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Oscillazioni ad un grado di liberta

Enzo TONTI

15 dicembre 2005

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Indice

1 Introduzione 31.1 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 L’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Il principio di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Oscillazioni libere 102.1 Assenza della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Moto armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Moto armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Calcolo delle costanti C ed α . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Decremento logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Costante di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Oscillazioni forzate 243.0.4 Oscillazioni forzate senza smorzamento . . . . . . . . . . 253.0.5 Oscillazioni forzate e smorzate . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Fattore di amplificazione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Banda passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Complementi 334.1 Programmi in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Relazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Ago di una bilancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Il diagramma di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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Elenco dei simboli e loro nomi

m massak rigidezza della mollaT periodof frequenza

ω =

√km

pulsazione naturale

δ =c

2m= ξω costante di smorzamento

c coefficiente di smorzamento Rajgeliccr coefficiente di smorzamento critico Rajgeli ?C ampiezzau spostamentou0 spostamento inizialeφ faseα fase inizialew pesoFS = −ku forza staticaFD = −cv forza dissipativaFI = −m u forza d’inerziaF(t) forza applicata

ξ =δ

ω=

c2mω

rapporto di smorzamento

v velocitaz costante senza nome∆ =

√ξ2 − 1 costante senza nome

τ costante di tempof0 nomeR nomeD coefficiente di amplificazione dinamicaβ nome

nome

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Capitolo 1

Introduzione

1.1 Oscillazioni

Consideriamo un sistema libero di compiere delle oscillazioni attorno ad una po-sizione di equilibrio. Questo e il caso di un pendolo o di un corpo che sia at-tratto verso la posizione di equilibrio con una forza crescente con la distanzadel corpo dalla posizione di equilibrio o di un corpo elastico spostato dalla suaconfigurazione di equilibrio.

Supponiamo che questo corpo sia soggetto ad una forza impressa con un as-segnato andamento in funzione del tempo, ad esempio una forza sinusoidale:tale forza si chiamera forza eccitatrice o semplicemente eccitazione. Il motorisultante si chiamera la risposta del sistema alla eccitazione.

O. I due termini “oscillazione” e “vibrazione” sono pressoche sinonimi.In linea di massima si possono individuare due usi:

• oscillazioni di elevata frequenza e piccola ampiezza si chiamano preferibilmentevibrazioni [5, p.7]. Cosı una corda di piano o un bicchiere vibrano; lo scafo diuna nave, a causa del motore vibra; il pavimento vibra.

• oscillazioni di bassa frequenza ed elevata ampiezza si chiamano preferibilmenteoscillazioni. Cosı un lampadario oscilla; una nave oscilla attorno all’asse longitu-dinale (moto di rollio) e attorno all’asse trasversale (moto di beccheggio).

Pero quando si tratta di oscillazioni elettromagnetiche che sono di elevata frequenza iltermine usato e oscillazioni.

Il problema fondamentale della teoria delle vibrazioni si puo formulare inquesto modo [6, p.20]:

assegnato un sistema fisico suscettibile di vibrare, determinare larisposta ad una eccitazione che sia una funzione assegnata del tempo.

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Nel caso di un sistema deformabile elasticamente, considerato un punto ge-nerico del sistema si chiama elongazione del punto il suo spostamento dalla po-sizione di equilibrio [5, p.11]. Se il sistema compie delle oscillazioni attorno aduna posizione di equilibrio cio comporta che una volta spostato dalla posizione diequilibrio esso venga invitato a ritornarvi. Ogni punto sara soggetto ad una forzatanto maggiore quanto maggiore sara l’elongazione del punto.

Se lo scostamento dalla posizione di equilibrio e “piccolo” si constata che laforza e, con ottima approssimazione, proporzionale all’elongazione del punto edha senso opposto ad esso. Si dice che la la forza di richiamo e elastica, vale adire e proporzionale all’elongazione. In questo caso il moto che ne risulta si dicearmonico. Dal momento che la forza e proporzionale all’accelerazione ne vieneche anche l’accelerazione e proporzionale allo spostamento ed ha segno opposto.Si vede facilmente che il moto e descritto dall’equazione1

u(t) = A sin(ω t + α) (1.1) {HS31}

Infatti l’accelerazione e data da

a(t) = u(t) = −Aω2 sin(ω t + α) = −ω2 u(t) (1.2) {HR52}

e quindi e proporzionale all’elongazione ed e opposta ad esso. Il grafico di talemoto e rappresentato in Fig.(2.10). La costante ω si chiama pulsazione, la co-stante A si chiama ampiezza e la costante α si chiama fase iniziale. L’argomentodella funzione seno, ovvero ω t + α si chiama fase.

Un moto armonico e periodico, vale a dire il punto torna alla stessa posizionead intervalli uguali di tempo. Il lasso di tempo necessario affinche il punto compiauna oscillazione completa (andata e ritorno) si chiama periodo e lo si indica conT . Quindi esso e caratterizato dal fatto che la posizione assunta ad un istantegenerico t e quella assunta all’istante t + T e la stessa. Quindi T deve essere taleda realizzare la condizione

sin[ω (t + T ) + α] = sin(ω t + α) (1.3) {MP63}

Questo si realizza quando ωT = k 2π essendo k un numero intero. Il lasso ditempo piu breve si ha per k = 1 per cui

T =2πω

(1.4) {DW60}

La grandezza

f 4=1T

(1.5) {LX28}

1 Si veda l’Eq.(2.11).

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prende il nome di frequenza del moto periodico2. Le dimensioni della frequenzasono, ovviamente, l’inverso di un periodo quindi [ f ] = T−1 e l’unita di misura el’hertz che e una oscillazione al secondo. Ne viene che ogni moto oscillatorio puoessere caratterizzato da uno qualunque dei tre parametri

T = periodof = frequenzaω = pulsazione

(1.6) {KN61}

Consideriamo un corpo in quiete soggetto al proprio peso w = mg, trattenuto ver-ticalmente da una molla ideale di rigidezza k, come in Fig.(1.1). Per l’equilibriodeve valere la relazione

w − k u0 = 0 (1.7) {KN60}

xw

w=mg

0

0

0

u

0uforza statica

F = - k u S

F = - k u S

k

a) b)

Figura 1.1. a) Un corpo in quiete e soggetto al proprio peso; b) lo stesso indirezione orizzontale con una forza costante w.. {quadratino0}

1.2 L’equazione fondamentale

Ci proponiamo di studiare il moto di un corpo che si muova di moto rettilineo eche sia soggetta a tre forze:

• forza di richiamo elastica FS = −k u• resistenza dissipativa di origine viscosa FD = −c v• forza eccitatrice F(t).

La forza elastica di richiamo e la resistenza viscosa dipendono dal moto, rispet-tivamente dallo spostamento u(t) e dalla velocita v(t) = u(t) e per questo sono

2 Sovente la frequenza e indicata con la lettera ν, che si legge ni [2].

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chiamate forze indotte. Il termine viscoso e estrapolato dalla dinamica dei fluidiove, per piccole velocita, un corpo che si muove in un fluido e soggetto ad unaresistenza proporzionale alla sua velocita.

F(t)forza eccitatrice

xw

u(t)0u

forze indotteF = - k u F = - h v

S

Dk

cm

Figura 1.2. Il corpo e libero di muoversi lungo una direzione orizzontale. {quadratino2}

Nella figura Fig.(3.1) lo spostamento e la velocita sono colte in un momentonel quale entrambe sono positive: le forze indotte sono allora negative in quantohanno segno opposto allo spostamento e alla velocita.

