Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF filePostupak crtanja: 1. raš članiti složenu prijenosnu funkciju na osnovne ... Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz

Osnove regulacijske tehnike

prof. dr.sc. Dario Matika

mr.sc. Dalibor Brnobić

Vježba:

Bodeovi dijagramiasimptotski prikaz amplitudne i fazne

frekvencijske karakteristike

Bodeovi dijagrami - uvod

Definicije:

fπω 2=ω kružna frekvencija

A(ω) pojačanje sustava na frekveniciji ω

L(ω) amplitudna frekvencijska karakteristika

)()( ωω jGA =

)(log20)( ωω AL =

Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 2

karakteristika

φ(ω) fazna frekvencijska karakteristika

)(log20)( ωω AL =

)(

)()(

ω

ωωϕ

jGre

jGimarctg=

Ishodište: zamjena s →jω

)()( ωjGsG →

Bodeovi dijagrami - uvod

Dijagram:

x - os

logaritamska skala

+ kružna frekvencija

ili

logaritam kružne frevencije

MATLAB

s=tf(‘s')

G=10*(1+10*s)/(1+100*s)^2

bode(G)


logaritam kružne frevencije

+ linearna skala

y – osL(ω) i φ(ω) na istom grafuilidva jednostruka dijagrama

Bodeovi dijagrami – asimptotski prikaz

Svrha:

� grubo skicirati tijek frekvencijskih karakteristika

� uvidjeti (“dobiti osjećaj o”) temeljna značajke osnovnih dinamičkih komponenti u frekvencijskom prostoru

� kriteritički procjeniti ispravnosti rezultata dobivenih pomoću numeričkih alata


� kriteritički procjeniti ispravnosti rezultata dobivenih pomoću numeričkih alata

� brže lociranje pogreške

� odbaciti neargumentirani odgovor “tako je pokazao MATLAB”

Nije svrha:

� inzistirati na apsolutnoj preciznosti dijagrama



Karakteristični nagibi

-1 -20dB/dekadi

-2 -40dB/dekadi

-3 -60dB/dekadi

...


Postupak crtanja:

1. raščlaniti složenu prijenosnu funkciju na osnovne

dinamičke komponente

2. analizirati ključne veličine svakog dijela ponaosob

3. odrediti minimalne i maksimalne frekvencije od


3. odrediti minimalne i maksimalne frekvencije od

interesa

4. procjeniti dimenzije grafa

• max, min: logω, L, φ

5. nacrtati Bodeov dijagram za osnovne komponente

6. grafički “zbrojiti” pojedine odazive



G1(s) G2(s)

( ) ( ) ( )21 sGsGsG =

kako i zašto?

Amplitudna


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )ωω

ωω

ωω

ωωωω

ωωωωω

21

21

21

21

2121

21

log20log20

log20log20

log20log20

)(

LL

AA

GG

GGAL

GGGGA

sGsGsG

+=

+=

+=

==

==

=Amplitudna karakteristika:



G1(s) G2(s)kako i zašto?

Fazno kašnjenje:

u(t) y(t) z(t)


Fazno kašnjenje:

ako

G1 na frekvenciji ω unosi kašnjenje φ1 - kut između y(t) i u(t)

G2 na frekvenciji ω unosi kašnjenje φ2 - kut između z(t) i y(t)

onda serijska veza G1G2 frekvenciji ω unosi kašnjenje

φ = φ1 + φ2 - kut između z(t) i u(t)

Bodeovi dijagrami – primjer 1

Primjer 1:

Nacrtaj Bodeov dijagram sustava s prijenosnom funkcijom

( ) ( )( )( )22

3102 +++

+=

ssss

ssG

1. korak


1. korak

raščlaniti složenu prijenosnu funkciju na osnovne dinamičke komponente

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )22 2/12/11/11

3/115.7

2/12/112/112

3/11310

ssss

s

ssss

ssG

+++

+=

++⋅⋅+⋅

+⋅=


1. korak

G(s) se može (mora!) rasčlaniti na osnovne komponente:

