Órgãos de Máquinas II - dem.uminho.pt · que rolam em torno de O 1 e O 2 e têm um contacto pontual R. O centro instantâneo de rotação O 12 localiza-se no ponto I. Considerando

Escola de Engenharia

Universidade do Minho

1



Oacutergatildeos de Maacutequinas II

4 Estudo Cinemaacutetico de Engrenagens

Adaptado e adotado para a unidade curricular por

Joseacute R Gomes Departamento de Engenharia Mecacircnica

a partir de materiais de apoio pedagoacutegico em texto e Powerpoint de A Sousa Miranda



2

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Generalidades

Engrenagens satildeo mecanismos que transmitem movimento por accedilatildeo de um corpo que rola sem escorregar sobre outro Seja o mecanismo da figura de eixos complanares constituiacutedo pelos corpos 1 e 2 que rolam em torno de O1 e O2 e tecircm um contacto pontual R O centro instantacircneo de rotaccedilatildeo O12 localiza-se no ponto I Considerando o lugar geomeacutetrico das sucessivas posiccedilotildees do ponto I obtecircm-se as curvas C1 e C2 as quais rolam sem escorregar uma sobre a outra agrave medida que os corpos 1 e 2 vatildeo rodando No caso de um mecanismo de engrenagem C1 e C2 ndash curvas primitivas (circunferecircncias primitivas

se as engrenagens forem circulares)

I ndash ponto primitivo (centro instantacircneo de rotaccedilatildeo) I



1 ndash velocidade angular do corpo 1 em torno de O1


Supondo 1 o corpo motor a relaccedilatildeo 1 2 designa-se relaccedilatildeo de transmissatildeo O ponto I tem a mesma velocidade linear relativamente a O1 e a O2 Logo 1 O2I 1 x O1I = 2 x O2I ou = 2 O1I

A relaccedilatildeo das velocidades angulares eacute inversamente proporcional aos segmentos em que o centro instantacircneo de rotaccedilatildeo (I) divide a linha de centros

3


1

2

1

2

I

n



4


Princiacutepio fundamental do engrenamento a normal comum em qualquer ponto de contacto (reta n) manteacutem sempre a mesma posiccedilatildeo ou varia de posiccedilatildeo mas interseta a linha dos centros O1O2 sempre no mesmo ponto (para a relaccedilatildeo das

velocidades angulares ser constante) As curvas que satisfazem este princiacutepio denominam-se curvas conjugadas

n

1

2

I



Considere-se agora uma engrenagem circular de eixos complanares sendo cada uma das rodas representada pela sua circunferecircncia primitiva

1 Como R1 e R2 satildeo constantes = constante 2

5


O1I = R1 ndash raio primitivo da roda 1


A relaccedilatildeo de transmissatildeo seraacute

1 R2

= 2 R1



6

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Classificaccedilatildeo

As engrenagens podem ser classificadas atendendo a vaacuterios criteacuterios como a) Posiccedilatildeo relativa dos eixos paralelas (ou ciliacutendricas) ndash eixos paralelos - Complanares concorrentes (ou coacutenicas) ndash eixos concorrentes

- Natildeo complanares torsas ndash eixos natildeo complanares

b) Posiccedilatildeo relativa dos eixos instantacircneos de rotaccedilatildeo

- Exteriores (ponto primitivo I situado entre O1 e O2)

- Interiores (ponto primitivo I exterior a O1O2)

c) Tipo de transmissatildeo - Engrenagens de atrito (transmissatildeo por atrito ndash rodas de atrito)

- Engrenagens de dentes (transmissatildeo por dentes ndash engrenagens)



7


Uma engrenagem eacute sempre constituiacuteda por duas rodas dentadas cujos dentes entram sucessivamente em contacto A roda de menor diacircmetro denomina-se carreto ou pinhatildeo e a roda de maior diacircmetro apenas roda ou coroa

Classificaccedilatildeo das engrenagens tendo em consideraccedilatildeo a forma dos dentes - Engrenagens de dentes retos - Engrenagens de dentes helicoidais - Engrenagens de dentes espirais Dentes retos engrenagens ciliacutendricas e coacutenicas Dentes helicoidais engrenagens ciliacutendricas coacutenicas e torsas Dentes espirais engrenagens coacutenicas e torsas



8


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes a) Engrenagens ciliacutendricas de dentes retos Os dentes satildeo paralelos aos eixos das rodas

Engrenagens exteriores Engrenagem interior



9


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes b) Engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais Os dentes satildeo enrolados segundo uma heacutelice sobre a superfiacutecie primitiva das rodas

Dentado em espinha



10


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes b1) Engrenagens de cremalheira (com dentes retos ou helicoidais) Uma das rodas (com dentes retos ou helicoidais) tem raio infinito

Esta engrenagem transforma o movimento de rotaccedilatildeo da roda em movimento de

translaccedilatildeo da cremalheira



11


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes c) Engrenagens coacutenicas de dentes retos



12


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes d) Engrenagens coacutenicas de dentes helicoidais



13


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes e) Engrenagens coacutenicas de dentes espirais



14


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes f) Engrenagens torsas de dentes helicoidais



15


Classificaccedilatildeo das engrenagens quanto agrave posiccedilatildeo relativa dos eixos e quanto agrave forma dos dentes f) Engrenagens torsas em que o carreto toma a forma de um parafuso

Parafuso sem-fim roda helicoidal



16

Permitem transmitir potecircncias binaacuterios e velocidades variando desde valores miacutenimos ateacute valores muito elevados

Boa precisatildeo de movimento transmitido relaccedilatildeo de transmissatildeo constante e independente da carga

A relaccedilatildeo de transmissatildeo maacutexima utilizada em engrenagens ciliacutendricas pode chegar por andar ateacute 10

Tecircm longa duraccedilatildeo e boa fiabilidade

Satildeo compactas e tecircm um rendimento elevado (exceto nas engrenagens de parafuso sem-fim 45-97)

Resistem bem a sobrecargas exteriores

Satildeo riacutegidas (natildeo absorvem choques)

Satildeo caras e menos silenciosas que as transmissotildees por correias e correntes

Podem ser afetadas por condiccedilotildees ambientais (humidade e poeiras)

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Principais caracteriacutesticas das transmissotildees por engrenagens



17

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Geraccedilatildeo de perfis

Para que uma engrenagem funcione corretamente eacute necessaacuterio que durante todo o tempo em que as superfiacutecies dos dois dentes de uma e de outra roda estatildeo em contacto se mantenham permanentemente tangentes Para que tal aconteccedila os perfis dos dentes tecircm de ser conjugados

Os perfis dos dentes satildeo construiacutedos por linhas bem definidas baseadas em curvas ciacuteclicas como as cicloacuteides e as evolventes

Roda 1

Roda 2



18


Dentado cicloidal Neste tipo de dentado os perfis dos dentes satildeo arcos de cicloides Cicloides satildeo curvas descritas por um ponto de uma circunferecircncia (rolante) que rola sem escorregar sobre uma reta ou sobre outra circunferecircncia (base) Se a base eacute uma reta agrave curva obtida chama-se cicloide ordinaacuteria

Cicloide ordinaacuteria (em que a rolante eacute a circunferecircncia de centro em O e a base eacute a reta AB)