Questo significa che il corpo, una volta che sia stata assegnata uno spostamen-to iniziale e che gli sia stata impressa una velocita iniziale, venga lasciato oscillaresenza l’intervento di altre forze.

Durante il moto agisca una forza F(t) funzione del tempo con andamentoprefissato, questa forza si dice eccitatrice e le oscillazioni che ne risultano sichiamano oscillazioni forzate. Quando questa forza manca si parla di oscillazionilibere.

La costante m e la massa del corpo; la costante k si chiama rigidezza dellamolla3 e la costante c si chiama coefficiente di smorzamento. 4 L’equazionedifferenziale del moto e

m u(t) = −c u(t) − k u(t) + F(t) (1.8) {HG67}

E opportuno portare a primo membro le forze indotte in quanto dipenden-ti dallo spostamento e lasciare al secondo membro la forza impressa in quantofunzione nota

m u(t) + c u(t) + k u(t) = F(t) (1.9) {JR78}

Questa e una equazione differenziale lineare non omogenea. E lineare in quantosia la funzione incognita u(t) che le sue derivate compaiono linearmente; e nonomogenea a causa del termine a secondo membro. Ci proponiamo di trovarne lasoluzione generale chiamata anche integrale generale.

3 In inglese la k si chiama stiffness.4 o costante di smorzamento.

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Per prima cosa introduciamo due nuovi parametri: dividiamo ambo i membriper la massa m e facciamo le due posizioni5

δ4=

c2 m

costante di smorzamento

ω4=

√km

pulsazione naturale(1.10) {GZ8G}

Le due costanti δ e ω hanno le stesse dimensioni fisiche, l’inverso di unperiodo. Infatti essendo

[c] =[ f ][v]=

MLT−2

LT−1 = MT−1 [k] =[ f ][u]=

MLT−2

L= MT−2 (1.11) {UY08}

si ottiene

[δ] =[c]

[2m]=

MT−1

M= T−1 [ω] =

√[k][m]= T−1 (1.12) {UY12}

Questo suggerisce di introdurre il rapporto

ξ4=δ

ω=

c2mω

rapporto di smorzamento (1.13) {G734}

che e adimensionale. L’equazione da risolvere assume la forma

u + 2 (ξω) u + ω2 u = F(t) (1.14) {U7ZT}

Questa e l’equazione fondamentale delle oscillazioni lineari.

Esplicitando le derivate temporali si puo scrivere la stessa equazione nella forma

d2

dt2 u(t) + 2 (ξω)ddt

u(t) + ω2 u(t) = F(t) (1.15) {U7Z3}

che si puo riassumere nella forma

Lu = F L 4=d2

dt2 + 2 (ξω)ddt+ ω2 (1.16)71

avendo introdotto l’operatore differenziale L che e lineare e del secondo ordine.

5 La lettera δ per indicare la costante di smorzamento e raccomandata dalle norme internazionali:si veda [3, p.150]. In inglese si chiama damping coefficient.

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1.2.1 Il principio di D’Alembert

L’equazione fondamentale della dinamica di una particella e

m~a(t) = ~F(t) (1.17) {RW52}

Questa equazione vale anche per il moto di un corpo che si limiti a traslare. Ilmatematico, fisico e filosofo D’Alembert (1717-1783) ha fatto la seguente osser-vazione. Osservato che in condizioni di equilibrio la risultante delle forze agentisu una particella deve essere nulla

~F = 0 in equilibrio (1.18) {RW53}

si vede che, confrontando questa equazione con l’Eq.(1.17), quest’ultima puoscriversi nella forma

~F(t) +[− m~a(t)

]= 0 (1.19) {RW54}

Il termine entro parentesi quadre rappresenta l’inerzia del corpo: infatti per faraccelerare un corpo occorre esercitare su di esso una forza che serve a vincernel’inerzia. Il termine −m~a(t) si puo quindi concepire come una forza fittizia cheindicheremo con FI . D’Alembert gli ha dato il nome di forza d’inerzia. Quindi

~FI4= −m~a(t) forza d’inerzia (1.20) {RW55}

Avendo introdotto questo espediente D’Alembert ha potuto scrivere l’equazionedi moto (1.19) nella forma

~F + ~FI = 0 (1.21) {RW56}

L’equazione assomiglia all’equazione di equilibrio (1.18) per cui il principiodi D’Alembert afferma: si passa dalle equazioni della statica a quelle delladinamica aggiungendo alle forze attive le forze d’inerzia.

Con questo espediente la scrittura delle equazioni di moto si ottiene partendodalle equazioni di equilibrio aggiungendo alle forze attive le forze d’inerzia. Sinoti che si tratta di un ingegnoso espediente per scrivere le equazioni di moto, nonper risolverle! Infatti l’equazione (1.21) e di tipo differenziale mentre l’equazione(1.18) e di tipo algebrico. Il principio di D’Alembert e solo un felice espedienteper impostare le equazioni della dinamica come fossero equazioni della statica:nulla di piu. Dal momento che in statica si parla di equilibrio viene spontaneoestendere questa nozione alla dinamica parlando di equilibrio dinamico.

Nonostante questa apparenza di banalita il principio di D’Alembert si e rive-lato utile per impostare le equazioni della dinamica di una particella o di un corporigido o di un sistema materiale a partire dalle corrispondenti equazioni della sta-tica. Fra l’altro esso permette di estendere il principio dei lavori virtuali dallastatica alla dinamica dando luogo all’equazione simbolica della dinamica.

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In sintesi: il principio di D’Alembert e un ingegnoso espediente che consentedi impostare le equazioni di moto di un sistema meccanico partendo dalle corri-spondenti equazioni di equilibrio. Esso esaurisce il suo scopo una volta ottenutele equazioni di moto le quali debbono poi essere risolte applicando i metodi delcalcolo differenziale.

Avendo introdotto la forza d’inerzia FI e denotando le forze indotte con

FS4= −k u S sta per forza statica (elastica)

FD4= −c v D sta per forza dissipativa (viscosa)

(1.22) {TR23}

l’equazione di equilibrio dinamico (1.8) si puo scrivere

FI + FS + FD + F(t) = 0 (1.23) {TR24}

Infatti−m u − k u − cu + F(t) = 0 (1.24) {TR25}

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Capitolo 2

Oscillazioni libere

2.1 Assenza della forzante

Quando un sistema e in grado di vibrare attorno ad una posizione di equilibrio,se e spostato da quella posizione, una volta lasciato andare vibra attorno a quellaposizione. Le oscillazioni che compie si chiamano proprie o naturali in quantodovute esclusivamente alla struttura del sistema.

La frequenza delle oscillazioni proprie dipende dalla rigidezza del sistema,dalla massa e dallo smorzamento a cui e soggetto. Il caso piu semplice di vibra-zione e quello di un corpo che subisca solo traslazioni in una direzione, che siasoggetto ad una forza di richiamo elastica e ad una forza dissipativa proporzionalealla velocita. La presenza di una dissipazione aumenta di poco il periodo delleoscillazioni per cui, in prima istanza, si possono studiare le oscillazioni libere inassenza di dissipazione.

