OPTIMIZACION-MÁXIMOS Y MÍNIMOS-TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS (NXPowerLite)

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA JOS ANTONIO ANZOTEGUI

EL TIGRE-EDO-ANZOTEGUI Ctedra: Matemtica II

Especialidades: Mecnica - Qumica Lic. MSc. DMASO ROJAS

[email protected],[email protected],[email protected].

PROBLEMASDEMXIMOSYMNIMOS.

Losmtodosparadeterminarlosmximosymnimosdelasfuncionessepuedenaplicarala solucin de problemas prcticos, para resolverlos tenemos que transformar susenunciadosenfrmulas,funcionesoecuaciones.Debidoaquehaymltiplestiposdeejerciciosnohayunareglanicaparasussoluciones,sinembargopuededesarrollarseunaestrategiageneralparaabordarlos,lasiguienteesdemuchautilidad.ESTRATEGIAPARARESOLVERPROBLEMASAPLICADOSALAOPTIMIZACIN.

a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan deencontrar.

b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendovariablesparalascantidadesdesconocidas.

c) Enunciarloshechosconocidosylasrelacionesentrelasvariables.d) Determinardeculde lasvariablessedeseaencontrarelmximooelmnimoy

expresarestavariablecomofuncindeunadelasotrasvariables.e) Encontrarlosvalorescrticosdelafuncinobtenida.f) Utilizarelcriteriode laprimeraode lasegundaderivadaparadeterminarsiesos

valorescrticossonmximosomnimos.g) Verificarsihaymximosomnimosenlafronteradeldominiodelafuncinquese

obtuvoanteriormente.h) MUCHADEDICACINYPRCTICA.

1.) Hallar dos nmeros cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por elcuadradoelotroesmximo.

Segnelenunciado Mximoyxyyx ==+ 218 Despejemosunaenlaprimeraecuacinysuvalorlollevamosalaecuacindelmximo.

( ) ( )2 218 ; 18 ( ) 18y x Mximo x x M x x x= = = , En esta ecuacin hallamos elvalordexquelahacemxima.

A.Hallarlaprimeraderivada,seigualaaceroyseresolvelaecuacinresultante.

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( ) ( ) ( )( )( )( )

2

1 2

( ) 18 2 18 ( ) 3 18 6

: ( ) 0 3 18 6 0 18; 6( . .)

M x x x x M x x x

si M x x x x x v c

= = = = = =

B. Calculamos la segunda derivada y hallamos su valor numrico para las racesanteriores.

( )( ) 6 12 (6) 36 0 ; (18) 36 06 12

M x x M mximo M mnimosi x y

= = < = > = =

2)Sedisponedeunalminadecartncuadradade12cm.delado.Cortandocuadradosigualesen lasesquinasseconstruyeunacajaabiertadoblando los laterales.Hallar lasdimensionesdeloscuadroscortadosparaqueelvolumenseamximo.

Volumendelacaja= ( )( )( ) ( )212 2 12 2 12 2v x x x v x x= = ( )2( ) 12 2 ( ) 12( 2)( 6)

: ( ) 0 12( 2)( 6) 0 2; 6( . .)( ) 24( 4) (2) 48 0 ; (6) 48

v x x x v x x xsi v x x x x x v cv x x v mximo v mnimo

= = = = = =

= = < =

NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que x no puede valer 6 cm. Porque elvolumensera0,porlotantox=2cm.

3)Culserlaformarectangulardeuncampodereadadaiguala 236 Dm paraqueseacercadoporunavalladelongitudmnima?

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Segnelenunciado,rea= 36.;. =yxyx Mnimo= 2 2 ; 2 2x y Min x y+ = + Despejamosyenlaprimeraecuacinysuvalorlollevamosalaecuacindelmnimo.

2 236 36 2 72 2 72( ) 2 2 ( )x xy Min x x Min xx x x x

+ + = = + = =

2 2

2 2

233

2 72 2 72( ) ; : ( ) 0 0 6( . .)

144( ) (6) 0 ( : 6)

x xMin x si Min x x v cx x

Min x Min mn nota no se toma en cuenta xx

= = = =

= = > =

4)Sequierecercaruncamporectangularqueestjuntoauncamino.Silavalladelladoqueest juntoalcaminocuestaBF.8elmetroypara los ladosBF.4elmetro,hallaelreadelmayorcampoquepuedecercarseconBF.1.440.

Segnelenunciado,rea=x.y

8 4 4 4 1.440 12 8 1.440 3 2 360x x x y x y x y+ + + = + = + = Despejandoyenlasegundayllevandosuvaloralrea,nosqueda:

2

2

360 3 360 3 360 3: ( ) ( )2 2 2

360 6 360 6( ) : ( ) 0 0 60( . .)2 2

360 3 360 3(60) 90 . (60 )(90 ) 5.4002 2

x x x xsi y A xy A x x A x

x xA x si A x x v c

xy y y y m A xy m m m

= = = = = = = =

= = = = = = =

NOTA:Porlanaturalezadelproblema,nohacefaltahallarlasegundaderivada.

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5)Unaesferatieneunradiode6cm.Hallar laalturadelcilindrodevolumenmximoinscritoenella.

Enlafiguraxeselradiodelabasedelcilindro.PorPitgoras 22

2

26 xh +

= .

Volumen=4

36..2

22 hxperohx = ( ) ( )

( )

322

2

144( ) 36 ( ) ( ) 144 3

4 4 412( ) 0 144 3 0 4 3; : 4 3

4 3

h hhV h h V h V h h

V h h h se toma h

= = = = = = = =


6)Parahacerun filtrode laboratorio, sepliegaunpapelcircular.Siel radiodedichopapelmide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen seamximo.

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2

223

2 2

9 81

81( ) ( ) 81

3 3 39( ) 81 3 ; : ( ) 0 81 3 0 3 3

3 3 3

h x x h

h hx hv V h V h h h

V h h si V h h h h cm

= + = = = =

= = = = =

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7)Sedisponedeunahojadepapelparauncartelquemide2m2.Losmrgenessuperioreinferior,miden20cm.cadaunoyloslaterales12cm.cadauno.Hallarlasdimensionesdelashojas,sabiendoquelaparteimpresaesmxima.

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2 2

: 40 24 ; : 2

2 40( ) 40 24 ( ) 24

40 2 402 40 8(6 5 )( ) 24 ( )

y

y

parteimpresa A x y adems rea total xy x

yA y y A y yy

y yy yA y y A yy y y

= = = = =

= + =

23052

30 301023 530

8(6 5 ): ( ) 0 0 ( . .); 0 ( )

2 ;y

ysi A y y vc y A yy

xy x x x y

= = = = = = = = =

8)Detodoslostringulosisscelesde12mdepermetro,hallareldereamxima.

Enlafigura:rea2.hy= porPitgoras ;222 BDDCBC += 2

22

2hyx +

=

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Permetro: xyyx 212122 ==+

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

22

22

2 2 22

.. 4;4 2 2

12 2 4 144 48 412 2 2 64 4: 12 2 ; ( )

2 248 3 4 3 348 144

( ) 6 ( ) 6 ( ) 62 2 2

6 3 3 3( ) 2 6 3 3 ( ) 2 2 3 3

3 3

3 3(4 )( )

3

yy xy y hh x Area Area

x x x xx x xsi y x A x

x x xxA x x A x x A x x

x xA x x x A x x

x

xA x

x

= = =

+ = = =

= = = = = +

= 3 3(4 )

( ) 0 0 4( . .); 3 ( )3

4 4

xA x x v c x A x

xpara x y

= = = = = =

Eltringulodereamximaesequilterodeladoiguala4cm.

NOTA:Porlanaturalezadelproblema,sevequeparax=3,eltriangulosetransformaraenunarecta,porlotantox=4,eslasolucin.

