Embed Size (px)
Citation preview
1
Peatu
kk
2
Sise
joud
japin
ged
Kaesolevas
peatu
kis
rakendatak
sevarrastes
jatalad
estek
kivate
pin
ge-te
analu
usim
iseks
tugev
usop
etuses
(jateh
nilises
meh
aanikas)
kasutatavaid
hupoteese,
prin
tsiipe
jam
eetodeid
.Teisison
u,
kaesolevas
peatu
kis
onvaatlu
-se
allnn.elem
entaarteo
orialevastavad
lahen
did
.
2.1
.V
alisjo
ud
2-
2
2.1
Valisjo
ud
Deform
eeruvat
keha
voib
vaadeld
ako
osnevan
apunktm
assidest
jaseega
onte-
gupunktm
asside
(meh
aanikalise)
susteem
iga1.
Sise-
javalisjou
dusid
kasitleti
kaja
igakeh
am
ehaanika
kursu
ses(tavaliselt
dunaam
ikakursu
sesen
ne
dunaam
ikauld
teoreeme).
Koigep
ealttu
lim
aaratleda
vaadeld
avkeh
a(v
oipunktm
asside
susteem
)nin
gseejarel
defi
neeriti
sise-ja
valisjou
djargm
iselt:sisejo
ud
onjou
d,
millega
vaadeld
avassesu
steemi
kuulu
vadpunktm
assidm
ojutavad
uksteist
java
lisjoud
onjou
d,m
illegavaad
eldavasse
susteem
im
ittekuulu
vadpunktm
assidm
ojutavad
vaadeld
avassesu
steemi
kuulu
vaidpunktm
asse.A
nalo
ogiliseltdefi
-neeritak
sesise-
javalisjou
dka
pid
evakesk
konna
meh
aanikas
(k.a.
elastsusteo
o-rias):
•Sisejo
ududeks
nim
etatakse
joudusid
,m
illegavaad
eldava
keha
(voi
keskkon
-na)
punktid
(vaadeld
avassesu
steemi
kuulu
vadpunktm
assid)
moju
tavaduksteist.
•V
alisjo
ududeks
nim
etatakse
joudusid
,m
illegateised
kehad
,kesk
konnad
ja
1Vt.
ka” D
unaam
ika”kursu
sest.
2.1
.V
alisjo
ud
2-
3
punktm
assidm
ojutavad
vaadeld
avatkeh
a(kesk
konda).
Valisjou
djagu
nevad
pin
d-
jam
ahujou
dudek
s.
•Pin
d-
ehk
konta
ktjoud
moju
vadvaad
eldavale
kehale
labi
valisp
inna.
Naitek
shudrostaatilin
esu
rve.
•M
ahu-eh
km
assjo
ud
moju
vadigale
vaadeld
avatkeh
am
oodustavale
punkt-
massile.
Naitek
sgrav
itatsioon
ijoud.
Pin
djou
dm
ojub
alatilab
im
ingi
pin
na
jaseetottu
ontem
adim
ensio
ontavaliselt
sama,
mis
pin
gel,s.t.
N/m
2.P
iirjuhul,
kuipin
dm
illelko
ormus
moju
bon
vaga
vaike,
asendatak
sepin
djou
dsellel
pin
nal
moju
vapin
djou
dude
resultan
diga,
s.t.uhe
jouga,
mid
anim
etatakse
punktjo
uks
ehk
koondatu
djo
uks.
Koon
datu
djou
dim
ensio
onon
loom
ulik
ult
N.K
aks
vord
vastupid
istko
ondatu
djou
du,m
illelon
erinevad
moju
sirged,m
oodustavad
koondatu
dm
om
endi.
Mahujo
udude
dim
en-
sioon
onN
/m3
jam
assijo
ududel
N/k
g.
√
Toerea
ktsioonid
kuulu
vadvalisjou
dude
hulka.
Tugev
usop
etuse
(jaelastsu
steoo-
ria)seisu
kohast
olulisem
adtu
gede
tuubid
2:
2Vaata
lisaks
staatikakursu
sest.
2.1
.V
alisjo
ud
2-
4
•2D
liikuv
liigendtu
gie.
liigend
—1
joud,
•2D
liikum
atuliigen
dtu
gie.
liigend
—2
joudu,
•2D
jaikkin
nitu
s—
2jou
du
ja1
mom
ent,
•3D
jaikkin
nitu
s—
3jou
du
ja3
mom
enti.
Sta
atika
gam
aara
tud
jasta
atika
gam
aara
mata
konstru
ktsioonid
.
•Staatikaga
maaratu
dkon
struktsio
onid
eto
ereaktsio
onid
eleid
min
etoim
ub
staatikatasakaalu
vorran
dite,
prin
tsiipid
eja
aksio
omid
eab
il,s.t.
tapselt
samuti
kuised
ateh
tistaatika
kursu
ses.
–Tasap
innalised
ulesan
ded
—kuni3
tundm
atut
jasam
apalju
vorran
-deid
.
–3D
(ruum
ilisedulesan
ded
)—
kuni6
tundm
atut
jasam
apalju
vorran
-deid
.
–K
onstru
ktsio
onlo
etakse
jaigaks.
–Jaotatu
dko
ormused
asendata
jkse
uksik
joududega.
2.2
.Sise
joud
jalo
ikem
eeto
d2
-5
–Jou
du
voib
kasitled
alib
isevavek
torina.
–Jne.,
vaatalisak
sstaatika
kursu
sest.
•Staatikaga
maaram
atakon
struktsio
onid
eto
ereaktsio
onid
eleid
mise
meeto-
deid
kasitletak
setu
gevusop
etuse
jaeh
itusm
ehaan
ikakursu
stes.Sel
juhul
tuleb
arvessevotta
kuid
askon
struktsio
ondeform
eerub.
2.2
Sise
joud
jalo
ikem
eeto
d
Vastavalt
New
toni
IIIsead
usele
moju
tavadkak
spunktm
assitein
eteistvord
-vastu
pid
istejou
dudega.
Valisjou
dude
puudum
iselm
ojuvad
tahke
keha
punkt-
massid
evah
elm
olekulaarse
paritolu
gajou
d,m
istagavad
tallenn.kuju
-ja
ma-
hupusiv
use.
Sed
asorti
joud
(mis
oma
olemuselt
onsam
uti
sisejoud)
elastsus-
teooria
jatu
gevusop
etuse
seisukoh
altuld
juhulhuviei
pak
uja
neid
arvesseei
voeta.
Teisison
u:
•kuna
algolekus(v
alisjoudude
puudum
isel)lo
eme
me
kehad
pin
getestja
de-
formatsio
onid
estvab
adek
s,siis
eeldatak
se,et
algolekussisejou
dpuuduvad
;
2.2
.Sise
joud
jalo
ikem
eeto
d2
-6
•m
eidhuvitavad
vaidsellised
sisejoud,
mis
ilmnevad
kehale
rakendatu
dvalisjou
dude
tulem
usen
a.
Keh
asisejou
dude
japin
getem
aaramise
juures
man
gibtah
tsatrolli
loikemeeto
d,
mille
idee
onjargm
ine.
•V
aatleme
tasakaalus
olevatkeh
aja
loikame
tam
otteliseltkah
eks
osaks.
•Sellek
s,et
molem
adosad
oleksid
kaparast
(mottelist)
tukeld
amist
tasa-kaalu
stu
lebaraloigatu
dosa
moju
asendad
ajou
dudega.
Neid
joudusid
ni-
metatak
segi(vaad
eldavas
keha
loikesm
ojuvatek
s)sisejo
ududeks.
Kuna
enne
(mottelist)
loigetolid
vaadeld
avakeh
aosad
omavah
eljaigalt
uhen
datu
d,siis
me
toimim
esisejou
dude
maaram
iseju
ures
analo
ogiliseltjaigale
kin
nitu
selevastavate
toereak
tsioon
ide
leidm
iselestaatika
kursu
ses.V
iimased
peavad
valistam
anii
loikepin
na
punktid
esiird
edkuipoord
ed.Staatika
kursu
-sest
ontead
a,et
tasapin
nalise
jousu
steemikorral
onsellistek
sreak
tsioon
idek
skak
sjou
du
jauks
mom
ent
nin
g3D
jousu
steemi
korralkolm
joudu
jakolm
mom
enti.
2.2
.Sise
joud
jalo
ikem
eeto
d2
-7
Joon
is2.1:
Loikem
eetod
jasisejou
d:loikep
innal
onkuju
tatud
sisejoudude
peavek
torja
peam
o-m
ent.
Ran
gemalt
oeldes
onjaiga
kin
nitu
sereak
tsioon
idek
ssiisk
iuks
joud
jauks
mo-
men
t–
reaktsio
onjou
dude
peavek
torja
peam
omen
t.Toereak
tsioon
ide
leidm
isekorral
maaratak
setavaliselt
nen
de
kahe
vektori
pro
jektsio
onid
koord
inaattelge-
del.
Viim
asteab
ilsaab
omakord
am
aaratato
ereaktsio
onid
eko
ordin
aattelgede
sihilised
kompon
endid
.Tasap
innalisel
juhulon
neist
kuuest
kompon
endist
kolmsam
aseltnullid
.T
apselt
sama
loogika
kehtib
sisejoudude
maaram
isekorral.
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
8
Sisejou
dude
maaram
isekstu
lebvaad
elda
keha
kum
bagip
oolt
eraldin
ing
koosta-
da
staatikasttu
ntu
dm
eetodeid
kasutad
estasakaalu
vorran
did
,kust
maaratak
seotsitavad
sisejoud.E
ttevaatliktu
lebsiin
ollaju
htu
del,
kuiloige
onteh
tud
jaota-tu
dko
ormuse
moju
mise
piirkon
nas.
Sellisel
juhulei
saakogu
jaotatud
koorm
ust
asendad
auhe
jouga
nagu
staatikasteh
ti.(N
aide
2-1.Tala
sisejoud.
Lah
enda-
takse
loen
gus!)
