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OTIMIZAÇÃO DE PORTFOLIO USANDO CVaR COMO MEDIDA DE
RISCO
Gabriel Amy Barrozo
Vitor Procópio Lima
Projeto de Gradução apresentado ao Curso de
Engenharia de Produção da Escola
Poltécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima
Filho, Ph.D.
Rio de Janeiro
Novembro de 2019
iii
Barrozo, Gabriel Amy
Lima, Vitor Procópio
Otimização de portfólio usando CVaR como medida de
risco / Gabriel Amy Barrozo e Vitor Procópio Lima – Rio
de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2019.
XII, 64 p.: il.: 29,7 cm
Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima Filho, D. Sc.
Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Curso de
Engenharia de Produção, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 53-57
1. Otimização de portfólio 2. Conditional Value at Risk 3.
Fronteira eficiente 4. Mercados eficientes.
I. Filho, Roberto Ivo da Rocha Lima II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia de
Produção III. Otimização de portfólio usando CVaR como
medida de risco.
iv
AGRADECIMENTOS
Vitor Procópio Lima:
Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus pais Jairo e Sônia. Eles sempre
foram inspiração para mim, e me ensinaram a construir o meu caminho a cada
passo. Seja por exemplo ou pelas conversas, eles me ensinaram a acreditar em mim,
sonhar grande e a me empenhar. Sem eles, muito do que conquistei e sou não seria
possível.
À minha namorada, que esteve comigo durante os últimos anos dessa etapa da
minha vida, obrigado pela companhia, companheirismo, e por acreditar em mim em
todos esses momentos. Aos meus amigos do Vale do Aço, obrigado pelas memórias
e torcida que também contribuíram para a minha formação. Gostaria de agradecer
ao Gabriel, também autor desse trabalho, pela parceria e amizade ao longo do ciclo
profissional da Engenharia de Produção, que culminaram nesse trabalho em
conjunto ao final desse ciclo. Em especial, gostaria de agradecer ao aprendizado
dos últimos dois anos e meio com as pessoas do Bahia Asset, principalmente com
o Vinícius. Obrigado também, aos meus amigos da Engenharia Naval, que me
acompanharam durante o ciclo básico e estiveram comigo na adaptação ao Rio de
Janeiro.
Ao nosso orientador, Roberto Ivo, muito obrigado pelas primeiras conversas
quando mudei de curso, até hoje na orientação deste trabalho. Ele me encorajou a
sair da zona de conforto e alcançar, muitas vezes, algo inesperado.
Gostaria de dedicar também a todos os professores, do ensino fundamental à
graduação que contribuíram para a minha formação.
v
AGRADECIMENTOS
Gabriel Amy Barrozo:
Aproveito este espaço para agradecer a todos que foram importantes nesses 5 anos
de Universidade:
Minha família por sempre ter apoiado e incentivado os meus estudos e por terem
me proporcionado toda a estrutura necessária para entrar, permanecer e agora sair
da UFRJ. Em especial aos meus pais, Júnior e Natalie, meus irmãos, Vinícius e
Alex, e minha avó Jacira.
A minha namorada Amanda pela amizade, amor e incentivo desde que começamos
a namorar no ensino médio. Agradeço também por estarmos completando mais uma
etapa das nossas vidas juntos.
Aos meus amigos do colégio por serem tudo que podemos desejar em um amigo.
Aos grandes amigos que fiz no CT: Sobral, Isabela, Micael e Vitor – minha dupla
nesse trabalho de conclusão de curso. Para os três primeiros, que estão juntos
comigo desde a primeira semana de aula na MetalMat, vou guardar com muito
carinho a evolução que tivemos em conjunto nesses últimos 5 anos, aos incontáveis
almoços no italiano, árabe, CT 2 e Cetem, dos cafezinhos no CAEng e Batista, e
dos inúmeros momentos de aperto e alívio acadêmico e pessoais que passamos
juntos. Ao Vitor, que veio de outra engenharia na mesma época que eu, agradeço
pelos diversos dias, noites e madrugadas de trabalho, risadas e aprendizados. Aos
quatro, muito obrigado por terem me feito um amigo, aluno, filho e namorado
melhor.
Por fim, gostaria de agradecer a todos da SPX, empresa em que estagiei durate os
dois últimos anos na UFRJ e que acaba de me contratar. Não poderia ter escolhido
lugar melhor pra estar no início da minha carreira. O trabalho foi árduo, longo e
cansativo, mas muito recompensador. Espero que esse seja apenas o início do
caminho.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de
Produção.
OTIMIZAÇÃO DE PORTFOLIO USANDO CVAR COMO MEDIDA DE
RISCO
Gabriel Amy Barrozo
Vitor Procópio Lima
Novembro/2019
Orientador: Roberto Ivo da Rocha Lima
Curso: Engenharia de Produção
Desde os trabalhos de Markowitz em 1954, os estudos na área de gestão de
portfolios se mostraram uma das principais vertentes em finanças e investimento.
Em especial, a escolha de uma medida de risco adequada é crucial para maximizar
os ganhos esperados e reduzir o risco de perdas significativas da carteira. Este
estudo propõe a utilização do CVaR como medida de risco adequada para um
portfólio e avalia a sua performance através da comparação de um portfólio estático,
um portfólio com rebalanceamento diário e um benchmark, usando ações presentes
no índice Ibovespa. Foi desenvolvido um modelo computacional em R para a
definição dos portfólios ótimos, dados os objetivos e restrições, assim como para
reportar a performance de cada alternativa.
Palavras-chave: Otimização de portfólio, Conditional Value at Risk, Fronteira
eficiente, Mercados eficientes.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Industrial Engineer
PORTFOLIO OPTIMIZATION USING CVAR AS RISK MEASURE
Gabriel Amy Barrozo
Vitor Procópio Lima
November/2019
Advisor: Roberto Ivo da Rocha Lima
Course: Industrial Engineering
Since Markowitz works in 1954, portfolio management studies surged as one of the
main fields of study in finance and investments. In particular, choosing a proper
risk measure is crucial to maximize the expected returns and reduce the risk of
significant losses in the portfolio. This study proposes the use of CVaR as a proper
risk measure and analyses its performance with the comparison of a static portfolio,
a daily rebalanced portfolio and a benchmark, using stocks in the Ibovespa index.
For this, a computational model was developed in R to define the optimal portfolios,
given the objectives and restrictions of the problem, and also to report the
performance for each alternative.
Keywords: Portfolio optimization, Conditional Value at Risk, Efficient Frontier,
Efficient markets.
viii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................. 1
1.1. OBJETIVO GERAL ............................................................................... 2
1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................ 2
1.3. MOTIVAÇÃO ......................................................................................... 2
1.4. CONTRIBUIÇÃO ................................................................................... 3
1.5. LIMITAÇÃO ........................................................................................... 3
1.6. ESTRUTURAÇÃO ................................................................................. 4
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................... 5
2.1. TEORIA DE SELEÇÃO DE PORTFOLIO ......................................... 5
2.2. MODELO CAPM.................................................................................. 10
2.2.1. HIPÓTESES DO CAPM ............................................................... 11
2.2.2. SML (SECURITY MARKET LINE) ............................................. 12
2.2.3. RISCO E DIVERSIFICAÇÃO ..................................................... 13
2.2.4. CML (CAPITAL MARKET LINE) E O PORTFÓLIO ÓTIMO15
2.3. A HIPÓTESE DOS MERCADOS EFICIENTES .............................. 16
2.3.1. PASSEIO ALEATÓRIO (RANDOM WALK) E ARBITRAGEM
17
2.3.2. PROBLEMA DAS HIPÓTESES CONJUNTAS (JOINT
HYPOTHESIS PROBLEM) ......................................................................... 18
2.3.3. IMPERFEIÇÕES DE MERCADO .............................................. 18
2.4. MODELOS QUANTITATIVOS ......................................................... 20
2.4.1. MODELOS E FUNDOS QUANTITATIVOS NO EXTERIOR 21
2.4.2. MODELOS E FUNDOS QUANTITATIVOS NO MERCADO
BRASILEIRO ............................................................................................... 24
3. METODOLOGIA ......................................................................................... 26
3.1. MEDIDAS DE RISCO .......................................................................... 26
3.1.1. VARIÂNCIA .................................................................................. 26
3.1.2. VAR (VALUE AT RISK/VALOR EM RISCO) ......................... 27
3.1.3. AXIOMAS DE MEDIDAS DE RISCO COERENTES .............. 28
3.1.4. CVAR (CONDITIONAL VALUE AT RISK/VALOR EM
RISCO CONDICIONAL) ............................................................................ 30
ix
3.2. MODELO TEÓRICO ........................................................................... 33
3.2.1. PRINCIPAIS CARACTERÍSICAS DO MODELO ................... 33
3.2.2. VARIÁVEIS DO MODELO ......................................................... 33
3.2.3. FUNÇÃO OBJETIVA ................................................................... 34
3.2.4. RESTRIÇÕES ................................................................................ 34
4. MÉTODO COMPUTACIONAL ................................................................ 35
4.1. BIBLIOTECAS ..................................................................................... 35
4.2. MÉTODOS DE SOLUÇÃO ................................................................. 36
5. RESULTADOS E ANÁLISES ....................................................................... 37
5.1. MODELO SEM REBALANCEAMENTO ......................................... 37
5.2. MODELO COM REBALANCEAMENTO ........................................ 42
6. CONCLUSÃO ............................................................................................... 50
6.1. SUGESTÃO DE TRABALHOS FUTUROS ...................................... 51
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................... 53
8. APÊNDICE ................................................................................................... 58
x
SUMÁRIO DE EQUAÇÕES
EQUAÇÃO 2- 1: VARIÂNCIA DE UM PORTFÓLIO DE TRÊS ATIVOS .. 5
EQUAÇÃO 2- 2: EQUAÇÃO BÁSICA DO CAPM ......................................... 10
EQUAÇÃO 2- 3: EQUAÇÃO BÁSICA DO CAPM REARRANJADA ......... 11
EQUAÇÃO 2- 4: BETA ...................................................................................... 11
EQUAÇÃO 2- 5:ÍNDICE DE SHARPE ............................................................ 14
EQUAÇÃO 3- 1: VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA ....................................................................................................... 26
EQUAÇÃO 3- 2: VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
CONTÍNUA .................................................................................................. 26
EQUAÇÃO 3- 3: VALUE AT RISK .................................................................. 27
EQUAÇÃO 3- 4: CONDIÇÃO DE MONOTONICIDADE DE UMA
MEDIDA DE RISCO ................................................................................... 28
EQUAÇÃO 3- 5: CONDIÇÃO DE INVARIÂNCIA DE UMA MEDIDA DE
RISCO ........................................................................................................... 29
EQUAÇÃO 3- 6: CONDIÇÃO DE SUBADITIVDADE DE UMA MEDIDA
DE RISCO .................................................................................................... 29
EQUAÇÃO 3- 7: CONDIÇÃO DE HOMOGENEIDADE DE UMA MEDIDA
DE RISCO .................................................................................................... 29
EQUAÇÃO 3- 8: CONDIÇÃO DE CONVEXIDADE DE UMA MEDIDA DE
RISCO ........................................................................................................... 30
EQUAÇÃO 3- 9: FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PERDAS
ACUMULADAS ........................................................................................... 31
EQUAÇÃO 3- 10: CVAR COMO FUNÇÃO DO VALOR ESPERADO DE
UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA .............................................................. 31
EQUAÇÃO 3- 11: FORMULAÇÃO DE ROCKAFELLAR & URYASEV
(2002) PARA O CVAR ................................................................................ 31
EQUAÇÃO 3- 12: FORMULAÇÃO DE ACERBI (2002) PARA O CVAR .. 31
EQUAÇÃO 3- 13: FUNÇÃO DE PERDA DE UMA CARTEIRA ................. 32
EQUAÇÃO 3- 14: PROBABILIDADE DE UMA FUNÇÃO DE PERDA
NÃO EXCEDER UM NÍVEL DE CONFIANÇA ESPECIFICADO ..... 32
xi
EQUAÇÃO 3- 15: FORMULAÇÃO FINAL DE ROCKAFELLAR &
URYASEV (2002) PARA O CVAR ............................................................ 32
EQUAÇÃO 3- 16: FUNÇÃO OBJETIVA DO MODELO............................... 34
EQUAÇÃO 3- 17: RESTRIÇÃO DE INVESTIMENTO TOTAL DO
CAPITAL ..................................................................................................... 34
EQUAÇÃO 3- 18: RESTRIÇÃO DE VENDA A DESCOBERTO ................. 34
EQUAÇÃO 3- 19: FUNÇÃO DE PENALIZAÇÃO DA FUNÇÃO
OBJETIVA ................................................................................................... 35
1
1. INTRODUÇÃO
O problema da gestão de portfólios é amplamente discutido há muitas décadas
e de grande importância tanto para gestoras de fundos quanto para investidores
individuais. Entre as principais contribuições históricas nessa área está a de
Markowitz (1952) que formalizou o problema de seleção de ativos como um
problema de otimização de risco-retorno, onde o retorno esperado é maximizado e
a variância – medida de risco do investimento - é minimizada. A tese de Markowitz
revolucionou o mercado, o modelo de gestão de ativos e como os riscos em um
investimento eram analisados. Entretanto, com a evolução dos modelos
computacionais e matemáticos, cada vez menos a variância é utilizada como
medida de risco e o modelo de Markowitz se mostra ultrapassado.