Un esempio significativo e quello di un portale, come quello di Fig.(2.1a).Esso e costituito da due piedritti ed un traverso. Per trattare le sue vibrazioni siparte da un modello semplice costituito da due lame flessibili di acciaio armonicodelle quali si ignora la massa e da un traverso del quale si ignora la deformabilita(traverso rigido), Fig.(2.1b).

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a) b)

pied

ritto

pied

ritto

traverso

Figura 2.1. a) Un portale semplice e b) un suo modello semplificato. {portale1}

Per studiare le vibrazioni di un portale si parte da un suo modello semplificato:si suppone che i piedritti siano flessibili e che il traverso sia rigido. Inoltre sisuppone che i piedritti siano di massa trascurabile ed elestici. In queste ipotesi iltraverso puo solo traslare orizzontalmente (si suppone che le deformazioni sianopiccole) e quindi il sistema ha un solo grado di liberta. Applicando staticamenteuna forza orizzontale FS sul traverso esso si sposta di una quantita u.

uF

uF

a) b)

rigidezza maggiore

rigidezza minore

Figura 2.2. Deformata elastica: a) con una rigidezza data; b) con una rigidezzamaggiore (piedritti meno flessibili). {portale2}

Applicando al traverso successivamente diverse forze F1, F2, · · · , Fn e valu-tando gli spostamenti corrispondenti u1, u2, · · · , un, si constata che, se gli sposta-menti sono piccoli, sono proporzionali alle forze che li generano. Le due aste fles-sibili, deformate come indicato in figura, esercitano quindi una forza di richiamoproporzionale allo spostamento subıto. Questo consente di scrivere

F = k u (2.1) {JZ60}

La costante di proporzionalita k si chiama rigidezza della forza elastica e sidetermina sperimentalmente essendo k = Fi/ui.

La figura (2.3a) mostra il diagramma dei momenti flettenti su un piedritto ela corrispondente deformata elastica Fig.(2.3b). Si nota che la massima curvatura

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dell’asta si realizza dove c’e il massimo momento flettente. E evidente che unaeventuale rottura si presenta nei punti di massima curvatura.

a) b)

F F

h

C=F h

massima curvaturamassima

curvatura

Figura 2.3. a) Il diagramma dei momenti; b) i punti di massima curvatura. {portale0}

Possiamo ricavare l’equazione di moto del traverso osservando che esso, unavolta spostato dalla sua posizione di equilibrio tende a tornarvi con una forza dirichiamo elastica FS = −k u.

u SF = -ku

km

a) b)

Figura 2.4. a) Il moto del traverso; b) schematizzato. {portale4}

L’equazione da risolvere e

FS + FI = 0 ovvero − m u − k u = 0 (2.2) {JU80}

che, con la posizione ω =√

k/m diventa

u + ω2 u = 0 (2.3) {JD70}

Abbandoniamo ora questo esempio e ritorniamo alla trattazione generale.

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2.2 Moto armonico semplice

Per risolvere l’equazione fondamentale si comincia con il considerare la corri-spondente equazione omogenea, ottenuta tirando via la forza eccitatrice.

u + 2 (ξω) u + ω2 u = 0 (2.4) {JZ60}

Questa equazione descrive le oscillazioni libere, chiamate anche oscillazioni na-turali, ovvero quelle che il corpo compie un volta che sia stato messo in moto equindi lasciato libero di oscillare.

Consideriamo dapprima un caso particolare, quello in cui manca lo smorza-mento. In assenza di smorzamento, ovvero quando c = 0, l’equazione si riducea

u(t) + ω2 u(t) = 0 (2.5) {GZ72}

Poviamo a vedere se essa ammette una soluzione del tipo

u(t) = sin(ω t) (2.6) {HZ82}

Sostituendo questa funzione nell’equazione (2.5) si constata che l’equazione ri-sulta soddisfatta per qualunque valore di t e quindi essa e soluzione. Si constatafacilmente che anche la funzione u(t) = cos(ω t) e soluzione. Dunque il tentativoe andato a buon fine e abbiamo trovato due soluzioni. Poiche le due soluzionisono linearmente indipendenti, vale a dire nessuna combinazione lineare del tipoMsin(ω t)+ N cos(ω t) e identicamente nulla, salvo il caso banale M = 0 e N = 0,che corrisponde alla quiete e quindi non ci interessa, la loro combinazione lineare

u(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) (2.7) {YQ7}

e pure essa soluzione dell’equazione (2.5). Dal momento che essa contiene duecostanti arbitrarie un teorema di Eulero assicura che questa e la soluzione gene-rale dell’equazione omogenea, ovvero che tutte le possibili soluzioni rientrano inquesta forma generale.

Questa equazione puo mettersi in una forma piu espressiva.Intanto osserviamo che essendo cos(ωt) ≡ sin(ωt+π/2). Le due costanti A e B

possono sempre scriversi in termini di altre due costanti C e α nel modo seguente:

A = C cosα B = C sinα (2.8) {GT45}

Infatti basta porre

C =√

A2 + B2 α = arctan(B

A

)(2.9) {HJ67}

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Con queste posizioni la soluzione generale (2.7) assume la forma

u(t) =[C cos(α)

]sin(ω t) +

[C sin(α)

]cos(ω t) (2.10) {LP52}

ovverou(t) = C sin(ω t + α) (2.11) {CF45}

Questa formula e piu espressiva della (2.7) perche mostra che la combinazione didue moti oscillatori con diversa fase ma con la stessa pulsazione e un moto oscil-latorio con la stessa pulsazione. Questo non avviene quando si sovrappongonodue moti oscillatori con pulsazioni diverse.

I simboli che compaiono nella formula (2.11) hanno i seguenti nomi:

u = spostamentot = istante di tempo

C = ampiezzaω = pulsazioneα = fase iniziale

φ4= ω t + α = fase

(2.12) {KG61}

Se T indica il periodo della oscillazione naturale il suo inverso, che si indicacon f , si chiama frequenza naturale o frequenza propria. Il diagramma delmoto armonico semplice e illustrato in Fig.(2.5)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

u

Figura 2.5. Diagramma del moto armonico semplice. In ascissa c’e il tempo ein ordinata lo spostamento. {oscilla0}

Dalla definizione di ω, nell’Eq.(1.10), si vede che aumentando la rigidezza,ovvero la costante elastica, la frequenza aumenta mentre aumentando la massa lafrequenza diminuisce.

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u(t)F(t)

uF

u(t)F(t)

uF

h

a) b)

d)

u(t)

F(t)M

f)e)

c)

rigidezza maggiore

rigidezza maggiore:frequenzamaggiore

piedritto deformataelasticapiedritto

traverso

duranteil moto

massamaggiore:frequenzaminore

Figura 2.6. a) Maggior rigidezza (k) comporta maggior frequenza; b) maggiormassa (m) comporta minore frequenza. {portale3}

O. Il moto di un pendolo semplice non segue questa legge in quanto au-mentando la massa il periodo rimane immutato: perche? La risposta e che in un pendolo,si veda la Fig.(2.7), la costante elastica e la massa sono proporzionali (k = mgd) e quindiil loro rapporto non dipende dalla massa.

