Osilator Harmonik

Osilator harmonik : gerak bolak-balik yang terjadi di sekitar titik kesetimbangan. Salah satu contoh dari osilator harmonik yang sering kita jumpai adalah dalam sistem pegas, bandul yang diayunkan dan masih banyak lagi. Untuk lebih mempermudah, maka pembahasan dari osilator harmonik difokuskan pada sistem pegas.

(F = - k x)Misalkan ada sebuah benda bermassa m yang diikatkan pada pegas ideal dengan konstanta gaya k dan bebas bergerak di atas permukaan horizontal yang licin (tanpa gesekan), merupakan contoh dari osilator harmonik.

(x) (x) (F = - k x) (F = 0)

(Titik setimbang (x = 0))

Gaya pemulih pada balok pegas,

F = - k x , Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya disini berlawanan dengan arah perpanjangan pegas (x)

Berdasarkan hukum Newton II, diketahui bahwa F = m a , sehingga :

F = m a

- k x = m

m + k x = 0

x = 0

x = 0 , dimana

Operator pada persamaan fisika kuantum dapat dituliskan sebagai berikut :

= E

Dimana :

: (operator energi / Hamiltonian)

, : fungsi gelombang

E : nilai eigen energi

Tinjau osilator harmonik untuk satu dimensi :

(E = K + P , K = energi kinetik = P = energi potensial pegas = )E = +

Dalam mekanika kuantum, operator Hamiltonian (operator energi total) dapat dirumuskan sebagai berikut :

=

= ,

= (1)

= +

= +

= +

= +

= + = E (2)

Persamaan (2) ini yang disebut sebagai persamaan Schrdinger time-independent

E = + ... (3)

Persamaan Schrdinger pada persamaan (3) membutuhkan solusi penyelesaian, yang mana solusi yang diharapkan ini berupa tingkat energinya. Sehingga persamaan (3) dapat dituliskan menjadi :

E = ( + )

E = ( + ) , jika

E = ( + )

E = .. (4)

Dengan menggunakan sifat aljabar yang menyatakan bahwa :

=

Sehingga persamaan (4) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian dua faktor, yaitu

E = , = = ( (

E = ( (

E = (5)

Jika diketahui bahwa dan adalah suatu operator yang didefinisikan sebagai berikut :

Maka persamaan (5) akan menjadi :

E = ... (6)

adalah operator, bukan bilangan biasa. Pada umumnya operator tidak bersifat komut () sehingga perlu dicek hasil dari dan

.. (7)

Pada mekanika kuantum, hubungan komutator antara dan ditunjukkan oleh :

Sehingga persamaan (7) menjadi

.. (8)

Diketahui bahwa = , sehingga akan diperoleh bentuk persamaan Schrdinger baru, yaitu

(9)

Persamaan (9) adalah salah satu bentuk dari operator Hamiltonian untuk osilator harmonik. Persamaan (9) juga dapat dinyatakan dalam bentuk

E =

E

... (10)

Dengan cara yang sama untuk mendapatkan hasil dari , digunakan untuk mendapatkan hasil dari yaitu

,

.... (11)

.. (12)

Persamaan (12) adalah salah bentuk kedua dari operator Hamiltonian untuk osilator harmonik. Persamaan (12) juga dapat dinyatakan dalam bentuk

E =

E

... (13)

Untuk mengetahui sifat dari operator jika bekerja pada suatu fungsi eigen . Misalkan suatu fungsi . Jika bekerja pada , dengan

akan menghasilkan

(14)

Persamaan (14) menunjukkan bahwa operator akan menurunkan energi sebesar . Demikian juga jika operator bekerja pada maka akan menurunkan energi sebesar , dan seterusnya.

Jika

Maka

... (15)

Sifat dari operator jika bekerja pada suatu fungsi eigen . Misalkan suatu fungsi . Jika bekerja pada , dengan akan menghasilkan

. (16)

Persamaan (15) menunjukkan bahwa operator akan menaikkan energi sebesar . Demikian juga jika operator bekerja pada maka akan menaikkan energi sebesar , dan seterusnya.

Jika

Maka

... (17)

Jika dioperasikan berkali-kali pada maka suatu saat akan tercapai suatu kedaan yang memiliki energi terendah. Keadaan dengan energi terendah biasa disebut dengan keadaan dasar (ground state). Misalkan adalah solusi untuk keadaan dasar, maka pengoperasian operator pada akan menghasilkan nilai nol karena tidak ada lagi keadaan dengan energi lebih rendah.

Untuk menentukan nilai energi osilator harmonik pada keadaan dasar, persamaan energi E = untuk nilai , maka nilai energinya sama dengan E0

E0 = ,

E0 =

E0 =

E0 = ,

energi pada keadaan dasar dari osilator harmonik tidak sama dengan nol. Untuk mendapatkan nilai energi pada keadaan tereksitasi ke-n , En dapat diturunkan dari persamaan En =

En , E = E0

En

En = (18)

Persamaan (18) merupakan solusi untuk tingkatan energi dari osilator harmonik.

Fungsi partisi dapat dinyatakan sebagai berikut :

Z = k)

Fungsi partisi untuk osiltor harmonik dapat dinyatakan persamaan berikut :

Z = ( n + ))

= + ())

= )()

=())... (19)

Untuk menentukan nilai , digunakan penjumlahan deret geometri yaitu

.... (20)

Berlaku untuk |x|