2.3
Sise
joudude
liigid
Varraste
jatalad
e(ka
plaatid
e)korral
eristatakse
sisejoududen
apikijo
udu,
vaandem
om
enti,
poikjo
udu
japa
indem
om
enti.
Pikijo
ud
moju
bpik
ivard
atel-
ge.Ta
saabtek
kid
a,kuivalisjou
dudel
onvard
atelje
sihilisi
kompon
ente
(joon
.2.2).
Vaandem
om
entsaab
vardas
tekkid
asiis,
kuivalisjou
dudel
onkom
pon
ente,
mis
annavad
mom
ente
varda
teljesu
htes
voi
talleon
rakendatu
dpoord
emom
ent,
st.valism
omen
tvard
atelje
suhtes
(joon
.2.3).
Vaan
dem
omen
tpoorab
varda
ristloikeidum
ber
varda
telje.
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
9
Joon
is2.2:
Pik
ijoud
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
10
Joon
is2.3:
Vaan
dem
omen
t(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
11
Poikjo
ud
moju
bristi
varda
teljegaja
”uritab
varrastlab
iloigata”.
Pain
dem
o-
men
di
toimel
varraskoverd
ub.N
eedkak
ssisejou
du
saavadvard
astek
kid
asiis
kuitalle
moju
vadvalisjou
dom
avadvard
ateljega
ristuvaid
kompon
ente.
Lisak
svoib
pain
dem
om
ent
tekkid
aju
hul
kui
vardale
moju
bpain
ettek
itavm
omen
t.Selliseid
valisko
ormusi
onkuju
tatud
joon
isel2.4.
Poik
jousu
non
uum
ina
kasuta-
takse
katerm
init
loikejo
ud.
Joon
is2.4:
Poik
joud
japain
dem
omen
t(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
12
Joon
isel2.5
onkuju
tatud
kasitletu
dsisejou
dusid
tasapin
nalisel
(2D)
juhul
jajo
onistel
2.6nin
g2.7
3Dju
hul.
Neil
joon
istelon
kasutatu
dsisejou
dude
ta-vap
araseidtah
istusi:
pik
ijoud
–N
,vaan
dem
omen
t–
T,poik
joud
–Q
japain
-dem
omen
t–
T.
Joon
is2.5:
Sisejou
dude
liigid–
2Dju
ht.
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
13
Joon
is2.6:
Sisejou
dude
liigidja
positiiv
sedsu
unad
—pik
i-ja
poik
joud
3Dju
hul.
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.3
.Sise
joudude
liigid
2-
14
Joon
is2.7:
Sisejou
dude
liigidja
positiiv
sedsu
unad
–vaan
de-
japain
dem
omen
did
3Dju
hul.
NB
!M
zon
siinnegatiiv
ne,
teisedpositiiv
sed.
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
15
2.4
Sise
joudude
marg
ireeglid
Sisejou
dude
positiiv
seteleja
negatiiv
setelesu
undad
eleon
kehtestatu
dsu
hte-
liseltran
gedm
argireeglid3.
Enne
nen
de
juurd
easu
mist
tuleb
agatap
sustad
ako
ordin
aattelgede
asend
jatu
ua
sissem
oned
moisted
.
Tugev
usop
etuses,
ehitu
smeh
aanikas
jam
ones
muus
meh
aanika
osas,kus
kasitletak
sevarraste,
plaatid
eja
koorik
ute
meh
aanikalist
kaitu
mist,
ontih
tikom
bek
ssu
unata
vertikaalne
koord
inaattelg
alla.K
una
poord
epositiiv
ne
suund
onseotu
dtelged
easen
diga,
siislo
etakse
nuud
positiiv
seks
tavaparasega
vorrel-
des
vastupid
istpooret
(vt.
1.peatu
kk
lk.8).
Sellin
etelged
easen
doli
eelmises
alajaotu
sesju
ba
kasutu
ses.
Mottelisel
loikeltek
kivat
pin
da
nim
etatakse
sisepin
naks
(vt.
joon
.2.6
ja2.7).
Tavaliselt
tehak
seloiked
ristitelged
ega.Sel
juhul
saabdefi
neerid
apositiiv
sednin
gnegatiiv
sedsisep
innad
.Sisep
inda
nim
etatakse
positiivseks
sisepin
naks
kui
tema
norm
aalon
suunatu
dko
ordin
aatteljepositiiv
sessu
unas
janega
tiivseks
sisepin
naks
kuitem
anorm
aalon
suunatu
dko
ordin
aatteljenegatiiv
sessu
unas.
Joon
istel2.6
ja2.7
kuju
tatud
juhtu
del
onloikam
isekaigu
stek
kin
ud
tagum
isel
3Tosi
kull,
erinev
teau
toriteop
ikutes
jateatm
eteostesvoib
koh
atavaga
erinevaid
margireegleid
.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
16
vardaosal
positiiv
ne
sisepin
dja
eesmisel
vardaosal
negatiiv
ne
sisepin
d.Joon
isel2.5
kuju
tatud
2Dju
hulon
positiiv
ne
sisepin
dtek
kin
ud
varda
vasakpoolsel
osalja
negatiiv
ne
parem
poolsel
osal.
Tala
pain
de
uurim
iselosu
tuvad
tahtsatek
snn.po
sitiivsedja
nega
tiivsedkiu
d.
Vard
am
ottelisikiu
dusid
nim
etatakse
positiiv
seteks
kuiz-ko
ordin
aaton
sellestala
osaspositiiv
ne.
Ja
vastupid
i,vard
am
ottelisikiu
dusid
nim
etatakse
negatiiv
-setek
skuiz-ko
ordin
aaton
sellestala
osasnegatiiv
ne.
Sellin
em
aaratlus
kehtib
juhulkuitala
pain
dub
x−z
tasapin
nas
(joon
.2.4).
Kuipain
etoim
ub
agax−
y
tasapin
nas,
siison
positiiv
sedja
negatiiv
sedkiu
dm
aaratud
y-telje
abil.
Graafi
liselton
sisejoudude
positiivsed
suunad
2Dju
hu
jaoks
kuju
tatud
joon
isel2.8
nin
g3D
juhu
jaoks
joon
istel2.6
ja2.7
(valja
arvatud
Mz ,
mis
onjo
onisel
2.7negatiiv
ne).
Son
astatult
onsisejou
dude
margireeglid
jargmised
.
•Positiivn
epikijo
ud
vastabvard
atom
bele
janegatiiv
ne
pik
ijoud
survele.
–Positiiv
ne
pik
ijoud
moju
bpositiiv
selsisep
innal
teljepositiiv
sessu
unas.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
17
•V
aandem
om
endi
positiivn
esu
und
onm
aaratud
kru
vireegliga:
positiiv
selsisep
innal
moju
vvaan
dem
omen
ton
positiiv
ne
kuivaan
dem
omen
disu
unas
poorates,
hak
kabkru
vi
liikum
atelje
positiiv
sessu
unas
nin
gnegatiiv
selsisep
innal
teljenegatiiv
sessu
unas.
•Positiivn
epoikjo
ud
Qz
moju
bpositiiv
selsisep
innal
z-teljepositiiv
sessu
u-
nas
janegatiiv
selsisep
innal
z-teljenegatiiv
sessu
unas.
–A
nalo
ogiline
margireegel
kehtib
kapoik
jouQ
yjaok
s.
–Tasap
innalise
juhu
jaoks
onkasu
tusel
kann.
tooreegel:Positiiv
ne
poik
joud
poorab
talaosaparip
aeva(v
t.jo
on.2.8).
•Positiivn
epa
indem
om
ent
tekitab
tombe
talapositiiv
seteskiu
dudes.
–K
aesolevaskursu
seskasu
tatavatelged
eorien
tatsioon
ikorral
pole
pain
-dem
omen
dim
argireeglilm
ittem
idagi
uhist
joum
omen
diju
ures
kasu-
tatavam
argireegliga.
Marku
s:P
iki-
japoik
joum
argireegliteosas
onerin
evadau
toridvaga
uksm
eelsed,kuid
pain
de-
jaeriti
vaan
dem
omen
tide
puhulon
voim
alikud
vagagi
erinevad
lahen
emisv
iisid.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
18
Joon
is2.8:
Sisejou
dude
margireeglid
.(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
19
Sisejou
dusid
ontavaliselt
kasulik
teada
igasvard
aristloikes
nin
gseetottu
onosu
tunud
otstarbekak
sesitad
aneid
graafiliselt.
Vastavaid
graafikuid
nim
eta-tak
seeesti
keelesep
uurid
eks4.
Enam
vah
eman
aloogiliselt,
st.ep
uurid
eab
il,esitati
staatikakursu
seslau
skoorm
usi
ehk
jaotatud
koorm
usi.
Epuuri
korvale
kirju
tatakse
tema
nim
ija
uhik
ud.N
aiteks
N-ep
uur
kN
,voi
luhid
altN
kN
.
Epuurid
eko
ostamist
selgitame
jargnevate
naid
eteab
il,parin
evadem
eriitpro-
fessorJaan
Metsaveere
oppem
aterjalidest.
4Inglise
keeles
onep
uuri
vastedia
gra
m,naitek
spoik
jouep
uur
onin
glisekeeles
shea
r-force
dia
gra
m
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
20
Naid
e2-2
.K
oostad
apik
ijouep
uur.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
21
Naid
e2-3
.K
oostad
apik
ijouep
uur.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
22
Naid
e2-4
.K
oostad
avaan
dem
omen
diep
uur.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
23
Naid
e2-5
.K
oostad
apoik
jouja
pain
dem
omen
diep
uur.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
24
Naid
e2-6
.K
oostad
apoik
jouja
pain
dem
omen
diep
uur.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
25
Naid
e2-7
.K
oostad
atasan
draam
isisejou
dude
epuurid
.
2.4
.Sise
joudude
marg
ireeglid
2-
26
Naid
e2-8
.K
oostad
am
urtu
dvard
asisejou
dude
epuurid
.
