu excepţia aceleia care trece prin modulator când acesta prezintă pierderi minime.

Modulaţia de amplitudine şi de fază sunt funcţii de bază şi în optica integrată. Proprietăţile electrooptice foarte bune ale LiNbO 3 asociate cu dimensiunile transversale mici care caracterizează propagarea ghidată permit obţinerea unor tensiuni de comandă de câţiva volţi, fapt ce facilitează funcţionarea acestor componente în domeniul frecvenţelor foarte înalte [11.8], [11.13]. Pentru a fi eficace, dimensiunile modulatoarelor în optica integrată variază de la câţiva mm până la câţiva cm. În figura 11. 31 este prezentată schema unui laser integrat cu funcţionarea în regim de cuplare (mode-locking) a modurilor având un modulator de fază cu undă progresivă [11.8]. Prin aplicarea unei tensiuni continue în cazul când câmpul electric şi cel optic sunt paralele cu axa optică a cristalului defazajul introdus este dat de relaţia [11.5], [11.8]:

mmmm

es

lAVld

Vrn =

λπ

=ΔΦ2

2 3330 (11.164)


273

unde 33r este coeficientul electrooptic după axa z , d este distanţa dintre electrozi, ml este lungimea modulatorului, iar mV este tensiunea aplicată acestuia. În scrierea relaţiei (11.164) s-a considerat că există o suprapunere perfectă între câmpul electric şi câmpul modului ghidat şi de asemenea că efe nn ≈ .

Fig. 11. 31. Schema unui laser integrat cu funcţionarea în regim de cuplare a modurilor. Dacă pe linia de transmisie electrică este conectat un semnal electric de frecvenţă foarte înaltă, acesta poate fi descris de tensiunea electrică scrisă sub forma: ( ) ( )[ ]yktVytV mmm −ω= iexp, (11.165) în care: mω este pulsaţia de modulaţie, iar cnk mmm ω= este constanta de propagare corespunzătoare undei electrice. Dacă frecvenţa de modulaţie este suficient de mare, este posibil ca din punct de vedere al impulsului optic amplitudinea semnalului electric să varieze considerabil în timpul de tranziţie prin modulator. În acest caz nu este posibilă înlocuirea în relaţia (11.165) a amplitudinii semnalului mV cu ( )ytV , şi trebuie efectuată operaţia de integrare pe întreaga lungime pentru a obţine defazajul efectiv de forma:

( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∫τ+

==ΔΦmm t

te

lttytVA

ncytytVAt ',, ''

0'' dd (11.166)

în care: ( ) ( ) enttcty /'' −= . În relaţia (11.166) ( )[ ]'' , tytV este tensiunea instantanee văzută de impulsul optic care se presupune că se propagă în acelaşi sens cu semnalul electric, iar cln mem /=τ este timpul de tranzit în modulator.

OPTICĂ INTEGRATĂ

274

În urma calculării integralei se obţine pentru defazaj expresia:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τω

−ΔΦ=ΔΦ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τω

ω

e

mmm

nn

t

nn

te

mmm

m

1i

1ee)(

1i

i0 . (11.167)

Termenul dintre paranteze (relaţia (11.167)) reprezintă reducerea eficacităţii de modulaţie datorită diferenţei dintre vitezele de fază corespunzătoare undelor optice şi respectiv electrice care se propagă în mediu, acesta numindu-se şi coeficient de reducere. Modulul acestui termen poate fi scris sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

τω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

τω

=

e

mmm

e

mmm

nn

nn

F1

2

12

sin (11.168)

şi se anulează când ( ) π=−τω 2/1 emmm nn sau ( )emmm nnlc −=ν / unde

mν este frecvenţa de modulaţie. În aceste condiţii impulsul optic vede două alternanţe ale semnalului electric în timpul cât străbate modulatorul. În cazul cristalului de LiNbO 3 , en =2,16 la lungimea de undă 1,084 μm şi mn =4,25, iar frecvenţa corespunzătoare primului zero este de 14 GHz pentru o lungime a modulatorului ml =1 cm. Când impulsul se propagă în sens contrar semnalului electric trebuie făcută schimbarea lui mk cu mk− , care se reduce la înlocuirea în relaţia (11.167) a expresiei ( )em nn−1 cu ( )em nn−1 . În acest caz frecvenţa pentru care apare primul zero corespunzător diferenţei de fază ΔΦ este micşorată cu ( ) ( ) 3≈−+ emem nnnn . Dacă frecvenţa modulatorului este acordată cu timpul corespunzător unui parcurs dus-întors a impulsului prin cavitate rezultă condiţia care trebuie impusă asupra lungimii modulatorului pentru a obţine un defazaj zero în cazul propagării în sens contrar a impulsului optic şi respectiv impulsului electric:

( )emmem nnl

cln

c+

==ν2

(11.169)

unde

lnnl

llem

m 32

/2

≈+

= . (11.170)

În acest caz, coeficientul de reducere este:


275

83,03

csincsin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

em

emnnnn

. (11.171)

Astfel, este posibilă anularea interacţiunii dintre cele două semnale când se propagă în sens contrar şi conservarea unei bune eficacităţi în cazul când acestea se propagă în acelaşi sens. În figura 11. 32 este prezentată forma coeficientului (factorului) de reducere, F în cazul celor două tipuri de interacţii funcţie de frecvenţă pentru dispozitivul prezentat schematic în fig. 11. 31.

Fig. 11. 32. Amplitudinea defazajului efectiv în cazul undelor care se propagă în acelaşi sens (curba continuă) şi în sens contrar (curba discontinuă) în funcţie de frecvenţă, lungimea modulatorului fiind de 6 mm; săgeata corespunde unui parcurs dus-întors.

În continuare, pe baza celor prezentate anterior şi pentru simplificarea calculelor matematice se poate neglija coeficientul de reducere şi de asemenea efectul modulatorului asupra propagării în sens invers prin cavitate a impulsului. Pentru a studia efectul modulatorului asupra impulsului se consideră că acesta este de formă gaussiană:

( ) ( )tttE 02 iexp ω+Γ−= (11.172)

unde β−α=Γ i (11.173) este parametrul gaussian complex. Durata impulsului considerat este:

2/12ln2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α=τ p , (11.174)

iar frecvenţa sa este modulată liniar

( ) ( ) tttt β+ω=

Φ=ω 2

dd

0 . (11.175)

OPTICĂ INTEGRATĂ

276

Pe baza ipotezelor făcute, funcţia de transmisie ( )ttm care caracterizează trecerea impulsului prin modulator poate fi scrisă sub forma:

( ) ( )[ ]ttt mm ωΔΦ= cosiexp 0 . (11.176) Considerând că impulsul trece prin modulator într-un moment când defazajul este maxim şi că durata sa este mică în comparaţie cu perioada de modulaţie, în urma dezvoltării în serie a relaţiei (11.176) şi luării în considerare numai a primilor doi termeni se obţine:

( ) ( )[ ]2/1iexp 220 ttt mm ω−ΔΦ±= . (11.177)

Defazajul constant 0ΔΦ± nu afectează proprietăţile impulsului, dar modifică lungimea efectivă a cavităţii. Acest termen este important pentru că permite în practică ridicarea nedeterminării asupra trecerii impulsului la nivelul minim sau maxim de deviaţie, frecvenţele de modulaţie fiind diferite în cele două cazuri. Transformarea suferită de impuls la ieşirea din modulator poate fi scrisă sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )2/iexp 220' ttEE mtmtt ωΔΦ±≈= (11.178)

sau

2/i' 20 mωΔΦ±=Γ−Γ . (11.179)

Efectul câştigului asupra impulsului poate fi reprezentat în urma unui parcurs dus-întors în cavitate prin funcţia complexă de transfer [11.4]:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

π−ωΔω−ω+

=ωma

sgG 2i/i21

exp0

(11.180)

unde sg este câştigul saturat corespunzător centrului profilului lorentzian (omogen) de lărgime aωΔ . În scrierea relaţiei (11.180) s-a presupus că frecvenţa centrală a impulsului coincide cu cea a profilului. Partea reală a câştigului ( )ωG reprezintă profilul câştigului, iar cea imaginară defazajul acumulat în mediul amplificator în timpul unui parcurs dus-întors prin cavitate. În practică, spectrul de emisie nu se modifică faţă de aωΔ , iar ( )ωG poate fi dezvoltat în serie luând în considerare numai primii doi termeni (cu

δ=sg ) obţinându-se:

( ) ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ωω

π−ωΔω−ω−ωΔω−ω−δ=ωm

aaG 2i/4/i21exp 2200 . (11.181)

Termenul imaginar pune în evidenţă faptul că timpul corespunzător unui parcurs dus-întors prin cavitate nu mai este egal cu mωπ2 ci este modificat prin fenomenul de dispersie liniară a mediului amplificator în apropierea frecvenţei 0ω . Acest efect cunoscut sub numele de târâre a frecvenţei modifică frecvenţa de oscilaţie a modurilor în raport cu valorile impuse de cavitate fără mediu amplificator. Întrucât aωΔ este mare faţă de mω aceasta reprezintă o variaţie mică pe o perioadă de modulaţie.


277

Efectul care influenţează forma impulsului este dat de termenul pătratic. În acest caz se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( )ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω−ω

ωΔ

δ−=ωω=ω '4exp')('' 2

02 EEGEa

(11.182)

unde

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Γω−ω

−=ω'4

exp'2

0E , (11.183)

iar ( )ω'E reprezintă transformata Fourier a lui ( )tE ' . Astfel, presupunând că variaţia relativă a lui "Γ este mică în decursul unui

parcurs dus-întors prin cavitate ( )2' aωΔ<<Γ se obţine:

216

'1

''1

aωΔ

δ+

Γ=

Γ (11.184)

sau

22

'16''' ΓωΔ

δ−≈Γ−Γ

a. (11.185)

Mediul amplificator tinde deci să reducă spectrul de frecvenţe al impulsului. Pentru a obţine o soluţie stabilă trebuie ca cele două efecte să se compenseze în timpul unui parcurs dus-întors prin cavitate. Această condiţie se scrie sub forma: ( ) ( ) 0=Γ−Γ−Γ−Γ=Γ−Γ '''''' (11.186) sau

02

i16 2022

=ωΔΦ

±ΓωΔ

δ− msta

a. (11.187)

Din relaţia (11.186) se poate calcula

stastaam

sta β−α=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωΔωδ

ΔΦ±=Γ i

32i

2/1220 (11.188)

şi

amstasta ωΔω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δΔΦ

=β=α2/1

081

. (11.189)

Durata impulsului devine:

OPTICĂ INTEGRATĂ

278

( )2/14/1

0

2/1 12ln2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛νΔν⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΦδ

π=τ

amp . (11.190)

Din relaţia (11.183) se observă că amplitudinea de modulaţie sau câştigul influenţează puţin asupra duratei impulsului din cauza exponentului 1/4. Deoarece

aνΔ este fixată pentru material numai frecvenţa de modulaţie are un efect notabil. Deci, se pot obţine impulsuri foarte scurte lucrând în domeniul frecvenţelor foarte înalte. În cazul unui laser cu substrat de LiNbO 3 coeficientul electrooptic

33r =30 pm/V, iar .1≤δ Pentru un semnal de 10 V şi o distanţă dintre electrozi d =10 μm se obţine: GHz, 3.6,50 ≈ν≈ΔΦ m

( )nmGHz 5,2638 =λΔ=νΔ a şi 5,6≈τ p ps. Ţinând seama de relaţia

(11.190) lărgimea spectrală a impulsului poate fi scrisă sub forma:

( )[ ]{ } 2/12/12ln21βα+α

π=νΔ p . (11.191)

Întrucât β=α , modulaţia în frecvenţă a impulsului lărgeşte spectrul cu

un factor [ ] 2/12 . Produsul

624,012ln2 2/1

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βα

+π

=τνΔ pp (11.192)

permite caracterizarea fenomenului de acordare a fazelor modurilor laser. Această valoare depinde de profilul impulsului laserului considerat.

Caracterizarea experimentală a funcţionării laserelor integrate de tip

Nd +3 :LiNbO 3 în regim de cuplare a modurilor. Utilizând un laser integrat cu

substrat de LiNbO 3 dopat cu Nd +3 prezentat schematic în figura 11. 33 şi pompat cu un laser cu titan-safir s-a obţinut un tren continuu de impulsuri de aproximativ 6,2 GHz având lărgimea la jumătate din amplitudine de 45 ps şi puterea medie emisă de 13 mW (fig. 11. 32) [11.8].

Fig. 11. 33. Tren de impulsuri obţinut în urma funcţionării unui laser cu substrat de

LiNbO 3 dopat cu ioni de Nd +3 în regim de moduri cuplate.


279

Pragul oscilaţiei laser corespunde unei puteri absorbite de 2,2 mW, iar randamentul diferenţial este de 31 %. În cazul laserului din figura 11. 31 oglinda de intrare are coeficientul de reflexie de 99 %, iar cea de ieşire de 70 %, distanţa dintre electrozi este de 10 μ m, iar grosimea şi lungimea acestora este de 2 μ m şi respectiv 6,3 μ m.

11.3.5. Lasere integrate acordabile Laser acordabil acustooptic integrat de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 .

Funcţionarea laserului acordabil acustooptic integrat de tip Er +3 .:Ti:LiNbO 3 se bazează pe proprietăţile electrooptice şi acustooptice remarcabile ale LiNbO 3 şi pe

câştigul laser ridicat care poate fi obţinut în cazul ionilor de Er +3 . Schema unui astfel de laser este prezentată în figura 11. 34 [11.9].

Fig. 11. 34. Schema unui laser acordabil acustooptic integrat de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 ; c reprezintă axa optică a cristalului de LiNbO 3 .

Cavitatea Fabry-Pérot a laserului integrat este formată dintr-o oglindă de aur depusă la capătul de la intrarea în ghid şi o altă oglindă dielectrică de bandă largă având reflectivitatea de 98 % atât pentru radiaţia de pompaj cât şi pentru cea laser, care joacă rol de cuplor cu exteriorul, depusă la celălalt capăt. Componenta de bază a unui astfel de laser constă dintr-un filtru activ în două trepte, (dopat cu Er +3 ) integrat monolitic în interiorul cavităţii, care este utilizat ca amplificator optic de bandă îngustă. Acest filtru este format (de la stânga la dreapta figurii 11. 34) dintr-un polarizor care lasă să treacă componenta TM a câmpului electromagnetic (divizor de polarizare), dintr-un convertor acustooptic care transformă componenta TM în TE, un polarizor care lasă să treacă componenta TE şi un al doilea convertor care face transformarea componentei TE în TM. Operaţia de filtrare (în bandă îngustă) se obţine în urma unei conversii selective în domeniul lungimilor de undă, rezultată în urma acordului acustooptic al vectorilor de undă în combinaţie cu o filtrare corespunzătoare a polarizării.

OPTICĂ INTEGRATĂ

280

Datorită operaţiei de conversie în două trepte care face transformarea TM→TE→TM deplasarea frecvenţei introdusă de prima treaptă este compensată de deplasarea acesteia în sens opus rezultată în treapta a doua, astfel că în urma unei treceri complete a câmpului optic prin cavitate nu se obţine o deplasare netă a frecvenţei. În vederea obţinerii unei interacţiuni acustooptice eficiente s-a ales ca substrat LiNbO 3 tăiat după axa x , propagarea undelor acustică şi respectiv optică

având loc după axa y [11.9]. Regiunea dopată cu Er +3 de aproximativ 40 mm lungime începe după divizorul de polarizare (care joacă rol şi de cuplor al radiaţiei de pompaj) pentru a separa aceste regiuni dopate şi nepompate în interiorul laserului având lungimea de 54,7 mm. Divizorul de polarizare are două braţe simetrice în formă de Y, dispuse sub

un unghi de 0,275 o care au în regiunea centrală o lăţime de 14 μ m. Extincţia optimă se obţine pentru o lungime de aproximativ 240 μ m situată în porţiunea centrală. Undele acustice de suprafaţă folosite pentru filtrarea acustooptică sunt excitate de traductorii digitali. În montajul din figura 11. 33 fiecare treaptă de conversie are propriul său traductor astfel încât este posibilă o optimizare individuală a puterii acustice în vederea obţinerii unei conversii complete a modului. Electrozii traductoarelor sunt confecţionaţi din aluminiu. Filtrul mai conţine şi un polarizor de 1 mm lungime care lasă componenta TE a câmpului electromagnetic ce este integrat între cele două trepte acustooptice. Caracteristicile acestui filtru (dopat, în două trepte) s-au obţinut utilizându-se radiaţia emisă de o diodă laser având lungimea de undă de 1,556 μ m, care este introdusă într-un braţ al divizorului de polarizare cu ajutorul unei fibre optice cu care se face în acelaşi timp şi un control al polarizării. Pentru a obţine efect laser cu ajutorul acestui dispozitiv trebuie ca pierderile de 6,3 dB la un parcurs dus-întors prin cavitate să fie compensate de către câştigul optic. Aceste pierderi sunt datorate conversiei acustooptice (2×0,4 dB), divizorului de polarizare (2×0,4 dB), polarizorului care lasă să treacă componenta TE a câmpului electromagnetic (2×0,7 dB), traductoarelor (4×0,3 dB), împrăştierii în ghid a modului TM (0,8 dB), împrăştierii în ghid a modului TE (1 dB) şi respectiv oglinzilor (0,3 dB).

Caracteristicile de putere ale laserului acordabil acustooptic integrat de tip Er:Ti:LiNbO 3 . Laserul acordabil integrat a fost pompat cu o radiaţie având

pλ =1480 nm emisă de o diodă laser sau de la un laser acordabil cu centri de

culoare. Eficienţa cuplajului dintre fibră şi ghid este de aproximativ 85 %. Aşa cum se poate observa din dependenţa puterii la ieşire de puterea radiaţiei de pompaj prezentată în figura 11. 35 a), efectul laser se obţine pentru lungimile de undă de 1561 (1531, 1546) nm pentru puteri ale radiaţiei de pompaj de 110 (130, 140) mW.


281

Lărgimea liniei emise de 0,25 nm pune în evidenţă faptúl că un astfel de laser nu operează monomod (fig. 11. 35 b)).

a) b)

c) d)

Fig. 11. 35. a) Caracteristicile de putere ale laserului acordabil acustic, b) spectrul de emisie corespunzător lungimii de undă de 1531 nm, c) şi d) dependenţa lungimii de

undă a radiaţiei laser de frecvenţa din domeniul acustic. Dependenţa lungimii de undă a radiaţiei laser de frecvenţa din domeniul acustic este prezentată în fig. 11ura 36 c), d).

Din analiza figurii se observă că există trei regiuni unde este posibilă operaţia de acordare care sunt situate în jurul celor trei valori corespunzătoare câştigului maxim, chiar pentru puteri mari ale radiaţiei de pompaj (de aproximativ 210 mW) datorită pierderilor totale din cavitate. Panta medie este de aproximativ 8 nm/MHz pentru variaţia lungimii de undă corespunzătoare unei variaţii de 1 MHz a frecvenţei din domeniul acustic.

11.4. Amplificatoare laser integrate 11.4.1. Noţiuni de teoria cuantică a coerenţei optice

Deşi conceptul de coerenţă optică a fost introdus în fizică pentru descrierea fenomenelor de interferenţă şi difracţie, în prezent este utilizat pentru descrierea generală a proprietăţilor statistice ale câmpului electromagnetic, lumina putând fi descrisă complet numai statistic.

OPTICĂ INTEGRATĂ

282

Din punct de vedere statistic lumina este caracterizată de mărimile de stare ale câmpului electromagnetic ( )trE ,r

rşi ( )trB ,r

r care sunt funcţii aleatorii de

spaţiu şi timp şi pot fi reprezentate sub forma unor semnale analitice complexe. Tratarea cuantică a coerenţei implică utilizarea formalismelor cuantice ale matricei densitate şi cuantificării a doua, analiza procesului de măsură (fotodetecţie) fiind fundamentală. Descrierea statistică a luminii este impusă de: modul de generare al acesteia de către un număr mare de emiţători independenţi-atomii, modul de detecţie al radiaţiei sub forma unor medii statistice ale câmpului incident, caracterul statistic al unor fenomene de propagare caracterizate de fluctuaţii, natura cuantică a proceselor de fotodetecţie etc. Pentru a descrie din punct de vedere statistic lumina se consideră câmpul de radiaţie dintr-o incintă cubică de latură L, caracterizat de potenţialul vector:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )trAtrA

aaL

trA tkrktkrkkkkk

k k

,,

eêˆ211, i

2/3i

rrrr

rrrr rrrr

−+

∗+

+=

ε+εω

=ω−ω−∑

(11.193)

unde

,...,2,1,0),,,(2321 ±±=

π= nnnn

Lk (11.194)

iar vectorii kεr

indică starea de polarizare a câmpului transversal cuantificat din

incintă. Operatorilor de anihilare ka şi creare +ka le corespund părţile ( ) ( )trA ,r

r +

(cu frecvenţe pozitive), respectiv ( )( )trA ,rr − (cu frecvenţe negative).

Considerând potenţialul scalar nul în regiunea de studiu, aceeaşi dezvoltare este valabilă şi pentru intensitatea câmpului electric ( )trE ,r

r cuantificat pe baza

relaţiei ( ) ( )trAt

trE ,, rrrr

∂∂

−= , astfel încât

( ) ( )( ) ( )( )trEtrEtrE ,,, rrrrrr −+ += . (11.195) Particularităţile statistice ale câmpului sunt descrise cu ajutorul operatorului densitate (v. Anexa 2). Din punct de vedere al fotodetecţiei, pe baza celor prezentate mai înainte

se observă că există o asimetrie între componentele ( )( )trE ,rr + şi ( )( )trE ,r

r − ale

câmpului, partea de anihilare ( )( )trE ,rr + caracterizând procesul absorbţie în timp

ce partea de creare ( )( )trE ,rr − intervine în procesul de emisie stimulată. Cele două

componente ( )( )trE ,rr + şi ( )( )trE ,r

r − ale câmpului caracterizează detectoarele

prin absorbţie care corespund lui ( )( )trE ,rr + şi respectiv detectoarele prin emisie

stimulată numite şi numărători de cuante, care corespund lui ( )( )trE ,rr − .


283

Un detector ideal are bandă largă şi extensie spaţială limitată încât la un moment dat t răspunde la câmp într-un singur punct rr . În cazul detectoarelor prin absorbţie rata de tranziţie din starea iniţială iψ în starea finală fψ prin

absorbţia unui foton, (ţinându-se seama că starea finală este determinată) este

( ) ( ) =ψψ== ∑∑ +→

2,

fif

ffi trEww r

( )( ) ( )( ) =ψψψψ=∑ +−

fiffi trEtrE ,, rr

(11.196)

( )( ) ( )( ) ii trEtrE ψψ= +− ,, rr.

În deducerea relaţiei (11.166) s-a utilizat relaţia de închidere 1=ψψ∑

fff (11.197)

şi relaţiile de comutare între operatorii ka şi +ka .

Ţinând seama că starea iniţială kψ este descrisă cu ajutorul

operatorului densitate se obţine pentru media statistică a ratei de tranziţie w expresia:

( )( ) ( )( )[ ]trk

kk EtrEwpw ,,Ûrm rr +−ρ==∑ . (11.198)

Dacă se consideră că detectorul este constituit dintr-un singur atom cu un singur electron de valenţă studiul probabilităţii de tranziţie din starea iniţială a sistemului iiψϕ şi starea finală ffψϕ , unde ϕ se referă la atom, iar ψ la câmp, se face utilizându-se formalismul de interacţie şi metoda perturbaţiilor. Astfel, pentru lungimi de undă mai mari decât dimensiunile atomice se utilizează aproximaţia de dipol electric, încât hamiltonianul de interacţiune are forma ( ) ( )tEtxeH I ,0ˆˆ −= . (11.199) Ţinând seama că operatorul unitar de evoluţie al sistemului supus câmpului la t = 0, are forma

( ) ( ) ( )∫ ′′′−=t

ttUtIHtU0

0,ˆ0,ˆ10,ˆ di cu condiţia ( ) 10,0 =U , (11.200)

rezultă pentru probabilitatea de tranziţie, p , din starea iniţială în starea finală expresia:

( )2

0,îiff tUp

ffiiψϕψϕ=ψϕ→ψϕ (11.201)

OPTICĂ INTEGRATĂ

284

a cărei dependenţă de ( )tE ′,0 arată rolul preponderent al componentei ( )+E în absorbţie întrucât conţine factorul ( )[ ]tkfi

′ω−ω ϕϕiexp spre deosebire de

( )−E care conţine factorul ( )[ ]tkfi′ω+ω ϕϕiexp rapid variabil, în comparaţie

cu timpul de răspuns al detectorului. Întrucât nu toţi fotoelectronii sunt detectaţi se introduce un factor numit eficienţa cuantică a detectorului. În mod asemănător se poate studia, într-un experiment prin coincidenţă, realizat prin considerarea a n detectoare formate dintr-un singur atom, plasate în

punctele nrrr rr ,..., 21 şi expuse radiaţiei la momentul t =0, probabilitatea ( ) ( )tp n ca fiecare detector să fi absorbit câte un foton la momentul t .

Câmpuri coerente şi stări coerente ale câmpurilor. Din punct de vedere clasic câmpurile complet coerente (fără zgomot) sunt descrise cu ajutorul funcţiei δ (Dirac), iar din punct de vedere cuantic, câmpurile complet coerente, care satisfac condiţia de factorizare sunt descrise cu ajutorul stărilor coerente ale câmpului [11.1], [11.4], [11.5].

Stările coerente ale câmpului. Stările Fock sau stările operatorului număr

de particule n sunt stările proprii ale operatorului aan ˆˆˆ += , conform ecuaţiei

nnnn =). (11.202)

Aceste stări pot fi exprimate în funcţie de starea vidului 0

( ) 0ˆ!

1 nan

n += (11.203)

şi alcătuiesc un sistem ortonormat încât

∑∞

==

01

nnn . (11.204)

Prin definiţie, stările coerente α sunt stări proprii ale operatorului de

anihilare a conform ecuaţiilor

αα=αa , *ˆ αα=α +a (11.205) unde α este un număr complex ( $a nu este hermitic). Se poate arăta că stările coerente se pot obţine cu ajutorul operatorului

unitar deplasare ( ) ( )aaU ˆêxpˆ *α−α=α + pornindu-se de la stările vidului:

( ) 0ˆ α=α U .

Dezvoltând în serie Taylor operatorul ( )αU se obţine


285

nnn

n∑

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−=α

∞

=0

2

!21exp (11.206)

adică exprimarea lui α în funcţie de stările Fock ale câmpului n . Din relaţiile

( ) ( ) α+=αα− aUaU ˆˆˆˆ 1 (11.207)

( ) ( ) *1 ˆˆˆˆ α+=α+α +− aUaU (11.208)

se observă că ( )αU acţionează asupra operatorului a ca un operator de deplasare cu cantitatea complexă α . Stările coerente sunt normate 1=αα , dar nu sunt ortogonale, după cum rezultă din produsul

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ βα+β−α−=βα *22

21

21exp , (11.209)

ortogonalitatea fiind numai aproximativă, acoperirea lor devenind foarte mică, dacă 1>>β−α . Deşi sunt mutual dependente, stările coerente alcătuiesc un sistem supracomplet de stări proprii întrucât o stare arbitrară poate fi exprimată în funcţie de stările coerente. Din condiţia de completitudine

1d2 )=ααα

π ∫1

(11.210)

rezultă rezoluţia unitară a sistemului supracomplet de stări proprii. Numărul de fotoni într-o stare coerentă α poate lua orice valoare între

0 şi ∞ , după cum rezultă din calculul lui n ţinând seama de expresia (11.16)

2ˆˆ α=αα= +aan (11.211)

probabilitatea de a găsi n fotoni în starea α fiind de tip Poisson:

nn

nn

n −=α e!

