25ภาคขอสอบ : พชคณตและจ�ำนวนเตม

การพสจน

กรณของเลขคยกก�าลงสอง จะหารดวย 4 ลงตวเสมอ ในกรณทเปน

เลขคยกก�าลงสองนน จากโจทยขอทแลวจะหารดวย 8 ไมลงตวและเหลอเศษ 1

เสมอ ดงนนเมอน�าเลขยกก�าลงสองหารดวย 8 จะตองเหลอเศษ 0, 1, 4 เทานน

แตเนองจากชดตวเลข 21, 221, 2221, 22221, … ทใหมา ลวนหารดวย 8

แลวเหลอเศษ 5 ทงสน ตวเลขชดนจงไมสามารถเปนเลขยกก�าลงสองของเลข

ใด ๆ ได

ถาให A = 999…99 (มทงหมด 81 หลก) จงหาผลบวกของตวเลข

แตละหลกของ A2

ขอแนะน�า กระจายพจน A2 โดยใชสตรการกระจายพหนาม (ดหนา 135 ประกอบ)

วธท�า

จาก A = 1081 – 1

ดงนน A2 = (1081 – 1)2 = 10162 – 2 ⋅ 1081 + 1

= 99 …… 98 00 …… 01 80 ตว 80 ตว

ดงนนผลบวกของเลขทกหลกรวมกนจะไดเทากบ

9 ⋅ 80 + 8 + 1 = 729

26 y y (จำกขอสอบรอบคดเลอกของ JMO ป ค.ศ. 1991 ขอ 1)

31ภาคขอสอบ : พชคณตและจ�ำนวนเตม

32 y y

ขายบตรคอนเสรตไปทงหมด 140 ใบ ไดเงนมา 2001 เหรยญ ใน

จ�านวนบตรทงหมดนมสวนหนงทขายไปในราคาเตม และสวนทเหลอ

ขายครงราคา จงหาวา ราคาบตรเตมราคาคอเทาไร

วธท�า

ใหราคาบตรเตมราคาเปน p เหรยญ และจ�านวนบตรทขายไปในราคา

เตมเปน f ใบ จะสามารถสรางสมการจากโจทยไดดงน

fp + (140 – f) ⋅ p 2

= 2001

หรอ (140 + f)p = 4002

นนคอ (140 + f) จะตองเปนตวประกอบของ 4002 นอกจากนน f

ตองเปนจ�านวนนบทนอยกวา 140 จงไดเงอนไขวา 140 + f จะตองมากกวา

140 แตนอยกวา 280 เมอแยกตวประกอบของ 4002 จะได 4002 = 2 × 3 ×

23 × 29 ผลคณของตวประกอบทท�าใหเปนไปตามเงอนไขคอ 2 × 3 × 29 =

174 เพราะฉะนน 140 + f = 174 ท�าใหได p = 4002 174

= 23 เหรยญ

ให N เปนจ�านวนเตมทม 4 หลก และมหลกหนวยไมเทากบ 0 และ

ให R(N) แสดงตวเลขทเกดจากการเรยงกลบทศของ N เชน R(3275)

= 5723 จงหาคา N ภายใตเงอนไขตอไปน R(N) = 4N + 3

33 y y y

(จำกขอสอบของ AMC ป ค.ศ. 2001 ส�ำหรบ Grade 10 ขอ 14)

32 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009

วธท�า

ให N = 1000a + 100b + 10c + d

(โดยท a, b, c, d เปนเลขจ�านวนเตมหลกเดยว)