9)Enuntringuloissceles,losladosigualesmiden20cm.cadauno.Hallarlalongituddelabaseparaqueelreaseamxima.

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( )

( )

2

22 2 2 22 22

24

2

2 2

2

2 22

22

2

: ; (20) 4004

400 1600: ( ) ( )

2 2 4( 2 )1600

2 1600 800( ) ( )4 2 1600

800 1600800( ) 0 02 (1600 )2 1600

tan : 800

x

x

xen la figura BC BD DC h h

x x xxhArea A A x A x

x xxx xA x A x

x

x xxA xxx

Por lo to x

= + = + = = = =

= = = = =

2 22

0 1600 0 ; 800 0 20 2

1600 0 40

y x x x

x x

= = = = = =

NOTA:Paralanaturalezadelproblema,parax=40eltringulosetransformarasenuna

recta,porlotanto .220 mx = 10)Sedeseaconstruiruntanquedeacerocon la formadeuncilindrocircularrectoy

semiesferasenlosextremosparaalmacenargaspropano.Elcostoporpiecuadradode

losextremoseseldobledelapartecilndrica.Qudimensionesminimizanelcostosila

capacidaddeseadaesde10.Pies?

( )2

2

) : . 4 ; . sin 2

) cos : 2 4 2

a Tenemos que A esfera R A cilindro tapa R

b La funcin a optimizar es el to C R R

= == +

AA

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( ) ( )( )

33 2 3 2

2

3 32 2

2

3 3 3

3 3 3 3

2

4 4 30 4) . ; .3 3 3

30 4 60 8( ) 8 2 ( ) 83 3

24 60 8 16 60( ) ( )3 3

48 3 3 16 60 144 48 18) ( ) ( )3

totalRc V esfera R V cilindro R V R R

R

R RC R R R C R RR R

R R RC R C RR R

R R R R Rd C R C RR

= = = + = = + = +

+ += = + = =

A A A

( )( ) ( )

2

3 33 3

2 2

2 2 3 333 3

5 3

33

03

96 180 96 180 180( ) ; : ( ) 0 0 96 180 0963 3

180 2 . 3 . 5 3.5 15 1596 2 . 3 2 2 2

15) : 2 152

R

R RC R si C R R RR R

R R ft

e Si R ft ft

= = = = =

= = = = =

= =A

11)Determine lasdimensionesdelrectnguloquesepuede inscribirenunsemicrculoderadioademaneraquedosdesusvrticesestnsobreeldimetro.

Rectngulotienecomo:

( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2

2 2

2 22 2 2

2 ; 2

2 2 2 2 2 2 4( ) 2 ( ) ( )2

2 4 2 2( ) 0 0 2 4 04 2

2 4 2 22 2 ;2 4 2

= = = = / = + = =/

= = = = == = = = = =

ret retBase x Altura a x A bh A x a x

x x a x x a xA x a x A x A xa x a x a x

a x a aSi A x a x x xa x

a a a ab x b a h a x h a h h

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12)Encuentreelpuntodelagrfica 2 1y x= + mscercanoalpunto(3,1).

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

222 2 4 2

3 33

4 2 4 2

2 2

( , ) (3,1) : 3 1

: 1 3 1 1 6 9

2 3 2 3( ) ; : ( ) 0 0 2 3 06 9 6 9

: 1 2 2 3 0 1( .

distanc

.); 2 2 3 0

iaLa entre los puntos x y y es d x y

pero y x d x x d x x x

x x x xd x Si d x x xx x x x x x

por Ruffini x x x x v c x x

Si

= + = + = + + = + +

+ + = = = + =+ + + + + + = = + +

: 1 2. (1, 2)x y Punto= =

13)Una ventana tiene formadeun rectngulo coronadoporun tringuloequiltero.Encuentrelasdimensionesdelrectnguloparaelcualelreadelaventanaesmxima,sielpermetrodelamismadebeser12pies.

22 2 33

2 4 2

232

2

: ( ) ( )

( ) 3:2 2 4

:: ,

12 3 12 32 3 12 2 3

ventana

( )2 2

:

= = == = ==

= + = + = =

xx x

x

Clculo de h h x h h

xx h xrea del tringulo A A A

rea del rectngulo A xyPara y en funcin de x usamos el permetro de la

x x xP y x y x y A x

rea total de la fig

( )2 23 12 3: ( )4 2

3 12 6 3 12 6( ) ( ) 0 3 6 12 02 2 2

= + + = + = = + =

T

T T

x x xura A x

x x x xA x A x x

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( ) ( )

126 312 12

3 6 6 3

12 3( )12 3:2 2

72 12 3 36 36 12 3 18 6 36 32 6 3 2 6 3

= = = = = = =

xx x Base del rectngulo si y y

y y y Altura del rectngulo

14) Para que un paquete pueda enviarse por correo esnecesario que la suma de sulongitud y el permetro de su base no exceda de 108 pulgadas. Encuentre lasdimensionesde lacajaconbasecuadradademayorvolumenquesepuedeenviarporcorreo.

( )( )

2 2 2 3

2

: 4: 4 108 lg ,

4 108 , 108 4: 108 4 ( ) 108 4

( ) 215 12 ; : ( ) 0 4 54 3 0 0 ,54

El permetro de la base es P aCondicin a pu tomaremos el extremo mximo

a de donde aEl Volumen V aa V a V a a V a a a

V a a a Si V a a a a no es solucin

=+

+ = = = = = =

= = = =

AA A

A A

3 0 18 lg 108 4 (18) 36 lga a pu Pu= = = =A A

15) LadistanciaR =OA (en el vaco)que cubreunproyectil, lanzando con velocidad

inicia,V0desdeunapiezadeartilleraquetieneunngulodeevaluacinrespectoalhorizonte,sedeterminasegn lafrmula:

20 2V SenR

g= Determinarelngulocon

elcualladistanciaResmximadadalavelocidadinicialV0.

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22 2

0 0

22 22 2 2 200 04

2 2 2 2

20

0 ( )

2 cos(2 ) 2 cos(2 )0 0 cos(2 ) 0 ( . .)4

(4 ) 2( )(4 ) (2 ) (4 ). . . 0

(2 )( ) (4

condicin

V VdR dR vcd g d g

V senV sen Vd R d R d R d Rsust vc end g d d g d g

V Senen mximo sust en R Rg

= = = = =

= = = = = = =

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17)Unterrenorectangularseencuentraadyacenteaunroysedebecercaren3lados,ya que el lado que da al ro no requiere cerca. Si se dispone de 100m de cerca,encuentrelasdimensionesdelterrenoconelreamxima.

( ) 2

2 22

2 2

0 50( ); 100 2 ( ) 100 2

100 4 0 100 4 0 25( . .)

4 0 25 25 50 1250

x condicin A bh A x x A x x xdA dAx x x v cdx dxd A d A en x mximo x h m b m A mdx dx

< < = = = = = = =

= < = = = = =

18) Hallar las dimensiones del rectngulo de rea mxima inscrito en unasemicircunferenciaderadior.

q

( ) ( )

[ ]

2 2 2 2 2 2 2 22 2

1/ 22 2 2 2 2 2

2 2 2 222 2

1 1 22 2 2 2

2 2

2 22

2

: ( ) ( ) 2

1( ) 2 2 2 22

2 2 2 2: 0 0 2 0

2

2 4

= = + = = /= = + /

= = = = = = = /

=

( x xrectngulo

r

A x y ABC r y r y x r y

daA y y r y r y y r y ydy

r y r yda da rsi r y y ydy dyr y r y

r y r y

y r yd Ady

( ) ( )( )

1/ 22 2 2 212

2 2

2 2 2

r y r y y

r y

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( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) 2 2 2

1/22 2 2 2 2 22

2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 23 32 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 32 2

2 2 23 3 322 22 222 2

2

2

2 4

2 4 4 2 2 2 3

2( ) 2( ) 3 2 2

( )

+ = + + = =

= = =

=

r r

r r r r

y r y r y r yd Ady r y

y r y r y y y rd A d Ady dyr y r y

r r rd A d A d A rdy dy dyrr

d A rdy 2 6

2 2

3 2 3 2 3 2

2 2 2332 8

3

22 2

2 2 2 8 01( )22; 2 2 2

2 2

/ = = = = +

20)Deuntroncoredondodedimetrodhayquecortarunavigadeseccinrectangular.Quancho(x)yaltura(y)debertenerestaseccinparaquelavigatengaresistenciamximaposible.A)Alacompresin,B)Alaflexin?