2. (11.212)

Vectorii de stare v şi operatorii Q pot fi reprezentaţi în funcţie de stările coerente cu ajutorul expresiilor:

( )∫ ∫ αα⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−α

π=ααα

π= *222

21exp11 vvv dd (11.213)

respectiv

OPTICĂ INTEGRATĂ

286

( ) .,ˆ21expdd1

dd1ˆ

*22222

222

αβαβ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α+β−⋅αβ

π=

=βαββααπ

=

∫∫

∫∫Q

QQ)

(11.214)

Reprezentarea diagonală a matricei densitate. Întrucât stările mixte ale

câmpului sunt descrise cu ajutorul matricei densitate, aceasta poate fi exprimată cu ajutorul stărilor coerente. Prin analogie cu expresia (11.214), operatorul densitate se poate exprima sub forma nediagonală

$ρ βαββρααπ

= ∫∫ 222

1 dd). (11.215)

Matricea densitate admite o reprezentare diagonală

( ) ααααϕ=ρ ∫ 2ˆ dN (11.216)

care constă dintr-o mixtură de operatori de proiecţie αα pe stările coerente,

( )ϕ αN fiind o funcţie de pondere (reală de variabilă complexă α ) ce satisface condiţia de normare

( )∫ =ααϕ 1d2N , (11.217)

dacă se poate evalua funcţia de pondere ( )ϕ αN , prin rezolvarea ecuaţiei integrale

( )∫ βαββϕαρα = 22dN)

(11.218)

care este de forma unui produs de convoluţie. În relaţia (11.218) funcţia de pondere ( )βϕN nu poate fi interpretată ca o distribuţie de probabilitate obişnuită, deoarece

nu este nenegativă şi poate avea singularităţi mai puternice decât funcţia δ ca urmare a faptului că nu poate fi măsurată direct (datorită necomutativităţii operatorilor de creare şi anihilare). O astfel de funcţie constituie o ultradistribuţie sau o funcţie de cvasiprobabilitate. Interpretând funcţia ( )βϕN ca o ultradistribuţie, este posibilă atât evaluarea sa cât şi reprezentarea diagonală a oricărui operator densitate astfel încât reprezentarea diagonală corespunzătoare se mai numeşte reprezentarea Glauber-Sudarhan. Un exemplu simplu de reprezentare diagonală îl constituie operatorul densitate pentru o stare coerentă pură 00ˆ αα=ρ . (11.219) Forma diagonală a matricei densitate este deosebit de utilă pentru calculul valorilor medii ale operatorilor de câmp ordonaţi normal.

Câmpuri de radiaţie. Operatorul densitate pentru radiaţia termică de echilibru este dat de relaţia:


287

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=ρ β−β− HH ˆˆ eeˆ Urm (11.220)

în care: kT1=β , k fiind constanta Boltzmann, iar H hamiltonianul corespunzător câmpului de radiaţie

∑ +ω=k

kkk aaH ˆˆˆ . (11.221)

Radiaţia termică. În raport cu vectorii proprii ai reprezentării Fock n , se obţine

( ) ( )∑∞

=

βω−βω−−=ρ0

ee1ˆn

nnn (11.222)

astfel încât

( )1

1ˆˆˆ−

=ρ=ωβ

+

eUrm aan , (11.223)

în concordanţă cu legea Planck a radiaţiei termice. Punând în evidenţă funcţia de distribuţie ( )mp în expresia lui ρ se poate scrie

( )∑∞

==ρ

0ˆ

mmmmp (11.224)

unde distribuţia

( ) ( )m

nn

nmp ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

111

(11.225)

este de tip Bose-Einstein. Exprimând operatorul densitate în raport cu stările coerente printr-o schimbare a bazei în expresia (11.194), se obţine reprezentarea diagonală

ααα⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

π=ρ ∫ 2dexp1ˆ

nn (11.226)

unde funcţia de pondere pentru un singur mod are forma:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

π=αϕ

nn

2exp1

N (11.227)

adică este o funcţie gaussiană.

Radiaţia laser. Întrucât radiaţia laser este obţinută prin emisie stimulată, în timp ce radiaţia termică este obţinută prin emisie spontană, radiaţia laser are proprietăţi statistice diferite de cele ale radiaţiei termice. Studiul riguros al acestor proprietăţi implică utilizarea ecuaţiei master pentru matricea densitate. Producerea radiaţiei laser, ca urmare a oscilaţiilor coerente în raport cu câmpul a atomilor mediului activ priviţi ca dipoli care suferă tranziţii, face ca acest

OPTICĂ INTEGRATĂ

288

tip de radiaţie să se afle, atunci când este excitat un singur mod, într-o stare coerentă descrisă de matricea densitate diagonală αα=ρ (11.228) având funcţia de pondere ( ) ( )α−βδ=αϕN . (11.229) Probabilitatea de a se găsi n fotoni într-o stare coerentă pentru un singur mod excitat este de tip Poisson. Rezultatele pot fi extinse pentru cazul excitării mai multor moduri, obţinându-se o distribuţie de probabilitate sub forma unei medii statistice peste diferitele distribuţii Poisson. Proprietăţile statistice ale radiaţiei laser sunt diferite pentru operarea sub prag a laserului în raport cu cele care caracterizează operarea în apropierea pragului sau peste pragul de oscilaţie. Peste pragul de oscilaţie, proprietăţile statistice ale radiaţiei laserului real, rezultă din studiul superpoziţiei radiaţiei coerente multimodale cu cea haotică multimodală. În acest caz, funcţia de pondere Nϕ de exemplu, rezultă ca o convoluţie între o gaussiană şi distribuţia δ (Dirac). Metoda generală de studiu al superpoziţiei câmpurilor coerente cu cele haotice se bazează pe utilizarea funcţiilor de corelaţie.

11.4.2. Descrierea cuantică a zgomotului

Teoria cuantică a zgomotului în generatoarele cuantice de radiaţie este foarte complexă şi se bazează pe formalismele dezvoltate în teoriile coerenţei asupra luminii, interacţiunii coerente dintre lumină şi materie şi oscilaţiile laser. Interacţiunea dintre un câmp electromagnetic cuantificat

( ) ( ){ }kztkzt aaCE −ω+−ω− −ε= ii eêˆ)) (11.230)

(unde C este o constantă, ε este vectorul unitate care indică polarizarea câmpului,

aa )) ,+ reprezentând operatorii de creare şi anihilare) şi un sistem cuantic cu două niveluri energetice 21 , asociate cu energiile 0 şi ωh poate fi descrisă cu ajutorul hamiltonianului corespunzător interacţiunii de dipol electric EdeH ed

))⋅= ˆ , (11.231)

întrucât aceasta este predominantă în raport cu celelalte tipuri de interacţiuni cum ar fi de exemplu cele de cuadrupol electric, de dipol magnetic ş. a. În relaţia (11.231)

{ }$ ,d b= +)ε 1 2 2 1 (11.232)

reprezintă operatorul corespunzător momentului de dipol electric, iar e sarcina electrică. Expresia operatorului momentului de dipol electric conţine o constantă ( )b operatorii de ridicare şi respectiv coborâre ( 1 2 1 , 2 ) şi vectorul unitate 'ε care determină orientarea dipolului.

Ţinând seama de relaţiile (11.230) şi (11.232) expresia operatorului electric de dipol devine:


289

( )( ) ( )( ){ }$ $. $ $ exp i $ exp i,H ebC a t kz a t kzed = − − − − ++ε ε ω ω2 1 1 2

+ ( )( ) ( )( ){ }ebC a t kz a t kz$. $ $ exp i $ exp i,ε ε ω ω− − − −+1 2 2 1 . (11.233)

În relaţia (11.233) termenii proporţionali cu a corespund proceselor de absorbţie de fotoni, iar cei proporţionali cu +a celor de emisie. Procesele descrise de ultimii doi termeni pot fi neglijate deoarece nu este posibil ca stările iniţiale şi finale să aibă aceeaşi energie ωh (Rotating Wave Approximation-RWA). Câmpul electric poate fi reprezentat printr-o suprapunere mixtă de stări corespunzătoare numerelor de fotoni. Aceste stări cuantice corespund stărilor energetice proprii oscilatorului armonic şi verifică următoarele relaţii: 1−= nnna , (11.234)

1++=+ nna n 1ˆ . (11.235) Suprapunerea statistică de stări poate fi reprezentată sub forma:

nuSn

n∑= , (11.236)

iar probabilitatea de a găsi exact n fotoni în sistem este dată de relaţia:

2

nnSnPn == . (11.237)

Definind stările corespunzătoare ansamblului numărului de atomi şi fotoni cu ajutorul vectorului i n, unde i=1, 2, acestea caracterizează întregul sistem atom-câmp, verifică ecuaţiile (11.234) şi (11.235) şi sunt ortogonale

inmnij Pnimj δδ=,, . (11.238)

În relaţia (11.238) inP reprezintă probabilitatea de a găsi sistemul în starea iniţială i n, . Stările coerente a căror probabilitate de distribuţie nP corespunde unei statistici de tip Poisson reprezintă un caz particular al suprapunerii stărilor corespunzătoare numerelor de fotoni. Evoluţia statisticii câmpului de fotoni poate fi descrisă cu ajutorul operatorului matricei densitate: ∑=ρ

nn nnP)

. (11.239)

Elementele diagonale nnnn ρ=ρ ))

. (11.240)

corespund distribuţiei de probabilitate nP . Considerând că sistemul atom-câmp se află înainte de a interacţiona în starea iniţială i n, şi după interacţiune în stare finală j m, , probabilitatea de a găsi sistemul după interacţiune în starea finală este dată de relaţia:

2

; ,, niHmjP edinjm)

= . (11.241)

OPTICĂ INTEGRATĂ

290

Presupunând că în starea iniţială există k fotoni, procesele de absorbţie şi respectiv de emisie ale acestora sunt caracterizate de probabilitătile P k k2 1 1, ; ,− şi respectiv P k k1 1 2, ; ,+ . Utilizând ecuaţiile (11.233), (11.234) şi (11.235) precum şi relaţia de ortogonalitate (11.208) se pot calcula probabilităţile corespunzătoare proceselor de absorbţie şi emisie stimulată sub forma:

( )

( ) nnn

nnn

nnn

nnn

PnP

nPP

nPP

PnP

1

1

,2;1,1

11,2;,1

,1;1,2

11,1;,2

+=

=

=

+=

+

−−

−

++

(11.242)

unde constantele care intervin în ecuaţiile (11.230) şi (11.232) şi (11.233) au fost neglijate, iar momentul de dipol electric s-a presupus coliniar cu câmpul. În figura 11. 36 este prezentată diagrama energetică corespunzătoare câmpului pentru diferite tranziţii posibile asociate cu procesele de absorbţie şi respectiv emisie de fotoni într-o radiaţie monomodală.

Fig. 11. 36. Diagrama energetică corespunzătoare stărilor numerelor de fotoni n . Săgeţile

indică cele patru tranziţii posibile, cu probabilităţile corespunzătoare, în care un foton este absorbit (starea atomică schimbându-se de la 1 la 2 ) sau emis

(starea atomică schimbându-se de la 2 la 1 ).

În relaţiile (11.212) probabilităţile care sunt proporţionale cu numărul iniţial de fotoni n din sistem sunt asociate cu procesele de absorbţie şi respectiv emisie stimulată, ultimii doi termeni corespunzători emisiei incluzând de asemenea şi efectul emisiei spontane. Din punct de vedere fizic, acţiunea operatorului de

creare a numărului de fotoni +a asupra oricărui sistem de stări cuantice n corespunde proceselor de emisie stimulată şi spontană. Considerând un sistem de atomi caracterizat în punctul z de densităţile de populaţie ( )zN1 în starea fundamentală şi respectiv ( )zN2 în starea excitată,


291

variaţia probabilităţii numărului de fotoni nPd între zzz d+, este dată de ecuaţia:

( ) ( ){ } zPPNPPNP nnnnennnnan dd ,2;1,11,2;,12,1;1,21,1;,21 +−−+ −σ+−σ= (11.243)

în care: aσ şi eσ reprezintă secţiunile eficace corespunzătoare proceselor de absorbţie şi respectiv emisie. Introducând notaţiile 12 , NbNa ae σ=σ= (11.244) ecuaţia (11.213) mai poate fi scrisă şi sub forma:

( ){ } ( ){ }nnnnn nPPnbPnnPaz

P−+++−= +− 11 11

dd

. (11.245)

Ecuaţia master pentru statisticile de fotoni (11.245) (photon statistics master equation) obţinută în cazul regimului liniar permite descrierea zgomotului în amplificatoarele optice [11.1] şi joacă un rol fundamental în statisticile de fotoni. Prin definiţie, un astfel de tip de ecuaţie (Kolmogorov) poate fi scrisă sub forma:

∑λ=m

mmnn Pz

Pd

d (11.246)

şi trebuie să îndeplinească două condiţii: 0<λnn şi 0=λ∑n

mn . Acest tip de

ecuaţie descrie aşa-numitele procese de tip Markoff care în general sunt definite prin evoluţia aleatorii în timp a setului de variabile { }nP şi n şi sunt utilizate pentru analiza proceselor stocastice. Prima condiţie ( )0<λnn impusă ecuaţiei de tip Kolmogorov ne asigură că pentru toate punctele z este îndeplinită condiţia de existenţă a probabilităţilor

10 ≤≤ nP , iar a doua garantează că probabilitatea se conservă în timp

0/dd =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ zPn

n sau ( )∑ =n

n zP 1. Prima condiţie este satisfăcută întrucât în

ecuaţia (11.215) ( ){ }121 +σ+σ−=λ nNN enann , iar a doua condiţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ∑

nmn 0 este verificată în urma efectuării operaţiei de însumare în ecuaţia:

( ) 01201111

d =+σ−σ−=λ=λ= ∑∑∑∑∑===

Mea

M

nmn

mm

M

n mmmn

M

nn PMNPNPPP

zd. (11.247)

Ultima parte a ecuaţiei este verificată datorită condiţiilor la limită: P0 0= (pentru că există cel puţin un foton în sistem) şi 0→MMP (distribuţia de probabilitate Pn trebuie să tindă exponenţial la zero pentru un număr mare de fotoni).

OPTICĂ INTEGRATĂ

292

Variaţia numărului mediu de fotoni n din amplificator se poate obţine prin medierea statistică a ecuaţiei (11.245):

( )[ ] ( )[ ]{ }∑ ∑ −+++−== +−n n

nnnnn PnPnnbPnnPna

zn

zP

n 211

2 11dd

dd

(11.248)

în care ( )zNa e 2σ= şi ( )zNb a 1σ= . Considerând că numărul de fotoni este suficient de mare se pot face aproximaţiile ( ) ( ) nnnn PnnPPnnP 1,1 11 −≈+≈ +− . (11.249)

Ţinând seama de condiţia de normare ∑ =n

nP 1 se obţine ecuaţia liniară:

( ) nbnazn

−+= 1d

d (11.250)

a cărei soluţie este ( ) ( ) ( ) ( )n z G z n N z= +0 (11.251)

în care ( )zG reprezintă câştigul amplificatorului şi este definit prin relaţia:

( ) ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= ∫z

zzbzazG0

'd''exp , (11.252)

iar

( ) ( ) ( )( )∫=

zz

zGzazGzN

0'd

''

. (11.253)

Termenul ( )N z din relaţia (11.251) poate fi interpretat ca un zgomot

amplificat întrucât apare chiar în absenţa semnalului ( )( )00 =n şi corespunde emisiei spontane amplificate (Amplified Spontaneous Emission-ASE). Considerând pentru simplificare că coeficienţii a şi b sunt constanţi de-a lungul amplificatorului (de exemplu, mediul laser este pompat uniform) se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )122 η/η1/1 NNNGbaGazN −−=−−= (11.254) unde prin definiţie ae σσ=η şi ( ) ( )[ ]zbazGG −== exp . Ţinând seama de acest rezultat se poate obţine puterea medie corespunzătoare zgomotului la ieşirea din amplificator, NP sub forma: ( )1−ν= GBhnP spN (11.255)

unde

( )122 η/η NNNnsp −=

(11.256) reprezintă factorul de amplificare al emisiei spontane.


293

În cazul general, când coeficienţii a şi b depind de coordonata z , factorul de amplificare al emisiei spontane poate fi definit cu ajutorul relaţiei

( ) ( ) ( )[ ]1−= zGznzN sp (11.257)

sub forma:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )∫−

=−

=z

sp zzGza

zGzG

zGzNzn

0'

''

11d . (11.258)

Din relaţiile (11.255) şi (11.258) care definesc NP şi spn se pot trage

câteva concluzii. Pentru câştiguri mari ( )1>>G , numărul mediu de fotoni determinaţi de amplificarea emisiei spontane corespunde amplificării celor spn fotoni şi

reprezintă un zgomot de intrare echivalent. În cazul existenţei în mediu a unei inversii negative (de exemplu 012 <−η NN ), câştigul este mai mic decât unitatea, iar spn este negativ, dar puterea corespunzătoare zgomotului este

totdeauna pozitivă şi egală cu ( )GnP spN −= 1 .

La prag ( )012 =−η NN , spn devine infinit, iar puterea corespunzătoare

zgomotului este finită şi este dată de relaţia: zNPN 2η= . Pentru o inversie de populaţie pozitivă ( )012 >−η NN se obţine ( ) 111 >η−= 21/ NNnsp .

Dacă inversia de populaţie este totală ( 01 =N şi 02 NN = ) factorul de emisie spontană spn ia valoarea sa minimă (unitatea), iar puterea corespunzătoare

zgomotului devine egală cu cea a zgomotului cuantic amplificat ( )1−ν= GBhPN . Deci, zgomotul minim la ieşirea din amplificator se obţine în

cazul unei inversii de populaţie totale din mediul amplificator. Aceste rezultate teoretice pot fi folosite la modelarea proceselor de amplificare din amplificatoarele optice integrate în cazul când radiaţia luminoasă este confinată într-un singur mod.

11.4.3. Modelarea teoretică a amplificării în ghidurile optice de undă

de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 Modelele teoretice utilizate pentru descrierea amplificării în ghiduri optice se bazează pe cele elaborate în cazul fibrelor optice [11.1]. Studiul teoretic şi experimental al amplificării în optica integrată este determinat de posibilitatea implementării pe acelaşi substrat a mai multor componente active şi pasive ca de exemplu lasere, amplificatoare, modulatoare, filtre ş. a. Realizarea practică a amplificatoarelor în cazul ghidurilor de tip

OPTICĂ INTEGRATĂ

294

Er 3+ :Ti:LiNbO 3 ţine seama de proprietăţile electrooptice şi acustooptice ale substratului de LiNbO 3 precum şi de excelentele proprietăţi laser ale ionilor de Er 3+ , deja demonstrate. Pe baza modelelor teoretice elaborate se studiază procesele de amplificare optică în funcţie de diferiţi parametri, acestea având ca scop înţelegerea mai profundă a fenomenelor fizice care le guvernează în vederea proiectării şi optimizării circuitelor integrate [11.2]-[11.5]. Analiza procesului de amplificare a semnalului optic prin emisie stimulată în ghiduri de tip Er 3+ :Ti: LiNbO3 se poate face pe baza diagramei energetice prezentată în fig. 11. 37. Ionii de Er 3+ încorporaţi în reţeaua LiNbO 3 substituie de

preferinţă ionii de Li, configuraţia lor electronică 114 f generând starea

fundamentală 15/24 I care este despicată în 81/2 =+j subnivele dublu

degenerate prin efect Stark, datorită câmpului cristalin care are simetria vC3 .

Primul nivel excitat 13/24 I este despicat din cauza aceluiaşi efect în 7 subnivele

dublu degenerate. În figura 11. 37 nivelul 3 corespunde unei benzi de pompaj, iar nivelul 4

diferitelor stări excitate. Tranziţiile între aceste subnivele determină procesele de absorbţie şi amplificare optică prin emisie stimulată în domeniul lungimilor de undă cuprins între 1440 nm<λ <1640 nm.

Fig. 11. 37. Diagrama energetică corespunzătoare ionului de Er 3+ încorporat în reţeaua cristalului de LiNbO 3 .


295

După obţinerea inversiei de populaţie faţă de nivelul fundamental 15/24 I

în urma absorbţiei corespunzătoare benzii 3 (Ground-State Absorption-GSA) urmată de o relaxare care poate implică atât tranziţii radiative cât şi neradiative pe

nivelul metastabil 13/24 I se declanşează procesul de amplificare a radiaţiei.

În urma pompajului cu radiaţii din domeniul vizibil (λ p ~530 nm, 660 nm) şi infraroşu apropiat (808 nm, 980 nm) al spectrului rezultă o diminuare a câştigului optic din cauza fenomenului de absorbţie a radiaţiei din stare excitată (Excited-State Absorption-ESA), reducându-se astfel populaţia nivelului

metastabil 13/24 I . De aceea, pentru a înlătura aceste neajunsuri se preferă

pompajul cu o radiaţie având λ p ~1480 nm provenită de la o diodă laser. În acest fel pentru ghidurile optice uzuale (având lăţimi cuprinse între 5 μm şi 10 μm) se asigură funcţionarea monomodală precum şi o bună suprapunere între profilurile corespunzătoare radiaţiei de pompaj şi respectiv semnalului precum şi dintre acestea şi profilul corespunzător distribuţiei ionilor de Er 3+ . În tratarea teoretică elaborată pe baza acestei configuraţii experimentale se pot neglija tranziţiile de pe nivelul 2 pe nivelul 4 şi se poate considera că nivelul de pompaj 3 şi nivelul laser

superior 2 determină practic un singur nivel energetic 13/24 I , sistemul laser astfel

obţinut putând fi considerat cu două niveluri energetice.

Ecuaţiile ratelor. Structura fină a nivelurilor energetice poate fi luată în calcul prin considerarea dependenţei de lungimea de undă a secţiunilor eficace de emisie şi respectiv absorbţie. Aşa cum este prezentat în figura 11. 37

( ) ( )21211212 WRWR , reprezintă ratele de absorbţie şi respectiv emisie ale radiaţiei de pompaj şi semnal. Tranziţiile spontane din starea excitată sunt luate în

considerare prin rata τ1 = 21A , τ fiind timpul de viaţă de fluorescenţă. ASEW12

şi ASEW21 reprezintă ratele de absorbţie şi respectiv emisie corespunzătoare emisiei spontane amplificate (Amplified Spontaneous Emission-ASE). Interacţiunea dintre ionii de Er 3+ şi radiaţiile de pompaj, respectiv semnal poate fi descrisă pe baza formalismului ecuaţiilor de rată şi a diagramei energetice prezentată în figura 11. 37. În cazul densităţilor de populaţie ( )zyxNi ,, ( i =1 ÷ 2), corespunzătoare celor două niveluri energetice se obţine [11.2]-[11.5]:

( ) ( ) 22121212111212121

dd

NWWRANWWRt

N ASEASE ++++++−= , (11.259)

t

Nt

Nd

dd

d 12 −= . (11.260)

OPTICĂ INTEGRATĂ

296

Concentraţia ionilor de Er 3+ ( )yxN ,0 nu depinde de coordonata z (axa optică a ghidului) ci numai de coordonatele x şi y corespunzătoare planului perpendicular pe axa ghidului (fig. 11. 38) şi verifică relaţia: ( ) ( ) ( )zyxNzyxNyxN ,,,,, 110 + = . (11.261) În stare staţionară derivatele în raport cu timpul din relaţiile (11.259) şi (11.260) sunt egale cu zero, iar densităţile de populaţie pot fi scrise sub forma:

( ) ( ) ( ) 021122112211221

212121211 N

WWWWRRAWWRA

NASEASE

ASE

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++++

+++= (11.262)

( ) ( ) ( ) 021122112211221

1212122 N

WWWWRRAWWR

NASEASE

ASE

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++++

++= . (11.263)

Ratele de tranziţie pentru radiaţia de pompaj ( )p şi respectiv semnal ( )s

sunt exprimate cu ajutorul profilurilor intensităţilor modurilor ( )zyxi ksp ,,,

definite ca densităţi spectrale ale secţiunilor eficace kms;σ (indicele s defineşte

natura spectrului de absorbţie sau de emisie, indicele k defineşte fasciculele optice supuse studiului-radiaţia de pompaj, semnal şi amplificarea emisiei spontane, iar indicele m defineşte polarizarea spectrelor care poate fi paralelă ( )π sau perpendiculară ( )σ pe axa optică a cristalului, z ).

