Pendulos Acoplados

Gordillo Olivera Carlos Nicolas

27 de Agosto de 2015

Resumen

El experimento consistio en la determinacion de la constante de acople de un sistema de dos pendulosacoplados mediante el analisis de las oscilaciones de cada pendulo, y la determinacion experimentalde dos modos normales de oscilacion. Se analizaron los datos utilizando teorıa estadıstica y ecuacionesdiferenciales y se obtuvo el valor de la constante de acople. El resultado fue k = (0.343 ± 0.010) N/m.

1. Introduccion

El experimento de los pendulos acoplados tiene su fundamento en el concepto de transferencia de energıa.Perturbando uno de los dos pendulos le imprimimos cierta velocidad y una correspondiente energıa cinetica.Mediante el acoplador, la energıa se transfiere al otro oscilador y lo hace oscilar mientras que el primeroscilador comienza a disminuir su velocidad. Este intercambio se da con cierta frecuencia que depende delas caracterısticas mecanicas del sistema. De este modo, midiendo las frecuencias de cada oscilador y lasfrecuencias de batido puede obtenerse el valor de la constante de acoplo, la cual es caracterıstica del elementoacoplador.

2. Metodo Experimental

Para esta experiencia se utilizaron dos pendulos simples de masa m = (158± 1) g separados por cordonplastico de longitud ` = (0.47± 0.01) m. Cada masa tiene adherida un pequeno iman en su parte inferior,el cual se utilizo para inducir una diferencia de potencial en bobinas a modo de registro de la posicion. Elesquema del circuito se muestra en la figura 1

Figura 1: Esquema de sistema de adquisicion de datos

Mediante una placa de adquisicion de datos MC USB-1408FS se obtuvieron distintos valores para dife-rentes disposiciones de los pendulos, los cuales se registraron en una computadora y luego se los analizo. Lospendulos utilizados tienen la misma longitud y fueron perturbados de diferentes formas y se registraron losvalores:

1

Partiendo desde el reposo se perturbo uno de los pendulos manteniendo el otro en reposo.

Partiendo desde el reposo se perturbaron ambos pendulos en fase.

Partiendo desde el reposo se perturbaron ambos pendulos pero en contrafase.

3. Resultados

3.1. Medicion de constante de acoplo

Sean los angulos medidos respecto a la vertical las coordenadas utilizadas para describir el movimientode los pendulos, como lo muestra la figura 1. Sea ademas m sus masas, l la longitud medida desde el puntode rotacion hasta el centro de masa de cada masa y k la constante de acoplo del sistema. Las ecuacionesque rigen el movimiento del sistema de los dos pendulos son las siguientes y su obtencion se detalla en elapendice:

θ1 (t) = θ0 cos

(ω2 + ω1

2t

)cos

(ω2 − ω1

2t

)(1)

θ2 (t) = θ0 sin

(ω2 + ω1

2t

)sin

(ω2 − ω1

2t

)(2)

Estas expresiones sugieren que la oscilacion de cada pendulo consta de dos partes: una de relativa altafrecuencia modulada por una de relativa baja frecuencia. Para cada pendulo se muestra el grafico de femgenerada en funcion del tiempo a fin de visualizar la oscilacion de relativa baja y alta frecuencia para elpendulo No 1, figuras 2a y 2b, y similartemente para el pendulo No 2, figuras 3a y 3b, respectivamente.

(a) Oscilaciones de relativa baja frecuencia. (b) Oscilaciones de relativa alta frecuencia.

Figura 2: Oscilaciones de pendulo No 1

ω1 + ω2

2= (3.72± 0.03)

rad

s(3)

ω2 − ω1

2= (0.060± 0.001)

rad

s(4)

Resolviendo este sistema se obtienen las frecuencias de los modos normales:

ω1 = (3.66± 0.03)rad

s(5)

ω2 = (3.78± 0.03)rad

s(6)

2

(a) Oscilaciones de relativa baja frecuencia. (b) Oscilaciones de relativa alta frecuencia.

Figura 3: Oscilaciones de pendulo No 2

Ademas se tiene que:

ω22 − ω1

2 = 2k

m(7)

Por lo tanto se obtuvo la constante de acople:

k = (0.071± 0.002)N

m(8)

3.2. Estudio de los modos normales

Una forma mas general de describir un sistema oscilante es a traves de sus modos normales o frecuenciasnaturales del sistema. Matematicamente se demuestra en el apendice que el sistema de estudio tiene dos modosnormales, y la oscilacion de cada pendulo consta de la superposicion de estos modos. Se los pudo observarexperimentalmente y se determinaron dos modos: cuando los pendulos oscilan en fase, y en contrafase. Enestos dos estados no hay transferencia de energıa.

3.2.1. Oscilaciones en fase

Globalmente se observa un pequeno batido en las oscilaciones, como se ve en las figuras 4a y 4b. Estepequeno efecto que teoricamente no deberıa existir, se discute luego.

3.2.2. Oscilaciones en contrafase

Globalmente se observa un pequeno efecto de batido un poco mas pronunciado que en caso anterior, comose ve en las figuras No 8 y No 9. Este efecto sera discutido luego.

3

(a) Oscilaciones de pendulo No 1. (b) Oscilaciones de pendulo No 2.

Figura 4: Oscilaciones en fase.

(a) Oscilaciones de pendulo No 1. (b) Oscilaciones de pendulo No 2.

Figura 5: Oscilaciones en contrafase.