Nota: La resistenciade la viga a la compresin esproporcional al reade su seccin

transversal mientras que la flexin es proporcional al producto del ancho de esta

seccinporelcuadradodesualtura.

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( )( )( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 2

2 21/22 2 2 2 2 21

2 2 2

2 22 2

22 2

2 2 22

2

: ; ; :

( ) 2

0 0 0; 2 0 ( . .); :

4

rectngulo

c cc

c cd

c

A A bh b x h y Por pitgoras d x y y d x

k d xdR dRR x kx d x k d x x d x xdx dx d x

k d xdR dRk d x x vc Si x ddx dxd x

x d x dd R kdx

= = = = + = = = + =

= = = = = /

= ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

2 2

2

2

1/22 2 21 2 222

22 2 32 2

2 2 22 2 222 2 2

2 2 23 32 2 222

22 2 232

2 2 233

2

2 2 2 3

( ) 2( ) 3 ( ) 2( ) 3. . .

( )

( ) 4 2 4 02

c

d d d dc c c

d dd

ddc c c

d

x d x x kx x dd Rdxd x d x

k d k dd R d R d Rsust vc endx dx dxd

k dd R d R d Rkd k en xdx dx dxd

/

/ = = =

= = = < =

( )( )

33 3

2

2 2 2 22

4 34 42 2 3

3 3 2 2

3 32 2 2

2

2

: ( ) ( ) ( )2 2

3 43

3 4 3 42 4 ( ) 2 4 ( ) 2 43 3

12 3 423

d

rr r

t

t t t

mximo

d dsi x ancho y d x y d y altura

V V rV r h V r h h hr r

V r V rA rh r A r r r A r rr r

r r V rdAdr

= = = = = + = = =

= + = + = + = ( )3 32 2

3 3 3 3

2 2 2

33 3 34

2 8 38 83

16 6 24 6 68 6 68; : 0 03 3 3

66 68 0 ( . .); 08

V

dA r Vr rr dr r

dA r V r dA V r dA V rsidr r dr r dr r

VV r r r vc r

+ + = + + + += = = =

+ = = = =

www.

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( )

3 2

2 2 2 3

2 2 2 2

2 2 2 23 334

33433

4 2 2334

2 2 2 2 2 2

6 68 2 8 4 83 3

4 8 16 8. . . 6 03 3 3( )

3 4 ( )3 4 03 3

)

V

VV

V

F

dA V r dA V r d A Vdr r dr r dr r

d A d A V d A V d Asust v c endr dr dr V dr

VV ren r mnimo h h hr

R Kxy d x y y db

+= = + = +

= + = + = >

= = = =

= = + = ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 23

2 2 2 2

2 2 2 2 3

2 2 22 2

3

( )

0 0 0; 3 0 ( . .)

6 6 ; . . . 6 ( ) 0 .

3: ; :3 33

F f

f f d

f f f f d

x R Kx d x R x K xd x

dR dRK d x K d x K d x x v c

dx dxd R d R d R d R

K x Kx sust v c en K mximodx dx dx dx

d d d dAncho x altura y d y y d

= = = = = = =

= = = < = = = =

21)Untrozodealambrede10m.de longitudsevaacortarendospartes.Unaparteserdobladaenformadecircunferenciaylaotraenformadecuadrado.Cmodebercortarseelalambreparaqueelreacombinadade lasdos figurassean tanpequeascomoseaposible.

2 2 2 2

22

10 210 4 24

; :

1

4

2

0 2 10 2( ) 24 4

= + == = = +

/= + = /

= =

cuadrado circunferencia

rx r x

A x A r rea combinad

Cuadrado de lado x longitud del alambre x

Circunferencia de radio r longitud del alambre r

a A x r

r dA rA r rdr

22 10 22 24 4 / + + = + /

dA rr rdr

www.

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( )

[ ]( ) ( )

2

2 25

42 2

254

5 ( 5 ( 4)) 52 ; : 0 ( . .)2 2 4

( 4) 02

55 5 20 5 10 1.42 2 2 4 4

+

+

+ + += + = = = ++= = > =

+ = = = = + +

dA r dA r dAr si r v cdr dr dr

d A d A en r mnimodr dr

rx x x x x

22)Calcularelvolumenmximodelcilindrocircularrecto,quesepuede inscribirenelconode12cmdealturay4cmenlabase,demaneraquelosejesdelcilindroydelconocoincidan.

Lafigurarepresentaunaseccintransversaldelconoydelcilindroquepasaporelejedeambos.

( )( ) ( )2 2 2

2 3 2

12 3 3 44 4 4

: ( ) 3 4 ( ) 3 4

: 0 4 ( )

( ) 3 4 3 8 3 ; :

= = = = = =

= = = = =

por relacin de trigulos semejntesh h h rr r

Volumen del cilindro V r h V r r r V r r r

si r r volumen mximo no se alcanza en la fronteradv dvV r r r r r sidr dr

[ ]2

2

0 3 8 3 0

83 0; 8 3 0 8 3 0 0; ( . .)3

= = = = =

r r

r r r r r r v c

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[ ]( )

2 2832 2

83

2 383

3 8 6 3 8 6( ) 0

: 3 4 4

: ( ) 4 89.4

= = < = =

= =

d V d Vr r mximodr drCalculamos la altura h h

El volumenmximo del cilindro inscrito es V V cm

23)Unaesferatieneunradiode6cm.Hallarlaalturadelcilindrodevolumenmximoinscritoenella.

X=radiodelcilindro

Volumendelcilindro: ( )22 2 22; : 6 hV r h por pitgoras x= = + 2 2 2

2 2 3

2 2

2 2

2 2

144 14436 ( ) 1444 4 4 4

144144 3 : 0 144 3 0 4 34 3

( 6 ) ( 6)(4 3) 0 4 34 4

h h hx x V h h V h h

dv dvh si h h hdh dhd v d vh h mximodh dh

= = = = = = = = =

= = < =

24)Sedeseaconstruirunacajasintapaconbaserectangulardecartnde16c,deanchoy21cmde largo,recortandouncuadradodecadaesquinaydoblando los ladoshaciaarriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumenmximo.

Sean:x=longitudencmdeloscuadradosquevanacortarse,V=Volumenencm3

Elvolumendeunacajaeselproductodesusdimensiones.

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NOTA:xnopuedesernegativadebidoaqueelanchodelcartnmide16cmnopuedecortarsecuadradocuyosladosmidan8cmdelargo.

( ) ( )

( )

3 2

2

2 2

2 2

( ) (21 2 )(16 2 ) ( ) 4 74 336

12 148 336 4 3 28 3 ; : 0 4(3 28)( 3) 0

9; 3( . .)