2.5
.D
ifere
ntsia
al-
jain
tegra
alseo
sedla
usk
oorm
use
inte
nsiiv
suse
jasise
joudude
vahel
2-
27
2.5
Dife
rentsia
al-
jain
tegra
alse
ose
dla
usk
oorm
use
inte
nsiiv
suse
jasise
joudude
vahel
Vaatlem
evard
aosa,
kuspik
itelge
moju
blau
skoorm
usin
tensiiv
susega
px
jaristi
teljegalau
skoorm
us
inten
siivsu
segap
z .K
oord
inaad
ilx
onvard
astristloigete
abil
eraldatu
dlop
mata
luhike
elemen
tpik
kusega
dx
(joon
.2.9).
Koostam
eselle
elemen
di
jaoks
tasakaaluvorran
did
,pro
jekteerid
eskoik
tallem
ojuvad
joud
x-
jaz-teljele
nin
gleid
esm
omen
did
punkti
Bsu
htes.
Joon
is2.9:
Diferen
tsiaal-ja
integraalseosed
—lau
skoorm
use
inten
siivsu
s(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
2.5
.D
ifere
ntsia
al-
jain
tegra
alseo
sedla
usk
oorm
use
inte
nsiiv
suse
jasise
joudude
vahel
2-
28
∑
i
Fix
=N
+dN
−N
+p
x ·dx
=0,
∑
i
Fiz
=Q
+dQ−
Qz+
pz ·
dx
=0,
∑
i
MB(F
i )=
−M
y −Q
z ·dx
+M
y+
dM
y+
pz ·d
x·(0,5d
x)
=0,
Parast
lihtsu
stamist,
diferen
tsiaaligadx
labijagam
ist,nin
gviim
asestvorran
dist
korgem
atjark
uvaikese
liikm
ehulgam
ist,saam
ekolm
diferen
tsiaalseost:
dNdx
=−
px ,
dQ
z
dx
=−
pz ,
dM
y
dx
=Q
z .(2.1)
Integraalseoste
saamisek
skorru
tame
viim
aseiddiferen
tsiaaligadx
nin
gin
teg-reerim
eloigu
l[a
,x]:
N(x
)=
N(a
)−∫
x
a
px (x
)dx,
Qz (x
)=
Qz (a
)−∫
x
a
pz (x
)dx,
My (x
)=
My (a
)+
∫
x
a
Qz (x
)dx.
(2.2)
2.5
.D
ifere
ntsia
al-
jain
tegra
alseo
sedla
usk
oorm
use
inte
nsiiv
suse
jasise
joudude
vahel
2-
29
Jareld
used
.A
sjatuletatu
dseosed
nin
gvaad
eldud
naited
voim
aldavad
teha
olulisi
jareldusi
sisejoudude
epuurid
ekuju
(kaitu
mise)
kohta.
1.P
iirkondad
es,kus
lausko
ormus
puudub,on
pik
i-ja
poik
joud
konstan
tsed,
pain
dem
omen
ton
agasellises
piirkon
nas
lineaarfu
nktsio
onko
ordin
aadist
x.
2.K
oon
datu
dvalisjou
rakendusp
unktis
toimub
vastavasisejou
epuuris
hupe,
mis
onarv
uliselt
vord
ne
moju
vavalisjou
suuru
sega.
3.K
oon
datu
dvalism
omen
diraken
dusp
unktis
toimub
pain
de-
voi
vaan
dem
o-m
endiep
uuris
hupe,
mis
onarv
uliselt
vord
ne
moju
vam
omen
disu
uru
sega.
4.Pain
dem
omen
diep
uuri
tous
onvord
ne
poik
jouga.
Koh
as,kus
poik
joud
onnull,
onpain
dem
omen
dil
ekstrem
aalne
vaartu
s.
5.K
ohas,k
uspoik
jouep
uuris
onhupe,on
pain
dem
omen
diep
uuris
murd
ekoht
(epuuri
tous
muutu
bhuppeliselt).
Eriju
hul,
kuihuppe
kaigu
sm
uutu
bka
poik
joum
ark,on
pain
dem
omen
dil
selleskoh
asek
streemum
.
6.P
iirkonnas,
kus
valin
elau
skoorm
us
onkon
stantn
e,on
poik
-ja
pik
ijoud
2.5
.D
ifere
ntsia
al-
jain
tegra
alseo
sedla
usk
oorm
use
inte
nsiiv
suse
jasise
joudude
vahel
2-
30
lineaarsed
funktsio
onid
koord
inaad
istx.
Pain
dem
omen
ton
selliselju
hul
agaru
utfu
nktsio
on.
7.E
puurid
ejo
onistam
iselon
otstarbekas
meeles
pid
ada,
etm
aaratud
integ-
raalesitab
intgreeritava
funktsio
onigraafi
ku
jax-telje
vahele
jaavakuju
ndi
pin
dala
(loigul[a
,x]).
Naid
e2-9
.Pain
dem
omen
diek
streemum
im
aaramin
e.
2.6
.Pin
ge
moiste
2-
31
2.6
Pin
ge
moiste
On
lihtn
etaib
ata,et
eelmistes
alajaotu
steskasitletu
dloikem
eetodi
korralon
sisejoud
tegelikult
jaotunud
ule
koguloikep
inna
(joon
.2.10)
javaad
eldud
kuus
sisejoudu
kuju
tavaden
dast
sellelau
skoorm
use
peavek
torija
peam
omen
dipro-
jektsio
one
koord
inaattelged
el.
Loikep
innal
moju
valau
skoorm
use
inten
siivsu
stnim
etamegi
pin
geks.Tem
am
ootuhik
1Pa
=1N
/1m2
langeb
kokku
rohu
uhik
uga.
Koige
lihtsam
onpin
getarv
utad
aju
hul
kui
vardas
moju
bvaid
pik
ijoud.
Siin
eeldatak
se,et
pik
ijoud
Non
jaotunud
uhtlaselt
ule
koguloikep
inna
A(jo
on.
2.11)ja
seegapin
ge
σx
=NA
.(2.3)
Om
aolem
uselt
onvaad
eldav
pin
genorm
aalp
inge
,sest
tam
ojub
ristivaad
elda-
vapin
naga.
Kaesolevas
kursu
sestah
istatakse
norm
aalpin
geidkreeka
tahega
σja
vajad
usel
lisatakse
indek
s,m
isosu
tabpin
nan
ormaali
sihile.
Eestikeelsetes
tuge-
vusop
etuse
jateh
nilise
meh
aanika
opik
utes
nim
etatakse
pik
ijoust
poh
justatu
dnorm
aalpin
geidka
pikkep
ingeteks.
2.6
.Pin
ge
moiste
2-
32
Joon
is2.10:
Loikem
eetod
japin
gedvard
aristloikes
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
Ala
jaotustes
2.2–2.6kasu
tatud
lahen
emisv
iis,kus
sisejoud
jaotakse
vastavaltsellele,
kuid
asnad
onorien
teeritud
koord
inaattelgd
esu
htes
5ja
pin
gedsaavad
oma
nim
eselle
jargi,m
illisesisejou
gaon
neil
poh
juslik
seos,on
iseloom
ulik
just
tugev
usop
etusele
(tehnilisele
meh
aanikale).
Sam
alah
enem
isviisi
onaga
otstar-
5Koord
inaatteljed
orienteeritak
seom
akord
auuritava
keh
ageom
eetriastlah
tudes.
2.6
.Pin
ge
moiste
2-
33
Joon
is2.11:
Pik
kepin
ge(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
bekas
rakendad
aka
elastsusteo
oriaulesan
nete
korralkuiuuritavatek
sob
jekti-
dek
son
vardad
(talad),
plaad
idja
koorik
ud.
Jargm
isesala
jaotuses
selgitame
pin
gem
oistetpisu
tuld
isemalt
nin
gulejargm
isestu
leme
tagasitu
gevusop
etuses
kasutatava
lahen
emisv
iisiju
urd
eja
hak
kame
uurim
apin
geidvard
aristloike
punktis.
2.7
.Pin
gevekto
r,te
ma
pro
jektsio
onid
jam
arg
ireeglid
2-
34
2.7
Pin
gevekto
r,te
ma
pro
jektsio
onid
jam
arg
ireeglid
Vaatlem
em
eelevaldse
kuju
gakeh
a,m
illelem
ojuv
pin
d-ja
mah
ujou
dudest
koos-
nev
(valis)jou
dude
susteem
ontasakaalu
s.
Raken
dam
eloikem
eetodit:
jagame
keha
motteliselt
osadek
s1
ja2;
hulgam
eosa
2ja
vaatleme
osa1
(joon
.2.12).
Joon
is2.12:
Pin
gevektor
pν
jatem
ako
ordin
aatelgede
xyz
sihilised
kompon
endid
.
2.7
.Pin
gevekto
r,te
ma
pro
jektsio
onid
jam
arg
ireeglid
2-
35
•Sellek
s,et
osa1
oleks
kapeale
osa2
eraldam
isttasakaalu
stu
lebloikep
in-
nale
rakendad
aosa
2asen
davad
joud,
st.sisejou
d,
mis
onjaotu
nud
ule
koguloikep
inna.
•Loikep
ind
osal1
onm
aaratud
valisn
ormaaliga
ν.M
ojugu
vaikesel
pin
nal
∆A
sisejoud
∆S.Suhet
∆S/∆
Avoib
nim
etada
keskm
iseks
pin
geks
pin
nal
∆A
.√
•K
uim
inna
piirile
∆A
→0,
saame
(tegeliku)
pin
gepin
nalnorm
aaliga
ν
pν
=lim
∆A→
0
∆S
∆A
.(2.4)
•U
ldju
hulvek
toriteν
jap
νsu
unad
eiuhti.
•E
dasp
idion
tihti
otstarbekas
kasutad
apin
gevektori
asemel
tema
pro
jekt-
sioon
eko
ordin
aattelgedel
pνx ,
pνy ,
pνz ,
mis
omakord
am
aaravadara
pin
-gevek
torip
νko
ordin
aatelgede
xyz
sihilised
kompon
endid
(vt.
joon
.2.12).
Siin
jaed
aspid
im
argibesim
ene
indek
spin
nan
ormaali
sihti
jatein
epin
ge-kom
pon
endim
ojum
isesih
ti.