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L

mg mg

L L

thetatheta

d

mg

d

G

G

a) b) c)

Figura 2.7. a) Un pendolo semplice; b) e c) pendoli composti. {pendoli}

E opportuno pero considerare il moto del pendolo nell’ambito delle oscillazioni rota-torie: indicato con J il momento d’inerzia rispetto al punto di rotazione del pendolo, cond la distanza del centro di massa da tale punto, con m la massa, con g l’accelerazione digravita, l’equazione differenziale di moto e

J θ = −m g d sin θ (2.13) {KC53}

Per un pendolo semplice di lunghezza L il momento di inerzia J si riduce a J = mL2

mentre per un pendolo composto si puo scrivere J = m∆2 avendo indicato con ∆ il raggiogiratore d’inerzia (∆ 4=

√J/m). Ne viene che l’equazione assume la forma

θ = −g d∆2 sin θ per un pendolo semplice: θ = −

gL

sin θ (2.14) {SW41}

Questa equazione non e quella del moto armonico a causa della presenza del terminesin θ: e l’equazione delle grandi oscillazioni pendolari per le quali il periodo cresce conl’aumentare dell’ampiezza. Solo se le oscillazioni sono di “piccola” ampiezza si puo farela posizione sin θ ≈ θ e quindi le oscillazioni diventano armoniche.

Esempi. Negli esempi che seguono consideriamo aste in regime elastico, pic-cole deformazione e · · · senza massa! Questo lo facciamo per ricondurre il loromoto a quello di un oscillatore semplice.

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m

m

u

uu

mu

rigido

Figura 2.8. Esempi di strutture vibranti ridotte ad un grado di liberta. Si intendeche il peso della massa m e trascurato, quindi le oscillazioni avvengono in unpiano orizzontale. Inoltre le aste non hanno massa. {vibra1}

Se la vibrazione ha luogo nel piano verticale il peso della massa determinauna configurazione statica di equilibrio attorno alla quale avvengono le vibrazioni,come mostra la figura (2.9).

u

configurazione di equilibrio

mgabbassamento iniziale abbassamento u(t)

0

Figura 2.9. Vibrazioni attorno alla configurazione di equilibrio deformata acausa del peso. {vibra3}

2.3 Moto armonico smorzato

Dopo aver visto il caso particolare, molto importante, di una oscillazione sen-za smorzamento e senza forzamento, descritta dall’equazione differenziale (2.4),riprendiamo lo studio della soluzione generale tentando una soluzione del tipo

u(t) = C exp(z t) (2.15) {NZ72}

in cui z e una costante da determinare. Eseguendo le derivate prime e seconde sitrova

u(t) = C z exp(z t) u(t) = C z2 exp(z t) (2.16) {M8EY}

Sostituendo nell’equazione omogenea (2.4) dovra essere

C[z2 + 2 ξω z + ω2

]exp(z t) = 0 (2.17) {PZI9}

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Affinche la funzione (2.15) sia soluzione dell’equazione (2.4) occorre che que-st’ultima sia verificata per ogni valore di t. Dal momento che la funzione exp(z t)non si annulla mai, dovra essere

z2 + 2 ξω z + ω2 = 0 (2.18) {R26F}

Si tratta di una equazione algebrica di secondo grado che prende il nome diequazione caratteristica della equazione differenziale (2.4). Questa ha comesoluzioni

z1 = (−ξ −√ξ2 − 1)ω z2 = (−ξ +

√ξ2 − 1)ω (2.19) {T28H}

Il tentativo e quindi andato a buon fine: abbiamo ottenuto due soluzioni particolari

u1(t) = C1 exp(z1 t) u2(t) = C2 exp(z2 t) (2.20) {Y25}

Ponendo∆4=

√ξ2 − 1 (2.21) {LD56}

si puo scrivere u1(t) = C1exp[(−ξ − ∆)ω t] = C1exp(−ξωt) exp(−∆ω t)

u2(t) = C2exp[(−ξ + ∆)ω t] = C2exp(−ξω t) exp(+∆ω t)(2.22) {UP76}

La soluzione generale dell’equazione omogenea si ottiene facendo una com-binazione lineare delle due soluzioni particolari (2.20) e quindi, raccogliendo iltermine exp(−ξωt) a fattor comune si avra:

u(t) = exp(−ξωt)[C1 exp(−∆ωt) +C2 exp(+∆ωt)

](2.23) {HS73}

Dobbiamo ora discutere tre casi:

ξ > 1 ξ = 1 ξ < 1 (2.24) {R9E}

Primo caso: ξ > 1. Questo e il caso in cui lo smorzamento e notevole rispettoalla pulsazione naturale del sistema. Il sistema vibrante si dice sovrasmorzato. Inquesto caso la costante ∆ e un numero reale e pertanto la soluzione (2.23), formatada una sovrapposizione di funzioni esponenziali, non ha carattere oscillatorio e lospostamento u va tendendo asintoticamente a zero, come mostrato nel grafico diFig.(2.10b).

18

ii

ii

ii

ii

Secondo caso: ξ = 1. Osserviamo che per ξ = 1 viene c = 2mω e questovalore di c si chiama coefficiente di smorzamento critico e si indica con ccr.In questo caso le due soluzioni particolari (2.20) coincidono e quindi non si puopiu affermare che esse sono linearmente indipendenti. Occorre trovare un’altrasoluzione linearmente indipendente. Si constata che la funzione

u2(t) = t exp(−ξωt) (2.25) {G2T}

e una tale soluzione (provare!). Ne viene che la soluzione generale ha la forma

u(t) = (A + Bt) exp(−ξωt) (2.26) {Z90}

Questo moto e rappresentato nel grafico di Fig.(2.10a).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

a) b)

Figura 2.10. Diagramma del moto oscillatorio smorzato in condizioni: a)critiche e b) supercritiche. {oscilla2}

Questo caso e utilizzato negli strumenti di misura, come diremo nella sezione(4.3). Il valore di c = 2 ξ ω per il quale si realizza l’uguaglianza con la pulsazionepropria si chiama coefficiente di smorzamento critico e si indica con ccr.

Terzo caso: ξ < 1 e quindi c < ccr. Il sistema vibrante si dice sottosmorza-to. Nei sistemi reali ξmax = 20%. In questo caso la quantita ∆ e immaginaria.Conviene porre

∆ =

√ξ2 − 1 = i

√1 − ξ2 (2.27) {TE15}

avendo indicato con “i” l’unita immaginaria Fatta la posizione

ωd4=

√1 − ξ2 ω (ωd ≈ 0.98ω) (2.28) {FR61}

L’indice d nella ωd sta ad indicare la pulsazione in presenza di dissipazione. Lasoluzione generale (2.23) si puo scrivere

u(t) = exp(−ξω t)[A exp(+iωd t) + B exp(−iωd t)

](2.29) {H2Z7}

19

ii

ii

ii

ii

A questo punto occorre ricordare le identita di Eulero1{exp(+iω t) ≡ cos(ω t) + i sin(ω t)exp(−iω t) ≡ cos(ω t) − i sin(ω t)

(2.30) {AS6}

Sostituendo queste espressioni nell’equazione (2.29) si ottiene

u(t) = exp(−ξωt)[A cos(ωd t) − Ai sin(ωd t) + B cos(ωd t) + Bi sin(ωd t)

](2.31) {RY54}

donde, facendo le posizioni

P = A + B Q = (B − A) i (2.32) {PL56}

si puo scrivere

x(t) = exp(−ξω t)[P cos(ωd t) + Q sin(ωd t)

](2.33) {RZ9}

che puo anche essere scritta nella forma

u(t) = C exp(−ξω t) sin(ωd t + α) (2.34) {J412}

pur di porre P = C sin(α) e Q = C cos(α) come abbiamo gia fatto con la (2.8).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

a) b)

c)

Figura 2.11. Diagramma del moto oscillatorio smorzato in condizionisubcritiche. {oscilla1}

1 Nella sezione (4.2) abbiamo riportato una dimostrazione della relazione di Eulero.

20

ii

ii

ii

ii

Si noti che, a causa dello smorzamento, la pulsazione ωd dell’oscillazionee inferiore a quella dell’oscillatore non smorzato, ω, come mostra l’Eq.(2.28)Inaltri termini il periodo di una oscillazione smorzata e superiore a quello della cor-rispondente oscillazione senza smorzamento. In breve: lo smorzamento abbassale frequenze di un oscillatore libero anche se, in generale, le abbassa lievemente.

