Oscilaciones y Ondas - Alicia Guerrero de Mesa

OSCILACIONES Y ONDAS

Notas de clase

Alicia Guerrero de Mesa

Departamento de Fsica

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Contenido

Presentacion VII

1. Osciladores libres con un grado de libertad 11.1. Osciladores armonicos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. El resorte de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3. Masa en el centro de cuerda sobre plano horizontal . . . 6

1.1.4. Circuito LC sin resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5. Observaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.6. Puntos de equilibrio de los osciladores . . . . . . . . . . 10

1.1.7. Conservacion de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Osciladores libres amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Recticacion del modelo, nuevas ecuaciones . . . . . . . 12

1.2.2. Decaimiento de la energa y factor de calidad . . . . . . 14

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. El oscilador simple amortiguado y forzado 192.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Solucion de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Analisis fsico de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Evolucion del estado transitorio al estado estacionario . . 24

2.3.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3. Absorcion de potencia, curva de resonancia . . . . . . . 28

2.3.4. Factor de calidad de un oscilador forzado . . . . . . . . 31

2.4. Principio de superposicion de fuentes . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Modelo clasico de interaccion radiacion-atomo . . . . . . . . . . 35

2.6. Fuerza externa aplicada a traves de un soporte movil . . . . . . 37

2.6.1. Resorte horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.2. Sismografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

ii CONTENIDO

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Sistema libre de dos osciladores acoplados no amortiguados 453.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1. Pendulos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2. Masas acopladas a resortes sobre supercie horizontalsin friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.3. Masas acopladas por cuerdas sobre plano horizontal sinfriccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.4. Dos circuitos LC acoplados por condensador . . . . . . . 48

3.2. Solucion de las ecuaciones acopladas . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Interpretacion fsica de la solucion. Modos normales . . . . . . . 50

3.4. Metodo del determinante secular . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5. Diagonalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . 55

3.6. Osciladores acoplados inercial o inductivamente . . . . . . . . . 58

3.7. Diagonalizacion de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8. Pulsaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.9. Intercambio de energa en las pulsaciones . . . . . . . . . . . . 64

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. Sistema de dos osciladores amortiguados y forzados 674.1. Sistema amortiguado sin fuerza externa . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. Sistema amortiguado y forzado armonicamente . . . . . . . . . 69

4.2.1. Ecuaciones de movimiento y solucion general . . . . . . 69

4.2.2. Analisis fsico de la respuesta estacionaria . . . . . . . . 71

4.2.3. Absorcion de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.4. Absorcion resonante como instrumento de analisis . . . . 74

4.2.5. Protector antivibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Solucion de las ecuaciones de movimiento mediante coordenadasnormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.1. Sistema amortiguado no forzado . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.2. Sistema amortiguado y forzado . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. Sistema acoplado por resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5. Sistemas no solubles mediante uso de coordenadas normales . . 83

4.6. Relevancia del sistema de dos osciladores acoplados . . . . . . . 85

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Sistema de N osciladores acoplados 895.1. Redes de osciladores identicos sin friccion ni fuerza externa . . . 90

5.1.1. Red de pendulos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . 90

OSCILACIONES Y ONDAS iii

5.1.2. Red de masas acopladas por resortes . . . . . . . . . . . 915.1.3. Red de masas acopladas por cuerdas . . . . . . . . . . . 915.1.4. Red de circuitos LC acoplados por condensadores . . . . 925.1.5. Red de inductancias acopladas por condensadores . . . . 93

5.2. Diagonalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . 945.2.1. Sistemas libres no amortiguados . . . . . . . . . . . . . 945.2.2. Sistemas amortiguados y forzados . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Teorema fundamental sobre pequenas oscilaciones . . . . . . . . 985.4. Metodo alternativo de solucion mediante condiciones de

frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5. Solucion con condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6. Aplicacion de condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6.1. Sistemas con extremos jos . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6.2. Sistemas con extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.7. Analisis del espectro de frecuencias normales . . . . . . . . . . . 1065.8. Relaciones de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Redes lineales forzadas armonicamente 1156.1. Respuesta estacionaria de una red forzada armonicamente . . . 116

6.1.1. Respuesta resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.1.2. Respuesta elastica: rasgos generales . . . . . . . . . . . 116

6.2. Respuesta elastica en el rango dispersivo . . . . . . . . . . . . . 1196.3. Respuesta elastica en el rango reactivo inferior . . . . . . . . . . 1216.4. Respuesta elastica en el rango reactivo superior . . . . . . . . . 1246.5. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.6. Medios reactivos y dispersivos acoplados . . . . . . . . . . . . . 127Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7. Lmite continuo. Ondas viajeras y evanescentes 1337.1. Ecuacion de onda clasica y de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . 1347.2. Condiciones de frontera y modos normales . . . . . . . . . . . . 1367.3. Analisis comparativo de la relacion de dispersion . . . . . . . . . 1387.4. Red continua forzada armonicamente en un extremo . . . . . . 140

7.4.1. Solucion estacionaria no resonante . . . . . . . . . . . . 1407.4.2. Respuesta en el rango dispersivo de frecuencias . . . . . 1407.4.3. Respuesta en el rango reactivo inferior . . . . . . . . . . 141

7.5. Ondas armonicas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.6. Ondas exponenciales o evanescentes . . . . . . . . . . . . . . . 1467.7. Ondas electromagneticas en la ionosfera . . . . . . . . . . . . . 147

iv CONTENIDO

7.8. Ondas electromagneticas en los metales . . . . . . . . . . . . . 151

7.9. Ondas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8. Analisis de Fourier y propagacion de senales 1618.1. Teorema de Fourier para funciones periodicas . . . . . . . . . . 162

8.2. Aplicaciones del analisis armonico a funciones periodicas . . . . 165

8.2.1. Determinacion de constantes arbitrarias a partir decondiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.2.2. Analisis armonico de una senal periodica . . . . . . . . . 166

8.3. Teorema de Fourier para funciones no periodicas . . . . . . . . . 168

8.4. Espectro de frecuencias de un emisor armonico amortiguado . . 170

8.5. Propagacion de paquetes de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.5.1. Ondas no dispersivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.5.2. Ondas dispersivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.6. Tecnicas de modulacion de amplitud, fase y frecuencia . . . . . 175

8.7. Relaciones de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.8. Paquetes y pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.8.1. Paquete gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.8.2. Paquete cuasiarmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.8.3. Pulso de duracion nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9. Ondas sonoras 1899.1. Sonido, ultrasonido, infrasonido y ruido . . . . . . . . . . . . . 190

9.2. Ondas transversales en cuerda no dispersiva . . . . . . . . . . . 192

9.3. Ecuacion de ondas dispersivas en cuerda semirrgida . . . . . . . 195

9.4. Ecuacion de onda bidimensional en membrana elastica . . . . . 197

9.5. Modos normales de una membrana rectangular . . . . . . . . . 199

9.6. Ondas longitudinales en varillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.7. Ondas longitudinales en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . 204

9.8. Condiciones de frontera y modos normales en un tubo sonoro . . 208

9.9. Sonido musical, armona y disonancia . . . . . . . . . . . . . . . 210

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.Ondas electromagneticas 21510.1. Ondas de corriente y voltaje en lneas de transmision . . . . . . 216

10.2. Teora electromagnetica de la luz. Espectro de la radiacion . . . 221

10.3. Ondas electromagneticas en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.4. Ondas electromagneticas en medios dielectricos transparentes . . 225

OSCILACIONES Y ONDAS v

10.5. Ondas planas monocromaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.6. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.7. Ondas electromagneticas en medios conductores . . . . . . . . . 23310.8. Guas de ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10.8.1. Modos TE y TM en una gua de Ondas . . . . . . . . . 23610.8.2. Campos en gua de seccion rectangular . . . . . . . . . . 237

10.9. Cavidades resonantes, modos normales del campo EM . . . . . . 24210.10.Transporte de informacion en bras opticas . . . . . . . . . . . 245Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Apendices 253

A. La ecuacion del oscilador electromagnetico en aproximacioncuasiestatica a partir de las ecuaciones de Maxwell 253A.1. Circuito RLC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.2. Circuito RLC en serie con fuente de voltaje . . . . . . . . . . . 257A.3. Signicado fsico de la integral de lnea del campo electrico . . . 258A.4. Acerca de una ley de Kirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

B. Osciladores no lineales 261B.1. Oscilaciones transversales de masa entre dos resortes . . . . . . 261B.2. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B.3. Osciladores con termino cuadratico en la fuerza recuperadora . . 265B.4. Modelo no lineal de dielectrico en campo externo . . . . . . . . 267B.5. Sistemas conservativos no lineales en el espacio de fase . . . . . 269

B.5.1. Oscilador asimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269B.5.2. El pendulo simple sin serie de Taylor . . . . . . . . . . . 271

C. Ondas no dispersivas 277C.1. Teorema de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277C.2. Interpretacion fsica de la solucion general . . . . . . . . . . . . 279

C.2.1. Enfoque espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279C.2.2. Enfoque temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

C.3. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281C.4. Interpretacion causal de la solucion al problema de Cauchy . . . 283

Presentacion

Esta es la edad de los metodos, y la universidad, que

debe ser el exponente de la situacion contemporanea

de la mente humana, debe ser la universidad de los

metodos.

Charles Sanders Peirce

Nuestro punto de partida es el oscilador armonico, considerado como funda-mento de todos los procesos ondulatorios. A partir de este elemento simple,construimos redes de osciladores que, en el lmite continuo, satisfacen ecuacio-nes de onda.

Nuestro metodo: el avance constructivo de lo simple a lo complejo; del osci-lador armonico a las ondas en medios materiales, guas o bras opticas; de laabstraccion y generalidad de los modelos matematicos a la interpretacion fsicay la aplicacion concreta.

Nuestra motivacion central: la universalidad de los procesos oscilatorios y on-dulatorios. Esta universalidad radica en que sistemas fsicos diferentes (mecani-cos y electromagneticos, microscopicos y cosmologicos, solidos, lquidos, gasesy aun el vaco) satisfacen ecuaciones de osciladores o de ondas de identica for-ma matematica. No importa si lo que oscila son partculas que se desplazanalrededor de posiciones de equilibrio, o cargas en condensadores y corrientesen circuitos, o campos electricos y magneticos en el vaco, o ciertas amplitu-des cuanticas de probabilidad. Conceptos como: resonancia, modos normales,relaciones de incertidumbre, analisis de Fourier y propagacion de ondas, tienenvastos campos de aplicacion que trascienden los lmites de la fsica clasica yrevelan una identidad estructural en fenomenos sin conexion aparente. Esta uni-versalidad conere al curso de Oscilaciones y ondas un caracter interdisciplina-rio, donde pueden residir al mismo tiempo su interes y cierto grado de dicultad.