Fig. 11. 38. Ghidul optic de tip Er 3+ :Ti: LiNbO 3 . Pentru a modela amplificarea optică în ghidurile de tip Er 3+ :Ti:LiNbO 3 ratele corespunzătoare radiaţiilor de pompaj, semnal şi respectiv emisiei spontane amplificte pot fi scrise sub forma [11.2], [11.3]:


297

( ) ( ) λλλσλ= ∫ d,,,1; zyxi

hcU kmkmskm (11.264)

în care:

( ) ( ) ( ) ( )λλ=λ kkmkmkmkm fzPyxiPzyxi ,,,,, 0 (11.265)

ASEWWRU ;;→ . (11.266) În relaţia (11.265), în funcţie de modul de scriere a ecuaţiilor,

kmP corespunde puterii radiaţiilor de pompaj, semnal şi respectiv emisiei spontane amplificte, iar

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ).,,

,,

,,,,,0

0

zyxI

fyxizPP

fyxizPPzyxi

km

kkkmkmkm

kkmkmkmkm

=

=λλλ=

=λλλ=λλ

∫∫∫

d

dd

(11.267)

În ecuaţiile (11.264)-(11.267) h este constanta Planck, c este viteza

luminii, 0kmP reprezintă puterea incidentă a radiaţiei de pompaj şi respectiv a

semnalului (cea corespunzătoare emisiei spontane amplificate este zero). Evoluţia puterilor de-a lungul direcţiei de propagare z este descrisă de termenul ( )zPkm şi este determinată de condiţiile la limită ( ) 10 =kmP . Funcţiile ( )λkf care caracterizează dependenţa spectrală a radiaţiei incidente, semnalului şi emisiei spontane amplificate corespunzătoare lungimii de undă kλ sunt normalizate, conform relaţiei: ( )∫ =λλ 1dkf . (11.268)

În calculele efectuate anterior s-a considerat că distribuţiile transversale ale intensităţilor sunt normalizate în urma integrării pe secţiunea transversală a ghidului: ( ) 1d =λ∫ Syxikm ,, . (11.269)

De asemenea, nu s-a luat în considerare dependenţa spectrală a distribuţiei transversale corespunzătoare intensităţilor radiaţiilor amintite ( )λ,, yxikm , adică ( ) ( )kyxiyxi kmkm λ=λ ,,,, . (11.270)

Emisia spontană în cele două polarizări este amplificată în ambele direcţii de propagare corespunzătoare atât undelor progresive ( )+ cât şi regresive ( )− , ratele de absorbţie şi respectiv emisie fiind W WASE ASE

12 21 , . Utilizând modelul teoretic bazat pe ecuaţia de continuitate aplicată unui mediu activ, prezentat în lucrările [11.2], [11.3] ecuaţiile care determină evoluţia puterii radiaţiei de pompaj, a semnalului precum şi a emisiei spontane amplificate pot fi scrise sub forma condensată astfel [11.14]:

OPTICĂ INTEGRATĂ

298

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zPyxyxizyxNh

zPyxyxizyxN

zPyxyxizyxNzPz

kmS

mkmekk

kmS

kmmkma

kmS

mkmekm

±

±

±±

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

σνΔν±

±⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

α−σ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧σ±=

∫

∫

∫

dd,,,

dd,,,

dd,,,dd

2,

1,

2,

m

m

(11.271)

unde ( )zPkm± reprezintă puterea fasciculelor optice la frecvenţa kν , după ambele

direcţii de propagare corespunzătoare atât undelor progresive cât şi regresive. Pierderile au fost luate în considerare prin intermediul termenului kmα la frecvenţa kν şi polarizarea m . În ecuaţia (11.241) termenul kkh νΔν reprezintă un zgomot, a cărui expresie a fost dedusă cu ajutorul teoriei cuantice şi care este determinat de amplificarea emisiei spontane în banda kνΔ corespunzătoare frecvenţei kν ; pentru radiaţia de pompaj şi respectiv semnal este zero. Înlocuind expresiile densităţilor de populaţie date de relaţiile (11.259) şi (11.260) în ecuaţiile puterilor (11.271), acestea devin [11.14]:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zPyxyxizyxNh

zPyxyxizyxN

zPyxyxizyxNzPz

kmS

mkmekk

kmS

kmmTkma

kmS

mkmakmekm

±

±

±±

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

σνΔν±

±⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+σ−±

±⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

σ+σ±=

∫

∫

∫

dd

dd

dd

,,,

,,,

,,,)(dd

2,

,

2,,

(11.272)

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )∑

∑

−+

−+

+σ+σντ

+

+σντ

=

mkmkmkmkmekma

mkmkmkmkma

kT

yxizPzPkh

yxizPzPh

yxdNzyxN

,,,

,,

02,1

,,,, (11.273)

unde ( ) ,0,, Tkmakmekm Na σ+σ= (11.274)

kmTmTkmakm Nb α−Γσ= 0,, (11.275)

,0, Tkkkmekm Nhc νΔνσ= (11.276)


299

kmakk

km hd ,σλ

ντ

= (11.277)

( )kmakmekk

km he ,, σ+σλ

ντ

= (11.278)

( ) ( ) ( ) yxyxiyxdz mS

Tm dd,,∫=Γ (11.279)

( ) ( ) ( ) yxyxizyxNN

z mT

m dd S

,,,12

02 ∫=Γ . (11.280)

În ecuaţiile (11.272) şi (11.27.3) s-a considerat că distribuţia ionilor de Er 3+ în ghid este: ( ) ( )yxdNyxN T ,, 00 = cu ( )0,00 TT NN = şi ( ) 10,0 =d . Pentru sistemul considerat condiţiile la limită se scriu sub forma

[11.2], [11.3]. [11.14]:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )LzPRPRLzP

zPRPRzP

kmkmLkminLkmLkm

kmkmkminkmkm

=+−==

=+−==+−

−+

,,,

,0,0,0

1

010 (11.281)

în care: kmLkm RR ,,0 , sunt reflectivităţile oglinzilor în 0=z şi respectiv Lz= , iar kminLkmin PP ,,0 , reprezintă puterile fasciculelor k având polarizările m injectate

în ghid în în 0=z şi Lz = . Considerând că profilul intensităţii normalizate ( )yxim , nu este uniform în secţiunea transversală a ghidului optic, distribuţia numărului de fotoni devine

( )yxin m ,⋅ . Înmulţind ecuaţia (11.272) cu ( )yxikm , şi integrând după secţiunea transversală a ghidului se obţine următoarea ecuaţie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )[ ] ( )ννγ++νγ−

−ννγ+ννγ=ν

+−

,,1,

,,,,ed,d

11

zPnznze

znPzznPzzzP

na

nann

(11.282)

în care: ( ) ( ) ( ) ( ) yxyxizyxNz m

Seee dd,,,, 2∫νσ=νγ=γ (11.283)

( ) ( ) ( ) ( ) yxyxizyxNz mS

aaa dd,,,, 1∫νσ=νγ=γ . (11.284)

În aceste condiţii, valoarea medie a numărului de fotoni ( )zn se obţine înmulţind ecuaţia (11.282) cu numărul de fotoni n şi însumând după n , sub forma ( ) ( ) ( ) ( )zNnzGzn += 0 (11.285) în care:

OPTICĂ INTEGRATĂ

300

( ) ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

να−νγ−νγ=ν ∫z

ae zzzzG0

,, ,,,exp, d (11.286)

( ) ( ) ( )( )∫

ν

νγν=ν

ze z

zGz

zGzN0

,,

,

,,,, d (11.287)

reprezintă câştigul spectral şi respectiv numărul de fotoni rezultaţi în urma amplificării emisiei spontane. În amplificatoarelor optice zgomotul poate fi caracterizat de raportul semnal-zgomot (optical Signal-to-Noise Ratio-SNR) care este definit cu ajutorul relaţiei:

( )( ) ( )

( )SNR

n z n z

zASE T

0

2

2z =

−

σ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= + + +G z n G z n N z G z N z n N z2 2 20 0 2 0/ (11.288)

în care paranteza ..... T reprezintă operaţia de mediere temporală efectuată pe

perioada unui bit (rata unui bit TB /1= ), iar ( )z2σ este puterea zgomotului măsurată în acest interval. O măsură a degradării de-a lungul amplificatorului a raportului semnal-zgomot este figura de zgomot optic ( )zF0 definită de relaţia:

( ) ( )( )zSNR

SNRzF

0

00

0= (11.289)

în care ( )00SNR reprezintă raportul semnal-zgomot la intrarea în amplificator. În cazul unui câştig mare ( )( )1 >>zG expresia figurii de zgomot devine:

( ) ( )( )ν

ν+=ν

,,21,0 zG

zNzF . (11.290)

Considerând un amplificator optic în regim de câştig liniar în care semnalul şi radiaţia de pompaj execută un parcurs dus-întors între oglinzile amplificatorului, relaţiile corespunzătoare dintre puterile undelor progresive

( )zP+ şi respectiv regresive ( )zP− sunt (fig. 11. 39)

( ) ( ) ( )zGPzP 0++ = (11.291)

( ) ( ) ( )zGzPP −− =0 . (11.292) Expresiile câştigului ( )ν,zG (relaţia (11.286)) şi amplificării emisiei

spontane ( )ν,zN (relaţia (11.287)) la ieşirea din amplificator, Lz = (cu reflectivitatea oglinzii ( )LR ), şi respectiv la intrare, 0=z (cu ( ) 00 =R ), sunt de forma [11.14]:


301

( ) ( ) ( )( )LRLGLGi −ν=ν 1,, (11.293)

( ) ( ) ( )LRLGGi ν=ν ,,0 2 (11.294)

( ) ( )( ) ( )∫⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ

ν−=νL ei z

zG

zLGLRLN

0

'd,'

,',1, (11.295)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫ ννγ+

ννγ

ν=νL

e

Lei zzGzz

zGz

LGLRN00

2 ',','',','

,,0 dd (11.296)

unde:

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ να−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ=ν ∫

L

ae zzzLG0

,,,,,exp, d . (11.297)

Fig. 11. 39. Reprezentarea schematică a amplificatorului optic în funcţionarea cu trecerea

dublă a semnalului şi a radiaţiei de pompaj prin cavitate. Pentru deducerea relaţiilor (11.293)-(11.294) s-a considerat că spectrul zgomotului rămâne neschimbat în urma trecerii acestuia prin cavitate şi respectiv reflexiei pe oglinzi.

11.4.4. Simularea amplificării într-un ghid optic integrat de tip

Er +3 :Ti:LiNbO 3 În cazul unui semnal având λ =1531 nm şi a unei radiaţii de pompaj cu

λ =1484 nm spectrul câştigului ( )ν,0iG (relaţia (11.264)) la o trecere dublă printr-un ghid optic de undă de tip Er:Ti:LiNbO3, obţinut prin rezolvarea numerică a ecuaţiilor (11.272), (11.273), este prezentat în figura 11. 40 [11.14].

Pentru simularea amplificării s-au folosit următoarele valori ale secţiunilor eficace de absorbţie ( )a şi emisie ( )e pentru radiaţia de pompaj ( )p şi semnal

OPTICĂ INTEGRATĂ

302

( )s în cele două polarizări TE şi TM [11.2]: aTEσ (1484 nm)=5,61 × −10 25 2m ,

aTMσ (1484 nm)=3,46 × −10 25 2m , e

TEσ (1484 nm)=1,92 × −10 25 2m , eTMσ (1484 nm)=1,105 × −10 25 2m , a

TEσ (1532 nm)=17,24 × −10 25 2m , aTMσ (1532 nm)=12,15 × −10 25 2m , e

TEσ (1532 nm)=16,36 × −10 25 2m , eTMσ (1532 nm)=11,53× −10 25 2m . Profilul ionilor de Er +3 având o concentraţie

de 7,0 32510 −× m a fost considerat de tip gaussian în adâncime (adâncimea de pătrundere fiind de 20 μm) şi constant pe lăţimea ghidului a cărui lungime este L =5,4 cm.

Fig. 11. 40. Spectrul câştigului la o trecere dublă prin cavitate; curba a) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 150 mW (regim de pompaj puternic), curba b) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 25 mW (regim de pompaj slab, în apropiere de prag).

Pentru pierderile α şi timpul de viaţă de fluorescenţă τ s-au considerat valorile: α =3,7 dBm 1− pentru polarizarea TE, α=4,8 dBm 1− pentru polarizarea TM şi τ=2,6 ms. În simularea amplificării prezentată anterior atât semnalul cât şi radiaţia de pompaj au polarizarea TE. Studiul teoretic al câştigului, în regim liniar, în funcţie de distanţă ( )zG = ( )[ ]zPsemnalln evidenţiază posibilitatea obţinerii unor câştiguri de

22,93 dB, la o singură trecere prin cavitate ( ) ( )( )00 == LRR , şi de 41,69 dB la o trecere dublă ( )( )0,98=LR , în cazul unei puteri a radiaţiei de pompaj de 150 mW (fig. 11. 41) [11.14].

În cazul unei singure treceri prin cavitate câştigul începe să se satureze pentru o lungime a ghidului de aproximativ 21 cm. Puterea corespunzătoare pragului este de 18,5 mW în cazul unei singure treceri a semnalului prin cavitate şi de 18,5 mW în cel al unei treceri duble.


303

Ţinând seama de relaţiile (11.288), (11.289) în condiţiile amintite, expresiile raportului semnal-zgomot ( )ν,zSNR şi respectiv figurii de zgomot ( )ν,zF la ieşire devin:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )∫ ν

νγν+

ν=ν L

e

i

zzGzLG

LGnLSNR

0'

,',',21

,0,

d (11.298)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ννγ+ν−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ννγ

ν+ν

ν=ν

L

e

Le

i

zzGzLGzzGz

LGLGLR

LGLRnSNR

00

2

,','2,1',','

,21,

,0,0

dd

(11.299)

( )( ) ( )

( )( )ν

ννγ

ν+

=ν∫,

',','

,21, 0

LG

zzGz

LGLF

Le

id

(11.300)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ν

ννγ+ν−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ννγ

ν+ν

=ν∫∫

,

',','2,1',','

,21,

,02

00

LGLR

zzGzLGzzGz

LGLGLR

F

L

e

Le

i

dd

. (11.301)

Fig. 11. 41. Dependenţa de distanţă a câştigului pentru diferite valori ale reflectivităţii oglinzii de ieşire: a) R(L)=0,98, b) R(L)=0,56, c) R(L)=0,14 şi

d) configuraţia pentru o singură trecere R(L)=0. Pentru deducerea relaţiilor (11.298)-(11.301) s-a considerat că semnalul la

intrare este caracterizat de o distribuţie de tip Poisson ( ) ( )( )00 n=σ2 .

OPTICĂ INTEGRATĂ

304

Expresiile câşţigului şi a figurii de zgomot pot fi folosite pentru caracterizarea amplificării în ghidurile optice de undă cu ajutorul unui factor de calitate, ( )ν,zQ definit cu ajutorul relaţiei:

( ) ( )( )ν

ν=ν

,,,

zFzGzQ (11.302)

La cele două capete ale amplificatorului, Lz = şi 0=z , expresiile factorului de calitate devin:

( ) ( )

( ) ( )( )∫ ν

νγν+

ν=ν L

e

i

zzGzLG

LGLQ

0

2

'd,',',21

,, (11.303)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ννγ+ν−+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ννγ

ν+ν

ν=ν

L

e

Le

i

zzGzLGzzGzLGLGLR

LGLRQ

00

42

'd,','2,1'd,',',21,

,,0 . (11.304)

În figurile 11. 42-11. 45 sunt prezentate dependenţele spectrale ale amplificării emisiei spontane, figurii de zgomot, a raportului semnal-zgomot şi respectiv a factorului de calitate în cazul unei treceri duble a semnalului prin cavitate optică.

Fig. 11. 42. Dependenţa spectrală a emisiei spontane amplificate: curba a) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 150 mW (regim de pompaj puternic), curba b) corespunde

unei puteri a radiaţiei de pompaj de 25 mW (regim de pompaj scăzut, în apropiere de prag).

În cazul pompajului ghidului de tip Er:Ti:LiNbO3 peste prag ( ( )0P =50 mW) valorile maxime ale spectrului amplificării emisiei spontane în cazul undelor progresive sunt cu aproximativ 5 % mai mici decât cele corespunzătoare undelor regresive, acest efect înregistrându-se şi în cazul fibrelor

optice dopate cu ioni de Er +3 [11.1]. În regim de pompaj puternic aceste diferenţe dispar. Acelaşi efect a fost pus în evidenţă şi în cazul spectrului figurii de zgomot.


305

Dependenţele spectrale ale mărimilor prezentate în figurile 11. 42-11. 45 sunt determinate de spectrul secţiunilor eficace de absorbţie şi emisie.

Fig. 11. 43. Dependenţa spectrală a figurii de zgomot; curba a) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 150 mW (regim de pompaj puternic), curba b) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 25 mW (regim de pompaj scăzut, în apropiere de prag).

Fig. 11. 44. Dependenţa spectrală a raportului semnal-zgomot; curba a) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 150 mW (regim de pompaj puternic), curba b) corespunde

unei puteri a radiaţiei de pompaj de 25 mW (regim de pompaj scăzut, în apropiere de prag).

Din dependenţa spectrală a figurii de zgomot în cazul unei treceri duble a semnalului prin cavitate şi regim de pompaj puternic se observă că valorile maxime ( ( )F 0,ν = 5,8 dB) sunt comparabile cu cele obţinute în cazul amplificatoarelor

din fibrele oprice dopate cu Er +3 . De asemenea, în cazul unei treceri duble a semnalului prin cavitatea având

lungimea de 5,4 cm şi regim de pompaj puternic ( ( )0P =150 mW) este posibil să se obţină un câştig mare (14,5 dB) şi o figură de zgomot mică (5,9 dB), deci un factor de calitate mare.

OPTICĂ INTEGRATĂ

306

Fig. 11. 45. Dependenţa spectrală a factorului de calitate; curba a) corespunde unei puteri a

radiaţiei de pompaj de 150 mW (regim de pompaj puternic), curba b) corespunde unei puteri a radiaţiei de pompaj de 25 mW (regim de pompaj scăzut, în apropiere de prag).

11.4.5. Caracterizarea experimentală a amplificatoarelor optice

integrate de tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 Soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale (11.272) şi (11.273) poate fi obţinută numai prin integrare numerică. În cazul unui ghid optic de tip Er 3+ :Ti:LiNbO 3 (de 7 μm lăţime şi 4,8 cm lungime) tăiat după axa z câştigul

( ) ( )[ ]( )zPzg sln= calculat teoretic din ecuaţiile (11.293), (11.294) şi cel măsurat experimental în funcţie de puterea cuplată în ghidul optic de undă, ( )0pP este

prezentat în figura 11. 46. Din figura 11. 46 se observă că există o bună concordanţă între rezultatele teoretice şi cele experimentale [11.3], [11.4].

Fig. 11. 46. Câştigul calculat teoretic (curba netedă) şi cel măsurat experimental funcţie de

puterea cuplată în cazul unui ghid optic de tip Er 3+ :Ti:LiNbO 3 în polarizarea π pentru diferite valori ale lungimii de undă corespunzătoare semnalului,

( 1λ =1,532 μm, (1), 2λ =1,546 μm, (2), 3λ =1,532 μm (3)).


307

11.5. Statistica fotonilor într-un amplificator optic integrat 11.5.1. Descrierea teoretică a statisticilor de fotoni

Ecuaţia (11.252) (photon statistics master equation) care guvernează statistica fotonilor poate fi rezolvată exact prin metoda funcţiei generatoare de probabilitate [11.1]. În acest mod, este posibilă obţinerea distribuţiei de probabilitate ( )P zn şi a momentelor corespunzătoare de diferite ordine ( )n zk

( k =1, 2, 3, ....). În cazul funcţionării amplificatorului în regim de câştig liniar (puterea semnalului este mult mai mică decât a radiaţiei de pompaj) pentru momentul de ordinul întâi ( )n z soluţia este identică cu cea dată în relaţia (11.285), iar

momentul de ordinul doi ( )n z2 este dat de relaţia [11.1]:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n z G z n n G z N z n G z n N z N z2 2 2 20 0 4 0 0 2= − + + + + . (11.305)

Cu ajutorul celor două momente se poate calcula varianţa statisticii de fotoni la ieşirea din amplificator sub forma

( ) ( ) ( )[ ]σ2 2 2z n z n z= − . (11.306)

Înlocuind expresiile momentelor de ordinele întâi şi doi în relaţia (11.306) se obţine

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )σ σ2 2 2 20 0 0 2 0z G z n G z n N z G z n N z= − + + + + (11.307)

unde

( ) ( ) ( )[ ]σ2 2 20 0 0= −n n (11.308)

reprezintă varianţa statisticii de fotoni la intrarea amplificatorului. În relaţia (11.307) primul termen care este proporţional cu ( ) ( )σ2 0 0− n , numit şi zgomot excedentar (excess noise), reprezintă contribuţia statisticilor de fotoni ale semnalului de intrare la zgomotul corespunzător ieşirii din amplificator. Un semnal de intrare caracterizat de o distribuţie de tip Poisson

( )( ) ( )P

n

nn

nn0

0 0=

−

!e (11.309)

are varianţa statisticii de fotoni ( ) ( )σ2 0 0− n . Deci, în cazul unor semnale de intrare care au o statistică de tip Poisson ce caracterizează stările cuantice coerente reprezentate de surse de lumină coerente contribuţia la zgomotul de ieşire corespunzătoare termenului ( ) ( )σ2 0 0− n se anulează. Pe de altă parte, în cazul unor semnale de intrare haotice sau de natură termică distribuţia de probabilitate se supune statisticii Bose-Einstein

OPTICĂ INTEGRATĂ

308

( )( )P U U

n nn

nn

( ) = ( - ) =+ ( ) /

0 0 1 01

1 01

1 1 0+ cu ( )( )U n0 1 0 1= +/ (11.310)

şi are varianţa

( ) ( ) ( )σ2 20 0 0= +n n . (11.311)

În cazul unor semnale de intrare care au o statistică de tip Bose-Einstein contribuţia la zgomotul de ieşire corespunzătoare termenului ( ) ( )σ2 0 0− n nu se anulează, aceasta fiind proporţională cu media semnalului de la intrare. A doua contribuţie importantă din relaţia (11.307) în ceea ce priveşte zgomotul, ( )G n N0 + , (shot noise), corespunde puterii medii la ieşire şi caracterizează contribuţia acestuia în procesul de fotodetecţie. Ultimii doi termeni ai relaţiei (11.307) sunt ( )2 0 2G z n N z N z( ) ( ) ( )+

(beat noise). Termenul ( )2 0G z n N z( ) ( ) este proporţional cu produsul corespunzător puterilor la ieşire ale semnalului şi zgomotului şi este prezent în statisticile de fotoni de la ieşirea din amplificator chiar şi în absenţa amplificării emisiei spontane. Din cele prezentate anterior se poate trage concluzia că zgomotul la ieşire este determinat nu numai procesul de fotodetecţie ci şi de statisticile luminii amplificate. Statisticile de fotoni la ieşirea din amplificatorul optic integrat mai pot fi caracterizate de factorul Fano ( ) ( ) ( )f z z n z= σ2 / (11.312) şi de fluctuaţia statistică [11.1]:

( ) ( ) ( )e z z n z= σ / . (11.313) În cazul unor semnale caracterizate de statistica Poisson factorul Fano este

f =1 şi fluctuaţia statistică ( )e n=−1 2/

, în timp ce pentru semnale caracterizate

de statistica Bose Einstein f n= + 1 şi ( )e n= +−

1 11 2

//

.

Considerând că la intrarea în amplificator semnalul este descris de o statistică de tip Poisson în cazul unor câştiguri mari relaţiile (11.312), (11.313) devin [11.1]:

( ) ( ) ( )[ ]121 −νν+≈ν ,,, zGznzf sp (11.314)

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]{ }e zG z n

n z G zsp,,

, ,/

νν

ν ν≈ + −10

1 2 11 2

(11.315)

unde:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

,,','

,,

,,,

0z

zGz

zGzG

zGzNzn

ze

sp d11 ∫ ν

νγ−νν

=−νν

=ν (11.316)

este factorul emisiei spontane.


309

Ţinând seama de relaţiile (11.95)-(11.97) şi (11.101), (11.102) se poate calcula numărul mediu de fotoni şi varianţa statistică la ieşire în cazul unei singure treceri a semnalului prin cavitate sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) '

,',',10,,

0z

zGzLGLRnLGLn

Le d∫ ν

νγν−+ν=ν+ (11.317)

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

22

22

',',',

',',',2,,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ννγ

ν

+ννγ

ν+ν=νσ

∫

∫++

zzGzLG

zzGzLGLnL

Le

Le

d +

d

0

0 (11.318)

şi respectiv în cazul unei treceri duble:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ',','

',','

,10,,0 22

zzGz

zzGz

LGLRLRnLGLRn

L

e

Le

d+

d

0

0

∫

∫

ννγ

+ννγ

ν−+ν=ν−

(11.319)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .'d

,',',1 'd,','

d,',',1 'd,','

,2,0,0

2

0

2

0

0

2

0

22

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ννγ

ν−+ννγ

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ννγ

ν−+ννγ

×ν+ν=νσ

∫∫

∫∫

−−

zzGzLGLRLRzzGz

zzGzLGLRLRzzGz

LGLRn

Le

L

e

Le

L

e (11.320)

În cazul unei singure şi respectiv a unei duble treceri a semnalului prin cavitate expresiile corespunzătoare factorului Fano (11.314) şi fluctuaţiei statistice (11.315) se scriu sub forma:

( ) ( ) ,,,

,,,21,

0z

zG

zLGLf

L ed∫

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ

ν+=ν (11.321)

OPTICĂ INTEGRATĂ

310

( )( ) ( )

( )

2/1

0

,,,

,,,21

0,1,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ

ν+ν

=ν ∫ zzG

zLG

nLGLe

L ed (11.322)

şi

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1,,,,,,2

,,,

,,,21,,0

0

0

+ν−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ+

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ

ν+ν=ν

∫

∫

LGzzGz

zzG

zLGLRLGf

L

e

L e

d

d

(11.323)

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2/1

0

2

0

,d,,

,,,'d,,,,21

0,21,0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ

ν+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ+×

×ν

=ν

∫∫ zzG

zLGLRzzGz

nLGLRe

L eL

e

(11.324)

Expresia factorul emisiei spontane (11.286) în cazul unei singure treceri a semnalului prin cavitate este

( ) ( )( )

,,,

,,

1,,,

0z

zG

z

zGzGLn

L esp d∫

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νγ

−νν

=ν . (11.325)

11.5.2. Simulări asupra statisticilor de fotoni într-un amplificator de

tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 cu funcţionarea în regim de câştig liniar Studiul teoretic al statisticilor de fotoni este determinat de posibilitatea obţinerii unor amplificatoare optice integrate care să aibă câştig mare, zgomot mic şi în acelaşi timp să păstreze caracteristicile legate de coerenţa semnalului [11.15]. Pentru simularea numerică a statisticilor de fotoni într-un amplificator de

tip Er +3 :Ti:LiNbO 3 cu funcţionarea în regim de câştig liniar s-au folosit datele prezentate la paragraful 11.4.


311

În figura 11. 47 este prezentată dependenţa de lungimea de undă a factorului Fano în cazul unei treceri duble a semnalului având o putere de 1 μ W prin cavitate pentru diferite puteri ale radiaţiei de pompaj [11.15].

Fig. 11. 47. Distribuţia spectrală a factorul Fano în cazul unei treceri duble a semnalului prin cavitate pentru două valori ale puterii radiaţiei de pompaj: a) P(0)=150 mW

(pompaj puternic) şi b) P(0)=25 mW (pompaj scăzut). Dependenţele factorului Fano corespunzătoare unui semnal având λ =1531 nm de puterea radiaţiei de pompaj şi de lungimea ghidului în cazul unui pompaj puternic (150 mW) sunt prezentate în figurile 11. 48 şi respectiv 11. 49.

Fig. 11. 48. Dependenţa factorului Fano a unui semnal cu λ =1531 nm de puterea radiaţiei

incidente în cazul unui ghid optic având L =5,4 cm.

Din aceste figuri se observă că odată cu creşterea puterii de pompaj şi respectiv a lungimii ghidului optic factorul Fano creşte până la valori la care funcţia de distribuţie nu mai poate fi aproximată cu una de tip Poisson. Astfel, statisticile la ieşirea din amplificatorul optic integrat pot fi considerate de tip Poisson numai pentru ghiduri având lungimi mai mici de 6 cm şi pentru puteri ale radiaţiei de pompaj mai mici de 100 mW.

OPTICĂ INTEGRATĂ

312

Distribuţia spectrală a fluctuaţiei statistice corespunzătoare unui semnal având λ =1531 nm în cazul unei treceri duble a semnalului prin cavitatea cu L =5,4 cm pentru două valori ale puterii radiaţiei de pompaj: a) ( )0P =150 mW şi b) ( )0P =25 mW este prezentată în figura 11. 50.

Fig. 11. 49. Dependenţa factorului Fano a unui semnal cu λ =1531 nm de lungimea ghidului optic în cazul unei puteri a radiaţiei incidente de 150 mW.

Fig. 11. 50. Distribuţia spectrală a fluctuaţiei statistice în cazul unei duble treceri a semnalului prin cavitate pentru două valori ale puterii radiaţiei de pompaj:

a) ( )0P =150 mW şi b) ( )0P =25 mW; L =5,4 cm. Rezulatele numerice obţinute în cazul fluctuaţiei statistice şi al factorului emisiei spontane la ieşirea din amplificatorul optic integrat de tip

Er +3 :Ti:LiNbO 3 cu funcţionarea în regim de câştig liniar confirmă faptul că statisticile fotonilor unui semnal cu λ =1531 nm pot fi considerate de tip Poisson numai pentru ghiduri având lungimi de ordinul a câtorva cm şi pentru puteri de intrare ale radiaţiei de pompaj de ordinul zecilor de mW [11.3].

12. APLICAŢII ALE OPTICII INTEGRATE

12.1. Aplicaţii în telecomunicaţiile optice 12.1.1. Sistemul de comunicaţii optice Scopul oricărui canal de comunicaţii este de a transmite informaţii pe o anumită

distanţă. Performanţele canalului de comunicaţii sunt determinate atât de distanţa la care se pot transmite informaţiile fără repetori intermediari, cât şi de cantitatea de informaţii transmisă şi de lipsa erorilor. Aceste caracteristici sunt determinate de natura informaţiei şi de modul în care aceasta este cuantificată [12.1]-[12.10]. Schema bloc generală a unui canal de comunicaţii optice este identică ca formă cu cea din sistemul de comunicaţii radio şi este prezentată în figura 12. 1.