Nas últimas décadas, principalmente a partir dos anos 90, observou-se um
grande crescimento da utilização do VaR (Value at Risk) como medida de risco,
principalmente por ser uma medida que foca no downside, ou seja, risco de cauda.
Entretanto, o VaR não obedece aos requisitos de medidas de risco coerentes de
Artzner et al. (1999) quando as distruibuições de probabilidade não são normais e,
portanto, não deveria ser aditada como medida de risco.
Mais recentemente, uma nova medida de risco começou a ser difundida no
mercado, o CVaR (Conditional Value at Risk). A ideia dessa medida é
extremamente semelhante à do VaR, porém esta se enquadra nos requisitos de
medida de risco coerente para qualquer tipo de distribuição probabilística. Outra
vantagem do CVaR é que ele é consideravelmente mais fácil de ser calculado
computacionalmente do que o VaR, permitindo que análises sejam feitas de forma
mais rápida e que mais ativos sejam utilizados. Essa vantagem é extremamente
relevante uma vez que o CVaR abre novas oportunidades para utilização de Big
Data em otimização de portfólios (Kisiala, 2015).
Medidas de risco tem um papel crucial na gestão de portfólios sob incerteza,
onde é possível observar perdas significativas em curtos períodos de tempo. E,
portanto, uma gestão de risco eficiente, usando medidas coerentes com o perfil do
portfólio, é de extrema importância para os investidores. O conhecido caso da Long
Term Capital Management (LTCM), a gestora de fundos composta de nomes
consagrados no mercado financeiro e acadêmico que faliu por mensurar mal os
riscos de suas posições, exemplifica como uma gestão de riscos incorreta impacta
2
nos ganhos até dos mais experientes gestores. Em 1997 a gestora apresentava um
índice de alvancagem de 19:1 e entre os argumentos para todo esse risco tomado
estavam 7600 posições diferentes no portfólio que supostamente eram
descorrelacionadas, não podendo ser todas perdedoras no mesmo momento. Em 21
de agosto de 1998, a LTCM perdeu 15% de todo o seu capital enquanto seus
modelos consideravam que a perda máxima possível para um dia estava entre 1% e
2%. Alguns meses depois a empresa perdeu todo o dinheiro dos investidores e faliu.
1.1. OBJETIVO GERAL
Nesse estudo propõe-se a alternativa computacional para otimização de um
portfólio de ações, limitado às ações do índice Ibovespa, usando o CVaR como
medida de risco. Com esse modelo estimou-se a curva ótima para diferentes perfis
de investidores. Vale destacar que não se optou por selecionar o modelo
computacional mais rápido ou eficiente, pois não é o objetivo principal do trabalho.
Construiu-se um modelo computacional a partir das ferramentas e soluções já
disponíveis no meio acadêmico e adaptou-se para as restrições e objetivos
específicos deste trabalho.
Com essa ferramenta espera-se que um investidor possa selecionar um portfólio
de ações com retorno esperado dentro do desejado e possa minimizar a
probabilidade de perdas expressivas de seu patrimônio.
1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Além dos objetivos gerais citados acima, neste estudo busca-se avaliar se uma
técnica de rebalanceamento periódico de portfólio, otimizando a função objetivo
dadas as restrições levantadas para o modelo a cada período, agrega valor para o
investidor.
1.3. MOTIVAÇÃO
Ambos os autores trabalham no mercado financeiro e atuaram nessa área
durante um bom período da faculdade. Com isso, sempre existiu o interesse em
desenvolver um estudo que pudesse contribuir para a área de finanças do país.
3
Atrelado a isso, observou-se que há poucos estudos utilizando modelos
quantitativos para ativos de risco brasileiros. O mercado brasileiro possui liquidez
baixa quando se compara com países desenvolvidos na Europa, Ásia e com os
Estados Unidos - isso acaba reduzindo o interesse acadêmico em desenvolver
estudos nesse campo. A título de comparação, em setembro de 2019 as ações
negociadas na B3 apresentaram um volume financeiro médio diário de R$ 16,5
bilhões, enquanto somente a Amazon (AMZN) nos últimos 30 dias negociou em
média cerca de U$ 7,5 bilhões por dia (quase o dobro do negociada na B3 em
conversão atual). Isso impossibilita investidores de grande porte de utilizarem
certas estratégias de investimento, mas por outro lado, possibilita que um investidor
menor encontre assimetrias e falhas de mercado mais comumente. Portanto, em
alguns casos essa ausência de liquidez pode se tornar uma oportunidade de
investimento.
1.4. CONTRIBUIÇÃO
Na literatura pesquisada, encontrou-se diversas aplicações de modelos
quantitativos para seleção de portfólio utilizando backtesting (testes com dados
históricos). Entretanto, poucas utilizando a técnica de rebalanceamento. Neste
estudo não só se aplica essa técnica, mas também se compara os retornos obtidos
entre portfólios dinâmicos e portfólios estáticos para diferentes janelas e períodos
de investimento.
O modelo montado foi formulado de forma empírica, podendo ser replicado,
ajustado para incorporar outros ativos (ou até outras classes de ativos) e aprimorado
por quem se interessar. Com isso, deixou-se a possibilidade de interessados
utilizarem o modelo para avaliar um investimento e avaliar performances passadas
dos ativos que desejarem.
1.5. LIMITAÇÃO
O principal foco do estudo e área de interesse dos autores é em finanças e
modelagem matemática. Portanto, não se realizou uma análise de eficiência
computacional do código desenvolvido. O foco foi apenas a um código que
retornasse os dados desejados em um tempo suficientemente curto.
4
Também é importante destacar que não foi utilizado ativo livre de risco para
construção dos portfólios e somente ativos listados na bolsa brasileira e
participantes do índice Ibovespa foram considerados.
1.6. ESTRUTURAÇÃO
Até aqui se fez uma breve introdução do assunto abordado no estudo e de sua
importância na gestão de ativos. No capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica,
focada na literatura que embasa os modelos financeiros atuais – passando por
Markowitz até Fama, além de trazer uma revisão dos modelos quantitativos
recentes no exterior e no Brasil. No capítulo 3 é explicado os principais conceitos
teóricos que foram utilizados no desenvolvimento do trabalho, tanto na parte de
gestão de riscos e portfólios como na formulação de modelos computacionais e
algébricos para resolução de problemas de otimização. Também nesse capítulo é
apresentado o modelo teórico formulado, assim como as variáveis envolvidas. No
capítulo 4 realiza-se uma análise dos resultados obtidos com a execução do
programa. E, por fim, no capítulo 5 são apresentadas as principais conclusões
tiradas pelos resultados do modelo.
5
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. TEORIA DE SELEÇÃO DE PORTFÓLIO
Em março de 1952 Harry Markowitz publicou o célebre texto “Portfolio
Selection” dando início a toda teoria moderna de finanças e de gestão de ativos de
risco. Nele, o autor constrói a ideia de risco de portfólio, onde uma carteira
composta por qualquer ativo, como ações e opções, pode ser elaborada para obter
melhor relação retorno/risco. Devido à diversificação, esse modelo pode levar a
uma carteira de investimentos com risco menor que o do ativo de menor risco. Além
disso, o resultado obtido por Markowitz, leva a uma fronteira eficiente, onde o
investidor obtém um retorno eficiente dado o risco aceitável, ou então o risco
eficiente a que um investidor está sujeito dado um retorno exigido.
Com a abordagem de Markowitz, o processo de escolha do investimento não
deve ocorrer com base em retorno descontado por risco. Essa regra de escolha não
aborda diversificação, independentemente de como os retornos antecipados são
formados. Isso ocorre porque o método levaria a colocar todos o capital no ativo de
melhor retorno descontado. A abordagem proposta por Markowitz é, portanto, olhar
a composição da carteira do ponto de vista de retorno esperado e variância de
portfólio. Como a variância de um portfólio depende de n variâncias e de (n²-n)
covariâncias, sendo n o número de ativos, quanto maior for n, mais a variância do
portfólio depende da covariância entre os ativos. Desse modo, riscos não
sistemáticos, são reduzidos. Abaixo está o exemplo algébrico para 3 ativos, e uma
imagem ilustrando o efeito da diversificação do risco.
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜔12𝜎1
2 + 𝜔22𝜎2
2 + 𝜔32𝜎3
2 + 2𝜔1𝜔2𝜎1,2 +
2𝜔1𝜔3𝜎1,3 + 2𝜔2𝜔3𝜎2,3;
Equação 2- 1: Variância de um portfólio de três ativos
onde:
• 𝜔𝑖= percentual correspondente ao capital alocado no ativo i;
• 𝜎𝑖= desvio padrão do ativo i;
• 𝜎𝑖,𝑗= covariância entre os ativos i e j;
6
•
Figura 2-1: Risco total da carteira x Número de ativos na carteira
Fonte: Prates (2016)
De modo geral, o modelo Média-Vriância de Markowitz (1952) é baseado a
partir das seguintes expressões para cálculo do retorno esperado e variância de uma
carteira de ativos:
𝑅𝑝 = ∑ 𝑤𝑖𝑖 𝑅𝑖;
𝜎𝑝2 = ∑ ∑ 𝑤𝑖𝑗 𝑤𝑗𝜎𝑖𝜎𝑗𝜌𝑖𝑗𝑖 ;
∑ 𝑤𝑖𝑖 = 1;
𝑤𝑖 ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖;
Onde:
• 𝑅𝑝 é o retorno do portfólio;
• 𝑅𝑖 é o retorno do ativo i;
• 𝑤𝑖 é a porcentagem do portfólio alocada no ativo i;
• 𝜎𝑝2 é a variância do portfólio;
• 𝜎𝑖 é o desvio padrão do ativo i;
• 𝜌𝑖𝑗 é a correlação entre os ativos i e j;
A carteira de investimentos é composta por n ativos, onde 𝑤𝑖 representa o
percentual investido em cada ativo i. E como é possível perceber pela terceira e
7
quarta equação, o modelo de Markowitz não permite vendas à descoberto. O retorno
da carteira é a média dos retornos individuais dos ativos, ponderada pelos seus
correspondentes percentuais da carteira. E por fim, a variância da carteira é
calculada a partir da covariância e o produto dos pesos entre ativos analisados dois
a dois.