Nuestro proposito inmediato: sentar las bases matematicas y fsicas para estu-dios mas especcos en mecanica cuantica, optica, materia condensada y uidos,sistemas no lineales, sistemas biologicos, teora de circuitos, redes neuronales,etcetera.

Captulo 1

Osciladores libres con un gradode libertad

En este captulo elegimos como prototipos algunos sistemas fsicos que puedensustentar oscilaciones, y los sometemos a analisis segun el esquema metodologi-co siguiente:

Construimos un modelo simplicado del sistema dejando de lado ciertosaspectos que consideramos secundarios o ignorables en primera aproxima-cion.

A estos sistemas simples aplicamos las leyes fsicas correspondientes: deNewton a los sistemas mecanicos y de Maxwell a los electromagneticos.De aqu resultan las ecuaciones de movimiento respectivas.

Efectuamos el analisis matematico y hallamos las soluciones de las ecua-ciones de movimiento.

Interpretamos fsicamente las soluciones.

Finalmente, introducimos una correccion importante a los modelos inicia-les y hallamos e interpretamos las nuevas soluciones.

1

2 CAPITULO 1. OSCILADORES LIBRES CON UN GRADO DE LIBERTAD

1.1. Osciladores armonicos simples

1.1.1. Pendulo simple

a. Construccion del modelo

Un pendulo simple es una masa puntual suspendida de una varilla o cuerdaja en el extremo superior. En primera aproximacion se puede suponer que lasunicas fuerzas que actuan sobre el cuerpo de masa m son el peso (mg) y latension T ejercidas por la cuerda o varilla. Esto implica ignorar las fuerzas defriccion y la reaccion de posibles ondas de presion emitidas al aire circundante.

T

ur

u

mg

Figura 1.1 Pendulo simple.

La varilla o cuerda se suponen inextensibles y de tension uniforme. Como latension vara con el movimiento de la masa, esta es una idealizacion que implicaadmitir que todos los puntos de la cuerda se enteran simultaneamente delcambio de la fuerza ejercida en su extremo inferior por la masa. En realidad,cualquier perturbacion en un punto requiere un tiempo nito para propagarsea otros puntos, pero en primera aproximacion podemos ignorar este efectode retardo, considerandolo muy pequeno en comparacion con otros factoresdeterminantes del comportamiento del sistema.

Tambien se ignora cualquier no inercialidad del sistema de referencia (ellaboratorio). Esto implica no considerar fuerzas cticias como las debidas a larotacion de la tierra.

Al tratar de comparar las predicciones de la teora con los datos experimen-tales es conveniente tener presentes las limitaciones del modelo tomado comopunto de partida. Algunos de los efectos no incorporados en primera aproxi-macion pueden ser tomados en cuenta en un modelo mas renado y complejo,aunque generalmente mas difcil de resolver.

OSCILACIONES Y ONDAS 3

b. Ecuaciones de movimiento

De acuerdo con la segunda ley de Newton:

F = md 2rdt2

= mg + T (1.1)

Dada la geometra del problema (vease la gura 1.1), es conveniente usar coor-denadas polares (r, ) a n de aprovechar la informacion contenida en la suposi-cion de cuerda inextensible (r = l = cte) para dejar (t) como la unica variabledinamica del sistema.

Al descomponer la fuerza a lo largo de los ejes instantaneos ur y u, resulta:

Fr =mv2

l= ml 2 = T mg cos (1.2)

F = mdv

dt= ml = mg sen (1.3)

Bastara resolver (1.3) y sustituir (t) en (1.2) para hallar el valor de la tensionT como funcion del tiempo. Pero hacer esto no es facil. La razon reside en que(1.3) no es una ecuacion diferencial lineal por contener la funcion sen , que noes lineal en la variable . Sin embargo si, como en el presente caso, estamosinteresados solamente en cierta clase de movimientos del sistema, donde elangulo (medido en radianes) es siempre menor que 1, podemos hacer unaexpansion en serie de Taylor de la funcion sen alrededor de = 0 e ignorarpotencias iguales o superiores a 3 del angulo :

sen = 3

3!+

Con esta restriccion a angulos pequenos (la llamada aproximacion de pequenasoscilaciones), la ecuacion (1.3) toma la forma lineal siguiente:

= gl (1.4)

c. Analisis y solucion de la ecuacion de movimiento

La ecuacion (1.4) es, desde el punto de vista matematico, una ecuacion dife-rencial ordinaria, lineal, homogenea, de segundo orden en t. Ordinaria porqueno aparecen derivadas parciales de funciones de varias variables. Lineal porquepuede escribirse en la forma caracterstica: a + b + c = d, donde los coe-cientes a, b, c y d pueden depender del tiempo pero no de la funcion (t)


o de sus derivadas1. Homogenea porque no aparece en la ecuacion el terminod, independiente de o de sus derivadas. De segundo orden porque dos es elmaximo orden de las derivadas que aparecen en la ecuacion diferencial.

El hecho de ser lineal y homogenea tiene una implicacion de gran tras-cendencia fsica: si existen varias soluciones de la ecuacion, cualquier su-perposicion lineal de ellas sera tambien solucion. Este llamado principiode superposicion es exclusivo de ecuaciones diferenciales lineales y ho-mogeneas (no importa el orden o si son ordinarias o no). Si la ecuaciones lineal pero no homogenea, se cumple un principio de superposicionmodicado, como veremos en el captulo siguiente.

El hecho de ser una ecuacion ordinaria de segundo orden en el tiempoimplica que la solucion general (ajustable a cualesquiera condiciones ini-ciales) debe contener dos constantes arbitrarias.

Dadas dos condiciones iniciales (0) y d(0)dt , la solucion de la ecua-cion (1.4) es unica; esto es, al jar condiciones iniciales se da un valorunico a las constantes arbitrarias contenidas en la solucion.

Para resolver la ecuacion (1.4) podemos partir de una suposicion o Ansatz, dela forma:

(t) = et

As, al derivar dos veces con respecto al tiempo:

= 2et

Al remplazar en la ecuacion (1.4), resulta:

2et

+g

let

= 0

Entonces

= g

l= i0 con 20

g

l

1 Esta denicion matematica de linealidad implica que en una ecuacion diferencial linealno pueden aparecer terminos que contengan la funcion (t) o sus derivadas elevadas a unapotencia diferente de cero o uno. Pero esta no es una condicion suciente de linealidad. Unaecuacion diferencial que contenga productos de la forma no es lineal.


Obtenemos dos soluciones linealmente independientes que pueden superponersecon coecientes arbitrarios para dar la solucion general:

(t) = Aei0t + Bei0t (1.5)

Esta solucion puede expresarse de muchas maneras:

(t) = A cos0t + B sen0t (1.6a)(t) = C cos(0t + ) (1.6b)(t) = D sen(0t + ) (1.6c)

Observe que en todas las expresiones quedan dos constantes arbitrarias quetoman un valor determinado al ajustar la solucion general a las condiciones ini-ciales especicadas en cada caso.

d. Interpretacion fsica

La funcion (t) = A cos(0t + ) representa una oscilacion armonica de fre-cuencia angular 0 (llamada frecuencia natural del oscilador y expresada enrad/seg), amplitud A (constante no necesariamente positiva) y constante defase . El argumento de la funcion coseno es la fase total (dependiente deltiempo).

El modelo mas simple del pendulo conduce a una aproximacion a la realidadque, tomada literalmente, predice la existencia de un movimiento perpetuo yrigurosamente periodico con perodo T = 20 (en seg/ciclo) y frecuencia =

02

(en hertz o ciclos/seg).La ecuacion (1.4) puede expresarse en funcion de la coordenada horizontal

x usando la aproximacion x = l sen l, de la manera siguiente:

x(t) = glx(t)

Al escribir su solucion en la forma estandar

x(t) = A cos(0t + )

y derivar una y dos veces esta expresion, podemos ver que tambien la velocidady la aceleracion horizontales oscilan con frecuencia 0 pero con desfases de

2

y respecto a la coordenada de posicion.

x(t) = A0 sen(0t + ) = A0 cos(0t + + 2

)x(t) = A20 cos(0t + ) = A20 cos(0t + + )


1.1.2. El resorte de Hooke

k

0

m

x

Figura 1.2 Masa acoplada a resorte de Hooke.

Como en el ejemplo del pendulo simple, suponemos muy pequena la friccionde la supercie y del aire. Ignoramos la posible radiacion de ondas de presiony el tiempo nito de propagacion de las perturbaciones a lo largo del resorte.Ademas, suponemos que el resorte cumple la ley (emprica) de Hooke cuandosu deformacion no es muy grande, caso al cual nos restringiremos. Si elegimosel origen de la coordenada x en la posicion de equilibrio, la aplicacion de lasegunda ley de Newton a la masa m conduce inmediatamente a la ecuacion demovimiento

x(t) = km

x(t) (1.7)

La ecuacion (1.7) es, en su forma matematica, identica a la ecuacion de movi-miento del caso anterior, lo cual nos permite traducir de inmediato la soluciony la interpretacion fsica de esta. Basta sustituir:

xg

l k

m 20

1.1.3. Masa en el centro de cuerda sobre plano horizontal

Suponemos que la masa m (gura 1.3) se mueve transversalmente (a lo largodel eje y) e ignoramos posibles movimientos longitudinales. Si consideramos quela tension T de la cuerda permanece practicamente constante para pequenosdesplazamientos e ignoramos la friccion, obtenemos la siguiente ecuacion demovimiento a partir de la segunda ley de Newton:

Fy = my = 2T sen donde es el angulo que forma el segmento de cuerda con la horizontal, y tienepor convencion el mismo signo que la coordenada y.


0

l

y

Figura 1.3 Masa en cuerda sobre plano horizontal.

Para valores pequenos del angulo puede aproximarse: sen tan yl . Laecuacion de movimiento toma la forma

y(t) = 2Tml

y(t) = 20y(t) (1.8)

La solucion predice oscilaciones transversales de la masa m con una frecuencianatural

0 =

2Tml

1.1.4. Circuito LC sin resistencia

a. Construccion de un modelo

En primera aproximacion puede suponerse ignorable la perdida de energa elec-tromagnetica del circuito por causa de la resistencia nita de los conductores opor emision de ondas electromagneticas. Puede suponerse, ademas, que no seacumulan cargas en ningun punto del circuito, salvo sobre las placas del con-densador. Por simplicidad elegimos un circuito sin carga neta, de manera que lacarga Q sobre la placa superior sera igual en magnitud, pero de signo opuesto,a la carga sobre la placa inferior en cada instante.