B A

base

cicloacuteide



19


Dentado cicloidal Se a base em lugar de uma reta for tambeacutem uma circunferecircncia obteacutem-se uma uma epicicloide se a rolante for exterior agrave base e uma hipocicloide se a rolante for interior agrave base

Epicicloide (a rolante eacute a circunferecircncia

de centro em O exterior agrave base que eacute a circunferecircncia com centro em Orsquo)

Hipocicloide (a rolante eacute a circunferecircncia

de centro em O interior agrave base que eacute a circunferecircncia com centro em Orsquo)

Orsquo

base

Orsquo

base



20


Dentado cicloidal Para se obterem os perfis dos dentes cicloidais as circunferecircncias primitivas das duas rodas constituem as bases do movimento e as circunferecircncias rolantes rolam sem escorregar ora uma ora outra sobre cada circunferecircncia primitiva (consoante se pretende gerar perfil acima ou abaixo do ponto primitivo)

Obtenccedilatildeo dos perfis cicloidais em engrenagens ciliacutendricas exteriores Perfil do dente da roda 1 arco IA1 + arco IB1

Perfil do dente da roda 2 arco IA2 + arco IB2

I ndash Ponto primitivo C1 e C2 ndash Circunferecircncias primitivas



21



Obtenccedilatildeo dos perfis cicloidais em engrenagens ciliacutendricas interiores Perfil do dente da roda 1 arco IA1 + arco IB1





22


Dentado cicloidal No caso de uma engrenagem de cremalheira em lugar de se considerar a circunferecircncia primitiva C1 passa a considerar-se o plano primitivo da cremalheira C1

Obtenccedilatildeo dos perfis cicloidais em engrenagens de cremalheira Perfil do dente da roda 1 (cremalheira) arco IA1 + arco IB1





23


Utilizaccedilatildeo das engrenagens de dentado cicloidal Os dentes com perfis cicloidais praticamente jaacute natildeo satildeo utilizados pois obrigam a que o entre eixos seja sempre rigorosamente constante natildeo compensando desalinhamentos desgaste etc Aleacutem disso os dentes com perfis cicloidais satildeo de difiacutecil execuccedilatildeo devido ao ponto de inflexatildeo I (natildeo se podem utilizar os meacutetodos vulgares de talhe com frezas) acrescendo ainda que a reaccedilatildeo entre os dentes (associada agrave transmissatildeo de potecircncia) varia em cada instante (de direccedilatildeo e intensidade) originando choques e vibraccedilotildees Na atualidade usam-se com grande vantagem os dentados com perfil em evolvente

Dente de perfil cicloidal



24


Dentado em evolvente de ciacuterculo Neste tipo de dentado os perfis dos dentes satildeo arcos de evolvente A evolvente de ciacuterculo eacute a curva gerada por um ponto (A) de uma reta que rola sem escorregar sobre uma circunferecircncia (circunferecircncia de base ndash raio rb)

A2

2122 BB BA 3133 BB BA etc

A4

A1 B1 A2

A3

Corda

Circunferecircncia de base

rb

evolvente



25


Dentado em evolvente

A normal agrave evolvente em qualquer ponto eacute tangente agrave circunferecircncia de base e portanto perpendicular ao raio no ponto de tangencia A curva em evolvente tem raio de curvatura variaacutevel (A2B2 eacute o raio de curvatura da evolvente naquele instante porque o ponto A2 estaacute a rodar em torno de B2 nesse instante)

Natildeo pode haver perfil em evolvente para dentro da circunferecircncia de base

Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26


Dentado em evolvente Considerem-se as circunferecircncias primitivas C1 e C2 de centros O1 e O2 e a reta EErsquo fazendo um acircngulo com a tangente comum agraves duas circunferecircncias primitivas Crsquo1 e Crsquo2 satildeo as circunferecircncias de base centradas em O1 e O2 e com diacircmetros Db1 e Db2 tangentes agrave reta geradora EEacute em A e B As circunferecircncias de base satisfazem agrave condiccedilatildeo visto ser Db1 = D1 cos e Db2 = D2 cos

1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1

Perfil do dente da roda 1 arco A1IB1


Db1

Db2



27


Dentado em evolvente Nas engrenagens de cremalheira a circunferecircncia primitiva da cremalheira transforma-se num plano (raio infinito) Nestas condiccedilotildees as envolventes geradas na cremalheira satildeo linhas retas e portanto os perfis dos dentes satildeo retas e normais agrave reta geradora EErsquo



28


Dentado em evolvente (linha de accedilatildeo e acircngulo de pressatildeo) Na figura estatildeo representados os perfis em evolvente de dois dentes em contacto e as circunferecircncias de base correspondentes

Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2

Linha de accedilatildeo (linha de engrenamento)

evolvente

O1

O2

Os perfis satildeo tangentes no ponto de contacto A linha de accedilatildeo ou linha de engrenamento eacute tangente agraves circunferecircncias de base das rodas engrenadas Todos os pontos de contacto estatildeo sobre a linha de accedilatildeo Acircngulo de pressatildeo ( ) eacute o acircngulo entre a linha de accedilatildeo e a normal agrave linha de centros (O1O2) A forccedila transmitida entre os dentes tem a direccedilatildeo da linha de accedilatildeo

R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29


Dentado em evolvente (vantagens) Tem a curvatura sempre no mesmo sentido (faacutecil de fabricar)

Tem uma boa espessura na raiacutez do dente (proporciona boa capacidade de transmissatildeo de potecircncia) Uma ligeira variaccedilatildeo da distacircncia entre eixos natildeo

prejudica as condiccedilotildees de contacto nem altera a relaccedilatildeo de transmissatildeo (pode ocorrer na montagem)

Mas altera ligeiramente o acircngulo de pressatildeo

(com implicaccedilotildees ao niacutevel das condiccedilotildees de engrenamento)



30


Dentado em evolvente (vantagens)

Potecircncia = Binaacuterio Binaacuterio = P R (sendo R o raio primitivo)

Binaacuterio constante P constante N constante (P = N cos )

A linha de accedilatildeo (EErsquo) tem sempre a mesma

posiccedilatildeo logo a forccedila normal N no contacto dos dentes tem sempre a mesma direccedilatildeo

Se o binaacuterio transmitido natildeo variar a forccedila no contacto manteacutem-se constante

(proporcionando um funcionamento suave sem vibraccedilotildees)

P ndash esforccedilo perifeacuterico (tangencial) a transmitir (responsaacutevel pela transmissatildeo de potecircncia N ndash reaccedilatildeo normal sobre o dente Fr ndash componente radial

E

Ersquo

P

N

R

Fr



31

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Terminologia e proporccedilotildees geomeacutetricas

Rodas ciliacutendricas de dentado reto No perfil transversal de um dente haacute a distinguir

A E

D F

- Coroa arco de circunferecircncia que limita

superiormente o dente (AE)

- Raiacutez arco de circunferecircncia que limita

inferiormente o dente (DF)

- Linha de flanco porccedilatildeo do perfil entre a

coroa e a raiacutez (AD) e (EF)

Linha de flanco



32


Rodas ciliacutendricas de dentado reto As superfiacutecies ciliacutendricas coaxiais com a roda que contecircm as coroas e as raiacutezes dos dentes designam-se respetivamente superfiacutecie de coroa e superfiacutecie de raiacutez