Esse modelo proposto traz algumas consequências interessantes de serem
analisadas, como a fronteira eficiente e o efeito da diversificação já mencionado
anteriormente. De modo didático, elas serão apresentadas como exemplo para uma
carteira com 2 ativos.
Considere os seguintes dados:
Correlação entre Ativo 1 e Ativo 2 = 40%
Ativo Ri σi
Ativo 1 15% 13%
Ativo 2 23% 17%
Tabela 2-1: Desvio padrão e retorno de dois ativos
A partir deles é possível construir portfólios com diferentes pesos para cada um
dos ativos, calculando o retorno e desvio-padrão respectivamente a cada portfólio:
8
Portfólio Peso Ativo 1 Peso Ativo 2 Rp σp
P1 0% 100% 23.0% 17.0%
P2 5% 95% 22.6% 16.4%
P3 10% 90% 22.2% 15.9%
P4 15% 85% 21.8% 15.3%
P5 20% 80% 21.4% 14.8%
P6 25% 75% 21.0% 14.4%
P7 30% 70% 20.6% 13.9%
P8 35% 65% 20.2% 13.5%
P9 40% 60% 19.8% 13.2%
P10 45% 55% 19.4% 12.9%
P11 50% 50% 19.0% 12.6%
P12 55% 45% 18.6% 12.4%
P13 60% 40% 18.2% 12.2%
P14 65% 35% 17.8% 12.1%
P16 70% 30% 17.4% 12.1%
P17 75% 25% 17.0% 12.1%
P18 80% 20% 16.6% 12.2%
P19 85% 15% 16.2% 12.3%
P20 90% 10% 15.8% 12.5%
P21 95% 5% 15.4% 12.7%
P22 100% 0% 15.0% 13.0%
Tabela 2-2: Desvio padrão e retorno do portfólio para diferentes
níveis de concentração entre dois ativos
Por meio de um gráfico de dispersão dos resultados da tabela acima, é possível
notar o formato que a curva de Retorno/Risco faz para os diferentes portfólios. Cada
ponto azul representa um portfólio da tabela, sendo que no ponto laranja o portfólio
é o ativo 1, e no ponto verde o portfólio é o ativo 2. Considerando o investidor
racional, é possível traçar a fronteira de eficiência, que contém os pontos mais a
cima ou à esquerda do gráfico, representando o melhor retorno dado um risco, ou o
menor risco dado um retorno.
9
Figura 2-2: Exemplo da curva de retorno e risco para dois ativos
De modo a verificar o efeito da diversificação com o exemplo acima de dois
ativos, a correlação foi alterada arbitrariamente, para representar o efeito da
correlação na relação entre retorno e risco:
10,0%
12,0%
14,0%
16,0%
18,0%
20,0%
22,0%
24,0%
10,0% 11,0% 12,0% 13,0% 14,0% 15,0% 16,0% 17,0% 18,0%
Retorno vs. Risco - Exemplo
Portfólios Ativo 1 Ativo 2 Fronteira Eficiente
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18
Retorno vs. Risco - Exemplo 2
Correlação: -1 Correlação: -0.7 Correlação: -0.4 Correlação: 0
Correlação: 0.4 Correlação: 0.7 Correlação: 1
10
Figura 2-3: Exemplo das diferentes curvas de retorno e risco para
diferentes correlações entre dois ativos
Como é possível notar, ao optar por ativos menos positivamente
correlacionados, ou mais negativamente correlacionados, é possível obter relação
risco-retorno melhor. Isso ilustra a ideia de diversificação e a crítica promovida por
Markowitz (1952) sobre a ideia de retorno descontado.
Na década seguinte à divulgação dos estudos de Markowitz iniciaram-se uma
série de estudos na intenção de mensurar o retorno esperado adequado para um
determinado ativo de risco. Esses estudos se mostrariam complementares à Teoria
de Portfólios no sentido de que a melhor relação risco-retorno possível para se
montar portfólio de ativos de risco pode não ser adequada ao perfil do investidor –
ele poderia optar por investir a totalidade de seus recursos no ativo livre de risco,
por exemplo. Essa série de estudos resultou no modelo chamado de Capital Asset
Pricing Model, ou CAPM.
2.2. MODELO CAPM
O modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) foi introduzido ao longo da
década de 60 por Treynor (1961, 1962), Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossin
(1966) em trabalhos independentes como uma maneira de se precificar um ativo ou
portfólio de acordo com a sua relação de risco e retorno. Para avaliar ativos
indivualmente o modelo se usa da SML (Security Market Line) e sua relação com
o retorno esperado e o risco sistemático do ativo (no modelo, o risco sistemático é
chamado de beta) para avaliar como o mercado deveria precifica-lo em relação a
ativos da mesma classe de risco.
Segundo o modelo, quando a taxa de retorno esperada de qualquer ativo é
deflacionada pelo seu coeficiente beta (risco sistemático) chegamos a uma relação
de prêmio de risco do ativo e essa relação é igual ao prêmio de risco do mercado.
Portanto:
𝐸(𝑅𝑖) − 𝑅𝑓
𝛽𝑖= 𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓
Equação 2- 2: Equação básica do CAPM
11
Reajustando os fatores, chegamos a formulação mais conhecida do CAPM:
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝑖(𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓)
Equação 2- 3: Equação básica do CAPM rearranjada
Onde:
• 𝐸(𝑅𝑖) é o retorno esperado do ativo i;
• 𝑅𝑓 é a taxa de juros livre de risco – geralmente utiliza-se o retorno de títulos
de longo prazo do governo americano;
• 𝐸(𝑅𝑚) é o retorno esperado pelo mercado da classe de ativos de i;
• 𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓 é conhecido como o prêmio de risco de mercado;
• 𝐸(𝑅𝑖) − 𝑅𝑓 é conhecido como o prêmio de risco do ativo;
• 𝛽𝑖 é chamdo de beta e é a sensibilidade do retorno esperado do ativo em
relação ao retorno esperado do mercado ou:
𝛽𝑖 =𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑚)
𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑚)
Equação 2- 4: Beta
2.2.1. HIPÓTESES DO CAPM
Nos estudos que mais tarde desenvolveram a teoria do CAPM, são tomadas
algumas suposições sobre o perfil dos investidores. De acordo com elas, todos os
investidores:
i. Buscam maximizar a utilidade econômica;
ii. São racionais e avessos ao risco;
iii. São largamente diversificados;
iv. Não influenciam os preços de mercado;
12
v. Podem emprestar e tomar emprestadas quantidades ilimitadas de dinheiro
pela taxa livre de risco;
vi. Não possuem custos de transação ou de impostos;
vii. Investem em ativos perfeitamente divisíveis e líquidos (não existem
quantidades mínimas);
viii. Possuem expectativas homogêneas;
ix. Assumem que todas as informações estão disponíveis para todos os
investidores ao mesmo tempo.
De fato, algumas dessas premissas são irreais e deveriam impossibilitar a
aplicação do CAPM no mercado. Entretanto, a verdade é que por ser um modelo
simples, é muito comum ver investidores o utilizando, principalmente para calcular
taxas de retorno esperadas de ativos de risco.
2.2.2. SML (SECURITY MARKET LINE)
A SML é uma representação visual do CAPM e mostra a relação entre o retorno
esperado de um ativo e seu risco medido pelo coeficiente beta. Com a SML pode-
se avaliar o retorno esperado para um dado beta ou o risco associado a um
determinado retorno esperado. No gráfico da SML, o eixo x é representado pelo
beta e o eixo y são os retornos esperados. A SML cruza o eixo y na taxa livre de
risco (𝑅𝑓). A repesentação gráfica é como abaixo:
13
Figura 2-4: Security Market Line
E suas implicações:
i. Um ativo com beta 0 terá um retorno esperado igual a taxa livre de risco. O
mesmo é válido para um portfólio com beta 0;
ii. A inclinação da SML é determinada pelo prêmio de risco de mercado.
Quanto maior o prêmio de risco, maior a inclinação da reta;
iii. A SML muda ao longo tempo, de acordo com mudanças na taxa livre de
risco e nas expectativas de mercado;
iv. Se o beta de um ativo mudar, a sua posição na reta também irá mudar.
A SML pode ser utilizada para avaliar quão bem avaliado estão determinados
ativos. Se um ativo se encontra acima da SML ele é considerado como
sobreavaliado (barato) pelo mercado, e se estiver abaixo da SML é considerado
como superavaliado (caro).
2.2.3. RISCO E DIVERSIFICAÇÃO
De acordo com o CAPM, todo portfólio é composto por dois tipos de risco:
sistemático e não-sistemático. O risco sistemático é um risco comum a todos os
ativos, também chamado de risco de mercado. Já o risco não-sistemático está
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0%
Retorno vs. Risco - Exemplo
Portfólios Ativo 1 Ativo 2 Fronteira Eficiente SML
14
associado a características e fatores específicos de cada ativo. De acordo com essa
teoria, o risco não-sistemático pode ser diversificado para níveis menores ao se
inserir um número suficientemente grande de ativos no portfólio. Entretanto, isso
não é possível para o risco sistemático.
Uma consequência da teoria é que somente o risco sistemático é recompensado
e, portanto, nenhum investidor racional deveria aceitar o risco diversificável.
Consequentemente, o retorno esperado de um ativo deve estar analisado junto do
portfólio, avaliando a sua contribuição para o risco total do mesmo. Nesse sentido,
o beta do portfólio é o fator que define o risco recompensável de um investidor.
Uma relação para o risco e retorno de ativos, ou recompensa por variabilidade,
foi definida por Sharpe (1966) para medir a performance de um investimento
quando comparado um investimento livre de risco. Essa relação ficou conhecida
como índice de Sharpe (Sa) e é definida como:
𝑆𝑎 =𝐸(𝑅𝑖) − 𝐸(𝑅𝑓)
𝜎𝑖=
𝐸(𝑅𝑖) − 𝐸(𝑅𝑓)
√𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑖 − 𝑅𝑓)
Equação 2- 5:Índice de Sharpe
Onde:
• 𝜎𝑖 é o desvio padrão dos retornos excessivos do ativo i (retornos do ativo i
– retornos do ativo livre de risco).
O valor do índice de Sharpe de um ativo representa o retorno adicional que um
investidor deve requerer por cada unidade de risco acrescida ao portfólio. Ou, em
outras palavras, o índice de Sharpe é uma medida dos retornos excessivos (acima
da taxa livre de risco no período) do portfólio em relação ao seu desvio padrão.
