Outils Numriques pour la Mcanique

Luc Mieussens

Janvier 2017

Objectifs

une introduction la simulation numrique problmes issus de la mcanique (fluide, structure, thermique) phnomnes modliss par des quations aux drives partielles quations rsolues par des mthodes dapproximationnumrique :

algorithme programme simulation

Les EDP en mcanique

edo : quation diffrentielle ordinaire

y (t) = f (t, y(t))

solution : y : t 7 y(t)fonction dune variable

EDP : quation aux Drives Partielles

Tt

+ aTx

=2Tx2

+2Ty2

+2Tz2

solution : T : (t, x , y , z) 7 T (t, x , y , z)fonction de plusieurs variables

Les EDP en mcanique

thermique : volution de la chaleur dans un domaine solide quation de la chaleur R3

Tt

= T

o T = 2Tx2 +

2Ty2 +

2Tz2 (laplacien)

on prescrit une donne initiale : temprature initiale

T (t = 0, x , y , z) = T0(x , y , z)

et des donnes au bord (ou conditions aux limites) :temprature aux bords de

T (t, x , y , z) = Tb

pour (x , y , z)

Les EDP en mcanique

structure : propagation dune dformation dans une structure (corde, membrane, etc.)

quation des ondes2ut2

= c2u

on prescrit deux donnes initiales : dplacement et vitesse dedplacement t = 0

u(t = 0, x) = u0(x),ut

(t = 0, x) = v0(x)

et des donnes au bord : dplacement aux bords de (bordsencastrs ou libres)

u(t, x) = ub

pour x

Les EDP en mcanique

structure : petites dformations dun solide lastique (lasticitlinaire)

systme de Lam

u (+ )u( u) = f ,

o u est le champ de dplacement et f est une force. quation stationnaire on prescrit des donnes au bord : bords encastrs

u(x) = 0

pour x

Les EDP en mcanique

mcanique des fluides : fluide compressible dcrit par sa massevolumique , sa vitesse u, et sa pression p

systme des quations de Navier-Stokes

t+ u = 0tu + (u u) +p = tE + (E + p)u = q + u

o est le tenseur des contraintes de cisaillement, q est le fluxde chaleur

grand nombre de systmes rduits (Navier-Stokesincompressible, Stokes, Euler, Saint-Venant, etc.)

Mthodes Numriques

Principe : remplacer un problme continu (dimension infinie)par un problme discret (dimension finie)

Trois grandes classes de mthodes :. Diffrences finies. Volumes finis. lments finis

Diffrences finies

Le domaine de calcul est approch par une grille cartsienne

(source : C.-H. Bruneau)

Les drives partielles sont approches par diffrences divises :

ux u(t, x + h, y) u(t, x , y)

h

Extension des mthodes pour les edo Avantage : trs simple Inconvnient : limite des gomtries simples

http://www.math.u-bordeaux.fr/~chabrune/DNS/

Volumes finis

Le domaine de calcul est dcoup en volumes de contrles(polygones, polydres)

(source de limage)

La forme intgrale de lEDP est utilise sur chaque volume decontrle

Avantage : gomtries complexes, approche naturelle enmcanique des fluides

Inconvnients : prcision peu leve

http://crd.lbl.gov/departments/applied-mathematics/math/software/distmesh-high-quality-unstructured-mesh-generation-for-implicit-geometries/

lments finis

Mme maillage que pour les volumes finis La solution est approche par des fonctions polynmiales parmorceaux (interpolation)

Avantage : prcision arbitrairement leve Inconvnient : certains problmes de stabilit Mthode reine en mcanique des structures

(source : C. Dobrzynski)

http://www.mmgtools.org

Mthodes numriques

lments finis : S7 (mca.) et S8 (maths)

Volumes finis : S7

Diffrences finies : objet de ce cours. permet daborder simplement les notions de base de

lapproximation numrique

. restriction : EDP linaires (diffusion et convection)

. on utilisera des problme simples (de solutions exactesconnues) pour analyser le comportement des mthodesnumriques

Exemple : quation de la chaleur

quation

tT = xxTT (0, x) = T0(x)

Approximation (schma numrique)

