Oscilaciones y Ondas Problemas – 4 . 1

Problema 4.1

Considera una cuerda de guitarra con las siguientes caracterısticas: tensionτ = 18N, densidad lineal de masa ρ = 0,1 g·cm−1, distancia entre los extremosfijos L = 0,6 m; no tiene amortiguamiento y evoluciona libremente.

¿Que frecuencias tienen los modos normales de vibracion de la cuerda?

Se “pulsa” la cuerda con unas condiciones iniciales (α > 0 constante arbitraria)

y(x, 0) =

{

α x , x ∈ [0; L4],

α (L − x)/3, x ∈ [L4; L],

∂ty(x, 0) = 0 .

Representa la perturbacion inicial y(x, 0).

Obten y(x, t).

¿Cual es la energıa asociada a cada uno de los modos normales presentesen y(x, t)?

Problema 4.2

Considera una cuerda continua de tension τ , densidad lineal de masa ρ, yextremos fijos separados una distancia L; no tiene amortiguamiento y evolucionalibremente. Se perturba la cuerda con unas condiciones iniciales

y(x, 0) = 0 ∂ty(x, 0) = v0

x(x − L)

L2, v0 > 0 .

Representa la perturbacion inicial ∂ty(x, 0).

Obten y(x, t).

Problema 4.3

Considera una cuerda continua de longitud L, tension τ y densidad linealde masa ρ con sus extremos fijos en x = 0, L. Demuestra que en la evolucionlibre, sin amortiguamiento, a lo largo de un periodo, la energıa cinetica mediay la energıa potencial media son iguales.

Problema 4.4

Considera una cuerda continua de longitud L, tension τ y densidad linealde masa ρ con un extremo fijo en x = 0 y el otro extremo libre en x = L. Dadasuna condiciones iniciales (α > 0 constante arbitraria)

y(x, 0) = αx (2L − x)

L, ∂ty(x, 0) = 0 ,

representa y(x, 0).

Obten y(x, t).

Problema 4.5

Considera una cuerda continua de longitud L en reposo, tension τ y densidadlineal de masa ρ con sus extremos libres en x = 0, L, segun indica la figura 1.

Obten las frecuencias propias y los modos normales de oscilacion de lacuerda.

Miguel Nebot Modos normales en sistemas continuos

Problemas – 4 . 2 Oscilaciones y Ondas

L

Figura 1: Cuerda continua con extremos libres, problema 5.

Calcula y(x, t) dadas unas condiciones iniciales y(x, 0), ∂ty(x, 0).

Problema 4.6

Considera la cuerda continua con extremos libres del problema 5. Dadasunas condiciones iniciales (α > 0 constante arbitraria)

y(x, 0) =x2 (L − x)2

L3, ∂ty(x, 0) = 0 ,

Representa y(x, 0).

Obten y(x, t).

Problema 4.7

Una membrana rectangular de dimensiones L × L, tension superficial τ ,densidad superficial de masa ρ y lados fijos es forzada por una fuente periodicatal que la ecuacion de onda forzada que describe las perturbaciones es

∂2 z

∂t2+ 2Γ

∂ z

∂t−

τ

ρ

(

∂2 z

∂x2+

∂2 z

∂y2

)

= f(t) sin(πx

L

)

sin

(

2πy

L

)

con Γ = 1

20 L

√

τρπ y

f(t) = f0 t (T − t), f(T + t) = f(t) .

Dadas unas condiciones iniciales de reposo, z(x, y, 0) = 0, ∂tz(x, y, 0) = 0,

calcula z(x, y, t), comenta el resultado.

Problema 4.8

Una membrana rectangular de dimensiones Lx × Ly, tension superficial τ ,densidad superficial de masa ρ y lados fijos es perturbada con las siguientescondiciones iniciales (figura 2, α > 0 constante arbitraria):

z(x, y, 0) =x (Lx − x) y (Ly − y)

√

L3x L3

y

, ∂tz(x, y, 0) = 0 .

Su movimiento es libre sin amortiguamiento.

Obten z(x, y, t).

Miguel Nebot Modos normales en sistemas continuos

Oscilaciones y Ondas Problemas – 4 . 3

Figura 2: Membrana rectangular del problema 8.

Problema 4.9

Una membrana circular con circunferencia fija de radio a, tension superficialτ y densidad superficial de masa ρ es perturbada percutiendo simultaneamenteen los puntos de coordenadas (r, θ) = (0, 0) y (r, θ) = (r0, 0), con una fuente1

f(r, θ, t) = f0

1

r(δ(r) δ(θ) + α δ(r − r0) δ(θ)) cos(ω t) ,

en la que r0 indica el valor de r en el que se aplica una de las dos percusiones, f0

indica la escala global de la fuerza externa y α la relativa entre la fuerza externaaplicada en los puntos (0, 0) y (r0, 0). Los modos normales del sistema son

ηcnj(r, θ) ∝ Jn

( r

aλnj

)

cos(nθ) , ηsnj(r, θ) ∝ Jn

( r

aλnj

)

sin(nθ) ,

donde el superındice c o s senala la dependencia angular en cos(nθ) o sin(nθ) yλnj es el j-esimo cero de la funcion de Bessel Jn.

Determina los valores de r0 y de α tales que no se excitan ni el modonormal n = 0, j = 1, ni el modo normal n = 1, j = 2.

Problema 4.10

Un tambor esta constituido por una “caja de resonancia” y una membranacircular con circunferencia fija que tiene las siguientes caracterısticas: radio a,tension superficial τ = 100 N·m−1 y densidad superficial de masa ρ = 0,5kg·m−2.

¿Que valor maximo debe tener el radio a para que las frecuencias propiasde todos los modos normales produzcan sonido dentro del espectro audiblepor un ser humano?

N.B. Recuerda la relacion entre frecuencia angular ω y frecuencia ν, 2πν = ω.

1En coordenadas rectangulares no es mas que f0 (δ(x)δ(y) + α δ(x − r0)δ(y)) cos(ω t).

Miguel Nebot Modos normales en sistemas continuos

Problemas – 4 . 4 Oscilaciones y Ondas

Problema 4.11

Una membrana rectangular de dimensiones Lx × Ly, con Lx = 10Ly = 10m, tension superficial τ = 10 N·m−1, densidad superficial de masa ρ = 0,1 × πkg·m−2, y condiciones de contorno tipo “puente” (extremos x = 0, Lx, fijos,extremos y = 0, Ly, libres) es forzada por una fuente periodica “puntual” detipo

f0 δ(x − ℓx) δ(y − ℓy) cos(ω t) ,

para la que se puede elegir tanto la posicion en que se aplica, (ℓx, ℓy), como lafrecuencia ω. El sistema presenta un amortiguamiento bajo, dado por un valorde Γ igual a 1

10de la frecuencia propia mas baja del sistema.

Compara las amplitudes en el regimen estacionario asociadas a los modosnormales (ix, iy) = (1, 0), (2, 0) y (1, 1) para las siguientes elecciones de(ℓx, ℓy),

(ℓx, ℓy) = (Lx/4, Ly/4), (Lx/4, Ly/2), (Lx/2, Ly/4), (Lx/2, Ly/2) ,

para los siguientes valores de la frecuencia externa ω,

ω = ω10, ω20, ω11 ,

siendo ωixiyla frecuencia propia asociada al modo (ix, iy). Comenta los

resultados de interes.

Problema 4.12

Una soprano y un bajo de gira se alojan en un hotel cuyas habitacionescuentan con cabinas de ducha identicas cuya forma es muy aproximadamen-te un paralelepıpedo de caras rectangulares de dimensiones 1,25m × 1,25m ×

2,5m. Preocupados por la marcha de los ensayos, cantan mientras se duchan.La ecuacion de onda que describe la propagacion libre del sonido (variacion dela presion del aire, P (x, y, z, t)) es

[

∂2

∂t2− v2

s

(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)]

P (x, y, z, t) = 0 ,

con vs ≃ 330 m·s−1. Las condiciones de contorno aplicables a la cabina de duchason analogas a las de la cuerda unidimensional con extremos fijos.

¿Que modos normales y frecuencias propias tiene la cabina de ducha?

Las frecuencias mas altas que la soprano alcanza son ≃ 1100 Hz; las masbajas alcanzables por el bajo son ≃ 80 Hz. ¿Cual es el modo de frecuen-cia mas alta que la soprano puede hacer resonar? ¿Cual es el modo defrecuencia mas baja que el bajo puede hacer resonar?

¿Que modos normales y frecuencias propias tiene la cabina cuando lapuerta esta abierta? Simplificando nuestra descripcion esto corresponde aretirar una cara de dimensiones 1,25m × 2,5m del paralelepıpedo.

Miguel Nebot Modos normales en sistemas continuos