5.7=K

( )s

sG1

1 =

konstanta

pol u ishodištu - astatizamporast lomne frekvencije


s

( ) ssG 3/114 +=

( )22

2/12/11

1

sssG

++=

dvostruki pol - PT2 član potrebna dodatna analiza podtipa

( )s

sG2/11

13

+= realan pol – PT1 član

realna nula

frekvencije

olakšava kasnije crtanje

Konstanta

Amplitudna karakteristika

– pravac s nagibom nula na


2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente

5.7=K

[ ]dBKL 5,17log20)( ==ω


[ ]dBKL 5,17log20)( ==ω

°= 0)(ωϕ

Fazna karakteristika




Proporcionalni član 5.7=K


( )s

sG1

1 =Astatizam


- pravac s nagibom -1 (nagib od -20dB/dekadi)

- sječe x-os (L(ω)=0) pri



- sječe x-os (L(ω)=0) pri




)log(1 ωω ⇒=

°−= 90)(1 ωϕ

(Nema promjena u karakteristici, nema niti lomne frekvencije!)



Astatizams

sG1

)(1 =


dvostruki pol

Potrebno odrediti da li se radi o

- realnim ili konjugirano kompleksim polovima



( )22

2/12/11

1

sssG

++=

- realnim ili konjugirano kompleksim polovima

- da li dolazi do frekvencijskog nadvišenja

→ potrebno odrediti koeficijent realnog prigušenja


( )

2

22

22

1

1

2

1

2

11

1

nn

ssss

sG

ωω

ζ++

=

++

=

354,0

2

=

=

ζ

ωn

Prema tome

- konjugirano kompleksni polovi – oscilatorna komponenta

- postoji frekvencijsko nadvišenje



707,0354,0 <=ζ


[ ]

[ ]dBLK

A

sradn

58,3)51,1log(2051,112

)1(

088,0log/224,121

707,0354,0

max2

max

max

2

max

===−

==

==−=

<=

ζζ

ωζωω

ζ

Asimtotski prikaz – vezan za lomnu frekvenciju:

Amplitudna karakteristika:

- do lomne frekvencije (NF asimptota): nagib 0 na 0dB

- iznad lomne frekvencije (VF asimptota): nagib -2




Fazna karakteristika:

- 1 dekada ispod lomne frekvencije (NF): 0°

- 1 dekada iznad lomne frekvencije (VF): -180°

- između (VRLO!) gruba aproksimacija:

prijelaz po 180°/2dekade = 90°/dekadi


( )22

2/12/11

1

sssG

++=


PT2s

2=ω


[ ]dBL

n

n

58,3

088,0log

15,0log

354,0

2

max

max

=

=

=

=

=

ω

ω

ζ

ω

Pol

Karakteristične veličine:



( )s

sG2/11

13

+=


[ ] 3,0log/2/12/1 3333 ==== ωω sradTT

Asimptotski prikaz – lomna frekvencija na 0,3




(jednostruki pol)



(jednostruki pol)



- 1 dekada iznad lomne frekvencije (VF): -90°

- između aproksimacija:

prijelaz po 90°/2dekade = 45°/dekadi



PT1

3,0log =ω

( )s

sG2/11

13

+=


3,0log 3 =ω

Nula

Karakteristične veličine:



( ) ssG 3/114 +=


[ ] 48,0log/3/13/1 4444 ==== ωω sradTT

Asimptotski prikaz – lomna frekvencija na 0,3



- iznad lomne frekvencije (VF asimptota): nagib +1

(jednostruka nula)



(jednostruka nula)



- 1 dekada iznad lomne frekvencije (VF): +90°

- između aproksimacija:

prijelaz po +90°/2dekade = +45°/dekadi



nula

48,0log =ω

( ) ssG 3/114 +=


48,0log 4 =ω


Za brže i lakše rješavanje koraka...

