2. HIDROSTATIKA

2.1. OSNOVNA JEDNAINA HIDROSTATIKE:

DIFERENCIJALNI OBLIK

Da bi se dobila osnovna jednaina hidrostatike, posmatrae se ravnotea fluidnog elementa mase

u stanju mirovanja. Obzirom da se fluid nalazi u stanju mirovanja

svejedno je da li je fluid idealan ili realan. Na posmatrani fluidni element djeluju povrinske i

zapreminske sile. Povrinske sile su definisane veliinom statikog pritiska , koji djeluje

normalno na povrine fluidnog elementa. Zapreminske sile (sile tee) su izraene po jedinici

mase fluidnog elementa i imaju komponente , tj. .

Ako se pretpostavi da je pritisak u koordinatnom poetku tada su sile pritiska na

bonim stranama kao na slici 2.1.

Analizirat emo sluaj u pravcu, a za ostale pravce emo primijeniti analogiju. Komponenta

vanjske ili zapreminske sile po jedinici mase je:

Uslov statike ravnotee sila koja djeluje u pravcu ose je i daje:

(2.1.)

Slika 2.1.: Statika ravnotea sila u pravcu

Analogno se dobiva za i pravac:

(2.2.)

Sabiranjem jednaina 2.1. i 2.2. i dijeljenjem sa gustinom , dobiva se:

ili

(2.3.)

Izraz 2.3. predstavlja osnovnu jednainu hidrostatike u diferencijalnom obliku.

Kada su poznate komponente zapreminskih sila osnovna jednaina hidrostatike se moe

iskoristiti za dobivanje zakona rasporeda pritiska u fluidu . Povrine istog pritiska se

dobivaju iz uslova odnosno

Ako od zapreminskih sila uzmemo silu tee, a smjer ose prema gore, slika 2.2., dobiva se:

(2.4.)

Slika 2.2.: Analiza apsolutnog pritiska u nekoj taki fluida

Uvrtavajui izraz 2.4. u osnovnu jednainu hidrostatike, izraz 2.3., dobiva se:

(2.5.)

Ako jednainu 2.5. integralimo po bilo kojoj liniji , i ako je za fluid dobivamo:

(2.6.)

Iz uslova se dobiva vrijednost konstante:

(2.7.)

odnosno:

(2.8.)

gdje su:

atmosferski ili barometarski pritisak,

dubina na kojoj se nalazi posmatrana taka.

Jednaina 2.8. pokazuje da je apsolutni pritisak u nekoj taki jednak zbiru atmosferskog (tj.

vanjskog ili barometarskog pritiska) i hidrostatikog pritiska uslijed teine stuba fluida visine i

jedininog poprenog presjeka.

Ranije je navedeno da je pri mirovanju fluida ravnotea mogua ako zapreminske (vanjske) sile

imaju svoj potencijal, tj. skalarnu funkciju koja zadovoljava uslov:

(2.9.)

Skalarna funkcija je potencijal sile, odnosno potencijalna funkcija. Kao to je napomenuto, sile

koje imaju svoj potencijal se nazivaju konzervativne sile.

Sada emo odrediti potencijal sile Zemljine tee:

(2.10.)

Na slici 2.2. je prikazano, da je u taki A sila tee po jedinici mase R i dobiveno je:

(2.11.)

Iz izraza 2.10. i 2.11. imamo:

(2.12.)

odnosno, potencijal sile tee je:

(2.13.)

Ako se u koordinatnom sistemu kreemo tako da je slijedi da je odnosno

Na ovaj nain dolazimo do pojma ekvipotencijalne povrine.

U sluaju sile tee znai da je odnosno ekvipotencijalne povrine su

horizontalne.

2.2. PRITISAK NA POVRINE

2.2.1. PRITISAK NA RAVNE POVRINE

U sluaju apsolutnog mirovanja fluida odreivanje intenziteta, pravca i smjera dejstva rezultujue

sile pritiska (hidrostatikog pritiska) daje osnovne podatke projektantima brana, ustava, nasipa i

dr.

Dakle, problem je odrediti silu pritiska na ravnu povrinu nagnutu pod uglom prema

ravni horizonta, slika 2.3.

