Oscillazioni

• Si produce un’oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto

a una posizione di equilibrio stabile

• Caratteristica piu evidente del moto oscillatorio e di essere un moto

periodico, ovvero che si ripete con regolarita nel tempo

• Le oscillazioni costituiscono una parte importante del mondo in cui

viviamo. Un esempio famoso e vistoso: oscillazioni indotte dal vento

su di un ponte sul fiume Tacoma, 7 novembre 1940

Moto periodico

Qualunque movimento che si ripeta ad intervalli regolari e definito come

moto periodico.

Il moto periodico e caratterizzato da

• Frequenza f = numero di

oscillazioni compiute in un secondo.

Si misura in Hertz: 1 Hz =1 s−1

• Periodo T = tempo impiegato per

compiere un’oscillazione completa;

T = 1/f .

Moto armonico semplice

Se tendiamo o comprimiamo una molla con una

massa a un estremo e poi la lasciamo andare,

la massa oscillera avanti e indietro (trascuriamo

gli attriti). Questa oscillazione e chiamata Moto

Armonico (Semplice).

Ad ogni istante: ~F = m~a ma F = −kx da cui

ma = md2x

dt2= −kx

ovvero

d2x(t)dt2

= − k

mx(t) = −ω2x(t)

dove si e introdotto ω2 =k

m, ovvero ω =

√k

m(frequenza angolare).

Dinamica del moto armonico

La soluzione piu generale dell’equazione del

moto armonico,d2x(t)

dt2= −ω2x(t), e

x(t) = A cos(ωt + φ) da cui

v(t) =dx(t)

dt= −Aω sin(ωt + φ),

a(t) =d2x(t)

dt2= −Aω2 cos(ωt + φ) = −ω2x(t)

Periodo dell’oscillazione: T = 2π/ω

Frequenza dell’oscillazione: f = ω/2π.

Ampiezza massima dell’oscillazione: |xmax| = A. Velocita massima:

|vmax| = ωA. Accelerazione massima: |amax| = ω2A = ω2|xmax|.La fase φ e l’ampiezza A sono determinate dalle condizioni iniziali.

Da notare che ω non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni!

Moto armonico e moto circolare uniforme

La proiezione su di un asse del moto circolare uniforme su di una

circonferenza di raggio A a velocita angolare ω descrive un moto

armonico

Il moto circolare uniforme su di un piano puo essere descritto dal vettore ~r(t):

~r(t) = (x(t), y(t)) = (A cos(ωt + φ), A sin(ωt + φ))

E’ immediato verificare che valgono tutte le proprieta del moto circolare uniforme:θ(t) = ωt + φ, r =

√x2(t) + y2(t) = A, v = ωr (tangenziale), a = ω2r (centripeta).

Esempio: molla orizzontale

Una massa m = 2 kg attaccata a una molla oscillacon ampiezza A = 10 cm. A t = 0 la velocita emassima, e vale v = +2 m/s. Quanto valgono ω ela costante della molla k ? Qual e la legge del moto?

vmax = ωA =⇒ ω =vmax

A=

2m/s

10cm= 20s−1.

ω =

√k

m=⇒ k = m · ω2 = 2kg(20s−1)2 = 800N/m

x(t) = A cos(ωt + φ), v(t) = −Aω sin(ωt + φ)

Dato che v(0) = −Aω sinφ = −vmax sinφ, deve valere sinφ = −1, ovvero φ = −π

2:

x(t) = A cos(ωt− π

2) =⇒ x(t) = A sin(ωt)

Notare che servono due condizioni per determinare le due costanti A e φ: per esempio,ampiezza, velocita a t = 0; o posizione e velocita a t = 0.

Esempio: molla verticale

All’equilibrio, la molla si allunga di una lunghezza y0 datadalla condizione mg = ky0, ovvero y0 = mg/k.Se y e misurato a partire dalla posizione di equilibrio,F = −ky come nel caso della molla orizzontale:

F = ma = −ky =⇒ d2y

dt2= −ω2y

con ω =√

k/m. Come nel caso della molla orizzontale, lasoluzione e

y(t) = A cos(ωt + φ)

dove A e l’ampiezza, ω la frequenza angolare (indipendentedall’ampiezza!), φ una fase.

L’oscillazione avviene intorno al punto di equilibrio (dove la forza risultante e nulla).

v(t) = −Aω sin(ωt + φ), a(t) = −ω2 sin(ωt + φ)

Energia nel moto armonico

Energia potenziale nel moto armonico: U =12kx2. Cinetica: K =

12mv2.

Se x(t) = A cos(ωt + φ), U(t) =12kA2 cos2(ωt + φ), K(t) = 1

2mω2A2 sin2(ωt + φ)L’energia meccanica E = K + U non dipende dal tempo (e conservata!):

E =12kA2 cos2(ωt + φ) +

12mω2A2 sin2(ωt + φ) =

12kA2

Notare che l’energia meccanica dipende dal quadrato dell’ampiezza di oscillazione.

Oscillazione smorzate

Consideriamo di nuovo una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza.

Per esempio, una molla che oscilla in un liquido viscoso, con forzadi resistenza propozionale alla velocita:

ma = −ky − bv ⇒ md2y

dt2= −ky − b

dy

dt

Questa e un’equazione differenziale non del tutto banale

Nel caso in cui la forza di resistenza e piccola rispettoalla forza armonica, ovvero se b e piccolo, la soluzioneha la forma:

y(t) = Ae−b

2mt cos(ωt + φ)

dove ω vale

ω =

√k

m− b2

4m2

Oscillazione forzate

Consideriamo ora una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza e di una forzaesterna oscillante. Assumiamo che la forza esterna abbia la forma F (t) = f0 cos ω0t.L’equazione del moto diventa

ma = −ky − bv + f0 cos ω0t ⇒ md2y

dt2= −ky − b

dy

dt+ f0 cos ω0t.

La soluzione di questa equazione e un po’ complessa. In generale possiamo dire che:Il moto e oscillatorio con frequenza angolare ω0

e con ampiezza che cresce se ω0 si avvicina aω. Se lo smorzamento b e piccolo, l’ampiezzadi oscillazione diventa molto grande per ω0 ' ω,ovvero quando la frequenza di oscillazione della forzaesterna e prossima ad una freqeunza di vibrazioneinterna. Questo fenomeno si chiama risonanza ed ecaratterizzato da un forte trasferimento di energia alsistema oscillante.

Le immagini all’inizio di queste trasparenze mostrano di cosa sono capaci le risonanze!

Moto approssimativamente armonico

L’energia potenziale del moto armonico e una funzione quadratica delle coordinate.

Esistono in natura moltissimi casi di moto ”quasi” armonico, dovuto ad un’energiapotenziale ”approssimativamente” armonica. Esempio: energia potenziale fra dueatomi in una molecola, come H2. Attorno alla posizione di equilibrio x0, vale losviluppo in serie di Taylor:

U(x) ' U(x0)+(x−x0)dU

dx

∣∣∣∣x0

+12(x−x0)2

d2U

dx2

∣∣∣∣x0

+...

ma in x = x0 vale dUdx = 0 (equilibrio!); ponendo

x′ = x− x0, U ′ = U − U(x0):

U ′(x′) ' U0 +12k′x′2, k′ =

d2U

dx2

∣∣∣∣x0

Dato che F = −dU(x)/dx, un potenziale quadratico produce forze lineari in x.