En concordancia con lo anterior, y para respetar la conservacion de la cargaelectrica, suponemos que en cada instante uye en el circuito una corrienteunica, I(t) = dQdt , lo cual equivale a ignorar cualquier efecto de retardo debidoa la velocidad nita de propagacion de las perturbaciones.

Finalmente, consideramos que la energa magnetica esta concentrada en laregion de la inductancia L y la energa electrica, en la region entre las placasdel condensador C.


L

C

Q(t)I(t)

Figura 1.4 Circuito LC.

Estas aproximaciones seran razonables si, entre otras cosas, el cambio de cargas,corrientes y campos en el tiempo no es demasiado rapido y si las dimensionesdel circuito son pequenas en comparacion con cierta longitud caracterstica delorden de = 2c

LC (donde c es la velocidad de la luz en el vaco)2.

b. Ecuaciones de movimiento

Tomamos como punto de partida la ecuacion de conservacion de la energaelectromagnetica del circuito:

Uem =Q2

2C+

LI2

2= cte (1.9)

Por convencion, Q(t) es la carga sobre la placa superior del condensador, I(t)la corriente del circuito y su sentido positivo lo indica la direccion de la echaen la gura 1.4.

Al derivar la ecuacion (1.9) con respecto al tiempo, resulta:

QQ

C+ LII = 0 (1.10)

Pero, como I = Q, la ecuacion de movimiento del circuito toma la forma:

Q(t) = 1LC

Q(t) (1.11)

2 Si usted desea convencerse de que estas aproximaciones son buenas solo para el caso cuasi-estatico, vea en las Lectures de Feynman (tomo II, cap. 23) como se comportan condensadorese inductancias reales cuando los cambios ocurren a altas frecuencias.


La solucion a la ecuacion (1.11) puede escribirse en la forma estandar:

Q(t) = A cos(0t + )

El modelo conduce a la prediccion de oscilaciones armonicas de la carga confrecuencia natural

0 =

1

LC

La corriente I oscilara con un desfase de 2 respecto a la carga (es decir, cuandoQ es maxima, la corriente es cero, y viceversa). Al derivar la ecuacion (1.11)puede observarse que la corriente I(t) satisface una ecuacion de forma identicaa la que rige la carga Q(t).

1.1.5. Observaciones generales

Los cuatro sistemas considerados son prototipos de osciladores que compartenciertas caractersticas comunes:

Cada oscilador, como un todo, es un sistema fsico localizado en ciertaregion del espacio y caracterizado por algunos parametros que permanecenconstantes (masa, longitud de la cuerda, constante del resorte, tensionde la cuerda, inductancia, capacitancia). Estos parametros determinan lafrecuencia natural del oscilador.

Estos osciladores son sistemas con un grado de libertad porque basta unasola variable dinamica ((t), x(t), y(t), Q(t)) para describir completa-mente el comportamiento del sistema en el transcurso del tiempo.

Las variables dinamicas de todos estos sistemas satisfacen, en primeraaproximacion, una ecuacion de movimiento de la forma generica:

(t) + 20(t) = 0

con

xyQ

y 20

g

l

k

m

2Tml

1LC


1.1.6. Puntos de equilibrio de los osciladores

Sobre un cuerpo de masa m, suspendido de un resorte vertical, actua, ademasde la fuerza elastica proporcional al alargamiento algebraico del resorte, su pesomg. El efecto de esta fuerza constante es trasladar el punto de equilibrio unalongitud D tal que kD = mg.

m

l0O

D

y

a.

m

O

y

b.

Figura 1.5 Corrimiento del origen en resorte vertical.

Si elegimos el origen O en el extremo del resorte no deformado (gura 1.5a),la ecuacion de movimiento:

my = ky + mg (1.12)

sera lineal pero no homogenea (por contener un termino independiente tantode y como de sus derivadas). La solucion de (1.12) tiene la forma:

y(t) = A cos(0t + ) + D (1.13)

con

D =mg

k

Esto signica que la masa oscilara alrededor de su posicion de equilibrio y = D(si se le da algun desplazamiento o velocidad inicial). Pero basta elegir de unamanera razonable un nuevo origen O en el punto de equilibrio para obteneruna ecuacion de movimiento mas simple (gura 1.5b). En este caso, la fuerzaque actua sobre m en la posicion y es:

my = mg k(D + y) = ky (1.14)


En un circuito LC se presenta una situacion analoga cuando tiene una carganeta q0 = 0. En este caso, el punto de equilibrio corresponde a Q = q02 , estoes, cuando la carga se reparte por igual entre las dos placas y el campo electricose hace nulo. En la ecuacion diferencial aparecera un termino constante (comose plantea en uno de los ejercicios al nal del captulo). Para eliminarlo bastaredenir el origen de la carga, eligiendo como variable dinamica Q = Q q02 .

1.1.7. Conservacion de la energa

En este captulo hemos deducido las ecuaciones de movimiento de los oscila-dores mecanicos a partir de la ley fundamental de la mecanica expresada enla segunda ley de Newton. La ecuacion de movimiento del oscilador electro-magnetico, en cambio, se obtuvo a partir de la ley de conservacion de la energay no directamente a partir de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuacionesfundamentales del campo electromagnetico)3. Entre ambos metodos existe laconexion siguiente:

La ecuacion de movimiento de un oscilador armonico

(t) + 20(t) = 0 (1.15)

admite una integral primera que puede igualarse a la energa del sistema. Enefecto, al integrar (1.15) con respecto a ,

0 =

ddt

d + 20

d

0 =

d + 20

d

0 =12

[2 + 20

2]tt0

resulta:

2(t) + 20 2(t) = 2(t0) + 20

2(t0) = cte (1.16)

Se puede comprobar directamente que para cada uno de los sistemas analizadosesta constante es proporcional a la energa, y a la inversa: al derivar la ecuacionde conservacion de la energa se obtiene la ecuacion de movimiento.

3 Una deduccion basada en las ecuaciones de Maxwell se desarrolla en el apendice A.


1.2. Osciladores libres amortiguados

1.2.1. Recticacion del modelo, deduccion y solucion de nuevasecuaciones

La experiencia cotidiana basta para descubrir un rasgo falso en el primer modelode oscilador: una vez excitadas las oscilaciones por obra de algun agente externo(que luego deja libre el sistema), estas no persisten indenidamente. Con mayoro menor rapidez disminuye su amplitud y, nalmente, se extinguen.

Se hace necesario entonces renar el modelo para dar cuenta de estas ob-servaciones. Si la principal causa de amortiguamiento es la friccion (o un factorequiparable a ella), basta adicionar un termino en las ecuaciones de movimiento.

Para los sistemas mecanicos, la fuerza de friccion (viscosa) puede aproximar-se en ciertas condiciones (que aqu consideramos satisfechas) por la expresionsiguiente:

Ffr = bv (1.17)donde b es un parametro constante, y v es la velocidad de la masa m.

Para los sistemas electromagneticos, si suponemos que cumplen con la leyde Ohm, basta igualar la potencia absorbida (o incremento de la energa delcircuito en la unidad de tiempo) a I2R.

Con esta modicacion del modelo inicial, las ecuaciones de movimiento to-man la forma:

Pendulo simple:

(t) = gl(t) b

m(t) (1.18)

Resorte de Hooke:

x(t) = km

x(t) bm

x(t) (1.19)

Cuerda con masa:

y(t) = 2Tml

y(t) bm

y(t) (1.20)

Circuito RLC en serie:

Q(t) = 1LC

Q(t) RL

Q(t) (1.21)


Circuito RLC en paralelo4:

Q(t) = 1LC

Q(t) 1RC

Q(t) (1.22)

Observe que estas ecuaciones tienen identica forma matematica y pueden ex-presarse genericamente as:

(t) + 20 (t) + (t) = 0 (1.23)

De nuevo tenemos una ecuacion diferencial, ordinaria, lineal, homogenea, desegundo orden en el tiempo. A partir del Ansatz:

(t) = et

resultan dos soluciones con

= 2 (

2

)2 20

Al superponer estas dos soluciones con coecientes arbitrarios A y B, resulta:

(t) = Ae2 t e

(2

)2 20 t+ B e

2 t e(

2

)2 20 t(1.24)

Pueden presentarse tres casos:

Sobreamortiguamiento: si 2 > 0, el sistema no puede oscilar. Predominala friccion sobre la fuerza elastica o de recuperacion.

Amortiguamiento crtico: si 2 = 0, las dos soluciones se reducen a unasola con una unica constante arbitraria independiente. Con el metodo devariacion de parametros se obtiene la solucion general:

(t) = (C1 + C2 t)e2 t

En este caso el sistema no puede oscilar.

Amortiguamiento debil : si 2 < 0, el sistema puede oscilar libremente.En lo sucesivo supondremos que esta condicion es satisfecha por todoslos sistemas fsicos que estudiamos.

4 Vease el ejercicio 1.6 al nal del captulo.


Si escribimos: (2

)2 20 = i

20

(2

)2 i

podemos escribir as la solucion general para los osciladores amortiguados:

(t) = e2 t(Aeit + B eit) (1.25)

O de modo equivalente

(t) = C e2 t cos(t + ) (1.26)

Observe que una oscilacion amortiguada no es un movimiento armonico, nisiquiera periodico, pues no existe T tal que (t + T ) = (t) (gura 1.6).

2 4 6 8 10 12 14

-1

1 = 0

= 0,5 = 0,1

Amplit

ud

t

Figura 1.6 Oscilaciones amortiguadas.

1.2.2. Decaimiento de la energa y factor de calidad

Si, para tomar un caso concreto, analizamos el comportamiento predicho por laecuacion (1.26) para el sistema masa-resorte, observamos de inmediato que laamplitud de las oscilaciones decae exponencialmente.

Mas importante aun: la energa del sistema no se conserva sino que decaede una manera complicada. Si llevamos la solucion

x(t) = Ae2 t cos(t + )


a la expresion de la energa

E(t) = mx2

2+ k

x2

2resulta:

E(t) =12et

[m(

2

)2A2 cos2(t+)+mA2 cos(t+) sen(t+)

+ m2 A2 sen2(t + ) + kA2 cos2(t + )

](1.27)

Sin embargo, si suponemos que el amortiguamiento es sucientemente debil( 0), podemos ignorar los dos primeros terminos de (1.27) en comparacioncon los restantes y aproximar:

2 20 =k

m

Si esta aproximacion es valida, la energa del oscilador libre amortiguado decaeexponencialmente con el tiempo5:

E(t) 12

(k A2 e

t) (mx2(0)2

+ kx2(0)

2

)et

= E0 et

(1.28)

Observe que E(t) = E02 cuando et = 12 , esto es, cuando t = ln 2. De

aqu resulta que el tiempo necesario para que la energa del oscilador decaigaa la mitad de su valor inicial es igual a

=ln 2 1

se denomina vida media del oscilador. Solo un oscilador sin amortiguamientopuede tener una vida media innita. La calidad de un oscilador puede medirsepor el numero de oscilaciones que puede ejecutar durante su vida media, esdecir, antes de que su amplitud se reduzca apreciablemente. Este numero esigual a

T 0

2 0

= Q

Q se denomina factor de calidad del oscilador. (Observe que Q es un numeroadimensional).