2.3.1 Calcolo delle costanti C ed α

1) Caso in cui ξ < 1 (sottosmorzato). Dall’equazione (2.34) si ricava

v = −ξωC exp(−ξωt) sin(ωd t + α) +C ωd exp(−ξωt) cos(ωd t + α) (2.35) {PG75}

Ponendo u(0) = u0 e v(0) = v0 si ottiene

u0 = C sin(α) v0 = −ξ ωC sin(α) +C ωd cos(α) (2.36) {RQ43}

Utilizzando la relazione cosα =√

1 − sin2α dalla prima equazione si ottiene

C cos(α) =√

C2 − u20 (2.37) {UT84}

che, sostituito nella seconda equazione (2.36) fornisce

v0 = −ξ ω u0 + ωd

√C2 − u2

0 (2.38) {PT53}

Dall’equazione (2.38) e dalla prima equazione (2.36) si ricavano rispettivamenteSi noti che la seconda equazione della formula (??) fornisce due soluzioni φ1ed φ2 = π − φ1. Queste devono essere discriminate in funzione del segno dellavelocita iniziale.

2) Caso in cui ξ = 1 (smorzamento critico). Dall’equazione (2.26) si ricava

v = [B − ξ ω (A + Bt)] exp(−ξωt) (2.39) {HZ67}

dondeA = u0 B = v0 + ξ ω u0 (2.40) {PH90}

3) Caso in cui ξ > 1 (sovrasmorzato). Dall’equazione (2.23) si ricava

v = −ξ ω exp(−ξ ωt)[C1 exp(−∆ωt) +C2 exp(+∆ωt)

]+exp(−ξ ωt)

[− ∆ωC1 exp(−∆ωt) + ∆ωC2 exp(+∆ωt)

] (2.41) {JA82}

21

ii

ii

ii

ii

Ponendo u(0) = u0 e v(0) = v0 si ottiene

u0 = C1 +C2 v0 = −ξ ωC1 − ξ ωC2 − ∆ωC1 + ∆ωC2 (2.42) {RQ44}

da cui si ricava2

C1 =∆ωu0 − ξ ωu0 − v0

2∆ωC2 =

∆ωu0 + ξ ωu0 + v0

2∆ω(2.43) {YW31}

2.3.2 Decremento logaritmico

Osservando i grafici delle oscillazioni smorzate della Fig.(2.11), si vede che le am-piezze delle oscillazioni sembrano limitate da una curva esponenziale: mostriamoche questo e vero.

Intanto osserviamo che, nonostante la diminuzione dell’ampiezza delle oscil-lazioni, il periodo rimane costante. Indicato con TD il periodo viene che TD =

2 π/ωd. Facciamo il rapporto tra le ampiezze di due oscillazioni successive. Sianoρi e ρi+1 tali ampiezze: dall’Eq.(2.34) si deduce che

ρi

ρi+1=

C exp(−ξω t)C exp(−ξω [t + TD])

= exp(ξ ωTD) (2.44) {J472}

Si deduce che il rapporto tra due ampiezze consecutive e una costante. L’espo-nente della “e” si chiama decremento logaritmico delle oscillazioni e le normeinternazionali lo indicano con Λ. Si puo scrivere

Λ4= ln

(ρi

ρi+1

)decremento logaritmico (2.45) {M6R9}

2.3.3 Costante di tempo

Dalla Eq.(2.34) si vede che nel moto armonico smorzato l’ampiezza va decrescen-do col tempo secondo la legge

C(t) = C exp(−ξωt) (2.46) {JG45}

Dal momento che il coefficiente di smorzamento δ = ξω ha come dimensionil’inverso di un tempo si puo prendere tale inverso come misura della rapidita dismorzamento

τ4=

1δ

costante di tempo (2.47) {MB19}

2 Queste formule sono state usate nel programma oscilla.m.

22

ii

ii

ii

ii

La grandezza τ prende il nome di costante di tempo o anche anche tempo dirilassamento [1, p.56]. Ricordando che la base dei logarimi naturali si indicacon “e” si vede facilmente che la costante di tempo e l’intervallo durante il qualel’ampiezza della oscillazione si riduce ad 1/e. Infatti

C(t + τ)C(t)

=exp[−ξω(t + τ)]

exp(−ξωt)=

exp(−ξωt)exp(−ξωτ)exp(−ξωt)

= exp(−ξωτ) = exp(−1) =1e

(2.48) {GZ98}

Quindi la costante di tempo τ e tale che

C(t + τ) =1e

C(t) (2.49) {MU19}

Ricordiamo che 1/e ≈ 0.37.

23

ii

ii

ii

ii

Capitolo 3

Oscillazioni forzate

Quando alle forze indotte dal movimento stesso si aggiunge una forza funzionenota del tempo, chiamata forza impressa o anche forza eccitatrice, l’equazionedi moto acquista la forma

m u(t) = −h u(t) − k u(t) + f (t) (3.1) {HL34}

F(t)forza eccitatrice

xw

u(t)0u

forze indotteF = - k u F = - h v

S

Dk

cm

Figura 3.1. Il corpo e libero di muoversi lungo l’asse delle ascisse. Oltre alleforze indotte vi e una forza impressa funzione nota del tempo. {quadratino2}

Un caso particolarmente importante si ha quando la forza impressa ha unandamento sinusoidale con una pulsazione ω

m u(t) = −h u(t) − k u(t) + f0 sin(ω t) (3.2) {HL56}

Dividendo ambo i membri per la massa e facendo le posizioni (1.10) l’equazioneprecedente si puo scrivere

u + 2 ξ ω u + ω2 u =f0m

sin(ω t) (3.3) {PT89}

24

ii

ii

ii

ii

3.0.4 Oscillazioni forzate senza smorzamento

Esaminiamo dapprima il caso in cui manchi lo smorzamento. Come vedremo perun certo verso questa ipotesi semplifica la trattazione e per un altro verso introdu-ce una patologia consistente nel fatto che l’ampiezza dell’oscillazione risultante,in corrispondenza alla risonanza, diventa infinita. Questo e il prezzo che si pa-ga quando si fanno ipotesi estreme nell’intento di semplificare una trattazione.L’equazione da risolvere e

m u + k u = f0 sin(ω t) (3.4) {WP23}

Dividiamo, come al solito per la massa m e poniamo ω =√

k/m. La costante ω ela pulsazione naturale, ovvero quella che si realizza in assenza di forzamento.

u + ω2 u =f0m

sin(ω t) (3.5) {WP13}

Questa e una equazione differenziale lineare del secondo ordine e non omogeneaa causa del termine forzante a secondo membro. Si vede facilmente che la suasoluzione generale si ottiene facendo la somma della soluzione generale dell’e-quazione omogenea e di una soluzione particolare dell’equazione non omoge-nea. Indichiamo con u0(t) la soluzione generale dell’equazione omogenea, chesappiamo essere u0 = A sin(ω t) + B cos(ω t).