Elementarne sile pritiska su normalne na elementarnu povrinu , pa je prema tome i

rezultujua sila normalna na posmatranu povrinu.

Obzirom da se atmosferski pritisak prenosi na obe strane povrine on nee doprinositi

rezultujuoj sili, i pritisak je razlika izmeu apsolutnog i atmosferskog pritiska relativni

pritisak.

Intenzitet elementarne sile pritiska je:

(2.14.)

Intenzitet rezultujue sile pritiska se dobiva integralenjem izraza 2.14.:

(2.15.)

Slika 2.3.: Pritisak na ravnu povrinu

Integral

se naziva statiki moment povrine za osu (presjek ravni sa slobodnom

povrinom tenosti) i oznaava se sa Prema definiciji srednje vrijednosti integrala:

(2.16.)

gdje je:

koordinata teita povrine mjerene u ravni u kojoj lei povrina.

Sada je:

(2.17.)

Vidi se da je intenzitet rezultujue sile pritiska jednak proizvodu pritiska u teitu povrine i

povrine . Iz izraza 2.17. se vidi da intenzitet sile pritiska ne zavisi od ugla .

Taka u kojoj djeluje rezultujua sila naziva se centar pritiska, hvatite ili centar dejstva. U

optem sluaju centar pritiska se razlikuje od teita povrine. Poloaj centra pritiska se

odreuje iz uslova da je moment rezultante jednak sumi momenata komponenti, tj.:

(2.18.)

U izrazu 2.18.,

se naziva aksijalni moment inercije povrine u odnosu na osu, i

oznaava se sa Dakle, dobivamo:

odnosno:

(2.19.)

Ako sa oznaimo ose koje prolaze kroz teite povrine , tada se primjenom teoreme o

paralelnoj translaciji osa dobiva:

(2.20.)

Uzmimo da je gdje je:

moment inercije u odnosu na teinu osu povrine.

Koritenjem izraza 2.20. i 2.19., dobivamo:

(2.21.)

Kako je aksijalni moment inercije pozitivna veliina, centar pritiska je uvijek nie od teita

posmatrane povrine. Smjer djelovanja rezultujue sile pritiska se odreuje prema smjeru

djelovanja elementarnih sila .

Na primjeru rezervoara sa bonim zidom pod uglom emo prikazati emu su jednake

komponente sile pritiska. irina zida normalno na ravan crtea, slika 2.4., je

(2.22.)

kako je:

dobivamo:

(2.23.)

gdje je:

zapremina tenosti iznad pritisnute povrine zida do slobodne povrine tenosti.

Slika 2.4.: Djelovanje sile pritiska na boni zid

2.2.2. PRITISAK NA ZAKRIVLJENE POVRINE

Kao to se vidi sa slike 2.5. koordinatni sistem je postavljen tako da ravan lei na

slobodnoj povrini, a osa je orjentisana prema dole.

Slika 2.5.: Pritisak na zakrivljene povrine

Na elementarnu povrinu povrine , djeluje elementarna sila koja sa

koordinatama zaklapa uglove respektivno. Kada element povrine u taki

se moe zamijeniti elementom koji lei u tangencijalnoj ravni koja prolazi kroz tu

taku. Vektori su kolinearni i moe se pisati:

(2.24.)

Dalje,

(2.25.)

a komponente sile iz izraza 2.25. su:

(2.26.)

odnosno, komponente se dobivaju integralenjem navedenih izraza 2.26.:

(2.27.)

Kao to nam je poznato iz izraza 2.16., integral:

se naziva statiki moment povrine za odgovarajue ose. Prema definiciji, srednja vrijednost

integrala je:

(2.28.)

gdje je:

koordinata teita povrine .

Iz izraza 2.27. i 2.28. se dobiva:

(2.29.)

Odredimo sada odgovarajue centre pritiska, odnosno hvatita.

Posmatrajmo povrinu odnosno projekciju povrine na ravan, odnosno ravan

(slika 2.6.):

(2.30.)

gdje je:

aksijalni moment inercije povrine u odnosu na osu.

