ORIGAMI: PIEGARE LA CARTA E SPIEGARE LA GEOMETRIA

CHE COSA L'ORIGAMI

L'origami un'antichissima tecnica di origine giapponese che insegna a piegare un foglio di carta senza mai tagliarlo e incollarlo, per realizzare figure di varia natura e decorazioni. Il foglio viene piegato secondo un procedimento logico che, piega dopo piega, porta una superficie neutra (un quadrato di carta) ad assumere una forma bi o tridimensionale. Sia per forme piuttosto semplici e stilizzate, che si possono ottenere con poche piegature, sia per figure complesse e difficili da realizzare, l'origami, nei suoi aspetti pi conosciuti, si presenta in forma di aeroplanino, di animale, di fiore, di altro oggetto qualsiasi Queste sono infatti le cose che di solito si trovano descritte nei libri di origami ma esiste anche un altro aspetto, molto interessante e ancora poco conosciuto: l' origami geometrico. Con questo tipo di origami, mediante piegature del foglio di carta basate su propriet di simmetria, possibile ottenere sia figure geometriche piane (forme poligonali, stelle, tassellazioni... ), sia figure geometriche tridimensionali (cubi, poliedri, flexagoni, forme dinamiche... ) e tutto senza usare n la matita n gli strumenti della geometria: l'unica cosa che serve infatti la carta. Per una buona riuscita dei modelli indispensabile scegliere le carte pi adatte: riguardo al formato (fogli grandi o piccoli), alla consistenza (cartoncino o carte leggere), alla superficie (liscia o ruvida), al colore (uguale o contrastante sulle due facce del foglio). Esistono in commercio vari tipi di carta studiata appositamente per l'origami ma si possono usare anche carte alternative di pi facile reperibilit quali carta da quaderno, da macchina da scrivere, da disegno, da pacco, da regalo, fogli di blocchi per appunti, di blocchi per telefono, cartoncini leggeri e cos via. Se a prima vista pu sembrare difficile realizzare forme geometriche solide usando soltanto la carta senza poterla tagliare o incollare, in realt pi semplice e divertente di quanto si immagini. Ottenere cubi, poliedri, forme stellate con un unico foglio, in genere di forma quadrata, in effetti abbastanza difficile e richiede una notevole esperienza della tecnica origami e un'ottima manualit. Esiste tuttavia un metodo abbastanza semplice e veloce da apprendere per ottenere le stesse forme; si tratta dell origami modulare. Per "modulo" si intende un elemento che di per s non ha grande significato ma che, assemblato con altri moduli analoghi, da luogo ad una forma ben precisa e riconoscibile. Trattandosi di origami evidente che ogni singolo modulo deve essere realizzato piegando, secondo ben precise piegature, un foglio di carta. Ma come effettuare l' assemblaggio se non si deve usare colla, graffette o cose simili? E' chiaro che anche l'assemblaggio deve avvenire tramite piegatura. Tutte queste cose sono probabilmente pi semplici da realizzare che da descrivere. Nella realizzazione dei modelli dei solidi descritti di seguito

importante seguire attentamente ogni passaggio e controllare i risultati ottenuti seguendo le indicazioni contenute nei disegni. I tratteggi e le frecce presenti nelle figure vengono commentati e spiegati con brevi didascalie. Nella tabella di fig. l si trovano elencati tutti i simboli grafici usati.

Figura 1

Realizzando i modelli descritti ci si pu rendere conto di quale utilit possa essere la tecnica origami per conquistare la capacit di dominare lo spazio tridimensione e conoscere le propriet di figure geometriche.

COSTRUZIONE DI UN CUBO ORIGAMI Materiale occorrente: Sei fogli di forma quadrata; dimensione: 10-15 cm circa di lato; qualit: carta tipo quaderno o cartoncino leggero; colore: tre colori (due fogli ogni colore). Per ottenere un cubo bisogna realizzare sei moduli identici piegando i fogli come indicato in fig.2. Quando si sono ottenuti tutti e sei i moduli si controlla, sovrapponendoli, che siano piegati nello stesso verso (destri). Se infatti al passaggio 3 si piegano gli angoli A e C anzich gli angoli B e D si ottengono dei moduli sinistri che non sono compatibili coi primi. E' evidente che si possono realizzare anche solo moduli sinistri (fig.3); l' importante che i moduli occorrenti siano piegati tutti nello stesso verso.