Fig. 12. 1. Schema bloc a unui canal de comunicaţii optice. Diferenţa constă în faptul că frecvenţa purtătoarei optice este cu câteva

ordine de mărime mai mare decât cea utilizată în sistemul de comunicaţii prin unde radio sau microunde. În cazul general informaţia implică existenţa unor parametri fizici care variază continuu în timp şi pot lua orice valoare într-un anumit domeniu (de exemplu, presiunea undelor sonore care caracterizează vorbirea sau intensitatea luminoasă a unei imagini optice). Traductoarele convertesc informaţia într-un semnal electric care variază continuu, semnalul numindu-se în acest caz analog (de exemplu, microfoanele sau camerele TV). 12.1.2. Codificarea semnalelor Există însă şi semnale discrete, ca de exemplu literele unei pagini, care sunt entităţi individuale şi pot fi transmise ca entităţi discrete la anumite momente discrete de timp. De asemenea, informaţia se poate prezenta şi sub formă discretă care să varieze continuu în timp sau eşantionată într-un anumit domeniu de valori, dar numai la anumite momente discrete de timp (fig. 12. 2). În oricare dintre aceste patru cazuri informaţia poate fi cuantificată într-o secvenţă de semnale digitale binare discrete (biţi) care să o caracterizeze în întregime. Numărul de biţi necesari pentru a caracteriza informaţia în forma ei originală este o măsură a cantităţii de informaţie care se vehiculează.


Pe baza teoremei de eşantionare trebuie ca frecvenţa ( )Tfs /1= să fie de două ori mai mare decât cea corespunzătoare semnalului fundamental, . Pentru a fi îndeplinită această condiţie, dedusă pentru prima dată de Nyquist, semnalul fundamental trebuie filtrat cu un filtru trece jos care lasă să treacă numai frecvenţele mai mici decât . Domeniul de frecvenţe cuprins între 0 şi reprezintă banda de frecvenţă a semnalului,

mf

mf mffΔ . În acest caz , iar

. mff =Δ

ms fff 22 =Δ>

Fig. 12. 2. Etapele convertirii unui semnal analog într-un semnal digital binar: a) semnal analog; b) semnal analog eşantionat la intervale de timp, T ;

c) eşantionare cu alocarea amplitudinii; d) informaţie eşantionată sub formă digitală binară.

În practică, semnalele prezintă fluctuaţii aleatorii care constituie zgomotul. Raportul dintre amplitudinea maximă a semnalului ( )SA şi rădăcina pătrată a

amplitudinii care prezintă zgomot ( )NA determină numărul de niveluri, , necesare pentru a da o reprezentare precisă a semnalului fundamental (fig. 12. 2 a). Pe baza teoremei de eşantionare, pentru ca un semnal să poată fi codificat în sistemul digital binar, trebuie ca fiecare valoare eşantionată (fig. 12. 2 c), d)):

m

. (12.1) mN 2log=În cazul decodificării unui semnal digital binar pentru a-l reproduce pe cel

original, erorile produse de cuantificarea amplitudinilor eşantionate generează un zgomot suplimentar numit zgomot de cuantificare care este comparabil sau mai mic decât zgomotul original. Pentru a reprezenta semnalul original care este caracterizat de o bandă având lărgimea fΔ (Hz) şi un domeniu dinamic

este necesar un număr minim de biţi binari, NS AA / B pe secundă [b/s]:

Aplicaţii ale opticii integrate 315

( )[ ] ( )[ ]22

2/122 /1log/1log2 NSNS AAfAAfB +Δ=+Δ= . (12.2)

Deci, un canal de comunicaţie care poate transmite un semnal având o bandă de lărgime şi un raport dintre maximul semnalului şi rădăcina pătrată a

zgomotului la receptor are o capacitate

fΔ

NS AA / B [b/s], dată de relaţia (12.2) (formula Shannon). În practică este mult mai mare decât unitatea şi se măsoară în

dB. Considerând că valoarea raportului exprimată în [dB] este NS AA /

NS AA / X :

( )NS AAX /log20]dB[ 10= (12.3) atunci ]Hz[]dB[332,0]b/s[ fXB Δ= (12.4) De exemplu, în cazul sistemului de televiziune PAL caracterizat de 625 linii semnalul video ocupă un domeniu de frecvenţă de 5,5 MHz. Pentru a avea o calitate bună a imaginii trebuie ca raportul dintre amplitudinea semnalului şi rădăcina pătrată a zgomotului să fie de 60 dB. Pe baza relaţiei (12.4) rata informaţiei este de 110 MB/s, iar un film de 120 minute conţine 790 Gbit.

12.1.3. Structura sistemului de comunicaţii optice Componentele de bază ale unui sistem de comunicaţii optice (fig. 12. 1)

sunt următoarele: - sursa optică, - dispozitivul pentru modularea semnalului optic la ieşirea din sursă cu semnalul care trebuie transmis, - mediul de transmisie, - fotodetectorul care transformă semnalul optic în semnal electric, - dispozitivele electronice pentru amplificarea şi procesarea semnalelor în vederea obţinerii semnalului transmis. În cazul utilizării ca mediu de transmisie a fibrelor optice numai laserele şi diodele semiconductoare luminiscente (LED-urile), ca surse optice, sunt compatibile cu acest sistem şi fotodiodele semiconductoare ca detectoare. Există mai multe combinaţii posibile ale surselor şi respectiv ale detectoarelor care sunt compatibile cu sistemul optic de transmisie a informaţiei prin fibre optice. Lărgimea benzii semnalului transmis este determinată de: - viteza la care sursa poate fi modulată, - modulatorul însuşi, - mediul de transmisie, - detector, - componentele receptorului. În practică LED-urile pot fi modulate fără dificultăţi până la frecvenţe de ordinul 100 MHz, iar laserele până la 1 GHz. Semiconductoarele p-i-n şi diodele în avalanşă prezintă răspuns la semnale modulate în frecvenţă de aproximativ 10 GHz.


Una dintre aplicaţiile practice cele mai răspândite ale fibrelor optice care a revoluţionat domeniul telecomunicaţiilor este legată de utilizarea acestora la transmisia optică a informaţiei. Această revoluţie a fost acompaniată şi de dezvoltarea Internetului care în ultimul timp are un număr foarte mare de utilizatori [12.1]-[12.5]. Întrucât fibrele optice acţionează ca medii dispersive acestea sunt caracterizate mai bine de produsul dintre lărgimea benzii şi distanţă cuprins între 10 MHz.km şi 100 GHz.km şi depinzând de tipul fibrei şi de caracteristicile sursei folosite. Coeficientul de absorbţie în cazul fibrelor optice cu pierderi scăzute este de aproximativ 0,2 dB/km. Până recent, metoda clasică de compensare pentru pierderile de-a lungul liniei de transmisie a implicat folosirea repetorilor. Repetorul este un dispozitiv bazat pe tehnologia hibridă ce include ambele componente, electronică şi optică. Acesta detectează semnalul luminos, egalează unda sau emite un puls electronic şi apoi regenerează semnalul optic modulat care este ulterior reinjectat în fibră. Capacitatea reţelei sau lungimea liniei de transmisie care utilizează acest tip de repetor este limitat de caracteristicile componentelor electronice. Începând cu ultimul deceniu, repetorii pierd teren în faţa fibrelor optice amplificatoare, mult mai rentabile decât aceştia. De asemenea, în aceeaşi perioadă de timp, sistemele clasice de comunicaţii s-au dovedit a fi învechite pentru transmisia la distanţă, continuând totuşi, să fie folosite în reţelele locale de telecomunicaţii.

Aceste sisteme au fost înlocuite cu cele din generaţia a II-a ce utilizează fibră monomod şi surse având lungimile de undă cuprinse între 1300 şi 1500 nm, care asigură capacitate mai mare de transmisie şi mai puţini repetori. Sistemele cu fibră monomod au început să joace un rol primordial în comunicaţiile pe uscat sau submarine, aşa cum se poate observa şi în figura 12. 3.

Fig. 12. 3. Reţea transoceanică de cabluri optice. În tabelul 12. 1 sunt prezentate prin comparaţie câteva dintre avantajele şi dezavantajele sistemelor de comunicaţii optice [12.6]-[12.10].

12.1.4. Amplificatoare pentru transmisii optice terestre

Reţeaua de comunicaţii terestre este bazată pe tehnologia amplificatoarelor

optice din fibrele optice dopate cu ioni de Er care a fost utilizată prima dată în +3


cazul transmisiilor submarine. Deşi există mai multe tipuri de operare, cel mai des se utilizează pentru transmisia terestră ultradensă de date multiplexarea prin divizarea lungimii de undă (Wavelength-Division Multiplexing-WDM), prezentată în capitolul 6 şi în ultimul timp multiplexarea densă prin divizarea lungimii de undă (Dense-Wavelength-Division Multiplexing-D-WDM).

Tabelul 12. 1.

Avantaje Dezavantaje Atenuare şi dispersie scăzute Dificultăţi de îmbinare a fibrelor Repetori pentru distanţe > 100km şi rată mare de transmisie (> 1Gb/s)

Susceptibilitatea fibrei de a reacţiona cu H2 la imersia în apă a cablului

Flexibilitatea sistemului permite modernizări la preţuri scăzute

Sursele au eficienţă relativ scăzută şi de asemenea limitări de putere

Diametrul mic al canalului fibrei Este susceptibilă la ionizări Nu emite radiaţii, absenţa interferenţe electromagnetice

Neliniarităţile laserelor şi LED-urilor

Greutate scăzută, costuri de construcţie scăzute

Fibrele nu pot fi direct cuplate pentru acces multiplu

Flexibilitate de bandă Zgomot cuantic ridicat Securitate ridicată pentru comunicaţiile militare, comerciale

Nu sunt robuste din punct de vedere mecanic

12.1.5. Reţele de transport bazate pe multiplexarea lungimii de undă Reţelele de transport bazate pe multiplexarea lungimii de undă sunt utilizate pentru transmisiile telefonice, fax, TV, şi de date pe distanţe mari între centre de trafic importante, ca de exemplu: oraşe, noduri de reţele etc. (fig. 12. 4).

Fig. 12. 4. Schema bloc a unei reţele de transport bazată pe multiplexarea lungimii de undă.

Această reţea este conectată la reţelele metropolitane şi la reţelele de acces

de trafic regional sau local. Reţeaua de transmisie optică determină capacitatea maximă de transport dintre diferite ţări. Pentru a obţine o capacitate maximă de transport există mai multe soluţii. O reţea de transport conţine legături importante care acoperă transportul informaţiei între nodurile reţelei sau generatoare electrice între care pot exista distanţe de sute de km (300 km÷500 km corespunzând distanţelor medii, iar 600 km 800 km corespunzând distanţelor lungi). Diferitele celule de date care ÷


provin de la mai mulţi utilizatori sunt conectate împreună pentru a forma un curent principal fluent de date. La început, pentru realizarea acestor reţele au fost utilizate regeneratoare electrice al căror cost de fabricaţie era ridicat.

Odată cu creşterea traficului pe Internet a fost necesară transmiterea unui număr din ce în ce mai mare de celule. Întrucât de cele mai multe ori datele sunt transmise dintr-un punct şi se recepţionează într-un altul situat la sute sau mii de km faţă de primul este mai puţin costisitor dacă se utilizează reţele optice fără regeneratori electrici.

Cel mai des se utilizează pentru transmisia terestră ultradensă de date multiplexarea prin divizarea lungimii de undă (WDM) pentru a exploata din plin lărgimea mare a benzii care caracterizează fibrele optice monomodale fără a creşte semnificativ viteza de transmisie. Pentru aceasta se utilizează componente specifice care transferă curentul de date la lungimi de undă potrivite astfel încât pierderile pe distanţe lungi sau dintre un număr mare de noduri să fie minime, care redirecţionează curentul de date în funcţie de configuraţia reţelei, care adaugă sau evită canale în interiorul reţelei şi care selecţionează canalul dorit.

În cazul când între două noduri nu este disponibilă decât o singură legătură prin fibra optică se efectuează o transmisie bidirecţională pe baza căreia se pot efectua transmisii în două direcţii.

O caracteristică importantă a unei reţele de amplificatoare cu fibră optică este planitatea câştigului care este determinată de excursia câştigului între canalele multiplexorului (WDM) şi respectiv de lărgimea spectrală a câştigului.

Excursia câştigului între canalele multiplexorului este daterminată de variaţia câştigului cu lungimea de undă într-o anumită bandă dată care în general este situată în jurul câştigului maxim. Prin minimizarea excursiei câştigului amplificatorul funcţionează în regim de câştig plat. În cazul fibrelor optice amplificatoare dopate cu erbiu şi fluor s-a obţinut o valoare mică a excursiei câştigului într-un domeniu spectral de aproximativ 27 nm.

Lărgimea spectrală a câştigului corespunde lărgimii spectrale relativ la o anumită excursie spectrală dată. Lărgimea spectrală cea mai mare s-a obţinut în cazul fibrelor optice amplificatoare fabricate din siliciu dopate cu erbiu şi aluminiu sau telur având concentraţie mare. Deşi neuniformităţile câştigului şi raportului semnal-zgomot sunt acceptabile şi relativ simplu de corectat dacă semnalul de la multiplexor trece printr-o singură fibră amplificatoare dopată cu Er în cazul când semnalul trece prin mai multe amplificatoare legate în serie pot rezulta deteriorări dramatice ale acestuia datorită măririi pierderilor. În cazul când se utilizează N amplificatoare (fig. 12. 5) raportul semnal-zgomot la ieşirea dintr-o reţea, are valoarea cea mai mică pentru canalele caracterizate de puterea cea mai mică la intrarea în amplificator şi este dat de relaţia [12.4], [12.5]:

NSNR

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

=

−

k

kGk

PB

P

kkGkPB

PSNR

NASE

s

NASE

sN

11

11~

1...11~0

10

(12.5)


în care G~ este câştigul mediu al amplificatorului distribuit pe întregul spectru al semnalului având puterea într-un canal , este câştigul corespunzător unui canal ( în cazul canalelor cele mai puţin favorizate), reprezintă puterea emisiei spontane amplificate, iar este puterea zgomotului semnalului la intrarea în canal în interiorul benzii considerate.

sP Gk ~

1<k ASEP

0B

Fig. 12. 5. Schema bloc a unui amplificator optic format din N amplificatoare.

În cazul când se utilizează N amplificatoare ideale care funcţionează în

regim de câştig plat având 1=k pentru toate canalele raportul semnal-zgomot exprimat în dB corespunzător celei mai proaste situaţii este:

KNFPSNR sN −−−= log10dBdBdB (12.6)

unde reprezintă figura de zgomot, iar F K este o constantă. Din relaţia (12.6) se observă că raportul semnal-zgomot este determinat de puterea semnalului la intrare şi de figura de zgomot, fiind posibilă obţinerea unor amplificatoare ideale cu câştig plat.

Dacă se utilizează amplificatoare ideale care nu funcţionează în regim de câştig plat excursia câştigului limitează cel mai mult raportul semnal-zgomot, acesta fiind calculat cu ajutorul relaţiei:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

ν+

=

Δ

Δ

110110

20/

20/

0

min

G

GN

f

sN

BFhB

PSNR . (12.7)

În relaţia (12.7) fASE BGkFhP ν≅ , 2/GΔ ( )[ ]GkG /log10= klog10−= , fiind corespunzător celei mai nefavorabile situaţii. k

Din relaţia (12.7) se observă că pentru a îmbunătăţi raportul semnal-zgomot la ieşirea dintr-o reţea trebuie crescută puterea semnalului la intrarea în amplificator, aceasta fiind limitată de efectele neliniare care se pot manifesta în sistem. Puterea zgomotului semnalului la intrarea în amplificator, depinde de tipul de multiplexori utilizaţi. În cazul când se utilizează ca surse laserele cu cavităţi externe se obţine un raport semnal-zgomot de 60 dB, însă din motive economice, dar şi pentru stabilizarea lungimii de undă se utilizează lasere cu reacţie distribuită obţinându-se un raport semnal-zgomot de 40 dB.

0B


Dacă laserele sunt cuplate împreună în reţeaua de fibre utilizând un cuplor pasiv zgomotul cu bandă largă se adună pentru fiecare înrăutăţind raportul semnal-zgomot. Deşi sunt mai scumpi, se pot utiliza şi multiplexori fabricaţi în ghiduri optice de undă cu distribuţie intercalată (de tip pieptene), în acest caz cuplându-se semnalele cu diferite lungimi de undă având lărgimi spectrale înguste corespunzătoare fiecărui canal. În acest caz relaţia (12.7) devine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

ν= Δ

Δ

110110

20/

20/min

G

GN

f

sN BFh

PSNR . (12.8)

unde puterea zgomotului la intrare, a fost neglijată. 0B Dacă se utilizează un lanţ de amplificatoare legate în serie având o excursie a câştigului semnificativă relaţia (12.8) se scrie sub forma:

( ) ( )110log102

10log10 20/3dB

dBmmindB, −+

Δ−ν−−= ΔG

fsNGNBhFPSNR . (12.9)

sau în cazul aproximativ:

( )110log102

20/dBmmindB,1

mindB, −+

Δ−≅ ΔG

sNGNPSNRSNR . (12.10)

12.1.6. Caracterizarea amplificatoarelor bazate pe multiplexarea lungimii de undă

Unul dintre cei mai importanţi parametri care caracterizează amplificatoarele bazate pe multiplexarea lungimii de undă (WDM) este câştigul. Spectrul câştigului poate fi măsurat exact în cazul unor semnale având putere mare la intrare cu ajutorul montajului experimental prezentat în figura 12. 6.

( dBm 10≥ )

Ca sursă de bandă largă (albă) se poate utiliza un amplificator optic într-o fibră dopată cu erbiu (EDFA) în care este amplificată emisia spontană (ASE) care prezintă un câştig egalizat. Semnalul la ieşire este înregistrat cu ajutorul unui analizor optic de spectru.

Fig. 12. 6. Montajul experimental utilizat pentru măsurarea câştigului unui amplificator optic de tip WDM.

În figura 12. 7 sunt prezentate profilurile câştigurilor într-o fibră

amplificatoare dopată cu erbiu ţinând seama de inversia de populaţie. Curbele câştigurilor nu se intersectează unele cu altele; deci dacă câştigul creşte pentru o anumită lungime de undă (datorită inversiei de populaţie mare) acesta va creşte pentru toate celelalte lungmi de undă.


Nu este posibilă suprimarea unui maxim de câştig scăzând inversia de populaţie în timp ce se menţine acelaşi nivel de câştig la lungimile de undă din spectrul rămas. Ca urmare, nu există o inversie de populaţie corespunzătoare unui câştig plat într-un domeniu cu câştig mare (1530 nm÷1560 nm). De asemenea, în cazul unei inversii de populaţie constantă câştigul este invariant cu încărcarea canalului, adică este independent de numărul de canale şi poziţia acestora din punctul de vedere al lungimii de undă.

Fig. 12. 7. Profilurile câştigurilor într-o fibră amplificatoare dopată cu erbiu la diferite valori ale inversiei de populaţie.

Pentru a creşte capacitatea de transport în reţelele de tip WDM este

necesară utilizarea de noi benzi în afara celei (C) din intervalul 1530 nm 1560 nm. Deci, amplificarea semnalului trebuie să compenseze atenuarea introdusă de fibra optică (fig. 12. 8) şi pierderile modulelor amplificatoarelor. Această operaţie este posibilă utilizând amplificarea distribuită Raman pe distanţe mari.

÷

Fig. 12. 8. Spectrul atenuării unei fibre fabricate din siliciu.

Cele mai cunoscute benzi sunt următoarele: banda O, numită şi originală (1260 nm÷1360 nm), banda E, extinsă (1360 nm÷1460 nm), banda S, a lungimilor de undă scurte (1460 nm÷1530 nm), banda C, convenţională, (1530 nm 1565 nm), banda L, a lungimilor de undă lungi, (1565 nm 1625 nm) şi banda U sau XL, a lungimilor de undă lungi, (1625 nm

÷ ÷÷1675 nm). În ultimii

ani amplificarea Raman pe distanţe lungi cu viteze de transmisie mari şi foarte mari (mai mult de 160 Gbit/s) pe mai multe canale a fost pusă în evidenţă experimental, sistemele terestre operând deja în benzile C şi L [12.4], [12.6].


Pentru a îmbunătăţi eficienţa pompajului şi a obţine puteri mari la ieşire în cazul când se utilizează pentru pompaj radiaţia cu μm 48,1=λ există mai multe variante, una dintre cele mai cunoscute bazându-se pe dopajul unei fibre optice cu

ioni de , ionii de având o secţiune de absorbţie mare în domeniul IR apropiat al spectrului fiind implantaţi la exteriorul miezului fibrei. În urma excitării ionilor de Yb aceştia transferă eficient energia ionilor de Er , rezultând astfel o amplificare puternică a semnalului cu

++ − 33 YbEr +3Yb

+3 +3

mμ 53,1=λ (fig. 12. 9).

Fig. 12. 9. Diagrama energetică parţială a sistemului Er +3 -Yb . +3

Utilizând şi alţi ioni ai pământurilor rare ca elemente active s-au obţinut şi alte benzi (ferestre) de transmisie. Astfel, în cazul utilizării tuliului s-au obţinut ferestre de comunicaţii în jurul lungimilor de undă de 800 nm şi 1350 nm (în fibre optice de tip ZBLAN).

De asemenea, în ultimii ani s-au fabricat fibre optice amplificatoare dopate cu Pr pentru domeniul 1610 nm÷1650 nm şi respectiv cu sistemul Tm-Tb în banda XL, care în general sunt pompate de diode laser.

12.1.7. Reţele metropolitane Reţele de transmisie metropolitane privesc transmisia de date pe distanţe scurte (100 km 300 km) care pot să lege: diferite reţele, centre de afaceri importante, mari oraşe apropiate etc. (fig. 12. 10).

÷

Reţeaua metropolitană conţine un număr mult mai mare de componente în comparaţie cu cea naţională (de distanţă lungă). Pentru a fi eficientă din punct de vedere economic reţeaua metropolitană trebuie astfel proiectată încât să aibă un cost cât mai mic. De asemenea, componentele acesteia trebuie să fie cât mai compacte şi integrate.

Dispozitivele de răcire care evacuează energia disipată trebuie să nu perturbe temperatura mediului înconjurător sau funcţionarea altor dispozitive. Ţinând seama de cele prezentate rezultă că utilizarea amplificatorilor optici fabricaţi în fibre optice dopate cu Er devine o necesitate. Întrucât de obicei pentru transmisiile de date se utilizează semnale digitale raportul semnal-zgomot este îmbunătăţit. De asemenea, pierderile pe canalele optice sunt mici pentru că atenuarea în reţelele optice pe distanţe mici care conţin fibre este mică. Totuşi, există pierderi care se datorează divizării semnalului în nodurile de reţea sau unor dispozitive optice.


În ultimul timp s-au făcut progrese în compactarea fibrelor optice amplificatoare obţinându-se circuite hibride care conţin atât elemente pasive (cuplor+multiplexor+izolator) cât şi active (amplificator) în acelaşi dispozitiv. Un astfel de dispozitiv pompat cu o diodă laser cu m 98,0 μ=λ şi având puterea de 190 mW generează la ieşire un semnal cu puterea de 15 dBm [12.6].

Fig. 12. 10. Reţea de transmisie metropolitană. Prin utilizarea amplificatoarelor în ghidurile optice de undă fabricate în

semiconductoare, siliciu sau niobat de litiu dopate cu Er sau sistemul Er -Yb în locul celor pe fibră se pot reduce şi mai mult dimensiunile circuitelor optice.

+3 +3

+3

12.1.8. Reţele transoceanice

Fibrele optice amplificatoare au fost utilizate în ultimii ani şi în cazul transmisiilor optice transoceanice în locul repetorilor electronici. Astfel, au fost realizate sisteme submarine cu ajutorul cărora s-au transmis pe un singur canal optic semnale având m 5,1 μ=λ cu viteza de 5 Gbit/s pe distanţe lungi de 6000 km 9000 km, iar dacă a fost utilizată tehnica WDM viteza de transmisie a crescut de câteva zeci de ori.

÷

Principalele trasee transoceanice care leagă continentele sunt prezentate în figura 12. 3. Exploatarea reţelelor transoceanice trebuie garantată cel puţin 25 de ani, perioadă care este mai mare decât în cazul reţelelor terestre. Deşi operaţiile de întindere a cablurilor optice sau de reparare a acestora au devenit în ultimul timp de rutină, costurile sunt foarte mari. În ultimii ani au fost făcute eforturi atât pentru a mări capacitatea şi viteza de transport, ajungându-se până la valori de 1 Tbit/s, cât şi pentru a optimiza alţi parametri care caracterizează transmisia, ca de exemplu: nivelul câştigului şi puterea semnalului la ieşire (utilizând amplificarea Raman distribuită), configuraţia optimă a pompajului pentru ca figura de zgomot să fie minimă, alegerea potrivită a lungimii de undă (utilizând tehnica pompajului hibrid cu λ=980 nm/1480 nm), inversia de populaţie, compoziţia matricei gazdă pentru ionii elementelor active etc.


12.1.9. Montaje experimentale utilizate pentru transmisia informaţiei prin fibre optice

lungime km care conţine 140 de repetori optici ce leagă două oraşe di

În anul 1996 a fost realizată prima reţea telefonică transatlantică cu a totală de 12 239n Statele Unite ale Americii (Green Hill-Rhode Island, Shirley-New York)

şi alte două din Europa (Lands End din Anglia, Penmarc'h din Franţa) în care amplificarea semnalului având lungimea de undă λ =1,55 μm se face cu ajutorul

unor amplificatoare fabricate în fibre optice dopate cu Er +3 ig. 12. 11).

(f

Fig. 12. 11. Amplificatorul cu fibră optică dopată cu E

Semna c ajutorul unui uplor direcţional selectiv în domeniul lungimilor de undă (în sens contrar undei

inciden

r + . 3

lul având puterea de intrare inP mică este cuplat u

cte) cu radiaţia unui laser de pompaj cu m 1,48μ λ = [12.2]. Fibra folosită pentru transmisia propriu-zisă este sudată cu o alta dopată cu

Er +3 (având lungimea de 10 m) care r mplificarealizează a ea semnalului inies P , unde g este câştigul optic).

Izolatorul optic împiedică propagarea undei reflectate (care a fost ) în sen contrar celei incident

gP =

amplificată s e. Această reţea este capabilă să asigure un trafic

rte m

etori clasice şi în plus au un zgomot redus de 3,1 dB÷5,3 dB în compar

ilizate în telecomunicaţii. O ndă optică purtătoare perfect sinusoidală poate fi reprezentată de componenta

câmpul

de 10 Gbit/s. În zilele noastre, deşi costul pentru pentru producerea fibrelor

plificam atoare dopate cu Er este relativ ridicat, potenţialul de transmisie este foa are.

De asemenea, costul fibrelor amplificatoare dopate cu Er +3 este scăzut în raport cu rep

+3

aţie cu 7 dB÷10 dB al dispozitivelor clasice.

Amplificatoare şi modulatoare optice utu

ui electric ( ) ( )φ+ω= tEtE cosˆ . (12.11)


Dacă unda este modul nal ată de un sem ( )tf unda modulată în ampoate fi

(12.12) fiind amplitudinea pur arei, intensitatea m

iar faza modulată prin

plitudine reprezentată sub forma:

{ })(1ˆ0 tfEE += ,

0E tăto odulată poate fi reprezentată prin

( ){ }220

2 )1ˆ tfEE += , (12.13)

( ){ }t . f+= 10φφ (12.14) Frecvenţa modul ă poate fi exprimată î ăto

b form

(12.15)

iar frecvenţa unghiulară instantanee devi e:

at n funcţie de faza purt arei optice su a [12.1]:

⎨⎧

=t

1φφ ( )⎭⎬⎫

⎩+ ∫ ttf

00 d ,

n

( ) ( )tft 000tdd φωφωω +=+= . (12.16)

Modularea curentului de conducţmodula

ie a laserelor cu semiconductoare produce rea frecvenţei precum şi modularea intensităţii. Pentru obţinerea modulării

fazei este nevoie de un modulator extern, ceea ce conduce inevitabil la o pierdere de putere semnificativă în anumite cazuri. De aceea, schema arătată în figura 12. 12, în care modulatorul extern este urmat de un amplificator optic, este foarte folosită şi poate ajunge să domine sistemele de fibre optice din generaţia a III-a.