3. odrediti minimalne i maksimalne frekvencije od interesabarem 2,5 dekade ispod(iznad) najniže(najviše) lomne frekvencije

4. procjeniti dimenzije grafa

• max, min: logω, L, φ


• odrediti najneugodniji slučaj (samo polovi, samo nule...)

5. nacrtati Bodeov dijagram za osnovne komponente

...se preporuča kreiranje pomoćne tablice


Pomoćna tablica s ključnim vrijednostima

F(s) �� ±1 � Nagib

G1(s) - - - −�2 −1

G (s) �� 0.15−0.85 1.15�

0 −�� 0 −2�


Dodatno: 20logK=Pomoćna tablica s ključnim vrijednostima

G2(s) �� 0.15 −0.85 1.15�

0 −�� 0 −2�

G3(s) �� 0.30 −0.70 1.30�

0−�2� 0 −1�

G4(s) �� 0.48 −0.52 1.48�

0 �2�

0 1�


korak 5:

ucrtati karakteristike svih komponenti na zajednički dijagram



korak 6:

“grafičko zbrajanje”



do prve lomne frekvencije (ω2):

astatizam+konstanta

nagib: -1


korak 6:




do ω3:

astatizam+konstanta

+dvostruki pol

nagib:

-1+(-2)=-3

20 45

40 90

L(ω)[dB] φ(ω)[°]

log ω0 1 21

logω2

20logK

logω3 L4(ω)logω4


korak 6:



-20 -45

-40 -90

log ωn0 1 2-1

-60 -135

-80 -180

L2(ω)

L1(ω)

L3(ω)


do ω4:

astatizam+konstanta

+dvostruki pol +jednostruki pol

nagib:

-1+(-2)+(-1)=-4

20 45

40 90

L(ω)[dB] φ(ω)[°]

log ω0 1 21

logω2

20logK

logω3 L4(ω)logω4-1

-3


korak 6:



-20 -45

-40 -90

log ωn0 1 2-1

-60 -135

-80 -180

L2(ω)

L1(ω)

L3(ω)

-4

-3


iznad ω4:

nagib:

-1+(-2)+(-1)+1=-3

na kraju: naznačiti amplitudno nadvišenje


korak 6:



20 45

40 90

L(ω)[dB] φ(ω)[°]

log ωn0 1 21

logω2-1 logω2+1

20logK

logω3-1 logω3+1

φ4(ω)

logω4-1 logω4+1


U svakoj ključnoj točki potrebno je zbrojiti fazne kuteve svih komponenti

(ne zaboraviti 90°koje unosi astatizam)

-20 -45

-40 -90

log ωn0 1 2-1

φ2(ω)

-20 -135

-40 -180

φ1(ω)

φ3(ω)


log ω

n1

2

φ2(ω)

logω

2+1

logω

3+1

φ4(ω)

logω

4+1

φ(ω)


20

45

40

90

-20

-45

-40

-90

L(ω)[dB]

φ(ω)[°]

0-1

-60

-135

-80

-180

logω

2-1

φ1(ω)

20logK

φ3(ω)

logω

3-1

logω

4-1

-100

-225

-120

-270

-140

-315

-160

-360


( ) ( )( )( )22

3102 +++

+=

ssss

ssG



( ) ( )( )( )22

3102 +++

+=

ssss

ssG


-20

0

20

40

(0.1

5,14

.49) → ←

(0.3

0,5.

46)

(0.4

8,-8

.63) →

L(d

B)


( ) ( )( )( )22

3102 +++

+=

ssss

ssG Usporedba točnog i asimptotskog

prikaza dijagrama

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-40

(0.4

8,-8

.63)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-300

-250

-200

-150

-100

-50

(-0.

85,-9

0.00

) → ←(-

0.70

,-103

.55)

(-0.