Da Df Dp

- Diacircmetro de coroa Da

- Diacircmetro de raiacutez Df

- Diacircmetro primitivo Dp



33

Rodas ciliacutendricas de dentado reto O flanco de um dente pode ser considerado dividido em


A

B

D

- Flanco ativo parte do flanco ao longo da qual se efetuam os contactos com os dentes da outra roda (AB)

- Flanco utilizaacutevel parte do flanco que pode ser utilizada como flanco ativo (AC) - Flanco de concordacircncia parte do flanco natildeo utilizaacutevel e destinado a efetuar a concordacircncia com a superfiacutecie de raiacutez (CD)

C



34

Rodas ciliacutendricas de dentado reto Os flanco dos dentes podem ainda ser divididos pela superfiacutecie primitiva em


A

I

D

- Flanco de coroa parte do flanco compreendida entre a superfiacutecie da coroa e a superfiacutecie primitiva (AI)

- Flanco de raiacutez parte do flanco compreendida entre a superfiacutecie primitiva e a superfiacutecie de raiacutez (ID)



35

Rodas ciliacutendricas de dentado reto Os dentes podem ser divididos em duas partes


I

A E

I´

D F

ha

hf

- Saliecircncia porccedilatildeo de dente compreendida entre a superfiacutecie de coroa e a superfiacutecie primitiva (IAEIrsquo) Eacute medida pela distacircncia ha (entre as circunferecircncias

de coroa e primitiva)

- Reentracircncia porccedilatildeo de dente compreendida entre a superfiacutecie primitiva e a superfiacutecie de raiacutez (DIIrsquoF) Eacute medida pela distacircncia hf (entre as circunferecircncias

primitiva e de raiacutez)

Altura do dente h = ha + hf (distacircncia entre a circunferecircncia de coroa e a circunferecircncia de raiacutez)



36

Rodas ciliacutendricas de dentado reto Nos dentes haacute ainda a salientar


s e

- Espessura do dente (s) comprimento do arco da circunferecircncia primitiva compreendido entre os pontos primitivos dos flancos homoacutelogo e anti-homoacutelogo do mesmo

dente (IIrsquo) - Intervalo (e) comprimento do arco da circunferecircncia primitiva compreendido entre os pontos primitivos dos flancos homoacutelogo e anti-homoacutelogo de dois dentes consecutivos

I I´



37

Rodas ciliacutendricas de dentado reto


- Largura do dente (b) comprimento axial do dente

- Entredente espaccedilo compreendido entre dois dentes consecutivos

b

s

entredente



38



b

s

- Passo primitivo (p) (ou apenas passo) comprimento do arco da circunferecircncia primitiva compreendido entre dois flancos homoacutelogos consecutivos

Dp p = p = s + e z

z ndash nuacutemero de dentes da roda Dp ndash diacircmetro primitivo



39



Rodas ciliacutendricas de dentado reto As dimensotildees dos dentes encontram-se relacionadas com o moacutedulo (m) um nuacutemero base (em mm) a partir do qual se fixam todas as dimensotildees dos dentes da roda Por definiccedilatildeo o moacutedulo eacute o quociente entre Dp e z

Dp m = z

2 rp Dp p = = = m z z ou seja p = m e Dp = m z

Satildeo estas as duas relaccedilotildees fundamentais a partir das quais se podem traccedilar os dentes

Ao referenciar uma engrenagem basta indicar m e z para ficar perfeitamente definida



40

Rodas ciliacutendricas de dentado reto Valores normalizados do moacutedulo (m) em (mm)


Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3

1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20

Deve dar-se preferecircncia aos valores da Coluna 1

e evitar utilizar os valores da Coluna 3



41

Rodas ciliacutendricas de dentado reto Ilustraccedilatildeo da evoluccedilatildeo do tamanhonuacutemero de dentes de rodas com o mesmo diacircmetro primitivo (Dp) em funccedilatildeo do valor do moacutedulo (m)

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Proporccedilotildees dos dentes

Dp = m z



42


aumenta o tamanho resistecircncia do dente

Se o moacutedulo aumenta diminui o nuacutemero de dentes da roda (z)


Dp = m z



- Saliecircncia do dente ha = m

- Reentracircncia do dente hf = 125 m

- Altura do dente h = ha + hf = 225 m

- Diacircmetro de coroa Da = Dp + 2 ha = Dp + 2 m Da = m (z + 2)

- Diacircmetro de raiacutez Df = Dp ndash 2 hf = Dp ndash 225 m Df = m (z ndash 25)

43

Rodas ciliacutendricas de dentado reto normalizado e natildeo corrigido Na praacutetica podem utilizar-se dentados com vaacuterios acircngulos de pressatildeo ( ) 14ordm 30rsquo 15ordm e 20ordm Contudo em geral no designado dentado normalizado = 20ordm Neste tipo de dentado


ha

hf

h

Da

Dp Df



44


Rodas ciliacutendricas de dentado reto normalizado e natildeo corrigido ( = 20ordm) Na praacutetica tornam-se necessaacuterias certas folgas entre os dentes para que as engrenagens trabalhem em boas condiccedilotildees

- Folga na raiacutez j = hf ndash ha = 025 m

- Folga entre dentes g = e ndash s = p ndash 2 s (e ndash intervalo s ndash espessura) O valor de g depende da precisatildeo do talhe i) engrenagens de muito elevada precisatildeo g 0 (s e)

ii) engrenagens de precisatildeo 0 g p40

e

s s

j

g s



45

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Entre-eixo Relaccedilatildeo de transmissatildeo

Rodas ciliacutendricas de dentado reto normalizado e natildeo corrigido ( = 20ordm) Afetando do iacutendice 1 todas as grandezas relativas ao carreto (pinhatildeo) e do iacutendice 2 as grandezas relativas agrave roda (coroa) o entre-eixo (a) (distacircncia entre centros das rodas) seraacute

1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2

Circunferecircncia primitiva rolamento (sem escorregamento)

V1 = V2

1 D1 = 2 D2

1 Ora i = (relaccedilatildeo de transmissatildeo) 2

D2 z2 Pelo que i = = (pois D = m z) D1 z1

Ciacuterculo primitivo do pinhatildeo

Ciacuterculo primitivo da roda

P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2

Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Considerem-se duas superfiacutecies ciliacutendricas primitivas de eixos X1 e X2 tangentes segundo a reta IA e cujas interseccedilotildees por um plano perpendicular aos eixos satildeo as circunferecircncias primitivas C1 e C2 Sejam Crsquo1 e Crsquo2 as duas superfiacutecies ciliacutendricas de base

Em vez da reta geradora tem-se agora um

plano gerador tangente agraves duas superfiacutecies ciliacutendricas de base segundo as geratrizes T1R e T2S e cuja interseccedilatildeo com o plano perpendicular aos eixos eacute a reta T1T2



47

Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Trace-se uma reta MN sobre o plano fazendo um acircngulo qualquer com as geratrizes T1R e T2S

Fazendo rolar o plano sem escorregar sobre

cada uma das superfiacutecies ciliacutendricas de base

Crsquo1 e Crsquo2 obtecircm-se duas superfiacutecies conjugadas

helicoidais evolventes da reta MN as quais

satildeo as superfiacutecies dos dentes do dentado

helicoidal (sempre tangentes segundo a

reta MN pelo que o contacto eacute linear como

nos dentes retos)