Modulaţia fazei se poate obţine prin trecerea luminii de-a lungul unui ghid de undă de tip panglică dintr-un material electrooptic, cum ar fi niobatul de litiu LiNbO 3 . Aplicarea unei tensiuni modulatoare electrozilor generează o variaţie a domeniului fazei din ghid. Pierderile survin în cuplajul dintre radiaţia internă şi externă modulatorului şi datorită atenuării din modulator.

Fig. 12. 12. Schema unui amplificator optic de putere pentru compensarea pierderilor

Un modulator extern de amplitudine (sau intensitate) poate fi un

cauzate de un modulator extern.

interferometru Mach-Zehnder integrat (fig. 12. 13). Tensiunea de modulare produce în acest caz o variaţie a diferenţei de fază relative dintre cele două drumuri. La ieşirea din ghid cele două unde se recombină ca suma a două moduri:


cel fundamental, care este ghidat, şi cel de un ordin superior, care este neghidat şi radiat în exterior. Cum diferenţa de drum variază proporţia puterii în fiecare mod se schimbă şi puterea de la ieşirea ghidului este modulată. Cu ajutorul interferometrului Mach-Zehnder pasiv se poate transforma modulaţia frecvenţei în modulaţie de intensitate. Metoda este prezentată în figura 12. 14 folosindu-se modulaţia frecvenţei radiaţiei generate de un laser cu semiconductoare cu reacţie distribuită (DFB).

Fig. 12. 13. Schema unui modulator de tip interferometru Mach-Zehnder din niobat litiu.

Tensiunea de modulaţie este aplicată electrodului central şi induce o

Avant obţine cu o

mplitudine mult redusă a curentului de modulare.

de

diferenţă de fază între cele două braţe ale interferometrului.

ajul este că modularea totală a intensităţii se poate a

Fig. 12. 14. Schema funcţionării interferometrului Mach-Zehnder integrat pentru conversia

modulaţiei de frecvenţă în modulaţia de intensitate: a) puterea în funcţie de curent, b) interferometrul cu diferenţa de drum LΔ (diferenţa de fază dintre cele două

braţe este cLf /2 Δ=Φ π ) şi este proporţională cu frecvenţa optică); c) lungimile braţelor l şi l sunt alese astfel încât să rezulte maxim sau 1 2

minim de putere la ieşire, deci: ( ) ππ2 12 =Δ− Lff .


Mai imp liniei spectrale este ult redusă ca şi limitare

într-un c

întâi în azul un

ortant este faptul că lărgimea ma cauzată de dispersia cromatică a fibrei. Un sistem de acest tip a fost

utilizat în cazul unei legături subacvatice fără repetori folosind 132 km de fibră standard monomod. Folosind un astfel de interferometru a intensităţii modulate cerută (OOK la 1,12 GHz) a fost obţinută cu o deviaţie a frecvenţei de intrare de 5 GHz (0,04 nm) şi legătura nu a fost limitată de dispersie. Modulaţia de frecvenţă ce ar fi apărut direct din modularea intensităţii laserului la această frevenţă a fost aproximativ 60 GHz (0.5 nm). Utilizând o fibră optică având un coeficient de dispersie de 15 ps/(km⋅nm) aceasta ar fi crescut la o lărgime de dispersie cu valoarea eficace de aproximativ 1 ns la 132 km şi în acest fel viteza de transmisie s-ar fi limitat la aproximativ 250 Mb/s. Acest exemplu demonstrează că pot exista avantaje operaţionale în folosirea tehnicii de modulare coerente împreună cu detecţia directă la receptor. Totuşi, un câştig mult mai mare poate fi obţinut atunci când semnalului receptat îi este adăugată ieşirea unui oscilator laser într-un receptor heterodină sau omodină.

În cazul utilizării unui amplificator optic încapsulat (packaged) fabricat

ghid optic de undă dopat cu Er +3 având dimensiunile 13x2,7x1,3 cm în reţeaua metropolitană s-a obţinut un âştig de 10 dB în toată banda C. Amplificatorul prezentat include un laser pentru pompaj (având răcirea de tip TEC), un multiplexor pentru radiaţiile de pompaj şi semnal, un cuplor prevăzut cu o fotodiodă pentru monitorizare, iar la ieşire un filtru şi un izolator [12.10]

Receptorul coerent. Principiul heterodinării a fost folosit mai c delor radio şi microundelor. Undele emise de un oscilator local se compun cu undele modulate recepţionate de la emiţător. Ambele surse fiind coerente şi menţinându-şi coerenţa mutuală în zona luminată a detectorului, curentul generat de fotodiodă are o componentă ce variază cu diferenţa frecvenţelor. În radiotehnică este extrasă frecvenţa intermediară (intermediare). Aceasta are aceeaşi modulare, a amplitudinii (MA), a frecvenţei (MF) sau a fazei (Mf), care e prezentă în unda recepţionată. Într-un receptor omodină frecvenţa oscilatorului local e aceeaşi cu cea a purtătoarei modulate şi cuplată în fază cu ea. Semnalul este demodulat direct în banda de jos. Modulaţia în frecvenţă nu poate fi folosită la recepţie, dar modulaţiile amplitudinii pot. Diagrama bloc a unui sistem coerent este prezentată în figura 12. 15.

Fig. 12. 15. Schema bloc a unui sistem de transmisie coerent.


În receptorul omodină 21 λλ = . Altfel sensibilitatea detecţiei este serios

ă r de und

ină componentele electronice discrete (c ceste

afectat dacă alinierea fronturilo ă ale celor două unde variază cu mai mult de câteva procente ale unei lungimi de undă pe întreaga suprafaţă şi, de asemenea, dacă distribuţiile intensităţii şi polarizarea nu sunt acordate.

Un sistem optic de transmisie a informaţiei cu amplificatoare optice des utilizat în practică este reprezentat schematic în figura 12. 16.

Deşi fibrele amplificatoare dopate cu Er +3 elima în cazul repetorilor hibrizi), a a prezintă dezavantajul

legat de folosirea mai multor amplificatoare conectate în cascadă pentru utilizatorii aflaţi la distanţă. Flexibilitatea sistemelor care utilizează pentru transmisia informaţiei fibre optice permite îmbunătăţirea acestuia în timp, prin diferite metode ca urmare a perfecţionării surselor, detectorilor şi a fibrelor optice.

Fig. 12. 16. Configuraţia unui sistem de comunicaţii cu fibră optică dopată cu

12.2. Senzori cu fibre şi ghiduri optice de undă

ive ghidate, pe baza unor pr

zorilor cu fibră

(temp c.) şi le transformă în mărimi electrice (curenţi sau

Er +3 .ridicat, dar au o eficienţă cuantică scăzută.

Senzorii cu fibre şi ghiduri optice de undă sunt dispozitincipii şi legi din optică permit monitorizarea unor fenomene fizice,

chimice, biomedicale etc. [12.11]-[12.14] (fig. 12. 17). Astfel, variaţia unor parametri fizici, chimici, biologici, medicali etc. este transformată cu ajutorul modulatorului optic în mărimi electrice (tensiuni, curenţi) care apoi sunt detectate şi măsurate.

Lumina incidentă provenită de la o sursă optică (care este în general un laser) este transmisă utilizând o fibră optică într-un dispozitiv (modulator) în care are loc modularea acesteia printr-un fenomen fizic, chimic sau biologic. Lumina modulată (emergentă) este transmisă înapoi tot printr-o fibră optică la un receptor, detectată şi demodulată. Receptorul poate fi astfel construit încât să existe o corelaţie unu-la-unu (one-to-one) între fenomenul studiat şi semnalul demodulat.

12.2.1. Principii funcţionale şi constructive ale senoptică

Un senzor este un dispozitiv care preia valorile unei mărimi fizice eratură, presiune et


tensiuni

ă multe avantaje

) direct utilizabile printr-un sistem de control sau achiziţie de date. Un traductor este un dispozitiv care preia valoarea unei mărimi fizice şi o transformă în mărime electrică. Diferenţa dintre un senzor şi un traductor constă în prezenţa acelei părţi a sistemului care furnizează la ieşire un semnal electric normalizat, direct proporţional cu mărimea măsurată şi cu cât mai puţine erori posibil.

Senzorii bazaţi pe fibră optică (Fibre Optic Sensor-FOS) au fost subiectul unor mari eforturi de cercetare în ultimii ani. Senzorii de acest tip ofer

faţă de tehnicile de detecţie convenţionale, incluzând o sensibilitate mare la măsurarea unor parametri fizici (ca de exemplu temperatura, presiunea, vibraţiile etc.). Senzorii cu fibră optică sunt construiţi din materiale dielectrice, deci pot fi utilizaţi la tensiune mare, câmpuri electric şi magnetic mari, temperatură mare etc. În ultimii ani au fost dezvoltate mai multe tipuri de senzori cu fibră optică [12.11]-[12.23].

Fig. 12. 17. Schema bloc a senzorului cu fibră optică.

Componen e de undă având construcţie în general simplă permit reducerea preţului de cost al fabricării

acesto

asificarea senzorilor cu fibră optică. Senzorii cu fibră optică pot fi lasificaţi în mai multe categorii în funcţie de diverse criterii. Pe baza tehnologiei

actuale

de cons

redefinite (fig. 12. 19). În acest ca

e mare se obţine n dispozitiv (senzor) cu pas de integrare extins de tip transmis (fig. 12. 20). Fibra

tele de bază ale senzorilor cu fibre şi ghiduri optic

ora.

Cl

csenzorii cu fibră optică pot fi configuraţi să opereze în modul distribuit în

care parametrul de interes care urmează a fi măsurat este monitorizat în mai multe puncte de-a lungul fibrei optice. Există două tipuri de sisteme de senzori distribuiţi:

- senzori distribuiţi intrinseci, în care parametrul de măsurat poate fi evaluat în orice punct al fibrei optice, rezoluţia spaţială fiind determinată în general

trângerile optoelectronice (fig. 12. 18). În acest caz, fibra acţionează ca senzor de-a lungul întregii sale lungimi. Funcţionarea acestui tip de senzori se bazează pe împrăştierile Rayleigh, Raman şi Brillouin,

- senzori cvasidistribuiţi, în care parametrul (câmpul) de măsurat este determinat, într-un anumit număr de regiuni (senzor) p

z fibra acţionează ca senzor numai pe anumite porţiuni, iar funcţionarea acestora se bazează în general pe fenomenele de retroîmprăştiere. De asemenea, dacă fibra acţionează ca senzor pe o porţiunu


s ai poate fi plasată la unul din capete, obţinându-se senzori de tip reflectant (fig. 12. 21) şi respectiv cu pas de integrare extins (fig. 12. 22).

enzor m

Fig. 12. 18. Senzor distribuit intrinsec.

O mare parte din dispozitivele utilizate pentru măsurarea diferiţilor arametri: temperatura, presiunea, deplasarea, câmpul magnetic şi agenţii chimici

pfac parte din categoria senzorilor de intensitate. Funcţionarea acestora se bazează pe: absorbţia diferenţială/atenuarea (colorimetrici), emisia (corpului negru), fluorescenţă/luminiscenţă, cavităţi etalon.

Fig. 12. 19. Senzor cvasidistribuit.

Fig. 12. 20. Senzor cu pas de integrare extins de tip transmis. Senzori ătoare: i cu fibră optică mai pot fi clasificaţi şi după schema urm


1. pe baza procesului de modulare şi demodulare un senzor poate fi numit ca fiind

e implică

un senzor de intensitate, un senzor de fază, un senzor de frecvenţă sau un senzor de polarizare. Deoarece detecţia fazei sau frecvenţei în optică necesită tehnici interferometrice, acest tip de senzor poate fi numit senzor interferometric;

2. din punctul de vedere al detecţiei, există tehnica interferometrică car detecţia heterodină/detecţia coerentă şi respectiv incoerentă. Senzorii de

intensitate sunt caracterizaţi de o detecţie incoerentă. Avantajul senzorilor modulaţi în intensitate este construcţia simplă şi compatibilă cu tehnologia fibrelor multimod, în timp ce senzorii interferometrici cu detecţie coerentă sunt mai complecşi, dar oferă o mai bună sensibilitate şi rezoluţie. Din categoria senzorilor modulaţi în intensitate fac parte senzorii optici cu reflexie (Optical Reflection Sensors).

Fig. 12. 21. Senzor de tip reflectant.

Fig. 12. 22. Senzor cu pas de integrare extins.

Senzorii interferometrici au avantajul că măsurătoarea este legată de o prop

optică pot fi clasificaţi în:

rietate intrinsecă ca de exemplu viteza, lungimea de undă sau frecvenţa. Aceşti senzori sunt caracterizaţi în general, de o construcţie mai complexă decât senzorii de intensitate. Pentru a face măsurători cu acest tip de senzor este nevoie de o aliniere de mare precizie a componentelor optice ce constituie interferometrul. Într-o fibră monomod proprietăţile coerente ale fasciculului propagat sunt menţinute, deci este posibil să se construiască un interferometru dintr-o singură fibră optică monomodală. Aceasta permite interconexiuni flexibile în sistemul de detecţie al senzorului şi elimină problemele legate de instabilitatea geometrică a interferometrelor convenţionale. Lumina emisă de sursa optică (laser) este cuplată într-o fibră, apoi fasciculul luminos este injectat în senzorul interferometric, iar în final acesta ajunge printr-o altă fibră optică la un detector optic, de obicei o fotodiodă, pentru procesarea semnalului (fig. 12. 23). Ţinând seama de aplicaţiile lor, senzorii cu fibră

1. senzori fizici (pentru măsurarea temperaturii, presiunii etc.);


2. senzori chimici (de exemplu pentru măsurarea pH-ului, analiza unui gaz, studii spectrometrice);

3. senzori bio-medicali (de exemplu senzori spectroscopici biomedicali, senzori ce măsoară simultan pH-ul, CO 2 , O , senzori ce monitorizează curgerea sângelui).

2

Fig. 12. 23. Schema bloc a unui senzor interferometric. Ambii senzori, de tip intensitate şi de tip interferometric, pot fi consideraţi ca făcând parte din oricare din aplicaţiile anterioare. Senzorii mai pot fi clasificaţi în senzori intrinseci şi respectiv extrinseci (fig. 12. 24 a), b)).

Fig. 12. 24. Schemele bloc ale senzorilor cu fibră optică de tip: a) intrinsec şi b) extrinsec.

Această clasificare este considerată ca fiind cea mai generală. Un senzor

este considerat intrinsec dacă se utilizează un mecanism traductor (senzor) care face parte din fibra optică (fig. 12. 24 a)), partea relevantă ce serveşte ca senzor, de obicei neputând fi distinsă de restul fibrei optice. Spre deosebire de acesta, un senzor extrinsec (fig. 12. 24 b)) utilizează o fibră optică pentru a conduce lumina la elementul de detectare sau dispozitiv, şi o altă fibră, identică sau nu cu prima, este utilizată pentru a conduce lumina procesată la un sistem fotodetector. Pe scurt, în cazul senzorilor intrinseci interacţiunea are loc în fibră, iar în cazul senzorilor extrinseci interacţiunea are loc în afara fibrei optice. Totuşi există o categorie de senzori cu fibre optice intrinseci la care mărimea de măsurat nu interacţionează direct cu radiaţia optică. În acest caz are loc o transformare intermediară a mărimii de intrare într-o mărime mecanică (presiune, deplasare etc.). Definim în acest caz


două tipuri de senzori intrinseci: senzori intrinseci direcţi în care mărimea de măsurat interacţionează direct cu radiaţia optică şi senzori intrinseci indirecţi în care mărimea de măsurat suferă o transformare intermediară. Senzorii intrinseci sunt realizaţi în general cu fibre optice monomod, acestea oferind avantajul realizării de configuraţii cu sensibilităţi şi precizii ridicate.

În tabelul 12. 2 este prezentată o comparaţie între senzorul cu fibră optică intrinsec şi cel extrinsec.

Tabelul 12. 2.

Senzorul cu fibră optică extrinsec Senzorul cu fibră optică intrinsec

Aplicaţii la măsurarea: temperaturii, presiunii, curgerea şi nivelul unui lichid.

Aplicaţii la măsurarea: rotaţiilor, acceleraţiei, tensiunii, presiunii acustice, vibraţiilor.

Mai puţin sensibil. Mult mai sensibil.

Uşor de multiplexat. Foarte dificil de multiplexat.

Probleme la conectarea intrare/ieşire. Probleme de conectare reduse.

Uşor de utilizat. Mai dificil de procesat semnalul demodulat.

Mai puţin scump. Mult mai scump.

Senzorii cu fibră optică se pot clasifica şi ţinând cont de proprietăţile

luminii afectate de traductor. Astfel, există: 1. senzori interferometrici; 2. senzori cu modulaţia intensităţii; 3. senzori spectrometrici; 4. senzori polarimetrici.

12.2.2. Senzori interferometrici cu fibră optică Senzorii interferometrici cu fibră optică sunt senzori cu faza modulată (Phase-Modulated Sensors). În general, un senzor cu faza modulată utilizează un laser ca sursă de lumină şi două fibre optice monomodale. Fasciculul luminos este divizat şi introdus în fiecare fibră optică. Dacă o fibră este perturbată în urma acţiunii unui factor extern (temperatură, presiune etc.) faţă de cealaltă, atunci deplasarea fazei la acel moment poate fi detectată foarte precis. Deplasarea fazei este detectată cu un interferometru. Interferometrele sunt instrumente utilizate pentru măsurători de înaltă precizie bazate pe fenomenul de interferenţă. Un fascicul de lumină este divizat în două sau mai multe fascicule prin reflexii şi transmisii parţiale, iar aceste fascicule sunt suprapuse după ce parcurg drumuri distincte.


Un senzor interferometric se bazează pe detecţia variaţiei fazei luminii ce iese dintr-o fibră optică monomodală. În cazul unei fibre variaţia fazei este dată de relaţia: (12.17) gnL ΔΦ+ΔΦ+ΔΦ=ΔΦîn care: cei trei termeni de fază sunt datoraţi variaţiilor lungimii, indicelui de refracţie şi ghidului. Variaţia fazei este convertită într-o variaţie a intensităţii luminii utilizând montaje interferometrice (Mach-Zehnder, Fabry-Pérot, Michelson sau Sagnac). Folosirea unei fibre optice sau a componentelor integrate optice poate furniza o mai bună stabilitate. Senzorii interferometrici cu fibră optică sunt cel mai des utilizaţi, deoarece prezintă cele mai bune performanţe, aceştia fiind de mai multe tipuri: senzori acustici (hidrofoane), senzori de rotaţie, senzori de tensiune, de temperatură, chimici, biologici şi o mulţime de alte tipuri de senzori. Interferometrul Mach-Zehnder. Schema bloc a interferometrului Mach-Zehnder fabricat cu fibre optice este prezentată în figura 12. 25.

Fig. 12. 25. Schema bloc a interferometrului Mach-Zehnder fabricat cu fibre optice. Acesta este un senzor intrinsec bazat pe interferenţa dintre o undă modulată (senzor) şi una de referinţă. Fibra senzor este utilizată pentru a monitoriza perturbaţia. Fasciculul laser de ieşire este divizat utilizând un cuplor de 3 dB astfel încât 50% din lumină este injectată în interiorul fibrei senzor monomodală şi 50% în fibra optică de referinţă. Fasciculul de lumină este recombinat utilizând un al doilea cuplor de 3 dB. Fasciculul combinat este detectat, iar apoi se măsoară deplasarea fazei, care rezultă ca urmare a variaţiei lungimii şi indicelui de refracţie al fibrei senzor. Dacă lungimea fibrei optice de referinţă este aceeaşi cu lungimea fibrei senzor sau diferă printr-un număr întreg de lungimi de undă, fasciculele recombinate sunt în fază şi intensitatea fasciculului astfel obţinut este maximă. Mai mult, dacă cele două fascicule diferă cu 21 din lungimea de undă în afara fazei, intensitatea fasciculului recombinat este minimă. O modulare de 100% corespunde la peste jumătate din lungimea de undă a luminii. Această sensibilitate permite detecţia unor mişcări cu amplitudini mai mici de m. 1310−

Interferometrul Michelson. Configuraţia experimentală a interferometrului Michelson este prezentată în figura 12. 26. Construcţia acestui interferometru este asemănătoare cu cea a interferometrului Mach-Zehnder, diferenţa constând în faptul că se utilizează reflexia înapoi cauzată de fibrele optice care au la capete


oglinzi. Fasciculul laser iniţial este injectat în cele două fibre (senzor şi de referinţă) printr-un cuplor de 3 dB (fig. 12. 26). Capetele prevăzute cu oglinzi ale fibrelor optice ale interferometrului Michelson reflectă înapoi lumina la cuplor, unde este din nou divizată, iar o parte din acest semnal optic este trimis la un fotodetector.

Fig. 12. 26. Schema bloc a interferometrului Michelson fabricat cu fibre optice. Deşi cele două unde luminoase care constituie semnalul au o origine comună şi aceeaşi fază la ieşirea din cuplor, după parcurgerea dus-întors a fibrelor optice de referinţă şi respectiv senzor, între acestea există o diferenţă de fază , care este direct proporţională cu diferenţa dintre drumurile optice corespunzătoare:

ΔΦ

, (12.18) ( )rrss lnlnk −=ΔΦ 2unde este constanta de propagare în spaţiul liber, este indicele de refracţie al miezului fibrei optice senzor, este indicele de refracţie al fibrei optice de referinţă, iar şi sunt lungimile fizice ale fibrei optice senzor, respectiv de referinţă (măsurate de la cuplor la fiecare capăt prevăzut cu oglinzi). Introducerea factorului 2 din relaţia (6.18) este determinată de faptul că fiecare cale optică este parcursă de două ori.

k sn

rn

sl rl

Acest tip de senzor este utilizat în special la măsurarea vibraţiilor. În comparaţie cu interferometrul Mach-Zehnder, interferometrul Michelson are avantajul că elimină unul dintre cuploarele de 3 dB, însă prezintă dezavantajul (major) că cuplorul injectează lumina atât în detector cât şi în laser, reflexia fasciculului în laser constituind o sursă importantă de zgomot, în special pentru sistemele de înaltă performanţă. Interferometrul Fabry-Pérot. Pentru fabricarea interferometrului Fabry-Pérot se utilizează o singură fibră de referinţă (fig. 12. 27). Interferenţa luminii rezultă în urma reflexiilor succesive ale fasciculului iniţial. Fasciculul coerent injectat este parţial reflectat înapoi în laser (de obicei 95% reflectat, 5% transmis). Fasciculul transmis care este injectat în cavitatea interferometrică este parţial reflectat (95%) şi parţial transmis (5%). Din cele două fascicule 5% din lumina transmisă de prima oglindă 95% este reflectată de cea de-a doua oglindă şi numai restul de 5% ajunge la detector. Reflexiile succesive reduc intensitatea fasciculului detectat cu aproximativ 10% (5% pierdut la fiecare din cele două reflexii pe ciclu). Trecerile multiple de-a lungul fibrei măresc diferenţa de fază, rezultând o


sensibilitate înaltă. În general, un senzor Fabry-Pérot prezintă o sensibilitate de două ori mai mare în comparaţie cu alţi senzori.

Fig. 12. 27. Schema bloc a interferometrului Fabry-Pérot fabricat cu fibre optice.

12.2.2. Principii funcţionale şi constructive ale senzorilor fabricaţi în ghiduri optice de undă Dispozitivele optice integrate sunt din ce în ce mai mult utilizate în

fabricarea senzorilor pentru aplicaţii în domenii diverse, în special în domeniile biologiei, chimiei şi medicinei. Avantajele utilizării acestor dispozitive sunt multiple: oferă un control mai bun al drumului luminii prin utilizarea ghidurilor optice de undă, stabilitate mecanică, înaltă sensibilitate, miniaturizare, posibilitatea producerii în masă etc. În general, senzorii optici integraţi se bazează pe principiul detecţiei câmpului evanescent. Într-un ghid optic de undă lumina transmisă este confinată în interiorul miezului. Astfel, modul ghidat (câmpul evanescent) călătoreşte printr-o regiune care se extinde în exterior, până la 100 nm, în mediul înconjurător ghidului optic. Atunci când sunt schimbate caracteristicile optice ale mediului exterior (indicele de refracţie variază), este indusă, prin câmpul evanescent, o modificare a proprietăţilor optice ale modului ghidat. Detecţia acestei variaţii se poate face utilizând diferite scheme de traductoare, putând fi folosite ca oglinzi rezonante, cuploare cu reţele, interferometre etc. Pentru implementarea într-un interferometru Mach-Zehnder se folosesc ghiduri de undă monomod. Metoda bazată pe acest tip de interferometru oferă o sensibilitate mult mai înaltă comparativ cu alte scheme interferometrice. În configuraţia acestui senzor variaţia indicelui de refracţie este evaluată prin modulaţia intensităţii produse prin interferenţa luminii ce parcurge cele două ramuri ale interferometrului. Ghidurile optice bazate pe reflexie internă totală au fost încercate experimental datorită sensibilităţii înalte a suprafeţei.

Principiul de bază al senzorului fabricat într-un ghid de undă dielectric planar este de a măsura variaţiile indicelui de refracţie efectiv dat de datorită variaţiilor indicelui de refracţie al superstratului. Acest principiu este ilustrat în figura 12. 54. Lumina poate fi cuplată într-un ghid de undă la un capăt al ghidului într-un interval de unghiuri

θsingn

α , şi poate fi transmisă în ghid prin reflexie internă totală la interfaţa ghid/superstrat, şi respectiv ghid/substrat la un interval de unghiuri (fig. 12. 54 a)). Lumina este cuplată în exteriorul ghidului la celălalt capăt al ghidului unde intensitatea este măsurată cu ajutorul unui detector. Spectrul

θ


măsurat al intensităţii în funcţie de unghiul de propagare este prezentat în figura 12. 28 b). Pornind de la acest spectru putem reprezenta şi intensitatea în funcţie de indicele de refracţie efectiv N ştiind că θ= singnN .

Fig. 12. 28. Principiul de bază al unui senzor fabricat într-un ghid de undă; a) lumina incidentă ce cade pe capătul unui ghid de undă sub un unghi α este transmisă

în interiorul ghidului prin reflexie internă totală; intensitatea luminii transmise este măsurată cu un detector; b) graficul intensităţii în funcţie de unghiul de

propagare pentru indicii de refracţie ai superstratului şi . 1cn 2cn

O variaţie a indicelui de refracţie al superstratului determină o variaţie a indicelui de refracţie efectiv, şi deci a unghiului modului. În concluzie, principiul acestui senzor constă în a măsura variaţia poziţiei maximului intensităţii, ilustrat în figura 12. 28 b) pentru o variaţie a indicelui de refracţie al superstratului (cover) de la şi . 1cn 2cn Sensibilitatea senzorului prezentat este definită ca fiind rata de variaţie a indicelui de refracţie efectiv în raport cu variaţia indicelui de refracţie al superstratului.