4

A. Obtencion de las ecuaciones del movimiento

Sea el sistema de los dos pendulos acoplados mostrados en la figura No 1. Se tomaron como coordenadasgeneralizadas los angulos qi = {θ1, θ2} El Lagrangiano del sistema es:

L =1

2ml2[θ1

2+ θ2

2)− 1

2kl2(sen(θ2)− sen(θ1)]2 −mgl[2− cos(θ1)− cos(θ2)] (9)

Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

θ1 +k

m[sen(θ1)− sen(θ2)]cos(θ1) +

g

lsen(θ1) = 0 (10)

θ2 −k

m[sen(θ1)− sen(θ2)]cos(θ2) +

g

lsen(θ2) = 0 (11)

A continuacion se supuso oscilaciones pequenas, por lo que se reemplazaron las funciones senos y cosenos porsus desarrollos de Taylor, conservando solo el primer orden de los mismos. Se obtuvo el siguiente sistema deecuaciones diferenciales acopladas:

θ1 +k

m(θ1 − θ2) +

g

lθ1 = 0 (12)

θ2 −k

m(θ1 − θ2) +

g

lθ2 = 0 (13)

Sumando y restando las ecuaciones anteriores se obtuvo:

θ1 + θ2 +g

l(θ1 + θ2) = 0 (14)

θ1 − θ2 +

(g

l+

2k

m

)(θ1 − θ2) = 0 (15)

Introduciendo las variables auxiliares siguientes:

ψ+ = θ1 + θ2 (16)

ψ− = θ1 − θ2 (17)

Las ecuaciones diferenciales anteriores se desacoplan y pueden resolverse separadamente:

ψ+ +g

lψ+ = 0 (18)

ψ− +

(g

l+

2k

m

)ψ− = 0 (19)

ψ+ = A1cos(ω1t+ φ1) (20)

ψ− = A2cos(ω2t+ φ2) (21)

ω1 =

√g

l(22)

ω2 =

√g

l+

2k

m(23)

Deshaciendo el cambio de variables obtenemos formalmente las soluciones mas generales que representan elmovimiento de los pendulos acoplados:

θ1(t) =1

2[A1cos(ω1t+ φ1) +A2cos(ω2t+ φ2)] (24)

θ2(t) =1

2[A1cos(ω1t+ φ1)−A2cos(ω2t+ φ2)] (25)

5

Las cuatro constantes A1,A2,φ1 y φ2 se denominan amplitud y constante de fase respectivamente, y sedeterminan a partir de condiciones iniciales siguientes:

θ1(0) = θ0 (26)

θ2(0) = 0 (27)

θ1 = 0 (28)

θ2 = 0 (29)

Reemplazando estas condiciones, y resolviendo el sistema que se forma se obtuvo lo siguiente:

A1 = A2 = θ0 (30)

φ1 = φ2 = 0 (31)

Entonces las soluciones se reducen:

θ1(t) =θ02

[cos(ω1t) + cos(ω2t)] (32)

θ2(t) =θ02

[cos(ω1t)− cos(ω2t)] (33)

Cada una de estas expresiones revelan al movimiento de los osciladores acoplados como la superposicion dedos funciones que resultan ser los modos normales de oscilacion del sistema, con frecuencias angulares ω1 yω2.

ψ+ = θ0cos(ω1t) (34)

ψ− = θ0cos(ω2t) (35)

Finalmente, utilizando la identidad trigonometrica de la suma y resta de cosenos, obtenemos las solucionesfinales:

θ1(t) = θ0

[cos

(ω2 + ω1

2t

)cos

(ω2 − ω1

2t

)](36)

θ1(t) = θ0

[sen

(ω2 + ω1

2t

)sen

(ω2 − ω1

2t

)](37)

De la relacion de las frecuencias angulares se obtiene una expresion para la constante de acoplo:

ω22 = ω2

1 + 2k

m(38)

k =m

2(ω2

2 − ω21) (39)

B. Calculo de las frecuencias angulares

Para el calculo de las frecuencias angulares de relativa alta y baja frecuencia de los osciladores se tomaronuna serie valores de perıodos, y con ellos luego se calcularon las frecuencias angulares. Los valores utilizadosse disponen en la tabla 1: Disponiendo de los valores del perıodo se obtiene facilmente la frecuencia angularcomo:

ω =2π

T± δω (40)

TAlta−F rec = (1.689± 0.004) s (41)

TBaja−F rec = (105.34± 0.38) s (42)

ω2 − ω1

2=

2π

TBaja−F rec= (0.060± 0.001)

rad

s(43)

ω2 + ω1

2=

2π

TAlta−F rec= (3.72± 0.03)

rad

s(44)

6

Alta Frecuencia Baja FrecuenciaT Error T Error1,689 0,002 104,84 0,0021,698 0,002 106,058 0,0021,687 0,002 105,122 0,0021,676 0,0021,676 0,0021,710 0,0021,685 0,0021,696 0,0021,691 0,0021,679 0,002

Tabla 1: Alta Frecuencia.

C. Calculo de errores

C.1. Error del perıodo

Para el calculo del error del perıodo promedio se tuvo en cuenta la desviacion estadıstica σ y el errorasociada a la medicion δmed:

δT =

√(σ√n

)2

+ δme2d (45)

C.2. Error de frecuencia angular

Para el calculo del error en la frecuencia se tuvo en cuenta el valor promedio del perıodo y su variacion:

δω = ω

∣∣∣∣− 2π

T 2

∣∣∣∣ (46)

C.3. Error de constante de acoplo

Para el calculo del error en la constante de acoplo se tuvieron en cuenta los valores promedios y sus erroresde las frecuencias angulares de relativa baja ω1 y alta frecuencia ω2, y el error ocasionado en la medicion dela masa:

δk =

√m2 [(ω1δω1)2 + (ω2δω2)2] +

1

4(ω2

2 − ω21)2δm (47)

Referencias

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