Tentiamo una soluzione particolare della forma

up(t) = C sin(ω t) (3.6) {YR13}

Sostituendo nell’equazione (3.5) si ottiene

−ω2 C sin(ω t) + ω2C sin(ω t) =f0m

sin(ω t) (3.7) {YR16}

Questa equazione risulta soddisfatta (per ogni istante t) se la costante C vale

C =f0m

1

ω2 − ω2 =f0

mω2

ω2

ω2 − ω2 =f0k

1

1 −(ω

ω

)2 (3.8) {YR13}

Se poniamo

β =ω

ω(3.9) {UE13}

e ricordiamo la definizione diω data dall’Eq.(1.10) possiamo scrivere la soluzionegenerale nella forma

u(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) +f0k

11 − β2 sin(ω t) (3.10) {UE13}

25

ii

ii

ii

ii

Si tratta della sovrapposizione di due oscillazioni armoniche di diversa frequen-za che non e una oscillazione e armonica. Il moto risultante e quello tipico deibattimenti, come vedremo piu tardi.

La frazione f0/k rappresenta lo spostamento che si realizzerebbe qualora unaforza di intensita f0, pari al massimo della forza eccitatrice, fosse applicata statica-mente. Se indichiamo con us tale spostamento statico e introduciamo la costante

D 4=

11 − β2 (3.11) {UE13}

che prende il nome di coefficiente di amplificazione dinamica, vediamo che ilmoto risultante ha una ampiezza tanto maggiore quanto piu β si avvicina all’unita,ovvero quanto piu la pulsazione della forza eccitatrice sinusoidaleω si avvicina al-la pulsazione naturale ω. Avendo fatto l’ipotesi che mancasse lo smorzamento, citroviamo di fronte ad una patologia puramente matematica: quando la frequenzadella forza impressa coincide con quella naturale il denominatore nell’Eq.(3.11)si annulla e l’ampiezza dell’oscillazione diventa infinita.

spostamentoassenza di forza impressa

forza impressa sinusoidale spostamento

0 5 10 15 200 5 10 15 20

0 5 10 15 200 5 10 15 20

6

4

2

0

-2

-4

-6

6

4

2

0

-2

-4

-6

5

-5

0

5

-5

0

Figura 3.2. Alcuni casi di moto oscillatorio forzato. {forzato1}

26

ii

ii

ii

ii

3.0.5 Oscillazioni forzate e smorzate

Passiamo ora ad esaminare le oscillazioni smorzate soggette ad una forza eccita-trice sinusoidale. Per trovare la soluzione generale dell’equazione non omogenea(3.2), si deve trovare un integrale particolare della medesima e quindi aggiungeread essa l’integrale generale dell’equazione omogenea. Per trovare un integraleparticolare della (1.14) tentiamo una soluzione della forma

up(t) = P sin(ω t) + Q cos(ω t) (3.12) {ZT65}

Derivando si ottiene up(t) = +Pω cos(ω t) − Qω sin(ω t)

up(t) = −Pω2 sin(ω t) − Qω2 cos(ω t)(3.13) {ZT6}

Sostituendo queste espressioni nell’equazione (1.14) si ottiene

+[− Pω2

− 2 Q ξ ωω + Pω2]

sin(ω t)

+[− Qω2 + 2 P ξ ωω + Qω2

]cos(ω t) =

f0m

sin(ω t) + 0 cos(ω t)(3.14) {K82J}

Questa uguaglianza e identicamente soddisfatta, vale a dire e soddisfatta per ognit, se sono uguali i coefficienti di sin(ωt) e cos(ωt): −Pω2

− 2 Q ξ ωω + Pω2 =f0m

−Qω2 + 2 P ξ ωω + Qω2 = 0.(3.15) {TZE7}

Dalla seconda equazione si ricava subito

Q = −P2 ξ ωω

ω2 − ω2 (3.16) {MEZ2}

Sostituendo questa espressione nella prima equazione (3.15) si ricava

P =f0m

ω2 − ω2

(ω2 − ω2)2 − (2 ξ ωω)2(3.17) {CL66}

L’equazione (3.12) puo scriversi nella forma

up(t) = R sin(ω t + θ) (3.18) {AD98}

basta fare le posizioni

P = R cos(θ) Q = R sin(θ) (3.19) {AD78}

27

ii

ii

ii

ii

Si deduce alloratan(θ) = −

2 ξ ωω

ω2 − ω2 (3.20) {AD78}

ed essendo

cos(β) =1√

1 + tan2(β)e sin(β) = tan(β)cos(β) (3.21) {KMF56}

dopo facili passaggi si ottiene

R =f0m

1√(ω2 − ω2)2 + (2 ξ ωω)2

(3.22) {MEZ3}

La soluzione generale dell’equazione completa (3.3) e la somma della soluzionegenerale dell’equazione omogenea associata e della soluzione particolare appenatrovata

u(t) = C exp(−ξ ω t) sin(ωd t + φ0) + R(ω, ξ, ω) sin(ω t + θ) (3.23) {U20}

Tale moto e quindi composto dalla sovrapposizione di due moti:

• quello del regime transitorio che e costituito da una oscillazione smorzataa causa del fattore esponenziale;• quello del regime permanente che ha la stessa frequenza della forza im-

pressa ma e sfasata dell’angolo theta.

Durante il regime transitorio le due oscillazioni di periodo diverso si compongonocome illustrato in Fig.(3.3 f ).

3.1 Fattore di amplificazione dinamica

L’integrale particolare dell’equazione completa (1.14) ha quindi la forma

up(t) =f0m

1√(ω2 − ω2)2 + (2 ξ ωω)2

sin(ω t + θ) (3.24) {A8Y}

Osserviamo che nell’equazione (3.1) in condizioni di quiete, se si applica unaforza costante di valore f0 si ottiene lo spostamento statico us, spesso chiamatodeflessione statica, dato da

us =f0k

equivalente a us =f0

mω2 (3.25) {LE9}

28

ii

ii

ii

ii

0 2 4 6 8 10

-5

0

5

forza nulla

0 2 4 6 8 10-5

0

5elongazione

0 2 4 6 8 10-100

-50

0

50

100forza costante / momento costante

0 2 4 6 8 10-20

-10

0

10

20elongazione / angolo

0 2 4 6 8 10-100

-50

0

50

100forza sinusoidale

0 2 4 6 8 10-5

0

5elongazione

a) b) oscillazione libera

c)

e) f)

d)

Figura 3.3. Alcuni casi di moto oscillatorio forzato. {forzato}

Questa relazione ci consente di scrivere

up(t) = usω2√

(ω2 − ω2)2 + (2 ξ ωω)2sin(ω t + θ) (3.26) {MC6}

Dal momento che il seno ha come massimo valore l’unita, il massimo um dell’e-longazione rapportato all’elongazione statica us fornisce il fattore

D 4=

um

us=

ω2√(ω2 − ω2)2 + (2 ξ ωω)2

(3.27) {YZ7}

che prende il nome di fattore di amplificazione dinamica in quanto rappresenta il

29

ii

ii

ii

ii

fattore per il quale occorre moltiplicare l’elongazione statica per avere l’ampiezzadel moto.