5 Aqu se ilustra el poder de la aproximacion en fsica: para poder ver los aspectos relevanteso dominantes de un fenomeno es necesario prescindir en primera aproximacion de detalles masnos.


Ejercicios

1.1 a. A partir de la ecuacion de conservacion de la energa de un pendulosimple, halle su ecuacion de movimiento en coordenadas polares enaproximacion de pequenas oscilaciones.

b. Deduzca la ecuacion de movimiento en presencia de una fuerza tan-gencial viscosa.

1.2 Halle el perodo de oscilacion de un pendulo fsico de masa m y distanciah del centro de masa al punto de suspension, en aproximacion de angulospequenos.

1.3 a. Exprese la amplitud y la constante de fase de un oscilador armonicoen funcion de las condiciones iniciales x(0) y v(0).

b. Suponga que el sistema es sometido a una fuerza de amortiguamientode la forma x. Halle una expresion para A(t) y en funcion delas mismas condiciones iniciales de la parte a.

1.4 Utilizando la relacion = c (donde c es la velocidad de las ondas elec-tromagneticas en el vaco), senale un lmite para las dimensiones de uncircuito donde es valida la aproximacion cuasiestatica (que permite ignorarlos efectos de retardo):

a. Si 0 = 60Hzb. Si 0 = 1kHzc. Si 0 1MHz

1.5 A partir de la conservacion de la energa electromagnetica halle la ecua-cion de un circuito LC con carga neta q0. Redena el origen de la cargapara obtener una ecuacion homogenea, e interprete fsicamente sus solu-ciones. Compare este sistema con la masa atada a un resorte suspendidoverticalmente.

1.6 a. Deduzca la ecuacion (1.22) para el circuito RLC en paralelo. Expresela potencia instantanea disipada en funcion de R.

b. Compare el tiempo de vida de un oscilador RLC en paralelo conel del oscilador en serie. De que depende el factor de calidad Qen cada caso? Justique el resultado aparentemente paradojico delcircuito en paralelo.

1.7 Demuestre que para un circuito RLC en paralelo, la energa tambien decaeen forma aproximadamente exponencial si 0.


1.8 Calcule 0, , , Q, en circuitos RLC en serie y paralelo con los parame-tros siguientes:

a. L = 25mH R = 25 k C = 109 Fb. L = 10H R = 1 C = 6F

Analice la plausibilidad de sus resultados.

1.9 a. Integre las ecuaciones de movimiento (1.3) y (1.7), para el pendulosimple y el sistema masa-resorte, halle su energa total y muestreque es una constante en el tiempo.

b. Derivando la expresion de la energa del sistema amortiguado masaresorte demuestre, mediante la ecuacion de movimiento, que la po-tencia perdida tiene igual magnitud que el trabajo de la fuerza viscosapor unidad de tiempo.

1.10 Para el sistema masaresorte no amortiguado:

a. Elabore gracas comparativas de E (energa total), Epot (energapotencial) y Ecin (energa cinetica) en funcion de t.

b. Elabore gracas de E, Epot y Ecin en funcion de x.

c. Halle la velocidad x en funcion de x para hacer un diagrama enel espacio de fase del oscilador (x , x). Muestre que la velocidaddescribe una elipse en el espacio de fase, indique en que sentidola describe y exprese los semiejes a y b en funcion de la energa E.Muestre que, si existe amortiguamiento, la curva describe una espiralque converge hacia el origen.

1.11 A partir de la solucion de la ecuacion de movimiento, muestre que laenerga total de un oscilador amortiguado disminuye durante el tiempo deuna oscilacion completa T = 2 a un valor

E(t0 + T ) = E0 eT

(E0 es el valor de la energa en t0). Como este resultado es valido paracualquier t0, usted puede elegir t0 = 0 y escribir:

E(nT ) = E0 enT

Compare la graca exacta de E(t) (ecuacion (1.27)) con la graca apro-ximada de decaimiento exponencial.

Captulo 2

El oscilador simple amortiguadoy forzado

En este captulo se analiza la respuesta de osciladores con un grado de libertada una fuerza armonica.

La forma de la solucion general lleva a concluir que los sistemas amorti-guados tienden a olvidar las condiciones iniciales.

El estudio de la resonancia y el analisis de las curvas de absorcion depotencia constituyen el nucleo del captulo.

Se muestra que el factor de calidad esta relacionado con el ancho dela curva de resonancia y con la eciencia del oscilador para almacenarenerga.

Un teorema de superposicion lineal permite generalizar los resultados afuerzas que dependen del tiempo de una manera arbitraria.

Se usa un modelo clasico para comprender de manera aproximada el com-portamiento de dielectricos lineales bajo la accion de la radiacion electro-magnetica.

Algunos ejemplos ilustran la conexion entre modelos teoricos y aplicacio-nes tecnicas.

2.1. Ecuaciones de movimiento

Para los sistemas mecanicos considerados en el captulo 1, la fuerza externaF (t) puede incorporarse de inmediato en las ecuaciones de movimiento.

19

20 CAPITULO 2. EL OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO Y FORZADO

Pendulo forzado:

(t) = gl(t) b

m(t) +

F(t)ml

(2.1)

Sistema forzado masa-resorte:

x(t) = km

x(t) bm

x(t) +Fx(t)m

(2.2)

Sistema forzado masa-cuerda:

y(t) = 2Tml

y(t) bm

y(t) +Fy(t)m

(2.3)

Al nal del captulo mostraremos una forma simple e indirecta de forzar estossistemas mecanicos.

Sistema RLC forzado

El circuito RLC en serie puede forzarse mediante una fuente de voltaje V (t),como se indica en la gura 2.1.

L

R

C

Q(t)I(t)V (t)

2

1

Figura 2.1 Circuito RLC forzado armonicamente.

La ecuacion de movimiento de este sistema puede hallarse igualando el cambiode energa electromagnetica del circuito por unidad de tiempo a la energadisipada en la resistencia (I2R) mas la potencia suministrada por la fuente(IV (t)):

dEemdt

= I2R + IV (t) (2.4)


Como:

Eem =Q2

2C+

I

2LI2 I = Q

resulta:

Q(t) +R

LQ(t) +

1LC

Q(t) =V (t)L

(2.5)

Por convencion, V (t) se toma como positivo cuando tiende a producir en elcircuito exterior a la fuente una corriente en el sentido que se ha elegido comopositivo. Observe que cuando V (t) e I(t) son positivos, la fuente realiza trabajopositivo, por cuanto las cargas en su interior van de un punto de potencial menor(1) a uno de potencial mayor (2) (gura 2.1).

2.2. Solucion de las ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones halladas en la seccion anterior tienen la forma generica:

(t) + (t) + 20(t) = G(t) (2.6)

Por ahora nos restringiremos al caso en que la fuerza externa es puramentearmonica1, de la forma F (t) = F0 cos(f t ). En este caso, el termino a laderecha de la ecuacion (2.6) se expresa as:

G(t) = G0 cos(f t ) (2.7)con G0 = F0m para los sistemas mecanicos, y expresiones similares para loselectromagneticos.

Desde el punto de vista matematico, (2.6) es una ecuacion diferencial ordi-naria, lineal, de segundo orden respecto al tiempo y no homogenea. Un teoremaaplicable a ecuaciones diferenciales de este tipo permite construir la soluciongeneral como la suma de una solucion particular de (2.6) (sin ninguna constan-te arbitraria) y la solucion general de la correspondiente ecuacion homogenea(que se obtiene igualando a cero el termino de la derecha de (2.6)). Esta partede la solucion general contiene las dos constantes arbitrarias ajustables a lascondiciones iniciales de cada caso.

1 Esta restriccion no es esencial. Con la ayuda del principio de superposicion de fuentes(seccion 2.4) y del analisis de Fourier (captulo 8), que permite descomponer casi cualquierfuncion F (t) en componentes armonicas, podemos obtener la solucion para un G(t) arbitrariosuperponiendo linealmente las respuestas de cada una de sus componentes armonicas.


En consecuencia, podemos escribir la solucion general de (2.6) as:

(t) = h(t) + p(t) (2.8)

La ecuacion homogenea coincide con la del oscilador simple amortiguado, yaresuelta en el captulo anterior. Con base en estos resultados podemos expresarh(t) de la manera siguiente:

h(t) = Ae2 t cos(t + ) (2.9)

con

=

20 (2

)2Para hallar la solucion particular p(t) usamos como Ansatz una funcion deforma similar al termino no homogeneo de la ecuacion (2.6):

p(t) = Cf (f ) cos(f t f (f )

)(2.10)

Con la notacion queremos subrayar que Cf y f no son constantes arbitrarias,sino que estan completamente determinadas por los parametros del sistema ypor la frecuencia de la fuerza externa.

Dado que p(t) debe ser solucion de (2.6):

p(t) + p(t) + 20p(t) = G0 cos(f t ) (2.11)

podemos simplicar los calculos usando como auxiliar la variable compleja:

Zp(t) = Cfei(f t f )

Es obvio que si logramos hallar Cf y f tales que Zp(t) satisfaga:

Zp(t) + Zp(t) + 20Zp(t) = G0ei(f t )

, (2.12)

la parte real de Zp(t), que coincide con p(t), satisfara (2.11).

Llevando Zp(t) en forma explcita a (2.12), resulta:( 2f + 20 + if)Cfei(f t f ) = G0ei(f t )


lo cual implica:

Cf(20 2f + if

)= G0e

if(2.13)

Al igualar por separado la parte real y la parte imaginaria de (2.13), resulta:

Cf(20 2f ) = G0 cosf

Cf f = G0 senf

entonces:

tanf =f(

20 2f) (2.14)

C2f =G20(

20 2f)2 + (f)2 (2.15)

Sin perder generalidad podemos elegir Cf de igual signo que G0, lo cual implicaelegir senf 0, es decir:

0 f

Las ecuaciones (2.14) y (2.15) pueden representarse gracamente con ayuda deltriangulo de la gura 2.2.

f

f

0f 20 2f

G0Cf

Figura 2.2 Representacion geometrica de (2.14) y (2.15).