Sensibilitatea la variaţii a indicelui de refracţie al superstratului C

m

nN∂∂

poate fi scrisă sub forma:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

sgc

c

dddd

−

−=

∂∂

= 12 2

2

22

22

c

m

cg

mg

m

C

c

m

nN

nN

Nn

nNS ⋅

nn

, (12.19)

în care: şi reprezintă lăţimile efective ale superstratului şi respectiv substratului. Acestea sunt date de relaţiile următoare:

cd sd

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ+

21

−

ρ−=

2122

2222

1

1

sms

m

g

msm

s

nNknN

nNnNk

d (12.20)


( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ+

−

ρ−=

2122

222122

1

1

cmc

m

g

mcm

C

nNknN

nNnNk

d (12.21)

Termenii şi exprimă lungimea drumului optic în superstrat şi respectiv în substrat. Alternativ, ecuaţia modului poate fi descrisă prin deplasarea de fază a lungimii drumului optic:

cd sd

CS ddsm φ+φ+φ=π Δ2 , (12.22)

unde şi Sdφ Cdφ sunt deplasările de fază datorate lungimii drumurilor optice

şi . Sensibilitatea indicelui de refracţie al superstratului este calculată în funcţie de lăţimea ghidului în figura 12. 29 pentru de la 0 la 3, în cazul luminii polarizate transversal electric (TE), respectiv transversal magnetic (TM). Valorile folosite ale indicilor de refracţie sunt:

cd sdm

517,1=sn , 59,1=gn , 33,1=cn .

Fig. 12. 29. Sensibilitatea calculată în funcţie de lăţimea ghidului de undă pentru , în cazul luminii polarizate TE şi TM. 30÷=m

Din figura 12. 29 se observă că, creşterea grosimii ghidului determină un profil al modului mai mult simetric al câmpului electromagnetic, rezultând o influenţă crescută a lui (indicele de refracţie corespunzător superstratului) asupra lui şi deci o creştere a sensibilităţii indicelui de refracţie al superstratului. Cu toate acestea, se poate vedea că pentru o lăţime mai mare a ghidului, câmpul devine mai confinat în ghid, iar câmpurile evanescente atât în superstrat cât şi în substrat scad odată cu scăderea influenţei lui , şi respectiv a lui , asupra lui , rezultând o scădere a indicelui de refracţie al superstratului. Astfel, sensibilitatea optimă a indicelui de refracţie al superstratului este găsită la o lăţime a ghidului unde profilul modului câmpului devine mai simetric. În concluzie, din grafic se poate observa că sensibilitatea indicelui de refracţie al superstratului creşte cu creşterea grosimii stratului de ghid.

cn

mN

cn

sn mN

După anumite calcule algebrice şi exprimând sensibilitatea ca funcţie de raportul dintre puterea totală a modului ghidat şi a mediului superstrat, obţinem:


T

c

c

m

m

c

c

m

PP

nN

Nn

nN

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

∂∂

ρ

122

, (12.23)

unde , este indicele de refracţie al superstratului,

este indicele de refracţie efectic al modului ghidat, reprezintă puterea modului ghidat în mediul superstrat, iar este puterea totală a modului ghidat.

⎩⎨⎧

=modulTMpentru ,1modulTEpentru ,0

ρ cn

TP

mN

cP

Un alt aspect foarte important în realizarea senzorilor este de a produce un senzor cu sensibilitate maximă. Maximul sensibilităţii este obţinut atunci când derivăm sensibilitatea definită în relaţia (12.23) în raport cu lăţimea ghidului optic ( )gd :

0max =∂∂

=gd

SS (12.24)

Un senzor fabricat în ghiduri de undă este un senzor de câmp evanescent pentru care modul ghidului de undă este caracteristica senzor. Câmpul electromagnetic ghidat al modului ghidului de undă se extinde ca un câmp evanescent în mediul superstratului, şi respectiv al substratului, şi detectează un indice de refracţie efectiv al ghidului de undă. Datorită părţii câmpului electromagnetic care se extinde în mediul superstratului, variaţia indicelui de refracţie al superstratului determină o variaţie a lui .

mN

mN Modurile ghidului de undă sunt excitate în ghid doar atunci când lăţimea ghidului este mai mare decât lăţimea de tăiere a ghidului şi numărul de moduri excitate în ghid creşte odată cu lăţimea ghidului, unde ordinul modului ghidului de undă, descrie profilul câmpului electromagnetic în ghidul de undă.

gd

m Adâncimea de pătrundere a câmpului evanescent în superstrat este un parametru important pentru detecţia obiectelor de ordinul micronilor. Din acest motiv, acest tip de senzori sunt folosiţi în special în domeniile chimiei, biologiei, medicinei. Pentru un ghid de undă planar dielectric adâncimea de pătrundere este limitată la câteva sute de nanometri, ceea ce face ca acest senzor să fie potrivit pentru detecţia prezenţei unui strat (adlayer) sau pentru măsurarea schimbărilor în straturi subţiri pe suprafaţa senzorului. Senzorul are de altfel o sensibilitate înaltă la măsurarea indicilor de refracţie ai soluţiilor apoase.

Senzori fabricaţi în ghiduri de undă cu simetrie inversă. Un ghid de undă cu simetrie inversă este un ghid dielectric planar cu o configuraţie similară celei prezentate în figura 12. 56 cuprins între un substrat şi un superstrat. Astfel, pentru ghidurile de undă cu simetrie inversă indicele de refracţie al substratului este mai mic decât cel al superstratului ( ). Prin scanarea unghiului de incidenţă al unui fascicul incident şi monitorizarea simultană a intensităţii luminii la ieşirea din ghid cu ajutorul unei fotodiode poate fi găsit indicele de refracţie al superstratului. Atunci când senzorul este utilizat pentru detecţii biologice, mediul

cn sc nn >


superstrat este cel mai adesea o soluţie apoasă cu indicele de refracţie . Deoarece acesta este mai mic decât indicele de refracţie al substratului, care de obicei este sticlă cu indicele aproximativ 1,5 câmpul evanescent, care este prezent în substrat şi în superstrat, va avea o coadă mai lungă (long tail) în substrat şi mai scurtă (short tail) în superstrat. Dacă, indicele de refracţie al superstratului este mai mare decât al substratului se obţine o simetrie inversă, după cum se vede şi în figura 12. 30, deci se obţine un ghid de undă cu simetrie inversă.

33,1=cn

Fig. 12. 30. a) Senzor normal fabricat în ghid de undă cu indicele de refracţie al superstratului mai mic decât indicele de refracţie al substratului; b) senzor

fabricat în ghid de undă cu simetrie inversă, cu indicele de refracţie al superstratului mai mare decât al substratului.

Ca şi pentru ghiduri dielectrice { }csg nnn ,> , deci lumina în ghidurile de undă cu simetrie inversă este ghidată prin reflexie internă totală determinând excitarea modurilor ghidului atunci când avem interferenţă constructivă între fasciculele de lumină în ghidul optic (în miez). Ghidurile de undă cu simetrie inversă sunt interesante deoarece cu acestea poate fi obţinută o adâncime de pătrundere mare a câmpului evanescent în mediul superstrat, şi în plus se obţine o adâncime de pătrundere în superstrat care este mai mare decât adâncimea de pătrundere în substrat, astfel rezultând o influenţă mai mare a lui asupra indicelui de refracţie efectiv pentru ghidurile de undă cu simetrie inversă, decât pentru cele dielectrice. Adâncimea de pătrundere a superstratului pentru ghidurile de undă cu simetrie inversă pleacă de la infinit la lăţimea de tăiere a miezului pentru moduri de diferite ordine, şi descreşte până la câteva sute de nanometri pentru o creştere în lăţime a miezului de circa 100 nm, de la lăţimea de tăiere a miezului. O creştere ulterioară în lăţime a miezului (ghidului) produce descreşterea adâncimii de pătrundere, dar cu o rată mult mai mică.

cn mN

Adâncimea de pătrundere a substratului scade cu creşterea grosimii miezului, dar cu o rată mult mai precisă şi mai mică. La lăţimea de tăiere a ghidului, adâncimea de pătrundere ajunge la adâncimea limită de 115 nm, care este egală pentru toate modurile. Adâncimea de pătrundere infinită a superstratului la lăţimea de tăiere a ghidului optic se obţine deoarece se apropie de indicele de refracţie al superstratului (fig. 12. 31). La

mN

cm nN = , unghiul de propagare este dat de unghiul critic . Din figura 12. 57 se observă că pentru ghidurile

mθ

criticθ mN


cu simetrie inversă are o valoare în intervalul de la la pentru o lăţime dată a ghidului optic.

cn sn

Fig. 12. 31. Indicele de refracţie efectiv în funcţie de lăţimea ghidului optic pentru modurile de ordinele 30÷=m , în cazul luminii polarizate TE, şi respectiv TM.

Indicii de refracţie ai configuraţiei sunt: 33,1 ,59,1 ,1 === cs nn gn .

Sensibilitatea indicelui de refracţie al superstratului unui senzor fabricat în ghid de undă cu simetrie inversă este calculată cu ajutorul relaţiei (12.24). Aceasta este ilustrată în figura 12. 58 în funcţie de lăţimea ghidului optic pentru modurile de ordinul 30÷=m , în cazul luminii polarizate transversal electric, şi respectiv transversal magnetic. Sensibilitatea calculată a indicelui de refracţie al superstratului este egală cu 1 la lăţimea de tăiere a ghidului şi în ambele polarizări TE şi TM. Aceasta scade atunci când lăţimea ghidului optic scade. Atât senzorii fabricaţi în ghid de undă cu simetrie normală, cât şi cei cu simetrie inversă pot fi utilizaţi în operarea multimodală unde mai multe moduri pot fi excitate în ghidul optic. Avantajul senzorilor fabricaţi în ghid de undă cu simetrie inversă faţă de cei cu simetrie normală constă în faptul că numărul maxim de moduri care poate fi excitat în ghidul optic (miez) este foarte sensibil la indicele de refracţie al mediului superstrat.

Pentru un ghid de undă multimod fiind excitate mai multe moduri avem pentru fiecare un unghi de rezonanţă diferit, mθ , al luminii incidente la interfeţele ghid/superstrat şi respectiv ghid/substrat. Unghiurile de rezonanţă sunt mai mari decât unghiul critic (fig. 12. 32). Indicii de refracţie utilizaţi sunt:

. 33,1 ,59,1 ,1 === cgs nnn Principiul detecţiei într-un ghid de undă cu simetrie inversă multimod este asemănător cu cel în cazul monomod. Lumina este cuplată în interiorul ghidului într-un domeniu de unghiuri şi lumina cuplată în exterior la celălalt capăt al ghidului este măsurată cu ajutorul unui fotodetector. Măsurând intensitatea la ieşirea din ghidul optic putem obţine graficul intensităţii măsurate în funcţie de unghiul . Graficul intensităţii va fi asemănător cu cel de la ghiduri monomod θ


doar că vom avea mai multe maxime ale intensităţii corespunzătoare fiecărui mod al ghidului optic.

Fig. 12. 32. Sensibilitatea calculată a indicelui de refracţie al superstratului C

m

nN∂∂

în

funcţie de lăţimea ghidului optic (miezului) pentru lumina polarizată TE şi TM.

Fig. 12. 33. Propagarea luminii într-un ghid de undă planar multimod. O variaţie a indicelui de refracţie al superstraului va da o variaţie a diferenţei de fază a luminii reflectate la interfaţa ghid/superstrat şi deci un unghi incident θm pentru care fronturile de undă sunt în fază. Principiul detecţiei în ghidurile optice de undă multimod cu simetrie inversă este asemănător cu cel în ghiduri monomod, şi anume constă în detectarea variaţiei poziţiei unui mod datorită variaţiei indicelui de refracţie al superstratului . Astfel, pentru ghidurile multimod mai multe moduri pot fi excitate şi pentru toate vom avea o variaţie a poziţiei unghiulare datorită variaţiei indicelui de refracţie al superstratului.

cn

Senzori fabricaţi în ghiduri de undă cu substrat de metal. Un ghid de

undă acoperit cu un substrat de metal este o structură de ghid dielectric format din patru straturi, şi anume: un substrat (s), un strat subţire de metal (m), un ghid optic dielectric (miezul), (g) şi un superstrat (c). Structura unui astfel de ghid este similară celei a unui ghid dielectric convenţional, doar că mai există un strat de metal introdus între substrat şi ghidul optic (fig. 12. 34).


Principiul de bază al detecţiei este similar celui de la ghidurile dielectrice, numai că în acest caz nu mai avem reflexie internă totală la ambele interfeţe ghid/superstrat şi respectiv ghid/substrat, ci doar la interfaţa ghid/superstrat. La interfaţa ghid/metal, după cum se vede şi în figura 12. 59, avem reflexie normală, o parte din lumină fiind transmisă în stratul de metal şi substrat. Aceasta este parţial reflectată înapoi în ghidul optic la interfaţa ghid/metal.

Fig. 12. 34. Configuraţia de bază a unui ghid de undă acoperit cu metal. În acest caz există reflexie internă totală la interfaţa ghid/superstrat şi reflexie

normală la interfaţa ghid/metal.

Un mod se obţine atunci când fasciculele reflectate în ghid produc o interferenţă constructivă. Datorită reflexiei luminii transmise la ambele interfeţe este posibilă excitarea unui mod în ghidul de undă acoperit cu metal. Ca şi în cazurile precedente, un mod se obţine atunci când fronturile de undă ale luminii ce se propagă în ghid sunt în fază. Ecuaţia pentru deplasarea de fază totală pentru ghidurile de undă acoperite cu metal este de forma:

smgcgsm ,,,2 Φ+Φ+Φ=π Δ , (12.25)

unde este variaţia de fază datorată diferenţei de drum optic dintre două puncte a şi b, reprezintă deplasarea de fază a luminii reflectate la interfaţa ghid/superstrat, iar este deplasarea de fază a luminii reflectate la interfaţa ghid/metal/superstrat, iar este dat de relaţia:

sΔΦΦ cg,

smg ,,ΦΦ smg ,,

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−=Φ −

mmzms

mmzms

gM

gMsmg dkr

dkrrr

,

,1,, 2iexp1

2iexp111

itg2 , (12.26)

în care: reprezintă coeficientul de reflexie dintre straturile ghid şi metal, este coeficientul de reflexie dintre metal şi substrat, iar reprezintă lăţimea stratului de metal.

gmr msr

md

Principiul de funcţionare a senzorului fabricat în ghiduri de undă acoperite cu metal este asemănător ca în cazurile precedente. O variaţie a indicelui de refracţie al superstratului determină o variaţie a deplasării de fază la interfaţa ghid/superstrat, care induce în final o variaţie a lui

cn cg,Φ

sΔΦ pentru care


modul este excitat. Operarea senzorilor fabricaţi în ghiduri de undă acoperite cu metal este oarecum diferită de cea a senzorilor fabricaţi în ghiduri dielectrice datorită acestui strat de metal. În cazul senzorilor fabricaţi în ghiduri de undă acoperite cu metal structura ghidului este iluminată din partea de jos şi intensitatea reflectată este măsurată. În figura 12. 35 este prezentat modul de operare al acestui tip de senzor atunci când operează în modul reflexie. În acest caz este utilizată o prismă optică pentru cuplarea luminii.

Fig. 12. 35. Configuraţia unui senzor fabricat în ghid optic de undă acoperit cu metal şi cu o prismă optică.

Ghidul de undă acoperit cu metal şi prisma optică sunt încorporate, după cum se poate vedea şi în figura 12. 35, într-o singură unitate prin depunerea substratului de metal şi a ghidului optic direct pe prismă, caz în care prisma devine substratul. O cuvă este plasată deasupra structurii ghidului, pe suprafaţa liberă a superstratului. Aceasta are două tuburi de intrare şi respectiv ieşire, care fac posibilă variaţia mediului superstrat. Ghidul de undă acoperit cu metal este iluminat prin prismă la un unghi sθ . Întregul dispozitiv este plasat pe un suport rotativ pentru a varia unghiul de incidenţă. Ecuaţia modului ghidului de undă pentru structura cu metal se scrie asemănător cazului ghidurilor dielectrice, plecând de la ecuaţiile Maxwell şi condiţiile la limită descrise în capitolele precedente. Pentru ghidurile de undă acoperite cu metal cu prismă cuplată, reflectanţa totală poate fi calculată folosind legile Fresnel de reflexie.

12.2.3. Tipuri de senzori fabricaţi în ghiduri optice de undă Senzor pentru măsurarea temperaturilor înalte. Shema bloc a unui

senzor de temperatură fabricat în ghiduri de undă bazat pe reţele Bragg este prezentată în figura 12. 36 [12.13].

Acest senzor este capabil să măsoare temperatura în intervalul de la temperatura camerei până în jur de 1200°C. Partea principală a acestui senzor o constituie ghidul de undă cu reţea Bragg (fig. 12. 37).

Acesta poate fi numit pe scurt reţea Bragg integrată. Sursa de lumină o constituie o diodă laser ce emite în infraroşu la lungimea de undă de 1550 nm şi lărgimea de bandă de 30 nm. S-au folosit fibre optice de safir datorită pierderilor


mici de putere. Temperatura poate fi măsurată în două etape. Prima etapă constă în măsurarea deplasării lungimii de undă cu ajutorul unui analizor de spectru optic (OSA). Deplasarea lungimii de undă poate fi convertită într-o variaţie a temperaturii mediului. Această metodă este valabilă în cazul unor temperaturi în intervalul 20°C÷600°C. Cea de-a două etapă constă în măsurarea puterii radiaţiei probei pentru intervalul de temperatură de la 600°C până la punctul de topire al probei. Acest tip de senzor poate fi utilizat în industria aerospaţială.

Fig. 12. 36. Schema bloc a senzorului pentru măsurarea temperaturilor înalte.

Fig. 12. 37. Reţeaua Bragg a senzorului de temperatură. Principiul acestui senzor este simplu. O variaţie a temperaturii determină o modificare a perioadei reţelei, precum şi o variaţie a indicelui de refracţie al materialului. Aceste variaţii determină la rândul lor o deplasare a lungimii de undă, care poate fi observată cu ajutorul analizatorului de spectru optic. Prin măsurarea acestei deplasări poate fi determinată temperatura aplicată. În general, astfel de senzori lucrează numai în intervale mici de temperatură. În cazul de faţă s-a folosit un ghid de undă dielectric cu reţea Bragg care permite măsurarea temperaturii de la temperatura camerei până în jurul a 1200°C, combinând detecţia intensităţii radiaţiei cu reţelele Bragg.

Crearea unor striaţii periodice sau modularea indicelui de refracţie într-un ghid optic de undă formează o reţea Bragg. Reţelele Bragg au fost construite pe un substrat de siliciu şi pot fi considerate ca un corp negru. Un corp negru este definit ca fiind un corp care absoarbe toată energia ce cade pe suprafaţa sa. Pentru un astfel de corp:

( ) 1=αλ T (12.27) unde reprezintă coeficientul de absorbţie. Astfel toate radiaţiile incidente pe corp sunt reemise. Se ştie că în natură nu există corpuri perfect negre. Legea

( )Tλα


radiaţiei corpului negru (Planck) permite calculul densităţii spectrale de energie a unui corp în funcţie de temperatura acestuia:

( )1exp

12, 5

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

⋅λ

=λ

kThc

hcTI (12.28)

unde este lungimea de undă, λ T este temperatura absolută, h este constanta Planck, c reprezintă viteza luminii în vid, iar k este constanta Boltzmann. Prin constituierea unei minicavităţi de corp negru la un capăt al fibrei optice, dependenţa de temperatură a radiaţiei cavităţii poate fi considerată ca radiaţie a corpului negru. Atunci, procesul de determinare a temperaturii se reduce la detecţia distribuţiei spectrale a radiaţiei. Dacă detectorul înregistrează o singură lungime de undă, atunci intensitatea radiaţiei corpului negru va depinde numai de temperatura aplicată. În acest caz, legea lui Planck poate fi rescrisă sub forma:

( )1exp

12

0

50

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

⋅λ

=

kThc

hcTI (12.29)

în care: reprezintă o singură lungime de undă. Ţinând cont de această relaţie se poate reprezenta grafic intensitatea radiaţiei corpului negru în funcţie de temperatură pentru diferite lungimi de undă. Aceste lungimi de undă sunt tipice pentru fibrele optice de sticlă.

0λ

Condiţia Bragg de difracţie este dată de relaţia: Λ=λ efn20 (12.30)

unde este lungimea de undă în spaţiul liber, oλ Λ reprezintă perioada Bragg, iar este indicele de refracţie efectiv al structurii, care depinde de materialele din

care este compus ghidul de undă. O variaţie a temperaturii va conduce la o variaţie a perioadei spaţiale a reţelei şi a indicilor de refracţie ai materialelor. Deplasarea lungimii de undă în funcţie de variaţia de temperatură pentru o lungime de undă dată a modului este dată de relaţia:

efn

( TTTT

nn efn

ef

efB

B Δα+α=Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Λ∂

⋅Λ

+∂

∂⋅=

λλΔ

Λ11 ) . (12.31)

Valorile practice ale acestor constante pentru dioxidul de siliciu sunt: şi . K/103.12 6−

Λ ×=α K/1067.6 6−×=αefn

Senzor pentru măsurarea concentraţiei de ioni. În ultimii ani au fost

dezvoltate mai multe tipuri de senzori pentru măsurarea concentraţiilor ionilor de Na , Ca , K şi Cl . Aceste tipuri de senzori pot selecta un ion specific şi măsura concentraţia acestuia ce depinde de materialele adăugate în membrana ghidului de undă. Un exemplu de astfel de senzor este cel în care ghidul de undă este fabricat cu trei straturi, şi anume: substratul din sticlă pirex, ghidul de undă împrăştiat cu sticlă de tip Corning 7059 şi stratul probă format dintr-o membrană

+ ++ + −


senzor de PVC şi/sau camera probei (fig. 12. 65). Acest tip de senzor este utilizat pentru a măsura concentraţia ionilor de Na şi Ca [12.13]. S-a observat că acest tip de senzor are o sensibilitate înaltă la lungimea de undă de 488 nm a laserului cu argon.

+ ++

Fig. 12. 38. Structura senzorului fabricat în ghid de undă cu strat subţire de PVC.

Schema bloc a dispozitivului experimental utilizat pentru determinarea concentraţiei ionilor de Na şi Ca este prezentată în figura 12. 39. + ++

Fig. 12. 39. Schema bloc a senzorului pentru măsurarea concentraţiei de ioni.

Laserul folosit este un laser cu Ar cu lungimea de undă de 488 nm. Pe membrana ghidului de undă este depusă o soluţie de tip K23E1 pentru selecţia ionilor de Ca şi de tip C14DD16C5 pentru selecţia ionilor de Na + . Lumina laser polarizată transversal electric este cuplată în ghidul de undă printr-o prismă localizată la distanţa focală a lentilei. Fasciculul laser se propagă în ghidul de undă şi este decuplat la ieşirea din prisma optică. Puterea de ieşire decuplată este măsurată cu ajutorul unui powermetru. Pentru a evalua caracteristicile acestui senzor au fost utilizate soluţii de NaCl şi CaCl ale căror concentraţii au fost

crescute treptat în timpul experimentului, de la 10 moli până la moli.

++

2

5− 110−Semnalul de ieşire decuplat a fost măsurat în cazul fiecărei concentraţii.

Acest tip de senzor s-a dovedit a fi foarte eficient ca senzor de ioni. Apa distilată sau o soluţie tampon a fost utilizată în acest caz ca soluţie referinţă. Soluţia referinţă a fost depozitată în camera probei cu ajutorul unei micropipete, iar puterea transmisă a fost măsurată. După depunerea probei în cameră s-a măsurat puterea transmisă prin probă la lungimea de interacţiune , acest fapt permiţând L


obţinerea intensităţii relative. Intensitatea relativă depinde puternic de lungimea de interacţiune şi grosimea ghidului de undă. Măsurarea acestor puteri de ieşire permite şi determinarea coeficientului de absorbţie al substanţelor folosite.

În general, senzorii pentru măsurarea concentraţiei de ioni au la bază electrozi. Aceştia au o sensibilitate scăzută, ceea ce face dificilă detecţia în cazul materialelor cu reactivitate foarte mică.

Biosenzor optic integrat bazat pe interferometrul Mach-Zehnder. Dispozitivele optice integrate sunt foarte des utilizate în realizarea senzorilor chimici şi biochimici. Aceste tipuri de senzori sunt fabricaţi în general având la bază interferometrul Mach-Zehnder. Dispozitivele Mach-Zehnder au de obicei o sensibilitate înaltă, sunt uşor de fabricat şi pot fi foarte tolerante la erori de construcţie.

Pentru ca traductorul să răspundă la variaţii mici de semnal este necesar ca dispozitivul să opereze într-o regiune sensibilă a curbei de răspuns. Acest lucru conduce la cerinţa, pentru senzorii interferometrici, ca punctul de operare să nu fie aproape de un maxim sau minim al funcţiei de interferenţă. Un senzor integrat optic construit pe baza unui interferometru detectează modificarea indicelui de refracţie produsă de prezenţa speciilor moleculare de pe suprafaţa ghidului de undă. Pentru detectarea probelor biochimice este necesară fixarea unei substanţe specifice (de exemplu anticorpi) pe suprafaţa miezului ghidului de undă.

În figura 12. 40 sunt ilustrate două exemple de dispozitive optice integrate Mach-Zehnder [12.13]. Ghidurile de undă folosite în aceste interferometre sunt de tip monomod. Un braţ al interferometrului este expus la superstrat printr-o fereastră realizată în stratul izolator. Variaţiile în această regiune (variaţiile indicelui superstratului) determină o variaţie a indicelui efectiv al modului ghidului de undă ( ), care introduce o diferenţă de fază effnΔ Lkneff 0Δ în lumina care traversează

acest braţ ( este vectorul de undă în spaţiul liber, iar este lungimea de interacţiune).

0k L

Spre deosebire de dispozitivele optice integrate tipice Mach-Zehnder ilustrate în figura 12. 40 a), în cazul structurii cu trei ieşiri (fig. 12. 40 b)) puterea nu se pierde după recombinarea semnalului de la cele două braţe ale interferometrului. Suma celor trei ieşiri rămâne astfel aproape constantă pentru superstraturi nonabsorbante şi poate fi folosită ca referinţă pentru puterea totală de intrare. Braţul senzor al interferometrului optic integrat constituie locul unde speciile biologice se află în contact direct cu miezul ghidului de undă.

Principiul senzorului este simplu. Biosenzorul optic integrat Mach-Zehnder detectează interacţiunea dintre stratul biologic şi câmpul evanescent. Variaţia indicelui de refracţie de pe braţul senzor al interferometrului determină interferenţa semnalului de ieşire datorită diferenţei de fază dintre cele două braţe.

Un exemplu de dispozitiv experimental utilizat pentru detecţii biochimice este prezentat în figura 12. 68 [12.13]. S-au folosit în acest experiment ghiduri de undă fabricate în sticlă de tip BGG (cu indicele de refracţie 1,6 la lungimea de

undă de 786 nm) prin schimb ionic , utilizând tehnica fotolitografierii. Ca mască a fost folosit un strat de Ti. Materialul izolator folosit a fost teflon FEP.

++ − NaAg


Lumina provenită de la o diodă laser cu lungimea de undă 786 nm, polarizată TM, este cuplată în senzor. La ieşirea din senzor lumina este colectată utilizând o lentilă obiectiv şi apoi este focalizată pe trei fotodetectoare de Si. Semnalele de lumină provenite de la fotodetectoare sunt măsurate utilizând amplificatoare lock-in, iar datele sunt achiziţionate simultan cu ajutorul unui calculator.

Fig. 12. 40. Dispozitiv Mach-Zehnder: a) tipic şi b) cu trei ieşiri.

Sisteme inteligente de senzori. Senzorii inteligenţi cu fibre optice s-au dezvoltat cu precădere în ultimii zece ani şi au fost aplicaţi mai întâi în domeniul metrologiei optice, iar mai apoi în cadrul unor sisteme speciale cum ar fi de exemplu sistemul de poziţionare globală (Global Positioning System-GPS) [12.13]. Aceştia sunt strict legaţi de monitorizarea structurală şi reprezintă prima etapă în construirea unui sistem inteligent de senzori, celelalte etape fiind legate de procesare şi comandă.