Introducendo il fattore di amplificazione dinamica la soluzione generale del-l’equazione si puo scrivere (3.3)

u(t) = C exp(−ξ ω t) sin(ωd t + φ0) + us D(ω, ξ, ω) sin(ω t + θ) (3.28) {HJ89}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

e=0.1

e=0.2

e=0.3

D(z

z z

, e) β

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

e=1

e=1

e=0.1

e=0.1

Figura 3.4. a) il fattore di amplificazione dinamica; b) la fase θ dellaoscillazione forzata. {eserciz-ampli2G}

Dividendo numeratore e denominatore per ω2 il fattore di amplificazione di-namica dato dalla (3.27) acquista la forma particolarmente sintetica

D(β, ξ) =1√

(1 − β2)2 + (2 ξ β)2(3.29) {PS8}

Il grafico di questo fattore in funzione di β per diversi valori del parametro ξ eriportato in Fig.(3.4a).

La fase θ data nella (3.20) assume la forma

θ = arctan(−2ξβ1 − β2

)(3.30) {HTX5}

ed il suo grafico e riportato in Fig.(3.4b).

Letture consigliate A coloro che vogliono capire a fondo la teoria delle vibra-zioni si consiglia lo studio dei primi quattro capitoli del libro [5]. Contengono unaesposizione dell’argomento dettagliata, chiara e ricca di riferimenti sperimentali.Vi sono pochissimi trattati di fisica generale sperimentale: un primo trattato equello di Perucca [7] (autore italiano), un secondo e quello di Fleury-Mathieu [4](autori francesi e traduzione in italiano); il terzo e di Pohl [8] (autore tedesco etraduzione in italiano).

30

ii

ii

ii

ii

3.2 Risonanza

Quando la forza impressa ha un andamento periodico, in particolare sinusoidale,con una frequenza uguale a quella naturale, l’oscillazione viene esaltata e l’am-piezza diventa vistosa. L’esame del grafico (3.4a) mostra che la massima ampiez-za del moto si ha quando la pulsazione della forza sinusoidale impressa e ugualea quella naturale: e questo il fenomeno della risonanza.

In realta la presenza di uno smorzamento sposta tale massimo verso una fre-quenza leggermente minore di quella naturale, come mostra il grafico.

vedere ... Basta considerare la identita

sin(ω0t + φ0) + sin(ω0t) ≡ 2 cos (φ0

2) sin (ω0 t +

φ0

2) (3.31) {GQ84}

che si ricava a partire dalle due formule{sin(θ + φ) = sin(θ)cos(φ) + cos(θ)sin(φ)sin(θ − φ) = sin(θ)cos(φ) − cos(θ)sin(φ) (3.32) {YQ43}

quindi sommarle membro a membro ottenendo

sin(θ + φ) + sin(θ − φ) = 2 sin(θ)cos(φ) (3.33) {YQ53}

Facendo ora le posizioniθ + φ = σ θ − φ = τ (3.34) {TL07}

la relazione (3.33) diviene

sin(σ) + sin(τ) = 2 sin(σ + τ

2)cos(

σ − τ

2) (3.35) {HJ51}

Ponendo oraσ = ω0 t + φ0 τ = ω0 t (3.36) {YC26}

si ottiene la relazione (3.31).Basta infatti cercare il massimo del fattore di amplificazione dinamica: questo

si ha quando la derivata di D(z, e) e nulla. Eseguendo la derivata si trova

z =√

1 − 2e2 (3.37) {JK42}

Da questa formula si ricava che z si annulla per e =√

2/2 = 0.71. Questo vuoldire che, a partire da e = 1.71 in su, la massima ampiezza dell’elongazione si haa frequenza nulla (z = 0 implica λ = 0).

31

ii

ii

ii

ii

3.3 Banda passante

Esaminando il fattore di amplificazione dinamica della Fig.(3.4) si vede che l’am-plificazione e notevole nella zona vicino al picco, quello per il quale l’amplifi-cazione e massima cioe quando λ = ω0 ovvero z = 1. Si conviene di consi-derare un intervallo di frequenze attorno alla frequenza naturale ω0 per ciascunadelle quali l’amplificazione dinamica sia superiore alla meta dell’amplificazio-ne massima. Tale intervallo prende il nome di banda passante. Ricordando ladefinizione di e data dalla formula (??), con riferimento alla Fig.(??)1, si puo di-mostrare che la semilarghezza della banda passante e

√3ω0. Quindi le frequenze

della forza impressa per le quali l’amplificazione dinamica e superiore alla metadell’amplificazione massima corrispondente alla pulsazione propria f0 ...

3.4 Battimenti

Nella sovrapposizione di due oscillazioni unidimensionali lungo la stessa direzio-ne si da il caso che le frequenze siano molto vicine: in questo caso l’oscillazionerisultante ha una ampiezza che aumenta e diminuisce periodicamente. Questo e ilfenomeno dei battimenti.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-4

-2

0

2

4

tempo

Figura 3.5. La sovrapposizione di due oscillazioni di frequenza poco diversada luogo a successivi rinforzi e annullamenti che costituiscono il fenomeno deibattimenti. {batti}

1♣ al momento manca la figura

32

ii

ii

ii

ii

Capitolo 4

Complementi

4.1 Programmi in Matlab

Si prelevano mediante un “navigatore dal sito<ftp://ftp.dic.units.it/pub/studenti/meccanicaRazional>(attenzione, manca la “e finale).

1. oscilla.m Traccia il grafico del moto in funzione dei tre parametri k,m, h.2. oscillaBello.m Come oscilla.m ma interattivo. E complicato da compren-

dere in quanto utilizza istruzioni specifiche del Matlab quali cursori, botto-ni, ecc.

3. traccia.m chiamato da oscillaBello.m.4. forzato.m mostra sei finestre con termine forzante e conseguente moto;5. forzatoBello.m come forzato.m ma interattivo. E complicato da compren-

dere in quanto utilizza istruzioni specifiche del Matlab quali cursori, botto-ni, ecc.

6. traccia2.m chiamato da forzatoBello.m.7. ampli2.m traccia il grafico del fattore di amplificazione dinamica.8. sfasamento.m traccia il grafico dello sfasamento tra forza e spostamento.