Slika 2.6.: Centar pritiska ili hvatite ( ravan)

Primjenom teoreme o paralelnoj translaciji osa (na ose koje prolaze kroz teite) dobiva se:

gdje je:

moment inercije u odnosu teinu osu povrine.

Na osnovu navedenog, se dobiva:

(2.31.)

Pomou izraza 2.31. odreujemo dubinu na kojoj se nalazi pravac komponente sile pritiska

Da bi se jednoznano odredio poloaj centra pritiska primijenit e se princip ravnotee momenta

za osu:

odnosno:

(2.32.)

gdje je:

centrifugalni moment inercije povrine za i osu.

Slika 2.7.: Centar pritiska ili hvatite ( ravan)

Analogno e se uraditi za povrinu projekciju povrine na ravan, odnosno

ravan, slika 2.7.:

(2.33.)

gdje je:

aksijalni moment inercije povrine u odnosu na osu.

Primjenom teoreme o paralelnoj translaciji osa, dobiva se:

gdje je:

moment inercije u odnosu na teinu osu povrine.

Nadalje se dobiva:

gdje je:

centrifugalni moment inercije povrine za i osu.

Na kraju, posljednja komponenta sile pritiska je:

(2.34.)

Integral na desnoj strani izraza 2.34. predstavlja zapreminu koja je ograniena izmeu

zakrivljene povrine, slobodne povrine tenosti i vertikalnih izvodnica koje dodiruju ivice

zakrivljene povrine.

Na osnovu izraza 2.34. se moe pisati:

(2.35.)

To znai, prema izrazu 2.35., da je intenzitet vertikalne komponente sile pritiska jednak teini

tenosti koja se nalazi u prostoru izmeu posmatrane povrine i slobodne povrine tenosti.

Pravac djelovanja ove komponente sile prolazi kroz teite zapremine

Do sada je pokazano kako se odreuje intenzitet i pravac djelovanja komponenti sile pritiska. to

se tie smjera on je uvijek suprotan smjeru jedininog normalnog vektora okvaenog dijela

pritisnute povrine.

2.3. POTISAK I PLIVANJE

2.3.1. HIDROSTATIKI UZGON POTISAK

Posmatrae se tijelo potpuno potopljeno u tenost sa ciljem da se odredi intenzitet, pravac i smjer

djelovanja sile kojom tenost djeluje na tijelo, slika 2.8.

Slika 2.8.: Hidrostatiki uzgon - potisak

Kako je tijelo ogranieno zatvorenom povrinom, rezultante komponenti u i pravcu su

jednake nuli, odnosno na potopljeno tijelo ne djeluju horizontalne sile.

Na povrinu djeluje vertikalna sila a na njoj odgovarajuu povrinu djeluje

vertikalna sila :

(2.36.)

Rezultanta sila, prema izrazu 2.36. je:

(2.37.)

Iz izraza 2.36. i 2.37. se moe vidjeti da je smjer sile suprotan smjeru ose, odnosno smjer

sile je prema gore

Intenzitet sile iz izraza 2.37. je:

ili poslije integralenja:

(2.38.)

gdje su:

specifina teina tenosti,

zapremina tijela.

Izraz 2.38. pokazuje da je intenzitet rezultante vertikalnih komponenata sila jednak teini tijelom

istisnute tenosti. Ovo je dobro poznati Arhimedov1 zakon koji glasi:

Svako tijelo potopljeno u tenost prividno gubi onoliko od svoje teine

koliko tei tijelom istisnuta tenost.

Rezultanta ove sile prolazi kroz teite istisnute zapremine. Taku dejstva ove uzgonske sile

potiska, koja se naziva centrom potiska ili uzgona, treba razlikovati od teita uronjenog tijela.

Ako uporedimo intenzitete sila: teine tijela i uzgonske sile , imamo sluajeve:

- tijelo tone,

- tijelo lebdi u tenosti,

- tijelo u tenosti se kree prema gore dok jednim dijelom ne izroni. Dio tijela u tenosti trpi potisak koji je jednak teini tijela.

1 Archimedes of Syracuse

2.3.2. PLIVANJE I STABILNOST TIJELA PRI PLIVANJU

Ako je potisak vei od teine potpuno potopljenog tijela, tijelo se kree prema gore dok jednim

dijelom ne izroni. Tada kaemo da tijelo pliva, slika 2.9.

