Upload
phamdang
View
231
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Pendahuluan Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya
mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya, contohnya adalah sebagai berikut:
Metode Optimasi Analitis Satu Variabel tanpa Kendala
Multi Variabel Tanpa Kendala
Multi Variabel dengan Kendala Persamaan
Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan
Metode Optimasi Numerik Satu Dimensi Teknik Eliminasi
Teknik Pendekatan
Satu variable tanpa kendala (1) Dimisalkan x adalah variabel penentu dan f(x) adalah fungsi tujuan
dari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah:
Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera di atas digunakan kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawah ini:
Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b). (i) Jika f ’(x) > 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menanjak pada
[a,b]. (ii) Jika f ’(x) < 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menurun pada
[a,b].
xatau
x
f(x) minimumkanf(x)n maksimalka
Satu variable tanpa kendala (2)
Test derivasi pertama: Misalkan f adalah fungsi yang menerus
dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada
interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang berada
didalam (a,b).
(i) Jika f’(x) > 0 untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b,
maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.
(ii) Jika f’(x) < 0 untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b,
maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.
(iii) Jika f’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b) kecuali x
= c, maka f(c) BUKAN sebuah nilai ekstrim.
Satu variable tanpa kendala (3)
Test derivasi kedua: Misalkan f adalah fungsi yang dapat
diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik c dan f’(c)
= 0,
(i) Jika f ”(c) < 0, maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.
(ii) Jika f ”(c) > 0, maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.
Satu variable tanpa kendala (4) Contoh 1:
Sebuah perusahaan catering (makanan ringan yang menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTE FT UMY berusaha mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton seperti tampak pada Gambar di samping. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa sehingga volumenya menjadi maksimum.
Satu variable tanpa kendala (5) Dari contoh di atas tampak bahwa dengan cara analitis
kalkulus diferensial nilai x yang memberikan nilai f maximum dapat dicari tanpa mengetahui nilai dari f itu sendiri.
Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang telah dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel.
Teorema:
Misalkan f’(c) = f ”(c) = … = f(n-1)(c) = 0, tetapi f(n)(c) ≠ 0. Maka f(c) adalah: (i) nilai minimum dari f(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap,
(ii) nilai maximum dari f(x), jika f(n) (c) < 0 dan n adalah bilangan genap,
(iii) bukan minimum dan maximum jika n adalah bilangan gasal.
Satu variable tanpa kendala (6)
Contoh 2.
Tentukan maximum dan
minimum dari fungsi di
bawah ini
Penyelesaian:
5404512)( 345 xxxxf
Tugas UK3
Buat makalah Non Linier Programing:
Max dan Min Tanpa dan Dengan Kendala
Untuk Beberapa Variabel
Multi variable tanpa kendala (1)
Cara analitis yang diterapkan pada permasalahan optimasi
satu variabel dapat pula diterapkan kepada permasalahan
multi variabel.
Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi
dapat digunakan dalam optimasi multi variabel.
Definisi dan simbol-simbol yang digunakan:
},...,,{,...,,dengan setara )()(
,...,2,1untuk ),...,,()()(
),...,,()()(
},...,,{dengan )( sebagai ditulisakan ),...,,()(
21
21
*
**
2
*
1
*
**
2
*
1
*
2121
n
n
n
j
n
nn
cccx
f
x
f
x
fCXfiv
njxxxfx
Xfiii
xxxfXfii
xxxXXfxxxfi
Multi variable tanpa kendala (2)
Teorema:
Jika f(X) mempunyai sebuah titik ekstrem (minimum
maupun maximum) pada X = X* dan jika derivasi pertama
dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*, maka ∇f(X*) = 0
PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu jika
∇f(X*) = 0 maka X* adalah titik ekstrem.
Multi variable tanpa kendala (3)
Teorema:
Titik X* disebut titik maksimum lokal dari f(X) jika dan
hanya jika:
(i) ∇f(X*) = 0
(ii) H(X*) < 0 definit negatif dengan H = matrik Hessian yang
didefinisikan sebagai:
jjj
jj
jj
ji
ij
nnn
n
hh
hh
H
H
xx
fh
hh
hh
H
1
111
2
1
111
det
dengan
n1,2,..., juntuk 0)1( jika hanyadan jika negatifdefinit adalah H
dengan
Multi variable tanpa kendala (4)
Teorema:
Titik X* disebut titik minimum lokal dari f(X) jika dan
hanya jika:
(i) ∇f(X*) = 0
(ii) H(X*) > 0 definit positif atau |H|j > 0 untuk j = 1,2,…,n
Multi variable tanpa kendala (6)
Contoh 3:
Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi:
642),( 2
2
2
1
3
2
3
121 xxxxxxf
Multi variable dengan Kendala
Persamaan
Pada bagian ini akan didiskusikan teknik optimasi multi
variabel dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk
umum sebagai berikut:
disini m ≤ n, jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat
diselesaikan
Untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di atas,
digunakan metode pengali Lagrange, yaitu:
t
n
j
xxxX
mjXg
Xff
},...,,{dengan
,...,2,1dengan ,0)( Kendala
)( Min/Maks
21
m
j
jj XgXfXL1
)()(),(
Multi variable dengan Kendala
Persamaan Teorema:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(x1,x2,…,xn, λ1,λ2,…,λn) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
Teorema: Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau
maximum) relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai dievaluasi pada X = X* harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dX yang memenuhi semua kendala.
n
i
m
j
ji
ji
dxdxxx
LQ
1 1
2
Multi variable dengan Kendala
Persamaan
Syarat perlu agar
menjadi definit positif (atau negatif) untuk setiap variasi nilai
dX adalah setiap akar dari polinomial, zi, yang didapat
dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau
negatif).
n
i
m
j
ji
ji
dxdxxx
LQ
1 1
2
0
00
00
00
)(
)(
)(
321
2232221
1131211
1321
2122232221
1111131211
mnmmm
n
n
mnmnmnnn
nn
mn
gggg
gggg
gggg
ggzLLLL
ggLLzLL
ggLLLzL
j
iij
ji
ij
x
Xgg
xx
XLL
)(dan
,),(
dengan
*
*2