Figura 2

Figura 3

Per formare il cubo occorre assemblare, come indicato in fig. 4, i sei moduli incastrandoli tramite le alette e le tasche che si sono formate con le piegature. Se piegare i sei moduli tutti uguali un po monotono, incastrarli molto pi divertente e gratificante.

Figura 4

Costruito il cubo pu sembrare tutto finito, invece si pu procedere in altre direzioni. Infatti se fino ad ora si considerato il modulo come elemento unit, ora lo stesso ruolo si pu fare assumere al cubo che pu quindi essere utilizzato come elemento base per formare altri solidi. Ad esempio, si pu costruire un parallelepipedo con la base doppia dell'altezza: tolta una faccia (un modulo) a due cubi, si infilano rispettivamente le alette rimaste libere di un cubo nelle tasche dell'altro (fig. 5).

Figura 5

Con lo stesso procedimento si possono realizzare altri parallelepipedi e in generale qualsiasi forma composta da pi cubi. Spesso conviene piegare i moduli soltanto fino al passaggio 7, lasciandoli cio a forma di parallelogramma; infatti le altre due pieghe sono suscettibili di mutamenti (fig.6) a seconda della forma che si vuole realizzare.

Figura 6

FORME COMPOSTE DA CUBI E' piuttosto divertente sperimentare cosa si pu ottenere combinando cubi fra loro. Si possono infatti costruire forme complesse, flexagoni, cubi composti da cubetti, ecc. Per stabilire quanti moduli possono occorrere per realizzare una determinata forma basta semplicemente contare le facce quadrate. Ad esempio per il cubo, che ha sei facce, occorrono 6 fogli; per un parallelepipedo 1x2 ne occorrono 10 mentre per un parallelepipedo 1x3 i fogli necessari saranno 14; per un cubo 2x2 di fogli ne occorrono 24 e cos via. Il lavoro di piegatura che piuttosto lungo e noioso pu essere svolto collettivamente: pi ragazzi possono collaborare alla piegatura dei moduli necessari alla realizzazione del solido scelto. Se per realizzare il cubo si sono usati foglietti abbastanza piccoli e di tre colori, in seguito si potranno usare fogli molto pi grandi oppure piccolissimi e di colore uniforme. Una forma composta da 27 cubetti il cubo soma. E' composto da 7 pezzi tutti diversi fra loro (fig.7) che devono essere ricombinati nel cubo originario o in altri vari modi. Per realizzare i pezzi in origami occorrono in tutto 122 fogli, 14 per il primo pezzo (3 cubi) e 18 per tutti gli altri (4 cubi).

Figura 7

In fig. 8 sono rappresentate forme ottenute combinando insieme pi cubi in modo diverso. In fig.9 rappresentato un flexicubo: una forma molto interessante costituita da otto cubi incernierati fra loro che si possono far ribaltare quante volte si vuole. Per realizzarla occorrono 48 fogli e un po di colla o di nastro biadesivo per fissare stabilmente le linguette che fungono da cerniera (qualche trasgressione alla sola piegatura ogni tanto ammessa).

Figura 8

Figura 9

IL MODULO DEL CUBO PER ALTRI POLIEDRI Le possibilit del modulo descritto non si esauriscono nella costruzione del cubo. Lo stesso modulo pu infatti servire per realizzare altri poliedri. Ma in che modo visto che la superficie utile del modulo un quadrato e l'unico poliedro costituito da facce quadrate il cubo? Semplicemente piegando a met il modulo e utilizzando come facce utili i due triangoli rettangoli che formano il quadrato centrale, come indica la fig. 10.

Figura 10

Incastrando (col solito metodo) tre moduli di questo tipo si ottiene una piramide a base triangolare equilatera (fig. l l) ed proprio questa piramide a costituire una nuova unit di base. Con essa infatti si possono ottenere poliedri piramidati: precisamente si possono piramidare i tre poliedri regolari che hanno per facce triangoli equilateri.