จะได R(N) = 1000d + 100c + 10b + a

จากโจทยจะได 4N + 3 = R(N) ≤ 9999 ซงท�าใหได N ≤ 2499 และ

ท�าให a เปน 1 หรอ 2 นอกจากนน R(N) = 4N + 3 เปนเลขค ดงนน a จง

ตองเปน 1 จากนนพจารณาวา 4N ตองมหลกหนวยเปน 8 จงท�าใหคา d เปน

ไดเพยง d = 2, 7 แตเนองจากในขณะท a = 1 จะได 4000 ≤ R(N) < 8000

เพราะฉะนนจะได d = 7

เมอแทนคา a = 1, d = 7 ลงในเงอนไขตามโจทยจะได

7000 + 100c + 10b + 1 = 4(1000 + 100b + 10c + 7) + 3

และจะได 13b = 2c + 99 เนองจากทง b และ c ตองเปนเลขจ�านวน

เตมหลกเดยว เพราะฉะนนจะได b = 9, c = 9 ดงนนค�าตอบคอ N = 1997

1.2.3 โจทยเกยวกบจ�านวนเตมอนๆ

ในบรรดาจ�านวนตอไปนคอ 21, 22, … , 2100 เมอเขยนใหอยในรปของเลข

ฐาน 10 จงหาวามกจ�านวนทมหลกสงสดเปนเลข 1 ทงน 2100 ม 31 หลก

ขอแนะน�า เลขอะไรกตามทคณดวย 2 แลวท�าใหมจ�านวนหลกเพมขน ตวเลขของหลกท

เพมขนนตองเปน 1 เสมอ

34 y y y

73ภาคขอสอบ : เรขาคณต

วธท�ำ

กอนอนใหคลทรงสหนานออกมาเปนแผนราบ จดกงกลางของ

ดานทอยตรงขามนน กจะเปนจดกงกลางของดานทอยตรงขามของสเหลยม

ขนมเปยกปนทมความยาวดานเทากบ 1 หนวย ดงนนระยะทางทสนทสด

คอระยะทางตามแนวเสนตรงทเชอมระหวาง 2 จดน เพราะฉะนนระยะทาง

ทสนทสดคอ 1 หนวย

มทรงสหนาดานเทาอนหนง ใหหาอตราสวนระหวางปรมาตรของทรงกลม

ทสมผสภายในและสมผสภายนอกกบทรงสหนาน (ดหนา 169 ประกอบ)

วธท�ำ

กอนอน ก�าหนดใหทรงสหนาดานเทานเปน T จากนนหาจดศนยถวง

ของแตละหนาใหครบทงสหนา แลวลากเสนเชอมจดทงสเขาดวยกน เพอสราง

ทรงสหนาดานเทาขนาดเลกอกอนหนงคอ T′ ขนมา โดยทรงกลมทสมผสภายใน

กบ T จะเปนทรงกลมทสมผสภายนอกกบ T′

68 y y y

74 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009

A AB B

MM

AʹBʹ Bʹ Aʹ

ใหพจารณาหนาตดของทรงสหนา T ทตดผานดาน AB และผานจด

กงกลางของดานทอยตรงขาม M (ตามแนวเสนประดงรป) จะพบวาเสนตรง

MA และ MB จะผานจด B′ และ A′ ตามล�าดบ และจากวธการสราง T′ จะได

MA : MB′ = MB : MA′ = 3 : 1

ดงนนจะได AB : B′A′ = 3 : 1 นนคอ อตราสวนระหวางความ

ยาวดานของ T และ T′ เปน 3 : 1 ดงนนสามารถหาอตราสวนของปรมาตร

ทรงกลมทสมผสภายในและสมผสภายนอกไดดงน

(ปรมาตรทรงกลมทสมผสภายใน) : (ปรมาตรทรงกลมทสมผสภายนอก)

= (ปรมาตรของ T′) : (ปรมาตรของ T)

= 13 : 33 = 1 : 27

ทรงสหนา ABCD มดานทอยตรงขามยาวเทากน คอ AB = CD = a,

AC = BD = b, AD = BC = c จงหาความยาวของเสนผานศนยกลาง

ของทรงกลมทสมผสภายนอกทรงสหนาน

69 y y y y

80 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009

ตอไปพจารณาหาจ�านวนรปแบบทสมมาตรซายขวา โดยพจารณาวา

4 ชองทางซายมอนน เมอน�ามาระบายดวยสแดงและสขาวอยางละ 2 ชอง จะ

ท�าไดทงหมดกแบบ ซงกรณนจ�านวนรปแบบทท�าไดคอ 4C2 แบบ (ดรปประกอบ)

นนคอ ในจ�านวนรปแบบทกลาวมาน

• แบบทซายขวาสมมาตรกน ม 4C2 แบบ

• แบบทซายขวาไมสมมาตรกนและถกนบซ�า 2 ครง ม 8C4 – 4C2 แบบ

ดงนนจ�านวนรปแบบทตองการหาคอ

8C4 – 4C2 + 4C2 = 38 แบบ 2

มลกหนสขาว 5 ลก และสด�า 10 ลก น�ามาเรยงตอกนเปนเสนตรง โดย

ใหหนสขาวทกลกจะตองมหนสด�าวางอยตดกนเสมอ จงหาวาจะมวธ

เรยงลกหนไดทงหมดกแบบ

ขอแนะน�ำ เนองจากโจทยก�าหนดใหตองมหนสด�าวางตดกบหนสขาวเสมอ เพราะฉะนน

ใหจบคไวเลยตงแตตน ยกตวอยางเชน การเรยงแบบในรป จะพบวาเปนการ

เรยงของลกหน 5 ค กบหนสด�า 5 ลก

73 y y y (จากขอสอบรอบคดเลอกของ JMO ป ค.ศ. 1996 ขอ 2)