52,-1

27.3

2) →

←(1

.15,

-277

.92)

(1.3

0,-2

77.9

2) →

←(1

.48,

-270

.00)

phase(d

eg)

log10 ω(rad/s))



Primjer 2:

Nacrtaj Bodeov dijagram sustava s prijenosnom funkcijom

( )( )( )

1za102

12

=++

+= K

sss

sKsG

1. korak


1. korak

( )( )( ) ( )( )222 1,015,01

1005,0

1,015,01102

1

sss

s

sss

ssG

++

+=

++⋅⋅

+=


G(s) se raščlanjuje na osnovne komponente:

005,01 =K

( )s

sG1

1 = astatizam

( ) ssG += 12

dBK 46log20 1 −=konstanta

nula 0log11 222 === ωωT


( ) ssG += 12 nula 0log11 222 === ωωT

( )s

sG5,01

13

+= pol 3,0log25,0 333 === ωωT

( )( )24

1,01

1

ssG

+= dvostruki pol 1log101,0 434 === ωωT


Pomoćna tablica s ključnim vrijednostima

F(s) �� ±1 � Nagib

G1(s) - - - −�2 −1

G (s) �� 0−1 1�

0 �2�

0 +1�


Dodatno: 20logK1=-46dB

G2(s) �� 0 −1 1�

0 �2�

0 +1�

G3(s) �� 0,3 −0.70 1.30�

0−�2� 0 −1�

G4(s) �� 1 0 2�

0 �� 0 −2�

-80

-60

-40

-20

(0.0

0,-5

3.98

)→

←(0

.70,

-53.

98)

(1.0

0,-6

0.00

)→L(d

B)


Usporedba točnog i asimptotskog prikaza dijagrama

( )( )( )

1za102

12

=++

+= K

sss

sKsG

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-100

(0.0

0,-5

3.98

)

(1.0

0,-6

0.00

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-300

-250

-200

-150

-100

-50

(-1.

00,-9

0.00

)→

←(-

0.30

,-58.

55)

(0.0

0,-5

8.55

)→

←(1

.00,

-148

.55)

(1.7

0,-2

42.9

1)→ ←(2

.00,

-270

.00)

phase(d

eg)

log10 ω(rad/s))



Primjer 3: Bodeov dijagram inverzne prijenosne funkcije

Problem: Poznat je Bodeov dijagram za (prototipni) sustav G(s).Skiciraj Bodeov dijagram za sustav G1(s)=1/G(s).

( ) )== ωωϕωω (arg)()(log20 GGLpoznato:


( )

)()(arg)(

1arg)(arg)(

)()(log20)(

1log20)(

)(

1

11

11

ωϕωω

ωωϕ

ωωω

ω

−=−===⇒

−=−==⇒=

GG

G

LGG

LsG

sG

Zaključak: potrebno je zamijeniti predznak karakteristike prototipne f-je→ potrebno je graf karakteristike zrcaliti oko osi x!!!


prototip PT1

( )s

sG2/11

13

+=


inverz: PD

( ) ssG 2/11'3 +=


Primjer 4: Bodeov dijagram neminimalno-fazne funkcije

Problem: neminimalno-fazna funkcija ima nulu u desnoj s poluravnini.

( )3

35

−=

ssGPrimjer:

( ) ( ) sTsss

sG 13/113/1133

−=−=−=−

=

Postupak:


( ) ( ) sTsss

sG 55 13/113/113

3

3

3−=−=−=

−=1. standardni zapis

( ) ωω jTG −=152. s→jω

( )

( ) )1log(101log20

11

22

5

22

55

22

555

ωωω

ωωω

TTL

TjTA

+=+=

+=−=3. AFK

( ) ( )( )

ωω

ω

ωωϕ 5

5

5

55

11Re

1ImT

T

jT

jT−=

−=

−

−=3. FFK


( ) ωωϕ 55 T−=( ) ( )22

55 1log10 ωω TL +=( ) sTsG 55 1−=

( ) sTsG 44 1−=

Usporedba s poznatim članom – poznatim prototipom:

( ) ωωϕ 44 T=( ) ( )22

44 1log10 ωω TL +=

Zaključak:


Zaključak:

fazno-neminimalna nula

- ima istu amplitudnu karakteristiku kao i fazno-minimalna nula (VF: +1)

- ima inverznu faznu karakteristiku u odnosu na fazno-minimalnu nulu (VF: -90°)


prototip PD

( ) ssG 3/114 +=


fazno-neminimalna nula

( ) ssG 3/115 −=

( )sG4( )sG5


Primjer 5: Zadatak 1, ispit 9.7.2004.

