METODOS MATEMATICOS Curso 2015–2016Segundo Curso del Grado en Ingenierıa en Tecnologıas IndustrialesDepartamento de Matematica Aplicada II. Universidad de Sevilla

Practica 4. Se desean ajustar curvas polinomicas y trigonometricas a unconjunto de datos bidimensionales:

{(xi, yi), i = 1, 2, . . . , n},mediante el metodo de los mınimos cuadrados.

1. Considere el problema de ajustar un polinomio de grado N al conjuntode datos: se trata de encontrar un polinomio

pN(x) = c0 + c1x + c2x2 + · · ·+ cNxN ,

cuyo vector de coeficientes cN = (c0, c1, c2, . . . , cN)T sea solucion en elsentido de los mınimos cuadrados del sistema:

c0 + c1x1 + · · ·+ cNxN1 = y1

c0 + c1x2 + · · ·+ cNxN2 = y2

· · ·c0 + c1xn + · · ·+ cNxN

n = yn

Disene una funcion de Matlab que realice dicho ajuste resolviendo elsistema anterior en el sentido de los mınimos cuadrados. Los argumen-tos de entrada deben ser el vector de abscisas X = (x1, x2, . . . , xn)T ,el de ordenadas Y = (y1, y2, . . . , yn)T , y el grado N del polinomio. Losargumentos de salida deben ser la solucion y la matriz de coeficientesdel sistema sobredeterminado.

2. Se trata ahora de ajustar los datos mediante una funcion trigonometricade la forma

y = a1sen(x) + a2cos(x) + a3sen(2x) + a4cos(2x).

Para ello, disene una funcion en Matlab que resuelva en el sentido delos mınimos cuadrados el sistema sobredeterminado:

a1sen(x1) + a2cos(x1) + a3sen(2x1) + a4cos(2x1) = y1

a1sen(x2) + a2cos(x2) + a3sen(2x2) + a4cos(2x2) = y2

· · ·a1sen(xn) + a2cos(xn) + a3sen(2xn) + a4cos(2xn) = yn

Los argumentos de entrada, excepto el grado N , y de salida deben serlos mismos del apartado anterior.

3. Aplique los apartados (1) (con N = 1, 3, 5) y (2) al siguiente conjuntode datos:

{(0,−6) ,(π

4, 2

),(π

2, 5

),

(3π

4,−1

), (π,−2) ,

(5π

4, 1

),

(3π

2, 3

),

(7π

4,−5

), (2π,−6)}.

El coeficiente de determinacion:

Rcuadrado =

( ||pN(X)− Y ||||Y − Y ||

)2

,

donde Y denota la media aritmetica, indica la bondad de la aproxi-macion. Calculelo para los casos de ajuste polinomial.