Nesse sentido, um portfólio com um maior índice de Sharpe é considerado superior
aos com índice menor. A ideia do índice é semelhante a de Markowitz, levando
risco (usando variância como medida) e retorno em consideração. A principal
diferença entre as duas ideias é que Sharpe leva esses dois fatores em consideração
num mesmo indicador, facilitando a utilização para comparação entre ativos.
15
2.2.4. CML (CAPITAL MARKET LINE) E O PORTFÓLIO ÓTIMO
A CML é semelhante a SML mas é composta de todas as combinações
possíveis de ativos de risco e livres de risco. Sua representação gráfica é equivalente
à da SML. Todos os pontos acima da CML possuem uma relação de risco-retorno
superior aos portfólios na fronteira eficiente proposta pela teoria de Markowitz.
Todos os portfólios presentes na CML possuem o mesmo índice de Sharpe que o
portfólio composto por todos os ativos de mesma classe de risco do mercado (no
caso de um portfólio de ações possui o mesmo Sharpe que o índice de referência –
Ibovespa, por exemplo).
Ao representarmos a fronteira de portfólios eficientes e a CML para um
determinado conjunto de ativos no mesmo gráfico podemos encontrar um portfólio
ótimo a se investir, o portfólio com maior relação risco-retorno. Esse portfólio é
representado pelo ponto em que a CML tangencia a fronteira eficiente e é chamado
de portfólio de tangência (tangency portfolio). Como consequência das teorias
apresentadas, esse portfólio é o que apresenta maior índice de Sharpe e, portanto,
possui a maior relação de risco-retorno possível ao mesmo tempo que é um portfólio
da fronteira eficiente.
16
Figura 2-5: Portfólio de tangência1
Fonte: Hassine & Roncalli (2013)
As hipóteses do modelo CAPM resultam na ideia de que no longo prazo um
investidor deve esperar ter lucro econômico nulo. Para Robert Shiller e Eugene
Fama esses pressupostos não eram respeitados nos mercados financeiros e os
investidores erram sistematicamente devido a vieses psicológicos, invalidando a
tese do modelo. Para formalizar uma explicação desse fenômeno, na década de 70,
nasce a hipótese dos mercados eficientes a partir do trabalho de Fama (1970), seus
principais pressupostos e conclusões são explicados a seguir.
2.3. A HIPÓTESE DOS MERCADOS EFICIENTES
Prever os preços do mercado é do interesse de praticamente todos os
investidores e diversos estudos foram realizados nessa área até então sem chegar
1 No gráfico, risk-free asset é o ativo livre de risco; Tangency portfolio é o portfólio tangente; Capital Market Line é a CML; Suboptimal Market Line é uma linha que exemplifica um portfólio ou ativo abaixo da linha ótima de alocação.
17
numa conclusão de seu comportamento. Os estudos sobre a dificuldade de se prever
os preços de ativos financeiros começaram com Bachelier (1900) e foram
consideravelmente aprimorados por Samuelson (1965), ambos defendendo a
aleatoriedade do seu comportamento. Fama (1970) e Malkiel (1973) desenvolveram
os estudos mais importantes sobre essa teoria e são a base para as teorias modernas
de precificação de ativos baseadas em risco.
A hipótese dos mercados eficientes defende que os preços dos ativos refletem
toda a informação disponível naquele momento e como consequência disso é
impossível “vencer” o mercado consistentemente – indo contra toda a indústria de
fundos ativos.
Fama (1970) defende que nem todos os mercados possuem a mesma eficiência.
Segundo ele, pode-se dividir esse grau de eficiência em três níveis:
i. Forma fraca: sugere que o preço atual das ações reflete todas as
informações do passado e nenhuma forma de análise técnica pode ser
usada efetivamente para tomar decisões de investimento, mas que
analises fundamentalistas podem ser utilizadas para identificar ações
sobre ou supervalorizadas;
ii. Forma semi-forte: sugere que todas as informações públicas são usadas
para calcular o preço das ações e, portanto, análises técnica e
fundamentalista são ineficientes. Nessa forma só é possível obter
retornos acima dos de mercado se o investidor possuir informações não
disponíveis para o público geral;
iii. Forma forte: sugere que todas as informações, públicas ou não-públicas,
estão incorporadas no preço atual da ação e, portanto, nenhum investidor
pode obter vantagens no mercado.
Essas definições foram pouco utilizadas na literatura acadêmica a partir da
década de 1980 e inclusive Fama se arrependeu de usar esses termos.
2.3.1. PASSEIO ALEATÓRIO (RANDOM WALK) E ARBITRAGEM
A ideia de que os preços de mercado seguem um passeio aleatório (ou seja, as
variações dos preços seguem um processo aleatório) foi registrada pela primeira
vez em “Calcul des Chances et Philosophie de la Bourse” (Regnault, 1863) e desde
então é motivo de controvérsia entre investidores. Em 1965 foi proposta uma teoria
18
que defende que as variações nos preços das ações têm a mesma distribuição e são
independentes umas das outras (Fama, 1965). Ou seja, movimentos e tendências
passadas não podem ser utilizados para prever movimentos futuros. Dizer que os
retornos de ativos seguem uma distribuição aleatória significa que não é possível
prever seus retornos e, portanto, qualquer processo que pretenda prever preços de
ativos irá se mostrar inútil no longo prazo. Em outras palavras, essa teoria defende
que é impossível vencer o mercado sem assumir riscos maiores do que de um
investidor racional.
Muitos investidores e acadêmicos dedicam seu tempo procurando
possibilidades de arbitragem nos mercados (investimentos de curto prazo para se
alcançar um retorno sem risco equivalente) e ativos com retornos esperados acima
dos retornos esperados do mercado, indo contra a teoria do passeio aleatório.
Alguns foram bem-sucedidos no longo prazo, mas uma maioria esmagadora de
fundos ativos (hedge funds) destruíram a riqueza de seus investidores ao longo dos
anos – o que fortalece a teoria dos mercados eficientes (Malkiel, 1996).
2.3.2. PROBLEMA DAS HIPÓTESES CONJUNTAS (JOINT
HYPOTHESIS PROBLEM)
Na prática é possível observar investidores que consistentemente venceram o
mercado, indo contra a hipótese dos mercados eficientes. Em parte, isso é explicado
pelo fato que para medir a eficiência de qualquer mercado é necessário que se tenha
um modelo de precificação de ativos e, consequentemente, um retorno esperado.
Portanto, observações de retornos anormais no mercado podem refletir uma
ineficiência de mercado, um modelo de precificação inadequado (ou ineficiente) ou
ambos. O problema das hipóteses conjuntas implica que a eficiência de mercado
por si só não é testável. A principal consequência dessa conclusão é que não é
possível provar diretamente que os mercados são eficientes, levando investidores a
crer que podem vencer o mercado e relaxando a hipótese dos mercados eficientes.
2.3.3. IMPERFEIÇÕES DE MERCADO
Ao longo dos anos investidores observaram diversas imperfeições no mercado,
algumas inclusive causadoras de crises – como a bolha da internet e a crise
19
imobiliária de 2008. Existem diversas teorias para explicar esses acontecimentos e
como eles vão contra a teoria dos mercados eficientes. Um dos principais
argumentos é o fator humano nas decisões de investimento, onde se defende que
nem todos os investidores são totalmente racionais. Diversos investidores, inclusive
Warren Buffet discordam da teoria de forma empírica e teórica utilizando
argumentos baseadas no comportamento do investidor médio.
Estudiosos de economia comportamental (behavioral economics) atribuem
imperfeições nos mercados de capitais a combinações de vieses cognitivos,
hiperconfiança, hiperreação, vieses representativos, vieses de informação e
diversos outros erros humanos na leitura e análise de informações.
Outro fator que impacta fortemente na teoria dos mercados eficientes é o
pressuposto da inexistência de custos de transação, de informação e de impostos.
Na prática, os custos de transação são relevantemente maiores para os investidores
pequenos e o acesso a informação operacional de empresas é reduzido – enquanto
analistas de fundos ativos possuem acesso a conversas com executivos, à fabricas
de empresas e relatórios de bancos de investimento, os pequenos investidores
geralmente não têm.
Um outro fator relevante para acontecimento de imperfeições no mercado é a
liquidez de determinadas empresas. É comum observamos empresas listadas que
possuem pouca ou nenhuma cobertura de grandes bancos de investimentos e
gestoras de ativos pela indisponibilidade de ações a venda no mercado e que após
uma oferta pública (onde se aumenta a liquidez da ação) os preços disparam.
Investidores pequenos sofrem menos com restrições de liquidez e, portanto, podem
lucrar com ineficiências desse tipo.
Samuelson (1998) argumenta que o mercado de ações é “micro-eficiente” mas
não é “macro-eficiente”, afirmando que a teoria de mercados eficientes é mais
adequada a ações individualmente do que no mercado de ações como um todo. Jung
e Shiller (2005) realizaram diversas análises com regressões e diagramas de pontos
que supotavam fortemente os ditos de Samuelson.
20
2.4. MODELOS QUANTITATIVOS
Nesta parte do trabalho menciona-se os principais fundos de investimentos
quantitativos existentes em mercados internacionais e brasileiro. Além disso, é feita
uma revisão de estudos recentes voltados à otimização de uma carteira de
investimentos, também em mercados internacionais e brasileiro.
Antes disso, para caracterizar um fundo quantitativo é aquele fundo de
investimento que seleciona os ativos que compõem sua carteira a partir de análises
quantitativas que em geral seguem o seguinte fluxograma de processos:
1) Absorção e tratamento de dados relacionados aos ativos possíveis de serem
investidos;
2) Os dados inseridos são analisados a partir dos modelos existentes de
expectativa de retorno;
3) A construção da carteira de investimentos desejada é feita a partir dos
retornos esperados calculados previamente, aliada às limitações impostas pelos:
(a) Modelos de expectativa de risco para a carteira;
(b) Modelos de custos de transação.
4) Execução das ordens de compra e venda para se obter a carteira de
investimentos desejada;
5) Portfólio desejado é a própria carteira de investimentos;
6) Análise do portfólio e geração de relatórios.
21
Figura 2-6: Fluxograma de processo de elaboração de análises quantitativas
2.4.1. MODELOS E FUNDOS QUANTITATIVOS NO EXTERIOR
H. Soleimani et al. (2009) apresentou um modelo de seleção de portfólio
baseado em Markowitz, abordando as restrições de mínimo lotes de transação,
cardinalidade e capitalização de setor. Seu trabalho foi baseado, em parte, em
trabalhos anteriores de seleção de portfólio de Markowitz, entretanto, sua
contribuição foi na utilização da definição de Chang et al. (2000) e Oh et al. (2006)
de capitalização de mercado para propor o uso de capitalização de setor em um
modelo de Markowitz. Assim, seu trabalho adiciona restrições em que setores com
maior valor de mercado devem ter maior relevância do que setores de menor valor
de mercado. Desse modo, ele representa de forma mais racional a propensão do
investidor de reduzir o risco investindo em setores de maior valor de mercado. Além
disso, ele utiliza o método de solução heurístico na otimização a partir do algoritmo
genético.
H.R. Golmakani, M. Fazel (2011) que também apresentam as restrições
mencionadas no trabalho de H. Soleimani et al. (2009), contribuíram adicionando
Absorção e tratamento de dados
Modelagem de previsão de retornos
Construção da carteira de investimentos ideal
Execução (compra ou venda de ativos)
Carteira de investimentos possui o portfólio desejado
Análise do portfólio e geração de relatórios
22
a restrição com limites a classes de ativos. Desse modo, o investidor pode restringir
sua exposição a determinadas classes de ativos na composição de sua carteira de
investimentos.