2.7
.Pin
gevekto
r,te
ma
pro
jektsio
onid
jam
arg
ireeglid
2-
36
Joon
is2.13:
Pin
gevektori
pν
lahutam
ine
norm
aal-ja
nih
kepin
geks.
•Teisest
kuljest
saabpin
nal
norm
aaligaν
moju
vapin
gevektori
lahutad
anorm
aal-
janih
kepin
geks:p
ν=
σν+
τν .
Nih
kepin
geτ
νlah
utatak
setava-
liseltveelkord
kahek
skom
pon
endik
s:τ
ν=
τνs+
τνt
(vt.
joon
.2.13,
kus
pνν ≡
σν ,
pνs ≡
τνs
jap
νt ≡
τνt ).
2.7
.Pin
gevekto
r,te
ma
pro
jektsio
onid
jam
arg
ireeglid
2-
37
Kuiloike
pin
don
paralleeln
eko
ordin
aattasanditega,
siiskasu
tatakse
indek
siν
asemel
loikepin
nale
norm
aaliks
olevako
ordin
aatteljenim
e,naitek
sx.
Joon
is2.14:
Norm
aal-ja
nih
kepin
getepositiiv
sedsu
unad
.
Marg
ireeglid
:jo
onis
2.14.
•Positiivn
esisep
ind
onloike
pin
d,
mille
valisn
ormaal
onsu
unatu
dko
ordin
aadipositiiv
sessu
unas.
•Positiivn
enorm
aalp
inge
moju
bpositiiv
selsisep
innal
koord
i-naattelje
positiiv
sessu
unas
janegatiiv
selsisep
innal
koord
inaad
inegatiiv
sessu
unas.
Positiiv
ne
norm
aalpin
gevastab
tombele.
•Positiivn
enih
kepin
gem
ojub
po-
sitiivsel
sisepin
nal
koord
inaattel-
jepositiiv
sessu
unas
janegatiiv
selsisep
innal
koord
inaad
inegatiiv
sessu
unas.
2.8
.Pin
gete
nso
r2
-38
2.8
Pin
gete
nso
r
Vaatlem
ekeh
am
eelevaldset
punkti.
Sed
apunkti
labib
kolmko
ordin
aattasan-
dit,
millel
moju
vadkolm
norm
aalpin
getσ
x ,σy ,σ
zja
kuus
nih
kepin
getτxy
=τyx ,τ
yz
=τzy ,τ
xz
=τzx
moodustavad
pin
getenso
ri
σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
.(2.5)
Pin
getensor
onteist
jarku
tenso
rja
teda
saabesitad
a3×
3(tasan
dulesan
nete
korral2×
2)tab
elina
nagu
maatrik
seid.P
ingeten
soriselo
omustab
taielikult
pin
-gu
st(p
ingeseisu
ndit)
antu
dpunktis
nin
gtem
aab
ilsaab
maarata
pin
gevektori
suvalisel
seda
punkti
labival
pin
nal 6.
6Selle
juurd
etu
leme
tagasipisu
thiljem
,kuihak
kame
kasitlem
apin
geidkald
pin
dad
el,peap
ingeid
jms.
2.8
.Pin
gete
nso
r2
-39
2.8
.1Skala
ar,
vekto
r,te
nso
r
Kaesolevas
kursu
sesvaatlem
ekolm
eliik
ifu
usikalisi
suuru
si—
skalaare,vek
to-reid
ja(teist
jarku)
tensoreid
.
Ska
laar
pole
seotud
suunaga,
teda
iseloom
ustab
vaid(arv
)vaartu
s.
•U
ks
arv,m
illevaartu
sei
soltuko
ordin
aatsusteem
i(b
aasi)valik
ust
•T
uupilin
enaid
e—
temperatu
ur
Vekto
ritiselo
omustab
lisaks
moodulile
(arvvaartu
sele)ka
suund.
•3D
juhulesitatav
arvukolm
ikuna
—3×
1voi
1×3
maatrik
sina.
–A
rvud
arvukolm
ikus
soltuvad
koord
inaatsu
steemi(b
aasi)valik
ust.
–V
ektori
moodulja
suund
onko
ordin
aatsusteem
ist(b
aasist)soltu
matu
.
•V
ektori
igakom
pon
ent
(pro
jektsio
on)
onsam
uti
seotud
uhe
suunaga
jatem
atah
istamisel
kasutatak
seuhte
indek
sit.
•T
uupilised
naited
—jou
d,kiiru
s,kiiren
dus.
2.8
.Pin
gete
nso
r2
-40
Teist
jarku
tenso
ron
fuusikalin
esu
uru
s,m
illekorral
peale
arvaartu
steon
tahtsad
kaks
suunda.
•3D
juhulon
teistjark
uten
soresitatav
3×3
maatrik
sina,
st.9
arvu
abil.
–A
rvud
maatrik
sissoltu
vadko
ordin
aatsusteem
i(b
aasi)valik
ust.
–Ten
sorise
onko
ordin
aatsusteem
ist(b
aasist)soltu
matu
.
•T
uupilised
naited
—pin
getensor,
deform
atsioon
itensor.
•Teist
jarku
tensori
kompon
entid
etah
istamisel
kasutatak
sekah
tein
dek
sit,sest
igakom
pon
enti
iseloom
ustab
lisaks
moodulile
kaks
suunda.
–N
aitekspin
getensori
korralnaitab
esimen
ein
dek
spin
nan
ormaali
suun-
da
jatein
ein
dek
spin
gekompon
endisu
unda.
2.8
.Pin
gete
nso
r2
-41
•Teisest
kuljest
(“matem
aatiliselt”)on
teistjark
uten
sorT
defi
neeritu
dkui
lineaarteisen
dus,
mis
kuju
tabvek
toriu
vektorik
sv,i.e.
T:
u→
v,
u,v
∈V,
ehk
T[u
]=
T·u
=v,
kus
punkt·
tahistab
tensori
Tsisekorru
tist7
vektoriga
u.
Maatrik
siteja
tenso
riteom
avahelin
esu
he
•K
uion
fikseeritu
dkord
inaatsu
steem,siis
saabiga
teistjark
uten
soriesitad
a3×
3m
aatriksin
aja
igavek
toriarv
ukolm
ikuna.
•V
astupid
ine
agaei
kehti
—iga
3×3
maatrik
sei
osutu
tensorik
s.
•K
oord
inaatid
eteisen
dam
iselteisen
evadnii
tensori
kuivek
torikom
pon
en-
did
kin
dlate
reeglitealu
sel.
–P
arastko
ordin
aatteisendust
peab
tensor
(vektor)
esitama
endiselt
tapselt
sama
fuusikalist
suuru
st,m
ida
enne
teisendust.
7Punktk
orrutis,
skalaarkorru
tis.I.
k.in
ner
pro
duct,
dotpro
duct,
scala
rpro
duct.
2.8
.Pin
gete
nso
r2
-42
∗K
ui
seenii
on,
siison
gitegu
tensoriga
(vektoriga),
vastupid
iselju
hulm
itte.
∗V
astupid
ine
olukord
onfu
usikaliselt
vastuvotm
atu.Pole
voim
alik,
etpin
gekeh
apunktis
voi
punkti
siirevoi
kiiru
ssoltu
ks
koord
i-naatsu
steemivalik
ust.
∗N
aide.
Vek
tornin
gkak
sko
ordin
aatsusteem
ixy
jax′y ′,
mille
vahe-
line
nurk
onθ.
Mark
use
d:
•V
ektoreid
voib
nim
etada
esimest
jarku
tensoreik
sja
skalaarenullin
dat
jarku
tensoreik
s.
•K
uiten
sor(vek
tor)on
maaratu
digas
vaadeld
avakeh
apunktis,
siison
meil
teguten
sorvaljaga
(vektorv
aljaga).
–N
aiteks
onpin
getensori
korraltegu
tensorv
aljaga,sest
taon
maaratu
digas
vaadeld
avakeh
apunktis.
2.8
.Pin
gete
nso
r2
-43
2.8
.2P
ingete
nso
riin
varia
ndid
Suuru
seid
Iσ1
=σ
x+
σy+
σz ,
Iσ2
=
∣∣∣∣ σx
τxy
τyx
σy
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣ σy
τyz
τzy
σz
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣ σx
τxz
τzx
σz
∣∣∣∣ ,
Iσ3
=
∣∣∣∣∣∣ σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
∣∣∣∣∣∣
(2.6)
nim
etatakse
pin
getenso
riin
varia
ntid
ekseh
klu
hid
altpin
gein
varia
ntid
eks.In
-varian
tsus
tahen
dab
siinsed
a,et
need
kolmsu
uru
stei
soltuko
ordin
aatide
valikust
(vaatamata
sellele,et
pin
getensori
kompon
endid
omavad
erinevates
koord
inaatsu
steemid
esuld
juhulerin
evaidvaartu
si).O
nm
arkim
isvaarn
e,et
seein
variantsu
sei
piird
uvaid
erinevalt
orienteeritu
dD
escartes’iristko
ordin
aaati-dega
vaidkeh
tibsu
valisteko
ordin
aatsusteem
ide,
k.a.
silindrilised
,sfaarilised
,ellp
tilised,huperb
oolsed
jne.
vahel.
Mark
us:
Taolised
kolmin
varianti
saableid
aigale
teistjark
uten
sorile.
2.9
.Pin
ged
vard
aristlo
ike
punktis.
2-
44
2.9
Pin
ged
vard
aristlo
ike
punktis.
Vard
akorral
onD
escartes’iristko
ordin
aadid
valitud
tavaliseltnii,
etx-telg
onvard
ateljek
s.Seetottu
onx-telg
ristloikenorm
aaliks
jateised
2ko
ordin
aattelgeon
suunatu
dm
ooda
loikepin
da.
Vaatlem
evard
aristloike
punkti
K,m
ida
labib
pin
dnorm
aaligan‖
x.Seal
moju
bpin
gevektor
8p
mille
norm
alkompon
endik
son
σx
nin
gtan
gentsiaalkom
pon
entid
eks
τxy
jaτ
xz .