Slika 2.9.: Plivanje tijela

Slobodna povrina tenosti, kao ravan plivanja, presijeca tijelo. Dobivena povrina se naziva

povrina plivanja.

Rastojanje od ravni plivanja do najnie take tijela se naziva dubina potapanja. Dio tijela

ispod povrine plivanja se naziva deplasman, a sredite potiska se naziva sredite deplasmana.

Prava na kojoj lei teite tijela i sredite deplasmana, u stanju ravnotee, se naziva osa plivanja.

Plovni objekti su pravilnog oblika i imaju jednu ili vie vertikalnih ravni simetrije. U presjeku

ravni simetrije i ravni plivanja dobiva se uzduna osa (normalno na ravan crtea, kroz taku )

koja se naziva osa inklinacije. Rotacija oko ose inklinacije predstavlja bono ljuljanje.

Izvoenjem tijela iz ravnotenog poloaja, rotacijom oko ose inklinacije za ugao prvobitno

teite ili sredite deplasmana e se pomjeriti u taku a pravac dejstva potiska e biti u

pravcu . U presjeku pravca dejstva potiska i ose plivanja dobiva se taka , metacentar.

Intenzitet potiska se ne mijenja jer je poveanje potopljene zapremine kompenzirano

isplivavanjem iste veliine zapremine Dakle, pri ovom zakretanju je dolo samo do

pomjeranja sredita deplasmana, odnosno do pomjeranja napadne take dejstva sile pritiska. Sile

teine i potiska formiraju spreg iji obrtni moment tei da okrene objekt oko ose inklinacije.

U zavisnosti od poloaja metacentra i teita tijela u odnosu na sredite deplasmana mogu

se definisati tri ravnotena stanja:

stabilna ravnotea, indiferentna ravnotea i labilna ravnotea.

Za odreivanje stanja ravnotee, u kome se nalazi plovni objekt, potrebno je odrediti poluprenik

metacentra .

Za dati nagib tijela, poluprenik metacentra se moe dobiti iz momentne jednaine sila koje

djeluju na tijelo. Veliina momenta koji eli da vrati tijelo u ravnoteni poloaj, tzv. moment

uravnoteenja je:

(2.39.)

Za uglove

Potopljeni dio tijela je podvrgnut viku, a dio koji je iznad tenosti smanjenju sile potiska, koje su

zbog jednakosti zapremina jednake po intenzitetu, ali su suprotnog smjera.

Obzirom da je:

dobivamo:

(2.40.)

gdje su:

moment inercije povrine plivanja u odnosu na osu

zapremina potopljenog dijela tijela deplasman.

Radijus metacentra direktno je proporcijalan momentu inercije povrine plivanja u odnosu na

podunu osu, u koju ulaze i geometrijske karakteristike plovnog objekta.

2.4. RELATIVNO MIROVANJE FLUIDA

U mehanici fluida, kao i u mehanici krutog tijela, se prouavaju ne samo apsolutna kretanja ili

mirovanja, nego i relativna. Tenost moe mirovati u odnosu na posudu u kojoj se nalazi, ali

istovremeno se moe kretati u prostoru zajedno sa posudom. Pri analizi takvih kretanja u

proraun treba uvesti inercijalne i prividne sile (centrifugalne i dr.).

Inercijalne sile su zapreminske i zato pri prouavanju relativnog mirovanja fluida, pod

projekcijama sile treba podrazumijevati ne samo projekcije teine nego i svih

inercijalnih sila. Da bi se u ovakvim sluajevima odredio raspored pritisaka u tenosti i oblik

slobodne povrine treba primijeniti osnovnu jednainu hidrostatike, uzimajui u obzir i

inercijalne sile. Dakle, prema d'Alember-ovom principu, svaki dinamiki sistem se moe tretirati

kao statiki pod uslovom da se efekt ubrzanja uzme u obzir preko fiktivnih inercijalnih sila.

2.4.1. JEDNOLIKO UBRZANO TRANSLATORNO KRETANJE

Ako se posuda kree pravolinijski, konstantnom brzinom, tenost u posudi e relativno mirovati u

odnosu na posudu, jer nema sile koja bi je izvela iz tog ravnotenog poloaja, slika 2.10.