4.2 Relazione di Eulero{Eulero}

Ricordiamo lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione nell’intorno dell’origine

f (x) = f (0) + x f ′(0) +x2

2!f ′′(0) +

x3

3!f ′′′(0) + · · · (4.1) {PY19}

Applicando questo sviluppo alle tre funzioni exp(x), sin(x), cos(x) otteniamo

33

ii

ii

ii

ii

exp(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+

x7

7!+ · · ·

sin(x) = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+ · · ·

cos(x) = 1 +x2

2!−

x4

4!+

x6

6!+ · · ·

(4.2) {TE89}

Si vede che se non fosse per i segni alternati sommando gli sviluppi in serie delseno e del coseno si otterrebbe la funzione esponenziale. Viene l’idea di fare lasostituzione x −→ i x nello sviluppo della funzione esponenziale ottenendo

exp(i x) = 1 + i x −x2

2!− i

x3

3!+

x4

4!+ i

x5

5!−

x6

6!− i

x7

7!+ · · · (4.3) {TE90}

D’altro canto moltiplicando per “i” lo sviluppo in serie del seno otteniamo

i sin(x) = i x − ix3

3!+ i

x5

5!− i

x7

7!+ · · · (4.4) {TE91}

Si vede allora che sommando quest’ultimo sviluppo con quello del coseno siottiene

cos(x) + i sin(x) = 1 + i x −x2

2!− i

x3

3!+

x4

4!+ i

x5

5!−

x6

6!− i

x7

7!+ · · · (4.5) {TE92}

che coincide con l’Eq.(4.3). Ne viene la relazione

exp(x) = cos(x) + i sin(x) (4.6) {TE93}

Questa formula e la piu bella formula dell’analisi matematica. Infatti ponendox = π si ottiene

ei π + 1 = 0 (4.7) {TE94}

che lega fra loro i principali numeri della matematica:

0 1 i π e (4.8) {TE95}

Ricordiamo che

e = limn−→∞

(1 +

1n

)n

(4.9) {T7R3}

34

ii

ii

ii

ii

4.3 Ago di una bilancia{gigi}

Consideriamo una bilancia, come quella del macellaio o del fornaio. Una voltaappoggiato un peso sul piatto della bilancia l’indice si sposta raggiungendo unposizione di equilibrio: in corrispondenza alla posizione raggiunta la graduazio-ne della bilancia ne indica il valore, come mostra la figura (4.1). L’indice ruotaattorno ad un asse ed e soggetto ad una molla a spirale che tende a riportarlo nel-la posizione di zero nonche ad uno smorzamento di tipo viscoso. Indicato con θl’angolo di posizione, la forza di richiamo elastica e f = −k θ, quella viscosa ef = −c θ ed il momento d’inerzia dell’indice sara indicato con J.

0

kθ

θ

c θ

120

M0

Figura 4.1. Il moto dell’indice di uno strumento di registrazione. {agoBilanciaG}

Sotto l’azione di un peso costante sul piatto della bilancia, sull’indice si eser-cita un momento pure costante M0. L’equazione di moto corrispondente alla (1.9)sara

Jθ + cθ + kθ = M0 (4.10) {HM87}

La soluzione generale di questa equazione si ottiene sommando alla soluzionegenerale dell’equazione omogenea, corrispondente alle oscillazioni libere, la so-luzione particolare. Si vede facilmente che quest’ultima soluzione ha la formaθp = M0/k.

Ponendo

δ4=

c2J

ω4=

√kJ

ω4=

√ω2 − δ2 (4.11) {KP05}

la soluzione generale avra la forma

θ(t) = A exp(−δ t) sin(ω t + φ0) +M0

k(4.12) {ME87}

Questo moto e rappresentato in Fig.(3.3c, d). Se si fa in modo che sia verificatala relazione ξ = 1, ovvero che si realizzi lo smorzamento critico, l’indice del-lo strumento raggiungera la posizione finale asintoticamente, senza oscillazioni.

35

ii

ii

ii

ii

Questo avverrebbe anche al di sopra dello smorzamento critico ma con un tempomaggiore, come si vede confrontando la Fig.(2.10b) con la figura la Fig.(2.10a).Quindi lo smorzamento critico consente di raggiungere la posizione finale in mi-nor tempo. Vi e pero il pericolo che l’indice rimanga “incollato”, per cosı dire, inuna posizione precedente quella finale a causa della piccolezza delle forze in gio-co all’equilibrio e della presenza di un po’ di smorzamento per attrito che non estato considerato nell’equazione. Per evitare questo si sta un poco al di sotto dellosmorzamento critico cosicche una o due oscillazioni di piccola ampiezza possanoaver luogo [10, p.18]. Questo caso viene realizzato nel movimento dell’indicedi molti strumenti di misura, quali il voltmetro e l’amperometro oltre che negliammortizzatori per la chiusura delle porte, nelle sospensioni delle automobili,ecc.

4.4 Il diagramma di Fresnel

Il moto armonico si puo rappresentare convenientemente con un vettore rotantecon velocita angolare costante attorno alla sua origine, come mostra la Fig.(4.2a).Se indichiamo con C la lunghezza del vettore la proiezione sull’asse delle ascissedella sua estremita ha la forma data dall’equazione (2.11).

A

PO

φ0

φω t

x(t)

x(t)

Figura 4.2. a) Un modo semplice di generare un moto armonico e quello diconsiderare un vettore rotante con velocita angolare costante e di considerarela sua proiezione su un asse della circonferenza; b) il moto del pomolo di unamanovella visto dal piano e armonico. {manovellaG}

Questa descrizione mostra che la pulsazione del moto armonico coincide conla velocita angolare ω del vettore. Questo spiega il perche si fa uso della stessalettera ω per indicare la pulsazione e la velocita angolare [4, p.265], [1, p.4];giustifica anche il nome di frequenza angolare dato alla pulsazione1 che si misura

1 In inglese il termine pulsazione si traduce con angular frequency.

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ii

ii

ii

ii

in radianti al secondo (rad/s).Il legame tra moto armonico di un punto e moto circolare uniforme del punto

estremo del vettore rotante e ancora piu profondo. Con riferimento alla Fig. (4.3)considerando che la velocita del punto e tangente alla traiettoria ed ha modulo ωre che l’accelerazione e centripeta ed ha modulo ω2r, una volta tracciate la velo-cita e l’accelerazione del punto si vede che le proiezioni dei due vettori sull’asseorizzontale coincidono con la velocita e l’accelerazione del punto che descrive ilmoto armonico [5, p.28].

ωtv

a

r

Ox

v a

v

a

r

O

xv aφ0

φ

a) b)

Figura 4.3. a) Il moto circolare uniforme fornisce una comoda rappresentazio-ne delle grandezze del moto armonico; b) Il diagramma vettoriale di Fresnel chesi deduce dalla figura di sinistra. {FresnelG}

Infatti, con riferimento alla Fig.(4.3a) si vede che

u(t) = C sin(ωt + α)v(t) = C ω cos(ωt + α)a(t) = −C ω2 sin(ωt + α)

(4.13) {LF73}

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ii

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ii

Bibliografia

[1] Den Hartog J.P., Mechanical Vibrations, McGraw Hill, 1947[2] Devoto G., Oli G.C., Dizionario illustrato della lingua italiana, Selezione dal

Reader’s Digest, 1975.[3] Drazil J.W,. Dictionary of Quantities and Units, Leonard Hill, London, 1971[4] Fleury P., Mathieu J.P., Trattato di fisica generale e sperimentale, 9 volumi,

Meccanica, Zanichelli, 1970, vol. 1, cap. 14.[5] Fleury P., Mathieu J.P., Trattato di fisica generale e sperimentale, 9 volumi,

Meccanica, Zanichelli, 1970, vol. 3, cap. 1.[6] Mazet R., Roy M.M. Mecanique vibratoire, Librairie Polytechnique Ch. Beranger,

1955[7] Perucca E., Fisica generale e sperimentale, UTET, 1940, 2 volumi.[8] Pohl R.W., Trattato di fisica, 2 volumi, Piccin Editore, 1971[9] Rochard Y. , Dinamique generale des vibrations, Masson, 1971, chapitre II.

[10] Sharman R.V., Vibrations and Waves, Butterworths, London, 1963, capitoli 1 e 2.[11] Timoshenko S., Vibration Problems in Engineering, Van Nostrand, 1937

FINE

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