Joon
is2.15:
Pin
gevard
apunktis
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
8Siin
oleme
luhid
use
parast
loob
unud
indek
sistn
pin
gevek
toriju
ures.
2.9
.Pin
ged
vard
aristlo
ike
punktis.
2-
45
Joon
is2.16:
Norm
aalpin
geσ
xnin
gnih
kepin
gedτ
xy
jaτ
xz .
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
•N
ormaalp
inged
σx
iseloom
ustavad
varda
teljesih
ism
ojuvate
sisejoudude
inten
siivsu
stja
nad
muudavad
varda
ristloigetevah
elistkau
gust.
•N
ormaalp
inge
σx
margireegel
onan
aloogilin
epik
ijoum
argireegliga.
•N
ihkep
inged
iseloom
ustavad
varda
teljegaristi
moju
vatesisejou
dude
in-
tensiiv
sust
janad
nih
utavad
(voi
pooravad
)erin
evaidvard
aloikeid
(ma-
terjalikih
te)uksteise
suhtes.
•N
ihkep
inge
ehk
tangen
tsiaalpin
geτ
xy
jaτ
xz
margireegel
onan
aloogilin
epoik
joum
argireegliga.
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
46
2.1
0Seose
dpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
Pin
gem
oisteselgitam
isegategim
ealgu
stala
jaotuses
2.6,kaesolevas
alajaotu
sestu
letame
seosedvard
aristloikes
moju
vatesisejou
dude
japin
getevah
el.Siin
juu-
respeam
esilm
as,et
ristloikesm
ojuvad
sisejoud
eikuju
taen
dast
mitte
mid
agim
uud
kuisam
asristloikes
moju
vatepin
getepeavek
torija
peam
omen
dipro
jekt-
sioon
eko
ordin
aattelgedele.
Pikem
altseletad
es:
1.ristloikes
moju
vadpin
gedm
oodustavad
jouvalja,
mille
saabvastavalt
staa-tika
poh
iteoreemile
taandad
aristloike
pin
nakesk
messe,
•selle
tulem
usen
aon
pin
gedasen
datu
duhe
jouja
uhe
mom
endiga;
2.pro
jekteerid
essaad
ud
jouja
mom
endiko
ordin
aattelgedele
saame
peavek
-tori
japeam
emen
dilah
utad
akolm
eks
koord
inaattelged
esih
iliseks
kompo-
nen
dik
s,
•saad
ud
kuus
kompon
enti
kannavad
meile
juba
tuntu
dnim
etusi
–pi-
kijou
d(N
),poik
joud
(Qy
jaQ
z ),vaan
dem
omen
t(T
)nin
gpain
dem
o-m
ent
(My
jaM
z ).
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
47
On
selge,et
raakid
esseostest
pin
geteja
varda
sisejoudude
vahel
onvoim
alikud
nn.kak
serin
evatulesan
de
pustitu
st:
1.Tead
espin
geid,leid
asisejou
d.
2.Tead
essisejou
dusid
,leid
apin
ged.
Esim
ene
neist
ontu
nduvalt
lihtsam
,kuid
teine
suurem
aprak
tilisetah
tsusega
(vah
emalt
tugev
usop
etuse
seisukoh
alt).
2.1
0.1
Sise
joudude
avald
am
ine
pin
gete
kaudu
Pikijo
ud.V
aatleme
ristloikeelem
entaarp
inda
dA
,kus
moju
bkesk
min
epin
gep,
millele
vastavnorm
aalpin
geon
σx
(joon
.2.17).
Vaad
eldaval
elemen
taarpin
nal
pin
gestσ
xpoh
justatu
dsu
mm
aarne
joud
σx d
Am
ojub
samuti
pin
nan
ormaali
nsih
is.R
istloikesm
ojuvate
norm
aalpin
getepeavek
torisaam
ein
tegreerides:
N=
∫
A
σx d
A.
(2.7)
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
48
Joon
is2.17:
Pin
gedvard
aristloike
elemen
taarpin
nal
dA
.(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
Poikjo
ud.
Ristloikes
moju
vatepoik
joudude
Qy
jaQ
zarv
utam
ine
kaib
analo
o-giliselt
pik
ijouga.
Nuud
vaadeld
akse
ristloikeelem
entaarp
innal
dA
moju
vaidnih
kepin
geidτxy
jaτxz
(pin
gevektori
ppro
jektsio
one
y-
jaz-telged
el,vt.
joon
.2.17)
jasaad
akse
poik
joudude
leidm
iseks
valemid
Qy
=
∫
A
τxy d
A,
Qz
=
∫
A
τxz d
A.
(2.8)
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
49
Pain
dem
om
endid
My
jaM
zon
seotud
norm
aalpin
gegaσ
x .K
ui
pain
etoim
ub
x−
ztasan
dis,
siisiselo
omustab
pain
etpain
dem
omen
tM
ynin
gkuix−
yta-
sandis,
siisM
z .E
ksp
erimen
tide
poh
jalon
leitud,et
mom
endid
My
jaM
ztu
lebarv
utad
aristloike
kesktelged
e9
suhtes.
Vastavalt
pain
dem
omen
dim
argireeglilepoh
justab
elemetaarp
innal
dA
moju
vsu
mm
aarne
joud
σx d
Aelem
entaarp
ain-
dem
omen
did
zσx d
Aja
yσ
x dA
vastavalty-
jax-
teljesu
htes
(vt.
joon
.2.17).
Vastavad
peam
omen
did
saadak
sein
tegreerimise
teel:
My
=
∫
A
zσx d
Aja
Mz
=
∫
A
yσ
x dA
.(2.9)
Vaandem
om
ent.
Ristloikes
moju
vavaan
dem
omen
diarv
utam
iseju
ures
tuleb
sil-m
aspid
ada,
etvastavalt
sisejoudude
japin
getem
argireeglitelepoh
justab
ele-m
entaarp
innal
dA
moju
vpositiiv
ne
nih
kepin
geτxz
positiiv
sevaan
dem
omen
di
japositiiv
ne
nih
kepin
geτxy
negatiiv
sevaan
dem
omen
di(v
t.jo
on.2.17).
Integ-
reerides
ule
koguristloike,
saame
T=
∫
A
(yτxz −
zτxy )d
A.
(2.10)
9Ristloik
ekesk
teljedlab
ivadristloik
epin
nak
eset.
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
50
2.1
0.2
Pin
gete
avald
am
ine
sisejo
udude
kaudu
Eelm
isesala
jaotuses
(st.2.10.1)
tuletatu
dvalem
itekorral
pole
tahtis,
kaskasu
-tu
selon
tugev
usop
etuse
(ehk
nn.elem
entaarteo
oria)eeld
used
jahupoteesid
voi
lineaarse
elastsusteo
oriaom
ad.
Kaesolevas
alajaotu
sesosu
tub
agaulitah
tsaks
tapsu
stada,et
praegu
straken
dam
etu
gevusop
etusele
ehk
nn.elem
entaarteo
oria-le
vastavaidlih
tsustu
si.U
niversaalsen
a10
kuulu
bnen
de
hulka
ristloigete
tasa
n-
dilisu
sehupo
tees,eh
kBern
oulli
hupo
tees:ristloiked
,m
isen
ne
deform
atsioon
iolid
tasapin
nalised
,jaavad
kapeale
deform
atsioon
itasap
innalistek
s.
Pikkep
inged
.P
ingeid
,m
ison
poh
justatu
dpik
ijoust,
nim
etatakse
pikkep
ingeteks.
Siin
eeldatak
se,et
•vard
alem
ojub
vaidpik
item
atelge
moju
vvalisko
ormus,
–seega
moju
bvard
aristloigetes
vaiduks
sisejoud
—pik
ijoud,
•pik
ijoust
poh
justatu
dnorm
aalpin
geon
jaotunud
uhtlaselt
ule
koguristloike
(vrd
.B
ernou
llihupotees
javt.
joon
.2.18).
10S
eehupotees
keh
tibelem
entaarteo
oriaraam
estom
bel-su
rvel,
pain
del,
loikel
javaan
del.
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
51
Seega
saame
seose
σx
=NA
.(2.11)
Joon
is2.18:
Pik
ijoud
japik
kepin
ge(J
oon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
Pain
dep
inge.
Pain
dem
omen
dist
poh
justatu
dpin
geidnim
etatakse
pain
dep
in-
geteks .O
ma
olemuselt
onpain
dep
inged
norm
aalpin
ged.
Moju
gutalale
selli-ne
valisko
ormus,
mille
toimel
tekib
vaiduks
sisejoud
–pain
dem
omen
tM
y
(joon
.2.19).
Eksp
erimen
taalseteja
teoreetilistetu
lemuste
poh
jalnin
gko
oskolas
Bern
oulli
hupoteesiga
eeldatak
seelem
entaarteo
orias,et
tekkin
ud
pain
dep
inge
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
52
Joon
is2.19:
Pain
dep
inge
(Joon
ison
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.)
soltub
koord
inaad
istz
lineaarselt,
st,
σx
=kz,
(2.12)
kus
kon
konstan
t,m
illem
aaramisek
skasu
tame
seoseid(2.9):
My
=
∫
A
zσx d
A=
∫
A
kz
2dA
=kIy ,
⇒k
=M
y
Iy
.(2.13)
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
53
Avald
iste(2.12)
ja(2.13)
poh
jal
σx
=M
y
Iy
z.(2.14)
Tugev
usarv
utu
steseisu
kohalt
omavad
tahtsu
stju
stm
aksim
aalsedpain
dep
in-
ged,m
istek
kivad
neis
ristloikepunktid
es,kus
koord
inaat
zom
abek
stremaal-
seidvaartu
si(z
max
jazm
in ).K
ui
ristloigeon
sum
meetrilin
ey-telje
suhtes,
siison
zm
ax=
−zm
inja
arvutu
stelih
tsustam
iseks
voib
tuua
sisseristlo
iketu
gevus-
mom
endi
Wy
=Iy
zm
ax .(2.15)
Viim
aseab
ilsaam
em
aksim
aalsepain
dep
inge
arvutam
iseks
valemi
max
σx
=M
y
Wy .
(2.16)
Kuitalale
moju
vavalisko
ormuse
toimeltek
ibvaid
pain
dem
omen
tM
z ,siissaam
eeeln
evategaan
aloogilised
valemid
σx
=M
z
Iz
y,
(2.17)
Wz
=Iz
ym
ax ,m
axσ
x=
Mz
Wz .
(2.18)
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
54
Mark
use
d:
•Tugev
usm
omen
tide
Wy
jaW
zarv
utam
iseju
ures
tuleb
silmas
pid
ada,
etkuiristloikek
son
liitkuju
nd,st.
taon
jaotatavn
lihtsak
sosak
uju
ndik
s,siis
tuleb
koigep
ealtleid
aliitk
uju
ndiin
ertsimom
endid
Iy
=I
(1)y
+I
(2)y
+...+
I(n
)y
ja/voi
Iz
=I
(1)z
+I
(2)z
+...+
I(n
)z
.Seejarel
arvutatak
setu
gevusm
omen
did
Wy
jaW
zvalem
ite(2.15)
ja(2.18)
1poh
jal 11.
•K
oosk
olasB
ernou
llihupoteesiga
onpain
dep
ingete
arvutam
iseju
ures
eel-datu
d,et
pain
dem
omen
dist
Mz
poju
statud
pain
dep
inged
onz
jargikon
s-tan
tsedja
Mypoju
statud
pain
dep
inged
ony
jargikon
stantsed
,vt.
valemeid
(2.14)ja
(2.17).V
iimaste
valemitega
esitatud
lineaarsed
seosedon
samuti
koosk
olasB
ernou
llihupoteesiga.
•V
arda
pain
del
jaabsu
rutu
dja
tomm
atud
kih
tide
vahele
kih
t,m
illesnn.
kiu
dude
pik
kus
eim
uutu
jakus
pain
dep
inge
onnull
(vt.
joon
.2.19).
Vas-
tavatvard
akih
tinim
etatakse
neu
traalkih
iks.N
eutraalk
ihija
ristloikeloike-
joon
tnim
etatakse
nulljoo
neks.
11N
B!W
y6=
W(1
)y
+W
(2)
y+
...+W
(n)
yjaW
z 6=W
(1)
z+
W(2
)z
+...+
W(n)
z
2.1
0.
Seo
sedpin
gete
javard
asise
joudude
vahel
2-
55
–O
nselge,
etx−
ztasap
innas
toimuva
pain
de
korralon
z=
0korral
pain
dep
inge
σx
=0.
–E
lemen
taarteooria
korraleeld
atakse,
etnulljo
oned
onm
aartatud
kesk-
peatelged
ega.
Naid
e2-1
0.P
ikkep
inged
vardas.
Lah
endatak
selo
engu
s.
Naid
e2-1
1.Pain
dep
inged
talas.Lah
endatak
selo
engu
s.
Vaande-
jalo
ikepin
ged.
Vaan
dep
inge
onpoh
justatu
dvaan
dem
omen
dist
jaloikep
inge
poik
joust.
Om
aolem
uselt
onnad
molem
adnih
kepin
gednin
gkuna
nen
de
leidm
ine
ontih
tikom
plitseeritu
mkuipik
ijoust
japain
dem
omen
dist
poh
justatu
dnorm
aalpin
geteleid
min
e,siis
puhen
dam
eneile
omaette
jaotise.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
56
2.1
1N
ihkepin
ged
vard
aristlo
ikes12
2.1
1.1
Uld
ised
seadusp
ara
suse
d
Nih
kepin
getepa
arsu
sesea
dus.
Elem
entaarteo
oriaskasu
tatakse
nn.
nih
kepin
getepaarsu
sesead
ust,
mis
tule-
tatakse
jargmiselt
13.E
eldam
e,et
vardas
onhom
ogeenne
pin
geseisund
ehk
ho-
mogeen
ne
pin
gus14.
Sellisel
juhul
peavad
elemen
taarristtahuka
vastastahkudel
moju
ma
vord
vastupid
isedpin
ged.See
tingim
us
kehtib
nii
norm
aal-kuinih
ke-pin
getekoh
tanin
gta
ontu
letatud
tasakaalutin
gimustest
∑
Fix
=0,
∑
Fiy
=0
ja∑
Fiz
=0
(vt.
joon
.2.20
a)ja
b)).
Teatavasti
onaga
tasakaaluks
vajalik
veelkolm
evorran
dikeh
timin
e,st.
∑
Mx (F
i )=
0,∑
My (F
i )=
0ja
∑
Mz (F
i )=
0.N
ende
poh
jalsaad
aksegi
nih
kepin
getepaarsu
sesead
us
(vt.
joon
.2.20
c):
τxy
=τyx ,
τxz
=τzx ,
τyz
=τzy .
(2.19)
12J
oon
isedon
parit
prof.
A.K
lauson
iTehnilise
mehaanik
alo
engu
kon
spek
tist.13H
iljemesitam
esam
asead
usp
arasuse
jaoks
rangem
atu
letusk
aigu.
14P
ingu
seeh
kpin
geseisundi
allm
oistetake
keh
apunkti
labivatel
koik
voim
alikel
pin
dad
elm
ojuvate
pin
getehulka.
Pin
guse
moiste
juurd
etu
leme
hiljem
tagasi.H
omogeen
sepin
guse
korral
onkeh
akoigis
punktid
esuhesu
gune
pin
gus.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
57
a)b)
c)
Joon
is2.20:
Elem
entaarristtah
uka
tahkudel
moju
vadpin
ged.
Naitek
s,∑
My (F
i )=
−(τ
xz d
ydz)
dx
+(τ
zx d
xdy)dz
=0
⇒τxz
=τzx .
(2.20)
Avald
iste(2.19)
poh
jalon
selgeka
see,et
kuim
ingis
keha
punktis
onnih
kepin
geτxy
>0,
siiska
τyx
>0
javastu
pid
i(v
t.jo
onis
2.21).A
nalo
ogilisedseosed
kehtivad
kaulejaan
ud
kahe
nih
kepin
getepaari
jaoks.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
58
Joon
is2.21:
Nih
kepin
getepaarsu
s.
Nih
kepin
gedristlo
ikeserva
l
•R
istloikeserval
moju
bnih
kepin
gepuutu
jasih
is.
•K
una
ristloikenurgap
unktis
onlop
mata
palju
puutu
jaid,siis
sealon
nih
-kep
inge
null.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
59
2.1
1.2
Vaandepin
ged
um
arv
ard
aristlo
ikes
Olgu
um
arvarda
otstesseraken
datu
dm
omen
did
Tja
T’
(joon
is2.22).
Selle
tulem
usen
atek
kib
vardas
deform
atsioon
,m
ida
nim
etatakse
vaandeks.
Vaan
del
tekkivate
pin
geteja
teformatsio
onid
euurim
iselon
elemen
taarteoorias
kasutu
seljargm
isedeeld
used
:
•K
ehtib
Bern
oulli
hupotees.
•V
arda
telgjaab
sirgjo
onelisek
s.
•R
istloikeraad
iused
jaavadsirg
joon
eliseks.
Joon
is2.22:
Um
arvarda
vaan
e.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
60
Joon
is2.23:
Vaan
ded
eformatsio
on.
Teh
tud
eelduste
poh
jalpoord
uvad
ristloikedvaan
del
um
ber
varda
tel-je.
Selle
tulem
usen
apoord
uvad
varda
moodusta
jadnurga
γvorra.
Seega
onvaan
ded
eformatsio
onom
aolem
uselt
nih
kedeform
atsioon
jaalgsed
ristkulik
ulised
pin
naelem
endid
muutu
vadroop
kulik
ulistek
s.N
urka
γnim
eta-tak
seva
anden
urga
ks,ta
onuks
olulin
evaan
etiselo
omustav
suuru
sja
tema
juurd
etu
leme
hiljem
tagasi.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
61
Joon
is2.24:
Vaan
dep
inged
um
arvardas
japak
susein
alisestoru
s.
Teh
tud
eeldustest
jaH
ooke’i
seadusest
(pin
geteja
deform
atsioon
ide
vahel
onlin
eaarne
soltuvus)
lahtu
des
peab
vaan
dep
inge
olema
lineaarfu
nktsio
onvard
araad
iusest
ρ,s.t.
τ=
kρ
(joon
.2.24).
Kon
standik
maaram
evaan
dem
omen
di
javaan
dep
inge
vahelisest
seosestkasu
tades
polaarin
ertsimom
enti
Iρ :
T=
∫
A
ρτdA
=k
∫
A
ρ2d
A=
kIρ
⇒k
=TIρ .
(2.21)
Nuud
saame
vaan
dep
inge
jaoks
valemi
τ=
TIρ ρ
,τm
ax=
TIρ
d2.
(2.22)
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
62
Joon
is2.25:
Polaarin
ertsimom
endid
japolaar-
tugev
usm
omen
did
.
Valem
id(2.22)
kehtivad
karon
gas-ristloike
korral(v
t.jo
on.2.24).
Vaan
dep
ingete
arvutam
isevalem
onpalju
ski
analo
ogiline
pain
dep
ingete
arvutam
isevalem
iga:m
aksim
aalsedpin
gedon
ristloikeservas.
Seega
onka
siinvoim
aliksisse
tuua
ristloiketu
ge-vusm
omen
t–
antu
dju
huln
imetatak
sesed
apolaartu
gevusm
omen
dik
s–
mil-
leab
ilsaab
maarata
mak
simaalseid
vaan
dep
ingeid
:
Wρ
=Iρ
ρm
ax=
2Iρ
d⇒
τm
ax=
TWρ .
(2.23)
Tih
tikasu
tatakse
polaarin
ertsimom
endi
japolaartu
gevusm
omen
di
tahisten
avastavalt
Ip
jaW
p ,st.
kasutatak
sein
dek
siρ
asemel
indek
sitp.
Naid
e2-1
2.V
aandep
inged
um
ar-ja
rongasristloikes.