Pri jednoliko ubrzanom pravolinijskom kretanju relativna ravnotea tenost prema posudi zavisi

od djelovanja dvije sile: teine i inercije Vektorskim sabiranjem ovih sila

dobiva se rezultujua sila Na slici 2.10. su prikazane te sile izraene po jedinici mase.

Povrine jednakih pritisaka e biti ravni normalne na pravac rezultujue sile

Slika 2.10.: Jednoliko ubrzano translatorno kretanje

Na primjeru posude koja se kree niz strmu ravan, nagnutu pod uglom konstantnim ubrzanjem

dobivamo:

(2.41.)

Osnovna jednaina za hidrostatiku fluida, izraz 2.3., poprima oblik:

(2.42.)

ili kada se integrali:

(2.43.)

Konstanta integracije se odreuje iz uslova:

Uvrtavanjem konstante integracije u izraz 2.43. i sreivanjem izraza, dobiva se:

(2.44.)

Izraz 2.44. predstavlja raspored relativnog pritiska u tenosti.

Jednaina slobodne povrine tenosti se dobiva iz izraza 2.44. uz uslov

(2.45.)

Nagib slobodne povrine tenosti prema horizontu je:

Povrine konstantnog relativnog pritiska se dobivaju iz uslova i one su

paralelne sa slobodnom povrinom tenosti.

Ako se posuda kree horizontalno onda je i

2.4.2. JEDNOLIKA ROTACIJA TENOSTI OKO VERTIKALNE OSE

Ako cilindrina posuda napunjena tenou rotira konstantnom ugaonom brzinom oko vertikalne

ose, poslije izvjesnog vremena, i tenost e poeti rotirati zajedno sa posudom, slika 2.11. Uzrok

tome je trenje tenosti o zid posude koji se prenosi u unutranjost, te sva masa rotira.

Slika 2.11.: Rotacija tenosti oko vertikalne ose

U ovom sluaju tenost relativno miruje u odnosu na posudu. Dakle, sili teine treba dodati

horizontalnu centrifugalnu silu.

Ako je ugaona brzina dobiva se:

(2.46.)

Osnovna jednaina hidrostatike sada glasi:

ili poslije integralenja:

(2.47.)

Iz uslova dobivamo odnosno:

(2.48.)

Uvrtavanjem konstante 2.48. u izraz 2.47. i sreivanjem, dobiva se:

(2.49.)

Dobiveni izraz 2.49. predstavlja raspored relativnog pritiska u tenosti.

Jednaina slobodne povrine tenosti se dobiva iz uslova :

(2.50.)

Izraz 2.50. predstavlja jednainu paraboloida.

Sada je potrebno odrediti visinu na koju e se podignuti tenost uz zid posude u odnosu na

poetnu visinu (prije rotacije) i na koju dubinu e se spustiti tenost u osi rotacije.

Prema slici 2.11. poluprenik posude je , visina paraboloida i visina do koje se podigne

tenost uz zid posude je . Za take na zidu posude vrijedi pa se iz posljednje

jednaine, izraz 2.50., dobiva:

(2.51.)

Sa druge strane, ako je bila visina tenosti u posudi prije rotacije, njena zapremina ostaje ista i

za vrijeme rotacije, odnosno:

Primjeuje se da je zapremina paraboloida jednaka polovini zapremine cilindra iste baze i visine.

Dalje slijedi da je:

Vidi se, da se tenost u sredini posude, , spusti za istu vrijednost za koju se podigne uz zid

posude.

Probleme iz ove oblasti je praktinije rjeavati u cilindrinim koordinatama:

Sada izraz za raspored relativnog pritiska glasi:

Naprijed prikazano je vezano za postavljanje koordinatnog poetka u tjeme paraboloida.

Osnovna jednaina rotacije oko ose, kada cijela masa fluida rotira istom ugaonom brzinom kao i

posuda, glasi:

Konstantu integracije odreujemo iz poznatog uslova, a prema odabranom koordinatnom

sistemu.