Figura 11

Per avere un tetraedro piramidato occorrono 6 fogli e il risultato il cubo. Per ottenere l'ottaedro e l'icosaedro piramidati occorrono rispettivamente 12 e 30 fogli (fig.12). La costruzione di questi poliedri pu essere abbellita combinando logicamente i colori. Ad esempio, usando 4 colori differenti per lottaedro e cinque per l'icosaedro in quanto in ogni vertice convergono rispettivamente 4 o 5 spigoli. Pur essendoci soltanto tre soli poliedri regolari che hanno per facce dei triangoli equilateri le possibilit di ottenere altre forme poliedriche, regolari o semi-regolari, incastrando moduli sono numerose.

Il metodo pi divertente e intellettualmente pi valido quello della sperimentazione: si prepara un certo numero di moduli e si comincia a provare. Pu succedere che si abbia l'intuizione di una determinata forma e si cerchi di realizzarla attraverso ipotesi e prove ma pu anche succedere che forme strane e bellissime si formino quasi per caso. Oltre quello descritto, che il pi semplice, esistono origami modulari di numerosi altri tipi. Inoltre ne vengono realizzati continuamente di nuovi.

Figura 12

Esistono moduli coi quali possibile ottenere numerosi altri poliedri piramidati o anche stellati. Esistono anche moduli di struttura che permettono di mettere in evidenza la struttura interna del poliedro e che quindi sono privi di facce ossia sono aperti. Esistono moduli per realizzare gli altri poliedri regolari oltre il cubo e moduli per poliedri concavi.

MODULI PER ALTRI POLIEDRI (a) Un esaedro con facce triangolari Di solito il cubo che viene chiamato esaedro, tuttavia il nome si adatta bene anche a questo solido di forma insolita per la superficie formata da sei triangoli rettangoli isosceli. Per la sua realizzazione bastano tre soli moduli. In fig. 13 messo in evidenza come i fogli quadrati devono essere piegati e incastrati per ottenere prima i moduli e poi il solido. Si pu cos osservare che si tratta di un modulo la cui realizzazione molto semplice. Purtroppo questo modulo non versatile; con esso non dato ottenere altri solidi.

Figura 13

(b) Un ottaedro aperto Un altro modulo molto facile da realizzare quello descritto in fig.l4. Si ottiene piegando un foglio quadrato semplicemente secondo i suoi assi di simmetria.

Figura 14

Incastrando in modo opportuno sei di questi moduli si ottiene un ottaedro aperto in cui sono quindi visibili gli assi di simmetria e le sezioni con i piani di simmetria. Essendo i moduli numerosi ci vuole un po di pazienza e di accortezza nel realizzare l' incastro.

(c) Un cubo da un unico foglio Un modello spiritoso di cubo si pu ottenere piegando un foglietto quadrato dapprima ancora secondo gli assi mediani e gli assi diagonali, quindi effettuando altre piegature secondo le istruzioni indicate in fig. 15. Perch la costruzione riesca bene opportuno utilizzare inizialmente un foglietto di carta resistente ma piuttosto sottile con il lato di 12-15 centimetri.

Figura 15

Con una variazione nelle piegature del foglio, indicata in fig.16, si pu ottenere una piramide a base quadrata.

Figura 16

ORIGAMI DA UN RETTANGOLO DI CARTA

Normalmente si definisce lorigami come la tecnica del piegare la carta per realizzare figure di ogni tipo. Nessuna regola dice come deve essere il foglio di partenza ma praticamente si da per scontata la forma quadrata. La maggior parte dei modelli origami infatti deriva dal quadrato anche se ci sono esempi di piegatura a partire da triangoli (isosceli, equilateri) rettangoli, pentagoni, esagoni e perfino cerchi. Il motivo dello scarso uso di queste forme semplicemente la difficolt di trovare gi pronti questi fogli e la pigrizia di farseli da se. In commercio magari si trovano blocchi di foglietti in forma di mela o di pesce ma non di triangoli o pentagoni; la vera carta da origami poi esiste in svariati tipi, dimensioni e qualit ma tutta rigorosamente quadrata. Si pensa infatti che per fare origami sia indispensabile usare la preziosa carta giapponese: non vero. Si piegano fogli di quaderno o da pacco altrettanto bene. E allora perch non usare la carta pi comune e semplice da trovare, ad esempio la normalissima extra strong A4? Questo rettangolo che si chiama silver rectangle1 oltre a trovarsi ovunque (quaderni, fotocopie, cataloghi, carta da lettere, ecc.) molto interessante dal punto di vista geometrico: i suoi lati sono infatti

in un rapporto 2:1 e cio nel rapporto in cui sono il lato e la diagonale in un quadrato.