Pentru a defini un sistem inteligent de senzori se poate face o paralelă cu capacităţile corpului omenesc care poate fi privit ca un sistem de senzori (nervii), purtătorii de informaţie (măduva spinării) şi unităţile pentru procesare (creierul mic şi cortexul). Senzorii inteligenţi pot fi priviţi ca o combinaţie de tehnologii (senzori, purtători şi procesori de informaţie şi interfeţe) care permit realizarea unei structuri inteligente.

În cazul unui subsistem de senzori se pot distinge următoarele cinci subsisteme: senzorii, purtătorii de informaţie, unitatea de citire, unitatea pentru procesare şi interfaţa externă (fig. 12. 41).

OPTICĂ INTEGRATĂ

350

Combinând capacităţile senzorilor cu dispozitivele de comandă este posibilă crearea unei structuri care să aibă posibilitatea de autoreparaţie, controlul formei, capacităţi de vibraţie/amortizare, adică un sistem inteligent de senzori.

Fig. 12. 41. Schema bloc a unui subsistem de senzori.

Există deja structuri care prezintă cel puţin câteva dintre capacităţile amintite anterior, cum ar fi de exemplu: avioanele şi automobilele moderne, fabricile şi uzinele în care activitatea este comandată şi robotizată etc.

ANEXA 1

A 1.1. Soluţiile WKB unidimensionale Pentru a determina soluţiile staţionare ale ecuaţiei Schrödinger independente de timp prin metoda WKB se consideră o funcţie de undă y(x) care satisface ecuaţia:

[ ] 0)(2'' 2 =−+ yxVEmyh

. (A 1.1)

Notând

cu y w= e / ,i h w S A= +h

iln (A 1.2)

(unde şi S A sunt funcţii pare de ), se obţine sistemul de ecuaţii echivalente h

( )AAVEmS ''2' 22 h=−− (A 1.3)

2 A 0S AS' ' ' ' .+ = (A 1.4) Relaţia (A 1.4) reprezintă ecuaţia de continuitate şi prin integrarea acesteia rezultă:

A S= ⋅−

const ( ')12 . (A 1.5)

Înlocuind expresia A în ecuaţia (A 1.3), se obţine ecuaţia:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′′′′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′′′

+−=′SS

SSVEmS

21

432

222 h . (A 1.6)

Relaţia (A 1.6) reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul al treilea în S şi este riguros echivalentă cu ecuaţia Schrödinger de la care am plecat. Aproximaţia WKB constă în a dezvolta pe S în serie după puterile lui h : 2

(A 1.7) ...,12

0 ++= SSS h

apoi în a substitui această dezvoltare în ecuaţia (A 1.6) şi a reţine numai termenii de ordinul zero:

. (A 1.8) [ ])(2'' 20

2 xVEmSS −=≈ Această ecuaţie aproximativă poate fi uşor integrată. După cum sau ( ),xVE > ( ),xVE < în ecuaţia (A 1.8) se pot distinge două cazuri.

Cazul 1: . Definind lungimea de undă cu ajutorul relaţiei: ( )xVE >

( )( )[ ]

.2 xVEm

x−

=h

D (A 1.9)

rezultă că ecuaţia (A 1.10) este satisfăcută numai dacă S ' / .≈ ±h D În acest caz soluţia WKB este o combinaţie liniară de funcţii oscilante de forma:


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ ϕ+α= x

xxyD

Ddcos , (A 1.10)

în care: α şi sunt două constante arbitrare. ϕ

Cazul 2: . În acest caz ( )xVE <

( )( )[ ]xVEm

xl−

=2

h , (A 1.11)

iar ecuaţia (A 1.8) este satisfăcută dacă S ' / .≈ ±h D Soluţia WKB este o combinaţie liniară de exponenţiale reale,

( ) .dexpdexp⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫−δ+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫+γ=

x lx

x lxlxy (A 1.12)

A 1.2. Condiţiile de valabilitate a aproximaţiei WKB

Teoria aproximaţiei WKB este destul de complexă. În cazul general dezvoltarea (A 1.7) după puterile lui nu este convergentă, aceasta fiind o dezvoltare asimptotică care, întreruptă după un număr finit de termeni, dă posibilitatea evaluării lui S cu o aproximaţie bună dacă este destul de mic.

2h

h Pentru a găsi un criteriu de valabilitate a aproximaţiei WKB, putem calcula cel de al doilea termen de dezvoltării (A 1.7), h . Corecţia de ordinul h constă

în a înmulţi soluţia WKB prin factorul e . Efectul este neglijabil dacă h << 1.

21S 2

S1ihS1

Înlocuind dezvoltarea (A 1.7) în ecuaţia (A 1.6) şi egalând între ei termenii în h , se obţine pentru ecuaţia diferenţială 2 S1

( )

( )'0

'''0

2

'0

''0

21

'0

21

'0

'0 2

143

''

'12

SS

SS

S

S

SS −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=−

−

. (A 1.13)

În cazul când rezultă . După efectuarea calculelor se obţine:

( )xVE > S0' /= ±h D

( ) ,'

81''

41''

21 2

'1 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−±=±=

D

DDDDhS

(A 1.14) iar în final

.d'

81'

41

12

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫−±= xx

SD

DDh (A 1.15)

Anexa 1 353

Dacă se obţine o expresie identică, cu ( )xVE < ( )xl în loc de . )(xD

Condiţia << 1 este îndeplinită dacă hS1

( )( ).ndac 1)('

ndac 1)('xVExlxVEx

<<<><<D

(A 1.16)

Criteriul (A 1.16) poate fi comparat cu condiţia de valabilitate a aproximaţiei clasice în general. Acest criteriu mai poate fi exprimat şi prin inegalitatea următoare, în care intervin potenţialul V(x) şi prima sa derivată:

( )

12

'2<<

−VEm

Vmh. (A 1.17)

A 1.3. Puncte de întoarcere şi formule de racordare

În cele mai multe dintre cazurile în care se foloseşte aproximaţia WKB, condiţia (A 1.17) este îndeplinită peste tot în afară de vecinătatea punctelor ( )xVE = . (A 1.18) Acestea sunt punctele de întoarcere ale mişcării clasice, puncte în care viteza particulei se anulează şi îşi schimbă semnul. Din punct de vedere matematic, aproximaţia WKB constă în a înlocui ecuaţia Schrödinger

y y' '+ =D 2

0 (A 1.19)

prin ecuaţia

y y' ' ( )' ' ,+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1 02D

D

D (A 1.20)

atât în regiunea , cât şi în regiunea VE > ( )xVE < , regiune în care . Se verifică uşor, într-adevăr că expresiile (A 1.15) şi (A 1.17) sunt tocmai cele ale soluţiilor generale ale ecuaţiei (A 1.20). Această ecuaţie are un punct singular (o singularitate de tip ) în orice punct a în care lungimea de undă devine infinită, adică în fiecare din punctele de întoarcere. În vecinătatea acestor puncte, înlociurea ecuaţiei Schrödinger cu ecuaţia (A 1.20) nu este justificată. Pentru a obţine soluţia completă, trebuie ca ecuaţia Schrödinger să fie rezolvată într-un domeniu de întindere convenabilă din jurul punctului de întoarcere şi să fie racordată această soluţie cu soluţiile (A 1.15) sau (A 1.17) care reprezintă bine funcţia de undă în domeniile vecine, în care aproximaţia WKB este valabilă.

li=D

( ) 2−−ax

În practică, nu este prea important să se cunoască forma particulară a soluţiei în regiunea punctului de întoarcere, atâta vreme cât se ştie să se racordeze soluţiile WKB de o parte şi de alta a acestui punct. Pentru a obţine formulele de racordare dintre soluţia WKB exponenţială şi soluţia WKB oscilatorie, de o parte şi de alta a unui punct de întoarcere, se presupune că sau ( )xVE > ( )xVE < după cum ax > sau ax < (barieră la stânga).


Soluţia generală este o combinaţie liniară a două soluţii şi , ale căror forme asimptotice sunt:

1y y2

- a) pentru ax << ;

y l xla

x1 ≈ + ∫

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟exp d ,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫−≈a

x lxly dexp

22 (A 1.21)

- b) pentru x a>> ;

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫

π−−≈

x

a

xy4

dsin21

1D

D , y x

a

x2

12

4≈ ∫

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟D

Dcos d π− . (A 1.22)

Definind numărul de lungimi de undă conţinute într-un interval dat

prin integrala ( ) sau ( ) , după cum ne aflăm la

dreapta sau la stânga punctului de întoarcere condiţiile de valabilitate a acestor formule de racordare sunt următoarele:

( )x x1 2,

∫π2

1

)/d(2/1x

xx D ∫π

2

1

)/d(2/1x

xlx

- a) în punctul de întoarcere, energia cinetică VE − tinde către zero ca şi rămâne, cu o aproximaţie, proporţională cu ( ax − ) ( )ax − într-o regiune care

se întinde peste cel puţin una, dar de preferinţă peste mai multe lungimi de undă, de o parte şi de alta; - b) fiecare dintre aceste regiuni de întoarcere se racordează de o parte şi de alta a punctului său de întoarcere cu o regiune asimptotică care se întinde pe mai multe lungimi de undă şi în care aproximaţia WKB propriu-zisă este justificată. În cazul folosirii formulelor (A 1.21) şi (A 1.22) trebuie luate anumite precauţii. Dificultăţile provin din faptul că soluţia 21 ByAy ++ are, în afara cazului particular când , o aceeaşi formă asimptotică ca în regiunea 0=A Ay1 ax << ; termenul exponenţial crescător predomină întotdeauna faţă de termenul exponenţial descrescător , oricât de mic ar fi

Ay1

By2 A faţă de B , atâta vreme cât A nu este riguros nul. Prin urmare, cunoaşterea formei asimptotice nu este suficientă pentru determinarea soluţiei decât dacă această formă este de tipul exponenţial descrescător (tipul ); reciproc, dacă coeficienţii sau 2y A B nu sunt cunoscuţi decât aproximativ şi dacă A << B , orice determinare, chiar şi aproximativă, a formei asimptotice este imposibilă. Presupunând că soluţia WKB în regiunea asimptotică ( )ax << este cunoscută, soluţia WKB oscilatorie cu care aceasta se racordează este de tipul

exponenţial descrescător 12

12Bl x l

x

a− ∫⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟( / )d ; în acest caz, soluţia este de forma

în regiunea punctului de întoarcere şi comportarea sa în regiunea 2By ax >> este dată formula (A 1.22). Rezultatul se poate scrie

Anexa 1

355

12 4

l xl

x

a

x

a

xexp cos− ∫

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ → −∫

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

d dD

D

π (A 1.23)

săgeata indicând sensul în care se face racordarea. Pe de altă parte, presupunând că soluţia WKB în regiunea oscilatorie

este cea cunoscută aceasta este de forma (A 1.10), adică: ( ax >> )

C x

a

xD

Dcos d −∫ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π ϕ4

(A 1.24)

în care: C şi ϕ sunt constante complexe. Conform formulelor (A 1.21) şi (A 1.22), aceasta este forma asimptotică a soluţiei definite prin ϕ≈ϕ≈ cos ,sin CBCA . (A 1.25) Constantele A şi B nu sunt definite decât aproximativ, prin forma asimptotică amintită. Din această cauză, dacă tg ϕ << 1 , determinarea formei asimptotice a acestei soluţii în regiunea ax << este imposibilă; în caz contrar, aceasta este dată de formula (A 1.21). Rezultatul se poate scrie sub forma:

DD

cos sin exp ,dx l xla

x

a

x−∫ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ → ∫

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π ϕ ϕ4

d (A 1.26)

săgeata indicând sensul în care se face racordarea.

ANEXA 2

A 2.1. Matricea densitate În studiul sistemelor cuantice intervin în cazul general, pe lângă stările pure, şi stări mixte sau amestecuri de stări. Stările mixte implică absenţa posibilităţii unor măsuri maximale asupra sistemelor cuantice, astfel că informaţia noastră asupra acestora este incompletă. Dacă se consideră un ansamblu de sisteme cuantice ( ) ale căror stări pure

N ∞→Nψ k > nu sunt cunoscute cu precizie, singura informaţie posibilă

despre un anumit sistem este probabilitatea pk de a fi în starea pură

ψk k kk

p p> ≥ =∑0, 1). Ca urmare, pentru sistemul studiat se defineşte o stare

mixtă, care se poate reprezenta printr-o superpoziţie necoerentă de stări pure, astfel că valoarea medie a unui operator se obţine printr-o medie statistică în sens clasic < >= <∑ >$ $A p Ak k k

kψ ψ (A 2.1)

probabilităţile fiind determinate, de asemenea, prin măsurări efectuate asupra sistemului.

pk

Formalismul matricei densitate a fost propus de J. von Neumann şi permite tratarea atât a stărilor pure cât şi a celor mixte. Introducerea operatorului densitate se poate face scriind expresia (A 2.1) a valorii medii a unui operator $A cu ajutorul operatorului identitate u un n

n><∑ = $I (A 2.2)

astfel

< >= <∑ >< >=

= < <∑ >= < >∑

$ $

$ $ $ ,

A p A uk u

p u A u u A u

k k k k

k k k k k k k

k

k k

ψ ψ

ψ ψ ρ (A 2.3)

unde prin definiţie $ρ ψ ψ= ><∑ pn k

nk (A 2.4)

reprezintă operatorul densitate. Relaţia de calcul al valorii medii (A 2.3) scrisă sub forma: (A 2.5) < >=A AUrm( $ $ )ρreprezintă o altă definiţie echivalentă a operatorului densitate. În cazul unei stări pure operatorul densitate degenerează într-un operator de proiecţie. Operatorul densitate are câteva proprietăţi mai importante. Astfel, operatorul este hermitic $ρ

< >=<ψ ρψ ψ ρψ1 2 2 1$ $ $ $ *> (A 2.6) şi este normat la unitate ( ) 1Ûrm =ρ . (A 2.7)

Anexa 2

357

Dacă

( ) 1Ûrm 2 =ρ , (A 2.8) starea este pură.

În ultimul caz ( ) mnnm ρ=ρ2ˆ ; matricea densitate pentru starea pură este diagonală având o singură valoare proprie egală cu unitatea, celelalte fiind nule; elementele diagonale ale matricei densitate $ρ reprezintă probabilităţile ca un sistem din ansamblu să fie caracterizat de stările proprii un >; întrucât este atât un înlocuitor al vectorilor de stare cât şi observabilă (este hermitic, pozitiv definit, având urma finită), schimbarea reprezentării se face după regula cunoscută

$ρ

(A 2.9) $ ' $ $ $ρ ρ= −U U1

unde este un operator unitar. $U Dacă se consideră un amestec de stări ψ n > având ponderile care caracterizează starea dinamică a sistemului la momentul t şi care evoluează în timp, înseamnă că la momentul sistemul va fi descris de vectorii de stare

pn

0

t t> 0

ψ n t> , cu aceleaşi ponderi statistice ca şi la momentul pn t0

( )

( ) ( )000

0000

,ˆˆ,ˆ

,ˆ),(ˆˆ

ttTttT

ttTpttTpn n

nnntnntnt

+

+

ρ=

=ψ<>ψ=ψ<>ψ=ρ ∑ ∑ (A 2.10)

unde este operatorul unitar de evoluţie. ( 0,ˆ ttT )

A 2.2. Ecuaţia de mişcare pentru operatorul densitate Expresia operatorului unitar de evoluţie este următoarea:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

h0

0îexp,ˆ ttHttT (A 2.11)

unde H reprezintă hamiltonianul sistemului. Dacă se ţine seama de ecuaţia de evoluţie a operatorilor şi

, rezultă:

( 0,ˆ ttT ))( 0,ˆ ttT +

[ ]ρ=ρ ˆ,ˆ

dˆdi Ht

h (A 2.12)

numită ecuaţia Schrödinger pentru operatorul densitate, care formal se identifică, până la semnul comutatorului, cu ecuaţia Heisenberg pentru operatori.

ANEXA 3 A 3.1. Fascicule gaussiene

Modul fundamental TEM 00 este caracterizat de o distribuţie gaussiană [1.13]. Acest rezultat s-a obţinut pe baza ecuaţiei Kirchhoff -Fresnel din optică şi poate fi corelat cu faptul că transformatele Fourier ale unor funcţii gaussiene (realizate prin reflexii pe oglinzi) sunt funcţii gaussiene. Se obţine o descriere echivalentă dacă se caută o soluţie analitică aproximativă a ecuaţiei de undă de tip Helmholtz: Δu k u+ =2 0 , (A 3.1) unde λπ= /2k este constanta de propagare în mediu. Pe baza modelului dezvoltat în lucrarea [1.13] soluţia generală a ecuaţiei (A 3.1) este de forma:

( ) ( ) ( )

u ww z

rw z

kzzz

krR z

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

02

2

0

212

exp exp expitg

i . (A 3.2)

În relaţia (A 3.2) mărimea

w zk0

0

122

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(A 3.3)

corespunde valorii lui r pentru care amplitudinea se reduce la 1/e din valoarea pe axă şi se numeşte lărgimea fasciculului sau raza fasciculului (fig. A 3. 1).

Fig. A 3. 1. Parametrii caracteristici fasciculelor gaussiene. A 3.2. Parametrii caracteristici fasciculelor gaussiene

Prin analogie cu se defineşte dimensiunea fasciculului la distanţa w0 z prin expresiile echivalente:

Anexa 3

359

( )w zkz

z z w zw

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

2 10

02 2

12

002

212λ

π, (A 3.4)

şi de asemenea raza de curbură a frontului de undă a fasciculului gaussian:

( ) ( )R zz

z z z wz

= + = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

1 1202 0

2 2πλ

. (A 3.5)

Primul factor din membrul drept al relaţiei (A 3.2) descrie dependenţa amplitudinii modului de coordonatele r şi z , de mărimea corespunzătoare secţiunii transversale minime a fasciculului. Mărimea corespunde unei secţiuni

transversale egale cu

w0

z0

02w . Al doilea factor evidenţiază modificările fazei undei în direcţia de propagare, iar al treilea factor evidenţiază faptul că planele

nu sunt suprafeţe echifaze, acestea fiind sferice cu raza de curbură , centrul aparent de curbură pentru fronturile de undă nefiind fix.

const.=z( )zR

Lărgimea fasciculului cu distanţa se poate exprima cu ajutorul unghiului de divergenţă

zθ definit de relaţia:

θ λπ

= =2 2

0

ddwz w

. (A 3.6)

Amplitudinea câmpului într-un punct se reduce atât datorită dependenţei de r cât şi datorită divergenţei fasciculului. Soluţia ecuaţiei (A 3.1) scrisă cu ajutorul relaţiei (A 3.2) defineşte modul fundamental TEM 00 al câmpului electromagnetic din rezonatorul laser. Această soluţie nu este unică, dar este cea mai importantă. Distribuţia transversală a intensităţii calculată pe baza teoriilor elaborate de Boyd, Gordon şi Kogelnik [1.13] scade la 1 2/ e

w0

(fig. A 3. 2) pentru , definind anvelopa fasciculului gaussian ( fiind lărgimea minimă a fasciculului definită de relaţia (A 3.3)).

swz = ws

Fig. A 3. 2. Distribuţia transversală a intensităţii fasciculului laser.

BIBLIOGRAFIE

1.1. S. E. Miller, Integrated optics: an introduction, J. Bell Syst. Techn. Vol. 48, p. 2059-2069, (1969).

1.2. A. C. S. van Heel, A new method of transporting optical images without aberrations, Nature, Vol. 173, p. 39-45, (1954).

1.3. H. H. Hopkins, H. Osterberg, A flexible fiberscope, using static scanning, Optica Acta, Vol. 1, p. 164-171, (1955).

1.4. F. P. Kapron, D. B. Keck, R. D.Maurer, Radiation losses in glass optical waveguides, Appl. Phys. Lett. Vol. 17, p. 423-425, (1970).

1.5. A. Yariv, R. C. C. Leite, Dielectric waveguide mode of light propagation in p-n junctions, Appl. Phys. Lett. Vol. 2, p. 55-57, (1963).

1.6. D. F. Nelson, F. K. Reinhart, Light modulation by the electro-optic effect in reverse-biased GaP p-n junctions, Appl. Phys. Lett. Vol. 5, p. 148-150, (1964).

1.7. K. C. Kao, G. A. Hockham, Proc. IEE, Vol. 113, p. 1151, (1966). 1.8. E. Lallier, J. P. Pocholle, M. Papuchon, Q. He, M. De Micheli, D. B.

Ostrowsky, C. Grezes-Besset, E. Pelletier, Integrated Nd:MgO:LiNbO3 mode-locked waveguide laser, Electron. Lett. Vol. 27, p. 936-937, (1991).

1.9. E. Lallier, D. Papillon, J. P. Pocholle, M. Papuchon, M. De Micheli, D. B. Ostrowsky, Short pulse, high power Q-switched Nd:MgO:LiNbO3 waveguide laser, Electron. Lett. Vol. 29, p. 175-176, (1993).

1.10. P. Becker, R. Brinkmann, M. Dinand, W. Sohler, H. Suche, Er-diffused Ti:LiNbO3 waveguide laser of 1563 and 1576 emission wavelengths, Appl. Phys. Lett. Vol. 61, p. 1257-1267, (1992).

1.11. P. Trischitta, M. Colas, M. Green, G. Wuzniak, J. Arena, The TAT 12/ 13 cable network, IEEE Communications Magazine, February, p. 24-28, (1996).

1.12. P. E. Sterian, N. N. Puşcaş, Laseri şi procese multifotonice, Editura Tehnică, Bucureşti, (1988).

1.13. N. N. Puşcaş, Lasere, ediţia a II-a, revizuită şi adăugită, colecţia Academica, Editura TOP FORM, Bucureşti, (2007).

1.14. V. Doicaru, M. Pârvulescu, Transmisii prin fibre optice, Editura Militară, Bucureşti, (1994).

1.15. N. N. Puşcaş, Fizica dispozitivelor optoelectronice integrate, Editura ALL Bucureşti, (1998).

1.16. I. M. Popescu, D. C. Dumitras, N. N. Puscas, Optical Science and Engineering in Romania, Optical Engineering, Vol. 35, Nr. 5, p. 1237-1238, (1996).

1.17. O. Katsunari, Fundamentals of Optical Waveguides, Academic Press, (2005).

1.18. A. Hasegawa, Y. Kodama, Solitons in Optical Communications, Clarendon Press, Oxford, (1995).

1.19. G. Einarsson, Principles of Lightwave Communications, John Wiley&Sons Inc., New York, (1996).

Bibliografie 361

1.20. E. Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers, J. Wiley & Sons, Inc. New York, (1994).

1.21. E. Desurvire, D. Bayart, B, Desthieux, S. Bigo, Erbium-Doped Fiber Amplifiers, Device and System Developments, J. Wiley & Sons, Inc., Publication, New York, (2002).

1.22. C. Peucheret, B. Zsigri, P. A. Andersen, K. S. Berg, A. Tersigni, P. Jeppesen, K. P. Hansen, M. D. Nielsen, 40 Gbit/s transmission over photonic crystal fibre using mid-span spectral inversion in highly nonlinear photonic crystal fibre, Electronics Letters, Vol. 39, Nr. 12. p. 919-921, (2003).

2.1. J. Gowar, Optical Communication Systems, Second Edition, Prentice Hall, New-York, London, Toronto, Sydney, Tokyo, Singapore, (1993).

2.2. N. N. Puşcaş, Fizica dispozitivelor optoelectronice integrate, Editura ALL, Bucureşti, (1998).

2.3. O. Ziemann, J. Krauser, P. E. Zamzow, W. Daum, POF Handbook-Optical Short Range Transmission Systems. 2nd ed., Springer, (2008)

2.4. M. Guidi, I. Montrosset, N. Puscas, L. Balma, R. Corsini, S. Bosso, Fabrication and Performance Evaluation of Active Er:Ti:LiNbO3 Waveguides, SPIE, Vol. 2212, p. 588-600 (1994).

2.5. M. Kawachi, Silica waveguides on silicon and their applications to integrated-optic components, Optical and Quantum Electronics, Vol. 22, p. 391-416, (1990).

2.6. J. L. Jackel, C. E. Rice, Short and long term index instability in proton exhanged lithium niobate waveguides, SPIE Vol. 460, p. 43-55, (1984).

2.7. T. Maciak, LiNbO3 optical waveguides obtained by proton exchange in oleic acid, International Journal of Optoelectronics, Vol. 5, Nr. 3, p. 227-234, (1990).

2.8. F. Kajzar, Organic molecules for guided wave quadratic and cubic optics, J. H. Marsh, R. M. De La Rue, Waveguide Optoelectronics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, NATO ASI Series, Vol. 194, p.87-111, (1991).

2.9. G. Roberts, Langmuir-Blodgett Films, Plenum Press, New-York, (1990).

2.10. L. D. Garrett, A. H. Gnauck, D. Scarano, 16× 10Gb/s WDM transmission over 840 km SMF using eleven broad-band chirped fiber gratings, IEEE Photon. Technol. Lett., Vol. 11, Nr. 4. p. 484-486, (1999).

2.11. J. C. Knight, J. Broeng, T. A. Birks, P. J. Russel, Photonic band gap guidance in optical fibers, Science, Vol.282, 1476-1478, (1998).

2.12. F. Poli, A. Cucinotta, S. Selleri, Photonic Crystal Fibers, Properties and Applications, Springer, (2007).

2.13. C. A. Mack, Field Guide to Optical Lithography, SPIE Press, Bellingham, WA, (2006).

2.14. M. C. Gupta and J. Ballato, The Handbook of Photonics, Second Edition, CRC Press, Taylor&Francis Group, Boca Raton, London, New York, (2007).

http://spie.org/x648.xml?product_id=665802&origin_id=x32391


2.15. G. T. Reed and A. P. Knights, Silicon Photonics, An Introduction, John Wiley & Sons Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, (2004).

2.16. L. Dalton, Nonlinear optical polymeric materials: From chromophore design to commercial applications, Advances in Polymer Science, vol. 158, p. 1-86, (2002).

2.17. F. Kajzar, K.-S. Lee, and A. K.-Y. Jen, Polymeric materials and their orientation techniques for second-order nonlinear optics, Advances in Polymer Science, vol. 161, p. 1-85, (2003).

2.18. M. Florea, J. E. Broquin, S. Blaize, N. N. Puscas, Fabrication and characterization of bragg gratings in Er-Yb-doped glass waveguides using interferometric method, SPIE, Vol. 4430, p. 515-521, (2001).

2.19. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, and J. N. Wing, Photonic crystals, Princeton University Press, NJ, 1995.

2.20. M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Waveguiding in planar photonic crystals, Appl. Phys. Lett., Vol. 77, Nr. 13, p. 1937-1939, (2000).

2.21. K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals, Second Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, (2005).

3.1. J. Gowar, Optical Communication Systems, Second Edition, Prentice

Hall, New-York, London, Toronto, Sydney, Tokyo, Singapore, (1993). 3.2. T. Tamir, Guided-Wave Optoelectronics, Springer Verlag Berlin

Heidelberg, New York, London Paris, Tokio, (1988). 3.3. T. Tamir, Integrated Optics, Springer-Verlag, New York, (1982). 3.4. E. A. J. Marcatili, Dielectric rectangular waveguide and directional

coupler for integrated optics, Bell Systems Technical Journal, Vol. 48, p. 2071-2102, (1969).

3.5. E. A. J. Marcatili, A. Hardy, The azimuthal effective-index method, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. QE-24, p. 766-774, (1988).