Lah
endatak
selo
engu
s.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
63
2.1
1.3
Vaandepin
ged
mitte
um
arristlo
igete
s
Joon
is2.26:
Ristk
ulik
varda
vaan
e.
Um
ar-ja
rongasristloigete
korralon
vaan
dep
ingete
arvutam
ine
suhteliselt
lihtn
e,kuid
muude
ristloigete,st.
mitteu
marristloige-
te,korral
onsee
tunduvalt
komp-
litseeritum
.B
ernou
llihupotees
taolisteristloigete
korralta-
valiselten
amei
kehti
(joon
.2.26).
Selliseid
vaan
deu
lesandeid
kasitletak
selin
eaarseselastsu
steoorias.
Elem
entaarteo
oria(tu
gevusop
etuse)
kursu
stesrefereeritak
sevaid
lineaarse
elastsusteo
oriaraam
essaad
ud
tulem
usi,
piird
udes
tavaliseltm
aksim
aalsetevaan
dep
ingete
valemitega
kuju
l
τm
ax=
TWt ,
(2.24)
kus
Wton
ristloiketu
gevusm
omen
t.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
64
Ellip
tiline
varra
s
Ellip
tiliseristloikega
vardas
arvutatak
sepin
geidpooltelged
eotstes
jargmiste
valemitega
(joon
.2.27):
Wt=
πab2
16,
τm
ax=
TWt=
16T
πab2 ,
τB
=16T
πa
2b .(2.25)
Joon
is2.27:
Ellip
tiliseristloikega
varda
vaan
e.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
65
Ristku
likulin
eva
rras
Ristk
ulik
ulise
ristloikegavard
ason
vaan
dep
inged
pik
iserv
ijaotu
nud
parab
ool-
seltja
omavad
mak
simalseid
vaartu
siservad
ekesk
punktid
es.R
istloikenurkad
eson
vaan
dep
inged
nullid
(joon
.2.28).
Iseloom
ulik
ud
pin
gedleitak
sevalem
itega
τm
ax ≡τh
=TW
t ,W
t=
kh h
b2,
τb=
kb τ
h .(2.26)
Joon
is2.28:
Vaan
dep
inged
ristkulik
ulise
ristloikegavard
as.
Naid
e2-1
3.V
aandep
inged
ristkulik
ulises
ristloikes.Lah
endatak
selo
engu
s.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
66
Ohukesesein
alin
eava
tud
ristloige
Joon
is2.29:
Vaan
dep
inged
ohukesesein
alisesavatu
dristloikes.
Vaga
mitm
edkon
struktsio
onielem
endid
onvalm
istatud
metall-leh
tedest,
mille
ristloikepak
sus
δon
vaike
vorreld
eskorgu
segas
(joon
.2.29).
Vastavalt
tabelile
joon
isel2.28
onsellise
ristloikekorral
kh
=0.333
=1/3
jaristloike
tugev
usm
o-m
ent
jam
aksim
aalne
vaan
dep
inge
Wt=
sδ2
3,
τm
ax=
3T
sδ2 .
(2.27)
Valem
id(2.27)
kehtivad
kam
etall-lehest
tehtu
davatu
dristloikega
varrastejaok
s.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
67
Ohukesesein
alin
esu
letud
ristloige
Joon
is2.30:
Vaan
dep
inged
ohukesesein
alisessu
letud
ristloikes.
Vaatlem
em
uutu
vasein
apak
susega
suletu
dristloiget
(joon
.2.30).
Kuna
seina
pak
sus
onvaike,
siislo
eme
pin
gesein
apak
suse
jargikon
stantsek
s.Sam
ason
lihtn
enaid
ata,et
pak
semas
osason
pin
gevaik
semja
ohem
asosas
suurem
.P
rojek
teerime
joon
ise2.30
parem
poolsel
osalkuju
tatud
joud
x-teljele:
∑
Fix
=−
τ1 δ
1 dx
+τ2 δ
2 dx
=0.
(2.28)
kust
saamegi,
etτ1 δ
1=
τ2 δ
2eh
kτδ
=con
st.(2.29)
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
68
Joon
is2.31:
Vaan
dep
inged
ohukesesein
alisessu
letud
ristloikes.
Jargn
evalttu
letame
valemid
mak
simaalse
vaan
dep
inge
arvutam
iseks.
Alu
sta-m
enagu
tavaliseltvaan
dem
omen
dija
vaan
dep
ingete
vahelisest
seosest15
(joon
.2.31):
T=
∫
A
ρτdA
=
∮
s
ρτδd
s.(2.30)
Kuna
τδ
=con
stja
ρds
=2d
ωon
kolmnurga
AB
Ckah
ekordne
pin
dala,
siis
T=
τδ
∮
s
ρds
=2τ
δ
∮
s
dω
=2τ
δω,
(2.31)
15V
asakpoolsel
joon
iselon
ds
asemel
s
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
69
kus
ωon
ristloikekesk
joon
egapiiratu
dkuju
ndi(an
tud
juhulrin
gi)pin
dala
(vt.
joon
.2.32).
Joon
is2.32:
Vaan
dep
inged
ohukesesein
ali-ses
suletu
dristloikes.
Kuna
τδ
=con
st,siis
vastabm
aksim
aal-sele
vaan
dep
ingele
min
imaaln
esein
apak
-su
snin
gtu
ues
sisseoh
ukesesein
alisessu
-letu
dristloike
tugev
usm
omen
divaan
del
Wt=
2ωδm
in(2.32)
saame
mak
simaalse
vaan
dep
inge
leidm
i-sek
svalem
id
τm
ax=
TWt=
T
2ωδm
in.
(2.33)
Naid
e2-1
4.
Vaan
dep
inged
avatud
jasu
letud
ohukesesein
alisesristloikes.
La-
hen
datak
selo
engu
s.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
70
2.1
1.4
Loik
epin
ge
Joon
is2.33:
Poik
joud
jaloikep
inged
(1)
Vaatlem
etala,
kus
moju
bpoik
joud
Qz
(joon
.2.33).
Teatavasti
onpoik
joud
Qz
loikepin
geteτxz
peavek
to-rik
s.P
oikjou
dQ
zesin
ebalati
koos
pain
dem
omen
-diga
My
jaseega
moju
-vad
vadeld
avalristloikel
kanorm
aalpin
gedσ
x ,m
i-da
seljo
onisel
eiole
kuju
-tatu
d.Lisak
seeld
ame,
ettala
onko
ormatu
dnii
tema
pealm
ine
jaalu
min
epin
don
nih
kepin
gestvab
ad.
Poik
joust
poh
justatu
dpin
geteristloikes
jaotum
isesead
usp
arasuste
selgitami-
seks
teeme
talastaien
dava
loikeja
vaatleme
parem
poolsel
joon
isel2.33
kuju
-tatu
dalu
mise
osatasakaalu
.N
ihkep
ingete
paarsu
sesead
use
poh
jalm
ojuvad
vaadeld
avavard
aosapealm
iselpin
nal
nih
kepin
gedτzx .
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
71
Joon
is2.34:
Poik
joud
jaloikep
inged
(2)
Erald
ame
nuud
talaalu
misest
osastvaikese
rsittahuka
pik
ku-
segadx,laiu
segab
ja”m
uutu
-va”k
orgusegah
/2−z.
Risttah
uha
ots-tah
kudel
moju
vadpik
ijoud
N∗16=
N∗2
japoik
joud
Q∗1
6=Q
∗2 ;Pealm
iseltah
ul
moju
bpin
geteτzx
peavek
tordH
.E
eldad
es,et
N∗2
>N
∗1saam
etasakaalu
tingim
usest
∑
Fix
=0
avaldad
adH
=N
∗2 −N
∗1 .(2.34)
Edasp
idises
rakendam
eZurav
ski 16
hupoteesi,
mille
kohaselt
onloikep
inged
talasjaotu
nud
uhtlaselt
y-ko
ordin
aadijargi.
Seega
saame
valemi
τzx
=dH
bdx
=N
∗2 −N
∗1
bdx
.(2.35)
Nuud
onoige
aegsisse
tuua
kapoik
jouga
Qzko
oskaiv
pain
dem
omen
tM
y(jo
on.
2.35).
16In
gliskeelses
kirjan
duses
Jou
rawsk
i.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
72
Joon
is2.35:
Poik
joud
jaloikep
inged
(3)
Tah
istame
vaadeld
avaristtah
uka
otspin
na
(joon
.2.34)
pin
dala
A∗.
Joon
isel2.35
onsee
pin
dviiru
tatud.
Nuud
saame
esitada
risttahuka
otspin
dad
elm
ojuvad
pik
ijoud
pain
dem
omen
dikau
du:
N∗1
=
∫
A∗
σx d
A=
My
Iy
∫
A∗
zdA
=M
y
Iy
S∗y ,
N∗2
=
∫
A∗
σx d
A=
My+
dM
y
Iy
∫
A∗
zdA
=M
y+
dM
y
Iy
S∗y ,
(2.36)
kus
S∗y
onviiru
tatud
pin
na
staatiline
mom
ent
y-telje
suhtes.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
73
Arvestad
esloikep
ingete
paarsu
sesead
ust
javalem
eid(2.35)
nin
g(2.36)
saame
τzx
=τxz
=N
∗2 −N
∗1
bdx
=dM
y
dx
S∗y
Iy b .
(2.37)
Joon
is2.36:
Poik
joud
jaloikep
inged
(4)
Raken
dad
esdiferen
tsiaalseoseidolem
ekok
kuvottes
saanud
valemi,
mis
onra-
kendatav
meelevald
sekuju
garistloike
jaoks:
τxz
=Q
z S∗y
Iy b ∗
.(2.38)
Siin
Qz
onvaad
eldavas
ristloikesm
ojuv
poik
joud,b ∗
onviiru
tatud
pin
-na
”ulem
ine
joon
mood
e”(joon
.2.36),
S∗yviiru
tatud
pin
na
staatiline
mom
ent
y-telje
suhtes
jaIy
ristloikepeain
ertsimom
ent.