Saznanja iz ovog poglavlja se koriste kada se eli poveati pritisak, npr. pri livenju eljeza u

kalupe, za rad centrifugalnih pumpi i dr.

Ista pojava se moe iskoristiti ako su u posudi pomijeane dvije tenosti razliitih specifinih

teina, onda kao to se zna, tenosti tee da se rasloje (razdvoje, separiraju) i da laka tenost

zauzima poloaj iznad tee. Uzrok raslojavanju je nejednak pritisak koji se javlja u pojedinim

takama na istoj dubini i koji je posljedica specifinih teina fluidnog elemenata. Na ovom

principu su sagraeni separatori koji se koriste u industriji proizvodnje mlijeka, eera, nafte, itd.

2.5. URAENI PRIMJERI

2.5.1. PRIMJER: MIROVANJE FLUIDA, HIDROSTATIKI PRITISAK

(1)

U rezervoaru A, slika 2.12., vlada podpritisak

. Odrediti pokazivanje i

, zatvorenog i otvorenog ivinog vakuummetra ako je atmosferski pritisak

. Specifina teina ive je:

.

Slika 2.12.: Hidrostatiki pritisak (1)

RJEENJE

Za usporednu ravan koja lei na slobodnoj povrini ive u lijevom kraku otvorene cijevi,

dobivamo:

Za usporednu ravan koja lei na slobodnoj povrini ive u desnom kraku zatvorene cijevi,

dobivamo:

2.5.2. PRIMJER: MIROVANJE FLUIDA, HIDROSTATIKI PRITISAK

(2)

Odredi apsolutni i relativni pritisak u cijevi , kroz koju tee voda, ako je barometarski pritisak

, a u cijevi se nalazi iva.

Slika 2.13.: Hidrostatiki pritisak (2)

Visinske kote su oznaene na slici 2.13. i iznose:

Specifine teine za vodu i ivu su:

RJEENJE

Izraunajmo barometarski pritisak u jedinicama SI sistema:

Iz jednaine ravnotee fluida, prema slici 2.13., moemo odrediti apsolutni pritisak u cijevi :

Relativni pritisak u cijevi je:

Negativna vrijednost relativnog pritiska upuuje na to da je u cijevi podpritisak ili vakuum, te

moemo napisati:

2.5.3. PRIMJER: SILA PRITISKA NA RAVNE POVRINE (1)

U otvorenom rezervoaru sa okomitim zidovima, slika 2.14., se nalazi voda do visine .

Pritisnuta povrina zida je kvadratna. Treba odrediti silu pritiska na zid i njenu napadnu taku.

Specifina teina za vodu je:

Slika 2.14.: Sila pritiska na ravne povrine (1)

RJEENJE

Intenzitet sile pritiska na zid je:

Hvatite ili napadna taka sile pritiska u odnosu na slobodnu povrinu vode je:

gdje je moment povrine obzirom na teinu osu,

2.5.4. PRIMJER: SILA PRITISKA NA RAVNE POVRINE (2)

Do koje visine smije da raste nivo vode ispred brane, prikazane na slici 2.15., pa da sila

smicanja ne pree vrijednost po dunom metru brane?

Da li sila smicanja zavisi od ugla , nagiba napadne povrine brane?

Slika 2.15.: Sila pritiska na ravne povrine (2)

RJEENJE

Sila pritiska po dunom metru brane je:

Sila smicanja predstavlja horizontalnu komponentu sile pritiska:

Sada se moe odrediti visina vode ispred brane:

Iz izraza za silu smicanja se vidi da ona ne zavisi od ugla .

2.5.5. PRIMJER: SILA PRITISKA NA ZAKRIVLJENE POVRINE

Nai hvatite, intenzitet, pravac i smjer rezultujue sile hidrostatikog pritiska koja djeluje na

zakivke u presjeku rezervoara prikazanog na slici 2.16. Dati su podaci: i

.