81ภาคขอสอบ : การเรยงสบเปลยนและการจดหม

วธท�ำ

เมอจบคหนสขาวและสด�า 5 ค ทเหลอเปนหนสด�าอก 5 ลก วธการ

เรยงสงเหลานจงเปนการเรยงแบบการจดหม ดงนนจ�านวนรปแบบทเปนไปได

คอ 10C5 = 252 แบบ

(1) มรปแปดเหลยมดานเทา ABCDEFGH ถาตองการสรางรป

สามเหลยมดานเทา โดยมจดยอดมมอยางนอย 2 จด เปนจดยอด

มมของรปแปดเหลยมดานเทาน ใหหาวาจะสามารถท�าไดทงหมด

กแบบ

(2) ถามรปเกาเหลยมดานเทา ABCDEFGHI ใหหาจ�านวนรปแบบ

ของการสรางสามเหลยมดานเทาตามเงอนไขเดยวกบขอ (1)

ขอแนะน�ำ (1) เมอเลอกจดยอดของรปแปดเหลยมดานเทามา 2 จด แลวเขยนรป

สามเหลยมดานเทาโดยมจดยอด 2 จดเปนจดทเลอกมานน จะเขยนได

2 แบบ

(2) กรณของรปเกาเหลยมดานเทา จะมสามเหลยมดานเทาทสามารถเขยนให

ซอนกบมมยอด 3 มมของรปเกาเหลยมไดดวย

74 y y y (จากขอสอบของ AMC ป ค.ศ. 2001 ส�าหรบ Grade 12 ขอ 14)

97ภาคขอสอบ : การเรยงสบเปลยนและการจดหม

ดงนนถาไพทมคาเทากบหรอมากกวา 8 ถกดงออกมากอนไพเบอร

7 ไพเหลานกจะถกวางอยกอนแลว ถงแมจะดงไพเบอร 7 ออกมากตองทงไป

ในทางกลบกน ถาไพทมคาสงกวาเบอร 7 ทงหมดถกดงออกมา

หลงไพเบอร 7 แสดงวาตอนทไพเบอร 7 ถกดงออกมา ไพทอยทางขวามอสด

บนโตะจะตองเปนไพทต�ากวาเบอร 6 ซงกรณนไพเบอร 7 กจะไมถกทง

ดงนนความนาจะเปนทจะไดวางไพเบอร 7 บนโตะ จะหาไดจาก

ความนาจะเปนของการดงไพเบอร 7 ออกมากอนไพทมคาเทากบและสงกวา

เบอร 7 ซงมอย 7 ใบ ดงนนความนาจะเปนในกรณนคอ 17

ในระบบคอมพวเตอรทวไปจะแสดงคาสญญาณตาง ๆ ในรปของเลขฐาน

2 นนคอใชเลข 0 กบ 1 เทานน

ถาสงสญญาณจากเครองคอมพวเตอรบนพนโลกไปยงดวงจนทร

ดวยคลนแมเหลกไฟฟา ปรากฏวาในการสงตวเลขแตละตว มความ

นาจะเปนของการรบสญญาณถกตองเปน 23

และความนาจะเปนของการ

รบสญญาณผดพลาด (คอ จาก 0 เปน 1 หรอ จาก 1 เปน 0) เปน 13

ถาท�าการสงสญญาณ 2 ชด ชดแรกคอ “00” และชดตอไปคอ “11”

เมอเครองรบบนดวงจนทรรบสญญาณเขามาแลวตความสญญาณนน

แบบเลขฐาน 2 จงหาความนาจะเปนทเครองรบสญญาณบนดวงจนทร

จะตความวาสญญาณชดแรกมคานอยกวาสญญาณชดทสอง

86 y y y

98 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009

ขอแนะน�ำ จากเงอนไขของโจทยทวา “สญญาณชดแรกมคานอยกวาสญญาณชดทสอง”

ถาวเคราะหดจะพบวา ท�าใหสามารถใชกฎการบวกและกฎการคณได (ดหนา

176 ประกอบ)