Kisiala (2015) em sua tese de mestrado aborda as características do CVaR e em
um de seus tópicos analisa a otimização do CVaR para portfólios de investimento,
comparando com o método de análise pela variância. Os conceitos abordados em
seu trabalho são apresentados aqui em tópicos seguintes, onde se menciona a
escolha do CVaR como medida de risco.
Garcia-Feijóo et al. (2018) aborda em seu trabalho a comparação de ativos de
baixo risco com de alto risco. De acordo com os autores a performance de
investimento em ativos de baixo risco depende do tempo. Além disso concluíram
que estratégias de baixo risco demonstram exposição a fatores de momentum,
tamanho e valor, e são influenciados pelo ambiente econômico como um todo.
Além dos trabalhos comentados acima, é importante mencionar os principais
fundos de investimento quantitativos existentes. Seus modelos não são abertos ao
público, mas servem de comparação a fundos com estratégia semelhantes.
A D.E Shaw & Co. é um grupo que gere mais de 50 bilhões de dólares, com a
principal estratégia sendo baseada em modelos e técnicas computacionais
desenvolvidas pela empresa, ao longo dos 30 anos de existência. A empresa possui
400 desenvolvedores e engenheiros voltados para as tecnológicas de investimento.
Além disso, possui grupos de pesquisa e desenvolvimento voltados para o mercado
financeiro, liderados por Pedro Domingos, professor de Engenharia e Ciência da
Computação da Uinversidade de Washington, possui diversos artigos, sendo “On
the optimality of the simple Bayesian classifier under zero-one loss” o mais citado.
AQR Capital é uma empresa fundada em 1998 em Nova Iorque, com 185
bilhões de dólares sobre gestão. AQR vem de Applied Quanitative Research, que
significa “Pesquisa Quantitativa Aplicada”. Um dos 3 principais pilares de sua
filosofia constitui na construção de um portfólio com gestão de risco com
ferramentas quantitativas. Alguns dos papers recentes de seus principais gestores
são, “Betting against correlation: Testing theories of the low-risk effect, Cliff
Asness et Al. (2019), “Post-FOMC Announcement Drift in U.S. Bond Markets” de
Jordan Brooks et Al. (2019).
23
A tabela abaixo contém resumos de algumas literaturas sobre o assunto desse
artigo:
Ano Autores Título Comentário
1952 Markowitz,
H.
PORTFOLIO
SELECTION
Inicia a teoria moderna de portfólio de
investimentos
1964 Sharpe, W. F.
CAPITAL ASSET
PRICES: A THEORY OF
MARKET
EQUILIBRIUM UNDER
CONDITIONS OF RISK
Introduz a teoria do CAPM (Capital Asset
Pricing Model) e o índice Sharp, por
consequência
1966 Mossin, J.
EQUILIBRIUM IN A
CAPITAL ASSET
MARKET
Discute as propriedades de um mercado com
ativos de risco, baseado em modelo de
equilíbrio geral.
1970 Fama, E
EFFICIENT CAPITAL
MARKETS: A REVIEW
OF THEORY AND
EMPIRICAL WORK
Apresenta as premissas sobre mercado eficiente,
em cima da teoria de portfólio de Markowitz e
do CAPM de Sharp.
1998 Artzner et al COHERENT
MEASURES OF RISK
Introduz o conceito de medida de risco coerente
e os axiomas associados
1999 Chang et al
HEURISTICS FOR
CARDINALITY
CONSTRAINED
PORTFOLIO
OPTIMISATION
Apresenta solução por heurísticas, para
otimização de um portfólio com restrição de
cardinalidade
2002 Foellmer, H.
and Schied, A
CONVEX MEASURES
OF RISK AND
TRADING
CONSTRAINTS
Em cima do conceito de medida de risco
coerente, relaxa-se alguns axiomas para
apresentar o conceito de convexidade do risco
2002
Rockafellar,
R. T. and
Uryasev, S.
CONDITIONAL VALUE-
AT-RISK FOR
GENERAL LOSS
DISTRIBUTIONS
Apresenta as propriedades do CVaR como
medida de risco
2004 Burns, P. J
PERFORMANCE
MEASUREMENT VIA
RANDOM PORTFOLIOS
Apresenta o método aleatório de solução da
otimização de portfólios. Esse método,
posteriormente, é incorporado na biblioteca
"PortfolioAnalytics" do R.
2009 Soleimani et
al.
MARKOWITZ-BASED
PORTFOLIO
SELECTION WITH
MINIMUM
TRANSACTION LOTS,
CARDINALITY
CONSTRAINTS AND
REGARDING SECTOR
CAPITALIZATION
USING GENETIC
ALGORITHM
Com o método de algoritmo genético, apresenta
a solução de otimização de um portfólio com
restrição de lote mínimo de transação,
cardinalidade e capitalização de setor.
2010 Buffett, W
HERE’S WHAT
WARREN BUFFETT
THINKS ABOUT THE
EFFICIENT MARKET
HYPOTHESIS
Crítica de Buffet a respeito da hipótese de
eficiência de mercado.
24
2011
Golmakani,
H. R. and
Fazel, M
CONSTRAINED
PORTFOLIO
SELECTION USING
PARTICLE SWARM
OPTIMIZATION
Com o método de otimização por enxame de
partículas, apresenta a solução de otimização de
um portfólio com restrição de lote mínimo de
transação, cardinalidade, capitalização de setor
e limitação a classes de ativos.
2015 Kisiala, J
CONDITIONAL VALUE-
AT-RISK: THEORY
AND APPLICATIONS
Apresenta propriedades do CVaR já estudadas e
suas aplicações
Tabela 2-3: Relação de trabalhos acadêmicos estrangeiros em modelos
quantitativos
2.4.2. MODELOS E FUNDOS QUANTITATIVOS NO MERCADO
BRASILEIRO
Santos, A., Tessari, C. (2012) apresentam em seu artigo técnicas quantitativas
de otimização de carteiras aplicadas ao mercado de ações brasileiro. Nesse artigo é
trabalhada a aplicação e desempenho fora da amostra de estratégias quantitativas
de otimização por média-variância e mínima-variância com relação ao desempenho
da carteira, comparando com o Ibovespa e avaliando a estabilidade dos resultados.
Assim como no presente artigo, Santos, A., Tessari, C. (2012) abordam a
otimização de uma carteira de investimento com restrição a venda a descoberto e
com a existência de rebalanceamentos periódicos. A medida de risco utilizada por
eles foi a partir de uma matriz de covariância amostral, matriz RiskMetrics, e três
estimadores propostos por Ledoit & Wolf (2003,2004 a,b)
Outro trabalho semelhante para o caso brasileiro foi o de Souza et al. (2017).
Nele, os autores aplicam o modelo baseado na teoria de Markowitz (1952) para os
ativos que compõem o índice Bovespa durante o período de janeiro a abril de 2016.
Desse modo, eles maximizaram com base em na métrica retorno-variância, e não
retorno-CVaR como o presente artigo.
Como exemplos de fundos quantitativos brasileiros, é possível citar a Kadima
Asset Management, com cerca de 550 milhões de reais sobre gestão, a Murano e
Giant Steps com cerca de 275 milhões de reais sobre gestão cada.
Kubudi (2019), sócio da Kadima, em sua dissertação de mestrado apresenta o
problema de seleção online de portfólios, e desenvolve um método para realizar o
aprendizado de quando selecionar uma das duas seguintes estratégias de
25
investimento: Follow-the-winner (FTW) e Follow-the-loser (FTL), durante a
aplicação de métodos de seleção de portfólio.
A tabela abaixo contém resumos de algumas literaturas sobre o assunto desse
artigo, no Brasil:
Ano Autores Título Comentário
2005
Ribeiro, C.
e Ferreira,
L.
Uma contribuição ao
problema de
composição de
carteiras de mínimo
Valor em Risco
Propõe um modelo baseado em
aproximação estocástica para
composição de carteiras de ativos
financeiros de mínimo risco,
substituindo o VaR.
2012
Santos, A.
e Tessari,
C.
TÉCNICAS
QUANTITATIVAS
DE OTIMIZAÇÃO
DE CARTEIRAS
APLICADAS AO
MERCADO DE
AÇÕES
BRASILEIRO
Apresenta técnicas quantitativas de
otimização de carteiras aplicadas ao
mercado acionário brasileiro
2017 Souza et
al.
OTIMIZAÇÃO DE
CARTEIRA DE
INVESTIMENTOS:
UM ESTUDO COM
ATIVOS DO
IBOVESPA
Aplicação da teoria de Markowitz
(1952) para ativos que compõem o
índice Bovespa
2019 Kubudi, C.
ALGORITMOS
PARA O
PROBLEMA DE
SELEÇÃO ONLINE
DE PORTFOLIOS
Desenvolve um método que aprende
quando selecionar uma entre as duas
estratégias de investimento seguintes:
Follow-the-winner e Follow-the-loser.
Tabela 2-4: Relação de trabalhos acadêmicos nacionais em modelos
quantitativos
26
3. METODOLOGIA
3.1. MEDIDAS DE RISCO
O ambiente de investimentos é caracterizado pela grande incerteza. Dessa
forma, uma gestão de risco mais acurada pode levar a uma melhor proteção do
capital investido e retornos maiores. Portanto, nesta parte explica-se a escolha do
CVaR como a métrica de risco, conceituando as métricas de risco analisadas e o
critério de escolha.
Antes do trabalho de Markowitz (1952) o risco era apenas um fator de desconto
dos retornos esperados. Com Markowitz, passou-se a interpretar o retorno de uma
carteira como uma variável aleatória medida pela sua variância. Entretanto, essa
abordagem não representa da melhor forma as propriedades desejadas. Há
inadequação para situações de perdas extremas, e a covariância assume que a
distribuição de probabilidade dos retornos é elíptica. Motivada com esse problema,
a Riskmetrics apresentou a medida Valor em Risco (Value at Risk ou VaR) em
1994. Após isso, outras medidas de risco surgiram, como Valor em Risco
Condicional (CVaR) e outras com conceitos semelhantes ao VaR. Esse tópico do
trabalho aborda as métricas e os axiomas utilizados para se escolher a medida de
risco utilizada na otimização.
3.1.1. VARIÂNCIA
A variância, ou o quadrado do desvio-padrão, é obtida da seguinte forma:
𝜎𝑥2 = ∑(𝑥 − 𝜇𝑥)2 ∙ 𝑝(𝑥), se x é uma variável aleatória discreta;
Equação 3- 1: Variância de uma variável aleatória discreta
𝜎𝑥2 = ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥)2∞
−∞∙ 𝑓(𝑥), se x é uma variável aleatória contínua;
Equação 3- 2: Variância de uma variável aleatória contínua
27
Onde:
• 𝜇𝑥 é a média de X;
• 𝑝(𝑥) é a probabilidade de x;
• 𝑓(𝑥) é a probabilidade de x.