3.6. A. W. Sinder, J. D. Love, Optical Waveguide Theory, London, Chapman and Hall, (1983).

3.7. G. Einarsson, Principles of Lightwave Communications, John Wiley&Sons Inc., New York, (1996).

3.8. C. R. Pollock, M. Lipson, Integrated Photonics, Springer, (2003). 3.9. K. Kawano, T. Kitoh, Introduction to optical waveguide analysis;

Solving Maxwell's equations and the Schrödinger equation, John Wiley & Sons, Inc., (2001). 4.1. J. Gowar, Optical Communication Systems, Second Edition, Prentice Hall, New-York, London, Toronto, Sydney, Tokyo, Singapore, (1993). 4.2. M. Schwartz, Information Transmission, Modulation and Noise, 4th edn. McGraw-Hill, (1990). 4.3. F. G. Stremler, Introduction to Communication System, 3rd edn. AddisonWesley (1990). 4.4. H. Taub, D. L. Schilling, Principles of Communication Systems, 2nd edn. McGraw-Hill, (1986).

http://books.google.com/books?vid=ISBN1402076355&id=DNJEoypcI6oC&pg=RA1-PA210&lpg=RA1-PA210&ots=o4ORvoHrCJ&dq=%22Beam+propagation+method%22&ie=ISO-8859-1&output=html&sig=kY2xdP7q7iv5MdX_3vzd63LmOpg

Bibliografie 363

4.5. A. Yariv. Optical Electronics, 3rd edn. Holt, Rinchart and Winston (1985). 4.6. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Optical Electronics, Cambridge University Press, (1989). 4.7. K. F. Sander, G. A. L. Reed, Transmission and Propagation of Electromagnetic Waves, 2nd edn Cambridge University Press, (1986). 4.8. G. Einarsson, Principles of Lightwave Communications, John Wiley&Sons Inc., New York, (1996).

4.9. N. Puscas, E. Smeu, Transmisia informaţiei prin metode optice, Vol. I, II, Editura Cartea Universitară, Bucureşti, (2004).

5.1. T. Tamir, Guided-Wave Optoelectronics, Springer Verlag Berlin Heidelberg, New York, London Paris, Tokio, (1988).

5.2. W. Sohler, Rare Earth Doped LiNbO Waveguide Amplifiers and Lasers, ed. J. Marsh and R. de la Rue, Waveguide Optoelectronics, NATO ASI Series E: Applied Sciences, Vol. 226, p. 361-394, Kluwer-Academic, Dordrecht, Boston, London, (1992).

3

5.3. R. Ulrich, R. Torge, Measurement of Thin Film Parameters with a Prism Coupler, Appl. Opt., Vol. 12, No. 12, Dec., p. 2901-2098, (1973).

5.4. J. Seligson, Prism Couplers Guided-Wave Optics: Design Considerations, Appl. Opt., Vol. 26, No. 13, p. 2609-2617, (1987).

5.5. S. Iraj Najafi, Introduction to Glass Integrated Optics, Artech House, Boston, London, (1992).

5.6. M. J. Li, S. Honkanen, W. J. Wang, R. Leonelli, J. Albert, S. I. Najafi, Potassium and Silver Ion-Exchanged Dual-Core Glass Waveguides with Gratings, Appl. Phys. Lett., Vol. 58, No. 23, p. 2607-2609, (1991).

5.7. V. A. Popescu, N. N. Puscas, Determination of propagation constants in an optical waveguide obtained in glass by double ion exchange, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol. 7, No. 3, p. 1589-1593, (2005).

5.8. A. Gedeon, Comparison Between Rigorous Theory and WKB-Analysis of Modes in Graded Index Waveguides, Opt. Communic., Vol. 12, No. 3, p. 329-332, (1974).

5.9. V. A. Popescu, N. N. Puscas, Determination of propagation constants in a buried ion-exchanged glass optical waveguide by using the finite element method, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol. 8, No. 3, p. 1247-1251, (2006).

5.10. J. M. White, P. F. Heindrich, Optical Waveguide Refractive Index Profiles from Measurement of Mode Indices: A Simple Analysis, Appl. Opt., Vol. 15, No. 1, p. 151-155, (1976).

5.11. K. S. Chiang, Construction of Refractive-Index Profiles of Planar Dielectric Waveguides from the Distribution of Effective Indices, J. Lightwave Technol., Vol. LT-3, No. 2, p. 385-391, (1985).

5.12. P. Hertel, H. P. Menzler, Improved Inverse WKB Procedure to Reconstruct Refractive Index Profiles of Dielectric Planar Waveduiges, Appl. Phys., Vol. B 44, p. 75-80, (1987).


5.13. L. McCaughan, E. Bergmann, Index Distribution of Optical Waveguides from Their Mode Profile, J. Lightwave Technol., Vol. LT-1, No. 1, p. 241-244, (1983).

5.14. H. Hauss, Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, (1984).

5.15. M. Guidi, I. Montrosset, N. Puscas, L. Balma, R. Corsini S. Bosso, Fabrication and Performances Evaluation of Active Er :Ti:LiNbO Waveguide, SPIE, Vol. 2212, Linear and Nonlinear Integrated Optics, p. 586-600, (1994).

+33

5.16. I. Montrosset, M. Guidi, N. N. Puscas, I. M. Popescu, D. M.Grobnic, The Modelling of the Waveguide Refractive-Index Profile Using Generalized Gaussian Functions, SPIE, Vol. 2461, p. 452-456, (1994).

5.17. H. C. Rainsch, Smoothing by spline functions, Numerische Mathematik, Vol. 16, p. 451-454, (1971).

5.18. N. N. Puscas, D. M. Grobnic, I. M. Popescu, M. Guidi, D. Scarano, G. Perrone, I. Montrosset; Characterization of Er -doped Ti:LiNbO waveguides: losses, absorption spectra, and near field measurements, Optical Engineering, Vol. 1685, p. 1311-1318, (1996).

+33

5.19. R. Regener W. Sohler, Loss in Low- Finesse Ti:LiNbO3 Optical Waveguide Rezonator; Appl.Phys., Vol. B 36, p. 143-147, (1985).

5.20. N. N. Puscas, D. M. Grobnic, I. Montrosset, The evaluation of the absorption and emission cross sections of the Er3+ -doped LiNbO 3 optical waveguides, Journal of Romanian Physics, Vol. 40, No. 10, p. 1027-1035, (1995).


5.22. E. Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifier, J Wiley and Sons, Inc New York, (1995).

5.23. N. N. Puscas, D. M. Grobnic, D. Scarano, M. Guidi, G. Perrone, I. Montroset, Absorption and Emission Cross Section Evaluation of Er3 -Doped LiNbO Waveguides, Optoelectronica, Vol. 4, Nr. 1, p. 83-86, (1996).

+

3 5.24. N. N. Puşcaş, Lucrări experimentale de optoelectronică, fizica şi ingineria laserilor, Editura MATRIX ROM, Bucureşti, (2004)


5.26. N. N. Puscas, A. Ducariu, G. C. Constantin, D. Dinu, Calculation of some spectroscopic parameters of LiNbO3:Er3+optical waveguides, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol. 7, No. 2, p. 1057-1065, (2005).

5.27. V. A. Popescu, N. N. Puscas, Determination of propagation constants in a bent Ti:LiNbO3 optical waveguide by using finite element method, Optics Communications, Vol. 254, No. 4-6 p. 197-202, (2005).

5.28. V. A. Popescu, N. N. Puscas, Determination of normalized propagation constants for the double-clad planar Nd:YAG and Yb:YAG waveguide lasers, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol. 8, No. 3, p. 1251-1256, (2006).

5.29. V. A. Popescu, N. N. Puscas, Determination of the refractive-index profile of Ag+ ion-exchanged optical waveguides using M-lines spectroscopy,

Bibliografie 365

Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol. 9, No. 9, p. 2833-2837, (2007).

5.30. N. N. Puscas, Evaluation of losses and group effective refractive index of Er -doped Ti:LiNbO 3 optical waveguides, Optoelectronics and Advanced Materials-Rapid Communications, Vol. 2, No. 4, 193-196, (2008).

+3

6.1.T. Tamir, Guided-Wave Optoelectronics, Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New-York, London, Paris, Tokio, (1988).

6.2. M. Kawachi, Silica waveguides on silicon and their applications to integrated-optic components, Optical and Quantum Electronics, Vol. 22, p. 391-416, (1990).

6.3. N. Takato, K. Jinguji, M. Yasu, H. Toba, M. Kawachi, Silica-based single-mode waveguides on silicon and their applications to guided-wave optical interferometres, Journ. of Lightwave Technol. Vol. 6, No. 6, p. 1003-1010, (1988).

6.4. G. Assanto, Third order nonlinear integrated devices, Guided Wave Nonlinear Optics, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series, Vol. 214, p. 256-284, (1992).

6.5. G. Vitrant, Third order nonlinear integrated optical resonators, Guided Wave Nonlinear Optics, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch; Kluwer Academic Publishers; Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series, Vol. 214, p. 285-303, (1992).


6.7. G. Lifante, Integrated photonics: fundamentals, John Wiley & Sons Ltd., (2003).

6.8. W. Sohler, H. Hu, R. Ricken, V. Quiring, C. Vannahme, H. Herrmann, D. Büchter, S. Reza, W. Grundkötter, S. Orlov, H. Suche, R. Nouroozi, and Y.H. Min, Integrated Optical Devices in Lithium Niobate, Optics & Photonics News, Jan. 2008, p. 24-31, (2008).

6.9. W. Sohler, B. Das, D. Dey, S. Reza, H. Suche, and R. Ricken: Erbium-doped lithium niobate waveguide lasers, IEICE Transactions Electron E, Vol. 88-C, No. 5, p. 990-997, (2005)

6.10. F. Caccavale, D. Callejo, C. Dragoni, A. Morbiato, M. Musolino, F. Cavuoti, M. Dellagiovanna, F. Lucchi, V. Pruneri, P. Galinetto, D. Grando, and C. Sada, Identification of LiNbO3 compositions with optimized functional properties for advanced electro-optical devices, SPIE Photonics West, San Jose California, USA, January, (2004).

6.11. P. Ganguly, J. C. Biswas and S. K. Lahiri, Semi-Analytical Simulation of Titanium-Indiffused Lithium Niobate-Integrated Optic Directional Couplers Consisting of Curved Wavegiudes, Fiber and Integrated Optics, Vol. 24, p. 511-521, (2005).

6.12. A. Ducariu, I. Bibac and N. N. Puscas, Characterization of silicon integrated Mach-Zehnder interferometers at 1590 nm, Scientific Bulletin Polytechnic University Bucharest, Series A: Applied Mathematics and Physics, Vol. 63, No. 1, p. 55-60, (2001).


6.13. N. Takato, K. Jinguji, M. Yasu, H. Toba, and M. Kawachi, Silica-Based Single-Mode Waveguide on Silicon and their Application to Guided-Wave Optical Interferometers, J. Light. Technol., Vol. 2, No. 6, p. 1003-1010, (1988).

7.1. J. Y. Chen, S. I. Najafi, S. Honkanen, Polymer-glass waveguide all-optical switches, SPIE, Vol. 1794, Integrated Optical Circuits II, p. 388-396, (1992);

7.2. S. I. Najafi, S. Honkanen, J. Martin, J. Y. Chen, P. Lefebre, Q. He, N. Peyghambarian, C. Roux, M. Leclerc, C. L. Callender. S. J. Karnas, J. Albert, Polythiopene as a nonlinear material for all-optical waveguide switches, Int. Conf. on Frontiers of Optical Systems and Materials, Padova, June, (1992).

7.3. S. I. Najafi, Waveguide and Devices, Ed. S. I. Najafi, Artech House, Boston, (1992)

7.4. W. P. Huang, C. L. Xu, S. T. Chu, S. K. Chaudhuri, The finite-difference vector beam propagation method; analysis and assessmen, J. Lightwave Technol., Vol. 10, No. 3, p. 295-305, (1992).

7.5. J. Jonansson, G. Djanta, J. Coutaz, Optical waveguides fabricated by ion exchange in high-index commercial glasses, Appl. Opt., Vol. 31, No. 15, p. 2796-2799, (1992).

7.6. R. D. Ettinger, F. A. Fernandez, B. M. A. Rahman, J. B. Davies, Vector finite element solution of saturable nonlinear strip-loaded optical waveguides, IEEE Photon. Technol. Lett., Vol. 3, No. 2, p. 147-149, (1992).



7.9. I. Montrosset, P. Lambkin, G. Perrone, Modelling of guided devices, Guided Wave Nonlinear Optics, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, NATO ASI Series; Vol. 214, p. 113-132, (1992).


7.11. G. Assanto, Third order nonlinear integrated devices, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Guided Wave Nonlinear Optics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series; Vol. 214, p. 256-284, (1992).

7.12. G. I. Stegeman, Guided wave approach to optical bistability, IEEE J. Quantum. Electron. Vol. QE-18, p. 1610-1623, (1982).

7.13. G. Vitrant, Third order nonlinear integrated optical resonators, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Guided Wave Nonlinear Optics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series; Vol. 214, p. 256-284, (1992).

7.14. H. M. Gibbs, Optical Bistability: Controlling Light by Light, Academic Press, London, (1985).

Bibliografie 367

7.15. G. Vitrant, B. Vögele, R. Reinisch, Study of transverse effects in nonlinear Fabry-Pérot resonators, Annales de Physique, Coll. Vol. 16, No. 1, p. 25-32, (1991).

8.1. G. P. Agrawal, R. W. Boyd, Contemporary Nonlinear Optics, Academic Press Inc., (1992).

8.2. R. W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press Inc., (1991). 8.3. P. E. Sterian, N. N. Puşcaş, Laseri şi procese multifotonice, Editura

Tehnică, Bucureşti, (1988). 8.4. G. Assanto, Third order nonlinear integrated devices, Guided Wave

Nonlinear Optics, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series, Vol. 214, p. 256-284, (1992).


8.6. W. Sohler, New Directions in Guided Wave and Coherent Optics, ed. D. B. Ostrowsky, E. Spitz, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series, Vol. II, No. 79, p. 449-479, (1990).

8.7. M. P. de Micheli, Second harmonic generation in Cerenkov configuration, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Guided Wave Nonlinear Optics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series; Vol. 214, p. 256-284, (1992).

8.8. J. Petracek, P. Chemla, Second-harmonic generation at periodic second-order susceptibility gratings with self-phase and cross-phase modulation, Opt. and Quant. Electronics, Vol. 26, p. 609-627, (1994).

8.9. G. Khanarian, M. A. Mortazavi, A. J. East, Phase-matched second harmonic generation from free-standing periodically stacked polymer films, Appl. Phys. Lett, Vol. 63, p. 1462-1464, (1993). 8.10. F. Kajzar, Organic molecules for guided wave quadratic and cubic optics, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Guided Wave Nonlinear Optics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series; Vol. 214, p. 256-284, (1992).

8.11. Ispasoiu R. G., Smeu E., Puscas N. N., Popescu I. M., Suruceanu G. I., Phase-mismatching effects in the internal second-harmonic generation in InGaAs quantum-well laser diodes, Journ. of Mod. Optics, Vol. 47, No. 7, p. 1149-1154, (2000). 8.12. Yariv, A., Optical electronic in modern communications, New York: Oxford University Press, (1997).

9.1. J. Zyss, D. S. Chemla, Nonlinear Optical Properties of Organic Molecules and crystals, Academic Press, Orlando, (1987).


9.3. Yariv, A., Optical electronic in modern communications, New York: Oxford University Press, (1997).

9.4. C. P. J. M. van der Vorst, S. J. Picken, Electric field poling of acceptor-donor molecules, J. Opt. Soc. Am. B. Vol. 7, No. 3, p. 320-325, (1990).


9.5. K. D. Singer, M. G. Kuzyk, J. E. Sohn, Second order nonlinear optical processes in orientationally ordered materials: relationship between molecular and macroscopic properties, J. Opt. Soc. Am. B., Vol. 4, p. 968-975, (1987).

9.6. P. Kazmarldi, J. P. van de Capelle, P. E. Lagasse, R. Meynart, Design of an integrated electro-optic switch in organic polymer, IEE Proceedings, Vol. 136, p. 152-163 (1989).


9.8. T. Nagamura, T. Hamada, Novel all optical light modulation based on complex refractive index changes of organic dye-doped polymer film upon photoexcitation, Appl. Phys. Lett. Vol. 69, No. 9, p. 1321-1329, (1996).

9.9. T. Nagamura, D. Kuroyanagi, K. Sasaki, H. Sakaguchi, Extremely sensitive detection of transient species in laser flash photolysis of ultrathin organized molecular films by optical waveguides, SPIE, Vol. 2547, p. 320-331, (1995).



10.1. O. Svelto, Principles of Lasers, Heyden Ltd., Londra, (1976). 10.2. G. H. B. Thompson, Physics of Semiconductor Lasers, Wiley, New York (1980). 10.3. N. Chand, S. N. G. Chu, N. K. Dutta, J. Lopata, M. Geva, A. V. Syrbu, V. P. Yakovlev, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. QE 30, pag. 424-430, (1994). 10.4. M. Bodea, A. Vătăşescu, N. Marinescu, A. Segal, R. Râpeanu, S. Pucheanu, V. Gheorghiu, Circuite electronice integrate, Editura Tehnică, Bucureşti (1984). 10.5. J. Gowar, Optical Communication Systems, Second Edition, Prentice Hall, New-York, London, Toronto, Sydney, Tokyo, Singapore, (1993). 10.6. G. Einarsson, Principles of Lightwave Communications, John Wiley&Sons Inc., New York, (1996).

10.7. N. N. Puşcaş, Lasere, ediţia a II-a, revizuită şi adăugită, colecţia Academica, Editura TOP FORM, Bucureşti, (2007). 11.1. E. Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers, J. Wiley & Sons, Inc. New York, (1994). 11.2. W. Sohler, Rare Earth Doped LiNbO Waveguide Amplifiers and Lasers, ed. J. Marsh and R. de la Rue, Waveguide Optoelectronics, NATO ASI Series E: Applied Sciences, Vol. 226, p. 361-394, Kluwer-Academic, Dordrecht, Boston, London, (1992).

3

11.3. H. Suche, Erbium-doped LiNbO waveguides and amplifiers, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Guided Wave Nonlinear Optics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London; NATO ASI Series; Vol. 214, p. 256-284, (1992).

3

Bibliografie 369



11.6. E. Lallier, J. P. Pocholle, M. Papuchon, M. J. Li, Q. He, D. B. Ostrowsky, C. Grezes-Besset, E. Pelletier, Efficient Nd:MgO: LiNbO3 waveguide laser, Electron. Lett. Vol. 26, p. 927-930, (1990).

11.7.E. Lallier, D. Papillon, J. P. Pocholle, M. Papuchon, M. De Micheli, D.B. Ostrowsky, Short pulse, high power Q-switched Nd:MgO:LiNbO3 waveguide laser, Electron. Lett. Vol. 29, p. 175-176, (1993).

11.8. E. Lallier, J. P. Pocholle, M. Papuchon, Q. He, M. De Micheli, D. B. Ostrowsky, C. Grezes-Besset, E. Pelletier, Integrated Nd:MgO:LiNbO3 mode-locked waveguide laser, Electron. Lett. Vol. 27, p. 936-937, (1991).

11.9. I. Baumann, D. Johlen, W. Sohler, H. Suche, Acoustically Tunable Ti:Er:LiNbO3-Waveguide Laser, Journ. Light. Technol. Vol. 13, No. 2, p. 120-134, (1995).

11.10. E. Lallier, Nd:MgO:LiNbO3 waveguide lasers, ed. D. B. Ostrowsky, R. Reinisch, Guided Wave Nonlinear Optics, NATO ASI series, Applied Sciences, Vol. 214, Kluwer Academic publishers, p. 169-185, (1992). 11.11. R. Brinkmann, W. Sohler, H. Suche, Continous-wave erbium-diffused LiNbO waveguide laser, Electron. Lett., Vol. 27, Nr. 4, p. 415-416, (1991).

3

11.12. P. Becker, R. Brinkmann, M. Dinand, W. Sohler, H. Suche, Er-diffused Ti:LiNbO3 laser of 1563 and 1576 nm emission wavelength, Appl. Phys. Lett., Vol. 61, 1257-1259, (1992).

11.13. H. Suche, I. Baumann, D. Hiller, W. Sohler, Modelocked Er:Ti:LiNbO 3 waveguide laser, Electron. Lett. Vol. 29, No. 12, p. 1111-1112, (1993). 11.14. N. N. Puscas, R. Girardi, D. Scarano, I. Montrosset, Spectral noise analysis of single and double pass Er3+ -doped LiNbO waveguide amplifiers, Journal of Modern Optics, Vol. 45, No. 4, p. 847-859, 1998.

3

11.15. N. N. Puscas, D. Scarano, R. Girardi, I. Montrosset, Analysis of output statistics of single and double pass Er-doped LiNbO waveguide amplifiers, Optical and Quantum Electronics, Vol. 29, p. 799-809, (1997). 11.16. O. Katsunari, Fundamentals of Optical Waveguides, Academic Press, (2005).

3

11.17 B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics. Second Edition, Wiley, (2007).

11.18. W. Sohler, H. Hu, R. Ricken, V. Quiring, C. Vannahme, H. Herrmann, D. Büchter, S. Reza, W. Grundkötter, S. Orlov, H. Suche, R. Nouroozi,Y.H. Min, Optics & Photonics News, Jan. 2008, p. 24-31, (2008).

11.19. N. N. Puscas, B. Wacogne, A. Ducariu, B. Grappe, Modelling the Output Statistics of Er-Doped LiNbO 3 Curved Waveguide Amplifiers, Journal of Modern Optics, Vol. 46, No. 6. p. 1017-1030, (1999).


11.20. N. N. Puscas, B. Wacogne, A. Ducariu, B. Grappe, Spectral noise analysis of Er3+ :Ti:LiNbO curved waveguide amplifiers, Optical and Quantum Electronics, Vol. 32, No. 1, p. 1-15, (2000). 11.21. N. N. Puscas, Optical and Quantum Electronics, Theoretical

Analysis of Output Statistics of Er :Ti:LiNbO -Mode Straight Waveguide Amplifiers, Vol. 35, p. 831-844, (2003).

3

+33 M

12.1. J. Gowar, Optical Communication Systems, Second Edition, Prentice

Hall, New-York, London, Toronto, Sydney, Tokyo, Singapore, (1993). 12.2. P. Trischitta, M. Colas, M. Green, G. Wuzniak, J. Arena, The TAT 12/ 13 cable network, IEEE Communications Magazine, February, p. 24-28, (1996). 12.3. G. Einarsson, Principles of Lightwave Communications, John Wiley&Sons Inc., New York, (1996).

12.4. E. Desurvire, D. Bayart, B, Desthieux, S. Bigo, Erbium-Doped Fiber Amplifiers, Device and System Developments, J. Wiley & Sons, Inc., Publication, New York, (2002).

12.5. N. N. Puşcaş, Sisteme de comunicaţii optice, Editura MATRIX ROM, Bucureşti, (2006).

12.6. E. Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers, J. Wiley & Sons, Inc. New York, (1994).

12.7. A. Hasegawa, Y. Kodama, Solitons in Optical Communications, Clarendon Press, Oxford, (1995).

12.8. L. F. Mollenauer, K. Smith, Demonstration of soliton transmission over more than 4000 km in fiber with loss periodically compensated by Raman gain, Opt. Lett. Vol. 13, p. 675-677, (1988).

12.9. I. P. Kaminow, T. Li, A. E. Willner, Optical Fiber Telecommunications V, Academic Press, Amsterdam, (2008).

12.10. EDWA-Metro, Lightwave Direct e-Newsletter, www.lightwave.com, (2009)

12.11. B. Culshaw, Optical Fiber Sensor Technologies: Opportuniies and-Perhaps-Pitfalls, IEEE Journal ofLightwave Technology, Vol. 22, No. 1, p. 39-50, (2004).

12.12. Y. Shizhuo, P.B. Ruffin, F.T.S. Yu, Fiber Optic Sensor, 2 nd edition, CRC Press, (2008).

12.13. N. N. Puşcaş, G. C. Vasile, Senzori cu fibre şi ghiduri optice de undă, Editura PRINTECH, Bucureşti, (2007).

12.14. B. Culshaw, Smart Structures and Materials 1995. Smart Sensing. Processing and Instrumentation. San Diego, CA. Feb. 27-Mar. 1, SPIE, Vol. 2444, p. 786-793, (1995).

12.15. S. C. Tjin, Member, R. Suresh, N. Q. Ngo, Fiber Bragg Grating Based Shear-Force Sensor: Modeling and Testing, Journ. of Light. Technol., Vol. 22, No. 7, p. 745-752, (2004).

12.16. S. Afshar, L. Chen, X. Bao, High accuracy temperature and strain measurements with cm spatial resolution for distributed Brillouin-based fiber optic sensors, SPIE, Vol. 5597, p. 22-30, (2004).

http://www.lightwave.com/

Bibliografie

371

12.17. Z. Cao, R. Fang, H. Zhao, B. Zhao, Vibration signal processing for interferometric optical fiber sensor, Rew. of Sci. Instrum., Vol. 75, No. 2, p. 546-549, (2004).

12.18. R. D. Pechstedt, D. A. Jackson, Optical fibre accelerometers for geophysical applications, Proceedings SENSOR 93 KONGRESS, 11-14 Oktober 1993, Nürnberg, II, Publisher: ACS Organizations GmbH, p. 264-268, (1993).

12.19. X. Li, M. Packirisami, I. Stiharu, Polyimidic based fiber optic humidity sensor, SPIE, Vol. 5597, p. 205-212, (2004).

12.20. G. C. Constantin, G. Perrone, S. Abrate, N. N. Puşcaş, Fabrication and characterization of low-cost polarimetric fiber-optic pressure sensor, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol. 8, No. 4, p. 1635-1638, 2006.

12.21. I. Ivascu, D. Tosi, M. Olivero, G. Perrone, N. N. Puscas, Low-cost FBG temperature sensor for applications in cultural heritage preservation, Optoelectronics and Advanced Materials-Rapid Communications, Vol. 2, No. 4, 196-201, 2008.

12.22. N. N. Puscas, Noise modelling of improved detection scheme for displacement optic sensorsSensor Review, Vol. 28, No. 4, p. 317-320, (2008).

12.23. Proceed. of 17th International Conference on Plastic Optical Fibers, Santa Clara Convention Center August, 25-28, (2008).

SIMBOLURI UTILIZATE

Br

-inducţia magnetică C -concentraţia cr-viteza luminii în vid D -inducţia electrică D -coeficientul de difuzie dr -adâncimea ghidului d -momentul de dipol electric Er

-intensitatea câmpului electric ( ν,zF )

)-figura de zgomot

( ν,zG -câştigul optic g ( )ν -câştigul

Hr

-intensitatea câmpului magnetic h -constanta Planck

1−=i Bkr

-constanta Boltzmann

k -vectorul de undă L -factorul de corecţie Lorentz l -lungimea m -masa

iN -populaţia nivelului inr

-indicele de refracţie n -normala n -numărul mediu de fotoni

ijR -rata de pompaj

( )zR -raza de curbură a fasciculului ( )zR -raza de curbură a fasciculului

ir -coeficientul de reflexie SNR -raport semnal-zgomot T -temperatura absolută

rsqTEM -notaţia modurilor

iT -transmitanţa t -timpul V -volumul vr -vectorul viteză

aW -rata de absorbţie

eW -rata emisiei stimulate

iW -energia nivelului i z -axa optică α -coeficientul de atenuare

TΔ -operatorul transversal Laplace ε -permitivitatea electrică λ -lungimea de undă μ -permeabilitatea magnetică ν -frecvenţa radiaţiei

ea,σ -secţiunea eficace de absorbţie, emisie τ -timpul de viaţă ω -pulsaţia Ψ -funcţie de undă

Documents

Optica integrata si materiale optice