SUSTAV 6

A(0.60,-13.98) B(1.00,-6.02)

SUSTAV 7

A(0.30,-18.06) B(1.00,-46.02)

Na slici su prikazani asimptrotski prikazi bodeovih dijagrama za sustave 6 i 7. Iz dijagrama odredi prijenosne funkcije G6(s) i G7(s)


B(1.00,-6.02) C(1.30,-6.02) D(-0.40,0.00) E(0.00,-17.91) F(0.30,-45.00) G(1.60,-220.6) H(2.00,-256.5) I(2.30,-270.00)

B(1.00,-46.02) C(1.30,-52.04) D(-0.70,-90.00) E(0.00,-121.45) F(0.30,-121.45) G(1.30,-166.45) H(2.00,-166.45) I(2.30,-180.00)


Sustav je proporcionalan (nema astatizma, nagib 0 na NF).

Lomne frekvencije:

Pojačanje sustava (NF): 5/198,13)( =⇒−= KdBNFL

6,0log =Aω promjena: neminimalno-fazna nula:

Rješenje za G6(s) :


4/1,4

6,0log

==

=

AA

A

Tω

ωAFK: +1

FFK:-90°( ) ssGA 4/11−=

10/1,10

1log

==

=

BB

B

Tω

ω promjena:

AFK: -1

FFK:-90°( )

ssGB

10/11

1

+=

jednostruki pol :

Napomena: nagibe, odnosno promjenu nagiba, potrebno je odrediti numerički,

ili grafički za frekvencije gdje to nije moguće napraviti numerički.


20/1,20

3,1log

==

=

CC

C

Tω

ω promjena:

AFK: -1

FFK:-90°( )

ssGC

20/11

1

+=

jednostruki pol :

G6(s) je serijski spoj svih komponenti:

0 +1

0


( ) ( ) ( ) ( )

( )( )ss

s

sGsGsGKsG CBA

20/1110/11

4/11

5

1

6

++

−=

=0

-1

-270°

neminimalno-fazna komponenta


Sustav ima astatizam ↔ nagib (-1) na NF. Za pojačanje sustava:

1) zanemariti sve osim astatizma

2) očitati amplitudu pri ω=0 i odrediti K

4/106,123,02006,18)0(log =⇒=⋅+−== KdekdekdBdBL ω

Rješenje za G7(s) :

( )s

sGA2/11

1

+=


Lomne frekvencije:

4/106,123,02006,18)0(log =⇒=⋅+−== KdekdekdBdBL ω

2/1,2

3,0log

==

=

AA

A

Tω

ω promjena:

AFK: -1

FFK:-90°

10/1,10

1log

==

=

BB

B

Tω

ω promjena:

AFK: +1

FFK:+90°( ) ssGB 10/11+=

jednostruka nula :

jednostruki pol :


20/1,20

3,1log

==

=

CC

C

Tω

ω promjena:

AFK: -1

FFK:-90°( )

ssGC

20/11

1

+=

jednostruki pol :

G7(s) je serijski spoj svih komponenti: -1

-2

-1


( ) ( ) ( ) ( )

( )( )ss

s

sGsGsGKsG CBA

20/112/11

10/11

4

1

7

++

+=

=-1

-2

-180°

0°

Documents

Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF filePostupak crtanja: 1. raš članiti složenu prijenosnu funkciju na osnovne ... Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz