Over voetbal enzo

Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal?

Probleem: onmogelijk om een voetbal te maken met alleen zeshoeken

Bovenstaande figuur is een vlakvulling: een vlak rooster

De veelzijdigheid van bollen

Veelhoeken (polygonen)

12

3

…

n

Hoekpunten n

Convexe veelhoek:

Alle diagonalen vallen binnen veelhoek

Diagonalen n*(n-3)/2

Buren 2

Zijden n

Recursieve Constructie:

12

3

…

n

Herhaald afknippen

Herhaald bijplakken

12

3

…

n

Een n-hoek bekom je als je vertrekkende vanuit een driehoek n-3 maal een hoekpunt wegsnijdt.

Een n-hoek bekom je doorn-2 driehoeken aan elkaar te plakken.

De som van de hoeken van een n-hoek= (n-2)*180°

Regelmatige veelhoeken

r

Gegeven: r(=1) en n(=9)

= )40(n

360

Regelmatige veelhoeken

rza

z=2*r*sin(180°/n)

z

a

r

180°/n

z/2

a=r*cos(180°/n)

Opp =r2*sin(180°/n)* cos(180°/n)

= r2*sin(360°/n)/2

Omtrek n-hoek=2*n*r*sin(180°/n) Opp n-hoek=n*r2/2*sin(360°/n)

Omtrek 9-hoek=2*9*sin(20°)=6,16 Opp 9-hoek=9/2*sin(40°)=2,89

veelvlakkenEen veelvlak is een ruimtelijke figuur begrensd door vlakke veelhoeken: Zijden of facetten(diamant)

Ribben

Hoekpunten

Buren zijn hoekpunten verbonden door ribbe

Diagonalen:zijdediagonaallichaamsdiagonaal

orde

De orde van een zijde =Aantal begrenzende ribben

De orde van een hoekpunt =Aantal ribben die toekomen

5

3 3

33

3

33

3

5

Prisma{n}Grondvlak // bovenvlak

H R Z

2n 3n n+2

Opstaande ribben

h

Hoogte h: afstand boven-grond

inh=opp(grond)*h

3

3

3

3

3

3

3

3

33

De orde van een hoekpunt =allemaal orde 3

De orde van een zijde =zijvlakken orde 4grond en boven orde n

4 44

5

5

Piramide {n} H R Z

n+1 2n n+1

Hoogte h: afstand top-grondvlak

inh=opp(grond)*h/3

grondvlaktopopstaande ribben

3

5

33

De orde van een zijde =zijvlakken orde 3grondvlak orde n

De orde van een hoekpunt =grondvlak orde 3top orde n

3

3

3

33

5

samenstellingen H R Z

2n+1 4n 2n+1

H R Z

n+2 3n 2n

Formule van EulerH R Z H+Z-R

prisma 2n 3n n+2 2

piramide n+1 2n n+1 2

duopiramide

n+2 3n 2n 2

toren 2n+1 4n 2n+1 2

Voor convexe veelvlakken geldt steeds:

H+Z-R=2

Platonische veelvlakkenZijden zijn identieke regelmatige veelhoeken

Dus alle ribben even lang

Alle hoekpunten hebben zelfde orde

Slechts 5

Tetraëder Kubus octaëder

EN &

dodecaëdertwaalfvlak

12 regelmatige 5-hoeken

H R Z

20 30 12

Orde hoekpunten 3

Orde zijden 5

Icosaëder

20 regelmatige 3-hoeken

H R Z

12 30 20

Orde hoekpunten 5

Orde zijden 3

Afgeknotte icosaëderH R Z

12 30 20

329060

ZRH

Dualiteit Verbind middelpunten van zijden

Kubus octaëderDodecaëder Icosaëder

H R Z Orde Z Orde H

tetraëder 4 6 4 3 3

kubus 8 12 6 4 3

octaëder 6 12 8 3 4

dodecaëder 20 30 12 5 3

icosaëder 12 30 20 3 5

Duale in tabel

Het duale van afknotten is uitstulpen

geode

Richard Buckminster Fuller(1895-1983)

Een veelvlak waarbij elkHoekpunt op een bol ligt En orde 5 of 6 heeft

triangulatie

Moeilijk kan ook

FullerenenHet duale van een geodewordt een Fullereen genoemd

Onze voetbal is eenFullereen F(1,1)

Ook dit nogIn elke geode zijn er exact 12 hoekpunten van orde 5.

5H5+6H6=2R=3Z

Telt het aantal ribben uit elke punt

Elke ribbe wordt dubbel geteld

Elke zijde heeft 3 ribben, maar weeral dubbel geteld

H=H5+H6H+Z-R=2

Euler

12H+12Z-12R=24 2H5+2(5H5+6H6)+12Z-6(2R)=24

2H5=242H5+2(3Z)+12Z-6(3Z)=24

Voetbal?Er bestaan geen voetballen met alleen zeshoeken

3H=2R=6Z

Telt het aantal ribben uit elke punt

Elke ribbe wordt dubbel geteld

Elke zijde heeft 6 ribben, maar weeral dubbel geteld

H+Z-R=2

Euler

6H+6Z-6R=12 2(3H)+6Z-3(2R)=12

0122(6Z)+6Z-3(6Z)=12