La solucion particular puede expresarse as:

p(t) = Cf cos(f t f

)= Cf cosf cos

(f t

)+ Cf senf sen

(f t

)


De acuerdo con la gura 2.2 y la ecuacion (2.15):

p(t) =C2fG0

0f cos(f t

)+

C2fG0

f sen(f t

)=

G00f20f +

(f

)2 cos (f t )+ G0f20f + (f)2 sen(f t

)Entonces, podemos escribir:

p(t) = Ael cos(f t

)+ Aab sen

(f t

)(2.16)

Ael =G00f

20f +(f

)2 Aab = G0f20f + (f)2 (2.17)(0f 20 2f )

Hemos identicado los coecientes de la solucion particular con una amplitudelastica (Ael) y una amplitud absorbente (Aab) por razones que se veran conclaridad al analizar fsicamente el comportamiento del oscilador forzado. Obser-ve que la parte elastica esta en fase (f < 0) o en antifase (f > 0) conla fuerza externa, en tanto que la parte absorbente esta desfasada en 2 , o encuadratura con la fuerza, como suele decirse.

Finalmente, podemos escribir la solucion general de la manera siguiente:

(t) = Ae2 t cos(t + )

+ Ael cos(f t

)+ Aab sen

(f t

)(2.18)

2.3. Analisis fsico de la solucion

2.3.1. Evolucion del estado transitorio al estado estacionario

El movimiento del oscilador, descrito en la ecuacion (2.18), tiene una formacomplicada. Sin embargo, la parte homogenea de la solucion general que con-tiene toda la informacion sobre las condiciones iniciales en las constantes A y ,decae exponencialmente con una rapidez que depende del parametro .

Despues de transcurrido un tiempo t 1 , la amplitud de esta oscilacionse ha amortiguado de modo considerable y solo persiste la contribucion p(t);


por ello puede decirse que el oscilador ha olvidado sus condiciones iniciales.Esto signica que dos osciladores identicos sometidos a fuerzas identicas, peroexcitados o preparados inicialmente en forma diferente, llegaran a un estadoestacionario identico en el cual ambos oscilaran con la frecuencia de la fuerzaexterna, una amplitud constante Cf y una constante de fase f .

Con un ejemplo podemos ilustrar como pasa un oscilador del estado transi-torio (t ) al estado estacionario (t ): un pendulo inicialmente en reposoes sometido a una fuerza armonica F0 cos(f t) con frecuencia f = 0. En estecaso 0f = 0, = 0 y la solucion general de la ecuacion de movimiento tomala forma:

x(t) = Ae2 t(A1 sen(t) + A2 cos(t))+ Aab sen(0t)

donde Aab = F0m0 .

Por condiciones iniciales:

x(0) = 0 = A2

x(0) = 0 = A1 + 0Aab

Si el amortiguamiento es debil (0 2 ), podemos aproximar = 0, con locual A1 = Aab y la solucion unica toma la forma:

x(t) = Aab sen(0t)

(1 e

2 t)

Observe que para t 1 la solucion x(t) tiende a una oscilacion puramentearmonica, de la forma Aab sen(0t) (gura 2.3).

Aab

Tiempo

x(t)

Figura 2.3 Evolucion del estado transitorio al estacionario.


En este mismo caso es interesante ver lo que ocurre cuando el amortigua-miento tiende a cero. Al hacer una expansion en serie de Taylor de la exponencialantes de tomar el lmite, resulta:

x(t) =F0

2m0sen(0t)

(1 1 + 1

2t 1

4(t)2 + )

Entonces:

x(t) F02m0

t sen(0t)

Esta solucion coincide con la que se habra obtenido directamente a partir de laecuacion para el oscilador forzado no amortiguado con el metodo de los coe-cientes indeterminados. Observe que la solucion predice un crecimiento ilimitadode la amplitud de las oscilaciones, como se muestra en la gura 2.4. Pero noolvide que nuestro modelo lineal solo es valido para pequenas oscilaciones y que,probablemente, el sistema acabara por romperse por efectos de resonancia.

Tiempo

x(t)

Figura 2.4 Crecimiento ilimitado de la amplitud.

En general, cuando = 0, no tiene sentido distinguir entre estados estacionarioy transitorio. Ademas, cuando f coincide con 0, la amplitud no tiende ins-tantaneamente a innito. La solucion correcta predice un crecimiento lineal dela amplitud en el tiempo, tal como el que resulto en el caso particular que anali-zamos. Si desde el comienzo suponemos 0f = 0 y = 0, el Ansatz (2.10)conduce a una indeterminacion en Cf , cosf y senf .

2.3.2. Resonancia

Despues de un tiempo considerable, la fuente externa impone al oscilador sufrecuencia f . Pero la amplitud de la respuesta estacionaria depende crucial-mente de la relacion entre esta frecuencia externa y la frecuencia natural del


oscilador. Las gracas 2.5, 2.6 y 2.7 muestran como dependen Cf , Ael, Aab yf de f . De aqu puede concluirse:

Cf

Cf max

m 0 f

Figura 2.5 Amplitud en funcion de la frecuencia de la fuente.

G0f

AelAab

0f

Figura 2.6 Amplitud elastica y absorbente en funcion de la frecuencia de la fuente.

f0

f (f )

/2

0

Figura 2.7 Constante de fase en funcion de la frecuencia de la fuente.


La amplitud total de la respuesta estacionaria es muy pequena para fre-cuencias bastante alejadas de la frecuencia natural 0 y tiene un maximoen f = m, que corresponde al extremo de la funcion Cf (f ) y escercano a 0.

Para frecuencias f muy alejadas de 0, predomina la contribucion elasti-ca y puede ignorarse la absorbente. La respuesta elastica esta en fase conla fuerza externa (para f < 0) o en antifase (para f > 0).

Para frecuencias cercanas a 0, predomina la contribucion absorbente ypuede ignorarse la elastica.

Exactamente en la resonancia (cuando f = 0), la respuesta del osciladorpresenta los rasgos caractersticos siguientes:

Aab es maxima

Ael = 0

f =

2

p(t) =G00

sen(ot

)Respuesta en cuadratura con la fuerza

p(t) =G0

cos(ot

)Velocidad en fase con la fuerza

2.3.3. Absorcion de potencia, curva de resonancia

En el estado estacionario, la energa media del oscilador forzado permanececonstante a pesar de las perdidas por friccion o resistencia. Esto signica quedurante cada ciclo el oscilador absorbe de la fuerza externa la energa necesariapara compensar estas perdidas.

Para corroborar esto calculemos Pf (t), el trabajo realizado en la unidadde tiempo por el agente externo sobre un oscilador mecanico con un grado delibertad x.

Pf (t) = F drdt

= F0 cos(f t

)x(t)

En el estado estacionario:

Pf (t) =F0 cos(f t

)xp(t)

Pf (t) = F0fAel cos(f t

)sen

(f t

)+ F0fAab cos2

(f t

)


La potencia media (energa absorbida por unidad de tiempo promediada duranteun ciclo) es una cantidad de mayor interes fsico que la potencia instantanea:

Pf (t) =1T

T0

Pf (t) dt =F0 f Aab

2

Entonces:

Pf (t) =F 202m

22f(20f +

22f) (2.19)

Observe que la contribucion de la respuesta elastica a la absorcion de poten-cia media es nula. Solo la parte de la respuesta estacionaria que corresponde auna velocidad en fase con la fuerza externa, contribuye a la absorcion de po-tencia media. Esto explica la denominacion de los coecientes Ael y Aab en laecuacion (2.16).

F 202m

F 204m

f

Pf (f )

0

f

Figura 2.8 Curva de resonancia.

Al variar lentamente la frecuencia de la fuerza externa podemos obtener lacurva experimental de resonancia descrita segun el modelo teorico por la ecua-cion (2.19) (gura 2.8).

En el maximo de la funcion Pf (f ) aparece el rasgo fundamental de unaresonancia:

La potencia absorbida es maxima cuando f coincide con la frecuencia naturaldel oscilador.

Mediante el analisis de una curva como esta es posible obtener informacionsobre los parametros del sistema. Si el amortiguamiento es debil (0 2 ),


el pico de resonancia sera estrecho y aproximadamente simetrico alrededor delmaximo. En este caso es suciente analizar la curva de valores de f cercanosa 0.

Podemos entonces hacer la aproximacion siguiente:

0f 20 2f =(0 f

)(0 + f

) = (0 f)(2f)Con esta aproximacion, la potencia media como funcion de la frecuencia de lafuerza externa toma una forma particularmente simple:

Pf (f ) =F 202m

(2

)2(0f

)2+(2

)2 (2.20)La funcion (2.20) es desde el punto de vista matematico una curva lorentziana2,simetrica alrededor del maximo en f = 0.

Parametros tpicos de una curva de resonancia son: centro (0), ancho a la

mitad de la altura (f ) y altura de la curva(Pf (f )max =

F 202m

).

Para obtener el semiancho de la curva de resonancia basta hallar el valor fpara el cual la potencia media disminuye a la mitad de su valor maximo:

Pf

(

f12

)=

F 204m

=F 202m

(2

)2(0 f1/2

)2+(2

)2Esto implica: (

2

)2=(0

f12

)2entonces: 0

f12

= 2

Si denominamos f el ancho total de la curva de resonancia a la mitad de laaltura, obtenemos:

f =

2 En fsica atomica una curva lorentziana describe procesos de absorcion de energa y seconoce como formula de Breit-Wigner.


Observe que el pico de la curva de absorcion de potencia media tiene una alturaF 20

2m que aumenta cuando su ancho disminuye. Esto signica que un osciladorcon una curva de absorcion estrecha, y por tanto alta, puede absorber energade modo apreciable solo en un pequeno rango f de frecuencias alrededorde su frecuencia natural. Si miramos el proceso de absorcion como un ujo deenerga que sale de la fuente externa y al pasar por el oscilador se dispersa o setransforma en calor, podemos decir que energa incidente con frecuencia fueradel rango f practicamente pasa de largo sin disminuir su intensidad.

As, el oscilador debilmente amortiguado se comporta como un ltro defrecuencias cuya selectividad esta determinada por el parametro .

Si el sistema amortiguado oscilara libremente (sin fuerza externa), su vidamedia sera igual a = 1 . De aqu resulta una relacion fundamental entreel ancho de la curva de resonancia del oscilador y el tiempo de vida mediadel oscilador libre (relacion que nos permite predecir el ancho de la curva deresonancia a partir de una curva de decaimiento, y viceversa):

f = 1 (2.21)

A pesar de su aspecto simple, esta relacion, multiplicada por la constante dePlanck, se reencontrara en la mecanica cuantica jugando un papel esencial co-mo relacion de incertidumbre tiempoenerga. En el captulo 8 encontrara masprecisiones sobre esta correspondencia.

