Embed Size (px)
Citation preview
1B. Polajžer DINAMIKA EES
Osnove vektorskih prostorov in uporaba v elektrotehniki
(povzeto po G. Štumberger)
Boštjan Polajž[email protected]
Fakulteta za elektrotehniko,
računalništvo in informatiko
Univerza v Mariboru
2B. Polajžer
Vsebina
Obseg in vektorski prostor
Skalarni produkt in norma
Ogrodje, baza in koordinate vektorja
Primeri vektorskih prostorov
Primeri ortonormiranihbaz
Grafična predstavitev tokov trifaznega sistema
3B. Polajžer
Obseg
V obsegu je definirana notranja operacija imenovana seštevanje (+), za katero velja:
( ) ( ) , ,
,
!0; 0
!( ); ( ) 0
O
O
O
O
Obseg O realnih ali kompleksnih števil je algebrska struktura z naslednjimi lastnostmi:
1 1
( ) ( ) , ,
,
!1; 1
!( ); 1
O
O
O
O
V obsegu je definirana
notranja operacija imenovana
množenje (·), za katero velja:
Veljati mora tudi: ( ) , , O
Za komutativni obseg velja: ··
4B. Polajžer
Vektorski prostor
V množici U je definirana
notranja operacija –seštevanje, za katero velja:
( ) ( ) , ,
,
! ;
!( ); ( )
a b c a b c a b c
a b b a a b
0 a 0 a a
a a a a 0 a
Imejmo množico U ={a,b,c,…} in obseg O={a,b,g,...}. Množico U imenujemo vektorski prostor nad obsegom O, če zanjo velja:
1
( ) ( ) , ,
( ) , ,
( ) , ,
O
O
O
a a a
a a a
a a a a
a b a b a b
V množici U je definirana
zunanja operacija -množenje s
skalarjem, za katero velja:
Elementi vektorskega prostora se imenujejo vektorji.
To delo obravnava izključno realne vektorske prostore.
5B. Polajžer
Skalarni produktVsaka preslikava (.,.), ki poljubno dvojico vektorjev
prostora U preslika v realno število, se imenuje skalarni produkt, če zanjo velja:
( , ) 0
( , ) 0
( , ) ( , ) ( , ) , ,
( , ) ( , ) , ,
( , ) ( , ) ,
O
a a a
a a a 0
a b c a c b c a b c
a b a b a b
a b b a a b
Dva vektorja sta ortogonalna natanko tedaj, ko je njun skalarni produkt enak nič:
( , ) 0 a b a b
Urejena dvojica, ki jo sestavljata realni vektorski prostor in skalarni produkt, se imenuje evklidski prostor.
6B. Polajžer
NormaVsaka preslikava ||.||, ki vektor prostora U preslika
v realno število, se imenuje norma, če zanjo velja:
0
0
,
, ,
O
a a
a a 0
a a a
a b a b a b
V evklidskem prostoru obstaja evklidska norma:
2( , )a a a
7B. Polajžer
Ogrodje, bazaČe je mogoče poiskati tako množico M = {a1,a2,…, an}, ki jo
sestavlja končno mnogo vektorjev prostora U, in je mogoče vsak vektor prostora U zapisati kot linearno kombinacijo vektorjev iz množice M , potem je vektorski prostor U končno razsežen, množica M pa je ogrodje vektorskega prostora U.
Ogrodje prostora se imenuje baza prostora, če ga sestavljajo linearno neodvisni vektorji. Vektorji, ki so v bazi, so bazni vektorji.
Baza je ortogonalna, če za vse bazne vektorje velja, da je skalarni produkt poljubnih dveh baznih vektorjev enak nič.
Baza je ortonormirana, če je ortogonalna, norme baznih vektorjev pa so enake 1.
8B. Polajžer
Koordinate vektorja
Naj bo B = {f1; f2,…, fn} ortonormirana baza n razsežnega vektorskega prostora. Vsak vektor omenjenega prostora lahko na en sam način zapišemo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev:
i= i1 f1+i2 f2+…+ij fj +…+in fn
Pri tem so i1, i2,…, in koordinate vektorja i v bazi B.
(i, fj )= (i1 f1+i2 f2+…+ij fj +…+in fn , fj)
(i, fj )= i1 (f1, fj )+i2 (f2, fj )+…+ij (fj, fj ) +…+in (fn ,fj)
(i, fj )= ij
9B. Polajžer
Primeri vektorskih prostorov
Množica zveznih funkcij, ki so definirane na danem intervalu.
Množica tokov in napetosti enofaznega sistema, ki so predstavljene kot zvezne funkcije.
Množica trojic tokov in napetosti trifaznega sistema, ki so podane s trenutnimi vrednostmi ali zveznimi funkcijami definiranimi na danem intervalu.
10B. Polajžer
Primeri ortonormiranih baz
Trojica geometrijskih vektorjev v trirazsežnem prostoru
1= {fa, fb ,fc}
Nabor harmoničnih funkcij
Kombinacija geometrijskih vektorjev in nabora harmoničnih funkcij
2 1 2
2 1
2= 1, 2cos( ), 2sin( ); , , , 1, 2,...,h t h t t t t h n
t t
3 1 1= , , ; 1 ; 2 cos( ); 2 sin( )k khc khs k k khc k khs kh t h t f f f f f f f f f
1 2
2 1
2, , ; , ; ; 1,2,...,k a b c t t t h n
t t
11B. Polajžer
Grafična predstavitev 3-faznega sistema – trenutne vrednosti
12B. Polajžer
Grafična predstavitev 3f-sistema – zvezne funkcije
13B. Polajžer
Grafična predstavitev 3-sistema – frekvenčno področje
