oscilacoes

Oscilações

Prof. Karl Marx

Universidade Federal do Maranhão - Campus Bacabal

31 de Maio de 2012

Prof. Karl Marx Universidade Federal do Maranhão - Campus BacabalOscilações

Movimento Harmônico Simples

A oscilações ocorre quando um sistema é perturbado a partir de umaposição de equilíbrio estável.

Figura: Sistema massa-mola em superfície sem atrito

Seja um corpo sólido preso a uma mola. No equilíbrio a mola não exerceforça sobre o corpo. Quando o corpo é deslocado de uma distância x apartir da posição de equilíbrio, a mola exerce a força restauradora, dadapela lei de Hooke,

F =−kx

Onde k é a constante de força da mola, uma medida da sua rigidez.


Movimento Harmônico Simples

A oscilações ocorre quando um sistema é perturbado a partir de umaposição de equilíbrio estável.

Figura: Sistema massa-mola em superfície sem atrito

Seja um corpo sólido preso a uma mola. No equilíbrio a mola não exerceforça sobre o corpo. Quando o corpo é deslocado de uma distância x apartir da posição de equilíbrio, a mola exerce a força restauradora, dadapela lei de Hooke,

F =−kx

Onde k é a constante de força da mola, uma medida da sua rigidez.


Através da 2a lei de Newton, temos −kx =max. Então a aceleração

ax =−k

mx

ou

a=−ω2x, onde ω2 = k/m

Assim, a força e a aceleração são proporcionais e opostas aodeslocamento. Esta é uma característica que identifica sistemas queexibem o movimento harmônico simples (MHS).



ax =−k

mx

ou





ax =−k

mx

ou




Posição no MHSO deslocamento do objeto preso a uma mola é dado por

x = A cos (ωt+δ)O deslocamento máximo é chamado de amplitude A. O argumento dafunção cosseno, ωt+δ , é a fase do movimento, e a constante δ é aconstante de fase, que é igual a fase em t = 0.

Figura: Posição do bloco em função do tempo.


Sabendo que v= dx/dt. Então, a velocidade no MHS é dada por

vx =−Aω sen (ωt+δ)

Podemos determinar a posição inicial e a velocidade inicial, fazendot= 0, ou seja

x0 = A cos (0+δ) = A cosδ

v0 =−Aω senδ


Período e Frequência

O tempo que leva para um objeto deslocadoexecutar um ciclo completo de movimentooscilatório, é chamado período T. O inversodo período é a frequência f , que é o númerode ciclos por unidades de tempo:

f =1

T

A unidade de frequência é ciclo por segundo(ciclo/s), chamado de Hertz (Hz).

Figura: Posição, velocidade eaceleração no MHS


Período e Frequência

O tempo que leva para um objeto deslocadoexecutar um ciclo completo de movimentooscilatório, é chamado período T. O inversodo período é a frequência f , que é o númerode ciclos por unidades de tempo:

f =1

TA unidade de frequência é ciclo por segundo(ciclo/s), chamado de Hertz (Hz).

Figura: Posição, velocidade eaceleração no MHS


O período T é o menor intervalo de tempo que satisfaz a relação

x(t) = x(t+ T)

para todo t.

Substituindo x = A cos (ωt+δ) nesta relação, teremos

A cos (ωt+δ) = A cos [ω(t+ T) +δ]= A cos [ωt+δ+ωT]

Mas sabendo que cos(x) = cos(x+ 2π), então

ωT = 2π,

ω=2π

TA constante ω é chamada de frequência angular. Possui unidade derad/s.



x(t) = x(t+ T)

para todo t. Substituindo x = A cos (ωt+δ) nesta relação, teremos



ωT = 2π,

ω=2π




x(t) = x(t+ T)

para todo t. Substituindo x = A cos (ωt+δ) nesta relação, teremos



ωT = 2π,

ω=2π



A frequência é relacionada por

ω= 2πf

como ω=Æ

km, a frequência e o período de um corpo preso a uma mola

se relacionam com a constante de força k e a massa m, da seguinteforma:

f =1

T=ω

2πlogo,

f =1

2π

r

k

m


Exemplo 1

Um corpo está preso a uma mola que tem uma constante de força k =400 N/m. (a) Determine a frequência e o período do movimento docorpo quando ele é deslocado do equilíbrio e largado.


Exemplo 2

Você está sentado numa prancha de surfe, que sobe e desce ao flutuarsobre algumas ondas. O deslocamento vertical da prancha y é dado por

y = (1,2m) cos�

1

2,0st+π

6

�

(a) Determine a amplitude, a frequência angular, a constante de fase, afrequência e o período do movimento. (b) Onde está a prancha em t =1,0 s? (c) Determine a velocidade e aceleração como funções do tempot. (d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade e daaceleração da prancha.


Exemplo 3

Um bloco de 2,0 kg está preso a uma mola. A constante de força damola é k= 196 N/m. O bloco é afastado 5,0 cm de sua posição deequilíbrio e liberado em t = 0. (a) Determine a frequência angular ω, afrequência f e o perído T. (b) Escreva x como função do tempo.


Energia no MHSSeja um corpo preso a uma mola que executa um MHS, sabendo que aforça restauradora que age no corpo é −kx. Então a energia potencialelástica é

U =1

2kx2

Sabendo que x = A cos (ωt+δ), substituindo teremos

U =1

2kA2 cos2 (ωt+δ)

Enquanto a energia cinética do sistema é K = 12mv2, ,substituindo a

velocidade:

K =1

2mω2A2 sen2 (ωt+δ)

mas ω2 = k/m , então

K =1

2kA2 sen2 (ωt+δ)


Energia no MHSSeja um corpo preso a uma mola que executa um MHS, sabendo que aforça restauradora que age no corpo é −kx. Então a energia potencialelástica é

U =1

2kx2

Sabendo que x = A cos (ωt+δ), substituindo teremos

U =1

2kA2 cos2 (ωt+δ)

Enquanto a energia cinética do sistema é K = 12mv2, ,substituindo a

velocidade:

K =1

2mω2A2 sen2 (ωt+δ)

mas ω2 = k/m , então

K =1

2kA2 sen2 (ωt+δ)


Pela definição de energia mecânica total, temos que E = U+K, então

E =1

2kA2 cos2 (ωt+δ) +

1

2kA2 sen2 (ωt+δ)

mas sen2α+ cos2α= 1, logo

E =1

2kA2

Assim a energia total no MHS é conservativa, e proporcional ao quadradoda amplitude da oscilação.Para um corpo em seu deslocamento máximo, a energia potencial émáxima. Enquanto a energia cinética é zero. Na posição de equilíbrio, aenergia potencial é zero e a energia cinética é máxima.


Outros sistemas oscilantes - Corpo em mola vertical

Figura: Massa em mola vertical

Um corpo preso em mola vertical sofre aação da força restauradora e da força peso.Quando o corpo é preso, a mola é deslocadada sua posição de equilíbrio, assim:

ky0 =mg

y0 =mg

k





ky0 =mg

y0 =mg

k





ky0 =mg

y0 =mg

k


Como y0 é a nova posição de equilíbrio então a força restauradora será

Fy =−k(y− y0)

ouFy =−ky′

Portanto as equações de movimento serão em função de y′:

y′ = A cos (ωt+δ)

onde ω=p

k/m


O pêndulo simples

Figura: Forças atuando em umpêndulo simples

O pêndulo simples consiste em um fio decomprimento L preso a uma massa m.Quando o peso é largado em um ângulo φcom a vertical, ele entra em oscilação.

As forças que atuam sobre o corpo são aforça peso e a tensão do fio T. A umângulo φ com a vertical, o peso temcomponente mg senφ, tangente ao arco,Usando a 2a lei, temos:

−mg senφ =mat


O pêndulo simples

Figura: Forças atuando em umpêndulo simples

O pêndulo simples consiste em um fio decomprimento L preso a uma massa m.Quando o peso é largado em um ângulo φcom a vertical, ele entra em oscilação.As forças que atuam sobre o corpo são aforça peso e a tensão do fio T. A umângulo φ com a vertical, o peso temcomponente mg senφ, tangente ao arco,Usando a 2a lei, temos:

−mg senφ =mat


A aceleração tangencial está relacionada com a aceleração angular α,at = Lα. Então,

−g senφ = Lα,

α=−g senφ

L.

Se φ é pequeno, então senφ ≈ φ. Assim, a aceleração angular torna-se

α=−gφ

L



−g senφ = Lα,

α=−g senφ

L.


α=−gφ

L



−g senφ = Lα,

α=−g senφ

L.


α=−gφ

L


Comparando com a aceleração de um corpo preso a uma mola:

α=−g

Lφ ; a=−ω2x

Então temos que no caso do pêndulo simples, o movimento oscilatórioserá feito em φ:

φ = φ0 cos (ωt+δ),

onde ω=Æ

gL, e φ0 é deslocamento angular máximo.

Quanto maior o comprimento do pêndulo, maior será o período deoscilação.

T = 2π

r

L

g

Vale lembrar que estas expressões são válidas apenas para pequenosvalores de φ.



α=−g

Lφ ; a=−ω2x



onde ω=Æ



T = 2π

r

L

g




α=−g

Lφ ; a=−ω2x



onde ω=Æ



T = 2π

r

L

g



Exemplo 3

Determine o período de um pêndulo simples de 1,0 m de comprimentoque executa pequenas oscilações.


Oscilações ForçadasUm oscilador em movimento, acaba por parar, porque a energia mecânicaé dissipada por forças de atrito. Este movimento é chamado amortecido,e pode ser classificado como :

Subamortecido:O sistema oscila com uma amplitude que diminui lentamente com otempo.

Figura: (a) Oscilador amortecido suspenso em líquido viscoso. (b) Curva deoscilação amortecida.

Criticamente amortecido:Movimento com o mínimo amortecimento que ainda não resulta emoscilação. Com qualquer amortecimento menor, o movimento serásubamortecido.Superamortecido:O oscilador não chega a completar nem um ciclo de oscilação,limitando-se a retornar ao equilíbrio com velocidade próxima de zero àmedida que o corpo retorna ao equilíbrio.

Figura: Deslocamento de osciladores amortecidoProf. Karl Marx Universidade Federal do Maranhão - Campus BacabalOscilações

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