2.3.4. Factor de calidad de un oscilador forzado

En el captulo 1 se denio el factor de calidad Q = 0 = 0 como medidadel numero de oscilaciones que ejecuta un oscilador debilmente amortiguadodurante su vida media. Ahora vamos a mostrar que si el oscilador es forzadoarmonicamente, el factor de calidad tambien mide la eciencia del oscilador paraalmacenar energa.

Como una medida de esta eciencia, comparemos la energa almacenada enel oscilador debilmente amortiguado y forzado con la energa absorbida de lafuente externa durante un ciclo para sustentar la oscilacion estacionaria.

En el caso general, el trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuer-za friccional (negativo) no lo compensa exactamente la potencia instantanea(uctuante) de la fuerza externa. Solo los promedios durante cada ciclo secompensan. Por ello la energa del oscilador no permanece constante sino enpromedio. Pero en el caso f = 0, la fase f es igual a 2 , la cancelaciondel trabajo de la fuerza externa y de la fuerza viscosa es exacta en cada ins-tante y, por tanto, la energa almacenada en el oscilador resonante permanecerigurosamente constante. (Para demostrarlo desarrolle el ejercicio 2.7).


Como la absorcion de energa solo es apreciable en una pequena region defrecuencias alrededor de 0, podemos evaluar la fraccion:

Energa almacenada en el oscilador

Energa absorbida en un ciclo

a la frecuencia de resonancia f = 0.Tomemos el caso de un oscilador mecanico como el sistema masaresorte.

La energa total es igual a la energa potencial del oscilador en un punto deretorno (x(t) = 0). De acuerdo con (2.10) y (2.15):

Energa almacenada = kC2f2

= kF 20

2m2220=

F 202m2

pero segun (2.19):

Energa absorbida por ciclo = PfT =(

20

)F 202m

De aqu resulta:

Energa almacenada en el oscilador

Energa absorbida en un ciclo=

02

En consecuencia:

0

= Q = 2Energa almacenada

Energa absorbida en un ciclo(2.22)

Esta eciencia para almacenar energa por lo general es una caracterstica desea-ble desde el punto de vista tecnico, lo cual explica la denominacion de factorde calidad. En circuitos de radio a base de condensadores e inductancias con-vencionales Q es del orden de 102 en el rango de frecuencias de megahertz(106 Hz). Cavidades de microondas absorben energa muy selectivamente y al-canzan valores de Q del orden de 105. Atomos y nucleos se comportan comoosciladores con varias frecuencias naturales caractersticas, y sus factores decalidad en resonancia son del orden de 107 y 10121015, respectivamente.

Las curvas de resonancia, con los rasgos de nuestro modelo clasico debida-mente reinterpretados, juegan un papel esencial en el estudio de procesos deabsorcion de energa (no solo electromagnetica) por atomos, nucleos y partcu-las elementales. Basta hojear una revista cientca para convencerse de queel analisis de curvas de resonancia es uno de los metodos fundamentales paraexplorar la estructura de sistemas cuanticos3.

3 El eje de las frecuencias estara comunmente traducido a energas, y el eje de potencia, aintensidades, probabilidades o secciones ecaces.


2.4. Principio de superposicion de fuentes

En algunos de los analisis anteriores hemos supuesto implcitamente el llamadoprincipio de superposicion de fuentes que es, en realidad, un teorema validopara ecuaciones lineales no homogeneas.

Puede mostrarse directamente que si x1(t) es una solucion de una ecuaciondiferencial lineal con termino no homogeneo (o fuente) igual a F1(t) y x2(t) essolucion de una ecuacion diferencial identica, excepto el termino no homogeneoigual a F2(t), la superposicion x1(t)+x2(t) es solucion de la ecuacion diferencialcon fuente F1(t) + F2(t).

En fsica esto se traduce diciendo que cada fuente produce su efecto inde-pendientemente de la otra, como si actuase sola.

Este hecho puede generalizarse en el teorema siguiente:

Sea x(t) solucion de una ecuacion diferencial lineal con termino no homogeneoF (t). Si F (t) puede expresarse como una suma:

F (t) =n

Fn(t) (2.23)

entonces x(t) tambien puede escribirse como suma:

x(t) =n

xn(t) (2.24)

donde xn(t) es solucion de la ecuacion con el termino no homogeneo Fn(t).

En muchos casos de interes fsico, la fuerza externa sobre el oscilador puededesarrollarse como suma (nita o innita) de fuerzas armonicas en la forma:

F (t) =n

F0n cos(fnt + n

)(2.25)

En consecuencia, la solucion general puede expresarse como suma de la solucionde la ecuacion homogenea y una solucion particular de la forma:

xp(t) =n

Cfn cos(fnt + n fn

)(2.26)


donde los coecientes Cfn y las constantes fn se han denido como:

Cfn(fn) =F0

m

(20 2fn

)2+(fn

)2 (2.27)

tanfn =fn(

20 2fn) (2.28)

El teorema puede extenderse al caso en que la superposicion deba expresarse enla forma de integral y no de suma sobre frecuencias discretas. En el captulo 8se estudiara en detalle la tecnica de descomposicion de casi cualquier funcionf(t) en sus componentes armonicos mediante el analisis de Fourier.

Observemos que el teorema formulado en la seccion 2.2, que permite ex-presar la solucion de una ecuacion diferencial lineal como suma de la solucionde la ecuacion homogenea (dependiente de condiciones iniciales) y una solu-cion particular de la ecuacion con fuente externa, puede incorporarse como casoparticular de este teorema de superposicion de fuentes. Para ello basta agregaren la sumatoria (2.25) un termino F0(t) = 0 e identicar x0(t) con la solucionde la ecuacion homogenea. Esto evita la impresion de que se trata de nocionesradicalmente diferentes de superposicion lineal.

Al analizar la forma de la solucion, vemos que los coecientes Cfn (n = 0)solo son apreciables en un rango estrecho alrededor de la frecuencia natural deloscilador. Desde el punto de vista fsico esto implica que, si sobre un osciladordebilmente amortiguado actua una fuerza que vara arbitrariamente con el tiem-po, este respondera de modo apreciable solo a aquella componente armonicacuya frecuencia coincide con su frecuencia natural.

Nuestras sensaciones suministran un ejemplo inmediato de esta selectividadfrente a los estmulos externos: el odo no es sensible a ondas sonoras de fre-cuencia demasiado elevada o demasiado baja, y la retina no responde de modoapreciable sino a la radiacion electromagnetica en un rango muy pequeno defrecuencias, llamado rango visible, situado entre el infrarrojo y el ultravioleta,invisibles para el ojo humano.

Un receptor de radio es un prototipo de selectividad creado por la tecnica.Al receptor llegan simultaneamente las ondas electromagneticas emitidas portodas las estaciones de radio. Si queremos seleccionar o sintonizar una estacionparticular, debemos ajustar los parametros internos de nuestro sistema (porejemplo, la inductancia o la capacitancia de un aparato de respuesta lineal) detal modo que su frecuencia natural coincida con la frecuencia caracterstica dela emisora elegida. En este caso, lo que hacemos es combinar el principio desuperposicion lineal con el fenomeno de resonancia.


No obstante la amplsima gama de aplicaciones, es conveniente no olvidarlas limitaciones de una aproximacion lineal. Efectos complejos y a veces sorpren-dentes de no linealidad estan presentes en la naturaleza y en la tecnica, y sonobjeto de intenso estudio y aplicaciones crecientes. (Veanse algunos efectos nolineales en el apendice B).

2.5. Modelo clasico de interaccion radiacion-atomo

Un modelo sencillo de osciladores forzados permite describir cualitativamentealgunos aspectos de la interaccion de una onda electromagnetica con un materialdielectrico e isotropico.

Suponemos que un electron ligado a un atomo o molecula del materialresponde al campo electrico E de la onda electromagnetica incidente como unoscilador lineal forzado.

El campo electrico de una onda armonica vara sinusoidalmente, tanto en eltiempo como en el espacio. Sin embargo, para luz visible y aun para ultravioletacercano (con longitudes de onda del orden de 5 105 cm y 105 cm, respec-tivamente), es razonable suponer que el campo no vara de manera apreciableen la pequena region ( 108 cm) donde oscila el electron.

De este modo, en presencia de la onda armonica, el electron experimentauna fuerza electrica de la forma4:

F = qE(t) = qE0 cos(f t)

Por simplicidad ignoramos una constante de fase que puede ser diferente paradiversos atomos del material, pero que en el caso de un material amorfo comoel vidrio es irrelevante para el resultado nal.

En este modelo clasico, la ecuacion de movimiento del electron a lo largodel eje paralelo al campo electrico, que hacemos coincidir con el eje x, toma laforma:

x(t) = km

x(t) x(t) + qm

E0 cos(f t

)(2.29)

donde la coordenada x se mide con respecto al nucleo como origen.La fuerza recuperadora kx es una especie de proyeccion sobre el eje x

de la fuerza centrpeta que, en un modelo clasico, mantiene al electron girandoalrededor del nucleo. La fuerza friccional da cuenta de la capacidad del atomo

4 La fuerza debida al campo magnetico B de la onda es pequena, comparada con la fuerzaelectrica, para electrones que no tienen velocidades comparables con la de la luz, y puedeignorarse en una aproximacion no relativista.


para absorber energa del campo externo; esta energa puede ser reemitida (dis-persada) por el atomo en todas las direcciones o cedida en colisiones a atomosvecinos.

Con ayuda de este modelo podemos calcular el momento dipolar electri-co inducido por el campo externo. Un electron tpico con carga q en estadoestacionario contribuira al momento dipolar total con un dipolo inducido:

px(t) = q xp(t) = q Ael cos(f t

)+ q Aab sen

(f t

)Si la frecuencia de la onda incidente coincide con la frecuencia de resonancia0, habra apreciable absorcion de energa, lo cual implica que el material sehace opaco para esta radiacion electromagnetica. As el vidrio es opaco parala radiacion ultravioleta (con 1016 Hz), lo cual indica la presencia de unabanda de resonancia en este rango5.

Como el vidrio es transparente para la luz visible, con frecuencias que vandesde 4,2 1014 Hz (rojo) hasta 7,5 1014 Hz (azul), debemos concluir queen este rango de frecuencias predomina la respuesta elastica. Este efecto elasti-co, que no conduce a absorcion de energa, se maniesta en una polarizacionmacroscopica del material.