วธท�ำ

ให P(X) แสดงความนาจะเปนของเหตการณ X

เมอให x1x2, y1y2 เปนตวเลขทเครองรบบนดวงจนทรรบไดเปนชด

แรกและชดทสอง ตามล�าดบ เนองจากเปนการตความของเลขฐาน 2 ดงนน

การทตวเลขชดแรกมคาต�ากวาตวเลขชดหลงนน จะเกดขนไดในกรณท x1 < y1

กบกรณท x1 = y1 และ x2 < y2 ดงนนจากกฎการบวกและกฎการคณ

สามารถหาคาความนาจะเปน p ตามโจทยไดดงน

p = P(x1 < y1) + P(x1 = y1)P(x2 < y2)

ในทนจะหาแตละพจนไดดงน

P(xi < yi) = P(xi = 0) ⋅ P(yi = 1)

= 23

⋅ 23

= 49

P(xi = yi) = P(xi = yi = 0) + P(xi = yi = 1)

= 23

⋅ 13

+ 13

⋅ 23

= 49

เพราะฉะนนความนาจะเปนทตองการหาคอ

p = 49

+ 4 2( ) 9 = 52

81

276 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009

ของผลการแขงขนทเปนไปไดทงหมด ทงนไมมผลการแขงขนทเสมอกน

เกดขน

7. (a, b, c) เปนชดตวเลขจ�านวนเตมบวก ถา ค.ร.น. ของ a, b, c เปน 720

จงหาวาจะมชดตวเลขทเปนไปตามเงอนไขนไดทงหมดกแบบ ทงนชด

ตวเลขทมตวเลขซ�ากน แตเรยงไมเหมอนกน ถอวาเปนคนละแบบกน

8. ทโรงเรยนมธยมตนแหงหนง ใหนกเรยนปลกตนทวลปโดยแตละคนตอง

ปลกอยางนอย 1 ตน และนกเรยนในชนเดยวกนใหปลกเปนจ�านวนตนท

เทากน เมอท�าเชนนปรากฏวา จ�านวนตนทปลกไดต�ากวา 100 ตน จะมได

6 แบบ และจ�านวนตนทนอยทสด 2 อนดบแรกคอ 52 ตน และ 64 ตน

จงหาจ�านวนนกเรยนในชนมธยมศกษาปท 1, 2, 3 วามชนละกคน

ส�าหรบขอท 9, 10, 11 (2) เปนโจทยทใหพสจน ดงนนถงแมจะหา

ค�าตอบได กตองพสจนใหเหนวาค�าตอบนนถกตองดวย

9. ในงานแลกของขวญทมผเขารวมเปนชาย 2008 คน และหญง 2008 คน

ผเขารวมทเปนชายจะถอชอดอกไม สวนผหญงจะถอชอกโกแลต จากนน

ใหทกคนมารวมตวกนเปนรปวงกลมโดยหนหนาเขาหากน วธการแลก

ของขวญจะท�าโดยการใหสญญาณ 1 ครง แลวทกคนจะสงของขวญไปให

ผทอยทางดานขวามอของตนเอง เมอใดทผชายไดรบชอกโกแลตและ

ผหญงไดรบชอดอกไมแลว กใหออกจากวงได จงหาวา กอนททกคน

จะหลดออกจากวงไปได จ�านวนครงสงสดทตองใหสญญาณเปนเทาไร

10. สเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 จ�านวน 9 รป เรยงตอกนเปนตาราง

ขนาด 3 แถว 3 หลก โดยแตละชองตารางก�าหนดหมายเลขไว ดงรป

277ขอสอบคณตศาสตรโอลมปกระดบจเนยรของประเทศญปน ครงท 6 (ป 2008)

➀ ➁ ➂

➆ ➅ ➄

➇ ➃

ถาใหจด A, B, C, D เปนจดทอยภายในชองสเหลยมจตรสหมายเลข

➀, ➂, ➄, ➆ ตามล�าดบ (โดยไมรวมเสนแบงเขต) และใหพนททบซอน

ระหวางสเหลยม ABCD กบสเหลยมจตรสหมายเลข ➀, ➂, ➄, ➆

เปน X และพนททบซอนระหวางสเหลยม ABCD กบสเหลยมจตรส

หมายเลข ➁, ➃, ➅, ➇ เปน Y จงพสจนวา X < Y

11. ให m, n เปนจ�านวนเตมบวก เมอจดท�าตารางขนาด m × n ชอง แลว

ระบายสลงในชองตาง ๆ ดวยสใดสหนง คอ สแดง สน�าเงน หรอสด�า

โดยใหเปนไปตามเงอนไขดานลางน

• ชองสแดงใด ๆ จะตองตดกบชองสน�าเงน 1 ชอง และสด�า 1 ชอง

• ชองสน�าเงนใด ๆ จะตองตดกบชองสด�า 1 ชอง และสแดง 1 ชอง

• ชองสด�าใด ๆ จะตองตดกบชองสแดง 1 ชอง และ สน�าเงน 1 ชอง

ทงน การท 2 ชองตดกนหมายถงการมผนงรวมกน

จงตอบค�าถามตอไปน

(1) กรณท m = 3, n = 4 จงหาวธระบายสทเปนไปตามเงอนไขขางตน

(ใหตอบเฉพาะค�าตอบได)