Ao plano que conteacutem em cada instante a reta

de contacto chama-se plano de engrenamento ou plano de accedilatildeo

47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N

- plano de engrenamento ou plano de accedilatildeo - acircngulo de inclinaccedilatildeo de base

C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N

Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Como as superfiacutecies ciliacutendricas de base satildeo elementos fixos da engrenagem e como o plano rola sem escorregar sobre essas superfiacutecies verifica-se que 1 Db2 = = i 2 Db1

Db1 e Db2 ndash diacircmetros das superfiacutecies ciliacutendricas de base

Conclusatildeo a relaccedilatildeo de transmissatildeo duma

engrenagem ciliacutendrica de dentes helicoidais eacute independente do entre-eixo de funcionamento (tal como sucede nas engrenagens

ciliacutendricas de dentes retos)




49

Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Considere-se a representaccedilatildeo de uma roda de dentes helicoidais em que dois dos dentes se encontram desenhados Planificaccedilatildeo do cilindro primitivo ( D) e do cilindro de base ( Db) na extensatildeo correspondente ao passo

- acircngulo de inclinaccedilatildeo primitiva (ou inclinaccedilatildeo primitiva) (ou inclinaccedilatildeo dos dentes)

- acircngulo de inclinaccedilatildeo de base (ou inclinaccedilatildeo de base) 49

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Terminologia

heacutelice primitiva (interseccedilatildeo da superfiacutecie do dente com a superfiacutecie ciliacutendrica primitiva)

heacutelice de base (interseccedilatildeo da superfiacutecie do dente com a superfiacutecie de base)

D Db

O Db

D

p



50 50


Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Pelo facto de existirem dois acircngulos de inclinaccedilatildeo (primitiva e de base) e especialmente o acircngulo de inclinaccedilatildeo primitiva surge a necessidade de definir vaacuterios tipos de passos - passo real pr - passo aparente pa - passo axial px

Eix

o

da r

oda

Em correspondecircncia com estas noccedilotildees de passo surgem

- Moacutedulo real mr

- Moacutedulo aparente ma

pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51


Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente - Espessura real sr

- Espessura aparente sa

- Intervalo real er

- Intervalo aparente ea



52 52

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Relaccedilotildees geomeacutetricas e proporccedilotildees dos dentes

Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente A existecircncia das inclinaccedilotildees primitiva e de base leva ao aparecimento de elementos reais e elementos aparentes (passo moacutedulo etc) - Relaccedilatildeo entre a inclinaccedilatildeo primitiva e a inclinaccedilatildeo de base

Como todas as heacutelices tecircm o mesmo passo p tem-se que

ou seja

D Db tg = e tg = p p

D Db p = e p = tg tg

igualando

D Db Db p = = tg = tg tg tg D

Como Db = D cos a () tem-se tg = tg cos a

Seja a o acircngulo de pressatildeo aparente

Db

p

D

() Jaacute se demonstrou para dentado reto que Db = D cos



53 53


Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Para que duas rodas de dentado helicoidal engrenem o passo real pr o moacutedulo real mr e o acircngulo de pressatildeo real r tecircm de ser os mesmos verificando-se ainda a relaccedilatildeo D = ma z mr e r satildeo os da ferramenta de talhe da roda Entre eixo da engrenagem a = (D1 + D2)2 = ma (z1 + z2)2

- Relaccedilatildeo entre os elementos reais e os elementos aparentes Os valores de r satildeo os mesmos que para as engrenagens ciliacutendricas de dentes

retos 14ordm 30rsquo 15ordm e 20ordm ( r = 20ordm dentado normalizado)

tg r = tg a cos



54 54


Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente Generalizando pode considerar-se que se verifica sempre

Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos

As proporccedilotildees dos dentes helicoidais normalizados ( r = 20ordm) satildeo

Elemento real = Elemento aparente cos

ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55


Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente A projeccedilatildeo de cada espira sobre uma das bases da roda denomina-se salto do dente S O engrenamento seraacute melhorado se S pa Normalmente S = pa ateacute S = 2 pa Nestas condiccedilotildees a largura da roda seraacute b = pa cotg ateacute 2 pa cotg

S



56 56


Rodas ciliacutendricas de dentado helicoidal em evolvente A escolha do acircngulo de inclinaccedilatildeo primitiva eacute muito importante para o funcionamento das engrenagens de dentado helicoidal

- Natildeo deve ser muito pequeno pois o engrenamento aproxima-se da situaccedilatildeo de rodas de dentes retos (o que natildeo eacute conveniente quando se pretendem dentes helicoidais)

- Natildeo pode ser muito grande pois originaria uma reaccedilatildeo axial muito elevada

Normalmente na praacutetica

10ordm 30ordm



57 57

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Engrenagens coacutenicas

Rodas coacutenicas (generalidades) De modo anaacutelogo agraves engrenagens ciliacutendricas tambeacutem as engrenagens coacutenicas (ou concorrentes) tecircm superfiacutecies primitivas que engrenam com rolamento puro Estas superfiacutecies primitivas tomam a forma de cones cujos veacutertices coincidem com a interseccedilatildeo dos eixos dos veios Eacute tambeacutem aplicaacutevel o meacutetodo das evolventes para a geraccedilatildeo dos perfis conjugados A figura mostra os cones primitivos duma engrenagem de veacutertice V de eixos X1 e X2

fazendo entre si um acircngulo e em que os acircngulos de semi-abertura dos cones primitivos satildeo 1 e 2 Assim 1 + 2 = As engrenagens coacutenicas podem ter dentes retos helicoidais ou espirais ndash acircngulo de conicidade

1 2 ndash acircngulos primitivos



58 58

Traccedilado de TREGOLD Embora os meacutetodos para geraccedilatildeo dos perfis dos dentes de engrenagens ciliacutendricas sejam tambeacutem aplicaacuteveis para as engrenagens coacutenicas o facto da construccedilatildeo do perfil do dentado no caso das rodas coacutenicas ser efetuada sobre uma esfera constitui um problema impossiacutevel de solucionar na praacutetica Assim existem vaacuterios meacutetodos (mais ou menos exatos e mais ou menos teoacutericos) para a realizaccedilatildeo do traccedilado dos perfis dos dentes em engrenagens coacutenicas entre eles o traccedilado aproximado de Tregold (que substitui o traccedilado sobre uma superfiacutecie esfeacuterica ndash impossiacutevel de ser planificada ndash pelo traccedilado sobre superfiacutecies coacutenicas estas susceptiacuteveis de planificaccedilatildeo)




59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2

Traccedilado de TREGOLD Considere-se uma engrenagem coacutenica definida pelos seus cones primitivos de eixos X1 e X2 e de semi-abertura 1 e 2 Cortando estes cones por uma esfera (E)

de centro em V e raio VI as interseccedilotildees satildeo os ciacuterculos C1 e C2 de raios R1 e R2

Considerem-se ainda os cones circunscritos agrave esfera e a ela tangentes ao longo das circunferecircncias C1 e C2

de veacutertices V1 e V2 sobre os eixos X1 e X2 Os acircngulos de semi-abertura destes cones satildeo rsquo1 = 2 - 1 e rsquo2 = 2 - 2 Como para efetuar o traccedilado apenas se utiliza uma pequena zona na vizinhanccedila das circunferecircncias C1 e C2 pode substituir-se a esfera (E) pelos dois cones de de veacutertices V1 e V2