Slika 2.16.: Sila pritiska na zakrivljene povrine

RJEENJE

Intenzitet sile hidrostatikog pritiska se odreuje preko komponenti:

Hvatite sile pritiska je definisano:

Smjer sile se vidi sa vektorskog dijagrama na slici 2.16., a pravac je definisan uglom:

2.5.6. PRIMJER: PLIVANJE TIJELA I RAVNOTENA STANJA

Provjeri stabilnost pontona teine prikazanog na slici 2.17., ije su dimenzije:

irina , duina i visina , ako je poznato da se teite pontona nalazi

na visini od dna, a teite korisnog tereta na visini od

palube pontona.

Slika 2.17.: Plivanje tijela i ravnotena stanja

RJEENJE

Iz jednaine ravnotee sila se moe odrediti gaz pontona:

Rastojanje teita sistema od dna pontona:

Rastojanje izmeu teita sistema i centra potiska je:

Radijus metacentra je:

Uporeujui radijus metacentra sa rastojanjem izmeu teita sistema i centra potiska, vidimo da

je:

,

to nas dovodi do zakljuka da je ponton nestabilan.

2.5.7. PRIMJER: RELATIVNO MIROVANJE FLUIDA,

TRANSLATORNO KRETANJE

Cisterna oblika pravougaonog paralelopipeda visine , duine , prikazana na slici 2.18.,

napunjena je vodom do etvrtine svoje zapremine. Motorno vozilo na kome se cisterna nalazi se

kree horizontalno sa konstantnim ubrzanjem . Treba odrediti vrijednost ubrzanja , pri kome

slobodna povrina vode dodirne dno cisterne.

Slika 2.18.: Translatorno kretanje

RJEENJE

Osnovna jednaina translatornog kretanja fluida uz apsolutno mirovanje glasi:

gdje je osa u ijem pravcu djeluje ubrzanje . U ovom sluaju je , pa dobivamo:

Jednaina slobodne povrine vode se dobiva za :

(2.52.)

Jednaina slobodne povrine, izraz 2.52., se moe dobiti i iz osnovne jednaine za statiku fluida:

Slika 2.19.: Vektorski dijagram

Na osnovu vektorskog dijagrama na slici 2.19. imamo:

Iz uslova da je pritisak jednak atmosferskom pritisku na slobodnoj povrini vode, ,

dobivamo:

(2.53.)

Izrazi 2.52. i 2.53. su identini.

Iz uslova zadatka za:

dobivamo:

2.5.8. PRIMJER: RELATIVNO MIROVANJE FLUIDA, ROTACIJA (1)

Otvorena posuda oblika krunog cilindra prenika i visine , u kojoj

se nalazi voda do izvjesne visine , rotira oko vertikalne ose konstantnim brojem obrtaja

. Treba odrediti visinu iz uslova da voda u toku rotacije dosee do ivice posude,

ali se ne preljeva preko nje.

Slika 2.20.: Rotacija (1)

RJEENJE

Iz jednakosti zapremina prije i za vrijeme rotacije, dobivamo:

Druga relacija se moe dobiti iz jednaine slobodne povrine tenosti, tj. obrtnog paraboloida,

koja je izvedena za koordinatni sistem sa tjemenom u najnioj taki. Osnovna jednaina rotacije

oko nepokretne ose kad cijela masa fluida rotira istom ugaonom brzinom kao posuda, glasi:

Za slobodnu povrinu je , pa dobivamo:

2.5.9. PRIMJER: RELATIVNO MIROVANJE FLUIDA, ROTACIJA (2)

Posuda oblika krunog cilindra poluprenika je napunjena tenou specifine teine do

visine . Za posudu je fiksno vezana cijev krunog presjeka, prenika .

Posuda zajedno sa cijevi rotira konstantnom ugaonom brzinom oko vertikalne ose, koja se

poklapa sa osom cilindra.

a) Odrediti u optim brojevima veliinu , za koju se tenost podigne u sredini otvorenog kraka cijevi, ija je osa udaljena za od ose posude i ako je ugaona brzina rotacije posude.

b) Izraunati za sljedee brojne vrijednosti: .

Slika 2.21.: Rotacija (2)

RJEENJE

a) Jednaina slobodne povrine tenosti glasi:

(2.54.)

(2.55.)

Iz jednakosti zapremina prije i za vrijeme rotacije, imamo:

(2.56.)

Iz izraza 2.54. i 2.55. dobivamo:

b)