Jargn
evaltvaatlem
eloikep
ingete
leidm
istm
ones
mon
essp
etsiifilise
kuju
garistloikes.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
74
Joon
is2.37:
Loikep
inged
ristkulik
ulises
ristloikes
Ristku
lik
Kasu
tame
valemit
(2.38)ja
leia-m
eseal
kasutatavad
geomeetrilised
suuru
sedristk
ulik
ukorral:
Iy
=bh
3
12,
S∗y
=z ∗A
∗=
...=
b2
(
h24−
z2
)
,
τxz
=Q
z S∗y
Iy b ∗
=...
=6Q
z
bh3
(
h24−
z2
)
.
Arvestad
es,et
ristkulik
upin
dala
A=
bh,saam
elop
uks
valemid
τxz
=32
Qz
A
(
1−4z
2
h2
)
,m
axτxz
=32
Qz
A.
(2.39)
Seega
ontegu
ruutp
arabooliga
jaτxz
=0
kuiz
=±
0,5hnin
gm
illem
aksim
um
onkoh
alz
=0.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
75
Rin
g
Joon
is2.38:
Loikep
inged
um
arristloikes
Kuna
ristloikeserval
onnih
kepin
gedpuutu
jasih
ilised,siis
lahutam
eselle
kahek
skom
pon
endik
sja
tuletam
evalem
idloikep
inge
τxz
leidm
iseks.
Kasu
tame
jallegivalem
it(2.38)
jaleiam
eva
jalikud
geomeetrilised
suuru
sedrin
gikorral:
Iy
=πd
4
64,
b ∗=
2√
r2−
z2,
S∗y
=32
(r2−
z2)
3/2.
Kok
ku
saame
jallegiru
utp
arabooli,
mille
mak
simum
onkoh
alz
=0
jam
ison
null
kuiz
=±
r:
τxz
=43
Qz
A
(
1−z
2
r2
)
,m
axτxz
=43
Qz
A.
(2.40)
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
76
Joon
is2.39:
I-tala.
I-tala
.
Vaatlem
evaltsm
etallistprofi
ili,m
illeristloige
onI
tahe
kuju
line.
Ta-
valiseltnim
etatakse
sel-list
talaI-talak
s(jo
on.
2.39).E
esmargik
son
leida
nih
kepin
getejao-
tus
sellisesristloikes.
Lih
tsuse
mottes
vaatle-m
eselist
profi
iliko
osne-
vana
ristkulik
utest.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
77
Joon
is2.40:
I-talaiselo
omulik
ud
staatilisedm
omen
did
.
Loikep
inge
arvutam
iseks
kasutam
een
diselt
valemit
(2.38):
τxz
=Q
z S∗y
Iy b ∗
.
Seega
onnih
kepin
geteep
uurid
eko
ostamisek
stea-
da
tervetrid
astaatilisi
mom
ente,
mis
onesitatu
djo
onisel
2.40
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
78
Joon
is2.41:
Loikep
inge
τxz
epuur
I-talakorral.
Joon
isel2.41
onkuju
ta-tu
dloikep
inge
τxzep
uurI-
talajaok
s.N
ihkep
inge
va-lem
itesesin
evadstaatili-
sedm
omen
did
tuleb
arvu-
tada
joon
isel2.40
esitatud
valemite
abil.
Ulem
inek
seinalt
voole
ontegelik
ku-
sessu
juv
(vt.
joon
2.39)ja
seetottuei
esine
tege-lik
kuses
kasellist
jarsku
hupet
nagu
onjo
onisel
2.41.O
nselge,
etvorrel-
des
seinaga
onloikep
in-
geteτxz
vaartu
sedvoos
vaikesed
.
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
79
Joon
is2.42:
Loikep
inge
τxy
poh
jused
.
Tala
voos
esinevad
lisaks
loikepin
geteleτxz
veelloikep
inged
τxy .
Uks
nen
de
ole-m
asolupoh
jendus17
onesitatu
djo
onisel
2.42.E
eldad
es,et
N∗2
>N
∗1 ,tasa-
kaalustab
pik
ijouju
urd
ekasvu
dN
nih
kepin
gestτyx
poh
justatu
djou
dτyx td
x.
Nih
kepin
getepaarsu
sseaduse
poh
jalpeab
nih
kepin
gegaτyx
koos
eksisteerim
anih
kepin
geτxy ,
mille
arvutam
iseks
kasutam
evalem
iga(2.38)
analo
ogilistvale-
mit
τxy
=Q
z S∗y
Iy t
.(2.41)
17E
ksisteerib
veel
teisigipoh
jendusi.
Naitek
s,et
voos
moju
vpin
geτyx
tasakaalustab
seinas
moju
vatpin
getτxz .
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
80
Joon
is2.43:
Loikep
inge
τxy
epuur
I-talavoos.
Joon
ise2.43
poh
jalsaam
eviim
asestvale-
mistτ
xy
=Q
z S∗y
Iy t
=Q
z sat
Iy t
=Q
z sa
Iy
.(2.42)
S∗ytah
istabsiin
viiru
tatud
pin
na
staatilistm
omen
tiy-telje
suhtes.A
rvestades,et
talavoo
laius
onb
jasein
apak
sus
δ,saam
enih
kepin
geteτxy
ekstrem
aalsedvaartu
sed
max|τ
xy |
=Q
z a(b−
δ)
2Iy
.(2.43)
On
selge,et
voo
” sobivate”
mootm
e-te
korralvoivad
nih
kepin
gedτxy
omad
am
arkim
isvaarsed
vaartu
si.
Tala
voos
moju
vatenih
kepin
getesu
mm
ee-rim
iselsaam
epeavek
toridQ
2 ,Q′2 ,Q
3 ,Q′3
(vt.
joon
.2.44).
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
81
Joon
is2.44:
Poik
joud
I-talas.
Valem
i(2.42)
poh
jal
Q2
=
∫
A
τxy d
A=
∫
l
0
Qz sa
Iy
tds
(2.44)A
rvestades,
eta
=h/2−
t/2≈
h/2
jal=
b/2−δ/2
≈b/2
saame
Q2
=Q
z at
Iy
∫
l
0
sds
=
Qz a
tl 2
2Iy
≈Q
z htb
2
16Iy
.
(2.45)
On
selge,et
joon
iste2.43
ja2.44
poh
jalvek
toridQ
2=
−Q
′2 ,Q
3=
−Q
′3ja
Qz
=Q
1(Q
1on
sisseto
odud
voo
jasein
avah
elisean
aloogia
mottes)
nin
gm
oodulid
Q2
=Q
3
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
82
Naid
e2-1
5.
Pain
de-
jalo
ikepin
ged
I-tala
s(n
n.
keevisristlo
ige).
Joon
is2.45:
I-talaristloige
Tala
ristloikesm
ojub
pain
dem
omen
tM
=20
kN
mja
poik
joud
Q=
100kN
.K
oostad
apain
dep
inge
σx
jaloikep
ingete
τxz
nin
gτxy
epuurid
.R
istloikem
ootmed
:b1
=6
cm,h1
=2
cm,b2
=2
cm,h2
=10
cm.K
uid
asm
ojutab
mootm
etesu
uren
dam
ine
ja/voi
vah
endam
ine
pin
geid?
Lahen
dus.
Pain
dep
inged
arvutatak
sevalem
ite(2.15)
ja(2.16)
poh
jal:
max
σx
=M
y
Wy .
Wy
=Iy
zm
ax ,
Nih
kepin
getearv
utam
iseks
kasutam
evalem
eid(2.38)
ja(2.43):
τxz
=Q
z S∗y
Iy b ∗
,m
ax|τxy |
=Q
z a(b−
δ)
2Iy
.
Viim
astejaok
son
vaja
leida
mitm
edin
ertsi-,tu
gevus-
jastaatilised
mom
endid
Iy ,
Wy ,
S∗Ay
,S∗By
2.1
1.
Nih
kepin
ged
vard
aristlo
ikes
2-
83
Epuurid
ejo
onistam
iseks
vajalik
ud
arvud
onjargn
evastab
elis.E
puurid
joon
is-tatak
seja
taiendavaid
seletusi
antak
selo
engu
s.
2.1
2.
Ristlo
igete
geo
mee
trilistekara
kte
ristikute
tabe
lid2
-84
2.1
2R
istloig
ete
geom
eetriliste
kara
kte
ristikute
tabelid
Tugev
usop
etuses
esitatakse
sellisedtab
elidtavaliselt
valtsmetallid
ekoh
taja
ku-
na
tihti
ontegu
terasegasiis
kutsu
takse
neid
tabeleid
selju
hulterasp
rofiilid
etab
eliteks.
Kuna
erinevatel
tootjatel
jaerin
evatelriik
idel
onerin
evadstan
dard
-sed
ristloiked,siis
eksisteerib
kapalju
erinevaid
terasprofi
ilide
tabeleid
.Loom
uli-
kult
pole
konstru
ktsio
onielem
endid
ainult
valtsterasestja
leidub
vaga
erinevate
kuju
dega
ristloikeidnin
gneile
vastavaidtab
eleid.
Siin
vaatlemeuhte
komplek
ti,mis
onka
kaesoleva
peatu
kilisas
jam
ida
voib
vaja
min
na
ulesan
nete
lahen
dam
iseju
ures.
Tab
elidparin
evadkolleegid
eltm
ehaan
i-ka
institu
udist
japrofi
ilidvastavad
autorile
teadaoleva
info
kohaselt
Euro
opa
standard
ile.
Jargn
evalton
esitatud
tabelite
algused
kahte
liiki
I-profi
ilile,nn.
karprau
alenin
gvord
-ja
erikulgsele
nurk
rauale.
Pikem
adtab
elidon
esitatud
Lisas
2-A.
2.1
2.
Ristlo
igete
geo
mee
trilistekara
kte
ristikute
tabe
lid2
-85
2.1
2.
Ristlo
igete
geo
mee
trilistekara
kte
ristikute
tabe
lid2
-86
2.1
2.
Ristlo
igete
geo
mee
trilistekara
kte
ristikute
tabe
lid2
-87