60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2

Traccedilado de TREGOLD O traccedilado do perfil dos dentes pode agora efetuar-se sobre a superfiacutecie planificada dos cones As circunferecircncias C1 e C2 depois da planificaccedilatildeo transformam-se nos arcos de circunferecircncia Crsquo1 e Crsquo2 tangentes em I e de raios V1I = R1cos 1 e V2I = R2cos 2



61

Traccedilado de TREGOLD Podem agora traccedilar-se os perfis conjugados como se se tratasse de uma engrenagem ciliacutendrica com as circunferecircncias primitivas Crsquo1 e Crsquo2 (engrenagem equivalente) V1I = R1cos 1 e V2I = R2cos 2

O nuacutemero de dentes (zrsquo ) da engrenagem equivalente calcula-se a partir do nordm de dentes da engrenagem coacutenica real pelas expressotildees z1 z2 zacute1 = e zrsquo2 = cos 1 cos 2

61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62

Terminologia A terminologia das rodas coacutenicas eacute semelhante agrave das rodas ciliacutendricas embora com algumas diferenccedilas na representaccedilatildeo

Principais termos utilizados VAB ndash cone primitivo (do pinhatildeo) h ndash altura do dente hf ndash reentracircncia ha ndash saliecircncia CD ndash diacircmetro meacutedio (da roda) 1 2 ndash acircngulos primitivos ndash acircngulo de conicidade (ou acircngulo dos

eixos dos dois veios)

62


62 62

V

hf

ha

Diacircmetro de raiacutez Df

A

Diacircmetro primitivo D

Diacircmetro de coroa Da

Ciacuterculo meacutedio

Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de reentracircncia f

Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1


Relaccedilotildees geomeacutetricas Comeccedilando por analisar a relaccedilatildeo de transmissatildeo (i) considere-se uma engrenagem coacutenica de eixos X1 e X2 e velocidades de rotaccedilatildeo 1 e 2

Sejam 1 e 2 os acircngulos que os eixos de rotaccedilatildeo fazem com o eixo instantacircneo de rotaccedilatildeo VI da engrenagem (acircngulos de semi-abertura dos cones primitivos)

Designando por R1 e R2 as distacircncias IA e IB aos eixos X1 e X2 viraacute atendendo a que o ponto I (centro instantacircneo de rotaccedilatildeo) tem por definiccedilatildeo a mesma velocidade (pertence a ambas as rodas) R1 1 = R2 2

mas como 1 sin 2 tem-se que i = = 2 sin 1



64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1


Relaccedilotildees geomeacutetricas A velocidade instantacircnea de rotaccedilatildeo eacute dada por I I = I 1I2 + I 2 I2 2 I 1I I 2 I cos sinal + para engrenagens exteriores sinal ndash para engrenagens interiores



65 65


Relaccedilotildees geomeacutetricas Segundo o valor do acircngulo que formam os eixos das duas rodas e se trate de engrenagens exteriores ou interiores haacute 5 posiccedilotildees possiacuteveis dos cones primitivos das duas rodas

1ordm caso engrenagens exteriores com = 90ordm



66 66


Relaccedilotildees geomeacutetricas 2ordm caso engrenagens exteriores com lt 90ordm

3ordm caso engrenagens exteriores com 90ordm



67


Relaccedilotildees geomeacutetricas 4ordm caso engrenagens interiores com lt 90ordm

5ordm caso engrenagens interiores com 90ordm

1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de

reentracircncia f Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

- Saliecircncia ha = m 2 sin - Acircngulo de saliecircncia tg a = z 25 sin - Acircngulo de reentracircncia tg f = z

sin ( + a) - Diacircmetro coroa Da = D sin cos a

D - Geratriz primitiva g = 2 sin

2

Proporccedilotildees dos dentes Nas engrenagens coacutenicas o moacutedulo e as dimensotildees dos dentes a eles referidas (saliecircncia e reentracircncia) dizem sempre respeito a mediccedilotildees efetuadas sobre a respetiva circunferecircncia primitiva ie sobre o cone complementar exterior

Para dentes normais tem-se



69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2

Proporccedilotildees dos dentes Os valores do passo moacutedulo espessura e intervalo referem-se sempre agrave engrenagem equivalente O acircngulo de pressatildeo real e outras grandezas deste tipo no caso de dentes helicoidais satildeo medidas sobre a circunferecircncia meacutedia



70 70

Estudo cinemaacutetico de engrenagens Engrenagens torsas

Engrenagens torsas de dentes helicoidais ndash Generalidades Nas engrenagens torsas os eixos natildeo satildeo complanares e no caso das engrenagens torsas de dentes helicoidais a geraccedilatildeo dos perfis dos dentes assemelha-se bastante ao caso das engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais

A terminologia de nomenclatura destas rodas eacute semelhante agrave das rodas ciliacutendricas de dentes helicoidais



71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I

Engrenagens torsas de dentes helicoidais ndash Geraccedilatildeo de perfis A figura mostra as superfiacutecies ciliacutendricas primitivas C1 e C2 sobre as quais se pretendem gerar os perfis dos dentes helicoidais de uma engrenagem torsa As duas retas ME e FG intersetam-se no ponto Q que eacute o uacutenico ponto de contacto entre as duas superfiacutecies helicoidais de dois perfis conjugados Neste tipo de engrenagens o contacto eacute pontual e a reta IQ eacute a linha de accedilatildeo



72 72 72


Engrenagens torsas de dentes helicoidais ndash Relaccedilotildees geomeacutetricas As expressotildees referidas para engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais aplicam-se de modo semelhante nas engrenagens torsas de dentes helicoidais com as diferenccedilas que resultam do facto das duas rodas terem inclinaccedilotildees primitivas diferentes 1 e 2 Para que o engrenamento se realize as duas rodas tecircm de ter o mesmo acircngulo de pressatildeo real r e os mesmos moacutedulo real mr e passo real pr sendo que

Roda 1 ma1 = mr cos 1 e pa1 = pr cos 1


Donde ma1 cos 1 = ma2 cos 2 = mr

pa1 cos 1 = pa2 cos 2 = pr



73 73 73


Engrenagens torsas de dentes helicoidais ndash Relaccedilotildees geomeacutetricas Como eacute

D1 = ma1 z1 = z1 mr cos 1

D2 = ma2 z2 = z2 mr cos 2 Obteacutem-se para o valor da relaccedilatildeo de transmissatildeo 1 z2 D2 cos 2 i = = = 2 z1 D1 cos 1 No caso particular em que = 90ordm seraacute sin 1 = cos 2 Logo 1 z2 D2 i = = = tg 1 2 z1 D1



74 74 74


Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Generalidades As engrenagens de parafuso sem-fim satildeo um caso particular das engrenagens torsas em que os eixos satildeo perpendiculares ( = 90ordm) e o carreto tem a forma particular de um parafuso Ao contraacuterio do que sucede nas restantes engrenagens torsas o contacto eacute linear



75 75 75


Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Generalidades O estudo de uma engrenagem sem-fim pode efetuar-se como se se tratasse de uma vulgar engrenagem de cremalheira

Durante a rotaccedilatildeo do parafuso sem-fim em torno do seu eixo todas as secccedilotildees dos seus filetes (obtidas pela interseccedilatildeo com um plano paralelo ao eixo) se deslocam num movimento de translaccedilatildeo paralelo ao eixo

Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso

Translaccedilatildeo

L1

C2 Plano primitivo P1 P2 I



Cortando a engrenagem pelo plano meacutedio da roda a secccedilatildeo do parafuso eacute uma cremalheira de perfis simeacutetricos tudo se passando durante o engrenamento como esta cremalheira engrenasse com os perfis conjugados da secccedilatildeo da roda

Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1

C2 Plano primitivo P1 P2

Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Generalidades Sendo H o passo do parafuso uma dada secccedilatildeo desloca-se de um comprimento H por cada rotaccedilatildeo do parafuso Eacute como se o parafuso se deslocasse com um movimento de translaccedilatildeo axial de amplitude H

I

76




Entre os tipos principais de formas para os filetes do parafuso sem-fim destaca-se o filete trapezoidal

Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1


Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Generalidades A engrenagem de cremalheira eacute caraterizada pela circunferecircncia primitiva da roda C2 e pelo plano primitivo da cremalheira L1

I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1


Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Terminologia Nestas engrenagens a nomenclatura relativa agrave roda eacute igual agrave de qualquer roda ciliacutendrica de dentes helicoidais mas o mesmo natildeo sucede com o parafuso

I

Filete trapezoidal

78




- Acircngulo de pressatildeo existe um uacutenico

acircngulo de pressatildeo real (que eacute igual

para o parafuso e para a roda)

Define-se ainda um acircngulo de pressatildeo

aparente e um acircngulo de pressatildeo axial

79

Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Terminologia Os filetes da rosca do parafuso apresentam uma certa inclinaccedilatildeo (acircngulo de inclinaccedilatildeo primitiva) relativamente ao eixo

Cilindro primitivo de um parafuso

sem-fim tendo traccediladas duas heacutelices

primitivas homoacutelogas consecutivas

- Passo real pr - Passo aparente pa - Passo axial px - Moacutedulo real mr = pr

- Moacutedulo aparente ma = pa - Moacutedulo axial mx = px

pa

pr

px




80


Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Relaccedilotildees geomeacutetricas Numa engrenagem de parafuso sem-fim as relaccedilotildees geomeacutetricas que ligam os diversos passos e moacutedulos entre si satildeo - para o sem-fim

- Designando por ma2 o moacutedulo aparente da roda e por z2 o seu nuacutemero de dentes vem por outro lado verifica-se que

Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81

Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Relaccedilotildees geomeacutetricas Para que se verifique o engrenamento o moacutedulo axial do parafuso mx tem que ser igual ao moacutedulo aparente da roda ma2 e portanto px = pa2 Daqui resulta que E para os moacutedulos

Z1 ndash nordm de entradas do sem-fim




82


Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Relaccedilotildees geomeacutetricas Designando por H o passo da heacutelice do sem-fim seraacute d1 tg = H Representando por o acircngulo de inclinaccedilatildeo de base da rosca helicoidal do sem-fim e por db1 o respetivo diacircmetro de base seraacute O entre eixo seraacute dado por d1 + d2 a = 2

db1 tg = H




Engrenagens de parafuso sem-fim ndash Relaccedilotildees geomeacutetricas Os acircngulos e estatildeo relacionados pelas seguinte expressotildees Do mesmo modo Destas duas expressotildees resulta

Finalmente tem-se

e

83



Estudo cinemaacutetico de engrenagens Engrenamento

Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Jaacute se viu que para as engrenagens por evolvente o engrenamento se daacute segundo uma linha reta linha de accedilatildeo ou linha de engrenamento ndash reta EErsquo

- Tangente agraves circunferecircncias de base das rodas (A D) - Eacute a reta geradora do perfil do dentado - Eacute normal agrave superfiacutecie dos dentes em qualquer ponto - A accedilatildeo de um dente sobre o outro tem sempre a direccedilatildeo da linha de engrenamento

E

Ersquo

Circunferecircncia de coroa


Circunferecircncia primitiva




Roda mandada

Roda mandante

D

A

84




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Duraccedilatildeo do engrenamento ndash segmento BC Definida pela interseccedilatildeo das circunferecircncias de coroa com a linha de accedilatildeo - O contacto de dois dentes inicia-se em B e termina em C - O ponto de contacto estaacute sempre sobre a linha de engrenamento

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

iniacutecio do engrenamento (B)

fim do engrenamento (C)

Roda mandada

Roda mandante

85




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Duraccedilatildeo do engrenamento ndash segmento BC Definida pela interseccedilatildeo das circunferecircncias de coroa com a linha de accedilatildeo - A duraccedilatildeo do engrenamento eacute afetada pela saliecircncia dos dentes (correccedilatildeo do dentado) - Os pontos A e D satildeo os limites de contacto dos dentes para que o engrenamento se faccedila sem interferecircncia de funcionamento

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Para haver continuidade de engrenamento eacute necessaacuterio que quando um par de dentes termina o contacto jaacute outro par o tenha iniciado Boa continuidade origina um funcionamento mais silencioso (sem choques) e uma melhor distribuiccedilatildeo da carga no contacto (maior aacuterea de contacto entre os dentes)

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Durante o engrenamento podem distinguir-se dois periacuteodos 1 Periacuteodo de aproximaccedilatildeo la = BI (comprimento de aproximaccedilatildeo) e aa (arco de aproximaccedilatildeo) 2 Periacuteodo de afastamento lf = IC (comprimento de afastamento) e af (arco de afastamento)

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Comprimento de conduccedilatildeo (l) distacircncia percorrido sobre a reta primitiva durante o engrenamento l = la + lf

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Arco de conduccedilatildeo (a) comprimento de arco percorrido sobre a circunferecircncia primitiva durante o engrenamento a = aa + af

sendo que - acircngulo de pressatildeo

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Para que haja continuidade de engrenamento eacute necessaacuterio que um par de dentes deixe de estar engrenado apenas depois de o par de dentes seguinte ter entrado em contacto Para que isso aconteccedila eacute necessaacuterio que

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p

l ndash comprimento de conduccedilatildeo

Pn ndash passo nominal

a ndash arco de conduccedilatildeo

p ndash passo primitivo

91




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento

Designa-se relaccedilatildeo de conduccedilatildeo ( ) o quociente entre o arco de conduccedilatildeo (a) e

o passo (p) Para haver continuidade eacute necessaacuterio que

1 Normalmente define o nuacutemero meacutedio

de dentes em contacto Na praacutetica 13

E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Como e logo Engrenagens ciliacutendricas de dentes retos Comprimento de conduccedilatildeo l = la + lf sendo

a =

p

l a = cos

l la + lf = = p cos p cos

2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Engrenagens ciliacutendricas de dentes retos Relaccedilatildeo de conduccedilatildeo = a p

= wa1 1 + wa2 2 wa1 wa2 ndash coeficientes de saliecircncia

ha1 = wa1 m e ha2 = wa2 m com

No caso de dentado normal = 20ordm wa1 = wa2 = 1 c1 = z1 e c2 = z2 logo

OBS estas expressotildees aplicam-se do mesmo modo a engrenagens interiores desde que se tome o sinal (-) para z2 ou c2

1+ ci i =

ci2 ci cos 1 + ci + sin2 + sin

4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94



Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Engrenagens ciliacutendricas de dentes retos

Da figura e das expressotildees anteriores eacute possiacutevel concluir que Engrenagens exteriores