Si definisce allora il silver come quel rettangolo il cui lato lungo uguale alla diagonale di un quadrato che ha per lato il lato corto del rettangolo stesso. Dividendo a met o raddoppiando un silver si ottengono nuovi silver rimanendo inalterato il rapporto fra i lati.

1silver rectangle (rettangolo dargento): nome scelto dagli Oxford Dictionaries per distinguerlo dal pi famoso rettangolo aureo.

Con procedimenti simili e/o conseguenti si ottengono il pentagono, lesagono, lottagono e qualsiasi altro poligono.

Pi divertente, interessante e gratificante piegare figure tridimensionali anche se pi complesse quali i solidi platonici, archimedei e stellati, i flexagoni modulari, i prismi ad n numero di lati ecc.

Alcuni modelli tridimensionali realizzati col silver. Gli schemi di piegatura saranno disponibili durante i giorni del convegno

BIBLIOGRAFIA ORIGAMI E GEOMETRIA

Sullargomento Origami e Geometria poco stato pubblicato in Italia, ecco un elenco di testi utili anche se probabilmente ormai difficili da reperire in libreria, si consiglia di provare nelle biblioteche.

Bascetta Paolo Origami Ed. Sigem Modena 2010 Betti Mamino Silvana Dodecaedri e dintorni Centro Diffusione Origami 2006 Canovi Luisa Il libro dei rompicapo Sansoni Firenze 1984 Canovi Luisa Origami e geometria La Casa Verde Verona 1987 Canovi Luisa Origami e magia La Casa Verde Verona 1987 Canovi Luisa Contro Mossa (Raccolta di articoli

sullorigami geometrico) Centro Diffusione Origami 1987

Cecconi Donatella Libroggetto Origami modulari Il Castello Milano 1989 Dray Enrica Modulandia Centro Diffusione Origami 2011 Fietta Natale Modelli di Natale Fietta Centro Diffusione origami 1986 Fuse Tomoko Origami modulare Il Castello Milano 1988 Jackson Paul Foglio e Forma Logos Modena 2011 Macchi Pietro Nuovi origami De Vecchi Milano 1997 Macchi Pietro Variazioni sul modulo Centro Diffusione Origami 2002 Pavarin Franco Decorazioni modulari Il Castello Milano 1989

Per trovare testi internazionali si consiglia di contattare il Centro Diffusione Origami che mette a disposizione dei propri soci un vastissimo catalogo di libri, in particolare, sullargomento Origami e Geometria ecco un elenco di autori (di cui per motivi di spazio non si elencano i singoli titoli) da cercare nel catalogo del CDO.

www.origami-do.it

Arnstein Bennett Bascetta Paolo Brill David Canovi Luisa Dray Enrica Fietta Natale Fujimoto Shuzo Fuse Tomoko Gjerde Eric Gurkewitz Rona Hull Thomas Huzita Humiaki Jackson Paul Kasahara Kunihiko Kawamura Miyuki Kawasaki Toshikazu Lewis Simon Macchi Pietro Maekawa Jun Mitchell David Momotani Yoshihide Montroll John Neale Robert ORourke Joseph Pedersen Mette Shen Philip Sundara Row

Alcuni testi utili alla geometria della carta, anche se non espressamente origami

Beutelspacher e Wagner Piega e spiega la matematica Ponte alle Grazie Milano 2009 Cundy e Rollet I modelli matematici Feltrinelli Milano 1974 Gardner Martin Enigmi e giochi matematici Sansoni Firenze 1969 Rinaldi Carini Rosa Geometria operativa Arti grafiche Stiben Urbania 1995 Scarpa Giorgio Modelli di geometria rotatoria Zanichelli Bologna 1978 Schattscheider e Walker M. C. Escher Kaleidocycles Taschen 1992