T n+1i T nit

= T ni+1 2T ni + T ni1

x2

Programme Simulation

Exemples : quation de convection

quation

tu + axu = 0,u(0, x) = u0(x)

Approximation (schma numrique)

un+1i unit

+ auni uni1

x= 0

Programme Simulation

Exemples : quations de Navier-Stokes

quation

u = 0(tu + (u )u) +p = u + g

Schma numrique (lments) :

u(xi , yj) ux ,i+ 12 ,j ux ,i 12 ,j

x+

uy ,i ,j+ 12 uy ,i ,j 12y

Programme Simulation (cavit entrane)

(source : C.-H. Bruneau)

http://www.math.u-bordeaux.fr/~chabrune/DNS/

Exemples : quations de Navier-Stokes diphasiques

Interaction air/vague Un seul modle pour les deux fluides Capture de linterface air/eau Code Notus (I2M, dont M. Coquerelle)

(source : M. Coquerelle)

gouttes.mp4Media File (video/mp4)

http://notus-cfd.org/

Exemples : quations de Navier-Stokes diphasiques

Code Nascar (IMB, M. Bergmann, A. Iollo, L. Weynans)

source : M. Bergmann

http://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman

Mise en garde

Une "solution" numrique nest pas la ralit

La ralit est modlise (donc modifie et simplifie)

La solution du modle est approche par la solution numrique

Artefacts numriques : instabilits, diffusion, dispersion, etc.

Artefacts numriques

quation de convection

ut

+ aux

= 0

Solution exacte : donne initiale convecte la vitesse a

u(t, x) = u0(x at)

Solution numrique donne par diffrents schmas

Artefacts numriques

Solution exacte

Artefacts numriques

Schma dcentr :

un+1i unit

+ auni uni1

x= 0

diffusion numrique

Artefacts numriques

Schma dcentr, pas de temps plus grand :

un+1i unit

+ auni uni1

x= 0

Artefacts numriques

Schma dcentr, pas de temps plus grand :

un+1i unit

+ auni uni1

x= 0

instabilit numrique

Artefacts numriques

Schma de Lax-Wendroff :

un+1i unit

+ auni+1 uni1

2x a2t

uni+1 2uni + uni12x2

= 0

bonne prcision

Artefacts numriques

Schma de Lax-Wendroff (autre donne initiale)

un+1i unit

+ auni+1 uni1

2x a2t

uni+1 2uni + uni12x2

= 0

dispersion numrique

Comment bien utiliser une mthode numrique ?

Bien connatre le problme physique et le modle utilis :. De quoi tient compte le modle ?. De quoi ne tient-il pas compte ?. Limites de validit

Bien connatre les proprits qualitatives de lEDP (positivit,conservation, dissipation, etc.)

Connatre les proprits de la mthode numrique, sesavantages et inconvnients

Pour un dveloppeur : bien programmer (et donc biendbugger)

Des clbrits (anciennes et contemporaines)

Joseph Fourier (1768-1830) John Von Neumann (1903-1957) Peter Lax (1926-) B. Wendroff (1930-)

Organisation du cours

15 sances de cours d1h20 18 sances de TD 5 sances de TP de 4h (PG118)but : approfondir la connaissance de F90, et programmer lesmthodes numriques du cours

valuation :. un DM (donn le 11/04, rendre le 2/05). un examen (2h)

site web du cours :http://www.math.u-bordeaux.fr/~lmieusse/PAGE_WEB/enseignement.html

http://www.math.u-bordeaux.fr/~lmieusse/PAGE_WEB/enseignement.html

Enseignants

Ce sont tous des spcialistes en mthodes numriques

Ils utilisent ces mthodes et en dveloppent de nouvelles dansleurs travaux de recherche linstitut de mathmatiques deBordeaux

Ils dveloppent des logiciels de simulation numrique

Enseignants

Luc Mieussens

Simulation numrique pour le transport de particules (gaz,gouttes, etc.)