(2) จงหาชดตาราง (m, n) ทงหมดทสามารถท�าไดตามเงอนไขขางตน

287ขอสอบคณตศาสตรโอลมปกระดบจเนยรของประเทศญปน ครงท 6 (ป 2008)

จงจะท�ำใหทกคนหลดจำกวงได (แตละครงหลดไปทละ 2 คน เปนผหญง

1 คน และผชำย 1 คน)

จำกทกลำวมำนจงสรปไดวำ จ�ำนวนครงสงสดของกำรใหสญญำณท

ตองกำรคอ 2008 ครง

10. ใหพนททสเหลยม ABCD ทบซอนกบสเหลยมจตรสหมำยเลข ➀, ➂,

➄, ➆ เขยนไดเปนสำมเหลยม 8 รป คอ T1, … , T8 ดงรป และใหพนท

รวมของ T1, … , T8 เปน X และใหพนททสเหลยม ABCD ทบซอนกบ

สเหลยมจตรสหมำยเลข ➁, ➃, ➅, ➇ เขยนไดเปนสำมเหลยม 8 รป

คอ S1, … , S8 ดงรป และใหพนทรวมของ S1, … , S8 เปน Y

T3T2T1

T8

T6T7

S1S2

S8S7

S3S4

S5S6 T4T5

จำกรปจะเหนไดวำ ส�ำหรบ 1 £ i £ 8 รปสำมเหลยม Ti กบ Si จะม

ดำนรวมกนเสมอ และถำใหดำนรวมดงกลำวนเปนดำนฐำนของสำมเหลยม

จะพบวำสำมเหลยม Si มควำมสงเปน 1 ทงหมด ในขณะทจด A, B, C,

D ไมมจดใดทอยบนเสนขอบของสเหลยมจตรส ท�ำใหควำมสงของ Ti

นอยกวำ 1 เสมอ ดงนนพนทของ Si จะมำกกวำพนทของ Ti เสมอ และ

288 คณตศำสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009

ผลบวกของพนท S1, … , S8 กจะมำกกวำผลบวกของพนท T1, … , T8

เสมอ

11. ให (i, j) แสดงชองตำรำงแถวท i หลกท j โดยในแถวเดยวกนจะเรยงจำก

ซำยไปขวำ และในหลกเดยวกนกจะเรยงจำกบนลงลำง

กอนอน พจำรณำกรณท n = 1

เนองจำกชองทตดกบชองบนสดจะมไดเพยงชองเดยว ท�ำใหไม

สำมำรถระบำยสตำมเงอนไขของโจทยได ในกรณ m = 1 กเชนเดยวกน

ตอไปพจำรณำกรณท m ³ 2, n ³ 2 จะมวธระบำยตำมเงอนไขไดอยำงไร

ลองพจำรณำไปทละแบบจำกชองบนสดดำนซำย

ถำก�ำหนดใหชอง (1, 1) เปนสแดง (1, 2) เปนสน�ำเงน (2, 1) เปน

สด�ำ กไมท�ำใหสญเสยคณสมบตทวไป

ครำวนพจำรณำทชอง (2, 2) สของชองนจะตองเปนสน�ำเงนหรอ

สด�ำเทำนน (เพรำะถำเปนสแดง จะท�ำใหชอง (1, 2) ตดกบสแดง 2 ชอง

ซงผดเงอนไข) ในกำรพจำรณำรำยละเอยดตอจำกน เรำจะก�ำหนดใหชอง

นเปนสด�ำ กรณทก�ำหนดใหเปนสน�ำเงนกท�ำได เพยงแตสลบต�ำแหนง

ของแถวกบหลก และสลบระหวำงสน�ำเงนกบสด�ำ ซงกจะเหมอนกน

เนองจำกชอง (2, 1) เปนสด�ำ จงตองตดกบชองสน�ำเงน และหมำยถง

ตองมแถวท 3 และชอง (3, 1) ตองเปนสน�ำเงน ทนพจำรณำสของชอง

(3, 2) ถำเปนสน�ำเงนกจะมปญหำ เพรำะชอง (2, 2) เปนสด�ำ ท�ำใหตดกบ