- aumenta ie aumenta a continuidade

do engrenamento quando aumentam as saliecircncias dos dentes quando aumentam os diacircmetros primitivos ou quando diminui

o acircngulo de pressatildeo ( )

Engrenagens interiores

- aumenta quando aumenta d1 quando

diminui d2 ou quando diminui o acircngulo de de pressatildeo ( )


E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais

No caso de engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais o arco de conduccedilatildeo tem um valor igual ao das engrenagens ciliacutendricas de dentes retos acrescido do

termo b tg (em que b eacute a largura do dentado e o acircngulo de inclinaccedilatildeo da heacutelice primitiva)

Ao termo b tg designa-se recobrimento do dente

Assim

Como e entatildeo a relaccedilatildeo de conduccedilatildeo eacute

Logo as engrenagens helicoidais tecircm melhor continuidade que as retas ( mais elevado) devido agrave inclinaccedilatildeo dos dentes Satildeo mais silenciosas e tecircm maior capacidade de transmissatildeo de binaacuterio (pressotildees de contacto meacutedias mais baixas) que as de dentes retos (para dimensotildees equivalentes)

a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma

(soma da relaccedilatildeo de conduccedilatildeo aparente com a relaccedilatildeo de recobrimento)

96





Da equaccedilatildeo da relaccedilatildeo de conduccedilatildeo conclui-se

As engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais satildeo especialmente favoraacuteveis quanto agrave continuidade de engrenamento o que permite saliecircncias reduzidas (wa lt 1) com vantagem de diminuir o perigo de interferecircncias de funcionamento

A equaccedilatildeo anterior costuma tambeacutem escrever-se da seguinte forma

com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Engrenagens coacutenicas

Para este tipo de engrenagens quer os dentes sejam retos ou helicoidais a relaccedilatildeo de conduccedilatildeo determina-se a partir das engrenagens ciliacutendricas equivalentes obtidas atraveacutes do traccedilado de Tregold

Traccedilado de Tregold e z1 zrsquo1 = cos 1

z2 zrsquo2 = cos 2

98




Duraccedilatildeo e continuidade do engrenamento Engrenagens torsas

Para as engrenagens de dentes helicoidais utilizam-se as expressotildees vistas para as engrenagens ciliacutendricas substituindo os valores aparentes pelos reais Engrenagens de parafuso sem-fim

Neste tipo de engrenagem a continuidade do engrenamento estaacute sempre largamente assegurada pelo que normalmente se dispensa o seu caacutelculo

a l = =

pr mr cos r

99




Escorregamento no contacto dos dentes O engrenamento de dois perfis

conjugados natildeo se faz com rolamento puro O rolamento puro apenas se verifica

no contacto no ponto primitivo ( ) O escorregamento aumenta agrave medida

que nos afastamos da circunferecircncia primitiva para um e outro lado O escorregamento eacute maacuteximo junto agrave

coroa dos dentes ndash eacute maacuteximo no iniacutecio e no fim do engrenamento

100

O1

Carreto

O2

Roda




Escorregamento no contacto dos dentes (engrenagens exteriores) Divida-se o comprimentos de engrenamento

AB em parte iguais (por ex 6) sendo C D E F e G pontos dessa divisatildeo Com centro em O1 transportam-se

esses pontos para o flanco do dente do carreto (a1 c1 d1 e1 f1 g1 b1) hellip hellip e com centro em O2 transportam-se

os mesmos pontos para o flanco do dente da roda (a2 c2 d2 e2 f2 g2 b2) Por definiccedilatildeo de linha de engrenamento

nos pontos A Chellip B haacute contacto entre os perfis dos dentes do carreto e da roda (a1-a2 c1-c2 hellip)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101




Escorregamento no contacto dos dentes (engrenagens exteriores) Quando o ponto de contacto no flanco

do dente do carreto percorre o arco a1-e1 o ponto de contacto no flanco do dente da roda percorre o arco a2-e2

Como a1- e1 a2- e2 logo haacute

escorregamento de um perfil sobre o outro perfil dos dentes O escorregamento eacute inferior nas

engrenagens interiores que nas exteriores

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102




Escorregamento no contacto dos dentes (engrenagens exteriores) O escorregamento tem como

consequecircncias o aumento do atrito ( rendimento) e do desgaste (alteraccedilatildeo do perfil dos dentes) No iniacutecio do engrenamento o

maior desgaste verifica-se na roda e no final do engrenamento o maior desgaste verifica-se no pinhatildeo (ou carreto) (escorregamentos especiacuteficoshellip hellipequilibragem dos

escorregamentos especiacuteficos maacuteximoshellip hellip correccedilatildeo

de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103




Escorregamento no contacto dos dentes (engrenagens exteriores) A velocidade de escorregamento vg

eacute dada pelo produto da velocidade angular de rotaccedilatildeo instantacircnea e a distacircncia entre o ponto de contacto x e o ponto primitivo medida sobre a linha de accedilatildeo vg eacute maior para engrenagens

exteriores do que para engrenagens interiores

104

vg

vg




Escorregamento total o escorregamento total g eacute a soma dos escorregamentos nos periacuteodos de

aproximaccedilatildeo e de afastamento

cos

1122

21

fa ll

ddg (+ ) engrenagens exteriores interiores

105




Escorregamentos especiacuteficos Mais importante que os escorregamentos nos periacuteodos de aproximaccedilatildeo e de

afastamento eacute o escorregamento especiacutefico que se define como a relaccedilatildeo entre o escorregamento e o rolamento Escorregamentos especiacuteficos maacuteximos (gs)max

106




Escorregamentos especiacuteficos O escorregamento traduz-se em desgaste dos dentes pelo que conveacutem

reduzi-lo ao miacutenimo reduzindo-se o comprimento do arco de conduccedilatildeo

Na praacutetica procuram-se igualar os escorregamentos especiacuteficos maacuteximos

Existe uma perda do trabalho total por atrito devido ao escorregamento

107




(+ ) engrenagens exteriores interiores

Rendimento ndash engrenagens ciliacutendricas de dentes retos

O rendimento em engrenagens ciliacutendricas de dentes retos eacute dado pela

expressatildeo

onde f eacute o coeficiente de atrito no contacto entre os dentes

As engrenagens interiores (sinal ) tecircm melhor rendimento que as exteriores O rendimento baixa com o aumento do comprimento de conduccedilatildeo (pelo que

conveacutem para um dado entre-eixo ter o passo e portanto o moacutedulo o menor possiacutevel desde que seja compatiacutevel com a resistecircncia dos dentes aos esforccedilos aplicados)

108




Rendimento ndash engrenagens ciliacutendricas de dentes helicoidais Para este tipo de engrenagens pode tomar-se sem grande erro a expressatildeo

anterior para o rendimento Rendimento ndash engrenagens coacutenicas O rendimento determina-se a partir das engrenagens ciliacutendricas equivalentes

obtidas atraveacutes do traccedilado de Tregold pela aplicaccedilatildeo da expressatildeo vaacutelida para engrenagens ciliacutendricas

109




Rendimento ndash engrenagens de sem-fim Carreto motor (parafuso sem-fim)

Roda motora

- acircngulo de atrito sendo tg = f sendo f o coeficiente de atrito no contacto entre os dentes