Conseiller scientifique au Commissariat lEnergie Atomique Applications : arodynamique (rentre atmosphrique),ocanographie (pluie, embruns)

Page web : http://www.math.u-bordeaux.fr/~lmieusse

http://www.math.u-bordeaux.fr/~lmieusse

Enseignants

Rodolphe Turpault

Mthodes numriques pour le transfert radiatif etllectrocardiologie

Applications : rentre atmosphrique, cardiologie

Enseignants

Kevin Santugini

solveurs linaires lectromagntisme Page web : https://www.math.u-bordeaux.fr/~ksantugi/

https://www.math.u-bordeaux.fr/~ksantugi/

Enseignants

Baudouin Denis de Senneville

Traitement dimage en temps rel Applications : imagerie mdicale Page web : http://www.math.u-bordeaux.fr/~bdenisde/

http://www.math.u-bordeaux.fr/~bdenisde/

Enseignants

Marc Durufl

Mthodes numriques pour la propagation dondes Applications : calcul dmission dondes radar (aviation) etdondes acoustiques

Page web : http://www.math.u-bordeaux.fr/~durufle/

http://www.math.u-bordeaux.fr/~durufle/

Enseignants

Lisl Weynans

Mthodes numriques pour la mcanique Applications : modlisation et simulation de matriauxlectro-strictifs (collaboration IMB/LOF/CRPP)

Page web : http://www.math.u-bordeaux.fr/~lweynans/

http://www.math.u-bordeaux.fr/~lweynans/

Enseignants

Xavier Lambolley : doctorant au LCTS Rmi Chauvin : post-doctorant au CEA

Quelques rsultats de recherche

(Marc Durufl, site web)

avion.mp4Media File (video/mp4)

piano.mp4Media File (video/mp4)

poumon.mp4Media File (video/mp4)

http://www.math.u-bordeaux.fr/~durufle/realisations.php

Quelques rsultats de recherche

(B. Denis de Senneville, site web)

http://bsenneville.free.fr/RealTITracker/

Quelques rsultats de recherche

(source : L. Weynans)

maillage quadtree dun matriau lectrostrictif matrice non-conductrice dans laquelle sont insrs desnanotubes de carbone conducteurs

gnration dnergie lectrique par dformation mcanique dumatriau

Bibliographie

Rfrence principale :Finite Difference Methods for Ordinary and PartialDifferential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems(Randall J. LeVeque)Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 2007

Exemplaires la bibliothque EMMK, la BUVersions antrieures la publication tlchargeables sur le web

Bibliographie

Livre de rfrence (en anglais) :Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations(John C. Strikwerda)Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004

Excellent livre en franais :Analyse numrique et optimisation(Grgoire Allaire)ditions de lcole Polytechnique2me dition (revue et corrige) en 2012

Chapitres 1 et 2 lire absolument ! !