Si en la unidad de volumen hay N electrones que contribuyen a este efecto(y responden independientemente al campo), la polarizacion (o momento dedipolo electrico por unidad de volumen) inducida por la radiacion sera:

Px(t) = N qAel cos(f t

)En un material lineal e isotropico P es paralelo a E y la permitividad electrica esta dada por:

= 0 +P

E

Con base en nuestro modelo podemos escribir:

= 0 +e2N

m

(20 2f

)[(20 2f

)2 + (f)2] (2.30)La graca de (f ) para un atomo con una sola resonancia (gura 2.9) permitereproducir cualitativamente el comportamiento de la permitividad electrica pa-ra un material amorfo como el vidrio. (Hemos adicionado la graca punteadapara separar la region donde predomina la absorcion sobre el efecto elastico depolarizacion).

5 En realidad, un atomo no tiene una sino muchas frecuencias de resonancia, y cada unade ellas contribuye a la respuesta total.


n2 0 (f )

Rangovisible

1

0f

Figura 2.9 Comportamiento de n2 en funcion de la frecuencia de la fuente.

El ndice de refraccion de un medio esta denido como el cociente de la velocidadde la luz en el vaco (c) y en el medio considerado (v). Es decir, n mide el gradode retardo de la luz en el medio con respecto al vaco:

n cv

Para un dielectrico ordinario n es aproximadamente igual a

/0 (ecuacion 7.44).De la gura 2.9 podemos extraer algunas conclusiones:

En el rango visible n aumenta con la frecuencia del campo externo. Estosignica que el vidrio presenta un ndice de refraccion mayor para la luz azul quepara la roja; lo cual, a su vez, conduce al fenomeno familiar de la dispersion de laluz blanca por un prisma. En el rango ultravioleta lejano predomina la absorcionsobre el efecto elastico de polarizacion, y para frecuencias mucho mayores quelas del rango absorbente (por ejemplo, para rayos X) el modelo predice un ndicede refraccion menor que 1.

2.6. Fuerza externa aplicada a traves de un soportemovil

2.6.1. Resorte horizontal

Cuando se somete a un movimiento oscilatorio el punto de suspension de unpendulo o de un resorte vertical, o el soporte de una varilla o resorte horizontal,la masa m experimenta su efecto como si se tratase de una fuerza directamenteaplicada a ella.


En el sistema horizontal masaresorte (gura 2.10), si elegimos el origen enel punto alrededor del cual oscila el soporte, podemos expresar la posicion de lamasa en cualquier tiempo, as:

x(t) = (t) + l0 + x(t) (2.31)

donde l0 es la longitud natural del resorte, x mide su deformacion o alarga-

miento algebraico y (t) describe el movimiento del soporte.

0

Soporte movil

k

0

m

x(t)l0

x

Figura 2.10 Sistema masa-resorte sujeto a un soporte movil.

Como nuestro sistema de referencia es inercial, y sobre la masa m no actua fuer-za distinta a la del resorte (si ignoramos la friccion), la ecuacion de movimientotoma la forma:

mx(t) = kx(t) (2.32)

Al tomar la segunda derivada en (2.31) y sustituir en (2.32), resulta:

mx(t) = kx(t)m(t) (2.33)

Si suponemos que la oscilacion del punto de soporte es puramente armonica,obtenemos una ecuacion de oscilador forzado, identica en forma a (2.2), conm(t) en el papel fuerza externa. Al resolver esta ecuacion (con un termi-no adicional de friccion) podemos hallar, a partir de la respuesta estacionaria,la aceleracion del soporte respecto a un sistema inercial. Por esta razon, undispositivo como este puede funcionar como acelerometro.

Observe que la aceleracion de m respecto al sistema inercial es x(t) y nox(t), que es la aceleracion medida por un observador no inercial en reposo conrespecto al soporte.


Si queremos usar cantidades medidas en el sistema inercial para expresarla ecuacion de movimiento, sustituimos x(t) de (2.31) en (2.32), con lo cualobtenemos:

mx(t) = k(x(t) l0)+ k(t)Para eliminar el termino constante, al lado derecho de esta ecuacion hacemosun corrimiento del origen del eje x, con lo cual resulta una ecuacion de osciladorforzado con fuerza externa igual a k(t):

x(t) +k

mx(t) =

k

m(t) (2.34)

2.6.2. Sismografo

Un sismografo es un aparato disenado para detectar y registrar movimientos dela corteza terrestre que pueden ser debidos, entre otras causas, a terremotos oexplosiones nucleares subterraneas.

Para medir los desplazamientos verticales puede usarse un dispositivo comoel indicado en la gura 2.11.

0

+ l0

+ l0 +mgk

y

0

mgk

y

Soportemovil

0R

yR m

Figura 2.11 Sismografo vertical.

Designamos por y el desplazamiento vertical de la masa m medido a partir delpunto alrededor del cual oscila el soporte del resorte que esta rgidamente unido


a la tierra. (Este origen de la coordenada y se supone jo en un sistema inercialcon respecto al cual la tierra vibra).

Sobre m actuan: la fuerza de la gravedad mg, la fuerza recuperadora ky,donde y = y l0 (t) es el alargamiento algebraico del resorte, y una fuerzade friccion que es proporcional a la velocidad relativa de la masa y el medio(por ejemplo el aire). Si este se mueve con la supercie terrestre, entonces lafuerza puede expresarse como: b(y ) = by. De este modo, en el sistemainercial la ecuacion de movimiento toma la forma:

my(t) = ky(t) by(t) + mg= k

[y(t) l0

]+ k(t) b

[y(t) (t)

]+ mg

Al trasladar el origen del eje y por una cantidad constante (l0 + mgk ), podemosescribir la ecuacion anterior en funcion de la nueva variable Y = y l0 mgk ,as:

Y (t) +k

mY (t) + Y (t) =

k

m(t) + (t) (2.35)

Si suponemos que el movimiento de la tierra es aproximadamente una oscila-cion armonica de la forma (t) = A0 cos(f t), tendremos al lado derecho unasuperposicion de la forma:

A0k

mcos

(f t

)A0f sen (f t)Sin embargo, si estamos interesados en registrar el movimiento de la masa mrespecto a un eje jo en el sistema no inercial tierrasoporte, es mas convenienteexpresar la ecuacion anterior en funcion del desplazamiento relativo yR = Y .

Al sustituir Y = yR + en la ecuacion (2.35) obtenemos:

yR(t) +k

myR(t) + yR(t) = (t) = A02f cos

(f t

)(2.36)

Esta es la ecuacion de un sistema amortiguado y sometido a una fuerza armonicamA0

2f cos(f t).

Si usted quiere ver como se logra en nuestro sistema no inercial un reejodirecto del movimiento de la tierra en el movimiento de la masa m, desarrolley analice la respuesta del ejercicio 2.6.


Ejercicios

2.1 Cuando hay un termino de friccion en la ecuacion de movimiento, es massimple usar variable compleja y al nal tomar la parte real. Para hallarla solucion particular de la ecuacion de movimiento del oscilador forzado(2.6) con termino no homogeneo de la forma (2.7), resuelva primero laecuacion con p compleja y termino de fuente

G(t) = G0ei(f t )

(con G0 real). Suponga un Ansatz de la forma siguiente:

p = A(f )ei(f t )

con amplitud A(f ) compleja

A(f ) = Aeif

Muestre que:

p =G0(20 2f

)ei(f t )(

20 2f)2 + (f)2 + G0 f e

i(f t 2 )(20 2f

)2 + (f)2Verique que la parte real de esta expresion coincide con (2.16) y (2.17)y que tanf y Cf = A concuerdan con (2.14) y (2.15).

2.2 Halle la frecuencia externa para la cual la amplitud de la respuesta esta-cionaria de un oscilador forzado es maxima.

2.3 Halle la ecuacion de movimiento de un pendulo simple cuyo punto desuspension se mueve horizontalmente con movimiento armonico simplede la forma = 0 cos(f t). Con base en el resultado anterior, analice elexperimento siguiente:

Mida la frecuencia natural 0 de un pendulo constituido por una masa deunos 20 g atada al extremo de una cuerda de 50 cm de longitud. Muevael extremo superior con una frecuencia mucho mayor que 0 y observedespues de un tiempo la frecuencia y la fase de la oscilacion de la masa mcon respecto a la oscilacion del soporte. Disminuya la frecuencia, localicela resonancia y continue disminuyendo f hasta cuando la masa m y elsoporte oscilen aproximadamente en fase.


2.4 Halle la ecuacion de movimiento de un circuito RLC en paralelo con unafuente de corriente I(t) = I0 cos(f t). Halle una expresion para la poten-cia media absorbida por este oscilador. Cual es su valor maximo?

2.5 En un sismografo de frecuencia natural 0 = 1Hz y factor de calidadQ = 6 se registra un desplazamiento relativo

yR = 0,4 cos(18 t +

4)cm

Deduzca a partir de aqu la amplitud del movimiento de la tierra.

Sugerencia: escriba la amplitud de la respuesta estacionaria en funcion delfactor de calidad.

2.6 Suponga que la frecuencia natural del sismografo es mucho menor quela frecuencia de las oscilaciones terrestres. (Como puede lograr esto?).Muestre que en este caso la masa m permanece practicamente en reposocon respecto al sistema inercial.

Sugerencia: a partir de la solucion estacionaria de la ecuacion (2.36) enel lmite 0f 0, demuestre que yR = .

En estas condiciones (que son tecnicamente difciles de lograr), una gracadel movimiento de m relativo a la tierra reeja especularmente el movi-miento de la supercie terrestre.

2.7 A partir de la solucion particular (2.10):

a. Muestre que el trabajo de la fuerza friccional por unidad de tiempoes en general diferente del trabajo por unidad de tiempo de la fuerzaexterna.

b. Demuestre que, en promedio, sobre un ciclo ambas potencias secompensan; por tanto, la energa media del sistema es constante.

c. Halle la condicion en la cual ambas potencias instantaneas son dela misma magnitud y, por tanto, la energa del oscilador es estricta-mente constante.

2.8 Muestre que la calidad Q de un oscilador debilmente amortiguado y noforzado es igual a:

Q = 2Energa al comienzo de un ciclo

Energa perdida durante un ciclo=

0

Sugerencia: elija el comienzo del ciclo cuando toda la energa es potencialy aproxime eT = 1 T .


2.9 Sobre un oscilador debilmente amortiguado actuan simultaneamente dosfuerzas de frecuencias y amplitudes iguales pero de diferentes constan-tes de fase. Analice la amplitud del movimiento armonico resultante enfuncion de la diferencia de fase.