Acircngulo de inclinaccedilatildeo recomendado 85ordm 1 87ordm 110




Rendimento ndash engrenagens de sem-fim Valores de f

111



2


Engrenagens satildeo mecanismos que transmitem movimento por accedilatildeo de um corpo que rola sem escorregar sobre outro Seja o mecanismo da figura de eixos complanares constituiacutedo pelos corpos 1 e 2 que rolam em torno de O1 e O2 e tecircm um contacto pontual R O centro instantacircneo de rotaccedilatildeo O12 localiza-se no ponto I Considerando o lugar geomeacutetrico das sucessivas posiccedilotildees do ponto I obtecircm-se as curvas C1 e C2 as quais rolam sem escorregar uma sobre a outra agrave medida que os corpos 1 e 2 vatildeo rodando No caso de um mecanismo de engrenagem C1 e C2 ndash curvas primitivas (circunferecircncias primitivas

se as engrenagens forem circulares)

I ndash ponto primitivo (centro instantacircneo de rotaccedilatildeo) I







3


1

2

1

2

I

n



4




n

1

2

I





5





1 R2

= 2 R1



6











7






8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111







3


1

2

1

2

I

n



4




n

1

2

I





5





1 R2

= 2 R1



6











7






8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



4




n

1

2

I





5





1 R2

= 2 R1



6











7






8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





5





1 R2

= 2 R1



6











7






8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



6











7






8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



7






8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



8






9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



9



Dentado em espinha



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



10







11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



11





12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



12





13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



13





14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



14





15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



15






16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



16













17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



17




Roda 1

Roda 2



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



18




B A

base

cicloacuteide



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



19







Orsquo

base

Orsquo

base



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



20








21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



21








22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



22








23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



23






24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



24



A2


A4

A1 B1 A2

A3

Corda


rb

evolvente



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



25





Circunf de base

A1

Ai

Aj

Bi Bj



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



26



1 D2 Db2 i = = = 2 D1 Db1



Db1

Db2



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



27





28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



28



Rb = R cos

evolvente

Circunf de base 1

Circunf de base 2


evolvente

O1

O2


R1

R2

Rb1

Rb2

B

A

I



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



29









30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



30










E

Ersquo

P

N

R

Fr



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



31



A E

D F







Linha de flanco



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



32



Da Df Dp






33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



33



A

B

D



C



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



34



A

I

D





35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



35



I

A E

I´

D F

ha

hf








36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



36



s e



I I´



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



37





b

s

entredente



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



38



b

s


Dp p = p = s + e z




39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



39




Dp m = z






40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



40




1 1125 (325)

125 1375 (375)

15 175 (65)

2 225

25 275

3 35

4 45

5 55

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20





41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



41



Dp = m z



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



42





Dp = m z








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111








43



ha

hf

h

Da

Dp Df



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



44






e

s s

j

g s



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



45



1

2

V1=V2

D1

D2

a

D1 + D2 m (z1 + z2) a = = 2 2


V1 = V2

1 D1 = 2 D2





P (ponto primitivo)

1

2



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



46 46


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

C1

Crsquo1

Crsquo2

C2






47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



47









nos dentes retos)



47


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N


C1

C2

Crsquo1

Crsquo2



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



48 48


X1

X2

A

I

M

N

T1

T2

R

S

M

N









49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



49







D Db

O Db

D

p



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



50 50



Eix

o

da r

oda




pr pa mr = ma =

pr px

pa



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



51 51




- Intervalo real er




52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



52 52




ou seja



igualando




Db

p

D




53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



53 53





tg r = tg a cos



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



54 54



Assim

pr = pa cos

mr = ma cos

sr = sa cos

er = ea cos



ha = mr h = ha + hf = 225 mr

hf = 125 mr



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



55 55



S



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



56 56






10ordm 30ordm



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



57 57







58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



58 58





59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



59 59

V I

C1

V1

V2

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2


V2

X1

X2







60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



60 60

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


Cones planificados

V1

I

1

V

R1

C1

1

1

V2




61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



61



61

V I

C1

V1

V2

X1

V1

(E)

I

R1

R2

1

C2

2

rsquo1

rsquo2

Crsquo1

Crsquo2

X2


V2



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



62




62


62 62

V

hf

ha


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

D

C

B

2



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



63 63

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B R1 = VI sin 1

R2 = VI sin 2

1








64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



64 64 64

X1

X2

Y

1

2

V

I

2

R1

R2

A

B

1





65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



65 65






66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



66 66






67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



67




1

2 = 90ordm

1 = - 90ordm



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



68 68 68


68 68

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1

Acircngulo de


Cone primitivo

Cone de raiacutez

h




2





69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



69 69 69 69


69 69

B

V

hf

D

ha

C


A




Cone exterior

Cone interior 1


Cone de coroa

Cone primitivo

Cone de raiacutez

h

2




70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



70 70






71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



71 71


Q

1 + 2 =

C1

C2

M

E

F G

I




72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



72 72 72









73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



73 73 73







74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



74 74 74





75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



75 75 75




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

76





Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

77




Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



Roda

Cilindro primitivo

Eixo do parafuso


L1



I

Filete trapezoidal

78









79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111








79







pa

pr

px




80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



80




Cilindro primitivo

80

pa

px

pr



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



81






82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111



82



db1 tg = H





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





Finalmente tem-se

e

83






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111






E

Ersquo







Roda mandada

Roda mandante

D

A

84





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante



Roda mandada

Roda mandante

85





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

86





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

87





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

88





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

89






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111






E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l a = cos

90





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

l pn ou a p





91









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111









E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

D

A

Roda mandada

Roda mandante



A

D

la

lf

I

a =

p

92





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111





a =

p

l a = cos


2 2 da1 d1 d1 la = - cos - sin 2 2 2

2 2 da2 d2 d2 lf = - cos - sin 2 2 2

93









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111









1+ ci i =


4 2

z1 c1 = wa1 z2 c2 = wa2

1+ zi i =

295 017 zi + 1 + zi + 0029 zi2

94












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111












E

Ersquo

inicio do contacto

B

C fim do contacto







Roda mandada

Roda mandante

95








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111








Assim



a b tg = +

pa pa

l a = pa = ma cos a

l b tg = +

ma cos a ma


96








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111








com

e

l b tg = +

ma cos a ma

b tg = 1+ 2 +

ma

l 1+ 2 =

ma cos a

l = la + lf 97







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111







z2 zrsquo2 = cos 2

98







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111







a l = =

pr mr cos r

99









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111









100

O1

Carreto

O2

Roda









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

101









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111









A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

102








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111








de dentado)

A

B

C D

F G

O1

a1

c1

d1

f1

b1 g1

a1

c1

d1

e1

f1

g1

b1

Carreto

Roda

Carreto Roda

b2

g2

f2

b2

g2

f2

Ee1e2

e2

d2

d2 c2 a2

c2

a2

O2

Linha primitiva

103







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111







104

vg

vg






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111






cos

1122

21

fa ll


105






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111






106








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111








107







expressatildeo




108







109





Roda motora







111







expressatildeo




108







109





Roda motora







111







109





Roda motora







111





Roda motora







111





111

Documents

Órgãos de Máquinas II - dem.uminho.pt · que rolam em torno de O 1 e O 2 e têm um contacto pontual R. O centro instantâneo de rotação O 12 localiza-se no ponto I. Considerando