3.1.2. VaR (VALUE AT RISK/VALOR EM RISCO)
O VaR pode ser definido como a pior perda esperada ao longo de determinado
intervalo de tempo, sob condições normais de mercado e dentro de determinado
nível de confiança. Desse modo, o VaR é, portanto, uma métrica de percentil da
distribuição de probabilidade das perdas. Como é um quantil, a seguinte definição
se aplica ao VaR:
Dado um 𝛼 𝜖 ]0,1[ o número q é um quantil 𝛼 da variável aleatória X sobre
distribuição de probabilidade P se pelo menos uma das três propriedades
equivalentes abaixo são satisfeitas:
● 𝑃[𝑋 ≤ 𝑞] ≥ 𝛼 ≥ 𝑃[𝑋 < 𝑞];
● 𝑃[𝑋 ≤ 𝑞] ≥ 𝛼 𝑒 𝑃[𝑋 ≥ 𝑞] ≥ 1 − 𝛼;
● 𝐹𝑥(𝑞) ≥ 𝛼 𝑒 𝐹𝑥(𝑞−) ≤ 𝛼 com 𝐹𝑥(𝑞−) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑞,𝑥 < 𝑞𝐹(𝑥), onde
𝐹(𝑥)é função da distribuição acumulada de X.
Conceitualmente VaR é definido como:
VaR: dado um 𝛼 𝜖 ]0,1[ e uma referência r, o Valor em Risco em 𝛼 (𝑉𝑎𝑅𝛼)
para o patrimônio líquido X com distribuição P, é o negativo do quantil 𝑞𝛼+ de X/r:
𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋) = −𝑞𝛼(𝑅);
𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋) = −𝑖𝑛𝑓{ 𝑥 | 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥 ⋅ 𝑟] > 𝛼};
Equação 3- 3: Value at Risk
𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋) pode ser interpretado também como a maior perda possível com
proabilidade 𝛼.
Um exemplo gráfico do VaR é demonstrado pela área azul abaixo, onde o
𝑉𝑎𝑅𝛼 seria o valor da variável aleatória que dá a borda da área em cinza.
28
Figura 3-1: VaR e a distribuição de probabilidade de retornos
Fonte: Holton (2018)
Apesar de haver grande uso dessa métrica, por representar bem distribuições de
retornos assimétricas, o VaR não contribui com informação sobre o tamanho da
cauda da distribuição. Em Artzner et al. (1998) é possível ver que o VaR não é uma
medida de risco coerente, enquanto Föllmer & Schied (2002) demonstra que o
axioma de convexidade não é atendido também com o VaR. Esses axiomas são
melhor explicados abaixo.
3.1.3. AXIOMAS DE MEDIDAS DE RISCO COERENTES
Artzner et al. (1998) em seu texto “Coherent Measures of Risk” aborda, com
base em quatro axiomas, as características que uma medida de risco deve ter para
ser considerada coerente. De acordo com Artzner et al. (1998), uma medida de risco
só é coerente se satisfazer os seguintes axiomas:
I. Monotonicidade: maiores perdas significam maior risco.
Definição: uma medida de risco 𝜌é monótona, se para todo X, Y:
𝑋 ≤ 𝑌 ⇒ 𝜌(𝑋) ≤ 𝜌(𝑌);
Equação 3- 4: Condição de monotonicidade de uma medida de risco
29
II. Invariância por translação: ao aumentar (ou reduzir) a perda aumenta
(reduz) o risco em valor igual.
Definição: uma medida de risco 𝜌é invariante por translação, se para todo
X, c:
𝜌(𝑋 + 𝑐) = 𝜌(𝑋) + 𝑐;
Equação 3- 5: Condição de invariância de uma medida de risco
III. Subaditividade: diversificação reduz risco
Definição: uma medida de risco 𝜌é subaditiva, se para todo X, Y:
𝜌(𝑋 + 𝑌) ≤ 𝜌(𝑋) + 𝜌(𝑌);
Equação 3- 6: Condição de subaditivdade de uma medida de risco
IV. Homogeneidade positiva: ao dobrar o tamanho do portfólio, o risco dobra
Definição: uma medida de risco 𝜌é homogênea positiva, se para todo X,
𝜆 ≥ 0:
𝜌(𝜆𝑋) = 𝜆𝜌(𝑋);
Equação 3- 7: Condição de homogeneidade de uma medida de risco
Como uma extensão dos conceitos de coerência mencionados por Artzner et al.
(1998), Föllmer & Schied (2002) e Frittelli & Gianin (2002) introduziram a noção
de medida de risco convexa. A ideia levantado é que há situações em que o risco de
uma posição pode aumentar não linearmente com o tamanho do portfólio. Exemplo
de uma dessas situações pode ser um maior risco devido a liquidez de mercado
quando se multiplica a posição por um fator de aumento. Desse modo, os axiomas
de Homogeneidade Positiva e Subaditividade são relaxados pelo axioma da
Convexidade:
• Convexidade: o risco de uma carteira diversificada é menor ou igual à
média ponderada dos riscos individuais.
30
Definição: uma medida de risco 𝜌 é convexa, se para todo X e Y,
𝜆𝜖]0,1[:
𝜌((1 − 𝜆)𝑋 + 𝜆𝑌) ≤ (1 − 𝜆)𝜌(𝑋) + 𝜆𝜌(𝑌).
Equação 3- 8: Condição de convexidade de uma medida de risco
3.1.4. CVaR (CONDITIONAL VALUE AT RISK/VALOR EM RISCO
CONDICIONAL)
O Valor em Risco Condicional (Conditional Value at Risk – CvaR), também
chamado de perda esperada (Expected Shortfall), é uma medida de risco que
quantifica o tamanho da cauda de risco que um portfólio tem. A relação entre CVaR
e VaR é que o primeiro quantifica a perda esperada para eventos além da perda do
VaR. Desse modo, o CVaR diferencia do VaR em relação à sensibilidade quanto
ao tamanho da cauda. Isso pode ser visualizado abaixo, onde CVaR é o valor
esperado para os casos do percentil (1-δ):
Figura 3-2: CVaR e a distribuição de probabilidade de retornos
Fonte: Vardanyan (2016)
Gotoh & Takano (2007), Pflug G.C. (2000) e Rockafellar & Uryasev (2002)
demonstram que CVaR é uma medida de risco coerente e convexa, atendendo aos
axiomas de Artzner et al. (1998) sobre coerência e Föllmer & Schied (2002) sobre
convexidade.
Suponha que X é uma distribuição de perda, e que Fx(z) é a distribuição
acumulada de X, i.e. 𝐹𝑥(𝑧) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑧). Então a distribuição pode ser definida
como:
31
𝐹𝑋𝛼(𝑧) ≔ {
0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 < 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋)
𝐹𝑥(𝑧) − 𝛼
1 − 𝛼, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 ≥ 𝑉𝑎𝑟𝛼(𝑋)
Equação 3- 9: Função de distribuição de perdas acumuladas
Sendo assim, se assumir que 𝑋𝛼 é uma variável aleatória com função de
distribuição acumulada 𝐹𝑋𝛼, então CVaR pode ser definido como:
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) = 𝐸[𝑋𝛼] ,
Equação 3- 10: CVaR como função do valor esperado de uma variável
aleatória
O que significa que:
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) = 𝐸[𝑋 | 𝑋 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋)], para quando X for contínuo;
E Rockafellar & Uryasev (2002), demonstram que para o caso discreto, CVaR
é obtido da seguinte forma:
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) = 𝜆𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) + (1 − 𝜆)𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼+(𝑋),
Equação 3- 11: Formulação de Rockafellar & Uryasev (2002) para o
CVaR
Onde:
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼+(𝑋) = 𝐸[𝑋 |𝑋 > 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋)],
O Valor em Risco Condicional pode ser definido com base na fórmula sugerida
por Acerbi (2002):
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) =1
1−𝛼∫ 𝑉𝑎𝑅𝛽𝑑𝛽
1
𝛼.
Equação 3- 12: Formulação de Acerbi (2002) para o CVaR
Para o modelo, o cálculo do CVaR é obtido de acordo com Rockafellar &
Uryasev (2002). Onde, sendo x o conjunto de decisões sobre a carteira. Para um
32
conjunto de decisões x, é possível associar uma função de perda a cada cenário
simulado:
𝐿𝑠 = 𝑓(𝑥), ∀𝑠 ∈ 𝑆;
Equação 3- 13: Função de perda de uma carteira
Onde:
𝐿𝑠 é a função de perda;
𝑥 é o conjunto de decisões tomadas.
A probabilidade que a função de perda não exceda um nível especificado z é,
portanto, igual a soma da probabilidade daqueles cenários cuja perda foi menor que
z:
𝜓(𝑥, 𝑧) = ∑ 𝑝𝑠𝑠|𝐿𝑠≤𝑧 ;
Equação 3- 14: Probabilidade de uma função de perda não exceder um
nível de confiança especificado
Onde:
𝑝𝑠 é a probabilidade do cenário s ocorrer.
Portanto, é possível definir o CVaR de Rockafellar & Uryasev (2002):
𝐶𝑉𝑎𝑅 (𝑥, 𝛼) =1
1 − 𝛼∙ ( ∑ 𝑝𝑠
𝑠|𝐿𝑠≤𝑧
− 𝛼) ∙ 𝑧 +1
1 − 𝛼∙ ( ∑ 𝑝𝑠
𝑠|𝐿𝑠≤𝑧
∙ 𝐿𝑠)
Equação 3- 15: Formulação final de Rockafellar & Uryasev (2002) para o
CVaR
33
3.2. MODELO TEÓRICO
Nesta parte o modelo teórico utilizado no trabalho para otimizar a carteira de
investimentos é descrito. O modelo foi feito inspirado nos trabalhos mencionados
no segundo capítulo e nas ferramentas da biblioteca utilizada do R, explicitada no
quarto capítulo. Primeiro apresenta-se as principais características do modelo, em
seguida as variáveis que o compõe, a função objetiva e por fim as restrições. Todas
as equações foram pensadas para uma situação aplicável para um fundo de ações
Long Only, ou seja, que não opera com venda a descoberto.
3.2.1. PRINCIPAIS CARACTERÍSICAS DO MODELO
O modelo consiste em otimizar a gestão de uma carteira de investimentos em
um universo de N ativos. A fim de representar os desejos de um investidor, o
modelo tem, portanto, que maximizar o retorno do portfólio dado um determinado
risco, e/ou minimizar o risco do portfólio dado um retorno. Sendo assim, a função
objetiva do modelo consiste em maximizar retorno por unidade de risco, onde o
risco da carteira é medido por CVaR.
Há dois modelos elaborados, um consiste em uma alocação de carteira pontual,
portanto estática, e outra onde a decisão de alocação da carteira é diária. O primeiro
modelo consiste em um modelo para investimentos mais passivos, e também foi
feito para obter melhor observação para o período como um todo, da fronteira
eficiente. O segundo modelo representa melhor a tomada de decisão de um
investidor ativo, além de liberar o modelo da restrição de esperar períodos maiores
que um dia para rebalancear a carteira.
Ambos os modelos assumem investimento de 100% do capital, com restrição
a venda a descoberto. O segundo modelo possui ainda custo de transação de 0.5%.