2.10 Dos fuerzas armonicas de igual amplitud y constante de fase pero confrecuencias ligeramente diferentes actuan simultaneamente sobre un osci-lador. Muestre, con ayuda de identidades trigonometricas, que el estadoestacionario puede expresarse como producto de una oscilacion armonicarapida, por una funcion armonica de variacion lenta, funcion que sepuede interpretar como una amplitud variable de la oscilacion rapida. Di-buje una graca del estado estacionario con 12 =

119 . Interprete, con base

en este modelo, el hecho de que cuando el tmpano recibe simultaneamen-te dos notas con frecuencias cercanas (que dieren en menos de 10Hz),un odo no entrenado no las percibe por separado sino como un sonido defrecuencia intermedia con una amplitud que vara lentamente con el tiem-po. Si las frecuencias son sucientemente diferentes, el odo percibira unacorde constituido por dos notas distinguibles.

2.11 a. Con los siguientes valores de parametros: L = 25mH, R = 600,C = 0,001F, calcule frecuencia natural, factor de calidad y vidamedia del circuito RLC en serie.

b. Si el circuito es forzado por una fuente de voltaje en serie con fre-cuencia variable y amplitud igual a 10 voltios, para que frecuenciade la fuente se obtendra la maxima amplitud de la carga en el es-tado estacionario? Haga una graca aproximada de potencia mediacontra frecuencia de la fuente, indicando claramente: centro, anchoy altura de la curva.

Captulo 3

Sistema libre de dos osciladoresacoplados no amortiguados

En este captulo se describe el comportamiento de sistemas de dos osciladoresidenticos acoplados, sin friccion ni fuerza externa.

Se introduce el concepto fundamental de modo normal de oscilacion.

Se resuelven las ecuaciones de movimiento acopladas mediante el metododel determinante secular.

Se desarrolla el metodo matricial de diagonalizacion de las ecuaciones demovimiento mediante coordenadas normales y se construye un algoritmoaplicable a casos mas generales de osciladores acoplados.

Se muestra que las coordenadas normales tambien permiten diagonalizarla expresion de la energa.

Se describe el fenomeno de pulsaciones, con el consiguiente intercambioperiodico de energa entre dos osciladores debilmente acoplados.

3.1. Ecuaciones de movimiento

3.1.1. Pendulos acoplados

Por conveniencia hemos elegido coordenadas de oscilacion x1 y x2 que descri-ben la desviacion de las masas m1 y m2 (m1 = m2 = m) de sus posicionesde equilibrio; suponemos que en equilibrio la distancia entre ellas es igual a la

45

46 CAPITULO3. SISTEMA LIBRE DE DOS OSCILADORES ACOPLADOS

longitud natural del resorte de acoplamiento (gura 3.1). En el rango de pe-quenas oscilaciones (angulos 1 y 2 1 rad), la fuerza del resorte y la fuerzatangencial sobre cada una de las masas son casi horizontales y puede hacerse laaproximacion:

x1 = l sen 1 l1 x2 = l sen 2 l2Por tanto:

mdv1dt

ml1 mx1 mdv2dt

ml2 mx2

01 x1 02 x2

1

kc

2

Figura 3.1 Pendulos acoplados.

El alargamiento algebraico del resorte se expresa en nuestras coordenadas como(x2 x1): cuando esta cantidad es positiva, el resorte esta estirado; cuando esnegativa, esta comprimido. Las ecuaciones de movimiento toman la forma1:

Ftan1 = mx1 = mgl

x1 + kc(x2 x1)

Ftan2 = mx2 = mgl

x2 kc(x2 x1)(3.1)

En forma compacta:

x1 + 20 x1 + 2c (x1 x2) = 0

x2 + 20 x2 2c (x1 x2) = 0(3.2)

con 20 =g

l, 2c =

kcm

1 Observe que si el resorte esta estirado, la primera masa es halada en direccion +x1 y lasegunda en direccion x2, lo que determina los signos de los terminos de acoplamiento en lasecuaciones (3.1).


3.1.2. Masas acopladas a resortes sobre supercie horizontal sinfriccion

01 02x2x1

m m

k k k

Figura 3.2 Masas iguales acopladas por resortes iguales.

De acuerdo con la gura 3.2, las ecuaciones de movimiento pueden escribirseas:

mx1 = k x1 + k (x2 x1)

mx2 = k x2 k (x2 x1)(3.3)

o en forma abreviada:

x1 + 20 x1 + 20 (x1 x2) = 0

x2 + 20 x2 20 (x1 x2) = 0(3.4)

con 20 =km .

3.1.3. Masas acopladas por cuerdas sobre plano horizontal sinfriccion

0

1

2

01 02

y1

y2

Figura 3.3 Masas iguales acopladas por cuerdas.

Si elegimos ejes y1 y y2 como indica la gura 3.3, y suponemos la tension T


constante en magnitud, las ecuaciones de movimiento toman la forma:

my1 = T sen 0 + T sen 1my2 = T sen 1 + T sen 2

(3.5)

Hemos denido j como el angulo que forma el segmento respectivo de la cuerdacon la direccion horizontal +x; observe que en la gura 0 y 2 son positivos,en tanto que 1 es negativo.En funcion de los desplazamientos y1 y y2 podemos reescribir as las ecuacionesanteriores:

y1 + 20 y1 + 20 (y1 y2) = 0

y2 + 20 y2 20 (y1 y2) = 0(3.6)

con 20 =T

ml0.

3.1.4. Dos circuitos LC acoplados por condensador

L

C

Q1

I1

Q12

Cc

L

C

Q2

I2

Figura 3.4 Circuitos LC acoplados por condensador.

Para hallar las ecuaciones de movimiento de este sistema puede aplicarse la reglapractica deducida en el apendice A:

Vi = 0 (en cada trayectoria cerrada).

Resultan las ecuaciones siguientes:

Q1C LdI1

dt Q12

Cc= 0

Q12Cc

LdI2dt Q2

C= 0

(3.7)

Al usar las convenciones sobre signos de cargas y corrientes indicadas en la gura3.4, se tiene:

Q1 = I1, Q2 = I2, Q12 = I1 I2


Al derivar las ecuaciones (3.7) con respecto al tiempo, despues de dividir por Ly cambiar el signo, resulta:

I1 + 20 I1 + 2c (I1 I2) = 0

I2 + 20 I2 2c (I1 I2) = 0(3.8)

con 20 =1

LC y 2c =

1LCc

.

3.2. Solucion de las ecuaciones acopladas

Como puede verse, todos nuestros osciladores acoplados tienen ecuaciones deidentica forma general2:

1 + 20 1 + 2c (1 2) = 0

2 + 20 2 2c (1 2) = 0(3.9)

Decimos que este es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas porquela solucion 1(t) depende de la solucion 2(t), y viceversa. A continuacionmostraremos que es posible desacoplar este sistema, es decir, convertirlo enuna pareja de ecuaciones independientes, introduciendo nuevas variables paradescribir el sistema fsico.

Al sumar las dos ecuaciones (3.9) y denir la nueva variable q1 1 +2,obtenemos:

q1 + 20 q1 = 0 (3.10)

Al restar miembro a miembro las ecuaciones (3.9) e introducir la nueva variableq2 1 2, resulta:

q2 + 20 q2 + 22c q2 = 0

es decir:

q2 +(20 + 2

2c

)q2 = 0 (3.11)

(3.10) y (3.11) son ecuaciones de osciladores independientes con coordenadasde oscilacion q1 y q2, y frecuencias naturales

21 =

20 y

22 =

20 + 2

2c , res-

pectivamente.

2 En los numerales 3.1.2 y 3.1.3 hemos elegido c = 0.


Las soluciones generales de (3.10) y (3.11) son bien conocidas:

q1(t) = C1 cos(1t + 1

)q2(t) = C2 cos

(2t + 2

) (3.12)donde C1, C2, 1 y 2 son constantes arbitrarias.

La ventaja de este metodo reside en que a partir de estas soluciones familiarespodemos hallar la solucion general de nuestro sistema acoplado (3.9):

1(t) =12[q1(t) + q2(t)

]=C1 cos

(1t + 1

)+ C2 cos

(2t + 2

)2(t) =

12[q1(t) q2(t)

]=C1 cos

(1t + 1

) C2 cos (2t + 2)(3.13)

Como C1 y C2 son constantes arbitrarias hemos absorbido en ellas el factor12 .

Las nuevas variables, q1 y q2, se denominan coordenadas normales del sis-tema. Debido al papel central que desempena este concepto en el estudio desistemas oscilatorios mas complejos, es conveniente anticipar una denicion masgeneral.

Se denominan coordenadas normales aquellas variables que permiten de-sacoplar las ecuaciones de movimiento, satisfacen ecuaciones de osciladoresarmonicos independientes con frecuencias normales n, caractersticas del siste-ma oscilatorio, y permiten describir el movimiento de cada una de las partes delsistema como superposicion lineal de ellas. Mas adelante veremos que tambienpermiten expresar la energa del sistema como suma de energa de osciladoresindependientes, lo cual se ha utilizado ampliamente en fsica moderna.

3.3. Interpretacion fsica de la solucionModos normales

El movimiento de dos osciladores acoplados por lo general no sera armonico,ni siquiera periodico (para ello se necesita que 12 sea igual a un numero ra-cional n1n2 ). Pero si el sistema se excita adecuadamente, es posible obtener unmovimiento armonico de cada una de las partes, y periodico para el sistemacomo un todo.


Por ejemplo, si las condiciones iniciales son tales que C2 = 0, el movimientodel sistema quedara descrito as:

1(t) = C1 cos(1t + 1

)2(t) = C1 cos

(1t + 1

) (3.14)En este caso ambos osciladores se mueven en fase con identica amplitud y conidentica frecuencia 1. Las dos constantes, C1 y 1, pueden tomar valores arbi-trarios, dependientes unicamente de las condiciones iniciales. Decimos entoncesque el sistema oscila en el modo normal 1, con la frecuencia normal 1 = 0.

Modo normal 1 Modo normal 2

Figura 3.5 Modos normales de dos pendulos acoplados.

De modo analogo: si las condiciones iniciales son tales que C1 = 0, entoncesel sistema oscilara en el modo normal 2 con frecuencia 2 =

20 + 22c ,

constante de fase unica 2 y amplitudes C2 y C2 (para cada una de las partesdel sistema, respectivamente):

1(t) = C2 cos(2t + 2

)2(t) = C2 cos

(2t + 2

) (3.15)Los dos tipos de movimiento descritos son los mas simples y ordenados quepueden existir en el sistema y se denominan modos normales de oscilacion. Enun modo normal t

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Oscilaciones y Ondas - Alicia Guerrero de Mesa