0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: 0.30: 0.31: 0.32: 0.33: 0.34: 0.35: 0.36: 0.37: 0.38: 0.39: 0.40: 0.41: 0.42: 0.43: 0.44: 0.45: 0.46: 0.47: 0.48: 0.49: 0.50: 0.51: 0.52: 0.53: 0.54: 0.55: 0.56: 0.57: 0.58: 0.59: 0.60: 0.61: 0.62: 0.63: 0.64: 0.65: 0.66: 0.67: 0.68: 0.69: 0.70: 0.71: 0.72: 0.73: 0.74: 0.75: 0.76: 0.77: 0.78: 0.79: 0.80: 0.81: 0.82: 0.83: 0.84: 0.85: 0.86: 0.87: 0.88: 0.89: 0.90: 0.91: 0.92: 0.93: 0.94: 0.95: 0.96: 0.97: 0.98: 0.99: anm0: 1.0: 1.1: 1.2: 1.3: 1.4: 1.5: 1.6: 1.7: 1.8: 1.9: 1.10: 1.11: 1.12: 1.13: 1.14: 1.15: 1.16: 1.17: 1.18: 1.19: 1.20: 1.21: 1.22: 1.23: 1.24: 1.25: 1.26: 1.27: 1.28: 1.29: anm1: 2.0: 2.1: 2.2: 2.3: 2.4: 2.5: 2.6: 2.7: 2.8: 2.9: 2.10: 2.11: 2.12: 2.13: 2.14: 2.15: 2.16: 2.17: 2.18: 2.19: 2.20: 2.21: 2.22: 2.23: 2.24: 2.25: 2.26: 2.27: 2.28: 2.29: 2.30: 2.31: 2.32: 2.33: 2.34: 2.35: 2.36: 2.37: 2.38: 2.39: 2.40: 2.41: 2.42: 2.43: 2.44: 2.45: 2.46: 2.47: 2.48: 2.49: anm2: 3.0: 3.1: 3.2: 3.3: 3.4: 3.5: 3.6: 3.7: 3.8: 3.9: 3.10: 3.11: 3.12: 3.13: 3.14: 3.15: 3.16: 3.17: 3.18: 3.19: 3.20: 3.21: 3.22: 3.23: 3.24: 3.25: 3.26: 3.27: 3.28: 3.29: 3.30: 3.31: 3.32: 3.33: 3.34: 3.35: 3.36: 3.37: 3.38: 3.39: 3.40: 3.41: 3.42: 3.43: 3.44: 3.45: 3.46: 3.47: 3.48: 3.49: 3.50: 3.51: 3.52: 3.53: 3.54: 3.55: 3.56: 3.57: 3.58: 3.59: 3.60: 3.61: 3.62: 3.63: 3.64: 3.65: anm3: 4.0: 4.1: 4.2: 4.3: 4.4: 4.5: 4.6: 4.7: 4.8: 4.9: 4.10: 4.11: 4.12: 4.13: 4.14: 4.15: 4.16: 4.17: 4.18: 4.19: 4.20: 4.21: 4.22: 4.23: 4.24: 4.25: 4.26: 4.27: 4.28: 4.29: 4.30: 4.31: 4.32: 4.33: 4.34: 4.35: 4.36: 4.37: 4.38: 4.39: 4.40: 4.41: 4.42: 4.43: 4.44: 4.45: 4.46: 4.47: 4.48: 4.49: 4.50: 4.51: 4.52: 4.53: 4.54: 4.55: 4.56: 4.57: 4.58: 4.59: 4.60: 4.61: anm4: 5.0: 5.1: 5.2: 5.3: 5.4: 5.5: 5.6: 5.7: 5.8: 5.9: 5.10: 5.11: 5.12: 5.13: 5.14: 5.15: 5.16: 5.17: 5.18: 5.19: 5.20: 5.21: 5.22: 5.23: 5.24: 5.25: 5.26: 5.27: 5.28: 5.29: 5.30: 5.31: 5.32: 5.33: 5.34: 5.35: 5.36: 5.37: 5.38: 5.39: 5.40: 5.41: 5.42: 5.43: 5.44: 5.45: 5.46: 5.47: 5.48: 5.49: 5.50: 5.51: 5.52: 5.53: 5.54: 5.55: 5.56: 5.57: 5.58: 5.59: 5.60: 5.61: 5.62: 5.63: 5.64: 5.65: 5.66: 5.67: 5.68: 5.69: 5.70: 5.71: 5.72: 5.73: 5.74: 5.75: 5.76: 5.77: 5.78: 5.79: 5.80: 5.81: 5.82: 5.83: 5.84: 5.85: 5.86: 5.87: 5.88: 5.89: 5.90: 5.91: 5.92: 5.93: 5.94: 5.95: 5.96: 5.97: 5.98: 5.99: anm5: 5.EndLeft: 5.StepLeft: 5.PlayPauseLeft: 5.PlayPauseRight: 5.StepRight: 5.EndRight: 5.Minus: 5.Reset: 5.Plus: 6.0: 6.1: 6.2: 6.3: 6.4: 6.5: 6.6: 6.7: 6.8: 6.9: 6.10: 6.11: 6.12: 6.13: 6.14: 6.15: 6.16: 6.17: 6.18: 6.19: 6.20: 6.21: 6.22: 6.23: 6.24: 6.25: 6.26: 6.27: 6.28: 6.29: 6.30: 6.31: 6.32: 6.33: 6.34: 6.35: 6.36: 6.37: 6.38: 6.39: 6.40: 6.41: 6.42: 6.43: 6.44: 6.45: 6.46: 6.47: 6.48: 6.49: 6.50: 6.51: 6.52: 6.53: 6.54: 6.55: 6.56: 6.57: 6.58: 6.59: 6.60: 6.61: 6.62: 6.63: 6.64: 6.65: 6.66: 6.67: 6.68: 6.69: 6.70: 6.71: 6.72: 6.73: 6.74: 6.75: 6.76: 6.77: 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