3.2.2. VARIÁVEIS DO MODELO
As variáveis que compõem o modelo são:
N : quantidade de ativos observados;
𝑟𝑖𝑡: retorno esperado do ativo “i” ( i = 1,...,N) no horizonte de tempo 𝜏;
34
𝑡: instante de tempo contato em dias;
𝜏: horizonte de tempo contato em dias;
𝛿: custo de transação (em % do valor transacionado);
𝜋𝑖𝑡: preço do ativo 𝑖 no instante t;
𝛼: nível de confiança para o cálculo do CVaR;
z: nível de perda dado o nível de confiança 𝛼;
𝑅𝜏: retorno esperado do portfólio no horizonte 𝜏;
𝑤𝑖: percentual do ativo 𝑖 na carteira de investimentos;
ℎ0: capital no instante inicial;
𝑚𝑖𝑡: binário que identifica se houve operação de compra ou venda no instante
da operação. 1 indica que houve, 0 que não;
𝐿𝑠: é a função de perda indicada em 3.1;
𝑝𝑠 é a probabilidade do cenário s ocorrer.
3.2.3. FUNÇÃO OBJETIVA
A função objetiva do modelo busca maximizar retorno por CVaR em ambos os
modelos, enquanto no segundo há adição dos custos de transação:
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑅𝜏
𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼𝜏 =
∑ 𝑤𝑖 ∙ 𝑁𝑖 𝑟𝑖
𝑡
11 − 𝛼 ∙ (∑ 𝑝𝑠𝑠|𝐿𝑠≤𝑧 − 𝛼) ∙ 𝑧 +
11 − 𝛼 ∙ (∑ 𝑝𝑠𝑠|𝐿𝑠≤𝑧 ∙ 𝐿𝑠)
Equação 3- 16: Função objetiva do modelo
3.2.4. RESTRIÇÕES
• Restrição de investimento total do capital:
∑ 𝑁𝑖 𝑤𝑖
𝑡 = 1 ;
Equação 3- 17: Restrição de investimento total do capital
• Restrição a venda a descoberto:
𝑤𝑖𝑡 ≥ 0 ;
Equação 3- 18: Restrição de venda a descoberto
35
• Penalização na função objetiva, devido aos custos de transação.
Utilizado apenas no modelo onde há rebalanceamento:
− ∑ 𝑚𝑖𝑡 ∙
𝑁
𝑖
𝜋𝑖𝑡 ∙ 𝛿
Equação 3- 19: Função de penalização da função objetiva
4. MÉTODO COMPUTACIONAL
Este capítulo é reservado para mencionar as bibliotecas utilizadas do R e o
método de solução utilizado nos modelos. É importante mencionar que existem
várias bibliotecas diferentes para mesma aplicação. Entretanto, buscamos
aquela que apresentava maior flexibilidade na adiçao de restrições e ajuste da
função objetiva. Sendo assim, o trabalho é replicável para mais restrições e
formulações diferentes que representem melhor a realidade de um investidor
individual.
4.1. BIBLIOTECAS
As bibliotecas utilizadas e suas finalidades nos modelos foram:
• quantmod: O quantmod é um pacote do R feito para auxiliar operadores
quantitativos no desenvolvimento e teste de modelos de operação de
ativos. Com esse pacote, é possível baixar dados de preço de ativos da
Bovespa, por exemplo. Com o auxílio desse pacote foi possível baixar
os dados utilizados no presente trabalho.
• PortfolioAnalytics: O PortfolioAnalytics é um pacote do R feito para
prover soluções numéricas para problemas com restrições e funções
objetivas complexas. Desse modo, é possível simular diferentes
conjuntos de função objetiva e restrições, por meio dos seguintes
métodos de solução:
o Random portfolios;
36
o Differential Evolution;
o Particle Swarm Optimization;
o Generalized simulated annealing;
o Linear and quadratic programming routines.
4.2. MÉTODOS DE SOLUÇÃO
Para o primeiro modelo, o método de solução utilizado foi por meio da
infraestrutura de otimização do R (ROI), onde há 3 tipos de métodos: nlminb, glpk,
quadrprog. O ROI seleciona automaticamente o melhor método para o problema
sugerido. Esse método foi utilizado por ser o mais rápido dentre os disponíveis, e
diferentemente do método aleatório, ele resulta sempre na mesma solução proposta
e não depende de uma amostragem N de portfólios.
O método de solução utilizado no segundo modelo foi o de portfólios
aleatórios, baseado em Patrick Burns (2004). Esse método foi escolhido devido a
sua maior flexibilidade quanto as funções objetivas, restrições e penalidades
adicionadas. Entretanto, é o método mais demorado para a convergência da solução
proposta, e dependente da amostragem de portfólios. Ele foi selecionado para o
segundo modelo, pois permite a adição de custos de transação.
37
5. RESULTADOS E ANÁLISES
Neste capítulo, os resultados de ambos modelos empíricos são demonstrados.
Em ambos modelos as análises ficaram restritas ao universo de ações do índice
Bovespa, para que não houvesse problemas de liquidez, uma vez que esses ativos
são normalmente os mais negociados da bolsa de valores brasileira.
Como as empresas podem entrar ou sair do índice, foram analisadas apenas as
que se mantiveram nele ao longo do período analisado, que corresponde ao dia 02
de janeiro de 2019 até o dia 08 de novembro de 2019. Os ativos analisados, portanto,
foram:
MGLU3 VALE3 B3SA3 BTOW3 RENT3
CYRE3 IGTA3 EGIE3 BRKM5 PETR4
GOAU4 USIM5 WEGE3 VIVT4 PETR3
MRVE3 PCAR4 ECOR3 RAIL3 JBSS3
GGBR4 NATU3 CSNA3 ELET3
CVCB3 CCRO3 EMBR3 ITSA4
HYPE3 LAME4 SBSP3 ITUB4
VVAR3 CSAN3 BBSE3 TIMP3
UGPA3 LREN3 MRFG3 FLRY3
RADL3 BRAP4 BRML3 ELET6
Tabela 5-1: Ativos incluídos na análise
A periodicidade da análise foi diária, como já mencionado no modelo teórico.
Nos apêndices deste trabalho estão relatórios de performance de todos os ativos
disponíveis para investimento, assim como relatórios de performance para cada
setor do índice Ibovespa. Nele, podemos obsevar a forte performance do setor de
consumo, impulsionada pela expectativa de aprovação de reformas econômicas no
país e retomada da confiança do consumidor, do setor bancário, historicamente com
uma alta rentabilidade no país, e o setor de saúde, puxada fortemente pela
performance da Raia Drogasil. No gráfico com todos os ativos, podemos observar
que existem mais ativos com resultados positivos expressivos do que negativos, o
que é normal dada a performacne acumulada do índice no ano. Nas próximas seções
a análise é mais detalhada para os dois modelos.
5.1. MODELO SEM REBALANCEAMENTO
38
O modelo sem rebalanceamento consiste em um portfólio para a maximização
do retorno sobre o CVaR, sujeito às restrições de alocação total de capital e sem
venda a descoberto. Ele foi elaborado, com a intenção de demonstrar a decisão
pontual, com portfólio estático, para um investidor passivo no momento analisado.
A escolha do método não reflete a melhor alternativa para um investidor ativo, já
que depende do histórico recente para carregar uma posição comprada por um
horizonte de tempo significativamente longo. Sua principal análise foi para uma
melhor observação da fronteira eficiente. Além disso, no apêndice estão as
performances dos ativos, além de imagens separando as performances por setores.
Esse modelo tem por característica a amostragem com base no período todo
analisado, portanto, seu cálculo de performance não deve coincidir com esse
período, já que seria uma escolha a posteriori, o que não reflete a realidade do
mercado. Ele foi elaborado para demonstrar o que ocorre em cada janela de decisão
a priori do modelo com rebalanceamento, e para se analisar a fronteira eficiente do
período como um todo. A fronteira eficiente se encontra no final desta seção, figura
5-1.
A carteira ótima do modelo é composta, portanto de:
• 15,03% de MGLU3 – Magazine Luiza, rede varejista de eletrônicos e
móveis, com e-commerce;
• 37,84% de RADL3 – Raia Drogasil, rede de drogarias;
• 17,82% de MRFG3 - Marfrig Global Foods é uma das maiores
companhias de alimentos à base de proteína animal do mundo;
• 29,32% JBSS3 - JBS uma das maiores indústrias de alimentos do
mundo. A companhia opera no processamento de carnes bovina, suína,
ovina e de frango e no processamento de couros.
Com retorno esperado de 0,36% ao dia, e CVaR de 2,593%.
É possível notar que o modelo selecionou ativos de diferentes setores, de
modo a reduzir o risco como um todo da carteira. Há ativo de consumo
discricionário, no caso da Magazine Luiza, onde se beneficiaria de uma
39
performance positiva da demanda interna brasileira, com o aumento do consumo
doméstico. Enquanto há também ativos de consumo não discricionário,
caracterizados por possuírem um beta menor que 1, e menos alavancados, portanto,
à performance econômica brasileira. Nos casos da rede de drogarias e das empresas
voltadas para indústria alimentícia, um aumento da demanda agregada doméstica
não impulsionaria um grande aumento de consumo dos produtos dessas empresas.
Portanto, é possível perceber que o modelo reduz o risco assistemático ao associar
essas empresas.
Para que a diversificação do portfólio seja melhor demonstrada visualmente,
abaixo está a fronteira eficiente do modelo. É possível notar que as empresas
escolhidas se situam em um quadrante mais positivo para a utilidade do investidor,
ficando mais localizadas a “noroeste”, ou seja, com mais retorno e menor risco. A
JBS foi a empresa que ficou situada na fronteira eficiente, representado um portfólio
eficiente, mas significativamente mais arrojado que o obtido por nosso portfólio.
Recentemente os frigoríficos tiveram alta de exportação, o que levou à boa
performance das empresas mencionadas. Em setembro de 2019, por exemplo, a
China habilitou 25 novos frigoríficos brasileiros para exportação, saindo de 64
plantas habilitadas para 89 que agora podem exportar para o país asiático. Parte
desse aumento de demanda Chinês pela proteína brasileira é devido à peste suína
africana, que devastou plantéis locais e causou falta de oferta da proteína animal,
aumentando a necessidade de importação de proteína brasileira.
As empresas do quadrante mais à direita e acima, são aquelas em que
contribuem mais para o retorno, porém com perfil de risco bem acima dos outros.
As principais empresas desse quadrante são VVAR3 e ELET3. Essas ações são
caracterizadas por dependerem fortemente da economia doméstica (VVAR3) ou
políticas econômicas internas (ELET3). A Via Varejo (VVAR3), como o próprio
nome diz, é do setor de consumo discricionário, possui marcas como Casa Bahia,
Pontofrio, Extra. Já a Eletrobrás (ELET3), é uma sociedade de capital misto, onde
o governo possui o controle acionário e atua como holding no setor de energia
elétrica, contendo negócios de geração, transmissão e distribuição de energia.
Devido ao seu capital ser misto, a ação da Eletrobrás tem sofrido efeito da onda
liberal do novo governo brasileiro, principalmente com assuntos relacionados à
privatização.
40
A maior parte das empresas situaram no quadrante com baixo retorno e
baixo risco, com base no recorte e períodos analisados. Exemplo de ações desse
quadrante são ITUB4, PCAR4, LAME4, GGBR4, TIMP3, RAIL3, RENT3,
LREN3, BBSE3, EGIE3. Há, portanto, empresas de diferentes setores, desde
bancos a varejo, geradora de energia, commodities, infraestrutura. Análises quanto
a esse quadrante, devido ao grande número de ativos e variedade, podem ser
inconclusivas nesse período observado.