24 148 : 24(3) 148 0 3

V lah v x x x x V x x xdv dv dvx x x x si x xdx dx dxx x v cd v d vx sustituimos mximocuando xdx dx

= = = += + = = =

= == = < =

25)Sedeseaelaborarunpequeorecipientecilndricosintapa,quetengaunvolumende24cm3,elmaterialqueseusapara labasecuesta tresvecesmsqueelqueseempleapara laparte cilndrica. Suponiendoqueen la construccinno sedesperdiciamaterial, evaluar las dimensiones para las que esmnimo el costo delmaterial defabricacin.

Donde:r=Radiodelabaseen(cm),h=laalturaen(cm),V=24cm3Sustituyendo:24=r2h

22

2424r

hr

h ==

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ParaobtenerlaecuacindeCostodeFabricacin.

A=costoporcm2paralapartecurva

Elcostoparalabase )(3 hraCB = Elcostoparalapartecilndrica:

)()2(

cilindrodelreaaChraC

C

C

==

( )( ) ( )( )

( )( )

2 2

2

3

2 2 224 24

32 48 48

2

3

296

2

cos

3 ( ) (2 ) (3 2 ) ( ) 3 2

8( ) 3 6 6

: 0 8 0 2( . .); 0( )

6

B C

r r

r r

r

El to total C C C

C a r a rh C a r rh Como h C r a r r

dc dc rC r a r a r adr dr r

dcsi r r v c si r no tiene sentidodr

d c adr

= + = + = + = = +

= + = = = = = =

= + ( )( )32 962 (2)2

. . . : 6 0 2

24 6

d csust v c en a en r mnimodr

como h hr

= + > =

= =

26)Hallardosnmerospositivosqueminimicen lasumadeldobledelprimeromsel

segundo,sielproductodelosdosnmeroses288.

Sea:(x)Elprimernmero,(y)elsegundonmero,Slasumadeellos.

2

288 288

2 22288

2 2

2 2

2 3 2 3

: 2 ; 288 ( ) 2

2 288 2 2882 0 0 2 288 0 12

288 288. . 0 12(12)

: 12 24

x x

x

Del enunciado S x y xy y S x x

ds ds x ds x x xdx dx x dx xd s d ssust v c en en x mnimodx x dxsi x y

= + = = = + = = = = = =

= = > = = =

www.

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27)Ungranjerodisponede100metrosdevalla,con losquedeseaconstruiruncorral

rectangulardelamximasuperficieposible.

22

2

; 2 2 100 50 ( ) (50 )

50 2 0 50 2 0 25( . .)

2 0 25 25 . : 6

(superficie del corral):

25

S xy del enunciado x y y x S x x xds dsx x x v cdx dxd s en x mximo y S mxima es de S mdx

= + = = = = = = =

= < = = =

28)Hallarunnmeropositivocuyasumaconsuinversoseamnima.

22

2 2

2 2

2 3 2 3

1 1: ( )

1 11 : 0 1 0 1( . .), ( )

2 2. . . 0 1(1)

Sea x unnmero su inversoes S x xx x

ds ds x dssi x x v c peroel valor debe serdx x dx x dxd s d ssust v c en x mnimodx x dx

= += = = = = +

= = > =

29)Dadouncrculoderadio4dm,inscribeenlunrectngulodereamxima.

q 2 2 2 2 2( ) 8 64 ( ) 64= + = = = +S xy ABC xrea del rect y y x S x xgul xo

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( )

( )

22

2

2 2

2 3 2 3

2

2(32 )( ) : ( ) 0 32 0 4 2( . .) : ( )64

2 ( 96) 2(4 2)((4 2) 96)( ) . . . 4 2 ( ) 4 0(64 ) (64 (4 2) )

: 4 2 64 4 2 4 2

= = = = = = = = <

= = =

xS x si S x x x v c pero x ni y pueden serx

x xS x sust v c x S x mximox

si x y

30) Calcular las coordenadas de los puntos de la parbola 2 4y x= , tales que susdistanciasalpuntoA(4,0)seanmnimas.

( )( )

( )

2 2 2

2 2

2

2 3 2 3

( , ) 4 : 4 .

2( ) 4 (4 ) ( ) ( ) 0 2( . .)4 16

12 12( ) . . . ( ) 0 2( 4 16) ((2) 4(2) 16)

2 2 2. 2,2 2 ;

d A P x y y la parbola y x sust end porq el punto a la parbola

xd x x x d x d x x v cx x

d x sust v c d x x mnimox x

si x y p

= + = = + = = = +

= = > = + += = ( ) 2, 2 2p

31) De todas las parejas de nmeros reales cuyas componentes tiene suma S dadaencontraraquellaparalacualelproductoPdelasmismasesmximo.AplicaloanterioralcasoS=40.

22

2

2 2 2 2 22

) : ;

. ( ) ( ) ( ) 2 0

2 0 ( , )

+ = = = = = + = + = =

= < = = =

S

S S S S S

a sea x e y las componentes x y S y S x adems P xydP dPSust P x x S x P x x xS x S xdx dx

d P en x mximo si x ydx

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2

2 2 4( )( )) : 40 20, 20 400.

= = == = = =

S S Smx mx mx

mx

de P xy P Pb Si S x y P

32) De todas las parejas de nmeros reales cuyas componentes positivas tienenproductodado,encontraraquellaparalacuallasumedeesascomponentesesmnima.AplicaloanterioralcasoP=100.

( )2

22

2

2 2

2 3 2 3

.) ( , ) ;

1 ; : 0 0 ( . .);

2 2.

. . 0

0

( )

: y ( , )

P Px x

Px

a Sea x y la pareja S x y adems P xy y S x x

dS dS x P dSsi x P x P v cdx dx x dxd S p d S psust v

cond

c en x P mnimod

ici

x x dx Ppsi y p la pareja es p y

x

px

n > = + = = = += = = = =

= = > =

= = : 2) 100 (10,10) 20.

su suma S p

b Siendo P la pareja ser y su suma S

== =

33)Unacajacerradadebasecuadradadebetenerunvolumende2000pulg3.Elmaterial

delfondoydelatapadelacajatieneuncostode0.03dlaresporpulg2yelmaterialde

los lateralescuesta0.015dlaresporpulg2.Determine lasdimensionesde lacajapara

queelcostototalseamnimo.

Seaxpulgadas la longituddeun ladode labasecuadraday )(xC dlareselcostototal

delmaterial.Elreadelabasees 22 lgpux .Seaypulgadaslaprofundidaddelacaja.Verfigura. Puesto que el volumen de la caja es el producto del rea de la base por laprofundidad.

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( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2

2

2

2 2000

2 32

2 22000 12000

3312000

2

3

2000

: ( ) ( ) =3 2 4

6 6 6 ; : (0, )

12 1200012 : 0 0 1000 10( . .)

24000 12

x

total total

xx

x

x y y

Del enunciado C rea tapa y fondo rea laterales C x xy

C x x x C x x Dom

xC x x si C x x x v cx

C xx

= == + +

= + = + = = = = =

= + ( ) 32

24000. . . 10 12 0 10(10)

: 10 lg; 20 lg 100 lg

mn

sust v c C en x mnimo

C x pu y pu y el rea de la base ser de p

= + > = = =

34)Demostrarquedetodoslosrectngulosdepermetropdado,eldemximareaeselcuadrado.

4

22

22

2

2 22( )

m x22

: 2( ) 2 2 ; :

2 4. ( ) ( ) ; 0 4 0 ( . .)2 2 4

2 0 :4 4 16

p

p x

p x

p

permetrodel rectngulo p x y x y p y y su rea A xy

px x dA p x dA psust A x A x si p x x v cdx dx

d A p p pen x mximo y y esun cuadrado Adx

= + + = = = = = = = = =

= < = = = =

35)Siunaletracerradadeestaoconunvolumende16.pulg3debetenerlaformadeun cilindro circular recto,determinar laalturayel radiodedicha lataparautilizar lamnimacantidaddematerialensumanufactura.

2 2 2

2 2 2

rea superficial lateral: rea de la parte superior:rea de la ba

2s

( lg) lg: ( lg) 2 2e

= +t

rh pu r pur pu S rh r

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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22

2 22

33 3

2 2

3

16 : 16

16 322 2 2 ; ( ) : 0,

32 32 44 ; : 0 4 32 8 2( . .)

64 4 . . . 2

= = = = + = + +

+ = + = = = = =

= +

El volumen del cilindro circular recto V r h r h hr

S r r r S r r DomS rr r

rS r r S r si S r r r r v cr r

S r sust v c Sr 3

64 4 0 2 4(2) = + > = =r mnimo h

36)Sedeseanconstruircajasdecartnsintapapartiendodecuadradosdelado40cm.alosqueselesrecortanlasesquinascomoindicalafiguraydoblandoalolargodelaslneaspunteadas.a)Determinalalongitudxdelosrecortesparaqueelvolumendelacajaseamximo.b)Determinaelvolumenmximo

( )( ) ( ) ( )( )2

2

2 22032 2

: (40 2 ) ( ) ( ) (40 2 ) ; :[0,20]202 40 2 2 40 2 40 2 6 40 0 20; ( . .)3

8(3 40) . . . 8(3( ) 40) 160 0

m

Base un cuadrado de lado x y la altura x V x x x domdV dV dVx x x x x x x vcdx dx dxd V d Vx sust vc mximodx dxv

= = + = + = = =

= = = < ( )2 3 320 20x 3 340 2( ) ( ) 4,74.10 cm=

37)Laresistenciadeunavigadeseccinrectangularesproporcionalalproductodesuanchoaporelcuadradodesualturah.

a) Calculalasdimensionesdelavigademximaresistenciaquepuedeaserrarsedeuntroncodemaderadeformacilndricadedimetrodado.

b) Aplcaloalcaso=15(pulgadas)c) SieltroncotienelargoLexpresaenporcentajedelvolumentotaldemaderael

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d) volumendelaviga.

q2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

) : 0

( ) ( ); 0

3( 3 ) 0 0.577 ( . .)33

6 . . . 6 ( ) 03 3

a Sea R la resistencia de la viga y k una cte R kah

ABC a h R a ka a a

dR dRk a a v cda dad R d Rka sust v c k en x mxida da

> = = =

= = = =

= = < =

+

2

11 2 2

2 0.81633

) 15" 38 8.65" 22 ; 12, 24" 31

) :4

4 :( )

4

mo

si x h

b Si cm a cm h cm

c El volumen del trono cilndrico de londitud L ser V L

V ahL ahEl volumen de la viga de longitud L ser V ahLV L

= = =

=

= = = 0.6

% 60% .de madera utilizada en la viga es de la madera total

38)Dospostesde20y28piesdealtura respectivamente seencuentrana30piesde

distancia.Sehande sujetar con cables fijadosenun solopunto,desdeel sueloa los

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extremosdelospuntos.Dndesehandefijarloscablesparaquelacantidaddecable

aemplearseamnima?

( ) ( ) ( )2 2 2

1

2 2 22 22

2 2

T 1:

:

400 400

30 28 30 784 60 1684

( )

2

400 60 1684 ;

:

:0 30

Sea W longitud del cable W y z

y x y x Ec

z

Del riangulo

Del Tringulo x z x z x x Ec

w x x x x Siempre que x

= += + = += + = + = +

= + + +

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 22 2 2 2 2

302 2 602 400 2 60 1684 400 60 1684

60 1684 30 400

400 60 1684

0 60 1684 30 400 0

60 1684 30 400 60 1684 30 400

xdw x x dw xdx dxx x x x x x

x x x x xdwdx x x x

dw x x x x xdx

x x x x x x x x x x

x

/ = + = +/ + + + + + + +=

+ +

= + + + = + = + + = +

( )4 3 2 2 24 3 2 2 3 4 2

4 3 2 2 3 4

2 2

2 2

60 1684 900 60 400

60 1684 900 60 360.000 24000 40060 1684 1300 60 24000 360.000

1684 1300 24000 360000(384 24.000 360.000 0) / 192 2 125 1875 0

x x x x x

x x x x x x x xx x x x x x x

x x xx x x x

x

+ = + + + = + + + + = + +

= ++ = + =

( )( )[ ]

75 2 25 0 75 12.5

75 0,30 (12.5 . .)

x x x

Como x en y los extremos son soluciones factibles x v c

+ = = == =

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39)Sedeseaconstruiruntanqueconformadeparaleleppedorectangularde45m3de

volumen, con la parte superior abierta segn indica la figura. El largo del rectngulo

basedebeserdobledelancho.Elmaterialdelabasetieneuncostode100$

yeldelas

paredesde80$

.Determina lasdimensionesdel recipienteparaqueel costode los

materialesseamnimo,ascomoelcorrespondientepreciodeltanque.

sup. .

2 2

2

cos tan :

cos : 100. 100(2) 200 sup : 80 80(6 ) 480

200 480 ;

T base lat

base base base

lat lat lat

T

El to del que C C C

El to del material de la base ser C Sup a C aCosto de la erficie lateral C S ah C ah

C a ah como

= += = =

= = == + 3 2 2 245: 45 2 2 2 45 2T T TV m V a ah V a h a h h a= = = = =

( ) 2 23 33

2 2

2 3 2 3

10800 10800200 ; : 0 400

10800 0 400 10800 0 27 3( . .)400

21600 21600400 . . 400 0 3 (3)

: 3 2.5 dim : 3 ,

TT

T

T T

dCC a a donde a aa da a

dC a a a v cda

d C d Csust v c a un mnimoda a dasi a h m Las ensiones a m h

= + > =

= = = = =

= + = + > = = = = 2.5 , 6 .; (3) $5400.Tm L m C= = =

40)LosPuntosAyBestnopuestosunoalotroyseparadosporelmar3Km.ElpuntoC

esten lamismaorillaqueBy6Kmasuderecha.Unacompaade telfonosdesea

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tenderuncabledeAaC.Sielcostoporkmdecablees25%mscarobajoelaguaque

entierra.Qulneadecableseramenoscostosaparalacompaa?

q 2.; 9. 6

.; 0 6 cos .

cos .

AP Cantidad de cable bajo el agua ABP AP x

PC Cantidad de cable por tierra PC x

P Punto cualquiera entre BC donde xSi a to en De cada km de cable bajo tierrab to en Bs De cada km de cable

= = += =

= =

=

+

( )( )

2

2 2

2

.25 5 4 100 4 4 5

cos : 9; cos : 6 4 cos : ( ) 9 6 ( ) 9 (6 )5

2 4( ) ( )52 9

por tierrab b b aa b a b a b

El to de cable bajo el agua a x El to de cable por tierra b xaEl to total C x a x b x C x a x x

xC x a C xx

= + = + = =+

= + + = + + /= = / +

2

2

5 4 9

5 9

x xa

x

+ +

[ ] ( )[ ]

( ) ( )( )

222 2 2 2

2 2 2 2

1/ 2 1/ 22 2

2

( ) 0 5 4 9 0 5 4 9 25 16 9

25 16 144 9 144 16 4 4 ( . .) 0,639 33(0) ; (6) 3 5 ; (4) ( ) 45 5

9 9 (2 )( ) (

9

C x x x x x x x

x x x x x x v c

C a C a C a El valor menor es cuando x

x x x xO tambin C x a C x

x

= + = = + = + = + = = = = = = = =

+ + = + ( )( )

( )

1/ 22

2

2

9) 9

9

9( ) (4) 09

xa

x

aC x C mnimox

+ = + = >

+

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41) Se desea construir un silo de forma cilndrica rematado por una bveda

semiesfrica. El costode construccinporm2 esdoble en labvedaque en laparte

cilndrica.EncuentralasdimensioneshydelsilodevolumenVdado,deformaqueel

costodeconstruccinseamnimo.

2 2

2

$ $

2

: . 2 ; . 2

: ( )

;

; : 2 ( )

2 2 (2 ) 2 (2 )

:

.

m m

T T

SeaSup lateral Rh Sup boveda RCosto de Sup lateral A Costo de boveda A

C RhA R A C AR R h

si V esvolum

R radio de la base h la al

en dad

tura de la parte cil

o

indric

V

a

= =

= + = +

=3

3 32

2 2

3 33 3

2

2 23

2 3 2

3

2 4 3 2 3

6 34 3 8 3 3( ) 2 ( ) 2 0 3 8 0 ( . .)

3 3 8

4 (4 3 ) . . . 0 ( )3

3 2

T TT

T T

RVR v RR h h hR R

dC dCR V R v VC R A A V R R vcR dR R dR

d C d CA R v sust v c mnimodR R dR

VVComo R h

+ = = + = = = + = =

+= >

= = =3

2 23

2

2 2 33 3 8

964

VR Vh

R V

=

42)Sevaaconstruiruncalentadorparaaguaenelformadeuncilindrocircularrecto

con eje vertical, usando para ello una base de cobre y lados de hojalata; si el cobre

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cuesta5vecesloquelahojalata.Calculelaraznselaalturaalradior,queharqueel

costoseamnimocuandoelvolumenVesconstante.

[ ] [ ]

22

2

2 2( ) ( )

: ; ; ,

: 2 ; ,

5 2 ; 2 5 2 2T tapas lados cilindro crculo

tapas cobre lados hojalata T

VSean r Radio h Altura V Volumen del cilindro V r h hr

C C C si a rh a r adems a el Costo del material

C a r C a rh C a r a rh

sus

= = = = == + = =

= = = + 2 2 2

2

33 3

2 2 3

3 3

. ( ) 10 2 ( ) 10 2 ( ) 2 5

10( ) 2 10 ( ) 2 : ( ) 0 10 0 ( . .)

2 ( ) 2 10 ( ) 4 5

V V Vt h C r a r a r C r a r a C r a rr r r

V r V VC r a r C r a si C r r V r vcr r r

V VC r a C r ar r

= + = + = + = = = = =

= + = +

[ ]

( )

310 33

10

3 3 310 10 10

310 2

310

. . . 4 5( )

10 4 5 4 15 60 0 .

:

VV

V V V

V

V

Vsust vc C a

VC a C a C a mnimoV

Vsi r h

/ = +

= + = = > = =

43) Sobre la ribera de un ro cuya orilla se supone rectilnea se desea alambrar una

superficie rectangular de 10 hectreas. Admitiendo que el costo de alambrado es

proporcionala la longitudaalambrar,dimensionarel rectnguloparaqueelcostode

alambramientoseamnimo.Sesuponequenosealambrasobrelaribera.Recuerdaque

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1hectrea=10.000m2.Sielalambradoseconstruyecon5hilosyelrollode1.000m

vale U$S 35. Calcula adems el costo del alambre necesario.

2

2 2

2 2

2 3 2

2

: ( ) 2 ; ( ) ; 0

2 21 0 2 ( . .)

4 2.( . .) 0 : 222

: 1 10000 447,

A ASea L a su longitud m L x y y A el rea A xy y L x x xx x

dL A dL x A dL x A vcdx x dx x dxd L A d L A Asust v c mnimo si x A ydx x dx Acomo Hectaria m x

= + = = = + = = = =

= > = = == 20 ; 223,60 ; 894,40

, 5 , 4472 cos $ 156,52.

total

m y m L mAdems el alambrado debe tener hilos L my el to total de alambre es de U S

= =

44)Un cilindro circular recto va a ser inscrito en una esfera con determinado radio.Calcularlarazndelaalturadelradiodelabasedelcilindroquetengalamayorreadesuperficielateral.

( )( )( ) ( )2 2

: , : ; :: 2 : sup .

: ; 2 cos 2 2 cos

( ) 4 cos ; 0,

== = =

=

Sean el ngulo al centro de las esferas r radio del cilindro h alturaS S rh reas de la erficie lateral del cilindroDe la figura r asen h a S asen a

S a sen Dom

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( )2 2 2 4 22 2 2

2 2 22 2 2

2 2 24 2 4 2

4 (2cos 1) 0 2cos 1 0 ( . .) 0,

16 cos 8 2 ; . . . 8 0

( ) ; 2 cos( ) 2 2( )

= = = =

= = = <

= = = = = =a a

dS dSa v c Domd dd S d S d Sa sen a sen sust v c a mximod d d

hr asen r h a h h a razn buscadar

45)Una fbricanecesitaunasuperficiedepisode formarectangularyreaAm2para

cargademateriales.Paracerraresasuperficieseconstruirnparedesdeespesoresfijos

deametrosybmetroscomoindicalafigura.

Dimensionaelrectngulodecargaparaquelasuperficierectangularexteriornecesaria

seamnima.

( )( )( )

: , ; , : . : ( 2 ) ( 2 ) : 2 2

: ( ) 2 2 ;

Sea x e y los lados del rectngulo de rea A a b los espesores de las paredesLos lados del rectngulo exterior x a e y b y su rea S S x a y b

A Aadems A xy y S x x a b Donx x

+ + = + + = = = + +

( ) 22 22 2

2 3 2 3

: 0

2 22 2 0 ( . .)

4 4. . . 0 : ( )

: ( ) arg

aAb

de x

dS A A dS bx aA dS aAb x a x v cdx x x dx x dx b

d S aA d S aA aA bsust v c mnimo si x y Adx x dx b a

se deduce que si a b el rectngulo dec a y el rectngulo

> = + + + = = =

= = > = =

= .exterior sern cuadrados

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46)Encuentralasdimensionesryhdelconorectodebasecirculardevolumenmximo

quepuedeinscribirseenunaesferaderadioRdado.

2

El cono de volumen maximo debe tener su base en la semiesfera inferior pues todo cono tiene otro con base simetrica respecto al plano diametral de la esfera ^AC,

en la s

3

e

r hV volumen del cono=

( ) ( )( )

( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 3

2

miesfera superior, pero de menor altura, lo que permite variar h en [

2

( ) 2 ( ) 2 ; : 23 3

4

R ,

3

2 ]

03

R

:

Del tringulo OCB R h R r r R h R r hR h

V h hR h h V h Rh h Donde R h R

dV dVRh h si hdh dh

= + = = = =

= =

( ) ( )2 2 432 2

40; ( . .)3

4 2 24 6 . . 4 6( ) 0 :3 3 3 3

R

Rh v c

d V d V R RR h sust v c R mximo si h rdh dh

= =

= = < = =

47)Se lanzaunproyectilenelvaciodesdeunpunto0 (ver figura)convelocidadVoy

ngulodeinclinacin.Enelsistema(XOY)indica,latrayectoriadelproyectilresponde

alafuncin:Y(x)=

.. ;0

;g=9.8

;a)ParaVoy

dadas,encuentra la alturamxima (hmx)que alcanzaelproyectil. b)Calculael

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alcanceLdelproyectilysuponiendoVoconstante,indicandoelvaloroquedamximo

alcance.

( ) ( )2 02 22

2 2 2 2

2

2 2 2

4 2 2 2

m x 2 2 2

) ; 0 ; 2 cos 2

( cos )0 cos cos

0cos

cos cos2 cos

o

o

o o

o

o o

o

ga y x x tg x Siendo v y constV

V sendy g dy gx tg x tg xdx V dx V gd y g mximodx V

V sen V sengy tgV g g

= + = + = = == <

= + ( )

( ) ( ) ( )( )

2

2 2

m x

2

22

222 2

2 2

y2

) 2 2( cos ) ( ) 2 ; : 02

2 cos 2cos 2 2 : 0 cos 2 0 (v.c.)

44 s 2(4 s 2

. . .

o

o

V og

oo

oo

V seng

Vb Sea L alcance L x L sen L sen Parag

VVdL dL dLsid g d g d

V enV end L d Lsust v cd g d

= = = =

= = = = == = ( ) 24 ) 4 0

:4

oV mximog g

en

= <

=

48)Untanquede2m.dealturaapoyadoenelpisosemantienellenodeaguamientrasqueporunorificiopracticadoenunadesusparedesescapaunchorroquegolpeaelpisoen el punto A, a una distancia x de la pared. Admite que el chorro tiene forma

parablicayqueenelsistema(XY)indicadosuecuacines:Y=

. . ,

Donde Vo es la velocidad del chorro a la salida del orificio y g la aceleracin de la

gravedad.SabiendoqueVo= . . ,sepidequedetermineslaprofundidadhaque

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debeencontrarseelorificioparaqueel chorrogolpeeelpisoamximadistanciadeltanque.

( ) ( )

2 2

2 2

2 22

0 0

2 2

: ; . : ( , 2 ) 22 2

( ) : 2 2 22(2 ) 4

4 2 2 2 : 0; 0 22(1 ) 0

(2 )

o o

gx gxDada y de la Fig el punto Aes A x h hV V

gx xla velocidad de salida del lquido V V gh h hgh h

x h h x h h h Donde x hdx h dxsidh dhh h

= =

= = =

= = = =

( )2 22 3

1( . .)

2 0 1 2 2 2( (2 ))

h v c

d x en h mximo x h h h xdh h h

=

= < = = =

49) Considera una circunferencia de radio R dado. Se inscriben en ella tringulosisscelesABC.a)Calculaelpermetrodelostringulosenfuncindelngulo.b)Hallaeltriangulodepermetromximo.

( ).) .

: : 2 ( ) 2 2( (2 ))

a sea p el perimetro ABCDel OMB MOB ngulo central e inscrito correspondientes

MB R sen AB R sen

=

= =

++ (

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

(2 ) 2 (2 ) : 2 cos( )

2 (2 ) 2(2 cos ) 2 (2 ) 2cos 4 cos 1

.) 4 1 cos cos 4 cos : 02

4 2

MB Rsen RsenCMB BC BC BC Rsen sen sen

p Rsen R p R sen p R sendp dpb R sen sen R sen sen Parad d

dp Rd

= = = == + = + = += + + =

=

(

( )

( )( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

62 2

6 6 6

1 1 8 1 ; 0 2 1 0 4

1 ( . .) 02 6 2

12 cos . . . 12 cos 6 3 0

4 cos 1 3 3

dpsen sen si sen sen send

sen vc en

d p d pR sust vc R R mximod dp R sen R El tringulo es equilter

+ + = + = = = =

= = = < = + = .o

50)UngeneradordefuerzaelectromotrizconstanteyresistenciainternarseconectaaunaresistenciadecargaR.enesascondicioneslapotenciaPdisipadaporlaresistenciaR

estaexpresadaporlarelacin:P= .

,Ryren,Venvoltios.Determineelvalorde

Renfuncinderparaquelapotenciaseamxima.

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 2 222 2

2 4 4

2 2

2 22 2 2

m x4 42 2

.2( )

0 0 ( . .)

2 2 2 2. . . 0

4

R rR r R R rR dP dPP RdR dRR r R r R r

dP R r R r v cdR

R r R Rd P d Psust v c mximo PdR dR RR r R R

++ += = = + + + = + = =

= = < =+ +

51)Determinelosvaloresdelasconstantesa,b,ycparalacurva 2axy

b cx= + presente

extremosrelativosen ( ) ( )1 12 21, 1,y

Laderivadacorrespondientealafuncinobjetodeestudioestdadapor:( )( ) . 22

2

cxbcxbay +

=

Laexistenciadeextremos relativosen 1=x indicaqueenestepardevalores ,0=y estoes, ( ) .0= cba Deaqu, .,0 cboa == Deacsloesadmisibleb=c.Como lospuntosdadossatisfacenlaecuacindadayusandolaltimarelacinobtenida,setiene:

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.21

221 ba

ba

cba ===+

De esta forma, si ,cba == la ecuacin en cuestin se puede escribir como

( ) .11 222 xxxa axaxa axy +=+=+= Por lo tanto, es irrelevante el valor de a, loverdaderamenteimportanteeslarelacinobtenidaentrelasconstantes.

52)UnvehculodebetrasladarsedesdeelpuntoAhastaelpuntoBdelafigura.ElpuntoA dista 36 Km de una carretera rectilnea. Sobre la carretera el vehculo puede

desarrollarunavelocidadde100

,mientrasquesobreel terrenopuededesarrollar

una velocidad de 80

. a) Se desea saber cual es el recorrido que debe realizar el

conductoparaqueeltiempoempleadoenirdesdeAhastaBseamnimo.b)Calculaesetiempo.

( )

1 2

2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

: 80 , 100 . , 100 , 36

:

100 100. . . ; ; [0,100]

km kmh h

MN NB AM

AN

AN NB

sea v rapidez en el terreno v rapidez en la carreteraMN d x NB d x d d km

Del AMN d d x

d x x d x xPor M RU t t t xv v v v

dt xdx v

= == = = = = =

= ++ + = = = +

=

(

2 22 12 2 2 2

2 21 12 2

2 2 2 2 2 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1

2 2 2

2 22 2 31

1 1= 0 0

(36)(80) 48( . .)(100) (80)

. . . 0 48( )

.)

dt x v x v d xv dx vd x v d x

d v dvv x v x d v x x x x v cv v v v

d t d d tsust v c mnimoen xdx dxv d xb El tiempo d

= = ++ + = = = = =

= > =+ : 1 16e recorrido sera t h m=

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53)Demuestrequelacurvadeecuacin 2ay xx

= notienemnimorelativoparaningnvalordea.

Eldominiode lacurvaestdadopor, { }.0R Dedondeexisteunaasntotaverticalen 0,

( )

( )

33 3

2

3

33 3

2 0 2 0 ( . )

2

22 22" 2 " . . " 6 02

2

a x ay si y a x x v cx

aaa xa ay y sust v c y mximoen xax x

+ = = + = = = = = = < =

54)Seconsiderauncuadradodelado1m.Entresvrticesconsecutivos,delsetomanloscentrosdetrescircunferenciasdeformaquelosradiosdelasquetienencentrosenvrtices consecutivos, sumen1m.a)Encuentra losvaloresextremosde los radiosdeformaqueloscuadrantesdecrculosombreadosnosesolapen.b)calcularlosradiosdelascircunferenciasparaqueelreasombreadaseamnima.c)calculadicharea.

.) , , .

2 1 :2mx m

a Como los crculos de centros A y C son de igual radio x el mximo valor paraque aquellos no se solapen ser lamitad de la diagonal del cuadrado

Lsiendo el lado L del cuadrado de m x x = 22x

m=

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( )2 2.)

1 1 ( ) 2 14 4

b El rea a considerar se compone de dos cuadrantes de crculo de radio x y un

xcuadrante de radio x A x x = +

( )( )

22 2

2

2 2

2 2

min

3( ) ( ) 3 2 1 ; 0, 4 2 4 4

16 2 0 6 2 0 (v.c.) 4 36 3 104 2 3

.) 6

x xA x A x x x

dA dAx x xdx dxd A d A mnimoen xdx dx

c rea mnima ser A

= + = + = = = =

= = > =

=

55)Calcule losvaloresde lasconstantesa,b,cydsabiendoque lacurvadeecuacin3 2y ax bx cx d= + + + tieneextremosrelativosen ( ) ( )1121, 2, 8y .

De .23 223 cbxaxydcxbxaxy ++=+++= Usandoloshechosdequelospuntosdadossatisfacenlaecuacindelacurvayque ,210 === xyxeny setieneelsistemadeecuaciones.

=++=+

=+++=++

)4(0412)3(023)2(8248

)1(2

11

cbacba

dcba

dba

Haciendo (2)(1), sigue: ).5(293 =++ cba De (5)(3), queda:

.23

293 == bb a partir de (4)(3), obtenemos: .1023 ==+ aba

sustituyendolosvalorescalculadosen(3)yluegoen(1),setiene: .2,6 == dc 55)Sedeseacolocarunaescaleraapoyadaenelsueloyenlapareddeungalpncomosemuestraenlafigura.Paralelamentealapareddelgalpnya1m.dedistanciacorreunacercade1.50mdealtura.Laescaleraseapoyaratambinsobrelacerca.a)Calculala longitud mnima que deber tener la escalera para cumplir con las condiciones

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pedidas (se sugiere expresar la longitud de la escalera en funcin del ngulo que lamismaformaconelpiso).b)Aquealturadelapareddelgalpnapoyaralaescalera?

c)Aquedistanciadelacercaapoyaralaescalerasobreelsuelo?

( ) ( ) ( ) ( )( )

1.5

2

22

2

2 3 3

1.5 1 1 : 1.5( ); : coscos

1 1.5 ; 0cossec 1.5 + cos

0 1 1.5 cos

1 1.5 1.5 1.5 1

tg

x xDel ECD tg x tg Del ABD Lx L

tgL Lsen

sen tgdL dL tg sen tgd sen d

tg tg tg tg Arctg

+ += = = =+ += = <

= =

((

56)Determinelosvaloresdeaybenlaecuacin 2 33 ,2y ax bx= + asumiendoquelacurva en cuestin tiene un extremo relativo en ( )34, 2 4 , donde adems existe laprimeraderivada.

Apartirdelascoordenadasdelpuntodado,setiene:

( ) ( ) .124224.2422.4.242.44.2 33 33 233 32 3 =+=+=+=+ babababaComoen .03:,0,4 =+== basigueyx Resolviendoel sistema formadoporestasecuaciones,resulta: .1,3 == ba

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57)Culeslarelacinquedebeexistirentreloscoeficientesa,b,ycparaquelacurva4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + puedatenerpuntosdeinflexin?

( ).3622612"234 2223 cbxaxcbxaxydcxbxaxy ++=++=+++= Laposibilidad de puntos de inflexin se asocia a ,0" =y esto es,

,12

83312

2493036

222

aacbb

aacbb

xcbxax===++ y estos

posiblespuntosdeinflexinexistensi .083 2 acb

58)SeconsiderauncircuitoserieRLC,alquese leaplicaunvoltajeV(t)devariacin

sinusoidaldadaporlaexpresin: LaintensidadIdelacorrienteque

circula por el circuito viene dada por la expresin , El valor

mximoIoestadadopor laexpresin: Io=.DondeZesla impedanciadelcircuitoy

vale: Z=

a)Expresa Iocomofuncinde.b)Suponiendoque la

funcinangularde lafuentepuedevariarse,hallaelvalordequecorrespondeal

mximovalordeIo.(ElvalorquehallarasseconocecomoFrecuenciaderesonancia)

( )

( )

22

22

2 2

1.) ; : 1

.) tan , max min

1 1 1 1 1min

o oo o

o

V Va I como Z R L IZ C

R LC

b Dado que el voltaje V es cons te para imizar Io bastar imizar el

deno ador L CC L LC LC LC

Z

= = + = +

= = = = =2

2 2min

1 0R L Z R RC

= + > = =

59) Dada ( ) ( )1 nmf x x x= donde m y n son enteros positivos mayores que 1,verifiqueque:a)ftieneunvalormnimorelativoenx=0,simespar.b)ftieneunvalor

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mximorelativoen ,mxm n

= + siendomynparesoimpares.c)ftieneunvalormnimorelativoenx=1,sinespar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xnmmxxnxxmxxxnxxmxf nmnmnmnm +==+= 111111 111111Como puede observarse, ( ) .,1,0,0

nmmxxxsixf +===== Adems, comom y n

son enteros positivos mayores que, 1 entonces .10,01,01 nmmnm De

aqu,podemosconstruir lasiguientetabla,conunresumencorrespondientea lagrficaencuestin.

Intervalos f f Conclusin

0





maderadura.a)Determinaelnguloparaqueelvolumendelbebederoseamximo.

b)Calculadichovolumenenlitros.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0.40 0.40 2.) :

2

. (0.40) ; cos 0.40 cos0.40 0.40

0.40 0.40 0.80cos. (0.40 ) 0.16 0.16cos

2:

aa Superficie del trapecio base es S h

h aDe la fig sen h sen a

sust S sen S sen

Sea V volumendel bebedero V SL pe

+ +=

= = = =+ + = = +

= ( ) ( ) ( )

( ) ( )3

2 2 2

: 3

3 0.16 0.16cos ; : 02

3 0.16 0.16 0.16 cos cos 3 0.16 cos cos

ro L m

V sen m Para

dV dVsen send d

= = +

= + + = + +

( )2 2 2

2 23 3

2 2

1 90.48 2 cos cos 1 0 2 cos cos 1 0 cos4

1 1cos cos ( . .) 02 2 3 2

12 ( )(4 cos( ) 1)12 (4 cos 1) 18 3. . 025 25 25

3

.) 3

dV dVsid d

Arc v c en

send V sen d Vsust v cd d

mximo en

b V

= + = + = = = = =

+ + = = = =k

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En ( ) ( ) ,2

342

14 +





66)SedeseailuminarunestanquedeseccincircularderadioRmedianteunalmparade altura ajustable colocada sobre la vertical que pasa por el centro de aqul. Lailuminacin en el borde del estanque, que es la zona de menor iluminacin de la

superficie, esta expresada por la relacin: .

Donde E es la iluminacin

expresada en luz, I la intensidad del foco luminoso supuesto puntual, expresada encandelasyalnguloindicadoenlafigura.VerificaqueexisteunvalordeparaelcuallailuminacinEesmximaydeterminalaalturaalaquedebecolocarselalmparaparaobtenerla.

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

3 2 2 2 22 2 2

2 2

cos

cos . . ; 02

2 cos 2cos 2 3

20 0( . ); 2 3 0 3

IEd

r I senDel AOF de la fig d sust Esen r

dE I dE Isen dE Isensen sen sen send r d r d r

sen v c sen sen Arcse

=

= =

= + = + =

= = = = =

(

2 0.95 54,5 3

2 . 1,41 0.95

o

o

n rad

r rDel AOF de la fig h h mtg tg tg

= = (

67) Pruebe que la curva 24

4xy

x= + tiene tres puntos de inflexin y que estos se

encuentransobreunamismarecta.

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

22

2 22 2

2 2 2 22 2 2

2 22 2

4 44( 4) 4 (2 ) 4 4

2 4 4 2 42 4 2 4 2 . 4" (4) (4)

4 4

+ = =+ +

+ + + + + = = + +

xx x xy yx x

x x x xx x x x xy

x x

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( )( )

( )( )

( )( )( )

2 2

3 3 32 2 2

8 2 3 2 38 12 8 12" "

4 4 4

+ = = =+ + +

x x xx x x xy y

x x x

Calculemos losposiblespuntosde inflexin, lanicaalternativasurgedey=0,estoes:( )( ) ., 32003232 ===+ xxxxx

Intervalos f f(x) Conclusin

32

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