O pior quadrante, com baixo retorno e muito risco, ficou reservado a BRAP4
e VALE3. A Bradespar (BRAP4) é uma empresa que administra as participações
acionários que o Bradesco possuía em empresas não financeiras, como Vale. Por
conta disso, a BRAP4 situa-se em mesmo quadrante que a VALE3. Já a ação da
VALE3, para o período analisado, esteve nesse quadrante devido ao evento do
rompimento da barragem de Brumadinho-MG, que sucederam em diversas
cassações e liberações de licença para a mineradora, aumentando a volatilidade do
ativo. Aliado a isso, a volatilidade do preço do minério contribuiu para aumentar o
risco da ação. Outro fator que pode ter corroborado é a pressão vendedora do
BNDES, que irá desfazer de 90% de suas ações.
41
Figura 5-1: Fronteira eficiente de ativos
42
5.2. MODELO COM REBALANCEAMENTO
Neste modelo foi adicionada a possibilidade de rebalanceamento do portfólio
periodicamente, tornando-o dinâmico ao longo do período analisado. Além disso,
também foram incluídos custos de transação no valor de 0,50% do financeiro
negociado. A possibilidade de rebalanceamento é interessante pois possibilita ao
programa reavaliar as informações passada disponíveis para cada um dos ativos,
adicionando uma componente de momentum. Assim como mencionado no início
desse capítulo, a ideia do modelo é que represente tomadas de decisões de um fundo
de investimento Long Only. Sendo assim, a cada pregão o operador segue o
rebalanceamento sugerido pela carteira do modelo, mantendo seus ativos 100%
alocados, com restrição a venda a descoberto e com os custos de transação
representados.
A análise dinâmica utilizada é baseada na ideia de Walk Forward Optimization.
Desse modo, a estratégia de otimização possui N janelas de observação dentro de
um período total de análise. No caso do presente trabalho, cada janela consistia em
30 pregões, do total de 216. A cada dia de pregão que se passava, o algoritmo tinha
que tomar uma decisão a priori da carteira de investimentos, portanto a otimização
era feita seguindo o método aleatório. A análise da otimização em um dia observava
uma janela de 30 pregões passados, da seguinte forma: 10 desses dias eram
selecionados para treinamento dos dados e 20 para teste fora da amostragem. Esse
algoritmo era chamado a cada dia de pregão, retornando o que será observado de
resultado de decisões pontuais e performance.
Para a análise foi utilizada a frequência de rebalanceamento diária, a partir dos
preços de fechamento do pregão anterior, com um período de treino de 10 pregões
(não há alocação nos 10 primeiros pregões) e janela de análise de 30 pregões
(retornos esperados e CVaR são calculados a partir dos retornos dos 30 pregões
anteriores ao rebalanceamento). Conforme citado anteriormente, o método de
optimização escolhido para esse modelo foi o de geração aleatória de 1000
portfólios (random). O período de avaliação foi de 2 de janeiro de 2019 até 8 de
novembro de 2019 (216 pregões).
43
Após a execução do programa, gerou-se um gráfico de alocação diário do
portfólio, onde é possível enxergar o fluxo de alocação de ativos. O gráfico pode
ser encontrado na página seguinte.
Além disso, também se gerou um gráfico de performance comparativa entre o
portfólio com rebalanceamento, o portfólio estático (chamado de benchmark) e o
índice Ibovespa. Esse gráfico se encontra logo após ao gráfico de alocação. Nele
podemos observar que o portfólio com rebalanceamento apresentou uma
performance consideravelmente acima dos dois outros portfólios, com
outperformance durante praticamente todo o período analisado. Ainda pode-se
destacar que o máximo drawdown (queda acumulada do valor de um ativo desde o
último pico) do portfólio dinâmico é cerca de 2 pontos percentuais maior do que o
dos outros dois portfólios. Ainda se apresenta uma tabela com as contribuições
acumuladas de cada ação ao portfólio – pode-se notar que todos os ativos avaliados
fizeram parte da carteira em algum momento do período avaliado. Nos resultados
obtidos, o número médio de ativos no portfólio durante o período de avaliação foi
de 25 ações – praticamente metade do índice, o que é esperado para necessidade da
adição do fator de diversificação do risco específico.
Na tabela 5-2 observa-se tanto a contribuição acumulada de cada ativo do índice
no portfólio assim como o número de aparições no portfólio rebalanceado. Como
forma de avaliação da performance dos ativos em carteira (não apenas retornos)
calculamos a correlação entre o número de aparições e a contribuição acumulada e
chegamos ao valor de -0,31. Isso indica que existe uma correlação inversa fraca
entre o número de vezes em que alocamos determinado ativo na carteira e o retorno
por ele gerado. Isso é um indicativo de que essas contribuições foram geradas pela
alocação de capital num momento em que o ativo apresentava tendência de alta
(relação retorno esperado e CVaR alta) – o que pode ser justificado pela presença
de uma componente de momentum no modelo, conforme citado anteriormente no
estudo.
Dito isso, a partir do portfólio dinâmico, avaliamos a performance dos 5 ativos
que mais contribuíram positivamente para o portfólio (MRFG3, RADL3, CCRO3,
HYPE3 e BBSE3) e dos 5 ativos que mais contribuíram negativamente (UGPA3,
BRKM5, EMBR3, BRAP4 e ITUB4). Os resultados também podem ser observados
a seguir.
44
Pode-se observar que o modelo foi capaz de antecipar as altas nos ativos,
capturando valor ao longo do ano e alocar capital em ações que perderam valor no
período sem prejudicar significativamente a performance do portfólio. De fato,
mesmo ações que apresentaram queda acumulada no período foram capazes de
contribuir positivamente para o retorno do portfólio. É possível perceber também,
que o modelo performou mais que os benchmarks principalmente em poucos
instantes anteriores à aprovação da previdência.
45
Figura 5-2: Gráfico de pesos de ativos no portfólio com rebalanceamento
46
Figura 5-3: Relatório comparativo de performance dos modelos sem
rebalanceamento, com rebalanceamento e Ibovspa
47
Tabela 5-2: Tabela de contribuição acumulada dos ativos e número de
aparições no portfólio com rebalanceamento
48
Figura 5-4: Relatório comparativo de performance dos 5 ativos que mais
contribuíram negativamente para o portfólio com rebalanceamento
49
Figura 5-5: Relatório comparativo de performance dos 5 ativos que mais
contribuíram positivamente para o portfólio com rebalanceamento
50
6. CONCLUSÃO
Este trabalho teve como objetivo desenvolver um modelo matemático e
computacional para gestão de carteiras de investimento comprada em ações
brasileiras com o objetivo de minimizar seu risco mensurado pelo CVaR.
Inicialmente foi realizada a montagem de um portfólio único que foi mantido
durante todo o período de análise. A partir dele se montou a fronteira eficiente
descrita por Markowitz (1952) considerando todas as ações disponíveis para
investimento. Após isso, inclui-se uma componente dinâmica no portfólio através
da opção de rebalanceamento diário. Com esses dois modelos em mãos, comparou-
se a performance de cada um deles com o retorno do índice Ibovespa, também
avaliando suas distribuições de retornos e os drawdowns. De acordo com os
resultados apresentados, observou-se a importância do rebalanceamento na carteira
e como essa técnica alavanca os ganhos gerados. Parte disso é justificado pela
componente de momentum que essa técnica inclui no portfólio, avaliando os
retornos e CVaRs de pregões mais recentes. Na comparação entre os três portfólios
(índice Ibovespa, portfólio estático e portfólio dinâmico) pode-se observar que o
retorno dos dois modelos foi superior ao retorno do mercado e que no caso com
rebalanceamento o drawdown também foi significativamente menor. Isso mostra
que a estratégia de utilizar CVaR como medida de risco tanto possibilita ao
investidor aumentar os ganhos da carteira como proteger sua carteira de quedas
prolongadas – fator extremamente importante na gestão de fundos de investimento.
Neste estudo consideramos apenas posições compradas em ações e a ausência
de investimento em um ativo livre de risco, o que possibilita o aprimoramento do
modelo com mais restrições baseadas nas características pessoais de cada investidor
e restrições matematicamente mais sofisticadas, de forma a aumentar o poder
decisório do modelo como um todo. Para determinação do portfólio ótimo em cada
período de rebalanceamento utilizamos a simulação de 20.000 carteiras (número
padrão de geração de cenários do pacote Portfolio Analytics) e 216 pregões foram
avaliados, considerando um período de teste de 10 pregões. Logo, durante o modelo
foram gerados 4.320.000 cenários diferentes e o tempo de processamento foi de
5,37 minutos utilizando um i5-9400F 2.90 GHz – mostrando que o modelo é
computacionalmente viável.
51
Durante a revisão bibliográfica foi feita uma varredura dos conceitos envolvidos
na gestão de portfólios e de ativos financeiros de risco, passando pela Teoria de
Portfólios e pela Hipótese de Mercados Eficientes, também se pesquisou sobre a
literatura disponível de modelos quantitativos no Brasil e no exterior. Através dessa
revisão pode-se avaliar quão inexplorado esse campo de pesquisa ainda é no país e
as possibilidades existentes para expansão dos estudos. Pesquisou-se também sobre
fundos de investimentos quantitativos existentes no mundo, destacando a D.E.
Shaw & Co e a AQR Capital, gestoras multibilionárias com um trackrecord
invejável. Foi possível notar a diferença de desenvolvimento entre os fundos
quantitativos do exterior e brasileiros, observável pela grande diferença de ativos
sob gestão.
Por fim, as principais contribuições deixadas pelo trabalho são a adição da
técnica de rebalanceamento na construção de um portfólio ótimo utilizando CVaR
como medida de risco – técnica não observada na literatura levantada, e o
desenvolvimento de um modelo computacionalmente viável e de código livre –
possibilitando o aprimoramento de outros acadêmicos e utilização de investidores.
6.1. SUGESTÃO DE TRABALHOS FUTUROS
O estudo desenvolvido apresentou resultados positivos e promissores.
Entretanto, o trabalho não teve um foco na análise de sensibilidade do modelo aos
parâmetros apresentados. Portanto, sugerimos nessa seção alguns possíveis tópicos
para aprofundamento e aprimoramento do modelo:
i. Adição de possibilidade de posições vendidas, levando em conta o custo
de aluguel e os dividendos pagos pelas ações;
ii. Inclusão de ações fora do indíce Ibovespa (mid e small caps, por
exemplo) respeitando parâmetros de liquidez informados pelo
investidor;
iii. Análise de sensibilidade do modelo para os parâmetros de
rebalanceamento: para a execução da técnica de rebalanceamento são
informados (1) frequência de rebalanceamento, (2) período de testes e
(3) rolling window (número de pregões usados para calcular o retorno
esperado e CVaR das ações). Para aprimoramento do modelo é
52
interessante avaliar como ele responde com mudanças nesses
parâmetros, podendo se definir parâmetros base que o otimizem para o
mercado brasileiro. No caso do rolling window, por exemplo, esse
estudo seria semelhante a avaliação de autocorrelação entre amostras,
onde a janela com maior autocorrelação seria a ótima.
53
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58
8. APÊNDICE
Figura 8-1: Resumo da perfmornace das ações avaliadas
59
Figura 8-2: Resumo da performance do setor de consumo
60
Figura 8-3: Resumo da performance do setor de saúde
61
Figura 8-4: Resumo da perfrmance do setor de serviços financeiros
62
Figura 8-5: Resumo da performance do setor industrial
63
Figura 8-6: Resumo da performance do setor de commodities
64
Figura 8-7: Resumo da performance do setor de utilities
